Genel Matematik Lineer Denklem Takımlarının Çözüm Yöntemleri BÖLÜM 1 L İNEER DENKLEM TAKIMLARININ ÇÖZÜM YÖNTEMLER İ 1.1- Giri ş 1.2 Matrisler 1.3 Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri 1.3.1 Gauss eliminasyon yöntemi 1.3.2 Gauss-Jordan Yöntemi 1.3.3 Thomas yöntemi 1.3.4 LU Ayrı ştırma yöntemleri 1.3.5 Jacobi basit iterasyon yöntemi 1.3.6 Gauss-Sidel iterasyon yöntemi 1.3.7 SOR yöntemi 1.4 Matris tersinin sayısal hesabı Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 1 1.1 Giri ş Mühendislik problemlerinin sayısal yöntemlerinin çözümünde ço ğu zaman problem bir lineer denklem takımının çözümü problemine indirgenir ve bu denklem takımının uygun ve hızlı bir yöntemle çözümü söz konusu olur. Lineer denklem takımları bu amaçla matris formda yazılarak çözülmeye çalı şılır. Bu bölümde önce matrislerle ilgili bazı hatırlatmalar yapılarak matrislerin tiplerinden ve matris i şlemlerinden kısaca bahsedilecektir. Daha sonra lineer denklem takımlarının çözümünde kullanılan sayısal yöntemlere yer verilecektir. Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 2 1.2 Matrisler 1.2.1 Matris tipleri (M ×N) boyutlarındaki dikdörtgensel matris [][] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = MN Mj M M M iN ij i i i N j N j N j ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A A 3 2 1 3 2 1 3 3 33 32 31 2 2 23 22 21 1 1 13 12 11 Kare matris (M=N) olan matris ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? NN Nj N N N iN ij i i i N j N j N j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 2 1 3 3 33 32 31 2 2 23 22 21 1 1 13 12 11 Kö şegen (Diyagonal) matris Kö şegen dı şında bütün elemanları sıfır olan kare matris [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = N i 3 2 1 ij i N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D ? ? ? ? ? ? ? NOT: ? ? ? ? = = ise j i ise j i ij 0 1 ? Kronecker deltası Birim matris Bütün kö şegen elemanları 1 olan kö şegen matris [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ij N I Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 3 Skalar matris Bütün kö şegen elemanları bir skaler büyüklü ğe e şit olan kö şegen matris [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = b b b b b b ij 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ? Sıfır matrisi Bütün elemanları sıfıra e şit olan matris ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O Bol Sıfırlı matris Ço ğu elemanı sıfıra e şit olan matris Simetrik matris Kö şegene göre simetrik konumlu elemanları aynı olan kare matris ji ij a a = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? NN N N N N N N a a a a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 33 23 13 2 23 22 12 1 13 12 11 Çarpık simetrik matris Kö şegene göre simetrik konumlu elemanları zıt i şaretle aynı olan kare matris ji ij a a - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - NN N N N N N N a a a a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 33 23 13 2 23 22 12 1 13 12 11 Üst-üçgensel matris Kö şegen altındaki bütün elemanları sıfır olan kare matris ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = NN iN jj N j N j N j a a a a a a a a a a a a a a a U 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 33 2 2 23 22 1 1 13 12 11 Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 4 Alt-üçgensel matris Kö şegen üstündeki bütün elemanları sıfır olan kare matris ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = NN Ni 3 N 2 N 1 N ii 3 i 2 i 1 i 33 32 31 22 21 11 a a a a a 0 a a a a 0 0 a a a 0 0 0 a a 0 0 0 0 a L Satır matrisi veya Satır vektörü Tek satırdan ibaret olan matris (1 ×N) [ ] N 2 1 a a a Sütun matrisi veya Sütun vektörü Tek süturdan ibaret olan matris (N ×1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? N 2 1 a a a Birim vektörü ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , , Bant matrisi Kö şegen civarındaki bir bant dı şında kalan bütün elemanları sıfır olan kare matris ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 77 76 75 67 66 65 64 57 56 55 54 53 46 45 44 43 42 35 34 33 32 31 24 23 22 21 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Üç-diyagonalli matris Kö şegeniyle altındaki ve üstündeki kom şu elemanları dı şında kalan bütün elemanları sıfır olan bant matris ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 77 76 67 66 65 56 55 54 45 44 43 34 33 32 23 22 21 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 5 1.2.2 Matris i şlemleri - Ancak aynı boyutlardaki iki matris toplanabilir ve çıkartılabilir. Toplama ve çıkartmada matrislerin sırasının bir önemi yoktur. - Aynı boyutlardaki iki matris ancak kar şılıklı elemanları aynı ise birbirine e şittir. Matrislerin çarpması - İki matrisin çarpma i şleminde matrislerin sırası ve boyutları önemlidir. Çarpma yapılabilmesi için birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına e şit olması gereklidir. A (n ×m) ve B (m ×r) ise A.B çarpımı mümkündür. [ a ij ].[b ij ]=[c ij ] ? = = N 1 k kj ik ij b a c Matrislerin çarpmadaki sırası de ği şti ğinde genel olarak çarpım sonucu aynı olmaz A.B ?B.A - Bir matrisin bir skalerle çarpımı, matrisin herbir elemanının bu skalerle çarpımı anlamına gelir. k.A=C c ij =k.a ij - Vektörlerin skaler çarpımı [][] N N 2 2 1 1 N 2 1 N 2 1 b a b a b a b b b a a a + + + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · - Vektörlerin dı ş çarpımı (outer product) [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? N N 2 N 1 N N 2 2 2 1 2 N 1 2 1 1 1 N 2 1 N 2 1 b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a Matrisin transpozesi Matrisin transpozesi aynı diyagonal elemanını içeren satır elemanlarıyla sütun elemanlarının yerleri de ği ştirilerek elde edilir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = NN 2 N 1 N N 2 22 21 N 1 12 11 a a a a a a a a a A › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = NN N 2 N 1 2 N 22 12 1 N 21 11 T a a a a a a a a a A Matrisi transpozesinin transpozesi matrisin kendisine e şittir. ( A T ) T = A Matrisin izi (Trace) Diyagonal elemanlarının toplamıdır ? = = N 1 i ii a A Tr ) ( Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 6 Matrisin minörleri Bir kare matrisin herhangi bir a ij elemanının minörü, bu elemanın üzerinde yer aldı ğı i ‘inci satırdaki ve j ‘inci sütundaki bütün elemanlar çıkartıldıktan sonra kalan matrisin determinantı olarak tanımlanır. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = NN Nj 2 N 1 N iN ij 2 i 1 i N 2 j 2 22 21 N 1 j 1 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a A NN 1 Nj 1 Nj 2 N 1 N N 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 2 1 i 1 1 i N 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 2 1 i 1 1 i N 2 1 j 2 1 j 2 22 21 N 1 1 j 1 1 j 1 12 11 ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a M + - + + + - + + + - + - - - - - + - + - = , , , , , , , , , , Matrisin kofaktörleri Bir kare matrisin herhangi bir a ij elemanının kofaktörü, bu elemanın minörünün (-1) i+j ile çarpımı olarak tanımlanır. Matrisin determinantı Bir matrisin determinantı herhangi bir satırındaki veya herhangi bir sütünundaki bütün elemanların kofaktörleriyle çarpımlarının toplamı olarak tanımlanır. [] () () ? ? = + = + - = - = = = N 1 j j k kj kj N 1 i k i ik ik NN Nj Ni 3 N 2 N 1 N jN jj ji 3 j 2 j 1 j iN ij ii 3 i 2 i 1 i N 3 j 3 i 3 33 32 31 N 2 j 2 i 2 23 22 21 N 1 j 1 i 1 13 12 11 1 M a 1 M a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A A det Matrisin özde ğerleri ve özvektörleri Bir matrisin özde ğerleri karakteristik polinomunun kökleri olarak tanımlanır. Karakteristik polinom () ( ) ? ? ? ? ? ? - - - = - = - = NN 2 N 1 N N 2 22 21 N 1 12 11 A a a a a a a a a a I A I A p det Özde ğerler p A ( ?)=0 e şitli ğini sa ğlayan ( ? i , i=1,2,…N) kökleri Özvektörler Aw = ?w e şitli ğini sa ğlayan {w j } vektörleri Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 7 Matrisin tersi Bir A matrisinin tersi A.B = I n e şitli ğini sa ğlayan B matrisidir. Bir matrisin tersi, bu matristen olu şturulan ek matrisin bu matrisin determinantına bölümü ile elde edilir. Burada geçen ek matris ise matrisin elemanlarının kofaktörlerinde olu şturulan matrisin transpozesidir. Örnek ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 4 3 1 3 4 1 3 3 1 A Kofaktörler matrisi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = 1 0 3 0 1 3 1 1 7 4 1 3 1 3 1 3 1 3 4 3 3 3 1 3 1 4 1 3 1 4 3 3 3 3 1 4 1 4 1 3 1 4 3 3 4 K Ek matris ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = 1 0 1 0 1 1 3 3 7 E Matrisin determinantı 1 3 3 7 3 4 3 3 1 4 3 3 3 1 4 3 3 4 1 4 3 1 3 4 1 3 3 1 A = - - = + - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ) det( Ters matris ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = - 1 0 1 0 1 1 3 3 7 A 1 Kontrol 3 1 I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 3 3 7 4 3 1 3 4 1 3 3 1 AA = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = - Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 8 1.3. Lineer denklem takımlarının sayısal çözümü Bir lineer denklem takımını genel olarak N j i N NN N jN N iN N N N N N N Nj jj ij j j j Ni ji ii i i i N j i N j i N j i b b b b b b x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a 3 2 1 3 2 1 3 3 3 3 3 3 2 3 1 3 3 3 3 3 3 2 3 1 3 3 3 3 3 3 3 33 3 23 3 13 2 2 2 2 2 2 2 32 2 22 2 12 1 1 1 1 1 1 1 31 1 21 1 11 = = = = = = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (1.1) veya matris formda ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? N j i N j i NN Nj Ni N N N jN jj ji j j j iN ij ii i i i N j i N j i N j i b b b b b b x x x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 3 33 32 31 2 2 2 23 22 21 1 1 1 13 12 11 (1.2) şeklinde ifade etmek mümkündür. Lineer denklem takımlarının sayısal çözümlenmesinde kullanılan yöntemleri -Eliminasyon Yöntemleri: - İteratif Yöntemler: olarak sınıflandırmak mümkündür. Eliminasyon yöntemlerinde en çok bilinen birisi ”Gauss eliminasyon yöntemi“ ve türevleridir. Bu yöntemlerde bazen pivot uygulamalarına gerek duyulur. Bir di ğer grup etkin eliminasyon yöntemi ”LU ayrı ştırma yöntemleri“ olarak bilinir. Büyük lineer denklem takımları için genel olarak iteratif yöntemler tercih edilir. Bunlar arasında “Jacobi basit iterasyon yöntemi”, Gauss-Seidel iterasyon yöntemi” ve “Ardarda a şırı gev şetme (Succesive Over Relaxation – SOR) yöntemi sayılabilir. Katsayılar matrisinin bir bant matrisi olması ve blok bant matrisi olması gibi durumlarda daha özel yöntemler gerekmektedir. Örne ğin üç-diyagonalli bant matrisler halinde “Thomas yöntemi” tercih edilmektedir. Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 9 1.3.1- Gauss eliminasyon yöntemi Gauss-eliminasyon yöntemi dolu ve diyagonal elemanları baskın olan matrislerin çözümü için uygun bir yöntemdir. İki a şamalıdır: - Üst-üçgenselle ştirme a şaması Lineer denklem sistemindeki denklemlerden herhangi birinin iki tarafının sıfırdan farklı bir sayıyla bölünmesi veya çarpılması denklemi de ği ştirmez. Yine bu denklemlerden ikisinin birbiriyle toplanması veya çıkartılması lineer denklem takımının çözümünü de ği ştirmez. Buna göre (1.1a) denklem sistemindeki birinci denklemin her iki tarafı a 11 ile bölündükten sonra sırasıyla - a 21 ile çarpılıp ikinci denklemden çıkartılarak - a 31 ile çarpılıp üçüncü denklemden çıkartılarak ............ - a i1 ile çarpılıp i ’inci denklemden çıkartılarak ............ - a N1 ile çarpılıp N ’inci denklemden çıkartılarak denklem sistemi matris formda ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 3 2 2 1 1 3 2 1 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 33 2 32 2 2 2 2 2 2 2 23 2 22 1 1 1 1 1 1 1 13 1 12 1 11 0 0 0 0 0 N j i N j i NN Nj Ni N N jN jj ji j j iN ij ii i i N j i N j i N j i b b b b b b x x x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a (1.3) şekline getirilebilir. Burada N i a a b b b N j a a a a a a a i i i i j ij ij ij ij ,.... , ; ,.... , ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 2 1 1 1 1 11 1 1 1 2 1 1 1 11 1 1 1 2 1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · - = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · - = = Benzeri i şlemler ikinci denklem ile sonraki denklemler arasında tekrarlanarak (1.3.3) denklem sistemi Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 N 3 j 3 i 3 3 2 2 1 1 N j i 3 2 1 3 NN 3 Nj 3 Ni 3 3 N 3 jN 3 jj 3 ji 3 3 j 3 iN 3 ij 3 ii 3 3 i 3 N 3 3 j 3 3 i 3 3 33 2 N 2 2 j 2 2 i 2 2 23 2 22 1 N 1 1 j 1 1 i 1 1 13 1 12 1 11 b b b b b b x x x x x x a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a a 0 a a a a a a (1.4) şekline getirilebilir. Burada da N i a a b b b N j a a a a a i i i i j ij ij ,.... , ; ,.... , ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 3 3 2 2 2 2 22 2 2 2 3 2 2 2 22 2 2 2 3 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · - = = · - = Bu i şlemler sondan bir önceki denklem ile sonuncu denklem arasında gerçekle ştirilinceye kadar tekrar edilecektir. Tekrarlanan bu i şlemler genelle ştirmek amacıyla herhangi bir k ‘ıncı a şamada yazılırsa denklem sistemi matris formda ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + + + + + + + + + + - - - ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 22 1 1 1 12 1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k N k j k i N j i k NN k Nj k Nk k iN k ij k ik k kN k kj k kk k kk k k k N N N b b b b b b x x x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a (1.5) şekline gelir. Burada 1 2 1 2 1 1 1 1 - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · - = + = · - = + + N k N k k i a a b b b N k k j a a a a a k ik k kk k k k i k i k ik k kk k kj k ij k ij ,.... , ; ,.... , ; ,.... , ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dir. Bütün tekrar a şamalarından sonra denklem sistemi, katsayılar matrisi üst-üçgensel bir matris halini alarak Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 1 3 3 3 3 3 3 3 33 2 2 2 2 2 2 2 23 2 22 1 1 1 1 1 1 1 13 1 12 1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 N N j j i i N j i N NN j jN j jj i iN i ij i ii N j i N j i N j i b b b b b b x x x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a (1.6) şekline gelir. - Geri süpürme a şaması Katsayılar matrisi üst-üçgensel hale getirilen denklem sisteminin çözümü en son bilinmeyenden ba şlanarak geriye do ğru gerçekle ştirilir. Bu i şlemler sırasında indislerin karı şmaması için denklem sistemini, katsayılarına yeni isim vererek N N i N NN N N N N iN N N N N N N N N N N iN N N N N N N j ij j j j j j j i ii i i i i i i e e e e e e x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d x d 1 3 2 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 2 1 1 1 3 2 1 3 2 1 3 33 3 23 3 13 2 22 2 12 1 11 - - - - - - - - - - - - - = = = = = = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + , , (1.7) şeklinde yazalım. Buna göre sonuncu bilinmeyen en son denklemden kolaylıkla NN N N d e x = ve sondan bir önceki bilinmeyen de bir önceki denklem kullanılarak 1 1 1 1 1 - - - - - - = N N N N N N N d x d e x , , şeklinde hesaplanabilir. Bu i şlemler birinci denklemden birinci bilinmeyen bulununcaya kadar tekrar edilir. Genelle ştirme amacıyla geri-süpürme i şleminin herhangi bir i ’inci a şaması için 1 2 2 1 1 , ,.... , ; - - = - = ? + = N N i d x d e x ii N i j j ij i i algoritması yazılabilir. Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 12 Gauss-Eliminasyon yönteminin bilgisayar uygulaması Bilgisayar uygulamasında lineer denklem takımının katsayılar matrisi bir kare matris yerine sütun sayısı satır sayısından bir fazla olan bir dikdörtgensel matris şeklinde tanımlanıp sa ğ taraf vektörü de bu matrisin en son sütununa yerle ştirilerek bütün i şlemler bu matris üzerinde yapılabilir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + + + + + 1 1 1 1 3 1 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 3 33 32 31 2 2 2 23 22 21 1 1 1 13 12 11 NN jN iN N N N NN Nj Ni N N N jN jj ji j j j iN ij ii i i i N j i N j i N j i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a (1.8) Şayet katsayılar matrisinin bir ba şka amaç için aynen saklanması gerekiyorsa bir ba şka matriste yedeklenmesinde yarar vardır. Bu durumda üst-üçgenselle ştirme a şamasının k ‘ıncı adımında katsayılar matrisi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + + + + + + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 22 1 1 1 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 NN NN Nj Nk iN iN ij ik N k N k j k k k kN kN kj kk kk N N N N a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a (1.9) gerekli bilgisayar algoritmaları 1 N 2 1 k N 2 k 1 k i 1 N 2 k 1 k j P a a a a a P kj ij ij kk ik - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + = ? ? ? ? ? ? ? ? + + + = · - ‹ ‹ ,.... , ; ,.... , ; ,.... , ; / ve geri-süpürme a şamasında gerekli algoritmalar da NN NN N a a x 1 + = 1 2 2 1 1 1 , ,.... , ; - - = - = ? + = + N N i a x a a x ii N i j j ij iN i şeklinde yazılabilir. Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 13 Örnek uygulama D e n k l e m s i s t e m i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 13 8 15 3 1 1 4 1 3 1 2 4 3 2 1 x x x Katsayıl a r m a t r i s i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 13 3 1 1 8 4 1 3 15 1 2 4 Birinci sütun sıfırlanarak ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - › × - › × - - 25 9 75 2 5 0 0 25 19 75 4 5 2 0 15 1 2 4 4 1 4 3 1 3 1 2 . . . . . . ) / ( ) / ( R R R R İkinci sütun sıfırlanarak ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - › × - - - 40 5 80 1 0 0 25 19 75 4 5 2 0 15 1 2 4 R 5 2 5 0 R 2 3 . . . . . ) . / . ( Geri süpürme ile 3 80 1 40 5 3 = = . . x 2 5 2 3 75 4 25 19 2 - = - × - = . . . x ( ) ( ) [ ] 2 4 3 1 2 2 15 1 = × + - × - - = x Uyarı Bazı matrislerde üst- üçgenselle ştirme a şamasının herhangi bir adımında, daha önce yapılmı ş olan i şlemlerin sonucunda a kk diyagonal elemanının de ğeri s ıfır olabilir. Bu gibi durumlarda sıfırla bölme sorunu nedeniyle yukarıda izah edilen Gauss yoketme yöntemi devam ettirilemez. Bu sorunu gidermenin bir yolu kısmi pivot uygulamasıdır. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + + + + + + + + + + + + + + + + - - + - - - - + + 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 33 1 2 2 23 22 1 1 1 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 NN NN Nk Nk N k N k k k k k N k N k k k k k kN kN kk N k N k k k k k k k N N N N a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Gauss yoketme yönteminde pivot uygulamaları Lineer bir denklem takımındaki iki denklemin sırasının de ği ştirilmesi çözümü hiçbir şekilde de ği ştirmez. Buna göre Gauss yönteminin üst-üçgenselle ştirme a şamasında herhangi bir k ıncı adımda a kk diyagonal elemanı s ıfır olmu şsa, bundan sonraki denklemlerden, bu diyagonal elemanının altındaki elemanı s ıfır olmayan herhangi birisinin yeri k’ıncı denklemle de ği ştirilebilir. Bu uygulamaya “kısmi pivot uygulaması” denir. Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 14 Sıfır diyagonal altındaki elemanlardan herhangi birisi yerine maksimum olanı tercih edilerek bu denklemin yeri de ği ştirilirse bu stratejiye de “maksimum pivot stratejisi” adı verilir. Katsayılar matrisinde ba şlangıçtan itibaren veya Gauss eliminasyon yönteminin üst- üçgenselle ştirme a şamasının herhangi bir adımında diyagonal elemanlarından birinin veya bir ço ğunun sıfır olması yanında küçük olması halinde de maksimum pivot stratejisi uygulanması yararlı olur. Maksimum pivot stratejisi genel olarak katsayılar matrisinin, en büyük elemanları diyagonal üzerine gelecek şekilde satırlarının ve sütunlarının yerlerinin de ği ştirilmesi şeklindedir. Katsayılar matrisinin iki satırının (sa ğ taraf elemanı da dahil olmak üzere) yer de ği ştirmesinin çözümü de ği ştirmeyece ği daha önce de belirtilmi şti. Katsayılar matrisinde iki sütunun yer de ği ştirmesi ise bilinmeyenlerin sırasının de ği ştirilmesi anlamına gelir ki bilinmeyenlerin sırasının bu i şlemler boyunca nasıl de ği şti ğinin tespit edilmesi ve çözüm elde edildikten sonra bilinmeyenlerin sırasının eski haline getirilebilmesi için bir sıralama i şlemi yapılması gerekir. Örnek Yandaki 4 bilinmeyenli denklem sisteminde katsayılar matrisinin en büyük elemanı (maksimum pivot) 6 de ğerine sahip olup dördüncü satırın üçüncü sütununda yer almaktadır. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 5 11 9 1 6 3 2 2 2 2 4 1 3 5 2 5 1 1 2 4 3 2 1 x x x x Bu maksimum pivotun ilk diyagonal elemanı olması için: - önce birinci satırla dördüncü satırın yerlerinin de ği şmesi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 5 11 12 5 1 1 2 2 2 2 4 1 3 5 2 1 6 3 2 4 3 2 1 x x x x - sonra da birinci sütunla üçüncü sütunun yerlerinin de ği şmesi gerekmektedir. Ancak bu sütun de ği şikli ği durumunda bilinmeyenler vektöründe birinci bilinmeyen ile üçüncü bilinmeyeni yerinin de de ği ştirilmesi gerekir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 5 11 12 x x x x 5 2 1 1 2 4 2 2 1 2 5 3 1 2 3 6 4 1 2 3 İkinci a şamada katsayılar matrisinin birinci satır ve sütunu dı şında kalan di ğer elemanları arasından yeni bir pivot seçilecektir. En büyük iki elemanın da de ğeri 5 olup bunlardan birisi ikinci kö şegen üzerinde yer almaktadır. Buna göre zaten pivot kö şegen üzerinde oldu ğundan bir de ği şikli ğe gerek olmayacaktır. Üçüncü a şamada katsayılar matrisinin birinci ve ikinci satırları ve sütunları d ı şında kalan di ğer elemanları arasından yeni bir pivot aranacaktır. Bu pivot dördüncü satır ve dördüncü › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 9 11 12 x x x x 2 4 2 2 5 2 1 1 1 2 5 3 1 2 3 6 4 1 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 9 11 12 x x x x 4 2 2 2 2 5 1 1 2 1 5 3 2 1 3 6 1 4 2 3 sütunda yer alan 5 de ğeri olup, buna göre önce dördüncü satırla üçüncü satırın, ardından da dördüncü sütunla üçüncü sütunun yerlerinin de ği şmesi gerekmektedir.Ayrıca bilinmeyenler vektöründe üçüncü ve dördüncü sırada yer alan bilinmeyenlerin yerleri de de ği şecektir. Görüldü ğü gibi satırların yerleri de ği şmekle birlikte bilinmeyenlerin sırası de ği şmemi ştir. Ancak sütunların yeri de ği şirken bilinmeyenlerin de yerleri de ği şmi ştir. Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 15 Bu şekilde pivotlanan denklem sistemine bundan sonraki a şamada Gauss-Eliminasyon Yöntemi uygulanarak bilinmeyenler 953 0 x 625 1 x 469 1 x 312 1 x 1 4 2 3 . , . , . , . - = = = = olarak elde edilir. Ancak bilgisayar uygulamasında bilinmeyenler bir x dizisi içerisinde olacak ve çözüm bu dizi içerisinde 625 1 x 312 1 x 469 1 x 953 0 x 4 3 2 1 . , . , . , . = = = - = şeklinde farklı bir sıra ile yer alacaktır. İşte bu nedenle pivotlama boyunca sütunların nasıl yer de ği şti ğinin tespit edilmesi ve çözümden sonra x dizisi içindeki bilinmeyen de ğerlerinin gerekli sıraya konulması gerekmektedir. Gauss yoketme yönteminde LU ayrı ştırma uygulaması Gauss eliminasyon yönteminde diyagonal altındaki elemanların sıfırlanması için yapılan a ik /a kk bölme i şleminin sonucu, diyagonalin altında sıfır olması gereken elemanın yerine yazıldı ğı taktirde, sonuçta üst-üçgensel olması gereken matrisin diyagonal altında yeni bir matris olu şur. Örnekolarak daha önceki denklem takımı alınırsa ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 13 3 1 1 8 4 1 3 15 1 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - › × - › × - - 25 9 75 2 5 0 0 25 19 75 4 5 2 0 15 1 2 4 4 1 4 3 1 3 1 2 . . . . . . ) / ( ) / ( R