Dinamik Kinetik El Kitabı 79 BÖLÜM 6 KİNETİK 6.1 Kinetik ve Newtonun ikinci hareket kanunu Kinetik hareketi oluşturan kuvvet moment gibi nedenleri de göz önüne alarak hareketin incelenmesidir. Kinetikte temel yasa Newtonun ikinci hareket kanunudur. Bir parçacığın lineer momentumunun zamanla değişimi üzerine etkiyen kuvvetlerin bileşkesi ile orantılıdır ve bu bileşkenin yönündedir. Parçacığın lineer momentumu hızı ile orantılı olup hız yönündedir ve bu orantı katsayısı kütle adını alır. Parçacığın hızı V ? kütlesi m ile gösterilirse Lineer momentumu V m P ? ? ? olarak tanımlanır. Bu tanımla ikinci hareket yasası ) ( V m dt d dt P d F ? ? ? ? ? şeklini alır. Newton mekaniği yani klasik mekanik çerçevesinde m kütlesinin yalnız cismin iç özelliklerine bağlı olduğu zaman ve yerle değişmediği varsayılır. Dolayısıyla ikinci yasa a m F ? ? ? şeklinde yazılabilir. 6.2 Maddesel noktanın kinetiği Newtonun ikinci hareket kanunu olan a m F ? ? ? denkleminin kartezyen koordinatlardaki bileşenleri x x a m F ? , y y a m F ? , z z a m F ? doğal koordinatlardaki bileşenleri T T a m F ? , N N a m F ? şeklinde yazılabilir. 80 6.3 Kütle merkezinin hareketi teoremi Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi maddesel noktalardan oluştuğu düşünülen sistem veya rijid cismin hareketinde her bir maddesel nokta için yazılan a m F ? ? ? denklemi alt alta yazılıp toplanırsa 3 a y 2 a 3 m i F i m i a 2 m n m n a 2 F ) , , ( ? ? ? G n F 1 a 1 m 1 F o x z 1 1 1 a m F ? ? ? 2 2 2 a m F ? ? ? 3 3 3 a m F ? ? ? ………. i i i a m F ? ? ? ………. n n n a m F ? ? ? ? ? ? ? n i n i i i i a m F 1 1 ? ? denklemi elde edilir. Burada G maddesel noktalar sisteminin kütle merkezidir. Kütle merkezinin yer vektörü 1 1 n ii i n i i m OA OG m ? ? ? ? ? şeklinde yazılabilir. Bu vektörün zamana göre ikinci türevi alınırsa kütle merkezinin ivme vektörü bulunur. ? ? ? ? ? n i i n i i i G m a m a 1 1 ? ? 81 Bu ivme vektörü ifadesinden. ? ? ? n i i m m 1 olmak üzere ? ? ? n i i i G a m a m 1 ? ? yazılabilir. ? ? ? ? ? n i n i i i i a m F 1 1 ? ? ifadesindeki ? ? n i i i a m 1 ? yerine G a m ? yazılırsa ? ? G a m F ? ? şeklindeki kütle merkezinin hareketi teoremi olarak bilinen denklem elde edilir. Bu denkleme göre maddesel noktalar sisteminin veya rijid cismin kütle merkezi bütün kuvvetler ona uygulanmış ve toplam kütle orada yoğunlaşmış bir maddesel nokta gibi hareket eder. 82 6.4 Rijid cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketi ve atalet momentleri ? B ? ? M r T a N a dm N dF T dF A V Şekilde gösterilen V hacim bölgesini kapsayan ve ? Ekseni etrafında ? M dış momenti etkisinde dönen cismin üzerindeki bir dm diferansiyel kütlesi ve bu kütle için kinetik denklemi yazıp cismin tüm V hacmi içinde integre edilirse rijid cismin sabit eksen etrafında dönme hareketine ait kinetik denklemi bulunur. Maddesel noktanın hareketi verilen a m F ? ? ? denkleminin doğal koordinatlardaki ifadesi T T a m F ? , N N a m F ? Bu denklemler rijid cismin bir diferansiyel kütlesine uygulanırsa dm a dF T T ? , dm a dF N N ? Şekilde gösterildiği gibi sabit bir eksen etrafında dönen cismin bütün noktaları çembersel hareket yapar. Bundan dolayı cisim üzerindeki bir diferansiyel kütle için yazılan denklemlerden ikincisinin dönme hareketine bir etkisi olmaz. Birinci denklemdeki T a ivmenin teğetsel bileşeni yerine ? ?r a T yazılarak elde edilen dm r dF T ? ? denkleminin her iki tarafı diferansiyel kütlenin yörüngesinin yarıçapı olan r ile çarpılıp integre edilirse sabit eksen etrafında dönme hareketine ait kinetik denklemi elde edilir. dm r r dF r V T V ? ? ? ? 83 Burada T V dF r M ? ? ? olduğu bilindiğine göre yukarıdaki denklem ? ? ? ? V dm r M 2 şeklinde yazılabilir.Buradaki ? V dm r 2 büyüklüne cismin ? eksenine göre atalet momenti denir ? ? ? V dm r I 2 Böylece sabit bir eksen etrafında dönme hareketine ait moment ve açısal ivme arasındaki bağıntıyı veren kinetik denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir. MI ? ?? ? 6.5 Atalet momentleri Sabit bir eksen etrafında dönme veya genel düzlemsel hareketin kinetiğinde rijid cismin sabit bir eksene göre atalet momentinin bilinmesi gerekir. Bu işlem noktaya ve düzleme göre atalet momentleri tanımlayıp daha kolay yapılabilir. dm p A r p r A d r V d ? ? V A A dm r I 2 A noktasına göre atalet momenti ? ? V d d dm r I 2 d doğrusuna göre atalet momenti ? ? V P P dm r I 2 P düzlemine göre atalet momenti 6.5.1 Atalet yarıçapı Bir noktaya veya eksene göre atalet momenti I olan m kütleli bir cismin tüm kütlesi bu noktaya veya eksene eşit uzaklıktaki bir bölgede toplanmış farz edilirse bu uzaklığa atalet yarıçapı denir ve k ile gösterilir. 2 I m k ?? 84 6.5.2 Atalet momenti ile ilgili teoremler 1 ) Bir rijid cismin birbirine dik üç düzleme göre atalet momentlerinin toplamı bunların ara kesiti olan noktaya göre atalet momentine eşittir. 2) Bir rijid cismin birbirine dik iki düzleme göre atalet momenlerinin toplamı bunların ara kesiti olan doğruya göre atalet momentine eşittir. 3) İki boyutlu bir rijid cismin şekil düzleminde bulunan birbirine dik iki doğruya göre atalet momentlerinin toplamı bunların arakesiti olan noktaya göre atalet momentine eşittir. 4) Bir rijid cismin herhangi bir doğruya göre atalet momenti bu doğruya paralel olup kütle merkezinden geçen doğruya göre atalet momenti ile cismin kütlesini bu doğrular arasındaki uzaklıkla çarpılarak elde edilen sayının toplamına eşittir. Bu teoreme paralel eksenler teoremi denir. 5) İki boyutlu cisimlerde Şekil düzlemine dik eksenle bu eksenin şekil düzlemindeki izdüşümü olan noktaya göre atalet momenti birbirine eşittir.Bu son teoreme göre iki boyutlu cisimlerde şekil düzleminde bulunan bir noktaya göre atalet momentinin kütle merkezine göre atalet momenti ile bu noktalar arasındaki uzaklık karesinin kütle ile çarpımının toplamına eşitliği şeklinde paralel eksenler teoremine benzer teorem yazılabilir. Bu teoremlerin ispatı aşağıdaki şekilde yapılabilir. y y G d z x A dm G y o x V z ? ? ? ? V O dm z y x I ) ( 2 2 2 ? ? V yoz dm x I 2 , ? ? V xoz dm y I 2 , ? ? V xoy dm z I 2 Bu denklemlerden xoy xoz yoz o I I I I ? ? ? elde edilir. Bu eşitlik birinci teoremin ispatıdır. 85 Ayrıca ? ? ? V x dm z y I ) ( 2 2 olduğundan xoy xoz x I I I ? ? yazılabileceğinden ikinci teorem ispatlanmış olur. Paralel eksenler teoremini ispatlamak için ? ? ? V y dm z x I ) ( 2 2 ? ? ? V G A G A Y dm z x I G ) ( 2 / 2 / G A G x x x / ? ? , G A G z z z / ? ? 2 / / 2 2 / / 2 2 2 2 2 G A G A G G G A G A G G z z z z x x x x z x ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 d z x G G ? ? ? ? ? ? ? ? ? V G A G V V G A G A y dm x x m d d dm z x I / 2 2 / 2 / 2 ) ( kütle merkezi formülünden 0 / ? ? V G A dm x olduğundan 2 d m I I G Y y ? ? yazılarak paralel eksenler teoremi ispatlanmış olur. Üçüncü teorem ikinci teoremin iki boyuta indirgenmiş halidir. Bu teoremin ispatı için aşağıdaki şekil göz önüne alınır. y x ) , ( y x A dm r y x o ? ? S x dm y I 2 , ? ? S y dm x I 2 ? ? ? S O dm y x I ) ( 2 2 Bu atalet momenti ifadelerinden y x O I I I ? ? yazılarak üçüncü teorem ispatlanmış olur. 86 Problem 6.5.1 Kütlesi m olan L uzunluğundaki homojen , doğrusal ve sabit kesitli çubuğun ucuna ve merkezine göre atalet momentini bulunuz. Çözüm: y L dm A G x x dx 2 A I x dm ? ? , dm dx ? ? , mL ? ? 2 L A O I x dx ? ? ? , 3 3 A L I ? ? Atalet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu 1 m L ? ? ile çarpmak gerekir. 3 3 A Lm I L ? ? ? 2 3 A L Im ? paralel eksenler teoremine göre 2 () 2 AG L I I m ?? , 2 () 2 GA L I I m ?? , 22 34 G LL I m m ?? 2 12 G L Im ? Problem 6.5.2 Kütlesi m olan L uzunluğundaki homojen , doğrusal ve sabit kesitli Prizmatik cismin taban düzlemine göre atalet momentini bulunuz. Çözüm: y L dx x x A taban düzlemi V O dm z 87 Çözüm: 2 A V I x dm ? ? , dm dV ? ? eğer A taban düzleminin alanı S ise m SL ? ? , dm SdL ? ? dır. 2 L A O I x SdL ? ? ? , 3 3 A L IS ? ? Atalet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu 1 m SL ? ? ile çarpmak gerekir. 3 3 A Lm IS SL ? ? ? 2 3 A L Im ? Problem 6.5.3 R yarıçaplı ve m kütleli homojen çember şeklindeki cismin atalet momentini a) merkezine , b) çapına , c) teğet doğrusuna , d) çember üzerindeki bir noktaya göre bulunuz. d doğrusu y R A noktası O x Çözüm: a) Çember şeklindeki cismin üzerindeki bütün noktaların O noktasına uzaklığı R olduğundan 2 O I mR ? olur. b) Atalet momenti ile ilgili teoremlerden üçüncüsünden O x y I I I ?? yazılabilir. Ayrıca tüm çap doğrularına göre kütle dağılımı çember şeklindeki cisimde aynı olduğundan xy II ? yazılabilir. Böylece çember şeklindeki cismin çapına göre atalet momenti 2 1 2 xy I I mR ?? 88 Paralel eksenler teoremine göre 2 dy I I mR ?? olduğundan 2 3 2 d I mR ? c) Atalet momenti ile ilgili beşinci teorem göz önüne alınırsa O ve A noktası arasında paralel eksenler teoremi yazılabilir. 2 AO I I mR ?? 2 2 A I mR ? Problem 6.5.4 R yarıçaplı ve m kütleli homojen daire şeklindeki levhanın atalet momentini a) merkezine , b) çapına göre bulunuz. Çözüm: y dm dA ? ? R r dr x O 2 mR ?? ? , 2 dA rdr ? ? , 2 dm rdr ?? ? a) 2 0 R O I r dm ? ? , 2 0 ( 2 ) R O I r rdr ?? ? ? , 3 0 2 R O I r dr ?? ? ? 