Genel Matematik Limit Süreklilik ve Türev DERS 5 Limit Süreklilik ve Türev 5.1. Limit. Bir f fonksiyonu; c , L ? R verilmi ş olsun. E ğer x in c ye yakın (her iki taraftan da) her de ğeri için f(x) sayısı L ye yakın oluyorsa, L sayısına x sayısı c ye yakla şırken f fonksiyonunun limiti (the limit of f as x approaches c) denir ve L x f c x = › ) ( lim veya c x › için L x f › ) ( yazılır. Örnek. x y (0,0) (c,L) c L x f(x) x (x,f(x)) (x,f(x)) () ? 2 2 lim 2 = + › x x x y (0,0) 1 2 4 6 () . 6 2 2 lim 2 = + › x xE ğer x in c ye yakın fakat c den küçük her de ğeri için f(x) sayısı L ye yakın oluyorsa, L sayısına x sayısı c ye soldan yakla şırken f fonksiyo-nunun limiti (the limit of f as x approaches c from the left) denir ve L x f c x = - › ) ( lim veya - › c x için L x f › )( yazılır. Örnek. E ğer x in c ye yakın fakat c den büyük her de ğeri için f(x) sayısı L ye yakın oluyorsa, L sayısına x sayısı c ye sa ğdan yakla şırken f fonksiyo-nunun limiti (the limit of f as x approaches c from the right) denir ve L x f c x = + › ) ( lim veya + › c x için L x f › )( yazılır. x y (0,0) (c,L) c L x (x,f(x)) ? 2 2 lim 2 = - - - › x x x y x (0,0) 2 -1 1 1 2 2 lim 2 - = - - - › x x x x y (0,0) (c,L) c L x f(x) (x,f(x)) Örnek. Örnek. Örnek. x ? 2 için ? 2 2 lim 2 = - - + › x x x y x (0,0) 2 -1 1 1 2 2 lim 2 = - - + › x x x ? 2 2 lim 2 = - - › x x x y x (0,0) 2 -1 1 ! 2 2 lim 2 YOK x x x = - - › L x f L x f L x f c x c x c x = = ? = + - › › › ) ( lim ve ) ( lim ) ( lim Limit Sol limit Sa ğ limit ? 2 4 lim 2 2 = - - › x x x () () . 2 2 2 2 2 4 2 + = - - + = - - x x x x x x y x (0,0) 2 4 4 2 4 lim 2 2 = - - › x x xÖrnek. Öyle bir grafik ( y = f(x) ) çiziniz ki, olsun. 5.2. Limit ile ilgili bazı özellikler. f ve g fonksiyonlar; c , L , M ? R ; M x g L x f c x c x = = › › ) ( lim , ) ( lim olsun. Bu takdirde () () ( ) ( ) , 1 lim , 2 lim , 3 lim , 2 lim 0 1 1 1 = - = = = › › › - › + - + x f x f x f x f x x x x () () 0 ) 2 ( , 2 ) 1 ( , 0 ) 0 ( , 0 lim , 0 lim 2 2 = = = = = + - › › f f f x f x f x x x y (-1,2) (1,3) (1,-2) (1,2) (2,0) (0,0) y = f(x) M L x g x f c x + = + • › )) ( ) ( ( lim M L x g x f c x - = - • › )) ( ) ( ( lim kL x kf c x = • › )) ( ( lim k k c x = • › lim LM x g x f c x = • › )) ( ) ( ( lim () 0 ) ( ) ( lim ? = ? ? ? ? ? ? ? ? • › M M L x g x f c x ( ) () 0 çiftse ) ( lim ? = • › L n L x f n n c xÖrnek. ya da Not. f bir polinom fonksiyon, İse, olur. Örnek. Örnek. Bir rasyonel Fonksiyonun Limiti. Örnek. ( ) () () 4 lim 4 lim 3 2 3 - · = - › › x x x x x x ( ) ( ) 4 lim lim 3 3 - · = › › x x x x ( ) ( ) 4 lim lim lim 3 3 3 › › › - · = x x x x x ( ) 3 4 3 3 - = - · = ( ) ( ) ( ) x x x x x x x 4 lim lim 4 lim 3 2 3 2 3 › › › - = - ( ) ( ) ( ) x x x x x x 3 3 3 lim 4 lim lim › › › - · = . 