Statik Maddesel Nokta Statiği - 1 S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -1 1 1- - - Maddesel Nokta Stati Maddesel Nokta Statiğ ği i 2. 2.1. 1. HAFTA HAFTA S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -2 2 2- - - DD ç çindekiler indekiler Mekaniğe Giriş Dki kuvvetin bileşkesi Vektörler Vectörel işlemler Bir noktada kesişen kuvvetlerin bileşkesi Örnek Problem 2.1 Örnek Problem 2.2 Bir kuvvetin dik bileşenleri : Birim vektör Addition of Forces by Summing Components Örnek Problem 2.5 Maddesel noktanın dengesi Serbest Cisim Diyagramları Devam Örnek Problem 2.8 Örnek Problem 2.9 Rectangular Components in Space Sample Problem 2.7S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -3 3 3- - - Temel Tan Temel Tanı ımlar : mlar : 1. 1. Particle Particle (Maddesel Nokta): Kütlesi olan fakat boyutları ihmal edilen bir nesnedir. Uzayda bir tek nokta işgal ettiği kabul edilebilecek az miktarda madde kastedilmektedir. 2. 2. Rigid Body Rigid Body (Rijid Cisim) : Bir kuvvetin uygulanmasından önce ve sonra birbirine göre sabit yerler işgal eden çok sayıda maddesel noktanın birleşimidir. 3. 3. Tekil Kuvvet ( Tekil Kuvvet (Concentrated force Concentrated force) ): : Cisim üzerine bir noktada etkidiği kabul edilen kuvvet. S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -4 4 4- - - Mekani Mekaniğ ğe Giri e Giriş ş: : • Bu bölümün amacı maddesel nokta üzerindeki kuvvetlerin etkisini araştırmaktır: - Bir maddesel nokta üzerine etki eden birden fazla kuvvetin yerine hepsine eşdeğer bir kuvvet konabilir ki buna bile bileş şke kuvvet ke kuvvet (resultant force) denir, - Maddesel nokta üzerine etki eden kuvvetler arasındaki ilişkiler bir denge denge (equilibrium) hali ile tanımlanır. Statik Statik dengede olan cisimler üzerine etki eden kuvvetlerin analizi ile ilgilenir. • Maddesel nokta (particles) çok küçük bir cisim şeklinde algılanmamalıdır. Cismin şekil ve boyutunun problemin çözümünü değiştirmediğinden ihmal edildiği durumdur, tüm kuvvetlerin de bir tek noktaya uygulandığı kabul edilir.S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -5 5 5- - - Bir Maddesel Noktaya Etkiyen Bir Maddesel Noktaya Etkiyen DD ki kuvvetin bile ki kuvvetin bileş şkesi : kesi : • Deneysel olarak ispatlanmıştır ki iki kuvvetin yerine bir tek bileşke kuvvet konabilir. • Bileşke kuvvet (R); kenarları komşu iki kuvvetten (P ve Q) oluşan parelelkenarın köşegenine eşittir. Parelel kenar kanunu. • Kuvvet vektörel bir büyüklüktür. • KUVVET: Bir cismin diğer bir cisme etkisidir uygulama noktası, şiddeti, doğrultusu ve yönü ile tanımlanır. 10 kN , P (kalın ) veya P şeklinde gösterilir ? P r S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -6 6 6- - - Mekanikte iki tip temel b Mekanikte iki tip temel bü üy yü ükl klü ük kullan k kullanı ıl lı ır : r : • • Ve Vek kt tö ör rel el - Sadece şiddeti değil aynı zamanda yönü de olan büyüklüklerdir. Örneğin, deplasman, hız, ivme, kuvvet, moment statikte vektörel olarak tanımlanan büyüklüklerdir. • • S Sk kal ale er r: : Pozitif ve negatif olarak bir büyüklüğün şiddetidir. Örneğin kütle, hacim, uzunluk, yoğunluk, enerji gibi büyüklükler statikte skaler olarak tanımlanır.S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -7 7 7- - - DD ki Vekt ki Vektö ör rü ün toplanmas n toplanması ı ve ve ç çı ıkar karı ılmas lması ı Parelel vektörlerin toplanması TOPLAMA ÇIKARMA S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -8 