Faaliyetler İş Araştırma ve İktisat LP Duyarlılık Analiz Grafik ve Tabw Yorumları ( SORULAR LP DUYARLILIK ANALIZeGRAFIK VE TABW YORUMLARl_ PARTIl IŞLE 203 _CEMIL KUZEY 1. Bir LP probleminde optimum cozumü veren "binding" (etken kısıtlar) asagıdakı gıbıdır . 5X + 3Y -" 30 2X + 5Y -" 20 A_ Amac denkleminin egimi hangi aralıkta olabilir, oyleki halihazırdaki cozum optimum kalsın. B_ asagıdaki amac denklemlerinden hangileri optimum cozum icin olabilecek amac denklemleridir. ! 2X + 1 Y 2) 7x + 8Y 3) 80X + 60Y 4) 25x + 35Y (, tO 2. Asagidaki LP probleminin optimum cozumunü veren binding kısıtlar birinci ve ikinci kısıtların kesisiminde bir noktadır. a. b. c. 3.8WM a. b. c. d. e. Max 2xı + Xı s.t. 4xı + lx2 -" 400 4xı + 3x, -" 600 1x1 + 2x, ,; 300 Xı ,Xı ?: O XL icin birim kar aralıgıru bulunuz oyleki halihazırdaki rozum optimum kalsın. X2 icin birim kar aralıgıru bulunuz oyleki halihazırdaki rozum optimum kalsın üc kısıt icinde dual(golge_shadow_) fiyatlamu hesaplayunz. asagıdaki LP modeli icin binding kısıtlar birinci ve ikinci kısıtlardır. Min Xı + 2xı S.t. Xı + xı;?: 300 2xı + x,;, 400 . 2xı + 5x, -" 750 Xıı Xı ~ O c2~2 sabit kalmak sarbylar, cl birim kar aralıgıru bulunuz oyleki cozum optimum kalsın. cl ~L sabit kalmak sarbylar, c2 birim kar aralıgıru bulunoz oyleki cozum optimum kalsın. eger amac denklemi Min 1.5xl + 2x, ise, xl ve x2 ile amac denkleminin optimum degerleri ne olur. Eger amac denklermi Min 7xı + 6x, ise haı>gi kısıtlar ~bindinı>-etken kısıtlar" olur Orjinal problemdeki herbir kıSlbn "dual_gölge "fiyatlannı bulunuz • 4_HMW Asagıdaki verilen bilgisayar cıktısıru kullanarak soruları cevaplayıruz lıNEAR PROGRAMMlNG PROBLEM MAX 31Xl+35X2+32X3 ST. 1) 3XL+5X2+2X3>90 2) 6XL +7X2+8X3<150 3) 5XL +3X2+3X3<120 OPTİMUM ÇÖZÜM Objective Function Value = 763.333 Variable Value Reduced Cost Xl 13.333 0.000 x2 10.000 0.000 X3 0.000 10.889 Constraint SlackLSurl1lus Dual Price 1 0.000 -0.778 2 0.000 5.556 3 23.333 0.000 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Lirnit XL 30.000 X2 No Lower Lirnit X3 No Lower Lirnit RlGHT HAND SIDE RANGES Constraint 1 2 3 Lower Lirni! 77.647 126.000 96.667 a. çözümü yazıruz. b. hangi kısıtlar binding dir? Current Value 31.000 35.000 32.000 Current Value 90.000 150.000 120.000 Ul1l1er Lirnit N o U pper Lirn;t 36.167 42.889 U I1per Limit 107.143 163.125 No Upper Limit 2 c. eger xl lasıh 3 birim artarsa ne olur? d. Birinci kısıhn sag tarafi 10 birim arhnlırsa ne olur? S. asagıdaki bilgisaya r sonucuna gore sorulan cevapla yuuz. MIN 4XL +SX2+6X3 S.T. 1) Xl+X2+X3<85 2) 3XL +4X2+2X3>280 3) 2XL +4X2+4X3>320 Objective Function Value = Variable Xl x2 X3 Constraint 1 2 3 Value 0.000 80.000 0.000 SlackLSurıılus 5.000 40.000 0.000 400.000 Reduced Cost 1.500 0.000 1.000 Dual Price 0.000 0.000 -1.250 OBJECTNE COEFFICIENT RANGES Variable Xl x2 X3 Lower Limit 2.500 0.000 5.000 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Umit 1 80.000 2 No Lower Limit 3 280.000 Current Value 4.000 5.000 6.000 Current Value 85.000 280.000 320.000 u ııııer Liınil No Upper timit 6.000 No Up per ümit Uııııer unait . No Upper ümit 320.000 340.000 a. Optimum cüzum bulunuz ve kar ne kadardH? b. Hangi kısıtlar binding kısıtlardu? c. Her bir kaynagin dual(golge ya da shadow) fiyatlanru y.