Genel Matematik LHospital kuralı Artan Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum - Minimum DERS 8 L’Hospital Kuralı, Artan-Azalan Fonksiyonlar, Konkavlık, Maksimum-Minimum 8.1. L’Hospital Kuralı. Limit hesaplarken belirsiz haller dedi ğimiz durumları ile kar şıla şılınca kullanılan yöntemdir. İlk belirsiz durum için L’hospital kuralını bir teorem olarak ifade edelim: Örnek. L’Hospital kuralı ikinci belirsiz hal için de geçerlidir: Teorem. f ve g türevli ( differentiable ) fonksiyonlar, ve g´(c) ? 0 ise, dir. ? - ? ? · ? ? , 0 , , 0 0 Teorem. f ve g türevli ( differentiable ) fonksiyonlar, 0 ) ( lim , 0 ) ( lim = = › › x g x f c x c x ve g´(c) ? 0 ise, ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' lim ) ( ) ( lim c g c f x g x f x g x f c x c x = = › › dir. ()() 0 6 lim , 0 8 2 lim , ? 6 8 2 lim 2 2 2 2 2 2 2 = - + = - + = - + - + › › › x x x x x x x x x x x , 1 2 ) ( ' , 2 2 ) ( ' , 6 ) ( , 8 2 ) ( 2 2 + = + = - + = - + = x x g x x f x x x g x x x f 5 6 1 2 2 2 lim 6 8 2 lim 5 ) 2 ( ' , 6 ) 2 ( ' 2 2 2 2 = + + = - + - + ? = = › › x x x x x x g f x x ? = ? = › › ) ( lim , ) ( lim x g x f c x c x ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' lim ) ( ) ( lim c g c f x g x f x g x f c x c x = = › › Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. 8.2. Artan – Azalan Fonksiyonlar. Bir (a , b) aralı ğında tanımlı bir f fonksiyonu verilmi ş olsun. E ğer x 1 , x 2 ? (a , b) ve x 1 ? x 2 olunca daima f(x 1 ) ? f (x 2 ) oluyorsa, f fonksiyonu (a , b) aralı ğında artan fonksiyondur denir. E ğer x 1 , x 2 ? (a , b) ve x 1 ? x 2 olunca daima f(x 1 ) ? f(x 2 ) oluyorsa, f fonksiyonu (a , b) aralı ğında azalan fonksiyondur denir. - ? = = = + + + › › › x x x x x x x ln lim , 0 lim , ? ln lim 0 0 0 ? = -? = = + + + + › › › › x x x x x x x x x x 1 lim , ln lim , 1 ln lim ln lim 0 0 0 0 () 0 lim 1 1 lim 1 ln lim ln lim 0 2 0 0 0 = - = - = = + + + + › › › › x x x x x x x x x x x 3 1 3 2 3 4 1 6 4 lim 2 2 2 2 lim 2 3 2 3 1 3 4 3 4 1 = - - = - - - - = + - - + - - › › x x x x x x x x x x x x 10 1 10 lim 1 1 lim 9 1 10 1 = = - - › › x x x x x 10 ln 1 10 ln 10 lim 1 10 lim 0 0 = = - › › x x x x x 2 1 2 lim 2 1 lim 1 lim 0 0 2 0 = = - = - - › › › x x x x x x e x e x x e () () 12 2 6 30 lim 1 2 6 6 lim 1 2 3 lim 4 1 5 1 2 2 6 1 = - = - - = - + - › › › x x x x x x x x x x x y x y=f(x) (x,f(x)) y= f(x) a r t a n a z a l a n n a r t a n (a , b) aralı ğında • f´(x) > 0 ? f artan • f´(x) < 0 ? f azalan • f´(c) = 0 ? (c , f (c)) de yatay te ğet Örnek. f(x) = x 2 – 6x +10 = (x – 3) 2 +1 fonksiyonu İçin f ´ (x) = 2x – 6 = 2(x – 3). 8.3. Kritik De ğerler(Critical Values). f (x) in tanımlı oldu ğu; ancak, f ´(x) in tanım-sız oldu ğu veya f ´(x)= 0 olan x de ğerlerine f fonksiyonunun kritik de ğerleri denir. x - ? 