Matematik Mateamatik I ( kitap ) 1 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 2 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva KÜMELER VE SAYILAR 1 1. .1 1 K KÜ ÜM ME EL LE ER R 1 1. .1 1. .1 1. . T TE EM ME EL L T TA AN NI IM ML LA AR R Kesin bir tanımı yapılmamakla beraber,sezgisel olarak,kümeye iyi tanımlanmı ş biri birinden farklı nesneler toplulu ğudur diyebiliriz. Kümeyi meydana getiren nesnelere kümenin elemanları adı verilir. Örne ğin haftanın günleri toplulu ğu bir küme olup elemanları pazar, pazartesi, salı, çar şamba, per şembe,cuma ve cumartesidir. Kümeler ,,, A BC... gibi büyük harfler ile, elemanları ise ,, abc... gibi küçük harflerle gösterilir. Bir a nesnesi bir A kümesinin elemanı ise yani A kümesinin içinde ise aA ? ,de ğilse a ? A ile gösterilir. Bir A kümesi üç ayrı şekilde ifade edilir. Örneğin ”5 den küçük rakamların kümesi”; 1) Liste yöntemi ile : {0,1,2,3,4 } A = 2) Genelleme (ortak özellik) yöntemi ile : {|, 5 A xx = den küçük rakam} 3) Venn Şeması ile: BÖLÜM 1 3 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva şeklinde gösterilir. Burada 2, 4 A A ?? fakat 8 A ? dır. Kümeyi olu şturan varlıkların sayısına kümenin eleman sayısı denir. A kümesinin eleman sayısı () sA ile gösterilir. Eleman sayıları sonlu olan kümelere sonlu küme, eleman sayıları sonsuz olan kümelere sonsuz kümeler denir. {|, H xx = haftanın günleri } kümesinin eleman sayısı ()7 sH = dir. Bu küme, H ={ Pazar,Pazartesi,Salı,Çar şamba,Per şembe,Cuma,Cumartesi } olup sonlu bir kümedir. Hiç elemanı olmayan kümeye bo ş küme denir. Ø veya { } sembollerinden biriyle gösterilir. Örne ğin boyu 4 metre olan insanların kümesi bo ş küme olup eleman sayısı 0 dır. Öyle ise (Ø) 0 s = dır. Tanım : A ve B iki küme olmak üzere A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi dir denir ve A ? B ile gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi de ğilse A B ? şeklinde gösterilir. Örnek : {1,2,3,4,5}, {1,2,4}, {4,5,6} ABC === kümeleri için B A ? dır fakat B C ? dir. Alt Küme Özellikleri 1) Ø A ? 2) A A ? 3) A B ? ve B A ? ise A B = 4 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4) A B ? ve BC ? ise A C ? 5) Bir A kümesinin alt kümelerinin sayısı () 2 SA ile hesaplanır. Örnek : { } ,, A abc = kümesinin alt kümeleri Ø , ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , } A a b c ab ac bc , olup bunların sayısı ()3 sA = oldu ğundan () 2 SA = 3 28 = dir. Tanım : Bir kümenin kendisi dı şındaki bütün alt kümelerine bu kümenin özalt kümeleri denir.O halde bir A kümesinin özalt kümelerinin sayısı () 21 sA - ile hesaplanır. Tanım : Bir A kümesinin tüm alt kümelerinin kümesine kuvvet kümesi denir ve () PA ile gösterilir. Örneğin, {,} A xy = kümesinin kuvvet kümesi, ( ) {Ø , ,{ },{ }} PA Ax y = şeklindedir. 1.1.2. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER Tanım : Üzerinde i şlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir. Tanım : E evrensel küme, A evrensel kümenin alt kümesi olmak üzere E kümesinin A kümesinde olmayan elemanlarının kümesine A kümesinin tümleyeni denir ve A ile gösterilir 5 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva A ve B kümeleri için ; Birle şim kümesi , { } A B x x A veya x B ?= ? ? Kesi şim kümesi , { v e } A Bx xAxB ?= ? ? kümesi AB ? kümesi AB ? şeklinde ifade edilir. E ğer Ø AB ?= ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir. Ø AB ?= ( A ile B ayrık) Örnek: E = {|9 , xxx < rakam } ve {| 9, A xx x =< tek sayılar } ise Tanım : İki yada daha fazla kümenin bütün elemanlarından olu şan yeni kümeye birle şim kümesi,ortak elamanların olu şturdu ğu kümeye de kesi şim kümesi denir. 6 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Tanım : A ve B iki küme olsun. A kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve \ A B = { x | x ? A ve x ? B } şeklinde ifade edilir. \B A Kümesi Örnek : A ={1,2,3,4} B ={3,4,5,6} kümeleri için ; { 1 ,2,3,4,5,6} AB ?= {3, 4} AB ?= { } \1 , 2 AB = { } \5 , 6 BA = dır. 1.1.3. KÜMELER İLE İLG İL İ TEMEL ÖZELL İKLER 1) A BBA ?=? (De ği şme özelli ği) B AAB ?=? 2) () () A BCABC ??=?? (Birle şme özelli ği) () () A BCABC ??=?? 3) () () () A BC AB AC ??=??? ( Da ğılma Özelli ği) () () () A BC AB AC ??=??? \ AB \ BA A B ? 7 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4) A AA ?= (Tek kuvvet özelli ği) A AA ?= 5) A A ?Ø = A ?Ø = Ø 6) A EE ?= A EA ?= 7) () ABAB ?=? (De Morgon Kuralları) () ABAB ?=? 8) ( ) () () ( ) sA B sA sB sA B ?= + -? 9) ( )( )( )( )()()()( ) sABCsAsBs CsABsACsBCsABC ??= + + - ?- ?- ?+ ?? 1.2. SAYILAR 1.2.1. SAYI KÜMELER İ ¥ ={0,1,2,3,...} kümesinin her bir elemanına bir do ğal sayı denir. ¢ ={-3,-2,-1,0,1,2,3,...} kümesinin her bir elemanına bir tamsayı denir. Bunlardan + ¢ ={1,2,3,...} kümesinin her bir elemanına pozitif tamsayı, - ¢ ={...,-3,-2,-1} kümesinin her bir elemanına negatif tamsayı denir. “Sıfır” sayısı bir tamsayı olup ne pozitif ne de negatiftir. Yani i şareti yoktur. |, , 0 a ab b b ?? =?? ?? ?? ¤¢ kümesinin her bir elemanına bir rasyonel sayı denir. 5 2 , 1 4 - ,5,3,0,... birer rasyonel sayıdır. ' ¤ =| ,, , 0 a xx ab b b ?? ??? ?? ?? ¢ kümesinin her bir elemanına bir irrasyonel sayı denir. ,.... , e , 10 , 3 , 2 3 3 ? sayıları birer irrasyonel sayıdır. 8 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva ' =? ¡¤¤ kümesinin her bir elemanına bir reel (gerçel) sayı denir. Sayı do ğrusu reel sayılar kümesini temsil eder. ...... , 5 , 3 , 17 110 ,- ,-1 7 4 , ,8 0 3 sayıları birer reel sayıdır. Tanım : Sayı do ğrusu üzerinde sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar,sıfırdan küçük sayılara da negatif sayılar denir. Bir a ? ¡ sayısı için i) a >0 ii) a <0 iii) a =0 durumlarından yalnızca biri mevcuttur Tanım : 1 ve kendisinden ba şka böleni olmayan sayılara asal sayı denir. A={2,3,5,7,11,13,...} kümesinin elemanları birer asal sayıdır. Asal sayılar kümesinin en küçük elemanı 2 olup 2 den ba şka çift asal sayı yoktur. 1.2.2. REEL SAYILARIN ÖZELL İKLER İ a ve b birer reel sayı olmak üzere ; 1) a >0 ve b >0 ise a +b >0; ab · >0; a b >0 dır. 2) a <0 ve b <0 ise a +b <0, ab · >0, a b >0 dır. 3) a >0 ve b <0 ise ab · <0, a b <0 dır. 4) a >0 ve n ? ¢ ise 0 n a > dır. 5) a <0 ve n tek do ğal sayı ise 0 n a < dır. 9 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 6) a <0 ve n çift do ğal sayı ise 0 n a > dır. Örnek : ²³0 , ³ 0 xy xy <> ve 0 xyz ··> ise ,, x yz nin i şaretleri nedir? Çözüm : ²³0 xy < ise,her x ?¡ için ²0 x > oldu ğundan ³0 y < ise 0 y < dır. ³0 xy > ise 0 y < oldu ğundan ³0 x < ise 0 x < dır. 0 xyz ··> ise 0 x < , 0 y < ise 0 xy ·< oldu ğundan 0 z > dır. O halde 0 x < , 0 y < , 0 z > dır. Tanım : , ab ? ¢ ve b ?0 olmak üzere a b ifadesine rasyonel (kesirli) ifade denir. a b kesrinde a ya kesrin payı , b ye de kesrin paydası denir. a b kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılır yada bölünürse kesrin de ğeri de ği şmez. 1.2.3. RASYONEL SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1) acadbc bd bd ·· = · m m 2) d b c a d c b a · · = · 3) c d b a d c b a · = ÷ 10 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva AR İTMET İKSEL İŞLEMLERDE İŞLEM ÖNCEL İĞİ 1) İşleme,parantezler ve kesir çizgileri yön verir. 2) Varsa üslü i şlemler yapılır. 3) Çarpma ve Bölme (önce olan) 4) Toplama ve Çıkarma Örnek : A şa ğıdaki i şlemleri yapınız. 1) ? 5 4 5 7 5 2 = - + Çözüm : 1 5 5 5 4 9 5 4 7 2 5 4 5 7 5 2 = = - = - + = - + 2) 211 2: ? 324 ?? ?? +- = ?? ?? ?? ?? Çözüm : 22 11 62 2181843 2 ::: 1324 334434313 (3) (1) (2) (1) ?? ?? ?? ?? +- = +- == · = ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 3) ? 3 2 2 3 12 5 : 6 1 6 5 5 1 3 = - · - · Çözüm : (5) (3) (5) 16 5 1 12 3 2 8 3 2 40 9 10 7 56 6523353 1 5 5 -- ?? ·-··-=--= = ?? ?? 4) 131 261 : ? 222 ?? -·+ - = ?? ?? Çözüm: (6) (2) (3) 121 111 623 5 261 26 26 26 25 3 232 132 6 6 +- ???? -·+·- =-· +- =-· =-·=-= - ???? ???? 11 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 5) ? 2 1 1 1 4 3 2 17 = + + Çözüm : 17 17 22 3132 3 44 3 2 == ++ 17 17 12 2 6 98 21 7 12 = ·= + Tanım : Paydası 10’nun pozitif tam kuvveti olan kesirlere ondalıklı sayı denir. 23 1 413 43 0,1; 4,13; 0,043 10 10 10 ==- = - sayıları birer ondalıklı sayıdır. E ğer bir kesir ondalıklı yazıldı ğında ondalıklı kısımdaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu sayıya devirli ondalıklı sayı denir. 7 2203 2,333.... 2,3; 2,2252525.... 2,225 3 990 == = = Sayıları birer devirli ondalıklı sayıdır. Her devirli ondalıklı sayı rasyonel olarak yazılabilir. Örnek : 15 2 , 0 devirli ondalıklı sayıyı rasyonel şekilde yazalım Çözüm: .... 2151515 , 0 15 2 , 0 = = x olsun Yukarıdaki e şitli ğin her iki tarafını önce 1000 sonra 10 ile çarpıp taraf tarafa çıkaralım. 1000 x = 215,151515... - 10 x = 2,151515... 213 71 990 213 990 330 xx =? == olur. 12 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 1.3. ÜSLÜ İFADELER Tanım : a ? ¡ ve n ? + ¢ olmak üzere n tane a nın çarpımı olan n a ifadesine üslü ifade denir. n a ifadesinde a ya taban , n ye de üs (kuvvet) denir. tane ... n na aa a aa =···· 14243 dir. Örnek : 2 55 52 5 =·= 4³ 4 4 4 64 =··= 4 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 81 - =-·-·-·-= 5 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 32 - =-· -· -· -· -= - 3 11 1 11 2 222 8 ?? =··= ?? ?? 