Genel İstatistik ( ders notu ) Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 1 İ S T A T İ S T İ K D E R S İ D E R S N O T L A R I İstatistik: Eldeki kıt bilgilerle incelenen olay hakkında doğru karar verebilme tekniklerini kapsayan bir bilim dalıdır. Veri: Kaydedilmiş bilgiye denir. Değişken: Çeşitli değerler alabilen özelliklere denir. Değişkenler sayısal yada niteliksel olabilir. Niteliksel değişkenler ise sayısal değer almazlar. Söz gelimi saç ve göz rengi birer niteliksel değişkendir. Sayısal değişkenler ise sayısal değer alırlar. İnsanların boyları, yaşları, ağırlıkları sayısal değişkendir. Değişkenler sürekli yada süreksiz olabilirler. Sürekli değişkenler belirli bir aralık oluştururlar. Çünkü sürekli değişkenler tam ve ondalık sayı değerleri alırlar. Örneğin; insanların boyları, yaşları, ağırlıkları sürekli değişkendir. Bir bölgedeki araba sayısı süreksiz değişkendir. Çünkü bunlar tam sayı değerleri alırlar. Niteliksel değişkenler süreksiz kabul edilir. Yığın (ana kütle): Üzerinde inceleme yapılan tüm birimlerin oluşturduğu kümeye denir. Örnek: Ana kütlenin ulaşabildiği kesime örnek denir. Örnekleme: Örnek seçme işlemine örnekleme denir. Örnekleme iradeli ve iradesiz çekimle yapılır. Örnekleme iadesiz çekimle yapılıyorsa yığındaki birimlerin örneğe birden fazla girme şansı yoktur. İadeli örnekleme yapılıyorsa; yığındaki birimlerin örneğe birden fazla girme şansı vardır. İstatistikte Örnekleme yaparken her bir birimin örneğe girme şansının aynı olmasına dikkat edilir. Bu nedenle istatistikte seçilen örnekler birer şans örneğidir. Ayrıca örneğe göre birimlerin birbirinden bağımsız olma durumu vardır, yani bir birimin örneğe girmesini diğer bir birim etkilemez. İstatistik: Örnekten hesaplanan karakteristik değerlere istatistik denir, istatistikler değişkendir, örnekten örneğe göre değişir. İstatistikler ana kütle parametrelerinin birer nokta tahminleyicisidir . Sözünü ettiğimiz istatistikler örnekten hesapladığımız: Aritmetik ortalama, varyans, standart sapma ve orandır. İstatistikleri aşağıdaki şekilde ifade ederiz; 1) Aritmetik Ortalama. 2) Varyans. 3) Standart Sapma. 4) Oran Parametre: Ana kütleye ilişkin karakteristik değerlere parametre denir. Parametreler sabittir, değişmezler parametreler; aritmetik ortalama, varyans, standart sapma ve orandır. Bu parametreleri aşağıdaki şekilde gösterilir; 1) Aritmetik Ortalama. 2) Varyans. 3) Standart Sapma. 4) Oran Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 2 A. Frekans ve Sınıflandırılmış Seriler Frekans Seriler ve Grafikleri Örnek: x (Değişken) f ( Frekans) 1 1 2 1 3 2 4 1 5 1 Verilen frekans serisinin grafiğini çiziniz ? Not: Değişken değerleri yatay ( x ) frekanslar ise düşey ( y ) ekseni üzerinde gösterilir. Histogram Genlikle sınıflandırılmış serilerde kullanılan bir grafik türüdür. Frekans serileri de içinde kullanılabilmektedir. Birbirine bitişik dikdörtgenlerden oluşur. Bir sınıfa ait dikdörtgenin alanı ile sınıfın frekansı eşit hale gelir. Bunun içinde her bir sınıfın ayarlanmış frekansları bulunur, sınıfların ayarlanmış frekansları bulunurken ilgili sınıfın frekansını sınıf alanına böleriz. Böylece sınıfları yatay ayarlanmış frekansları düşey eksende göstererek histogramı çizeriz. Örnek: Sınıflar X f ( Frekans) 4-8 8 8-12 12 12-16 16 16-20 20 20-24 16 24-28 12 28-32 8 Verilen sınıflandırılmış serinin histogramını çiziniz ? Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 3 Çözüm: Sınıflar X f ( Frekans) Sınıf Aralığı h f / n 4-8 8 4 8:4 = 2 8-12 12 4 12:4 = 3 12-16 16 4 16:4 = 4 16-20 20 4 20:4 = 5 20-24 16 4 16:4 = 4 24-28 12 4 12:4 = 3 28-32 8 4 8:4 = 2 Toplam Alan = 92 Histogram Frekans Poligonu Verilen sınıflandırılmış serinin frekans poligonunu çizerken önce histogramı çizeriz. Sonra birinci dikdörtgenin yüksekliğini gösteren iki çizgiden birincisini orta noktası ile bu dikdörtgenin üst tabanının orta noktasını birleştiririz. Daha sonra birinci dikdörtgenin üst taban orta noktası ile ikinci dikdörtgenin üst tabanının orta noktasını birleştirir ve bu şekilde devam ederiz. En son dikdörtgenin yüksekliğini gösteren iki çizgiden ikincisinin orta noktası ile bu dikdörtgenin üst tabanının orta noktasını birleştirir ve yatay eksene doğru uzatırız. En başta çizdiğimiz çizgiyi de yatay eksene doğru uzatır ve kapalı bir şekil elde ederiz, buna frekans poligonu denir. Frekans poligonun çevrelediği alan ile histogramın çevrelediği bölgenin alanı birbirine eşit olur. Örnek: Sınıflar X f ( Frekans) 4-8 8 8-12 12 12-16 16 16-20 20 20-24 16 24-28 12 28-32 8 Verilen sınıflandırılmış serinin frekans poligonunu çiziniz ? Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 4 Çözüm: Sınıflar X f ( Frekans) Sınıf Aralığı h f / n 4-8 8 4 8:4 = 2 8-12 12 4 12:4 = 3 12-16 16 4 16:4 = 4 16-20 20 4 20:4 = 5 20-24 16 4 16:4 = 4 24-28 12 4 12:4 = 4 28-32 8 4 8:4 = 2 Toplam Alan = 92 Frekans Poligonu Frekans Eğrisi: Sınıflandırılmış serideki sınıf aralıkları çok küçük olursa frekans poligonu frekans eğrisine dönüşür. İstatistikte Frekans Eğrileri Ters J J Eğrisi Simetri U Eğrisi Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 5 Sola Eğik Eğri Sağa Eğik Eğri Not: Sınıflandırılmış serisine mutlak çokluk bölümü de denir. Oransal Çokluk Bölümü Mutlak çokluk bölümünü; herhangi bir sınıfın sınıf frekansını toplam sınıfa bölersek elde ettiğimiz ondalık sayıya ilgili sınıfın oransal frekansı denir. Bu şekilde elde edilmiş sınıfsal seriye de oransal çokluk bölümü denir. Örnek: Sınıflar X f ( Frekans) 0-4 1 4-8 2 8-12 3 12-16 5 16-20 4 20-24 2 24-28 3 Verilen mutlak çokluk bölümünde her bir sınıfın oransal frekansını bularak serinin çokluk bölümüne dönüştürün ? Çözüm: Sınıflar X f ( Frekans) 0-4 1? 0,05 4-8 2? 0,10 8-12 3? 0,15 12-16 5? 0,25 16-20 4? 0,20 20-24 2? 0,10 24-28 3? 0,10 Not: Oransal frekans toplamı daima 1’e eşittir. Birikimli Seriler Bir seride her hangi bir değerin altında yada üstünde kaç tane veri değerinin bulunduğunun bilinmesi birikimli serilerle sağlanır. Verilen bir mutlak çokluk bölümünde ……den az, ……den çok esasına göre birikimli frekanslarını bulursak sözünü ettiğimiz mutlak çokluk Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 6 bölümü birikimli çokluk bölümüne dönüşür. İşte bu tür sınıflandırılmış serilere birikimli seriler denir. Örnek: Sınıflar X f ( Frekans) 0-4 1 4-8 2 8-12 3 12-16 5 16-20 4 20-24 2 24-28 3 Verilen mutlak çokluk bölünümün de her bir sınıfın ……den az, ……den çok esasına göre birikimli frekanslarını bularak verilen mutlak çokluk bölünümünü birikimli çokluk bölünümü şekline dönüştürünüz. Çözüm: Sınıflar X f ( Frekans) ……den az ……den çok 0-4 1 1 20 4-8 2 3 19 8-12 3 6 17 12-16 5 11 14 16-20 4 15 9 20-24 2 17 5 24-28 3 20 3 Toplam Frekans= 20 Not: Sınıflandırılmış serilerde herhangi bir sınıfın ……den aza göre birikimli frekansı bir önceki sınıfın birikimli frekansı ile kendisinin sınıf frekansının toplamına eşittir. Not: En büyük sınıfın ……den aza göre birikimli frekansı toplam frekansa eşit olur. Not: ……den az serisinin eğrisi artan eğridir. Not: ……den azda noktalı yerlere sınıflatın üst sınırları gelir. Not: Yaşları 20’den az kaç kişi vardır denirse 20’nin bulunduğu (üst sınır olarak) sınıfı ……den aza göre birikimli frekansı alırız. Not: Sınıfların ……den çoğa göre birikimli frekansı bulunurken sınıfların alt sınırları getirilir. Not: En küçük sınıfın ……den çok esasına göre birikimli frekansı her zaman toplam frekansa eşittir. Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 7 Örnek: Sınıflar X f ( Frekans) ……den az ……den çok 0-4 1 1 20 4-8 2 3 19 8-12 3 6 17 12-16 5 11 14 16-20 4 15 9 20-24 2 17 5 24-28 3 20 3 Toplam Frekans= 20 Verilen sınıflandırılmış serinin ……den az, ……den çok esasına göre birikimli seri grafiğini çiziniz. Çözüm: Not: ……den aza göre grafik çizerken en küçük sınıfın alt sınırı x’ dir ve “sıfır” olarak alınır y’ si de “sıfır” olarak alınır. En küçük sınıfın üst sınırı x olarak alındığında ……den aza göre birikimli frekansı y olarak alınır. Kısaca ……aza göre birikimli frekanslar sınıfların üst sınırlarına karşılık gelir. Halbuki ……den çok esasına göre grafik çizerken en küçük sınıfın alt sınırı “x” olarak alınır. ……den çoğa göre birikimli frekanslar sınıfların alt sınıflarına denk getirilir. Not: ……den az eğrisi devamlı yükseliş gösterir. ……den çok eğrisi devamlı azalış gösterir. Not: 16’dan az kaç kişi vardır denildiğinden 16 sayısını üst sınırlar içerisinde arar buluruz, bulduktan sonra bu sayının karşısındaki ……den aza göre birikimli frekansa bakarız. Not: 12’den çok kaç kişi vardır denildiğinden 12 sayısının alt sınırlar içerisinde arar buluruz, bulduktan sonra bu sayının karşısındaki ……den çok esasına birikimli frekansını belirleriz. (Cevap:14 olarak bulunur) Not: ……den çok eğrisini çizerken en büyük sınıfın üst sınırına “sıfır” karşılık gelir. Merkezi Eğilim Ölçüleri Bir serideki veri değerlerinin hangi nokta etrafında toplanma eğilimi gösterdiğinin bilinmesi merkezi eğilim ölçüleriyle sağlanır. Merkezi eğilim ölçüleri duyarlı duyarsız olmak üzere iki sınıfta incelenir. Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 8 A) Duyarlı Merkezi Eğilim Ölçüleri 1) Aritmetik Ortalama a) Basit Serilerde Aritmetik Ortalama Formül: ? x X = n Örnek: X 3 7 12 17 21 n = 5 Verilen basit serinin aritmetik ortalamasını bulunuz ? Çözüm: 3 + 7 + 12 + 17 + 21 60 X = = = 12 5 5 b) Frekans Serilerinde Aritmetik Ortalama Formül: ? f . x X = ? f Örnek: Seriler X f ( Frekans) 1 1 2 1 3 2 4 3 5 3 n= 10 Verilen frekans serisinin aritmetik ortalamasını bulunuz ? Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 9 Çözüm: Seriler X f ( Frekans) f . x 1 1 1 2 1 2 3 2 6 4 3 12 5 3 15 n= 10 ? f.x = 36 36 X = = 3,6 10 Açıklama: Aritmetik ortalamayı bulurken değişken olan “x” değerleriyle frekansları ayrı ayrı çarpılıp toplanır, bulanan toplam değer, toplam frekansa bölünür böylece frekans serilerinin ortalaması bulunur. c) Sınıflandırılırmış Serilerde Aritmetik Ortalama Formül: ? f . x i X = ? f Örnek: X f ( Frekans) 0-4 1 4-8 1 8-12 2 12-16 2 16-20 1 20-24 2 24-28 1 Verilen sınıflandırılmış serisinin aritmetik ortalamasını bulunuz ? Çözüm: X f ( Frekans) X f . x 0-4 1 2 2 4-8 1 6 6 8-12 2 10 20 12-16 2 14 28 16-20 1 18 18 20-24 2 22 44 24-28 1 26 26 n = 10 144 Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 10 144 X = = 14,4 10 Açıklama: Sınıflandırılmış serilerde aritmetik ortalamayı bulurken önce her bir sınıfın sınıf orta değerini ayrı ayrı buluruz daha sonra sınıf orta değeriyle frekanslarını karşılıklı olarak çarpıp toplarız, bulduğumuz toplam değeri toplam frekansa böleriz. Böylece sınıflandırılmış serinin aritmetik ortalamasını buluruz. d) Tartılı Aritmetik Ortalama Serideki veri değerlerinin önem dereceleri arasında fark varsa aritmetik ortalamayı hesaplarken bu farklar dikkate alınıyorsa burada tartılı aritmetik ortalama vardır. Tartılı aritmetik ortalama hesaplarken değişken değerle tartılar karşılıklı olarak çarpılır; bulanan toplam, toplam tartıya bölünür. Örnek: Bir öğrencinin aşağıdaki derslerden on üzerinden aldıkları notlar ile derslerin haftalık ders saatleri aşağıya çıkarılmıştır: Dersler Notlar Haftalık Ders Saatleri ( Kredi Saati ) f İstatistik 8 3 İktisat 6 4 İngilizce 7 2 Bu verilere göre bu öğrencinin bu derslerde ki not ortalaması nedir ? Çözüm: x f x . f 8 3 24 6 4 24 7 2 14 Toplam: 9 Toplam: 62 62 X = = 6,8888 9 Örnek: Bir öğrencinin istatistik dersinden 100 üzerinden aldığı notlar: Birinci ara sınavdan 70 ; ikinci ara sınavdan 80 ; finalden ise 90 almıştır. Birinci ara sınav öğrencinin başarı notunu % 15 ; ikinci ara sınav % 25 final notu ise başarı notunu % 60 etkilemiştir. Bu öğrencinin başarı notunu hesaplayınız. Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 11 Çözüm: Sınavlar Notlar 1. Ara Sınav 70 2. Ara Sınav 80 Final Sınavı 90 ( 70 % 15 ) + ( 80 % 25 ) + ( 90 % 60 ) = 84,5 10,5 20 54 Aritmetik Ortalamanın Özellikleri 1) Aritmetik ortalama serideki veri değerlerine yakın bir değer ise bu durumda aritmetik ortalama seriyi iyi temsil ediyor denir. Aritmetik ortalama veri değerlerinden uzaklaştıkça seriyi temsil gücü azalır. Aritmetik ortalama aşırı değerlerden etkilenir. 2) Serideki veri değerlerinden aritmetik ortalamayı ayrı ayrı çıkarırsak bulduğumuz farklara serideki veri değerlerinin sapmaları denir. Serideki veri değerlerinin sapmalarının cebirsel (artılı / eksili) toplamı daima “sıfır” olur. Örnek: x x - x 3 3 – 10 = -7 7 7 – 10 = -3 10 10 – 10 = 0 11 11 – 10 = 1 19 19 – 10 = 9 0 3+7+10+11+19 X = = 10 5 3) Serideki veri değerleriyle aritmetik ortalamalarının kareleri toplamı en küçük olur, yani minimum olur. 4) Serideki her bir veri değerinin sıfırdan farklı aynı bir sayıyla çarpılınca elde edilen yeni serinin aritmetik ortalaması ilk serinin aritmetik ortalaması aynı dediğimiz sayıyla çarpımına eşittir. Söz gelimi bir serinin tüm veri değerlerini ayrı ayrı dörtle ( 4 ) çarptığımızda elde ettiğimiz bu yeni serinin aritmetik ortalaması ilk serinin aritmetik ortalamasının dört katı olur. 5) Serideki veri değerlerine aynı sayıyı eklersek elde ettiğimiz yeni serinin aritmetik ortalaması ilk serinin aritmetik ortalaması ile aynı sayının toplamına eşittir. Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 12 2) Geometrik Ortalama Formül: G = ?X 1. X 2 ………… X n formülü ile hesaplanır. a) Basit Serilerde Geometrik Ortalama Örnek: x 2 4 8 Serisinin geometrik ortalamasını bulunuz ? Çözüm: G = 3 ?2.4.8 = 3 ?64 = 3 ?4 3 = 4 b) Frekans Serilerinde Geometrik Ortalama c) Sınıflandırılmış Serilerde Geometrik Ortalama 3) Harmonik Ortalama a) Basit Serilerde Harmonik Ortalama b) Frekans Serilerinde Ve Sınıflandırılmış Serilerde Harmonik Ortalama 4) Kareli Ortalama a) Basit Serilerde Kareli Ortalama b) Frekans Serilerinde Kareli Ortalama c) Sınıflandırılmış Serilerde Kareli Ortalama B) Duyarlı Olmayan Merkezi Eğilim Ölçüleri 1) Ortanca ( Medyan ) Seriyi baştan % 50 sondan % 50 olmak üzere iki eşit kısma ayıran değere ortanca yani medyan denir. Verilen bir serinin meydanının bulurken serideki veri değerlerinin küçükten büyüğe doğru sıralanmış olması gerekir. Veri değerleri küçükten büyüğe doğru sıralandıktan sonra veri sayısı n olmak üzere baştan n + 1 veri değeri medyan olarak alınır. 2 Basit serilerde yada frekans serilerinde veri sayısının tek yada çift olması önemlidir Sınıflandırılmış serilerde veri sayısının tek yada çift olması önemli değildir. Sınıflandırılmış serilerde baştan n veri değeri medyan olarak alınır. 