Genel Matematik Grafik Çizimi, Maksimum - Minimum Problemleri DERS 9 Grafik Çizimi , Maksimum-Minimum Problemleri 9.1. Grafik çiziminde izlenecek adımlar. y = f(x) in grafi ğini çizmek için Adım 1. f(x) i analiz ediniz. (f nin tanım kümesi, f(x) in tanımlı oldu ğu tüm reel sayıların olu şturdu ğu kümedir.) A ) f nin tanım kümesini belirleyiniz. B) Koordinat kesi şimlerini bulunuz. (E ğer varsa, y-kesi şimi f(0) dır; x- kesi şimleri de f(x)=0 ın çözümleri.) C) Asimtotları bulunuz. Adım 2. f´ (x) i analiz ediniz. (Hazırlayaca ğınız bir tabloda f´(x) in sıfır oldu ğu veya tanımsız oldu ğu yerleri, i şaret de ği şimini gösteriniz; böylece, f(x) in nerelerde artan, nerelerde azalan oldu ğunu ve ayrıca yerel maksimum ve minimum de ğerlerini belirleyiniz.) Adım 3. f´´(x) i analiz ediniz. (Hazırladı ğınız tabloda f´´(x) in de sıfır oldu ğu veya tanımsız oldu ğu yerleri, i şaret de ği şimini gösteriniz; böylece, f(x) in nerelerde a şa ğıya doğru, nerelerde yukarıya do ğru konkav olduğunu ve ayrıca varsa dönüm noktalarını belirleyiniz.) Adım 4. Grafi ği çiziniz. (Hazırladı ğınız tablodan da yararlanarak, asimtotları çiziniz, koordinat kesi şimle-rini, yerel maks. ve min. noktalarını, dönüm noktalarını i şaretleyiniz ve şeklinizi tamamlayınız.) Şimdi bu adımları bazı örnekler üzerinde gerçekle ştirelim. Örnek 1. f(x) = x 4 – 2x 3 ile verilen fonksiyonun grafiğini çizelim. Adım 1. f(x) i analiz edelim. A) f nin tanım kümesi : tüm reel sayılar kümesi R B) y – kesi şimi : f(0) = 0 x – kesi şimleri : f(x) = 0 , x 4 – 2x 3 = 0 ? x 3 (x – 2) = 0 ? x = 0 , 2 C) Asimtotlar : f bir polinom oldu ğundan dü şey veya yatay asimtot yoktur. Adım 2. f´(x) i analiz edelim : f´(x) = 4x 3 – 6x 2 = 4x 2 (x – 3/2) Kritik De ğerler : 0 ve 3/2 f(x) , (- ?,3/2) aralı ğında azalan, (3/2, ?) aralı ğında artan olup x = 3/2 de yerel minumum vardır. asimtot. yatay ise, ) ( lim asimtot; dusey , ise ) ( lim veya ) ( lim ( b y b x f a x x f x f x a x a x = = = ±? = ± ? = ? › › › + - m 0 0 0 -27/16 - - - - - - - - - + + + + + azalan azalan artan Yerel min. ? - 0 3/2 ? x f´(x) f(x) Adım 3. f´´(x) i analiz edelim: f´´(x) = 12x 2 – 12x = 12x(x-1) , f´´(x) = 0 ? x = 0 , 1. f(x) , (- ?,0) ve (1, - ?) aralıklarında yukarıya do ğru, (0,1) aralı ğında a şa ğıya do ğru konkav olup x = 0 ve x = 1 de dönüm noktası vardır. Şimdi, Adım 2 ve Adım 3 te elde edilenleri bir tabloda özetleyelim: (0,0) ve (1,-1) noktaları dönüm noktası, f(3/2) = -27/16 yerel minimum de ğeridir. Adım 4. Grafi ği çizelim. x f´´(x) f(x) ? - 0 1 ? 0 0 + + + + + + + + + + + + + + - - - - Yukarıya konkav Yukarıya konkav A şa ğıy a 0 -1 Dönüm noktası Dönüm noktası ? - ? 