Matematik Geometri Yapmanın Yolları İ K İ NC İ B Ö L Ü M GEOMETR İ YAPMANIN YOLLARI 2. 1 G İ R İ Ş PROCLUS DIADOCHUS İ stanbul ’ da, M.S. 410 da do ğdu. 75 ya ş nda iken Atina ’ da ö ld ü . Atina ’ daki Plato-Eflatun ’ nun Akademi ’ sinin ba ş kan oldu. Bug ü n eski zamanlar n geometrisinin geli ş iminin bir g ö r ü n ü m ü n ü temin etmek i ç in bilinen en iyi kaynakt r. “ Euclid ’ in Kitap 1 Ü zerine Yorum”u, Euclid ’ in fark na varamad ğ baz ayr nt lara i ş aret eden “ Elemanlar” n bir kriti ğidir. “Eudemian Summary” olarak bilinen “Commentary-Yorum”nin bir k sm , Euclid ’ den ö nc e ortaya ç kan geometrideki geli ş meleri irdeler ve Yunan geometrisinin ilk tarihi hakk ndaki en b ü y ü k kayna ğ m zd r. Euclid ’ in (on üç kitaptan olu ş an) “ Elemanlar” telif etti ği takriben alt as r sonra Commentary ’ yi yazm ş olmas na ra ğmen kaybolal beri El emanlar ’ n birka ç kitab na ula ş m ş ve bu kitaplar referans vermi ş tir. Yorumlar , Thales ’ le ba ş layarak Pythagoras, Hippocrates ve di ğerlerinin katk lar n dahil ederek geometrik d üş ü ncenin geli ş ti ği tarz n daha iyi bir anlam n sa ğlayan tarihi anekdotlar birlikte birle ş tirmemize izin ver mekted ir. Tarihsel bir perspektiften bak ld ğ nda geometrinin geli ş imi, t ü mevar ml (end ü ktif) ke ş iflerden fazlas yle sofistike olan t ü mdengelimli (ded ü ktif) s ü re ç lere bir ge ç i ş olarak karakterize edilebilir. İ lk geometriciler, sadece g ü nl ü k projelere faydal oldu ğu ö l çü deki konu ile ilgilenmi ş lerdir. Bu durum , matemati ğin di ğer alanlar i ç in de 56b ö yle idi. Mesela eski Babi lliler, al ş veri ş ve ticaretle yo ğun bir ş ekilde ilgili olduklar ndan kendi zamanlar i ç in gel i ş kin bir aritmetik sistemine sahiplerdi. Ç o ğu ayn sebepten eski M s rl lar, pratik m ü lahazalardan dolay (yani arazi kanallar n y kan ve bunlar yeniden in ş a i ç in s k s k g ö zden ge ç irmeyi gerektiren Nil nehr inin d ü zg ü n ak ş n n sa ğlanmas vb ) ge ometride ileri gittiler. Geometrilerinin gerisindeki yani dayand ğ teori i ç in ilgileri ya az d veya hi ç yoktu. Geometrilerinin ni ç in i ş g ö rd ü ğü , onlar i ç in ilgin ç de ğildi. Sadece metotlar n n ba ş ar l oldu ğuna bak yorlard ve tekniklerinin ge ç erlili ğini d esteklemek ü zere bir ya ş ant sal (empirical) olay bollu ğuna sahiplerdi. M s r geometrisinin ç o ğu, denemeye ve dolay s yla hataya dayan yordu. S onu ç lar n n ç o ğu, yakla ş mlar ş eklinde idi. M s rl lar, yaln zca geometrik fikirlerin uygulanmas yla ilgili oldukl ar ndan bunlar n hi ç biri, bir kusur olarak g ö r ü lm ü yordu. Yunan matematik ç i ve filozoflar , Akdeniz havzas boyunca di ğer toplumlara nazaran daha etkili olurlarken geometrinin incelemesi ni , i ç inde p ü r mant ğ n idman n n yap labildi ği bir zemin gibi i ş g ö r en ve idealize edil en bir model anlam n da reel d ü nyan n bir soyutlamas olarak m ü talaa e tmi ş lerd ir. Pratiksel m ü tala a lar-d üşü nceler, ö neme sahip de ğildi ve konunun ö nemi, uygulanan mant ksal s ü re ç ler in sa ğlaml ğ nda yat yordu. B ü t ü n bunlar, takriben M. Ö . 250 de Euclid an tsal ç al ş mas Elemanlar adl kitab n yay mlad ğ zaman b ü y ü k ö l çü de ger ç ekle ş erek ortaya ç km ş t r . Euclid'in Elemanlar ' , modern matematik ç ilerin g ö zden ka ç r lm ş , sak n lm ş , ö nemsenmemi ş olan tart ş ma konular hakk ndaki sorular ortaya ç karma ğa ve cevaplama ğa ba ş lad ğ olduk ç a yak n bir zaman ö ncesine kadar 2000 y ldan fazla zamandan beri ge ç en s ü re zarf nda geometrideki en etkili ç al ş ma olarak devaml l ğ n s ü rd ü rm üş t ü r. Bu B ö l ü m ’ de formal bir aksiyomatik sistem olara k Euclid ’ in Elemanlar kitab , informal bir ş ekilde de ğerlendirecek ve on u on dokuzuncu y ü zy l esnas nda ileri s ü r ü len alternatif sistemlerle kar ş la ş t racak veya ileride 3 . B ö l ü m' d en 6 . B ö l ü m'e kadar olan B ö l ü m ’ lerde takdim edilecek olan Euclidyen ve Euclid yen-olmayan 57geometrilerin daha formal bir geli ş imi i ç in haz rl kta bulunaca ğ z. Kullanaca ğ m z malzeme, ç o ğunlukla tabiat lar gere ği haz rl k niteli ğinde oldu ğundan sunulan birka ç ispat, olduk ç a kaba ü st ü nk ö r ü bir bi ç iminde verilecektir. Benzer olarak bu B ö l ü m ’ de verilen al ş t rmalar n, titiz bir ş ekilde haz rlanmalar na gerek g ö r ü lmemi ş tir. 3. B ö l ü m 'd en 7. B ö l ü m ' e kadar kar ş la ş aca ğ m z geometrilerin daha kesin bir geli ş mesini sa ğlamak i ç in yeter zaman vard r. Kronolojik olarak geometrinin ilk ö nemli ded ü k tif ( t ü mdengelimli - ç karsamal ) takdim i, Elemanlar ‘ da verilmi ş oldu ğ undan geometriye, Euclid taraf ndan alg lanm ş olmas gerekti ği gibi bir bak ş la ba ş layaca ğ z. 2. 2 EU CLID ’ İ N GEOMETR İ S İ VE EUCLID ’ İ N “ ELEMANLAR” I THOMAS LITTLE HEAT (1861-1940) As rlar boyunca Euclid ’ in “Geometrinin Elemanlar ” kitab , pek ç ok say da dile terc ü me edilmi ş tir. İ ngilizce 'ye yap lan terc ü meler aras nda bilinenlerin en iyisini 1908 de vermi ş tir. Hem m atematik ve h e m de klasikte bir bilim adam idi. 1879 da Trinity College Cambridge ' de ç al ş ma ğa ba ş lad ve bu her iki alanda dereceler kazand . Daha sonra British Treasury' de ve buradan National Dept Office ' te y ü ksek dereceden bir memur oldu. 1926 da emekli oldu. Britanya h ü k ü meti i ç in ç al ş rken matematik ta rihi ü zerindeki bir d ü nya eksperine-ustas na g ö t ü ren olarak ikinci bir kariyer i kazand . Ö zellikle Yunan mate mati ği ile ilgilendi ve Pappus, Diophantus, Appolonius , Archimedes, Euclid ’ in dersleri ü zerinde makaleler ve denemeler yay mlad . 1912 de Royal Soc iety ' e ü ye se ç ilmi ş tir. İ lk olarak 1921 de haz rlad ğ “ Yunan Matemati ği Tarihi ” klasi ği, hala “alt n ç a ğ” d ö neminde ki (Perikles devri) matemati ğin geli ş imine yegane olan bir bak ş sa ğlamaktad r. Euclid ’ in za man ndaki Yunan matematik ç ileri, geometriyi i ç inde ya ş ad klar reel d ü nyan n soyut bir modeli olarak d üş ü nm üş lerdi. Nokta, do ğru, d ü zlem (veya y ü zey) v b kavramlar, insani alg lama lar ile uyumlu- tutarl olmak anlam na geliyordu. Postulatlar ve aksiyomlar (veya ortak kavramlar), tart ş ma ğa ç ok az sebebi yet veren (bu ve di ğer B ö l ü m ’ lerde ilerde ayr nt l olarak tart ş aca ğ m z bir 58b ü y ü k ve bir k üçü k istisna ile) en sa ğduyulu fikirler k sm i ç indi. Euclid ’ in geometri yapmak ü zere kendisine g ö rev addetti ği i ş , g ö rm üş oldu ğu gibi, gerekli b ü t ü n terimleri tan mlamak, gerekli postulatlar ifade etmek ve geometriyi olu ş turan teoremleri t ü retmek i ç in g ü venilir olan mant ğ uygulamakt . Modern geometriciler (k saca tart ş aca ğ m z David Hilbert ve G.D. Birkhoff vb.), Euclid ’ in geometrisine (yani Euclid tar af ndan t ü retilen teoremlerin k ü mesine) farkl aksiyom k ü meleri ve terimlerin tan mlar na farkl yakla ş mlar kullanan bak ş a ç lar ö nermi ş lerdir Bunun aksine di ğer matematik ç ilerin , Euclidyen-olmayan geometrileri (yani Euclid ’ in ispat etti ği teorem lerle ç eli ş ik teoremler ihtiva eden geometrik sistemler i ) in ş a etmi ş olduklar n g ö rece ğiz. Bu durum , tamamiyle bu geometrilerdeki postulatlar n Euclid taraf ndan kabul edilen baz postulatlar la ç eli ş melerinden dolay m ü mk ü nd ü r. Euclid ’ in geometris inin bir tart ş mas na, ilk olarak 2200 y l ö nce aynen Elemanlar ’ da takdim etmi ş oldu ğu hali ile ba ş layaca ğ z. Bu ç al ş man n tamam i ç in kesin bir duygu-fikir elde etmek ü zere Elemanlar ’ n birinci kitab eski Kitap 1 i okuma zorunlulu ğu yoktur. Bu ş ekilde d avranmak, biraz haks zl k gibi ise de bu Kesim ’ de , 1. B ö l ü m ' de tart ş t ğ m z kriteri (yani aksiyomatik y ö ntemi) kullanarak Elemanlar ’ n birinci kitab olan Kitap 1 i bir aksiyomatik sistem gibi ele al p de ğerlendirece ğiz. Euclid, anlat m na 2 tane si a ş a ğ da sunulan 23 adet tan m n s ralayarak ba ş lar (Euclid ’ in Kitap 1 deki di ğer tan mlar , bu kitab n sonundaki Ek A da bulunabilir). Tan mlar: 1. Bir nokta , par ç as z ( ş ey)dir. 2. Bir do ğ ru , ensiz uzunluktur. 59 Euclid ’ i n zaman nda tan ms z terimler i ç in olan ihtiya ç , hen ü z tan nm yordu (Bu, Tan m 1 den a ç kt r). E ğer bir nokta, par ç as olmayan ş ey olarak tan mlanacaksa par ç a , tan ms z b rak lm ş olur. Bu problemin ü stesinden gelme ğe ç al ş mak istersek par ç a i ç in bir tan m verir ve yeni bir tan mlanmam ş terimi ( Bir par ç a, alan i ş gal eden ş eydir gibi) suna r veya bu ş ekilde devam ederek sonunda nokta terimini bir b i ç im de i ç er en bir sirk ü ler (k s r d ö ng ü l ü ) tan ma ( Bir par ç a, noktalar n bir koleksiyonudur gibi) ula ş r z . B ö yl ece sonu ç ta nokta terimi, nokta ile tan mlanm ş olur ki bu, bir ikilemdir- dilemmad r. Bu ikilem, baz geometrik terimleri tan ms z b rakma ihtiyac na i ş aret etmektedir. Ç o ğumuz, bir par ç a n n (veya alan n ve di ğerlerinin) geometrik kavram na nazaran bir noktan n geometrik kavram h a kk nda daha iyi bir sezgisel duyguya sahip oldu ğumuz konusunda hem fikir olabiliriz. Bundan dolay modern geometricilerin ç o ğu, tan ms z b rakmak ü zere par ç a , alan gibi di ğer terimleri de ğil nokta terimini se ç mi ş lerdir. Benzer bir problem, ö nceden hi ç biri tan mlanmam ş olan ensizlik ve uzunlu ğa dayana rak hareket edildi ğinden yukardaki Tan m 2 de de aynen ortaya ç kar. B ü t ü n bunlardan Euclid ’ in belli baz terimlerin tan ms z b rak lmas n n gereklili ği ne ait olan ihtiyac tan may , ba ş aramad ğ n g ö r ü r ü z. Bu, ş a ş rt c olmamal d r . Çü nk ü a ksiyomati ğe ilk Yunan yakla ş m , tan ms z terimlerin ( veya ilkellerin) bir listesini gerektirmiyordu. Euclid ’ in bir noktay alg lamas , ya ş ad ğ zamanlar esnas nda reel teri mler cinsinden d üşü n ü lebilen hi ç li ğe-yoklu ğa b ü z ü len bir fiziksel nokta i d i . Sonu ç olarak Euclid ’ in bu tan m , b ü y ü kl ü ğü (veya boyutu ) olmayan bir fiziksel varl k f ikrini tasvir etme giri ş imiydi. Euclid zaman n n Yunan matematik ç i ve filozoflar , bu iki f ikir ( yani tan mlar ve tasvirler ) aras ndaki fark ay rt etme ihtiyac n tan mam ş iseler de bu ve di ğer tan mlar, daha do ğru olarak tan m dan ç ok tasvir diye adland r la bilir . B ö l ü m 1 de tart ş t ğ m z a ksiyomatik metodun gereklilikleri ü zerinde matematik ç i lerin hem fikir olmalar , ç ok uzun zaman sonras na kadar hi ç olmam ş t r. Tan ms z terim kavram , ger ç ekte nispeten yeni bir fikirdir. 60 Tan ms z terimler i ç in gereklili ği tan madaki ba ş ar s zl ğ ndan dolay Euclid ’ i kolayca affedebiliriz ( Zira Euclid ’ in kendisinin, i ç inde ya ş am ş oldu ğu ç evre si nin bir ü r ü n ü oldu ğu unutulmamal d r ). Buna kar ş l k sistemi geli ş tirmede kullan lan terimlerin kar ş l kl bir anla ş lmas i ç in olan gereklili ği , yani tan m ihtiyac n , tan mas ndan dolay kendisine itibar etmemi z gerekir. F ormal bir aksiyomatik si stemin ba ş ka bir temel bile ş eni olan aksiyomlara veya postulatlara gelince Euclid, kabullerin bu iki tipi aras nda bir ay r m yapm ş t r. Postulat terimini, geometriye has kabulleri refere etmek i ç in kullanm ş t r. M atemati ğin he r dal nda kullan lan ve ö zellikle geometriye ba ğl olmayan kabuller e , ortak kavramlar ( ç o ğunlukla aksiyomlar diye isimlendilirler ) ad n vermi ş tir . Euclid ’ in k abullerin in bu her iki k ü mesi, bu kitab n sonundaki Ek A da bulunabilir . B urada uy gunluk i ç in sadece postulatlar, s ralanacakt r. Postulatlar: 1. Herhangi bir noktadan ba ş ka bir noktaya bir d ü z ç izgi (do ğru) ç izmek ( ç izilebilir) . 2. Bir d ü z ç izgide (do ğruda) s ü rekli olarak bir d ü z ç izgi (do ğru) ç izmek ( ç izilebilir) . 3. Herhangi bir merkez ve bir yar ç apla herhangi bir ç emberi tan mlamak (tan mlanabilir- ç izilebilir) . 4. B ü t ü n dik a ç lar, birbirlerine e ş ittir (e ş tir). 5. E ğer iki d ü z ç izgi (do ğru) ü zerine d üş en bir d ü z ç izgi (do ğru), ayn tarafta iki dik a ç dan k üçü k i ç a ç lar yapar ve bu devaml olarak ü retilirse bu iki d ü z ç izgi (do ğru), bu a ç lar n iki dik a ç dan k üçü k oldu ğu tarafta kesi ş ir. 61 Bu durumda b ir aksiyom k ü mesinin tutarl , ba ğ ms z ve tam olmas n gerektiren ç a ğda ş standartlar (yani bir aksiyomatik sistem olma) a ç s ndan bu aksiyom k ü mesinin durumu nun ne oldu ğu sorulabilir. Bu soruyu cevaplamaya, taml ğ n bir tart ş mas ile ba ş laya biliriz . 1.B ö l ü m ’ de belirtildi ği gibi bir aksiyom k ü mesi, e ğer kendi aksiyomlar yla uyu ş an (yani tutarl olan) yeni bir ba ğ ms z aksiyomu ilave etmeyi imkans z k l yor ve yeni tan ms z terimler ihtiva etmiyor ise tam d r . Bunu ak lda tutarak a ş a ğ daki alt nc postulat alal m ve Euclid'in postulat k ü mesine eklenip eklenemeyece ğini inceleyelim : 6. Ayn do ğru ü zerinde olmayan en az üç nokta vard r. (i) Bu kabul, di ğer postulatlardan ba ğ ms z m d r? Euc lid ’ in bu be ş postulat nda n oktalar n varl ğ , hi ç zikredilmedi ğinden bu postulatlar, noktalar n v arl ğ n ve do ğruda ş olup olmad klar n tesis etmek i ç in kullan lamazlar. Bu durum , Postulat 6 n n Euclid ’ in postulatlardan ba ğ ms z o l du ğunu ima etti ğin den E uclid ’ in postulat k ü mesinin tam olmad ğ n g ö ster i r. (ii) Postulat 6 , di ğer postulatlarla uyumlu (yani tutarl ) mudur? E ğer b ö yle ise b ü t ü n bu alt aksiyomu ayn anda g ö steren bir model in ş a edebilmemiz gerekir. Tutarl l ğ g ö stermek i ç in Euclidyen d ü zlem diye normal olarak (bir model gibi) d üşü n ü len ş eyi kullanaca ğ z: sonsuz uzunluk ve geni ş likte bir ka ğ t par ç as . E ğer bu d ü zlemde üç genlerin var oldu ğuna ve k öş elerinin tek bir do ğru ü zerinde olmad ğ na dikkat edersek, a ç k olarak b ü t ü n bu alt pos tulat tek tek hemen sergileyen bir model elde ederiz. Bundan bu alt nc postulat n, di ğerleriyle uyumlu oldu ğu sonucunu ç kar r z. (iii) Bu aksiyom, herhangi yeni tan ms z terimler ihtiva ediyor mu? A ç k olarak hay r. Ö nemli Not: Postu lat 6, bir anlamda yeni bir terim “ ü zerinde”yi (veya noktan n do ğruya isabetini yani “konum”unu) ihtiva eder! “Elemanlar” kitab nda “ konu m ba ğ nt s ” n n bir anlay ş ba ş ndan sonuna kabul ed ilmesine ra ğmen Euclid, “ konum ba ğ nt s ” i ç in de 62 bir tan m sa ğlamada ba ş ar s z olmu ş tur. B ü t ü n bunlardan Euclid ’ in ö nerdi ği aksiyom k ü mesinin, yeni tan ms z terim kullanmadan, di ğerleriyle uyumlu bir alt nc ba ğ ms z postulat ek leyebilece ğimiz anlam nda, tam olmad ğ sonucunu ç karabiliriz. Ne var ki Postulat 6 y Euclid ’ in postulat k ü mesine ilave etmenin, Euclid ’ in postulat k ü mesini tam yapt ğ anlam na da gelmedi ğine dikkat edilmesi ö nemlidir. Ancak yukardaki tart ş ma, son zamanlar n bir ç ok geometrici sinin kayd etmi ş oldu ğu ü zere Euclid taraf ndan yap lan ş u dikkatsizli ğe i ş aret e t mektedir: Bir geometrik sistem ö nerildi ği zaman modern geo metriciler, teoremlerin trivial (a ş ikar) olmayan bir modele uygulamalar n garanti et mek amac yla, noktalar n varl ğ n bir ş ekilde her zaman postule ederler. Ö nemli Not: A ç k olarak postule edilmedik ç e noktalar n varl ğ , kabul edilmeyebilir ve bunun bir sonucu olarak noktalar n varl ğ n eksik b rakan geometriler, anla ms z yani bo ş farz edilir. Euclid ’ in bir tam olmayan aksiyom k ü mesi ile ba ş lamadaki ba ş ar s zl ğ , ç al ş mas n n b ü y ü k bir eksikli ği idi. Ç e ş itli postulatlar n yoklu ğunda (noktalar n varl ğ vb gibi) a ç k-a ş ikar oldu klar n hisset t i ği veya d üş ü nd ü ğü ilgili ş eyleri Euclid, ç o ğu ke z a ç kl kla s ö ylemeden kabul etmi ş tir. Şü phesiz buradaki problem, bu kabullerin ge ç ersizli ği de ğil aksine a ç k olarak b e l i rti lme m i ş yani postule edilmemi ş ( ba ş ka bir deyimle bir postulat halin de verilmemi ş ) olmalar d r. Buna ö rnek olarak Elemanlar ’ n ilk kitab Kitap 1 de verdi ği ilk ö nermesi g ö sterilebilir. Bu ö nerme, ispat ile birlikte a ş a ğ dad r : Not: Euclid , “ teorem ” terimi yerine “ propozisyon ” ( ö nerme ) kullanm ş t r . Ö ner me 1 (Euclid , Kitap I ). Herhangi verilen bir do ğru par ç as ü zerinde bir e ş kenar üç gen in ş a etmek (edilebilir) . 63İ spat. Bu ö nerme i ç in Euclid ’ in ispat , a ş a ğ daki gibi ( Ş ekil 2.2.1 e dayanarak) ö zetlenebilir: Ş ekil 2.2.1 Euclid, bir kenar verilen AB do ğru par ç as olan bir e ş kenar üç gen in ş a etmek amac yla ö nce A nok tas n merkez ve bir yar ç ap olarak AB do ğru par ç as n sonra B noktas n merkez ve bir yar ç ap olarak yine AB do ğru par ç as n kullanarak kendi 3. Postulat ’ ndan s ras yla A ç emberini il e B ç emberini in ş a ed er. A ve B ç emberlerinin iki kesim nokta s ndan birini C ile g ö ster ir. Kendi 1. Postulat' ndan A dan C ye ve B den C ye olan AC ve BC do ğrular n ç izerek ABC üç genini olu ş turur . Not: Euclid, do ğru , do ğru par ç as ve ş n terimleri aras nda bir ay r m yapma d . Bu, Postulat 2 den a ç k ç a g ö r ü l ebili r . C , ayn yar ç apl bu her iki ç ember ü zerinde oldu ğundan AC = BC = AB dir . Buradan ABC üç geni , ü ç kenar n n uzunluklar e ş it oldu ğun dan e ş kenard r ( Burada “ AB” notasyonu, A ile B aras ndaki uzakl ğ veya e ş de ğer olarak AB do ğru par ç as n n uzunlu ğunu g ö stermek i ç in kullan lm ş t r ). Not: Yar ç ap teriminin iki kullan m a ş a ğ daki gibidir : (i) Bir do ğru par ç as . (ii) Pozitif bir reel say . 