Hidroloji Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet EKMEKÇG AKIgKANLAR STATGĞG Temel Glkeler Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi AKIgKANIN TANIMI Maddeler katılar ve akıGkanlar olmak üzere iki ana gruba ayrılırlar. AkıGkanlar, akabilen maddelerdir. Bu anlamda sıvılar ve gazlar akıGkan olarak tanımlanırlar. AkıGkanlar, sürekli Gekil değiGtirirler ve gazlar bulundukları kabın hacmine eGit bir boyut kazanırlar. Gerek katı gerkese akıGkanlardan oluGan sürekli ortamlara uygulanan mekanik, uygun kuvvet yasaları ile birlikte kullanılan Newton’un hareket yasalarını temel almaktadır. Katılarda olduğu gibi, akıGkanlar içinde bu temel yasaların özel biçimleri geliGtirilmiGtir. Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi AkıGkanın Özellikleri Basınç ve Yoğunluk: Herhangi bir kuvvetin bir katı ile bir akıGkan üzerine yapacağı etki farklı olmaktadır. Katı için, kuvvetin yönü önem taGımazken, akıGkan için kuvvetin daima akıGkan yüzeyine dik etkimesi gerekir. Çünkü, bir akıGkan teğetsel kuvvetin etkisiyle Gekil değiGtirir. AkıGkan katmanları birbiri üzerine kayarak teğetsel kuvvete karGı tepki gösterir. Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi ?F = P ?S P = ?F / ?S P = lim ?F / ?S Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Bu nedenle, bir akışkana etkiyen kuvveti, basınç (P) cinsinden ifade etmek daha uygundur. Basınç, birim yüzeyalanına dik yönde etkiyen kuvvet olarak tanımlanır. Basınç, katı sınırlara veya akışkanın herhangi bir kesit alanından bu sınır veya yüzeylere her noktada dik açı yaparak iletilir. Basınç skaler bir büyüklüktür . a)Hareketsiz bir akıGkanın küçük hacim elemanı b) elemanın üzerindeki kuvvetler pA = (p + dp) A + dw = (p + dp) A + ?gAdy dp/dy = -?g Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi ? ? ? 2 1 2 1 P P Y Y gdy dp ? ? ? ? ? 2 1 1 2 Y Y gdy ? P P P 2 -P 1 = -?g (y 2 -y 1 ) Po-P = -?g (y 2 -y 1 ) P = Po + ?g h P= ?gh P=gh => h=P/g dp= -?g dy 2 1 2 1 2 0 1 Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi 1 2 Tüp homojen bir sıvı ile dolu olsun. A ile B noktalarını dikkate alırsak; A dan B ye zigzaglar çizerek bir yol çizebiliriz. Bu durumda A ile B noktaları basınçları arasındaki her y’ kısım için meydana gelen fark ?gy’ kadardır. Bu farkın düGey yönde geçerli olduğu, yatay yönde ise aynı kaldığını biliyoruz. Dolayısıyla, P B -P A basınçları arasındaki fark AB arasındaki her parçanın toplamının ?g ile çarpımı, yani ?g(y 2 -y 1 ) kadardır. Eğer U tüpü karıGmayan iki sıvı ile doluysa; örneğin tüpün sağ kolunda yoğun bir sıvı, sol kolunda ise daha az yoğun bir sıvı bulunuyorsa bu durumda, tüpün sağ ve sol kolunda, belirli bir referans düzlemine göre aynı yükseklikte (veya aynı derinlikte) bulunan iki noktadaki basınçlar birbirine eGit olmayacaktır. gekilde, sol koldaki sıvı yüzeyi sağ koldaki sıvı yüzeyinden daha yüksektir. A noktasındaki basınç, B noktasındakinden daha büyük olacaktır. Ancak C-A arasındaki basınç farkı ile C-B arasındaki basınç farkı aynı değildir. Yani, C’den A’ya yükseldikçe basınçta meydana gelen düGüG, C’den B’ye yükselirken meydana gelen basınç düGüGünden daha azdır. Çünkü, A noktasını C noktasına bağlayan birim kesit alanlı sıvı sütununun ağırlığı, karGısındaki B-C noktalarını birleGtiren sıvı stununun ağırlığından daha küçüktür Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi AKIgKANLAR DGNAMGĞG Temel Glkeler Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi AkıGkan AkıGının Temel Kavramları •J. L. Lagrange (1736-1813) yaklaGımı: Her akıGkan taneciğinin x,y,z konumu her t için belirlenir(akıGkan taneciği izlenir) •L. Euler (1707-1783)yaklaGımı: Belirli bir x,y,z noktasında her t için bütün akıGkan tanecikleri izlenir Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi AkıGkan AkıGı 1-Karalı/Kararsız Hız sabit/değiGken 2-Rotasyonel/Grrotasyonel Net açısal hız var/yok 3-SıkıGabilir/SıkıGmayan Yoğunluk değiGir/değiGmez 4-Viskoz/Viskoz olmayan Viskozite önemli/önemsiz Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi P Q R Vp Vq Vr Kararlı akımda, belirli bir noktadaki ? hızı zamanla değiGmez. P noktasında V zaman içinde değiGmediğinden, P noktasına ulaGan her akıGkan taneciği buradan aynı hız ve aynı yönde geçecektir. Aynı durum Q ve R noktası için de geçerlidir. Taneciğin gittiği yol izlenirse, ortaya çıkan eğrinin P noktasından geçen her taneciğin yolu olduğu anlaGılır. Bu eğiriye akım çizgisi adı verilir. Bir akım çizgisi, akıGkan taneciklerinin hızlarına her noktada paraleldir. Akım çizgileri hiçbir Gekilde birbirlerini kesmezler. Çünkü, eğer kesiGirlerse, arkadan gelen akıGkan taneciği Gu veya bu yönde hareket edebilir, böylece akıG kanalı akıG olmaktan çıkar. Kararlı akım koGullarında, akım çizgilerinin konumu duraylıdır, zamanla değiGmez. AKIM ÇGZGGSG Kuramsal olarak akıGkanın her noktasında bir akım çizgisi geçirilebilir. Kararlı akım koGullarının geçerli olduğu bir akıGkan ele alalım. Belirli sayıda akım çizgilerini Gekildeki gibi düzenlemiG olalım. Tüp Geklindeki bu dizilime akım tüpü adı verilir. Bu türden bir akım tüpünün sınırlarını da akım çizgileri oluGturur ve her zaman bu akım çizgileri akıGkan taneciklerinin hızlarına paraleldir. Bu nedenle, hiçbir akıGkan taneciği akıGkan tüpünün duvarından geçmez. Akım tüpü, aynı Gekile sahip bir boru davranıGı gösterir. Bir uçtan giren akıGkan ancak diğer uçtan çıkabilir. AKIM TÜPÜ Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Giren Kütle Miktarı = Çıkan Kütle Miktarı ? 