0 3 4 -6 0 2 - - - - - - + + + + + a z a l a n a r t a n f´(x) ? x y (3,1) (0,10) y= x 2 – 6x Örnek. f(x) = x 2 – 6x +10 un kritik de ğeri x = 3 tür: f´(x) = 2x - 6 = 0 ? x=3. 3 x y (0,10) Örnek. f(x) = 1 + x 3 ün kritik de ğeri: f ´(x) = 3x 2 = 0 ? x=0. x y 1 x y y=f(x) E ğim sıfır E ğim pozitif E ğim negatif yatay a r t a n a z a l a n + + + + Örnek. f(x) = (1 - x) 1/ 3 = -(x - 1) 1/ 3 ün kritik de ğerleri: () () () 3 2 3 2 1 3 1 1 1 3 1 ) ( ' - - = - - = - x x x f f(1) tanımlı, f ´(1) tanımsız ? x=1 kritik. x y 1 Örnek. () 2 2 1 ) ( ' , 2 1 ) ( - - = - = x x f x x f f(2) ve f´(2) tanımsız ? kritik de ğer yok. x y 2 Örnek. 1 9 6 ) ( 2 3 + + - = x x x x f fonksiyonunun tüm kritik de ğerlerini ve artan ve azalan oldu ğu bölgeleri belirleyelim. f(x) her x için tanımlı. ) 3 4 ( 3 9 12 3 ) ( ' 2 2 + - = + - = x x x x x f f´(x) = 0 ? x = 1 veya x = 3 ? x = 1 ve x = 3 kritik. x - ? 0 1 3 9 0 0 + + + a z a l a n a r t a n f´(x) ? - - - a r t a n 1 3 x y 8.4. Konkavlık , İkinci Türev. (a , b) aralı ğında • f´(x) artan ? grafik yukarı do ğru konkav. • f´(x) azalan ? grafik a şa ğı do ğru konkav. f fonksiyonunun birinci türevi f´(x) mevcutsa ve f´(x) in de türevi mevcutsa, f´(x) in türevine f nin ikinci türevi denir ve f´´ (x) ile gösterilir. y = f (x) ise, f nin ikinci türevi tir ve bu türev sembolleri ile de gösterilir. Örnekler. (a , b) aralı ğında yukarı do ğru konkav (concave - up) x y y = f(x) a b (a , b) aralı ğında aşa ğı do ğru konkav (concave - down) x y a b y = f(x) )) ( ' ( ) ( ' ' x f dx d x f = 2 2 ' ' ) ( ' ' dx y d y x f = = 2 ) ( ' ' 2 ) ( ' ) ( 2 = ? = ? = x f x x f x x f 3 2 3 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1 ' ' 2 1 ' x x x dx d x dx d y x y x y - = - = ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ? = ? = - -(a , b) aralı ğında • f´´ (x) > 0 ? y = f (x) in grafi ği yukarı do ğru konkav • f´´ (x) < 0 ? y = f (x) in grafi ği a şa ğı do ğru konkav Örnek. f(x) = x 3 fonksiyonunun yukarı ve a şa ğı do ğru konkav oldu ğu bölgeleri belirleyelim. f´(x) = 3x 2 , f ´´(x) = 6x Her x ? 0 için f ´(x) = 3x 2 nin pozitif oldu ğu da göz önüne alınarak , f(x) = x 3 fonksiyonunun grafi ği elde edilir. Şimdiye kadar yapılanlardan şu sonucu çıkarabiliriz: Bir f fonksi-yonunun artan veya azalan oldu ğu bölgeler f nin birinci türevinin, yukarıya veya a şa ğı doğru konkav oldu ğu bölgeler de f nin ikinci türevinin i şaretinin de ği şimine bakılarak belirlenebilir. Şu kuralları elde ettik: (a , b) aralı ğında • f´(x) > 0 ? f artan • f´(x) < 0 ? f azalan • f´(c) = 0 ? (c , f (c)) de yatay te ğet • f´´ (x) < 0 ? y = f (x) in grafi ği a şa ğı do ğru konkav • f´´ (x) < 0 ? y = f (x) in grafi ği a şa ğı do ğru konkav Bir f fonksiyonunun grafi ğinde konkavlı ğın de ği şti ği noktaya f nin dönüm noktası denir. Dönüm noktası ile ikinci türev arasında şu ili şki vardır: y = f (x) fonksiyonu (a , b) de sürekli ve a < c < b olmak üzere, f nin x = c de dönüm noktası varsa, ya f´´ (c) = 0 yad a f´´ (c) tanımsızdır. x - ? 