1.3.1. ÜSLÜ İFADELER İN ÖZELL İKLER İ 1) n an a ?· çünkü ... naaaa a ·=++++ 4 34 3 ?· 2) a ? 0 olmak üzere 0 1 a = 3) 0 0 belirsiz. 4) 1= 1 n dir. 5) () mn m n aa · = dir. ()() () 3 323 2482 4 16 2 2 2 ?? === ?? ?? 13 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 6) a ve b sıfırdan farklı olmak üzere ; a) nn ab ba - ?? ?? = ?? ?? ?? ?? b) n n a a 1 = - dir. 7) nm aa =? nm = dir.( 0, 1, -1 aaa ??? ) 8) nn ab =? ,t e k i s e , çift ise ab n ab n = ? ? = ? m 9) 1 n a =? 1, 0, 0 1v e an na an =? ? ? =? ? ? =- ? ¡ çift ise Örnek : 1 1 25 ? 52 - - ?? += ?? ?? Çözüm : (5) 5 13 10 26 10 1 25 10 1 2 5 2 5 1 2 5 = = + = + = + 10) a) 0 0 n xx >? > b) 0 x < ? n 0, tek 0, çift n xn xn ? < ? > ? Örnek : 032 143 4(2 )2 ? 2( 1 )( 1 ) -- +- - = +- +- 14 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm: 032 143 4 ( 2) 2 1 8 4 11 22 11 2( 1 )( 1 ) 11 22 -- +- - -- - === - +- +- +- UYARI: n çift, a + ? ¡ olmak üzere () nn aa -? - dir. 4 2= - (2 2 2 2) 16 -···= - 4 ( 2) =( 2) ( 2) ( 2) ( 2)=16 - - ·- ·- ·- 11) Toplama ve Çıkarma: Tabanları ve üsleri aynı olan üslü ifadeler toplanıp çıkarılabilir. () nnnn ax bx cx x abc ·+·-·=·+- Örnek: 2222 22 23 33 43 3 ( 2 3 4 ) 13 3 9 ·+·-·=·+-=·== 12) Çarpma: a) Tabanları e şit olan üslü ifadeler çarpılırken ;üsler toplanır,ortak taban aynen yazılır. 0 a ? olmak üzere ; mnm n aaa + ·= b) Üsleri e şit olan üslü ifadeler çarpılırken;tabanlar çarpılır,ortak üs aynen yazılır. 00 av e b ?? olmak üzere ; () mm m ab ab ·=· Örnek : 53 ? 35 xy xy xy yx -- ???? ·= ???? ???? 15 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm:Üsler aynı oldu ğu için 53 11 35 xy xy xy yx - - ?? · == ?? ?? Örnek: 94- 2 ()()() aaa -· -· - i şleminin sonucu nedir? Çözüm: 99 () aa -= - 44 () aa -= - 22 () aa -- -= oldu ğu için 94- 21 1 ()()() aaaa -· -· -= 13) Bölme: a) Tabanları e şit olan üstlü ifadeler bölünürken, üstler çıkartılır,ortak taban aynen yazılır. 0 a ? olmak üzere m mnm n n a aa a a -- =·= b) Üsleri e şit olan üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünür, ortak üst aynen yazılır. 0 b ? olmak üzere m m m aa bb ?? = ?? ?? Örnek : 3a+4 a-5 2= 4 ise a kaçtır? Çözüm: 3a+4 2 a-5 2= ( 2 ) 3a+4 2a-10 2= 2 3421 0 aa ?+=- 321 04 aa -= -- 14 a =- 16 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : -2 -3 (0, 2) 5 125 n ·= ise n hangi sayıdır ? Çözüm: 23 (0,2) 5 125 n -- ·= -2 -3 3 1 55 5 n ?? = ?? ?? () 2 133 555 n - -- ·= 233 55 5 n - ·= 2( 3 ) 3 55 n +- = () 233 n +-= 13 n-= ? 4 n = bulunur. Örnek : 33 (2 1) ( 7) xx -=+ ise x kaçtır ? Çözüm: 3 tek sayı oldu ğundan 21 7 xx - =+ ? 8 x = olur. Örnek : 44 (5 )( 27 ) xx +=+ oldu ğuna göre x ’in alabilece ği de ğerler toplamı kaçtır? Çözüm: 4 çift sayı oldu ğundan ; a) 527 xx += + ? 1 2 x = - b) 5 (2 7) xx += -+ ? 2 4 x =- 12 (2 )(4 ) 6 xx += -+ -= - bulunur. Örnek : 1 ) 2 ( 8 2 2 = - - x x ifadesini sa ğlayan x de ğerlerinin toplamı kaçtır? Çözüm: 2 2 28 2 2 8 0 ve 2 0...................1) ( 2) 1 2 1 ....................................2) 2 1 ve 2 8 çift...............3) x xx xx xx - ? -= -? ? -= ?- = ? ? -= - - ? 17 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 1) durum: 2 280 x -= ve 20 x-? ise 2 28 x = ? 2 4 x = ? 2 x = - veya 2 x = 20 x - ? ise 2 x ? olaca ğından 1 2 x = - 2) durum: 21 x-= ? 2 3 x = 3) durum: 21 x-= - ve 2 28 x - çift ise 1 x = ve 2 28 x - çifttir. Buradan 3 1 x = 123 2312 xxx ++= -++= 1.4. KÖKLÜ İFADELER Tanım : n ,1 den büyük bir do ğal sayı olmak üzere, n x a = ifadesini sa ğlayan x sayısına a nın n.dereceden kökü denir ve n a x = şeklinde gösterilir. a a = 2 ; karekök a , 3 a ; küp kök a 4 a ; dördüncü dereceden kök a şeklinde okunur. UYARI: n çift sayı ve a <0 ise n a ifadesi bir reel sayı belirtmez. 33 2, 5, 5 - sayıları reeldir. Ancak 4 6 5, 2, 16 --- sayıları reel de ğildir. Reel sayılarda tanımlı olan her köklü ifadeyi rasyonel üst şeklinde yazabiliriz. n mn m aa = olup; n tek ise nn aa = m çift ise m m a = ;0 ;0 aa aa ? ? ? - < ? 18 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : 2 35 36 27 (-4) -32 ? +++= Çözüm: 35 35 3 5 2325 6 3 (-4) (-2) 6 3 4 (-2) ++ + = ++ + 634 - 21 1 =++ = bulunur. 1.4.1. KÖKLÜ İFADELER İN ÖZELL İKLER İ 1) 0 t > olmak üzere n n n tata ·=· 2) n tek do ğal sayı ve t ? ¡ için n n n tata · =· dır. Örnek: 2 52 52 5 0 =· = 33 34 33 33 33 3 8 1 =· == 2 98 7 2 7 2 =· = 5 5 5 5 64 2 2 2 2 =· = · 3) Köklerinin dereceleri ve içleri aynı olan ifadeler toplanır veya çıkarılır. () nnn n axbxcx abcx +-=+ - Örnek : 8 2 18 200 -+ i şleminin sonucu kaçtır ? Çözüm: 4 2 2 9 2 100 2 ·- ·+ · 222321 0262 =- ·+= 4) a) Kök dereceleri aynı olan köklü ifadelerde İ) n nn x yx y ·=· İİ) n n n x x y y = 19 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva b) Kök dereceleri e şit olmayan köklü ifadelerde ise kök derecelerinin en küçük ortak katları alınıp kök dereceleri e şitlenir ve i şlemler yapılır. Örnek : 1) 3 6 50 3 6 50 900 30 ··=· ·= = 2) 33 22 33 3 33 12 18 12 18 2 3 3 2 2 3 2 3 6 ·=·=· ·· =·= · = 3) 150 150 25 5 6 6 === 4) 32 6 23 6 31 21 3 2 3 66 5 2 5 2 5 2 125.4 500 · ··· ·= · =·= = (Burada 2 ile 3 ün en küçük ortak katı 6 dır) 5) 0, 0 bc ?? üzere a) aa ba b b bbb == · b) () abc a bc bc = - ± m Örnek : () 10 9933 1 0 0,9 10 10 10 10 ==== Örnek : (52 ) 15 25 2 5 2 52 54 1 52 (52 )(52 ) + +++ == = = + - -- ·+ 1.5. ORAN VE ORANTI Tanım : a ve b reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olmak üzere a b ’ye a ’nın b ’ye oranı denir. 20 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Oranlanan çoklukların birimleri aynı olup oranın birimi yoktur. 2cm ‘nin 5cm ‘ye oranı 5 2 5 2 = cm cm dir. 2cm ‘nin 5kg ‘a oranı söz konusu de ğildir. Örnek : Bir sınıftaki ö ğrencilerin %30 ‘u İngilizce di ğerleri ise Almanca bilmektedir. İngilizce bilenlerin sayısının Almanca bilenlerin sayısına oranı kaçtır? Çözüm : İngilizce bilenlerin sayısı %30 ise, Almanca bilenlerin sayısı %70 olur. O halde İngilizce bilenlerin sayısının Almanca bilenlerin sayısına oranı 30 3 70 7 = dir. Tanım : ac ve bd gibi iki oranın e şitli ğini ifade eden önermeye, yani ac bd = e şitli ğine orantı denir. 1.5.1. ORANTININ ÖZELL İKLER İ ac ise bd = 1) ad bc = 2) ab cd = 3) dc ba = 4) bd ac = 5) 22 2 22 ve 0 ac ac kki s e k bd bd == ? == 6) ve 0, 0 ise dır. ac m an c kmn k bd m bn d + == ? ? = + 21 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : 5 3 ab b + = oldu ğuna göre, ab a - ‘nın de ğeri kaçtır? Çözüm 3 5 3 5 = + ? = + b b b a b b a 1 3 5 3 5 1 - = ? = + b a b a 2 3 3 2 = ? = a b b a Buna göre 2 1 2 3 1 - = - = - = - a b a a a b a dir. Örnek : 2 3 5 c b a = = ve 22 0 abc -+= oldu ğuna göre a kaçtır? Çözüm : k c b a = = = 2 3 5 olsun. Buna göre 5 , 3 , 2 akbkck === olur. 22 0 abc - += e şitli ğinde, , ab c ve ’nin k cinsinden de ğeri yazılırsa; 52 322 0 kkk -· + = ? 20 k = ? 5 5 20 100 ak = =· = olur. Tanım : 123 , , , ... , n xxx x ? ¡ olmak üzere n tane sayının ; Aritmetik ortalaması 12 n xxx n ++ … + Geometrik ortalaması 12 n n xxx ·… dır. Örnek : 16 kız, 34 erkek ö ğrencinin katıldı ğı bir sınavda kız ö ğrencilerin puanlarının ortalaması 50 , erkek ö ğrencilerin puanlarının ortalaması 40 oldu ğuna göre,tüm ö ğrencilerin puanlarının ortalaması kaçtır? 22 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm : 16 kızın puan ortalaması 50 ise puanların toplamı 50 ·16 = 800 34 erke ğin puan ortalaması 40 ise puanların toplamı 40 ·34 = 1360 Tüm ö ğrencilerin puan ortalaması, puanlarının toplamının ö ğrenci sayısının bölümüne e şit oldu ğundan : Tüm ö ğrencilerin puanlarının ortalaması 800 1360 2160 43,2 16 34 50 + == + bulunur. Örnek : a ile b nin aritmetik ortalaması 5 dir. a ile geometrik ortalaması 3 2 , b ile geometrik ortalaması 3 4 olan sayı kaçtır? Çözüm : istenen sayı x olsun. Verilenlere göre ; 5 , 2 3 , 4 3 dir. 2 ab ax bx + =· =· = 10 , 12 , 48 a b ax bx + === oldu ğundan, 60 ax bx + = ()6 0 xa b += 10 60 x·= 6 x = dır. Tanım : İki çokluktan biri artarken(azalırken), di ğeri de aynı oranda artar(azalır) ise bu iki çokluk do ğru orantılıdır yada orantılıdır denir. k bir sabit ve x ile y aralarında orantılı ise yk x = ‘e do ğru orantı ba ğıntısı denir. Bu ba ğıntının grafi ği ; y=kx y x 1 2 3 k 2k 3k (k > 0 için) 23 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva ,, x yz sayıları s ırasıyla ,, abc sayıları ile orantılı ve xyz k abc = == orantı sabiti ba ğıntısı vardır. Örnek : 50 km. lik yol 1 saat te gidilirse 400 km. lik yol kaç saatte gidilir? Çözüm : artar 50 km. yol 1 saatte gidilirse artar 400 km. yol x saatte gidilir. Do ğru orantı 1 ·400 = x ·50 ? x = 8 saat Örnek : Un, ya ğ ve şeker a ğırlık bakımından sırasıyla 8 : 2 : 3 sayıları ile orantılı olarak karı ştırılarak 39 k ğlik bir hamur yapılıyor. Bu hamurda kaç kg ya ğ kullanılmı ştır? Çözüm : , 39 823 uy ş kuy ş === ++= 8 8 2 3 39 3 2 ş 3 uk kkk k yk k = ++=?= = = Buradan ya ğ 22 36 yk ==·= kg bulunur. 