Genel Matematik İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS 1 İki De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler 1.1. Do ğrusal Denklem Sistemleri. Günlük ya şamda a şa ğıdakine benzer pek çok problemle kar şıla şırız. Problem. Manavdan alı şveri ş eden bir mü şteri, 2 kg armut ve 1 kg portakal için 8 YTL, di ğer bir mü şteri de 1 kg armut ve 3 kg portakal için 9 YTL ödemi ştir. Armut ve portakalın satı ş fiyatını belirleyiniz. Çözüm için, bir kg armutun x YTL den, bir kg portakalın da y YTL den satıldı ğı varsayılırsa, ? ? ? = + = + 9 3 8 2 y x y x oldu ğu görülür. Problemimiz, yukarıdaki iki denklemi sa ğlayan x ve y sayılıarını bulmaktır. Bu tür problemler için çözüm yöntemlerini vermeden önce konu ile ilgili bazı matematiksel terimler tanımlayaca ğız. Tanım 1. a , b , h ? R olmak üzere ax + by = h denklemine bir do ğrusal denklem denir. Bu ifadede x ve y sembollerine de ği şkenler, a ve b sayılarına katsayılar, h sayısına da sa ğ taraf sabiti denir. Tanım 2. Verilen x 0 , y 0 reel sayıları için ax + by = h do ğrusal denkleminde x yerine x 0 ve y yerine y 0 yazılınca denklem sa ğlanıyorsa, ba şka bir deyimle, ax 0 + by 0 = h oluyorsa, bu takdirde (x 0 , y 0 ) reel sayı ikilisine bu denklemin bir çözümü denir. E ğer a ve b sayılarından en az biri sıfırdan farklı ise, ax + by = h do ğrusal denkleminin sonsuz çoklukta çözümü vardır. Örnek 1. 2x + y = 6 do ğrusal denkleminin bazı çözümleri, (1,4), (2, 2), (-1,8), (0,6), (3,0) dır. (4,2) bu denklemin bir çözümü müdür? Neden? Her t ? R için bu denklemde x yerine t yazılarak y hesaplanırsa, y = - 2t + 6 elde edilir. Dolayısıyla, her t ? R için (t , -2t + 6) bu denklemin bir çözümüdür. Di ğer yandan, bu denklemin bir çözümünün birinci bile şeni t ise, ikinci bile şeni de -2t + 6 olaca ğından bu denklemin çözüm kümesi, Ç={(t,-2t + 6) : t ? R} olarak ifade edilebilir. DERS 1 …………………………………………………………………………………….. 2 Uyarı. Her iki katsayısı da sıfır, sa ğ taraf sabiti sıfırdan farklı olan bir do ğrusal denklemin hiç çözümü yoktur. Örne ğin, 0x + 0y = 3 do ğrusal denkleminin hiç çözümü yoktur. E ğer hem katsayılar hem de sa ğ taraf sabiti sıfır, yani 0x + 0y = 0 ise, her reel sayı ikilisi, bu denklemin bir çözümüdür. Geometrik olarak, katsayılarından en az biri sıfırdan farklı olan her do ğrusal denklemin grafi ğinin düzlemde bir do ğru oldu ğunu anımsayınız. Do ğrusal denklemin çözümleri, grafik üzerindeki noktalara kar şılık gelen reel sayı ikilileridir. Yukarıdaki örnekte, 2x + y = 6 denkleminin çözümleri, a şa ğıdaki do ğrunun noktalarına kar şılık gelen reel sayı ikilileridir. Tanım 3. a , b , c, d , h , k ? R olmak üzere ? ? ? = + = + k dy cx h by ax doğrusal denklemler toplulu ğuna bir do ğrusal denklem sistemi denir. Böyle bir do ğrusal denklem sisteminin bir çözümü denince her iki denklemin de çözümü olan bir (x 0 , y 0 ) reel sayı ikilisi anla şılır. Ba şlangıçta ele aldı ğımız problemin çözümünün ? ? ? = + = + 9 3 8 2 y x y x doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesinin belirlenmesine denk oldu ğunu görmü ştük. Bir do ğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için