Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler Lineer Cebir - bölüm 3 Lineer Cebir Prof.Dr. Ş aban EREN Ege Ü niversitesi M ü hendislik Fak ü ltesi Bilgisayar M ü hendisli ğ i B ö l ü m ü B ö l ü m 3 3.1. Determinant n tan m 3.2. Determinantlar n elde edilmesi 3.3. Determinantlar n ö zellikleri 3.4. Elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla Determinant de ğ erinin elde edilmesi 3.5. Determinantlar n Kofakt ö r a ç l m ile elde edilmesi2 B ö l ü m 3 Determinantlar 3.1.Determinant n tan m A=[a ij ] şeklindeki bir n ? n boyutlu kare matrisin determinant bir say olup det (A) veya I A I ile g ö sterilir ve olarak ifade edilir. Toplamdaki i şaret ji’lerin perm ü tasyonu ç ift (0, 2, 4, ...) ise (+) tek (1, 3, 5,...) ise (-) olarak verilir. A 1 ? 1 boyutlu bir matris ise, det (A) = I a 11 I= a 11 ’ dir.3 B ö l ü m 3 Determinantlar 3.2. Determinantlar n elde edilmesi 3.2.1. İ kinci dereceden determinantlar Yukar da verilen tan m kullanarak matrisinin determinant şeklinde elde edilir.4 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.1. A = [3] matrisinin determinant de ğ erini elde ediniz. Tan mdan det (A) = 3 olarak elde edilir. Ö rnek: 3.2. matrisinin determinant n hesaplay n z.5 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.3. matrisinin determinant n elde ediniz.6 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.3. matrisinin determinant n elde ediniz.7 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.4. matrisinin determinant n de ğ erini elde ediniz. 8 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.4. matrisinin determinant n de ğ erini elde ediniz. 9 B ö l ü m 3 Determinantlar 3.2.2. Üçü nc ü dereceden determinantlar 3 ? 3 boyutlu matrisinin determinant şeklinde yaz l r ve SARRUS ya da k öş egen a ç l m kural olarak bilinen bir kuralla elde edilir.10 B ö l ü m 3 Determinantlar Bu kurala g ö re determinant elde etmek i ç in verilen matrisin elemanlar şeklinde yaz ld ktan sonra bu matrisin ilk iki s ü tunu bu matrise eklenir ve ek matrisi elde edilir.11 B ö l ü m 3 Determinantlar Elde edilen bu matrisin k öş egen elemanlar (a şa ğ da belirtilen oklar n n y ö n ü nde) ç arp l p toplan r. 12 B ö l ü m 3 Determinantlar Bu toplamdan ek matrisin a şa ğ da belirtilen oklar n y ö n ü ndeki ç arp mlar n toplam ç kar l r. 13 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.5. matrisinin determinant de ğ erini elde ediniz. = [(3)(4)(-9)+(4)(-3)(1)+(-6)(4)(8)]-[(1)(4)(-6)+8(-3)(3)+(-9)(4)(4)] = [-108 -12 -192 ]-[ -24 -72 -144 ] = (-312) - (240) = -312 + 240 = -7214 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.6. matrisinin determinant de ğ erini elde ediniz. = [(2)(2)(2)+3(-3)(3) + (1)(1)(1)]-[(3)(2)(1) + (1)(-3)(2) + (2)(1)(3)] = [8 - 27 + 1] - [6 -6 + 6] = -18 - 6 = -2415 B ö l ü m 3 Determinantlar 3.3. Determinantlar n ö zellikleri Ö zellik 1. Bir determinantta bir sat r (ya da s ü tun) elemanlar n n t ü m ü s f r ise determinant de ğ eri s f rd r.16 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.7. matrislerinin determinant de ğ erlerini elde ediniz. 