Genel makina dinamiği ders notları Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 1 m =sistem in kütlesi o m Fdin kam a yuvası ? 2) 1) ? m k G Rijit dst=0 ? Kons. el. m k:dengesizliği oluşturan kütle (kam a yuvasının ağırlığı) n F din=m k??² Elastik dst?0 DENGELEME 1.) Kütle dengelemesi (Rotor) 2.) Periyodik çevrimli makinaların dengelenmesi (Krank-Biyel) 3.) Güç dengelenmesi (Volan) 1.) Kütle Dengelenmesi : Makine mühendisliğinde bütün dönen makine parçalarının adına rotor denilmektedir. Örneğin; miller, dişli çarklar, kasnaklar vs. Bütün bu elemanların dönme ekseni ile ağırlık merkezinden geçen eksenin çakışması gerekir. Aksi takdirde dönme hızları arttıkça kütle atalet kuvvetleri (merkezkaç kuvvetleri, santrifüj kuvvetleri) ve bunların meydana getirecekleri eğilme momentleri ile dönme momentleri konstrüksiyon için büyük problemler oluştururlar. Bundan dolayı, rotorların dönme ekseni ile ağırlık merkezinden geçen eksenin çakışmasını sağlayabilmek için kütle atalet kuvvetlerinin dengelenmesi gerekmektedir. Rotorlar iki sınıfa ayrılır : 1.) Rijit Rotor : Dönme hareketi esnasında hiçbir deformasyon yapmadığı kabul edilir. 2.) Elastik Rotor : Dönme hareketi esnasında azda olsa üzerinde deformasyonların oluştuğu kabul edilen rotor. 2 din k F m = ?? Eksen kaçıklığı Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 2 L1 Fdin=mk??² A Fden=md?d?² L2 B Fiziksel Model kuvvet) (santrifüj . . . . 2 2 ? ? ? e m m F din = = = =e ? eksen kaçıklığı = ? . m dengelenmemiş büyüklük ( ) sn rad 30 .n ? ? ? = = Ağırlık merkezi kaydığından dolayı bu rotor üzerinde dengesizlik meydana gelecektir. Dolayısıyla bu dengelenmemiş büyüklüğün bir dengeleme büyüklüğü ile dengelenmesi gerekmektedir. = d d m ? . dengeleme büyüklüğü ( ) ( ) ( ) ( ) d d k d d k din din den din din m m m m B A F F F B A ? ? ? ? ? ? . . . . . . 0 2 2 = › = = = › = = + Pratikte dönen elemanların meydana getirdikleri kütle atalet kuvvetleri, yataklarda dinamik kuvvet olarak ortaya çıkacaktır. Bu durumda, yatak kuvvetlerini sıfır ( 0 = = din din B A ) yapabildiğimiz takdirde ideal (en mükemmel) dengeleme yapılmış olacaktır. 0 0 = = din din B A 3 3 ? m 2 2 ? m 1 1 ? m 4 4 ? m A B Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 3 G o ? Rotorların dengelenmesi sonucunda dengeleyemediğimiz kalıcı artık kütle atalet kuvvetleri olacaktır. Bu durumda, standartlar atalet kuvvetlerinin doğurduğu titreşimlerin hızlarının sınırlarını belirlemiştir. Bu hız sınırı aşağıda verilmiştir. Titreşim hızı ( ) ? ? ? . mm/s . = = dt dx e Rotor Titreşim Hızı ( ? . e ) Otomobil tekerleği 40 mm/s Santrifüj pompa 6,5 mm/s Uçak tahrik sist. rotoru 2,5 mm /s Taşlama tezgahı mili 0,4 mm/s I.) Statik Dengeleme ( 0 M ve 0 F ? = ? ? ) Dengelenmemiş ? . m büyüklüğünü dengelemek için karşısına aynı doğrultuda d d m ? . dengeleme büyüklüğünü yerleştirmek ve böylece dengelemeyi gerçekleştirmek her zaman mümkün olmayabilir. (Örnek: Kam Mili) ? A L1 Fden=md?d?