Genel FORMÜLLER - Diyagramlar 1 MUKAVEMET FORMÜLLER, TABLOLAR VE ŞEKDLLER. 2008/09 2D Statik Denge Denklemleri: ? ? ? = = + ^ = + › 0 M 0 F 0 F y x Eksenel Gerilme A P = ? ? – Normal gerilme P – Kuvvet A – Kesit Alanı Ortalama Kayma Gerilmesi A V ort = . ? , ? – Kayma Gerilmesi V – kesme kuvveti A - kesit alanı Emniyetli Gerilme (Allowable Stress) – Emniyet Katsayısı (s) ? s ; Sınır gerilme, malzemenin hasarlanmadan taşıyabileceği en büyük gerilme ( standart deneylerle saptanır) ? ; dış yüklerin etkisinde elemanda oluşan gerilme (hesaplanan) (veya müsaade edilen tasarım gerilmesi =emniyetli gerilme) Genleme (strain) 0 L ? ? = ? – genleme (birim şekil değiştirme) ? – uzunluktaki değişim L 0 – ilk (original) uzunluk Kayma genlemesi (shear strain) ? ? ? - = 2 ? – kayma genlemesi L / ? -küçük açılar için Hooke Kanunu ? ? E = , ? – Normal gerilme E – Elastisite modülü ? - genleme Rezilyans Modülü E u r / 2 1 2 1 2 pl pl pl ? ? ? = = Tokluk (Modulus of Toughness), u t gerilme-genleme eğrisi altında kalan toplam alan. Poisson oranı boyuna enine ? ? ? - = Kayma gerilmesi ile Hooke Kanunu ? = G? , ? – kayma gerilmesi G - rijidlik modülü ? - kayma genlemesi sabitler arasındaki ilişki ; ( ) ? + = 1 2 E G Eksenel Yükleme-Deformasyon ( ) ( ) ? = L dx E x A x P 0 ? Uzunluktaki değişim (A=sabit ve E=sabit ise) AE PL = ? Değişik kısımlardan oluşan eksenel yükler etkisinde uzunluktaki değişim ? = = i i i i i E A L P 1 ? ? uzunluktaki değişim P belirli bir kısımdaki yük L belirli bir kısmın uzunluğu A belirli bir kısmın kesit alanı E belirli bir kısmın elastisite modülü N belirli kısım sayısı Isıl genleme ve şekil değiştirmeler ? = ?.?T. L ? uzunluktaki değişim ? ısıl genleşme katsayısı ?T sıcaklıktaki değişim L belirli bir kısmın uzunluğu Sıcaklık nedeniyle iki şekilde genleme oluşabilir ; 1. Gerilme olmaksızın genleme 2. Gerilmeli genleme Statikçe belirsiz eksenel yükler 1. Durum 1 : 2 1 ? ? = 2. Durum 2: geometric şartlar 2 1 2 1 1 L L L + = ? ? 3. Durum 3: ? At + ? Bt - ? boşluk = ? A + ? B Eksenel elemanların integrasyonu ( ) ( ) 0 = + x q dx x dF [ 1 ] ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? - = x T dx du AE x F ? [ 2 ] (here, dx du = ? ) . em s s ? ? ? = ? 3 Burulma (Torsion) Kayma Gerilmesi (Shear Stress) J Tr = ? ? kayma gerilmesi r dış yarıçap T Burulma momenti (TORK, torque (F-L)) J polar atalet momenti [ ] mil boş içi r r J mil dolu ici r J i o 4 4 4 2 2 - = = ? ? GÜÇ N = T? = ? 2 ? f, N güç (kuvvet-uzunluk/zaman) T Tork (Burulma Momenti) ? açısal hız rad/s f frekans Hz. Burulma Açısı ( ) ( ) ? = L dx G x J x T 0 ? Sabit kesit için JG TL = ? Değişik kesitlerden oluşan elemanlar için ? = = i i i i i G J L T 1 ? ? burulma açısı (radians) T belirli bir kısımdaki tork L belirli bir kısımdaki J belirli bir kısmın polar atalet momenti G belirli bir kısmın rijitlik modülü N belirli bölüm sayısı Statikçe belirsiz Tork Uygunluk şartları 1. Case 1 : ? 1 + ? 2 = 0 & ? 1 + ? = ? 2 2. Case 2: ? 1 = ? 2 & ? 1 + ? 