64 A B C Mesela AB do ğru par ç as , bir ç emberin r yar ç ap g ibi i ş g ö r ü r ü ken AB nin uzunlu ğu yani AB de ayn ç e mberin yar ç ap d r. Bunlardan yar ç ap olarak hangisinin kastedildi ği i ç erikten anla ş l r. Euclid ’ in bu muhakemesi, do ğru mudur? Bulunan bu geometrik model, sezgimize uygun geldi ğinden evet! Ba ş ka bir deyi ş le bu tart ş ma, e ğer gel eneksel Euclidyen d ü zlemde ç al ş yorsak do ğru dur. Ne yaz k ki Euclid 'in yukar da s rala m ş oldu ğu postulatlar, bu geometrinin Euclidyen tabiatl oldu ğunu garantilemek i ç in yeterli de ğildir (Kesim 1.4 deki Alternatif 2 ve onu takip eden a ç klamalar hat rla y n z ) . Mesela bir koordinatland r lm ş d ü zlem modelini (yani bir grafik ka ğ t par ç as n ) al d ğ m z ve tan ms z terim olan nokta y , rasyonel koordinatl nokta olarak yorumlad ğ m z farz edelim. S ö z gelimi A y (0,0) orijin noktas ve B yi de (1,0) birim noktas bi ç iminde d üş ü ne bi li riz . Bu taktirde C nin ( 2 3 , 2 1 ) koordinatlar n a sahip oldu ğu nu kolayca g ö sterebiliriz. Ne var ki 2 3 say s , irrasyonel oldu ğundan C, bu d ü zlem modelimiz in bir nokta s olamaz. Bu da A ve B ç emberlerinin kesi ş medi ği anlam na geli r. Dolay s yla Euclid'in bu ispat , bu modelde var olmayan bir noktan n varl ğ n kabul etti ğinden ba ş ar s z yani ge ç ersizdir. Şü phesiz i ç inde ç al ş makta oldu ğ umuz d ü zlemin, irrasyonel koordinatl noktalar ihti va etti ğini s ö yleyerek bu g ö r üş e kar ş ç k l abilir. Bu da ç o ğunlukla Euclidyen geometri ol arak d üşü nd ü ğü m ü z geometri de ç al ş yorsak do ğrudur . Buna kar ş l k Euclid ’ in postulat k ü mesinde bunu garantileyen hi ç bir ş ey yoktur. E ğer sadece postulatlardan muhake me y ü r ü tecek ve sezgiye dayanmayacaksak postulatlar, sezgi leri mize alg lamas kolay somut i ç erik verme ihtiyac n kar ş lamal d rlar . Gerek g ö r ü len b ü t ü n postulatlar belirleme, Euclid dahil herkes i ç in ilk anda d üşü n ü lebilecek kadar kolay de ğildir. İ lerde b u B ö l ü m ’ ü n sonlar na do ğru Hilbert ve Birkhoff ’ un postulat k ü melerini tart ş aca ğ m z zaman bunun hakk nda daha ç ok s ö z edece ğiz. 65 Not: “ Euclid ’ in geometr isi ” terimi ile “ Euclidyen geometri” terimi kar ş t r lmamal d r. “Euclid ’ in geometrisi”, bizzat Euclid ’ in kendisinin yapt ğ yani “ Elemanlar” adl kitab nda takdim etti ği geometri iken “Euclidyen geometri”, Euclid ’ in sistemine dayanarak Euclid ’ den ba ş ka kimselerin yapm ş oldu ğu geometrinin a d d r. Euclid, baz ispatlar nda a ç k ç a ifade edilmemi ş olan ba ş ka kabuller de yapm ş t r. Buna ö rnek olarak a ş a ğ daki Kitap 1 de ifade ve ispat etti ği ikinci ö nermesi verilebilir: Ö nerme 2 (Euclid , Kitap I ). (Bir u ç olarak) verilen bir noktada, ver ilen bir d ü z ç izgiye (do ğruya) e ş bir d ü z ç izgi (do ğru) ç izmek (koymak) . İ spat (Euclid). Bu ö nerme i ç in Euclid ’ in yapt ğ ispat, a ş a ğ daki gibi devam eder ( Ş ekil 2.2.2 ye bak n z): E Ş ekil 2.2.2 Verilen nokta A ve A noktas nda n itibaren bir e ş ini ç izece ğimiz verilen d ü z ç izgi (do ğru par ç as ) BC olsun . Euclid, 1. Po stulat ta n AB yi ç izdikten sonra Ö nerme 1 i uygula yarak AB ü zerinde ABD e ş kenar üç genini in ş a eder. 66 L F H G D A B C 2. Postulat gere ğince DA uuur ve DB uuur d ü z ç izgilerin i ( ş nlar n ) E ve F noktalar na do ğru keyfi olarak uzat r ( Burada “ DA uuur ” notasyonu, D den farkl A noktas n ihtiva eden ş n g ö stermek i ç in kullan lm ş t r ). Daha sonra B merkezli ve yar ç ap uzunlu ğu BC olan B ç ember ini in ş a eder ( Bunu h angi postulat, garanti eder?) ve bu ç ember i le DB uuur ş n n n kesi ş imini temsil i ç in G yi kullan r. D merkezli ve DG yar ç apl ikinci bir ç ember in ş a eder (Hangi postulat, buna iz i n verir?). Bu ikinci ç emberin DA uuur ile kesi ş imin i L ile g ö sterir . Buradan sonu ç olarak ABD e ş kenar üç geninin kenar uzunluklar oldu ğundan DA = BD, B merkezli ç emberin yar ç aplar oldu ğundan BC = BG, ve D merkezli ç emberin yar ç aplar ol du ğundan DL = DG bulur . Di ğer taraftan DL = DA + AL, DG = DB + BG veya DA + AL = DB + BG dir ve AL = BG = BC dir. B ö ylece AL , u c u A ve uzunlu ğu BC olan bir do ğru par ç as yani ALBC ? olur ki ispat, tamamlan m ş olur . Bu ispat, Ş ekil 2.2.2 de g ö sterilen konfig ü rasyon i ç in do ğrudur . F akat e ğer noktalar, farkl konumda yer alsalard acaba durum ne olurdu? Bu ispata ilk itiraz , Proclus yapm ş t r ve Commentary ’ sin de “ Geometricimiz ( yani Euclid ), s ö z konusu do ğrunun ü zerinde olmayan ve bir taraf nda bulunan bir noktay alm ş t r; ancak biraz sab r g ö stererek b ü t ü n halleri g ö z ö n ü ne alma m z gerekir … ” diye yazm ş t r. Mesela e ğer A noktas , BC nin ü zerinde ise Euclid ’ in yukar da ve rd i ği ispat, do ğrudan uygulanamaz ( A n n d i ğer muhtemel konumlar : B nin A ile C aras nda ve C nin B ile A aras nda ol du ğu A, B, C noktalar n n do ğruda ş olmalar halidir ) . Euclid, Elemanlar ’ da bu ö nerme i ç in yap labilecek muhtemel bir ç ok ç izimden sadece biri olan Ş ekil 2.2.2 de ki konfig ü rasyonu 67kullanarak ispat n yapm ş t r. E ğer bu ö nerme, b ü t ü n haller i ç in ispat edilecek i se daha genel bir demonstrasyona ( g ö sterime ve ya ispata) ihtiya ç vard r. Sonu ç ta baz de ği ş iklerle bu tart ş man n, herhangi ü ç nokta A, B ve C nin se ç imine uygulana bile c e ği ve bu teoremin, bu noktalar n yerlerine bakmaks z n ispat edilebilece ği a ç kl kla ortaya ç kar labilir . Ancak ispat yaparken bize rehberlik etsin diye ç izdi ğimiz resimler (veya ş ekiller ) , ispat konusunun her zamanki hali (veya g ö r ü n ü m ü ) ol du ğu anlam na gelmez . Ö zellikle tamamen ş ekilleri veya diyagramlar esas alarak ispat yapmak, bazen ç ok vahim sonu ç lar do ğurabilir. Bunun ne demek oldu ğunu anlamak ü zere a ş a ğ daki s ö zde teoremin s ö zde ispat n g ö z ö n ü ne alal m: Teorem . B ü t ü n üç genler, ikizkenard r! İ spat. ABC de ? A n n a ç ortay , BC nin orta dikmesini D de kessin. DF ve DE , D den AB ve AC ye dikmeler olsun. DA , DB ve DC yi ç izelim ( Ş ekil 2.2.3). Liseden b ilinen Euclidyen e ş lik ba ğ nt lar n kullanarak kolayca ADF ? ADE, BGD ? CGD yi g ö sterebilir ve dolay s yla BDF ? CDE oldu ğunu ispatlayabiliriz. Bu taktirde e ğer bu kongr ü ent üç genlerin kar ş l kl e ş olan par ç alar n toplarsak AF = AE ve FB = EC olaca ğ ndan AF + FB = AE + EC veya AB = AC buluruz ki bu, hakk nda hi ç bir ş ey (?) bilmedi ğimiz bir ABC üç geninin ikizkenar oldu ğu (!) anlam na gelir . A F E Ş ekil 2.2.3 68 B G C D Bu ispattaki hata, y ü r ü t ü len mant ktan ç ok ş ekle dayanarak yap lan kabullerde yatmaktad r. Buradaki kabul, ustaca gi zlenmi ş tir ve belirlenmesi, bir al ş t rma olarak b rak lacakt r. B ü t ü n bunlardan ö zet olarak Euclid ’ in d ü zlem geometrisini takdimi , en az üç konuda kusurlu olmu ş tur: 1. Tan ms z terimler i ç in ihtiyac tan ma eksikli ği. 2. Teoremlerin ispat nda ustaca gizlenmi ş fakat ifade edilmemi ş postulatlar n kullan m . 3. İ spatlar n in ş as ndaki mant ğa rehberlik i ç in ş ekillere- diyagramlara g ü venme. Bu tart ş may , Euclid ’ in ele ş tiriye fazlaca a ç k oldu ğu bi ç imin de yani “Euclid ’ e kar ş bir darbe” olarak asla yorumla n ma m a l d r . Euclid ’ in Geometrinin Elemanlar ç al ş mas , ç ok ö nceden geometriyi sistemati ze etmenin ilk giri ş imiydi ve 2000 den fazla y ldan beri zam an n testine kar ş durmu ş dikkate de ğer ç ok iyi bir ç aba olmu ş tur. Kabul edilebilir aksiyomatik sistemlerin yap s hakk ndaki kurallar, M. Ö . 250 den beri alabildi ğine de ği ş mi ş oldu ğundan g ü n ü m ü zde kabul edilebilen standartlar kullanarak o zaman n periyodu ndaki bir i ş i yarg lamak, haks zl k etmekten ç ok daha fazla bir ş eydir. Ger ç ekten modern geometricilerin Euclid ’ in geometrisi i ç in tutarl ve ba ğ ms z aksiyom k ü meleri in ş a etme ğe muktedir olmalar , 1800 lere kadar s ü rm üş t ü r [ Euclidyen aksiyomlar n n bir k ü mesinin tutarl l ğ p r oblemi , zordur. Relatif tutarl l k (B ö l ü m 1), ü mit edilebilinenin en iyisidir. Bu sorun, B ö l ü m 6 da tart ş lacakt r ]. Bundan sonraki iki Kesim ’ de b ö ylesi aksiyom k ü melerinden ikisini, s rayla, tart ş aca ğ z. Euclid ’ in Elemanl ar ’ n n daha fazla tart ş ma ihtiyac g ö steren ba ş ka bir g ö r ü n üş ü , be ş inci postulat Postulat 5 in ifadesinin tabiat ile ilgilidir. Kitap 1 den be ş postulata k sa bir bak ş , Postulat 5 in di ğerlerinin herhangi birinden ç ok daha karma ş k oldu ğun u g ö sterir. İ lk d ö rt postulat, Postulatlar 1-4 , ç o ğu kimse i ç in apa ç k iken Postulat 5 , anlam a ç k hale getirilene kadar birka ç kez oku n may gerektirir. 69 Postulat 5 in ifadesi, do ğrudan do ğruya “ iki do ğru, bir kesenle bu kesenin sa ğ nda olu ş an i ç a ç lar n ö l çü leri toplam iki dik a ç dan (180°) k üçü k olmak ş art yla kesilirse, bu kesenin sa ğ nda kesi ş ir ler ” ve b enzer ş ekilde “ bu do ğrular, kesenin solundaki i ç a ç lar n ö l çü leri toplam 180° den k üçü k ise, kesenin solunda kesi ş ir ler ” bi ç imindedir . Euclid, i ç a ç lar n ö l çü lerinin toplam kesinlikle l80° iken bu kesi ş imin vuku bulmayaca ğ n ispat etti ği zaman bu imalar , Elemanlar ’ n daki Ö nerme 27 de de ğerlendi rmi ş tir. Bu postulat n dallar a ayr lma s (B ö l ü m 1, Kesim 1.4), ilerde g ö rece ğ imiz ü zere a ş r derecede ö nemli dir. Her zaman elde haz r olmamas na ra ğmen bu postulat n sonu ç lar ndan birka ç , a ş a ğ dad r: 1. Verilen bir do ğruya, d ş nda ki verilen bir noktadan ge ç en, yaln zca bir paralel ç izilebilir. 2. İ ç a ç lar n n ö l çü leri t oplam , 180° olan en az bir üç gen vard r. 3. Paralel do ğrular, her yerde e ş -uzakl ktad rlar. 4. Benzer fakat e ş olmayan bir ç ift üç gen vard r. 5. Üç farkl noktada n e ş -uzakl kl olan do ğrular n bir ç ifti vard r. 6. Her üç gen, ç evrelenebilir ( ç evrel ç emberi ç izilebilir). 7. İ ç a ç lar n ö l çü leri toplam , b ü t ü n üç genler i ç in ayn d r. 8. Dikd ö rtgenler, bir pergel ve bir cetvel kullanarak in ş a edilebilir. Postulat 5 in karma ş kl ğ ndan dolay bir ç ok matematik ç i, bu postulat n Euclid ’ in ç ok daha a ç k oldu ğunu d üşü nd ü kleri di ğer postulatlar n n bir sonucu (teorem gibi) olarak t ü retilebilece ğini zannetmi ş lerdir. Ger ç ekten Euclid ’ den sonra 2000 i a ş k n y l boyunca 70geometriciler, Postulat 5 in bir teorem oldu ğunu g ö sterme ğe ç al ş m ş lard r. Nitekim yukar da direkt olarak verilen 1 den 8 e kadar olan sonu ç lardan her biri, bu postulata e ş de ğer oldu ğundan (B ö l ü m 3 e b a k n z) bunlardan herhangi biri , Postul at 5 olmaks z n ispat edilebilir olsayd (ki bu, bir miktar ç aba ile geri do ğru ç al ş arak ba ş ar labilir) Euclid ’ in postulatlar , ger ç ekten d ö rde indirilebilir di . Bunu akl m zda tutarak “ bir üç genin i ç a ç lar n n ö l çü leri toplam 180° dir ” i n a ş a ğ dak i ispat n , g ö z ö n ü ne alal m: Teorem 2. 2. 1. Bir üç genin i ç a ç lar n n ö l çü leri toplam , 180° dir. İ spat. Bir üç gen alal m ve bu üç geni bir k öş esinden kar ş kenara bir do ğru ç izerek iki üç gene b ö lelim ( Ş ekil 2.2.4). Ş ekil 2.2.4 Soldaki üç genin i ç a ç lar n ? 3 , ? 4 , ? 5 ve sa ğdaki üç genin i ç a ç lar n ? 1, ? 2, ? 6 ile g ö sterelim. x, bu üç genlerden birinin i ç a ç lar n n ö l çü leri toplam n temsil ederse olu ş turdu ğumuz bu iki üç genin i ç a ç lar ö l çü leri toplam i ç in s rayla m ? 3 + m ? 4 + m ? 5 = x ve m ? 1 + m ? 2 + m ? 6 = x yaz labilir ( Burada a ç ö l çü s ü , mesela ? 1 a ç s n n ö l çü s ü , “m ? 1” ile temsil edilmektedir ). Bu iki e ş itlik taraf tarafa toplan rsa m ? 1 + m ? 2 + m ? 3 + m ? 4 + m ? 5 + m ? 6 = 2x 71 3 5 6 1 4 2elde ederiz. Ö te yandan esas (yani b ü y ü k) üç genin i ç a ç lar ö l çü leri toplam , m ? 1 + m ? 2 + m ? 4 + m ? 3 = x ve m ? 5 + m ? 6 = 180° d r. Bu son iki ba ğ nt , bir ö nceki e ş itlikte kullan l rsa x + 180° = 2x veya x = 1 80° bulunur. Dikkat edilirse bu ispat n hi ç bir yerinde, paralel do ğrulardan herhangi bir ş ekilde s ö z edilmemi ş tir. Ancak durum, ger ç ekte bunun aksinedir. Çü nk ü bu ispatta, asl nda yukar da Postulat 5 in ö nceden do ğrudan (ispats z olarak) s ralanan ilk alt sonucundan biri, incelik ve ustal kla gizlenerek kullan lm ş t r. Ustal kla saklanan bu kabul, nedir (Al ş t rma 2.2-12 ye bak n z)? ALI Ş TIRMALAR 2. 2 1. İ ç inde Euclid ’ in be ş inci postulat n n ge ç erli olmad ğ bir geometri ö rne ği bulunuz (B ö l ü m 1 e ba ş vurabilirsiniz). 2. B ü t ü n üç genlerin ikizkenar oldu ğu do ğru mudur? Yukar da b ü t ü n üç genlerin ikizkenar oldu ğuna dair ve rilen ispatta saklanan kabul ü a ç klay n z. 3. Euclid ’ in Elemanlar-Kitap 1 deki üçü nc ü ö nermesi, a ş a ğ daki gibidir: Ö nerme 3 ( Euclid). E ş it olmayan iki d ü z ç izgi (do ğru par ç as ) i ç in b ü y ü k olan ndan k üçü ğü ne e ş it bir d ü z ç izgi (do ğru par ç as ) kesme k . (a) Burada Euclid, e ş it olmayan d ü z ç izgiler (do ğrular) kavram na dayanmaktad r. Yeni terminolojide İ ki do ğrunun e ş it olmas i ç in gerek 72ve yeter ş art, ayn noktalara sahip olmalar d r (E ş de ğer olarak iki do ğru, e ş ittir yaln z ve yaln z ayn noktalara sahip ise ) tan m ge ç erlidir. Euclid, e ş it olmayan do ğrulardan s ö z ederken neye dayanm ş oldu ğu hakk ndaki d üşü ncelerinizi a ç klay n z. (b) Daha kesin bir terminoloji kullanarak bu Ö nerme 3 ü , tekrar ifa de ediniz. (c) Sadece Ö nerme 1, Ö nerme 2 ile Euclid ’ in postulatlar ve aksiyomlar n n sonu ç lar n kullanarak Ö nerme 3 i ç in bir ispat temin ediniz. 4. Nokta , do ğ ru , (nokta ve do ğrunun) ü zerinde olma , (noktalar aras nda bir ili ş ki olarak) arada olma ve kongr ü ans-e ş lik terimlerinin tan ms z terimler olarak al nd ğ n farz edelim. A ş a ğ daki terimlerin her biri i ç in bir tan m veriniz. (a) Paralel do ğrular (b) Dik do ğrular (c) Do ğru par ç as (d) I ş n (e) Ç ember (f) Kare. Ba ş lamadan ö nce tan mlanmas gereken di ğer terimler var m d r? E ğer varsa, bu terimler nelerdir ve onlar tan mlayabilir misiniz? E ğer yoksa, bundan nas l emin olabilirsiniz? A ç klay n z. 5. Euclid ’ in üçü nc ü postulat , bir ç emberin herhangi bir n oktay merkez ve herhangi bir uzunlu ğu yar ç ap olarak kullanmak suretiyle ç izilebildi ğini ileri s ü rer. Ne yaz k ki “uzakl k” terimi, tan mlar n k ü mesinde olmad ğ ndan uzunluk ve yar ç ap, bu tan mda bir anlama sahip de ğildir. (a) Uzakl k terimi i ç in tatmin edici bir tan m elde etme ğe ç al ş n z. (b) Ç emberin, uzakl k i ç in bir tan m gerektirmeyen, tatmin edici bir tan m n elde etme ğe ç al ş n z. (c) Yar ç ap , uzunluk , veya uzakl k terimlerinin herhangi birini kullanmaks z n Postulat 3 ü y eniden ifade etme ğe ç al ş n z. (d) İ ki ç emberin kongr ü ent-e ş olmas n nas l belirtirsiniz? A ç klay n z. 736. Euclid ’ in be ş inci postulat n , anlam n n tamam n de ği ş tirmeksizin daha anla ş l r bir ş ekilde yeniden ifade ediniz. 7. Kitap 1 de Euclid ’ in üç genler i ç in KAK ( Kenar-A ç -Kenar ) e ş lik ş art n ifade eden. d ö rd ü nc ü ö nermesi , a ş a ğ daki gibidir : Ö nerme 4 (Euclid). E ğer iki üç gen, s ras yla e ş it (e ş ) iki kenara sahip ve bu iki kenar (d ü z ç izgi) ile ihtiva edilen a ç lar e ş it (e ş ) ise bu iki üç gen, ayn zamanda e ş it (e ş ) tabana da sahiptirler; bu iki üç gen birbirlerine e ş ittir (e ş tir) ve geri kalan a ç lar da e ş ittir ki bu a ç lar, e ş it kenarlar n kar ş lar nda bulunurlar. İ spat , üç genlerin birini di ğerinin ü zerine kongr ü ent-e ş kenar ve a ç lar ç ak ş acak ş ekilde (kayd r p d ö nd ü rmek suretiyle) yerle ş tirerek yap l r. Bu taktirde geri kalan kenar ve a ç lar n da ç ak ş mas gerekti ğini ve dolay s yla ö l çü bak m ndan e ş it olacaklar n tart ş r. Bu tart ş ma, ge ç erli midir? Ni ç in veya ni ç in ge ç erli de ğil? A ç klay n z. 8. Bu Kesim ’ in ba ş lar nda Euclid ’ in postulat k ü mesine, bir ba ğ ms z ve tutarl postulat yeni tan ms z terimler takdim etmeksizin eklenebilece ğini g ö rm üş t ü k. Bu, Euclid ’ in postulat k ü mesinin tam olmad ğ n g ö sterir. A ş a ğ daki postulatlar n e ğer varsa hangisinin, ayn zamanda Euclid ’ in postulat k ü mesinin tam olmad ğ n g ö stermek i ç in kullan labilece ğini d üşü n ü rs ü n ü z? (a) En az iki nokta vard r. (b) B ü t ü n noktalar, do ğruda ş de ğildir. (c) Farkl noktalar n her bir ç ifti a ras nda di ğer ikisinden farkl olan üçü nc ü bir nokta vard r. (d) Her do ğru en az iki nokta ihtiva eder. (e) Verilen bir do ğru ve bu do ğrunun ü zerinde bulunmayan bir nokta i ç in bu do ğruya paralel olan ve bu noktadan ge ç en bir tek do ğru vard r. (f) Üç genler i ç in KAK (Kenar-A ç -Kenar) kongr ü ans-e ş lik ş art . (g) Bir üç genin iki a ç s , 60° ise üçü nc ü a ç s da 60° dir. 9. A ş a ğ daki postulat g ö z ö n ü ne al n z: 74 Verilen farkl herhangi iki A ve B noktalar i ç in A ve B aras nda olan üçü nc ü bir C noktas vard r . (a) Bu postulat, herhangi yeni bir terim ihtiva ediyor mu? A ç klay n z. (b) Bu postulat n, Euclid ’ in be ş inci postulat ndan ba ğ ms z oldu ğunu d üş ü n ü yor musunuz? Ni ç in veya ni ç in de ğil? A ç klay n z. 10. A ş a ğ daki ifadeyi okuyunuz: Verilen bir l 1 do ğrusu ve l 1 ü zerinde olmayan bir P noktas i ç in P ? l 2 ve l 1 ? l 2 = ? olacak ş ekilde en fazla bir l 2 do ğrusu vard r. Bu ifadenin, Euclid ’ in postulat k ü mesinden bir teorem olarak ispat edilebilece ğini d üş ü n ü yor musunuz? D üş ü n ü y orsan z bu ifade i ç in bir ispat tasarlay n z. D üşü nm ü yorsan z sebebini a ç klay n z. 11. A ş a ğ daki ifadeyi okuyunuz: Verilen bir l do ğrusu ve l ü zerinde olmayan bir P noktas i ç in P den ge ç en ve l ye paralel bir do ğru va rd r. Bu ifade - ö nerme nin, Euclid ’ in be ş inci postulat Postulat 5 e mant ksal olarak e ş de ğer oldu ğunu d üşü n ü r m ü s ü n ü z? A ç klay n z (E ğer iki ifade - ö nermeden den biri, di ğerinin ve aksiyomatik sistemin geri kalan ifadelerinin bir sonucu olarak t ü retilebiliyo r ise bu iki ifadeye, mant ksal e ş de ğ erdir ler denir). 