8 8- - - Üç Üç veya daha fazla vekt veya daha fazla vektö ör rü ün toplanmas n toplanması ı • Üçgen kuralı • Poligon kuralı • Vektörlerin toplanması assosiyatiftir , ( ) ( ) S Q P S Q P S Q P r r r r r r r r r + + = + + = + +S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -9 9 9- - - Bir A vekt Bir A vektö ör rü ün nü ün n skaler skaler ile ile ç çarp arpı ım mı ı A vektörü ve negatifi Skaler ile çarpımı ve bölümü S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -10 10 10- - - D Dü üzlemde bir noktada kesi zlemde bir noktada kesiş şen kuvvetlerin bile en kuvvetlerin bileş şkesi kesi • Bir noktada kesişen kuvvetler : kuvvetlerin hepsi aynı bir noktadan geçmek zorunda. Bir maddesel noktaya etkiyen birden çok kuvvetin yerine hepsinin toplamına eşit olan bir bileşke kuvvet konabilir. • Vector force components: iki yada daha fazla kuvvetin yerine aynı etkiyi yapacak bir tek bileşke kuvvet konabilir.S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -11 11 11- - - Bir F vekt Bir F vektö ör rü ün bile n bileş şenlerine ayr enlerine ayrı ılmas lması ı -bileşenlerden biri biliniyorsa -bileşenlerin tesir çizgileri biliniyorsa - Sonsuz sayıda seçenek .. S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -12 12 12- - - Trigonometry TrigonometryS T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -13 13 13- - - Ö Önemli Noktalar nemli Noktalar • Kuvvet vektörel bir büyüklüktür, • Kuvvetler vektörler gibi toplanır, • Skaler pozitif yada negatif bir sayıdır, • Vektör doğrultusu, şiddeti ve yönü olan bir büyüklüktür, • Bir vektörün bir skaler ile çapımı vea bölümü sadece şiddetini değiştirecektir. Eğer skaler negatif ise yönü de değişir, • Eğer vektörler parelel ise bileşke kuvvet skaler (cebrik) toplam ile elde edilir. S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -14 14 14- - - Bir noktada kesi Bir noktada kesiş şen kuvvetler en kuvvetler Maddesel nokta kabul edilebilirS T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -15 15 15- - - Ö Örnek problem 2.1 rnek problem 2.1 Cıvataya etki eden iki kuvvetin yerine geçecek bir tek bileşke kuvvet bulunuz. SOLUTION: • Graphical solution - construct a parallelogram with sides in the same direction as P and Q and lengths in proportion. Graphically evaluate the resultant which is equivalent in direction and proportional in magnitude to the the diagonal. • Trigonometric solution - use the triangle rule for vector addition in conjunction with the law of cosines and law of sines to find the resultant. S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -16 16 16- - - • • Gra Grafik fik çö çöz zü üm m – Parelel kenar kanunu ile ° = = 35 N 98 ? R • • Gra Grafik fik çö çöz zü üm m – Kapalı çokgen oluşturur. ° = = 35 N 98 ? R Ö Örnek problem 2.1 rnek problem 2.1S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -17 17 17- - - • • Trigonometric Trigonometric çö çöz zü üm m - Apply the triangle rule. From the Law of Cosines, ( ) ( ) ( )( ) ° - + = - + = 155 cos N 60 N 40 2 N 60 N 40 cos 2 2 2 2 2 2 B PQ Q P R A A R Q B A R B Q A + ° = ° = ° = = = 20 04 . 15 N 73 . 97 N 60 155 sin sin sin sin sin ? N 73 . 97 = R From the Law of Sines, ° = 04 . 