Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler Lineer Cebir - bölüm 2 Lineer Cebir Prof.Dr. Ş aban EREN Ege Ü niversitesi M ü hendislik Fak ü ltesi Bilgisayar M ü hendisli ğ i B ö l ü m ü B ö l ü m 2 2.1. Lineer Denklem Sistemlerinin Matris Notasyonu G ö sterimi 2.2. Sat r E şde ğ er Matrisler 2.3. Gauss ve Gauss-Jordan Eliminasyon Y ö ntemleri 2.4. Ters Matris 2.5. Matris Tersi Y ö ntemi Kullanarak Lineer Denklem Sistemlerinin Çö z ü m ü2 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü 2.1. Lineer Denklem Sistemlerinin Matris Notasyonu G ö sterimi m e şitlik (denklem) ve n bilinmiyenden olu şan Lineer denklem sistemini g ö z ö n ü ne alal m. Daha ö nce de belirtildi ğ i gibi x 1 , x 2 , ..., x n bilinmeyenleri, a’lar ve b’ler ise sabitleri ifade etmektedir. B ö l ü m 23 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Lineer denklem sistemi matrisler ile katsay lar matrisi, bilinmeyenler S ü tun matrisi, sabitler S ü tun matrisi, olmak ü zere B ö l ü m 24 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü şeklinde ifade edilebilir. B ö l ü m 25 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü 2.1.1. Artt r lm ş (Augmented) Matris matrisine artt r lm ş matris denir. B ö l ü m 26 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.1. Lineer denklem sistemi verilmektedir. a) Sisteme ili şkin katsay lar matrisini elde ediniz. B ö l ü m 27 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü b) Artt r lm ş matrisi elde ediniz. c) Sistemi matris notasyonu yard m yla ifade ediniz. B ö l ü m 28 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.2. Lineer denklem sistemini matrisler yard m yla ifade ediniz. B ö l ü m 29 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Verilen Lineer denklem sistemi matris g ö sterimi yard m yla şeklinde ifade edilir. B ö l ü m 210 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.3. Lineer denklem sistemini matris notasyonu şeklinde ifade ediniz. B ö l ü m 211 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Verilen sistem matris g ö sterimi yard m yla şeklinde ifade edilir. Verilen lineer denklem sistemine ili şkin artt r lm ş matris olarak ifade edilebilir. B ö l ü m 212 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü 2.2. Sat r E ş de ğ er Matrisler 2.2.1. Elementer Sat r İ ş lemleri Tan m Bir A matrisindeki elementer sat r i şlemleri a şa ğ daki i şlemlerden biri olarak tan mlanmaktad r. A) A matrisinin herhangi bir sat r n n ( ö rne ğ in i’nci sat r ) s f rdan farkl bir sabit (k) ile ç arp m . Ri, i’inci sat r belirtiyorsa bu sat r n k sabiti ile ç arp m sonucu i’inci sat r Ri ? kRi şeklinde olacakt r. B) A matrisinin herhangi iki sat r n n, ö rne ğ in i’inci ve j’inci sat rlar n n yerlerinin de ğ i ştirilmesi. Bu durum Ri ? Rj şeklinde g ö sterilebilir. C) A matrisinin herhangi bir sat r n n s f rdan farkl bir k sabiti ile ç arp l p ( ö rne ğ in j’inci sat r n n Rj) i’inci sat r na (Ri) eklenmesi. Bu durum Ri ? Ri + k Rj şeklinde g ö sterilir. B ö l ü m 213 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.4. Elementer sat r i şlemleri yard m yla a şa ğ da verilen lineer denklem sistemini sat r e şde ğ er denklem sistemleri halinde ifade ediniz. B ö l ü m 214 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Lineer denklem sistemine ili şkin Artt r lm ş matris Lineer Denklem Sistemi B ö l ü m 215 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Burada A matrisinin 2.sat r 2 sabiti ile ç arp lmaktad r (R2 ? 