17 B ö l ü m 3 Determinantlar G ö r ü ld ü ğ ü gibi ikinci sat r elemanlar n n t ü m ü s f rd r. Dolay s yla herhangi bir hesaplama yapmadan determinant de ğ eri s f r olarak yaz labilir. 18 B ö l ü m 3 Determinantlar Benzer şekilde ikinci s ü tun elemanlar n n t ü m ü s f r oldu ğ undan herhangi bir hesaplama yapmadan determinant de ğ eri s f r olarak yaz labilir.19 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.8. determinant n n de ğ erini elde ediniz. =[(1)(5)(0)+(2)(6)(0)+3(4)(0)]-[(0)(5)(3)+(0)(6)(1)+(0)(4)(2)} =0 G ö r ü ld ü ğ ü gibi üçü nc ü sat r elemanlar n n t ü m ü s f r oldu ğ undan determinant de ğ eri s f rd r.20 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö zellik 2. Bir determinantta e ğ er iki sat r (ya da s ü tun)' n elemanlar ayn de ğ ere sahipse determinant de ğ eri s f rd r.21 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.9. matrisinin determinant de ğ erini elde ediniz. İ lgili determinant n 1. ve 2.sat r elemanlar ayn de ğ erlere sahip oldu ğ undan determinant de ğ eri s f rd r.22 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.10. matrisine ili şkin determinant n de ğ erini elde ediniz. =[(3)(4)(1)+(5)(2)(1)+(3)(2)(-3)]-[(1)(4)(3)+(-3)(2)(3)+(1)(2)(5)] = (4) - (4) = 0 1. ve 3.s ü tun de ğ erleri ayn oldu ğ undan determinant de ğ eri s f rd r.23 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö zellik 3. Determinant n bir sat r n n (ya da s ü tununun) t ü m elemanlar n n bir k sabiti ile ç arp m sonucu elde edilen determinant de ğ eri, determinant de ğ erinin k sabiti ile ç arp m na e şde ğ erdir.24 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.11. olarak verilmektedir. det (B)'yi hesaplamadan ilgili ö zelli ğ i kullanarak elde ediniz. B matrisinin 1.sat r A matrisinin 1.sat r n n 2 kat d r. Dolay s yla det (B) = k det (A) ö zelli ğ inden, elde edilir.25 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö zellik 4. Bir determinantta bir sat r n (veya s ü tunun) bir sabitle ç arp l p di ğ er bir sat ra (veya s ü tuna) eklenmesi, determinant de ğ erini de ğ i ştirmez.26 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.12. determinant nda R 1 ? R 1 + 2R 2 i şlemi ger ç ekle şirse yani ikinci sat r n 2 kat n 1.sat ra eklersek elde edilen determinant n n de ğ eri, 27 B ö l ü m 3 Determinantlar =[(1)(-1)(1)+(2)(3)(1)+(3)(2)(0)]-[(1)(-1)(3)+(0)(3)(1)+(1)(2)(2)]= 4 ve =[(5)(-1)(1)+(0)(3)(1)+(9)(2)(0)]-[(1)(-1)(9)+(0)(3)(5)+(1)(2)(0)]= 4 olarak elde edilir.28 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö zellik 5. Bir determinantta iki sat r (ya da iki s ü tun) birbiriyle yer de ğ i ştirirse determinant n sadece i şareti de ğ i şir.29 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.13. verilmektedir. Burada det(B), det (A)'n n sat rlar n n yer de ğ i ştirmesi ile elde edilmi ştir. G ö r ü ld ü ğ ü gibi iki sat r n yer de ğ i ştirmesi determinant n de ğ erini de ğ i ştirmemi ş, sadece i şareti de ğ i şmi ştir.30 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö zellik 6. Bir determinant n t ü m sat r ve s ü tunlar yer de ğ i ştirirse determinant n de ğ eri de ğ i şmez. Di ğ er bir ifadeyle ‘d r.31 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.14. verilmektedir. 