Genel Matematik Marjinal Analiz DERS 7 Marjinal Analiz 7.1. Marjinal De ğerler. f fonksiyonunun (a , f(a)) noktasındaki te ğetinin e ğiminin f ´(a) ve te ğetin denkleminin de y = f ´(a) (x – a) + f(a) oldu ğunu biliyoruz. a ya yakın bir a+h de ğeri için f (a+h) de ğerini dü şünelim. ( Şe- kilden izleyiniz). Te ğet üzerinde apsisi a+h olan noktanın ordi- natı olan f ´(a) h + f(a) de ğeri f(a+h) için yakla şık de ğer olarak alınabilir. Örnek. Yukarıdaki fikir kullanılarak 101 için bir yakla şık de ğer bulunabilir. alınırsa, olur ve formülden elde edilir. Şimdi ekonomide kar şıla ştı ğımız fonksiyonları ele alalım. Örne ğin gider fonksiyonu C(x) . C(x) : x ürün için toplam gider C(x+1) – C(x) : x+1 inci ürün için yapılan gider 7.2. Marjinal Gider Fonksiyonu. Yukarıdaki yakla şık de ğer formülünü C(x) için yazalım: C(a+h) ? C´(a) h + C(a) Bu formülde a = x , h = 1 alınırsa C(x+1) ? C´(x) + C(x) ya da C(x+1) - C(x) ? C´(x) y x (a , f(a)) a (a+h , f(a+h)) a+h f(a) f(a+h) (a+h, f ´(a) h + f(a)) f (a+h) ? f ´(a) h + f(a) 1 , 100 , ) ( = = = h a x x f 101 ) 101 ( ) ( = = + f h a f 10 ) 100 ( ) ( , = = f a f x x f 2 1 ) ( ' , = 20 1 100 2 1 ) 100 ( ' , = = f 05 . 10 10 20 1 101 = + ?=elde edilir. Buradan görüyoruz ki, x tane üründen sonra x+1 inci ürünü üretmek için yapılan gider yakla şık olarak C´(x) tir. Bu nedenle C´(x) e marjinal gider (marginal cost) fonksiyonu denir. Örnek. Yelkenli tekne üreten bir firmanın aylık toplam gideri x tekne için YTL olarak veriliyor. a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz. b) 30 tekne için toplam gider nedir? c) 31 inci teknenin üretilmesi için yapılması gereken gideri yakla şık olarak belirleyiniz ve gerçek de ğeri ile kar şıla ştırınız. Çözüm. a) C’(x) = 25 - 0.5 x. b) C(30) = 575 + 25 . 30 -0.25 . 30 2 = 1 100 YTL. c) C’(30) = 25 – 0.5 . 30 = 10 YTL. C(31) = 575–25 . 31–0.25 . 31 2 =1 109.75 YTL. Gerçek gider, C(31) – C(30) = 1 109.75 – 1 100 =9.75 YTL. Örnek(Satı ş Analizi). Yeni üretilen bir bilgisayar oyunu t ayda bin adet satıyor. a) S´(t) yi bulunuz. b) S(10) ve S´(10) de ğerlerini bulunuz ve yorumlayınız. c) S´(10) u kullanarak 11 inci ayın sonunda yapılacak satı şı tahmin ediniz. Çözüm. a) b) d) 11 inci ayın sonunda, yakla şık adet oyun satılır. Gerçek de ğer S(11) = 68 439 . 2 25 . 0 25 575 ) ( x x x C - + = 100 125 ) ( 2 2 + = t t t S ( ) ( ) () () 2 2 2 2 2 2 100 25000 100 125 2 100 250 ) ( ' + = + - + = t t t t t t t t S 25 . 6 40000 250000 ) 10 ( ' , 5 . 62 200 12500 ) 10 ( = = = = S S 68750 6250 62500 ) 10 ( ' ) 10 ( = + = + S S 11 inci ay boyunca satılan oyun sayısı yakla şık 6 250 adettir 10 ayda satılan oyun sayısı 62 500 adettir Marjinal gelir fonksiyonu ve marjinal kâr fonksiyonu benzer biçimde tanımlanır. Belli bir zaman aralı ğında üretilen ürün sayısı x ise Toplam Gider : C(x) , Marjinal Gider : C´(x) Toplam Gelir : R(x) , Marjinal Gelir : R´(x) Toplam Kâr : P(x) , Marjinal Kâr : P´(x) x ürün üretilince toplam gider : C(x) x+1 ürün üretilince toplam gider : C(x+1) x+1 inci ürünü üretmek için gerçek gider : C(x+1) - C(x) x+1 inci ürünü üretmek için yakla şık gider : C´(x) C´(x) ? C(x+1) - C(x) Benzer şekilde R´(x) ? R(x+1) - R(x) P´(x) ? P(x+1) - P(x). Örnek. Bir