2R2). Olu şan lineer denklem sistemi ile verilen lineer denklem sisteminin çö z ü m k ü meleri ayn d r. Benzer şekilde e ğ er ba şlang ç A matrisinin herhangi iki sat r ö rne ğ in 1.sat r ile 2.sat r yer de ğ i ştirecek olursa (R1 ? R2) yeni artt r lm ş matris ve lineer denklem sistemimiz şeklinde olur. B ö l ü m 216 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü E ğ er ba şlang ç A matrisimize 2.sat r – 3 ile ç arpar 3.sat ra eklersek (R3 ? R3 – 3R2) bu i şlemler sonucu verilen artt r lm ş matrisimiz ve lineer denklem sistemi olarak elde edilir. Matrislere ili şkin elementer sat r d ö n üşü mleri (i ş lemleri) yap ld ğ nda her defas nda A matrisinin ba ş ndan ba şlama zorunlulu ğ u yoktur. B ö l ü m 217 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.5. lineer denklem sisteminin elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla e şde ğ er sistemlerini olu ştural m. Verilen sisteme ili ş kin artt r lm ş matris ve denklem sistemini a şa ğ da belirtildi ğ i şekilde yazal m. B ö l ü m 218 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü B ö l ü m 219 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü B ö l ü m 220 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Yukar da ö nce R1 ? R1+ R3 daha sonra R3 ? - R3 elementer sat r i şlemleri bir ö nceki matris ü zerine ger ç ekle ştirilmi ştir. B ö l ü m 221 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü B ö l ü m 222 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü B ö l ü m 223 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnekten de g ö r ü ld ü ğ ü gibi her a şamada elde edilen matrisler (dolay s yla lineer denklem sistemi) birbirine sat r e şde ğ er olup sistemin ayn çö z ü m k ü mesine sahiptirler. Ö rne ğ in verilen B ö l ü m 224 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü sisteminin çö z ü m k ü mesi ile, son a şamada elde edilen, denklem sisteminin çö z ü m k ü mesi ayn olup B ö l ü m 225 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü 2.2.2. Bir matrisin sat r e ş de ğ er matris ş eklinde ifade edilmesi Bir matris e ğ er a şa ğ da belirtilen kurallar sa ğ lan rsa sat r e şde ğ er matris (Row echelon form) şeklindedir denir. a) Sadece s f rlardan olu şan sat rlar mevcutsa bunlar matrisin en alt ndad r. b) S f rlardan olu şan sat rlardan farkl sat rlarda ilk s f rdan farkl eleman de ğ eri 1’dir. c) Her bir sat rdaki ilk s f rdan farkl 1 de ğ eri, bir ö nceki sat rdaki s f rdan farkl ilk 1 eleman n n sa ğ nda yer al r. B ö l ü m 226 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.6. matrisinin sat r e şde ğ er matris şeklinde olup olmad ğ n ifade ediniz. G ö r ü ld ü ğ ü gibi 1.s ran n ilk s f rdan farkl eleman 1’dir. İ kinci sat r n ilk s f rdan farkl eleman 1 olup bu birinci sat rda yer alan 1 eleman n n sa ğ ndad r. Üçü nc ü sat r n ilk s f rdan farkl eleman 1 olup, bu ikinci s radaki 1’in sa ğ nda yer almaktad r. Bu şartlar verilen matrisin sat r e şde ğ er matris şeklinde oldu ğ unu g ö stermektedir. B ö l ü m 227 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.7. matrisinin sat r e şde ğ er matris şeklinde olup olmad ğ n ifade ediniz. 1.sat rdaki ilk s f rdan farkl eleman 1'dir. 2.sat rdaki ilk s f rdan farkl eleman 1 olup, bu de ğ er bir ö nceki sat rdaki 1 eleman n n sa ğ nda yer almaktad r. 3.sat r n t ü m elemanlar s f r olup matrisin en alt sat r n olu şturmaktad r. Dolay s yla verilen matris sat r e şde ğ er matris şeklinde ifade edilmi ştir. B ö l ü m 228 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.8. matrisinde 2. sat r elemanlar n n t ü m ü s f r oldu ğ undan ve bu sat r matrisin son sat r olarak yer almad ğ ndan verilen matris sat r e şde ğ er matris olarak ifade edilmemi ştir. Daha ö nce belirtilen üç kurala ek olarak e ğ er bir sat rdaki ilk s f rdan farkl eleman 1’in bulundu ğ u s ü tundaki di ğ er elemanlar s f r ise, verilen matris sat r indirgenmi ş e şde ğ er matris (row reduced echelon) şeklindedir denir. B ö l ü m 229 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.9. matrisinin sat r indirgenmi ş matris şeklinde olup olmad ğ n kontrol ediniz. B ö l ü m 230 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü 1.sat rdaki ilk s f rdan farkl eleman 1 ve bu eleman n bulundu ğ u 1.s ü tundaki di ğ er elemanlar s f rd r. 2.sat rdaki ilk s f rdan farkl eleman 1 ve bu eleman bir ö nceki sat rdaki 1'in sa ğ nda yer almakta ve s ü tunundaki di ğ er elemanlar s f rd r. 3.sat rdaki ilk s f rdan farkl eleman 1 ve bu 2.sat rdaki ilk s f rdan farkl eleman 1'in sa ğ nda yer almakta ve