4 2 4 O R I ?? ? Atalet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu 2 1 m R ?? ? ile çarpmak gerekir. 4 2 2 4 O Rm I R ?? ?? ? 2 1 2 O I mR ? b) Atalet momenti ile ilgili teoremlerden üçüncüsünden O x y I I I ?? yazılabilir. Ayrıca tüm çap doğrularına göre kütle dağılımı dairesel levha için aynı olduğundan xy II ? yazılabilir. Böylece dairesel levhanın çapına göre atalet momenti 2 1 4 xy I I mR ?? formunda elde edilir. 89 Problem 6.5.5 Silindir şeklindeki homojen dolu cismin taban düzlemindeki bir çapına göre atalet momentini bulunuz. y L z R O x Çözüm: Atalet momentleri ile ilgili ikinci teoreme göre x xoy xoz I I I ?? yazılabilir. Aynı şekilde z xoz yoz I I I ?? ve xoz yoz II ? olduğundan 2 z xoz I I ? yazılabilir. z I dairesel levhanın merkezine göre atalet momenti gibi 2 1 2 z I mR ? olduğundan 2 1 4 xoz I mR ? olur. 2 1 3 xoy I mL ? eşitliği prizmatik ve sabit kesitli cisimlerin taban düzlemine göre atalet momenti olduğundan 22 11 34 x I mL mR ?? , 22 11 () 34 x I m L R ?? eşitliği bulunur. 90 Problem 6.5.6 R Yarıçaplı ve m kütleli homojen dolu kürenin kütle merkezinden geçen bir çapına göre atalet momentini bulunuz. Çözüm: z 2 dm r dz ?? ? r dz R z o y x mV ? ? 0 2 R m dm ? ? , 2 0 2 R m r dz ?? ? ? , 2 2 2 r R z ?? 22 0 2 ( ) R m R z dz ?? ?? ? , 3 3 2 ( ) 3 R mR ?? ?? , 3 4 3 mR ?? ? Atalet momenti ile ilgili teoremlerden ikincisine göre x xoy xoz I I I ?? yazılabilir. Kürenin bütün çapsal düzlemleri küreyi iki eşit parçaya böldüğünden xoy xoz II ? ve 2 x xoy II ? yazılabilir. 2 0 2 R xoy I z dm ? ? , 22 0 2 R xoy I z r dz ?? ? ? , 22 0 2 R xoy I z r dz ?? ? ? 2 2 2 0 2 ( ) R xoy I z R z dz ???? ? , 2 2 4 0 2 ( ) R xoy I z R z dz ?? ?? ? 55 2 ( ) 35 xoy RR I ?? ?? , 5 4 15 xoy IR ?? ? Atalet momentini cismin kütlesi cinsinden bulmak için sonucu 3 3 1 4 m R ?? ? ile çarpmak gerekir 5 3 43 15 4 xoy m IR R ?? ?? ? , 2 1 5 xoy I mR ? , 2 2 5 x I mR ? 91 6.6 Rijid cismin sabit bir eksen etrafındaki dönme hareketi ile ilgili problemler ? B ? r ? M dm V A ? ? ? ? I M Burada M ? , ? eksenine göre cisme uygulanan toplam dış momenti I ? , cismin ? eksenine göre atalet momentini ? ? ? V dm r I 2 ? ise cismin açısal ivmesini göstermektedir. Rijid cismin sabit eksen etrafında dönme hareketinde cisme etki eden dış aktif kuvvetler ile mafsal tepkileri arasındaki bağıntı kütle merkezinin hareketi teoreminden elde edilebilir. G F ma ? ? Burada G a cismin kütle merkezinin ivmesidir. 92 Problem 6.6.1 Homojen L uzunluğunda ve m kütlesindeki sabit kesitli doğrusal çubuk A ucundan kendisine dik silindirik mafsalla bağlıdır. Çubuk yatay konumdan ilk hızsız harekete bırakılıyor. Çubuğun a) yatayla ? açısı yaptığı andaki açısal ivmesini b) yeni harekete bırakıldığı andaki mafsal tepkisini bulunuz. Çözüm: y 2 L mg 2 L A G B x ? ? a) ? ? ? ? I M ? M I ? ? ? ? 2 L M mg Cos ? ? ? , 2 1 3 I mL ? ? 2 2 1 3 L mg Cos mL ? ? ? , 3 2 g Cos L ?? ? b) G F ma ? ? Çubuk harekete yeni bırakıldığı anda açısal hızı sıfır olduğundan kütle merkezinin ivmesinin yatay bileşeni sıfırdır. 2 G L aj ? ?? 0 ? ? da 3 2 g L ? ? , 3 4 G g aj ?? G F ma ? ? denkleminden toplam kuvvetle ivme aynı yönde olması gerekir. Cisme yatay doğrultuda başka aktif kuvvet etkimediğinden mafsal tepkisi de düşey doğrultuda olmalıdır. AG R mg j ma ?? , 3 () 4 A g R mg j m j ? ? ? 1 4 A R mg j ? 93 6.7 Rijid cismin genel düzlemsel hareketinin kinetiği y A a ? dm G A r / ? A G dF G r ? A r ? o x S Maddesel noktanın hareketi için geçerli olan a m F ? ? ? denklemi Rijid cismin bir diferansiyel kütlesine uygulanırsa A dF a dm ? yazılabilir. Bu denklemin her iki tarafı diferansiyel kütlenin yer vektörü ile soldan vektörel çarpılır ve cismin tüm kütlesi boyunca integre edilirse rijid cisme uygulanan moment ve cismin açısal hareketleri ile ilgili denklemler elde edilir. G A G A a a a / ? ? ? ? ? // A G A G A r dF r a dm ? ? ? / / / () ? ? ? ? ?? A G A G G A G SS r dF r a a dm / z A G S M k r dF ?? ? / / / ( ) ) z A G G A G A G SS M k r dm a r a dm ? ? ? ? ?? sağ taraftaki birinci integral kütle merkezinin formülünden dolayı sıfır olur. İkinci integral için )] ( [ ) ( / j y i x k k j y i x k a G A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( / i y j x k j x i y a G A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j y i x j x i y a G A ? ? ? ? ? 2 2 / ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( 2 2 / / j y i x j x i y j y i x a r G A G A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k xy k y k xy k x a r G A G A ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 / / ? ? ? ? ? ? ? ? ? k y x a r G A G A ? ? ? ? ? ? ? ) ( 2 2 / / 94 22 () ?? ? ? G S M k x y kdm ? burada 22 () ?? ? G S I x y dm dır. Böylece genel düzlemsel harekette moment ve açısal ivme arasındaki ? ? GG MI ? bağıntısı elde edilir. Problem 6.7.1 60 . R cm ? Yarıçaplı 10 . m kg ? kütleli homojen dairesel levha kaymadan yuvarlanma hareketi yapmaktadır. Levhanın merkezinin ivmesinin 2 5/ ms olması için merkezine uygulanan yatay doğrultudaki F kuvvetini ve gerekli olan en düşük sürtünme katsayısını bulunuz. Çözüm: y mg G a ? G F x o f N GG MI ? ? ? , G F ma ? ? G aR ? ? ? G a R ? ? 2 1 2 G I mR ? , G M fR ? ? 2 1 2 G G a M fR mR R ?? ? ? 1 2 G f ma ? ? 25 f Newton ? G F f ma ?? ? 3 2 G F ma ? ? 75 F Newton ? fN ? ? ? f N ? ? 0 y F ? ? ? 0 N mg ?? ? 98,1 ?? N mg Newton 25 98,1 ? ? , 0,255 ? ? 95 Problem 6.7.2 60 . R cm ? Yarıçaplı 10 . m kg ? kütleli homojen dairesel levha kaymadan yuvarlanma hareketi yapmaktadır. Levhanın merkezinin ivmesinin 2 5/ ms olması için merkezine uygulanan Momentin şiddetini ve gerekli olan en düşük sürtünme katsayısını bulunuz. Çözüm: y mg G M G a ? G x o f N GG MI ? ? ? , G F ma ? ? G aR ? ? ? G a R ? ? 2 1 2 G I mR ? , GG M M fR ?? ? 2 1 2 G GG a M M fR mR R ? ? ? ? ? 1 2 GG M mRa fR ?? G f ma ? ? 50 f Newton ? 1 10 0,6 5 50 0.6 2 G M ? ? ? ? ? , 45 . G M Nm ? fN ? ? ? f N ? ? 0 y F ? ? ? 0 N mg ?? ? 98,1 ?? N mg Newton 50 98,1 ? ? , 0,51 ? ? 96 Problem 6.7.3 1,2 m. Uzunluğunda ve m=25 kg kütleli bir çubuk A ucu yatay doğru üzerinde B ucu 0 45 eğimli doğru üzerinde olmak üzere sürtünmesiz olarak hareket ediyor. Eğer çubuk ilk hızsız olarak harekete bırakılırsa ve bu anda 0 30 ? ? ise bu an için a) Çubuğun açısal ivmesini b) A ve B noktalarındaki tepki kuvvetlerini hesaplayınız. B 1,2 m. G 45 0 ? A Çözüm: B a B mg B R 15 0 G A 45 0 30 0 A a A R GG MI ? ? ? ? 0 0 2 1 30 15 2 2 12 AB LL R Cos R Cos mL ? ?? G F ma ? ? ? X xG F ma ? ? , Y yG F ma ? ? X xG F ma ? ? ? 0 45 X BG R Cos ma ? Y yG F ma ? ? ? 0 45 Y A B G R R Sin mg ma ? ? ? 97 Kinematik inceleme: / B A B A a a a ?? , 22 22 B B B a a i a j ?? AA a a i ? , // B A B A a AB V ?? ? ? ? ? hareketi yeni başladığı için 0 ? ? dır. 00 / ( 30 30 ) BA a k LCos i LSin j ? ? ? ? ? , / 13 22 BA a L i L j ?? ? ? ? 2 2 1 3 () 2 2 2 2 B B B A a a i a j a i L i L j ?? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 3 () 2 2 2 2 B B A a i a j a L i L j ?? ? ? ? ? 12 22 32 22 AB B a L a La ? ? ?? ? ? ? ? 31 2 3 2 A B aL aL ? ? ? ? ? / G A G A a a a ?? , XY G G G a a i a j ?? // G A G A a AG V ?? ? ? ? ? 31 2 A a L i ? ? ? 00 / ( 30 30 ) 22 GA LL a k Cos i Sin j ? ? ? ? ? / 3 44 GA L a i L j ?? ? ? ? 31 3 ( ) ( ) 2 4 4 XY G G G L a a i a j L i i L j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 1 3 44 XY GG a i a j L i L j ?? ? ? ? ? 2 3 1 4 X G aL ? ? ? , 3 4 Y G aL ? ?? , 1,339 X G a ? ? , 0,520 Y G a ? ?? 0 45 X BG R Cos ma ? ? 1,894 B Rm ? ? 0 0 2 1 30 15 2 2 12 AB LL R Cos R Cos mL ? ?? ? 2,3434 A Rm ? ? 2 2,3434 1,894 0,520 2 m m mg m ? ? ? ? ? ? ? 9,81 2 2,3434 1,894 0,520 2 ? ? ?? , 2,33 / Rad s ? ? 2 3,12 / X G a m s ? , 2 1,21 / Y G a m s ?? 136,5 A RN ? , 110,3 B RN ? 98 6.8 Rijid cismin üç boyutlu hareketinin kinetiği y A a dm G A r / ? A G dF G r ? A r ? o x V z Maddesel noktanın hareketi için geçerli olan a m F ? ? ? denklemi Rijid cismin bir diferansiyel kütlesine uygulanırsa A dF a dm ? yazılabilir. Bu denklemin her iki tarafı diferansiyel kütlenin yer vektörü ile soldan vektörel çarpılır ve cismin tüm hacmi boyunca integre edilirse rijid cisme uygulanan moment ve cismin açısal hareketleri ile ilgili denklemler elde edilir. A A A r dF r a dm ? ? ? ? A A A VV r dF r a dm ? ? ? ?? Buradaki A r ? vektörü yerine G A G A r r r / ? ? ? ? ? yazılırsa dm a r r dF r r A V G A G V G A G ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( / / denklemi elde edilir. Bu denklem ( ( ) 0 GA V r dF a dm ? ? ? ? olduğu göz önüne alınarak // A G A G A VV r dF r a dm ? ? ? ?? şeklinde kısaltılabilir. Burada / G A G V M r dF ?? ? cisme uygulanan toplam moment olduğundan denklem dm a r M A V G A G ? ? ? ? ? ? / denklem şekline gelir. Burada diferansiyel kütlenin ivmesi G A G A a a a / ? ? ? ? ? şeklinde yazılabileceğinden // () ? ? ? ? G A G G A G V M r a a dm olur. Burada ? ? ? ? ? ? V G G A G V G A a dm r dm a r 0 ) ( / / ? ? ? ? ? olduğundan // ?? ? G A G A G V M r a dm yazılabilir. 