35 ? Ö Örnek problem 2.1. rnek problem 2.1. S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -18 18 18- - - Ö Örnek rnek Problem 2 Problem 2.2 .2 ® ® a) Her iki ipteki çekme kuvvetini hesaplayınız for ? = 45 o , b) 2. ipteki kuvvetin en küçük olması için ? ne olmalıdır. Şekilde görüldüğü gibi bir mavna iki römorkör tarafından çekiliyor. Römorkörlerin uyguladığı bileşke kuvvet mavnanın ekseni doğrultusunda 20 kN olduğuna göre Çözüm için Yol gösterme : • Find a graphical solution by applying the Parallelogram Rule for vector addition. The parallelogram has sides in the directions of the two ropes and a diagonal in the direction of the barge axis and length proportional to 20 kN. • The angle for minimum tension in rope 2 is determined by applying the Triangle Rule and observing the effect of variations in ?. • Find a trigonometric solution by applying the Triangle Rule for vector addition. With the magnitude and direction of the resultant known and the directions of the other two sides parallel to the ropes given, apply the Law of Sines to find the rope tensions.S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -19 19 19- - - • • Gra Grafik fik çö çöz zü üm m – Paralel kenar yasası ile; bileşke kuvvetin şiddeti ve yönü biliniyor, kN 3 . 10 T kN 6 . 14 T 2 1 ? ? 20 kN • • Trigonometric solution Trigonometric solution - Triangle Rule with Law of Sines ° = ° = ° 105 sin kN 20 30 sin T 45 sin T 2 1 kN 35 . 10 T kN 64 . 14 T 2 1 = = 20 kN Ö Örnek rnek Problem 2 Problem 2.2 .2 ® ® S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -20 20 20- - - • The angle for minimum tension in rope 2 is determined by applying the Triangle Rule and observing the effect of variations in ?. • 2. ipteki kuvvetin en küçük olduğu hal çok açıktır ki T 1 and T 2 birbirine dik olduğundadır ( ) ° = 30 sin kN 20 T 2 kN 10 T 2 = ( ) ° = 30 cos kN 20 T 1 kN 32 . 17 T 1 = ° - ° = 30 90 ? ° = 60 ? 20 kN 20 kN Ö Örnek rnek Problem 2 Problem 2.2 .2 ® ®S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -21 21 21- - - D DDD KKAAAT KKAAAT Ger Gerç çekte ve mekanik analizde kuvvetlerin y ekte ve mekanik analizde kuvvetlerin yö ön nü ü S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -22 22 22- - -S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -23 23 23- - - Ç Çal alış ışma ma Prob Prob. .- -2.1 2.1 Şekilde görüldüğü gibi A noktasından bağlanmış iki kablo ile dengelenmektedir. P = 300N olduğuna göre: a) A daki bileşke kuvvetin düşey olması için ? açısı ne olmalıdır. (~ 43°) b) Bu durumda R nin şiddeti ne olur . (~ 513 N) Dki yapı elemanı A and B şekildeki gibi perçinlenmişt ir. Her iki elemandaki kuvvetinde basma olduğunu ve A’ dakinin 30 kN ve B dekinin de 20 kN olduğunu biliyoruz, bileşke kuvvetin yününü ve şiddetini bulunuz . (~ 41.36 kN, ~ 108°) Ç Çal alış ışma ma Prob Prob. .- -2.2 2.2 S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -24 24 24- - - Yanda görülen cıvataya etki eden bileşke kuvvetin şiddetini ve yönünü belirleyiniz. Calculate angles Angle COA = 90 0 -15 0 -10 0 = 65 0 Angle OAB = 180 0 -65 0 = 115 0 Find F R from law of cosines. Find ? from law of sines. Angle ? = ? + 15 0 Ç Çal alış ışma ma Problem Problemi i 2 2.3 .3 ® ®S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -25 25 25- - - Bir kuvvetin dik bile Bir kuvvetin dik bileş şenleri : Birim vekt enleri : Birim vektö örler. rler. ? ? sin . cos . F F F F y x = = • Vektör bileşenleri onların skaler şiddetlerinin birim vektörlerle çarpımı ile aşağıdaki gibi ifade edilebilir. F x and F y ye ‘in skaler bileşenleri denir. j F i F F y x r r r + = F r • Bir maddesel noktaya etki eden kuvvet vektörü parelel kenar kanununa göre gibi