0 x f(x) f´(x) f´´(x) 0 0 0 1 -1 0 -2 -27/16 9 0 3/2 - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + - - - + + + + + + + + + + + + + + + 2 0 -1 2 1 -1 -2 f(x) = x 4 – 3 1 0 y x Buldu ğumuz noktaları yerle ştirelim Örnek 2. f(x) = x 3 + 3x 2 -9x +5 in grafi ğini çizelim Adım 1. f(x) i analiz edelim. A) f nin tanım kümesi : tüm reel sayılar kümesi R B) y – kesi şimi : f(0) = 5 x – kesi şimleri : f(x) = x 3 + 3x 2 -9x +5 =(x-1)2(x+5) (1,0) ve (-5,0) C) Asimtotlar : f bir polinom oldu ğundan dü şey veya yatay asimtot yoktur. Adım 2-3. f´(x) ve f´´(x) i analiz edelim : f´(x) = 3x 2 + 6x -9 = 3(x 2 +2x-3) = 3(x-1)(x+3) f´´(x) = 6x + 6 = 6(x+1) = 0 ? x = -1 , Kritik De ğerler : -3 ve 1 Adım 4. Örnek 3. nin grafi ğini çizelim. Adım 1. f(x) i analiz edelim. A) f nin tanım kümesi : R\{2} B) y – kesi şimi : 0 ? ? - 1 -1 -3 f ((x) 32 16 5 0 + + + - - - - - - + + + + + f ‘ (x) 0 0 f ‘‘ (x) 0 ------- + + + + + + + + + + -5 0 x y f(x) = x 3 + 3x 2 -9x +5 (-3,32) (-1,16) (0,5) (-5,0) (1,0) 2 1 ) ( - - = x x x f 2 1 2 0 1 0 ) 0 ( = - - = f x – kesi şimleri : Bir kesrin sıfır oldu ğu yerler, payın sıfır oldu ğu, ancak paydanın sıfırdan farklı oldu ğu yerlerdir. Dolayısıyla, x-kesi şimi x = 1 dir. C) Yatay asimtot : oldu ğundan, y = 1 atay asimtottur. Adım 2-3. Adım 4. 1 2 1 lim = - - ? › x x x m () () 2 2 2 1 2 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ´( - - = - - - - = x x x x x f () 3 2 2 ) ´´( - = x x f 0 ? - ? 2 1/ -1/4 1/4 1 0 -1 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + - - - - - - - - - - - - - x f´(x) f(x) f´´(x) x y -1 0 12 1 3 2 1 ) ( - - = x x x fÖrnek 4. in grafi ğini çizelim. Adım 1. f(x) i analiz edelim. A) f nin tanım kümesi : R B) y – kesi şimi : x – kesi şimleri : Yok. C) Yatay asimtot : Dü şey asimtot: Yok. Adım 2 ve Adım 3 ü birlikte gerçekle ştirip bir tek tablo yapalım: = 0 ? x = 0. = 0 ? x = Adım 4. 1 1 ) ( 2 + = x x f 1 1 0 1 ) 0 ( 2 = + = f oldu ğundan, y = 0 yatay asimtottur. 0 1 1 lim 2 = + ? › x x m ()() 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 ) 1 ( 0 ) ´( + - = + · - + · = x x x x x x f () 3 2 2 4 2 2 2 2 ) 1 ( 2 6 1 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 ( ) ´´( + - = + - · · + - + · - = x x x x x x x x f 3 1 m 0 ? - ? 1 0 1 1/2 + + + + + + + + + + + + + - - - - - - + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - x f´(x) f(x) f´´(x) 3/4 0 3 1 3/4 0 3 1 - Yerel Maks. x y 3 1 3 1 - 0 1 1 1 ) ( 2 + = x x fÖrnek 5. in grafi ğini çizelim. Tanım kümesi : R\{0} x-kesi şimi : yok , y-kesi şimi : yok. İkinci türevin asla sıfır olmadı ğına dikkat ediyoruz. x e x f x = ) ( ? = -? = + - › › x e x e x x x x 0 0 lim , lim ? x= 0 dü şey asimtot. ? = = ? › -? › x e x e x x x x lim , 0 lim ? y= 0 yatay asimtot. 