Fizik İş, Güç, Enerji ve Enerjinin Korunumu 1 2012-2013 F İZ İK 1 DERS İ2 Bölüm 5 İ ş , Güç, Enerji ve Enerjinin Korunumu 3 İ çerik Sabit bir kuvvetin yapt ığı i ş • De ğ i ş ken kuvvetin yapt ığı i ş • Kinetik enerji ve i ş -kinetik enerji teoremi • Güç • Potansiyel enerji • Korunumlu ve korunumsuz kuvvetler • Korunumlu kuvvetler ve potansiyel enerji • Mekanik enerjinin korunumu • Korunumsuz kuvvetlerin yapt ığı i ş • Korunumlu kuvvet-potansiyel enerji ili ş kisi •4 5.1. Sabit Bir Kuvvetin Yapt ığı İ ş İ ş : Cisim üzerine sabit bir kuvvet uygulayan bir etkenin cisim üzerinde yapt ığı i ş , W, kuvvetin (F) yer de ğ i ş tirme (d) y önündeki bile ş eni ile yer de ğ i ş tirmenin çarp ı m ı d ı r. İ ş in s ı f ı rdan farkl ı olabilmesi için kuvvet (F) ve yer de ğ i ş tirme (d) niceliklerinden her ikisinin de de ğ erinin s ı f ı rdan farkl ı olmas ı gerekmektedir. Bu ş art ı n yan ı nda, yer de ğ i ş tirmenin kuvvet yönünde bile ş eninin de olmas ı gerekmektedir. E ğ er yerde ğ i ş tirme ile kuvvet aras ı nda 90 o ’ lik bir aç ı varsa yap ı lan i ş s ı f ı rd ı r. Bu duruma en g üzel örnek dairesel harekettir. Dairesel harekette dairesel hareket yapan cisme etki eden kuvvet çapsal do ğ rultuda ve merkeze do ğ ru olmas ı na ra ğ men cismin yerde ğ i ş tirmesi bu kuvvete dik olan yörüngeye te ğ et do ğ rultudad ı r. Burada: F: uygulanan kuvvet , d: yer de ğ i ş tirme , ? : F ile d yer de ğ i ş tirme vektörü aras ı ndaki aç ı İ ş , skaler bir niceliktir. Boyutu [kuvvet].[uzunluk] yada temel boyutlar cinsinden [ML 2 /T 2 ]. İ ş in SI birim sisteminde birimi newton-metre (N.m) veya Joule (J) olarak ifade edilir.5 Örnek 5.1 Bir adam bir cismi yatayla 30 o ’ lik bir aç ı da F=50 N büyüklü ğ ünde bir kuvvet ile çekiyor. Cisim yataya do ğ ru 3m yer de ğ i ş tirdi ğ inde kuvvetin cisim üzerinde yapt ığı i ş i hesaplay ı n ı z. Çözüm: W=(Fcos ? )d =(50 N).(cos 30 o ).(3m) =130 J Kuvvetin yukar ı y önlü bile ş eni Fsin ? , cisim üzerine hi çbir i ş yapmaz çünkü bu kuvvet yer de ğ i ş tirmeye diktir.6 5.2. De ğ i ş ken Bir Kuvvetin Yapt ığı İ ş Bölüm 5.1 de tan ı mlad ığı m ı z i ş ifadesinde F kuvvetinin büyüklü ğ ünü sabit kabul etmi ş tik. F kuvveti sabit ise bu kuvvetin yapt ığı i ş i W=(Fcos ? ).d ş eklinde tan ı mlam ı ş t ı k. E ğ er F kuvveti sabit de ğ il ise yani F’ in de ğ eri (büyüklü ğ ü) konum ile de ğ i ş iyor ise; Kuvvet her küçük ? x yer de ğ i ş tirmesinde sabit ise, her ? x aral ığı nda yap ı lan i ş ; ? W=F x . ? x F x : F kuvvetinin yerde ğ i ş tirme ( ? x) yönündeki bile ş eni ? x:yer de ğ i ş tirme Yap ı lan toplam i ş i bulmak istersek her ? x aral ığı nda yap ı lan i ş leri (F x . ? x) toplamam ı z gerekecektir. Bu toplam ı matematiksel olarak ifade edersek: Fx ?x x F x Alan = ?A = Fx ?x x i x s Yer de ğ i ş tirme ? x ’ i çok küçük al ı rsak toplam i ş ifadesi yukar ı daki kesikli toplam ( ? ) ifadesi sürekli toplam ( ? ) ifadesine dönü ş ür. Sürekli