24 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Tanım : İki çokluktan biri artarken(azalırken) di ğeri aynı oranda azalıyor(artıyor) ise bu iki çokluk ters orantılıdır denir. k sabit ve x ile y aralarında ters orantılı ise x k y = ba ğıntısına ters orantı ba ğıntısı denir. Bu ba ğıntının grafi ği ; y x y= k x k 2 1 k 2 1 k (k>0 için) , , x yz sayıları sırasıyla , , abc sayıları ile ters orantılı ve k orantı sabiti olmak üzere ax by cz k === dır. Örnek : Kapasiteleri e şit olan 11 i şçi bir i şi 24 günde yapabiliyor. Buna göre aynı i şi 6 i şçi kaç günde yapar? Çözüm : 11 i şçinin 24 günde yapaca ğı i şi 6 i şçi daha fazla günde yapar. Yani i şçi sayısı ile i şin yapılma süresi arasında ters orantı vardır. 11 i şçi 24 günde yapıyor azalma 6 i şçi x günde yapar artma Ters Orantı ; 11 ·24 = 6 · x ? x = 44 günde yapar. Örnek : Ali, Bülent ve Cem 58 tane bilyeyi sırasıyla 6,8 ve 9 sayıları ile ters orantılı olarak payla şıyorlar. Alinin payına dü şen bilye sayısı kaçtır? 25 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm : Ali, Bülent ve Cemil sırasıyla ,, abc tane bilyesi olsun . Bu durumda 6 8 9 , , 689 kkk abck a b c ===?= = = 58 144 689 kkk k ++=?= Buradan Ali’ye dü şen bilye sayısı ; 144 24 66 k a = == dir. Tanım : k bile şik orantı sabiti olmak üzere, y ; x ile do ğru ve z ile ters orantılı ise kx y z · = ifadesine bile şik orantı ba ğıntısı denir. Örnek : ,6 x ile ters orantılı ve ,8 y ile do ğru orantılıdır. 98 xy + = ise yx - kaçtır? Çözüm : 6 , 8 86 yk x kxy k == ? = = ? 98 xy += ise 98 8 6 = + k k ? 49 588 k = ? 12 k = ? 2 6 12 = = x ve 81 2 9 6 y = ·= ? 94 yx - = olur. Örnek : 12 i şçi 8m 2 halıyı 24 günde dokuyor. Buna göre, 9 i şçi 3m 2 halıyı kaç günde dokur? Çözüm : 12 i şçi 8m 2 halıyı 24 günde yaparsa (-) (-) (+) (-) 9 i şçi 3m 2 halıyı x günde yapar Ters Orantı-Do ğru Orantı 98 31 22 4 x ··=· · 12 x = günde yapar. 26 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 1.6. ARALIK KAVRAMI Sayı do ğrusu üzerindeki sayıları üç farklı aralık olarak ifade ederiz. 1) Kapalı Aralık : , [ , ] axbxa b ?? ? 2) Açık Aralık : , ( , ) axbxa b << ? 3) Yarı Açık Aralık : , ( , ] axbxa b ¡ ( , ] { | , } ax xx a -? = ? ? ¡ [4 , ) { | , 4 } xx x -+ ? = ? ? - ¡ - ? 4 - 0 + ? Örnek : 3 4 25 8 xx x -+ -+ - toplamının bir reel sayı belirtmesi için x hangi aralıkta olmalıdır ? a b a b a b +? -? -1 3 +? -? -4 3 27 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm: Bu toplamın reel sayı belirtmesi için terimlerin üçünün de ayrı ayrı reel sayı belirtmesi gerekir. Buna göre 2 - x reel ise 20 x-?=> 2 x ? ......................1) 4 5 x - reel ise 50 x -?=> 5 x ? => 5 x ? ......2) 3 8 - x reel ise x ? ¡ ....................................3) (1),(2) ve (3) den 2 ? x ? 5 veya [ ] 2,5 x ? olur. 1.7. MUTLAK DE ĞER Tanım : Sayı do ğrusu üzerindeki bir x sayısının sıfıra olan uzaklı ğına bu sayının mutlak de ğeri denir. Ve | x | ile gösterilir. + x ; x > 0 | x |= 0 ; x = 0 şeklinde tanımlanır. x - ; x < 0 Örnek : | 3 | = 3 | -5 | = - ( -5) = 5 | 0 | = 0 55 = 13( 13 )31 -= --=- 28 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 1.7.1. MUTLAK DEGERE A İT ÖZELL İKLER 1) 0 a > olmak üzere a) || x a = ? x a = veya x a = - b) || x a < ? axa - << c) || x a > ? x a > veya x a < - 2) ||||| | x yxy ·=· 3) , y 0 x x y y =? 4) | | | | , nn xx n =? ¥ 5) || || x x -= Örnek : 1) ||4 x = ? 4 x = veya 4 x = - 2) ||4 x < ? 44 x -<< 3) ||4 x > ? 4 x > veya 4 x < - 4) |8 ||3 || (8 )(3 ) || 2 4 |2 4 -·-=-· -= = 5) 8 8 44 2 2 === 6) | ( -2) 3 | = | -2 | 3 = 2 3 = 8 7) | -10 | = | 10 | = 10 Örnek : | 2 x +1 | = 5 e şitli ğini sa ğlayan x de ğerlerinin çarpımı kaçtır? Çözüm : 2 x +1 = 5 ve 2 x +1 = -5 2 x = 4 2 x = -6 x 1 = 2 x 2 = -3 ? x 1 · x 2 = 2 ·(-3) = -6 29 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM ALI ŞTIRMALARI 1) {| 4 5 , A xx x =< pozitif ve 3’ün katı} kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır? {1, 3} , {2, 3, 4} AB == kümeleri için A D ? ve BD ? olacak şekilde dört 2) elemanlı D kümesini bulunuz. 3) {| 1 2 0 , E xxx =< ? tamsayı} {2,3,4,7}, {9,12,16,20}, {2,3,5,7,9} ABC === kümeleri için a şa ğıdakileri bulunuz: a) () A BC ?? b) () ACB ?? c) \( ) A BC ? d) () AB ? 4) 16 ki şilik bir sınıfta Fransızca bilenlerin kümesi F ,Almanca bilenlerin kümesi A dır. () 8 , () 9 , ( ) 1 4 sF sA sA F ==? = oldu ğuna göre bu sınıfta sadece Almanca bilen kaç ki şi vardır? 5) A ve B herhangi iki kümedir. \ , ,\ ABABBA ? kümelerinin özalt küme sayıları sırası ile 15,31,0 dır. AB ? kümesinin eleman sayısı kaçtır? 6) ,, K LM ayrık olmayan kümeler olsun .A şa ğıda belirtilen bölgeleri Venn şemasında gösteriniz. a) () \ M KL ? b) (\)(\) KLML ? c) () \ L MK ? d) () K LM ?? 30 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 7) A şa ğıda taralı bölgeleri küme i şlemleri ile ifade ediniz 8)A şa ğıdaki i şlemlerin sonucunu bulunuz: a) 22 31 23 11 : 22 ? (2) -- - ???? -- ???? ???? = - b) 54 22 15 36 ? -+-= c) 3 3 3 0, 27 0, 27 0, 27 ? ··= K d) ? ) 121 , 0 ( ) 24 , 0 ( : ) 1 , 12 ( ) 4 , 2 ( 6 4 6 4 = - - - - e) 333 0,162 2 0,048 0,384 ? -+= f) 145 ? 73 72 71 +-= --- 9) A şa ğıdaki i şlemlerin sonucunu bulunuz: a) 2 1 0,1 5 2 10 10 10 ? - ··= b) 151 339 428 ? - ··= c) 0,4 5 39 3 ? ··= d) 11 3 33 81 64? - ··= 31 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva e) 1,3 0,7 1,4 222? - ··= f) 4 13 3 12 4 777? - - ··= g) 0,7 0,4 42? - ·= h) 0,3 1,4 25 5 ? ·= i) 1 3 26 4 ? - ·= j) 1,5 4 93 ? - ·= k) 3 64 27 ? 125 · = 10) A şa ğıdaki problemleri çözünüz: a) 20 Kız ve 8 Erkek ö ğrencinin bulundu ğu bir sınıfta matematik sınav sonucu kız ö ğrencilerin ortalaması 6,8 ve erkek ö ğrencilerin ortalaması 7,5 ise sınıf ortalaması kaçtır? b)12 i şçi günde 6 şar saat çalı şarak bir i şi 15 günde bitiriyorlar. Aynı i şi 9 i şçi günde 8er saat çalı şarak kaç günde bitirir? c) ,, x yz maddelerini, sırasıyla 0,2 ; 0,8 ve 0,6 sayıları ile orantılı olacak şekilde karı ştırarak 112 kg.lık bir karı şım yapılıyor. Bu karı şımda z maddesi kaç gramdır? d) 465 milyon üç karde ş arasında 2 ile do ğru 3 ve 4 sayılarıyla ters orantılı olarak payla ştırılırsa en az olan kaç lira alır? e) Bir i şyerinde çalı şan i şçi sayısı 6 katına, günlük çalı şma süresi 2 katına ve i ş miktarı 18 katına çıkarılırsa i şi tamamlama süresi kaç katına çıkar? 32 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 11) A şa ğıdakileri hesaplayınız: a) 23 3 ( 5 2,5) (1,5 5) 1 ? ---- = b) (5 3 50) (5 24) ? 75 5 2 +· - = - c) 2 ( 225 3 121) : 0,09 0,78 100 ? 3 ?? ++= ?? ?? d) 1 324 0,16 6: 2 5 ? 420 , 2 ?? -+· = ?? ?? ?? 12) A şa ğıdaki ba ğıntılardan x ’i hesaplayınız: a) 26 2, 5 x x - = b) 36 , 5 21 , 5 x x - = - c) 4,8 51 , 2 x x = + d) 45 1, 2 3 x x - = + 33 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM TEST İ 1) A şa ğıdaki ifadelerden hangisi bir kümeyi tam olarak belirlemez? A) { | x x birer do ğal sayı B) {Salı, Cuma, Pazar} C) 123467 , , , , , 234578 ?? ?? ?? D) { | x x Türkiye’nin şu andaki bir il merkezi} E) { | x x uzun boylu bir insan} 2) "" KARAR kelimesindeki harflerin kümesi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) {} ,, KAR B) {} ,,, AARR C) { } , KR D) {} ,,,, AAKRR E) {} ,, A AK 3) { | " " A x x ARKADA Ş = sözcü ğündeki harflerden biri} kümesi veriliyor.Bu kümenin eleman sayısı () sA nedir? A) 3 B) 6 C) 5 D) 4 E) 7 4) A şa ğıdaki kümelerden hangisi {1,3, 5, 7, 9} kümesinin bir alt kümesi de ğildir? A) {1, 5} B) {3, 9} C) {0, 1, 3, 5} D) { 1, 3, 5, 7} E) Ø 34 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 5) A şa ğıdaki kümelerden hangisi {,,,,} SINAV kümesinin bir alt kümesi de ğildir? A) Ø B) {,,} VIA C) {,,} SAV D) {,,,} ANVR E) {,,,, } SINA 6) { - 2, 0, 2} kümesi a şa ğıdakilerden hangisinin altkümesi de ğildir? A) { - 2, - 1, 0, 1, 2} B) { - 3, - 2, 0, 2} C) {0, 1, 2, 3} D) { - 4, -2, 0, 2} E) { - 2, 0, 2} 7) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} ve {2,4,6,8} AB == oldu ğuna göre a şa ğıdakilerden hangisi yanlı ştır? A) A BB ?= B) A BA ?= C) {1, 3, 5, 7 , 9} AB = D) BA =Ø E) () () { 1 , 4 , 8 } ABAB ??= 35 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 8) {0, 1, 2, 3}, {0, 3} ve {0, 2, 4} ABC === oldu ğuna göre a şa ğıdakilerden hangisi yanlı ştır? A) {0, 1, 2, 3} AB ?= B) {0, 2} AC ?= C) {4} CA = D) () { 0 , 1 } ABC ??= E) () { 1 , 3 } ABC ?= 9) {5, 10, 15}, {, , }, {1, 2, 3, 4,5} KL r s t M === oldu ğuna göre, a şa ğıdakilerden hangisi yanlı ştır? A) {5} KM ?= B) {10, 15} KL = C) KLM ?? = Ø D) KL K = E) M K ? 10) {3, 5, 7}, {2, 4, 6, 8} MK == oldu ğuna göre, a şa ğıdakilerden hangisi do ğrudur? A) MK ?? Ø B) M K ? C) MK =Ø D) {2, 4, 6, 8} KM = E) {2, 3, 4, 5, 6} MK ?= 36 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 11) { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , { 4 , 5 , 6 , 7 } { 6 , 7 , 8 } ABv e C === oldu ğuna göre a şa ğıdakilerden hangisi do ğrudur? A) {4, 5, 6} B = B) {4, 5} BA ?= C) {6} AC ?= D) BC ?= Ø E) {4} BC = 12) A BC ?? oldu ğuna göre a şa ğıdakilerden hangisi yanlı ştır? ) ) ) ) ) AA B BA C CA BA DB C C EA B C ?? ?= ?= ?= 13) A şa ğıdakilerden hangisi bir rasyonel sayıdır? 22 A) B) 3 C) 2 D) E) 33 ? 14) A şa ğıdaki sayılardan hangisi rasyonel sayı de ğildir? 