² I d1 Fdin=m??² m ? s L2 md ?d B A me L BDoç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 4 Adin=0 md Bdin=0 ? ? = = › ? = › = = › = s F s F M M m m m m F F F den din e d d d d den din . . 0 . . . . . . 0 2 2 ? ? ? ? ? ? 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 . . . . . . ) .( ) .( l l s F l l s m B A s m s F l l B l l A M din bin din din din din e + = + = = = = + = + = ? ? ? ? Tek düzlemde dengeleme yapıldığından burada mükemmel dengeleme yapılamamıştır. Yalnız kuvvetler dengelenmiş olup momentler dengelenmemiştir. Dolayısıyla, 0 0 ? ? din din B A dır. Bu şekilde, ideal dengelemenin olmadığı duruma statik dengeleme denilir. II.) Dinamik Dengeleme : 0 M ve 0 F = = ? ? A) s=0 (Aynı düzlemde dengeleme) den d d F m = 2 ? ? din F m = 2 ?? d d den din din din m m F F M F B A ? ? = = = = = = ? ? 0 , 0 0 , 0 B) s?0 (Farklı düzlemde dengeleme - Kam mili mekanizması) Sistem, üzerinde bulunan kütlelerin durumuna göre 1 veya 2 dengeleme düzlemi ile dengeleme yapılır. (md?d)1 Adin=0 (md?d)2 a s1 m? s2 Bdin=0 b d2 d1 nDoç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 5 ? ? = = = = 0 , 0 0 , 0 M F B A bin din Dengeleme düzlemlerinin ( ) 2 1 ve d d yeri, 2 1 ve s s olarak seçilerek, ( ) ( ) ıı 1 . ve . d d d d m m ? ? dengeleme büyüklükleri hesaplanır. ( ) ( ) ( ) ( ) bulunur. . 0 ) ( . . . . 0 . . . . . . 0 ıı 2 1 2 ıı 2 1 1 2 2 ıı 2 1 d d d d d d d d d m s s m s m M m m m F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = + - ? = = + ? = ? ? ( ) ( ) ıı 1 . . 0 d d d d m m m F ? ? ? - = ? = ? olarak hesaplanır. Örnek: G=100N n=1200 d/dak a) Tekerlek üzerinde yataklara gelen dinamik kuvvetleri hesaplayınız? b) Bu sistemin dengelenmesini gerçekleştiriniz? Çözüm: a) N 25 , 1207 2 N 5 , 2414 30 1200 . . 10 . 15 . 81 , 9 100 . . 2 3 2 = = = = ? ? ? ? ? ? = = - din din din din din din F B A F F m F ? ? ? a=150mm n A e=15mm b=150mm 1000mm G jant o B A Fdin=m??² a m? B bDoç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 6 1000mm G o md e b) I-) İlave kütle koyarak dengeleme : den d d F m = 2 ? ? din F m = 2 ?? kg 315 , 0 485 , 0 . 10 . 15 . 81 , 9 100 . . . . . . 3 2 2 = = ? = ? = - d d d d d d m m m e m m e m ? ? ? ? Eksen kaçıklığının tam karşısına kg 315 , 0 = d m değerinde bir dengeleyici kütle (kurşun) konularak sistem dengelenmiş olur. II-) Kütle çıkararak dengeleme: Bu konstrüksiyonda kütle çıkarma sistemin mukavemetini azaltabilir. Ancak, aşağıda verilen bir konstrüksiyon tarzında kütle çıkarma mümkün olabilir. R=5m bosaltilan kütle G ?d oDoç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 7 (md?d) 150 A I 150 150 II a B Örnek: Şekilde verilmiş dengelenmemiş kütlelerin iki düzlemde dengelenmesi istenmektedir. a) Yatak kuvvetlerini bulunuz? b) Verilenlere göre dengeleme büyüklüğünü bulunuz? n= 900 d/dak 3 1 1 10 . 