toplam ı gösteren bu ifade matematikte “integral” olarak bilinir. (De ğ i ş ken bir kuvvetin yapt ığı i ş ) x F W s i x x x ? ? ? Cismin üzerine birden fazla kuvvet etki ederse yap ı lan net i ş : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ) ? ( ?78 Bir Yay ı n Yapt ığı İ ş Konuma g öre de ğ i ş en kuvvete verilebilecek g üzel bir örnek kütle yay-sistemidir. Bir yay ı n uygulad ığı kuvvet, yay ı n denge noktas ı ndan ne kadar uzakla ş t ığı (x) ile ve yay ı karakterize eden yay sabiti (k) ile orant ı l ı d ı r. F=-kx (Hooke kanunu) k: yay sabiti, boyutu [k]=[Kuvvet]/[L] x: denge konumundan olan yerde ğ i ş tirme Buradaki (-) i ş aret kuvvetin yerde ğ i ş tirme ile ters yönlü oldu ğ unu g östermektedir. Buna g öre bir k ütle- yay sisteminde yay ı denge konumundan d kadar uzakla ş t ı rmakla yay üzerinde yap ı lacak i ş i hesaplamaya çal ı ş ı rsak: 2 2 1 0 m x x x x s kx dx ) kx ( dx F W m s i ? ? ? ? ? ? ? Ş ekil 5.3. Kuvvetin konumla de ğ i ş ti ğ i fiziksel bir sistem olan yay ve kütle Ş ekil 5.3c ’ de görüldü ğ ü gibi blo ğ un xm kadar s ı k ı ş t ı r ı ld ığı n ı ve serbest b ı rak ı ld ığı n ı varsayarak blo ğ un xi = -xm ’ den xs = 0 ’ a hareket ederken yay kuvvetinin yapt ığı i ş i bulal ı m Cisim, xi = 0 ’ dan xs = xm ’ ye giderken yay kuvvetinin yapt ığı i ş ise ( Ş ekil 5.3a) 2 2 1 0 m x x x x s kx dx ) kx ( dx F W m s i ? ? ? ? ? ? ?9 Buradan, yay sabiti k olan bir yay x i den x s ’ ye kadar keyfi bir yerde ğ i ş tirme yaparsa, yay kuvvetinin yapt ığı i ş için genel bir ifade elde ederiz: E ğ er, bu problemi sabit kuvvet için türetti ğ imiz i ş ifadesini kullanarak yapm ı ş olsayd ı k elde edece ğ imiz i ş ifadesi: W=F.x= -kx.x=-kx 2 =-kd 2 (yanlı ş !) olacakt ı ki bu yukarda buldu ğ umuz ifadeden (½) kadar farkl ı olacakt ı r. Örnek 5.2 Bir cismin üzerine etkiyen kuvvet ş ekilde görüldü ğ ü gibi x ile de ğ i ş mektedir. Cisim x=0 ’ dan x=6m ’ ye hareket etti ğ inde kuvvetin yapt ığı i ş i hesaplay ı n ı z. Çözüm: Kuvvetin yapt ığı i ş , x=0 ile x=6 m aras ı ndaki e ğ rinin alt ı nda kalan toplam alana e ş ittir (Fx.x ifadesinden). A ve B aras ı ndaki dikdörtgenin alan ı ve B ile C aras ı ndaki üçgenin alan ı n ı n toplam ı toplam alana e ş ittir. A-B aras ı : (5N).(4m)=20 J B-C aras ı : (½)(5N).(2m)=5J Toplam i ş W=20J+5J=25 Joule 2 2 1 2 2 1 s i x x x x x s kx kx dx ) kx ( dx F W s i s i ? ? ? ? ? ? ?1011 Sears ve Zemansky ’ nin Üniversite Fizi ğ i Cilt 1, Pearson Education Yay ı nc ı l ı k. • 5.3 Kinetik Enerji ve İ ş -Kinetik Enerji Teoremi 5.3.1213 Örnek 5.3. Ba ş lang ı çta durgun olan 6 kg ’ l ı k bir blok, 12 N ’ luk sabit, yatay bir kuvvetle yatay sürtünmesiz bir yüzey boyunca çekilmektedir. Blok 3m ’ lik bir uzakl ığ a hareket ettikten sonra h ı z ı n ı bulunuz. Bu teoremden ş u sonuçlar ı ç ı karabiliriz: Yap ı lan net i ş pozitif oldu ğ unda, parçac ığı n h ı zı artar (K s >K i ) • İ ş negatif oldu ğ unda h ı z azal ı r (K s