12. Bir üç genin i ç a ç lar ö l çü leri toplam n n 1 80° oldu ğu hakk nda yukar da verilen ispatta, saklanan kabul nedir? 2. 3 MODERN EUCL İ DYEN GEOMETR İ LERE B İ R G İ R İ Ş FELIX CRISTIAN KLEIN (1849-1925 ) Almanya ’ daki D ü sseldorf ’ da do ğdu ve G ö ttingen ’ de 75ö ld ü . Hayat boyunca geometri ba ş ta olmak ü zere matemati ğin ç e ş itli dallar na ö nemli katk larda bulundu. Geometrideki en ö nemli ba ş ar s , belki “ Erlanger Program ”d r (1872). O zaman lar gurup teorisi, mat ematikte ö nemi y ü kselen bir alan olarak do ğuyordu. Bir geometrinin temel tabiat n n, farkl transformasyon guruplar alt nda invaryant-de ği ş mez kalan ö zellikler cinsinden nas l incelenebildiklerini tan mlama ğa muktedir oldu. Bunu yapmakla soyut cebir ile g eometrinin incelemesini irtibatland rd ğ gibi Euclidyen ve Euclidyen-olmayan geometrilerin incelemesine bir birlik sa ğlam ş t r. Ayn zamanda topolojinin incelemesini g ö ze alm ş Klein ş i ş esi olarak bilinen tek-tarafl , kapal bir y ü zey tan mlam ş t r. Oysa Klein ş isesi, bir s ü reksizlik do ğurmaks z n kendi kendisinden ge ç en bir y ü zeyi gerektirdi ğinden Euclid uzay nda in ş a edilemez. Klein ş i ş eleri, belli Euclidyen- olmayan geometrilerde in ş a edilebilirler. Bu imkan, matematik ç iler i ç in ç ok b ü y ü k ö nemi haizdir ve ayn zamanda bilim kurgu yazarlar i ç in de imkanlar sa ğlar. 1885 te Londra ’ n n Kraliyet Cemiyeti ’ ne (Royal Society) se ç ilmi ş tir ve 1912 de Copley Madalyas ’ n alm ş t r. Hala modern geometrinin en b ü y ü k katk sa ğlay c lar ndan birisi olarak durmaktad r. Euclid ’ in bizzat kendisinin bile Elemanlar ’ n noksanl klar ndan en az birini tan m ş oldu ğu hakk nda kesinlik vard r. Kitap 1 de ifade edilen be ş postulata bak ld ğ nda be ş inci (veya paralellik) postulat n n, kavranmas en zor postulat oldu ğu a ç kt r. Eu clid, bu postulat n ilk kez uygulad ğ Ö nerme 29 a kadar kullan m ndan sak nm ş ve kullanma konusunda g ö n ü ls ü zl ü k g ö stermi ş tir. Proclus, Commentary ’ de postulatlar n listesinden paralellik postulat n n ç kar l p bir teorem olarak eklenmesi gerekti ği pozisyonu alm ş t r. Ayn gayret, Elemanlar n takdimini takip eden 2000 y ll k devir boyunca bir ç ok matematik ç i taraf ndan ortaya konmu ş tur. Postulat 5 i inceleyen hemen hemen herkes, Euclid ’ in di ğer d ö rt postulat n n a ç k tabiat n eksik b rakt ğ na dikk at ç ekmi ş lerdir. Bunun sebeplerinden ikisi: 1) okuyucuyu, sonsuza yakla ş r larken do ğrular n davran ş lar n 76 hayal etmeye zorlamas ; 2) paralellik kavram n ifade etme ş eklinin ç e ş itlili ğidir . Mant ğ hakk nda bir ç ok tahm in yap lm ş olmas na ra ğmen Euclid ’ in be ş inci postulat i ç in bu formu ni ç in se ç ti ği uzun zamandan beri bir s r olmu ş tur. 3. B ö l ü m 'd e Euclid ’ in be ş inci postu lat n n, Alman John Playfair ’ e (1795) atfedilen ve yayg n olarak Playfair Postulat diye bilinen a ş a ğ daki daha do ğru ifadeye mant ken e ş de ğer oldu ğunu g ö sterece ğiz. Playfair Postulat . Her l do ğrusu ve l ü zeride olmayan her P noktas i ç in P yi ihtiva eden ve l ye paralel olan bir tek m do ğrusu vard r. Ç o ğu kimse bu ifadeyi, Euclid ’ in Postulat 5 inden daha kolay anla ş l r bulmaktad r. Buna ra ğmen bu iki postulat n birbirlerini gerektirdikleri g ö sterilebilece ğinden bunlar n her biri, Elemanlar ’ daki teoremlerin t ü m ü n ü n ge ç erli olaca ğ bir model in ş a etmek ü zere, kullan labilir (G ö r ü n ü ş te ba ğ ms z gibi g ö r ü nen -asl nda de ğil- birka ç ifade, Euclid ’ in be ş inci postulat na e ş de ğer olduklar g ö sterilebilir. Bunlardan baz lar , B ö l ü m 3 te a ç klanacakt r). Bununla birlikte Playfair ’ in postulat bile di ğerlerinden daha az a ç kt r. Çü nk ü bu postulat dahi, do ğrular n s n rs z olarak uzay p giderkenki davran ş lar n hayal etme ile fazlas yla ilgilidir. Euclid ’ in paralellik postulat n ayd nlatma ğa yard m etmi ş iken Playfair ’ in katk s , bu postulat n Euclid ’ in di ğer d ö rt postulat ndan ba ğ ms z olup olmad ğ meselesini çö zmemi ş tir. On sekizinci as rdaki matematik ç iler, ç abalar n n zorunlu olarak bo ş olaca ğ n bilmeden ilk d ö rt postulat Postulatlar 1-4 ü kullanarak paralellik postulat i ç in bir aray ş s ü rd ü rm üş lerdir. Bu giri ş imlerin birka ç nda kullan lan tekniklerden biri, Postulat 5 in yanl ş oldu ğunu kabul eden bir dolayl yakla ş mdan sonra bu kabul ü n bir ç eli ş kiye g ö t ü rd ü ğü n ü g ö sterme giri ş imi idi. Bu sonu ç , Postulat 5 in (veya e ş de ğerinin) Postulatlar 1-4 ü kabul eden bir 77geometri i ç in paraleller hakk nda yegane tutarl ifade oldu ğunu ima edebilecekti. İ lerde bu giri ş imlerin baz lar n , ç ok ayr nt l olarak tart ş aca ğ z ancak son olarak ş imdilik Postulat 5 in di ğerlerinden ba ğ ms z oldu ğunu, tutarl geometrilerin ya Postula t 5 i ( veya Playfair Postulat ) veya bunun uygun bir de ğilini kullanarak t ü retilebildiklerinin g ö sterilmi ş oldu ğunu s ö ylemek, yeterli olacakt r. Şü phesiz ç eli ş ik paralellik postulatlar n n se ç imi, birbirleriyle ç eli ş en geometrilerde ortaya ç kar. Buna ra ğm en has l olan geometrilerin, tutarl birer aksiyomatik sistemler oldu ğu g ö sterilebilir. Bu problemi, derinlemesine incelendi ği B ö l ü m 6 ya havale edece ğiz. Ç o ğumuz, d ü zlem geometrinin Euclidyen modeli ile uygun gelen sezgisel kavramlara sahip oldu ğum uzdan Postulat 5 i reddeden ge ç erli bir modelden ü retilen teoremlerin baz lar , bize ç eli ş kili olarak g ö z ü k ü rler. Ne var ki b ö ylesi bir geometrinin i ç inde ger ç ekte ç eli ş kiler yoktur. Bu geometriler, matematiksel olarak ge ç erlidirler. Bu B ö l ü m ’ ü n ger i kalan son be ş Kesim ’ de geometri i ç in üçü , Euclidyen model ü reten ve di ğer ikisi Euclid ’ in be ş inci postulat n reddetti ğinden Euclidyen-olmayan tabiatl olan be ş tip aksiyo m k ü mesini, k saca tart ş aca ğ z. Bundan sonraki Kesim ’ e, Elemanlar ’ n ç e ş nisini ( ü r etilen teoremleri, ö zellikleri vs) ba ş ar l ş ekilde koruyan fakat bir ö nceki Kesim ’ de zikredilen eksiklikleri gideren olduk ç a yeni (bir asr birka ç y l a ş k n) bir ç aba y takdim e derek ba ş layaca ğ z. ALI Ş TIRMALAR 2. 3 1. Kendi paralellik postulat n ifa de etmek i ç in Euclid ’ in, Playfair Postulat gibi daha a ç k bir ifadeyi kullanmak yerine, ni ç in yapm ş bulundu ğu yolu se ç mi ş tir? A ç klay n z. 2. Euclid ’ in, Postulat 5 in Playfair Postulat’ n n anlam n ima etti ğini fark etmemi ş oldu ğu muhtemel midir? 783 . Euclid ’ in be ş inci postulat na e ş de ğer olan bir ş artl ifade (yani “E ğer P ise Q dur” formunda bir ifade) yaz n z. 4. Euclid ’ in be ş inci postulat n n tersine (inversine de ğil!) e ş de ğer olan ş artl bir ifade yaz n z. İ nversinin, Euclidyen geometride ge ç er li bir ifade oldu ğunu d üş ü n ü r m ü s ü n ü z? Ni ç in d üşü n ü r veya ni ç in d üşü nmezsiniz? A ç klay n z. 5. Playfair Postulat’ na e ş de ğer olan bir ş artl ifade yaz n z. 6. Playfair Postulat’ n n tersine (inversine de ğil!) e ş de ğer olan ş artl bir ifade yaz n z. Bunu n, Euclidyen geometride ge ç erli oldu ğunu d üşü n ü r m ü s ü n ü z? Ni ç in d üş ü n ü r veya ni ç in d üşü nmezsiniz? A ç klay n z. 7. Yukarda 1 den 4 e kadar ki al ş t rmalarda (yani Al ş t rmalar 1-4 te) ş artl ifadelerin her biri i ç in “de ğillerini” yaz n z. Al ş t rma 1 ve A l ş t rma 3 ü n de ğillerinin, iki farkl Euclidyen-olmayan geometriye nas l izin verdi ğ ini a ç klay n z. 8. Bir ö nceki Kesim ’ de zikredildi ği gibi Postulat 5 i “ispat etmek” i ç in bir ç ok giri ş im, “dolayl olarak”y ü r ü t ü lm üş t ü r. Bu dolayl arg ü manlar n mant ksa l yap s , a ş a ğ daki tarzda s ü rd ü r ü lm üş t ü r: İ lk d ö rt postulat Postulatlar 1-4 ü n, Postulat 5 i ima etti ğini [yani P(1-4) ? P(5)] g ö stermek amac yla matematik ç iler Postulat 5 in de ğilinin [yani ~P(5) i n], Postulatlar 1-4 ü n de ğilleri [yani ~P(1), ~P(2), ~P(3), ~P(4)] i ç inde bir tutars zl k ima etti ğini g ö sterme ğe ç al ş m ş lard r. Bu ispat tekni ği ile bir ifadenin ve k ontrapositifi nin (tam devri ği de denir) do ğruluk de ğerleri aras ndaki ili ş kiyi a ç klay n z. 9. Hiperbolik geometride Playfair Postulat (yani Eucldyen paralellik postulat ), a ş a ğ daki ifade ile yer de ği ş tirir: E ğer l , bir do ğru ve P, l nin ü zerinde olmayan bir nokta 79 ise P den ge ç en ve l ye paralel olan en az iki do ğru vard r . (a) Bu ifade, Euclidyen paralellik postulat ile ç eli ş ir. Bu, Euclidyen geometrideki teoremlerin hi ç birinin hiperbolik geometride ge ç erli olmad ğ anlam nda m d r? A ç klay n z. (b) Yukarda ifade edilen hiperbolik paralellik postulat , “P den ge ç en, l ye paralel olan en az iki do ğrunun var oldu ğu nu” ima eder. “ Kesinlikle P den ge ç en, l ye paralel olan iki do ğrunun var oldu ğu ” muhtemel midir? Ni ç in muhtemeldir veya ni ç in de ğil dir ? A ç k lay n z. 10. Lise geometrisinden i ç ters a ç teoremi diye bilinen bir teoremin ifadesi şö yledir: E ğer iki do ğru, bir kesenle i ç ters a ç lar e ş olacak bi ç imde kesilirse bu do ğrular, paraleldirler. (a) Bu teoremin tersini ifa de ediniz. (b) Bu iki ifadeden hangisi, Euclidyen geometride do ğrudur? (c) E ğer varsa bu iki ifadeden hangisinin, Euclid ’ in be ş inci postu lat na e ş de ğer oldu ğunu d üşü n ü r s ü n ü z? Cevab n z a ç klay n z. (d) E ğer varsa bu iki ifadenin hangisi , Playfair Postulat ’ na e ş de ğerdir? Cevab n z a ç klay n z. 2. 4 EUCL İ DYEN GEOMETR İ İ Ç İ N HILBERT MODEL İ DAVID HILBERT (1862 - 1943) On dokuzuncu asr n son k sm ile yirminci asr n ilk k sm esnas nda matematikteki en ö nemli simalar ndan bir i olarak tan nm ş t r. Bu zaman zarf nda G ö ttingen Ü niversitesi, bir ç oklar nca matematiksel d ü nyan n merkezi olarak d üş ü n ü lm üş t ü r ve 1895 te oradaki Matematak B ö l ü m ü ba ş kanl ğ na atanm ş t r. Cebirsel say lar teorisi, k ü me teorisi, soyut lineer uzaylar, topo loji, genel relativite sadece birka ç olmak ü zere matemati ğin bir ç ok alan nda geni ş bir ş ekilde ilgili olmu ş tur. 1899 da Euclidyen geometrinin bir takdimini “Grundlagen der Geometrie -Geometrinin Temelleri ” yay mland ğ nda hayrete ş ayan olmu ş tur. Bu ç al ş ma s n , kabul 80edilebilir bir formal aksiyomatik bir sistem olarak Euclidyen geometriyi takdim etmek gayretiyle sunmu ş tur. Ger ç ekten Grundlagen der Geometrie, Euclidyen geometri gibi matematiksel aksiyomatik sistemlerin tutarl , ba ğ ms z ve tam olacaklar bi r ş ekilde olu ş turulabilece ğini tesis etme ği ü mit etti ği ç ok geni ş bir ajandan n par ç as olmu ş tur. 1931 de Avusturya'l Kurt G ö del, bu amac n imkans z oldu ğunu g ö stermi ş tir. Buna ra ğmen yukardaki K esim ' lerde erkenden tart ş t ğ m z Elemanlar ’ daki eksiklikler den ar nm ş oldu ğundan Euclidyen geometrisi i ç in Hilbert'in bu takdimi, matematikte ileriye do ğru ç ok ö ne m li bir ad m olarak durmaktad r. On dokuzuncu as r esnas nda geometri ile ilgilenen matematik ç ilere, bir tek (yani evrensel) geometri modeli do ğur a n bir aksiyom k ü mesinin var olmad ğ a ş ikar olmu ş tur. Geometrik bir aksiyom sisteminin ge ç erlili ğinin, ü zerinde in ş a edildi ği aksiyom k ü mesinin tutarl l ğ , ba ğ ms zl ğ ve taml ğ na ba ğl oldu ğu konus unda epeyce bir konsens ü s ( mutabakat = fikir birli ği ) g eli ş mi ş ti. F arkl aksiyom k ü meleri nin , f arkl modellerde ortaya ç kabi le ce ği fakat geometrinin incelenmesinin, art k o zamana kadar ü retilen modelin Euclidyen modeli kabul etmek ve ona uymak zorunda kalaca ğ gibi bir kavram ile s n rlanma d ğ art k biliniy ordu . Buna ra ğmen geometri i ç in Euclidyen modeli, fazlas yla en sezgisel oland ve en geni ş tarihsel tabanl model olmas ndan dolay da matematik ç iler, Euclid ’ in teoremlerin i ortaya ç karabilecek olan fakat ö nceden zikredilen kusurlar n vuku bulmayaca ğ b ir aksiyom k ü mesini in ş a etme i ş ine ba ş lam ş lard . Bu ç al ş malardan en iyi bilineni, i ç inde Euclid ’ in i ş ledi ği bak ş a ç s n do ğrulayan Grundlagen der Geometrie (Geometrinin Temelleri) adl ç al ş ma , devrinin tart ş mas z olarak en g ö ze ç arpan matematik ç iler inden biri Alman David Hilbert taraf ndan 1899 da yay mlanm ş t r. Hilbert, Euclid ’ in aksine modern aksiyomatiklerin gereklilikleri ü zeri nde daha tecr ü beli idi. Modelini a ş a ğ daki gibi tasarlam ş t r. Tan ms z terimleri: 811. Nokta Do ğru 2. D ü zlem 3. Ü zerinde olma ( noktalar n do ğru ü zerine kon umu gibi ) 4. Aras nda-Arada O lma ( üç farkl nokta hakk nda bir ba ğ nt 5. olarak ) Kongr ü ans-E ş lik 6. olarak se ç mi ş tir. Hilbert ’ in, Euclidyen geomet rinin gerekli b ü t ü n terimlerini , ilkellerin (tan ms z terim lerin) bu basit k ü mesiyle ba ş layarak tan mlanabilece ğini bilme ğe muktedir olmas , dehas n n (ve azminin) bir vergisi olmu ş tur. Mesela a ş a ğ daki tan m kullanarak do ğrular ve do ğru par ç alar aras ndaki fark (ki bunu Euclid, eksik b rakm ş t r), ay rt edebil mi ş tir: Tan m 2. 4. 1. AB Do ğru Par ç as . A ve B noktalar aras nda olan b ü t ü n noktalar n k ü mesi dir . A ve B noktalar na, bu do ğru par ç as n n u ç nokta lar denir. Geometricilerin ç o ğu, do ğru par ç as terimini, u ç noktalar n ihtiva edecek ş ekilde tan mlarlar fakat Hilbert, u ç noktalar n bu terimden hari ç tutmu ş tur . Hilbert ’ in , a ş a ğ daki gibi be ş guruba ay rarak ifade etti ği Aksiyomlar : I. Gurup : Konneksiyon (veya konum) aksiyomlar II. Gu rup : S ra aksiyomlar III. Gurup : E ş lik aksiyomlar 82 IV. Gurup : Paralellik aksiyomu (Playfair Postulat ) V. Gurup : S ü reklilik aksiyomlar . Aksiyomlar n n tamam , bir liste halinde ayr ca bu kitab n sonundaki Ek B de b ulunabilir. Bu aksiyomlar , yukar da verilen s rada ele al p inceleyece ğiz. I. Gurup : Konneksiyon ( veya Konum) Aksiyomlar I-1. Herhangi iki farkl A ve B noktalar ndan ge ç en daima bir m do ğrusu vard r ( Farkl iki noktadan en az bir do ğru ge ç er ). I-2. Herhangi iki farkl A ve B noktalar ndan ge ç en bir m do ğrusundan fazla do ğru yoktur ( Farkl iki noktadan en ç ok bir do ğru ge ç e r) . I-3. Her do ğru ü zerinde en az farkl iki nokta vard r. Ayn bir do ğru ü zerinde olmayan en az üç nokta vard r. I-4. Ayn do ğru ü zerinde olmayan herhangi üç noktada n ge ç en bir ve yaln z bir d ü zlem vard r. Bu d ö rt aksiyomu, Euclid ’ in konum u imal -kapal olarak bildiren yegane postulat “ Herhangi bir noktadan ba ş ka bir herhangi noktaya bir do ğru ç izmek ” ile kar ş la ş t ral m: Euclid, tabiatiyle Hilbert gibi ayn fikri ima etmek maks ad n g ü tm üş t ü r ancak bunu tam olarak ba ş aramam ş t r. Hilbert, sadece herhangi iki nokta aras nda bir do ğrunun varl ğ n de ğil ayn zamanda o do ğrunun tekli ğini de postule etmi ş tir (Euclid, ba ş ndan sonuna kadar bunu kabul eder ama bu fikri postule etmede ba ş ar s z kal r). Ayr ca Postulat I-3, noktalar n varl ğ n ş art ko ş tu ğundan Euclid ’ in 83g ö rmemzlikten geldi ği bir formalite olan i ş g ö r ecek do ğrulara sahip olmam z g ü vence alt na al r. Hilbert ’ in aksiyom k ü mesi, geleneks el Euclidyen geometrinin baz n ( taban n ) sa ğlamak amac n g ü tt ü ğü nden d ü zlem in geometri si hakk ndaki b ü t ü n sezgisel fikirlerimizin, bu aksiyomatik sistemde ge ç erli olaca ğ n beklememiz gerekir. Mesela l ve m nin, do ğrular oldu ğunu farz edelim. l ile m nin, birden fazla noktada kesi ş mesi m ü mk ü n m ü d ü r? Do ğru terimine ait anlay ş m z, tipik olarak d ü z ç izgi demek oldu ğundan ç o ğumuz, bu soruya “ hay r, do ğrular birden fazla noktada kesi ş memesi gerekir ” cevab n verecektir. Nitekim bunun olu ş umunu, a ç k olarak yasaklayan bir aksiyom yoktu r. Bu taktirde bu ö zelli ğin, bir teorem olarak dahil edilebilece ğini beklememiz gerekir. Bunu ak lda tutarak a ş a ğ daki teorem i, g ö z ö n ü ne alal m. Teorem 2. 4. 