iki bileşene ayrılabilir ki bu parelel kenar özel olarak dikdörtgen ise bu durumdaki bileşenlere de dik bileşenler adı verilir y x F F F r r r + = y x F F r r ve • Şiddetleri 1 olan pozitif x ve y eksenleri doğrultusunda olan birim vektörler i tanımlanırsa ; j i r r and F r S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -26 26 26- - - (0.819) Ö Örnek rnek Problem 2 Problem 2.4 .4 ® ® Cıvataya etki eden 800 N luk kuvvetin dik bileşenlerini belirleyiniz.S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -27 27 27- - - Şekildeki gibi bir adam A da çatıya bağlanmış ipi 300 N luk bir kuvvet ile çekmektedir. Bu kuvvetin A noktasındaki yatay ve düşey bileşenlerini bulunuz. o 87 . 36 F F tan x y - = = ? ? yönü Ö Örnek rnek Problem 2 Problem 2.4 .4 şiddeti N 300 F F F F 2 y 2 x = + = S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -28 28 28- - - x x ve ve y y dik bile dik bileş şenlerinin toplanmas enlerinin toplanması ı ile kuvvetlerin toplam ile kuvvetlerin toplamı ı S Q P R r r r r + + = • Bir noktada kesişen 3 yada daha fazla kuvvetin bileşkesini bulmak istediğimizde, ( ) ( )j S Q P i S Q P j S i S j Q i Q j P i P j R i R y y y x x x y x y x y x y x r r r r r r r r r r + + + + + = + + + + + = + • Her bir kuvveti dik bileşenlerine ayırırsak, ? = + + = x x x x x F S Q P R • Verilen kuvvetlerin skaler bileşenleri toplamı bileşke kuvvetin skaler bileşenleri toplamına eşittir. ? = + + = y y y y y F S Q P R x y 1 2 y 2 x R R tan R R R - = + = ? • Bileşkenin kuvvetin şiddeti ve yönü,S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -29 29 29- - - Cıvataya etki eden dört kuvvetin yerine geçecek olan bileşke kuvveti hesaplayınız SOLUTION: • Resolve each force into rectangular components. • Calculate the magnitude and direction of the resultant. • Determine the components of the resultant by adding the corresponding force components. Ö Örnek rnek prob prob. 2.5 . 2.5 S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -30 30 30- - - 2 2 3 . 14 1 . 199 + = R N 6 . 199 = R • Bileşke kuvvetin şiddeti ve yönü. N 1 . 199 N 3 . 14 tan = ? ° = 1 . 4 ? • Bileşke kuvvetin dik bileşenleri. SOLUTION: • Her bir kuvvet dik bileşenlerine ayrılırsa. 9 . 25 6 . 96 100 0 . 110 0 110 2 . 75 4 . 27 80 0 . 75 9 . 129 150 4 3 2 1 - + - + - + + - - F F F F comp y comp x mag force r r r r 1 . 199 + = x R 3 . 14 + = y R Ö Örnek rnek prob prob. 2.5 . 2.5S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -31 31 31- - - Ç Çal alış ışma ma prob prob. 2.4 . 2.4 Bileşke kuvvetin şiddetini ve yönünü bulunuz. a) Resolve the forces in their x-y components. b) Add the respective components to get the resultant vector. c) Find magnitude and angle from the resultant components. S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -32 32 32- - - F 1 = { 15 sin 40° i + 15 cos 40° j } kN = { 9.642 i + 11.49 j } kN F 2 = { -(12/13)26 i + (5/13)26 j } kN = { -24 i + 10 j } kN F 3 = { 36 cos 30° i – 36 sin 30° j } kN = { 31.18 i – 18 j } kN Ç Çal alış ışma ma prob prob. 2.4 . 2.4S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -33 33 33- - - Summing up all the i and j components respectively, we get, F R = { (9.642 – 24 + 31.18) i + (11.49 + 10 – 18) j } kN = { 16.82 i + 3.49 j } kN x y ? F R F R = ((16.82) 2 + (3.49) 2 ) 1/2 = 17.2 kN ? = tan -1 (3.49/16.82) = 11.7° Ç Çal alış ışma ma prob prob. 2.4 . 