ıızıruz? Bu degerlerin ne manaya gelellgini acıklayuuz. d. Optimalite aralıgıru hesaplayrruz ve yorumlayuuz. e. Olabilirlik (feasibility_yapılabilirkik_cozum bolgesi) aıaIıgııu belirleyiniz ve yorumlayuuz. 3 / 6_ a) hangi kısıtlar binding (etken_kısıtlar) ? b) Her bir kaynagm golge fiyatiıti bulunuz ve yorumlayınız . c) Optimaliıe aralıguu hesaplayuuz ve yorumlayınız. d) Olabilirlik (feasibiliıy_yapılabilirkik_cozurn bolgesi) aralıgıru belirleyiniz ve yorumlayııuz. Microsoft E:ıceI7.0 Sensitivity Report Worksbeel: ILI,7ba ... xlJıSbeetl Changing Cells Final Redueed Objectiw Allowable Allowable' CeU Name Value Cost eoeflit'" Increase Deerease $B$12 Variables Variable 1 8.461538462 O 5 7 3.4 $C$12 VariabIes Variable 2 4.615384615 O .. 8.5 2.333333333 Constraints Finıl Sb.dow CODstrılillııl Allowable Allowable CeU Name Value Price R.H.S_ Inenase Deerease $B$15 constraint ı Used 40 0.538461538 40 110 7 $B$16 constraint 2 Used 30 1.307692308 :ıo 30 4.666666667 $B$17 constraint 3 Used 13 .07692308 O 12 1.076923077 IE+30 7_ Asagıdaki sorulan verilen bilgisayar sonucuna gore 'cevaplayuuz . LPMODEL: MAX 25X1+30X2+15X3 S.T. 1) 4X1+5X2+8X3<1200 2) 9XL+15X2+3X3<1500 • OPTIMAL SOLUTION (optimum çözüm) Objective Function Value = 4700.000 Variable Reduced Cost 4 XL 140.000 0.000 x2 0.000 10.000 · X3 80.000 0.000 . ConslTaint SlackLSurElus Dual Price 1 0.000 1.000 2 0.000 2.333 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES (AMAC DENKLEMİ KATSA YıLARI) Variable Lower Lİmit Current Upper Limit Value XL 19.286 25.000 45.000 X2 No Lower 30.000 40.000 Limit X3 8.333 15.000 50.000 RIGHT HAND SlDE RANGES (SAG TARAF ARALIKLARI) ConslTaint 1 2 Lower Lİınit 666.667 450.000 a. Optimwn coöurnu yazınız. b. hangi !asıtlar binding dşr? Current Value 1200.000 1500.000 UPEer Limit 4000.000 2700.000 c. İkinci kısıtın golge(duaCshadow) fiyatı nadir? Bunu yoıurnIayıruz d. Amac denklemindeki x2 nin birim kar aralıgıru belirleyiniz oyleki halihazırdaki çözüm optimum kalsın. e. Gölge (duaCshadow) fiyatın degismemesi icin ikinci kaynak hangi aralıklarda degişebilir(kaynak aralıgı) f. birinci kısıtın sag tarafı 700 kadar artınlır ve ikinci kısıbnsag tarafı da 350 kadar azaltılırsa ayru zamanda, sonuc ne olur? Halihazırdaki çözüm optimum kalır mı? 8). LINDO paket program cıktısı asagıdaki gibidir .. MIN 12 XL + 10 X2 + 9 X3 SUBJECT TO 2) 5 XL + 8 X2 + 5 X3 >= 60 3) 8 XL + 10 X2 + 5 X3 >= 80 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 80.000000 VARIABLE Xl VALUE .000000 • REDUCED COST 4.000000 5 / o x2 X3 ROW 2) 3) 8.000000 .000000 .000000 4.000000 SLACK OR SURPLUS 4.000000 .000000 DUALPRICE .000000 -1.000000 NO. lTERATIONS~ 1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: VARlABLE XL X2 X3 ROW 2 3 CURRENT COEFFICIENT . 