R R R yerine ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 25 9 75 2 5 0 4 1 25 19 75 4 5 2 4 3 15 1 2 4 . . . / . . . / ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - › × - - - 40 5 80 1 0 0 25 19 75 4 5 2 0 15 1 2 4 R 5 2 5 0 R 2 3 . . . . . ) . . ( yerine ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 40 5 80 1 5 2 5 0 4 1 25 19 75 4 5 2 4 3 15 1 2 4 . . . . / . . . / Böylece katsayılar matrisi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 80 1 20 0 25 0 75 4 5 2 75 0 1 2 4 . . . . . . şeklini alır . B u m a t r i s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 80 1 0 0 75 4 5 2 0 1 2 4 1 20 0 25 0 0 1 75 0 0 0 1 . . . . . . şeklinde düzenlenirse, buradaki alt-üçgensel matrisle üst-üçgensel matrisin çarpımının yukarıdaki orijinal katsayılar matrisini verdi ği gösterilebilir. Y a n i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 3 1 1 4 1 3 1 2 4 80 1 0 0 75 4 5 2 0 1 2 4 1 20 0 25 0 0 1 75 0 0 0 1 . . . . . . Böylece katsayılar matrisi A=L.U şeklinde çarpanlara ayrı ştırılmı ş olmaktadır. Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 16 NOT: LU çarpanlara ayırma i şlemi bir matrisin determinantının hesabı için etkin bir yöntemdir. Şöyle ki: Yukarıdaki örnekte söz konusu olana katsayılar matrisinin determinantı, kofaktörler yardımıyla hesaplanırsa 18 7 1 5 3 1 4 4 1 1 2 1 3 1 1 2 3 3 1 4 1 4 3 1 1 4 1 3 1 2 4 A - = - × + - × + × = - - + - - - - - - = - - - - = ) ( ) ( ) ( ) det( şeklinde elde edilir. Di ğer taraftan iki matrisin çarpımının determinantı bu matrislerin determinantlarının çarpımına e şittir. Buna göre örnekteki matrisin determinantı bunun LU çarpanlarının determinantları çarpımına e şit olacaktır. 80 1 0 0 75 4 5 2 0 1 2 4 1 20 0 25 0 0 1 75 0 0 0 1 A . . . . . . ) det( - - × - - = Bu matrislerin her birinin determinantlarının diyagonal elemanları çarpımına e şit oldu ğu kolaylıkla görülmektedir. Buna göre () 18 80 1 5 2 4 1 1 1 A - = × - × × × × = . . ) ( ) det( elde edilir. 1.3.2 Gauss-Jordan Yöntemi Gauss-eliminasyon yöntemindeki geri-süpürme a şaması üst-üçgenselle ştirme a şamasıyla birle ştirilebilir. Bu tipteki yöntemlerden biri olan Gauss-Jordan yönteminde diyagonal altındaki elemanlar sıfır yapılırken aynı anda diyagonal üzerindeki elemanlar da sıfırlanır, ayrıca diyagonal elemanlarının de ğerleri 1 yapılır. Böylece i şlemlerin sonucunda katsayılar matrisi birim matrise dönü şürken sa ğ taraf vektörü de bilinmeyenler (yani çözüm) vektörüne dönü şür. Örnek uygulama Örnek katsayılar matrisi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 6 5 6 1 6 7 1 0 3 4 2 2 3 2 2 0 1 0 2 0 1 ve 4 üncü satırların yeri de ği ştirilerek ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 0 1 0 2 0 7 1 0 3 4 2 2 3 2 2 6 5 6 1 6 Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 17 1 inci satır diyagonal elemanıyla bölünerek ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 0 1 0 2 0 7 1 0 3 4 2 2 3 2 2 1 8333 0 1 1667 0 1 . . 1. diyagonal altındaki elemanlar sıfırlanarak ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 0 1 0 2 0 11 3334 4 4 6667 3 0 4 6667 3 5 6667 1 0 1 8333 0 1 1667 0 1 . . . . . . 2. ve 3. satırların yerini de ği ştirerek ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 0 1 0 2 0 4 6667 3 5 6667 1 0 11 3334 4 4 6667 3 0 1 8333 0 1 1667 0 1 . . . . . . 2. satırı diyagonal elemanıyla bölerek ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 0 1 0 2 0 4 6667 3 5 6667 1 0 3 1818 1 0909 1 1 0 1 8333 0 1 1667 0 1 . . . . . . 2. diyagonal üst ve altındaki elemanları sıfır yaparak ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 6 3636 3 1818 2 0 0 9 6364 5 8182 6 0 0 3 1818 1 0909 1 1 0 5 0 6364 0 8182 0 0 1 . . . . . . . . . . 3. satırı diyagonal elemanıyla bölerek ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 6 3636 3 1818 2 0 0 32 1 8267 0 1 0 0 3 1818 1 0909 1 1 0 5 0 6364 0 8182 0 0 1 . . . . . . . . . . 3. diyagonal üst ve altındaki elemanları sıfır yaparak ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 12 3 5600 1 0 0 0 32 1 8267 0 1 0 0 56 1 2800 0 0 1 0 58 0 0400 0 0 0 1 . . . . . . . . 4. satırı diyagonal elemanıyla bölerek ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 2 1 0 0 0 32 1 8267 0 1 0 0 56 1 2800 0 0 1 0 58 0 0400 0 0 0 1 . . . . . . 4. diyagonal üstündeki elemanları sıfır yaparak ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 2 1 0 0 0 3333 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 5 0 0 0 0 1 . . . Son sütundaki elemanlar bilinmeyenlerin çözümüdür. Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 18 İşlem sayısı Gauss eliminasyon yönteminde her iki a şamada yapılan i şlemlerin toplam sayısı (2n³/3+3n²/2- 7n/6) olup i şlem mertebesini kısaca (2n³/3) olarak belirmek mümkündür. Buna kar şılık Gauss-Jordan yöntemindeki i şlem mertebesi (n³) olup Gauss eliminasyon yöntemine kıyasla yakla şık %50 kadar daha fazla i şlem yapılır. Ölçeklendirme Eliminasyon yöntemlerinde katsayılar matrisinin elemanlarının büyüklükleri arasında çok fazla farklılıklar varsa bu durum i şlemler sırasında önemli yuvarlatma hatalarına yol açabilir. Bunu önlemenin bir yolu her bir denklemin katsayılarını bu katsayıların en büyü ğü ile bölmektir. Ö r n e k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 2 1 2 1 102 100 3 1 105 100 2 3 Denklem sisteminde ilk iki denklemdeki en büyük katsayılar 100 iken sonuncu denklemin en büyük katsayısı 2 dir. Buna göre ilk iki denklemi 100 ile ve sonuncu denklemi de 2 ile bölerek çözümleme i şlemlerini ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 1 5 0 1 5 0 02 1 1 03 0 01 0 05 1 1 02 0 03 0 . . . . . . . . denklem sistemi üzerinde yapmak yuvarlatma hatalarını azaltacaktır. 