99 Burada ) ( / / / G A G A G A r r a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , k z j y i x r G A ? ? ? ? ? ? ? / k j i z y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , k j i z y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Böylece rijid cismin kütle merkezine etki eden moment ve cismin açısal hareketi ile ilgili genel bağıntı aşağıdaki şekilde yazılabilir. dm r r r M G A G A V G A G )]} ( [ { / / / ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Bu denklemin sağ tarafı iki integralin toplamına dönüştürülürse işlemler kısalabilir. dm r r dm r r M G A V G A G A V G A G )]} ( [ { ) ( [ / / / / ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Her iki integrale ait işlemler ayrı ayrı aşağıdaki gibi yapılabilir. k x y j z x i y z z y x k j i r y x x z z y z y x G A ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( / ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )] ( [ ) ( / / / / / G A G A G A A G A A G A r r r r a r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( / / G A A G A r r ? ? ? ? ? ? = y x x z z y x y z x y z z y x k j i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j a x xy yz z i z xz xy y y x z y x z y x ? ? ) ( ) ( 2 2 2 2 k y yz xz x z y x z ? ) ( 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? Burada ? ? ? V x I dm z y ) ( 2 2 , ? ? ? V y I dm z x ) ( 2 2 , ? ? ? V z I dm y x ) ( 2 2 denklemleri sırasıyla x, y ve z eksenlerine göre atalet momentlerini göstermektedir. Ayrıca ? ? V xy dm xy I , ? ? V xz dm xz I , ? ? V yz dm yz I denklemleri sırasıyla yz-xz , yz-xy , xz-xy düzlemlerine göre çarpım atalet momentleridir. Bunlarla birlikte yukarıdaki dm r r dm r r M G A V G A G A V G A G )]} ( [ { ) ( [ / / / / ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? denklemine gidildiğinde denkleminin sağ tarafının birinci integral işlemi aşağıdaki gibi tamamlanmış olur. ? ? ? ? ? V G A G A dm r r )] ( [ / / ? ? ? [] ? ? ? ? ? ? x x xy y xz z I I I i ? ? ? ? ? ? ? j I I I z yz x xy y y ? ] [ [] z z xz x yz y I I I k ? ? ? ? ? ? 100 Aynı denklemin sağ tarafının ikinci integral işlemi için aşağıdaki işlemler yapılabilir. k x y j z x i y z z y x k j i r y x x z z y z y x G A ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( / ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y x x z z y z y x G A x y z x y z k j i r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( / ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j x y y z i z x x y y x x z z y z x z y x y ? ? ) ( ) ( 2 2 2 2 k y z z x z y y x z x ? ) ( 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )] ( [ / / G A G A r r ? ? ? ? z y y x z x y x x z z y z x z y x y y z z x x y y z z x x y z y x k j i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i xz yz yz z y yz yz xy y x x z z y z y y x z x ? ) ( 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j xy xz xz x z xz xz yz z y y x z x z x z y x y ? ) ( 2 2 2 2 2 2 k yz xy xy y x xy xy xz z x z y x y y x x z z y ? ) ( 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dm r r G A G A V )]} ( [ { / / ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i I I I I I y x xz y z yz z x xy z y y z ? ] ) ( ) [( 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j I I I I I z x xz x y yz z y xy z x z x ? )] ( ) [( 2 2 k I I I I I z x yz z y xz x y xy y x x y ? ] ) ( ) [( 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Burada ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 y z z y V z y z y z y V I I dm z y dm z y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dır. Çünkü ? ? ? V z dm y x I ) ( 2 2 ve ? ? ? V y dm z x I ) ( 2 2 ve ? ? ? ? ? ? ? ? ? V V y z dm z y dm z x y x I I ) ( )] ( ) [( 2 2 2 2 2 2 dır. ? ? ? ? ? V G A G A dm r r )] ( [ / / ? ? ? ? ? ? ? ? ? i I I I z xz y xy x x ? ] [ ? ? ? ? ? ? ? j I I I z yz x xy y y ? ] [ [] z z xz x yz y I I I k ? ? ? ? ? ? 101 Bu bulunan değerlerle moment denklemine gidildiğinde Rijid cismin genel hareketinde Kütle merkezine göre toplam moment vektörü ile cismin atalet momentleri açısal hız ve açısal ivme bileşenleri arasındaki bağıntıyı veren denklem bulunmuş olur. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dm r r r M G A G A G A V G )]} ( ) [( { / / / ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i I I I I I I y z yz z y x xz y z x xy z y y z x x ? )] ( ) ( ) ( ) ( [ 2 2 22 [ ( ) ( ) ( ) ( )] y y x z x z xy y z x yz y x z xz x z I I I I I I j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 [ ( ) ( ) ( ) ( )] z z y x x y xz y z x yz x z y xy y x I I I I I I k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Burada cismin kütle merkezinden alınan eksenler cismin asal eksenleri ise yani bu eksen sisteminin koordinat düzlemlerine göre çarpım atalet momentleri sıfır ise yukarıdaki denklem k I I I j I I I i I I I M y x x y z z z x z x y y z y y z x x G ? ? ? ? ] ) ( [ ] ) ( [ ] ) ( [ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? şeklinde basitleşir. Bu denklemler ilk defa 1758 de Euler tarafından elde edildiği için Euler denklemleri adıyla anılır. Sabit bir nokta etrafında dönen bir cisimde de benzer bağıntılar elde edilir. Yalnız burada eksen takımı ve moment vektörü bu sabit noktadan geçecek şekilde seçilirse aynı formda bağıntılar elde edilir. k I I I j I I I i I I I M y x x y z z z x z x y y z y y z x x O ? ? ? ? ] ) ( [ ] ) ( [ ] ) ( [ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Bu denklemler sabit eksen etrafında dönme hareketinde Eğer z ekseni dönme ekseni olarak alınırsa 22 ( ) ( ) O xz z yz z yz z xz z z z M I I i I I j I k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x xz z yz z M I I ?? ? ? ? 2 y yz z xz z M I I ?? ? ? ? z z z MI ? ? şekline dönüşür. Eğer sabit eksen etrafında dönme hareketinde koordinat eksenleri asal eksenler ise yukarıdaki denklemler zz MI ? ? şeklinde tek bir skaler denkleme indirgenir. Benzer şekilde genel düzlemsel harekette denklem ? ? G G I M şekline indirgenir. Burada G M cismin kütle merkezinden geçen hareket düzlemine dik eksene göre toplam momenti G I ise aynı eksene göre atalet momentini göstermektedir. 102 Problem 6.8.1 C ve D de silindirik mafsallı CD çubuğuna 100mm. Uzunluğunda ve 300 g. kütleli A ve B çubukları rijid olarak bağlıdır. Eğer 600 N.m. şiddetinde bir moment CD çubuğuna uygulanırsa CD çubuğunun açısal hızı 1200 dev/dak. değerini aldığında C ve D mafsallarındaki tepkileri bulunuz. ( CD çubuğunun kendi eksenine göre atalet momentini ihmal ediniz.) y L/4 x C L/2 o B c A c D M z Çözüm: y L/4 x L/4 C y D o L/2 C x B c c x D C y A D M D x z D y 22 ( ) ( ) O xz z yz z yz z xz z z z M I I i I I j I k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x xz z yz z M I I ?? ? ? ? 2 y yz z xz z M I I ?? ? ? ? z z z MI ? ? 103 O y x M L D i L D j Mk ? ? ? ? ? ? 2 1 2 3 z I mc ?? 1 1 1 ( )( ) 2 2 4 yz I m L c mLc ?? 1 1 1 ( )( ) 4 2 8 xz I m L c mLc ? ? ? ? 2 y xz z yz z L D I I ?? ? ? ? ? ? 2 x yz z xz z L D I I ?? ? ? ? ? zz MI ? ? ? z z M I ? ? , 2 1 2 3 z M mc ? ? ? , 2 3 2 z M mc ? ? 2 2 1 3 1 48 2 xz M L D mLc mLc mc ? ? ? ? ? , 2 31 88 xz M D mc c ? ? ? ? 2 11 84 y z z L D mLc mLc ?? ? ? ? ? ? , 2 31 16 4 yz M D mc c ? ? ? ? 2 3 600 1 0,3 0,1 (1200 2 /60) 8 0,1 8 x D ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 36,72 . x DN ? 2 3 6 1 0,3 0,1 (1200 2 /60) 16 0,1 4 y D ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 129,69 . y DN ?? 22 ( ) ( ) D D D D D x z z y z z y z z x z z z z M I I i I I j I k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 D D D x x z z y z z M I I ?? ? ? ? 2 D D D y y z z x z z M I I ?? ? ? ? D y x M L C i L C j Mk ? ? ? ? ? 2 DD y x z z y z z L C I I ?? ? ? ? ? 2 DD x y z z x z z L C I I ?? ? ? ? ? ? 1 1 1 ( )( ) 2 2 4 D yz I m L c mLc ?? 3 1 3 ( )( ) 4 2 8 D xz I m L c mLc ? ? ? ? 2 2 1 3 3 48 2 xz M L C mLc mLc mc ? ? ? ? ? ? ? 2 33 88 xz M C mc c ? ?? 2 3 6 3 0,3 0,1 (1200 2 /60) 8 0,1 8 x C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 155,15 . x CN ?? 2 2 3 3 1 84 2 yz M L C mLc mLc mc ? ? ? ? ? 2 91 16 4 yz M C mc c ? ?? 2 9 6 1 0,3 0,1*(1200 2 /60) 16 0,1 4 y C ? ? ? ? ? ? ? ? , 152,19 . y CN ? 104 Problem 6.8.2 Yarıçapı R kütlesi m olan homojen bir disk kütlesi ihmal edilebilen bir OG çubuğuna monte edilmiştir.OG çubuğu O noktasında mafsallıdır. Disk yatay düzlemde kaymadan yuvarlanma hareketi yapabilmektedir. Çubuk düşey eksen etrafında dönebilmektedir. Disk çubuk ekseni etrafında saat ibreleri tersi yönünde 1 ? sabit açısal hızı ile döndüğüne göre a) Döşemeden diske gelen tepki kuvvetini ( doğrultusu düşey farzediliyor) b) O mafsalındaki tepki kuvvetini bulunuz. y L 2 ? R o x 1 ? I z Çözüm: y L mg 2 ? R o x 1 ? I z N 0 I V ? ? 0 I V OI ? ? ? ? 12 ij ? ? ? ?? , OI Li Rj ?? 105 12 ( ) ( ) I V i j Li Rj ?? ? ? ? ? , 21 ( ) 0 I V L R k ?? ? ? ? ? 21 R L ?? ? 21 ? ? ? ?? , 11 R ji L ? ? ? ? ? ? , 2 1 R k L ?? ? k I I I j I I I i I I I M y x x y z z z x z x y y z y y z x x O ? ? ? ? ] ) ( [ ] ) ( [ ] ) ( [ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 x I mR ? 22 1 4 y I mR mL ?? 22 1 () 4 yz I I m R L ? ? ? 