1 V 1 A 1 = ? 2 V 2 A 2 Süreklilik EGitliği P Kesiti Yoğunluk ? 1 Hız V 1 Alan A 1 Q Kesiti Yoğunluk ? 2 Hız V 2 Alan A 2 P ‘deki kütle akısı = ?1 A1 V1 ve Q ‘daki kütle akısı = ?2 A2 V2 Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Bilindiğine göre ? SıkıGmayan AkıGkan AkıGı ? Akım çizgileri ve akım tüpleri ? Süreklilik EGitliği Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Çıkarsanabilecek yasalar ? Momentumun Korunumu ? Euler EGitliği ? Enerjinin Korunumu ? Bernoulli EGitliği ? Bernoulli EGitliğinin Uygulamaları Bkz. AkıGkanlar Mekaniği Ders Notu ve Kitapları Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Momentum EGitliği Newton’un Gkinci Yasasına Göre: Bir taneciğin Momentumunun değiGimi= Taneciğe etki eden kuvvetler Uzayda bir akım tüpünün sonsuz küçük bir dilimini dikkate alalım Bu akım tüpündeki akışkan taneciklerinin momentumları, ancak bu taneciklere etki eden kuvvetler nedeniyle değişebilir Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Momentum EGitliği (devam) Yoğunluk ? Hız V Alan =A Yoğunluk ??d? Hız V+dV Alan =A+dA Giren Kütle = Çıkan Kütle ? VA = (?+d?)(V+dV)(A+dA) Giren Kütlenin Momentumu= Giren Kütle x Hız kadardır. Giren Momentum= ?V 2 A Çıkan Kütlenin Momentumu= Giren Kütle Miktarı x Hız kadardır. Çıkan Momentum = ? VA (V+dV) Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Momentum EGitliği (Devam) Bu dilimdeki net momentum değişim miktarı = Çıkan Momentum – Giren Momentum = ? V A (V+dV) - ?V 2 A = ? V A dV Yoğunluk ? Hız V Alan =A Yoğunluk ??d? Hız V+dV Alan =A+dA Giren Kütlenin Momentumu= Giren Kütle x Hız kadardır. Giren Momentum= ?V 2 A Çıkan Kütlenin Momentumu= Giren Kütle Miktarı x Hız kadardır. Çıkan Momentum = ? VA (V+dV) Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Momentum EGitliği (devam..) AkıGkan tanecikleri bu dilimden geçerken momentumlarında meydana gelen değiGim miktarı = ? V A dV Newton Yasasına Göre, Bu Momentum DeğiGiminin Nedeni Bu Akım Tüpü Üzerinde Etkili Olan Kuvvetlerdir. Yoğunluk ? Hız V Alan =A Yoğunluk ??d? Hız V+dV Alan =A+dA Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Akım Tüpüne Etki Eden Kuvvetler Basınç x Alan =pA (p+dp)(A+dA) Yatay Kuvvet = Basınç x Halkanın Alanı=(p+dp/2)dA Halkanın Alanı = dA Net Kuvvet = pA + (p+dp/2)dA-(p+dp)(A+dA)=- Adp - dp • dA/2?-Adp Gki küçük sayının çarpımı Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Momentum EGitliği Akım Tüpünden Geçerken AkıGkan Tanecillerinin Momentumlarındaki DeğiGim = ?A VdV Akım Tüpüne Etkiyen Kuvvet = -Adp Burada viskzite, yerçekimi, elektriksel ve magnetik kuvvetler gibi diğer tüm kuvvetler ihmal edilmiGtir. Gki Etken EGitlenirse: ?VdV+dp=0 Bu eGitlik Euler Eşitliği Olarak Bilinmektedir. Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Bernoulli EGitliği Euler eGitliği: ?VdV + dp = 0 SıkıGmayan AkıGkanlar için integrali alınırsa : Sabit p V Veya dp VdV ? ? ? ? ? ? 2 2 1 , 0 ? ? Kinetik Enerji + Basınç Enerjisi = Sabit Bernoulli EGitliği Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi t V V a 0 ? ? t V V x ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0 2 0 2 0 0 2 1 2 1 2 mV mV t V V t V V m W ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x Fdx dr F W 0 . dx dv Vx xV dx dv dt dx x dx dv dt dv a ? ? ? ? 0 mV mV mVdV dx dx dv mV Fdx W v v x x x x 2 1 2 1 2 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? Bir tanecik üzerine etkiyen bileGke kuvvetin yaptığı iG herzaman taneciğin kinetik enerjisindeki değiGime eGittir. Gg-ENERJG TEOREMG GG=W=Fx=m.a.x (sabit kuvvet için) ve ise K=1/2mV2 = Kinetik Enerji (DeğiGken kuvvet için) W(BileGke Kuvvet)=K-K0=?K F=m.a Bernoulli EGitliği Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Bernoulli EGitliği Şekildeki sistemde iş yapan kuvvetler sırasıyla sistemin sol ve sağ uçlarına etki eder. P1A1 ve P2A2 basınç kuvvetleri ve yerçekimi kuvvetidir. Akışkanın boru içinde akışı söz konusu olduğunda net etki; (a) da verev çizgilerle gösterilen akışkan kütlesinin (b) deki konuma yükseltilmesine neden olacaktır. Bileşke kuvvet tarafından sistemde yapılan iş: P1A1 basınç kuvvetinin sistemde yaptığı iş P1A1?l1’e eşittir. P2A2 basınç kuvvetinin sistem üzerinde yaptığı iş –P2A2?l1’e eşittir (negatif- iş sistem tarafından yapılmıştır). Yerçekimi tarafından sistem üzerinde yapılan iş, verev çizgilerle işaretli akışkanın y1’den y2’ye yükseltilmesine bağlı olarak gerçekleşir. Bu iş –mg(y2-y1)’e eşittir. Burada, m, verev çizgilerle işaretli akışkanın kütlesidir (iş yine negatif- iş sistem tarafından yerçekimine kuvvetine karşı yapılmaktadır). Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Sistem üzerinde bileGke kuvvet tarafından yapılan W, iGi, yukarıda sıralanan üç terimi toplayarak bulabiliriz. W= P1A1?l1–P2A2?l2–mg(y2-y1) Verev çizgilerle iGaretli akıGkan elemanının hacmi A1?l1 (= A2?l2) akıGkan yoğunluğu sabit olmak üzere m/? olarak yazılabilir. Her iki noktada akıGkan elemanının aynı kütleye sahip olduğunu hatırlarsak, A1?l1= A2?l2 eGitliği ile akıGkanın sıkıGmayan türden olduğunu varsaymıG oluyoruz. Bu varsayımla, W=(P1-P2)(m/?)-mg(y2-y1) haline gelir. Bernoulli EGitliği Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi AkıGkan elemanının kinetik enerjisindeki değiGim, ?K=1/2mv 2 2 -1/2mv 1 2 GG-enerji teoreminden W=?K, ve (P1-P2)(m/?)