1.3.3- Thomas yöntemi Hesaplamalı akı şkanlar dinami ğinde ve Hesaplamalı mühendisli ğin bazı problemlerinde zaman zaman üç-diyagonalli katsayılar matrisine sahip lineer denklem takımlarıyla kar şıla şılır. Üç- diyagonalli katsayılar matrisine sahip böyle bir lineer denklem takımı matris biçiminde normal olarak a şa ğıdaki gibi gösterilebilir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + - N i 3 2 1 N i 3 2 1 NN 1 N N 1 i i i i 1 i i 33 32 23 22 21 12 11 b b b b b x x x x x a a 0 0 0 0 0 0 a a a 0 0 0 0 a a 0 0 a a a 0 0 a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , , , Ancak katsayılar matrisinin ço ğu sıfır olan elemanları için bilgisayar hafızasında gereksiz yer i şgal etmemek ve gereksiz i şlemlerden kaçınmak amacıyla (N ×N) boyutlarında bir katsayılar matrisi yerine (N ×3) boyutlarında bir katsayılar matrisi kullanacak biçimde bir düzenleme ve buna uygun bir çözüm algoritması kullanılması tercih edilir. Çözüm için çok tercih edilen bir yöntem Thomas algoritmasıdır. Thomas algoritması aslında Gauss eliminasyon yönteminin üç kolonlu bir dikdörtgensel matris kullanılarak yapılan özel bir uygulamasıdır. Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 19 Yukarıdaki denklem sistemi ,, ;;; ii1 i ii i ii1 i i i aladaubr -+ ›››› olmak üzere düzenlenirse: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? N i 3 2 1 N i 3 2 1 N N i i i 3 3 2 2 2 1 1 r r r r r x x x x x d l 0 0 0 0 0 0 u d l 0 0 0 0 d l 0 0 u d l 0 0 u d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gauss eliminasyon yönteminin esasının diyagonal altında kalan bütün elemanların sıfır olmasını sa ğlayacak i şlemler oldu ğu hatırlanırsa bu denklem sistemindeki ilk denklem l 2 ile ve ikinci denklem de d 1 ile çarpılıp birinci denklem ikincisinden çıkarıldıktan sonra her iki taraf d 1 ile bölünerek 2 1 3 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 r d x u d x d d x l d r l x u l x d l = + + = + ? 1 2 1 2 3 2 2 1 1 2 2 d l r r x u x d u l d - = + ? ? ? ? ? ? ? ? - elde edilir. Böylece ikinci denklemdeki x 1 bilinmeyeni yok edilmi ş veya di ğer bir deyi şle katsayılar matrisinde diyagonal elemanının altındaki katsayı sıfırlanmı ş olmaktadır. Bu e şitlik 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 d l r r r d u l d d - = - = ' ' ; olmak üzere ' ' 2 3 2 2 2 r x u x d = + şeklinde yazılabilir. Böylece denklem sistemi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? N i 3 2 1 N i 3 2 1 N N i i i 3 3 2 2 1 1 r r r r r x x x x x d l 0 0 0 0 0 0 u d l 0 0 0 0 d l 0 0 u d 0 0 0 u d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' ' şekline gelir. Yukarıda yapılan eliminasyon i şlemi denklem sistemindeki ikinci ve üçüncü denklem arasında tekrarlanırsa, yani ikinci denklem l 3 ile ve üçüncü denklem de d 2 ' ile çarpılıp yine birinci denklem ikincisinden çıkarılıp, kar şılıklı d 2 ' ile bölünerek 3 2 4 3 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 r d x u d x d d x l d r l x u l x d l ' ' ' ' ' ' = + + = + ? ' ' ' 2 2 3 3 4 3 3 2 2 3 3 d r l r x u x d u l d - = + ? ? ? ? ? ? ? ? - veya yine ' ' ' ' ' ; 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 d r l r r d u l d d - = - = olmak üzere ' ' 3 4 3 3 3 r x u x d = + Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 20 elde edilir. Bu denklemde de x 2 bilinmeyeninin ortadan kalktı ğı ve katsayılar matrisinde üçüncü satırda diyagonal altındaki elemanın sıfır yapıldı ğı görülmektedir. Benzeri i şlemler daha sonraki denklemler için de tekrarlanabilir. Bunun için yukarıda çıkartılan ba ğıntılar kar şıla ştırılarak bir genelle ştirme yapılırsa ) ,.... , ( ; ' ' ' ' ' N 3 2 i d r l r r d u l d d 1 i 1 i i i i 1 i 1 i i i i = - = - = - - - - elde edilir. Bu durumda denklem sistemi de ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ' ' ' ' ' ' ' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N i 3 2 1 N i 3 2 1 N i i 3 2 2 1 1 r r r r r x x x x x d 0 0 0 0 0 0 0 u d 0 0 0 0 0 d 0 0 0 u d 0 0 0 u d şekline gelir. Bu denklem sisteminde en sonuncu denklemden x N bilinmeyeninin kolaylıkla çözülebilece ği görülmektedir: ' ' N N N d r x = Bulunan bu büyüklük bir üstteki denklemde kullanılarak ' ' 1 N N 1 N 1 N 1 N d x u r x - - - - - = bulunur. Benzeri i şlem herhangi bir x i bilinmeyeni için ' ' i 1 i i i i d x u r x + - = şeklinde gerçekle ştirilir. 1.3.4- LU ayrı ştırma yöntemleri A ·X=B şeklindeki lineer denklem takımı, katsayılar matrisi ? ? A=L ·U şeklinde çarpanlarına ayrılarak L ·U ·X=B şekline veya ? ? U ·X=Y tanımlaması yaparak L ·Y=B getirilebilir. Bu son denklem takımı ileri-süpürme yoluyla Y vektörü için kolaylıkla çözülebilir. Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 21 Bulunan çözüm bir önceki denklemde kullanılırsa bu denklem de geri-süpürme yoluyla X vektörü için çözülebilir. Buna göre bir LU ayrı ştırma yönteminin a şamaları a şa ğıdaki gibi sıralanabilir: - A=L · U ayrı ştırması - L ·Y=B denkleminin Y için ileri-süpürme yoluyla çözülmesi - U ·X=Y denkleminin X için geri-süpürme yoluyla çözülmesi LU Ayrı ştırma a şaması: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = · NN kN kj kk N j k N j k N j k NN Nk N N N ik i i i kk k k k u u u u u u u u u u u u u u u u u u u l l l l l l l l l l l l l l l l l l l U L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 33 2 2 2 23 22 1 1 1 13 12 11 3 2 1 3 2 1 3 2 1 33 32 31 22 21 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = NN Nj Ni N N N jN jj ji j j j iN ij ii i i i N j i N j i N j i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 3 33 32 31 2 2 2 23 22 21 1 1 1 13 12 11 L matrisinin k ‘ıncı satırı U matrisinin j=k,k+1,…N ‘inci sütunları ile çarpılarak › = · + + · + · kj kj kk j k j k a u l u l u l ... 2 2 1 1 N k k j u l a l u k p pj kp kj kk kj ,..., , ; 1 1 1 1 + = ? ? ? ? ? ? ? ? · - = ? - = L matrisinin i=k,k+1,…,N ‘inci satırları U matrisinin k ‘ıncı sütunuyla çarpılarak › = · + + · + · ik kk ik k i k i a u l u l u l ... 