9 - = ? m 3 2 2 10 . 3 - = ? m Çözüm: a) N 94 , 79 30 900 . . 10 . 9 . . 1 2 3 1 2 1 1 1 = ? ? ? ? ? ? = = - din din din F F m F ? ? ? N 64 , 26 30 900 . . 10 . 3 . . 2 2 3 2 2 2 2 2 = ? ? ? ? ? ? = = - din din din F F m F ? ? ? N B A B A m B m A F 7 , 52 ) 30 .( 10 . 6 . . . . 0 2 3 2 1 1 2 2 2 = - = - + = + = - ? ? ? ? ? ? N A A N B B M A 44 7 , 52 ) 68 , 8 ( 68 , 8 0 450 . 300 . 64 , 26 150 . 94 , 79 0 = ? = - - - = = + - = ? b) I. çözüm : II. düzlem olarak, ( ) 2 2 ? m ’nin düzlemi ve dengeleme büyüklüğü seçilerek, I düzleminin yeri ve dengeleme büyüklüğü bulunabilir. ( ) ( ) mm a a a m a m M kgm m m m m F d d d d d 75 0 ) 150 .( 10 . 3 10 . 9 - 0 ) 150 ( . . . . . - 0 10 . 6 10 . 3 10 . 9 . . . . . . 0 3 3 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 ı 2 1 1 2 2 2 2 ı = ? = + + = + + ? = = - = = + ? = - - - - - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 8 II. çözüm : I ve II düzlemlerinin yeri seçilerek dengeleme büyüklükleri bulunur. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 . 5 , 5 10 . 5 , 0 10 . 6 . 10 . 5 , 0 . 0 .350 . 250 . 10 . 3 100 . 10 . 9 - 0 350 . . 250 . . 100 . . - 0 10 . 6 10 . 3 10 . 9 . . . . . . . . . 0 3 3 3 1 1 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 ıı 2 2 ı 1 1 2 1 1 2 ıı 2 2 2 2 2 2 ı 1 1 kgm m kgm m m m m m M kgm m m m m m m F ı d d ıı d d d d d d d d d d d d d d d - - - - - - - - - = - = = = + + = + + ? = = - = + = + + ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (md?d)? 100 Adin=0 50 I m2?2 150 m1?1 (md?d)?? 50 100 II Bdin=0Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 9 Farklı Düzlemlerdeki Kütlelerin Dengelenmesi: Şekil 1) Şekil 2) Şekil 3) A d? a I Z m2?2 önden m1?1 b d?? II X B Y A d? X Y I Z m2?2 B m1?1 m3?3 ?3 d?? m2?2 Y ?2 ?1 m3?3 II Z (referans ekseni) X m1?1 d? A d?? I m1?1 m2?2 II m3?3 B m2?2 m1?1 Y soldan Z XDoç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 10 Şekil 4) Şekil 5) (m?)z Y A m? B (m?)y (m?)x ß ? Z m? X A D1 D2 B D1 Z X D2 Z XDoç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 11 Dinamik Dengeleme İşlemi: 0 0 = = din din B A 0 0 = ? = ? M F din 1-) En genel durumda matematik olarak dengelemeyi yapabilmek için mil üzerinde dengelenmemiş kütlelerin bulunduğu bölge dışında iki dengeleme düzlemi seçilir. 2-) Seçilen dengeleme düzlemlerinin konstrüksiyon için uygun olup olmadığı araştırılır. Eğer, kütlelerin bölgesi dışında dengeleme düzlemleri seçilmemesi gerekiyorsa konstrüksiyona uygun olacak tarzda ara yerde dengeleme düzlemleri seçilerek dengeleme gerçekleştirilir. 