Makine Mühendisliğine Giriş Makine Mühendisliği Giriş Mekanik Ders notu MAK İNE MÜHEND İSLİĞİNE G İR İŞ 1- MEKAN İK Giri ş Mekanik, temel mühendislik bilimlerinin ba şlangıcıdır. Cisimlerin kuvvetler etkisindeki davranı şlarını inceler. Statik, Dinamik ve Mukavemet olmak üzere üç ana bölüme ayrılır. Statik; cisimlerin kuvvetler etkisindeki dengesini, Dinamik; hareketini, Mukavemet ise dayanımını ve deformasyonunu inceler. Burada bahsedilen cisimler katı cisim oldu ğundan bunlar teknolojide; Makine, Cihaz veya Tesislerin katı elemanları olarak kar şımıza çıkar. Sıvı veya gaz şeklindeki cisimler ile bunlarla temas halindeki katıların davranı şlarını Akı şkanlar mekani ği ( Hidrostatik, Hidrodinamik, Aerodinamik) bilimi inceler. Mühendislik Mekani ğinin bölümleri olarak ele alınan Statik ve Dinamik bilimlerindeki katı cisim kuvvetler etkisinde şekil de ği ştirmez. Mukavemetteki katı cisim kuvvetler etkisinde çok küçük şekil de ği ştirmeler yapar. Mekani ğin amacı, mühendislik ö ğrencilerine her problemi basit ve mantıklı bir biçimde analiz edecek gücü kazandırmak ve çözüm için az sayıda, iyi anla şılmı ş temel ilkeleri uygulatabilmekir. Temel Kavramlar ve İlkeler Mekanikte kullanılan temel kavramlar Uzay, zaman, kütle ve kuvvettir. Bu kavramlar tam olarak tarif edilemez; sezgilerimizi esas alarak kabul edilmelidirler ve mekanik çalı şmalarında zihinsel bir referans çerçevesi olarak kullanılmalıdırlar. Newton mekani ğinde Uzay, Zaman ve Kütle Birbirinden ba ğımsız mutlak kavramlardır. Temel Mekanik çalı şmaları deneysel kanıtlara dayanan altı temel ilkenin ve matemati ğin yardımı ile sürdürülür. 1-) Paralelkenar kanunu ile vektörlerin toplanması 2-) Kaydırılabilme ilkesi 3-) Newton’un 1. temel kanunu E ğer bir parçacık üzerine etkiyen bile şke kuvvet sıfır ise parçacık dengede kalır. ( 0 F = ise cisim dengededir. Cisim denede ise 0 F = dır.) 4-) Newton’un 2. temel kanunu E ğer bir parçacık üzerine etkiyen bile şke kuvvet sıfır de ğilse, parçacık bile şke kuvvetle doğru orantılı ve aynı yönde ivmeye sahip olacaktır. Fm a = 5-) Newton’un 3. temel kanunu Temas halinde olan cisimler arasındaki etki ve tepki kuvvetleri aynı büyüklükte, aynı etki doğrusu üzerinde fakat zıt yönlerdedir. 6-) Newton’un Çekim Kanunu Kütleleri M ve m olan iki parçacık birbirlerini kar şılıklı olarak e şit ve zıt yönlü F ve F - kuvvetleri ile çekerler. Bu kuvvetin şiddeti a şa ğıda verilmi ştir. 2 Mm FG r = Burada r = iki parçacık arasındaki uzaklık, G = evrensel çekim sabitidir. 