-mg(y2-y1) =1/2mv 2 2 -1/2mv 1 2 bulunur. Yeniden düzenlenirse P1+1/2? v 2 2 +?g y1= P2+1/2? v 2 2 +?g y2 olur. p+1/2? v 2 +?g y=sabit elde edilir. Bu eGitliğe kararlı, viskoz olmayan, sıkıGmayan akımlar için Bernoulli EGitliği adı verilir. Bernoulli EGitliği Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Bernoulli EGitliğinin Uygulamaları ? Önemli Uygulamalar Arasında: ? Pitot Tupü (Uçaklarda hız ölçümü) ? Venturi Metre (Akım miktarı Ölçümü) ? Kanat Üstü Akımlar (Aerodinamik) Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Venturi Metre Akım Ölçümlerinde Kullanılır. Gaz, Su, Benzin vbg akıGkanların debileri bu aygıtla ölçülebilmektedir. Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Venturi Metre Nasıl ÇalıGır? 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 : : V p V p Bernoulli A A V V A V A V ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? halde O Akışkan Sıkışmayan ? ? ? ? ? ? 1 1 1 A ?V Debi : k hesaplarsa Miktarını Akım çözülürse için V ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 A A p p V p p A A V p p V V V p p V V ? ? ? ? ? Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Gözenekli Ortamların Genel Özellikleri Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi GÖZENEKLG ORTAMIN GENEL ÖZELLGKLERG Kesir V V n T V ? Yüzde V V n T V ? ? 100 S V V V e ? V T V V V V e ? ? T V T T V V V V V V e ? ? / n n e ? ? 1 T W V V ? ? 1- Gözeneklilik: BoGluk Hacminin Toplam Hacime Oranı 2- BoGluk Oranı: BoGluk Hacminin Katı Hacime Oranı 3- Hacimsel Su Gçeriği: Su Hacminin Toplam Hacime Oranı 3- Suya Doygunluk: Su Hacminin BoGluk Hacmine Oranı S= Vw/Vb Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Basit kübik dizilim .n=1-?/6=0,48 Rhombohedral dizilim .n=1-(?2/6) ?=0,26 Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Gözeneklilik ve Tane Boyu-Tane Dizilimi GliGkisi Küre Gçin Yarıçap=R Hacim = 4/3?R 3 Toplam Hacim = 512R 3 Katı Tanecik Hacmi = 64*4?/3?R 3 8 R BoGluk Hacmi = Toplam Hacim-Katı Tanecik Hacmi 512R 3 -64 4?/3R 3 = 64R 3 (8-4?/3) Gözeneklilik=64R 3 (8-4?/3)/512R 3 =1/8 (8-4?/3) = (1-4?/24) Kötü boylanma? daha düGük gözeneklilik Tane boyu sınıflaması Kil 0 - 2 µm Silt 2 - 50 µm çok ince 50 - 100 µm Kum ince 0.1 - 0.25 mm orta 0.25 - 0.50 mm iri 0.5 - 1 mm çok iri 1 - 2 mm ince 0.6 - 1.9 cm Çakıl iri 1.9 - 7.6 cm Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi T b V V n ? W a /? a W w /? w W w /? s V t =W T /? d =W s /? d T d s s T V V W . . ? ? ? ? s d d s d s s s d T s s T s W W W W V V n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 BGRGM HACGMDE AKIgKAN-KATI DAĞILIMI Ve GÖZENEKLGLGK Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Toplam Hacim Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi PEKGgMEMGg MALZEMELERDE TANE BOYU DAĞILIM EĞRGSG Uniformluluk Katsayısı Cu=d60/d10 d10=etkin tane çapı Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi PekiGmemiG Malzemelerde Tane Boyuna Göre Adlandırma Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi SÜREKLG ORTAM KA VRAMI Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi GÖZENEKLGLGK TÜRLERG Gyi BoylanmıG-Yüksek Gözeneklilik Gyi BoylanmıG-Gözenekli Taneler Yüksek Gözeneklilik Çözünme-Karstik/Gkincil Gözeneklilik Kırık-Çatlak/Gkincil Gözeneklilik Kötü BoylanmıG-Gkincil Mineral Çökelimi Çok DüGük Gözeneklilik Kötü BoylanmıG-DüGük Gözeneklilik Doğal Malzemelerin Gözeneklilikleri ? Kum&Çakıl - % 20 -% 50 ? Till - % 10 -% 20 ? Silt - % 35 -% 50 ? Kil - % 33 -% 60 ? Kırıntılı sedimanlar, - % 3 -% 30 tipik olarak ? KireçtaGı - ? % 1 -% 30 ? Bazalt - % 1 -% 12 ? Tüf - % 14 -% 40 ? Pomza - % 87’e kadar ? Kırıklı kristalen kayaç - %1 -%5 Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi GÖZENEKLGLGK-ETKGN GÖZENEKLGLGK Etkin Gözeneklilik-Moleküler Çekim Kuvvetleri Na + HO 2 HO 2 HO 2 HO 2 Na + HO 2 HO 2 HO 2 HO 2 Na + HO 2 HO 2 HO 2 HO 2 Na + HO 2 HO 2 HO 2 HO 2 Na + HO 2 HO 2 HO 2 HO 2 Na + HO 2 HO 2 HO 2 HO 2 KİL KİL KİL KİL Ca ++ Ca ++ Ca ++ Ca ++ Ca ++ Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Killerde Çift Katman Yapısı Etkin Gözeneklilik-Kılcal Çekim Kuvvetleri F=2 r ?? R=2 r cos ? ? ? 2r ? h Denge durumunda kılcallık nedeniyle oluGan düGey (yukarı doğru) yöndeki kuvvet, kılcal tüp içindeki su kolonunun ağırlığına (aGağı doğru) eGit olacaktır. Suyun kılcal tüpteki ağırlığı tüpün hacmi ile su yoğunluğu ve yerçekimi ivmesinin çarpımına eGit olduğuna göre 2?r? cos? = g ??r2h olacaktır Burada, ? suyun yoğunluğu ve g yerçekimi ivmesidir. Buradan, h= 2? cos? / g ?r dokanak açısı ? = 0 ise cos? = 1 dir. Bu durumda, h= 2? / g ?r olur. Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Kenar Uzunluğu Küp Sayısı Toplam Yüzey 1 cm 1 6 cm2 0.1 cm 1000 60 cm 0.01 cm 1000000 600 cm2 0.001 cm 1000000000 6000 cm2 1 ? 1000000000000 6 m2 0.1 ? 1015 60 m2 0.01 ? 