Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler Lineer Cebir - bölüm 1 Lineer Cebir Prof.Dr. Ş aban EREN Ege Ü niversitesi M ü hendislik Fak ü ltesi Bilgisayar M ü hendisli ğ i B ö l ü m ü B ö l ü m 1 1.1. Lineer E şitliklerin Tan m 1.2. Lineer E şitlikler Sistemi 1.3. Matrisler2 Lineer Cebir - Konular B ö l ü m 1 : Lineer E şitlikler ? B ö l ü m 2 : Lineer Sistemlerin Matris ? Kullan larak Çö z ü m ü B ö l ü m 3 : Determinantlar ? B ö l ü m 4 : Matris ve Determinantlara İ li şkin ? Di ğ er Ö zellikler3 Lineer Cebir - Konular B ö l ü m 5 : Vekt ö rler ? B ö l ü m 6 : Lineer Denklem Sistemlerinin ? Çö z ü m ü ve Rank Kavram B ö l ü m 7 : Eigen De ğ erleri ve Eigen Vekt ö rleri ?4 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler 1.1. Lineer E ş itliklerin Tan m x 1 , x 2 , ..., x n ’in n de ğ i şkeni tan mlad ğ n varsayal m. E ğ er n de ğ i şkenden olu şan bir e şitlik, a 1 x 1 + a 2 x 2 +...+ a n x n = b şeklinde ifade edilebiliyorsa bu e şitlik lineer (do ğ rusal) bir e ş itlik olarak tan mlanmaktad r. E şitlikte a 1 , a 2 , ..., a n ve b sabitleri ifade etmektedir.5 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Bir lineer e ş itlikte, t ü m de ğ i şkenler birinci dereceden olmal d r. De ğ i şkenler birbirinin ç arp m veya b ö l ü m ü şeklinde ifade edilemezler. E ğ er bir e şitlik lineer (do ğ rusal) de ğ ilse, do ğ rusal olmayan e şitlik olarak adland r l r. B ö l ü mlerimizde bundan sonra lineer ve do ğ rusal ifadeleri ayn anlamda kullan lacakt r.6 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.1. x , y ve z ’nin de ğ i şken oldu ğ u varsay larak a şa ğ daki e şitliklerin lineer (do ğ rusal) olup olmad ğ n belirleyiniz. a) x – y + z = 5 Do ğ rusal, çü nk ü x , y ve z birinci dereceden. Sabitler a 1 =1, a 2 = -1, a 3 =1 ve b =5 ’tir.7 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.1.(devam ) b) x + y – z 2 = 4 Do ğ rusal de ğ il, çü nk ü z 2 birinci dereceden de ğ il. c) x + = 7 Do ğ rusal de ğ il, çü nk ü ’nin de ğ eri z > 0 i ç in z , z <0 i ç in – z’dir. 2 z 2 z8 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.1.(devam ) d) 3x + 5y – 2z = 0 Do ğ rusal, t ü m de ğ i şkenler birinci dereceden ve a 1 = 3, a 2 = 5, a 3 = -2 ve b = 0’d r. e) x + yz + z = 5 Do ğ rusal de ğ il, de ğ i şken yz ç arp m şeklinde olmamal d r.9 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.1.(devam ) f) x/y + y – z = Do ğ rusal de ğ il, de ğ i şken x / y şeklinde ifade edilmemeli.10 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler 1.2. Lineer E ş itlikler Sistemi 1.2.1. Lineer E şitlikler Sisteminin Tan m n de ğ i şkenli iki veya daha fazla lineer e şitlikten ? olu şan bir sonlu k ü meye lineer e şitlikler sistemi denir. Lineer denklem (e şitlikler) sistemimizde x 1 = s 1 , x 2 = s 2 , x 3 = s 3 ,..., x n = s n konuldu ğ unda bu de ğ erler t ü m e şitlikleri sa ğ l yorsa, s 1 , s 2 , ..., s n ’e sistemin bir çö z ü m ü d ü r denir.11 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rne ğ in, 4 x 1 – x 2 + 3 x 3 = -1 3 x 1 + x 2 + 9 x 3 = -4 do ğ rusal sistemi gibi. x 1 = s 1 , x 2 = s 2 , x 3 = s 3 gibi de ğ erler her iki e şitli ğ i de sa ğ l yorsa, s 1 , s 2 , s 3 k ü mesi ele al nan lineer e şitlikler sisteminin bir çö z ü m ü d ü r. Bu ö rnek i ç in x 1 = 1, x 2 = 2 ve x 3 = -1 her iki e şitlikte de yerine kondu ğ unda e şitlikleri sa ğ lad ğ ndan bir çö z ü m k ü mesini olu ştururlar.12 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Bir veya birden fazla çö z ü m ü mevcut olan sisteme (do ğ rusal e şitlikler sistemi) Consistent denir. E ğ er sistemin bir çö z ü m ü mevcut de ğ il ise sistem inconsistent denir. 