1 x ?? ? 1 y R L ?? ?? [ ( ) ] O z z y x x y M I I I k ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 1 1 1 { ( ) [ ( ) ] } 4 4 2 O z x y M m R L m R L mR k ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 11 11 [( ) ( ) ] 44 O RR M m R L R L k LL ?? ? ? ? ? 3 2 1 2 O mR Mk L ? ? () O M NL mgL k ?? 3 2 1 () 2 O mR M NL mgL k k L ? ? ? ? 3 2 1 () 2 mR NL mgL L ? ?? ? 3 2 1 2 () 2 R N m g L ? ?? G F ma ? ? () x y z F R i R N mg j R k ? ? ? ? ? ? 3 2 1 2 [ ( )] 2 x y z R F R i R m j R k L ? ? ? ? ? ? 2 2 G a L i ? ?? , 2 2 1 G R ai L ? ?? 32 22 11 2 [ ( )] 2 x y z RR F R i R m j R k m i L L ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 x R Rm L ? ?? , 3 2 1 2 () 2 y R Rm L ? ? , 0 z R ? 106 BÖLÜM 7 İŞ VE ENERJİ İLKESİ 7.1 Maddesel noktanın hareketinde iş ve enerji ilkesi Bir maddesel noktaya etki eden kuvvetin maddesel noktanın yer değiştirmesinde yaptığı işi bulabilmek için aşağıdaki şekil çizilebilir. y N F F ? (1) m T F r d ? ds r ? r d r ? ? ? (2) o x z Burada m kütlesi r d ? kadar yer değiştirme yaptığında etki eden F ? kuvvetinin yaptığı iş r d F d ? ? ? ? ? dır. M kütlesi (1) konumundan (2) konumuna geldiğinde etki eden F ? kuvvetinin yaptığı iş ise ? ? ? ? ? ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( r d F ? ? şeklinde integral ile hesaplanır. Burada N F T F F N T ? ? ? ? ? T ds r d ? ? ? şeklinde yazılabileceğinden bir F ? kuvvetin işi ? ? ? ? ? ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ds F T şeklinde de hesaplanabilir. Bir maddesel noktanın hareketinin teğet doğrultusundaki denklemi T T a m F ? Burada T a yerine ds VdV yazarak ds VdV m F T ? , VdV ds F T ? elde edilen denklemin her iki tarafı (1) konumundan (2) konumuna integre edilirse VdV m ds F T ? ? ? ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 107 Burada ds F T ? ? ? ? ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( Olduğundan 2 1 2 2 ) 2 ( ) 1 ( 2 1 2 1 mV mV ? ? ? ? denklemi elde edilir. Elde edilen 2 1 2 mV ifadesine V hızındaki m kütleli maddesel noktanın kinetik enerjisi denir ve T ile gösterilir. 2 2 1 mV T ? Bu şekilde bulunan (1) (2) 2 1 ? ? ?? TT denklemine iş ve enerji ilkesi denir. Bir maddesel noktanın (1) konumundan (2) konumuna hareketinde maddesel noktaya etki eden kuvvetlerin yaptığı işler toplamı maddesel noktanın bu konumlar arasındaki kinetik enerji farkına eşittir. Kinetik enerji maddesel noktanın hareket ettiği yola bağlı değildir. Sadece son ve ilk konumdaki hızlara bağlıdır. Etki eden kuvvetlerin yaptığı işler ise mekanik enerjinin korunmadığı durumlarda yola bağlıdır. Problem 7.1.1 ? eğim açılı eğik düzlem üzerinde bırakılan bloğun s kadar yol aldıktan sonraki hızını bulunuz. Çözüm : mg (1) ? s N h (2) f ? 1 2 ) 2 ( ) 1 ( T T ? ? ? ? , (1) (2) () mgSin s f s ?? ? ?? , 1 0 T ? 2 2 1 2 T mV ? , 2 1 () 2 mgSin s f s mV ? ?? , 2( ) f V gSin s m ? ?? 108 7.1.1 Mekanik enerjinin korunumu ve potansiyel enerji: Bir kuvvet alanı U F ?? ? ? şeklinde yazılabiliyorsa buradaki kuvvete korunumlu kuvvet U ya ise potansiyel enerji denir. Kartezyen koordinat sisteminde k z U j y U i x U U ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k dz j dy i dx r d ? ? ? ? ? ? ? ile ? ? ? ? ? ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( r d F ? ? denklemine gidilirse ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( dz z U dy y U dx x U ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( dU 2 1 ) 2 ( ) 1 ( U U ? ? ? ? korunumlu kuvvetlerde bir kuvvetin işinin Potansiyel enerji farkının negatifi ile yapılabileceği görülür. Bu elde edilen denklem iş ve enerji denkleminde bir kuvvetin işi yerine yazılırsa 1 2 2 1 T T U U ? ? ? veya 2 2 1 1 T U T U ? ? ? mekanik enerjinin korunum denklemi elde edilir. 109 Problem 7.1.1.1 ? eğim açılı eğik düzlem üzerinde bırakılan bloğun durana kadar aldığı s yolunu bulunuz. Cisim ilk harekete bırakıldığında yay katsayısı k olan yay doğal uzunluğundadır. Çözüm : mg k (1) ? s N h (2) ? 1 2 2 1 U U T T ? ? ? , 2 12 1 2 U U mgh ks ? ? ? , h sSin ? ? , 1 0 T ? 2 2 1 2 T mV ? , 22 11 22 mgsSin ks mV ??? durduğu anda hızı sıfırdır. 2 1 0 2 mgsSin ks ??? ? 2mg s Sin k ? ? 110 7.2 Rijid cismin sabit bir eksen etrafında dönmesinde kinetik enerji hesabı ? B ? V r dm A V Rijid cisme ait bir diferansiyel kütlenin kinetik enerjisi dm V dT 2 2 1 ? Sabit bir eksen etrafında dönme hareketinde ? ?r V olduğundan dm r dT 2 2 2 1 ? ? yazılabilir. Bu diferansiyel kinetik enerjinin cismin tüm V hacmi üzerinde integrali alınarak toplam kinetik enerji bulunur. dm r T V 2 2 2 1 ? ? ? integral içindeki sabitler dışarı alınarak elde edilen ? ? ? V dm r T 2 2 2 1 denkleminde ? ? ? V dm r I 2 ifadesi ? eksenine göre cismin atalet momenti olduğundan sabit bir eksen etrafında dönme hareketinde rijid cismin kinetik enerjisi 2 2 1 ? ? ? I T şeklinde hesaplanır. 111 Problem 7.2.1 Uzunluğu L ve kütlesi m olan AB çubuğu A ucundan silindirik mafsallı olarak düşey düzlemde hareket edebilmektedir. AB çubuğu yatay konumda ilk hızsız harekete bırakılıyor. Yatayla ? açısı yaptığı andaki açısal hızını bulunuz. Çözüm: mg A L/2 L/2 B ? mg 1 2 2 1 U U T T ? ? ? 12 2 L U U mg Sin ? ?? 1 0 T ? , 2 2 1 2 A TI ? ? 2 1 22 A L mg Sin I ?? ? 2 1 3 A I mL ? 22 11 2 2 3 L mg Sin mL ?? ? ? 3g Sin L ?? ? 112 7.3 Rijid cismin genel düzlemsel hareketinde kinetik enerji hesabı y A G A r / ? dm G G r ? A r ? S o x dm V dT A 2 2 1 ? A A A V V V ? ? ? ? 2 G A G A V V V / ? ? ? ? ? ) ( ) ( / / 2 G A G G A G A V V V V V ? ? ? ? ? ? ? ? dm V V V V T G A G G A S G ) 2 ( 2 1 / 2 / 2 ? ? ? ? ? ? ? Burada 0 / ? ? ? S G A G dm V V ? ? ve 2 2 / 2 / ? ? G A G A r V olduğundan toplam kinetik enerji ? ? ? ? S G A G dm r mV T 2 / 2 2 2 1 2 1 şeklinde yazılabilir. Burada G S G A I dm r ? ? 2 / cismin kütle merkezinden geçen ve hareket düzlemine dik eksene göre atalet momentini gösterdiğinden genel düzlemsel harekette kinetik enerji 2 2 2 1 2 1 ? ? ? G G I mV T formülü ile hesaplanır. 113 Problem 7.3.1 R yarıçapılı ve m kütleli bir disk ? eğim açılı eğik düzlem üzerinde kaymadan yuvarlanma hareketi yapmaktadır. Disk eğik düzlem üzerinde ilk hızsız harekete bırakıldığında diskin n sayıda tam devir yaptığı andaki açısal hızı ne olur ? Çözüm: mg s R G mg h f N ? 1 2 2 1 U U T T ? ? ? Kaymadan yuvarlanmada sürtünme kuvveti iş yapmaz . Çünkü kayma olayındaki gibi sürekli aynı bölgede temas yoktur. Normal kuvvet harakete dik olduğu için iş yapmaz. 12 U U mgh ?? , h sSin ? ? , 2 s n R ? ?? , 2 s n R ? ? 12 2 U U mgn RSin ?? ?? , 1 0 T ? 22 2 11 22 GG T mV I ? ?? Kaymadan yuvarlanma hareketinde G VR ? ? dır. 2 1 2 G I mR ? 2 2 2 2 1 1 1 () 2 2 2 T m R mR ?? ?? , 22 2 3 4 T mR ? ? 22 3 2 4 mgn RSin mR ? ? ? ? ? 8 3 gn Sin R ? ?? ? 114 7.4 Rijid cismin genel hareketinde kinetik enerji hesabı y A G A r / ? dm G G r ? A r ? S o x dm V dT A 2 2 1 ? A A A V V V ? ? ? ? 2 , G A G A V V V / ? ? ? ? ? ) ( ) ( / / 2 G A G G A G A V V V V V ? ? ? ? ? ? ? ? dm V V V V T G A G G A S G ) 2 ( 2 1 / 2 / 2 ? ? ? ? ? ? ? Burada 0 / ? ? ? V G A G dm V V ? ? olduğundan toplam kinetik enerji dm V mV T V G A G ? ? ? 2 / 2 2 1 2 1 G A G A G A V V V / / 2 / ? ? ? ? ? , G A G A r V / / ? ? ? ? ? ? Burada k j i z y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , k z j y i x r G A ? ? ? ? ? ? ? / şeklinde kartezyen koordinatlardaki bileşenleri ile yazılırsa diferansiyel kütlenin kütle merkezine göre hız vektörü aşağıdaki gibi hesaplanır. ? ? ? ? ? z y x k j i V z y x G A ? ? ? ? / k x y j z x i y z y x x z z y ? ? ? ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 / ) ( ) ( ) ( y x x z z y G A x y z x y z V ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y x y x x x z z y z y G A xy x y z xz z x yz y z V ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / 115 z y z x y x z y x G A yz xz xy y x z x z y V ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / ? ? dm V V G A 2 / dm yz xz xy y x z x z y z y z x y x z y x V ] 2 2 2 ) ( ) ( ) [( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? olur . Burada 22 () ?? ? G x V y z dm I , 22 () ?? ? G y V x z dm I , 22 () ?? ? G z V x y dm I integralleri kütle merkezinden geçen ve x , y, z eksenlerine paralel olan eksenlere göre atalet momentlerini ? ? GG x y x y V xy dm I ?? , ? ? GG x z x z V xz dm I ?? , ? ? GG y z y z V yz dm I ?? integralleri ise kütle merkezinden geçen ve xy , xz, yz düzlemlerine paralel olan sırasıyla ? G G G G y z x z , ? G G G G y z x y , ? G G G G x z x y düzlemlerine göre çarpım atalet momentlerini gösterdiğinden rijid cismin üç boyutlu hareketinde toplam kinetik enerjiyi veren formül 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? G G G G G G G G G G x x y y z z x y x y x z x z y z y z T mV I I I I I I ? ? ? ? ? ? ? ? ? formunda çıkarılmış olur. Eğer kütle merkezinden geçen eksenler asal eksenler yani çarpım atalet momentlerinin sıfır olduğu eksenler ise kinetik enerji ifadesi 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ? ? ? ? G G G G x x y y z z T mV I I I ? ? ? şeklinde kısalır. Rijid cismin sabit bir nokta etrafında dönme hareketinde de benzer işlemler yapılırsa toplam kinetik enerji 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x y y z z x y x y xz x z yz y z T I I I I I I ifadesi elde edilir aynı şekilde x , y , z eksenleri asal eksenler ise kinetik enerji 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ? ? ? ? ? ? x x y y z z T I I I formülüne indirgenir. 