3 A) 25 B) 7 C) 2 D) 0 E) 4 15) [] 0 , 3 - a şa ğıdaki kümelerden hangisi ile ifade edilir? ) { , 3 0} ) { 3, 0} ) { 3, 2, 1 , 0} ) { , 3 0} ) { , 0 5 } Ax x x B C Dx x x Ex x x ?- ?? - --- ?-<< ?< ? ¡ ¡ ¡ 37 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 16) A şa ğıdakilerden hangisi ] ( 5 , 0 yarı açık aralı ğını gösterir? ) { , 5 } ) { , 0 5 } ) { , 5 } ) { , 0 5 } ) { , 0 5 } Ax x x Bx x x Cx x x Dx x x Ex x x ?? ??? ?> ?< < ?< ? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 17) { , 2 5 } xx x ??< ¡ kümesi a şa ğıdaki aralıklardan hangisi ile gösterilir? A) (2, 5) B) [2, 5) C) (2, 5] D) [2, 5] E) [2 , 2 ] - 18) { 4 1 , } xxx -?? ? ¡ kümesi a şa ğıdaki aralıklardan hangisi ile gösterilir? A) (4 , 1 ] - B) (4 , 1 ) - C) [ ) 4, 1 - D) [ ] 4, 1 - E) [ ] 1, 4 19) \{1} ¡ kümesi a şa ğıdakilerden hangisine e şittir? A) ( , 1) B) ( 1,1) C) ( ,1) D) ( ,1) (1, ) ) ( , ) E -? - - -? -? ? ? -? ? 20) 3 1 ? - x e şitsizli ğinin en geni ş çözüm kümesi a şa ğıdaki aralıklardan hangisidir? A) [2 , 4 ] - B) [3 , 3 ] - C) [1, 3] D) [1 , 3 ] - E) [0, 3] 21) 1 2 ? + x e şitsizli ğinin en geniş çözüm kümesi a şa ğıdaki aralıklardan hangisidir? A) [ 3, 1] B) [ 1, 3] C) [ 1, 0] D) (0, ) E) ( , ) -- - - +? - ? +? 38 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 22) 4 5 < - x e şitsizli ğinin çözüm kümesi nedir? ) 1 5 ) 5 4 ) 4 5 ) 1 1 ) 1 9 Ax Bx Cx Dx Ex -<< -<< -<< -<< << 23) 8 2 < + x e şitsizli ğinin çözüm aralı ğı nedir? A) 20 3 x -<< B) 3 6 x -<< C) 6 10 x < < D) 20 25 x << E) 10 6 x -<< 24) 1 1 ? - x e şitsizli ğinin çözüm kümesi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) [0, 1] B) ( , 0] [2, ) C) ( , 1] (2, ) D) (0, 2) E) ( , 1] [2, ) -? ? +? -? ? +? -? ? +? 25) 3 2 5 ? + x e şitsizli ğinin çözüm kümesi a şa ğıdaki aralıklardan hangisidir? A) [ 3, 3] B) ( , ) 11 C) 1, D) 1, 55 E) ( 5, 1) -- ? ? ?? ?? -- ?? ?? ?? ?? -- 26) 7 5 2 ? + x e şitsizli ğinin en geniş çözüm kümesi a şa ğıdaki aralıklardan hangisidir? A) [5, 7] B) [6 , 1 ] - C) [2, 5] D) [2, 7] E) [1 , 6 ] - 27) 9 5 2 = + x e şitli ğini sa ğlayan x de ğerlerinin toplamı kaçtır? A) 3 B) 5 - C) 3 - D) 4 - E) 1 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDE ŞL İKLER ,DENKLEMLER VE E ŞİTS İZL İKLER 2.1 ÖZDE ŞL İKLER İki cebirsel ifade içerdikleri de ği şkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her de ğeri içinbirbirine e şit oluyorsa, bu iki ifadeye özde ştir denir. Örne ğin x 2 – y 2 ifadesi ile (x – y)(x + y) ifadesini ele alalım. İkinci ifadedeki çarpma i şlemini yaptı ğımızda birinci ifadeyi elde ederiz. Bu nedenle ?x, y ? için ;x 2 – y 2 = (x – y)(x + y) yazabiliriz bu e şitlik, x ve y nin her de ğeri için do ğru oldu ğundan, bir özde şliktir. Bazı Önemli Özde şlikler : 1- (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 2- (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 +y 3 3- (x – y) 2 = x 2 –2xy +y 2 4- (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 –y 3 5- x 2 – y 2 = (x – y)(x + y) 6- x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2 ) 7- x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 – xy + y 2 ) 8- (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy +xz +yz) Örnek : x + y = 8 ve x·y = 10 ise x 2 + y 2 kaçtır? Çözüm : (x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2xy 8 2 = x 2 + y 2 + 2·10 ? x 2 + y 2 = 44 bulunur Örnek : 2 ) x 1 (x ise 3 1 + = - x x kaçtır? Çözüm : 2 2 3 ) 1 ( = - x x 11 1 9 2 1 2 2 2 2 = + ? = - + x x x x BÖLÜM 2 40 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 13 2 11 2 1 ) 1 ( 2 2 2 = + = + + = + x x x x bulunur. Örnek : x + y = x·y = 4 ise x 3 + y 3 de ğeri kaçtır? Çözüm : (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y +3xy 2 +y 3 (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy(x +y) 43 = x 3 + y 3 + 3·4·4 ? x 3 + y 3 = 64 – 48 = 16 bulunur. 2.2 DENKLEMLER x 2 – 9 = (x – 3)(x + 3) ve 3x + 1 = x + 7 e şitliklerini ele alalım. Bu e şitliklerden birincisi ?x ? için sa ğlandı ğından bir özde şliktir. İkinci e şitlik ise, sadece x = 3 için do ğrudur. Bu e şitlikte x yerine 3 den farklı hangi sayıyı yazarsak yazalım e şitlik do ğru olmaz. Böyle e şitliklere, yani içerisinde bilinmeyen içeren ve bilinmeyenlerin özel de ğerleri için gerçeklenen e şitliklere denklem denir. Bilinmeyenlerin denklemi sa ğlayan de ğerlerine denklemin kökleri, köklerin olu şturdu ğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir. Bir tek bilinmeyen içeren denklemlere bir bilinmeyenli denklemler, iki bilinmeyen içeren denklemlere iki bilinmeyenli denklemler, benzer şekilde n tane bilinmeyen içeren denklemlere de, n bilinmeyenli denklemler denir. Örneğin 3x + 4 = 9 denklemi bir bilinmeyenli, 2x 2 + xy + y = 8 denklemi iki bilinmeyenli, 3x – 4y + 5z = 14 denklemi ise üç bilinmeyenli denklemlerdir. Tanım : a, b ? v e a ? 0 olmak üzere ax + b = 0 şeklindeki e şitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemde x’e bilinmeyen, a ve b ye de denklemin katsayıları denir. 41 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva ax + b = 0 denklemini çözmek için şu yol izlenir. ax + b = 0 ? ax = -b. a ? 0 oldu ğundan a b x - = elde edilir. O halde ax + b = 0 denkleminin çözümü a b - ve çözüm kümesi } { a b Ç - = dır. Örnek : 3x – 7 = 0 denklemini çözünüz? Çözüm : 3x -7 = 0 ? 3x = 7 ? 3 7 = x ? } 3 7 { . . = K Ç bulunur. Örnek : 5x = 0 denklemini çözünüz? Çözüm : 5x = 0 ? 0 5 0 = = x ? Ç.K. = { 0 } bulunur. Örnek : -2x +1 = x +7 denklemini çözünüz? Çözüm : -2x –x = 7 –1 -3x = 6 x = -2 ? Ç.K.= {-2} bulunur. Örnek : 4 2 3 ) 1 ( 2 1 + = + - x x x denklemini çözünüz? Çözüm : 4 2 3 2 1 2 1 + = + - x x x 4 2 1 2 3 2 3 + = - x x 2 9 0 = olup bu mümkün de ğildir. O halde Ç.K.= Ø bulunur. Örnek : 1 5 1 1 1 2 2 - = - + + x x x denklemini çözünüz? 42 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm : (1) 1) (x ) 1 ( 1 5 1 1 1 2 2 + - - = - + + x x x x 1 5 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 - = - + + - x x x x 2x –2 +x +1 = 5 ? 3x = 6 ? x =2 Ç.K.= {2} bulunur. Örnek : 1 2 1 1 1 1 = - + + + + x m x x denkleminin köklerinden biri 3 ise m kaçtır? Çözüm : Denklemin köklerinden biri 3 ise x=3 de ğeri denklemi sa ğlar. 4 1 3 1 1 1 1 3 1 4 1 - = + ? = + + + m m 3 +m = -4 ? m = -7 bulunur. Tanım : ,, abc ? ve a,b ? 0 olmak üzere ax +by +c =0 şeklindeki e şitliklere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. Tanım : ax +by +c = 0 Şeklindeki birden fazla iki bilinmeyenli Denklemden olu şan sisteme dx +ey +f = 0 iki Bilinmeyenli denklem sistemi denir. Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesinin bulunmasına dair birçok yöntem vardır. Şimdi bunlardan bazılarını verelim. YOK ETME METODU Verilen denklemlerin katsayıları, de ği şkenlerden birinin yok edilmesini sa ğlayacak şekilde düzenlendikten sonra taraf tarafa toplama yada çıkarma i şlemleri yapılarak sonuca gidilir. 43 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : 3x –2y = 13 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz? x + 2y= 7 Çözüm : Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım. 3x –2y = 13 + x+2y = 7 4x = 20 ? x =5 bulunur. x = 5 de ğerini birinci denklemde yerine yazarsak 3·5 –2y = 13 ? y =1 bulunur. O halde Ç.K.={(5,1)} bulunur. YERİNE KOYMA METODU Verilen denklemlerin birinden, de ği şkenlerden biri çekilip di ğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir. Örnek : 3x +5y = 25 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz? 8x – y = 38 Çözüm : İkinci denklemde y de ği şkenini çeker, birinci denklemde yerine yazarsak, y = 8x –38 3x +5(8x –38) = 25 43x –190 = 25 ? x = 5 bulunur. x = 5 de ğerini y de yerine yazarsak y = 8·5 –38 = 2 olup Ç.K.={(5,2)} bulunur. KAR ŞILA ŞTIRMA METODU Verilen denklemlerin her ikisinden de aynı de ği şken çekilir. Denklemlerin di ğer tarafları e şitlenerek sonuca gidilir. 44 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : x +y =7 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz? x –4y= 2 Çözüm : Her iki denklemden x de ği şkeni çekilirse ; x = 7 –y x = 2 +4y ? 7 –y = 2 +4y ? 5y = 5 ? y = 1 ? x=6 ? Ç.K.={(6,1)} Tanım : a,b,c ? ve a ?0 olmak üzere ax 2 +bx +c =0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Denklemi sağlayan x reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin olu şturdu ğu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir. ax 2 +bx +c = 0 denkleminde ?=b 2 –4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir. ? için a şa ğıda üç durum söz konusudur. 1) ?>0 ise denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır. Bu kökler ; a b x 2 1 ? + - = , a b x 2 2 ? - - = olup denklemin çözüm kümesi Ç.K.={x 1 ,x 2 } dir. 2) ?=0 ise denklemin e şit iki reel kökü vardır. Bu kökler ; a b x x 2 2 1 - = = dir. Denklemin bu köküne çift katlı kök denir. Ç.K.={x 1 } 3) ?<0 ise denklemin reel kökü yoktur. Ç.K.=Ø Örnek : x 2 –4x –21 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 45 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm : x 2 –4x –21 = 0 ?= b 2 –4ac = (-4) 2 - 4·1·(-21) = 16 +84 = 100 > 0 1 2a b x -+? = = 2 100 ) 4 ( + - - =7 , 2 2a b x --? = 2 100 ) 4 ( - - - = =3 Ç.K.={7,-3} bulunur. Örnek : x 2 +x +5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : ?= b 2 –4ac ?= 1-4·1·5 = -19 < 0 oldu ğundan denklemin reel sayılar kümesinde çözümü yoktur. Ç.K.=Ø Örnek : 2 210 xx -+= denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : ?=b 2 – 4ac 44 1 10 =-··= olup 12 2 x1 22 b x a == -== {} .. 1 ÇK = bulunur. ax 2 +bx +c =0 Denkleminin Çarpanlara Ayrılması 1) a = 1 ise x 2 +bx +c =0 olur. Burada b = x 1 +x 2 , c = x 1 ·x 2 ise x 2 + bx +c = x 2 +(x 1 +x 2 )x +x 1 ·x 2 = 0 olur. x x 1 x x 2 33 46 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : A şa ğıdaki ikinci derece denklemlerini çarpanlara ayıralım. 1) x 2 +7x +10 2) x 2 -5x +6 3) x 2 +x -12 x +2 x -3 x 4 x +5 x -2 x -3 = (x+2)(x+5) = (x-3)(x-2) = (x+4)(x-3) 2) a ?1 ise ax 2 +bx +c =0 denkleminde a= m·n , b=mp +nq , c= pq ise ax 2 +bx +c= mnx 2 +(mp +nq)x +pq = (mx +q)(nx +p) olur. mx q nx p Örnek : A şa ğıdaki ikinci derece denklemlerini çarpanlara ayıralım. 1) 5x 2 +11x +2 2) 2x 2 –3x –9 5x 1 2x 3 x 2 x -3 = (5x +1)(x +2) = (2x +3)(x –3) 2.2.1 YÜKSEK DERECEDEN BAZI DENKLEMLER a,b,c,d,e ? olmak üzere, ax 3 +bx 2 +cx +d =0 şeklindeki denklemlere 3. dereceden, ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx +e =0 şeklindeki denklemlere de 4. dereceden x’e göre düzenlenmi ş denklemler denir. Bu tip denklemlerin ço ğu 2.derece denklemlere indirgenerek çözülebilir. Örnek : x 4 –3x 2 –4 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 47 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm : x 2 = t diyelim () 0 t ? O halde yukarıdaki denklem t 2 –3t –4 =0 ikinci derece denklemine dönü şür. Bu denklem t’ye göre düzenlenmi ştir. (t-4)(t-1) = 0 olup t =4 ve t =-1 dir. t =4 ise x 2 =4 ? x = ±2 t = -1 ise x 2 =-1 olup gerçek kök yoktur. O halde denklemin Ç.K.={-2,2} bulunur. Örnek : 10 1 = + x x denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : 10 1 2 = + x x ? x 2 +1 =10x ? x 2 –10x +1 = 0 olur. ? =b 2 –4ac =100 –4= 96 >0 6 2 5 1 + = x 6 2 5 2 - = x ..{ 526 , 526 } ÇK=+ - bulunur. Örnek : 7 1 2 - = - + x x denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : 7 1 2 - = + x x denkleminin her iki tarafının karesini alalım 2x +1 =(x-7) 2 2x +1 = x 2 –14x +49 0= x 2 –16x +48 denklemi çözülürse x =12 ve x =4 bulunur. Bu köklerden x =12 denklemi sa ğlar. Fakat x =4 denklemi sa ğlamaz. O halde Ç.K. ={12} bulunur. Örnek : x 3 –5x 2 +6x =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : x(x 2 –5x +6) =0 buradan ; 1 x =0 ve x 2 –5x +6 = 0 denklemleri yazılır. x 2 –5x +6 =0 x -3 x -2 ? x 2 –5x +6 = (x-3)(x-2) =0 ? 2 x =3 , 3 x =2 O halde Ç.K.= {0,2,3} bulunur. -b + 2a ? x = 1 -b - 2a ? x = 2 48 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 2.3 E ŞİTS İZL İKLER 2.3.1 B İR İNC İ DERECEDEN B İR B İL İNMEYENL İ E ŞİTS İZL İKLER Tanım : a,b ? ve a ?0 olmak üzere ax +b>0 , ax +b?0 , ax +b<0 , ax +b?0 şekindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli e şitsizlik denir. E şitsizli ği çözmek için ax +b ifadesinin i şaret tablosundan faydalanarak e şitsizli ği sa ğlayan aralık bulunur. a b b ax - = ? = + x 0 Bu tablonun anlamı ax +b ifadesinde x yerine a b - dan küçük bir sayı yazılırsa bu ifade a ile ters i şaretli, a b - dan büyük bir sayı yazılırsa a ile aynı i şaretli olur, a b - yazılırsa bu ifadenin de ğeri 0 olur demektir. Örnek : 4x –12 ?0 e şitsizli ğinin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : I.yol : 4x –12 ?0 ? 4x ? 12 ? x ? 3 ? Ç.K.=(-?,3] II.yol : 4x –12 =0 ? 4x =12 ? x =3 Ç.K.=(-?,+3] b a - -? +? a'nin isaretinin tersi a'nin isaretinin aynisi x ax +b 49 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : 0 1 2 ? + - + x x e şitsizli ğinin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : Bu e şitsizli ğin çözüm kümesini bulmak için pay ve paydanın ayrı ayrı i şaretlerini inceledikten sonra bölümün i şaretini inceleyece ğiz. x +2 =0 ise x = -2 ve -x +1 =0 ise x =1 oldu ğundan bu ifadenin i şareti a şa ğıdaki tablodaki gibidir. Burada x =1 için 1 2 + - + x x tanımlı olmadı ğından x =1 çözüm kümesine dahil de ğildir. Ç.K.= (-?,-2] ? (1,+?) dır. 2.3.2 İK İNC İ DERECEDEN B İR B İL İNMEYENL İ E ŞİTS İZL İKLER Tanım : a,b,c ? , a ?0 olmak üzere ax 2 +bx +x >0 , ax 2 +bx +c ?0 , ax 2 +bx +c <0 , ax 2 +bx +c ?0 şeklindeki ifadelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli e şitsizlikler denir. E şitsizli ği çözmek için ax 2 +bx +c ifadenin i şaret tablosundan faydalanarak e şitsizli ği sa ğlayan aralık bulunur. ax 2 +bx +c ifadesinin i şaret tablosunun olu şturulmasında üç durum vardır. I.Durum : ? > 0 ise ax 2 +bx +c ifadesinin farklı iki kökü vardır. Bunlar x 1 ve x 2 olsun (x 1 0 e şitsizli ği elde edilir. x 2 -2x +1 =0 ? x =1 x -1 x -1 Ç.K.= –{1} Örnek : x 3 –1 ?0 e şitsizli ğin çözüm kümesini bulunuz Çözüm : x 3 –1 ?0 x 3 –1 = (x –1)(x 2 +x +1) şeklinde yazıp her çarpanın i şaretini ayrı ayrı inceledikten sonra çarpımın i şaretini inceleyece ğiz. x –1=0 ise x =1 ,x 2 +x +1 =0 denkleminin reel kökleri yoktur. Ç.K.= (-? ,1] -? +? x x 2 -2x +1 >0 1 + + çözüm -? +? x 1 çözüm x -1 x 2 +x +1 x 3 –1 ?0 + + + + 52 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : 2 3 6 0 xx xx -- ? - e şitsizli ğin çözüm kümesini bulunuz Çözüm : 0 6 3 2 ? - - - x x x x e şitsizli ğinin çözüm kümesini bulalım. Burada da pay ve paydanın ayrı ayrı i şareti incelendikten sonra kesirin i şaretini inceleyece ğiz. x 2 –x –6 =0 ise x =3 ve x = -2, x 3 –x =0 ? x(x 2 –1) =0 ise x =0 , x =+1, x = -1 x -3 x 2 . Burada x = -1 , x = 1 ve x = 0 paydayı sıfır yaptı ğı için çözüm kümesine dahil edilmemi ştir. Ç.K.=[-2,-1) ? (0,1) ? [3,+?) dır Örnek : 3 20 5 x x - +? + e şitsizli ğin çözüm kümesini bulunuz Çözüm : 3 20 5 x x - +? + e şitsizli ğinin çözüm kümesini bulalım. 21 03 0 5 xx x ++- ? + 13 0 5 x x + ? + x -x -6 2 x -x 3 ? 0 x 2 –x –6 x 2 –1 x -? x + + + + -2 -1 0 1 3 +? + + + + + + + + 53 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Burada pay ve paydanın ayrı ayrı i şareti incelendikten sonra kesirin i şaretini inceleyeceğiz. 13 0 x+= ise 13 x =- ve 50 x+= ise 5 x =- Burada x=-5 paydayı sıfır yaptı ğı için çözüm kümesine dahil edilmemi ştir. Ç.K = ) 13, 5 -- ? ? Tanım : Birden fazla e şitsizli ğin bir araya gelmesiyle olu şturulan sisteme e şitsizlik sistemi denir. E şitsizlik sistemini çözmek için ayrı ayrı i şaret tablosu düzenlenerek ortak çözüm bulunur. x 2 –16 ?0 Örnek : E şitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz? x 3 –27 >0 Çözüm : x 2 –16 =0 ? x =-4 , x =4 x 3 –27 =0 ? x =3 Burada x =3 de ğeri x 3 –27 >0 ifadesinin kökü olup çözüme dahil de ğildir Ç.K.=( 3,4 ] 54 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : x-5<0 x 2 +x –6?0 E şitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz? x 4 -16>0 Çözüm : x –5 =0 ? x = 5 x 2 +x –6 =0 ? x =-3 , x =2 x +3 x -2 x 4 –16 =0 ? x =-2 , x =2 x = -2 de ğeri x 4 –16 >0 e şitsizli ğinin kökü olup çözüme dahil edilmemi ştir Ç.K.= [ -3,-2) 2.3.4. MUTLAK DE ĞER İÇEREN EŞİTS İZL İKLER ,, , 0 , 0 abc a c ??> olmak üzere ax b c +? şeklindeki e şitsizli ğin çözümü ca xbc -? +? olup, ax b c ax b c +? ? ? +? - ? e şitsizlik siteminin çözümü olarak bulunur. ax b c +? şeklindeki e şitsizli ğin çözümü ise ax b c +? - ve ax b c +? e şitsizliklerinin çözüm kümelerinin birle şimi olarak alınır. 55 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek: 235 x-> e şitsizli ğin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 235 x-< - ve 235 x-> 22 1 x x <- <- ve 28 4 x x > > Bu durumda () () .. ,1 4 , ÇK=- ?-? + ? bulunur. Örnek: 417 x-? e şitsizli ğin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 7417 2 417 48 3 41746 2 x x xx xx x -? -? ? ? -? ? ?? ? ?? ??? -?- ?- ?- ?? ? ? Bu durumda 3 .. , 2 2 ÇK ?? =- ?? ?? bulunur. Örnek : 26 2 5 x - < e şitsizli ğinin çözüm aralı ğı nedir? Çözüm : 26 2- 6 22 ( 2 ) 5 5 2 5 55 xx - -< < ?-·< ·<· ? 10 2 6 10 x -<-< ? 421 6 x -< < ? 2 8 x -<< ..(2 ,8 ) ÇK=-+ Örnek : 2 15 x+? e şitsizli ğinin çözüm aralı ğı nedir? Çözüm : 2 15 x +? veya 2 1 5 x +?- 2 x ? veya 3 x?- +? -? -2 8 +? -? -3 2 () .. ,3 2 , ÇK ?? ?? =- ?- ? + ? 56 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva ALI ŞTIRMALAR 1) A şa ğıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz? a) 3 2 1 ) 0625 , 0 ( ) 125 , 0 ( ) 25 , 0 ( ) 5 , 0 ( + + + = · · x x x x b) 1 5 ) 00032 , 0 ( ) 3 ( - = + x c) 1 ) 2 ( 5 = - -x x d) 2000 2000 ) 3 ( ) 2 6 ( + = - x x e) 2 11 : 3 1 11 5 1: xx xx x xx ?? ?? ++ ?? ?? - ?? ?? = ?? ?? -- ?? ?? ?? ?? f) 2 11 44 0 11 xx xx ++ ???? -+ = ???? -- ???? g) 2 4 2 6 5 4 - = + - - x x h) 0 6 , 0 2 , 0 01 , 0 2 = - + x x ı) 0 2 8 2 = - - - x x i) 0 5 4 2 3 = - - x x x j) 6 7 14 2 5 3 1 2 - + + = - + + + + x x x x x x x 2) A şa ğıdaki e şitsizliklerin çözüm aralı ğını bulunuz? a) 5 1 3 1 ? - + x b) 5 2 1 ? + < x c) 0 ) 6 )( 2 ( 2 < - + - x x x d) 0 3 2 4 2 2 2 > + - - - x x x 57 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva e) 1 8 1 2 1 2 - < + - - x x x x 3) A şa ğıdaki e şitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz? a) 0 2 2 ? - x x 0 4 2 > -x b) 0 3 2 2 > - + x x 0 4 2 > - x x c) x 2 –6x +5 > 0 x 2 –7x +6 < 0 d) 3x +2 < 0 x 2 –3x +2 > 0 4)A şa ğıdaki denklemleri çözünüz a) 22 (6 )5 (6 )2 4 xxxx +-+= b) 222 (25 )2 (25 )3 xx xx -----= c) 222 (32 5 )2 (32 5 )7 xx xx +-- +-= - d) 42 ( 2) ( 2) 12 xx +-+= e) 22 (2 ) (22 )3 xxxx +·++= f) 22 ( 16) ( 2) 88 xx xx -- · -+= g) 22 (2 7 8) (2 7 3) 6 0 xxxx +-·+--= h) 2 2 11 2 12 xx xx + += + ı) 2 2 232 2 2 32 23 xx xx +- -= -+ 58 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva i) 42 91 80 xx -+= j) 42 31 00 xx +-= k) 42 41 210 xx -+ = l) 42 12 1 0 xx --= TEST 1. A şa ğıdaki (x, y) ikililerinden hangisi |x+y| = |x| - |y| e şitli ğini sa ğlar? A) (2, 0) B) (0, 2) C) (2, 2) D) (3, 1) E) (1, 1) 2. 