32 B ö l ü m 3 Determinantlar =[(1)(-1)(2)+(-2)(4)(-2)+(-1)(3)(-3)]-[(-2)(-1)(-1)+(-3)(4)(-1)+(2)(3)(-2)] = (23) - (-26) = 49 =[(1)(-1)(2)+(3)(-3)(-1)+(-2)(-2)(4)]-[(-1)(-1)(-2)+(4)(-3)(1)+(2)(-2)(3)] = (23) - (-26) = 49 Dolay s yla 'd r.33 B ö l ü m 3 Determinantlar 3.4. Elementer sat r d ö n üş ü mleri yard m yla Determinant de ğ erinin elde edilmesi n ? n boyutlu bir kare matriste a 11 a 22 ... a nn elemanlar n n bulundu ğ u k öş egenin asal k öş egen olarak tan mland ğ ndan daha ö nce bahsedilmi şti. Bu asal k öş egenin alt ndaki t ü m elemanlar n de ğ erleri s f r ise matrisimiz ü st k öş egen matris (ya da echelon form) veya ü st üç gen matris, asal k öş egenin ü st ü ndeki t ü m elemanlar n de ğ erleri s f r ise matrisimiz alt k öş egen matris veya alt üç gen matris olarak tan mlanm ş t . Ö rnek: 3.15. matrisinde asal k öş egen alt nda kalan t ü m elemanlar s f r oldu ğ undan A matrisi ü st üç gen matristir. Ö rnek: 3.16. matrisinde asal k öş egen ü st ü nde kalan t ü m elemanlar s f r oldu ğ undan A matrisi alt üç gen matristir. Ö rnek: 3.17. matrisi hem ü st üç gen ve hem de alt üç gen matristir. Genel tan m asal k öş egen matristir. Matrislere ili şkin determinantlar n de ğ erinin daha kolay elde edilebilmesi i ç in, matrislerin ü st üç gen, alt üç gen hale d ö n üş t ü r ü lmesi kolayl k sa ğ lamaktad r. Ö zellik 1. Bir ü st üç gen matrisin determinant , asal k öş egen elemanlar n ç arp m na e şittir. Dolay s yla n ´ n boyutlu bir ü st üç gen matriste dir. Ö rnek: 3.18. matrisinin determinant de ğ erini elde ediniz. = [(5)(1)(6) + (3)(4)(0) + (2)(0)(0)] - [(0)(1)(2) + (0)(4)(5) + (6)(0)(3)] = (30) - (0) = 30 Yukar daki ö zellik kullan l rsa asal k öş egen elemanlar 5, 1, 6 oldu ğ undan det (A) = (5) (1) (6) = 30 dur. Ö rnek: 3.19. matrisine ili şkin determinant de ğ eri ilgili ö zelli ğ i kullanarak ve asal k öş egen elemanlar 1, -3 ve 5 oldu ğ undan det (A) = (1) (-3) (5) = -15 tir. Ö rnek: 3.20. Elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla determinant n ü st üç gen şekline d ö n üş t ü r ü p determinant de ğ erini elde ediniz. A şa ğ daki sat r d ö n üşü mleri uygulan rsa determinant ü st üç gen haline d ö n üşü r. Dolay s yla, det (A) = (1) (-3) (17) = -51 olarak elde edilir. 3.5. Determinantlar n E şç arpan (Kofakt ö r) a ç l m ile elde edilmesi 3.5.1. Minor tan m A=[aij], n ´ n boyutlu bir kare matris olsun. E ğ er i'inci s ra ve j'inci s ü tun silinecek olunursa geriye kalan (n- 1) ´ (n-1) boyutlu matrisin determinant na aij eleman n n Minor' ü denir. Ö rnek: 3.21. matrisini g ö z ö n ü ne alal m. E ğ er 2.s ra ve 3.s ü tun silinecek olunursa E ğ er 3.sat r ve 1.s ü tun silinecek olunursa Minor de ğ erleri elde edilir. 