2 =? Kesme kuvveti (KK) ve Eğilme Momenti (EM) Diy. 1. mesnet tepki kuvvetlerini bulun 2. Find V(x) 3. Find M(x) , which is the area under the shear diagram ( ) ( ) ? ? = ? - = ? dx x V M & dx x w V 4. Slope on the moment diagram is the value of the shear diagram. ( ) ( ) x V dx dM x w dx dV = - = & Değişik yükler için SDNGÜLARDTE FONKSDYONLARI. Kuvvet Function F(x) Moment < x – a > -2 -M < x – a> -2 Tekil kuvvet < x – a > -1 -F < x – a> -1 Yayılı yük < x – a > 0 -w < x – a> 0 Üçgen yayılı yük < x – a > 1 -(w/L) < x – a> 1 Kuvvet V(x) M(x) Moment -M < x – a > -1 -M < x – a> 0 Tekil kuvvet - F < x – a > 0 -F < x – a> 1 Yayılı yük -w < x – a > 1 -(w/2) < x – a> 2 Üçgen yayılı yük -(w/2L)< x – a > 2 -(w/6L) < x – a> 3 Atalet Momenti Atalet momenti ve ağırlık merkezi bulmak için tablo n iA i y i n iA iy i n iI i d i d i 2 n iA i A i Kesit alanı y i Belirli bir bölgenin ağırlık merkezi I i atalet momenti Prizmatik kesitler için , 3 12 1 bh I = Içi dolu dairesel kesit, 4 4 r I ? = Içi boş dairesel kesit, [ ] 4 4 4 i o r r I - = ? d i ağırlık merkezinden olan uzaklık ( ) y y i - n i Elastisite modulleri oranı ? ? ? ? ? ? j i E E Ağırlık Merkezi—(T.E. nin yeri ) ? ? = = = i i i i i i i A n y A n y 1 1 Atalet Momenti ; ? ? = = + = i i i i i i i d A n I n I 1 2 1 m dak d n kW T ..... .) / ( ) ( 9550 = ? 4 Elastik Eğilme gerilmesi (Flexural Stress) n I My - = ? ? eğilme gerilmesi M eğilme momenti I atalet momenti y T.E. den uzaklık n elastisite modulleri oranı Kesit modülü – Section Modulus max y I S zz zz = I zz z eksenine gore atalet momenti y max T.E. den uzaklık Kayma (kesme) gerilmesi Ib VQ = ? V KK diy. dan alınan kesme kuvveti I moment of inertia b kesilen kesit kalınlığı Q birinci moment ( ) ? ? = = - = = i i i i i i y y A d A Q 1 1 [ ] 3 3 3 2 i o r r Q - = -- hollow cylinder at neutral axis Kayma akısı I VQ q = q kayma akısı (kuvvet/uzunluk ) V kesme kuvveti Q birinci moment (can include n*A) I moment of inertia Bağlantı elemanları arası mesafe q F n s . = s Bağlantı elemanları arası mesafe n bağlantı elemanı sayısı F bir elemana gelen kuvvet q kayma akısı Basınçlı kaplar 1. küresel kaplar t ek t 2 Pr . = = ? ? 2. silindirik kaplar t t t ek Pr & 2 Pr . = = ? ? ? ek. eksenel (boyuna ) gerilme ? t teğetsel gerilme P iç basınç r iç yarıçap t cıdar kalınlığı Bileşik yükleme 1. Eksenel Yükleme A P = ? 2. Burulma J Tr = ? 3. Eğilme Gerilmesi I My - = ? 4. Kesme gerilmesi, Ib VQ = ? 5. Dç Basınç t t t ek Pr & 2 Pr . = = ? ? Süperpozisyon prensibi 1. Her bir yük için ayrı ayrı gerilme hesaplayın 2. Sonra bulduğunuz gerilmeleri toplayın Düzlem gerilme (2D) Dönüşüm Dfadeleri Dşaret Kuralı Açı ? (+) SYT ( - ) SY Kayma gerilmesi ? xy (+) SYT (Düşey Dz. de) ( - ) SY (Dşy Dz. de) Normal gerilme ? (+) Çekme ( - ) Basma 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 2 2 sin 2 cos 2 2 xy y x xy xy y x y x y xy y x y x x + ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ' - ? ? ? ? ? ? ? ? - - + = ' + ? ? ? ? ? ? ? ? - + + = ' Asal Gerilmeler 2 2 2 1 2 2 , xy y x y x p p ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? - ± + = or 0 3 P p - = ? Asal Düzlem ve EBK düzlemi Açıları ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = xy y x s y x xy p ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 tan , 2 2 tan ? x Düsey dz. de x yönünde etki eden normal gerilme ? y Yatay dz. de y yönünde etki eden normal ? xy Düşey dz. de etki eden kayma gerilmesi ? x ’, ? y ’, ? xy ’ ; Dönüştürülmüş gerilmeler (Note ? xy ’ is acting on the Düşey Dz.) ? p Asal gerilme dz. lerini elde etmek için döndürülmesi gereken açı ? s max. Kayma gerilmesi. dz. lerini elde etmek için döndürülmesi gereken açı ? p1,p2 Asal gerilmeler Mohr Dairesi Grafik Yöntem. yarıçap , 2 2 2 xy y x R ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? - = 2 ) ( . y x ort erkez m ? ? ? + = ? p1 = merkez (? ort ) + R ? p2 = merkez (? ort )- R ? n = merkez (? ort ) + Rcos(?’) ? n = Rsin(?’) ? max.(2D) = R En Büyük Kayma (EBK) Gerilmesi 2 , 2 . min max 3 max y x ort p p D ? ? ? ? ? ? + = - = - where, ? 3 or ? z =0 dır basınçlı kabın iç yüzeyi hariç, iç yüzeyde ? 3 = - p = iç basınç. Mohr Dairesinin Çizimi 1. Dairenin merkezinin koordinatlarını (? ort. ; 0) bulun 2. Dairenin yarıçapını bulun (R= ……..) 3. Daireyi çizin. 4. Dairenin yarıçapı en büyük kayma gerilmesi, dairenin yatay ekseni kestiği noktalar asal gerilmelerdir. Genel Hooke Yasası bu ifadelerde ; Birim Hacımdaki değişim ( ) [ ] ? ? ? ? ? ? ? 2 1 0 - + + = + + = ? = E V V e z y x z y x Düzlem Gerilme (2D) Hali Gerilmeler yardımıyla genlemelerin bulunması ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) xy xy xy xy z y x x x y y x y y y x x y x x G G E E E E E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? = ? = = ? + - = + - = ? - = + - = ? - = 0 1 1 1 1 2 2 E E E E E E E E E z y x z z y x y z y x x ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? + - - = - + - = - - + = zx zx yz yz xy xy G G G ? ? ? ? ? ? = = = , , ( ) ? + = 1 2 E G 6 Elastik Eğri ve Eğim -Sehim Hesapları Sehimi bulmak için integre edilecek moment ifadesi ( ) ( ) x M x y dx d EI eğğrilik I E M = = = 2 2 ( 1 ? ? elastik eğri denklemi y(x) x’ deki yer değiştirme M (x) x’ deki moment E Modulus of elasticity I Moment of inertia Sınır şartları kullanılarak problem çözülür Using the slope or deflection. v(x) Displacement at location x w (x) Force at location x V (x) Shear at location x M (x) Moment at location x E Modulus of elasticity I Moment of inertia Kirişin sehimini hesaplamak için süperpozisyon Kirişin herhangi bir noktasındaki eğimi ve sehimi hesaplamak için tablolar kullanılır. Statikçe belirsiz kirişler Dki yöntem var; 1. Moment ifadesinin integrasyomu (a) yayılı yük fonksiyonundan başlanabilir (b) Dntegrasyon sabitlerini bulmak için sınır değer şar tları uyugulanır. 2. Superposition Yöntemi; (a) Problem static olarak belirli parçalara bölünür. (b) Ve sınır değer çözümlerinden faydalanarak asıl problem çözülür. Kirişlerin Burkulması 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? = = r L E r L EA L EI P e kr e e kr ? ? ? ? P kr kritik burkulma yükü L e Efektif uzunluk ? kr kritik burkulma gerilmesi A kesit alanı E Modulus of elasticity I Atalet Momenti (Moment of inertia) r atalet yarıçapı (radius of gyration) A I r = L/r narinlik oranı Efektif uzunluklar Efektif uzunluk