1 + 2x = 3(x - 4) + 5 denklemini sa ğlayan x de ğeri nedir? A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) 12 3. (x + 3)(2x – 5) = (x-1)(2x+3) denkleminin çözüm kümesi a şa ğıdakilerden hangisidir? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 5 E) 2 3 - D) C) {1} B) {-3} A) ? 4. 3 37 - 4x - 3 1 - 2 = x denkleminin çözüm kümesi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) {2} B) {-1} C) {0} D) {1} E) {-2} 5. 4 1 1 3 2 + = + x x denkleminin çözüm kümesi a şa ğıdakilerden hangisidir? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 E) 4 9 D) 4 3 C) 4 1 B) 4 3 - A) 59 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 6. 9 6 3 5 3 4 2 - - = - + + x x x denkleminin çözümü nedir? A) x = -1 B) x = -3 C) x = 0 D) x = 1 E) x = 3 7. x x x x 2 5 1 2 2 2 + = + + denkleminin çözüm kümesi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) 2 B) 1 C) -2 D) -1 E) –3 8. x x x x x 1 1 1 = + - + denkleminin çözüm kümesi nedir? R E) {0} D) {-1} C) B) {1} A) ? 9. 1 sayısı a şa ğıdakilerden hangisinin kökü de ğildir? 0 1) (x E) 0 x D) 4 8 x x C) 0 2 - 2x B) 0 1 x A) 2 2 2 = + = - = + + = = - x 10. 0 3 = -x x denkleminin kaç tane gerçel kökü vardır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 11. 0 16 4 = - x denkleminin gerçek köklerinin kümesi a şa ğıdakilerden hangisidir? 4} {-4, E) 4} {1, D) 4} {0, C) B) 2} {-2, A) + + ? 12. A şa ğıdakilerden hangisi, kökleri 2 ve -4 olan ikinci dereceden bir denklemdir? 0 2 8 x E) 0 8 2 x D) 0 2 8 x C) 0 8 2 x B) 0 8 2 x A) 2 2 2 2 2 = + - = + - = - + = - - = - + x x x x x 60 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 13. Kökleri -2 ve 4olan ikinci dereceden denklem a şa ğıdakilerden hangisidir? 0 1 8 2x E) 0 8 2 x D) 0 8 2 x C) 0 1 8 2x B) 0 8 2 x A) 2 2 2 2 2 = + + = + + = + - = + - = - - x x x x x 14. A şa ğıdakilerden hangisi, çözüm kümesi {-2, 0, 2} olan denklemlerden biri olabilir? 0 4 x E) 0 4 x D) 0 4 x C) 0 2 x B) 0 2 x A) 2 3 3 2 2 = + = + = - = - = + x x 15. 7 2 3 2 + ? + - x x x e şitsizli ğinin çözüm kümesi hangisidir? 5] [-1, E) 5] - [1, D) 2] [1, C) 7] [2, B) ) [7, A) ? 16. 0 12 4 2 ? - - x x e şitsizli ğinin en geni ş çözüm aralı ğı a şa ğıdakilerden hangisidir? ) [6, E) 4] [3, D) 2] [0, C) 2] [-2, B) 6] [-2, A) ? 17. 0 1 9 2 2 ? + - x x e şitsizli ğinin çözüm kümesi a şa ğıdaki aralıklardan hangisidir ? A) [-2, 2] B) [-1, 1] C) [-3, 3] D) [-1, 9] E) [4, 5] 18. 1 1 + = - x x denkleminin çözüm kümesi a şa ğıdakilerden hangisidir? {0} E) {3} D) 3} {0, C) B) 3} 2, {1, A) ? 19. 1 5 6 - = + - x x denkleminin çözüm kümesi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) {11} B) {4} C) {4, 11} D) {0 ,1} E) {1, 5, 6} 61 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 20. 1 1 = + + x x denkleminin kökleri hakkında, a şa ğıdaki ifadelerden hangisi do ğrudur? yoktur. Kökleri E) 3 x , 1 x D) 1 x , 0 x C) 5 x , 0 x B) 0 x A) 2 1 2 1 2 1 = - = - = = = = = 21. 1 5 2 - = - x x denkleminin çözüm kümesi a şa ğıdakilerden hangisidir? ) (0, E) D) 4] [-4, C) 4} {2, B) A) ? R ? 22. 2x – 5 < 11 e şitsizli ğinin çözüm aralı ğı nedir? R ? ? ? E) 8) (-8, D) ) [8, C) ) [8, B) 8) , (- A) 23. 5 3 1 5 + ? + x x e şitsizli ğinin en geni ş çözüm aralı ğı a şa ğıdakilerden hangisidir ) , (- E) ) [2, D) 4) [-1, C) 2] [-2, B) 2] , (- A) ? ? ? ? 24. x x 7 20 10 3 - ? - e şitsizli ğinin çözüm aralı ğı a şa ğıdakilerden hangisidir? ? E) 1] [0, D) ) [3, C) 3] , (- B) 3] [-3, A) ? ? 25. 12 2 4 2 + - ? - x x e şitsizli ğinin çözüm aralı ğı nedir? 4) , (- E) ) , (- D) 2) , (- C) 4] , (- B) ) [4, A) ? ? ? ? ? ? 26. 0 2 2 ? - +x x e şitsizli ğinin çözüm kümesi nedir? ) [1, 2] - , (- E) 2) - , (- D) 1) (-2, C) 2] [-1, B) 1] [-2, A) ? ? ? ? 62 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 27. 2 10 3 5 4 2 - = + x x x denkleminin çözüm kümesi nedir? {0} E) {3} D) {-3} C) 3} - {3, B) A)? 28. x x x - = - - + 4 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( denkleminin çözüm kümesi nedir? {} {} ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 5 E) 3 8 D) 5 4 C) 4 B) 2 - A) 29. ) 18 ( 6 1 ) 6 ( 3 1 ) 4 ( 2 1 - = - + - x x x denklemini sa ğlayan x de ğeri nedir? 3 4 E) 2 3 D) 0 C) 2 3 - B) 3 - A) 63 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva FONKS İYONLAR 3.1. FONKS İYON KAVRAMI Tanım : A ve B bo ş olmayan iki küme aA ? ve bB ? olmak üzere (,) ab s ıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. (,) ab s ıralı ikilisinde a ya birinci, b ye de ikinci bile şen adı verilir. İki sıralı ikilinin e şitli ği demek,aynı bile şenlerin e şit olması demektir. Yani (,) (,) ab cd a cveb d =?= = dir. Örnek : (3 ,2 )( 4 , 3 ) xy +-= ise ? xy ·= Çözüm : 34 1 23 5 xx yy +=?= -=?= 15 5 xy ·=·= Tanım : A ve B bo ş olmayan iki küme olmak üzere birinci bile şeni A kümesinden , ikinci bile şeni B kümesinden alınarak olu şturulan sıralı ikililer kümesine A kartezyen çarpım B kümesi denir ve A x B şeklinde gösterilir A x B = {(x,y) | x ? A ve y ? B } dır. Örnek : A ={ ,,} abc ve B ={1,2} ise ve ABBA ×× bulunuz. Çözüm: AB ×= {( ,1),( , 2),( ,1),( , 2),( ,1),( , 2)} aabbcc B xA = {(1, ),(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(2, )} abcabc Yukarıdaki örnekte görüldü ğü gibi sıralı ikililerde sıra önem kazanaca ğından A xB ?B xA dır. Tanım : A ve B bo ş olmayan iki küme olmak üzere , A xB kümesinin ß gibi herhangi bir alt kümesine A dan B ye bir ba ğıntı denir. Ba ğıntılar ? , ß ... gibi semboller ile gösterilir. BÖLÜM 3 64 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : A = { , , } abc veB = {1, 2 } kümeleri için A dan B ye üç ba ğıntı yazınınız. Çözüm : A xB = {( ,1),( , 2),( ,1),( , 2),( ,1),( , 2)} aabbcc kartezyen çarpım kümesinin her bir alt kümesi A dan B ye bir ba ğıntıdır. Bu ba ğıntılardan üç tanesini yazarsak , {} 1 ( ,1),( , 2),( , 2),( ,1) aabc ß = {} 2 (, 2 ) a ß = {} 3 (, 1 ) , (,2 ) cc ß = Analitik düzlemde , x - ekseni üzerinde sa ğda büyük , solda küçük sayılar , y - ekseni üzerinde de yukarıda büyük , a şa ğıda küçük sayılar bulunur. Örnek : A {1, 2 , 3} = ve B {2, 3} = kümeleri için AB × grafi ğini analitik düzlemde gösteriniz. Çözüm : A xB ={(1,2) , (1,3), (2,2) , (2,3) , (3,2) , (3,3) } olup A xB kümesi düzlemde noktaları olu şturur. 0 y x (A kümesi ) (B kümesi) AB × 1 2 3 3 2 • • • • • • 65 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek: A {} =32 xxv e x -?< ? ve {} 13 Bxxv e x =??? kümeleri için A xB ba ğıntısının grafi ğini düzlemde gösteriniz. Çözüm: A [3 , 2 ) =- yarı açık aralı ğındaki tüm reel sayılar, B {1, 2 , 3} = kümesindeki tam sayılar olup A xB kümesi düzlemde do ğruları olu şturulur. Örnek: {( , ) | , AB xyxy ×= ? ,||1 ||3 } xv ey ?? ba ğıntısının grafi ğini düzlemde gösteriniz. Çözüm: || 1 1 1 xx ?? -?? olup [] 1, 1 x?- ||3 3 3 yy ?? -?? olup [] 3, 3 y?- O halde x vey ‘nin olu şturaca ğı ikililerin kümesi düzlemsel bir bölgeyi olu şturur. Bu bilgilerden sonra artık fonksiyon kavramını verebiliriz. 66 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Tanım : A ve B bo ş olmayan iki küme olmak üzere f , A dan B ye bir ba ğıntı olsun. E ğer A kümesinin her elemanı B kümesinin yalnız bir elemanı ile e şle şiyorsa f ba ğıntısına A dan B ye bir fonksiyon denir. A dan B ye bir fonksiyon genellikle f : A › B şeklinde gösterilir. Burada A kümesine fonksiyonun tanım kümesi B kümesine de fonksiyonun de ğer kümesi denir. E ğer f (A )=C ?B ise C kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi denir. Tanım Kümesi De ğer Kümesi Bu halde f ba ğıntısının A dan B ye bir fonksiyon olması için: a) Tanım kümesinde açıkta eleman kalmayacak, b) Tanım kümesindeki her elemanın de ğer kümesinde birden fazla görüntüsü olmayacaktır. Örnek: A = {0,1,2 } dan B = {2,4,6,8} ye tanımlı a şa ğıdaki ba ğıntılarda hangisi bir fonksiyondur? A B C Görüntü Kümesi () () {} 1 0, 2 , 1,8 f = 1 f fonksiyon de ğildir. Çünkü tanım kümesinde 2 elemanı açıkta kalmı ştır. 67 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva () () () {} 8 , 2 , 6 , 1 , 4 , 0 3 = f Örnek: A şa ğıdaki ba ğıntılardan hangisi bir fonksiyondur? 1) : f › , () 7 fx x =- fonksiyon de ğildir. Çünkü 2 ? için (2) 2 7 5 f =-= - ? dır. 2) : g › , 1 () 3 x gx + = fonksiyon de ğildir. Çünkü 4 ? için 415 (4) 33 g + == ? dır. : h › , 3 () hx x = fonksiyondur. 3) Çünkü ? x ? için 3 x ? dır. () () () () {} 8 , 2 , 6 , 1 , 4 , 1 , 2 , 0 2 = f 2 f fonksiyon de ğildir. Çünkü tanım kümesindeki 1 elemanının de ğer kümesinde iki görüntüsü olu şmu ştur. 3 f , fonksiyon tanımına uygundur. 