1. İ ki farkl do ğru, birden fazla noktada kesi ş emez . İ spat. Eu clidyen geometri , aynen D ö rt-No kta geometrisi gibi bir konum geometrisi (bunu do ğruay n z) oldu ğundan bu geometrye ait Tan m 1.3.1 gere ğince kesi ş en iki do ğrunun en az bir noktada kesi ş tikler ini s ö yleyebiliriz. Bu t eoremin ispat i ç in bu do ğrular n en ç ok bir noktada kesi ş tiklerinin de g ö sterilmesi gerekir. Dolayl ispat y ö ntemini uygulayal m ve teoremin aksini kabul e d e l i m . Yani i ki farkl do ğru l ve m nin, iki farkl nokta A ve B de kesi ş tiklerini farz edelim. Bu taktirde A ve B noktalar , iki farkl do ğru taraf ndan ihtiva edil en iki farkl nokta olur lar . Bu durum , Aksiyom I-2 ile ç eli ş ir. Dolay s yla bizi ç eli ş kiye g ö t ü ren bu kabul ü m ü z ü n yanl ş , teorem in do ğru oldu ğu ç kar . Buna g ö re l ve m nin, birden ç ok noktada kesi ş mesinin ge ç erli olamayaca ğ ndan farkl do ğrular n biden faz la noktada kesi ş meyecekleri sonucu elde edilir . Bu ispat hakk nda yap lmas gereken iki nokta vard r: Birincisi ; bu teorem, Euclid geometrisinde bir aksiyom gibi nitelen mi ş olarak g ö z ü kebilecek ş ekilde a ç k ç a do ğrudur. Ne var ki bu 84ifadenin ispat edilebilmesi keyfiyeti bile, di ğer aksiyomlardan ba ğ ms z olmad ğ n g ö sterir. E ğer Hilbert, bunu bir aksiyom olarak ifade etse idi aksiyomlar n n k ü mesi, ba ğ ms z olmayabilirdi. Her zaman Hilbert stat ü s ü ndeki matematik ç iler i ç in bir ba ğ ms z aksiyo m k ü mesi in ş a etmenin meydan okuyu ş u, bu ilave s k nt dan a ğ r gelmektedir. İ kincisi , bu ispat n indirekt-dolayl tabiat na bir g ö z atal m: Kabul edelim ki teorem, yanl ş t r. (1) Bu kabulden bir ç eli ş ki t ü retelim. (2) Bu ç eli ş kiden kurtulmak i ç in teoremin do ğru olmas (3) gerekti ğini ç karal m. Bu teknik, B ö l ü m 1 de sonlu geometrilerdeki ispatlar n bir ç o ğunda uygulanm ş t . E ğer hala bu tarzdaki muhakemeden rahats z iseniz bu problemin hakk ndan gelme ğe do ğru ç al ş man z gerekir. Bu ç e ş itten ispatlar, hem Euclidyen hem de Euclidyen-olmayan geometrilerdeki tart ş malar n bir ç o ğunun ö z ü nde bulunur. Bu Kesim ’ in sonundaki al ş t rmalar n k ü mesi, bunun gibi indirekt-dolayl ispatlar in ş a etmedeki h ü nerinizi geli ş tirmek i ç in size say s z f r sat sa ğlayacakt r. Hilbert ’ in konneksiyon-konum aksiyomlar , kolayca kavran rlar i ken ileri s ü rd ü ğü di ğer aksiyomlar ndan baz lar (ve onlardan ç kar labilen imalar-sonu ç lar), daha az a ç kt rlar. Ö zellikle bundan sonra verilecek s ra ( arada olmal k ) aksiyomlar na bakal m . II. Gurup : S ra Aksiyomlar II-1. B, e ğer A ile C noktalar aras nda bir nokta ise (bunu, A – B – C yazarak g ö sterece ğiz) A, B, C, ayn bir do ğru ü zerinde farkl noktalar ve C – B – A d r. II-2. Herhangi iki farkl A ve C noktalar i ç in suur AC do ğrusu ü zerinde A – C – B ş eklinde en az bir B noktas vard r. 85 II-3. E ğer A, B ve C, ayn do ğru ü zerinde farkl üç nokta ise kesinlikle bunlardan sadece biri, di ğer ikisi aras ndad r (Do ğruda ş üç noktadan kesinlikle sadece biri, di ğer ikisi aras ndad r). II-4. A, B, C, ayn do ğr u ü zerinde olmayan üç nokta ve bu üç noktay ihtiva eden d ü zlemde bu üç nokta n n herhangi birin den ge ç meyen bir do ğru , m olsu n. E ğer m, s ö z gelimi AB do ğru par ç as n n bir noktas n ihtiva ed e r se ayn zamanda AC veya BC do ğru par ç as n n da bir noktas n ihtiva eder (Bir do ğru, bir üç genin bir kenar n keserse bu üç genin di ğ er iki kenar n dan birini de keser). S ra aksiyomlar n n maksad , tan ms z arada olma terimine anlam vermektir. Arada olma , bir ilkel oldu ğundan bu terimin, sistemin aksiyomlar hari ç kendimize ait arada olmal k kavram na uydu ğunu garanti edecek bir ş eye sahip de ğiliz. İ lk bak ş ta a ç k olam yor ise de bu aksiyomlarla imal -kapal olarak tan mlanan arada olmal k ba ğ nt s , beklentilerimizle uyu m i ç indedir. S ra aksiyomlar , bir Euclidyen modelde bekledi ğimiz lineer - do ğrusal s ralama hakk nda ki b ü t ü n sonu ç lar ima ederler. Mesela Aksiyom II-2 , bize A ve C noktalar n bir do ğru ü zerine yerle ş tirirsek (ki buna Aksiyom I-3 ile muktedir olabiliriz) bu do ğru ü zerinde C den ziyade A dan daha ilerde olan üçü nc ü bir B noktas n bulabilmemize izin veri r (Hen ü z daha ilerde teriminin ne kastetti ğini tan mlamad k ancak bu terimi, ş imdilik al ş lagelen anlam kabul edece ğiz). Ş ü phesiz B nin varl ğ n garanti ettikten sonra d ö rd ü nc ü bir nokta, be ş inci bir nokta vs ü retmek ü zere Aksiyom II-2 yi yeniden tekrar tekrar uygulayabiliriz . Bu fikirler ile a ş a ğ daki teoremi verebiliriz : Teorem 2. 4. 2. Her do ğru, sonsuz say da nokta ihtiva eder . İ spat. Bir al ş t rma olarak b rak lacakt r. 86 Benzer bir tart ş ma, do ğrular n herhangi bir noktada sona ermedikl er ini ve bir do ğru ü zerindeki noktalar n devirliden (dairesel) ziyade tabiat olarak s ra halinde ( serisel olarak) yay ld klar n ifade eden teoremleri tesis etmek i ç in kullan labilir . Bu, ayr ca bize bir do ğru ü zerindeki noktalar n, bir k ü re y ü zeyinin ü zerin deki b ü y ü k ç emberlerde oldu ğu gibi saracak ş ekilde dolanmayacaklar n da garanti eder. Not: Do ğrular n herhangi bir noktada bitmemi ş (ba ş ka bir deyimle sona ermemi ş ) oldu ğunu s ö ylemek, her ne kadar A dan daha ilerde - ö tede bir noktay her zaman bula bi lece ğimiz anlam na geliyor s a d a bu, “ do ğrular n sonsuz uzun oldu ğu”nu s ö ylemenin tam ayn s de ğildir. Di ğer bir deyim ile do ğrular n sonsuz say da noktaya sahip olmalar , s onsuz uzunlukta ile olmalar n gerektirmez. Bu durum, Euclidyen-olmayan g eometrinin iki dal hiperbolik ve eliptik geometrilerin aras ndaki fark vurgulamak i ç in kullan labilen ç ok ince bir ay r md r . S ra aksiyomlar n n baz sonu ç lar , apa ç kt r. Mesela a ş a ğ daki a ş ikar olan te oremi, ispat edebiliriz. Teorem 2. 4. 3. A ve B, noktalar ise A – C – B olacak ş ekilde daima üçü nc ü bir C noktas vard r. İ spat. Bu ifade, Aksiyom II-2 nin tam ayn s olmad ğ na dikkat edilmelidir (bu e ğer a ç k de ğilse Aksiyom II-2 yi yeniden okuyunuz ) fakat kesinlikle geometride olmas n bekledi ğimiz bir ö zelliktir. Bunu g ö stermek i ç in i ş e keyfi bir AB do ğru par ç as n se ç erek ba ş laya biliriz ( Ş ekil 2.4.1). Aksiyom I-3 , A ve B noktalar ile do ğruda ş olmayan üçü nc ü bir D noktas n n varl ğ n garanti eder. Aksiyom II-2, AD suur do ğrusu ü zerine bize A – D – E olacak ş ekildeki bir E noktas n yerle ş tirmemize izin verir. Aksiyomlar I-1 ve I-2 , tek olan EB suur do ğrusunu ç izmemizi garanti ederler ve Aksiyom II-2 nin bir yeniden uygulanmas , bu do ğrunun ü zerine E – B – F olacak ş ekildeki F noktas n yerle ş tirmemize yol verir. 87 E D A C B F Ş ekil 2.4.1 Bu durumda do ğruda ş -olmayan üç A, E, B noktalar n k öş e kabul eden ABE üç genini il e D , F noktalar ndan ge ç en ve tek ola n DF suur do ğrusunu d üş ü nelim. Aksiyom II-4 den e ğer DF suur , ABE nin bir kenar AE nin bir noktas olan D yi ihtiva ederken ayn zamanda di ğer iki kenar AB ve EB den birinin de bir noktas n ihtiva etmelidir. DF suur , EB suur yi EB ye ait olmayan F noktas nda kesti ğinden ikinci bir noktada daha keseme z (bu ihtimali, hangi aksiyom hari ç tutar?) . Bundan dolay DF suur , di ğer kenar AB yi kesmek zorundad r. E ğer bu kesim noktas n C ile g ö sterirsek AB nin ü zerinde DF suur ? AB = C olacak ş ekilde bir C noktas vard r . B ö ylece Tan m 2.4.1 den AB do ğru par ç as , A ve B aras nda bulunan noktalar ihtiva etti ğinden A – C – B olacak ş ekildeki bir C noktas n yerle ş tirme ba ş ar s n g ö stermi ş oluruz [Teknik olarak buna benzer durumlarda DF suur ? AB = {C} yazmam z gerekir. Sadeli ğin hat r i ç in burada {C} = C al yoruz]. B ö ylece AB , A ve B noktalar aras nda bulunan noktalar ihtiva etti ğinden AB ü zerine A – C – B olac ak ş ekildeki bir C noktas n yerle ş tirme ba ş ar s n g ö stermi ş oluruz. 88 Aksiyom II-4 , Euclid taraf ndan b rak lan ö nemli bir bo ş lu ğu doldurur. Elemanlar ’ daki ispatlar n bir ç o ğu, diyagramlardan has l olan g ö rsel ip u ç lar ndan yap lan kabullere dayan r. Euclid ’ in bu ş ekilde ispatlad ğ b ü t ü n teoremler, do ğru olmu ş ise de daha sonralar yanl ş ifadelerine ait ispatlar n n, nerede ise ayn tipten muhakemeyi kullanarak in ş a edilebildikleri g ö r ü lm üş t ü r ( “ B ü t ü n üç genler, ikiz kenar üç gendir ” in (!) ispat n hat rlay n z. Oradaki ispat (!), diyagramlara a ş r derecede vurgu yap lmas ndan yani ş ekillere g ü venle dayan lmas ndan ü retilen gizlenmi ş kabuller ihtiva ediyordu). Bu y ü zden Pasch Aksiyomu , a ç k g ö r ü nebiliyor iken (nihayette bir kabuld ü r) kendisi veya kendisine e ş de ğer bir postulat, Euclid ’ in birka ç teoremini ispatlaman n ge ç erli vas talar n sa ğlamak i ç in gereklidir. Hilbert ’ in a ş a ğ da s ralanan üçü nc ü gurup aksiyomlar , kongr ü ans- e ş lik aksiyomlar , b ü y ü k ö l çü de kendiliklerinden a ç klay c d rlar. III. Gurup : Kongr ü ans ( E ş lik ) Aksiyomlar III-1. A ile B, bir a do ğrusu ü zerinde i ki (farkl ) nokta ve A ' , ayn a veya ba ş ka bir a ' do ğrusu ü zerinde bir nok ta ise AB nin, ? ? AB do ğru par ç as na e ş olacak ş ekilde daima A ' den ge ç en a veya a ? n ü n verilen bir taraf nda bir B ' noktas vard r (Ver ilen bir do ğru par ç as na e ş bir do ğru par ç as , verilen bir noktadan ç izilebilir) . III-2. Bir ?? AB do ğru par ç as il e bir ???? AB do ğru par ç as , ayn AB do ğru par ç as na kongr ü ent -e ş ise ?? AB , ayn zamanda ???? AB ye e ş tir ( Ayn bir do ğru par ç as na e ş olan iki do ğru par ç as , birbirlerine e ş tir) . III-3. a do ğrusu ü zerinde B hari ç hi ç bir ortak noktaya sahip olmayan iki do ğru par ç as AB ve BC olsun. Ayr ca ayn a veya ba ş ka bir a ? do ğrusu ü zerinde ?? AB 89 ve ?? BC , B ' hari ç ortak noktalar olmayan iki do ğru par ç as n g ö stersin. Bu halde AB ?? ? AB ve BC ? ?? BC ise AC ? ? ? AC d ü r (Bu a ksiyom, do ğru par ç alar n n toplamsall ğ n ifade eder). III-4 . E ğer ABC ? , bir a ç ve ?? suuur BC bir do ğru ise ??? ? ABC ? ABC ? olacak ş ekilde BC ?? suuur n ü n her iki taraf nda bir tek A ' noktas vard r. Ayr ca her a ç , kendisine kongr ü ent-e ş tir (Bu aksiyoma, ç o ğunl ukla a ç in ş a aksiyomu olarak bak l r). III-5. ABC ve ABC ??? i ç in AB ? ?? AB , AC ? ?? AC ve ??? ? ?? BACBAC e ş likleri ge ç erli ise bu üç genlerin e ş li ği yani ABC ? ABC ? ? ? de sa ğlan r ( İ ki üç genin kar ş l k l iki ş er kenar ve bu kenarlar dahil e den kar ş l kl a ç lar , e ş ise bu üç genler , e ş tir) . Aksiyom III-4 , bir dereceye kadar dolayl bir ş ekilde herhangi bir a ç n n, verilen bir ş n ile o ş n ihtiva eden do ğrunun her bir taraf nda hemen kopyalanabilece ğini ifade ed er. Aksiyom III-5 , üç genler i ç in asl nda Kenar-A ç -Kenar (veya k sa olarak KAK) e ş lik ş art d r (Bu Kesim ’ in sonundaki Al ş t rma 2.4-16 ya bak n z). Euclid, KAK bir teorem olarak s ralam ş t r; bununla birlikte bu teorem i ç in verdi ği ispat , geometrik ş ekilleri, bozmaks z n d ü zlem boyunca (kayd rp d ö nd ü rerek) ta ş ma yetene ğini kabul etti ğinden hatal d r. Ü st ü ste getirmenin- ç ak ş t rman n bu kullan m , makul iken bu tekni ği kullanan he rhangi bir ispat, bu ş ekilde yapmay garanti eden bir postulat dahil etmedik ç e formal aksiyomatik sistemlerin kurallar n bozar. Nihayetinde ç ok say da geometrici, bu tekni ği pek ç ok teoremin ispat nda kullan lmas i ç in geometrik ş ekillerin g ö r ü nt ü lerine izin veren geometrik transformasyonlar n ( d ö n üşü mlerin ) varl ğ n formal 90bir ş ekilde postule ederek me ş rula ş t rm ş lard r ( 5. B ö l ü m ' e bak n z). Bu sonu ç lar, a ç k olarak Euclidyen olmalar na ra ğmen Euclidyen transformasyonlar na dayanan bir aksiyom k ü mesi, Euclidyen geometrinin tabiat n de ği ş tirece ğinden Hilbert, “ transformasyon rotas ” nda (yani transformasyo n veya d ö n üş ü m kullanma y ö ntemi ile) geometri yapmay tercih etme di . Euclidyen transformasyonlar , geometrinin ö nemli bir g ö r ü n ü m ü n ü kazanm ş old uklar ndan 5. B ö l ü m 'd e ayr nt l olarak tart ş lacaklard r. Hilbert, itibar na üç genler i ç in KAK kongr ü ans-e ş lik ş art n n en az ndan bir k sm n n, di ğer geleneksel Euclidyen postulatlar ndan tamamen ba ğ ms z oldu ğunu tan m ş olmay kazand rm ş t r. S onu ç olarak üç genlerin kongr ü ans ( e ş li ği ) hakk nda bir postulat n gerekli olaca ğ n sonu ç land rm ş t r. KAK, belki de Euclidyen e ş lik ş artlar n n en a ç ğ olmas ndan dolay Hilbert, üç gen kongr ü ans ( e ş li ği ) hakk nda kendi aksiyomu olarak bunu se ç mi ş tir. B undan sonraki 3. B ö l ü m 'd e g ö rece ğimiz gibi di ğer bilinen üç gen kongr ü ans ( e ş lik ) ş artlar , teoremler halinde t ü retilebilirler. Hilbert ’ in Euclidyen geometrideki ç al ş mas n takdim etti ği s rada, geometriye ait geleneksel postulatlardan paralellik po stulat n n di ğerlerinden ba ğ ms z oldu ğu, kendi gibi Alman olan Felix Klein taraf ndan tesis edilmi ş ti. Hilbert, aksiyom k ü mesini tamamlamak amac ile bir paralellik postulat na ait bir form se ç me ihtiyac n duydu. Uygunluk i ç in kendi paralellik postulat olarak ( Aksiyom IV-1 ) a ş a ğ da yeniden ifade edilecek olan ( Grundlagen der Gometrie ’ de buna Euclid aksiyomu demi ş olmas na ra ğmen) Playfair Postulat ’ n n bir bir formunu se ç mi ş tir. IV. Gurup : Paralellik aksiyomu IV-1. a , herh angi bi r do ğru ve A, a n n ü zeride olmayan bir nokta olsun. Bu taktirde a ile A n n belirtti ği d ü zlemde A dan ge ç en ve a y kesmeyen en fazla bir do ğru vard r. Euclid yen geometride kesinlikle bir paralel bulmay beklememize ra ğmen bu aksiyomun, “ kesinlikle a ya paralel bir do ğru ” dan ç ok “ a 91ya paralel en fazla bir do ğru ” yu postule etti ğine dikkat ediniz. Bunun sebebi, B ö l ü m 3 te ispat edece ğimiz ü zere, di ğer postulatlar n en az bir paralelin varl ğ n ima etmelerinden dolay “ kesinlikle bir ” i postule etmenin, bir dereceye kadar gereksiz olmas d r. Aksiyomlar n ba ğ ms zl ğ n muhafaza etmek i ç in Hilbert, Playfair Postulat n n da ha zay f olan bu versiyonunu tercih etmi ş tir. Euclid ’ in geometrisinde doldurul m a s gereken ard na kadar a ç k bir bo ş luk daha b rak lm ş t r: do ğrular n s ü reklili ği meselesi . Buna uygun olarak Hilbert, a ş a ğ daki iki s ü reklilik postulat n a ç klam ş t r. V. Gur up : S ü reklilik Aksiyomlar V-1. Archimedes (Ar ş imet) Aksiyomu. E ğer AB ve CD , herhangi do ğru par ç alar ise A dan itibaren uuur AB ş n boyunca CD nin biti ş ik olarak in ş a edilen n tane kopyas , B nin ö tesine ge ç ecek ş ekilde bir n tam say s vard r (Bir do ğru par ç as n n n tane kopyas bir do ğru ü zerine biti ş ik ş ekilde konarak in ş a edilen bir do ğru par ç as n n uzunlu ğu, istenilen keyfi uzunluktaki bir do ğru par ç as ndan daha uzun olacak ş ekilde bir n tam say s vard r). V-2. Do ğruyu Tamamlama Postulat . Aksiyom Guruplar I, II, III ve V deki aksiyomlardan ç kan lineer s ra lama ve kongr ü ans n temel ö zellikleri gibi orijinal elemanlar aras nda var olan ili ş kiler i koruyabilecek olan kendi s ra ve kongr ü ans ba ğ nt lar y l a bir do ğrunun ü zerinde bulunan noktalar n bir k ü mesinin bir geni ş le til mesi, imkans zd r (Bir do ğru ü zerine yerle ş tirmek ü zere I, II, III ve V aksiyom guruplar ndan ç kar lan noktalardan ba ş ka yerle ş tirilebilecek nokta yoktur) . Aksiyom V-1 in gerisindeki fikir, ifadenin kendisi ba ş lang ç ta ş a ş rt c ise de tamamen do ğrudur. Bu postulat n ö z ü , uzunluk lar n keyfi b ü y ü kl ü kten birimlerle ö l çü lebilmeleridir. 92 On dokuzuncu as r esnas nda bir ç ok matematik ç i, s n rlanmam ş fakat sonlu olan uzaylar ku ş atan geometrileri incelemi ş lerdi. Bunlarda ve di ğer geometrilerde uzakl k, Euclidyen d ü zlemdekinden ç o k farkl ş ekillerde ö l çü lm üş t ü . Aksiyom V-1 , al ş lagelen (yani Euclidyen) tipten ö l çü m ü garanti etmi ş tir. Not: Ar ş imet aksiyomu ( Ar ş imet ö zelli ği de denir), “ her reel say dan daha b ü y ü k bir tam say vard r” ş eklinde ifade edilebilir . Aksiyom V-1 te keyfi bir AB do ğru par ç as n n uzunlu ğu AB = r ve CD do ğru par ç as birim uzunluklu yani CD = 1 olarak al n rsa CD nin n tane kopyas n biti ş ik bi ç imde yan yana getirerek olu ş turulan do ğru par ç as n n uzunlu ğu n . CD = n.1 = n i ç in n . CD > AB oldu ğundan bu aksiyomdan Ar ş imet aksiyomunun ifadesi olan n > r elde edilir. Bu y ü zden Aksiyom V-1 e, Ar ş imet aksiyomu a d verilmektedir . Aksiyom V-2 , Euclid ’ in ç al ş mas n n bir slah olarak Hilbert ’ in geometrisine ait tart ş mam zda bizi do ğrudan do ğruya ilgilendirmez. Bu t aml k postulat , Euclidyen geometrideki te oremlerden herhangi birinin ispat i ç in gerekli de ğildir. Hilbert, bunu dahil etmekle kendi geometrisi ile devrinde ince bir d ü zen verilen aritmeti ğin formal sistemleri aras nda bir ba ğlant kurulmas na imkan sa ğlam ş t r . Hilbert ’ in g ü ndemi, herhan gi bir do ğru ü zerindeki noktalar ve reel say lar aras nda bir birebir tekab ü l kurma ile ilgili olmu ş tur. Bu, kendisine geometr i sisteminin reel say lar cismi ( alan ) kadar tutarl oldu ğunu s ö yleyebilme iznini vermi ş tir. Hilbert, şü phesiz reel say lar n tut arl l ğ n n tesis edilebilmi ş olmas ndan dolay ayn zamanda kendi sisteminin de tutarl olabilece ğine b ö ylece sahip olmu ş tur. Bu durum, o devirde ne yaz k ki Hilbert ve di ğer bir ç oklar n tatmin edecek ş ekilde çö z ü lmemi ş olan matematiksel oldu ğu kadar fe lsefi de bir mesele idi. Not: Hilbert, kendi sistemini takdim etmeden ö nce reel say lar sisteminin tutarl bir sistem oldu ğu g ö sterilmi ş ti. K endi aksiyomatik sisteminin tutarl ğ n , relatif tutarl l k ile g ö ster mek yolunu se ç mi ş tir. Bunu, Aksiyom V-2 sayesinde reel say larla bir do ğrunun noktalar aras nda bir izomorfizm kurarak ba ş arm ş t r. Do ğal say lar n aksiyomati ğini, ilk olarak İ talyan matematik ç i Peano (18 58-1912 ) taraf ndan yap lm ş ve 93 1899 da yay mlanm ş t r. Peano ’ nun sistemi, gerek esas olu ş turmas ve gerekse farkl bir ö rnek olmas bak m ndan ilgin ç olur d üşü ncesiyle a ş a ğ da ifade edilmi ş tir : P eano ’ nun A ksiyom atik Sistemi Tan ms z ( İ lkel ) Terimler : 1) 0 (S f r) 2) Say 3) Ard l (= ard ş k ) Burada “0” ilkel terimi, bilinen “ s f r” say s n temsil eden sembold ü r. “ Say ” ilkel terimi , {1, 2, 3, …} do ğal say lar n bilinen anlamlar ile belirler. Ard l veya ard ş k terimi ile n gibi bir do ğal say y hemen izleyen do ğal say kastedilmektedir ve bu say n' ile g ö sterilmektedir. Aksiyomlar: P 1. 