3 3 4 3 3 - = · - · = 0 1 1 1 ) ( a x a x a x a x f n n n n + + + + = - - L ) ( ) ( lim 0 1 1 1 c f a c a c a c a x f n n n n c x = + + + + = - - › L () () () . 5 3 1 2 3 2 lim 2 2 1 = + - = + - › x x () () () 3 2 lim 3 2 lim 2 1 2 1 + = + - › - › x x x x () . 5 3 1 2 2 = + - = () . 0 ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( lim ? = › c d c d c n x d x n c x () ( ) () . 2 5 3 1 4 1 2 1 3 4 2 lim 3 3 1 = + - + - - - = + + - - › x x x x5.3. Süreklilik. A şa ğıdaki fonksiyonlardan her birinin x = 2 civarında grafi ğini gözden geçirelim: Tanım. E ğer a şa ğıdaki üç ko şul sa ğlanıyorsa, f fonksiyonu x = c de süreklidir denir: x = c de sürekli olmayan bir fonksiyona x = c de süreksiz fonksiyon denir. Tanım. a , b ? R , a < b olsun. E ğer a < c < b olan her c için f fonksiyonu x = c de sürekli ise, f fonksiyonu (a , b) aralı ğında süreklidir denir. x y (0,0) 2 4 2 x = 2 de sürekli y x (0,0) 2 4 x = 2 de sürekli de ğil y x (0,0) 2 -1 1 x = 2 de sürekli de ğil ). ( ) ( lim ) 3 , var ) ( ) 2 , var ) ( lim ) 1 c f x f c f x f c x c x = › › f nin sürekli oldu ğu aralıklar: (- ?,-1) , (-1,0) , (0,1) , (1, ?) x y (-1,2) (1,3) (1,-2) (1,2) (2,0) (0,0) y = f(x) Tanım. E ğer ) ( ) ( lim c f x f c x = - › ise, f fonksiyonu x = c de soldan süreklidir denir. Tanım. E ğer ) ( ) ( lim c f x f c x = + › ise, f fonksiyonu x = c de sa ğdan süreklidir denir. Örnekler. x = 1 de soldan sürekli x = -1 de sa ğdan sürekli y x (0,0) 2 1 x y - = -1 1 y x (0,0) x y = x = 0 da sa ğdan sürekli x = 0 da ne sağdan ne de soldan sürekli y x (0,0) x x y =5.4. Süreklilik özellikleri. Fonksiyon c x f = ) ( Sürekli oldu ğu bölge (sabit fonksiyon): R = (- ? , ?) n x x f = ) ( (kuvvet fonksiyonu): R = (- ? , ?) 0 ) ( a x a x f n n + + = L (polinom fonk. ): R = (- ? , ?) () () x d x n x f = ) ( (rasyonel fonksiyon): R\{x : d(x) = 0} () n x u x f = ) ( , n tek : {a : u , x = a da sürekli} () n x u x f = ) ( , n çift : {a : u(a) ?0 ve u , x = a da sürekli} Sonsuz Limitler. y x (0,0) c y x (0,0) c y x (0,0) c y x (0,0) c ( ) ? = › x f c x lim ( ) -? = - › x f c x lim () ? = + › x f c x lim () -? = + › x f c x lim Şaka. After explaining to a student, with various lessons and examples, that The teacher tried to check if she really understood that. So, the teacher gave her a different example: This was the result: Örnekler. () ? = - › 2 1 1 1 lim x x 1 -? = - - › 1 1 lim 1 x x y x (0,0) 1 ? = - + › 1 1 lim 1 x x y x (0,0) , 8 1 lim 8 ? = ? ? ? ? ? ? - › x x ? 