çe şitli yöntemler vardır. Biz a şa ğıda üç yöntem üzerinde duraca ğız: Grafik Yöntemi , Yerine Koyma Yöntemi, Yoketme Yöntemi. (3,0) (0,6) x yİki De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………………… 3 1.2. Grafik Yöntemi. Her doğrusal denklemin grafi ğinin bir do ğru oldu ğunu anımsayınız. Düzlemde iki do ğrunun birbirine göre konumu üç biçimde olabilir: Bir do ğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için o denklem sistemindeki doğrusal denklemlerin grafikleri aynı düzlem üzerinde(örne ğin, aynı grafik kâ ğıdı üzerinde) çizilir ve elde edilen do ğruların ortak noktalarına yani kesi şim noktalarına bakılır. ? ? ? = + = + k dy cx h by ax denklem sistemine kar şılık gelen do ğrular paralel do ğrular ise, denklem sisteminin hiç çözümü yoktur. kesi şen do ğrular ise, sistemin bir tane (tek) çözümü vardır. çakı şık doğrular ise, sistemin sonsuz çoklukta çözümü vardır. Örnek 1. ? ? ? = + = + 9 3 8 2 y x y x denklem sistemini grafik yöntemi ile çözelim. Kesi şen do ğrular Paralel do ğrular Çakı şık doğrular x y (9,0 (0,8) (4,0) 2x + y =8 (0,3) (3,2) x + 3 y =9DERS 1 …………………………………………………………………………………….. 4 Görüldü ğü üzere, bu denklem sistemine kar şılık gelen do ğrular bir noktada kesi şmektedir. Dolayısıyla, sistemin tek bir çözümü vardır ve çözüm kümesi, Ç = {(3 , 2)} dir. Örnek 2. ? ? ? = + - = + 8 4 2 2 2 y x y x doğrusal denklem sisteminin grafik yöntemi ile çözümü. Bu örne ğimizde, sisteme kar şılık gelen do ğrular paraleldir. Dolayısıyla, sistemin hiç çözümü yoktur; çözüm kümesi, bo ş küme, Ç = Ø dir. Örnek 3. ? ? ? = + = + 8 4 2 4 2 y x y x doğrusal denklem sisteminin grafik yöntemi ile çözümü. x y (4,0) (0,2) x +2y = 4 2 +4y =8 (4,0) (0,2) (-2,0) (0,-1) 2x +4y =8 x +2y = -2 x yİki De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………………… 5 Bu örne ğimizde, sisteme kar şılık gelen do ğrular çakı şıktır. Ba şka bir deyimle sistemdeki denklemlerin çözüm kümeleri aynıdır. Denklemlerden biri kullanılarak çözüm kümesi, Ç={(t , 2 – (1/2)t) : t ? R} olarak ifade edilebilir. 1.3. Yerine Koyma Yöntemi. Denklemlerden birinden de ği şkenlerden biri di ğeri cinsinden ifade edilir ve di ğer denklemde yerine konur; elde edilen bir de ği şkenli denklem çözülerek sonuca gidilir. Örnek 1. ? ? ? = + = + 9 3 8 2 y x y x Bu örnekte, ilk denklem 8 2 = + y x den y de ği şkeni x cinsinden x y 2 8 - = olarak ifade edilerek bu ifade ik,inci denklem olan 9 3 = + y x da yerine konulup birkaç aritmetik i şlem sonunda 9 5 24 = - x denklemi elde edilmi ş ve buradan 3 = x oldu ğu görülmü ştür. y de ği şkeninin x cinsinden ifadesinde x yerine 3 yerle ştirilerek 2 = y oldu ğu ve böylece, çözüm kümesinin Ç = {(3 , 2)} oldu ğu görülmü ştür. A şa ğıdaki örneklerde de aynı yolun izlendi ğini gözlemleyiniz. Örnek 2. Sonuç olarak, çözüm kümesi, Ç = {(1 , -1)} dir. ? ? ? = - = + 5 3 2 4 5 y x y x y = 4 – 5x 2x - 3(4 – 5x) = 5 2x -12 + 15x = 5 -12 + 17x = 5 17x = 17 x = 1 y = 4 - 5 y = -1 y = 8 – 2x x + 3(8 – 2x) = 9 x + 24 – 6x = 9 24 – 5x = 9 5x = 15 x = 3 y = 8 - 6 y = 2 DERS 1 …………………………………………………………………………………….. 