2 Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 13 Basit serilerde ve frekans serilerinde veri sayısı tek ise tam ortada bir terim bulunur. Bu terim medyan olarak alınır. Bu durumda medyan seriye aittir. Basit serilerde ve frekans serilerinde veri sayısı çift ise tam ortada iki terim bulunur, tam ortada buluna bu iki terimin toplamlarının yarısı yani aritmetik ortalaması bize medyanı verir. Bu durumda medyan diziye ait bir veri değeri değildir. Kartil Seriyi dört eşit parçaya ayıran değerlere “kartil” denir. Bunlar üç tanedir; 1. Kartil ? Q 1 2. Kartil ? Q 2 3. Kartil ? Q 3 ile gösterilir 2. kartil olan Q 2 tam ortada bulunduğu için serinin medyanı olur. Bu nedenle medyana aynı zamanda 2. kartil denir. 1. kartil seriyi baştan % 25, sondan % 75 oranında iki kısma ayıran değerdir. 2. kartil seriyi baştan % 50, sondan % 50 oranında iki kısma ayıran değerdir. 3. kartil seriyi baştan % 75, sondan % 25 oranında iki kısma ayıran değerdir. Desil Seriyi on eşit parçaya ayıran değerlere “desil” denir. Bunlar 9 tanedir. Beşinci desil olan d 5 tam ortada bulunduğu için aynı zamanda ortancadır (medyan). 1. desil seriyi baştan % 10, sondan %90 oranında iki kısma ayıran değerdir. 2. desil seriyi baştan % 20, sondan %80 oranında iki kısma ayıran değerdir. Bu şekil de diğer desillerde tanımlanır. Santil Seriyi yüz eşit parçaya ayıran değerlere “santil” denir. Bunlar 99 tanedir. ellinci santil olan C 50 tam ortada bulunduğu için aynı zamanda ortancadır (medyan). 1. santil seriyi baştan % 1, sondan %99 oranında iki kısma ayıran değerdir. 2. santil seriyi baştan % 2, sondan %98 oranında iki kısma ayıran değerdir. Bu şekil de diğer santillerde tanımlanır. Kantil Burada sözünü ettiğimiz kartil, desil ve santil kavramlarının hepsine birden “kantil” denir. a) Basit Serilerde Medyan Örnek: x 2 5 3 9 14 19 12 Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 14 Serisinin medyanı nedir ? Çözüm: x 2 3 5 9 12 14 19 n = veri değeri n = 7 veri sayısı tek, serinin baştan n + 1 7 + 1 = 4. veri değeri, yani medyan = 9’dur. 2 2 Örnek: X 2 5 3 9 14 19 12 15 Serisinin medyanı nedir ? Çözüm: X 2 5 3 9 12 14 15 19 n = 8 veri sayısı çift serinin baştan n + 1 7 + 1 = 4,5. veri değeri medyan = 9 + 12 = 10,5’dur 2 2 2 Not: Veri sayısı çift olduğunda medyanın baştan kaçınıcı veri değeri olduğunu gösteren sayı daima ondalık sayı çıkar ve ondalık kısmı 5 olur. Bizim örnekte veri sayısı 8 yani çift olduğu için serinin baştan 4,5. veri değeri medyan olarak bulunmuştur. Bu da dördüncü ile beşinci Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 15 veri değerlerinin toplamının yarısı olacak demektir. Eğer değer 7,5 olsaydı yedinci ve sekizinci veri değerlerinin toplamının yarısını alacaktık. b) Frekans Serilerinde Medyan Frekans serilerinde de basit derilerde olduğu gibi veri sayısının yani toplam frekansın tek yada çift olması önemlidir. Örnek: X ( notlar ) f ( Frekans) 1 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 2 7 2 8 3 9 2 10 1 Toplam = 20 Frekans serisinin medyanı nedir ? Not: Kartil hesabı yapılırken basit seriler hariç frekans ve sınıflandırılmış serilerde ……den az hesabına göre birikimli frekanslar bulunur. Çözüm: X ( notlar ) f ( Frekans) ……den az 1 1 1 2 2 3 3 2 5 4 3 8 5 2 10 6 2 12 7 2 14 8 3 17 9 2 19 10 1 20 Toplam = 20 veri sayısı çift serinin baştan n + 1 20 + 1 = 10,5. veri değeri(10,5 denilince 10 ve 11 alınır.) 2 2 medyan = 5 + 6 = 5,5’dur 2 Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 16 Not: Frekans serisinde 3’ün (X not) ……den aza göre birikimli frekansı 5’tir öyleyse serinin baştan an son 5. veri değeri 3 demektir Not: Seride medyanın baştan 9,5. veri değeri olduğu karşımıza çıksaydı bu defa serinin baştan 9. ve 10. veri değerlerini toplayıp ikiye bölerdik. Örneğimizde baştan 9. ve 10. veri değerleri bir başka deyişle baştan 9. ve 10. öğrencilerin aldığı notlar 5 — 5 olacaktı, bu durumda medyan ( 5 + 5 ) / 2 = 5 olur. Örnek: X ( notlar ) f ( Frekans) 1 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 2 7 2 8 3 9 2 10 1 Toplam = 20 Frekans serisinin medyanı nedir ? Çözüm: X ( notlar ) f ( Frekans) ……den az 1 1 1 2 2 3 3 2 5 4 3 8 5 2 10 6 2 12 7 2 14 8 3 17 9 2 19 10 2 20 Toplam = 21 veri sayısı tek serinin baştan n + 1 21 + 1 = 11. veri değeri medyan = 6 2 2 c) Sınıflandırılmış Serilerde Medyan Sınıflandırılmış serilerde toplam frekansın yani veri sayısının tek yada çift olması önemli değildir. ?f = n olsun Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 17 Bu durumda baştan n . veri değeri medyan olur. 2 Sınıflandırılmış serilerde baştan n . veri değerinin bulunduğu sınıf medyan sınıfıdır. 2 Sınıflandırılmış serilerde medyan aşağıdaki formülle hesaplanır; Formül: N c Medyan = L + d • 2 f L Medyan sınıfı alt sınırı. N Toplam frekans. d Medyan sınıfından bir önceki sınıfın ……den az esasına göre birikimli frekansı. c Medyan sınıfının sınıf aralığı. f Medyan sınıfının sınıf frekansı. Örnek: X ( Sınıflar ) f ( Frekans) 0-4 1 4-8 2 8-12 2 12-16 3 16-20 2 20-24 3 24-28 2 28-32 2 32-36 3 Toplam(n) = 10 Verilen serinin medyan sınıfı ve medyan frekansını bulunuz ? Çözüm: X ( Sınıflar ) f ( Frekans) ……den az 0-4 1 1 4-8 2 3 8-12 2 5 12-16 3 8 16-20 2 10 20-24 3 13 24-28 2 15 28-32 2 17 32-36 3 20 Toplam(n) = 20 Medyan sınıfı Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 18 Serinin baştan; n = 20 = 10. veri değeri medyan olur. 2 2 Not: Medyan değerinin bulunduğu sınıf ise medyan sınıfı olarak alınır. L = 16 N = 20 d = 8 c = 4 f = 2 N c Medyan = L + d • 2 f 20 4 Medyan = 16 + 8 • = 16 + ( 10 – 8 ) . 