Malzeme Bilimi Katıların Atom Düzeni 1 2007-2008 GÜZ YARIYILI MALZEME I Katıların Atomik Düzeni (Kristal Yapıları) 22.10.2007 2 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Kristal ve Kristal Sistemleri Denge konumunda bulunan atomlar 3 boyutlu belirli bir düzene göre dizilmişlerse, merkezlerinin birleşmesi ile ortaya çıkan görünüme kristal kafesi denir. Bütün metaller, önemli sayıda seramikler ve bazı polimerler kristal yapıya sahiptir. Kristal kafesi, yanyana gelerek kendisini oluşturan ve birim hücre olarak adlandırılan basit geometrik cisimler yardımıyla tanımlanabilir. Birim hücre, bir eksen takımında (x, y, z eksenleri), eksenler üzerindeki a, b, c atom uzaklıkları (kafes parametresi) ve eksenler arasındaki ? ? ? ?, ß ß ß ß, ? ? ? ? açıları ile belirlenir. Atomların merkezinden geçen herhangi bir kafes kesiti, kafes düzlemi olarak adlandırılır. 3 (a) Kristal Kafes ve (b) Birim Hücre (a) (b) 4 Birim Hücrenin Belirlenmesi Birim hücre, bir eksen takımında (x, y, z eksenleri), eksenler üzerindeki a, b, c atom uzaklıkları (kafes parametresi) ve eksenler arasındaki ? ? ? ?, ß ß ß ß, ? ? ? ? açıları ile belirlenir. 5 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Kristal ve Kristal Sistemleri (devamı) Birim hücrenin biçimine göre 7 temel sistem ve 1 farklı birim hücre vardır (Tablo 3.1). Bunlardan kübik, tetragonal, hekzagonal sistemler metaller için önemlidir (Şekil 3.1). Atomların yerleşimi bakımından 4 temel tip birim hücre vardır ; Basit Yüzey Merkezli Hacım Merkezli Taban Merkezli Metallerde en çok rastlanan kafes türleri (Şekil 3.2) ; Yüzey Merkez Kübik (YMK) Hacım Merkez Kübik (HMK) Sıkı Paket Hekzagonal (SPH) / Sıkı Düzen Hekzagonal (SDH) 6 Tablo 3.1. Kristal kafes sistemleri 7 Şekil 3.1. Temel kafes tipleri 8 9 10 Şekil 3.2. Metaller açısından önemli olan 3 temel kafes tipinin üç boyutlu görünüşü (HMK=Hacim Merkezli Kübik, YMK= Yüzey Merkezli Kübik ve SDH= Sıkı Düzen Hekzagonal). KS = 8 KS = 12 KS = 12 11 Birim hücrede bulunan atom sayısının hesaplanması : 1/4 4 KENAR ORTASI 1 1 HACIM MERKEZ 1/2 2 YÜZEY MERKEZ 1/8 8 KÖŞE Atomun bir birim hücrede kalan kısmı Atomu paylaşan birim hücre sayısı Atomun birim hücredeki yeri 12 BASİT KÜBİK BİRİM HÜCRE : 8 adet köşe atomu var > 1 atom / birim hücre KS = 6 13 YÜZEY MERKEZ KÜBİK BİRİM HÜCRE : 8 adet köşe, 6 adet yüzey atomu var > atom /birim hücre NOT : Tüm atomlar aynı tiptir, köşe ve yüzey atomları ayırt edilebilmeleri için farklı renkte gösterilmiştir ! KS = 12 14 HACIM MERKEZ KÜBİK BİRİM HÜCRE : 8 adet köşe, 1 adet hacım atomu var > 2 atom /birim hücre NOT : Tüm atomlar aynı tiptir, köşe ve hacım atomları ayırt edilebilmeleri için farklı renkte gösterilmiştir ! KS = 8 15 ÖRNEKLER : YMK HMK Örnek : Örnek : Al, Cu, Au, Ag, Pb, Ni, Pt Cr, Fe, Mo,Ta, W, Nb, Ba 16 ÖRNEKLER : Basit Kübik YMK Örnek : CsCl, CuZn, CsBr, LiAg Örnek : NaCl 17 SIKI DÜZEN HEKZAGONAL YAPI : 12 adet köşe, 3 adet hacım, 2 adet yüzey atomu var Köşe > 12 x 1/6 ; Hacım > 3x1 ; Yüzey > 2 x 1/2 6 atom / hücre 18 Atom yarıçapı ile kafes parametresi arasındaki bağıntı (YMK) : 19 Atom yarıçapı ile kafes parametresi arasındaki bağıntı (HMK) : 20 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Atomik Dolgu Faktörü (ADF) Bir kristal yapıda atomların dizilişi sıklığını ifade eder. Atomların içleri dolu birer küre oldukları varsayılır. Atomik dolgu faktörü, birim hücredeki atomların toplam hacmının (V s ), toplam