ilgili s ü tunun di ğ er elemanlar s f rd r. Bu durumda verilen matris sat r indirgenmi ş matris şeklindedir denir. B ö l ü m 231 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.10. matrisinde, 2.sat rdaki ilk s f rdan farkl eleman 1 fakat bu eleman n bulundu ğ u s ü tundaki di ğ er elemanlar s f r olmad ğ ndan (burada -2 bulunmaktad r) ilgili matris sat r indirgenmi ş matris şeklinde de ğ ildir denir. Elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla verilen bir matris sat r indirgenmi ş matris şekle d ö n üş t ü r ü lebilir. B ö l ü m 232 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.11. matrisini elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla sat r indirgenmi ş matris şekle d ö n üş t ü r ü n ü z. B ö l ü m 233 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü G ö r ü ld ü ğ ü gibi verilen matris sat r indirgenmi ş matris şekle d ö n üş t ü r ü lm üş t ü r. B ö l ü m 234 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü 2.3. Gauss ve Gauss-Jordan Eliminasyon Y ö ntemleri Lineer denklem sistemlerinin çö z ü m ü n ü elde etmede kullan lan bir ç ok y ö ntem vard r. İ zleyen k s mlarda bu y ö ntemlerden ikisi olan Gauss ve Gauss-Jordan y ö ntemleri tan t lacakt r. Burada n ? n boyutlu lineer denklem sistemleri ele al nacakt r. Daha sonraki b ö l ü mlerde m ? n boyutlu lineer denklem sistemlerinin çö z ü mlerinden bahsedilecektir. B ö l ü m 235 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü 2.3.1. Gauss Y ö ntemi şeklinde verilen bir lineer denklem sisteminin katsay lar matrisi A’n n B ö l ü m 236 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü ve artt r lm ş matrisin ’nin şeklinde tan mland ğ ö nceki b ö l ü mde ele al nm şt . B ö l ü m 237 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Elementer sat r d ö n üş ü mleri yard m yla artt r lm ş matris ’nin A katsay lar k sm asal k öş egen elemanlar 1 olan bir ü st üç gen matris haline d ö n üş t ü r ü l ü rse matrisi şeklini al r. Verilen katsay lar matrisinin elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla yukar da belirtilen e şde ğ er bir matrisine d ö n üş t ü r ü lerek lineer denklem sisteminin çö z ü m ü n ü n elde edilmesi i şlemi Gauss Eliminasyon Y ö ntemi olarak bilinmektedir. B ö l ü m 238 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.12. Gauss Eliminasyon y ö ntemini kullanarak lineer denklem sisteminin çö z ü m ü n ü elde ediniz. B ö l ü m 239 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Sisteme ili şkin artt r lm ş matrise elementer sat r d ö n üşü mleri uygulan rsa matrisinin A katsay lar k sm , B ö l ü m 240 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü B ö l ü m 2 asal k öş egen elemanlar 1 olan bir ü st üç gen matris haline d ö n üşü r.41 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü matrisinin sat r d ö n üşü mleri İ le elde edilen e şde ğ er matrisi g ö z ö n ü ne al n rsa, bu matris lineer denklem sistemi haline d ö n üş t ü r ü l ü r. B ö l ü m 242 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü x 3 de ğ eri, ikinci e şitlikte yerine konursa, elde edilir. ve de ğ erleri birinci e şitlikte yerine konursa, e şitli ğ inden, elde edilir. Dolay s yla verilen Lineer denklem sisteminin çö z ü m k ü mesi olarak bulunur. B ö l ü m 243 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.13. Gauss Eliminasyon y ö ntemi yard m yla lineer denklem sisteminin çö z ü m ü n ü elde ediniz. B ö l ü m 244 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Bir ö nceki ö rnekte oldu ğ u gibi artt r lm ş matris yaz l r ve elementer sat r d ö n üşü mleri uygulan rsa elde edilir. B ö l ü m 245 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Bu matristen lineer denklem sistemi elde edilir. x 3 = 0 ve x 2 = -3 de ğ erleri elde edildi ğ inden bu de ğ erler birinci sat rda yerine konursa, x 1 - 3 + 0 = 3 e şitli ğ inden x 1 = 6 elde edilir. Dolay s yla çö z ü m k ü memiz (6, -3, 0) şeklinde olur. B ö l ü m 246 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü 2.3.2. Gauss-Jordan Eliminasyon Y ö ntemi art r lm ş matrisinin, elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla, asal k öş egen elemanlar 1 olan matrise d ö n üş t ü r ü ld ü ğ ü n ü varsayal m. B ö l ü m 247 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Verilen katsay lar matrisinin elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla yukar da verilen e şde ğ er bir matrise d ö n üş t ü r ü lerek lineer denklem sisteminin çö z ü m ü n ü n elde edilmesi i şlemi Gauss-Jordan Eliminasyon Y ö ntemi olarak bilinmektedir. B ö l ü m 2 ? ? * * B A ?48 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.14. Gauss-Jordan eliminasyon y ö ntemi yard m yla lineer denklem sisteminin çö z ü m ü n ü elde ediniz. B ö l ü m 249 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Sisteme ili şkin artt r lm ş matris dir. Bu matrise elementer sat r d ö n üşü mleri uygulan rsa, B ö l ü m 250 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü elde edilir. B ö l ü m 251 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Elde edilen bu e şde ğ er matris yard m yla yaz labilir. Buradan , ve elde edilir. Dolay s yla çö z ü m k ü memiz (2, 2, 0)’d r. B ö l ü m 252 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü 2.4. Ters Matris 2.4.1. Matris tersinin tan m A ve B n ? n boyutlu matrisler olsun. A ve B matrisleri ba ğ nt s n sa ğ l yorsa B ’ ye A ’ n n tersi denir ve ile g ö sterilir. A da B ’ nin tersidir ve yaz l r. Her n ? n boyutlu bir kare matrisin tersinin mevcut olmas gerekmez. B ö l ü m 253 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.15. ve matrislerinin birbirinin tersi oldu ğ unu g ö steriniz. B ö l ü m 254 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü matrisi matrisinin tersidir. Bu durum şeklinde g ö sterilir. B ö l ü m 2 yani oldu ğ undan55 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Benzer şekilde matrisi matrisinin tersi olup şeklinde g ö sterilir. B ö l ü m 256 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Bir kare matrisin ö rne ğ in n ? n boyutlu A matrisinin tersi matrisini elde etmek i ç in matrisi elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla matrisi haline d ö n üş t ü r ü l ü r. Burada I, n x n boyutlu birim matris olup ’dir. B ö l ü m 257 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.16. matrisinin tersini y ö ntemini kullanarak elde ediniz. B ö l ü m 258 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü B ö l ü m 259 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü G ö r ü ld ü ğ ü gibi matrisi elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla matrisine d ö n üş t ü r ü lm üş t ü r. B ö l ü m 260 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Bu i şlemler sonucunda A matrisinin tersi olarak elde edilir. B ö l ü m 261 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.17. y ö ntemini kullanarak matrisinin tersini elde ediniz. B ö l ü m 262 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü B ö l ü m 263 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü B ö l ü m 264 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü İ şlemler sonucundan da g ö r ü ld ü ğ ü gibi elementer sat r d ö n üşü mleri sonucunda A matrisinin tersi A -1 olarak elde edilir. B ö l ü m 265 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü 2.4.2. Ters Matrislerin Ö zellikleri Ö zellik 1. Her ne kadar genelde matris ç arp m kom ü tatif de ğ ilse de (yani AB ? BA ), e ğ er ise, ’d r. Ö zellik 2. Bir matrisin tersi mevcut ise, bu bir tanedir. Ö zellik 3. A ve B ayn boyutlu tersi al nabilir matrislerse, ( AB )’nin tersi elde edilebilir ve ’dir. B ö l ü m 266 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.18. ise tersinin oldu ğ unu do ğ rulay n z. B ö l ü m 267 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü E ğ er , A matrisinin tersi ise kural ger ç ekle şmelidir. elde edilir. Dolay s yla verilen A matrisinin tersidir. B ö l ü m 268 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek: 2.19. oldu ğ unu do ğ rulay n z. B ö l ü m 269 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Bir ö nceki ö rnekte oldu ğ u gibi BB -1 = I oldu ğ unun do ğ rulanmas gerekmektedir. oldu ğ undan B -1 , B matrisinin tersidir. B ö l ü m 270 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Yukar daki ö rneklerde verilen A, A -1 , B, B -1 matrislerini kullanarak a) AB ç arp m n elde ediniz. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 7 5 6 1 15 5 6 2 2 3 2 4 1 3 1 2 1 1 2 1 2 3 2 1 1 171 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü b) B -1 A -1 ç arp m n elde ediniz. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 196 88 196 16 196 100 28 9 28 1 28 15 196 31 196 19 196 33 4 1 4 1 4 1 1 0 1 4 5 4 1 4 7 49 5 7 1 49 11 7 1 0 7 2 49 9 7 1 49 1072 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü c) [AB] -1 matrisini elde ediniz. AB ç arp m n n sonucu olarak elde edilmi şti. Bu ç arp m n tersini elde etmek i ç in y ö ntemi kullan l rsa B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 7 5 6 1 15 5 6 273 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü matrisine elementer d ö n üşü mler uygulan rsa sonu ç ta elde edilir. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 1 0 0 0 1 9 7 5 6 1 15 5 6 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 196 88 196 16 196 100 196 63 196 7 196 105 196 31 196 19 196 33 1 0 0 0 1 0 0 0 174 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Buradan olup, dolay s yla (AB) -1 = B -1 A -1 do ğ rulan r. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 196 88 196 16 196 100 196 63 196 7 196 105 196 31 196 19 196 33 ) ( 1 AB75 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö zellik 4. E ğ er A tersi al nabilir bir matris ise a şa ğ daki ö zellikler ge ç erlidir. i) A -1 tersi al nabilir bir matristir ve (A -1 ) -1 = A'd r. ii) A T tersi al nabilir bir matristir ve (A T ) -1 = (A -1 ) T 'dir. iii) A k tersi al nabilirdir (k = 1, 2, 3, ...) ve (A k ) -1 = (A -1 ) k 'dir. iv) S f rdan farkl bir skala i ç in sA tersi al nabilirdir ve 'dir. B ö l ü m 276 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek 2.20. matrisi verilmektedir. B ö l ü m 2 ?? ?? ?? ?? ?? 1-23 A=211 3-1277 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek 2.20. matrisi verilmektedir. i) A matrisinin tersini ( A -1 ) elde ediniz. B ö l ü m 2 ?? ?? ?? ?? ?? 1-23 A=211 3-12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 3 0 1 2 0 0 1 7 5 0 5 5 0 3 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 3 1 1 2 3 2 1 1 3 3 1 2 2 3 2 R R R R R R78 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü elde edilir. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 0 5 1 5 2 0 0 1 2 0 0 1 1 0 3 2 1 1 0 3 0 5 1 5 2 0 0 1 7 5 0 1 1 0 3 2 1 2 3 3 2 2 5 5 1 R R R R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 1 2 1 0 5 3 5 1 2 1 10 1 10 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 3 2 1 R R79 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Buradan oldu ğ u g ö r ü l ü r. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 1 2 1 0 5 3 5 1 2 1 10 1 10 3 1 A80 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü ii) Buradan do ğ rulan r. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 3 1 1 2 3 2 1 2 1 2 1 5 3 5 1 2 1 10 1 10 3 ) ( 1 1 1 2 1 0 A ? ? A A ? ? ? 1 181 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü iii) B ö l ü m 2 123123 213211 312312 T T A ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? ??? 1 1 311 123 1052 131 211 1052 11 0 312 22 T A ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ??82 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Buradan elde edilir. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 0 2 1 2 1 5 3 10 1 2 1 5 1 10 3 2 1 2 1 2 1 0 5 3 5 1 2 1 10 1 10 3 1 T T A ? ? ? ? 1 1 ? ? ? T T A A83 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü iv) A A B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 9 7 9 4 7 7 7 6 2 1 3 1 1 2 3 2 1 2 1 3 1 1 2 3 2 1 2 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 50 0 100 50 100 10 100 38 100 18 100 40 100 22 100 36 12 9 7 9 4 7 7 7 6 1 1 2 A84 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Bu sonu ç lar kar ş la şt r l rsa oldu ğ u g ö r ü l ü r. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 50 0 100 50 100 10 100 38 100 18 100 40 100 22 100 36 2 1 2 1 2 1 0 5 3 5 1 2 1 10 1 10 3 2 1 2 1 2 1 0 5 3 5 1 2 1 10 1 10 3 2 1 A ? ? ? ? 2 1 1 2 ? ? ? A A85 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü v) şeklinde yaz labilir. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 5 10 5 10 5 0 10 6 10 2 10 5 10 1 10 3 2 1 2 1 2 1 0 5 3 5 1 2 1 10 1 10 3 1 A86 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü elde edilir. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 5 10 5 10 5 0 10 6 10 2 10 5 10 1 10 3 10 10 10 1 1 1 A A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 5 5 0 6 2 5 1 387 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü 2.5. Matris Tersi Y ö ntemi Kullanarak Lineer Denklem Sistemlerinin Çö z ü m ü n e şitlik ve n bilinmeyenden olu şan lineer denklem sisteminin AX=B şeklinde g ö sterildi ğ ini varsayal m. E ğ er A matrisi tersi al nabilir bir matris ise dir. Bu bize çö z ü m k ü mesini verir. B'nin t ü m elemanlar n n şimdilik s f r olmad ğ varsay lmaktad r. B ö l ü m 288 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek 2.21. lineer denklem sisteminin çö z ü m ü n ü matris tersi y ö ntemini kullanarak elde ediniz. B ö l ü m 289 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek 2.21. lineer denklem sisteminin çö z ü m ü n ü matris tersi y ö ntemini kullanarak elde ediniz. Verilen sistem AX=B şeklinde yaz labilir. Burada, dir. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 30 6 , , 3 2 1 6 4 3 2 0 1 3 2 1 B x x x X A90 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü y ö ntemi yard m yla A matrisinin tersi elde edilebilir. B ö l ü m 2 ? ? ? ? 1 ? ? A I I A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 0 1 3 0 0 1 5 2 0 12 4 0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 6 4 3 2 0 1 1 3 3 1 2 2 3 R R R R R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 5 1 0 1 0 0 1 22 0 0 5 2 0 2 0 1 1 0 1 2 1 5 0 0 1 5 2 0 22 0 0 2 0 1 3 2 3 2 2 2 R R R R R91 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 2 22 1 22 5 44 12 44 5 44 3 22 4 22 2 22 12 1 0 0 0 1 0 0 0 1 22 2 22 1 22 5 2 1 0 2 1 0 0 1 1 0 0 2 5 1 0 2 0 1 3 2 2 3 1 1 3 3 2 2 2 5 2 22 2 1 R R R R R R R R R R92 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Buradan veya olarak elde edilir. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 2 22 1 22 5 44 12 44 5 44 3 22 4 22 2 22 12 1 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 44 4 44 2 44 10 44 12 44 5 44 3 44 8 44 4 44 2493 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü İ lgili de ğ erler X=A -1 B e şitli ğ inde yerine konursa elde edilir. Dolay s yla ve ’dir. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 30 6 44 4 44 2 44 10 44 12 44 5 44 3 44 8 44 4 44 24 3 2 1 x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 38 11 18 11 10 3 2 1 x x x 11 18 , 11 10 2 1 ? ? ? x x 11 38 3 ? x94 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Ö rnek 2.22. lineer denklem sisteminin çö z ü m ü n ü X=A -1 B e şitli ğ i yard m yla elde ediniz. B ö l ü m 295 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü Verilen sistemin çö z ü m ü ne ili şkin matris g ö sterimi ve şeklinde elde edildi ğ inden B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 0 1 3 5 2 3 2 1 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 5 3 5 13 9 16 40 1 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 1 , 17 3 5 x x x X B96 Lineer Sistemlerin Matris Kullan larak Çö z ü m ü X=A -1 B e şitli ğ i olup, buradan elde edilir. Dolay s yla verilen denklem sisteminin çö z ü m ü x 1 = 1, x 2 = – 1 ve x 3 = 2’dir. B ö l ü m 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17 3 5 1 2 5 3 5 13 9 16 40 3 2 1 x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 1 3 2 1 x x x