116 BÖLÜM 8 İMPULS VE MOMENTUM İLKESİ 8.1 Maddesel nokta için impuls ve momentum ilkesi F kuvveti etkisindeki m kütleli bir maddesel nokta için Newton’un ikinci hareket kanunu () d F mV dt ? şeklinde yazılabilir. Buradaki mV vektörüne Lineer momentum veya hareket miktarı denir ve L ile gösterilir. Lineer Momentum : L mV ? () d F mV dt ? denklemi () Fdt d mV ? şeklinde yazılıp maddesel noktanın hareketi esnasında 1. konumdan 2. konuma kadar integre edilirse 22 1 1 () tV t V Fdt d mV ? ?? ? 2 1 21 t t Fdt mV mV ?? ? veya 2 1 12 t t mV Fdt mV ?? ? impuls momentum ilkesi elde edilir. buradaki 2 1 t t Fdt ? ifadesine Lineer impuls denir. 1 mV 2 1 t t Fdt ? 2 mV 2 1 12 ( ) ( ) t x x x t mV F dt mV ?? ? 2 1 12 ( ) ( ) t y y y t mV F dt mV ?? ? 2 1 12 ( ) ( ) t z z z t mV Fdt mV ?? ? 117 Problem 8.1.1 130 Newton ağırlığındaki bir paket döşemenin üzerinde hareketsiz durmaktadır. Aniden P=250 Newton şiddetindeki bir kuvvet şekilde gösterildiği gibi uygulanmaktadır.Paketin kuvvet uygulandıktan 3 saniye sonraki hızını bulunuz. ( Döşeme ile paket arasındaki sürtünme katsayısı 0.35 dır. W P 10 0 f N Çözüm y Wt ? Pt ? 10 0 2 mV x ft ? 1 mV = 0 Nt ? 2 1 12 ( ) ( ) t x x x t mV F dt mV ?? ? ? 0 2 0 cos10 ( ) x P t f t mV ? ? ? ? ? 2 130 0 250 3 0,9848 3 ( ) 9,81 x fV ? ? ? ? ? ? 2 1 12 ( ) ( ) t y y y t mV F dt mV ?? ? ? 0 0 sin10 0 N t W t P t ? ? ? ? ? ? ? 0 3 130 3 250 3 0,17365 0 N ? ? ? ? ? ? ? ? ? 86,588 . N Newton ? fN ? ? ? 0,35 86,588 f?? , 30,306 f Newton ? 2 130 0 250 3 0,9848 3 ( ) 9,81 x fV ? ? ? ? ? ? ? 2 130 250 3 0,9848 30,306 3 ( ) 9,81 x V ? ? ? ? ? 2 ( ) 48,9 / x V m s ? 118 Problem 8.1.2 100 km/h hızla giden 1000 kg kütleli bir deney otomobili bir bari yere çarptırılıyor. çarpışma süresi 0.3 s. olduğuna göre bari yerden otomobile gelen ortalama tepki kuvvetini bulunuz. 100 km/h y 1000 kg x Çözüm 1 mV Wt ? 2 0 mV ? Rt ? Nt ? 100*1000 100 / / 60*60 km h m s ? , 100 / 27,778 / km h m s ? 2 1 12 ( ) ( ) t x x x t mV F dt mV ?? ? ? 0,3 0 1000 27,778 0 Rdt ? ? ? ? ? ? 0,3 0 27778 Rdt Ns ? ? 0,3 . 0 1 27778 0,3 0,3 ort R Rdt N ?? ? , . 92,6 ort R kN ? 119 Problem 8.1.3 2000 kg kütleli bir otomobil 5 0 derece eğimli bir yolda 90 km/h hızla hareket ederken frene basılıyor. zeminin lastiklere uyguladığı toplam sürtünme kuvveti 7,5 kN olduğuna göre otomobil durana kadar geçen zamanı bulunuz. 0 5 Çözüm: W 0 5 1 f 2 f 1 N 2 N 2 12 ? ?? mV Imp mV ? 0 1 1 2 3 4 2 sin5 ( ) ? ? ? ? ? ? ? mV W t f f f f t mV 2 0 ? V (son hız sıfır olacağından ) 1 90 1000/(60*60) / ?? V m s , 1 90 1000/(60*60) / ?? V m s 1 25 / ? V m s , 1 2 3 4 7,5 ? ? ? ? f f f f kN , 2000 ?? Wg 0 2000 25 2000 9,81 sin5 7500 0 ? ? ? ? ? ? ? tt ? 0 2000 25 7500 2000 9,81 sin5 ? ? ? ? ? t 8,64 ?ts 120 Problem 8.1.4 15 N ağırlığındaki bir bloğun başlangıç hızı 1 15 15 ( / ) V i j m s ?? olarak verilmektedir. 250 250 ( ) F i t j N ?? şeklinde ifade edilen bir kuvvet bu cisme 0 t ? dan 0,3 ts ? ye kadar etki etmektedir. Bu cismin 1 ts ? deki hızını sürtünmeyi ihmal ederek bulunuz. 1 mV 1 mV 2 1 t t Fdt ? 2 mV 2 1 t t Fdt ? Çözüm 15 9,81 m kg ? 2 1 12 t t mV Fdt mV ?? ? ? 0,3 2 0 15 15 (15 15 ) (250 250 ) 9,81 9,81 i j i t j dt V ? ? ? ? ? 0,3 2 0 9,81 (15 15 ) (250 250 ) 15 V i j i t j dt ? ? ? ? ? ? ? 2 2 0,3 9,81 9,81 (15 250 0,3) [15 250 ] 15 15 2 V i j ? ? ? ? ? ? , 2 64,05 7,64 ( / ) V i j m s ?? 0.3 ts ? den sonra cisme kuvvet uygulanmadığı için hızı değişmez. 121 8.2 Maddesel noktalar sistemi için impuls ve momentum ilkesi Bir maddesel noktalar sisteminde her bir maddesel nokta için yazılan 2 1 12 t t mV Fdt mV ?? ? denklemleri alt alta yazılıp toplanırsa 2 1 12 t t mV Fdt mV ?? ? ? ? ? maddesel noktalar sistemi için impuls momentum denklemi elde edilir. Burada kütle merkezinin yeri dikkate alındığında mV ? yerine () G mV ? alınabileceğinden yukarıdaki denklem ? ? ? ? 2 1 12 ( ) ( ) t GG t m V Fdt m V ?? ? ? ? ? şeklinde yazılabilir. Eğer sisteme etki eden kuvvetlerin impulsları toplamı sıfır ise 12 mV mV ? ?? maddesel noktalar sistemi için momentumun korunumu denklemi elde edilir. Eğer sistemin kütle merkezi göz önüne alınırsa ? ? G mV m V ? ?? eşitliği dikkate alındığında sistemin kütle merkezinin hızının momentumun korunumu durumunda değişmediği görülür. 122 8.3 Maddesel noktalar için Çarpışma İki cismin çok kısa bir süre içinde birbirine temas edip birbirlerine büyük kuvvetler uygulamalarına çarpışma denir.Çarpışma süresindeki dokunma yüzeylerinin ortak normaline çarpışma doğrusu denir. çarpışan cisimlerin kütle merkezleri bu normal üzerinde ise çarpışmaya merkezsel çarpışma denir. Maddesel noktaların çarpışması merkezsel çarpışmadır. İki cismin hızı çarpışma doğrusu üzerinde ise bu çarpışmaya doğru çarpışma en az birisinin hızı çarpışma doğrultusundan farklı doğrultuda ise eğik çarpışma denir. Çarpışma Çarpışma B V doğrusu doğrusu B A A B B V A V A V Doğru merkezsel çarpışma Eğik merkezsel çarpışma 8.3.1 Doğru merkezsel çarpışma ? ? 1 A V ? ? 1 B V u ? ? 2 A V ? ? 2 B V A B A B A B Çarpışmadan önce Maksimum şekil değiştirme Çarpıştıkdan sonra konumunda İki cisimden oluşan bu sistem bir bütün olarak ele alınırsa çarpışma sırasındaki impulsif kuvvetlerin sadece iç kuvvetler olduğu ve bunların toplamı sıfır olacağından sistemin momentumu korunur. ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 A A B B A A B B m V m V m V m V ? ? ? çarpışmadan sonraki hızlar olan 2 () A V ve 2 () B V yi bulmak için gerekli olan ikinci bağıntı , her iki cisim için ayrı ayrı çarpışma esnasındaki şekil değişimi göz önünde bulundurularak uygulanan impuls momentum ilkesi yardımı ile elde edilir. A ? ? 1 AA mV A Pdt ? A A mu Şekil değiştirme süresi A A mu A Rdt ? A ? ? 2 AA mV Geri dönüş süresi 123 ? ? 1 A A A m V Pdt m u ?? ? şekil değiştirme süresinde impuls ve momentum ilkesi ? ? 2 A A A m u Rdt m V ?? ? geri dönüş süresinde impuls ve momentum ilkesi Geri dönüş ve şekil değiştirme impulsları arasındaki orana çarpışma katsayısı denir ve e ile gösterilir. e sıfır ile bir arasındadır ve çarpışan cisimlerin yapıldığı malzemeye , cisimlerin boyutlarına , şekillerine ve hızlarına bağlıdır. Rdt e Pdt ? ? ? ? ? ? ? 1 2 A A A A A A m V Pdt m u m u Rdt m V ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 A A A A A A Rdt m u m V Pdt m V m u ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 A A Rdt uV e Vu Pdt ? ?? ? ? ? aynı şekilde B cismi için impuls momentum ilkesi uygulanırsa ? ? ? ? 2 1 B B Rdt Vu e uV Pdt ? ?? ? ? ? eşitliği elde edilir. Bu birbirine eşit iki oranın pay ve paydalarını toplayarak elde edilen oran da bunlara eşit olur. ? ? ? ? ? ? ? ? 22 11 [ ] [ ] [ ] [ ] AB AB u V V u e V u u V ??? ? ??? , ? ? ? ? ? ? ? ? 22 11 BA AB VV e VV ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 1 [] B A A B V V e V V ? ? ? 0 e ? tam plastik çarpışma : Bu durumda ? ? ? ? 2 22 BA V V V ?? yani iki cisim çarpışmadan sonra birbirine yapışır ve tek bir hıza sahip olur. ? ? ? ? 2 11 () A A B B A B m V m V m m V ? ? ? momentumun korunumu denkleminden 2 V hızı hesaplanır. 1 e ? tam elastik çarpışma : 1 e ? yazarak elde edilen ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 1 B A A B V V V V ? ? ? denkleminden çarpışmadan önceki ve sonraki bağıl hızların birbirine eşit olduğu görülür. Tam elastik çarpışmada sistemin momentumuyla birlikte kinetik enerjisinin de korunduğu aşağıdaki gibi gösterilebilir. ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 A A B B A A B B m V m V m V m V ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 1 B A A B V V V V ? ? ? denklemleri ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 1 [ ] [ ] A A A B B B m V V m V V ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 A A B B V V V V ? ? ? şeklinde yazılıp taraf tarafa çarpılırsa ? ? ? ? 22 22 22 11 ( ) ( ) A A A A B B B B m V m V m V m V ??? elde edilen bu denklem ½ ile çarpılıp düzenlenirse ? ? ? ? 22 22 22 11 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 A A B B A A B B m V m V m V m V ? ? ? kinetik enerjinin korunduğunu gösteren denklem bulunur. 124 Problem 8.3.1.1 1 m/s hızla sağa doğru hareket etmekte olan 2000 kg kütleli bir vagon , 3500 kg kütleli bir duran vagona çarpıyor. Çarpmadan sonra 3500 kg kütleli vagonun sağa doğru 0.6 m/s hızla hareket ettiği gözlendiğine göre , iki vagon arasındaki çarpışma katsayısını bulunuz. Çözüm: ? ? 1 1/ A V m s ? ? ? 1 0 B V ? ? ? 2 A V ? ? 2 0,6 / B V m s ? 2000 kg 3500 kg 2000 kg 3500 kg Momentumun korunumu denkleminden ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 A A B B A A B B m V m V m V m V ? ? ? ? ? ? 2 2000 1 3500 0 2000 3500 0,6 A V ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0,05 / A V m s ?? Çarpışma katsayısı: ? ? ? ? ? ? ? ? 