2 = 16 + 4 = 20 2 2 Mod Mod terimi moda kelimesinden gelmektedir. Sözgelimi bir firmanın ürettiği ürün çeşitlerinden hangisine talep fazla ise en fazla talep olan ürün çeşidi mod olur. Bu nedenle mod firmaların ileriye dönük üretim planlaması yapmalarına yardımcı olur. a) Basit Serilerde Mod Basit serilerde en fazla tekrar eden veri değeri mod olur. Örnek: X 2 3 3 3 5 5 7 9 Verilen serinin modu nedir ? Çözüm: X 2 3 3 3 5 5 7 9 Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 19 Verilen serinin modu 3’tür. b) Frekans Serilerinde Mod Frekans serilerinde frekansı en yüksek olan veri değeri mod olur. Örnek: X ( notlar ) f ( Frekans) 1 1 2 3 3 1 4 2 5 1 6 1 7 4 8 2 9 2 10 2 Verilen frekans sersinin modu nedir ? Çözüm: X ( notlar ) f ( Frekans) 1 1 2 3 3 1 4 2 5 1 6 1 7 4 8 2 9 2 10 2 Verilen serinin modu 7’dir Not: Frekans serilerinde frekans mod olmaz. Mod frekansı en yüksek olan veri değeri dir. c) Sınıflandırılmış Serilerde Mod Frekansı en yüksek olan sınıf mod sınıfı olur mod bu sınıfta yer alır. Mod sınıfının sınıf orta değerinin yaklaşık olarak mod değeri almamız mümkündür. Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 20 Örnek: X ( Sınıflar ) f ( Frekans) 0-4 1 4-8 2 8-12 4 12-16 2 16-20 2 20-24 2 24-28 1 28-32 2 32-36 2 Verilen sınıflandırılmış serinin modu nedir ? Çözüm: X ( Sınıflar ) f ( Frekans) 0-4 1 4-8 2 8-12 4 12-16 2 16-20 2 20-24 2 24-28 1 28-32 2 32-36 2 Mod = 8 + 12 = 10’dur 2 Mod = 10 Not: Sınıflandırılmış serilerde histogram çizerek te mod bulabiliriz. Örnek: Sınıflar X f ( Frekans) 0-4 4 4-8 8 8-12 16 12-16 12 16-20 24 20-24 16 24-28 8 28-32 12 32-36 4 Verilen serinin histogramını çizerek modunun bulunuz ? Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 21 Çözüm: Sınıflar X f ( Frekans) Sınıf Aralığı h f / n 0-4 4 4 4:4 = 1 4-8 8 4 8:4 = 2 8-12 16 4 16:4 = 4 12-16 12 4 12:4 = 3 16-20 24 4 24:4 = 6 20-24 16 4 16:4 = 4 24-28 8 4 8:4 = 2 28-32 12 4 12:4 = 3 32-36 4 4 4:4 = 1 Histogram Dağılma Ölçüleri Bir seride veri değerlerinin merkez nokta etrafında hangi ölçüde dağıldığının bilinmesi dağılma ölçüleriyle sağlanır. Dağılma ölçüleri iki grupta incelenir; 1) Mutlak Dağılma Ölçüleri 2) Mutla Olmayan ( oransal ) Dağılma Ölçüleri A- Mutlak Dağılma Ölçüleri a) Değişim Aralığı Serideki en büyük veri değeri ile en küçük veri değeri arasındaki farka değişim aralığı denir. Formül: D.A = X maks - X min Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 22 1) Basit Serilerde Değişim Aralığı Örnek: X 2 5 11 21 27 37 Verilen serinin değişim aralığı nedir ? Çözüm: D.A = 37 – 2 = 35’dir. 2) Frekans Serilerinde Değişim Aralığı Örnek: Sınıflar X f ( Frekans) 1 1 2 2 3 1 4 2 5 1 6 2 7 1 8 2 9 1 10 2 Verilen frekans serisinin değişim aralığı nedir ? Çözüm: D.A = 10 – 1 = 9’dur. 3) Sınıflandırılmış Serilerde Değişim Aralığı En büyük sınıfın üst sınırı ile en küçük sınıfın alt sınırı arasındaki fark değişim aralığı olur. Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 23 Örnek: Sınıflar X f ( Frekans) 4-8 1 8-12 2 12-16 1 16-20 2 20-24 1 24-28 2 28-32 2 32-36 1 36-40 2 Verilen sınıflandırılmış serinin değişim aralığı nedir ? Çözüm: D.A = 40 – 4 = 36’dır. b) Ortalama Sapma 1) Basit Serilerde Ortalama Sapma Formül: ? -X- X- O.S = n Örnek: X 3 7 12 18 20 Verilen serinin ortalama sapmasını bulunuz ? Çözüm: Soruyu çözmek için önce serinin aritmetik ortalamasını ( X ) buluruz. X X – X - X – X - 3 3 – 12 = -9 9 7 7 – 12 = -5 5 12 12 – 12 = 0 0 18 18 – 12 = 6 6 20 20 – 12 = 8 8 Toplam = 28 Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 24 3 + 7 + 12 + 18 + 20 X = = 12 5 28 O.S = = 5,6 5 (n: satır sayısı) 2) Frekans Serilerinde Ortalama Sapma Formül: ? f .-X- X- O.S = ? f Veri sayısı. Örnek: Sınıflar X f ( Frekans) 1 3 2 2 3 1 4 1 5 2 6 3 7 2 8 2 9 2 10 2 Verilen frekans serisinin ortalama sapmasını bulunuz ? Çözüm: Soruyu çözmek için önce serinin aritmetik ortalamasını ( X ) buluruz. Sınıflar X f ( Frekans) f . x X – X - X – X - f.- X – X - 1 3 3 1 – 6 = -5 5 15 2 2 4 2 – 6 = -4 4 8 3 1 3 3 – 6 = -3 3 3 4 1 4 4 – 6 = -2 2 2 5 2 10 5 – 6 = -1 1 2 6 3 18 6 – 6 = 0 0 0 7 2 14 7 – 6 = 1 1 2 8 2 16 8 – 6 = 2 2 4 9 2 18 9 – 6 = 3 3 6 10 2 20 10 – 6 = 4 4 8 N= 20 Topl =110 Toplam = 50 Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 25 ? f . x X = ? f 110 X = = 5,5 yaklaşık olarak “6” alırız 20 50 O.S = = 2,5 20 3) Sınıflandırılmış Serilerde Ortalama Sapma Formül: ? f .