1018 600 m2 1 m? 1021 6000 m2 Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi GÖZENEKLGLGK-ETKGN GÖZENEKLGLGK ÖZGÜL YÜZEY ALANI Özgül Verim Sy = Vw / VT Özgül Tutma Sr = Vr / VT Sy = özgül verim Vw = yerçekimi etkisi ile alınabilen su hacmi (L3) VT = toplam hacim (L3) Sr = özgül tutma Vr = kılcal kuvvetlerle gözeneklerde tutulan su hacmi (L3) VT = toplam hacim (L3) Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Etkin Gözeneklilik-Özgül Verim Gözeneklilik-Özgül Verim-Özgül Tutulma Tane Boyu GliGkisi y r T y T r T y r b S S V V V V V V V V n ? ? ? ? ? ? ? T V Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi YÜZEYALTISUYU Vadoz (Doygun olmayan) “sığ” su + hava Freatik (Doygun) “derin” sadece su Gözeneklerde Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Toprak Suyu Film Suyu Higroskopik Nem Asılı Su Gravite Suyu Kılcal/Kapiler Saçak Yeraltısuyu Doygun (Freatik) Zon Doygun Olmayan Vadoz) Zon Hava>>Su P<<Su P<=Su PHava; P~Patm Sadece Su P>Patm P=Patm SUYUN YÜZEYALTINDAKG DAĞILIMI Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Doygun Olmayan Zonda Su 100 200 300 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 A B C D Hacimsel Su İçeriği Su tablasından uzaklık (cm) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -100 -50 -150 -200 Hacimsel Su İçeriği Basınç Yükü Hava giriş hacmi Su giriş hacmi Dolma Boşama Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Toprak-Su Karakteristiği/ Tutulma Eğrisi Gözenekli Ortamların Hidrostatiği Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi ? ? ? p p p p dp m dp m V m 0 0 ? ? ? ? ? p p dp v gz 0 2 2 ? ? Gözenekli Ortamlarda Akışkan Enerjisi W 1 =mgz W 2 =1/2 mv 2 W 3 = Potansiyel Enerji Kaybı Kinetik Enerji Kaybı Elastik Enerji Kaybı Birim Kütleli (m=1) Akışkanın Potansiyeli (Toplam Mekanik Enerji) (w1+w2+w3) ? ? 0 p p gz ? ? ? ??gz+(?g(h-z)+p0)-p0)/? ??gh ?=g p/?g=p/? ?: Birim kütle başına enerji (potansiyel) h: Birim ağırlık başına enerji (hidrolik yük) Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi AkıGkan elemanının kinetik enerjisindeki değiGim, ?K=1/2mv 2 2 -1/2mv 1 2 GG-enerji teoreminden W=?K, ve (P 1 -P 2 )(m/?)-mg(z 2 -z 1 ) =1/2mv 2 2 - 1/2mv 1 2 bulunur. Yeniden düzenlenirse P 1 +1/2? v 2 2 +?g z 1 = P 2 +1/2? v 2 2 +?g z 2 olur. p+1/2? v 2 +?g z=sabit elde edilir. Bu eGitliğe kararlı, viskoz olmayan, sıkıGmayan akımlar için Bernoulli EGitliği adı verilir. Bernoulli EGitliği Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Giren Kütle Miktarı = Çıkan Kütle Miktarı ? 1 V 1 A 1 = ? 2 V 2 A 2 Süreklilik EGitliği P Kesiti Yoğunluk ? 1 Hız V 1 Alan A 1 Q Kesiti Yoğunluk ? 2 Hız V 2 Alan A 2 P ‘deki kütle akısı = ? 1 A 1 V 1 ve Q ‘daki kütle akısı = ? 2 A 2 V 2 Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi V 1 A 1 =V 2 A 2 ? VA Eşitliğin her terimi ?g veya (g) ye bölünürse eşitlik p/?g + v 2 /2g + z = Sabit p+1/2? v 2 +?gz=sabit Süreklilik Bernoulli Veya h+ v 2 /2g + z = H Gözenekli ortamlarda akım hızı ihmal edilecek düzeyde olduğundan Bernoulli ile verilen birim ağırlık başına toplam enerji H= h+z hidrolik yük…. şeklindedir. Gözenekli Ortamlarda Hidrolik Yükün Ölçülmesi Kuyu-Piyezometre Gözenekli Ortamlarda Hidrolik Yükün Ölçülmesi Doygun Ortam-Piyezometre H=h+z H Gözenekli Ortamlarda Hidrolik Yükün Ölçülmesi Doygun Ortam-Piyezometre H=h+z Gözenekli Ortamlarda Hidrolik Yükün Ölçülmesi Doygun Ortam-Piyezometre H=?=h+z Gözenekli Ortamlarda Hidrolik Yükün Ölçülmesi Doygun Ortam-Piyezometre H=?=h+z Gözenekli Ortamlarda Hidrolik Yükün Ölçülmesi Doygun Olmayan Ortam- Tansiyometre z H H=z-h h: negatif basınç yükü Yüzeyaltında Su Basıncı A noktası üzerindeki su basıncı (negatif) B noktası üzerindeki su basıncı (pozitif) Doygun Olmayan (vadoz) Bölge Yeraltısuyu (Doygun bölge) Su tablası A B Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi H=z-h h z H h: negatif basınç yükü h H z H=h+z Yüzeyaltında Su Basıncının Derinlikle Değişimi Gözenekli Ortamların Hidrodinamiği P A +1/2? v 2 A +?g z A = P B +1/2? v 2 B +?g z B p A /?g + z A =p B /?g + z B +h L AKIŞ HALİNDE YÜK KAYBI Yatay Ortam h L =yük kaybı ?? Sürtünme nedeniyle Isı enerjisine dönüGüm!! p A /?g + v A 2 /2g + z A =p B /?g + v B 2 /2g + z B +h L v 2 /2g: ihmal edilebilir h A + z A =h B + z B + h L AKIŞ HALİNDE YÜK KAYBI Eğimli Ortam h A + z A =h B + z B + h L AKIgKANIN GÖZENEKLG ORTAMLARDAKG HAREKETG DARCY YASASI Q a h 1 -h 2 Q h 1 -h 2 q=Q/A h 1 -h 2 /L Q=Özgül debi=Darcy Hızı h 1 -h 2 /L=i= Hidrolik Gradyan q i K K: Orantı katsayısı Ortamın ve akıGkanın özelliklerine bağlı bir katsayı DARCY YASASI O Halde Darcy Yasası q a i ? q=K.i Q=K.i.A p 1 /g?h 1 p 2 /g=h 2 z 1 z 2 H 1 H 2 L A H L A L H H K Q 2 1 ? ?Hidrojeolojik Birimler Akifer: Su taGır ve su iletir Çakıl, kum, kumtaGı, karstik kireçtaGı vbg. Akitard: Su taGır ve suyu az iletir Killi ince kum, Killi siltli kum, Silt vbg. Akiklüd: Su taGır ve suyu iletmez Kil, Siltli Kil. Akifüj: Suyu ne taGır ne de iletir Granit, gist, Diyabaz vbg. AKGFER TÜRLERG Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi DARCY YASASI UYGULAMALARI Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi HGDROLGK GRADYAN 1000 m ? A =h A +z A ? B =h B +z B ? A =20+395 =415 m ? B =16+395 =411 m Gradyan=i= ??/?x i??? 1 -? 2 )/L= ((h 1 +z)-(h 2 +z))/L=(h 1 -h 2 )/L i=(415-411)/500=(20-16)/500=0.008 ? A =h A +z A ? B =h B +z B ? A =7+25 =32 m ? B =12+15 =27 m Gradyan=i= ??/?x i??? 1 -? 2 )/L= ((h 1 +z 1 )-(h 2 +z 2 ))/L i=(32-27)/1000=5/1000=0.005 HGDROLGK GRADYAN Gradyan= ??/?x ? A =h A +z A ? B =h B +z B ? A =5+25 =30 cm ? B =20+10 =30 cm ??=? A +? B =0 Gradyan olmadığına göre akım olmaz!!!! q i K q a i ? q=K.i Q=K.i.A A L K Q 2 1 ? ? ? ? DARCY DENEY DÜZENEYG Yatay düzlemde z 1 =z 2 =z=sabit ?=h+z O halde ? 1 -? 2 = (h 1 +z 1 )-(h 2 +z 2 )=h 1 -h 2 A L h h K Q 2 1 ? ?A L K Q 2 1 ? ? ? ? ?