0 0 - - - - - + + + + + f ´´(x) ? x y x y (0,0) dönüm noktasıÖrnek. fonksiyonunun tüm kritik de ğerlerini, artan veya azalan, yukarı do ğru veya a şa ğı do ğru konkav oldu ğu bölgeleri, ve varsa dönüm noktalarını belirleyelim. f´(x) = 3x 2 -12x + 9 = 0 ? x = 1 veya x = 3. f´´(x) = 6x –12 = 0 ? x = 2. f fonksiyonunun artan veya azalan, yukarı doğru veya a şa ğı doğru konkav oldu ğu bölgeleri, bir tablo üzerinde belirleyebiliriz. 1 9 6 ) ( 2 3 + + - = x x x x f Kritik de ğerler Dönüm noktası x - ? 0 1 3 f(x) ? + + + + + + + + f ´´(x) 2 f´(x) 1 5 3 1 0 0 - - - - 0 + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - 1 3 x y 2 yerelm i n . dönüm nok. yerel maks.8.5. Yerel Maksimum , Yerel Minimum (Yerel Ekstremum). Bir f fonksiyonu (a , b) aralı ğında sürekli ve c ? (a , b) için f (c) yerel maksimum veya yerel minimum ise, c , f nin bir kritik de ğeridir ( yani, f ´(c) = 0 veya f ´(c) tanım- sızdır). c , f nin kritik de ğeri ise, f (c) nin yerel ekstremum durumu f ´(x) in c civarında i şareti incelenerek belirlenebilir. Ortaya çıkabilecek durumlar a şa ğıda gösterilmi ştir: x y m n c f(c) x ) ( ) ( c f x f n x m ? ? < < f(c) yerel maksimum x y m n c f(c) x ) ( ) ( c f x f n x m ? ? < < f(c) yerel minimum x y x y f ´(c) tanımsız f ´(c) = 0 c c f ´(x) c + + + + - - - - x m n x y c yerel maksimum Örnek. fonksiyonunun kritik de ğerlerini daha önce bulmu ştuk. f´(x) = 3x 2 -12x + 9 = 0 ? x = 1 veya x = 3. f´(x) in i şareti incelenince x = 1 de yerel maksimum (f(1) = 5 ) ve x = 3 de yerel minimum (f(3) = 1) oldu ğu görülür. Bir kritik de ğerin yerel maksimum durumu ikinci türevin o de ğerdeki i şaretiyle de belirlenir: c , f nin kritik de ğeri ve f´(c) = 0 ise, • f ´´(c) < 0 ? f (c) yerel maksimum • f ´´(c) > 0 ? f (c) yerel minimum • f ´´(c) = 0 ? test çalı şmaz f ´(x) c + + + + - - - - x m n x y c yerel minimum f ´(x) c - - - - - - - - x m n x y c f ´(c) tanımsız; yerel maks. veya yerel min. yok f ´(x) c + + + + + + + + x m n f ´(c) = 0 yerel maks. veya yerel min. yok x y c B İR İNC İ TÜREV TEST İ 1 9 6 ) ( 2 3 + + - = x x x x f f´(x) - - - + + + + + + + + + + x - ? 3 ? 1 0 0 İK İNC İ TÜREV TEST İ Örnek. in kritik de ğerlerine ikinci türev testini uygulayalım. f´(x) = 3x 2 -12x + 9 = 0 ? x = 1 veya x = 3. f ´´(x) = 6x -12 ? f ´´(1) = -6 ve f ´´(3) = 6 O halde, f (1) = 5 yerel maksimum ve f (3) = 1 yerel minimumdur. 8.6. Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum. Bir fonksiyonun tanım kümesinde aldı ğı de ğerlerden en büyü ğü varsa, o en büyük de ğere fonksiyonun mutlak maksimum de ğeri denir. E ğer fonksiyonun tanım kümesinde aldı ğı de ğerlerden en küçü ğü varsa, o en küçük de ğere fonksiyonun mutlak minimum de ğeri denir. Örnek. f(x) = 1-x 2 fonksiyonunun mutlak maksimum değeri f(0) = 1 dir. Bu fonksiyonun mutlak minimum de- ğeri yoktur. Örnek. f(x) = 1+x 2 fonksiyonunun mutlak minimum de ğeri f(0) = 1 dir. Bu fonksiyonun mutlak maksimum de ğeri yoktur. Uygulama. Bir firma geçmi ş satı ş bilgilerini de kullanarak bir reklam kampanyası düzenlemek istiyor ve bu kampanya için x birim para harcaması durumunda, günde satabilece ği ürün sayısının N(x) = 2000 - 2x 3 + 60x 2 - 450x , 5 ? x ? 25 , olaca ğını tahmin ediyor. Satı şın reklam harcamalarına göre de ği şim oranını analiz ediniz. Çözüm. De ği şim oranı türeve kar şılık geldi ğinden, 1 9 6 ) ( 2 3 + + - = x x x x f x y x y N´(x) = -6x 2 +120x - 450 = -6(x 2 - 20x +75) = -6(x-5)(x-15) , N´´(x) = -12x +120 = -12(x-10). N(5) = 2000 - 2 . 53 + 60 . 52 -450 . 5 = 1000 N(10) = 2000 - 2 . 103 + 60 . 102 -450 . 10 =100(20 - 20 +60 -45)=1500 N(15) = 2000 - 2 . 153 + 60 . 152 -450 . 15 =2000 - 225(30 - 60 +30) =2000 N(25) = 2000 - 2 . 253 + 60 . 252 -450 . 25 =2000 - 125(250 - 300 +90)=1000 1000 1500 N(x) 1000 2000 x 5 10 25 15 N´(x) 0 0 N´´(x) 0 + + + + + - - - - - - + + + - - - - - - - - - - x y 5 10 25 15 y = N(x) y = N´(x) Problemler 8 1. A şa ğıdaki limitleri hesaplayınız(L’Hospital Kuralı). a) 4 16 2 lim 2 3 2 - - › x x x b) 1 1 lim 1 - - + › x x x c) 8 32 lim 3 5 2 + + - › x x x ç) 1 1 lim 15 1 - - › x x x d) 2 ln 1 2 lim 0 x x x - › e) 2 2 0 1 2 lim x x e x x - - › f) ? ? ? ? ? ? - - › x e x x 1 1 1 lim 0 g) x x x ln lim 2 0 + › 2. Bu problemin sorularını yanıtlamak için a şağıdaki grafi ği kullanınız. a) Koordinat kesi şimlerini bulunuz. b) Yatay ve dü şey asimtotları bulunuz. c) y = f (x) in grafi ği hangi aralıklar üzerinde artan, hangi aralıklar üzerinde azalandır? ç) Hangi aralıklar üzerinde f ’ (x) < 0 dır? Hangi aralıklar üzerinde f ’ (x) > 0 dır? d) y = f (x) in grafi ği hangi aralıklar üzerinde yukarı do ğru , hangi aralıklar üzerinde aşağı do ğru konkavdır? y x h k n m t r d c b a y= e) Hangi aralıklar üzerinde f ‘’ (x) < 0 dır? Hangi aralıklar üzerinde f ‘’ (x) > 0 dır? f) f (x) in dönüm noktalarının x – koordinatlarını bulunuz. g) f(x) in yerel maksimum ve yerel minimumlarının x – koordinatlarını bulunuz. 3. A şağıda grafi ği verilmi ş olan f fonksiyonunun, verilen aralıklar üzerinde, yerel maksimum, yerel minimum, mutlak maksimum, mutlak minimum de ğerlerini ve dönüm noktalarını (varsa) belirleyiniz. a) [0 , 5] b) [2 , 7] c) [4 , 7] ç) [5 , 10] d) [7 , 10] 4. A şağıdaki fonksiyonların her birinin artan veya azalan, yukarıya veya a şağıya do ğru konkav oldu ğu aralıkları; (varsa) yerel maksimum, yerel minimum, mutlak maksimum, mutlak minimum değerlerini ve dönüm noktalarını bulunuz a) 5 4 ) ( 2 + - = x x x f b) x x x f 6 ) ( 3 - = c) 3 2 24 ) ( x x x f - = d) 2 3 6 ) ( x x x f - = 5 0 10 5 10 y=f(x)