0, bir say d r . P 2. Bir say n n ard l ( arda ş ğ ) da bir say d r. P 3. Ayn say n n iki farkl ard l olamaz. P 4. 0, hi ç bir say n n ard l de ğildir. P 5 . x gibi bir ö zellik, (i) 0 a aitse (ii) n gibi bir do ğal say ya ait oldu ğ undan n' ye ( yani n nin ard l na ) d e ait ise b ü t ü n say lara aittir. Hilbert ’ in geometrisi , Euclid ’ in ç al ş mas ndaki gedi kleri yama y a rak kapatma n n ö tesinde matematiksel ö neme sahip ti r . Modern aksiyomatik metodun klasik bir ö rne ği olmu ş tur. Y irminci asr n ba ş lar nda ortaya ç kmas ndan dolay bu as rdaki matematiksel d üşü ncenin ç o ğuna ait olan tonu ( niteli ği ) ortaya koymaya yard m etmi ş tir. ALI Ş TIRMALAR 2 . 4 İ nformal ispatlar desteklemek ü zere Euclidyen geometrisi i ç in Hilbert ’ in aksiyomlar n kullan n z. 941. Elemanlar ’ da Euclid taraf ndan ispatlanan teoremlerden herhangi biri , Euclidyen geometride yanl ş olarak g ö sterilmi ş midir? G ö sterilmi ş se hangileridirler? G ö sterilmemi ş se ni ç in Hilbert, Euclid ’ in ç al ş mas n yeni bir bi ç ime sokma ihtiyac n duymu ş tur? 2. Bir ikizkenar üç genin taban a ç lar n n kongr ü ent-e ş oldu ğunu ispat etmek i ç in (KAK ş art n n tamam n n tesis edilmi ş oldu ğunu kabul edebilirsiniz) Hilbert ’ in aksiyomlar n kullan n z ( Yol g ö sterme : ABC üç geninin, CBA üç genine kongr ü ent-e ş oldu ğunu ispat ediniz). 3. X in, W ile Y ve Y nin, W ile Z aras nda olaca ğ ş ekilde W, X, Y, Z nin, noktalar oldu ğunu farz edelim. Hilbert aksiyomlar n kullanarak W, X, Y ve Z, do ğruda ş farkl noktalar oldu ğunu ispat ediniz. 4. Geometride e ğer bir do ğru ü zerinde bir nokta se ç er ve bu noktan n bir taraf ndaki b ü t ü n noktalar boyunca bakt ğ m z d üşü n ü rsek genellikle neye bir ş n dendi ğini elde ederiz. “I ş n” terimi i ç in daha fazla formal olan bir tan m veriniz. 5. Bir do ğru par ç as ü zerinde ka ç nokta vard r? Cevab n z destekleyen bir tart ş ma sa ğlay n z. 6. Size iki farkl X, Y noktalar ve bir l do ğrusunun verildi ğini farz edelim. Bu iki noktan n, ayn veya farkl yar m-d ü zl emlerde olup olmad ğ n belirtmek i ç in kullan labilen bir kriter bulunuz. 7. A ş a ğ daki ifade ile ne kast edildi ğini a ç klay n z: Bir d ü zlemdeki her do ğru, d ü zlemi kesinlikle iki ayr yar m d ü zlemlere ay r r . Bu ifade, do ğru mudur? E ğer bu ifadedeki “ do ğru ” nun yerine “ do ğru par ç as ” veya “ ş n ” yahut “ ç ember ” yaz lsa idi ifade, yine do ğru olur muydu? A ç klay n z. 958. Bir do ğru i ç in bir üç genin her üç kenar n kesmek, m ü mk ü n m ü d ü r? E ğer m ü mk ü n ise bu, Aksiyom II-4 ile ç eli ş ir mi? De ğilse sebebini a ç klay n z. 9. X, Y ve Z, Y nin X ile Z nin aras nda olacak ş ekildeki noktalar ise (a) XY ? YZ = Y ve (b) XY ? YZ = XZ oldu ğunu ispat ediniz (Do ğru par ç alar n n, u ç noktalar n ihtiva etti ği hakk ndaki tan m kullanabilirsiniz). 10. Ayn do ğruya paralel olan iki do ğrunun, birbirlerine paralel oldu ğunu ispat edi niz ( Yol g ö sterme : Do ğrudan do ğruya ilerleyiniz). 11. “ Bir üç genin i ç i ” terimiyle ne kast edilir? Bu terim, formal olarak nas l tan mlanabilir? E ğer bir do ğru, bir üç genin bir k öş esini ve bu üç genin i ç noktalar n ihtiva eder ise ihtiva etti ği k öş enin k ar ş kenar n kesmeli midir? Ni ç in kesmeli veya ni ç in kesmemelidir? A ç klay n z. 12. Bir do ğru, bir dikd ö rtgenin bir kenar n keserse bu dikd ö rtgenin ba ş ka bir kenar n da kesmeli midir? Ni ç in kesmeli veya ni ç in kesmemelidir? A ç klay n z. 13. E ğer bir do ğru, bir dikd ö rtgenin üç kenar n keserse bir k öş esini de kesmeli midir? Ni ç in kesmeli veya ni ç in kesmemelidir? A ç klay n z. 14. Hilbert, geometrisinde uzakl ğ tan mlamad . Bununla birlikte do ğru par ç alar i ç in a ş a ğ daki “<” ba ğ nt s n tan mlayarak u zakl klar n kar ş la ş t r labilmelerine izin vermi ş tir: WX < YZ olmas i ç in gerek ve yeter ş art, WX ? YP olacak bi ç imde Y ve Z aras nda bir P noktasn n var olmas d r 96Bu tan m kullanarak W, X, Y ve Z noktalar n n her k ü mesi i ç in a ş a ğ daki ifadelerden birinin do ğru oldu ğunu g ö steriniz: (i) WX < YZ (ii) WX ? YZ (iii) YZ < WX . 15. Al ş t rma 14 te tan mlanan “<” ba ğ nt s n n, ge ç i ş ken oldu ğunu g ö steriniz. 16. E ş lik aks iyomlar ndan Aksiyom III-5 i yeniden okuyunuz. KAK kongr ü ans-e ş lik ş art n n, tam olarak postule edilmedi ğine ancak sadece a ç lar n bir ikinci ç iftinin e ş olmas gerekti ğinin farz edildi ğine dikkat ediniz. B, C ve B´, C´ noktalar n n isimlerini aralar nda y er de ği ş tirerek geri kalan a ç lar n e ş olduklar n , sonu ç land rabiliriz. Buna ra ğmen geri kalan kenarlar n e ş -kongr ü ent olduklar n hemen ç karamayabiliriz. Di ğer aksiyomlar kullanan bir teorem olarak ispat edilebildi ğinden dolay Hilbert, bu son k ongr ü ans -e ş li ği postule etmemi ş tir. Bu ispat, ş u tarzda y ü r ü r: Geri kalan kenarlar BC ve BC ?? nin, kongr ü ent-e ş olmad ğ n farz edelim ( Ş ekil 2.4.2 ye bak n z). B A C A ' B ' Ş ekil 2.4.2 Verilen AB ? AB ?? , AC ? AC ?? , ? BAC ? ? BAC ??? i ç in BC BC ? ? ? oldu ğunu g ö steriniz. 97 D' B' (a) Bu hipotez alt nda DC ? ? ? BC olacak ş ekilde BC ?? uuuur ş n ü zerinde bir tek D noktas vard r. Bunu, hangi aksiyom garanti eder? (b) Bundan sonra ABC ve A ' B ' C ' üç genlerini alal m. Aksiyom III-5 in bu üç genlere bir uygulamas n n, bize ? D ' A ' C ' ? ? A oldu ğunu sonu ç land rmam za izin verdi ğini ve bu sonucun “verilen” ile birlikte, Aksiyom III-4 ile ç eli ş ti ğini do ğrulay n z. 17. Üç genler i ç in AKA e ş lik ş art n n, KAK ş art ndan bir teorem olarak ç kt ğ n n bir ispat n n tasl a ğ n yap n z. 18. Üç genler i ç in kendi kongr ü ans-e ş lik postulat olarak Hilbert ’ in KAK n se ç imi, fazlas yla bir zevk meselesi idi. Bunun yerine AKA ş art n postule etmeyi se ç ebilirdi. Aksiyom III-5 i, üç genler i ç in AKA kongr ü ans-e ş lik ş art n postule ed ece ği ş ekilde ifade ediniz. B ö yle yapmada Hilbert ’ in, KAK ş art yla yapt ğ gibi, bu ifadeyi m ü mk ü n oldu ğu kadar zay f yapma ğa giri ş iniz. AKA n n zay f bir versiyonunun, ilgili üç genlerin b ü t ü n kenar ve a ç lar n n e ş li ğini nas l ima edebilece ğ ini a ç klay n z. 19. Üç genler i ç in KAK e ş lik ş art n n, AKA ş art ndan bir teorem olarak ç kaca ğ n n bir ispat n n tasla ğ n yap n z. 20. Ar ş imet ( Archimedes ) aksiyomuna ait Hilbert ’ in ifadesi a ş a ğ dad r: V-1 . ( Ar ş imet- Archimedes Aksiyomu ) E ğer AB ve CD , h erhangi do ğru par ç alar ise uuur AB ş n boyunca A dan itibaren B noktas ndan ö teye ge ç en CD nin n tane kopyas n s ü rekli olarak in ş a edecek ş ekilde bir n tam say s vard r. Bu aksiyomda evvelce tan mlanmam ş iken kullan lm ş olan herhangi bir terim var m d r? E ğer b ö yle ise onlar belirleyiniz ve bu aksiyomun anlam n verebilecek ge ç erli tan mlar in ş a ediniz. 982. 5 EUCL İ DYEN GEOMETR İ İ Ç İ N BIRKHOFF MODEL İ GEORGE DAVID BIRKHOFF (1884-1944) İ stidatl bir ö ğretmen ve yirminci asr n ilk yar s esnas nda Princeton, Harward, Wisconsin Ü niversitesi ’ nde ç al ş an bir matematik ara ş t rmac s idi. Ba ş l ca ilgileri, dinamik ve argodik teori ala nlar nda oldu. Ayn zamanda relativite, kuantum mekani ği ç al ş t ve Poincare ’ nin “Son Geometrik Teorem”ini çö zerek 1913 te geni ş bir tan nma kazand . Kariyerinin sonuna do ğru Hilbert ’ in yakla ş k ö nceden yar m as r boyu yapm ş oldu ğunun ç ok ayn bir tarzda Euclidyen geometrisi i ç in bir model sa ğlam ş fakat can al c k s m olarak ö l çü mleri kullan p dikkate de ğer bir ş ekilde farkl bir perspektiften hareket etmi ş tir. Bir ö nceki Kesim ’ de Hilbert ’ in, Euclid ’ in aksiyom k ü mesini geni ş leterek ve teoremlerin mant k sal geli ş melerinde titiz davranarak Euclidyen geometriyi kesinle ş tirdi ğini g ö r d ü k. Hilbert ’ in eklemi ş oldu ğu bu kesinlik i ç in ö dedi ği ü cret, Euclid ’ inkinden dikkat ç ekecek derecede daha geni ş bir aksiyom k ü mesi ve muhtemelen arada olmal k alan nda en g ö ze ç arpan birka ç a ç k sonu ç i ç in olduk ç a zor ispatlar sa ğlama ihtiyac idi. Hilbert ’ in hayat esnas nda di ğer geometricilerin bir ç o ğu, ayn zamanda bu ara ş t rma alan ile ilgili idiler ancak Hilbert ’ in ç al ş mas , ç o ğu nerede ise Euclid ’ in yakla ş m na en yak n olarak uyan gayret olarak hayatta kalm ş t r. Bir Amerikan matematik ç i olan G.D.Birkhoff, 1932 de Euclidyen geometrinin dikkate de ğer bir geli ş mesini sa ğlam ş t r ( A Set of Postulates for Plane Geometry -D ü zlem Geometrisi İ ç in Bir Postulat K ü mesi). Bi rkhoff ’ un Hilbert ’ inkine benzeyen ç al ş mas , Euclid ’ in ç al ş mas ile uyumlu olarak in ş a edildi ğinden teoremler a ç s ndan yeni sonu ç lar sa ğlamam ş t r. Daha do ğrusu ö nemi, temelinden geometrinin geli ş mesinde kullanmak ü zere se ç ti ğ i aksiyomlar n k ü mesinin far kl l ğ nda yatmaktad r. Birkhoff ’ un a ş a ğ da tan ms z terimleri ile birlikte sunulan aksiyom k ü mesi, Hilbert ’ inkinden (ve hatta Euclid ’ inkinden bile) daha k üçü kt ü r. Tan ms z - İ kel terimler i : 99Nokta 1) 2) Do ğru 3) Uzakl k A ç 4) Pos tulatlar : Postulat I. Herhangi bir do ğrunun A, B, … noktalar , her A ve B noktalar i ç in x b - x a = d(A,B) olacak ş ekildeki x reel say lar ile 1:1 tekab ü l i ç ine k on abilir (Burada A ile B aras ndaki uzakl ğ t emsil etmek i ç in d(A,B) notasyonunu ve A ile B ye kar ş l k gelen reel say lar temsil etmek i ç in de, s rayla, x a ile x b yi kullanm ş t r). Postulat II . Bir ve yaln z bir l do ğru su , herhangi farkl iki P ve Q noktalar n ihtiva eder. Postulat III . Herhangi bir O noktas ndan ç ka n l , m, n, … yar m- do ğrular (veya ş nlar ) alal m. Bunlardan mesela l , m nin birer noktalar (O dan farkl ) s ra s yla A, B ise l ve m do ğrular na s ras yla e ş lik eden a l , a m reel say lar n n fark a l - a m (mod 2 ) = m ? AOB olaca k ş ekilde bu l , m, n, … yar m-do ğrular (veya ş nlar ), a(mod2 ) reel say lar ile 1:1 tekab ü l i ç ine k on abilir ( Burada “ m ? AOB”, ? AOB a ç s n n ö l çü s ü n ü g ö stermektedir ) . Postu lat IV . İ ki ABC ile A ' B ' C ' üç genlerinde ve bir k > 0 sabiti i ç in d(A ' ,B ' ) = kd(A,B), d(A ' ,C ' ) = kd(A,C) ve m ? B ' A ' C ' = m ? ABC ise ayn zamanda d(B ' ,C ' ) = kd(B,C), m ? C ' B ' A ' ve m ? A ' C ' B ' = ? m ? ACB dir (Bu postulata, üç genler i ç in KAK benzerlik ş art olarak bak l r) . 100 Hepsi bu kadar!.. Halbuki Hilbert, Euclid ’ in sonu ç lar n t ü retmek i ç in 16 postulata ihtiya ç duymu ş tur ve Birkhoff, bu li steyi 4 e kadar daraltma ğa muktedir olmu ş tur. Şü phesiz Birkhoff ’ un ifade etti ği 4 postulat i ç inde 1) her do ğrunun noktalar n n , reel say larla 1:1 tekab ü l i ç ine k on abilece ği , 2) a ç lar n , 0 - 2 veya 0° - 360° aral ğ ndan al nacak ö l çü lerle tek t ü rl ü olarak tayin edilebilece ğinin, postule edilmesinin bir sonucu olarak ortaya ç kan ö zelliklerin bir zenginli ği bulunur. Not : Hilbert ’ in postulatlar , y llarca tekrar tekrar g ö zden ge ç irilmi ş tir v e Grundlagen der Geometrie ’ de Hilbert, üç boyutlu geometri i ç in baz aksiyomlar dahil etmi ş tir. Bu y ü zden p ostulatlar n n say s , de ği ş ebilir. Kesim 2.4 t e takdim edilen aksiyom k ü mesi, 16 postulat ih tiva etmektedir. Birkhoff ’ un postulat k ü mesinde mesela arada olmal k kavram n dan hi ç s ö z edilme m i ş tir. Buna ra ğmen arada olma ba ğ nt s hakk nda ki gerekli b ü t ü n sonu ç lar, Birkhoff ’ un arada y a ş a ğ daki gibi tan mlam ş olmas ndan dolay kolayca ç karlar. Tan m 2. 5. 1. A, B, C, noktalar olsun. B nin, A ile C aras nda ol mas ve A – B – C yaz lm a s i ç in gerek ve yeter ş art, d(A,B) + d(B,C) = d(A,C) olmas d r . A rada olmal k hakk nda gerekli b ü t ü n sonu ç lar, bu tan m ve reel say lara u ygulanan cisim ö zelliklerinden hemen ç kar. Şü phesiz bu modeli , Euclid ’ in geometrisine tamamlamak i ç in ihtiya ç duyulan g ü c ü , cisim ö zellikleri vermektedir. 101 Postulat I, genellikle lineer-do ğrusal ö l çü n ü n postulat veya cetvel postulat olarak ele a l n r. Çü nk ü ö l çü leri (veya uzunluklar ) her bir do ğru par ç as na ba ğlamaya izin vermektedir. Bu postulat n bir sonucu, her do ğrunun bir say do ğrusu gibi d üşü n ü lebilece ği dir. Do ğru par ç alar n n e ş li ğinin tart ş mas nda gerekli olan fikirler, bu postulattan gelir. Benzer ş ekilde a ç lara ö l çü ler tahsis etmenin bir yolunu temin etti ğinden. Postulat III, iletki (a ç ö l ç er) postulat olarak biline gelmi ş tir. Bu taktirde bu iki postulat, bize e ş lik kavram n tan mlamaya ve tamamen geli ş tirme ğe izin verir. Hilbert ’ in e ş lik- kongr ü ans terimini tan ms z b rakt ğ n ve Aksiyomlar (III-1)-(III-5) i kullanarak ona anlam verdi ği hat rlanabilir. Postulat IV , geometrik ş ekillerin benzerlik kavram i ç in olan n ayn s n yapar. G eometriyi Euclidyen tabia tl yapacak olan bir aksiyom (yani Euclidyen paralellik ö zelli ği ), g ö r ü n üş e g ö re bu aksiyom k ü mesinden yok edilmi ş tir. Birkhoff, paralellik fikrini ifade eden bir aksiyomu (a ç k olarak) dahil etmez. Bunun yerine Euclid ’ in paralellik post ulat n bir teorem olarak elde etmek i ç in bir temel i bu d ö rt aksiyomun i ç inde sa ğlar. Birkhoff ’ un bu teoreme ait ispat , a ş a ğ daki tarzda s ü rd ü r ü l ü r ( Ş ekil 2.5.1 e bak n z ): Teorem 2. 5. 1. E ğer iki d ü z ç izgi (do ğru) ü zerine d üş en bir d ü z ç izgi (do ğru), ayn tarafta iki di k a ç dan k üçü k i ç a ç lar olu ş turur ve bu durum, di ğer ü zerlerine d üş en do ğrularla bu ş ekilde devaml olarak ü retilirse bu iki d ü z ç izgi (do ğru), bu a ç lar n iki dik a ç dan k üçü k o ldu ğu tarafta kesi ş ir ler . İ spat. A n n, l do ğrusu ü zerinde olmayan bir nokta ve B nin, A dan l ye ç izilen bir dikmenin aya ğ oldu ğunu farz edelim. ? BAC bir dar a ç olacak ş ekildeki herhangi bir nokta, C olsun. Bu taktirde AB suur nin C taraf ndaki i ç a ç lar n toplam n n iki dik a ç dan k üçü k yani m ? CAD + m ? ABE < 180° 102oldu ğu a ç kt r. Euclid ’ in be ş inci postulat n ispat etmek i ç in AC suur nin, AB suur nin C taraf nda l yi kesti ğini g ö stermeliyiz. Ş ekil 2.5.1 Bunu ba ş armak i ç in CD yi, Ş ekil 2.5.1 de g ö sterildi ği gibi AB suur ye dik in ş a edelim. Bundan sonra AD : DC = AB : BE oran ge ç erli olaca ğ ş ekilde l nin ü zerine E yi yerle ş tirelim. AE suur do ğrusunu in ş a edelim. B ö ylece elde etmi ş oldu ğumuz ş ey, ADC ? ABE olacak bi ç imde üç genler i ç in KAK benzerlik ş art d r (yani Postulat IV ). Sonu ç olarak m ? BAE = m ? DAC dir. İ letki postulat , bize AB suur nin C taraf nda bunu yapacak olan sadece bir ş n n va r oldu ğunu garanti eder. Bundan dolay AC suur , AE suur ile ç ak ş mas gerekece ğinden ayn zamanda AC suur , l do ğrusunu E de keser. Bu teorem, üç gen benzerli ği hakk ndaki postulat n (Postul at IV) , Euclid ’ in paralellik postulat n tesis etmek i ç in kullan labilece ğini g ö ster m e ktedir. Buradan benzerli ği bu tarzda pos tule eden herhangi bir geometrinin, Euclidyen tabiatl ol m a s gerekti ği sonucu elde edilmi ş olur. Bu durumda Birkhoff ’ un, Euclid ’ in veya Hilbert ’ in yapm ş oldu ğundan dikkate de ğer ş ekilde farkl olan bir postulat k ü mesini 103 l A C D E Bse ç mesine ra ğ men elde edilecek olan sonu ç lar n n (teoremlerin), Euclid ’ in veya Hilbert ’ inki ile ayn oldu ğunu g ö r ü r ü z. Hilbert, Euclid ’ in daha do ğru ve daha yak n bir tarz olmas na ra ğmen modern bi ç ime daha uygun tabiat ndan dolay Birkhoff ’ un postulat k ü mesi , bir ç ok matematik ç i taraf ndan ç ok daha ç ekici bulunmu ş tur . Ger ç ekten d i ğer konular aras nda n arada olmal k, e ş lik ve benzerlik konular n ifade edebil me kolayl ğ n sa ğlamas , Birkhoff ’ un bu yakla ş m n bir ç ok bak mdan Hilbert ’ inkine pedagojik olarak daha tercih edilebilir yap m ş t r . Ger ç ekten cetvel ve iletki postulatlar , orta ö ğ retim kitaplar n n ç o ğunda standartt rlar. Çü nk ü bu postulatlar, geometr ideki bir ç ok standart konunun kesin fakat kullan ş s z olmayan tart ş mas na izin verirler. Bundan sonraki Kesim ’ de, ba ş ndan sonuna kadar fikirlerin in ç o ğunun Hilbert taraf ndan postule edil m i ş olan Okul Matemati ği Ç al ş ma Gurubu ’ nun (OM Ç G ’ nin ) ö ner di ği bir aksiyom k ü mesini inceleyece ğiz. Bu ak siyom k ü mesi, g ö r ü lece ği ü zere ba ğ ms z de ğildir. Ç ü nk ü aksiyomlar n n baz lar , di ğer aksiyomlar n kullan m ile ispat edilebilir. Buna kar ş l k bu iki aksiyom k ü mesini, yap lmas gerekli olan k üçü k bir matema tiksel ö d ü n ile, birle ş tirmenin avantajlar n n dikkat ç ekecek bi ç imde de ğ erli oldu ğunu hissedece ğiz. ALI Ş TIRMALAR 2. 5 1. I ş n terimi i ç in Birkhoff ’ un postulat k ü mesi ile uyu ş an ge ç erli bir tan m veriniz. 2. Birkhoff, kendi iletki postulat n radyan ö l çü s ü ne g ö re ifade etti. Bu postulat , derece ö l çü s ü n ü kullanarak yeniden ifade ediniz. Bu postulat i ç in radyan ö l çü s ü nden ziyade derece ö l çü s ü n ü kullanman n, herhangi bir avantaj var m d r? A ç klay n z. 3. Do ğru par ç alar n n benzerli ğinin, a ş a ğ daki ş e kilde tan mland ğ n farz edelim: İ ki AB ve CD do ğru par ç as , e ğer d(A,B) = kd(C,D) ol acak ş ekilde bir k sabiti var ise benzerdirler. 