6 Örnek 3. Ula şılan bu ifade, denklem sisteminin hiç çözümü bulunmadı ğını, yani, Ç = Ø oldu ğunu gösterir. Örnek 4. Son e şitlikten, sistemin, her x de ğeri için bir çözümü bulundu ğu; çözüm kümesinin sonsuz oldu ğu sonucu çıkar. Şimdi, x = t alıp yukarıda y için ikinci denklemden buldu ğumuz ifadeden y = 2t -2 elde ederiz. Dolayısıyla, bu örne ğimizdeki denklem sisteminin çözüm kümesi, Ç = {(t , 2t - 2) : t ?R} dir. Bu ifadede görülen t simgesi parametre olarak adlandırılır. Parametreye atanacak her de ğer sistemin bir özel çözümünü verir. Örne ğin, t = 1 için (1,0); t = 2 için (2,2) çözümü elde edilir. Bu ba ğlamda, çözüm kümesinin herhangi bir elemanını göstern (t , 2t - 2) ikilisine, sistemin genel çözümü denir. 1.4. Yoketme Yöntemi. Bu yöntemde, verilen bir denklem sistemi, çözümü daha kolay ancak verilen sistemle aynı çözüm kümesine sahip bir sisteme dönü ştürülerek adım adım çözüme ula şılır. Tanım 1. Çözüm kümeleri aynı olan iki denklem sistemine denk sistemler denir. ? ? ? = - = - 5 2 4 2 4 y x y x y = 2x - 5 4x - 2(2x – 5) = 4 4x – 4x + 10 = 4 10 = 4 ! ! ! . . . ? ? ? = - = - 2 2 4 2 4 y x y x y = 2x - 2 4x - 2(2x – 2) = 4 4x – 4x + 4 = 4 4 = 4 ! ! ! . . . İki De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………………… 7 Örnek 1. ? ? ? = + = + 9 3 8 2 y x y x ve ? ? ? - = - - = - 15 5 1 2 x y x sistemleri denktir, çünkü her iki sistemin de çözüm kümesi Ç = {(3 , 2)} dir. YoketmeYöntemi a şa ğıdaki teoremin uygulanmasıyla gerçekleştirilir. Teorem. A şa ğıdaki i şlemlerden her biri verilen bir denklem sistemini o sisteme denk bir denklem sistemine dönü ştürür: A. İki denklemin yerini de ği ştirmek. B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. C. Bir denklemin bir sabitle çarpımını ba şka bir denkleme (taraf – tarafa) toplamak. Örnek 2. ? ? ? = + = + 9 3 8 2 y x y x En sondaki denklem sisteminin çözüm kümesinin ne oldu ğu açıkça görülmeketedir. Bu sistem, ba şlangıçtaki sisteme denk oldu ğundan, ba şlangıçtaki denklem sisteminin çözüm kümesi, Ç = {(3 , 2)} dir. Örnek 3. ? ? ? = + = + 8 4 2 4 2 y x y x Bu i şlem sonucunda, ikinci denklem sisteminde, ikinci denklemin yerine, daima do ğru olan 0 = 0 e şitli ği gelmi ştir. O halde, bu örne ğimizdeki do ğrusal denklem sisteminin çözüm kümesi, x + 2 y = 4 do ğrusal denkleminin çözüm kümesi ile aynıdır. Bu denklemde y yi x (-3) × (birinci) + (ikinci) ? ? ? - = - = + 15 5 8 2 x y x (-1/5) × (ikinci) ? ? ? = = + 3 8 2 x y x (-2) × (ikinci) + (birinci) ? ? ? = = 3 2 x y ? ? ? = = 2 3 y x (ikinci) - (birinci) (-2) × (birinci) + (ikinci) ? ? ? = = + 0 0 4 2y x Birinci denklem (-3) ile çarpılıp ikinci denkleme toplanmı ştır. İkinci denklem 5 1 - ile çarpılmı ştır. İkinci denklem (-2) ile çarpılıpbirinci denkleme toplanmı ştır. İki denklemin yerleri de ği ştirilmi ştir. DERS 1 …………………………………………………………………………………….. 