- X i - X- O.S = ? f Örnek: Sınıflar X f ( Frekans) 0-4 1 4-8 2 8-12 2 12-16 1 16-20 2 20-24 2 Verilen sınıflandırılmış serinin ortalama sapmasını bulunuz ? Çözüm: Soruyu çözmek için önce serinin aritmetik ortalamasını ( X ) buluruz. Sınıflar X f ( Frekans) X i f. X i X i – X - X i – X - f.-X i – X - 0-4 1 2 2 -11 11 11 4-8 2 6 12 -7 7 14 8-12 2 10 20 -3 3 6 12-16 1 14 14 1 1 1 16-20 2 18 36 5 5 10 20-24 2 22 44 9 9 18 N = 10 T =128 Topl = 60 Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 26 X i = Sınıf Orta Noktaları 128 X = = 12,8 yaklaşık olarak “13” alırız 10 ? f .- X i - X- O.S = ? f 60 O.S = = 6 10 Not: Sınıflandırılmış serilerde değişken değerleri sınıf orta noktaları olur. c) Çeyrek Sapma ( Yarı Kartil Aralığı ) Formül: Q 3 – Q 1 Y.K.A = formülü ile bulunur 2 1) Sınıflandırılmış Serilerde Çeyrek Sapma Örnek: X f ( Frekans) 4-8 1 8-12 2 12-16 3 16-20 2 20-24 2 24-28 3 28-32 2 32-36 1 N = 16 Çözüm: X f ( Frekans) ……den az 4-8 1 1 8-12 2 3 12-16 3 6 16-20 2 8 20-24 2 10 24-28 3 13 28-32 2 15 32-36 1 16 N = 16 Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 27 N c Q 1 =L 1 + d • 4 f baştan N . 16 = 4. veri değeri, Q 1’ dir ( 1. kartil) 4 4 16 4 Q 1 = 12 + 3 • = 4 3 4 Q 1 = 12 + = 13,3 ( 1. Kartil ) 3 baştan 3N . 3 . 16 = 12. veri değeri, Q 3’ dür ( 3. kartil) 4 4 3N c Q 3 =L 3 + d • 4 f 3 .16 4 Q 3 =24 + 10 • 4 3 Q 3 = 24 + {12 – 10 } 4/3 Q 3 = 24 + 8/3 = 26,67 (3. Kartil ) Q 3 – Q 1 Çeyrek Sapma = 2 26,67 – 13,3 Çeyrek Sapma = = 6,685 2 Not: Q 3 – Q 1 kartil aralığıdır Q 3 – Q 1 ‘de yarı kartil aralığıdır. 2 d) Varyans ve Standart Sapma Serideki veri değerlerinin aritmetik ortalamadan uzaklıklarının ölçüsüne standart sapma denir. Standart sapmanın karesine ise varyans denir. Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 28 Formül: ? - X - X- 2 S 2 = ile hesaplanır. n Varyansın pozitif karekökü alınarak standart sapma bulunur. Not: Basit seride varyans hesaplanırken önce serinin aritmetik ortalaması bulunur, daha sonra seride ki veri değerleri yani değişken değerlerinden aritmetik ortalama ayrı ayrı çıkarılarak yazılır. Yeni sapmalar bulunur, bulduğumuz sapmaların ayrı ayrı karekökünü alırız, bu aldığımız kare değerlerini toplarız sonra bulduğumuz toplam değeri veri sayısına böleriz böylece varyansı bulmuş oluruz. Varyansın pozitif karekökünü alarak standart sapmayı buluruz. 1) Basit Serilerde Varyans ve Standart Sapma Örnek: X 3 7 12 16 22 Verilen serinin varyans ve standart sapmasını bulunuz ? Çözüm: 3 + 7 + 12 + 16 +22 X = = 10 6 X X – X ( X – X ) 2 3 3 – 10 = -7 49 7 7 – 10 = -3 9 12 12 – 10 = -2 4 16 16 – 10 = 6 36 22 22 – 10 = 10 100 158 158 S 2 = = 31,6 5 Varyans S = ? 31,6 = 6,033 Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 29 2) Frekans Serilerinde Varyans ve Standart Sapma Formül: ? f .- X - X- 2 S 2 = ile hesaplanır. ? f Örnek: Sınıflar X f ( Frekans) 1 2 2 3 3 2 4 1 5 2 N= 10 Verilen frekans serisinin varyans ve standart sapmasını bulunuz ? Çözüm: Sınıflar X f ( Frekans) f . x X – X ( X – X ) 2 f. (X – X ) 2 1 2 2 1 – 3 = -2 4 8 2 3 6 2 – 3 = -1 1 3 3 2 6 3 – 3 = 0 0 0 4 1 4 4 – 3 = 1 1 1 5 2 10 5 – 3 = 2 4 8 N= 10 Topl =28 Toplam = 20 28 X = = 2,8 yaklaşıl olarak “3” alırız. 10 20 S 2 = = 2 10 Standart Sapma = ? 2 = 1,4 3) Sınıflandırılmış Serilerde Varyans ve Standart Sapma Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 30 Formül: ? f .- X i - X- 2 S 2 = ile hesaplanır. ? f Örnek: Sınıflar X f ( Frekans) 0-4 2 4-8 2 8-12 2 12-16 2 16-20 2 20-24 1 24-28 2 28-32 3 32-36 2 36-40 2 N = 20 Verilen sınıflandırılmış serinin varyans ve standart sapmasını bulunuz ? Çözüm: Soruyu çözmek için önce serinin aritmetik ortalamasını ( X ) buluruz. Sınıflar X f ( Frekans) X i f. X i X i – X ( X i – X ) 2 f. (X i – X ) 2 0-4 2 2 4 -18 324 648 4-8 2 6 12 -14 196 292 8-12 2 10 20 -10 100 200 12-16 2 14 28 -6 36 72 16-20 2 18 36 -2 4 8 20-24 1 22 22 2 4 4 24-28 2 26 52 6 36 72 28-32 3 30 90 8 64 300 32-36 2 34 68 14 196 392 36-40 2 38 76 18 324 648 N = 20 T =408 Topl = 2736 408 X = = 20,4 yaklaşıl olarak “20” alırız. 20 2736 S 2 = = 136,8 Varyans 20 Standart Sapma = ?136,8 = 16,69 Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 31 Oransal Dağılma Ölçüsü 1) Değişim Katsayısı Değişim katsayısı oransal bir dağılma ölçüsüdür, bir başka deyimle mutlak olmayan bir dağılma ölçüsüdür. Değişim katsayısı standart sapmanın aritmetik ortalamasının bir yüzdesi olarak ifadesidir, bir başka deyimle standart sapma aritmetik ortalamanın %’de kaçıdır sorusuna yanıt aradığımızda yapacağımız işlem bize değişim katsayısını verir. Formül: S Değişim Katsayısı ? = .100 ile bulunur X Değişken katsayısı aritmetik ortalamanın bir yüzdesi olarak ifade edilir. Değişim katsayısı tek başına bir anlam ifade etmez. Bir seride standart sapma ne kadar küçük çıkarsa serideki veri değerleri aritmetik ortalama etrafında o kadar sıkça dağılıyor demektir. Bir başka deyimle standart sapma küçüldükçe veri değerlerinin aritmetik ortalama etrafında daha sıkça dağılmaları söz konusudur. Standart sapma büyük olursa veri