104 (a) Bu tan m kullanarak b ü t ü n do ğ ru par ç alar n n benzer olup olmad ğ n a ç klay n z. (b) Hangi ş artlar alt nda benzer do ğru par ç alar n n ç ifti, e ş olur? (c) Varsa hangi k s tlamalar, bu tan mdaki k n n alabilece ği de ğerler i ç in konabilir? 4. Üç genler i ç in benzerli ği t an mlay n z. Genelde ç okgenler i ç in benzerli ği tan mlay n z. 5. Genelde üç genlerin ve ç okgenlerin kongr ü ans n -e ş li ğini tan mlamak i ç in Al ş t rma 2.5-4 teki benzerlik i ç in tan m n z kullan n z. 6. Birkhoff ’ un aksiyomlar n kullanarak a ş a ğ dakileri ispa t ediniz: (a) B ü t ü n dik a ç lar, ö l çü de e ş ittirler. (b) Üç genler i ç in benzerlik, ge ç i ş ken bir ba ğ nt d r. (c) Üç genler i ç in benzerlik, bir denklik ba ğ nt s d r. 7. Birkhoff ’ un aksiyom k ü mesinin ba ğ ms z oldu ğunu d üşü n ü r m ü s ü n ü z? Ni ç in veya ni ç in de ğil? A ç klay n z. 8. Birkhoff ’ un geometrisinin, Hilbert ’ inkine izomorf oldu ğunu d üşü n ü r m ü s ü n ü z? Ni ç in d üşü n ü r veya ni ç in d üşü nmezsiniz? 9. Euclid ’ in be ş inci paralellik postulat n n Birkhoff ’ a ait ispat nda (a) hangi aksiyom, bize AD :DC=AB:BE olacak ş ekilde bir F noktas n n var oldu ğunun garantisini verir? (b) hangi aksiyom, bize ADC ve ABE nin benzer oldu ğunu ç karmak i ç in izin verir? 2. 6 EUCL İ DYEN GEOMET R İ İ Ç İ N OKUL MATEMAT İ Ğ İ Ç ALI Ş MA GURUBU (= OM Ç G) 'NUN POSTULATLARI EDWARD G. BEGLE 1950 lilerin sonu so ğuk sava ş n ortas esnas nda Amerika Birle ş ik Devletleri ’ nin, temel ara ş t rma ile matematik ve fen bilimlerinin e ğitiminde Sovyetler Birli ği ’ nden geri 105kalm ş oldu ğu konusunda bir alg lama vard . 1958 de NSF = National Science Foundation (Milli Bilim Kurumu), orta ö ğretim matematik pro ğram n n bir revizyonunu ba ş latmak i ç in 100.000 dolar temin etti. Bu proje, Okul Matemati ği Ç al ş ma Gurubu = OM Ç G (School Mathematics Study Group) diye adland r lm ş ve ç al ş malar y ö nlendirmek ü zere ABD ’ deki Yale Ü niversitesi ’ nden Edward G.Begle ’ ye sorumluluk verilmi ş tir. OM Ç G, millet ç ap nda 1960 lar n ba ş lar s ras nda test edilen alanlar olan K-12 s n flar (ana okulu, ilk ö ğretim ve lise) i ç in ö rnek ders kitaplar geli ş t irmi ş tir. Teklif edilmi ş olan revizyonlar n bir ç o ğu, kritisizm-ele ş tirinin hedefi oluyorken (mesela Morris Kline, Why Johny Can ’ t Add, New York: Vintage Books l973) geometri i ç in OM Ç G postulat k ü mesi, Amerika ve Kanada ’ da ba ş tan ba ş a ç e ş itli formlarda gen i ş li ğine kullan l r olmu ş ve ol umlu g ö r üş ler alm ş t r. 1978 de ö l ü m ü ne kadar Begle, matematikte ve Yale ile Stanford Ü niversitelerinde aktif kalm ş t r. Son iki Kesim ’ de Euclidyen geometri ye birbirlerinden ç ok farkl olan iki yakla ş mla kar ş la ş m ş t k: ( 1) Hilbert ’ in aksiyomlar , Euclid ’ in Elemanlar ’ nda ki b ü t ü n ö nermeleri (teoremleri) sentetik olarak yani konstraktif-in ş ac bir ş ekilde elde etmek i ç in noktalar, do ğrular ve d ü zlemler hakk nda ihtiya ç duyulan niteleyici karakteristikleri sa ğlarlar. Bu y ü zden bu aksiyom k ü mesi, geometriye sentetik bir yakla ş m ( sentetik geometri ) ad verilme sebebinin temelini olu ş turur. ( 2) Birkhoff ’ un aksiyom k ü mesi , Hilbert ’ inkinin aksine tabiat olarak daha analitik tir. Çü nk ü postulatlar , bu hususta bize hem nokta , do ğru , a ç terimlerini ifade etmek ve hem de bunlarla reel say lar aras nda yer alan birebir tekab ü ller yoluyla ( Postulat I ve III e bak n z) bu terimleri say sal nicelikler l e ili ş kilendirmemize izin verirler. B u iki aksiyom k ü mesi, dikk at ç ekecek derecede Euclid ’ in geometrisini olu ş turan teoremlerinin ö z ü n ü n ayn s n ü retirler. 106 1960 lardan ö nce Euclidyen geometri i ç in ba ş ka bir aksiyom k ü mesi, Amerika Birle ş ik Devletleri ’ ndeki Okul Matemati ği Ç al ş ma Gurubu (OM Ç G) taraf ndan meyda na getirilmi ş tir. Bu gurup, matematik ç iler ve matematik e ğitimcilerinin ç al ş t ğ bir b ü y ü k organizasyonu n bir par ç as olup t emel bilim ve matematik alanlar nda , d ü nya ç ap nda yar ş mak ü zere , baz bak mlardan Amerika Birle ş ik Devletleri ’ nin ba ş ar s z kald ğ n n alg land ğ n bildirmek i ç in kurulmu ş tur. 1950 lerin sonlar nda Sovyetler Birli ği, Birle ş ik Devletler ’ e nispetle teknolojik ü st ü nl ü ğü n ü n i ş aretlerini g ö sterme ğe ba ş lad ğ zaman Kongre (A.B.D. ’ nin Meclisi), Birle ş ik Devletler ’ de matematik ve te mel bilimlerin e ğitimini d ü zeltme gayesine sonuna kadar sa ğlam temelli bir fon ( ö denek) tahsis etmi ş olan Milli Bilim Kurumu ’ nu ( National Science Foundation veya k sa olarak NSF ) olu ş turmu ş tur. Bu kurum a ait pro ğram n tamam n n k üçü k bir k sm , okul matema ti ğinde m ü fredat reformu idi. OM Ç G, ilk ö ğretim okulu ve liseler i ç in bir yeni matematik tan mlama konusu ile y ü k ü ml ü k l nm ş t r. Yeni matemati ğin ç o ğu, pek ba ş ar l olarak ikmal edilmemi ş is e de Euclidyen geometri i ç in ü retti ği aksiyom k ü mesi, g ü n ü m ü ze ka dar b ü t ü n ü yle eksiksiz olarak hayatiyetini s ü rd ü rm üş t ü r ve bundan sonra takip edece k olan B ö l ü m ’ lerde hem Euclidyen hem de Euclidyen-olmayan geometriler i ç in bir baz-temel gibi i ş g ö recektir. Bu Kesim ’ de OM Ç G aksiyomlar ile Hilbert ve Birkhoff ’ un aksiyoml ar aras ndaki ili ş kileri tart ş aca ğ z. OM Ç G ’ nin tan ms z terimleri (Ek D ye bak n z) : 1) Nokta 2) Do ğru 3) D ü zlem OM Ç G ’ nin aksiyomlar (Ek D ye bak n z) : A ş a ğ da belirtid i ği gibi sekiz gurup alt nda toplanm ş lard r: 107 I. Gurup : Konum aksiyomu; Postulat 1. II. Gurup : Uzakl k hakk nda aksiyomlar; Postularlar 2-4. III. Gurup : Uzay ili ş kileri hakk nda aksiyomlar; Postulatlar 5-8. IV. Gurup : Ay rma hakk nda aksiyomlar; Postulatlar 9-10. V. Gurup : A ç sal ö l çü n ü n aksiyomlar ; Postulatlar 11-14 . VI. Gurup : Kongr ü ans ( e ş lik ) aksiyomu; Postul at 15. VII. Gurup : Paralellik aksiyomu; Postulat 16 . VIII. Gurup: Alan ve hac m hakk nda aksiyomlar ; Postulatlar 17-22. OM Ç G aksiyomlar n n a m a c , (m ü mk ü n oldu ğu kadar geni ş li kte) tam ve pedagojik olarak m ü kemmel bir aksiyom k ü mesi sa ğlaman n yan s ra ayn anda geometrinin formal inceleme s ine ba ş layan ö ğ rencilerce kabul edilebilir olmakt . Bu ama ç lar n ikincisini yerine getirmek i ç in OM Ç G yazarlar , aksiyomatik sistemlerin sah ip oldu ğu karakteristiklerden biri olan ba ğ ms zl ğ feda etme ği kararla ş t rm ş t r. Bu karar n al nmas nda esas al nan bir mant k, ba ğ ms z aksiyom k ü melerinin ba ş sonu ç lar n n (teoremlerin) ispatlar ndan ö nce , ç ok say da ö n (ve a ş ikar olarak do ğru olan) t eoremlerin ispat n gerektirmesidir (Hilbert ’ in aksiyomlar n tart ş rken arada olmal k hakk nda verilen ispat hat rlay n z. Hilbert ’ in modeli i ç inde herhangi ö zl ü sonu ç lar n tesis edilebilmelerinden ö nce bu tipten ba ş ka pek ç ok ispatlar vard r). Formal m ant ğ n uygulamas nda iyi bir al ş t rma olmas na ra ğmen Hilbert ’ in modelinde start almak i ç in ihtiya ç duyulan zaman ve ç aba, ö ğrenciye geometri i ç inde yeni bir kavray ş vermez. Sonu ç olarak OM Ç G k ü mesinde dahil edilen aksiyomlar n baz lar , di ğerlerinin ku llan m ile elde edildiklerinden gereksizdirler. Bu, k üçü k bir kusurdur ve bu kusur, OM Ç G aksiyom k ü mesini 108kullanarak ö nemli sonu ç lar ü zerinde hareket etme kolayl ğ na erebilme durumu ile kar ş l kl olarak dengelenir. Yukar da tan mlanan aksiyomlar dan Gurup III (Ek-D ye bak n z) ve Gurup VIII in bir k sm , bu kitapta ele alamayaca ğ m z üç -boyutlu geometrideki (yani uzay geometrisindeki) ili ş kileri belirttiklerinden bizi ilgilendirmeyecektir. Geri kalan di ğer aksiyomlar, Hilbert ve/veya Birkhoff tar af ndan ifade edilen aksiyomlar ile ili ş kilendirilebilirler. Mesela a ş a ğ da Postulat 1 olarak verilen konum aksiyomu , (konum aksiyomlar aras nda) Hilbert ’ in ve (Postulat II olarak) Birkhoff ’ un her ikisi taraf ndan ç ok ayn bir ş ekilde ifade edili r. OM Ç G deki kar ş l ğ , a ş a ğ dad r: Postulat 1. Konum Aksiyomu . Verilen herhangi farkl iki nokta i ç in her ikisini ihtiva eden kesinlikle bir tek do ğru vard r. Bu postulat , bundan ö nceki iki Kesim ’ de verilenlerle kar ş la ş t ral m. Noktalar n varl ğ na dair a ç k bir zikir olmamas na ra ğmen OM Ç G k ü mesi, Birkhoff ’ un aksiyomlar n n yapt ğ n n ç ok ayn tarzda noktalarla do ğrular n varl ğ n garanti eder (Al ş t rma 2.6- 1 e bak n z). Bundan dolay OM Ç G k ü mesi, sadece bir tek konum aksiyomu ihtiva ederken Hilbert ’ in d ö rt ba ğlant -konum aksiyomu, geometriye birle ş tirilmi ş tir. Uzakl k hakk ndaki OM Ç G aksiyomlar , Birkhoff ’ un lineer ö l çü m postulat na dayan r. Bu gurubu i ç ine alan üç postulat, tart ş malar ile birlikte a ş a ğ dad r. Postulat 2. Uzakl k Postulat . Farkl noktalar n her bir ç iftin e bir tek pozitif say kar ş l k gelir (OM Ç G postulat k ü mesinin baz versiyonlar , bu postulat ş ö yle ifade ederler: Farkl noktalar n her bir ç iftine, uzakl k denen bir tek pozitif say kar ş l k gelir). Pos tulat 2 ile ş art ko ş ulan tek olan pozitif say , ç ok a ç k olarak bu noktalar aras ndaki uzakl k t r. Bu ili ş ki, Postulat 3 te daha net hale getirilmi ş tir. 109Postulat 3. Cetvel Postulat . Bir do ğrunun noktalar , reel say lar ile birebir bir tekab ü l i ç ine a ş a ğ daki ş ekilde kon abilir: (i) her noktaya, kesinlikle bir reel say kar ş l k gelir; (ii) her reel say ya, do ğrunun kesinlikle bir noktas kar ş l k gelir; (iii) iki nokta aras ndaki uzakl k, bu noktalara kar ş l k gelen say lar fark n n mutlak de ğeridir. Bu postulat, ger ç ekten Birkhoff ’ un lineer ö l çü m postulat n n bir yeniden ifadesidir. (i) ve (ii) maddeleri, birebir tekab ü l ü tesis eder ve (iii) maddesi, Birkhoff ’ un maksad ile uyu ş an uzakl ğ belirlemenin bir yolunu sa ğlar. Reel say lar cisim ö zelliklerini herhangi A ve B noktalar n n koordinatlar na uygulayarak d(A,B) nin, ger ç ekten tek oldu ğunu g ö sterebiliriz; dolay s yla OM Ç G Postulat 2 , Postulat 3 kullan larak ispat edilebilir. An cak bu ispat, tabiat olarak geometrik olmayabilir. Bu da, Postulat 2 nin OM Ç G k ü mesine dahil edilmesinin ç ok muhtemel olma sebebini te ş kil etmektedir. Bunun gibi a ş a ğ da ifade edilecek olan Postulat 4 te, di ğer aksiyomlardan ba ğ ms z de ğildir. Cetv el postulat n n ba ş kabir sonucu, Ar ş imedyen prensibi dir (Hilbert Aksiyomu V-1 e bak n z . Buna Ar ş imet ö zelli ği de denir ). Bu ö zellik (veya e ş de ğerlerinden biri), reel say lar i ç in postule edilmesi gerekti ğinden cetvel postulat ndan “serbest”tir. Postulat 4. Cetvel Yapma Postulat . Bir do ğrunun verilen iki P ve Q noktalar i ç in koordinat sistemi (yani bu do ğrunun noktalar ile reel say lar aras ndaki birebir tekab ü l), P nin koordinat s f r ve Q nun koordinat pozitif bir say olacak bi ç imd e se ç ilebilir. Postulat 4, bir do ğrunun keyfi olarak se ç ilen herhangi bir noktas nda s f r n ve se ç ime g ö re pozitif say lar ile negatif say lar yerle ş tirerek bir say do ğrusu yap labilece ği anlam ndad r. Bu durum, 110ç o ğunlukla B ö l ü m 5 te tart ş ld ğ gibi analitik ispatlarda bir d ü zlemi koordinatla ş t raca ğ m z zaman uygundur. OM Ç G nin Uzay ili ş kileri hakk ndaki (Ek D de s ralananlar) aksiyomlar Postulatlar 5-8 , ö nemli iseler de üç -boyutlu geometri ile ilgili olduklar ndan burada ilgi alan m z i ç inde de ğille rdir. Bu y ü zden tart ş mam z ay rma hakk ndaki aksiyomlarla s ü rd ü rece ğiz. Postulat 9. D ü zlemi Ay rma Postulat . Verilen bir l do ğrusu ve l yi ihtiva eden bir d ü zlem i ç in l nin ü zerinde bulunmayan bu d ü zlemin noktalar , a ş a ğ da belirtildi ği ş ekilde iki k ü me olu ş tururlar: (i) Bu k ü melerin her biri , konvekstir ( konveks k ü me teriminin uygun bir t an m i ç in bu Kesim ’ in sonundaki Al ş t rma 2.6-4 e bak n z ) . (ii) E ğer P noktas , bu k ü melerin birinde ve Q noktas , di ğerinde ise PQ ile l kesi ş ir yani PQ ? l ? ? dir. Postulat 10. Uzay Ay rma Postulat . Verilen bir ? d ü zleminde bulunmayan uzay n noktalar , a ş a ğ da belirtildi ği ş ekilde iki k ü me olu ş turular: (i) Bu k ü melerin h er bir i , konvekstir. (ii) E ğer P noktas , bu k ü me lerden birinde ve Q noktas , di ğerinde ise PQ ? ? ? ? dir. Ay rma postulatlar , noktalar i ç in (do ğruda ş noktalar i ç in belli birinin veya d ü zlemde ş noktalar i ç in belli bir do ğrunun) ayn bir tarafta veya ters araflarda olma ba ğ nt s ile ilgilidirler. Postulat 10 , üç -boyutlu geometriye uyguland ğ ndan m ü teakip tart ş mada ele al nmayacakt r ancak Postulat 9 , B ö l ü m 3 te t ü retilecek birka ç sonuc un esas n olu ş turur . D ü zlemi Ay rma Postulat , Hilbert 111modelinde Pasch aksiyomunun ( Aksiyom II-4 ) oynad ğ rol ü n ayn s n OM Ç G k ü mesinde oynar. Bu postulat, noktalar n verilen bir do ğruya g ö re ayn veya ters tarafta o lup olmad klar n belirtmemize imkan verir. B ö l ü m 3 te Postulat 9 u kullanarak iyi bilinen s ü rg ü teoremi (Teorem 3.2.6) dahil di ğer birka ç ö nemli teoreme sebebiyet verecek olan Pasch aksiyomunu, bir teorem olarak ispat edebiliriz. Pasch aksiyomunu ispat e tmek , paradoksal gibi g ö r ü nebiliyor ise de aksiyomlar ile teoremler aras ndaki fark, en geni ş derecede ne kabul etti ğinizin bir sonucudur. OM Ç G yazarlar , d ü zlemi ay rman n Pasch aksiyomundan daha k ö kten bir fikir oldu ğunu d üşü nm üş lerdir. Bununla birlikte bunlardan b irini postule etme, di ğerini ispat etme iznini verir. Postulatlar n bundan sonraki gurubu, a ç lar n ö l çü s ü ile ilgilidir. Postulat 11. A ç Ö l çü m Postulat . Her ? ABC a ç s na (bu a ç n n ö l çü s ü ad verilen) , 0 ile 180 aras nda bir tek reel say kar ş l k gelir. Postulat 12. A ç İ n ş a Postulat . uuur AB , H yar -d ü zleminin kenar ü zerinde ki bir ş n olsun. 0 ile 180 aras ndaki her r reel say s ve H deki bir P noktas i ç in m ? PAB = r olacak ş ekilde , kesinlikle bir tek uuur AP ş n vard r. Postulat 13. A ç Toplama Postulat . D, ? ABC a ç s n n i ç inde bir nokta ise m ? ABD + m ? DBC = m ? ABC dir. Postulat 14. B ü t ü nleme Postulat . E ğer iki a ç , bir lineer ç ift olu ş turu yo r larsa bu a ç lar, b ü t ü nler a ç lard r . Postulat 11 ve 12 birlikte, Birkhoff ’ un a ç ö l çü m postulat n n kar ş l ğ n olu ş t ururlar. OM Ç G ile Birkhoff ’ un yakla ş mlar aras ndaki fark, a ç kt r. Çü nk ü Birkhoff, a ç ö l çü s ü ne 0 ? 2 (veya 0° ? 360°) aral ğ nda izin verirken OM Ç G takdimi, a ç ö l çü s ü n ü 0 ? (veya 0° ile 18 0° ) ara l ğ na k s tlar. OM Ç G yakla ş m , son zamanlarda daha standart olmu ş tur. Zira bu k s tlama ile her a ç n n i ç i, noktalar n bir konveks k ü mesi olur (Al ş t rma 2.6-4 e bak n z). 112 Postulat 13 , di ğer postulatlar kullan larak ispat edilebilir fakat bu ifade sezgisel olarak a ç kt r ve ispat a ç k olmad ğ ndan uygunluk i ç in postule edilmi ş tir. Benzer ş ekilde neredeyse bir tan m olan Postulat 14 te, a ç k olan bir sonucun ihtiya ç duyulan s k c bir ispat n elimine etmek i ç in dahil edilmi ş tir. E ş l ik aksiyomu ( Aksiyom 15 ), üç genler i ç in standart KAK (Kenar A ç Kenar) e ş lik ş art d r. Postulat 15. Üç genler İ ç in KAK E ş lik Ş art . İ ki üç gen aras nda (veya bir üç gen ile kendisi aras nda) bir tekab ü l verilsin. E ğer birinci üç genin iki kenar ve bu kenar lar n dahil ettikleri a ç , ikinci üç genin kar ş l k gelen par ç alar na e ş ise bu tekab ü l, bir kongr ü ans- e ş liktir (yani bu üç genler , e ş tir) . Not: İ ki üç gen aras nda bir tekab ü l ile bu iki üç genin noktalar aras ndaki bir bi re bir e ş leme kasdedil ir . Bu e ş leme, yayg n olarak üç genl erin k öş eleri, kenarlar ve a ç lar aras nda veya sadece k öş eleri aras nda yap larak belirtilir. Bu ifadenin mutlaka gerekli olandan daha fazlas n sa ğlad ğ n , Hilbert ’ in buna kar ş l k gelen Post lat III-5 in tart ş mas ndan hat rlayabilirsiniz (Al ş t rma 2.4-16 ya bak n z) fakat OM Ç G yazarlar , bir kere daha ba ğ ms zl ktan ç ok uygunlu ğu se ç mi ş lerdir. Ş imdiye kadar s ralam ş oldu ğumuz bu 15 postulat, n ö tral geometri olarak bilinme sebe binin temelini olu ş tururlar (B ö l ü m 3 e bak n z). Buraya kadar paralellik hakk nda herhangi bir ş ey postule edilmedi ğinden Postulatlar 1-15 , Euclidyen ve hiperbolik geometrilerin her ikisinin geli ş mesinde kullan labilirler. B ö l ü m 3 te bu postulatlar n imala r n ( gerektirdiklerini ), ayr nt l olarak ara ş t racak ve bunlardan ç kar lan teoremlerin bir koleksiyonunu ispat edece ğiz. OM Ç G paralellik postulat , Playfair postulat n n bir formudur. 