1.1 STAT İK Kuvveler etkisindeki cisimlerin dengesini inceleyen bilim dalıdır. Kuvvet: Bir Cismin şeklini veya hızını de ği ştiren ve ba şka cisim tarafından uygulanan etkiye kuvve denir. Rijid Cisim: Kuvvetler etkisinde şeklini de ği ştirmeyen cisim Denge: Newton veya Galileo eksen sistemi denen orijininde güne ş bulunan ve sabit yıldızlara do ğru yönlenen eksen sistemine göre hareketsiz duran veya sabit hızla hareket eden cisim dengededir denir. Kuvvetler etkinin cinsine göre : Temas etkisi (yüzey kuvvetleri) ve uzaktan etki ( hacim kuvvetleri) olmak üzere ikiye ayrılır. Dengesi incelenen cisimle temasta olan mafsal,mesnet,kablo,çubuk gibi di ğer cisimlerden gelen kuvvetler yüzey kuvvetleridir. Uzaktan etki kuvvetlerine örnek, a ğırlık kuvvetleri, manyetik ve elektriksel alanlardan gelen kuvvetler verilebilir. Kuvvetler cisme etki bölgesine göre: İç kuvvet dı ş kuvvet şeklinde ikiye ayrılır. 1 F 2 F 3 F 4 F 1 F F 2 F M - 3 F M 4 F F - Şekilde gösterilen 1 F , 2 F , 3 F , 4 F kuvvetleri dı ş kuvvetler, F ve F - kuvvetleri ise iç kuvvetlerdir. İç kuvvetler şekilde gösterildi ği gibi cismin içinde varoldu ğu düşünülen bir kesitte olu şur.Bu hayali kesitle cisim iki parçaya ayrılır. Olu şan bu iki ayrı kesitteki iç kuvvetlerin etki tepki ilkesine göre şiddet ve do ğrultuları aynı yönleri zıttır. Kuvvetler cisme mesnetler ve di ğer cisimlerden uygulanma durumuna göre : Bilinen kuvvetler (aktif kuvvetler) ve mesnet veya ba ğlardan gelece ği dü şünülen tepki kuvvetleri (reaktif kuvvetler) olmak üzere ikiye ayrılır. Aktif kuvvetler: A ğırlık kuvvetleri veya cismin zorlanma ko şullarına göre bilinen dı ş kuvvetlerdir. Tepki kuvvetleri : mesnet,mafsal, kablo, çubuk gibi di ğer cisimlerin uyguladıkları kuvvetlerdir. Bu tepki kuvvetlerinin tam zıttı dengesi incelenen cisim tarafından di ğer cisimlere aynı şekilde etkir. Sürtünmesiz temaslarda tepki kuvveti temas yüzeyine diktir. Rijid cismin dengesi : Bir rijid cisim kuvvetle etkisinde dengede ise cisme etki eden tüm kuvvetlerin vektörel toplamı ve tüm momentlerin vektörel toplamı sıfırdır. 0 F = ? , 0 O M = ? 0 x F = ? , 0 y F = ? , 0 z F = ? 0 x M = ? , 0 y M = ? , 0 z M = ? Kuvvetlerle ilgili olan ilk üç denklem kuvvetlerin bile şenleri ve do ğrultuları ile ilgili de ğerleri içerebilir. Momentlerle ilgili olan son üç denklemde ise ilk üç denklemdekine ek olarak uzaklıklarla ilgili de ğerlere de rastlanabilir. Bu altı denklem yardımı ile sürtünmesiz denge problemleri çözülebilir. Sürtünmeli problemlerde ek olarak a şa ğıdaki sürtünme denklemi kulanılır. f N µ = Burada f = maksimum sürtünme kuvveti µ = sürtünme katsayısı N = sürtünen yüzeylerdeki baskı kuvveti (Normal kuvvet) Bu denklemlerdeki kuvvet ve momentlerin genelde