13 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Do ğ rusal e şitlikler sisteminin çö z ü m ü nde ortaya ç kacak durumlar daha iyi g ö rebilmek i ç in iki bilinmeyenli (x, y), a 1 x + b 1 y = c 1 ( l 1 do ğ rusu) a 2 x + b 2 y = c 2 ( l 2 do ğ rusu) iki do ğ rusal e şitlik sistemini g ö z ö n ü ne alal m. Burada a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 ve c 2 sabitlerdir. Her iki e şitlikte de x ve y de ğ i şkenlerinin katsay lar birlikte s f r de ğ ildir.14 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler E şitliklerin herbiri xy d ü zleminde bir do ğ ru ile ifade ? edilmektedir. Sistemin çö z ü m ü , her iki e şitli ğ i de sa ğ layan bir de ğ er ç ifti ? ( x , y ) oldu ğ undan, çö z ü m iki do ğ runun ortak bir noktas na kar ş gelmektedir. İ ki bilinmeyenli iki do ğ rusal e şitlikten olu şan do ğ rusal ? sistemimizin çö z ü m ü ne ili şkin üç durum ortaya ç kmaktad r.15 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler a) l 1 ve l 2 do ğ rular tek bir noktada kesi şir ( Ş ekil-1.1.). Bu durumda tek bir çö z ü m mevcuttur. Sistem consistent denir.16 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler b) l 1 ve l 2 do ğ rular ü st ü ste ç ak şm şt r ( Ş ekil-1.2). Bu durumda sonsuz say da ortak nokta bulunmaktad r, dolay s yla sonsuz say da çö z ü m mevcuttur. Bu bir consistent sistem olup ba ğ ml sistem olarak bilinir.17 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler c) l 1 ve l 2 paralel do ğ rulard r. Bu durumda herhangi bir ortak nokta bulunmamakta, dolay s ile sistemin çö z ü m ü mevcut de ğ ildir. Sistem Inconsistent denir.18 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Biz sadece iki de ğ i şkenli iki do ğ rusal e şitlikten ? olu şan bir do ğ rusal e şitlikler sistemini g ö z ö n ü ne ald k. Genelde m e şitlik ve n bilinmeyenden olu şan ? sistemler g ö z ö n ü ne al nacakt r. Bu sistemlerin ya sadece bir çö z ü m ü , ya sonsuz say da çö z ü m ü veya hi ç bir çö z ü m ü mevcut olmayabilir.19 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler m do ğ rusal e şitlik ve n bilinmeyenden olu şan bir ? do ğ rusal e şitlikler sistemi (Lineer sistem) a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 : : : : : : : : a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m şeklinde yaz labilir.20 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Burada x 1 , x 2 , ..., x n bilinmeyenleri, a ’lar ve b ’ler ? sabitleri belirtmektedir. Bir lineer e şitlikler sisteminin çö z ü m ü n ü n elde ? edilmesinde kullan lan temel yakla ş m verilen sistemin ayn çö z ü m k ü mesine sahip fakat çö z ü lmesi daha kolay yeni bir sistem ile de ğ i ştirilmesidir.21 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Yeni sistem genel olarak a şa ğ da belirtilen ? i şlemlerin bilinmeyenleri sistematik bir şekilde elimine edecek şekilde uygulanmas yla elde edilir. Bu i şlemler, 1. Bir e şitlik s f rdan farkl bir sabit ile ç arp l r. 2. İ ki e şitlik yer de ğ i ştirir. 3. Bir sabit ile ç arp lan e şitlik di ğ er e şitli ğ e eklenir. şeklindedir.22 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Yukar da verilen genel lineer denklem sisteminde ? her bir e şitlik sat r olarak ifade edilmektedir. Dolay s yla yukar da verilen i şlemler 1. Bir s ra s f rdan farkl bir sabit ile ç arp l r. 2. İ ki s ra yer de ğ i ştirir. 