2 2 1 1 N k k i u l a u l k p pk ip ik kk ik ,..., , ; 1 1 1 1 + = ? ? ? ? ? ? ? ? · - = ? - = Bu ba ğıntılar k=1 için N i u a l N j l a u i i j j ,..., , ; ,..., , ; 2 1 2 1 11 1 1 11 1 1 = = = = Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 22 k=2 için () () N i u l a u l N j u l a l u i i i j j j ,..., , ; ,..., , ; 3 2 1 3 2 1 12 1 2 22 2 1 21 2 22 2 = · - = = · - = k=3 için () [] () [] N i u l u l a u l N j u l u l a l u i i i i j j j j ,..., , ; ,..., , ; 4 3 1 4 3 1 23 2 13 1 3 33 3 2 32 1 31 3 33 3 = · + · - = = · + · - = olup, hesapların ba şlatılabilmesi ve sürdürülebilmesi için u kk ve l kk elemanlarından birinin önceden belirlenmesi gerekti ği görülmektedir. Nitekim uygulamada bu elemanlardan birisinin de ğeri 1 olarak seçilir. Bu seçime ba ğlı olarak yöntem iki farklı isimle tanınmaktadır: Doolittle Yöntemi Doolittle yönteminde alt-üçgensel matrisin diyagonal elemanları 1 alınmakta olup, buna göre yukarıdaki üç adım k=1 için N i u a l l N j a u i i j j ,..., , ; ; ,..., , ; 3 2 1 2 1 11 1 1 11 1 1 = = = = = k=2 için () N i u l a u l l N j u l a u i i i j j j ,..., , ; ; ,..., , ; 4 3 1 1 3 2 12 1 2 22 2 22 1 21 2 2 = · - = = = · - = k=3 için ( ) () [] N i u l u l a u l l N j u l u l a u i i i i j j j j ,..., , ; ; ,..., , ; 5 4 1 1 4 3 23 2 13 1 3 33 3 33 2 32 1 31 3 3 = · + · - = = = · + · - = şekline gelir. Görüldü ğü gibi hesaplamalarda bir sıra izlenerek herbir adımda önce üst-üçgensel matrisin bir satırının elemanlarının daha sonra da alt-üçgensel matrisin bir sütununun elemanlarının bulunması gerekmektedir. Buna göre Doolittle yöntemi için genel algoritma a şa ğıdaki şekilde yazılabilir. N k N k k i u l a u l N k k j u l a u k p pk ip ik kk ik k p pj kp kj kj ,..., , ,..., , ; ,..., , ; 2 1 1 1 1 1 1 1 1 = + = ? ? ? ? ? ? ? ? · - = + = · - = ? ? - = - = Crout Yöntemi Crout yönteminde üst-üçgensel matrisin diyagonal elemanları 1 alınmakta olup, buna göre yukarıdaki üç adım k=1 için N j l a u u N i a l j j i i ,..., , ; , ,..., , ; 3 2 1 2 1 11 1 1 11 1 1 = = = = = Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 23 k=2 için () N j u l a l u u N i u l a l j j j i i i ,..., , ; , ,..., , ; 4 3 1 1 3 2 1 21 2 22 2 22 12 1 2 2 = · - = = = · - = k=3 için ( ) () [] N j u l u l a l u u N i u l u l a l j j j j i i i i ,..., , ; , ,..., , ; 5 4 1 1 4 3 2 32 1 31 3 33 3 33 23 2 13 1 3 3 = · + · - = = = · + · - = şekline gelir. Görüldü ğü gibi hesaplamalarda yine bir sıra izlenerek bu defa herbir adımda önce alt-üçgensel matrisin bir sütununun elemanlarının daha sonra da üst-üçgensel matrisin bir satırının elemanlarının bulunması gerekmektedir. Buna göre Crout yöntemi için genel algoritma a şa ğıdaki şekilde yazılabilir. N k N k k j u l a l u N k k i u l a l k p pj kp kj kk kj k p pk ip ik ik ,..., , ; ,..., , ; ,..., , ; 2 1 1 1 1 1 1 1 1 = + = ? ? ? ? ? ? ? ? · - = + = · - = ? ? - = - = İleri süpürme a şaması L ·Y=B denkleminin Y için çözümü ilk elemandan ba şlayarak ileri-süpürme yoluyla gerçekle ştirilir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - N i N i NN Ni i N N N N N ii i i i i i i b b b b b b y y y y y y l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l 4 3 2 1 4 3 2 1 1 4 3 2 1 1 4 3 2 1 44 33 42 41 33 32 31 22 21 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , L matrisinin birinci satırı ile Y vektörünün çarpımından 11 1 1 l b y / = L matrisinin i 'inci satırının Y vektörü ile çarpımından › = + · + + · + · - - i i 1 i 1 i , i 2 2 i 1 1 i b y y l ... y l y l N i y l b l y i p p ip i ii i ,... , ; 3 2 1 1 1 = ? ? ? ? ? ? ? ? · - = ? - = Geri süpürme a şaması U ·X=Y denkleminin X için çözümü de son elemandan ba şlayarak geri-süpürme yoluyla gerçekle ştirilir. Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 24 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - + - + - + - + N 1 N i 3 2 1 N 1 N i 3 2 1 N , N N , 1 N 1 N , 1 N N , i 1 N , i 1 i , i ii N , 3 1 N , 3 1 i , 3 i 3 33 N , 2 1 N , 2 1 i , 2 i 2 23 22 N , 1 1 N , 1 1 i , 1 i 1 13 12 11 y y y y y y x x x x x x u 0 0 0 0 0 0 u u 0 0 0 0 0 u u u u 0 0 0 0 u u u u u 0 0 u u u u u u 0 u u u u u u u U matrisinin sonuncu satırı X vektörüyle çarpılarak › = · N N NN y x u NN N N u / y x = U matrisinin i 'inci satırı X vektörüyle çarpılarak › = · + + · + · + + i N N , i 1 i 1 i , i i ii y x u ... x u x u 1 2 2 1 1 1 , ,..., , ; - - = ? ? ? ? ? ? · - = ? + = N N i x u p y u x N i k p ip i ii i elde edilir. 1.3.5- Jacobi basit iterasyon yöntemi Çok büyük katsayılar matrisi içeren lineer denklem sistemlerinin eliminasyon yöntemleriyle çözümü ço ğu zaman ekonomik olmaz. Bu gibi durumlarda iteratif yöntemler seçilir. Bunlardan en basit birisi Jacobi yöntemidir. B X A = · ( 1 ) lineer denklem takımı, A katsayılar matrisi U D L A + + = ( 2 ) ;; 11 12 13 1N 21 22 23 2N 31 32 33 3N N1 N2 N3 NN 000 0 a00 0 0aa a a000 0a0 0 00a a Laa0 0D00a 0U000 a aaa 0 000 a 000 0 ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? === ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? şeklinde üç matrisin toplamı olmak üzere LXDXUXB ·+·+·= › [ ] X U X L B D X 1 · - · - · = - (3) şekline getirilebilir. Bu durumda x i bilinmeyenleri için uygun seçilecek ba şlangıç de ğerleri (3) e şitli ğinde kullanılarak yeni x i de ğerleri hesaplanabilece ği ve bu i şlemlerin iteratif olarak devam ettirilebilece ği görülmektedir. Jacobi basit iterasyon yöntemi olarak bilinen bu yöntemin herhangi bir iterasyon adımı için kapalı formda [ ] ) ( ) ( ) ( k k 1 1 k X U X L B D X · - · - · = - + ( 4 ) Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 25 veya açık biçimde ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + + + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k N k k k N N N k N k k k N N N N k N k k k x x x x a a a a a a x x x x a a a a a a b b b b D x x x x 3 2 1 3 2 23 1 13 12 3 2 1 3 2 1 32 31 21 3 2 1 1 1 1 3 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (5) yazılabilir. D diyagonal matrisinin tersinin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = - NN 33 22 11 1 NN 33 22 11 a 1 0 0 0 0 a 1 0 0 0 0 a 1 0 0 0 0 a 1 D a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a D / / / / Şeklinde olaca ğı gösterilebilir. Bu durumda (5) matris e şitli ğinin herhangi bir i ‘inci satırı için N i a x a x a b x ii N i j k j ij k j i j ij i k i ,.... , ; ) ( ) ( ) ( 2 1 1 1 1 1 = · - · - = ? ? + = - = + ( 6 ) yazılarak iterasyon algoritması açık biçimde elde edilebilir. 