bilinen kısmına aktif kuvvetler, bilinmeyenlere reaktif (tepki ) kuvvetleri denir. Tepki kuvvetleri Mesnetlerden ve mafsallardan gelir. A şa ğıda çok kar şıla şılan mafsal ve mesnetler ve bunlardan cisim üzerine gelebilecek kuvvet ve momentlerin do ğrultuları gösterilmi ştir. İki boyutlu mesnet ve ba ğlar ile bunlardan cisme gelen tepki kuvvetleri: Yuvarlanan elemanlar kavisli yüzey sürtünmesiz kayma yüzeyine yüzey dik tepki kuvveti Çubuk do ğrultusunda hareket edebilen tepki kuvveti hareket bilezik ve buna mafsallı di ğer çubuk do ğrultusuna dik Kanal do ğrultusunda hareket kanal do ğrultusuna dik tepki kuvveti y R y R x x Sabit silindirik mafsallı Tepki kuvvetinin do ğrultusu bilinmiyor. y R x x R y Pürüzlü yüzey Yüzey tepkisinin do ğrultusu bilinmiyor y R x x M O R y Ankastre mesnet Bilinmeyen kuvvet ve şiddeti bilinmeyen moment Üç boyutlu mesnet ve ba ğlar ile bunlardan cisme gelen tepki kuvvetleri: y x R y z tek noktadan küreye temas temas yüzeyine dik tepki kuvveti y x R y z Sürtünmesiz temas temas yüzeyine dik tepki kuvveti y x R z R y z Pürüzlü yüzeyde ray üzerinde iki do ğrultuda bilinmiyen Yuvarlanan tekerlek yuvarlanan tekerlek tepki kuvveti y R x x R z R y z Pürüzlü yüzey küresel mafsal üç do ğrultuda bilinmiyen tepki kuvvetleri Küresel mafsalın ayrıntılı şekli y M y R y x R z R x M x M z z ankastre mesnet üç do ğrultuda bilinmiyen tepki kuvveti ve üç do ğrultuda bilinmiyen tepki momenti y R y R x M x x Üniversal kavrama R z Z üç do ğrultuda bilinmiyen kuvvet ve bir do ğrultuda bilinmiyen moment y M y R y R z M z x z İki do ğrultuda bilinmiyen kuvvet ve Eksenel do ğrultuda hareket edebilen silindirik mafsal iki do ğrultuda bilinmiyen moment y M y R y R z R x x M z z Üç do ğrultuda bilinmiyen kuvvet ve İki do ğrultuda bilinmiyen moment Eksenel do ğrultuda hareket yetene ği olmayan silindirik mafsal Bunlardan ba şka ip kuvveti ip do ğrultusundadır. Birde a ğırlıksız olup uç noktalarından sürtünmesiz mafsallı ve uç noktaları dı şında yük ta şımıyan çubuklardan gelen tepki kuvvetleride çubuk do ğrultusunda kabul edilir. 6.2 İç kuvvetler ve kesit zorları İç kuvvetlerin cismin bir kesiti içindeki bile şenlerine kesit zorları denir. Kesite etki eden kuvvetin kesite dik bile şenine Normal kuvvet denir. Kesite etki eden kuvvetin kesit içindeki bile şenine Kesme kuvveti denir. Kesite etki eden momentin kesite dik bile şenine Burulma momenti denir. Kesite etki eden momentin kesit içindeki bile şenine E ğilme momenti denir. Uygulamalar: 1 (2 4) (10 6) 2 4 R iji j =-+-= -+ 2 (7 4) (8 6) 3 2 R ij ij =-+-=+ 11 24 Fa R a ia j == -+ 22 32 Fb Rb ib j ==+ 0 144 gravity Fij =- 0 x F = ? ? 