8 cinsinden 2 2 1 + - = x y olarak ifade edip çözüm kümesini, Ç = {(t,-(1/2)t+2) : t ?R} olarak elde ederiz. Örnek 4. ? ? ? = + - = + 1 3 3 6 2 y x y x Bu i şlem sonucunda, ikinci denklem sisteminde, birinci denklemin yerine, asla do ğru olmayan 0 = -5 e şitli ği gelmi ştir. Bu nedenle, bu örne ğimizdeki denklem sisteminin hiç çözümü yotur; çözüm kümesi Ç = Ø dir. Örnek 5. ? ? ? - = + = - 1 5 2 8 2 3 y x y x Son denklem sisteminden, çözüm kümesinin Ç = {(2 , -1)} oldu ğu görülür. (-2) × (ikinci)+( birinci) ? ? ? = + - = 1 3 5 0 y x 5 × (birinci) , 2 × (ikinci) ? ? ? - = + = - 2 10 4 40 10 15 y x y x (birinci) +(ikinci) ? ? ? = = - 38 19 40 10 15 x y x (1/19) × (ikinci) (ikinci) - (birinci) ? ? ? = = - 2 40 10 15 x y x -15 × (ikinci) + (birinci) ? ? ? = = - 2 10 10 x y (-1/10) × (birinci) ? ? ? = - = 2 1 x y ? ? ? - = = 1 2 y xİki De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………………… 9 1.5. Günlük Ya şamdan Örnekler: Fiyat-Talep ve Fiyat-Arz Denklemleri. Günlük ya şamda kar şıla şılan problemlerden önemli bir kısmının matematiksel modeli do ğrusal denklem sistemleri olarak olu şturulabilir. Örne ğin, tüketicilerin belli bir zaman aralı ğında belli bir üründen ne kadar satın alacakları o ürünün fiyatına ba ğlı olarak de ği şir. Genel olarak fiyat yükse-dikçe talep azalır; fiyat dü ştükçe talep artar. Benzer şekilde, satıcıların belli bir zaman aralı ğında belli bir ürünün ne kadarını satı şa sunacakları da o ürünün fiyatına ba ğlı olrak de ği şir. Genel olarak, satıcı, yüksek fiyatla sattı ğı üründen daha çok, dü şük fiyatla sattı ğı üründen ise daha az satmak ister. Piyasa ara ştırmaları ile tüketicilerin bir ürünü hangi fiyattan ne kadar tüketmeye e ğilimli oldukları; satıcıların da bir ürünü hangi fiyattan ne miktarda satmaya e ğilimli oldukları tahmin edilebilir. Tüketicilerin bir ürünü hangi fiyattan ne kadar tüketmeye e ğilimli olduklarını gösteren denkleme fiyat – talep denklemi, satıcıların bir ürünü hangi fiyattan ne kadar satmak e ğiliminde olduklarını gösteren denkleme de fiyat – arz denklemi denir. Örnek 1. Bir beldede kiraz satı şlarıyla ilgili olarak yapılan ar ştırmalar, piyasada tonu p YTL den q ton kiraz talep edilece ği dü şünüldü ğünde, fiyat – talep denkleminin p = -(0.2)q + 4 , onu p YTL den q ton kiraz satılabilece ği dü şünüldü ğünde, fiyat – arz denkleminin ise p = (0.07)q + 0.76 oldu ğu görülüyor. Denge fiyatını, yani arz ile talebin çakı ştı ğı fiyatı, bulunuz. Çözüm. Örne ğin, 10 tonluk talep oldu ğunu varsayalım. Fiyat - talep denklemi, fiyatın 2 YTL olmasını gerektirir. Bu fiyat için fiyat – arz denklemi de arzın 17.7 ton olmasını gerektirir. Bu durumda talepten çok kiraz arz edilecek ve muhtemelen fazla kiraz çürümeye terk edilecektir. Denge fiyatı, hem fiyat – talep denkleminin hem de fiyat – arz denkleminin sa ğlandı ğı fiyattır. Ba şka bir deyimle, her iki denklemi de sa ğlayan p ve q de ğerleri bulunursa denge fiyatı belirlenmi ş olur. Her iki denklemi de sa ğlayan p ve q de ğerlerinin bulunması, a şa ğıdaki denklem sisteminin çözüm kümesinin bulunması demektir. Çözüm için, istenilen herhangi bir yöntem uygulanabilir. Yerine koyma yöntemini uygulayalım. ? ? ? = - = + 76 . 0 ) 07 . 0 ( 4 ) 2 . 0 ( q p q p Denge fiyatı p = 1.6 YTL dir. Piyasaya q = 12 ton kiraz sürülmelidir. p = -(0.2)q + 4 -(0.2)q + 4 – (0.07)q = 0.76 -(0.27)q = -3.24 q = 12 , p = 1.6 DERS 1 …………………………………………………………………………………….. 