1.3.6- Gauss-Sidel iterasyon yöntemi Jacobi yöntemi çabuk yakınsamayan bir yöntemdir. Yöntemin yakınsamasını hızlandırmak için her iterasyon adımında bir önceki çözümle yeni bulunan çözümlerin [ ] ) ( ) ( ) ( k 1 k 1 1 k X U X L B D X · - · - · = + - + ( 7 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? · = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + + + - + + + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k N k k k N N N k N k k k N N N N k N k k k x x x x a a a a a a x x x x a a a a a a b b b b D x x x x 3 2 1 3 2 23 1 13 12 1 1 3 1 2 1 1 3 2 1 32 31 21 3 2 1 1 1 1 3 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (8) N i a x a x a b x ii N i j k j ij k j i j ij i k i ,.... , ; ) ( ) ( ) ( 2 1 1 1 1 1 1 = · - · - = ? ? + = + - = + (9) şeklindeki bir kombinasyonundan yararlanmak mümkündür. Görüldü ğü gibi iterasyonun herhangi bir k’ıncı adımında X bilinmeyenler vektörünün i ’inci elemanı, x i , hesaplanırken X ‘in bu iterasyon adımında hesaplanmı ş olan ilk (i-1) elemanı ile bir önceki iterasyon adımında hesaplanmı ş olan (i+1) ‘inci ve daha sonraki elemanları kullanılmaktadır. Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 26 1.3.7- Ardarda a şırı gev şetme (Successive over-relaxation) yöntemi Gauss-Sidel iterasyon ifadesi, aynı terimin () () () ( ) () ;, , . . . . kk ii i1 N k1 k1 k iii j ji jii ii j j1 ji1 ii 1 xba xa ax a x i12N a x - ++ == + ?? =-·-·- = ?? ·+· ?? ?? (10) şeklinde bir defa ilave edilip bir defa da çıkartılması sonucunda N 2 1 i x a x a b a 1 x x N i j k j ij 1 k j 1 i 1 j ij i ii k i 1 k i ,.... , ; ) ( ) ( ) ( ) ( = ? ? ? ? ? ? ? ? · - · - + = ? ? = + - = + ( 1 1 ) şeklinde düzenlenebilir. Buradaki N i x a x a b N i j k j ij k j i j ij k i ,.... , ; ) ( ) ( ) ( 2 1 1 1 1 = · - · = ? ? = + - = ( 1 2 ) büyüklü ğü, dikkat edilirse aslında k ’ıncı iterasyon adımında bulunan çözüm vektörünün katsayılar matrisi ile çarpımı olup, tam çözümün elde edilmesi halinde bu büyüklü ğün b i ye e şit olaca ğı açıktır. Ancak iterasyon sırasında çözümler tam çözümden farklı olaca ğından bu büyüklük de denklem sisteminin sa ğ taraf vektöründen farklı olacaktır. Aradaki fark N i b b r k i i k i ,.... , ; ) ( ) ( 2 1 = - = ( 1 3 ) “kalıntı (residus)” olarak adlandırılır. Buna göre (11) ba ğıntısının sa ğındaki ikinci terim kalıntı terimi olup, bir önceki iterasyon adımında elde edilmi ş çözümlere ilave edilen bir düzeltme terimi gibi yorumlanabilir: N i x x k i k i k i ,.... , ; ) ( ) ( ) ( 2 1 1 = + = + ? ( 1 4 ) N 2 1 i x a x a b a 1 a r N i j k j ij 1 k j 1 i 1 j ij i ii ii k i k i ,.... , ; ) ( ) ( ) ( ) ( = ? ? ? ? ? ? ? ? · - · - = = ? ? = + - = ? ( 1 5 ) Şimdi bu düzeltme terimi bir ? büyüklü ğü ile çarpılarak etkisi azaltılabilir veya ço ğaltılabilir. N i x x k i k i k i ,.... , ; ) ( ) ( ) ( 2 1 1 = · + = + ? ? ( 1 6 ) N 2 1 i x a x a b a 1 x x N i j k j ij 1 k j 1 i 1 j ij i ii k i 1 k i ,.... , ; ) ( ) ( ) ( ) ( = ? ? ? ? ? ? ? ? · - · - · + = ? ? = + - = + ? (17) Veya yeni bir düzenleme ile N 2 1 i x a x a x a b a 1 x x k i ii N 1 i j k j ij 1 k j 1 i 1 j ij i ii k i 1 k i ,.... , ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = ? ? ? ? ? ? ? ? · - · - · - · + = ? ? + = + - = + ? (18) N 2 1 i x x a x a b a 1 x x k i N 1 i j k j ij 1 k j 1 i 1 j ij i ii k i 1 k i ,.... , ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? · - · - · + = ? ? + = + - = + ? (19) N 2 1 i x 1 x a x a b a 1 x k i N 1 i j k j ij 1 k j 1 i 1 j ij i ii 1 k i ,.... , ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = - + ? ? ? ? ? ? ? ? · - · - · = ? ? + = + - = + ? ? (20) Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları 27 şekline getirilebilir. Bu son ifade, görüldü ğü gibi, herhangi bir iterasyon adımında Gauss-Sidel şemasıyla bulunan de ğerler ile bir önceki iterasyon adımında bulunan de ğerlerin kontrol edilebilen bir a ğırlık oranında kombinasyonunu vermektedir. Buradaki ? gev şetme faktörü olup bu yöntem 0< ? < 1 için ardarda az gev şetme (Successive under relaxation) 1< ? < 2 için ardarda a şırı gev şetme (Successive over relaxation) yöntemi olarak anılır. 1.4 Matris tersinin sayısal hesabı Matrislerde bölme gibi bir i şlem olmayıp, bu i şlem matrisin tersi kullanılarak gerçekle ştirilir. B/A=C ? B ·A -1 =C Bu i şlem aynı zamanda lineer denklem takımlarının çözümlenmesinde de kullanılabilir. A ·X=B ? A -1 A ·X=A -1 B ? X=A -1 B Bir matrisin tersi eliminasyon yöntemleriyle lineer denklem takımlarının çözülmesine benzer şekilde gerçekle ştirilebilir. Bir A matrisinin tersinin bulunması aslında A A -1 =I n Şeklinde, sağ taraf vektörü birden fazla olan bir denklem sisteminin çözülmesine e şde ğerdir. Buna göre katsayılar matrisinin sa ğ tarafına ilave sütunlarla bir birim matris ilave edilerek Gauss-eliminasyon yönytemiyle veya Gauss-Jordan eliminasyon yöntemiyle matrisin tersini elde etmek mümkündür. Daha önce izah edilen i şlemlerden sonra birim matris ters matrise dönü şecektir. Örnek: Katsayıl a r m a t r i s i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 2 0 1 1 0 3 2 1 1 Geni şletilmi ş m a t r i s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 1 1 0 3 2 1 1 Gauss-Jordan eliminasyon yöntemiyle ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 5 3 5 1 0 1 1 1 5 1 5 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 / / / /