2300 ab -++= ? 3 2 ab = 0 y F = ? ? 4 2 144 0 ab +-= ? 3 421 4 4 0 2 bb + -= ? 144 18 8 b = = , 27 a = 1 54 108 Fij =- + 22 1 54 108 F=+ , 1 120,75 FN = 2 54 36 Fij =+ 22 2 54 36 F=+ , 2 64,9 FN = Yiyecekleri ayılardan korumak için kamp sakinleri, yiyecekleri doldurdukları bir kutuyu a ğaçlara şekildeki gibi ba ğlıyorlar. Kutu ile birlikte yiyeceklerin toplam a ğırlı ğı 144 N oldu ğuna göre her bir ipteki kuvveti bulunuz. Çözüm: 1 (0 50) (0 40) (30 20) 50 40 10 Cijkij k =- +- +- = -- + 2 (100 50) (0 40) (30 20) 50 40 10 Cijk i j k =-+-+-=-+ 3 (100 50) (80 40) (30 20) 50 40 10 Cijk i j k =-+-+-=++ 4 (0 50) (80 40) (30 20) 50 40 10 Cijkij k =- +- +- = -+ + Kablodaki kuvvetlerin do ğrultuları birbirine göre simetrik oldu ğundan a skala sabiti bütün kablolarda aynı olur. 11 50 40 10 F aC ai aj ak == --+ 22 50 40 10 Fa C a ia ja k ==-+ 33 50 40 10 Fa C a i a ja k ==++ 44 50 40 10 F aC ai aj ak == -++ 0 0 9800 gravity Fijk =+- 50 50 50 50 0 0 x Faaaa = -++-+ = ? 40 40 40 40 0 0 y Faaaa =- - + + + = ? 10 10 10 10 9800 0 z Faaaa =+++-= ? ? 245 a = 1 12250 9800 2450 F ijk =- - + 2 12250 9800 2450 Fijk =-+ 3 12250 9800 2450 Fijk =++ 4 12250 9800 2450 F ijk =- + + 222 1234 12250 9800 2450 15900 FFFF N ==== + + = Emniyet katsayısının 3 olması istendi ğine göre kablolar 3*15900 47700 NN = luk kuvvete dayanabilmelidir. Bir spor stadyumunda 1000 kg kütleli bir skor tablosu şekilde gibi 4 adet kabloyla ba ğlanmı ştır. Kabloladaki emniyet katsayısı 3 oldu ğuna göre her bir kablonun ta şıma kapasitesi ne olmalıdır. SORU 1: 250 N şiddetindeki kuvvetin robotun tabanındaki O noktasına göre momentini bulunuz. Makina 1 G8 Statik 1. Vize soruları ve Cevapları Çözüm: O M OC F =? OC OA AB BC =++ , 250 BC F kU =? 500 OA j = 00 400sin 60 400cos60 AB i j =- 00 300sin50 300cos50 BCij =+ , 00 sin50 cos50 BC Uij =+ 576.22 492.84 OC i j =+ 00 cos50 sin50 BC kU i j ?= - + 160.7 191.51 Fij =- + 576.22 492.84 0 189551 160.7 191.51 0 O ijk M k == - 189.6 O M Nm = 30 0 x y Çözüm: 0 R = ? 0 AD AC B SSRF +++= 0 B M = ? ? 0 AD AC BA S BA S BM F ?+?+?= 451 0 141 AD AD AD AD i j k SS S AD --- == , 451 0 141 AC AC ijk SS -- = 00 20sin 20 20cos20 Fij =+ , 3 10 BAjk =+ , 1.5 5 BMjk = + 00 031 0031 001 . 55 4 5 10 4 5 10 20sin 20 20 cos 20 0 141 141 141 141 141 141 B AD AD AD AC AC AC ijkijkijk M SSSSSS =++ --- -- ? 000 20 20 40 40 12 12 ( 100 cos 20 ) ( 100sin 20 ) ( 30sin 20 ) 0 141 141 141 141 141 141 BA DA C A DA C A DA C MSS iSS jSSk - =--++++--= ? 0 0 20 20 (1 0 0 c o s 2 0 ) 0 141 141 40 40 (1 0 0 s i n 2 0 ) 0 141 141 AD AC AD AC SS SS --= - ++= ? 22.82 32.97 AC AD Sk N Sk N = = 0 R = ? 