=h+z A L H H K Q 2 1 ? ? A x H H K Q 2 1 ? ? x H KA Q ? ? ? ? ?H= - Q/KA ?x bu bir doğru denklemidir Darcy EGitliğinin Geometrik Anlamı Doğrunun eğimi Q/KA kadardır. Sonsuz küçük bir ?x aralığında Hidrolik yük değişimi diferansiyel terim olarak gösterilebilir. dx dH KA Q ? ? dH=-Q/KA dx Bir diferansiyel ifade haline gelen Darcy eşitliğinin integrali alınırsa ? ? ? ? x x H H dx KA Q dH 0 0 0 0 X X KA Q H H ? ? ? ? Sınır koşullarına göre AKGFERLERGN HGDROLGK KARAKTERGSTGKLERG ) ( 8 2 1 4 P P L R Q ? ? ? ? Hidrolik Gletkenlik Katsayısı *Darcy Eşitliğindeki orantı katsayısı K * Borularda Debi hesabı: Poiseuille Eşitliği Q: debi, R:Borunun yarıçapı L : Akış uzunluğu ?: dinamik viskozite P: basınç A=?R 2 i=(P 1 -P 2 )/L ve h=P/g? ise ?g(h 1 -h 2 )/L A L h h g R Q 2 1 2 8 ? ? ? ? K i Q=K.i.A Darcy Eşitliği K= R 2 /8 ?g/? k=Cd 2 Özgül geçirgenlik: malzemenin özellikleri K=k ?g/? Malzeme+akışkan özellikleri Hidrojeolojik Birimler Akifer: Su taGır ve su iletir Çakıl, kum, kumtaGı, karstik kireçtaGı vbg. Akitard: Su taGır ve suyu az iletir Killi ince kum, Killi siltli kum, Silt vbg. Akiklüd: Su taGır ve suyu iletmez Kil, Siltli Kil. Akifüj: Suyu ne taGır ne de iletir Granit, gist, Diyabaz vbg. AKGFER TÜRLERG Gözenekli Ortam Hidroliği Dr. Mehmet Ekmekçi Basınçlı Akifer Serbest Akifer A L K Q 2 1 ? ? ? ? WB L K Q 2 1 ? ? ? ? Akıma Dik Yönde Kesit Alanı = WxB Darcy Eşitliği WxB L h h K Q 2 1 ? ? BASINÇLI AKGFERLERDE DARCY EgGTLGĞG 0 0 X X KA Q H H ? ? ? ?Akiferlerin Hidrolik Özellikleri BÖLÜM-4 A L K Q 2 1 ? ? ? ? WB L K Q 2 1 ? ? ? ? Akıma Dik Yönde Kesit Alanı = WxB Darcy Eşitliği WxB L h h K Q 2 1 ? ? BASINÇLI AKGFERLERDE DARCY EgGTLGĞG 0 0 X X KA Q H H ? ? ? ?Yarı Basınçlı Akifer Sızıntılı Akiferler) BÖLÜM-5 Heterojenlik-Anizotropi Heterojenlik ve Anizotropi Kx Kz x 1 ,z 1 x 2 ,z 2 Kx Kz x 1 ,z 1 x 2 ,z 2 Kx Kz x 1 ,z 1 x 2 ,z 2 Kx Kz x 1 ,z 1 x 2 ,z 2 Heterojenlik: Konuma göre değişkenlik Anizotropi: Yöne göre değişkenlik Homojen-İzotrop Homojen-Anizotrop Heterojen-İzotrop Heterojen-Anizotrop K 2 K 1 K n d 1 d 2 d n x z K x K z d ? ? ? ? ? 2 2 2 1 1 1 d h K d h K q d h K d h K z n n n ? ? ? ? ……… n z h h h qd h qd K ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 n n K qd K qd K qd qd ? ? ? ? ? 2 2 1 1 ? ? ? n i i i z K d d K 1 EgDEĞER HGDROLGK GLETKENLGK KATSAYISI Yatay DüGey l h K l h d d K q x n i i i ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? n i i i x d d K K 12 2 2 1 1 1 dl dh c K dl dh a K ? Q 1 =Q 2 dl 1 ve dl 2 aynı eGpotansiyeller arasındaki uzaklıklar olduğuna göre dh 1 = dh 2 2 2 2 1 1 1 sin cos K sin cos K ? ? ? ? ? 2 1 2 1 tan tan K K ? ? ? a=bcos? 1 c=bcos? 2 b a Cos 1 ? ? b c Cos 2 ? ? b dl Sin 1 1 ? ? b dl Sin 2 2 ? ? 2 2 2 1 1 1 sin cos sin cos ? ? ? ? b b K b b K ? dl 1 =bsin? 1 dl 2 =bsin? 2 Heterojen Sistemler ve Tanjant Yasası 10 K K 2 1 ? 10 tan tan 2 1 ? ? ? ? 1 = 45 veya 30 ? 2 = 5.7 veya 3.3 tan? 1 =1 veya 0.56 tan? 2 =0.1 veya 0.056 Akım Çizgilerinin Katmanlı Sistemlerde Kırılması (Tanjant Yasası) Katmanlı Sistemlerde Akım Ağlarının Kesit ve Plan Görünümleri K 1 K 2 K 1 = 1.5 - 2 h sabit dx dh a h K dx dh a K Q ? ? ? ? ? ) ( ' ' ' ' ? ? ? ? ' ' ' 0 0 ' ' ' 2 2 ) ( 2 K K a a h h h h L K Q L L ? ? ? ? ? DüGey Yönde Heterojen Bir Akiferde Toplam Akım x=0, h=h 0 ve x=L, h=h L arasında integral alınırsa ? ? ? ? ? ? 2 2 0 ' ' 0 ' ' 2 a h a h L K L h h a K Q L L ? ? ? ? ? ? Darcy Dupuit-Forchheimer ' ' 2 0 2 2 K x Q h h ? ? ' ' ' 2 0 2 2 ' K L Q h h L ? ? Yanal Yönde Heterojen Bir Akiferde Toplam Akım ' ' ' ' 2 2 ) ( 2 ' K L x Q h h L ? ? ? ' ' ' ' 2 2 ) ( 2 ' K L L Q h h L L ? ? ? ? ? ' ' ' ' ' ' 2 2 0 ' 2 K L K L h h Q L ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? N i i i L K L h h Q 1 2 2 0 ' 2 0<= x <=L’ L’<= x <=L YERALTISUYU AKIM DENKLEMLERG (Kararlı Akım KoGulları) Bölüm 7 Kütlenin Korunumu Yasası:Süreklilik EGitliği Giren Kütle + Depolamadaki değiGim = Çıkan Kütle Birim hacim elemanından x yönünde çıkan kütle= giren kütle + bu kütlede kontrol hacmi içinde x yönünde meydana gelen değişim olacaktır. Birim Hacim (Kontrol) Elemanı için Depolamadaki değişim= giren kütle - çıkan kütle O halde Depolamadaki değişim= akışkan kütlesinde kontrol hacmi içinde akım yönünde meydana gelen değişim olur....... Depolamada değiGim yoksa süreklilik eğitliği Giren Kütle=Çıkan Kütle veya Giren Kütle-Çıkan Kütle=0 olur (Kararlı Hal) Birim hacım elemanına x yönünde giren akışkan kütlesi (akı): Akıma dik birim kesit alanından birim zamanda geçen akıGkan kütlesi -akı-(M/T/L 2 ) akıma dik birim kesit alanından birim zamanda geçen akıGkan hacmi –hız- (L 3 /T/L 2 ) ile akıGkan yoğunluğunun (M/L 3 ) çarpımı kadardır: Birim hacım elemanında x mesafesi boyunca giren akışkan kütlesindeki değişim : ) V ( x V x x ? ? ? ? ? Birim hacım elemanından x yönünde çıkan akışkan kütlesi : ) V ( x x ? ? ? x V ? Birim hacım elemanı depolamasındaki değişim ) V ( x x ? ? ? Kütlenin Korunumu Yasası:Süreklilik Eşitliği x v ? ) v ( x v x x ? ? ? ? ? z v ? y v ? ) v ( y v y y ? ? ? ? ? ) v ( z v z z ? ? ? ? ? Giren Kütle Toplamı z y x v v v ? ? ? ? ? Çıkan Kütle Toplamı ) v ( z v ) v ( y v ) v ( x v z z y y x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Kütlenin Korunumu Yasası:Süreklilik Eşitliği Depolamadaki değişim ) v ( z ) v ( y ) v ( x z y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Depolamada değiGim yoksa: Kararlı Akım KoGulları 0 ) v ( z ) v ( y ) v ( x z y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? LAPLACE DENKLEMİ Çıkan Kütle - Giren Kütle = Depolamadaki değiGim Akım hızı (v) = Darcy Hızı (q) AkıGkan akısı= ?q Depolamadaki değiGim : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) q ( z ) q ( y ) q ( x z y x yerine konursa Giren kütle-Çıkan kütle=0 ?Kararlı akım (LAPLACE Denklemi) SıkıGmayan AkıGkan (?