3.5.2. Kofakt ö r (Cofactor) veya E şç arpan tan m E ğ er Mij bir A kare matrisindeki aij eleman n n Minor ü ise, aij'nin kofakt ö r ü dir. Burada i ilgili eleman n sat r numaras n , j de s ü tun numaras n belirtmektedir. Ö rnek: 3.22. Bir ö nceki ö rnekteki matrisi kullanarak C23 ve C31 kofakt ö rlerini elde ediniz. olarak elde edilir. 3.5.3. Kofakt ö r a ç l m Determinant, herhangi bir sat rdaki (ya da s ü tundaki) elemanlar n, kendi e şç arpanlar yla (kofakt ö rleriyle) ç arp mlar n n toplam na e şittir. Bu teknik kofakt ö r a ç l m olarak bilinmektedir. Ö rnek: 3.23. Birinci s ra elemanlar ve bunlara ili şkin kofakt ö rleri kullanarak matrisinin determinant de ğ erini elde ediniz. Kofakt ö r a ç l m kullan l rsa olarak elde edilir. Ö rnek: 3.24. de ğ erini kofakt ö r a ç l m tekni ğ i ile elde ediniz. Bir ö nceki ö rnekte oldu ğ u gibi e ğ er determinant de ğ erini birinci s ra elemanlar na ili şkin kofakt ö rleri kullanarak elde etmek istiyorsak, ilgili elemanlara ili şkin kofakt ö r de ğ erlerinin elde edilmesi gerekmektedir. Bu kofakt ö r de ğ erleri e şitli ğ inde yerine konursa det (A) = 1(10) + (-2) (-14) + (-1)(-11) = 49 elde edilir. Kofakt ö r a ç l m tekni ğ iyle determinant de ğ erinin daha kolay bir şekilde elde edilmesini sa ğ lamak i ç in sat r d ö n üşü mleri yard m yla ilgili determinant fazla say da s f rlar i ç eren bir şekle d ö n üş t ü r ü l ü r. B ö ylece ç arp mlar n sonucu s f r olaca ğ ndan, s f r olan elemanlara ili şkin kofakt ö rlerin elde edilmesine gerek kalmayacak dolay s yla i şlemler kolayla şacakt r. Ö rne ğ in determinant n g ö z ö n ü ne alal m. E ğ er 1.s ra elemanlar na ili şkin kofakt ö rleri kullanarak determinant hesaplamak istersek, E ğ er 2. s ü tun elemanlar n n kofakt ö rlerini kullanarak determinant hesaplamak istersek, elde edilir. Her iki durumda da ilgili sat r ve s ü tunlarda fazla say da s f r bulundu ğ undan i şlemlerimiz kolayla şm şt r. Elementer sat r d ö n üşü mleri yap ld ğ gibi elementer s ü tun d ö n üşü mleri de yap labilir. Bu şekilde verilen determinantlar determinant ö zelliklerinin uygulanabilece ğ i determinantlar haline d ö n üş t ü r ü lebilir. Ö rnek: 3.25. Determinantlar n ö zelliklerini kullanarak de ğ erini hesaplay n z. Birinci sat r elemanlar nda 8 ortak ç arpand r. Determinant ö zelliklerinden yararlanarak bu ç arpan (8) determinant d ş na ç kar labilir. Bu durumda, şekline d ö n üşü r. Benzer şekilde ikinci sat r elemanlar n n ortak ç arpan 7 olup bu ç arpan da determinant d ş na ç kar labilir. Bu durumda, elde edilir. Üçü nc ü sat r n ortak ç arpan 9 oldu ğ undan bu ç arpan da determinant d ş na ç kar l r. B ö ylece, elde edilir. sat r d ö n üşü m ü uygulan rsa sat r d ö n üşü m ü uygulan rsa ve s ü tun d ö n üşü m ü uygulan rsa s ü tun d ö n üşü m ü uygulan rsa sat r d ö n üşü m ü uygulan rsa elde edilir. İ kinci s ü tuna Kofakt ö r a ç l m uygulan rsa determinant de ğ eri olarak elde edilir. Ö rnek: 3.26. Elementer sat r veya s ü tun d ö n üşü mleri ve determinant ö zelliklerinden yararlanarak determinant n n