22 11 BA AB VV e VV ? ? ? , 0,6 ( 0,05) 10 e ?? ? ? , 0,65 e ? Problem 8.3.1.2 Katsayısı 4 9,81 / k N cm ?? lik yaya oturan 5 kg kütleli B silindirinin üstüne 3 m yüksekten 1kg kütleli bir A silindiri düşürülüyor. Çarpışmanın tam plastik olduğunu kabul ederek a) B silindirinin maksimum çökmesini , b) çarpışma sırasındaki enerji kaybını hesaplayınız. A 3 m B Çözüm : a) Problem 3 aşamada çözülebilir. 1. aşama: Çarpma anına kadar iş ve enerji ilkesi 2. aşama: Çarpışma anı Momentumun korunumu ilkesi 3. aşama: Çarpışma anından sonra yayın en fazla kısalmış anına kadar 125 1. aşama ? ? ? ? 12 12 ? ? ? ? TT , 1 0 T ? , ? ? 2 2 2 1 2 AA T m V ? , ? ? ? ? 12 ? ?? A m gh , ? ? ? ? 12 9,81 3 ? ? ? ? ? A m ? ? ? ? 12 12 ? ? ? ? TT ? ? ? 2 2 1 9,81 3 2 ? ? ? A A A m m V ? ? ? 2 7,672 / ? A V m s 2. aşama ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 3 A A B B A A B B m V m V m V m V ? ? ? ? ? ? ? ? 33 1 7,62 5 0 1 5 AB VV ? ? ? ? ? ? ? ? ? 33 5 7,672 / AB V V m s ?? çarpışma tam plastik olduğundan ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 2 [] B A A B V V e V V ? ? ? ? ? ? ? ? 33 0 BA VV ?? ? ? ? ? ? 33 AB VV ? ? ? ? ? 33 1,2787 / AB V V m s ?? 3. aşama ? ? ? ? 34 34 ? ? ? ? TT , ? ? 2 3 3 1 () 2 A B A T m m V ?? , ? ? 2 3 3 1,2787 T ? , 3 4,905 T Nm ? 4 0 T ? ? ? ? ? ? ? 2 2 11 34 11 ( ) [ ( ) ] 22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AB m m g x k x x k x ? ? 1 min 5 9,81 yay F k x ? ? ? ? ? ? 1 4 9,81 5 9,81 x ? ?? ? , 1 0,8 x cm ?? ? ? 1 m. () yay aks F k x x ? ? ? ? ? , ? ? m. 4 9,81 (0,8 ) yay aks Fx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 34 11 6 9,81 [ 4 9,81 0,8 4 9,81(0,8) ] 22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xx ? ? ? ? ? ? 2 22 34 11 6 9,81 4 9,81 [0,8) 2 0,8 ] 4 9,81(0,8) 22 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? x x x ? ? ? ? ? ? 2 34 27,468 19,62 ( ) ? ? ? ? ? ? x x Ncm , 3 490,5 T Ncm ? ? ? ? ? 34 34 ? ? ? ? TT ? ? ? 2 27,468 19,62 490,5 0 ? ? ? ? ? xx ? 5,749 x cm ?? b) Çarpışmadan önceki kinetik enerji ? ? 2 1 2 1 2 AA T m V ? ? ? 2 1 1 1 7,672 2 T?? , 1 29,43 T Nm ? Çarpışmadan sonraki kinetik enerji ? ? 2 2 3 1 () 2 A B A T m m V ?? 2 2 1 (1 5)(1,2787) 2 T?? , 2 4,91 T Nm ? Enerji kaybı 12 29,43 4,91 TT ? ? ? , 12 24,52 T T Nm ?? 126 8.3.2 Eğik merkezsel çarpışma Cisimlerin hızlarının doğrultuları çarpışma doğrultusundan farklı ise bu çarpışmaya eğik çarpışma denir. y x (çarpışma doğrusu) ? ? 2 B V ? ? 2 A V A B ? ? 1 B V ? ? 1 A V Cisimlerin temas yüzeylerinin sürtünmesi ihmal edilirse çarpışma doğrusuna dik doğrultuda kuvvet olmadığından her birinin momentumlarının çarpışma doğrusuna dik (burada y eksenindeki) bileşenleri korunur. Sistemin toplam momentumunun çarpışma doğrultusundaki (burada x eksenindeki ) bileşeni korunur. İki cisim çarpıştıktan sonraki bağıl hızlarının çarpışma doğrultusundaki bileşenleri, çarpışmadan önceki bağıl hızlarının aynı doğrultudaki bileşenlerinin e çarpışma katsayısı ile çarpımından bulunur. Problem 8.3.2.1 Pürüzsüz düşey bir duvara bir top atılıyor. Top duvara varmadan hemen önce hızının şiddeti V dir ve yatayla 30 0 lik bir açı yapmaktadır. 0,90 e ? olduğu bilindiğine göre , top geri fırladığı anda hızının şiddetini ve doğrultusunu bulunuz . Çözüm : ? ? 2 y V 2 V 1 0,5V x V ? 32,7 0 1 0,779V ? ? 1 x V 1 V 30 0 ? ? 1 y V Duvara çarpmadan önce Duvara çarptıktan sonra Topun momentumunun düşey bileşeni korunur. ? ? ? ? 12 yy m V m V ? ? ? ? ? ? 12 yy VV ? ? ? 0 1 1 sin30 y VV ? , ? ? 1 1 0,5 y VV ? , ? ? 1 2 0,5 y VV ? 127 Yatay doğrultudaki toplam momentumun korunumu denklemi yerine bu doğrultudaki çarpışma katsayısı denklemi yazılabilir. ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 1 [] Bx Ax Ax Bx V V e V V ? ? ? ? ? ? ? ? 21 0 [ 0] xx V e V ? ? ? ? ? ? 0 1 2 0,9 cos30 x VV ? ? ? , ? ? 1 2 0,779 x VV ?? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 xy V V V ?? , ? ? ? ? 22 2 1 1 0,779 0,5 V V V ?? , 21 0,926 VV ? ? ? ? ? 2 2 arctan[ ] y x V V ? ? , 1 1 0,5 arctan( ) 0,7794 V V ? ? , 0 32,68 ? ? Problem 8.3.2.2 Birbirinin aynı iki pürüzsüz topun çarpışmadan önceki hızlarının şiddet doğrultu ve yönleri şekilde verilmiştir. 0.9 e ? kabul ederek topların çarpışmadan sonraki hız vektörlerini bulunuz. y m m x 30 0 60 0 ? ? 1 9/ A V m s ? ? ? 1 12 / B V m s ? Topların her birisi için çarpışma doğrusuna dik doğrultudaki momentum korunur. ? ? ? ? 12 A Ay A Ay m V m V ? ? ? ? ? ? 0 12 9 sin30 Ay Ay VV ? ? ? ? ? ? ? 12 B By B By m V m V ? ? ? ? ? ? 0 12 12 sin60 By By VV ? ? ? İki toptan oluşan sistemin tümü için momentumun çarpışma doğrultusundaki bileşeni korunur. ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 A Ax B Bx A Ax B Bx m V m V m V m V ? ? ? AB mmm ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 Ax Bx Ax Bx V V V V ? ? ? ? ? ? ? ? 00 22 9cos30 12cos60 Ax Bx VV ? ? ? Çarpışma katsayısı ile bağıl hızlar arasındaki bağıntı ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 1 [] Bx Ax Ax Bx V V e V V ? ? ? ? ? ? ? ? 00 22 0,9[9cos30 ( 12cos60 )] Bx Ax VV ? ? ? ? Bu iki denklemi taraf tarafa çıkarırsak ? ? ? ? ? ? ? ? 00 22 00 22 9cos30 12cos60 0,9[9cos30 12cos60 ] Ax Bx Bx Ax VV VV ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 7,1045 / 5,3103 / Bx Ax V m s V m s ? ?? ? ? 0 0 0 0 2 2 9cos30 12cos60 0,9[9cos30 12cos60 ] Bx V ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 A Ax Ay V V i V j ?? ? ? ? 2 5,31 4,5 ( / ) A V i j m s ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 B Bx By V V i V j ?? ? ? ? 2 7,1045 10,392 ( / ) B V i j m s ?? 128 8.4 Maddesel noktanın açısal momentumu y O H mV P O r z x P maddesel noktasına ait mV Momentumunun O noktasına göre momentine P maddesel noktasının O noktasına göre açısal momentumu denir ve O H ile gösterilir. O H r mV ?? ? F ma denklemini () ? d mV F dt şeklinde yazıp her iki tarafın soldan r vektörü ile vektörel çarpımı yapılırsa () ? ? ? d mV r F r dt denklemi elde edilir. () () ? ? ? ? ? d dr d mV r mV mV r dt dt dt eşitliğinde 0 ?? dr mV dt olduğundan () () ? ? ? d mV d r r mV dt dt eşitliği kullanılırsa () ? ? ? d r F r mV dt denklemi elde edilir. ?? O r F M olduğu bilindiğine göre bu son iki denklemden () ?? O d M r mV dt denklemi bulunur. ?? O H r mV olduğundan ? O O dH M dt elde edilir. Maddesel noktaya etki eden kuvvetlerin bir noktaya göre momentleri toplamı aynı noktaya göre hesaplanan açısal momentumun zamana göre türevine eşittir. 8.4.1 Açısal İmpuls ? O O dH M dt denkleminden elde edilen ? OO M dt dH denkleminin her iki tarafı 1 t den 2 t ye integre edilirse 129 ? ? ? ? 2 1 21 ?? ? t O O O t M dt H H veya ? ? ? ? 2 1 12 ?? ? t O O O t H M dt H maddesel nokta için Açısal impuls-Açısal momentum denklemi bulunur. Eğer 2 1 0 ? ? t O t M dt ise ? ? ? ? 12 ? OO HH olur.Diğer bir deyişle açısal momentum korunur. Problem 8.4.1.1 5 kg kütleli İki adet küre , kütleleri ihmal edilen ve uzunlukları 5 Lm ? olan iki rijid çubuğa monte edilmiştir. Çubuklar düşey şaft etrafında serbestçe dönmektedir. Düşey şaft 0 60 ? ? iken 1 120 / n dev dak ? ile döndüğüne göre 0 45 ? ? iken açısal hızı ne olur ? 5 Lm ? 5 Lm ? ? ? 5 kg 5 kg ? Çözüm : Düşey eksene göre açısal momentumun korunumu 12 ZZ HH ? Z H R mR ? ?? (5sin )5(5sin ) Z H ? ? ? ? , 2 125 sin Z H ?? ? 2 60 n ? ? ? , 2 25 sin 6 Z n H ? ? ? 1 20 25 sin 60 6 Z H ? ? ? ? ? , 2 20 2 25 sin 45 6 Z n H ? ? 12 ZZ HH ? ? 2 0 2 0 2 25 25 sin 60 sin 45 66 n ? ? ? ? ? ? ? 20 2 20 120sin 60 sin 45 n ? 2 180 / n dev dak ? 130 8.5 Maddesel noktalar sisteminin açısal momentumu Bir maddesel noktalar sisteminin bir noktaya göre açısal momentumu her bir maddesel nokta için hesaplanan açısal momentum toplanarak elde edilir. Maddesel noktaların birbirine aynı doğru üzerinde eşit şiddette ters yönde kuvvet uyguladıkları bilindiğinden bunların toplam momentleri sıfır olur. Bundan dolayı denklemlerde sadece dış kuvvetlerin momentleri göz önüne alınır. ? ? O H r mV ?? ? ? ? O O dH Md ış dt ? ? 8.6 Maddesel noktalar sistemi için açısal impuls ve açısal momentum ilkesi Bir maddesel noktalar sistemi için açısal impuls-açısal momentum denklemi her bir maddesel nokta için yazılan denklemler taraf tarafa toplanarak elde edilir. ? ? ? ? 2 1 12 t O O O t H M dt H ?? ? Eğer açısal impuls sıfır ise Açısal momentumun korunur. 2 1 0 t O t M dt ? ? ? ? ? ? ? 12 OO HH ? 131 8.7 Değişken maddesel nokta sistemleri Bu zamana kadar incelediğimiz sistemlerde sistemi oluşturan bütün maddesel noktalar daima aynı sistemin parçacıklarıdır. Yani herhangi bir başka parçacık sisteme katılmaz ve sistemden çıkmaz. Bu sistemlere kapalı sistemler denir. Sistemlerin bu şekilde incelenmesine Lagrange metodu denir. Bir çok mühendislik probleminde özellikle akışkanların dinamiğinde belli bir hacim seçip bu hacim içindeki akışkanların durumu ile ilgilenilir. Bu hacme kontrol hacmi denir. Bu tür incelemeye Euler metodu denir. Kontrol hacmini sınırlayan yüzeye kontrol yüzeyi denir. 