1 0 ) 1 ( 1 ) ´( 2 2 = ? = - = · - · = x x e x x e x e x f x x x 3 2 4 2 ) 2 2 ( ) 1 ( 2 ) ) 1 ( ( ) ´´( x e x x x e x x x e x e x f x x x x + - = - - · - + = 0 ? - ? x f´(x) f(x) f´´(x) 1 e 0 e - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + Yerel min. x y 0 1 x e x f x = ) (Örnek 6. in grafi ğini çizelim. Tanım kümesi : x-kesi şimi : x = 1 , y-kesi şimi : yok. x x x f ln ) ( = () ? , 0 0 ) 1 ( ) 1 ( lim 1 ln lim ln lim 2 0 0 0 = - = = + + + › › › x x x x x x x x x ? = ? › x x x ln lim 1 ln 1 ln ) ´( + = ? ? ? ? ? ? · + = x x x x x f = 0 ? x = 1/e x x f 1 ) ´´( = 0 ? x f´(x) f(x) f´´(x) 1/e -1/e 0 e - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Yerel min. 1 0 x y 0 1 1/e x x x f ln ) ( =Grafik çizim stratejisini özetleyelim. GRAF İK Ç İZ İM STRATEJ İS İ y= f(x) in grafi ğini çizmek için Adım 1. f(x) i analiz ediniz. A) f nin tanım kümesini belirleyiniz (f nin tanım kümesi, f (x) in tanımlı oldu ğu tüm reel sayıların olu şturdu ğu kümedir.) B) Koordinat kesi şimlerini bulunuz (E ğer varsa, y-kesi şimi f (0) dır; x-kesi şimleri de f (x)=0 ın çözümleri.) C) Asimtotları bulunuz. Adım 2. f´(x) i analiz ediniz. (Hazırlayaca ğınız bir tabloda f ´(x) in sıfır oldu ğu veya ta- nımsız oldu ğu yerleri, i şaret de ği şimini gösteriniz; böylece, f (x) in nerelerde artan, nerelerde azalan oldu ğunu ve ayrıca yerel maksimum ve minimum de ğerlerini belirleyiniz.) Adım 3. f´´(x) i analiz ediniz. (Hazırladı ğınız tabloda f ´´(x) in de sıfır oldu ğu veya tanımsız oldu ğu yerleri, i şaret de ği şimini gösteriniz; böylece, f (x) in nerelerde a şa ğıya do ğru, nerelerde yukarıya do ğru konkav oldu ğunu ve ayrıca varsa dönüm noktalarını belirleyiniz.) Adım 4. Grafi ği çiziniz. 9.2 Maksimum – Minimum Problemleri. f bir fonksiyon, c ? R olsun. E ğer tanım kümesindeki her x için f(x) ? f(c) ise, f(c) ye f nin mutlak maksimum de ğeri denir.E ğer tanım kümesindeki her x için f(x) ? f(c) ise, f(c) ye f nin mutlak minimum de ğeri denir. ise, y=b yatay asimtot, ) veya ? = + › m ) ( lim x f a x ise, x=a dü şey asimtot b x f x = ? › ) ( lim m ? = - › m ) ( lim x f a x ( x y a c 1 b c 2 f(c 1 ) : f nin mutlak maksimum de ğeri f(c 2 ) : f nin mutlak minimum de ğeri Mutlak maksimum ve mutlak minimumla ilgili temel sonucu ifade ediyoruz: Teorem. f fonksiyonu [ a , b ] kapalı aralı ğında sürekli ise, f nin [ a , b ] aralı ğı üzerinde mutlak maksimum ve mutlak minimum de ğerleri vardır. f nin [ a , b ] aralı ğı üzerinde mutlak maksimum ve mutlak minimum de ğerlerini bulmak için 1. f nin [ a , b ] aralı ğı üzerinde sürekli oldu ğundan emin olunuz. 2. f nin ( a , b ) aralı ğında kritik noktalarını bulunuz. 3. f nin kritik noktalarda aldı ğı de ğerleri; f(a) ve f(b) yi bulunuz. 