de ğ erini elde ediniz. s ü tun d ö n üşü m ü uygulan rsa ilgili determinant şekline d ö n üşü r. Determinant incelendi ğ inde üçü nc ü s ü tunun elemanlar n n bir tanesi hari ç s f r oldu ğ u g ö r ü l ü r. Bu durumda üçü nc ü s ü tun elemanlar kullan larak kofakt ö r a ç l m tekni ğ i uygulan rsa elde edilir. Ö rnek: 3.27. Elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla ve determinant ö zelliklerinden yararlanarak, determinant n n de ğ erini elde ediniz. Üçü nc ü sat r elemanlar nda ortak ç arpan 2'dir. Bu ç arpan determinant d ş na ç kar labilir. İ kinci sat rda ortak ç arpan 4't ü r. Bu ç arpan determinant d ş na ç kar labilir. Üçü nc ü sat rda ortak ç arpan 5'tir. Bu ç arpan determinant d ş na ç kar labilir. Determinant bir ü st üç gen matris haline d ö n üş t ü ğ ü nden asal k öş egen elemanlar n ç arp m de ğ erini verecektir. Dolay s yla ele ald ğ m z determinant n de ğ eri olarak bulunur.34 B ö l ü m 3 Determinantlar Bu asal k öş egenin alt ndaki t ü m elemanlar n de ğ erleri s f r ise matrisimiz ü st k öş egen matris (ya da echelon form) veya ü st üç gen matris, 35 B ö l ü m 3 Determinantlar asal k öş egenin ü st ü ndeki t ü m elemanlar n de ğ erleri s f r ise matrisimiz alt k öş egen matris veya alt üç gen matris olarak tan mlanm ş t .36 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.15. matrisinde asal k öş egen alt nda kalan t ü m elemanlar s f r oldu ğ undan A matrisi ü st üç gen matristir.37 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.16. matrisinde asal k öş egen ü st ü nde kalan t ü m elemanlar s f r oldu ğ undan A matrisi alt üç gen matristir.38 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.17. matrisi hem ü st üç gen ve hem de alt üç gen matristir. Genel tan m asal k öş egen matristir. Matrislere ili şkin determinantlar n de ğ erinin daha kolay elde edilebilmesi i ç in, matrislerin ü st üç gen, alt üç gen hale d ö n üş t ü r ü lmesi kolayl k sa ğ lamaktad r.39 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö zellik 1. Bir ü st üç gen matrisin determinant , asal k öş egen elemanlar n ç arp m na e şittir. Dolay s yla n ? n boyutlu bir ü st üç gen matriste ‘ dir.40 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.18. matrisinin determinant de ğ erini elde ediniz. 41 B ö l ü m 3 Determinantlar =[(5)(1)(6)+(3)(4)(0)+(2)(0)(0)]-[(0)(1)(2)+(0)(4)(5)+(6)(0)(3)] = (30) - (0) = 30 Ö zellik-1 kullan l rsa asal k öş egen elemanlar 5, 1, 6 oldu ğ undan det (A) = (5) (1) (6) = 30 ‘dur.42 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.19. matrisine ili şkin determinant de ğ eri ilgili ö zelli ğ i kullanarak ve asal k öş egen elemanlar 1, -3 ve 5 oldu ğ undan det (A) = (1) (-3) (5) = -15 ‘tir.43 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.20. Elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla determinant n ü st üç gen şekline d ö n üş t ü r ü p determinant de ğ erini elde ediniz.44 B ö l ü m 3 Determinantlar A şa ğ daki sat r d ö n üşü mleri uygulan rsa determinant ü st üç gen haline d ö n üşü r. 11 3 0 5 6 0 3 1 1 2 0 3 1 4 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? R R R R R R 17 0 0 11 3 0 3 1 1 5 6 0 11 3 0 3 1 1 ) ( 2 3 3 3 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? R R R R R45 B ö l ü m 3 Determinantlar Dolay s yla, ya da det (A) = (-1) (-3) (17) = 51 olarak elde edilir. 