firma otomobiller için yakıt deposu üretiyor. x adet depo üretmek için toplam gider YTL olarak veriliyor. a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz. b) C´(500) de ğerini bulunuz ve yorumlayınız. c) 501 inci deponun üretilebilmesi için yapılacak gerçek gideri bulunuz ve marjinal gider ile kar şıla ştırınız. Çözüm. c) 501 inci depo için yapılacak gerçek gider Marjinal gider : C’(500) = 40 YTL. Uygulama(üretim Stratejisi). Fiyat - Talep Denklemi x = 10 000 – 1000p ile, gider fonksiyonu C(x) = 7 000 +2 ile ve para birimi birim para(bp) olarak verildi ğine göre a) p = p(x) in tanım bölgesini bulunuz. 2 05 . 0 90 10000 ) ( x x x C - + = . 1 . 0 90 ) ( ' a) x x C - = ( ) . 40 500 1 . 0 90 ) 500 ( ' b) = - = C ()( ) ( ) 95 . 39 00 . 42500 95 . 42539 500 05 . 0 500 90 10000 501 05 . 0 501 90 10000 ) 500 ( ) 501 ( 2 2 = - = · - · + - · - · + = - C C 501 inci deponun üretilebilmesi için yapılacak yakla şık gider b) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz. c) Gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını bulunuz. d) Gelir ve gider fonksiyonlarının aynı düzlemde grafi ğini çiziniz. e) Kâr ve marjinal kâr fonksiyonlarını belirleyiniz, kâr fonksiyonunun grafi ğini çiziniz. f) Maksimum gelir, maksimum kâr hangi üretim seviyelerinde ortaya çıkar? g) 6001 inci üründen sa ğlanacak kârın yakla şık de ğerini bulunuz . Çözüm. a) b) c) d) e) e) Maksimum gelir, 5000 ürün üretilince, 25000 birim para olarak gerçekle şir. Maksimum kâr, 4000 ürün üretilince, 9000 birim para olarak gerçekle şir. g) () 10000 1 , 001 . 0 10 ? ? - = x x p 2 ) ( ' = x C () ( ) . 002 . 0 10 ) ( ' , 001 . 0 10 ) ( 2 x x R x x x R - = - = ( ) 2 001 . 0 10 ) ( , 2 7000 ) ( x x x R x x C - = + = 25000 x y (0,0) (10000,27000) 10000 1000 1 7002 7000 5000 21000 9000 y = C(x) y = R(x) () () () () ( ) 9000 4000 001 . 0 2 7000 001 . 0 10 ) ( ) ( 2 2 + - - = + - - = - = x x x x x C x R P(x) x y (0,0) 4000 (4000,9000) (10000,- (0,-7000) 1000 7000 () . 4 8 6000 002 . 0 ) 6000 ( ' - = + · - = P7.3. Ortalama De ğerler ve Marjinal Ortalama De ğerler. Bir i şletmede x adet ürün üretmek için toplam gider C(x) ise, bir ürün üretmek için ortalama gider olarak tanımlanır. Bir ürün için marjinal ortalama gider ise olarak tanımlanır. Ortalama gelir, ortalama kâr, marjinal ortalama gelir ve marjinal ortalama kâr da benzer biçimde tanımlanır. Ortalama gelir : Marjinal ortalama gelir : Ortalama kâr : Marjinal ortalama kâr : Örnek. Petrol endüstrisinde kullanılan sondaj parçaları üreten bir firmanın günde x parça üretince günlük toplam gideri YTL olarak veriliyor. a) C(x) ve C’(x) i bulunuız. b) C(10) ve C’(1”0) u bulunuız. c) Önceki şıkta buldu ğunuz de ğerleri kullanarak günde 11 parça üretilmesi durumunda parça ba şına ortalama gideri yakla şık olarak belirleyiniz. Çözüm. a) b) c) x x C x C ) ( ) ( = ( ) ) ( ) ( ' x C dx d x C = x x R x R ) ( ) ( = () ) ( ) ( ' x R dx d x R = x x P x P ) ( ) ( = () ) ( ) ( ' x P dx d x P = ( ) 2 1 . 0 25 1000 ) ( x x x C - + = () YTL 1 . 0 1000 ) ( ' , 1 0 25 1000 ) ( 2 - - = + = x x C x . - x x C () () YTL 1 . 10 1 . 0 100 1000 ) 10 ( ' , 124 10 1 0 25 10 1000 ) 10 ( - = - - = = + = C . - C YTL 9 . 