İleri Malzeme Mekaniği İnelastisite - Hasar Kriterleri 1 Inelastic Inelastic Inelastic Inelastic Inelastic Inelastic Inelastic Inelastic Material Material Material Material Material Material Material Material Behavior Behavior Behavior Behavior Behavior Behavior Behavior Behavior Hasar Kriterleri Hasar Kriterleri Hasar Kriterleri Hasar Kriterleri Hasar Kriterleri Hasar Kriterleri Hasar Kriterleri Hasar Kriterleri Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK nm nm- -2011 2011 İleri Malzeme Mekaniği Dr. Nusret MEYDANLIK Ders Ders 5 5 İ İ LER LER İ İ MALZEME MEKAN MALZEME MEKAN İĞİ İĞİ M M K K 64 64 5 5 Kaynak Kaynakç ça: a: -Advanced Mechanics of Materials , 6 th Ed., Chapter 4 ARTHUR P. BORESI & RICHARD J. SCHMIDT İ İnelastic nelastic davran davranış ış? ? - - İ İnelastik nelastik terimi genellikle gerilme terimi genellikle gerilme- -genleme genleme diyagram diyagramı ında malzemenin nda malzemenin nonlineer nonlineer davran davranışı ışın nı ı, yani kal , yani kalı ıc cı ı (plastik) (plastik) ş şekil de ekil değ ği iş ştirmenin oldu tirmenin olduğ ğu k u kı ısm smı ı tan tanı ımlamak i mlamak iç çin in kullan kullanı ıl lı ır. r. Plastisite Plastisite terimi de y terimi de yü ük bo k boş şald aldığı ığında kal nda kalı ıc cı ı ş şekil de ekil değ ği iş ştirmeye neden olan tirmeye neden olan inelastik inelastik malzeme davran malzeme davranışı ışın nı ı tan tanı ımlamak i mlamak iç çin kullan in kullanı ıl lı ır. r. - - Tek eksenli y Tek eksenli yü ükleme halinde hasar kriterini olu kleme halinde hasar kriterini oluş şturmak i turmak iç çin in ç çekme deneyi ekme deneyi sonu sonuç çlar ları ından faydalan ndan faydalanı ıl lı ır. Ancak r. Ancak ç çok eksenli y ok eksenli yü ükleme halinde de tek eksenli kleme halinde de tek eksenli ç çekme deneyi sonu ekme deneyi sonuç çlar ları ın nı ı direkt olarak kullanmak hataya neden olur. direkt olarak kullanmak hataya neden olur. Ç Çok eksenli ok eksenli y yü ükleme halinde bu y kleme halinde bu yü ükleme halinin etkisini kleme halinin etkisini g gö öz zö ön nü üne ne alan hasar kriterleri alan hasar kriterleri kullan kullanı ılmal lmalı ıd dı ır. Bu b r. Bu bö öl lü ümde mde ç çok eksenli y ok eksenli yü ükleme halinde malzemenin kleme halinde malzemenin inelastik inelastik yan yanı ıt tı ın nı ın ba n baş şlang langı ıc cı ın nı ı tahmin etmek i tahmin etmek iç çin baz in bazı ı kriterler tan kriterler tanı ımlanacakt mlanacaktı ır. r. LIMITATIONS ON THE USE OF UNIAXIAL STRESS-STRAIN DATA • Rate of Loading • Temperature Lower Than Room Temperature • Temperature Higher Than Room Temperature • Unloading and Load Reversal • Multiaxial States of Stress (a) Nonlinear elastic. (b) Plastic.3 MODELS OF UN MODELS OF UNİ İAX AXİ İAL STRESS AL STRESS- -STRA STRAİ İN CURVES N CURVES In a uniaxial tension test, the transition from linear elastic response to inelastic (nonlinear) response may be abrupt (Figure 4.3a) or gradual (Figure 4.3b). FIGURE 4.3 Experimental stress-strain curves. In (b), line BB'is parallel to line AA', which is tangent to curve ABC at A. 4 Actual stress-strain curves, such as that in Figure 4.3a, are difficult to use in mathematical solutions of complex problems. Therefore, idealized models of material response are used in analysis. For example, the uniaxial stress-strain curve shown in Figure 4.3a may be modeled as shown in Figure 4.4a, including unloading. Since part BC of the idealized curve in Figure 4.4a is parallel to the strain axis (the stress remains constant with increasing strain), the material response is said to be elastic-perfectly plastic. For materials that strain harden in the initial nonlinear region, as does alloy steel, the stress continues to increase with increasing strain (region AS in Figure 4.1), although at a slower rate than in the elastic region (part OA in Figure 4.1). The stress-strain curve for such a material might be idealized with a bilinear curve (region ABC, Figure 4.4b). Such material response is referred to as elastic-linear strain hardening. FIGURE 4.4 Idealized stress-strain curves, (a) Elastic-perfectly plastic response, (b) Elastic- strain hardening response. the quantity Y represents yield stress, yield point, and yield strength5 FIGURE 4.5 (a) Rigid-perfectly plastic response. (b) Rigid-strain hardening plastic response. 