3-) Dengelenmemiş her kütle, bulundukları düzlemde ayrı ayrı I ve II no’lu dengeleme düzlemleri kullanılarak dengelenir. 4-) Dengeleme düzlemlerinde ortaya çıkan dengeleme büyüklüklerinin bileşke vektörü ve açısı bulunur. Yani, önce I no’lu dengeleme düzlemine konulan dengeleme büyüklüklerinin x ve z yönündeki bileşenleri bulunur. Sonra bileşkesi alınarak bu düzleme konulması gereken bileşke dengeleme büyüklüğü 2 2 ) ( ) ( ) ( I dz dz I dx dx I d d m m m ? ? ? + = bulunur. Bu büyüklüğün yeri de ) / ( I d I d I x F z F Arctg = ? olarak hesaplanır. Aynı işlemler, II no’lu dengeleme düzleminde tekrar edilerek oradaki 2 2 ) ( ) ( ) ( II dz dz II dx dx II d d m m m ? ? ? + = dengeleme büyüklüğü ve ) / ( II d II d II x F z F Arctg = ? açısı hesaplanır. Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 12 a A I B b II B A a b I II I x z II z x a b A B I II z x y x z Örnek: 1 1 ? m 1 1 ? m 2 2 ? m 2 2 ? m Z ekseni X ekseni 1 1 ? m 2 2 ? m ( ) I dx dx m ? ( ) II dx dx m ? ( ) I dz dz m ? ( ) II dz dz m ? ( ) I dx F ( ) II dx F ( ) I dz F ( ) II dz F I nolu dengeleme düzlemi II nolu dengeleme düzlemi ( ) I dx dx m ? ( ) II dx dx m ? 1 ? 2 ? ( ) I dz dz m ? ( ) II dz dz m ? ( ) I d d m ? ( ) II d d m ? Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 13 I nolu dengeleme düzleminde oluşturulan dengeleme kuvveti. 2 2 ) ( ) ( ) ( I dx I dz I d F F F + = II nolu dengeleme düzleminde oluşturulan dengeleme kuvveti. 2 2 ) ( ) ( ) ( II dx II dz II d F F F + = I nolu dengeleme düzlemindeki dengeleme büyüklüğü 2 2 ) ( ) ( ) ( I dz dz I dz d I d d m m m ? ? ? + = II nolu dengeleme düzlemindeki dengeleme büyüklüğü 2 2 ) ( ) ( ) ( II dz dz II dx dx II d d m m m ? ? ? + = I dx dx I dz dz I d I d I m m Arctg x F z F Arctg ) ( ) ( ) ( ) ( ? ? ? = = II dx dx II dz dz II d II d II m m Arctg x F z F Arctg ) ( ) ( ) ( ) ( ? ? ? = = Problem1 d/d 1500 m, 3 . 0 m, 2 . 0 kg, 1.5 kg, 3 kg, 0.5 kg, 1 2 1 4 3 2 1 = = = = = = = n r r m m m m a) Dengelenmemiş durumda, A ve B yatak kuvvetlerini bulunuz? b) Bu sistemde ideal dengelemeyi gerçekleştirerek, I ve II nolu dengeleme düzlemlerine konulacak dengeleme büyüklüklerini ve açılarını bulunuz? n A 100 150 200 150 250 I II z m1 x B D2 D1 z x y m2 D1 r2 m2 D2 m3 x r1Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 14 Çözüm: a) kg m m kg m m Z X 5 . 1 5 . 0 3 60 cos 6 . 2 866 . 0 3 30 cos 3 3 3 3 = × = = = × = = rd/s 50 30 1500 . ? ? ? = = D 2› Z ekseninde 0 5 . 1 5 . 1 3 4 = - = - Z m m Z Ekseni X Ekseni N r m B A Z Z 4 . 2467 2 1 2 = = + ? ? = + - › = 0 600 250 0 2 1 2 z z B r m MA ? N B z 1028 600 250 . 616850 = = N A z 3 . 1439 = 2 1 1 2 2 3 ? ? r m B r m A x x x + = + 8 . 4934 7 . 