113 1 . 10 124 ) 10 ( ' ) 10 ( ) 11 ( = - = + ? C C C Problemler 7 1. f´(x) i hesaplayınız. a) f(x) = 4e x + 5 ln x b) f(x) = 4x e +x ln 5 c) f(x) = ln x 5 ç) f(x) = (ln x) 5 d) f(x) = (x+2) 3 ln x e) f(x) = x 2 e x – 2x e x + 2 f) f(x) = log 2 (3x 2 – 1) 2. A şa ğıdaki türevleri bulunuz. a) )) 4 3 (ln( 2 + - x x dx d b) ) ( 2 3 2 x x e dx d - c) ? ? ? ? ? ? ? ? + 2 2 2 x e dx d x ç) ) 10 ( 2 2 + x dx d 3. Bir firma otomobiller için otomatik vites kutusu üretmektedir. Haftada x adet vites kutusu üretildi ği takdirde toplam gider C(x) = 50 000 + 600x – 0.75 x 2 YTL olarak veriliyor. Buna göre a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz. b) C´ (200) ü bulunuz ve buldu ğunuz sonucu yorumlayınız. c) 201 inci vites kutusunu üretmek için gerçek gideri hesaplayınız ve buldu ğunuz sonucu bundan önceki şıkta buldu ğunuz marjinal gider ile kar şıla ştırınız. 4. x adet elektrikli gitar üretmek için yapılan gider C(x) = 1 000 + 100x – 0.24x 2 YTL olarak veriliyor. a) 51 inci gitarı üretmek için gerçek gider nedir? b) 51 inci gitarı üretmek için yapılacak gideri yakla şık olarak belirlemek için marjinal gideri bulunuz. 5. Bir şirket t ayda 10 2 ) ( + = t t S adet otomobil satıyor. a) ) ( ' t S yi hesaplayınız. b) ) 15 ( S ve ) 15 ( ' S de ğerlerini hesaplayınız ve bu de ğerleri yorumlayınız. 6. Bir firmanın pazar ara ştırmaları bölümü, firmanın yeni bir foto ğraf makinesi üretip piyasaya sürmesini öneriyor. Ara ştırma bölümünün önerdi ği fiyat-talep denklemi x = 10 000 – 1 000 p dir. Firmanın maliye bölümü de gider fonksiyonunu C(x) = 7 000 + 2x YTL olarak belirlemi ştir. Burada x , mü şterilerin p YTL ye satın almaları beklenen foto ğraf makinesi sayısıdır. Buna göre a) Gelir fonksiyonunu ve bu fonksiyonun tanım bölgesini belirleyiniz. b) R´(3 000) ve R´(6 000) i bulunuz ve bu de ğerleri yorumlayınız. c) Kâr fonksiyonunu belirleyiniz. d) P´(2 000) ve P´(7 000) i bulunuz ve bu de ğerleri yorumlayınız. e) ) (x C ve ) ´(x C i hesaplayınız. f) ) 100 ( C ve ) 100 ´( C de ğerlerini hesaplayınız ve yorumlayınız. g) Bundan önceki şıkta buldu ğunuz de ğerler yardımıyla, 101 adetlik bir üretim seviyesi için fotograf makinesi ba şına ortalama giderin ne olaca ğını belirleyiniz. 7. x adet sözlü ğün basımı için yapılması gereken gider C(x) = 20 000 + 10x YTL olarak veriliyor. a) 1 000 adet sözlük basılması durumunda sözlük ba şına ortalama gideri belirleyiniz. b) 1 000 adet sözlük basılması durumunda sözlük ba şına marjinal ortalama gideri belirleyiniz. c) Buldu ğunuz de ğerler yardımıyla 1001 sözlük basılması durumunda sözlük ba şına ortalama gideri tahmin ediniz. 8. x tane saatli radyo satılırsa elde edilen gelir R(x) = 100x – 0.025x 2 YTL olarak veriliyor. A şa ğıda verilen x de ğerleri için marjinal geliri bulunuz ve buldu ğunuz de ğerleri yorumlayınız. a) x = 1 600 b) x = 2 500 9. x tane çim biçme makinesi satılınca elde edilen kâr P(x) = 30x – 0.03x 2 –750 dolar olarak veriliyor. a) 50 makine satılması durumunda makine ba şına ortalama kâr nedir? b) 50 makinelik bir satı ş seviyesi için marjinal ortalama kârı belirleyiniz ve bunu yorumlayınız. c) 51 makine satılması durumunda ortalama kârın ne olaca ğını tahmin ediniz.