3. Bir sabit ile ç arp lan s ra di ğ er bir s raya eklenir. şeklinde ifade edilir. Bu i şlemler elementer s ra i şlemleri olarak bilinir.23 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.2. ? Eliminasyon y ö ntemi yard m yla x - 2y + 3z = 4 2x + y + z = 3 5y - 7z = -11 lineer denklem sisteminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.24 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Sistemin çö z ü m ü n ü elde etmek i ç in a şa ğ daki ad mlar ? uygulad ğ m z varsayal m. 1. İ kinci s raya birinci s ran n -2 ile ç arp m n ekleyiniz. x - 2y + 3z = 4 5y - 5z = -5 5y - 7z = -1125 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler 2. İ kinci ve üçü nc ü s ralar n yerlerini de ğ i ştiriniz. x - 2y + 3z = 4 5y - 7z = -11 5y - 5z = -526 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler 3. İ kinci s ray -1 ile ç arp p üçü nc ü s raya ekleyiniz. x - 2y + 3z = 4 5y - 7z = -11 2z = 627 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler 4. Üçü nc ü s ray ½ ile ç arp n z. x - 2y + 3z = 4 5y - 7z = -11 z = 328 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler 5. z = 3 de ğ erini birinci ve ikinci e şitliklerde yerine koyunuz. x - 2y + 9 = 4 veya x - 2y = -5 veya x - 2y = -5 5y -21= -11 5y = 10 y = 2 Buradan x - 4 = -5 x = -1 elde edilir. Dolay s yla verilen lineer denklem sisteminin çö z ü m k ü mesi (-1, 2, 3) ’t ü r.29 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Daha ö nce ifade edildi ğ i gibi elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla verilen lineer denklem sistemi her a şamada çö z ü m ü daha kolay olan ve ayn çö z ü m k ü mesine sahip yeni bir denklem sistemine d ö n üş t ü r ü lm üş olur. Ö rne ğ in 1., 2., 3. ve 4. a şamalardaki lineer denklem sistemleri ayn çö z ü m k ü melerine sahip denk sistemlerdir.30 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler 1.3. Matrisler 1.3.1. Matris Tan m m sat r ve n s ü tundan olu şan tablosuna matris ad verilir.31 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Matristeki her bir say ya eleman denir. ? Yukar daki matriste m ? n tane eleman vard r. Matrisin yatay bir do ğ ru boyunca s ralanan ? elemanlar na s ra elemanlar , dikey bir do ğ ru boyunca s ralanan elemanlar na s ü tun elemanlar denir. Yukar daki matris m s ra ve n s ü tundan olu şmaktad r.32 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Matristeki bir eleman n yerini belirlemede iki ? indis kullan l r. Bunlardan biri eleman n hangi sat rda, di ğ eri de hangi s ü tunda oldu ğ unu belirtir. Ö rne ğ in a ij eleman , eleman n i ’inci s ra ve j ’inci ? s ü tunda oldu ğ unu belirtir. Benzer şekilde a 23 eleman ikinci sat r ve üçü nc ü s ü tundad r.33 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Matris genelde [ a ij ] şeklinde ifade edilir. ? m sat r ve n s ü tundan olu şan bir matrise m ? n ? matris denir. E ğ er matrisin sat r ve s ü tun say lar birbirine e şit ise, ö rne ğ in m = n ise, matrise kare matris ad verilir.34 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rne ğ in, yandaki matriste sat r ve s ü tun say lar m = n = 3 oldu ğ undan bu bir kare matrisidir. a 11 = 1, a 22 = 4, a 33 = -3 elemanlar na matrisin asal k öş egeni denir.35 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Sat r matris: Bir sat rdan olu şan matrise ? sat r matris denir. Ö rne ğ in A = [1, 7, -2, 3] sat r matristir. Bir ? sat r ve d ö rt s ü tundan olu şmu ştur. 1 ? 4 matristir.36 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler S ü tun matris: Bir s ü tundan olu şan bir ? matrise s ü tun matris denir. Ö rne ğ in matrisi s ü tun matristir. Üç sat r ve bir s ü tundan olu şmu ştur. 3 ? 