4. Adım 3 te buldu ğunuz de ğerlerden en büyü ğü f nin mutlak maksimum de ğeri, en küçü ğü de mutlak minimum de ğeridir. Örnek. F (x) = x 3 + 3x 2 – 9x –7 nin a şa ğıdaki aralıklardan her biri üzerinde mutlak maksimum ve mutlak minimum de ğerlerini bulunuz: a) [-6 , 4 ] b) [-4 , 2 ] c) [-2 , 2 ] 1. f nin verilen aralıklardan her biri üzerinde sürekli oldu ğu açık. 2. f nin kritik noktalarını bulalım: f ' (x) = 3x 2 + 6x – 9 = 0 ? 3(x 2 + 2x – 3) = 0 ? x = -3 , 1 . -3 ?[-2 , 2 ] olduğuna dikkat ediyoruz. 3. f (-6) = -61 , f (-4) = 13 , f (-3) = 20 , f (-2) = 15 , f (1) = -12 , f (2) = -5 , f (4) = 69. 4. [-6 , 4 ] için : mutlak maks. f(4) = 69 ; mutlak min. f (-6) = -61. [-4 , 2 ] için : mutlak maks. f (-3) = 20 ; mutlak min. f (1) = -12. [-2 , 2 ] için : mutlak maks. f (-2) = 15 ; mutlak min. f (1) = -12 . Problem. Radyo üreten bir firmanın, haftada x radyo üretmesi duru-munda toplam gideri C(x) = 5000 + 2x , fiyat – talep fonksiyonu ise p = 10 – (0.001) x , 0 ? x ? 10 000 olarak veriliyor . (Para birimi olarak YTL alınız.) a) Haftalık maksimum geliri bulunuz. b) Haftalık maksimum kârı, bu kârın gerçekle şmesi için haftada üretilmesi gereken radyo sayısını ve radyo ba şına fiyatı bulunuz. c) E ğer firma her bir radyo için 2 YTL vergi ödemek durumunda kalırsa, maksimum kâr ne olur ve bunun için haftada kaç radyo üretilmelidir? Bu durumda maksimum kâr için bir radyonun satı ş fiyatı ne olur? Çözüm. a) Gelir fonksiyonu R (x) = (10 – 0.001 x) x = 10 x – (0.001)x 2 , 0 ? x ? 10 000 olaca ğından R ' (x) = 10 – (0.002) x = 0 ? x = 5000. R (0) = 0 , R (5000) = 25 000 , R (10 000) = 0 . Maksimum gelir : 25 000 YTL. b) Kâr fonksiyonu P (x) = R (x) – C(x) = 10 x – (0.001)x 2 - (5000 + 2x) = -5000 + 8x - (0.001)x 2 . P ' (x) = 8 – (0.002) x = 0 ? x = 4000. P (0) = -5000 , P(10 000) = -15 000 , P(4000) = 11 000. Maksimum kâr : 11 000 YTL, 4000 radyo üretilince gerçekle şir. Bir radyonun satı ş fiyatı : p = 10 – (0.001)(4000) = 6 YTL. c) Radyo ba şına 2 YTL vergi ödenince gider fonksiyonu C (x) = 5000 + 2x + 2x = 5000 + 4x , kâr fonksiyonu P (x) = R(x) – C(x) = 10 x – (0.001)x 2 - (5000 + 4x) = -5000 + 6x - (0.001)x 2 . P ' (x) = 6 – (0.002) x = 0 ? x = 3000. P (3000) = 4 000. Maksimum kâr : 4000 YTL, 3000 radyo üretilince gerçekle şir. Bir radyonun satı ş fiyatı : p = 10 – (0.001)(3000) = 7 YTL. Problem. Bir yüzme havuzu zararlı bakterilerin yok edilmesi için periyodik olarak ilaçlanıyor. İlaçlama yapıldıktan t gün sonra havuz suyunun her cm3 ünde C(t) = 30 t 2 – 240 t + 500 , 0 ? t ? 8 bakteri görülüyor . Havuzdaki bakteri sayısı ilaçlamadan kaç gün sonra minimum olur? Çözüm. C(t) = 30 t 2 – 240 t + 500 , 0 ? t ? 