6 EXAMPLE 4.1 EXAMPLE 4.1 Strain-Hardening Axially Loaded Members The stress-strain diagram for an isotropic metal at room temperature is approximated by two straight lines (Figure 4.1b). Part AB has slope E and part BF has slope ßE, where E is the modulus of elasticity and P is the strain-hardening factor for the metal. The intersection of the two lines defines the yield stress Y and yield strain ? y = Y/E. The stress-strain relations in the region AS and BF are, respectively, (a) Determine the constants ß, Y, E, and ? y for the annealed high-carbon steel of Figure 4. 2. (b) Consider the pin-joined structure in Figure 4.1a. Each member has a cross-sectional area 645 mm 2 and is made of the steel of Figure 4.1a. A load P = 170 kN is applied. Compute the deflection u. (c) Repeat part (b) for P = 270 kN and P = 300 kN. (d) Use the results of parts (b) and (c) to plot a load-deflection graph for the structure. Figure 4.1. Figure 4.1.7 FIGURE 4.2. Tension and compression stress-strain diagrams for annealed high-carbon steel for initial and reversed loading. (From Sidebottom and Chang, 1952.) (a) By Figure 4.2, E=211.4 GPa, Y = 252.6 MPa, ßE = 16.9 GPa (or ß= 0.0799), and ? y = Y/E=0.001195. Equations (a) and (b) become 89 10 Tek eksenli gerilme halinde hasar sınırı olarak akma dayanımı gözönüne alınır. Ancak, çok eksenli yükleme halinde ise akmadan kırılmaya kadar inelastik davranışın başlangıcı hasar kriteri olarak kabul edilir. Buna akma denir ve malzemenin bu davranışı plastisite teorisi içinde ele alınır. Plastisite teorisinin genelde üç bileşeni vardır, 1. Akma kriteri (malzemede akmanın başlangıcını tanımlar) 2. Akma eğrisi (akmanın başlangıcından sonraki gerilme-plastik genleme ilişkilerini tanımlar) 3. Pekleşme kuralı (akma yüzeyindeki değişimi tanımlar) Genelde akmanın başlangıcı hasar olarak kabul edildiği için çok eksenli yükleme hali için akma kriteri fikri geliştirilmiştir. Bunun esası da çok eksenli yükleme hali için eşdeğer (efektif) gerilme fikrinin tanımlanmasıdır. Buna göre çok eksenli yükleme halinde, efektif gerilme o malzeme için bir sınır değere (tek eksenli çekmedeki akma dayanımına) ulaştığında akma başlar. Ancak akma başlangıcını hassas olarak saptayan ve tüm malzemelere uygulanabilen tek bir akma kriteri de yoktur. Ç ÇOK EKSENL OK EKSENLİ İ Y YÜ ÜKLEME HAL KLEME HALİ İNDE HASAR KR NDE HASAR KRİ İTERLER TERLERİ İ11 Mohr Mohr’ ’s s Circle Circle in 3 in 3- -D D • We can use a 3-D Mohr’s circle to visualize the state of stress and to determine principal stresses. • Essentially three 2-D Mohr’s circles corresponding to the x-y, x-z, and y-z faces of the elemental cubic element. Multiaxial Multiaxial Loading Loading 12 Influence Influence of of States States of of Stress Stress13 14 Multiaxial Multiaxial Loading Loading • Most service conditions and forming operations (Ex., drawing) involve multiaxial loading. • Under multiaxial loading conditions, a material or structure may yield or fracture locally (or globally) depending upon the state of stress. • • We We can can use use the the calculated calculated principal principal stresses stresses to to define define criteria criteria for for yielding yielding or or