0 0 44 20sin 20 0 141 141 55 20 cos 20 0 141 141 10 10 0 141 141 AD AC x AD AC y AD AC z SS R SS R SS R -+++ = --++ = --+ = ? 3.42 4.7 46.98 x y z Rk N Rk N Rk N =- = = SORU 2: y-z Düzleminde bulunan AB dire ği B noktasından küresel mafsal, A noktasından ise AD ve AC ipleri yardımı ile tesbit edilmi ştir. Dire ğin orta noktası olan M ye etki eden 20 kN şiddetindeki kuvvet yatay düzlemde bulunmaktadır. Dire ğin a ğırlı ğını ihmal ederek İplerdeki kuvvetleri ve B deki mafsal tepkisini bulunuz. (0,3,10) (4,-2,0) (-4,-2, 0) (0,1.5,5) Çözüm: x y z A Ax Ay Az 1 -L/2 0 0 2 RL ? - ?RL 2 0 0 2 -5L/16 -0.9R 0.373R -3 ?RL/32 15 ?RL 2 /512 2.7 ?R 2 L/32 -1.119 ?R 2 L/32 ? ?RL(2-3/32) ?RL 2 (-1+15/512) 2.7 ?R 2 L/32 -1.119 ?R 2 L/32 2 sin sin /8 cos cos /8 0.9 /8 RR y R ? ? ?? ? ? =- =- =- 2 sin sin /8 sin sin /8 0.373 /8 RR zR ? ? ?? ? ? === 2 233 88 3 2 RLR L A ? ? =- =- 2 RL (-1+15/512) 497 /512 RL(2-3/32) 61/32 G x L ? ? == - , 497 0.509 976 G x LL =- =- 2 2.7 R L/32 2.7 /32 RL(61/32) 61/32 G y R ? ? == , 2.7 0.044 61 G y RR == 2 -1.119 R L/32 1.119/ 32 RL(61/32) 61/ 32 G zR ? ? - == , 1.119 0.0183 61 G zRR - == - SORU 3: Şekilde gösterilen homojen malzemeden ince cidarlı içi bo ş silindir (Boru) şeklinde yapılan cisimden pencere şeklinde bir parça çıkarılmı ştır. Bu olu şturulan cismin kütle merkezinin koordinatlarını hesaplayınız. 1 2 Makina 1 G8 Statik 2.Vize soruları ve Cevapları Çözüm: Yaya gelen kuvvet için Skx =* ? den , 625 0.030 S k x == ? , 20833 / kN m = 0 M = ? ? 20 MfR - *= ? 100 20 . 4 M f R ==, 250 f Newton = f N µ = ? 250 0.2 N = , 1250 NN e w t o n = O f f N N 0 A M = ? 500 250 0 SN - = 250 1250 500 S * = , 625 SN e w t o n = f f N N S S SORU 1: Şekildeki çift bloklu fren sisteminde yay vasıtası ile volan frenlenmektedir. Volanı serbest bırakmak için kola P kuvveti uygulanması gerekir. E ğer P = 0 ise yay 30 mm sıkı şmı ş durumdadır. E ğer fren papuçları ile volan arasındaki sürtünme katsayısı 0.20 µ = ise M = 100 N.m lik döndürme momenti etkisindeki volanı frenleyebilmek için gerekli olan en küçük yay sabitini bulunuz. Papuçların boyutunu ihmal ediniz. Çözüm: Wm g = , 375.14 mk g = , 375.14 20 . 5 2 . 5 m ?== + , 150 / kg m ? = Q q W 1000 0.8 800 qgg =** =* , 800 ( / ) qg N m = * 0 0.8/ cos30 800 0.8 3 24 qg Q ** * == , 277.13 ( ) Qg N = * 0 A M = ? ? 0 2 0.5 1 0.8 (2 ) 0 23 c o s 3 0 WQ + --= 21 2 0 . 