=Sabit) ?d?/dx=0 0 ) q ( z ) q ( y ) q ( x z y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Giren Kütle - Çıkan Kütle = Depolamadaki değiGim i h K q i i ? ? ? ? (i= x,y,z) 0 ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z h K z y h K y x h K x z y x Heterojen ve Anizotrop {K x (x,y,z) ? K y (x,y,z) ? K z (x,y,z)} Bir Ortamda Kararlı Akım KoGullarında YERALTISUYU AKIM DENKLEMG (Laplace Denklemi) Adını Alır. Heterojen ve izotrop ortamlar (K=K(x,y,z)) için denklem 0 ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z h K z y h K y x h K x0 ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z h z y h y x h x K 0 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z h y h x h K veya Homojen ve Gzotrop (K x =K y =K z =K=sabit) Ortamlarda Laplace Denklemi z y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 h 2 ? ? Laplace Denklemi 0 ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y h T y x h T x y x Uniform kalınlığa sahip, heterojen ve anizotrop (T x (x,y)?T y (xy) basınçlı bir akiferde b=sabit ve T=K.b olduğuna göre kısmi diferansiyel denklem Basınçlı Akiferlerde Yeraltısuyu Akım Denklemi olacaktır. Not: q z ?nin denklemde yeralmadığına dikkat ediniz. Heterojen ve izotrop (T=T(x,y))basınçlı akifer için 0 ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y h T y x h T x 0 ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y h y x h x T 0 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y h x h T Homojen ve izotrop (T=sabit) basınçlı akifer için 0 2 ? ? h TSerbest Akiferlerde Akiferin Birim GeniGliğindeki Akım Alanı, Doygun Kalınlığa (h=h(x,y,z)) Bağlı Olduğundan Genel Akım Denklemi Serbest Akiferlerde Yeraltısuyu Akım Denklemi olmak üzere Heterojen ve izotrop (K=K(x,y,z)) serbest akifer için Homojen ve izotrop (K=sabit) serbest akifer için 0 2 ? ? h Kh 0 ) q ( z ) q ( y ) q ( x z y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i h h K q i i ? ? ? ? (i= x,y,z) 0 ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z h h K z y h h K y x h h K x z y x 0 ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z h Kh z y h Kh y x h Kh x 0 ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z h h z y h h y x h h x K haline gelir Laplace Denkleminin Çözümü: Sınır koşulları belirlenmiş bir alandaki hidrolik yükün belirli bir t anında, x,y,z koordinatlarındaki h(x,y,z) değerini; Bir başka deyişle potansiyometrik düzey haritasını verir. Su tablası haritası Piyezometrik düzey haritası Laplace Denkleminin Çözümü: Sınır KoGulları YERALTISUYU AKIM DENKLEMLERG (Kararsız Akım KoGulları) Bölüm 7 Kütlenin Korunumu Yasası:Süreklilik EGitliği Giren Kütle - Çıkan Kütle = Depolamadaki değiGim Birim Hacim (Kontrol) Elemanı için Depolamadaki değiGim= giren kütle - çıkan kütle O halde Depolamadaki değiGim= akıGkan kütlesinde kontrol hacmi içinde akım yönünde meydana gelen değiGim olur....... x v ? ) v ( x v x x ? ? ? ? ? z v ? y v ? ) v ( y v y y ? ? ? ? ? ) ( z z v z v ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( z y x q z q y q x i h K q i i ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z h K z y h K y x h K x z y x akıGkan kütlesinde kontrol hacmi içinde akım yönünde meydana gelen değiGim ve olduğuna göre (i= x,y,z) ?= Depolamadaki değiGim= birim zamanda kontrol hacminde meydana gelen değiGim DEPOLAMADAKG DEĞGgGM Birim Zamandaki DeğiGim t h S t V t h b S t V s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Özgül Depolama, S s (m -1 ): Birim hidrolik yük düGüGüne (m) karGılık akiferin doygun birim hacminden (m 3 ) alınabilen su hacmidir (m 3 ). Akiferin toplam hacminden alınan su miktarı Depolama Katsayısı ile belirlenir. Depoolama Katsayısı: Birim kesit alanından (m 2 ) birim hidrolik yük düGümüne (m) karGılık akifer depolamasından alınabilen su hacmi (m 3 ) Birim Hacimde Birim Zamanda DeğiGim t h S t V t h S t V s s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t h S t V s ? ? ? ? ? Kontrol Hacminde Birim Kesit Alanında Birim Zamanda Potansiyometrede (Su tablası/Piyezometre) Meydana Gelen DüGümdeki DeğiGime KarGılık Gelen Hacim DeğiGimi t h S z h K z y h K y x h K x s z y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( Bu Durumda Süreklilik Denklemi olur. YERALTISUYU AKIM DENKLEMG (Kararsız Akım KoGulları) Bu Denklem Heterojen ve Anizotrop {K x (x,y,z) ? K y (x,y,z) ? K z (x,y,z)} Bir Ortamda Kararsız Akım KoGullarında YERALTISUYU AKIM DENKLEMG’dir. Heterojen ve izotrop ortamlar (K=K(x,y,z)) için denklem t h S z h K z y h K y x h K x s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( ve Homojen ve izotrop ortamlar (K=K(x,y,z)) t h S z h z y h y x h x K s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( t h S z h z y h y x h x K s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( ? veya t h K S z h y h x h s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 Denklemin bu Gekli DGFÜZYON DENKLEMG olarak da adlandırılır t h S y h T y x h T x y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( Uniform kalınlığa sahip, heterojen ve anizotrop (T x (x,y)?T y (xy) basınçlı bir akiferde akifer kalınlığı boyunca akım; b=sabit ve S=Ss.b ve T=K.b olduğuna göre kısmi