10 1.6. Matrisler. Şu ana kadar a , b , c , d , h , k ? R olmak üzere biçiminde denklem sistemlerini ele aldık. Burada x ve y sembollerine de ği şkenler, a ,b, c ve d say ılarına katsayılar, h ve k sayılarına da sağ taraf sabitleri dedi ğimizi anım- sayalım. Bu denklem sistemi iki de ği şkenli iki denklemden olu şmaktadır. De ği şken sayısını artırarak çok de ği şkenli do ğrusal denklemlerden ve denklem sayısını da artırarak ikiden çok sayıda denlemden olu şan denklem sistemlerinden bahsedilebilece ği açıktır. Do ğrusal denklem sistemleri ile ilgili olarak belirtmek istedi ğimiz di ğer bir husus da bir doğrusal denklem sisteminin katsayıları ve sa ğ taraf sabitleri tarafından tamamen belir- lendi ğidir. Örne ğin yukarıdaki doğrusal denklem sistemi, katsayıları ve sa ğ taraf sabitlerinin olu şturdu ğu şu sayı tablosu tarafından tamamen belirlenir: Bu tabloya söz konusu do ğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi denir. Dersimizin ileryen kısımlarında matis kavramını daha ayrıntılı olarak ele alaca ğız ve denklem sistemlerinin çözümünde nasıl etkin bir araç olarak kullanıldı ğını görece ğiz. Denklem sistemlerinin yoketme yöntemi ile çözümünde, katsayıların ve sa ğ taraf sabitlerinin temel rolü oynadı ğını gözlemlemi ştik. Matris kavramı bu çözüm sürecinin daha etkin uygulanabilmesini ve bilgisayar kullanımına uyarlanabilmesini sa ğlar. Tanım 1. m tane satır ve n tane sütun olu şturacak biçimde dizilmi ş mn tane sayının olu şturdu ğu tabloya bir m ×n matris denir. Örnek olarak, tablolarından ilki bir 2 × 3 matris A , di ğeri de bir 4 × 3 matris B yi göstermektedir. ? ? ? = + = + k dy cx h by ax ? ? ? ? ? ? k h d c b a ? ? ? ? ? ? - - = 1 4 2 1 3 5 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = 3 0 6 2 5 4 1 4 2 1 3 5 , Bİki De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………………… 11 Tanım 2. Bir matrisi olu şturan sayılardan her birine o matrisin bir girdisi denir. Yukarıda, A matri-sinin 6 adet girdisi 2 satır ve 3 sütun olu şturacak biçimde; B matrisinin 12 adet girdisi de 4 satır ve 3 sütun olu şturacak biçimde düzenlenmi ştir. Bir matrisin girdileri ait oldukları satır ve sütuna gönderme yapılarak belirtilir. Tanım 3. Bir matrisin i – inci satırında ve j – inci sütununda bulunan girdiye o matrisin i-j girdisi denir. Örne ğin, A matrisinin 1-2 girdisi 3 , B matrisinin 3-2 girdisi -5 tir. Bir m × n matris A genellikle a şa ğıdaki gibi gösterilir. m × n ifadesine A matrisinin büyüklü ğü, m ve n sayılarına da A matrisinin boyutları denir. Tanım 4. Sadece bir satırdan olu şan bir matrise satır matrisi , sadece bir sütundan olu şan bir matrise sütun matrisi denir. Örne ğin, a şa ğıda A bir 1 × 3 satır matrisi , B bir 2 × 1 sütun matrisidir. Bir matrisin her bir satırı bir satır matrisi, her bir sütunu da bir sütun matrisi olarak düşünülebilir. Örne ğin yukarıdaki m × n matris olan A nın birinci satırı ikinci satırı dir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = mn m m n n a a a a a a a a a A K K K K 2 1 2 22 21 1 12 11 [ ] 1 3 5 - = A ? ? ? ? ? ? - = 2 5 B [] n a a a 1 12 11 K [] n a a a 2 22 21 KDERS 1 …………………………………………………………………………………….. 12 A şa ğıda, bir 4×3 matrisin satır ve sütunlarının numaralanı şı görülmektedir. 