19245 + = + x x B A N A B x x 8 . 14310 = - ? = + - › = 0 600 450 250 0 2 2 3 2 1 1 x x x B r m r m MA ? ? N B x 13 . 12378 600 8 . 7426877 = = N A x 77 . 1932 - = N A A A Z X 8 . 2409 2 2 = + = N B B B Z X 74 . 12420 2 2 = + = m3x m4 z m3z m3 x Az Bz m2 350 250 250 r1 Ax m3x Bx m1 r1 200 150 250 250 r2Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 15 b) Z Ekseni X Ekseni Z Ekseni ? + = › = IIZ IZ z m m r m F ) ( ) ( 0 1 2 ? ? IIZ IZ m m ) ( ) ( 1 . 0 ? ? + = ? = + - › = 0 750 ) ( 150 0 1 2 IIZ z m r m MI ? kgm 08 . 0 ) (m kgm 02 . 0 ) ( IZ = = ? ? IIZ m X Ekseni ? = + + › = 2 3 1 1 . ) ( ) ( 0 r m m r m m F X IIX IX X ? ? 58 . 0 ) ( ) ( 78 . 0 ) ( 2 , 0 ) ( = + = + + IIX IX IIX IX m m m m ? ? ? ? 0 750 ) ( 350 150 . 0 2 3 1 1 = + - › = ? IIX X X m r m r m MI ? kgm 256 . 0 ) (m kgm 323 , 0 ) ( IX = = ? ? IIX m I nolu dengeleme düzlemi kgm 268 . 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 = + = IZ IX I m m m ? ? ? o IX IZ I m m Arctg 35 . 17 ) ( ) ( = = ? ? ? 3. Bölgede o o o I 35 . 197 35 . 17 180 = + = ? 2 . ) ( ? ? I denI m F = N F denI 93 . 6605 = Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 16 z x I II x z II nolu dengeleme düzlemi kgm 324 . 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 = + = IIZ IIX II m m m ? ? ? o IIX IIZ II m m Arctg 53 . 3 ) ( ) ( = = ? ? ? 3. Bölgede o o o II 53 . 183 53 . 3 180 = + = ? 2 . ) ( ? ? II denII m F = 8001 = denII F N ( ) 256 , 0 = Ix m? ( ) 323 , 0 = IIx m? 1 ? 11 ? ( ) 08 , 0 = Iz m? ( ) 02 , 0 = IIz m? ( ) 268 , 0 = I m? ( ) 324 , 0 = II m? Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 17 n 100 A 150 I 200 150 250 II 100 B z x Problem 2: ( ) 2 ? m ( ) 3 ? m ( ) 2 ? m ( ) 3 ? m ( ) 1 ? m ( ) 1 ? m d/d 1200 kgm, 4 . 1 kgm, 0.8 kgm, 2 . 1 3 3 2 2 1 1 = = = = n m m m ? ? ? a) A ve B yatak kuvvetlerini bulunuz? b) Tam dengelemeyi gerçekleştiriniz? (Dengeleme büyüklüklerini ve açılarını bulunuz?) Çözüm: a) 7 . 0 , 69 . 0 , 848 . 0 40 , 21 . 1 , 4 . 0 , 848 . 0 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 = = = = = = = Z Z Z X X m m m m m m X ? ? ? ? ? ? ? ? X Ekseni Z Ekseni ? = 0 X F X X X X X B m m m A + + = + 2 2 2 2 1 1 2 3 3 ? ? ? ? ? ? N B A X X 600 ) 40 ( 038 . 0 2 = = - ? Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 18 ? = 0 X MA 0 950 850 500 150 2 3 3 2 2 2 2 1 1 = + - + X X X X B m m m ? ? ? ? ? ? N A N B X X 35 . 12257 35 . 11657 = = ? = 0 Z F Z Z Z Z Z B m m m A + + = + 2 2 2 2 1 1 2 3 3 ? ? ? ? ? ? N A B Z Z 9 . 9558 ) 40 ( 542 . 0 2 = = - ? ? = 0 Z MA 0 950 850 500 150 2 3 3 2 2 2 2 1 1 = + - + Z Z Z Z B m m m ? ? ? ? ? ? N A N B Z Z 56 . 4951 76 . 13510 = = N A A A Z X 8 . 13219 2 2 = + = N B B B Z X 73 . 17844 2 2 = + = b) X Ekseni Z Ekseni ? = 0 X F IIX X X X IX m m m m m ) ( ) ( 2 2 1 1 3 3 ? ? ? ? ? + + = + 038 . 