diferansiyel denklem Basınçlı Akiferlerde Kararsız Akım KoGullarında Yeraltısuyu Akım Denklemi olacaktır. Not: q z ?nin denklemde yeralmadığına dikkat ediniz. Heterojen ve izotrop (T=T(x,y)) basınçlı akifer için t h S y h T y x h T x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( t h S y h y x h x T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( t h S y h x h T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 Homojen ve izotrop (T=sabit) basınçlı akifer için t h T S y h x h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 h=h(x,y,t)?nin çözümü akiferin hidrolik karakteristikleri S ve T „nin bilinmesini gerektirir. Serbest Akiferlerde Kararsız KoGullarda Genel Akım Denklemi, Serbest Akiferlerde Kararsız KoGullarda Yeraltısuyu Akım Denklemi Heterojen ve izotrop (K=K(x,y,z)) serbest akifer için t h S z h h K z y h h K y x h h K x z y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( t h S z h Kh z y h Kh y x h Kh x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( Depolama Katsayısı, S=Özgül Verim, S y olduğundan t h S z h h K z y h h K y x h h K x y z y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( yazılabilir. Homojen ve izotrop (K=sabit) yatay serbest akifer için t h S z h h z y h h y x h h x K ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( t h K S z h h z y h h y x h h x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( buradan da Bu denklem BOUSSINESQ DENKLEMG olarak da adlandırılır. KUTUPSAL KOORDGNATLARDA YERALTISUYU AKIM DENKLEMG İ KA Q . ? dr dh rb K Q ? 2 ? A= 2?rb Kdh r dr Q ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 ln ) ( 2 r r h h Kb Q ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 ln ) ( 2 r r h h T Q ? KARARLI AKIM KOgULLARI (THIEM (1906) EgGTLGKLERG) Basınçlı akiferler için THIEM EgGTLGĞG BASINÇLI AKGFERLER SERBEST AKGFERLERDE KARARLI AKIM KOgULLARI ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 1 2 2 ln ) ( r r h h K Q ? A= 2?rh dr dh rh K Q ? 2 ? hdh r dr Q ? 2 ? 2 ) ( 2 ln 2 1 2 2 1 2 h h K r r Q ? ? ? ? ? ? ? ? ? Serbest akiferler için THIEM EgGTLGĞG KUTUPSAL KOORDGNATLARDA YERALTISUYU AKIM DENKLEMG KARARSIZ AKIM KOgULLARI t h SA t V ? ? ? ? ? ? A= 2?rdr rdr S t h t V ? 2 ? ? ? ? ? ? rdr S t h dr r q ? 2 ? ? ? ? ? dr kalınlığındaki halkada özgül debide meydana gelen değiGim dr r q ? ? ? kadardır. (-, özgül debi r küçüldükçe büyüdüğünü gösterir.) Bu durumda ve t h rT q ? ? ? ? 2 ise ? ? r r h r T r q ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 r h r r h T r q ? rdr S t h dr r q ? 2 ? ? ? ? ? Özgül debi, q?nun r boyunca değiGimi için dr diferansiyeli alınırsa Dolayısıyla, dan ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 r h r r h T t h Sr ? ? basitleGtirilirse t h T S r h r h r ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1Hidrojeoloji Mühendisi Yeraltısuyuna GliGkin Sorunlar Su Miktarı Gle Glgili Sorunlar Su Kalitesi Gle Glgili Sorunlar Su Kaynakları Yönetimi Yönetim: Amaçlara teknik ve teknik olmayan koşulları/kısıtları da dikkate alarak ulaşılmak üzere su kaynakları sisteminin Planlanması ve işletilmesi Su ihtiyacını karGılamak üzere yeraltısuyu sisteminde açılacak kuyu sayısı, kuyu yerleri ve pompalama debileri ???? Kimyasal atıkların yeraltısuyu sistemine sızdığı bir durum için; temizleme amacıyla önlem alınmalı mı, Ne tür bir önlem alınmalı, kirletici sistemin neresinde ne oranda (deriGimde) bulunmaktadır ???? Gstenen kalitede, istenen miktarda yeraltısuyu ne zaman nereden nasıl alınmalı ?? Herhangi bir anda , yeraltısuyu sisteminin herhangi bir noktasında doğal/yapay herhangi bir etkiye karGı, sistemin hangi noktasında ne zaman nasıl bir tepki gözlenecektir ???? (Kısmi Diferansiyel Denklemler) Yeraltısuyu Akımının Matematiksel Modeli (Simulasyon-BenzeGim) Yeraltısuyu Akım Denklemleri h(x,y,z,t)=? Çözüm Genel (Belirsiz integral) Özel (BaGlangıç-Sınır KoGulları) Sonsuz çözüm……. ARANAN !!! Fiziksel bir olguyu (yeraltısuyu akımı) benzeGtiren matematiksel bir problemin (kısmi diferansiyel denklemler) çözümü : 1- varolmalı 2-tek olmalı 3-duraylı olmalı (Üç koGul ?iyi (doğru) tanımlanmıG problem) Yeraltısuyu Akım Denklemleri (Akımın Matematiksel Modeli) Kararlı Akım KoGulları (Dengeli Hal) Kararsız Akım KoGulları (Dengesiz Hal) Serbest Akifer Basınçlı Akifer Serbest Akifer Basınçlı Akifer 0 h 2 ? ? 0 2 ? ? h T 0 2 ? ? h Kh Kartezyen Koordinatlar Kutupsal Koordinatlar t h K S h s ? ? ? ? 2 t h T S h ? ? ? ? 2 t h K S h h ? ? ? ? 2 Kartezyen Koordinatlar t h T S r h r h r ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1BaGlangıç koGulları: t=0 anında x,y,z=0?da ve x=X, y=Y, z=Z?de h=? h=f(x.y.z.0) Kısmi diferansiyel denklemlerin çözülebilmesi için, denklemlerde bulunmayan ek bilgilerin sağlanması gerekmektedir ÇÖZÜM!!! 