failure failure. .15 Yield Yield/ /Failure Failure Criteria Criteria (1) (1) Mathematical tools to decide whether the stress state in a material will cause plastic deformation or failure. Consider an isotropic polycrystalline metal deformed in uniaxial tension. It will yield when: This is a valid yield criterion for the stated problem (uniaxial tension). Consider the same isotropic polycrystalline metal deformed in a multiaxial stress state. We can’t simply determine the stress at yielding because stress will vary from point to point. Instead we calculate an equivalent stress from the components of the stress tensor and compare it with the critical stress for yielding/failure. 16 The equivalent stress, being a function of the stress tensor, can be expressed as: At yielding/failure, this equivalent stress much reach the critical value (e.g., ? YS , ? f , ? CRSS =? YS /2, etc.). Thus: (at (at failure failure) ) Yield Yield/ /Failure Failure Criteria Criteria17 Yield criteria are generally expressed as: Thus, when f(? ij ) < 0, the material does not yield/fail. when f(? ij ) ? 0, the material yields/fails. Example Example: : Uniaxial Uniaxial tension tension. Material deforms elastically up to the yield stress. When applied load reaches the critical load (i.e., the YS), plastic deformation occurs. The yield yield/ /failure failure criterion criterion could could be be expressed expressed as: 18 For isotropic materials, we can express yield criteria in terms of principal stresses. If we plot the function f(? 1 ,? 2 ,? 3 ) on orthogonal ? 1 , ? 2 , ? 3 axes we obtain a yield surface. We can use the yield surface to determine, for each possible state of stress, whether or not a material yields/fails. There are many different yield criteria. We will limit ourselves to these three: 1. Rankine (en büyük normal gerilme) kriteri 2. Von Mises kriteri (şekil değiştirme enerjisi) 3. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriteri19 Characteristics of Ductile Materials 1. The strain at failure is, ? f ? 0.05 , or percent elongation greater than five percent. 2. Ductile materials typically have a well defined yield point. The value of the stress at the yield point defines the yield strength, S y . 3. For typical ductile materials, the yield strength has approximately the same value for tensile and compressive loading (S yt ? S yc = S y ). 4. A single tensile test is sufficient to characterize the material behavior of a ductile material, S y and S ut . Characteristics of Brittle Materials 1. The strain at failure is, ? f ? 0.05 or percent elongation less than five percent. 2. Brittle materials do not exhibit an identifiable yield point; rather, they fail by brittle fracture. The value of the largest stress in tension and compression defines the ultimate strength, S ut and S uc respectively. 3. The compressive strength of a typical brittle material is significantly higher than its tensile strength, (S uc >> S ut ). 4. Two material tests, a tensile test and a compressive test, are required to characterize the material behavior of a brittle material, S ut and S uc . 20 Ductile material Brittle material21 The yield surface consists of six planes, perpendicular to the principal stress coordinate axes. Gevrek malzemeler i Gevrek malzemeler iç çin uygun bir kriterdir in uygun bir kriterdir Maximum principal stress yield surface 1. 1. Rankine Rankine ( (Maximum Maximum- -Principal Principal- -Stress Stress) ) Criterion Criterion: : (En Büyük Normal Gerilme Teorisi, EBNG) Bu kritere göre herhangi bir noktada herhangi bir noktada en büyük asal gerilme, tek eksenli çekme (yada basmadaki) akma dayanımına eşit olduğunda hasar başlar. ( =Y =? ak. ) Teori hasarda en büyük normal gerilmenin etken olduğunu varsayar. Dolayısıyla da normal gerilme mukavemeti kaymaya göre daha düşük olan gevrek malzemeler için uygun bir kriterdir. Sünek malzemelerin çekmedeki mekanik mukavemet değerleri ile basmadaki mekanik mukavemet değerleri yaklaşık eşittir. Ancak gevrek malzemelerde . 