8.7.1 Reynolds nakil teoremi Özellikler : Yoğun (intensif ) Yığın ( ekstensif ) Yoğun özellik : B : Özellik y b : bir noktadaki yoğun özellik N N : Geometrik nokta R ? r : yer vektörü R ? : küresel hacim elemanının yarıçapı r R ? ?: sürekli kabul edilecek küresel hacim x elemanının en küçük yarıçapı V ? : hacim elemanının hacmi m ? : hacim elemanının kütlesi z lim RR B b m ?? ? ? ? ? ?? , lim V v RR B b ?? ? ? ? ? ?? tt ? ? anında t anında sistem sınırı tt ? ? anında A V n V t anında kontrol yüzeyi A V : Açık sistem kontrol yüzeyi sınırının hızı V : Maddenin hızı A VV ? : maddenin kontrol yüzeyine göre hızı 132 t de kontrol yüzeyinin içindeki kütleyi sistem olarak ele alalım. Sistemin herhangi bir B özelliği göz önünde bulundurulsun. 1 B : Sistemin t anındaki özelliği 2 B : Sistemin tt ? ? anındaki özelliği t B : Açık sistemin t anındaki özelliği tt B ? ? : Açık sistemin tt ? ? anındaki özelliği g B ? : t ? zaman aralığında açık sisteme giren B özelliği ç B ? : t ? zaman aralığında açık sistemden çıkan B özelliği 1 t BB ? 2 t t ç g B B B B ? ?? ? ? ? ? A V n V A VV ? ? ? A V V n ?? : Kontrol yüzeyine göre normal doğrultudaki bağıl hız () ç ÇA A B bV V n tdA ?? ? ? ? ? , () g gA A B bV V n tdA ?? ? ? ? ? ? () Ç g A A B B t bV V ndA ? ? ? ? ? ? ? ? 21 00 lim lim ( ) t t t A tt A BB BB bV V ndA tt ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? () A SA A BB bV V ndA tt ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? S VV V V ( ) A A dd bd bd bV V ndA dt dt ? ? ? ? ? ? ? veya V V ( ) A S A dB d bd bV V ndA dt dt ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? denklemi elde edilir. burada S V sistemin kapladığı hacim (bölge) V açık sistemin kapladığı hacim (bölge) kontrol hacmi v sabit ? ise 0 A V ? dır . d dt t ? ? ? 133 V V ( ) S A dB b d bV n dA dt t ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? Leibnitz kuralı VV V V ( ) A A db bd d bV n dA dt t ? ? ? ? ? ? ? ? bu denklem S VV V V ( ) A A dd bd bd bV V ndA dt dt ? ? ? ? ? ? ? denkleminde yerine yazılırsa S VV V V ( ) A db bd d bV n dA dt t ? ? ? ? ? ? ? ? denklemi elde edilir. V V ( ) S A dB b d bV n dA dt t ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? Reynolds nakil teoremi Yığın özellik (ekstensif) B Hacme göre Yoğun özellik v bb ? ? Kütleye göre Yoğun özellik b Kütle m ? 1 Hacim V 1 v Momentum mV V ? V Açısal Momentum r mV ? rV ? ? rV ? Enerji E 3 ( / ) v E kJ m e ? ? e 8.7.2 Süreklilik denklemi Bm ? , b ? ? Reynolds nakil teoreminde yerine yerleştirilirse V V ( ) A S A dB d bd bV V ndA dt dt ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? V 0 V ( ) A S A dm d d V V ndA dt dt ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? VV V V ( ) A A d d d V n dA dt t ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? Leibnitz kuralı ile birlikte aşağıdaki denkleme varılır. V V ( ) 0 A d V n dA t ? ? ? ? ? ? ? ?? V V ( ) 0 A d V n dA t ?? ? ? ? ? ? ?? Süreklilik denklemi elde edilir. Eğer ? zamandan bağımsız ise süreklilik denklemi ( ) 0 A V n dA ? ?? ? şekline indirgenir. 134 Problem 8.7.2.1 Şekildeki T dirseğinde dirseğe 1 30 R cm ? yarıçaplı borudan giren sıvının hızı 1 2/ V m s ? olduğuna göre 2 10 R cm ? ve 3 20 R cm ? yarıçaplı borulardan çıkış hızları olan 2 V ve 3 V ’ ü hesaplayınız. 3 A 2 A 2 n 3 V 3 n 2 V 1 A 1 n 1 V ( ) 0 A V n dA ? ?? ? ? 1 1 2 2 3 3 0 VA V A V A ? ? ? ? 2 11 AR ? ? , 2 1 0,09 Am ? ? , 2 22 AR ? ? , 2 2 0,01 Am ? ? , 2 33 AR ? ? , 2 3 0,04 Am ? ? 23 2 0,09 0,01 0,04 0 VV ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 23 4 18 VV ?? 2 3 0,04 0,01 V V ? ? ? ? 2 3 4 V V ? ? 23 40 VV ?? 2 9/ V m s ? , 3 2,25 / V m s ? 8.7.3 Zamana göre değişmiyen (sabit rejim) kütle akımı () d mV F dt ? ? V V ( ) S A dB b d bV n dA dt t ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? denkleminde B mV ? , bV ? ? alınırsa V ( ) ( ) V ( ) A d mV V F d V V n dA dt t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? V () V ( ) A V F d V V n dA t ? ? ? ? ? ? ? ? ?? denklemi elde edilir. Zamana göre değişim olmadığına göre sağ taraftaki birinci terim sıfır olur. () A F V V n dA ? ?? ? ? Eğer A ile giriş çıkış bölgelerinin alanları gösterilir ve bu bölgelerde ? ve V hızları sabit alınırsa debi Q AV ? ? şeklinde yazılır. xx x F QV ? ?? , yy y F QV ? ?? , zz z F QV ? ?? 135 Problem 8.7.3.1 Bir yangın hortumu 1 V ilk hızı ile su fışkırtıyor. Akımın enkesit alanı A olduğuna göre Plağı hareketsiz tutmak için gerekli P kuvvetinin şiddeti için bir ifade çıkarınız. 2 20 A cm ? , 1 30 / V m s ? için sayısal değeri hesaplayınız. 1 V P Çözüm: () A F V V n dA ? ?? ? ? ? xx x F QV ? ?? ? ? ? 11 P V A V ? ?? ? ? 11 P V A V ? ?? , 3 1000 / kg m ? ? , 42 20 10 Am ? ?? ? ? 4 1000 30 20 10 30 P ? ? ? ? ? ? , 1800 . PN ?? Problem 8.7.3.2 Bir lüle , kesit alanı A olan bir su akımını 1 V hızı ile fışkırtmaktadır. Su akımı sağa doğru sabit V hızı ile hareket eden bir tek palet tarafından yolundan saptırılmaktadır. Suyun palet boyunca sabit hızla hareket ettiğini kabul ederek a) Paletin su akımına uyguladığı F kuvvetinin bileşenlerini b) Maksimum güç sağlayan V hızını hesaplayınız. 1 V ? V 136 Çözüm : 1 VV ? ? 1 VV ? x F V y F a) () A F V V n dA ? ?? ? ? ? xx x F QV ? ?? , yy y F QV ? ?? xx x F QV ? ?? ? 1 1 1 1 ( )( ) ( )( )cos x F AV V V V AV V V V ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 ( ) (1 cos ) x F AV V ?? ? ? ? yy y F QV ? ?? ? 11 ( )( )sin y F AV V V V ?? ? ? ? 2 1 ( ) sin y F AV V ?? ?? b) x Güç F V ?? ? 2 1 ( ) (1 cos ) Güç AV V V ?? ? ? ? ? ? ? 0 d Güç dV ? dan maksimum güç için gerekli palet hızı bulunur. 2 2 2 1 1 1 ( ) 2 V V V V VV ? ? ? ? , 2 2 3 2 1 1 1 ( ) 2 V V V VV V V V ? ? ? ? 2 3 2 11 ( 2 )(1 cos ) Güç AVV V V V ?? ? ? ? ? ? ? 22 11 ( 3 4 )(1 cos ) 0 d Güç AV V VV dV ?? ? ? ? ? ? ? 22 11 3 4 0 V V VV ? ? ? 22 11 3 4 0 V V VV ? ? ? ? 1 VV ? ve 1 1 3 VV ? maksimum güç için 1 1 3 VV ? olmalıdır. 137 Problem 8.7.3.3 1000 / km saat hızla uçan bir jet uçağında hava sürtünmesinden doğan toplam direnç 16kN dır. Egzost gazının uçağa göre bağıl hızının 600 / ms olduğu bilindiğine göre , 1000 / km saat yatay hızı korumak için motordan bir saniyede geçmesi gereken havanın ağırlığını bulunuz. 1000 / V km saat ? 600 / ba ğ V m s ? 1000 / V km saat ? Çözüm : () A F V V n dA ? ?? ? ? ? xx x F QV ? ?? 1000 1000 1000 / 60 60 V km saat ? ?? ? , 277,78 / V m s ? xx x F QV ? ?? ? 16000 ç ı k ı ş b a ğ g i r i ş Q V Q V ? ? ? ? , ç ı k ı ş g i r i ş QQ ? 16000 ( ) giri ş b a ğ Q V V ? ? ? ? 16000/( ) giri ş b a ğ Q V V ?? , 16000/(600 277,78) giri ş Q?? 49,66 / giri ş Q kg s ? 8.7.4 Zamana göre değişen (değişken rejim) kütle akımı V () V ( ) ba ğ A V F d V V n dA t ? ? ? ? ? ? ? ? ?? V V ( ) ba ğ A F Vd V V n dA t ?? ? ? ? ? ? ? ?? 8.7.5 Zamana göre değişen kütle akımının roket hareketlerine uygulanışı R V dm ba ğ V ba ğ VV ? V V ( ) ba ğ A F Vd V V n dA t ?? ? ? ? ? ? ? ?? denkleminde kontrol hacmi boyunca hızın eşit ve cismin homojen olduğu kabul edilirse aşağıdaki eşitlik geçerli olur. 138 V V ( ) d Vd mV t dt ? ? ? ? ? ( ) ( ) ba ğ A d F mV V V n dA dt ? ? ? ? ? ? () d dV dm mV m V dt dt dt ?? Sistemden çıkış yüzeyi boyunca hızlar aynı formda ise integral işlemi aşağıdaki gibi yapılabilir. () ( )( ) ( ) ba ğ b a ğ b a ğ Aç ı k ı ş dm V V V n dA V V dt ? ? ? ? ? ? ? RF ? ? () ba ğ dV dm dm R m V V V dt dt dt ? ? ? ? ? ba ğ dV dm m R V dt dt ?? Bu son denklemdeki ba ğ dm V dt terimi R dış kuvveti gibi farklı bir ivmelendirici kuvvet rolünü oynamaktadır. Bundan dolayı bu terime roket için itici kuvvet denir. Roketin itici kuvveti : ? ? ba ğ i dm FV dt ? 8.7.5.1 Roketin statik denenmesi ba ğ V ? ? i F Roket motorunun karakteristiği roket bir tabloya bağlanarak denenir. Bu deneyde roketin ivmesi sıfır olduğundan roketin tabloya uyguladığı kuvvet ? ? i RF ?? ? ba ğ dm RV dt ?? olur. 139 8.7.5.2 Düşey yükselen roket V mg ba ğ V Bir roketin 0 t ? anında yeryüzünden ateşlendiğini ve düşey doğrultuda harekete başladığını kabul edelim . yer çekimi ivmesi g nin değişimi ve hava direnci ihmal edildiğinde ba ğ dV dm m R V dt dt ?? ? ba ğ dV dm m mg V dt dt ? ? ? son denklemin her iki tarafı m ile bölünürse ba ğ V dV dm g dt m dt ? ? ? ? ba ğ dm dV gdt V m ? ? ? ? ln ( ) ba ğ V gt V m t C ? ? ? ? C integral sabiti başlangıç koşullarında bulunur. 0 t ? da 0 (0) mm ? , 0 V ? Buradaki başlangıçtaki 0 m kütlesi roketin boş kütlesi ile yakıt kütlesinin toplamını göstermektedir. 0 t ? da 0 0 0 ln ba ğ g V m C ? ? ? ? ? ? 0 ln ba ğ C V m ? bu değer yerine konursa 0 ln ( ) ln ba ğ b a ğ V gt V m t V m ? ? ? ? ? 0 ln () ba ğ m V gt V mt ? ? ? bağıntısı elde edilir. Roketin kütlesi R m , yakıtın kütlesi y m ise yanma sonunda elde edilen en büyük hız max ln Ry y ba ğ R mm V gt V m ? ? ? ? ? max ln(1 ) y y ba ğ R m V gt V m ? ? ? ? şeklinde bulunur. Burada y t yanma zamanını gösterir ve genellikle oldukça küçüktür. Roketin büyük hızlara ulaşabilmesi için gazların rokete göre hızı olan ba ğ V çok büyük değerler almazsa yR mm olmalıdır. 