1.7. Matrisler üzerinde satır i şlemleri. İki de ği şkenli do ğrusal denklem sistemlerini yoketme yöntemi ile çözerken a şa ğıdaki teoremi uygulamı ştık. Teorem. A şa ğıdaki i şlemlerden her biri verilen bir denklem sistemini o sisteme denk bir denklem sistemine dönü ştürür: A. İki denklemin yerini de ği ştirmek. B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. C. Bir denklemin bir sabitle çarpımını ba şka bir denkleme (taraf – tarafa) toplamak. Ayrıca, her do ğrusal denklem sisteminin, ilaveli matrisi ile tamamen belirlendi ğini görmü ştük. ? ? ? = + = + k dy cx h by ax nin ilaveli matrisi ? ? ? ? ? ? k h d c b a dir. Teoremdeki A , B , C i şlemlerinin ilaveli matris üzerinde, sırasıyla, a şa ğıdaki satır i şlemlerine kar şılık geldi ği kolayca görülebilir: İki satırın yerini de ği ştirmek. Bir satırı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. Bir satırın bir sabitle çarpımını ba şka bir satıra toplamak. birinci satır ikinci satır üçüncü satır dördüncü satır ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = 3 0 6 2 5 4 1 4 2 1 3 5 A üçüncü sütun ikinci sütun birinci sütun İki De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………………… 13 Yukarıdaki i şlemlere matrisler üzerinde satır i şlemleri denir. Matrisler üzerindeki satır i şlemleri için a şa ğıdaki gösterimler kullanılır. İki satırın yerini de ği ştirmek. R i - R j (i-inci satır ile j-inci satırın yerlerini de ği ştirmek) Bir satırı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. cR i ›R i (i-inci satırı sıfırdan farklı c sabiti ile çarpmak) Bir satırın bir sabitle çarpımını ba şka bir satıra toplamak. cR i +R j ›R j (i-inci satırı c sabiti ile çarpıp j-inci satıra toplamak) Bir matrisin bir satırını bir sabitle çarpmak, o satırdaki tüm girdileri o sabitle çarpmak demektir. Yine bir satırı ba şka bir satıra toplamak, o satırdaki her girdiyi di ğer satırın kar şılık gelen girdisine toplamak demektir. Örnek 1. Örnek 2. Burada, ikinci satırın her girdisi 2 ile çarpılmı ştır. Örnek 3. Bu örnekte, birinci satırın her girdisi 2 ile çarpılıp elde edilen sayı üçüncü satırın kar şılık gelen girdisine toplanmı ştır. Yoketme yöntemi ile denklem sistemlerini çözerken, denklemler üzerinde A, B, C i şlemlerini uygulayarak ba şlangıçtaki denklem sistemine denk ve çözümü daha kolay olan sistemler elde ederek sonuca gitti ğimizi anımsayınız. Denklemler üzerinde uygulanan i şlemler sistemin ilaveli matrisi üzerinde satır i şlemlerine kar şılık gelmektedir ve ilaveli matris üzerinde bu i şlemleri uygulamak ve izlemek, denklemler üzerinde i şlemler uygulamaktan daha elveri şlidir. İlaveli matris üzerinde uygulanan her satır i şlemi bize ba şlangıçtaki denklem sistemine denk olan bir sistemin ilaveli matrisini verir. Bu nedenle, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = 2 5 4 1 4 2 1 3 5 A R 1 - R 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 2 5 4 1 3 5 1 4 2 2R 2 › R 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 2 5 4 2 8 4 1 3 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = 2 5 4 1 4 2 1 3 5 A 2R 1 +R 3 › R 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 0 1 6 1 4 2 1 3 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = 2 5 4 1 4 2 1 3 5 ADERS 1 …………………………………………………………………………………….. 