2.4 S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -34 34 34- - - Kısa sınav 1. F kuvvetini x ve y eksenleri boyunca vektörel olarak ifade ediniz. F = { ___ } N A) 80 cos (30°) i - 80 sin (30°) j B) 80 sin (30°) i + 80 cos (30°) j C) 80 sin (30°) i - 80 cos (30°) j D) 80 cos (30°) i + 80 sin (30°) j 2. F 1 = { 10 i + 20 j } N ve F 2 = { 20 i + 20 j } N olduğuna göre (F 1 + F 2 )=R bileşke kuvveti hesaplayınız. A) 30 N B) 40 N C) 50 N D) 60 N E) 70 N 30° x y F = 80 NS T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -35 35 35- - - Bileşke kuvvetin şiddetini ve yönünü bulunuz. Scalar Solution x x y y R x o o R R y o o R 1 o F F F 600 cos 30 N 400 sin 45 N 236.8 N F F F 600 sin 30 N 400 cos 45 N 582.8 N 582.8 N tan 67.9 236.8 N + + + + - - - - = = = = = - = › = - = › = - = › = - = › = = = = = + = ^ = + = ^ = + = ^ = + = ^ ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = ? = = ? = = ? = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? › › › › ? ? ? ? +^ +^ +^ +^ Ç Çal alış ışma ma prob prob. 2.5 . 2.5 S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -36 36 36- - - Kartezyen vektörel çözüm ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) o o 1 o o 2 R 1 2 o o o o R ˆ ˆ F 600cos 30 i 600sin 30 j N ˆ ˆ F 600cos 30 i 600sin 30 j N F F F ˆ ˆ 600cos 30 i 600sin 30 j N ˆ ˆ 600cos 30 i 600sin 30 j N ˆ ˆ F 236.8i 582.8j N = + = + = + = + = + = + = + = + = + = + = + = + = + + = + + = + + = + + + + + + = + = + = + = + r r r r r r . . . . . .S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -37 37 37- - - Ç Çal alış ışma ma prob prob. 2.6 . 2.6 Tüm kuvvetler aynı düzlemde ve O noktasından geçiyor. Bileşke kuvvetin şiddetini ve yönünü bulunuz. S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -38 38 38- - - Dki kuvvet etkisindeki maddesel nokta: - Eşit şiddet - Aynı doğrultu - Zıt yön 100 N 100 N Maddesel Noktan Maddesel Noktanı ın Dengesi n Dengesi • Bir maddesel noktanın dengede olabilmesi için gerek ve yeter şart maddesel nokta üzerine etki eden tüm kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olmasıdır. Eğer sıfırsa maddesel nokta dengededir denir. • Newton’s 1. yasasına göre , this is expressed mathematically as R= ?F=0 şeklinde ifade edilebilir burada ?F maddesel nokta üzerine etki eden tüm kuvvetlerin vektörel toplamıdır Belli bir ağırlıktaki motoru taşıyan ip kuvvetleri nedir ? Veya hangi kalınlıkta ip kullanılmalı ?S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -39 39 39- - - • Aşağıdaki gibi 4 kuvvet etkisindeki A maddesel noktası dengede midir ? 0 F 0 F 0 ) F ( ) F ( 0 ) F F ( 0 F R y x y x y x = = = + = + = = ? ? ? ? j i j i ? ? r r F 1 =300 N F 2 =173.2 N F 4 =400 N F 3 =200 N F 4 =400 N F 2 =173.2 N F 3 =200 N F 1 =300 N - Grafik çözüm kapalı çokgen olmalı (Bileşke kuvvetin sıfır olması için ) -Cebrik çözüm + + 0 F ) 30 (cos 400 ) 30 (cos 200 2 . 173 F 0 F ) 30 (sin 400 ) 30 (sin 200 300 F y y x x = + - - = = - - = ? ? ? ? S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : S T A T S T A T S T A T İ İ İ K K K : : : © 2008 NM - - -40 40 40- - - D Dü üzlemde (2D) kuvvetler zlemde (2D) kuvvetler Düzlemde bir maddesel noktanın dengesi için ; - ?F = 0 veya açık olarak - ?F x i + ?F y j = 0 yazarız. Bu ifadenin sıfır olabilmesi için de her iki bileşenin ayrı ayrı sıfır olması gerekir. Bu nedenle , ?F x i = 0 ve ?F y j=0 yazılır . Bu ifadelere de düzlemde 2D denge denklemleri denir. Bu ifadeler yardımıyla en fazla iki adet bilinmeyen skaler değer bulunabilir.