5 1 lim 5 = ? ? ? ? ? ? - › x x = ? ? ? ? ? ? - › 5 1 lim 5 x x Örnekler. Yatay ve Dü şey Asimtotlar. () ? ±? = › x f c x lim x = c dü şey asimtot () ? = ±? › b x f x lim y = b yatay asimtot Örnek. in dü şey ve yatay asimtotları: ve olduğundan, x = 1 dü şey asimtot. ve olduğundan, y = 2 yatay asimtot. Sonsuzda Limitler. y x (0,0) y x (0,0) () b x f x = ? › lim b b () b x f x = ? › lim y x (0,0) y x (0,0) () b x f x = -? › lim b b () b x f x = -? › lim 1 1 2 1 1 2 1 lim 1 1 lim = - + = - + - = - + ? › ? › x x x x x x x 0 1 lim , 0 1 lim = = -? › ? › x x x x 2 1 3 2 1 3 2 2 lim 1 1 2 lim = - + = - + - = - + ? › ? › x x x x x x x 1 1 2 - + = x x y -? = - + - › 1 1 2 lim 1 x x x ? = - + + › 1 1 2 lim 1 x x x 2 1 1 2 lim = - + ? › x x x 2 1 1 2 lim = - + -? › x x xTeorem. f fonksiyonu (a , b) aralı ğında sürekli ve her x ? (a , b) için f (x) ? 0 ise, ya her x ? (a , b) için f(x) > 0 dır; ya da her x ? (a , b) için f (x) < 0 dır. Tanım. f nin süreksiz oldu ğu x sayıları ile f (x) = 0 olan x sayılarına f nin parçalanı ş sayıları (partition numbers) veya i şaret sayıları denir. İşaret sayıları ve yukarıdaki teorem yardımıyla, hangi x sayıları için f(x) > 0 ve hangi x sayıları için f (x) < 0 oldu ğu kolayca belirlenir. Örnek. 1 2 ) ( 2 - - = x x x f denklemi ile verilen fonksiyonun i şaret sayıları x = - 1 , 1 ve 2 dir. f (x) > 0 ve f (x) < 0 olan bölgeler a şa ğıdaki tabloda gösterilmi ştir: x (-1) 0 1 2 x+1 - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + x-1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + x-2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + 1 2 2 - - x x - - - - - - - - - - - - - - - - - - Bu fonksiyonun grafi ği a şa ğıda gösterilmi ştir. y x (0,0) a b y = f(x) + + + + + + + + + 2 -1 1 x y5.5. Türev. y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f nin x = a civarındaki de ği şim oranını olarak tanımladı ğımızı anımsayalım.A şa ğıdaki şekle bakarak bu oranı yorumla-ma ğa çalı şalım. E ğim: Yukarıdaki oran, f (x) in x = a dan x = a+h ye kadar ortalama de ği şim oranı (average rate of change) dır. Bu oran, aynı zamanda, (a , f(a)) ve (a+h , f(a+h)) noktalarını birle ştiren do ğrunun e ğimidir. Aynı şekil üzerinde gözlemlerimizi sürdürelim. f ´(a) de ğeri f fonksiyonunun x = a daki anlık de ği şim oranını (instantaneous rate of change) verir. Böylece görülür ki f ´(a) de ğeri y = f (x) in grafi ğinin (a,f (a)) noktasındaki te ğetinin e ğimidir. Böylece, y = f (x) in grafi ğinin (a,f (a)) noktasındaki te ğetinin denklemi olur. h a f h a f ) ( ) ( - + f(a) y x (a , f(a)) a (a+h , f(a+h)) a+h f(a+h) h a f h a f ) ( ) ( - + y x (a , f(a)) a (a+h , f(a+h)) a+h f(a) f(a+h) h sıfıra yakla şırken, ye şil doğru de ği şerek te ğet durumuna