kolonun sınır şartlarına bağlıdır. Fixed – Fixed translation L e=1.0L Bir ucu sabit, bir ucu serbest Her iki ucu pimli Bir ucu sabit, bir ucu pimli Her iki ucu sabit ) ( ) ( ) ( ) ( . ) ( . ) ( 4 4 3 3 2 2 sabit EI y EI dx y d EI q Yük sabit EI y EI dx y d EI V Kuvveti K y EI dx y d EI M Momenti E dx dy eğğim y sehim çokme ' ' ' ' = = - ' ' ' = = ' ' = = = = 7 Standart Katsayılar Bazı malzemelerin fiziksel özellikleri: TEORDK GERDLME YIĞILMA FAKTÖRÜ ( K t ) TABLOLARI ; SABDT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN DELDKLD LEVHA SABDT KALINLIKLI E ĞDLMEYE ÇALIŞAN DELDKLD LEVHA 8 SABDT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN ÇENTDKLD LEVHA SABDT KALINLIKLI EĞD LMEYE ÇALIŞAN ÇENTDKLD LEVHA SABDT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN FATURALI LEVHA SABDT KALINLIKLI EĞ DLMEYE ÇALIŞAN FATURALI LEVHA DADRESEL KESDTLD ÇEKMEYE ÇALIŞAN FATURALI MDL DADRESEL KESDTLD BURULMAYA ÇALIŞAN FATURALI MDL 9 DADRESEL KESDTLD EĞDLMEYE ÇALIŞAN MDL PDMLD BAĞLANTI PDM DELDK ETKDSD DADRESEL KESDTLD ÇEKMEYE ÇALIŞAN MDL DADRE SEL KESDTLD EĞDLMEYE ÇALIŞAN MDL 10 Kesme Kuvveti ve Eğilme Moment Diyagramlarının Grafik Yöntem ile çizimi için birkaç kural : M UKAVEM ET M UKAVEM ET M UKAVEM ET - - -I I I: : : M UKAVEM ET M UKAVEM ET M UKAVEM ET - - -I I I : : : 08/09 8. Hafta 08/09 8. Hafta 08/09 8. Hafta © 2008 NM 1 1 1 w dx dV - = V dx dM = ? = - = D C x x C D dx V M M M ? ? - = - = D C x x C D dx w V V V ? M UKAVEM ET M UKAVEMET M UKAVEM ET - - -I I I: : : MUKAVEM ET M UKAVEM ET M UKAVEM ET - - -I I I : : : 08/09 8. Hafta 08/09 8. Hafta 08/09 8. Hafta © 2008 NM 27 27 27 V – F – (V + ?V) = 0 ?V = – F M + ?M – M 0 – V ?x – M = 0 ?M = M 0 F aşağı doğru etki ettiğinde ?V negatiftir, bu nedenle KK diy. aşağı doğru şıçrar, F yukarı doğru ise KK diy. da yukarı sıçrar. M 0 , SY (saat yönünde) ise ?M pozitiftir ve EM diy. yukarı doğru şıçrar, M 0 SYT (saat yönünün tersi) ise EM diy. da aşağı doğru sıçrar. 1- Kirişin herhangi bir kesidindeki kesme kuvveti diy. eğimi o kesitteki yayılı yükün şiddetine eşittir (-w=dV/dx). Kesme kuvveti diy. değişim; tekil yükler nedeniyle sabit, düzgün yayılı yük nedeniyle lineer olur (eğimi yayılı yükün büyüklüğü ve işaretine bağlıdır)… 2- Kirişin herhangi bir kesidindeki eğilme momentinin x’ e göre değişimi o kesitteki kesme kuvvetinin değerine eşittir. (V=dM/dx).Moment diy. değişim; tekil yükler nedeniyle lineer, düzgün yayılı yük nedeniyle 2. dereceden eğri şeklinde (parabolic) olur. 3- Kesme kuvveti eğrisi kiriş üzerinde herhangi bir noktada tekil yük olmadığı müddetçe süreklidir. Eğer tekil yük varsa tekil yükün büyüklüğü kadar sıçrama olur. (+ yük yukarı doğru) 4- Eğilme momenti eğrisi kiriş üzerinde herhangi bir noktada tekil moment olmadığı müddetçe süreklidir. Eğer tekil moment varsa tekil momentin büyüklüğü kadar sıçrama olur. (+ (SDYT) moment negatif yönde ) 5- Kirişin uç noktalarında tekil yük yoksa bu noktalarda kesme kuvveti sıfırdır. 