8 (2 )277.13 2.5 3 3 W * =- , 375.14 ( ) Wg N = * SORU 2: A dan silindirik mafsal ile mesnetlenmi ş homojen yapıdaki 2.5 metre uzunlu ğundaki bir AB plakası bir su kanalında şekildeki gibi kullanılmaktadır. Su seviyesinin 0.8 metreye ula ştı ğında kapa ğın suyu tutabilmesi için kapak malzemesinin birim uzunlu ğunun kütlesi en az ne olmalıdır. Çözüm: DE çubu ğundaki kuvvet kesim metodu ile bulunabilir. DL çubu ğundaki kuvvet dü ğüm noktası metodu ile bulunabilir. SORU 3: Şekildeki kafes sisteminde DE ve DL çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz. DE S EL S KL S 0 L M = ? ? 26 8 0 DE S -*= 24 DE Sk N = çekme kuvveti 2 m 24 kN DL S DC S 0 x F = ? ? 2 24 0 2 DL S + = 24 2 DL S = , 33.94 DL Sk N = Basma kuvveti Statik Final 20072 soruları ve çözümleri Çözüm: 0 400 M OP j =? - 60 . 81 . 2 OP i j k =++ 0 (6 0.8 1.2 ) 400 M ijkj =++? - 0 480 2400 M ik N m =- · SORU 1: Bir helikopter üç boyutlu bazı geometrik de ğerleri ile şekilde verilmi ştir. Yerde yapılan bir test esnasında 400N luk aerodinamik kuvveti kuyruktaki rotora P noktasında uygulanmı ştır. Bu kuvvetin O noktasına göre momentini bulunuz. 0 G y ?== ( 0 y = düzlemi, simetri düzlemi oldu ğundan dolayı) x z V Vx Vz 1 40 ? - 35 17.5 2 = 15750 ? 630000 - 275625 ? 2 80 3 ? - 25 10 22.5 2 += 5000 ? - 400000 3 112500 ? - ? 10750 ? 1490000 3 - 163125 ? 1490000 3 10750 G x ? ? - == * , 14.7 G x mm ?== - 163125 10750 G z ? ? ? == , 1305 15.17 86 G zm m ?== = SORU 2: Metalden döküm yoluyla elde edilen şekildeki parçanın kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Ölçüler mm cinsindendir. 2 1 1 43 0 4 0 3 x ? ? * =-= - , 2 1 (30) 35 15750 2 V ? ? == 1 42 0 8 0 33 x ? ? * =- =- , 2 2 (20) 25 5000 2 V ? ? =- =- Çözüm: 0 DE SrWr ?? ? ? =• +• = CD SS U = , Wm g j =- 22 (c o s )s i n 2c o s CD CD L b i b j U CD bLb L ? ? ? -- + == +- , 22 (c o s )s i n 2c o s Lb ib j SS bLb L ?? ? -- + = +- cos sin D rbibj ? ? =+ , 2 cos 2 sin E rbibj ? ? =+ sin cos D rbib j ? ?? ? ? ? ? =- + , 2 sin 2 cos E rbibj ? ?? ? ?? ? =- + 22 22 sin sin cos sin cos 2c o s0 2c o s bL b b Sb m g bLb L ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ? -+ =- = +- 22 tan 20 2c o s L Sm g bLb L ? ? - = +- , 22 22 c o s tan mg b L bL S L ? ? +- = 2 L b = ise 222 244 c o s 2t a n mg b b b S b ? ? +- = , 54 c o s tan mg S ? ? - = SORU 3: Şekilde gösterilen araç kaldırma sistemindeki a) hidrolik silindirin uyguladı ğı kuvveti ? ya ba ğlı olarak bulunuz. b) 2 Lb = olursa silindirdeki kuvvetin ? ya ba ğlı ifadesi ne olur. (Sistemin kütlesi aracın m kütlesi yanında ihmal edilebilir.) W S S A B C D E x y Ek bilgi : Silindirdeki kuvvetin 2 Lb = ve 1 Wm g = = için ? ya göre de ği şiminin mathematica programında çizdirilmesi: W =1; s @?_ D = W è ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5-4 Cos @? D Tan @? D Plot @s @?Degree D, 8?,5,90 <, AxesLabel › 8?,S