51 ) 51 )( 1 ( )] 17 )( 3 )( 1 )[( 1 ( 17 0 0 11 3 0 3 1 1 ) 1 ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?46 B ö l ü m 3 Determinantlar 3.5.Determinantlar n E ş ç arpan (Kofakt ö r) a ç l m ile elde edilmesi 3.5.1. Minor tan m A=[a ij ], n ? n boyutlu bir kare matris olsun. E ğ er i'inci s ra ve j'inci s ü tun silinecek olunursa geriye kalan (n-1) ? (n-1) boyutlu matrisin determinant na a ij eleman n n Minor ' ü denir.47 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.21. matrisini g ö z ö n ü ne alal m. E ğ er 2.s ra ve 3.s ü tun silinecek olunursa E ğ er 3.sat r ve 1.s ü tun silinecek olunursa Minor de ğ erleri elde edilir.48 B ö l ü m 3 Determinantlar 3.5.2. Kofakt ö r (Cofactor) veya E şç arpan tan m E ğ er M ij bir A kare matrisindeki a ij eleman n n Minor ü ise, a ij 'nin kofakt ö r ü dir. Burada i ilgili eleman n sat r numaras n , j de s ü tun numaras n belirtmektedir.49 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.22. Bir ö nceki ö rnekteki matrisi kullanarak C 23 ve C 31 kofakt ö rlerini elde ediniz. olarak elde edilir.50 B ö l ü m 3 Determinantlar 3.5.3. Kofakt ö r a ç l m Determinant, herhangi bir sat rdaki (ya da s ü tundaki) elemanlar n, kendi e şç arpanlar yla (kofakt ö rleriyle) ç arp mlar n n toplam na e şittir. Bu teknik kofakt ö r a ç l m olarak bilinmektedir.51 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.23. Birinci s ra elemanlar ve bunlara ili şkin kofakt ö rleri kullanarak matrisinin determinant de ğ erini elde ediniz.52 B ö l ü m 3 Determinantlar Kofakt ö r a ç l m kullan l rsa olarak elde edilir.53 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.24. de ğ erini kofakt ö r a ç l m tekni ğ i ile elde ediniz. Bir ö nceki ö rnekte oldu ğ u gibi e ğ er determinant de ğ erini birinci s ra elemanlar na ili şkin kofakt ö rleri kullanarak elde etmek istiyorsak, ilgili elemanlara ili şkin kofakt ö r de ğ erlerinin elde edilmesi gerekmektedir. 54 B ö l ü m 3 Determinantlar 55 B ö l ü m 3 Determinantlar Bu kofakt ö r de ğ erleri e şitli ğ inde yerine konursa det (A) = 1(10) + (-2) (-14) + (-1)(-11) = 49 elde edilir.56 B ö l ü m 3 Determinantlar Kofakt ö r a ç l m tekni ğ iyle determinant de ğ erinin daha kolay bir şekilde elde edilmesini sa ğ lamak i ç in sat r d ö n üşü mleri yard m yla ilgili determinant fazla say da s f rlar i ç eren bir şekle d ö n üş t ü r ü l ü r. B ö ylece ç arp mlar n sonucu s f r olaca ğ ndan, s f r olan elemanlara ili şkin kofakt ö rlerin elde edilmesine gerek kalmayacak dolay s yla i şlemler kolayla şacakt r.57 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rne ğ in determinant n g ö z ö n ü ne alal m.58 B ö l ü m 3 Determinantlar E ğ er 1.s ra