22 1. 1.Rankine Rankine ( (Maximum Maximum- -Principal Principal- -Stress Stress) ) Criterion Criterion: : • Cleavage fracture occurs when the cleavage strength is reached before the yield strength. Emniyetli bölge ? ç ? b ? b ? ç23 1 1 * * . . Coulomb Coulomb- -Mohr Mohr (pure shear) ? 1 = - ? 2 =? ve ve Modified Modified Mohr Mohr Kriterleri Kriterleri (gevrek malzemeler i (gevrek malzemeler iç çin) in) 24 ? ç ? b ? b ? ç EBNG teorisi 1. ve 3. bölgede geçerli ancak 2. ve 4. bölgede aşırı emniyetli sonuç veriyor. Bu nedenle modifiye edilerek Coulomb-Mohr teorisi geliştirilmiş , ….25 26 2. 2. Von Von- -Mises Mises Yield Yield Criterion Criterion ( (Distortion Distortion Energy Energy Criterion Criterion) ): : (En Büyük Kayma Enerjisi Teorisi, EBKE) • Yielding occurs when the second invariant of the stress deviator, J 2 , exceeds a critical value or: J 2 = constant = k 2 • What is the stress deviator and how do I find k 2 ? • The stress deviator represents the part of the total stress state that causes shape change (i.e., deformation).27 28 • Take the determinant of the stress deviator. This yields a new cubic equation that has three new invariants: • The invariants are the: (1) sum of main diagonal; (2) sum of principal minors; (3) determinant of deviator tensor.29 • Two of the new invariants, the invariants of the stress deviator, are of great importance: • In uniaxial tension, yielding occurs when ? 1 =? YS (yield stress) and ? 2 =? 3 =0. Thus J 2 becomes: • It represents the condition required to cause yielding. J J 2 2 J J 2 2 30 • Therefore, the von Mises criterion becomes: • Yielding occurs when J 2 equals or exceeds the tensile yield stress. • Next slayt figure shows the yield locus for plane stress. • States of stress with principal stresses lying within the bounds of the yield locus do not produce yielding. • The Tresca criterion is less complicated (in terms of math). It is often used in engineering design. It is also more conservative. • However, the Tresca criterion does not take into account the intermediate principal stress and requires that you know the maximum and minimum principal stresses. = ? ak.31 s ak xy y y x x v . 2 / 1 2 2 2 2 / 1 2 1 2 2 2 1 ) 3 ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + - = - + = . max 2 , 1 2 ? ? ? ± = x 2 / 1 2 2 . max ) 2 ( ? ? ? ? ? ? + = xy x ? ? ? s ak xy x v . 2 2 3 ? ? ? ? = + = karşılaştırma gerilmesi (Von Mises gerilmesi) ve karşılaştırma gerilmesi s s veya s dıı da burulma Saf ak ak xy ak xy y x . . . 2 577 . 0 3 3 . 0 ? ? ? ? ? ? ? = = = = = ? ak. -? ak. -? ak. ? ak. -? ak. -? ak. ? ak. ? ak. Burulma yük hattı Emniyetli B. (2D) -0.577? ? ? ? ak. 0.577? ? ? ? ak. 0.577? ? ? ? ak. -0.577? ? ? ? ak. I I II II III III IV IV En En ç çok rastlanan durum ok rastlanan durum (eğilme + burulma (eğilme +kesme) olduğu hal); ? z =? y =? xz =? yz =0 ve asal gerilmeler ; 2 D de ( 2 D de (? ? 3 3 =0) =0); ; (D (Dü üzlem Gerilme Halinde) zlem Gerilme Halinde) 32 Teoriye göre ; elemanın herhangi bir noktas herhangi bir noktası ındaki ndaki en büyük kayma gerilmesi aynı malzemeden yapılmış tek eksenli çekme deneyinde elde edilen en büyük kayma gerilmesine (? max. ) eşit olduğunda veya aştığında hasar başlar. 2 . ak . max ? ? ? s 2 2 . ak 3 1 . max ? ? ? ? = - = olduğunda hasar başlar. En genel halde ; Emniyet katsayısı da katılarak Karşılaştırma (eşdeğer) gerilme; s; emniyet katsayısı s ak eq v ? ? ? ? ? ? - = = 3 1 . Emniyetli B. (2D) ? ak. ? ak. -? ak. ? ak. Burulma yük hattı 3. 