113Postulat 16. Paralellik Postulat . Verilen bir do ğrunun d ş n da , verilen bir noktadan ge ç en ve b u do ğruya paralel olan en fazla bir do ğru vard r. Bu, ö nceden zikredildi ği ü zere Euclidyen geometriyi karakterize eden postulatt r. B ö l ü m 4 te sadece bu ifade (veya buna e ş de ğer olanlardan biri), kabul edilmi ş se do ğru olan bir ç ok geometrik ifadeleri ara ş t raca ğ z. Alan ve hac m hakk ndaki postulatlar n ( Postulatlar 17-22 ) hi ç biri, Euclidyen veya Euclidyen-olmayan geometrilerin geli ş mesi i ç in mutlak olarak gerekli de ğildir. Bu nicelikler hakk ndaki sonu ç la r, say sal-olmayan olarak Euclid ve Hilbert ’ in her ikisi taraf ndan bildirilmi ş tir. Bununla birlikte alan ve hacim ö l çü mlerinin tart ş mas n kolayla ş t r p ç abukla ş t raca ğ ndan bunlar , B ö l ü m 4 te kullanaca ğ z. Postulat 17. Her ç okgensel b ö lgeye, (bu ç o kgensel b ö lgenin alan ad verilen) bir tek pozitif say kar ş l k gelir. Postulat 18 . İ ki üç gen, kongr ü ent ise bu üç genlerin belirledi ği üç gensel b ö lgeler, ayn alana sahiptir . Postulat 19. R b ö lgesinin, iki R 1 ve R 2 b ö lgelerinin birle ş imi oldu ğun u farz edelim. Ayr ca R 1 ve R 2 nin, sonlu say da do ğru par ç alar ve noktalarda kesi ş tiklerini kabul edelim. Bu taktirde R nin alan , R 1 ve R 2 nin alanlar toplam d r. Postulat 20. Bir dikd ö rtgen sel b ö lgenin alan , bir k öş esinden ç kan kenarlar n (veya taban n n v e y ü ksekli ğ inin ) uzunlu klar ç arp m na e ş ittir. Postulat 21. Bir dikd ö rtgensel paralel y ü zl ü n ü n hacm , y ü ksekli ğinin uzunlu ğu ile taban alan n n ç arp m na e ş ittir. Postulat 22 . Cavalieri Prensibi . İ ki kat cisim ve bir d ü zlem verilsin . E ğer bu kat cisimleri kesen ve verilen d ü zleme paralel olan her 114d ü zlem i ç in olu ş an her iki kesi ş im, ayn alana sahip b ö lgeleri belirtir ise bu iki kat cisim, ayn hacme sahiptir. B ö ylece OM Ç G postulatlar n n listesi tamamlanm ş olur. Bu durumda bizi Euclid ’ den bug ü ne yani Euclidyen geometriye ge ç iren teoremlerin ayn bir k ü mesini belirtmek ve elde etmek i ç in d ö rt postu lat k ü mesini g ö rm üş bulunuyoruz: 1. Euclid ’ in Elemanlar ' . 2000 den fazla zamandan beri geometri olarak bilinen disiplini tan mlam ş olan ilk fakat noksan ve kusurlu a ç klama. Hilbert ’ in Grundlagen Der Geometrie ( Geometrinin 2. Temelleri) . Ç a ğda ş standartlar alt nda kabul edilebilir bir aks iyom k ü mesini kullanan ve Euclid ’ in ruhuna uygun olan Euclidyen geometrinin modern bir i ş leyi ş i (1899). 3. Birkhoff ’ un A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protract or) - D ü zlem Geometrisi İ ç in Bir Postulat K ü mesi (Cetvel ve Pergele Dayal ). Esasen ö l çü ye dayanan bir farkl yakla ş m kullanarak Euclidyen geometriyi sa ğlam temelli bir baza oturtan ikinci modern giri ş im. 4. School Mathematics Study Group ’ s Geometry (Okul Matemat i ği Ç al ş ma Gurubu veya k salt lm ş ş ekli ile OM Ç G nin Geometrisi ) . Euclidyen geometrinin etkili bir geli ş imine izin ver ecek ş ekilde Hilbert ve Birkhoff ' dan ö zellikleri (ba ğ ms zl ğ feda e derek) birle ş tiren pedagojik olarak y ö nlendirilmi ş bir postulat k ü mesi. Euclidyen geometri i ç in di ğer ba ş ka aksiyom k ü meleri, y llardan beridir sunula gelmekte dir fakat burada s rala d klar m z , muhtemelen en tarihi ö nemde olanlar d r. B ö l ü m 5, Kesim 5-7 de bir ba ş ka birini daha takdim edece ğiz. Geometri i ç in tabiat olarak farkl di ğer ba ş ka aksiyom k ü meleri de m ü mk ü nd ü r. Bunlar n baz lar , Euclidyen- 115olmayan geo metrileri tan mlar. İ kisini, bundan sonraki Kesim ’ de k sa olarak ve daha sonra B ö l ü m 6 da ayr nt l olarak tart ş aca ğ z. ALI Ş TIRMALAR 2. 6 1. Euclidyen geometri i ç in Hilbert ’ in aksiyom k ü mesi, do ğruda ş olmayan en az üç noktan n varl ğ n garantileyen bir aksiyom dahil etmektedir. OM Ç G aksiyomlar , b ö ylesi bir aksiyomu en az ndan do ğrudan olarak ihtiva etmezler. OM Ç G aksiyomlar ndan hangisinin, geometrinin bo ş -anlams z olmad ğ n garanti etti ğini a ç klay n z. 2. OM Ç G Postulat 2 nin, Postulat 3 ten na s l t ü retilece ğini a ç klay n z. 3. OM Ç G Postulat 4 ü n, di ğer OM Ç G Postulatlar’ ndan nas l ç kar labildi ğini belirten bir ispat n tasla ğ n yap n z. 4. Noktalar n bir S k ü mesine, e ğer A ? S, B ? S nin AB ? S yi ima etti ği daima do ğru ise konveks tir (d ş b ü keydir) denir. E ğer a ç ö l çü leri, 0° ve 180° aras ndaki de ğerlere k s tlan r ise her a ç n n i ç i konveks midir? E ğer Birkhoff ’ un yapt ğ gibi a ç ö l çü lerini, 0° ve 360° a ras nda alma ğa izin verirsek her a ç n n i ç i, konveks midir? Ni ç in konvekstir veya ni ç in konveks de ğil de ğil? A ç klay n z. 5. Birkhoff ’ un aksiyomlar n n hangisi, OM Ç G Postulat 15 i ima eder? A ç klay n z. 6. Kom ş u a ç lar terimi ne demektir? A ş a ğ daki ifad eyi tamamlay n z: İ ki a ç n n kom ş u olmas i ç in gerek ve yeter ş art, ... olmas d r. (E ş de ğer olarak iki a ç kom ş udur yaln z ve yaln z … ise) . 7. OM Ç G Postulat 14 ü , yeniden okuyunuz: Lineer ç ift s ö z ü nden ne kastediyorsunuz? A ç lara g ö re b ü t ü nler terimini nas l tan mlayabilir siniz? E ğer kom ş u a ç lar n bir ç ifti, bir lineer ç ift olu ş turur ise birle ş imleri bir a ç m d r? Ni ç in veya ni ç in de ğil? A ç klay n z. 1168. OM Ç G Postulatlar’ n yeniden okuyunuz ve her b irini Hilbertyen, Birkhoffyan veya her ikisi yahut hi ç biri olarak s n fland r n z. 9. K ü t ü phanede geometrinin temellerini tart ş an bir ders kitab bulunuz. İ fade edilen-var say lan aksiyomlar n bir listesini yap n z. (a) Her bir aksiyomu, Hilbert yen, Birkhoffyan, her ikisi veya hi ç biri olarak s n fland r n z. (b) Bu aksiyom setiniz tam m d r? Tutarl m d r? Ba ğ ms z m d r? (c) Bu B ö l ü m ’ de ş imdiye kadar tart ş lanlardan esas olarak farkl olan herhangi aksiyomlar var m d r? Varsa, on lar s ralay n z ve sebebini a ç klay n z (d) Hilbert ’ in aksiyomlar n kullanarak ispat edilemeyen herhangi teoremleri (bu kitaptan aksiyomlar kullanarak) ispat edilebileceklerini d üşü n ü r m ü s ü n ü z? Birkhoff ’ un ve OM Ç G ’ nin aksiyomlar i ç in ayn soru. N i ç in d üş ü n ü r veya ni ç in d üşü nmezsiniz? A ç klay n z. 10. B ö l ü m 1 de konum geometrisi teriminden ne kastedildi ğini tart ş m ş t k. OM Ç G modeli, bir konum geometrisi midir? Hilbert ’ in modeli bir konum geometrisi midir? Konum geometrisi i ç in ö nceden ispat edil en sonu ç lar, OM Ç G modeline uygulan r m ? Ni ç in uygulan r veya ni ç in uygulanmaz? A ç klay n z. 11. A ş a ğ daki ifadeyi g ö z ö n ü ne al n z: Bir do ğru, ABC nin A k öş esini ve ABC nin i ç indeki bir noktay ihtiva ederse B ve C nok talar aras ndaki bir noktay ihtiva eder. (a) ABC nin i ç inde olan noktalar nas l tan mlayabilir misiniz? (b) Bu ifadenin, Euclidyen geometrisinde do ğru oldu ğunu d üşü n ü r m ü s ü n ü z? (c) Bu ifadenin, OM Ç G aksiyomlar n kullanar ak ispat edilebilece ğini d üş ü n ü r m ü s ü n ü z? D üş ü n ü yorsan z OM Ç G ’ nin hangi aksiyomlar , ispat tamamlamak i ç in gereklidir? 2. 7 EUCL İ DYEN-OLMAYAN GEOMETR İ LER 117NICOLAI LOBACHEVSKI (1793-1856) Euclidyen- olmayan geometrilerin geli ş imini ç a ğr ş t ran bir ç ok m atematik ç i aras nda konumu, bu konunun tam bir geli ş imini-metnini ilk yay mlayan olarak g ö z ü k ü r. Bununla birlikte Gauss ’ un da ayn sonu ç lar yay mlamaks z n daha ö nce ke ş fetmi ş oldu ğu ç ok muhtemeldir. Dahi bir ç ocuktu ve 21 ya ş nda Rusya ’ daki Kazan Ü nivers itesi ’ nde matematik profes ö r ü oldu. 1826 da Euclidyen paralellik postulat ile ç eli ş en tutarl geometrilerin ihtimaliyat -olas l ğ ü zerine ders verme ğe ba ş lad . 1829 da Ü ber die Principien der Geometrie ç al ş mas n yay mlama ğa ba ş lad . Daha sonra bunu Geo metrische Untersuchunken zur Theorie der Paralellien (1840) takip etti. Bir do ğruya d ş ndaki bir noktadan ç ok paralelin ç izilebilece ğini kabul etmenin sonu ç lar n , ayr nt l olarak inceledi. Bu sezgisel- olmayan kabul, beklenmeyen bir ç ok sonu ç lara yol ver di fakat bu sonu ç lar n geometrinin b ü t ü n postulatlar ile uyu ş mu ş olduklar n ortaya koydu. Katk lar ndan dolay sayg gere ği bu geometri,“Lobachevskian geometri” diye adland r lm ş t r. 2. 7. 1 Hiperbolik Geometri Hilbert ve Birkhoff ’ un ç al ş malar , Euclid ’ in kitab Elemanlar ’ daki eksiklikleri gidermi ş tir. Bununla birlikte bu ç al ş malar, 2000 y l a ş k n zamandan beri geometricilere s k nt vermi ş olan ba ş ka bir meseleyi ele almam t r: Tart ş mal olan be ş inci postulat hakk nda ne yap lmal d r ? Geome trinin geli ş imini daha sa ğlam temel ü zerine yerle ş tirmek i ç in sarfedilen ç abalar, 1800 ler esnas nda ba ş lam ş olmas na ra ğmen (bu zamandan ö nce bir iki matematik ç i, Elemanlar ’ n kusursuzlu ğunu sorgulamaya c ü ret etmi ş tir) ilk matematik ç ilerin b ü y ü k bir k sm , paralellik postulat meselesinin çö z ü lmesine te ş ebb ü s etmi ş lerdir. Ger ç ekten muhtemeldir ki Euclid ’ in bizzat kendisi, bunlar aras nda bu mesele ile ilk ilgilenmi ş oland r. Çü nk ü paralellik hakk ndaki baz teoremleri ispar etmek ü zere bu postulat kulla nmay tercih etmesi, bu postulat ilk kulland ğ Ö nerme 29 a kadar hi ç olmam ş t r. Ö nerme 16 , Euclid ’ in paralellik postulat n n kullan m na kar ş olma ğa meyletmi ş oldu ğunun ileri bir delilini verir. Bu ö nermenin ifadesi, a ş a ğ dad r: Ö nerme 16 (Eucli d). Bir üç genin bir d ş a ç s n n ö l çü s ü , 118 kendisine kom ş u olmayan iki i ç a ç n n ö l çü lerin in her birinden daha b ü y ü kt ü r. Bu ö nerme , bir üç genin her bir d ş a ç s n n, kendisine kom ş u olmayan i ç a ç lar n ö l çü leri toplam na e ş it bir ö l çü ye sahip olmas n n bir Euclidyen ö zellik olmas ndan dolay şü phesiz bu haliyle daha ö zel bir bi ç imde ifade edilebilir. Daha g üç l ü olan bu ifade, 3. ve 4. B ö l ü m ’ ler de g ö rece ğimiz gibi be ş inci postulat yani paralellik postulat n n bir sonucudur. Bund an dolay Euclid, kendi postulat k ü mesinde zay f ba ğ-halka olarak farz etmi ş olmas gerekti ğinin aceleye getirilmi ş bir takdiminden ç ok i ş i, bu ö nermenin daha kuvvetli bir versiyonuna tehir etmeyi arzuluyormu ş g ö r ü n ü m ü n ü vermektedir. Euclid ’ in vermi ş oldu ğu be ş postulat aras nda ger ç ekten di ğerlerinden ö z olarak farkl duran iki postulat vard r: Postulat 2 ve Postulat 5. Bu postulatlar n her ikisi, do ğrular n s ü rekli olarak veya belirsiz olarak uzay p gittikleri ş eklindeki davran ş lar n hayal etmem izi gerektirir ler . Postulat 2 , sadece bu uzaman n m ü mk ü n oldu ğunu postule etti ğinden, daha az ihtilafl d r. Fakat Postulat 5 , karma ş kl ğ ndan dolay ba ş ndan beridir ş ü phe uyand rm ş t r ( çü nk ü paralelli k , farkl l k arzeden ç ok ç e ş itli ş ekillerde yorumlan m aktad r). Postulat 5 in ifadesi, bir aksiyomdan ç ok bir teorem tabiat na sahiptir. Sonu ç olarak ç ok say da matematik ç i, di ğer d ö rt postulat n temeli ü zerinde, Postulat 5 i ispat etme konusunun tela ş na tutulmu ş lard r. Bu y ö nde belki ilk ö nemli ç al ş ma , Girolamo Saccheri ad nda bir İ talyan papaz taraf ndan 1733 te yay mlanan Euclides ab Omni Naevo Vindicatus ( B ü t ü n Noksanl klar ndan-Kusurlar ndan Ar nm ş Euclid ) kitab d r. Saccheri, Postulat 5 i inkar etmenin (yok sayman n) mant ksal sonu ç lar n izl eyerek kendisini Euclid ’ in geometrisini ge ç erli k l nmas na ba ğ lad . Euclid taraf ndan ifade edildi ği ş ekli ile paralellik postulat n n, her bir do ğruya d ş ndaki herhangi bir noktadan ge ç en bir tek paralelin var oldu ğunu ima etti ğini biliyordu. Postulat 5 i inkar etmek , bir do ğruya d ş ndaki bir noktadan ge ç en ya herhangi bir paralel yoktur veya ç ok paralel vard r ihtimal lerden birini kabul etmek anlam na gelmektedir . Bu ihtimaller de n birincisi , kendi paralellik 119postulat n kullanmaks z n Euclid ’ in tesis etti ği Ö nerme 27 ile ç eli ş ti ğinden Saccheri, bu olas l ğ kolayca ç kar p atabilmi ş tir: Ö nerme 27 (Euclid). İ ki do ğru, bir kesenle i ç ters a ç lar n kongr ü ent-e ş olaca ğ ş ekilde kesilirise bu do ğrular, paraleldir (Bu ö nermeye, ç o ğunlukla İ ç Ters A ç Teoremi ad verilir). Bu teoremi kullanarak bir do ğruya, d ş ndaki herhangi bir noktadan ge ç en bir paralel ç izebiliriz. İ kinci ihtimal , kald rmas kolay bir durum de ğildi ve Euclid ’ in Vindicatus ’ u nun (yukarda ad ge ç en kitab ) ç o ğu, ç ok paralel vard r ile ilgili hipotezinden ü retilen teoremler hakk ndad r. Bu hipotez, hiperbolik paralellik postulat olarak biline gelmi ş tir: Hiperbolik Paralellik Postulat . Bir P noktas ndan ge ç en ve bir l do ğrusuna paralel olan en az iki farkl do ğru olacak ş ekilde bir l do ğrusu ile bir P noktas vard r. Saccheri ’ nin plan , hiperbolik paralellik postulat n n di ğer Euclidyen postulatlar da n birine (veya daha fazlas na) bir ç eli ş ki do ğurdu ğunu g ö stermekti. Bu, hiperbolik postulat n kabul ed en bir geometrinin Euclid taraf ndan verilen ilk 28 adet ö nerme (teorem) ile uyu ş mad ğ ( tutarl olmad ğ ) anlam na gelebilir. Saccheri, de ği ş tirilen postulat k ü mesine ve bundan baz ö nemli teoremlerin ç kar lmas na ded ü ksiyonu ( ç karsamay ) uygulamak i ç in dikkate de ğer bir yetene ği g ö sterdi. B ö l ü m 3 te ç ok ö nemli olan Saccheri-Legendre Teoremi , ispat edilecektir. Bu teoremde de gayesi, her zaman be ş inci postulat n inkar edilmesinden do ğan bir tutars zl ğ belirlemekti. Saccheri, bu gayeyi dini olarak s ü rd ü rd ü fakat sonu ç lar n n baz lar n n, Euclid ’ in teoremlerinin konusundan ç ok uzak olmas ndan dolay (Saccheri ’ nin kelimeleriyle d ü z bir ç izginin tabiat na muhalif idiler) meydana gelen geometrinin, tutars z olmas gerekti ğini hatal olarak sonu ç land rm ş t r . Saccheri taraf ndan g ö zlenen g ö r ü n üş teki tutars zl k, ger ç ekten tan ms z terimlerin ili ş kileri hakk ndaki ö n yarg da bulundu ğu kavramlar n bir sonucu idi. Saccheri ’ nin hikayesi, sahiden ç ok ü z ü nt ü vericidir. Ç al ş mas n n sonu ç lar n daha objektif olarak de ğerlendirmek istiyor olsayd , Euclidyen-olmayan geometriyi ilk geli ş tirmi ş olan ki ş i 120olabilirdi ki bu da kendisini matematik tarihinde b ü y ü k isimlerin aras nda yer ald rabilen b ü y ü k bir maharet olurdu. Bununla birlikte ortaya ç kt ğ gibi Saccheri, ger ç ekte Euclid ’ in ve be ş inci postulat n bir savunmas oldu ğunu d üşü nerek ç al ş mas n yay mlam ş t r. Ancak ger ç ek, d üş ü nd ü ğü gibi de ğildi. Buna ra ğmen bu ç al ş ma, i ç inde bir as r sonra matematiksel d üşü ncede bir ink laba- devrime g ö t ü recek olan b az farkl radikal -k ö kl ü sonu ç lar g ö m ü l ü olarak bulunduruyordu.. Euclid ’ in be ş inci postulat n reddinin (de ğillerini kabul etmenin) tutarl bir geometri i ç inde var olabilece ğini tan yan ilk matematik ç i, se ç kin Alman matematik ç isi, Karl Friedrich Ga uss olmu ş olabilir. Gauss, takriben on dokuzuncu asr n ba ş lar nda bir bu ç uk as r ö nce Saccheri ’ nin yapt ğ gibi ayn muhakeme ç izgisini izledi. Ç ok paralellik hipotezi ni, Elemanlar ’ n sonu ç lar ile a ç k olarak ç at ş m ş olan mant ksal sonu ç lar n bir varyete sine ( ç e ş itlili ğine ) kadar takip etti. Di ğer taraftan Saccheri ’ nin aksine, elde etti ği sonu ç lar n tutars z olmad klar n ve Euclid ’ inkinden ba ş ka bir geometrinin kendi do ğrusunda ge ç erli olabilece ğini ger ç ekle ş tirmek i ç in gerekli matematiksel sofistikasyon a (ileri incelikli d üşü nce ve davran ş a) sahipti. Ne yaz k ki ö nceki as rlarda Copernicus ( Kopernik ) ve Galileo ( Galile ) ’ nin du ç ar oldu ğu muamele ile g ö sterildi ği gibi o zaman periyodu i ç inde “ fincanc kat rc lar n ü rk ü tmek ” , genellikle tavsiye edi lmiyordu. On dokuzuncu as r Bat’ l filozoflar n n en ü nl ü s ü İ mmanuel Kant, insanl ğ n Euclid ’ inkinden ba ş ka ak llar ndan ge ç en bir geometri idrak etmediklerinden dolay ba ş ka bir geometrinin olamayaca ğ n kuvvetli bir ş ekilde savunmu ş tur. Gauss ’ un Kantia n ( Kant ’ ç ) duru ş un ( bak ş a ç s n n ) g ü c ü taraf ndan etkilenmi ş oldu ğu, ç ok muhtemeldir. Çü nk ü Euclidyen-olmayan geometri alan ndaki ç al ş mas n , yay mlay p halka duyurmak istememi ş tir. K sa bir zaman sonra (1831) Janos Bolyai ad nda gen ç bir Macar matematik ç i, hiperbolik paralellik postulat na dayanan Euclidyen- olmayan bir geometrinin k sa bir a ç klamas n , babas Wolfgang Bolyai taraf ndan bir ç al ş maya ek olarak, yay mlad . Gen ç Bolyai ’ nin 121ç al ş mas , babas taraf ndan Gauss ’ a g ö nderilmi ş ti. Gauss , zaten ayn sonu ç lar ba ğ ms z olarak t ü retmi ş oldu ğunun haberi ile cevap verdi. Bu haber ile gen ç Bolyai, b ü y ü k hayal k r kl ğ ya ş ad ve matematiksel ara ş t rmadan devaml olarak ç ekildi. Dikkat ç ekecek ş ekilde nerede ise ayn zamanlarda (1829) Ru s matematik ç i Nicolai Lobachevski , ayn Euclidyen-olmayan geometrinin ba ğ ms z bir geli ş imini yay mlam ş t r. Ne yaz k ki bu ç al ş ma, Rus ç a olarak yay mland ğ ve Rusya ’ da iyi anla ş lmam ş oldu ğundan ancak minimal d ü zeyde dikkat ç ekmi ş tir. 1840 tan sonra Ga uss, hem Bolyai ve hem de Lobachevski ’ nin ç al ş malar ndan haberdar olmu ş tu ve bu ç al ş malar, kendi sonu ç lar n yans tm ş olmalar na ra ğmen Gauss, yine de Euclidyen-olmayan geometrilerin varl ğ na a ç k destek vermede ba ş ar l olmad . Gauss ’ un teredd ü d ü n ü anlamak i ç in kendisi, J.Bolyai ve Lobachevski ’ nin t ü retmi ş olduklar sonu ç lar n bir fikrine sahip olmak yard mc olabilir. Bu B ö l ü m ’ ü n ba ş nda Euclidyen paralellik postulat n n sonu ç lar n n baz lar ile kar ş la ş m ş t n z. E ğer “ ç ok paralelli postulat ” (yani hiperbolik paralellik postulat ) kullan l r ise sonu ç lardaki fark, ç arp c d r. Mesela (bunlar ö nceden s ralanan Euclidyen sonu ç lar ile kar ş la ş t r n z), Veril en bir do ğruya, ü zerinde olmayan verilen bir 1. noktadan ge ç en sonsuz s ay da paraleller ç izilebilir. 2. İ ç a ç ö l çü lerinin toplam 180° olan üç genler, yoktur. 3. Benzer olan fakat e ş olmayan üç genler, yoktur. 4. Her yerde e ş -uzakl kl olan do ğrular, yoktur. 