elemanlar na ili şkin kofakt ö rleri kullanarak determinant hesaplamak istersek, 59 B ö l ü m 3 Determinantlar E ğ er 2. s ü tun elemanlar n n kofakt ö rlerini kullanarak determinant hesaplamak istersek, elde edilir.60 B ö l ü m 3 Determinantlar Her iki durumda da ilgili sat r ve s ü tunlarda fazla say da s f r bulundu ğ undan i şlemlerimiz kolayla şm şt r. Elementer sat r d ö n üşü mleri yap ld ğ gibi elementer s ü tun d ö n üşü mleri de yap labilir. Bu şekilde verilen determinantlar determinant ö zelliklerinin uygulanabilece ğ i determinantlar haline d ö n üş t ü r ü lebilir.61 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.25. Determinantlar n ö zelliklerini kullanarak de ğ erini hesaplay n z.62 B ö l ü m 3 Determinantlar Birinci sat r elemanlar nda 8 ortak ç arpand r. Determinant ö zelliklerinden yararlanarak bu ç arpan (8) determinant d ş na ç kar labilir. Bu durumda, şekline d ö n üşü r.63 B ö l ü m 3 Determinantlar Benzer şekilde ikinci sat r elemanlar n n ortak ç arpan 7 olup bu ç arpan da determinant d ş na ç kar labilir. Bu durumda, elde edilir.64 B ö l ü m 3 Determinantlar Üçü nc ü sat r n ortak ç arpan 9 oldu ğ undan bu ç arpan da determinant d ş na ç kar l r. B ö ylece, elde edilir. 65 B ö l ü m 3 Determinantlar sat r d ö n üşü m ü uygulan rsa sat r d ö n üşü m ü uygulan rsa 66 B ö l ü m 3 Determinantlar ve s ü tun d ö n üşü m ü uygulan rsa s ü tun d ö n üşü m ü uygulan rsa 67 B ö l ü m 3 Determinantlar sat r d ö n üşü m ü uygulan rsa elde edilir.68 B ö l ü m 3 Determinantlar İ kinci s ü tuna Kofakt ö r a ç l m uygulan rsa determinant de ğ eri olarak elde edilir.69 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.26. Elementer sat r veya s ü tun d ö n üşü mleri ve determinant ö zelliklerinden yararlanarak determinant n n de ğ erini elde ediniz. 70 B ö l ü m 3 Determinantlar s ü tun d ö n üşü m ü uygulan rsa ilgili determinant şekline d ö n üşü r. Determinant incelendi ğ inde üçü nc ü s ü tunun elemanlar n n bir tanesi hari ç s f r oldu ğ u g ö r ü l ü r. 71 B ö l ü m 3 Determinantlar Bu durumda üçü nc ü s ü tun elemanlar kullan larak kofakt ö r a ç l m tekni ğ i uygulan rsa elde edilir.72 B ö l ü m 3 Determinantlar Ö rnek: 3.27. Elementer sat r d ö n üşü mleri yard m yla ve determinant ö zelliklerinden yararlanarak, determinant n n de ğ erini elde ediniz.73 B ö l ü m 3 Determinantlar Üçü nc ü sat r elemanlar nda ortak ç arpan 2'dir. Bu ç arpan determinant d ş na ç kar labilir. 3 2 1 5 2 3 2 3 4 2 2 6 4 2 5 2 3 2 3 4 3 3 ? ? ? ? R R 2 3 4 5 2 3 3 2 1 2 3 1 ? ? ? ? R R74 B ö l ü m 3 Determinantlar 75 B ö l ü m 3 Determinantlar İ kinci sat rda ortak ç arpan 4't ü r. Bu ç arpan determinant d ş na ç kar labilir. 76 B ö l ü m 3 Determinantlar Üçü nc ü sat rda ortak ç arpan 5'tir. Bu ç arpan determinant d ş na ç kar labilir. 77 B ö l ü m 3 Determinantlar Determinant bir ü st üç gen matris haline d ö n üş t ü ğ ü nden asal k öş egen elemanlar n ç arp m de ğ erini verecektir. Dolay s yla ele ald ğ m z determinant n de ğ eri olarak bulunur.