12.000000 10.000000 9.000000 CURRENT RHS 60.000000 80.000000 OBı. COEFFICIENT RANGFS ALLOWABLE ALLOWABLE INCREASE DECREASE INFINITY 4.000000 5.000000 10.000000 INFINITY 4.000000 RIGHTHAND SIDE RANGFS ALLOWABLE ALLOWABLE INCREASE 4.000000 INFINITY DECREASE INFINITY 5.000000 a. Problemin çözümünü yazınız. b. hangi kısıtlar binding (etkendir) ? c. XL için Redueed eDst (indirgenmis Maliyet) yorumlaymız d. ikinci kısıtın gölge fiyatını yorumlayılUz . e. eger xl in maliyeti 10 inelirgenirse ve x2 nin maliyeti 12 ye yükseltilirse ne olur? Optimum çözüm degisirmİ? 9. Aşağıdaki LP problemi kaç tane kolye, bilezik, yüzük ve küpe stoklanması gerektigini gostennektedir. Amaç denklemi kar'm maksimize edilmesini belirtiyor. Birınci kısıt sergi alaruru (birim) ölçmekteelir, ikinci kısıt ise serginin ne kazar zamanda (dakika) oluşturulacağım ölçmektediL Üçüncü ve dördüncü kısıtlar ise pazarlama koşullanru belirtiyor. Verilen bu bilgisayar çözümlemesini kullanarak asagıdaki sorulan cevaplayuuz. LıNEAR PROGRAMMlNG PROBLEM MAX 100X1+l20X2+150X3+l25X4 ST 1) XL +2X2+2X3+2X4<108 2) 3XL+5X2+X4<120 3) XL+X3<25 4) X2+X3+X4>50 OPTIMAL SOLUTION 6 Objective Function Value ~ 7475.000 Variable Value Reduced Cost Xl 8.000 0.000 X2 0.000 5.000 X3 17.000 0.000 X4 33.000 0.000 Consıraint SlackL SurQlus Dual Price 1 0.000 75.000 2 63.000 0.000 3 0.000 25.000 4 0.000 -25.000 OBJE01VE COEFFlClENT RANGES Variable Lower Limit Current UQQerUmit Value XL 87.500 100.000 No Upper Limit X2 No Lower 120.000 125.000 Limit X3 125.000 150.000 162.500 X4 120.000 125.000 150.000 RlGHT HAND SIDE RANGES Consıraint Lower Uınit Current UQQer Limit Value 1 100.000 108.000 123.750 2 57.000 120.000 No Upper Limil 3 8.000 25.000 58.000 4 41.500 50.000 54.000 a. kac tane kolye stoklanrnalı? b. kac tane bilezik stoklamnalı? c. kac tane yüzük stoklarunalı? d. kac tane küpe stoklarunalı? e. kuBamlmayan sergi alam ne kadardır? f. ne kadar sergj alusturma zamaru kullarulnustır? g. ikinci pazarlama koşulunda ne kadar fazlalık olusmustur? h. Kar ne kadardır? i. Optimum çözümün degismemesi icin koyle nin birim kan hangi degere kadar indirilebilir? j. Optimum çözümün degismemesi icin yüzük birim fiyab ne kadar arbIılabilir? k. Halihazırdaki karın degismemesi icin sergi alam ne kadar miktarda azaltılabilir? i. Eger sana daha fazla sergi alam alamn icin hrsat tarurım;a. ve bu alan 15 birim oldugunu farzedelim. Bu 15 birimlik yerin maliyeti ise 1500 ise, bu durumda siz ne yapmalısımz? Sizce bu fırsat sizing icin karlı mıdır? 7 10. Karar degiskenleri birinci, ikinci ve üçüncü bilesenJerİn karısumnda ki miktarlarım gostermektedir. Amaç denklemi maksimium karı vermektedir. Ilk üç kısıt A,Bve C kaynaklarının kulJarumı ve mevcut durumlarım vermektedir. Dördünc, u kısıt ise, 3.bileşenin minimum gereksinimini vermektedir. Bilgisayar sonuçlamu kullanarak aşağıdaki sorulan cevaplayuuz. a. Birinci bileşenden ne kadar karışıma eklenmeli? b. İkinci bileşenden ne kadar kanşıma eklenmeli 7 c. Üçüncü bileşenden ne kadar karışıma eklenmeli? d. A kaynağından ne kadar kullanıldı 7 e. B kaynağından ne kadar kuIIarulmamış var? f. Kar ne kadardır? g. Eger ikinci bileşenin kaarı 4 e düşerse çözüm de ne gibi bir değışiklik olur ? h. Eger üçüncü bilesenin ka arı 1 birim artırılırsa çözümde