5. Ç evrele nem eyen ( ç evrel ç emberi olmayan) üç genler, vard r. Üç ge nlerin i ç a ç lar n n ö l çü leri toplam , üç genlere g ö re 6. de ği ş ir. 122Bunlara ek olarak Euclidyen-olmayan geometride ki di ğer baz tuhaf sonu ç lar, a ş a ğ dad r: 7. Dikd ö rtgen ler, yoktur. 8. Bir üç genin alan n n ü st limiti, yoktur. Bir üç genin alan n n b ü y ü kl ü ğü , i ç a ç lar n n ö l çü leri 9. toplam n n k üçü kl ü ğü ne kar ş l kt r. 10. Paralel do ğrular n belli ç iftleri aras ndaki uzakl k, bir do ğrult uda s f ra yakla ş r ve di ğer do ğrultuda sonsuz olur. 11. E ğer iki paralel do ğru, bir kesenle kesilir ise olu ş an i ç ters a ç lar, kongr ü ent olabilir veya olmayabilir. A ç k olarak bu geometri , tuhaf bir g eometridir. Buna ra ğmen bu sonu ç lar, her ne kadar duygusal veriler ile takviye edilmemi ş iseler de bunlar ü reten aksiyomatik sistem i ç inde tutarl d rlar. İ lk sefer i ç in bu ç e ş itten sonu ç lar ile kar ş la ş t ğ zaman halk, genellikle bu sonu ç lar n anlams z o ldu ğu ve i ç inde ya ş ad ğ m z d ü nyada pratik olarak yer edinmedikleri hissine kap l rlar. Gauss ’ un kendisinin, üç da ğ n zirvelerine ö l çü aletleri koydu ğu ve zirveler aras ndaki a ç lar bir üç genin i ç a ç lar gibi ö l ç t ü ğü bir fiziksel deneyi kullanarak bu meseleyi ele almak zorunda kald ğ s ö ylenir. Anlaml olarak ( ö l çü m hatas na dayand r labile cekten daha fazla) 180° den k üçü k bir a ç toplam , fiziksel uzay n ger ç ekten Euclidyen-olmayan tabiatl oldu ğunu g ö sterebilir. Bu ç al ş ma lar n, sonu ç vermedi ğin i s ö ylemek gereksizdir. Buna ra ğmen g ü n ü m ü zde bile bu, bir a ç k soru olarak durmaktad r . Newtonian fizik ( Newton fizi ği), i ç inde ya ş ad ğ m z evrenin Euclidyen oldu ğu hipotezi alt nda t ü retilmi ş tir. Einstein ’ nin relativite teorisi, Euclidyen-olmayan bir tipin varl ğ n kabul eder ve fizikteki as rlar boyu fizik ç i ve matematik ç ilerin s k nt ç ekmi ş olduklar baz 123olaylar a ç klamak ü zere i ş g ö rmektedir. Bu, Euclidyen-olmayan evrende ya ş yoruz anlam na m gelmektedir? Muhtemelen. Fakat b ö yle olsak bile b ü t ü n geometriler, nispeten k üçü k b ö lgeler (yani yer y ü zeyine yak n b ö lgeler) i ç in ç ok benzer sonu ç lar ü retirler. Gauss, J.Bolyai ve Lobachevski taraf ndan geli ş tirilen geometri, genellikle hiperbolik geometri diye adland r l r. Hiperbolik geometri yi a ç klamak i ç in ç ok ç a kullan lan bir model, Poincar é yar m d ü zlemi dir ( Ş ekil 2.7.1). Bu modelin i ç inde tan ms z terimlerden olan hiperbolik nokta , bir Euclidyen yar m d ü zleminde ihtiva edilen nokta gibi yorumlan r. Not. Bir d ü zlemdeki h erhangi bir do ğru, bu d ü zlemi ayr k iki yar m d ü zleme ay r r (OM Ç G, Postulat 9). Bu modeldeki hiperbolik do ğrular , iki ş ekilde g ö z ü k ü rler: Ay rma (s n r) do ğrusuna dik olan bir do ğru ü zerindeki 1) hiperbolik noktalar n herhan gi bir bir k ü mesi, bu modelde bir hiperbolik do ğru olu ş turur ( Şekil 2.7.1 a). Merkezi, ay rma (s n r) do ğrusunun ü zerinde bulunan 2) bir Euclidyen ç emberdeki hiperbolik hiperbolik noktalar n herhangi bir k ü mesi, bir hiperbolik do ğru te ş kil eder ( Şekil 2.7.1 b). Ş ekil 2.7.1 124 (a) (b) Bu yorumlar, tuhaf g ö r ü nmelerine ra ğmen ge ç er lilikleri i ç in sadece hiperbolik geometrinin aksiyomlar n yani n ö tral postulatlar ( OM Ç G Postulatlar 1-15 ) ve hiperbolik paralellik postulat n sa ğlamalar na ihtiya ç vard r. B ö l ü m 6 da Poincar é diski denen bir model olan yar m-d ü zlem modelinin bir de ği ş ikli ği (modifikasyonu) i ç in hiperbolik aksiyomlar n ge ç erlili ğini do ğrulayaca ğ z. Bununla birlikte ş imdilik hiperbolik aksiyomlar n, yar m-d ü zlem modelinde ge ç erli olduklar n kabul edelim. Ş ekil 2.7.2 a, bir l hiperbolik do ğ rusunu ve l ye paralel bir ka ç do ğrunun ge ç ti ği bir P hiperbolik noktas n g ö stermektedir ki bu, karakteristik olarak hiperbolik olan bir fenomendir. Ş ekil 2.7.2 b, hiperbolik bir ABC üç genini g ö sterir. Bu modelde A, B ve C noktalar ndaki a ç lar n ö l çü leri, bu noktalardaki yar m- ç e mberlerin te ğetleri ile olu ş an a ç lar n ö l çü leridir. Bundan dolay bir hiperbolik üç genin i ç a ç lar n n ö l çü leri, g ö r ü n üş e g ö re 180° den azd r ki bu da ba ş ka bir Euclidyen-olmayan ö zelliktir. Yukar daki tart ş ma, informaldir ve hi ç bir ş ey ispatlama z. Bununla birlikte modellerin, b ü t ü n hiperbolik aksiyomlar n ge ç erli olaca ğ ş ekilde meydana getirilebildiklerine bir a ç kl k sa ğlam ş olmas gerekir. Formal bir tart ş ma, 6.B ö l ü m'de verilmi ş tir. Ş ekil 2.7.2 2. 7. 2 Eliptik Geometri 125 (a) (b) C A B l P Hiperbolik geometri terimi, ç ok paralelin var oldu ğu Euclidyen - olmayan geometriye dayan yor iken eliptik geometri terimi, paralellerin varl ğ n n reddedildi ği üçü nc ü bir ihtimale dayan r. Elipt ik paralellik postulat n n bir formu, a ş a ğ dad r: Eliptik Paralellik Postulat . Verilen bir l do ğrusu ve l ü zerinde olmayan herhangi bir P noktas i ç in P den ge ç en ve l ye paralel olan do ğru yoktur. Saccheri bu paralellik alternatifini, paraleller in var oldu ğunu ispat etmek ü zere Euclidyen postulatlar n sadece ilk d ö rd ü n ü (ve baz s ö ylenmeden anla ş lan Euclidyen kabullerin) kullanarak ve m ü mk ü n oldu ğu nu kaydederek ortaya ç kan m ü lahazalardan elimine edebilmi ş tir. Ö zellikle Elemanlar ’ da ispat edilen iki ö nermenin (veya teoremin) ifadeleri ş ö yledir: Ö nerme 12 (Euclid). Bir do ğrunun ü zerinde bulunmayan bir noktadan bu do ğruya bir dikme inilebilir. Ö nerme 27 (Euclid). E ğer iki do ğru, bir kesen ile i ç ters a ç lar e ş olacak ş ekilde kesilirse bu do ğrular, paraleldir. Bu ö nermel e rin ilki, d ş ndaki noktalardan bir do ğruya dikmelerin ç izilebilece ğine izin vermektedir. Bu y ü zden e ğer l do ğrusunu al r ve ona ü zerinde olmayan iki noktadan m, n dikmelerini in ş a eder isek i ç ters a ç lar n e ş oldu ğu (her ikisi de dik a ç d r) bir kesen ile (yani l ile) kesilen iki do ğru (yani m ve n) elde ederiz. Sonu ç olarak ikinci ö nermeden bu do ğrular, paraleldirler. Bundan dolay eliptik postulat n ge ç erli bir alternatif de ğilmi ş gibi bir g ö r ü n ü m , ortaya ç kar. Hem evet, hem hay r. Bu ç eli ş kiyi g ö rmek i ç in noktalar n k ü re y ü zeyinin noktalar ve do ğrular n k ü re y ü zeyi ü zerine ç izilen b ü y ü k ç emberler oldu ğu k ü re y ü zeyi ü zerideki geometriyi d üşü nelim ( Ş ekil 2.7.3 e bak n z ). 126 Ş ekil 2.7.3 E ğer bir do ğru se ç er (mesela ekvator, uygun bir se ç im olur) ve ona iki dik do ğru (iki b ü y ü k ç ember yani iki meridyen) in ş a edersek bu dikmelerin paralel olmad ğ n fakat b ir kesim noktas olarak kuzey kutupta (ve g ü ney kutupta) kesi ş en do ğrular olduklar n g ö r ü r ü z. Bundan dolay 1 den 4 e kadar olan Euclidyen postulatlardan t ü retilen bir ö nermenin ge ç erli olmad ğ bir model elde ederiz. Bu, nas l m ü mk ü n olmaktad r? Ö nceden zikredildi ği gibi ger ç ekten Euclid ’ in postulat k ü mesinde “ itiraz edilebilen ” iki postulat vard . Be ş inci postulat n yan s ra Postulat 2 de (ve buna e ş de ğer ifadeler), sonsuza yakla ş rlarken do ğrular n davran ş n tahayy ü l etmemizi gerektirdikleri nden dolay sorgulanabilir (reddedilebilir). Bu, deneysel olarak asla do ğrulayamayaca ğ m z bir kabuld ü r. Bir k ü re ü zerindeki geometri, do ğrular n n ucu olmamas na ra ğmen do ğrular sonsuza uzatmam za imkan vermez. Tan ms z terim olan “do ğru” kavram m z , el iptik geometride u ç suz fakat s n rl veya sonlu olan do ğrulara izin vermek ü zere de ği ş tiririz. Geometrinin bu alandaki incelemesinin ç o ğu, on dokuzuncu asr n ortalar nda Alman matematik ç isi Bernhard Riemann taraf ndan yap lm ş t r. Eliptik geometrini n bu modelini kullanmay ifade ettirmeye ihtiya ç duyan ba ş ka bir problem, do ğrular n (yani b ü y ü k ç emberlerin) iki noktada kesi ş meleri (yani ekvatora dik herhangi iki do ğrunun kutuplarda kesi ş meleri) keyfiyetinden do ğmaktad r. Bu fenomenden- olgudan ortaya ç kan problemlerin ü stesinden gelinebilir ve bunlar, 127eliptik paralellik postulat kullan larak ispat edilecekleri B ö l ü m 6 da ifade edileceklerdir. Eliptik paralellik postulat n n sonu ç lar n n bir yeniden g ö zden ge ç irili ş i olarak bir üç gende a ç topla m sorunu d üşü n ü lebilir. Bunun i ç in ilk olarak ekvatoru ele alacak ve ü zerinde bir üç gen bina edece ğiz. Bu üç geni, ekvatora her biri b ü y ü k ç emberin bir ç eyre ği olan iki dikme ç izerek in ş a edelim. Bu dikmeler, kutupta 90° lik bir a ç alt nda kesi ş ebilirler. Taban a ç lar n n her biri 90° oldu ğundan bu üç genin a ç toplam , 270° olur ki bu, a ç k olarak Euclidyen ve hiperbolik geometrilerinin sonu ç lar n n aksine bir sonu ç tur. Eliptik geometride ü retilen sonu ç lar, B ö l ü m 6 da tart ş lacakt r fakat bu k sa takdimde n bile üç genlerin a ç toplam cinsinden bu üç farkl geometriyi karakterize edebiliriz: Hiperbolik geometri : üç genlerin a ç toplam < 180° . Euclidyen geometri : üç genlerin a ç toplam = 180° . Eliptik geometri : üç genlerin a ç toplam > 180° . Bu durum, bu üç geometrideki üç gen modellerini bir arada g ö steren Ş ekil 2.7.4 teki konfig ü rasyon ile tasvir edilebilir. Kal n ç izgilerle ç izilen üç gen, Euclidyen üç geni, i ç inde kesik ç izgilerle belirtilen üç gen, hiperbolik üç geni ve d ş nda kal n kesik ç izgilerle belirtilen üç gen, eliptik üç geni temsil etmektedir. Ş e kil 2.7.4 Şü phesiz di ğer b ü y ü k farklar, bu üç geometriyi birbir lerinden ay rt ederler. Onlar , bu geometrileri B ö l ü m 6 da ç ok daha derinlemesine geli ş tirece ğimiz zaman tart ş ş aca ğ z. 128ALI Ş TIRMALAR 2. 7 1. A ş a ğ daki ö zelliklerin her birini hangi geometrilerin (Euclidyen, hiperbolik, eliptik) sergileyebilece ğini d üşü n ü r s ü n ü z? A ç klay n z. (a) Do ğrular n ç iftleri, bir alan ku ş at rlar. (b) Benzer üç genler, kongr ü enttirler. (c) Dikd ö rtgenler vard r. (d) Bir be ş genin i ç a ç lar n n ö l çü leri toplam , 540° dir. (e) B ü t ü n do ğrular, en az bir kere kesi ş irler. (f) Ayn do ğruya paralel do ğrular, birbirlerine paraleldirler. (g) İ ki do ğru, birden fazla ortak dikmeye sahip olamaz. (h) Bir paralkelkenar n a ç lar n n toplam , iki do ğru a ç dan k üçü kt ü r. (i) A, B ve C, bir do ğru ü zerinde noktalar ise biri, di ğer ikisi aras nda olmal d r. (j) Paralel do ğrular aras ndaki uzakl k, bu do ğrular ü zerinde farkl noktalar se ç ersek de ği ş ir. 2. Euclidyen geometride bir üç genin bir d ş a ç s n n ö l çü s ü , uza ğ ndaki (kendisine kom ş u olmayan) i ç a ç lar n ö l çü leri toplam na e ş ittir. (a) Geometrinin ilk ç al ş malar ndan hat rlayaca ğ n z Euclidyen sonu ç lardan bu keyfiyet i ç in bir ispat tasla ğ yap n z. (b) Bu teoremin, hiperbolik geometride do ğru oldu ğunu d üşü n ü r m ü s ü n ü z? Ni ç in veya ni ç in de ğil? A ç klay n z. (c) Bu teoremin, eliptik geometride do ğru oldu ğunu d üşü n ü r m ü s ü n ü z? Ni ç in veya ni ç in de ğil? A ç klay n z. 3. OM Ç G Postulat 1, herhangi iki nokta ihtiva eden birtek do ğrunun var oldu ğunu ifade eder. Bu postulat hiperbolik geometrinin Poincar é yar m-d ü zlem modelinde ge ç erli midir? Ni ç in ge ç erli veya ni ç in ge ç erli de ğil? A ç klay n z ( Not : Yar m-d ü zlem modeli, bir Euclidyen d ü zlemde g ö m ü l ü oldu ğundan bu do ğrulama-ispat, Euclidyen sonu ç lar kullanabilir). 1294. Poincar é modelinde yar m-d ü zlemi tan mlayan do ğrunun, bir ç ember etraf nda dolanm ş oldu ğunu hayal ediniz. Meydana gelen geometri , Ş ekil 2.7.4 gibidir. (a) Bu durumda bu ç embere g ö re eski ay rma do ğrusuna dik olan do ğrular, hangi rol ü oynarlar? (b) Eski yar m- ç emberlerin Ş ekil 2.7.4 teki ç emberi kesti ği noktalar g ö z ö n ü ne al n z.Bir kesim noktas nda bu ç embere ve bu yar m- ç embere te ğet ç izmi ş olsayd n z bu do ğrular aras nda hangi ili ş kinin var oldu ğunu d üşü n ü r s ü n ü z? (c) Ş ekil 2.7.4 te g ö sterilen geometriye, hiperbolik geometride Poincar é diski modeli denir. Bu model i ç inde bir üç gen ç iziniz. Bu üç genin 180° den b ü y ü k, k üçü k veya e ş it bir a ç ya sahip oldu ğu g ö z ü k ü yor mu? Cevab n z do ğrulay n z. (d) Poincar é diski, hiperbolik geometri i ç in bir model ise herhangi bir do ğruya d ş ndaki bir noktadan ge ç en ç ok paralelin var olmas gerekir. Ş ekil 2.7.4 teki ç emberin herhangi bir ç ap n ve bu ç ap n herhangi bir d ş noktas n se ç iniz. Bu ç apa, bu d ş noktay ihtiva eden iki paralel ç iziniz. B ö ylesi ka ç paralel vard r? A ç klay n z. Ş ekil 2.7.4 5. Eliptik geometri i ç in bir k ü resel model kullan rsak ( Ş ekil 2.7.3 e bak n z) bir üç gen i ç in en b ü y ü k muhtemel a ç toplam ne olabilir? A ç klay n z. 6. Euclidyen geometride ç ok kere üç nokta ile ilgili “ arada olmal k ” denen ba ğ nt y kullan r z. 130 (a) Euclidyen d ü zlemde biri, di ğer ikisi aras nda olan noktadan ne kastedilir? (b) Hiperbolik geometri i ç in yar m-d ü zlem modelinde noktalar n arada olmal ğ ba ğ nt s belirlenebilir mi? A ç klay n z. (c) Eliptik geometrinin k ü resel modelinde noktalar n arada olmal ğ belirlenebilir mi? A ç klay n z. 2. 8 2. B Ö L Ü M ’ Ü N Ö ZET İ 2. 2 Euclid'in Geometrisi ve E u clid'in “Elemanlar” Euclid'in postulatlar (Ek-D ye bak n z) 1. Herhangi bir noktadan ba ş ka bir noktaya bir d ü z ç izgi (do ğru) ç izmek. 2. Bir d ü z ç izgide (do ğruda) s ü rekli olarak bir d ü z ç izgi (do ğru) ç izmek. 3. Herhangi bir merkez ve bir yar ç apla herhangi bir ç emberi tan mlamak. 4. B ü t ü n dik a ç lar, birbirlerine e ş ittir (e ş tir). 5. E ğer iki d ü z ç izgi (do ğru) ü zerine d üş en bir d ü z ç izgi (do ğru), ayn tara fta iki dik a ç dan k üçü k i ç a ç lar yapar ve bu devaml olarak ü retilirse bu iki d ü z ç izgi (do ğru), bu a ç lar n iki dik a ç dan k üçü k oldu ğu tarafta kesi ş ir. 2. 4 Euclidyen Geometri İ ç in Hilbert Modeli (Ek D ye bak n z) Hilbert ’ in Aksiyom Guruplar : I. Gurup : Konneksiyon (veya konum) aksiyomlar II. Gurup : S ra aksiyomlar III. Gurup : E ş lik aksiyomlar 131 IV. Gurup : Paralellik aksiyomu (Playfair Postulat ) V. Gurup : S ü reklilik aksiyomlar . Tan m 2. 4. 1. AB Do ğru Par ç as . A ve B noktalar aras nda olan b ü t ü n noktalar n k ü mesi. A ve B noktalar na, bu do ğru par ç as n n u ç noktalar denir. Teorem 2. 4. 1. İ ki farkl do ğru, b irden fazla noktada kesi ş emez Teorem 2. 4. 2. Her do ğru, sonsuz nokta ihtiva eder . Teorem 2. 4. 3. A ve B, noktalar ise A-C-B olacak ş ekilde daima üçü nc ü bir C noktas vard r. 2. 5 Euclidyen Geometri i ç in Birkhoff Modeli (Ek D ye bak n z) Tan m 2. 5. 1. A, B, C, noktalar olsun. B nin, A ile C aras nda olmas ve A-B-C yaz lmas i ç in gerek ve yeter ş art, d(A,B) + d(B,C) = d(A,C) olmas d r. Teorem 2. 5. 1. E ğer iki d ü z ç izgi (do ğru) ü zerine d üş en bir d ü z ç izgi (do ğru), ayn tarafta iki dik a ç dan k üçü k i ç a ç lar olu ş turur ve bu bu ş ekilde devaml olarak ü retilirse bu iki d ü z ç izgi (do ğru), bu a ç lar n iki dik a ç dan bulundu ğu tarafta kesi ş ir. 2. 6 Okul Matemati ği Ç al ş ma Gurubu (OM Ç G) Aksiyom Gur uplar (Ek D ye bak n z) I. Gurup : Konum aksiyomu; Postulat 1. II. Gurup : Uzakl k hakk nda aksiyomlar; Postularlar 2-4. 132 III. Gurup : Uzay ili ş kileri hakk nda aksiyomlar; Postulatlar 5-8. IV. Gurup : Ay rma hakk nda aksiyomlar; Postulatlar 9-10. V. Gurup : A ç sal ö l çü n ü n aksiyomlar ; Postulatlar 11-14 . VI. Gurup : Kongr ü ans (e ş lik) aksiyomu; Postulat 15. VII. Gurup : Paralellik aksiyomu; Postulat 16 . 2. 7 Euclidyen-Olmayan Geometriler Hiperbolik Paralellik Postulat . Bir P noktas ndan ge ç en ve bir l do ğrusuna paralel olan en az iki farkl do ğru olacak ş ekilde bir l do ğrusu ile bir P noktas vard r. Hiperbolik geometrinin baz ilgin ç sonu ç lar : Verilen bir do ğruya, verilen bir noktadan ge ç en sonsuz 1. say da paraleller ç izilebilir. 2. A ç ö l çü lerinin toplam 180° olan üç genler, yoktur. 3. Benzer olan fakat e ş olmayan ü ç genler, yoktur. 4. Her yerde e ş -uzakl kl olan do ğrular, yoktur. 5. Ç evrelenemeyen ( ç evrel ç emberi olmayan) üç genler, vard r. 6. Üç genlerin i ç a ç lar n n ö l çü leri toplam , üç genlere g ö re de ği ş ir . 7. Dikd ö rtgenler, yoktur. 8. Bir üç genin alan n n ü st limiti, yoktur. 133 9. Bir üç genin alan n n b ü y ü kl ü ğü , a ç lar n n ö l çü leri toplam n n k üçü kl ü ğü ne kar ş l kt r. 10. Paralel do ğrular n belli ç iftl eri aras ndaki uzakl k, bir do ğrultuda s f ra yakla ş r ve di ğ er do ğrultuda sonsuz olur. 11. E ğer iki paralel do ğru, bir kesenle kesilir ise olu ş an i ç ters a ç lar, kongr ü ent olabilir veya olmayabilir. Eliptik Paralellik Postulat . Verilen bir l do ğrusu ve l ü zerinde olmayan herhangi bir P noktas i ç in P den ge ç en ve l ye paralel olan do ğru yoktur. Elipt ik geometrinin baz ilgin ç sonu ç lar : 1. D ş ndaki verilen bir noktadan bir do ğruya pa ralel do ğru ç izilemez. 2. İ ç a ç lar n n ö l çü leri toplam , 180 º ye e ş it veya k üçü k olan üç genler yoktur. 3. Bir üç gende bir d ş a ç n n ö l çü s ü , kom ş u olmayan bir i ç a ç n n ö l çü s ü ne e ş it olabilir. 4. Ayn bir do ğruya dik olan iki do ğru paralel de ğildir. Geometrilerin a ç toplam na g ö re s n fland r lmas : Hiperbolik geometri : üç genlerin a ç toplam <180° Euclidyen geometri : üç genlerin a ç toplam = 1 80° Eliptik geometri : üç genlerin a ç toplam > 180° 134