1 matristir.37 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.3. ? A şa ğ daki matrisleri boyutlar na g ö re s n flay n z. A , 2 ? 3 matristir, 2 sat r ve 3 s ü tundan olu şmu ştur. B , 2 ? 2 kare matristir, sat r veya s ü tun say s 2’dir.38 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler C , 3 ? 1 matristir. 3 sat r ve 1 s ü tundan olu şmu ştur. Bir s ü tun matris veya bir vekt ö rd ü r. D , 1 ? 3 matristir. 1 sat r ve 3 s ü tundan olu şan bir sat r matristir. E , 1 ? 1 kare matristir. Tek elemanl matris olarak da bilinir.39 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler 1.3.2. İ ki Matrisin E şitli ğ i A ve B gibi iki matrisin boyutlar , yani sat r ? ve s ü tun say lar ve elemanlar benzer ise; iki matris e şittir ( A = B ) denir.40 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.4. ? matrislerinin boyutlar ( A , 2 ? 2 ve B , 2 ? 2 ) ve kar ş l kl elemanlar e şit oldu ğ undan iki matris e ş ittir denir.41 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.5. ? Burada A 2 ? 2 ve B 2 ? 3 matrisler olup, boyutlar birbirine e şit olmad ğ ndan A ? B ’ dir.42 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.6. ? A ve B ’nin boyutlar ayn olmas na kar ş n, kar ş l kl elemanlar farkl de ğ erler oldu ğ undan A ? B’ dir.43 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler İ ki Matrisin Toplam : A ve B boyutlar ayn olan ? iki matris olsun. A+B toplam , matrislerin kar ş l kl elemanlar n n toplam olarak olu şan bir matristir ve C=A+B şeklinde ifade edilir.44 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.7. d r. G ö r ü ld ü ğ ü gibi A 3 ? 3 ve B 3 ? 3 boyutlu matrisler olup kar ş l kl elemanlar toplanm ş ve ayn boyutlu bir C 3 ? 3 matrisinin ayn pozisyondaki elemanlar n olu şturmu ştur.45 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.8. A 2 ? 2, B 2 ? 3 matrislerdir. Boyutlar farkl ? oldu ğ undan A+B toplam m ü mk ü n de ğ ildir. İ ki matrisin birbirinden ç kar lmas i ç in toplama ? ö zelliklerinin olmas gerekir. Ger ç ekte iki matrisin birbirinden ç kar lmas demek, bu matrislerden birinin (-1) ile ç arp l p di ğ eriyle toplanmas demektir.46 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler İ ki matrisin birbirinden ç kar lmas nda da ? matrislerin kar ş l kl elemanlar ç kar l r.47 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.9. ise C = A – B elde edilir.48 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler 1.3.3. Matrisin bir say (skalar) ile ç arp m matrisini g ö z ö n ü ne alal m. A matrisinin k ile belirtilen bir say (skalar) ile ç arp m olan kA matrisi, A ’n n her eleman n n k ile ç arp lmas yla elde edilir.49 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.10. ç arp m n elde ediniz. 50 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.11. ç arp m n elde ediniz. 51 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler 1.3.4 Matris toplam n n ve skalar ç arp m n n ö zellikleri A, B ve C m ? n boyutlu matrisler a ve b reel say lar ise, a şa ğ daki ifadeler ge ç erlidir. A + B = B + A a) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) b) a ( A + B ) = aA + aB c) ( a + b ) A = aA + bA d) a ( bA ) = ( ab ) A e) E ğ er m0n t ü m elemanlar s f r olan m ? n boyutlu bir matris f) ise A + 0 = 0 + A’d r.52 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.12. ise yukar da verilen ö zelliklerin ge ç erlili ğ ini do ğ rulay n z. a =3, b =253 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler a) Buradan A + B = B + A oldu ğ u g ö r ü lmektedir. 