3. Tresca Tresca ( (Maximum Maximum- -Shear Shear- -Stress Stress) ) Yield Yield Criterion Criterion: : (En Büyük Kayma Gerilme Teorisi, EBKG) Guest Guest Teorisi de denir Teorisi de denir (pure shear) ? ak. =S yt (akma dayanımı) ? 1 = - ? 2 =?33 3. 3. Tresca Tresca ( (Maximum Maximum- -Shear Shear- -Stress Stress) ) Yield Yield Criterion Criterion: : • Yielding occurs when the difference between the maximum and minimum normal stresses reaches a critical value, the yield strength This theory correlates well with yielding failure of ductile materials and its two advantages are that it is easy to use, and slightly conservative. For more precise results, the distortion-energy theory is preferred. 34 2 D de ( 2 D de (? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 =0) =0); ; (D (Dü üzlem Gerilme Halinde) zlem Gerilme Halinde) veya 2 2 . 2 1 . max ak ? ? ? ? = - = s ak. 2 1 ? ? ? = - s 2 . ak 2 1 2 xy 2 y x v ? ? ? ? ? ? ? ? - = + ? ? ? ? ? ? ? ? - = ile Karşılaştırma gerilmesi (Tresca gerilmesi) (eğer ? 1 ve ? 2 zıt işaretli ise) s veya s 2 2 veya 2 . ak 2 v . ak 1 v . ak 2 1 . max ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = = = = (eğer ? 1 ve ? 2 aynı işaretli ise) s dedir düzle xy gerilmesi kayma ise ak xy x v xz yz z y . 2 2 4 min . max 0 ? ? ? ? ? ? ? ? = + = = = = =35 EBKG teorisi ile EBKE teorisi aras EBKG teorisi ile EBKE teorisi arası ındaki fark: ndaki fark: EBKE EBKE EBKG EBKG s s veya s dıı da burulma Saf ak ak xy ak xy y x . . . 2 577 . 0 3 3 . 0 ? ? ? ? ? ? ? = = = = = 36 FIG. Yield surfaces for biaxial stress state (? 3 = 0) For points A and B, (? 1 = -? 2 = ?). (pure shear). FIG. Yield surface in principal stress space. 3. 3. Tresca Tresca ( (Maximum Maximum- -Shear Shear- -Stress Stress) ) Yield Yield Criterion Criterion: :37 3839 40 Hasar teorisi se Hasar teorisi seç çimi ak imi akış ış ş şemas eması ı ( (Shigley Shigley’ ’s s 8 8 th th Ed.) Ed.)41 Example Example Problem Problem • The yield strength for a new Ni-base superalloy is 1000 MPa. Determine whether yielding will have occurred on the basis of both the Tresca and Von Mises failure criteria assuming the following stress state. 1. 1. First First determine determine the the principal principal stresses stresses 42 2. 2. Substitute Substitute principal principal stresses stresses into into equations equations for for Tresca Tresca and and Von Von Mises Mises failure failure criteria criteria 1368.143 44 ALTERNATIVE YIELD CRITERIA ALTERNATIVE YIELD CRITERIA Interest in predicting the initiation of yielding is not limited to ductile metals. Many other materials used in engineering applications exhibit inelastic (yielding) behavior that is distinct from that of ductile metals. Thus, suitable yield criteria for these materials are needed. Some of these materials include soil, rock, concrete, and anisotropic composites. Şu ana kadar bahsettiğimiz akma kriterleri lineer-izotrop malzemeler için uygundu. Anizotrop malzemelerin akma davranışı ise uygulanan gerilmelerin yönüne bağlıdır dolayısıyla akma kriteri de buna uygun olarak tanımlanmalıdır. Örneğin; • Mohr Mohr- -Coulomb Coulomb Yield Yield Criterion Criterion (Sünek malzemeler için Tresca kriterinin hidrostatik gerilme bileşenini de gözönüne alan genelleştirilmiş halidir, hidrostatik gerilme akmaya karşı direnci yükseltir, akmaya karşı çekme ve basmada farklı direnç gösteren malzemelerde uygundur) • Hill Hill’ ’s s Kriter Kriter ortotropik malzemelerin akma davranışı uygulanan gerilme yönlerine bağlıdır. Bu krterde yöne bağlı malzeme özeliklerini göze alır. Bazı ortotropik malzemeler için Hill Hill’ ’ in in (1950) ö önerdi nerdiğ ği kriter i kriter oldukça uygundur. Ki bu kriter de Von Mises kriterinin genelleştirilmiş halidir.