140 Bir sayısal örnek olarak bir roketi gezegenler arası bir yolculuğa yollamak için 11,18 / m V km s ? kaçış hızına ulaşmak istersek yanmanın uzun olmadığı kabulü ile 2/ ba ğ V m s ? çıkış hızı için 267 y R m m ? bulunur. Buna göre 1kg kütleli malzemeyi uzaya çıkarmak için 267 kg yakıta ihtiyaç vardır. Problem 8.7.5.2.1 Bir deney roketi 20kg kütleli bir gövde ve 180kg miktarında yakıttan meydana gelmiştir. Yakıt 4/ kg s hızı ile tüketiliyor ve 1500 / ms bağıl hızı ile dışarı atılıyor. Düşey olarak ateşlenen roketin kazanacağı maksimum hızı hesaplayınız. Hava sürtünmesinin etkisini ihmal ediniz. 0 V ? (20 180)g ? 1500 / ba ğ V m s ? Çözüm: max ln(1 ) y y ba ğ R m V gt V m ? ? ? ? 180 4 y t ? , 45 y ts ? max 180 9,81 45 1500ln(1 ) 20 V ? ? ? ? ? ? max 3012,4 / V m s ? max 10845 / V km saat ? 141 8.8 Rijid cismin hareketinde impuls ve momentum ilkesi y Vdm A / AG r dm G G r V x o z Cismin toplam momentumu ? ? A V L V dm Kütle merkezinin formülü ? ? ? V V OAdm OG dm şeklinde olduğundan bu denklemin her iki tarafının zamana göre türevi alınırsa ? ? GA V mV V dm elde edilir. ? ? A V L V dm lineer momentum denkleminin sağ tarafındaki integral yerine G mV yazılırsa rijid cismin hareketindeki ? G L mV lineer momentum denklemi elde edilir. Bir diferansiyel kütlenin A V dm lineer momentum vektörü sağdan A r vektörü ile vektörel olarak çarpılırsa aynı diferansiyel kütlenin açısal momentum vektörü elde edilir. Tüm kütlenin açısal momentumu diferansiyel kütlelerin açısal momentumlarının integrali ile elde edilir. 142 ?? ? O A A V H r V dm Burada / ?? A G A G r r r / ?? A G A G V V V // ( ) ( ) ? ? ? ? ? O G A G G A G V H r r V V dm / / / / [ ( )] [( ) ] [( ) ] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? O G G A G A G G A G A G V V V H r dm V V r dm V r dm V / / / / ( ) ( ) [( ) ] ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? O G G G A G A G G A G A G V V V V H r V dm r V dm r dm V r V dm kütle merkezinin yer vektöründen dolayı / 0 ? ? AG V r dm ve / 0 ? ? AG V V dm dır. Bu durumda açısal momentum // ( ) ( ) ? ? ? ? ?? O G G A G A G VV H r V dm r V dm denklemine indirgenir. Burada sağ taraftaki birinci integral aşağıdaki gibi () ? ? ? ? G G G G V r V dm r mV veya ?? G G G G G G G G x y Z i j k r mV x y z mV mV mV ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? G G G G G G G G G G G G G G z y x z y x r mV m y V z V i m z V x V j m x V y V k şeklinde yazılabilir. İkinci integral için hesaplanacak olan // ?? A G A G Vr ? denkleminde diferansiyel kütlenin tüm cismin kütle merkezine göre yer vektörünü ve cismin açısal hız vektörünü kartezyen koordinatlarda yazarak aşağıdaki işlemler yapılabilir. / ? ? ? AG r xi yj zk ? ? ? x y z i j k ? ? ? ? // ? ? ? A G A G x y z i j k Vr x y z ? ? ? ? 143 / ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? A G y z z x x y V z y i x z j y x k ? ? ? ? ? ? // ?? ? ? ? A G A G y z z x x y i j k r V x y z z y x z y x ? ? ? ? ? ? // 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A G A G x y z x y z x y z x y z rV y xy xz z i z yz xy x j x xz yz y k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 () ?? ? x V I y z dm , 22 () ?? ? y V I x z dm , 22 () ?? ? z V I x y dm eşitlikleri kütle merkezinden geçen x , y ve z eksenlerine paralel olan eksenlere göre atalet momentlerini ? ? xy V I xydm , ? ? xz V I xzdm , ? ? yz V I yzdm eşitlikleri ise çarpım atalet momentlerini gösterdiğine göre // ? ? A G A G V r V dm integrali // ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A G A G x x xy y xz z y y xy x yz z z z xz x yz y V r V dm I I I i I I I j I I I k ? ? ? ? ? ? ? ? ? formunda yazılır. Bu denklemle birlikte açısal momentum denklemi aşağıdaki formda yazılabilir. [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z y x z O G G G G x x xy y xz z G G G G y y xy x yz z H m y V z V I I I i m z V x V I I I j ? ? ? ? ? ? [ ( ) ( )] ? ? ? ? ? yx G G G G z z xz x yz y m x V y V I I I k ? ? ? Eğer kütle merkezinden geçen eksenler asal eksenler ise açısal momentum denklemi [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] ? ? ? ? ? ? ? ? ? z y x z y x O G G G G x x G G G G y y G G G G z z H m y V z V I i m z V x V I j m x V y V I k ? ? ? şekline gelir. Sabit bir nokta etrafında dönme hareketinde de benzer işlemler yapılırsa bu sabit noktaya göre açısal momentum ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? O x x xy y xz z y y xy x yz z z z xz x yz y H I I I i I I I j I I I k ? ? ? ? ? ? ? ? ? denklemi elde edilir. Burada , , , , , x y z xy xz yz I I I I I I sabit noktadan geçen eksen takımına göre atalet momentleridir.Eğer eksenler asal eksenler ise açısal momentum denklemi ? ? ? O x x y y z z H I i I j I k ? ? ? denklemine indirgenir. 144 Genel düzlemsel harekette açısal momentum [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] ? ? ? ? ? ? ? ? y x y x O G G xz z G G yz z G G G G z z H m z V I i m z V I j m x V y V I k ? ? ? şekline indirgenir. Genel düzlemsel harekette kütle merkezinden geçen eksenler asal eksenler ise açısal momentum denklemi ( ) ( ) [ ( ) ] ? ? ? ? ? ? y x y x O G G G G G G G G z z H m z V i m z V j m x V y V I k ? şeklinde yazılabilir. Sabit bir ? ekseni etrafında dönme hareketinde bu eksene göre açısal momentum ifadesi ? ? ? ? HI ? skaler denklemine indirgenir. Burada ? I rijid cismin ? eksenine göre atalet momentidir. Problem 8.8.1 Şekildeki sistemde 3 kg kütleli A dişli çarkının atalet yarıçapı 80 mm dir. 10kg kütleli B dişli çarkının atalet yarıçapı ise 200 mm dir. A dişli çarkına 6 ? A M Nm şiddetinde bir moment uygulandığında sistem hareketsizdir. Sürtünmeleri ihmal ederek. a) A dişli çarkının açısal hızının 600 dev/dak ulaşması için geçen zamanı b) A dişli çarkının B dişli çarkına uyguladığı teğetsel kuvveti bulunuz. 250 ? B R mm 6 ? A M Nm A B 100 ? A R mm 145 Çözüm: 250 ? B R mm 6 ? A M Nm A B 100 ? A R mm A dişli çarkı için impuls momentum ilkesi ( impuls ve momentumun A ye göre momenti): 6 ? A M Nm 100 ? A R mm T F ? ? ? ? 12 12 ? ?? AA H Imp H ? ? ? ? 1 1 ? ? A A A HI , ? ? ? ? 2 2 ? ? A A A HI 2 3 (0.08) ?? A I , 2 0,0192 . ? A I kgm ? ? 1 0 ? ? A , ? ? 2 600 2 /60 ? ? ? ? ? A , ? ? 2 62,832 / ? ? A rad s ? ? 1 0 ? A H , ? ? 2 2 0,0192( . ) 62,832( / ) ?? A H kgm rad s , ? ? 2 1,2064 . ? A H Nms 12 ? ? ? ? ? TA Imp M t F R ? ? ? ? 12 12 ? ?? AA H Imp H ? 1,2064 . ? ? ? ? ? TA M t F t R Nms 6 0,1 1,2064 . ? ? ? ? ? T t F t Nms 146 B dişli çarkı için impuls momentum ilkesi (impuls ve momentumun B ye göre momenti: T F 250 ? B R mm B ? ? ? ? 12 12 ? ?? BB H Imp H ? ? ? ? 1 1 ? ? B B B HI , ? ? ? ? 2 2 ? ? B B B HI 2 10 (0.2) ?? B I , 2 0,4 . ? B I kgm , ? ? 2 100 600 2 /60 250 ? ? ? ? ? B , ? ? 2 25,13 / ? ? B rad s ? ? 1 0 ? B H , ? ? ? ? 2 2 ? ? B B B HI , ? ? 2 2 0,4 . 25,13 / ?? B H kgm rad s ? ? 2 10,052 . ? B H Nms 12 ? ? ? ? TB Imp F t R , 12 0,25 ? ? ? ? T Imp F t ? ? ? ? 12 12 ? ?? BB H Imp H ? ( ) ( ) 0,25( ) 10,052 . ? ? ? T F N t s m Nms 40,21 . ?? T F t N s 6 0,1 1,2064 . ? ? ? ? ? T t F t Nms ? 6 40,21 0,1 1,2064 ? ? ? ? t ? 0,871 ?ts 40,21 . ?? T F t N s ? 0,871 40,21 ?? T F ? 46,17 ? T FN 147 BÖLÜM 9 D’ALAMBERT İLKESİ 9.1 D’Alambert ilkesi Bir maddesel sistemin hareketinden dolayı bir t anında meydana gelen atalet kuvvetleri aktif dış kuvvetlerle birlikte göz önüne alınırsa sistem bütün bu kuvvetlerin etkisi altında t anındaki konumunda dengede ( dinamik denge ) bulunur. Newton’ un ikinci hareket yasası ? F ma denklemi D’Alambert ilkesinde 0 ?? F ma şeklinde yazılır. D’alambert ilkesi ile Kinetik problemleri statik problemlerine dönüştürülmüş olur. 9.2 Lagrange tarzında D’Alambert ilkesi Bir maddesel sistemin herhangi bir virtüel yer değiştirmesinde sisteme etki eden aktif kuvvetlerin ve sistemin atalet kuvvetlerinin virtüel işlerinin toplamı sıfır veya sıfırdan küçüktür. (Bağlar çift taraflı ise sıfırdır.) y m 1 m 2 i a m i i F o x z 1 ( ) 0 ? ? ? ? ? ? n i i i i i F ma r ? ? ? Bağlar çift taraflı ise (Holonom sistemler): 1 ( ) 0 ? ? ? ? ? ? n i i i i i F ma r ? ? ? 148 Problem 9.2.1 Şekildeki sistemde A cisminin ivmesini verilen konum için bulunuz. m C g ? B ? C R B ?? B ? D ?? C a C I C ? C I B ? B B R D m C a C C R C ?? D D f N I D ? D m A g m A a A m E g m E a E ?x ?x E a E a A Bu sisteme bağlara uygun bir ?x virtüel yerdeğiştirmesi verilirse A ve E cisminin ağırlığı ile atalet kuvvetleri iş yapar. 0 A E E A A B B B C C C C C C D D D E E E =m g x m g x m a x I m a x I I m a x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B B x R ? ?? ? , 2 C x x ? ? ? , 2 C C x R ? ?? ? , 2 D D x R ? ?? ? , 2 E x x ? ? ? A B B a R ? ? , 2 A C a a ? , 2 A C C a R ? ? , 2 A D D a R ? ? , 2 A E a a ? 2 1 2 ? B B B I m R , 2 1 2 C C C I m R ? , 2 1 2 D D D I m R ? 22 2 11 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 2 2 2 A A A A E A A B B C C C B B C C AA D D E DD a a a x x x x =m g x m g m a x m R m m R R R R R aa xx m R m RR ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 1 1 1 1 1 1 0 2 2 4 8 8 4 A E A A B A C A C A D A E A m g m g m a m a m a m a m a m a ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 1 1 1 2 8 8 4 2 A A B C D E A E a (m m m m m ) m g m g ? ? ? ? ? ? 1 2 1 3 1 1 2 8 8 4 AE A A B C D E m g m g a m m m m m ? ? ? ? ? ? , 84 8 4 3 2 AE A A B C D E m g m g a m m m m m ? ? ? ? ? ?