6- Kirişin uç noktalarında tekil moment yoksa bu noktalarda eğilme momenti sıfırdır. - Eğer kesme kuvveti pozitif ise moment diy. eğimi de pozitif, eğer kesme kuvveti negatif ise moment diy. eğimi de negatif eğime sahiptir.. - Kesme kuvveti diyagramının sıfır olduğu yerde moment diy. eğimi değişir. (yani negatif veya pozitif en büyük moment değerleri vardır) 11 12 13 S Tipi I-Kirişler (SI Units) (DAR BALIKLI I KİRİLER) kalınlık x-x axis y-y axis Tip No Birim Ağ. kg/m Alan mm 2 Yük. mm Genişlik mm Web mm Flanş mm I x 10 6 mm 4 S x 10 3 mm 3 r x mm I y 10 6 mm 4 S y 10 3 mm 3 r y mm S610 x 180 180.0 22,900 622 204 20.3 27.7 1,310 4,220 239 34.7 218 38.9 x 158 157.8 20,100 622 200 15.7 27.7 1,220 3,940 246 32.4 324 40.1 x 149 148.7 18,900 610 184 18.9 22.1 996 3,270 230 20.1 218 32.6 x 134 134.4 17,100 610 181 15.9 22.1 939 3,080 234 18.9 209 33.2 x 119 119.1 15,200 610 178 12.7 22.1 879 2,880 240 17.9 201 34.3 S510 x 143 143.3 18,300 516 183 20.3 23.4 702 2,720 196 21.1 231 34.0 x 128 128.9 16,400 516 179 16.8 23.4 660 2,560 201 19.6 219 34.6 x 112 111.4 14,200 508 162 16.1 20.2 532 2,090 194 12.5 155 29.7 x 98.2 98.4 12,500 508 159 12.8 20.2 497 1,960 199 11.7 148 30.6 S460 x 104 104.7 13,300 457 159 18.1 17.6 387 1,690 171 10.3 129 27.8 x 81.4 81.6 10,400 457 152 11.7 17.6 335 1,470 179 8.77 115 29.0 S380 x 74 74.6 9,500 381 143 14.0 15.8 203 1,060 146 6.60 92.3 26.4 x 64 63.9 8,150 381 140 10.4 15.8 187 980 151 6.11 87.3 27.4 S310 x 74 74.4 9,470 305 139 17.4 16.7 127 833 116 6.60 94.9 26.4 x 60.7 60.6 7,730 305 133 11.7 16.7 113 744 121 5.67 85.3 27.1 x 52 52.2 6,650 305 129 10.9 13.8 95.8 629 120 4.16 64.5 25.0 x 47 47.4 6,040 305 127 8.9 13.8 91.1 597 123 3.94 62.1 25.5 S250 x 52 52.3 6,660 254 126 15.1 12.5 61.6 485 96.2 3.56 56.5 23.1 x 38 37.8 4,820 254 118 7.9 12.5 51.4 405 103 2.84 48.2 24.3 S200 x 34 34.3 4,370 203 106 11.2 10.8 27.0 266 78.6 1.81 34.2 20.4 x 27 27.5 3,500 203 102 6.9 10.8 24.0 237 82.8 1.59 31.1 21.3 S180 x 30 29.9 3,800 178 98 11.4 10.0 17.8 200 68.4 1.34 27.3 18.8 x 22.8 22.9 2,910 178 93 6.4 10.0 15.4 173 72.7 1.12 24.0 19.6 S150 x 26 25.7 3,270 152 91 11.8 9.1 10.9 144 57.7 0.981 21.6 17.3 x 19 18.6 2,370 152 85 5.9 9.1 9.19 121 62.3 0.776 18.2 18.1 S130 x 22 21.9 2,790 127 83 12.5 8.3 6.33 99.6 47.6 0.690 16.6 15.7 x 15 14.8 1,890 127 76 5.4 8.3 5.12 80.6 52.0 0.508 13.4 16.4 S100 x 14.1 14.2 1,800 102 71 8.3 7.4 2.85 55.8 39.8 0.376 10.6 14.5 x 11 11.4 1,450 102 68 4.8 7.4 2.55 50.1 41.9 0.324 9.52 14.9 S75 x 11 11.2 1,430 76 64 8.9 6.6 1.22 32.0 29.2 0.249 7.77 13.2 x 8 8.4 1,070 76 59 4.3 6.6 1.04 27.4 31.2 0.190 6.43 13.3 14 C tipi Kirişler 15 Çok kullanılan bazı kesitlerin geometrik özellikleri 16 AKASTRE (KOSOL ) KDRDŞLER CATILEVER BEAMS KDRDŞ Beam EĞDM Slope SEHDM Deflection ELASTDK EĞRD Elastic Curve 17 BASIT DESTEKLI KIRIŞLER SIMPLY SUPPORTED BEAMS KDRDŞ Beam EĞDM Slope SEHDM Deflection ELASTDK EĞRD Elastic Curve 18 T TE EM ME EL L Y YÜ ÜK KL LE EM ME E H HA AL LL LE ER Rİ İ V VE E B BU UN NL LA AR RA A K KA AR RŞ ŞI IL LI IK K K KE ES SM ME E K KU UV VV VE ET Tİ İ, , E EĞ Ğİ İL LM ME E M MO OM ME EN NT Tİ İN Nİ İN N S Sİ İN NG GÜ ÜL LA AR Rİ İT TE E F FO ON NK KS Sİ İY YO ON NL LA AR RI I C Cİ İN NS Sİ İN ND DE EN N İ İF FA AD DE ES Sİ İ ; ; nm-09