8 C ' (t) = 60 t – 240 = 0 ? t = 4. C (0) = 500 , C(4) = 20 , C(8) = 500. Havuzdaki bakteri sayısı ilaçlama yapıldıktan 4 gün sonra minimum olur ve minimum sayı C (4) = 20 dir. 9.3. Günlük Ya şamdan Problemler. Şimdi günlük hayatta kar şıla şılabilecek maksimizasyon problemlerine ba şka örnekler veriyoruz. Problem. A şa ğıdaki şekilde görüldü ğü gibi, uzun bir duvarın önünde bir ta-rafı duvar ve di ğer üç tarafı tel-örgü ile çevrili dikdörtgen biçiminde bir alan olu şturulmak isteniyor. Bu i ş için kullanılacak tel-örgü 24 m. oldu ğuna göre, olu şturulacak alanın maksimum olması için dikdörtgenin boyutları ne olmalıdır? Maksimum alan ne olur? Problemin çözümü için dikdörtgenin duvara dik gelen kenarının uzunlu ğunu x ile gösterelim. O zaman duvara paralel olan kenarın uzunlu ğu 24 - 2x olur. Dik dörtgenin alanı A (x) = x (24 - 2x ) = 24 x – 2x 2 , 0 ? x ? 12 olaca ğından A‘ (x) = 24 - 4x = 0 ? x = 6 A (0) = 0 , A (12) = 0 , A (6) = 72 Maksimum alan için boyutlar : en 6 m , boy 12 m. Maksimum alan : A(6) = 6.12 = 72 m 2 . Problem. Bir ceviz üreticisi, geçmi ş deneyimlerinden, dönüm ba şına 20 a ğaç dikerse, her bir a ğacın yılda ortalama 60 kg. ceviz verece ğini tahmin ediyor. Dönüm ba şına 20 a ğaçtan 24 – 2x x 24 m. sonra dikilecek her a ğaç, a ğaç ba şına yıllık verimi 2 kg. dü şürüyor. Bir dönüme en çok 45 a ğaç dikilebildi ğine göre, maksimum verim için dönüm ba şına kaç a ğaç dikilmelidir? 100 dönümlük bir topra ğa ceviz ekilirse alınabilecek yıllık maksimum verim ne olur? Çözüm. Bir dönüme ekilecek a ğaç sayısı: N(x) = 20 + x , 0 ? x ? 25 Dönüm ba şına yıllık verim: V(x) = (20 + x) (60 - 2 x) = 1200 +20x – 2x 2 , 0 ? x ? 25 V’ (x) = 20 – 4x = 0 ? x = 5 V’ (x) = 20 – 4x = 0 ? x = 5 V(0)= 1200 , V(25)= 450 , V(5)= 1250 Dönüm ba şına 20 + 5 = 25 a ğaç dikilirse yıllık verim maksimum olur: V(5) = 1250 kg. 100 dönümlük topraktan yıllık maksimum verim : 100.1250 = 125000 kg. Problemler 9 1. A şa ğıdaki problemlerde ) (x f y = in grafi ğini, grafik çizim stratejisi uygulayarak çiziniz. a) 5 6 ) ( 2 + - = x x x f b) 2 3 6 ) ( x x x f - = c) 2 ) 2 )( 4 ( ) ( - + = x x x f ç) 3 3 ) ( - + = x x x f d) 2 2 ) 4 ( ) ( - = x x f 2. A şa ğıdaki fonksiyonların her birinin grafi ğini grafik çizim stratejisini uygulayarak çiziniz. a) x x x f ln ) ( - = b) x e x x f ) 3 ( ) ( - = c) x e x f x = ) ( ç) x x x f ln ) ( = 3. f (x) = x 3 – 3 x 2 – 9x + 3 denklemi ile verilen fonksiyonun [-4,2] kapalı aralı ğı üzerinde mutlak maksimum ve mutlak minimum de ğerlerini belirleyiniz. 4. 250 odası bulunan bir otel 40 YTL lik oda fiyatı ile her gece dolmaktadır. Otel idaresi, fiyatı yükselterek kârını artırıp artıramayaca ğını belirlemek istiyor. Fiyattaki her 1 YTL lik artı şın o gece 5 odanın boş kalmasına neden olduğu görülüyor. Her oda için günlük sabit gider 25 YTL ve her dolu oda için günlük servis gideri de 10 YTL oldu ğuna göre, otel idaresi maksimum kâr için oda fiyatını kaç YTL olarak belirlemelidir? (Oda fiyatında indirim asla dü şünülmemektedir.) 