54 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler b)55 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler b) ) ( ) ( C B A C B A ? ? ? ? ? ?56 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler c)57 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler c)58 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler d)59 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler d)60 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler e)61 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler e)62 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler f)63 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler 1.3.5 İ ki Matrisin Ç arp m E ğ er A = [ a ij ] m ? n ve B =[ b ij ] n ? p boyutlu matrisler ? ise A ve B ’ nin ç arp m AB = C = [ c ij ] m ? p boyutlu bir matristir. Burada ç arp m n ger ç ekle şebilmesi i ç in A matrisinin s ü tun say s ( n ) ile B matrisinin sat r say s ( n )’n n ayn olmas gerekir. Ö rne ğ in A matrisi 4 ? 3 ve B matrisi 3 ? 5 boyutlu ? matrisler ise A ?B m ü mk ü nd ü r ve AB = C matrisi 4 ? 5 boyutlu bir matristir.64 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler E ğ er A matrisi 4 ? 3 ve B matrisi 2 ? 5 boyutlu ise A matrisinin s ü tun say s ( n =3) ile B matrisinin sat r say s ( n =2) ayn olmad ğ ndan matrislerin ç arp m i şlemi ger ç ekle şmez. A= [ a ij ] ve B =[ b ij ] matrislerinin ç arp m ( AB ) sonucunda olu şan C =[ c ij ] matrisinin elemanlar , e şitli ğ i yard m yla elde edilir.65 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ç arp m i şleminin nas l ger ç ekle şti ğ ini ? anlayabilmek i ç in ilgili matris ç arp m n şekildeki gibi yazarsak A matrisinin i’inci s ra elemanlar ile B matrisinin j’inci s ü tun elemanlar n n ç arp mlar n n toplam bize C matrisinin cij’inci eleman n verecektir. C matrisinin di ğ er elemanlar da benzer şekilde A ? matrisinin ilgili sat r elemanlar ile B matrisinin ilgili s ü tun elemanlar n n ç arp m n n toplam şeklinde elde edilir.66 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler67 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.13. matrisleri verilmi ş olsun. A 2 ? 3 ve B 3 ? 4 matris oldu ğ undan AB = C ç arp m m ü mk ü nd ü r. C matrisinin boyutu 2 ? 4’t ü r.68 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler ç arp m sonucunda elde edilen C matrisinin elemanlar n elde etmek i ç in, A matrisinin 1. s ras ile B matrisinin 1. s ü tun elemanlar ç arp m n n toplam bize C matrisinin c 11 eleman n verir. 69 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Bu durum a şa ğ da g ö sterilmi ştir. Ö rne ğ in c 11 eleman , c 11 = (1 ? 4) + (2 ? 0) + (4 ? 2) = 12 şeklinde elde edilir. c 12 eleman n elde etmek i ç in A matrisinin 1.s ra elemanlar ile B matrisinin 2.s ü tun elemanlar n n ç arp mlar n n toplam gerekir. 70 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Bu durum matris ç arp m g ö z ö n ü ne al nd ğ nda c 12 = (1 ? 1) + (2 ? (-1)) + (4 ? 7) = 27 olarak elde edilir.71 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Benzer şekilde C matrisinin ikinci sat r elemanlar n elde etmek i ç in A matrisinin 2.s ra elemanlar s ras yla B matrisinin 1.s ü tun, 2.s ü tun ve di ğ er s ü tun elemanlar ile ayr ayr ç arp larak toplamlar n n elde edilmesi ile bulunur. Ö rne ğ in c 23 eleman elde etmek i ç in A matrisinin 2.sat r ile B matrisinin 3.s ü tun elemanlar ç arp m n n toplam elde edilir.72 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler c 23 = (2 ? 4) + (6 ? 3) + (0 ? 