0 ) ( ) ( = - IIX IX m m ? ? ? = 0 X MI 0 600 450 ) ( 250 100 3 3 2 2 1 1 = - + + - X IIZ X X m m m m ? ? ? ? kgm 617 . 1 ) ( kgm 58 . 1 ) ( = = IX IIX m m ? ? Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 19 ? = 0 Z F Z Z IZ IIZ IZ m m m m m 3 3 2 2 1 ) ( ) ( ? ? ? ? ? + + = + 542 . 0 ) ( ) ( = - IZ IIZ m m ? ? ? = 0 Z MI 0 600 450 ) ( 250 100 3 3 2 2 1 1 = - + + - Z IIZ Z Z m m m m ? ? ? ? kgm 963 . 0 ) ( kgm 5 . 1 ) ( = = IZ IIZ m m ? ? I nolu dengeleme düzlemi kgm 882 . 1 ) ( ) ( ) ( 2 2 = + = IZ IX I m m m ? ? ? o IX IZ I m m Arctg 77 . 30 ) ( ) ( = = ? ? ? 1. Bölge II nolu dengeleme düzlemi kgm 178 . 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 = + = IIZ IIX II m m m ? ? ? o IIX IIZ II m m Arctg 5 . 43 ) ( ) ( = = ? ? ? 3. Bölge o o o II 5 . 223 5 . 43 180 = + = ? Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 20 Problem 3: n=1848 dev/dak a) Dinamik yatak kuvvetlerini hesaplayınız? b) Bu sistemi dinamik olarak dengeleyiniz? KRANK - BİYEL MEKANİZMASININ DENGELENMESİ Peryodik çevrimli makinelerin en basiti olmak üzere tek silindirli bir motorun dengelenmesi ele alınacaktır. Çünkü, böyle bir sistem mühendislik açısından motorların kullanıldığı her durumda karşımıza çıkan bir problem olup, mutlaka dengelenmesi gerekmektedir. Çünkü, gerek gaz kuvvetleri gerekse gidip gelen ve dönen parçaların bulunması sistem üzerinde dengelenmemiş kütle ve kuvvetleri doğuracaktır. Y X ZDoç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 21 Ao A B 1 2 L r G1 G2 krank biyel ? piston Ao Ao A L B Piston Biyel Krank mb mb r ? Krank biyel mekanizmalarında gaz kuvvetleri oluşurken dönen ve gidip gelen kütleler ise atalet kuvvetlerini oluştururlar. Bu sistemin dengelenebilmesi için ana yataklara intikal eden atalet kuvvetlerinin sıfır veya sıfıra yakın bir değerde olması gerekmektedir. Bunun için kinetik analiz yapılarak hız ve ivme değerleri bulunur. Daha sonra dinamik analiz için kütle atalet kuvvetleri dengeleme büyüklükleri, yatak büyüklükleri hesaplanır. Kütle atalet kuvvetleri bulunarak bunların dengelenmesi yapılacaktır. Biyel kütlesi iki parçaya ayrılır ve bunlar A ve B noktalarına indirgenir. Aynı şekilde, krank kütlesi de iki parçaya ayrılarak, A ve A 0 noktalarına indirgenebilir. Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 22 Ao ?=?t r piston A 1 2 biyel L B krank mp mö x mb ? H y md x ? G1 G2 1 G ( Krankın ağırlık merkezi) 2 G ( Biyelin ağırlık merkezi) İ 2 =AG 2 .G 2 B (Biyel atalet yarıçapı) İ 2 =A 0 G 1 .G 1 A (Krank atalet yarıçapı) ? ? sin . . . 2 r m d 2 . . ? r m d ? ? cos . . . 