birim hücre hacmına (V c ) oranıdır ; ADF = V s / V c V s = n(4/3)?R 3 V c = a 3 (kübik birim hücre için) n = birim hücredeki atom sayısı 21 APF = a 3 4 3 ? (0.5a) 3 1 atoms unit cell atom volume unit cell volume close-packed directions a R=0.5a R=0.5a R=0.5a R=0.5a contains 8 x 1/8 = 1 atom/unit cell Basit kübik birim hücre için ADF = 0.52 = 0.52 22 unit cell volume a YMK birim hücre için ADF = 0.7 Close-packed directions (diagonal): Unit cell contains 4 atoms/unit cell length = 4R a = 2R 2 = 0.74 16 R 3 APF = 4 3 ? 4 atoms unit cell atom volume R 3 2 23 a R Close-packed direction - diagonal APF = a 3 4 3 ? ( 3a/4) 3 2 atoms unit cell atom volume unit cell volume 4R 3 a = HMK birim hücre için ADF = 0.68 = 0.68 24 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Atomik Dolgu Faktörü (devamı) YMK ve SDH kristal yapıları için atomik dolgu faktörü aynıdır (ADF=0.74). Fark atom dizilişi en sık olan düzlemlerin birbirini izleme sırasıdır (Şekil 3.3). Şekil 3.3. Sıkı düzenli bir sistemde düzlemlerin dizilişi; (a)Üstten görünüş, (b) SDH ve YMK sistemlerinde üst görünüşte verilen I-II kesitleri. 25 Sıkı düzenli sistemlerde atomların dizilişi (KS=12) A.B,C dizilişinde atomların pozisyonları (YMK) A.B dizilişi (SDH) 26 YMK (kübik sıkı düzen) Sıkı düzenli sistemlerde atomların dizilişi (KS=12) SDH (hekzagonal sıkı düzen) 27 Sıkı düzenli sistemlerde atomların dizilişi (KS=12) YMK > ABCABCABC… SDH > ABABABAB… 28 Her iki durum için koordinasyon sayısı (birinci dereceden teğet komşu atomların sayısı) 12’dir. Sıkı düzenli sistemlerde atomların dizilişi (KS=12) 29 YMK yapıda atom dizilişi en sık olan düzlemlerin birim hücredeki konumları YMK’da atom dizilişi en sık olan düzlemler {111} kübün hacım diyagonaline <111> dik olan düzlemlerdir. a) ABC dizilişi b) Birim hücrenin çizimi 30 A sites B sites C sites B B B B B B B C C C A A A B C YMK yapıda atom dizilişi en sık olan düzlemlerin birim hücredeki konumları KS = 12 ADF = 0.74 31 A sites B sites A sites Bottom layer Middle layer Top layer SDH yapıda atom dizilişi en sık olan düzlemlerin birim hücredeki konumları KS = 12 ADF = 0.74 32 12 8 6 Birinci dereceden komşu atomların sayısı (KS) a a İkinci dereceden komşu atomlar arası mesafe 6 6 12 İkinci dereceden komşu atomların sayısı a Birinci dereceden komşu atomlar arası mesafe 4 2 1 Birim hücredeki atom sayısı a 3 a 3 a 3 Birim hücre hacmı, V c YMK HMK Basit Kübik 33 Yoğunluk Hesaplamaları : Burada ; ? = teorik yoğunluk (g/cm 3 ) n = birim hücredeki atom sayısı (atom/birim hücre) A = atom kütlesi veya kütle numarası (g/mol) V c = birim hücrenin hacmı (cm 3 /birim hücre) N A = Avogadro sayısı = 6.023 x 10 23 atom/mol 34 Yoğunluk Hesaplamaları (devamı) : Örnek : Atomik yarıçapı 0.128 nm olan ve YMK kristal yapıya sahip bakırın atom kütlesi 63.5 g/mol’dur. Bakırın teorik yoğunluğunu hesaplayınız ve deneysel yoğunluğu olan 8.94 g/cm 3 ile karşılaştırınız. 35 Tablo 3.2. Bazı metallerin kristal kafes türleri ve kafes parametreleri 36 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Anizotropi Anizotropi : Birim hücrede değişik doğrultularda atomlar arası uzaklık farklıdır. Bu durum bazı özelliklerin yöne bağımlı olması sonucunu doğurur, buna anizotropi denir. HMK kristal yapıda atomlar arası uzaklık hacım köşegeni yönünde en kısa, yüzey köşegeni yönünde en uzundur. YMK kristal yapıda ise bu durum tam tersidir. 