değerleri aritmetik ortalamadan uzaklaşıyor demektir. Değişim katsayısı iki serinin türdeşlik açısından karşılaştırılmasında kullanılır. Biraz önce söylediğimiz gibi benzer şekilde hangi serinin değişim katsayısı küçük çıkarsa küçük çıkan seri değerine nazaran daha türdeştir denir. Bir başka deyimle değişim katsayısı küçük çıkan seride veri değerleri aritmetik ortalama etrafında diğer seriye göre daha sıkça dağılıyor demektir. Not: Hangisi küçük çıkarsa o türdeş olur. Örnek: Bir fabrikada çalışanların ağırlıklarının ortalaması 60 standart sapması ise 8’dir, bu fabrikada çalışanların yaşlarının ortalaması 32 standart sapması ise 4’dür. Bu iki dağılımdan hangisi diğerine göre daha türdeştir. Değişim katsayılarını bularak belirleyiniz ? Çözüm: 8 Değişim Katsayısı A ? = . 100 60 (D.K) A = % 13,3 4 Değişim Katsayısı Y ? = . 100 32 (D.K) Y = % 12,5 12,5<13,3 olduğundan yaşlara ilişkin dağılım, ağırlıklara ilişkin dağılıma nazaran daha türdeştir. Bir başka deyimle yaşlara ilişkin dağılımdaki veri değerleri ağırlıklara ilişkin dağılımdaki veri değerlerine nazaran aritmetik ortalama etrafında daha sıkça dağılmaktadır. Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 32 Ek Konu: Olasılık O LA S I L I K 1) Deney, Sonuç, Örnekleme, Uzay Pek çok gözlemde sadece bir tanesinin gerçekleşmesi sürecine deney, gözlemlere sonuç, sonuçların tümüne ise bu deney ait örneklem uzay denir. Örneklem uzay “E” yada “S” harfiyle gösterilir. Örnek: Düzgün bir madeni para bir kez atılıyor bu deneye ait örneklem uzayı yazınız ? E = { Y,T } Örnek: Düzgün bir madeni para arka arkaya iki kez atılıyor. Bu deneye ait örneklem uzayı yazınız ? Not: İki sonuçlu bir deney n kez tekrar edilirse örneklem uzayın eleman sayısı yada örneklem uzayındaki sonuç sayısı yada örneklem uzayı oluşturan sonuç sayısı 2 n olur. Not: Para atma deneyi iki sonuçlu bir deneydir. Bu nedenle düzgün bir madeni para bir kere atılırsa örneklem uzayı oluşturan sonuç sayısı 2 1 = 2 olur. İki kez atılırsa 2 2 = 4 olur. Örnek: Düzgün bir madeni para arka arkaya üç kez atılıyor bu deneye ait örneklem uzayı bu deneye ait venn şeması ve ağaç diyagramı şeklinde gösteriniz. Çözüm: VENN ŞEMASI AĞAÇ DİYAGRAMI Y.Y.Y Y.T.Y T.Y.Y T.T.Y Y.T.Y Y.Y.T T.Y.T Y.T.T T.T.T Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 33 2) Olay Bir deneyin bir yada daha fazla sonucunu içeren kümeye olay denir. Olay iki şekilde olur; a) Basit Olay b) Bileşik Olay Basit Olay Bir deneyin sadece bir sonucunu içeren olaya basit olay denir. Örnek: Düzgün bir madeni para bir kez atılıyor bu deneye ait yazı gelmesi olayını yazınız ? Çözüm: A = Yazı gelmesi olayı A = { Y } bu olay basit olaydır, çünkü deneye ait örneklem uzaydaki sonuçlardan sadece bir tanesine içermektedir. Bileşik Olay Bir deneyin iki yada daha fazla sonucunu içeren olaya bileşik olay denir. Örnek: Düzgün bir tavla zarı bir kez atılıyor 5’ten küçük sayı gelmesi olayını yazınız ? Çözüm: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } A = 5’ten küçük sayı gelmesi olayı A = { 1, 2, 3, 4 } bu olay bileşik olaydır. Çünkü örneklem uzayındaki sonuçlardan dördünü içermektedir. Örnek: Düzgün bir madeni para arka arkaya iki kere atılıyor. En çok bir yazı gelmesi olayını yazınız ? Çözüm: S = { YY, YT, TY, TT } A = En çok bir yazı gelme olayı olasılığı Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 34 A = { YT, TY, TT } bu olay bileşik olaydır. Çünkü örneklem uzayındaki sonuçlardan üçünü kapsıyor. 3) Ayrık ve ayrık Olmayan Olaylar İki olay ortak sonuç içeriyorsa bu iki olay ayrık olmayan olaylardır. Ortak sonuç içermiyorsa ayrık olaylardır. Örnek: Düzgün bir tavla zarı bir kez atılıyor üste gelen sayının; a) Tek sayı b) Çift sayı c) 5’ten küçük bir sayı gelmesi olayları yazınız ve ayrık olan ve olmayan olayları belirtiniz. A = { 1, 3, 5 } A ile B ayrık olaylardır. A ile C ayrık olmayan olaylardır. B = { 2, 4, 6 } B ile C ayrık olmayan olaylardır. C = { 1, 2, 3, 4 } 4) Bağımlı Olaylar A ve B gibi iki olay verilsin A olayının gerçekleşmesi B olayına bağımlı ise bir başka deyimle B olayı A olayının ortaya çıkmasını etkiliyorsa bu iki olaya bağımlı olay denir. Örnek: Düzgün bir madeni parayla tavla zarı arka arkaya atılıyor: Zarın tek sayı, paranın tura gelme olasılığı birbirine bağlı değildir. Çünkü zarın tek sayı gelmesi paranın tura gelmesi olayını etkilemez. Paranın tura gelmesi olayı da zarın tek sayı gelme olayını etkilemez. Örnek: Bir torbada 4 kırmızı 5 mavi bilye vardır, torbadan arka arkaya iki bilye alınıyor ve çekilen ilk bilye torbaya iade edilmiyor. Bu durumda söz gelimi 1. kırmızı 2. mavi gelmesi olayları bağımlı olaylardır. Çünkü çekilen ilk bilye torbaya iade edilmediği için ikinci çekim birinci çekimden etkilenir. Bu nedenle olaylar bağımlıdır. 