68 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 3.1.1. FONKS İYON ÇEŞİTLER İ 1- Birim Fonksiyon : fAA › , fonksiyonunda A kümesinin her elemanının görüntüsü yine kendisi oluyorsa yani ?xA ? için () fx x = ise f fonksiyonuna A da birim(özde şlik) fonksiyon denir. 2- Sabit Fonksiyon : f A ›B , fonksiyonunda A kümesinin her elemanı B de aynı eleman ile e şle şiyorsa di ğer bir ifadeyle, A kümesinin bütün elemanlarının görüntüleri aynı ise yani b ?B olmak üzere ?xA ? için () fx b = ise f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir. 3- Di ğer Fonksiyon Çe şitleri f , A dan B ye bir fonksiyon olmak üzere, a) De ğer kümesinin en az bir elemanı görüntü kümesinin elemanı de ğilse yani () fA B ? ise f ye içine fonksiyon denir. b) De ğer kümesi görüntü kümesine e şit ise yani () fA B = ise f ye örten fonksiyon denir. c) A kümesinin her elemanının görüntüsü farklı ise yani ? 12 , xx A ? için 12 xx ? iken 12 () () fx fx ? ise f ye birebir fonksiyon denir. d) Hem birebir , hemde örten olan fonksiyona birebir örten fonksiyon denir. Örnek: A = {0,1,2} , B = {1,3,5 } , C = {2,4 }, D ={2,4,6} kümeleri için a şa ğıdaki fonksiyonların ne tür fonksiyon olduklarını inceleyelim. 69 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Tanım : f : › tanımlanan bir fonksiyon olsun. a) ?x ? için () fx -= () fx - ise f fonksiyonuna tek fonksiyon , b) ?x ? için () fx -=() fx ise f fonksiyonuna çift fonksiyon denir Örnek: () () 23 , fx xgx xx == + ve () 32 hx x x =- fonksiyonlarının tek veya çift fonksiyon olup olmadı ğını inceleyelim. Çözüm: () 22 ()() fx xxfx -=-== oldu ğundan f çift fonksiyondur 333 ()()() ( ) () gx x x xx xx gx -=-+ -= --= -+= - oldu ğu için tek fonksiyon, 3232 () ( ) ( ) hx x x x x =- -- = - - () ,( ) () hxh xvehx -- ’e e şit olmadı ğından ne tek ne de çift fonksiyondur. O halde bir fonksiyon tek veya çift olmak zorunda de ğildir. 1) 2 ) 3 ) 4) 5) 6) 70 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 3.1.2. FONKS İYONLARLA YAPILAN İŞLEMLER : fA › , : gB › fonksiyonları için AB ? bo ş olmayan küme olsun. 1) :( ) fgAB ±?› ( ) () () () fgxfxgx ±=± 2) : fgAB ·? › ( ) () () () fgx fxgx ·=· 3) ?x ?AB ? için () 0 gx ? olmak üzere f g : AB ?› () () () ff x x gg x ?? = ?? ?? 4) c ? olmak üzere ( ) () () cfx cfx ·= · dır. Örnek: : f › , 2 () 4 fx x x =- ve {} :4 g -› , () 4 gx x =- fonksiyonları veriliyor. A şa ğıdakileri bulunuz? a) () ( ) ? fgx += b) (5 ) ( )? fgx -= c) () ( )? fgx ·= d) () ? f x g ?? = ?? ?? Çözüm: a) 22 ( ) () () () ( 4) ( 4 ) 3 4 fgxfxgxxxx xx +=+=-+ - =-- b) 22 ( 5) () ()5()( 4)5(4 ) 92 0 fgxfxg xxxx xx - =- ·=-- ·-=-+ c) 23 2 ( ) () () () ( 4)( 4 ) 8 1 6 fgx fxgx x xx x x ·=·=-· -=-+ d) f g ?? ?? ?? (x )= () () fx gx = 2 4 4 xx x - - = (4 ) 4 xx x ·- - =x dır. 71 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek: {} :1 , 3 f › , 2 () 2 fx x =+ ve {} :2 , 1 g -› , () 2 1 gx x =- fonksiyonları veriliyor. 4fg + fonksiyonunun görüntü kümesi nedir? Çözüm : 4fg + fonksiyonu {}{ }{ } 1, 3 2 , 1 1 ?- = kümesinden ye tanımlıdır. Yani {} 4: 1 fg + › olup, ( 4fg + )(1) = 2 4 (1) (1) 4 (1 2) ( 2 1 1) 4 3 1 13 fg · + =· ++·-=·+= bulunur. 3.1.3. B İR FONKS İYONUN TERS İ : fAB › bir fonksiyon oldu ğu için f ={( , xy ) ?xA ? , yB ? ve () yfx = } ba ğıntısı yazılabilir. f fonksiyonunun tersi olan 1 f - ba ğıntısı da benzer şekilde 1 f - ={( , yx ) ?yB ? , xA ? ve 1 f - () yx = } yazılır. f fonksiyonu ancak 1-1 ve örten ise 1 f - fonksiyonu vardır. E ğer f fonksiyonu 1-1 ve örten de ğilse f fonksiyonunun tersinden söz edilemez. f 1 f - olup () () 1 fx y f y x - =? = dir. Örnek: {1,2,3}, {,,} A B abc == kümeleri için () () () {} 1, , 2 , , 3, fabc = fonksiyonun varsa tersini bulunuz. x y y x () fx y = () 1 fyx - = A B A B 1 2 3 a b c 1 f - B A f A B 1 2 3 a b c 72 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva f {(1, ),(2, ),(3, )} acb = 1-1 örten oldu ğu için 1 f - vardır ve 1 f - {( ,1),( , 2),( ,3)} acb = olup f de 1-1 ve örten fonksiyondur. Örnek : {1,2,3}, {,,} A B abc == kümeleri için () () () {} 1, , 2 , , 3, gaab = fonksiyonunun varsa tersini bulunuz. Fonksiyon de ğil Örnek: : f › , () 5 2 fx x =+ oldu ğuna göre varsa 1 () fx - fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: f , 1-1 ve örten oldu ğundan 1 f - vardır. 1 () () fx y f y x - =? = oldu ğundan 1 2 () 5 2 2 5 5 2 () 5 y fx x y x x y fy - - =+?-=?= - = Yani 1 2 () 5 x fx - - = bulunur. g =() () () {} 1, , 2 , , 3, aab 1-1 ve örten olmadı ğı için 1 g - {( ,1),( ,2),( ,3)} aab = ba ğıntısı fonksiyon de ğildir 1 g - fonksiyon de ğildir(tanım kümesinde c elemanı açıkta olup, a elemanının da 2 tane görüntüsü vardır.) 1 2 3 a b c A B g Fonksiyon B A 1 g - a b c 1 2 3 73 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek: {} :8 f -› {} 4 - , 41 () 8 x fx x + = + oldu ğuna göre , varsa () 1 fx - fonksiyonunu bulunuz. Çözüm : ,1 1 f - ve örten oldu ğundan tersi vardır. 1 () () fx y f y x - =? = oldu ğundan 41 41 8 8 x yxx yy x + =?+=·+ + ? 48 1 xxyy -·= - ? (4 ) 8 1 xyy ·-=- ? 81 4 y x y - = - v 1 81 () 4 y fy y - - = - ? 1 81 () 4 x fx x - - = - bulunur. Örnek: : f › , 2 () fx x = fonksiyonunun tersi yoktur. Çünkü fonksiyon 1-1 de ğildir. –1 ve +1 ? sayıları için –1 ? +1 oldu ğu halde f (-1) = f (1) = 1 dır. Oysa f : ++ › , 2 () fx x = fonksiyonun tersi var ve x x f = - ) ( 1 dir. NOT: f : › tanımlanan () fx ile 1 () fx - fonksiyonlarının analitik düzlemdeki görüntüleri yx = do ğrusuna göre simetriktir. Örnek: : f › , () 2 1 fx x =- + fonksiyonunun (varsa) tersini bulup kendisini ve tersini aynı düzlemde gösteriniz. Çözüm : f , 1-1 ve örten oldu ğundan tersi vardır. 1 () () fx y f y x - =? = dır. 21 xy -+= ? 1 2 y x - = ? 1 1 () 2 y fy - - =? 1 1 () 2 x fx - - = bulunur. 74 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Tanım : : fAB › , () fx y = ve : gB C › , () gy z = olmak üzere : gfAC › , () ( ) gfxz = şeklinde tanımlanan gf fonksiyonunun f ile g fonksiyonlarının bile şke fonksiyonu denir ve gf ile gösterilir. A f B g C () ( )( ( ) )( ) gfxgfx gyz === Örnek : : fv eg › , () 2 5 fx x =- ve 2 () gx x = fonksiyonları için a şa ğıdakileri bulunuz. a) () ( ) fgx b) () ( ) gfx y=f(x) .z . x f ve 1 f - fonksiyonlarının grafikleri yx = do ğrusuna göre simetrik olup grafik yan tarafta çizilmi ştir. gf 75 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm : a) () ( ) 22 (() ) ()2 5 fgxfgx fx x ===- b) () ( ) 22 ( ( )) (2 5) (2 5) 4 20 25 gfxgfx gx x x x ==- = - =-+ dır. Örnekte görüldü ğü gibi ()() fg gf ? dır. Örnek : : fv eg › , 3 () 8 fx x =- ve () 3 1 gx x =+ ise () ( 2 ) gf nedir? Çözüm : ( )(2) ( (2)) gf gf = oldu ğundan 3 (2) 2 8 0 f =-= (0) 3 0 1 1 g =·+= () ( 2 )( ( 2 ) )( 0 )1 gf gf g === bulunur. 3.2. DO ĞRUSAL FONKS İYONLAR Tanım: 012 ,,,, n aaa a ? ve 0 n a ? olmak üzere f : › , 12 1210 ( ) ... nnn nnn fx ax ax ax axa -- -- =++ ++ ile tanımlanan fonksiyona n. dereceden polinom fonksiyonu denir. Polinom fonksiyonlarının tanım kümeleri bütün reel sayılar kümesidir. Tanım: , ab ? olmak üzere ya xb =+ ifadesine do ğrusal (lineer) fonksiyon denir. ya xb =+ do ğrusal fonksiyonunda x ’in katsayısı olan a ‘ya do ğrunun e ğimi b ' ye de kesen terim denir. () yfxa xb ==+ fonksiyonu birinci dereceden bir polinom fonksiyon olup düzlemde bir do ğru belirtir. Düzlemdeki bir do ğru genel olarak 0 ax by c ++= şeklindedir. Bu do ğru denkleminin e ğimi a b - olup e ğim , m = a b - şeklinde gösterilir. Örnek: A şa ğıdaki do ğruların e ğimlerini bulunuz. 1) 35 yx =-? e ğim 3 m == 2) 21 2 yxm =- + ? =- 76 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 3) 3 3450 4 xy m ++=?= - 4) 2 32 3 yxm =?= 5) 1 yxm =?= 3.2.1. DO ĞRUSAL FONKS İYONLARIN GRAF İKLER İ ya xb =+ do ğrusal fonksiyonunun grafi ğini çizmek için en az iki noktanın bulunması gerekir. Örne ğin bunun için x =0 de ğerine kar şılık y ’nin almı ş oldu ğu de ğer, x = 0 de ğerine kar şılık y ‘nin almı ş oldu ğu de ğer bulunur. Böylece ya xb =+ do ğrusu x ve y ’nin almı ş oldu ğu bu noktalardan geçecek şekilde çizilir. Örnek : A şa ğıdaki do ğruları çiziniz. 1) 2) 3) yx = do ğrusu çizilirken 0 x = ise 0 y = olup, do ğru (0,0) noktasından geçer . 1 yx =+ 1 0 -1 x y 1 yx =+ 0 x = ise 1 y = 0 y = ise 1 x =- olup do ğru eksenleri () 1 , 0 ve () 0 , 1 - noktalarında keser. 336 xy -= 2 -3 326 xy -= 0 x = ise 3 y =- 0 y = ise 2 x = olup do ğru, eksenleri (0, 3) - ve ) 0 , 2 ( noktalarında keser. x y 0 77 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Ancak bir nokta verilen bir do ğruyu çizmek için yeterli de ğildir. Bu nedenle yx = do ğrusunda x ’in her de ğeri için y aynı de ğeri aldı ğından yx = do ğrusu orijinden geçen 1. açıortay do ğrusudur. 4) 3.2.2. İK İ DO ĞRUNUN B İRB İR İNE PARALEL VE D İK OLMASI 111222 ymxnv eymxn =+ =+ iki do ğru olmak üzere 1) Bu iki do ğru biri birine paralel ise e ğimleri e şittir ( 12 mm = ) 2) Bu iki do ğru biri birine dik ise e ğimleri çarpımı 1 - dir.( 12 1 mm ·= - ) x=1 do ğrusu 0 1 y x 78 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek: 1 34 yx =+ do ğrusu ile 2 32 yx =- do ğrusu biri birine paraleldir. Çünkü 12 3 mm == ( E ğimleri e şittir. ) Örnek: 1 1 2 2 yx =- do ğrusu ile 2 21 yx =- + do ğrusu biri birine diktir. Çünkü (E ğimleri çarpımı –1 dır.) Örnek: 25 yx =- ve 31 kx y -= denklemleriyle verilen do ğruların biri birlerine , a) Paralel olmaları için k ne olmalıdır? b) Dik olmaları için k ne olmalıdır ? 