2 r m d m d = dönen kütle (krank miline indirgenmiş kütle) m ö = ötelenen kütle (piston miline indirgenmiş kütle) m p = piston kütlesi m A (1) = (1) nolu krank elemanından A’ya indirgenen kütle m A (2) = (2) nolu biyel elemanından A’ya indirgenen kütle m B (2) = (2) nolu biyel elemanından B’ye indirgenen kütle 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) sin ( 1 cos sin sin sin . sin . / sin ve / sin cos . cos . . . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L r L r L r AH L AH r AH L r x B H H A x m m m m m m o B p ö A A d - = › = = = = = + = + = + = + = Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 23 r/L<1 olmak üzere Binom açılımı uygulanacak olursa; ) sin 2 1 1 ( cos . ..... sin 2 1 1 sin 1 2 2 2 2 2 2 2 / 1 2 2 2 ? ? ? ? L r L r x L r L r - + = + - = ? ? ? ? ? ? - x=x B pistonun hareketi olduğuna göre pistonun hızı ; ) 2 sin 2 1 (sin cos . sin 2 2 sin ve cos . sin 2 1 2 sin . 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L r rw v w dt d dt d L r dt d r dt dx v B B + - = = = - - = = B a (B noktasının ivmesi) ) 2 cos (cos a B dt d L r dt d rw dt dv B ? ? ? ? + - = = ) 2 cos (cos 2 ? ? L r rw a B + - = Pistondaki kütle m ö =m p +m B (2) olduğuna göre atalet kuvveti (x doğrultusunda) hareketin ters yönünde aşağıdaki formülden bulunur. ? ? 2 cos ) .( . . cos . . . 2 . 2 L r w r m w r m a m F ö ö b ö B + = = x yönündeki toplam atalet kuvveti F x , y yönündeki atalet kuvveti F y olmak üzere yataklara gelen dinamik kuvvetler: y d y x ö ö d x A w r m F A L r w r m w r m m F ) ( sin . . ) ( 2 cos ) ( . . cos . . ). ( 0 2 0 2 2 = = = + + = ? ? ? Herhangi bir t anında sistemde oluşan atalet kuvvetleri, bu şekilde yataklar vasıtasıyla sisteme iletilmiş olur. Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 24 mb r Ao r' md II. mertebeden atalet kuvvetlerinin ) 2 cos ) ( . . ( 2 ? L r w r m ö ihmal edilmesi istendiği durumlarda yataktaki bileşke dinamik kuvvet ( F ? ), [ ] 2 / 1 2 2 2 2 2 2 0 ) sin . . ( ) cos . . ) (( ? ? w r m w r m m Fy Fx F A d ö d + + = + = ? = Dengeleme (Balans) Kütlesinin Değeri ) ( b m Seçilecek m b (balans kütlesi) dengeleyici kütle, yerleştirileceği mesafe ve açısal konuma göre Fx ve Fy dinamik kuvvetlerini belirli ölçüde etkileyecektir. En genel halde, dengeleyici kütle m b ve ' r mesafesi ise: ? ? ? ? ? cos '. . 2 cos . . cos . . ). ( sin '. sin . . 2 2 2 2 . 2 w r m L r w r m w r m m Fx w r m w r m Fy b ö ö d b d - + + = - = çalışma şartlarına ve parametrelere göre ' .r m b değeri tespit edilir. 1-) m b =m d ve ' r r = olarak şekildeki konumda seçilsin r m r m d b = ' . düşeyde 0 .sin ).w .r' m - .r ( 2 b = = ? d m Fy yatayda ? ? ? ? cos cos 2 co . cos . . 2 2 2 2 .r'.w m . .r.w m s L r r.w m w r m Fx b d ö ö - + + = ) 2 cos (cos . . 2 cos . . . . cos . . . 