5) = 26 T ü m sat r s ü tun elemanlar ç arp m toplam ger ç ekle şti ğ inde AB ç arp m sonucu olarak elde edilir.73 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler 1.3.6. Matris Ç arp m n n Ö zellikleri A , B ve C matrislerinin boyutlar n n ç arpma i şlemlerinin ger ç ekle şece ğ i şekilde oldu ğ u varsay lmaktad r. a) A (BC) = (AB)C b) A (B + C) = AB + AC c) (A + B) C = AC + BC d) a (AB) = (aA)B = A(aB)74 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.15. matrisleri yard m yla yukar daki ö zelliklerin ger ç ekle şip ger ç ekle şmedi ğ ini kontrol ediniz. ? ??? ?? ? ??? ?? ? ??? ?? 231-340 A=,B=,C= 1425-1275 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler a) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 0 4 5 2 3 1 BC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 10 ( 4 ) 6 ( 1 ) 3 )( 4 ( ) 7 )( 1 ( ) 10 ( 3 ) 6 ( 2 ) 3 )( 3 ( ) 7 )( 2 ( 10 3 6 7 4 1 3 2 ) ( 10 3 6 7 ) 2 )( 5 ( ) 0 )( 2 ( ) 1 )( 5 ( ) 4 )( 2 ( ) 2 )( 3 ( ) 0 )( 1 ( ) 1 )( 3 ( ) 4 )( 1 ( BC A76 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler ? A ( BC ) = ( AB ) C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17 9 9 8 5 2 3 1 4 1 3 2 34 19 18 23 AB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 34 19 18 23 2 1 0 4 17 9 9 8 ) ( C AB77 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 1 3 5 2 1 0 4 5 2 3 1 C B AC AB C B A AC AB C B A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( 25 9 15 13 8 0 6 5 17 9 9 8 2 1 0 4 4 1 3 2 5 2 3 1 4 1 3 2 25 9 15 13 7 1 3 5 4 1 3 2 ) (78 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler AC AB C B A AC AB C B A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( 25 9 15 13 8 0 6 5 17 9 9 8 2 1 0 4 4 1 3 2 5 2 3 1 4 1 3 2 25 9 15 13 7 1 3 5 4 1 3 2 ) (79 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler c) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 3 0 3 5 2 3 1 4 1 3 2 B A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 3 6 7 2 1 0 4 5 2 3 1 8 0 6 5 2 1 0 4 4 1 3 2 18 3 0 12 2 1 0 4 9 3 0 3 ) ( BC AC C B A80 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 3 6 7 2 1 0 4 5 2 3 1 8 0 6 5 2 1 0 4 4 1 3 2 18 3 0 12 2 1 0 4 9 3 0 3 ) ( BC AC C B A BC AC C B A BC AC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( 18 3 0 12 10 3 6 7 8 0 6 581 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler d) a (AB) = (aA)B = A(aB) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17 9 9 8 5 2 3 1 4 1 3 2 AB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 34 18 18 16 17 9 9 8 2 ) ( 2 AB82 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2 34 18 18 16 10 4 6 2 4 1 3 2 ) 2 ( 10 4 6 2 5 2 3 1 2 2 34 18 18 16 5 2 3 1 8 2 6 4 5 2 3 1 4 1 3 2 2 ) 2 ( B A B A AB B A B B A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?83 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2 34 18 18 16 10 4 6 2 4 1 3 2 ) 2 ( 10 4 6 2 5 2 3 1 2 2 34 18 18 16 5 2 3 1 8 2 6 4 5 2 3 1 4 1 3 2 2 ) 2 ( B A B A AB B A B B A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?84 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler 1.3.7. Ö zel Matrisler S f r Matris: T ü m elemanlar s f r olan matristir. E ğ er ele al nan s f r matris m ? n boyutlu ise m 0 n şeklinde yaz lmal d r. Transpoze Matris: Bir matrisin transpozesini elde etmek i ç in matrisin sat r ve s ü tunlar yer de ğ i ştirir. E ğ er matrisimiz A ise transpozesi A T ’ dir. 85 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.16. matrisinin transpozesini elde ediniz.86 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.16. matrisinin transpozesini elde ediniz.87 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler G ö r ü ld ü ğ ü gibi A matrisinin 1.s ra elemanlar A T matrisinin 1.s ü tun elemanlar , A