gelir. () h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ' 0 - + = › ile tanımlanan f ´(a) de ğerine(limit varsa) f fonksiyonunun x = a daki türevi (derivative of f at x = a ) denir. y = f ´(a) (x -a ) + f (a) Örnek. f (x) = x 2 + 2 , f ´(1) = ? Böylece, y = x 2 + 2 nin grafi ğinin (1,f (1)) = (1,3) noktasındaki te ğetinin denklemi y = 2 (x - 1) + 3 ? y = 2 x + 1 olur. Her hangi bir f fonksiyonu için ile tanımlanan f ´ fonksiyonuna f fonksiyonunun türevi denir. Örne ğimizde Örnek. f (x) = |x + 2| , f ´(1) = ? , f ´(-2) = ? Örnek. f (x) = c , f ´(x) = ? Örnek. ? ) 2 ( ' , ? ) 1 ( ' , ) ( = = = f f x x f ( ) h h h ) 2 1 ( 2 ) 1 ( lim 2 2 0 + - + + = › h f h f f h ) 1 ( ) 1 ( lim ) 1 ( ' 0 - + = › () 2 2 lim 2 lim 0 2 0 = + = + = › › h h h h h h h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 - + = › () h x h x h x f h x f x f h x ) 2 ( 2 ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ' 2 2 0 0 + - + + = - + = › › () . 2 2 lim 2 lim 0 2 0 x x h h xh h h h = + = + = › › 1 lim 2 1 2 1 lim ) 1 ( ) 1 ( lim ) 1 ( ' 0 0 0 = = + - + + = - + = › › › h h h h h f h f f h h h h h h 2 2 2 2 lim 0 + - - + + - = › h f h f f h ) 2 ( ) 2 ( lim ) 2 ( ' 0 - - + - = - › YOK! lim 0 h h h › = h h h f h f f h h 1 1 lim ) 1 ( ) 1 ( lim ) 1 ( ' 0 0 - + = - + = › › . 2 1 ) 1 1 ( lim 1 1 1 1 1 1 lim 0 0 = + + = + + + + · - + = › › h h h h h h h h h 0 0 lim lim ) ( ) ( lim ) ( ' 0 0 0 = = - = - + = › › › h h c c h x f h x f x f h h hÖrnek. , 1 ) ( x x f = f ´(1) = ? , f ´(x) = ? Örnek. f (x) = x 3 , f ´(x) = ? Bir f fonksiyonu için f nin x teki türevi varsa f fonksiyonu x te türevlenebilir (differentiable) denir. f fonksiyonunun türevini hesaplama i şlemine türev alma (differentiation) denir. f fonksiyonunun türevini hesaplama eylemine türev almak (to differentiate) denir. h h h f h f f h h 1 1 1 lim ) 1 ( ) 1 ( lim ) 1 ( ' 0 0 - + = - + = › › ( ) () . 1 1 1 lim 1 ) 1 1 lim 0 0 - = + - = + + - = › › h h h h h h h x h x h x f h x f x f h h 1 1 lim ) ( ) ( lim ) ( ' 0 0 - + = - + = › › ( ) () () . 1 1 lim ) lim 2 0 0 x h x x h x x h h x x h h - = + - = + + - = › › ( ) h x h x h x f h x f x f h h 3 3 0 0 lim ) ( ) ( lim ) ( ' - + = - + = › › () ( ) ( ) ( ) h x x h x h x x h x h 2 2 0 lim + + + + - + = › ( ) ( ) ( ) . 3 lim 2 2 2 0 x h x x h x h x h h = + + + + = › h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 - + = ›Problemler 5 1. 