37 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Allotropi veya Polimorfi Allotropi : Birkaç metalde kristal yapı sıcaklığa bağlı olarak değişir, bu durum allotropi veya polimorfi olarak adlandırılır. Örnek : Fe 910 o C’nin altında ?-Fe HMK yapıya sahiptir (KS=8) 910 o C’nin üstünde ?-Fe YMK yapıya sahiptir (KS=12) Örnek : Ti 882 o C’nin altında ?-Ti SDH yapıya sahiptir (KS=12) 882 o C’nin üstünde ß-Ti HMK yapıya sahiptir (KS=8) 38 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Kristal Düzlemleri, Doğruları ve Yönleri Kristal kafes sistemi içinde düzlem ve doğruların belirlenmesinde h, k, l, ile gösterilen ve Miller indisleri olarak isimlendirilen bir işaretleme sistemi kullanılır. Doğru > [hkl] ile ifade edilir Eşdeğer doğru ailesi > ile ifade edilir Düzlem > (hkl) ile ifade edilir Eşdeğer düzlem ailesi > {hkl} ile ifade edilir 39 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Kübik sistemde doğruların belirlenmesi : Yöntem : 1) Orijin seçilir (köşe atomlarından bir tanesi). 2) Doğrunun iki ucunda koordinatlar belirlenir. 3) Doğru okla orijinden noktaya çizilir. ) Okun ucunun koordinatları, başının koordinatlarından çıkarılır. 5) Bulunan sayıların en küçük katsayıları alınır. 6) Doğru bu sayılarla [hkl] olarak ifade edilir. 7) Negatif sayılar, indislerin üzerine bir çizgi konularak gösterilir. 8) Bir kristal kafeste aynı atom yoğunluğuna sahip doğrular, eşdeğer doğrulardır ve olarak ifade edilir. 40 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Kübik sistemde doğruların belirlenmesi (devamı): ÖRNEK : Kübik kafeste <100> doğru ailesinin üyeleri şunlardır ; [100] - [100] aynı doğru, yönleri ters [010] - [010] aynı doğru, yönleri ters [001] - [001] aynı doğru, yönleri ters Bu doğrular kübün kenarlarını belirler ; 3 farklı doğru, 6 farklı yön. NOT : Bir doğru ile onun negatifi eşit değildir, aynı hattı ancak zıt yönleri temsil ederler. Bir doğru ile onun katları aynı doğruyu temsil eder, örneğin [100] ile [200] eşittir. 41 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Kübik sistemde doğruların belirlenmesi (devamı): ÖRNEK : Kübik kafeste <110> doğru ailesinin üyeleri şunlardır ; [110] - [110] aynı doğru, yönleri ters [101] - [101] aynı doğru, yönleri ters [011] - [011] aynı doğru, yönleri ters [110] - [110] aynı doğru, yönleri ters [101] - [101] aynı doğru, yönleri ters [011] - [011] aynı doğru, yönleri ters Bu doğrular kübün yüzey diyagonallerini belirler ; 6 farklı doğru, 12 farklı yön. 42 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Kübik sistemde doğruların belirlenmesi (devamı): ÖRNEK : Kübik kafeste <111> doğru ailesinin üyeleri şunlardır ; [111] - [111] aynı doğru, yönleri ters [111] - [111] aynı doğru, yönleri ters [111] - [111] aynı doğru, yönleri ters [111] - [111] aynı doğru, yönleri ters Bu doğrular kübün hacım diyagonallerini belirler ; 4 farklı doğru, 8 farklı yön. 43 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Kübik sistemde doğruların belirlenmesi (devamı): Uygulama : Kübik sistemde <100> doğru ailesinin üyelerini çizerek gösteriniz. Kübik sistemde <110> doğru ailesinin üyelerini çizerek gösteriniz. Kübik sistemde <111> doğru ailesinin üyelerini çizerek gösteriniz. 44 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ İki doğru arasındaki açı, Doğrusal atom yoğunluğu, Burger vektörü : [h 1 k 1 l 1 ] doğrusu ile [h 2 k 2 l 2 ] doğrusu arasındaki açı (?) aşağıdaki formül yardımı ile hesaplanır : Doğrusal atom yoğunluğu (? hkl ) birim boydaki atom sayısıdır. Burger vektörü (b hkl ) ise [hkl] doğrultusunda atomlar arası uzaklığı verir. 