14 çözümün adımlarını ilaveli matris üzerinde gerçekle ştirmeyi tercih ederiz. Daha önceki bir örne ğimizi yeniden ele alarak bunu gerçekle ştirelim: Şimdi ? ? ? = + = + 9 3 8 2 y x y x sisteminin ilaveli matrisi üzerinde yaptı ğımız i şlemlere ve elde etti ğimiz son matrise bakalım: Son ilaveli matrise kar şılık gelen ve ba şlangıçtaki denklem sistemine denk olan denklem sistemi o kadar basittir ki, çözümü hemen söylemek mümkündür. ? ? ? = = 2 3 y x Dolayısıyla, sistemin çözüm kümesi Ç = {(3 , 2)} dir. Bu basit örnekte oldu ğu gibi, her hangi bir denklem sistemini çözmek için, sistemin ilaveli matrisine uygun satır i şlemleri uygulanarak öyle basit bir matris elde edilir ki, o basit matrise kar şılık gelen denklem sisteminin çözüm kümesi hemen belirlenebilir. Burada basit matris ile ne söylenmek istendi ği sonraki dersimizin konusu olacaktır. ? ? ? = + = + 9 3 8 2 y x y x (-3) × (birinci) + (ikinci) ? ? ? - = - = + 15 5 8 2 x y x (-1/5) × (ikinci) ? ? ? = = + 3 8 2 x y x (-2) × (ikinci) + (birinci) ? ? ? = = 3 2 x y ? ? ? = = 2 3 y x (birinci) - (ikinci) ? ? ? ? ? ? ? ? ?› ? - 2 3 1 0 0 1 2 1 R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?› ? › + - 3 2 0 1 1 0 1 1 2 2 R R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?› ? › - 3 8 0 1 1 2 2 2 5 1 R R ? ? ? - ? ? ? - ? ? ? ? ?› ? › + - 15 8 0 5 1 2 2 2 1 3 R R R ? ? ? ? ? ? 9 8 3 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?› ? - 2 3 1 0 0 1 2 1 R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?› ? › + - 3 2 0 1 1 0 1 1 2 2 R R R ? ? ? ? ? ? ? ? ?› ? › - 3 8 0 1 1 2 2 2 5 1 R R ? ? ? - ? ? ? - ? ? ? ? ?› ? › + - 15 8 0 5 1 2 2 2 1 3 R R R ? ? ? ? ? ? 9 8 3 1 1 2İki De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ……………………………… 15 Problemler 1 1. A şa ğıda, ilk iki denklemi grafik yöntemi ile, sonraki iki şini yerine koyma ve di ğer ikisini de yoketme yöntemi ile çözünüz. a) ? ? ? = - = + 1 5 y x y x b) ? ? ? = + = - 10 2 2 3 y x y x c) ? ? ? = + - = 12 3 4 y x x y ç) ? ? ? - = - = + 3 6 2 y x y x d) ? ? ? = + = - 16 2 7 4 2 3 v u v u e) ? ? ? = - = + 7 3 1 3 2 y x y x 2. A şa ğıdaki denklem sistemlerini yerine koyma veya yok etme yöntemi ile çözünüz. a) ? ? ? = + = - 1 2 11 24 3 9 y x y x b) ? ? ? = + - - = - 12 4 2 9 6 3 y x y x c) ? ? ? = + = - 72 . 0 4 . 0 0 8 . 0 y x y x ç) ? ? ? = - = - 79 . 0 3 . 0 8 . 0 07 . 0 5 . 0 2 . 0 y x y x d) ? ? ? ? ? ? ? = + = - 6 3 4 5 2 10 6 5 2 7 y x y x e) ? ? ? = - = + 0 4 . 0 3 . 0 1 y x y x 3. 2 2 , 8 2 , 6 2 - = + = + - = - y x y x y x ve 5 - = - y x denklemleri ile verilen doğruları aynı koordinat düzleminde çiziniz ve bu do ğrulardan iki veya daha fazlasının kesi şti ği noktaların koordinatlarını bulunuz. 4. Bir tatil beldesinde satı şa sunulan üzeri yazılı T- şörtler için, tanesi p YKr tan q tane T- şörtün satı şa sunulması durumunda, haftalık fiyat-arz denklemi 450 7 + = q p ve fiyat-talep denklemi 1650 17 + - = q p olarak veriliyor. Denge fiyatını ve denge satı ş miktarını bulunuz. 5. 