matrisinin 2.s ra elemanlar A T matrisinin 2.s ü tun elemanlar olarak yer de ğ i ştirmi ştir. Kare Matris: Sat rlar n n say s s ü tunlar n n say s na e şit olan matrise kare matris denir.88 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.17. matrisinin sat r ve s ü tun say lar m = n =3 oldu ğ undan bir kare matristir.89 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Asal K öş egen: kare matrisini g ö z ö n ü ne alal m. Burada a 11 , a 22 , a 33 ,..., a nn elemanlar na asal k öş egen elemanlar denir.90 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.18. kare matrisinde a 11 = 1, a 22 = 5 ve a 33 = 9 elemanlar asal k öş egen elemanlar d r.91 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler K öş egen Matris: Asal k öş egen d ş nda kalan elemanlar s f r olan kare matrise k öş egen matris denir. Ö rnek: 1.19. kare matrisinin asal k öş egen d ş nda kalan elemanlar s f r oldu ğ undan k öş egen matristir.92 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Skalar Matris: Asal k öş egen elemanlar birbirine e ş it olan k öş egen matrise skalar matris denir. Ö rnek: 1.20. k öş egen matrisinin asal k öş egen elemanlar a 11 = 3, a 22 = 3, a 33 = 3 ayn de ğ ere (3) e şit oldu ğ undan skalar matristir .93 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Birim Matris: K öş egen bir matriste asal k öş egen elemanlar 1’e e şitse bu matrise birim matris denir. E ğ er matris n ? n boyutlu ile bu I n ile g ö sterilir. Ö rnek: 1.21. matrisi bir birim matris olup I 3 olarak g ö sterilir.94 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Üç K öş egenli Matris: Bir kare matrisin asal k öş egeni ve ona biti şik k öş egenlerdeki elemanlar hari ç di ğ er elemanlar s f r ise bu matrise Üç K öş egenli Matris (tridiagonal) ad verilir. Bu k öş egenlerin baz elemanlar (t ü m ü de ğ il), s f r de ğ eri olabilir. Ö rnek: 1.22. matrisi üç k öş egenli bir matristir.95 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ü st Üç gen Matris: Bir kare matrisin asal k öş egeninin alt nda kalan t ü m elemanlar s f r ise bu matrise ü st üç gen matris denir. Ö rnek: 1.23. matrisi, asal k öş egenin alt nda kalan elemanlar s f r oldu ğ undan ü st üç gen matris ’tir.96 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Alt Üç gen Matris: Bir kare matrisin asal k öş egeninin ü st ü nde kalan t ü m elemanlar s f r ise bu matrise alt üç gen matris denir. Ö rnek: 1.24. matrisi,asal k öş egen ü st ü nde kalan elemanlar s f r oldu ğ undan alt üç gen matris ’tir.97 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Simetrik Matris: Bir kare matriste A T =A ise matris simetrik matris ’tir denir. Ö rnek: 1.25. matrisinin transpozesi al nd ğ nda elde edilir. A T =A oldu ğ undan A matrisi simetrik matris ’tir denir. Ö rneklerden de g ö r ü ld ü ğ ü gibi asal k öş egene g ö re simetrik elemanlar birbirine e ş ittir.98 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Ö rnek: 1.26. ise, elde edilir. AT ? A oldu ğ undan A matrisi simetrik de ğ ildir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 304 A=2-13 -156 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 3 4 5 1 0 1 2 3 T A99 B ö l ü m 1 - Lineer E ş itlikler Antisimetrik (skew-symmetric) Matris: Bir kare matriste A T =-A şart ger ç ekle şiyorsa, A matrisine antisimetrik matris denir. Ö rnek: 1.27. Matrisinin transpozesi Buradan A T = -A oldu ğ u g ö r ü l ü r. Dolay s yla A matrisi antisimetriktir denir. Antisimetrik bir matriste asal k öş egene g ö re simetrik elemanlar, birbirlerine mutlak de ğ erce e şit fakat ters i şaretlidirler.