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 cos l k h l k h l l k k h h + + · + + + + = ? [ ] boy birim sayısı atom = hkl ? [ ] [ ] hkl hkl b 1 = ? 45 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Kübik sistemde düzlemlerin belirlenmesi : Kristallerde atomlar düzlemler boyunca dizilirler. Kafes yapısında belirli bir düzlem (hkl) olarak belirtilir. Aynı atom yoğunluğuna sahip düzlemler eşdeğer düzlemlerdir. Eşdeğer düzlemler ailesi {hkl} olarak belirtilir. Düzlemler ve negatifleri özdeştir (doğruların tersine). Düzlemler ve katları özdeş değildir (doğruların tersine), örneğin (100) ve (200) düzlemleri farklı düzlemlerdir. Kübik sistemde aynı hkl indislerine sahip doğrular o düzleme diktir. Örneğin, [100] doğrusu (100) düzlemine diktir. 46 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Kübik sistemde düzlemlerin belirlenmesi (devamı) : Yöntem : 1) Koordinat sistemi kurulur, orijin saptanır. 2) Düzlemlerin eksenleri kestiği noktaların koordinatları belirlenir. 3) Koordinat olarak belirtilen sayıların tersi alınır. ) Kesirler ortak paydaya getirilir. 5) Payda terk edilir, en küçük tam sayılar bulunur. 6) Düzlem bu sayılarla (hkl) olarak ifade edilir. 7) Negatif sayılar, indislerin üzerine bir çizgi konularak gösterilir. 8) Bir kristal kafeste aynı atom yoğunluğuna sahip düzlemler, eşdeğer düzlemlerdir ve {hkl} olarak ifade edilir. 47 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Kübik sistemde düzlemlerin belirlenmesi (devamı): ÖRNEK : Kübik kafeste {100} doğru ailesinin üyeleri şunlardır ; (100) - (100) aynı düzlem (010) - (010) aynı düzlem (001) - (001) aynı düzlem Bu düzlemler kübün yüzeylerini belirler ; 3 farklı düzlem. NOT : Bir düzlem ile onun negatifi özdeştir, birim öteleme ile ona paraleldir. 48 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Kübik sistemde düzlemlerin belirlenmesi (devamı): Uygulama : Kübik sistemde {100} düzlem ailesinin üyelerini çizerek gösteriniz. Kübik sistemde {110} düzlem ailesinin üyelerini çizerek gösteriniz. Kübik sistemde {111} düzlem ailesinin üyelerini çizerek gösteriniz. Kübik sistemde (020) düzlemini çizerek gösteriniz. Kübik sistemde (112) düzlemini çizerek gösteriniz. 49 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Düzlemler arası uzaklık, Düzlemsel atom yoğunluğu : (hkl) düzlemlerinin kendi aralarındaki uzaklk (d hkl ) kübik sistemde aşağıdaki formül yardımı ile hesaplanır : Düzlemsel atom yoğunluğu (? hkl ) birim alandaki atom sayısıdır. [ ] 2 2 2 l k h a d hkl + + = [ ] alan birim sayısı atom = hkl ? 50 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Hekzagonal sistemde düzlem ve doğrular : Hekzagonal sistemde düzlem indisleri aynı Miller indisleri şeklinde fakat 4 eksene göre gösterilir (hkil). Eksenlerin 3’ü (hki) taban düzleminde olup, birbirleri ile 120 o ’lik açı yaparlar, 4. eksen (l) tabana diktir. Eksenler arasında aşağıdaki bağıntı vardır : h+k+i = 0 51 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Hekzagonal sistemde düzlemlerin belirlenmesi (devamı): Uygulama : Aşağıdaki düzlemleri hekzagonal sistemde çizerek gösteriniz ; (1010) (1010) (0110) (0110) (1100) (1100) (0001) 52 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Düzlem ve doğrular – ÖRNEKLER : 53 KATILARIN ATOMİK DÜZENİ Düzlem ve doğrular – ÖRNEKLER :