ne gibi bir durum olur? i. Eger C kaynagırun miktarı 2 birim artınıusa çözümde ne gibi bir durum olur? j. Eger üçüncü bileşen için minimum· gereksinim 15 e yükseltirIirse çözümde ne gibi bir değışiklik olur? LıNEAR PROGRAMMING PROBLEM MAX 4XL+6X2+7X3 S.T. 1) 3XL +2X2+5X3<120 2) LXI +3X2+3X3<80 3) 5XL +5X2+8X3<160 4) +lX3>10 OPTIMAL SOLUTION Objective Function Value = 166.000 Variable Value Reduced Cost Xl 0.000 2.000 x2 16.000 0.000 X3 10.000 0.000 Constraint Slack/Surplus Dual Price 1 38.000 0.000 2 2.000 0.000 3 0.000 1.200 4 0.000 -2.600 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limi! Current Upper uni;ı Value XL No Lower 4.000 6.000 Limi! X2 4.375 6.000 No Upper limit X3 No Lower 7.000 9.600 8 Limit RlGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit 1 82.000 2 78.000 3 80.000 4 8.889 Current Value 120.000 80.000 160.000 10.000 Upper Limit No Upper timit No Upper Limit 163.333 20.000 11. Aşağıdaki LINDO bilgisayar sonuçları 4 farklı tür şemsiyeden ne kadar stoklanması gerektigini öyleki kaarın maksimize edilmesi gerektigini gosteren bir modeldir. Karar değişkenleri A türü şemsiye, B türü şemsiye, C türü şemsiye ve D türü şemsiye sayılaTlm belirtmektedirler. Kısıtlar ise sıra ile, Depo alanıru(birim), sergi için özel raflan, talep ve pazarlama kısıtlarını göstermektedirler. MAX 4 XL + 6 X2 + 5 X3 + 3.5 X4 SUBJECT TO 2) 2 XL + 3 X2 + 3 X3 + X4 <= 120 3) 1.5 XL + 2 X2 <= 54 4) 2 X2 + X3 + X4 <= 72 5) x2 + X3 >= 12 END OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 318.00000 VARIABLE XL VALUE REDUCED COST 12.000000 .000000 X2 .000000 .500000 X3 12.000000 .000000 X4 60.000000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUALPRICE 2) .000000 2.000000 3) 36.000000 .000000 4) .000000 1.500000 5) .000000 -2.500000 RANGES IN WHICPi THE BASIS IS UNCHANGED: VARIABLE Xl OBı. COEFFICIENT RANGES CURRENT ALLOWABLE COEFFICIENT INCREASE 4.000000 1.000000 ALLOWABLE DECREASE 2.500000 9 x2 X3 X4 6.000000 5.000000 3.500000 .500000 2.500000 INFINITY INFINITY .500000 .500000 RICHTHANO SIDE RANGES ROW 2 3 4 5 CURRENT RHS 120.000000 54.000000 72. 000000 12.000000 ALLOWABLE ALLOWABLE INCREASE OECREASE 48.000000 24.000000 INFINITY 36.000000 24.000000 48.000000 12.000000 12.000000 Sonudarı kullanarak aşa~daki sorulan cevaplayıruz . a. A türü şemsiyeden ne kadar stoklanınalı? b. B türü şemsiyeden ne kadar stoklanınalı? c. C türü şemsiyeden ne kadar stoklamnalı? d. O üro şemsiyeden ne kadar stoklanınalı? e. ne kadar kullanılmayan depo alan kaldı? f. Ne kadar raf kullanıiclı? g. Pazarlama !asıtı ne kadar fazlalık Verdi? h. Toplam Kaar ne kadardır? i. Optimum çözum deı;işmemes i için A türü şemsiye sinin birim kaan ne kadar artınlabilir? J. Optimum çözümün degişmemesi icin B türü şemsiye nin birim fiyatı hangi fiyata yükseltilebilir. (dikkat ne kAdar artınıd, ,oTUlmuyor)? k. Colge (dualjshadow) fiyatının degismemesi icin, depo ala m miktari ne kadar artınıabilir? ı. Bir reklam sirketi sizing talep !asılıruzı 72 den 86 ya $20 maliyetle yüksel tilebilecegini söylemektedir. Böyle bir teklife evet mi yoksa hayır nu dersiniz? • 10