2 2 2 ? ? ? ? L r w r m Fx L r w r m w r m Fx ö ö ö + = + = Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 25 Görülüyor ki dengeleyici kütle olarak ilave edilen karşı ağırlık m b , düşey kuvveti yok ederken yatay kuvveti de azaltır. Dengeleyici kuvvet arttıkça eksenel kuvvette azalır. Ancak, bu durumda bu sefer düşey yöndeki Fy kuvvetinin değeri sıfır olmaz artar. 2-) m b = m d + m ö ve II. derece atalet kuvveti ihmal edilirse yatayda Fx=0 düşeyde ? ? ? sin . . sin . ). ( sin . . 2 2 2 w r m w r m m w r m Fy ö ö d d - = + - = 3-) ,...) 5 4 , 3 2 , 3 1 , 2 1 ( ,...) 5 3 , 3 2 , 3 1 , 2 1 ( ö d b m m m + = Örnek : Tek silindirli bir motorda; d d n mm L mm r kg m kg m kg m krank biyel krank krank biyel piston 2000 292 65 178 , 0 203 , 0 142 , 0 = = = = = = olduğuna göre: a) Dengelenmemiş olan atalet kuvvetlerinin x,y eksenleri üzerindeki bileşenlerini krank dönme açısı ?=0,90,180,270,360 derecelerde hesaplayınız ve grafiğini çiziniz? b) ' r r = ve ö d balans m m m + = konulduğu takdirde Fx ve Fy kuvvetlerini bularak, grafiğini çiziniz? c) ' r r = ve ö d balans m m m 3 2 + = konulduğu takdirde Fx ve Fy kuvvetlerini bularak, grafiğini çiziniz? Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 26 25mm 40mm Ao G1 krank 1 biyel G2 2 170mm 122mm mp=0.142 kg ) 1 ( A ) 2 ( A ) 2 ( B Krank ya da biyel üzerinde bir ağırlık merkezi verilmediği takdirde, kütle yarı yarıya alt ve üst noktaya indirgenir. a) ? = 0 krank F kg m kg m m m m m m m A A A A G krank A A 109 , 0 068 , 0 25 . 40 . 0 178 , 0 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 0 0 0 = = = ? = = = + ? kg m kg m m m m m m m F B A B A G biyel B A biyel 085 , 0 118 , 0 170 . 122 . 0 203 , 0 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( = = = ? = = = + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin . . . F 2 cos ). .( . . cos . . ). ( F sn rad 209,43 30 2000. 30 .n 226 , 0 227 , 0 2 Y 2 2 x ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( r m L r r m r m m m kg m m m m kg m m m d ö ö d B B p ö A A A d = + + = = = = = = + = = = + = Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 27 3 2 4 1 5 Fx y -143 647 1435 -647 -1148 1 2 3 4 5 ? 0 0 0 90 0 180 0 270 0 360 Fx (N) 1435 -143 -1148 -143 1435 Fy (N) 0 647 0 -647 0 ?F (N) 1435 662 1148 662 1435 b) ' r r m m m ö d balans = + = ? ? ? ? ? ? ? ? 2 cos ). .( . . F cos . . ). ( 2 cos ). .( . . cos . . ). ( F 2 x 2 2 2 x L r r m r m m L r r m r m m ö ö d ö ö d = + - + + = ? ? ? ? ? ? sin . . . sin . . ). ( sin . . . F 2 2 2 y r m r m m r m ö ö d d - = + - = Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 28 4 1,3,5 Fx 2 Fy -143 644 -644 1 2 3 4 5 ? 0 0 0 90 0 180 0 270 0 360 Fx (N) 143 -143 143 -143 143 Fy (N) 0 -644 0 644 0 ?F (N) 143 660 143 660 143 Doç. Dr. Rahmi GÜÇLÜ, Makine Dinamiği Ders Notları 29 3 4 1 5 Fx 2 y c) ' r r = ve ö d balans m m m 3 2 + =