Matematik MAT1 Final Soru - cevaplama - Puanlama Adı: Soyadı: No: T.C Sakarya Üniversitesi 2011-2012 Öğretim Yılı Güz Dönemi Mühendislik Fakültesi Matematik I (B Grubu) Dersi Final Sınav Sorularıdır 06.01.2012 PUAN NOT: Nerden geldiği belli olmayan, okunamayan ve anlaşılamayan yerler puanlanmaz. Sorular eşit puanlıdır. Sınav Süresi 85 dk dır. 1. ( ) ln .cos f x x x = fonksiyonunun . n mertebeden türevini bulunuz. 2. 2 ( ) 1 x f x x + = - fonksiyonunun ( ) 1,1 noktasına en yakın noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz. 3. Türevin tanımını kullanarak cosx fonksiyonunun türevinin sinx - olduğunu gösteriniz. 4. 2 ( ) 1 x f x x + = - fonksiyonunun grafiğini gerekli incelemeleri yaptıktan sonra çiziniz. 5. 11 cos 36 ? sayısının yaklaşık değerini diferensiyel yardımı ile hesaplayınız. Başarılar dilerim Dr. Murat GÜZELTEPE Çözümler ve puanlama 1. cos u x = ve ln v x = olsun. Bu durumda ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 4 1 ln cos sin 2 cos sin 2 2 2 cos 2 sin 3 2 2 2 2.3 sin ( 1) 2 1 ( 1) 6 pu ! , 1 an n k k k k v x u x x v x u x x v x u x x v x v x u n k x v k x k ? ? ? ? ? ? - - - - - - - ? ? = = = + ? ? ? ? ? ? ? ? ' ' = = + = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? '' '' =- = + = + ? ? ? ? ? ? ? ? '''= ? ? =- = - + + ? ? ? ? = - - ? ? ? 6 puan olacağından ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ln .cos ( 1) ( 1)! sin ( 1) 2 n n n k k k n f x x x k x n k x k ? - - = ? ? ? ? = = - - - + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? olur. 8 puan 2. Bu nokta ( ) , a b noktası olsun. ( ) , a b noktası 2 ( ) 1 x f x x + = - fonksiyonu üzerinde olduğundan 2 1 a b a + = - olur. 2 , 1 a a a + ? ? ? ? - ? ? noktası ile ( ) 1,1 noktası arasındaki uzaklık d ise 2 2 2 ( 1) 1 1 a d a a + ? ? = - + - ? ? - ? ? olur (5 puan). Bu a ’ya bağlı fonksiyonun bir minimum noktası vardır. Bu noktanın apsisi fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan uygun bir değerdir. Bu durumda 2 3 0 2( 1) 2 1 0 1 3 1 1 a d a a a a + - ? ?? ? '= ? - + - = ? = ? ?? ? - - ? ?? ? ± (5 puan) elde edilir. Buradan 1 3 2 1 3 1 3 1 b ± ± ± + = = - (5 puan) bulunur . Teğetin eğimi ise 2 3 ( ) 1 (1 3 1) m f a - ' = = =- ± - olup teğetin denklemi 1 3 ( 1 3) 2 2 3 y x x y - ± =- - ± = ± ? + olarak bulunur. (5 puan) 3. ( ) ( ) 0 0 10 ' 5 0 2 2sin sin cos cos 2 2 cos 2 si in 5 n s 2 lim lim lim puan puan h h h x h h x h x x h h x h x puan › › › + ? ? ? ? - ? ? ? ? + - ? ? ? ? = = + ? ? = - =- ? ? ? ? 4. 1) {} 1 T = - R dir. 2) Eksenleri (0,-2) ve (-2,0) noktalarında keser. 3) Asimptotlar: Eğri ve eğik asimptot yoktur. yatay asimptot: 2 1 1 lim x x x ›? + = - , düşey asm: 1 1 2 2 1 1 lim lim x x x x x x + - › › + + =+? =-? - - dir. (5 puan) 4) 2 3 ( 1) y x - '= - olduğundan fonksiyon 1 x = noktası hariç her yerde azalandır. (5 puan) (10 puan) 5) 11 cos cos 36 3 36 ? ? ? ? ? = - ? ? ? ? olarak yazılır. Buradan yaklaşık hesap için ( ) ( ) 0 0 0 ( ) f x x f x x f x ' +? ? +? (5 puan) formülü kullanılarak 11 1 3 cos cos sin 0,5 0,0756 0,5756 36 3 3 36 2 2 36 ? ? ? ? ? - ? ? ? ?? ? ? - = + ? + = ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? (10 puan) olarak hesaplanır. Burada 0 ( ) cos 3 36 f x x x x ? ? - = = ? = olarak alınmıştır. (5 puan)