5 ) ( lim 3 = › x f x ve 9 ) ( lim 3 = › x g x ise, a şa ğıdaki limitleri hesaplayınız. a) )) ( ) ( ( lim 3 x g x f x - › b) )) ( 2 ) ( ( lim 3 x g x f x + › c) ) ( ) ( lim 3 x g x f x › 2. A şa ğıdaki limitleri hesaplayınız. a) ) 25 3 ( lim 2 5 + › x x b) 5 3 5 2 lim 10 - + › x x x c) ) 4 2 ( ) 2 ( lim 2 3 - + › x x x 3. A şa ğıdaki limitleri hesaplayınız. a) 5 25 lim 2 5 + - - › x x x b) 2 6 lim 2 2 + - - - › x x x x c) 5 3 5 2 lim 2 10 + - › x x x d) ) 9 3 3 ( lim 2 3 - - + + › x x x x x 4. A şa ğıdaki limitleri hesaplayınız. a) 3 3 lim 3 - - - › x x x b) x x x - - + › 1 1 lim 1 c) 1 1 lim 1 - - - › x x x 5. A şa ğıda grafikleri verilmi ş fonksiyonların süreksiz oldu ğu noktaları belirleyiniz. 6. A şa ğıdaki limitleri hesaplayınız. a) ) 9 2 4 ( lim 2 - + ? › x x x b) ) 4 9 3 ( lim 5 6 + + - -? › x x x c) 9 5 7 4 lim - + ? › x x x 7. A şa ğıdaki fonksiyonların düşey asimptotlarını bulunuz; x = a düşey asimtot ise, ) ( lim x f a x - › ve ) ( lim x f a x + › sonsuz limitlerini belirleyiniz. a) 3 1 ) ( + = x x f b) 4 4 ) ( 2 2 - + = x x x f c) 2 3 4 16 8 16 8 ) ( x x x x x f + - - = -5 5 x y y=f(x) x y y=f(x) -4 4 0 0 a) b) 8. A şa ğıdaki fonksiyonların düşey ve yatay asimtotlarını bulunuz. a) 3 2 ) ( + = x x x f b) 1 1 ) ( 2 2 - + = x x x f c) 3 ) ( 2 - = x x x f 9. A şa ğıdaki problemlerde, belirtilen iki adımlı i şlemi gerçekle ştirerek ) ( ' x f i hesaplayınız. 1. adım: h x f h x f ) ( ) ( - + ın sadele ştirilmesi 2. adım: h x f h x f h ) ( ) ( lim 0 - + › de ğerinin bulunması a) 5 ) ( = x f b) 2 2 ) ( x x f - = c) 3 ) ( - = x x f 10. A şa ğıdaki fonksiyonlar için h f h f h ) 2 ( ) 2 ( lim 0 - + › limitini hesaplayınız. 4 3 ) ( - = x x f a) 1 5 4 ) ( 2 + - = x x x f b) 3 ) ( x x f = c) x x f = ) ( d) 11. Plastik kutu üreten bir şirketin günde x adet kutu üretmesi durumunda toplam geliri 2400 0 , 025 . 0 60 ) ( 2 ? ? - = x x x x R olarak veriliyor. Para birimi YTL dir. a) Üretilen kutu sayısı 800 den 1000 e yükseldi ğinde gelirdeki de ği şim nedir? b) Üretilen kutu sayısının bu de ği şimi için gelirdeki ortalama de ği şim oranı nedir? 12. 2 3 ) ( x x f = fonksiyonu için a şa ğıdaki de ğerleri bulunuz. a) x , 1 den 4 e kadar de ği şti ğinde y=f(x) deki de ği şim, b) x , 1 den 4 e kadar de ği şti ğinde f(x) in ortalama de ği şim oranı, c) y=f(x) in grafi ğinin (1,f(1)) ve (4, f(4)) noktalarından geçen kiri şin e ğimi, d) x=2 de ğeri için f(x) in anlık de ği şim oranı, e) y=f(x) in grafi ğinin (1,f(1)) noktasındaki e ğimi. 13. A şa ğıdaki fonksiyonların her biri için x=2 deki te ğet do ğrusunun denklemini yazınız. a) 1 5 ) ( - = x x f b) 2 ) ( 2 - = x x f c) 1 ) ( + = x x f d) 2 2 ) ( - + = x x f 14. x x x f 4 ) ( 2 - = fonksiyonu için a) ) ( ' x f i bulunuz. b) f nin grafi ğine x=0 , x=2 ve x=4 noktalarının her birinde te ğet olan do ğrunun e ğimini bulunuz ve her üç durumda da te ğet do ğrusunun denklemini yazınız. c) f nin grafi ğini ve bu noktalardaki te ğet do ğrularını çiziniz.