1- akım alanının geometrisi ?akım alanının sınırları 2-denklemde yeralan fiziksel katsayıların değerleri 3- tanımlanan akım alanı içinde akıGkanın ilksel durumu (baGlangıç koGulu) 4- akım alanının sınırlarında akım koGulları (akım alanının çevresi ile hidrolik iliGkisi/sınır koGulları) Sınır koGulları: 1- Sınırlarda Yükün Bilindiği Durum: Dirichlecht Sınır KoGulu h=f 1 (x,y,z) veya h=f 2 (x,y,z,t) f 1 , f 2 bilinen (tanımlı) fonksiyonlar h=h 0 durumu (h 0 =sabit) ? sabit yük sınırı 2- Sınırlarda Akımın Bilindiği Durum: Neumann Sınır KoGulu q n =f(x,y,z,t), q n =akımın sınıra dik (normal) bileGeni q n =0 durumu ? geçirimsiz sınır 3- BaGka bir akım alanına ince yarı geçirimli birimle sınırlı olma durumu KarıGık Sınır KoGulu: Cauchy Sınır KoGulu K? ve b? yarı geçirimli birimin hidrolik iletkenliği ve kalınlığı ' 0 ' b h h K q n ? ?Geçirimsiz Sınır (Neumann) Geçirimsiz Sınır (Neumann) Sabit Yük Sınırı (Dirichlecht) Sınır KoGulları ANALGTGK NÜMERGK (SAYISAL) -Sonlu Farklar Yöntemi- Belirli geometri Belirli sınır koGulu FGZGKSEL MODEL ANALOG Prototipi benzeGtiren modeller Kum-tankı Hele-Shaw Elektrik Analoglar Gyon Hareketi Analogları Membran Analog DeğiGken geometri DeğiGken sınır koGulları ÇÖZÜM YÖNTEMLERG du u e T 4 Q ) t , r ( h h u u 0 ? ?? ? ? ? ? Tt 4 S r u 2 ? 0 h ) 0 , r ( h ? 0 h ) t , ( h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ! 3 . 3 ! 2 . 2 ln 577216 . 0 ) ( 3 2 u u u u du u e u W u u ) ( 4 0 u W T Q h h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ! 3 . 3 ! 2 . 2 ln 577216 . 0 4 3 2 u u u u T Q s ? ) ( 4 u W T Q s ? ? Kararsız Akım Denklemi /THEIS (1935) EĞGTLGĞG ANALGTGK ÇÖZÜM BaGlangıç KoGulu Sınır KoGulu THEIS (1935) ÇÖZÜMÜNÜN VARSAYIMLARI 1-Akifer basınçlı, homojen, izotrop, uniform kalınlığa sahip ve sonsuz yayılımlıdır. 2-Pompajdan önce piyezometrik düzey yataydır. 3-Kuyudan su sabit debiyle çekilmektedir. 4-Kuyu akiferi kalınlığı boyunca tam kesmektedir ve kuyuya doğru akım akiferin her yerinde yataydır 5-Kuyu çapı, kuyuda depolamanın ihmal edilecek düzeyde olmasını sağlayacak oranda küçüktür. 6-Kuyuden çekilen su, akiferde hidrolik yükteki düGümü sonucunda gecikmesiz olarak gelmektedir. 0 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? z h x h x x x ? ? ? x x x ? ? ? NÜMERGK ÇÖZÜM Sonlu Farklar Yöntemi ile Gki Boyutlu Kararlı Akım Gleri Farklar Geri Farklar a da x df a f x ? ? ) ( ) ( ' ) ( ), ( ), ( ' ' ' ' ' ' ' ' ' a f a f a f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ! 3 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ! 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ' ' ' 2 ' ' 1 ' a x a f a x a f a x a f a f x f f(x) ? f(a) + f ?(a)(x-a) Taylor Serisi x i x i+1 x i-1 ? x ) z , x ( h ) z , x x ( h x h 0 x lim ? ? ? ? ? ? ? ? x ) z , x ( h ) z , x x ( h ) z , x ( x h 0 0 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? x ) z , x x ( h ) z , x ( h ) z , x ( x h 0 0 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? Taylor Serisi Kullanılarak Gleri Farklar Geri Farklar x ) z , x ( x h ) z , x x ( x h ) z , x ( x h 0 0 0 0 0 0 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 ) x ( ) z , x x ( h ) z , x ( h 2 ) z , x x ( h ) z , x ( x h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 ) z ( ) z z , x ( h ) z , x ( h 2 ) z z , x ( h ) z , x ( z h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z x ? ? ? ? ? 0 ) z , x ( h 4 ) z z , x ( h ) z z , x ( h ) z , x x ( h ) z , x x ( h ) x ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 j , i 1 j , i j , 1 i j , 1 i ij h h h h 4 1 h ? ? ? ? ? ? ? ? ise ? ? 4 3 2 1 5 h h h h 4 1 h ? ? ? ? x z h h K Q 5 1 15 15 ? ? ? ? Örnek ? ? 1 j , i 1 j , i j , 1 i j , 1 i ij h h h h 4 1 h ? ? ? ? ? ? ? ? Akım Alanı Üzerinde Grid Ağı ? ? 1 j , i j , 1 i ij h 2 h 2 4 1 h ? ? ? ? ? ? 1 j , i j , 1 i j , 1 i ij h 2 h h 4 1 h ? ? ? ? ? ?ÇÖZÜM TEKNGKLERG •Gauss Eliminasyon Tekniği •Jacobi Gterasyon Tekniği •Gauss-Siedel Gterasyon Tekniği •SOR (Successive Over Relaxation) Tekniği •ADI (Alternating Direction Implicit) Tekniği • vbg…. Satır/Süt un C D E F 4 8.55 8.75 9.05 9.25 5 7.75 ? ? 9.01 6 7.33 ? ? 8.44 7 7.01 7.54 8.05 8.21 0 ) ( 2 ) ( 2 2 1 , , 1 , 2 , 1 , , 1 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y h h h x h h h y h x h j i j i j i j i j i j i ? ? ? ? 0 4 , 1 , 1 , , 1 , 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? j i j i j i j i j i h h h h h 4 / ) ( 1 , 1 , , 1 , 1 , ? ? ? ? ? ? ? ? j i j i j i j i j i h h h h h D5 Hücresi için denklem =(D4+C5+D6+E5)/4 E6 Hücresi için denklem =(E5+D6+E7+F6)/4 Satır/Süt un C D E F 4 8.55 8.75 9.05 9.25 5 7.75 8.24 8.64 9.01 6 7.33 7.84 8.24 8.44 7 7.01 7.54 8.05 8.21 Akifer H 0 L Geçirimsiz birim Geçirimsiz birim 1 2 3 y x Kararlı Akım KoGullarında Yeraltısuyu Akımının Matematiksel Modeli ? ? ? ? 2 2 2 2 0 H x H y ? ? Sınır KoGulları: Üst 0 ? ? x L H x y H s x ( , ) 0 0 0 ? ? 0 0 ? ? Y y H ? ? 0 0 ? ? ? ? X x H H y 0 Sol 0 ? ? 0 ? ? ? ?L X x H H y 0 Sağ 0 ? ? Çözümü aranan denklem: Laplace Geçirimsiz temel Alt 0 ? ? x LLaplace Denklemi/Gauss-Seidel/ 11 x 6 aktif hücre SABİTLER Ho 50 Eğim 0.05 Uzunluk 100 Dirichlecht sınır koşulu dxx 10 Akımın olmadığı sınır koşulu (no- flow boundary) Uzunluk/dxx eşitliğini Sanal hücre (bu hücreler için sol,sağ ve alt hücrelerdeki eşitliklere bakınız) değiştirmeyiniz!!! Akım alanı içindeki hücre i=0 i=1 i=2 ... i=6 i=11 i=12 50.0 50.5 51.0 51.5 52.0 52.5 53.0 53.5 54.0 54.5 55.0 j=1 50.98 50.80 50.98 51.30 51.68 52.08 52.50 52.92 53.32 53.70 54.02 54.20 54.02 j=2 51.33 51.24 51.33 51.54 51.83 52.15 52.50 52.85 53.17 53.46 53.67 53.76 53.67 j=3 51.55 51.49 51.55 51.71 51.94 52.21 52.50 52.79 53.06 53.29 53.45 53.51 53.45 j=4 51.67 51.63 51.67 51.80 52.00 52.24 52.50 52.76 53.00 53.20 53.33 53.37 53.33 j=5 51.71 51.67 51.71 51.84 52.02 52.25 52.50 52.75 52.98 53.16 53.29 53.33 53.29 j=6 51.63 51.67 51.80 52.00 52.24 52.50 52.76 53.00 53.20 53.33 53.37 Sanal satır Not! (6,j) hücreleri için analitik çözüm 52.50 bütün j=1..11 için Hesaplanan ortalama 52.50 Hata 0.00