5) Bağımsız Olaylar Birbirini etkilemeyen olaylardır. Bir işyerinde iki yangın detektörü vardır bir yangın sırasında bu detektörlerden herhangi birinin çalışmama olasılığı söz gelimi 0,03 olsun bir yangın sırasında her iki detektöründe çalışmama olasılığı sorulmuş olsun. Buradaki olayları aşağıdaki şekilde tanımlayalım. a) İlk detektörün çalışmaması olayı. Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 35 b) İkinci detektörün çalışmaması olayı. olsun bu olaylar bağımsız olaylardır. Çünkü detektörlerden birinin çalışmaması diğerinin çalışmasına bağımlı değildir. 6) Marjinal ve Koşullu Olasılık a) Marjinal Olasılık Diğer olayları ihmal ederek sadece bir olayı dikkate almak suretiyle hesaplanan olasılığa marjinal olasılık denir. Marjinal olasılığa “bileşen olasılık” ta denir. b) Koşullu Olasılık A ve B gibi iki olay verilsin B olayı gerçekleştiğinde A’nın gerçekleşme olasılığına koşullu olasılık denir. P ( A \ B) olarak gösterilir. Bu koşullu olasılıktır. P ( A ? B ) P( A \ B ) = P ( B ) Veya S ( A ? B ) P( A \ B ) = P ( B ) Bu formülde yer alan P ( A ? B )’ye ortak olasılık denir. P ( B )’yede marjinal olasılık denir, öyleyse koşullu olasılık, ortak olasılığın marjinalle bölümüdür. Not: Koşullu olasılık formülünde paydaya gelen ikincisi olur. Örnek: Bir işyerinde çalışan 100 kişiye, üst düzey yöneticilere yüksek ödeme yapılmasını onaylayıp onaylamadıkları sorulmuştur. Bu sonuçlar, çalışanlar kadın, erkek ve onaylayıp onaylamama durumlarına göre sonuçlar iki yönlü sınıflandırma tablolarında verilmiştir. Onaylayan Onaylamayan Toplam Çalışanlar Kadın 33 27 60 Erkek 28 12 40 Toplam 61 39 100 Bu çalışanlar içerisinde rast gele biri seçildiğinde seçilen kişinin; Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 36 a) Kadın olma olasılığı ? b) Erkek olduğu bilindiğine göre onaylıyor olma olasılığını bulunuz ? Çözüm: a) kadınların sayısı P( kadın ) = tüm çalışanların sayısı 60 P( kadın ) = = 0,6 100 b) O: Onaylıyor olma olasılığı E: Erkek olma olasılığı 28 P ( O \ E ) = = 0,7 40 7) Bileşik Olasılık ( İki olayın ara kesitinin olasılığı ) İki olayın ara kesitinin olasılığı yani bileşik olasılık P ( A ve B ) şeklinde gösterilir. P ( A ve B ) = P ( A ) . P ( B \ A ) formülü ile hesaplanır. Örnek: Bir işyerinde çalışan 40 kişinin kadın, erkek üniversite mezunu olma / olmama durumlarına göre iki yönlü sınıflama tablosu aşağıda verilmiştir. Bu çalışanlardan işçi komite üyesi için rast gele biri seçiliyor; a) Seçilen bu kişinin kadın ve üniversite mezunu olma olasılığı nedir. Çözüm: P ( K ve M ) = P ( K ) . P ( M \ K ) 23 14 40 23 = 0,35 Kısayol; Üniversite mezunu Üniversite Mezunu Olmayan Toplam Çalışanlar Kadın 14 9 23 Erkek 12 5 17 Toplam 26 14 40 Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 37 14 P ( K ve M ) = = 0,35 40 Not: marjinal olasılık gibi düşünülmektedir. 8) Bağımsız Olaylar İçin Çarpma Kuralı Örnek: Bir işyerinde iki yangın detektörü vardır. Bir yangın sırasında bu detektörlerden herhangi birinin çalışmama olasılığı 0,03’tür. Bir yangın sırasında bu detektörlerden her ikisinin de çalışmama olasılığı nedir ? Not: İki olay arasında “ve” işareti varsa olasılık hesaplarken çarpma söz konusu olur. Çözüm: A: İlk detektörün çalışmama olasılığı B: İkinci detektörün çalışmama olasılığı P ( A ve B ) = P ( A ) . P ( B ) = 0,03 . 0,03 = 0,009 Not : A ile B bağımlı olaylar ise P ( A ) ? P ( A \ B ), A ile B bağımlı olaylar ise P ( A ) = P ( A \ B ) Örnek: Bir torbada 4 mavi 5 beyaz bilye vardır. Arka arkaya rast gele iki bilye alınıyor, çekilen ilk bilye torbaya konmuyor birincinin beyaz ikincinin mavi gelme olasılığı nedir. Çözüm: A: Birincinin beyaz gelme olasılığı B: İkincinin mavi gelme olasılığı Not: A ile b bağımlı olaylardır, ve B olayı A olayına bağımlıdır. P ( A ve B ) = P ( A ) . P ( B \ A ) 5/9 . 4/8 = 5/18 Örnek: Bir torbada 6 kırmızı 5 beyaz bilye vardır, torbadan arka arkaya iki bilye alınıyor, çekilen ilk bilye torbaya iade ediliyor. Buna göre çekilen bilyelerde birinin kırmızı diğerinin beyaz olma olasılığı nedir. Hazırlayan: DENİZ SEVİM Kamu Yönetimi 2 / 030403004 38 Çözüm: A: 1.’nin kırmızı gelme olasılığı B: 2.’nin beyaz gelmesi olasılığı P ( A ve B ) = 6/11 . 5/11 + 5/11 . 6/11 2. 6/11 . 5/11 = 60/121 9) A veya B’nin Olasılığı ( Toplama Kuralı ) a) A ve B Olayları Ayrık Olmayan Olaylar İse A ile B’nin Olasılığı P ( A ) + P ( B ) – P ( A ve B ) dir. Not: A veya B ile A U B aynı anlamda. A ve B ile A ? B aynı anlamda. Örnek: Bir üniversitede tüm öğrencilerin etik konusunda bir dersi zorunlu olarak almalarının yaralı olacağı düşünülmüştür. Bu nedenle öğretim elemanı ve öğrencilerden oluşan toplam 300 kişiye görüşleri sorulmuş elde edilen sonuçlardan aşağıdaki iki yönlü sınıflandırma tablosu çıkarılmıştır. Katılıyor Katılmıyor Çekimser Toplam Sorulan Öğretim Elemanı 35 15 20 70 Öğrenci 75 85 70 230 Toplam 110 100 90 300 Çözüm: A: Öğretim elemanı olma olasılığı B: Katılıyor olma olasılığı P ( A ) + P ( B ) – P ( A ve B ) dir. 70/300 + 100/300 – 35/300 =135/300 b) A ve B Olayları Ayrık Olaylar İse A ile B’nin Olasılığı