30 000 adet dinleyici kapasiteli konser salonuna, fiyatları 4 YTL ve 8 YTL olan bilet- ler satılmaktadır. Tüm biletler satılaca ğına göre, bilet satı şından a) 220 000 YTL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? b) 200 000 YTL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? c) 150 000 YTL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? ç) 250 000 YTL gelir elde etmek mümkün müdür? 100 000 YTL gelir elde etmek mümkün müdür? DERS 1 …………………………………………………………………………………….. 16 6. Beslenme rejimi uygulayan bir ki şi, günlük diyetindeki kalsiyum ve protein miktarını artırmak için beyaz peynir ve yo ğurt kullanıyor. Kullandı ğı ölçe ğe göre, bir ölçek beyaz peynirde 6 gram kalsiyum ve 30 miligram protein; bir ölçek yo ğurtta da 1 gram kalsiyum ve 41 miligram protein bulunmaktadır. Bu diyetten günde 63 gram kalsiyum ve 747 miligram protein kazanabilmesi için bu ki şi günde kaç ölçek beyaz peynir ve kaç ölçek yoğurt tüketmelidir? 7. Bir firma, Seylan’dan ithal etti ği çay ile Rize çayından harman yaparak Buruk A ve Buruk B markalarıyla satı şa sunmak istiyor. Bir kg. Buruk A, 300 gr. Seylan ve 700 gr. Rize çayı karı ştırılarak elde ediliyor. Bir kg. Buruk B, 600 gr. Seylan ve 400 gr. Rize çayı karı ştırılarak elde ediliyor. Firmanın elinde, her birinin a ğırlı ğı 60 kg. olan 40 çuval Seylan ve 50 çuval Rize çayı bulunmaktadır. Firmanın elindeki çayın tamamını piyasaya sürebilmesi için kaç kg. Buruk A ve kaç kg. Buruk B marka çay üretmesi gerekir? 8. Türkiye genelinde da ğıtım yapan bir kargo şirketi, yirmi dört saat içinde adresine teslim etmek üzere paket kabul etmekte; her paketin 500 grama kadar olan (500 gram dahil) a ğırlı ğı için sabit bir ücret alıyor, ve ilk 500 gramdan sonraki her 500 gram için de ba şka bir sabit ücret uyguluyor. 4.5 kg. lık bir paket gönderen bir mü şteri 15 YTL, 12.5 kg. lık paket gönderen bir mü şteri de 39 YTL ödedi ğine göre, ilk 500 gram için ve ondan sonraki her 500 gram için uygulanan ücreti belirleyiniz. 9. İkinci alı ştırmadaki her denklem sisteminin ilaveli matrisini yazınız ve ilaveli matris üzerinde satır i şlemleri uygulayarak çözüm kümesini belirlemeye çalı şınız. 10. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 6 4 4 2 8 3 2 3 1 2 2 1 A , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 8 0 8 0 5 9 4 0 1 2 2 1 B ve ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 C matrisleri veriliyor. a) A nın birinci satırındaki girdileri sırasıyla yazınız. b) A nın ikinci sütunundaki girdileri sırasıyla yazınız. c) A nın 2-3 girdis kaçtır? 3-2 girdisi kaçtır? 1-4 girdisi kaçtır? ç) A ya 3 1 R R - satır i şlemi uygulanınca elde edilen matrisi bulunuz. d) A ya 2 2 2 R R › - satır i şlemi uygulanınca elde edilen matrisi bulunuz. e) A ya 2 2 1 3 R R R › + - satır i şlemi uygulanınca elde edilen matrisi bulunuz. f) A ya hangi satır i şlemleri uygulanırsa B matrisi elde edilir? g) A ya bazı satır i şlemleri uygulayarak C matrisi elde edilebilir mi? 11. İlaveli matrisi a şa ğıda verilmi ş olan denklem sistemlerini yazınız ve çözüm kümelerini belirleyiniz. a) ? ? ? ? ? ? - 1 1 0 2 0 1 b) ? ? ? ? ? ? - 0 0 0 1 1 1 c) ? ? ? ? ? ? - 1 0 0 0 1 1