5. Haftada x adet hesap makinesi üretip satan bir firmanın gider fonksiyonu ve fiyat fonksiyonu C(x) = 68 000 + 5x , p(x) = 14 – (x / 4000) , 0 ? x ? 25 000 olarak veriliyor. Firmanın kârı hangi üretim seviyesinde maksimum olur? 6. Şekilde görüldü ğü gibi, bir evin önünde dikdörtgen şeklinde bir alan tel örgü ile çevrilecektir. Bu alanın 60 metrelik kısmı ev ile kapatıldı ğından oraya tel örgü kullanılmayacaktır. Bu i ş için kullanılmak üzere sadece 360 metre tel örgü bulundu ğuna göre maksimum alan çevirmek için dikdörtgenin boyutları ne olmalıdır? 7. A şa ğıdaki fonksiyonların her birinin (0 , ? ) aralı ğında mutlak maksimum ve mutlak minimum de ğerlerini (varsa) bulunuz. a) x x x f 27 3 ) ( + = b) 2 12 3 5 ) ( x x x f + + = 8. Bir üründen x tane üretmek için yapılan toplam gider x x x C ln 100 100 600 ) ( - + = dir. Minimum ortalama gideri bulunuz. 9. Televizyon seti üreten bir firmanın, ayda x televizyon seti üretmesi durumunda, toplam gider fonksiyonu C(x) = 72 000 + 60x , fiyat – talep denklemi de 000 6 0 , 30 200 ? ? - = x x p olarak veriliyor. Para birimi, birim para ile gösterilsin. a) Maksimum geliri bulunuz. b) Maksimum kârı; bu kârın gerçekle şmesi için kaç adet televizyon seti üretilmesi gerekti ğini ve her bir televizyon setinin kaça satılması gerekti ğini belirleyiniz. c) E ğer firma, üretti ği her televizyon seti için 5 birim para vergi öderse, kârın maksimum olması için kaç adet televizyon seti üretmelidir? Bu durumda maksimum kâr ne olur? Her bir televizyon setini kaça satmalıdır? EV 10. Elektrik sobası üreten bir firmanın, ayda x elektrik sobası üretmesi durumunda, toplam gider fonksiyonu C(x) = 50 000 + 350x , fiyat – talep denklemi de 000 20 0 , 025 . 0 500 ? ? - = x x p olarak veriliyor. Para birimi, birim para ile gösterilsin. a) Maksimum geliri bulunuz b) Maksimum kârı; bu kârın gerçekle şmesi için kaç adet elektrik sobası üretilmesi gerekti ğini ve her bir elektrik sobasının kaça satılması gerekti ğini belirleyiniz. c) E ğer firma, üretti ği her elektrik sobası için 5 birim para vergi öderse, kârın maksimum olması için kaç adet elektrik sobası üretmelidir? Bu durumda maksimum kâr ne olur? Her bir elektrik sobasını kaça satmalıdır? 11. Bir bakteri kolonisine üremelerini arttıran bir ilaç veriliyor. İlaç verildikten t dakika sonra kolonideki bakteri sayısı a şa ğıdaki ifade ile veriliyor: N (t) = 1000 + 36t 2 – t 3 , 0 ? x ? 30. a) Kolonideki bakteri sayısı hangi t de ğeri için maksimum olur? Maksimum sayı kaçtır? b) Kolonideki bakteri sayısı hangi t de ğerinde en çok artmaktadır?