79 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm : a) 25 yx =- ise 1 m =2 31 kx y -=31 yk x ?=- 1 33 3 kk yxm ?=·-?= paralellik için 12 mm = oldu ğundan 2 = 3 k ? k = 6 b) Diklik için 12 1 mm ·= - oldu ğundan 21 3 k ·= -? k = 3 2 - bulunur. 3.2.3. İK İ NOKTASI VER İLEN DO ĞRUNUN EĞİM İ Düzlemde () 11 , Axy ve() 22 , Bxy noktaları verilsin. Bu iki noktadan geçen do ğrunun e ğimi , 21 21 yy m xx - = - ba ğıntısı ile bulunur. Örnek: () 3,1 ve () 5, 2 noktalarından geçen do ğrunun e ğimini bulunuz. Çözüm : () 3,1 ve () 5, 2 noktaları için 21 21 211 532 yy m xx - - === -- 3.2.4.B İR NOKTASI VE E ĞİM İ B İL İNEN DO ĞRU DENKLEM İ Düzlemde 11 (,) Axy noktasından geçen ve e ğimi m olan do ğrunun denklemi 11 () yymxx -=·- dir. Örnek: (1, 3) A noktasından geçen ve e ğimi 2 olan do ğrunun denklemini bulunuz. Çözüm: (1, 3) A , m = 2 oldu ğundan, () () 11 32 1 21 yymxx y x yx -=·-?-=·-?=+ bulunur. 80 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 3.2.5. İK İ NOKTADAN GEÇEN DO ĞRU DENKLEM İ 11 (,) Axy ve () 22 , Bxy noktalarından geçen do ğrunun denklemi , 11 2121 xx yy xxyy -- = -- ba ğıntısıyla bulunur. Örnek : (1,2) ve (3,4) noktalarından geçen do ğrunun denklemini bulunuz. Çözüm : 12 12 1 3142 xy xyyx -- =? - = - ? = + -- bulunur. 3.2.6. İK İ DO ĞRUNUN KES İM NOKTASI 11 yaxb =+ ve 22 yaxb =+ do ğrularının kesim noktası bu iki do ğrunun olu şturdu ğu lineer denklem sisteminin çözümü ile bulunur. Örnek : 1 22 yx =- ve 2 26 yx =- + do ğrularının kesim noktasını bulunuz. Çözüm : Verilen do ğru denklemlerinin sa ğ tarafları e şitlenirse, Örnek : 21 3 0 xy -+= ve 52 00 xy -+= do ğrularının kesim noktasını bulunuz. Çözüm : Verilen do ğru denklemlerinin çözüm kümesi bu iki do ğrunun kesim noktasıdır. 81 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 21 3 0 2/ 5 20 0 xy xy -+= ? ? -+= ? denklem sistemi çözülürse 21 3 0 / 2 10 40 0 xy xy -+= ? ? --+= ? 92 70 3 yy -=?= için birinci denklemde x ’i hesaplayalım. 2 3 13 0 2 10 0 5 xxx -+ =? + =?= - olup bu iki do ğru (–5,3) noktasında kesi şirler. 3.2.7.DÜZLEMDE İK İ NOKTA ARASINDAK İ UZAKLIK ()() 11 22 ,,, Axy Bxy noktaları arasındaki uzaklık şekildeki ABC üçgeninden Pisagor teoremi ile bulunur. d= () () 2 22 21 21 AB x x y y =-+- dir. Örnek : A(1 ,2) ve B(3,4) noktaları arasındaki uzunluk kaç birimdir? ()() 222 31 42 AB =-+- 22 AB = birim bulunur. 82 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 3.3 İK İNC İ DERECEDEN FONKS İYONLAR ve PARABOL Tanım : ,, abc ? ve a ?0 olmak üzere 2 () f x ax bx c =++ fonksiyonuna ikinci dereceden polinom fonksiyon denir. İkinci dereceden polinom fonksiyonların grafiklerine parabol denir. PARABOLÜN Ç İZ İM İ 2 () f x ax bx c =++ parabolünü çizmek için a şa ğıdaki adımlar izlenir. 1) Parabolün eksenleri kesti ği noktalar bulunur. (0 ? , 0 ? ) xyyx =?= =?= 2) 2 4 (,) , 24 ba cb Trk T aa ?? - =- ?? ?? noktasına parabolün tepe noktası adı verilir. 3) a>0 ise tepe noktası çukur (kollar yukarı). a<0 ise tepe noktası tümsek (kollar a şa ğıdır). Örnek : 2 32 yxx =-+ parabolünü çiziniz. Çözüm : 2 3 2 + - = x x y 1) 0 = x ise 2 y = olup parabol y eksenini () 2 , 0 de, 0 = y ise 2 0321 ,2 xxxx =-+?== olup parabol x eksenini () 0 , 1 ve () 0 , 2 da keser. 2) () () () 2 2 3412 3 43 1 ,, , , 2 4 21 41 2 4 ba cb Trk aa ?? -- ··-- ?? -- ?? == = - ?? ?? ?? ?? ·· ?? ?? ?? 3) 0 1 > = a olup parabolün kolları yukarı do ğrudur. O halde verilen parabolün grafi ği a şa ğıdaki gibidir. 83 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : 2 1 x y - = parabolünü çiziniz. Çözüm : 2 1 x y - = 1) 0 = x ise 1 = y , 0 = y ise 1 , 1 0 1 2 - = = ? = - x x x olup parabol () () ( ) 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0 - noktalarından geçer. 2) 0 , 1 = - = b a ve 1 = c olup tepe noktası () 0,1 T dir. 3) 0 1 < - = a oldu ğundan parabolün kolları a şa ğı do ğrudur. O halde verilen parabolün grafi ği a şa ğıdaki gibidir. 84 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : 2 ) 2 ( + = x y parabolünü çiziniz. Örnek: 2 yx = parabolünü çiziniz. Örnek : x x y 3 2 - = parabolünü çiziniz. Örnek : 2 x y - = parabolünü çiziniz. 3.4. RASYONEL FONKS İYONLAR Tanım : () Px ve () Qx birer polinom fonksiyon ve S kümesi de () Qx fonksiyonun gerçel köklerinin kümesi olsun. () :, ( ) () Px fSf x Qx -› = şeklindeki fonksiyonlara rasyonel fonksiyonlar denir. {} 1 :0, ( ) ff x x -› = : g › , () 1 1 3 2 + - = x x x g {} :1 , 1 h -- › , () 1 1 2 3 - + = x x x h fonksiyonları birer rasyonel fonksiyonlardır. x y 2 x y - = 0 x y x x y 3 2 - = 0 3 x y 2 x y = 0 2 - 4 x y 2 ) 2 ( + = x y 0 85 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Rasyonel fonksiyonların tanım kümeleri bazen açık olarak verilmez. Bu durumda paydanın kökleri dı şında kalan tüm gerçel sayıların kümesi bu fonksiyonun tanım kümesi olarak alınır. Örnek : () 1 2 + = x x x f rasyonel fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm : Paydanın köklerini bulalım. 1 210 2 xx +=?= - olup, fonksiyonun tanım kümesi 1 . 2 TK ?? =-- ?? ?? dir. Örnek : () x x f 1 = fonksiyonunun grafi ğini çizelim. Bu fonksiyon 0 = x için tanımlı olmayıp , fonksiyonun tanım kümesi {} 0 - dir. Bu tanım kümesine ait bazı noktaların f fonksiyonu altındaki görüntülerini bularak a şa ğıdaki tabloyu olu şturalım. ? ? ? ? ? ? x x 1 , x () x x f 1 = 5 - 5 1 - ? ? ? ? ? ? - - 5 1 ,5 2 - 2 1 - ? ? ? ? ? ? - - 2 1 ,2 1 - 1 - () 1 , 1 - - 2 1 - 2 - ? ? ? ? ? ? - - 2 , 2 1 5 1 - 5 - ? ? ? ? ? ? - - 5 , 5 1 1 1 () 1 , 1 2 2 1 ? ? ? ? ? ? 2 1 , 2 Tabloda görülece ği gibi () 0 , ? - ve () +? , 0 aralı ğında x ’ ler büyüdükçe y ’ ler küçülüyor. O halde verilen fonksiyonun grafi ği a şa ğıdaki gibidir. 86 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : A şa ğıdaki grafikleri de benzer şekilde çizebiliriz. a) 1 y x =- {} .. 0 TK=- 87 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva b) 1 1 y x = - {} .. 1 TK=- Bu tip fonksiyonların grafiklerinin çizimini türevin uygulamaları konusunda daha detaylı şekilde verece ğiz. 3.5. CEB İRSEL FONKS İYONLAR Tanım : Toplama, çıkarma, çarpma, bölme gibi i şlemlerin yanı s ıra rasyonel kuvvetleri de içeren ve kurallarla verilen fonksiyonlara cebirsel fonksiyon denir. Polinom ve rasyonel fonksiyonlar da birer cebirsel fonksiyondur. Cebirsel fonksiyonların tanım kümesi açıkça belirtilmedi ği zaman, fonksiyon altındaki görüntüsü, bir gerçel sayı olan tüm gerçel sayıların kümesi tanım kümesi olarak alınır. Bu fonksiyonların tanım kümelerinin bulunması genellikle bazı e şitsizliklerin çözümleri ile bulunur. Örnek : () 5 2 + - = x x f cebirsel fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm: Ancak pozitif sayıların karekökü tanımlı oldu ğundan, bu fonksiyon 0 5 2 ? + - x e şitsizli ğini sa ğlayan x de ğerleri için tanımlıdır. 5 25052 2 xxx -+????? olup f ’nin tanım kümesi 5 .. , 2 TK ?? =- ? ? ? ?? aralı ğıdır. 88 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : () 2 3 3x x x f - = cebirsel fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm : Fonksiyonun köklü teriminin derecesi tek oldu ğu için () fx ,x ’in her de ğeri için tanımlıdır. Dolayısı ile f ’in tanım kümesi .. TK = dir. Örnek : () x x f = fonksiyonunun grafi ğini çiziniz. 0 x ? oldu ğundan fonksiyonun tanım kümesi [ ) .. 0 , TK=? d ır. Bu aralı ğa ait bazı de ğerlerin f altındaki görüntülerini bularak a şa ğıdaki tabloyu olu şturup fonksiyonun grafi ğini çizelim. 3.6. PARÇALI FONKS İYONLAR Tanım : İki ya da daha çok fonksiyonun bir araya gelerek olu şturdu ğu ko şullu fonksiyona parçalı fonksiyon denir. Şimdi bu tip fonksiyonların grafiklerini çizelim. x () x x f = ( ) x x, 0 0 () 0 , 0 1 1 () 1 , 1 4 2 () 2 , 4 9 3 () 3 , 9 0 1 4 9 1 2 3 yx = x y 89 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek: : f › , 2 ,0 () 3, 0 xx fx xx ? < = ? ? ? fonksiyonu parçalı fonksiyon olup grafi ği iki ayrı aralıkta incelenir. () 0 , ? - aralı ğında 2 x y = parabolünün, [ ) +? , 0 aralı ğında ise x y 3 = do ğrusunun grafi ği çizilir. 0 Örnek : : f › , () ? ? ? ? < - = 0 , 0 , x x x x x f fonksiyonunun grafi ği a şa ğıdaki şekildedir. Örnek : () = x f 2 4, 2 2, 2 xx xx ? -< ? -+ > ? fonksiyonunun grafi ği a şa ğıdaki şekildedir. 2 x y = x y 3 = y x y x x y - = x y = 0 90 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : () fx x = fonksiyonunun grafi ği a şa ğıdaki şekildedir. ,0 () ,0 xx fx xx ? ? = ? -< ? Örnek : () 2 - = x x f fonksiyonunun grafi ği a şa ğıdaki şekildedir. () = x f () ? ? ? < - - - ? - - 0 2 ; 2 0 2 ; 2 x x x x ? ? ? < + - ? - ? 2 ; 2 2 ; 2 x x x x x 0 2 2 2 yx =- + 2 - = x y y x y - = x y = y -1 0 1 x 1 91 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : 2 - = x y fonksiyonunun grafi ği a şa ğıdaki şekildedir. ? ? ? < - - ? - = 0 , 2 0 , 2 x x x x y 3.7. ÜSTEL FONKS İYONLAR Tanım : ,1 aa + ?? verilsin. () :, x ff x a + ›= şeklinde tanımlanan fonksiyona a tabanlı üstel fonksiyon denir. 1 ? a ve a + ? oldu ğundan, üstel fonksiyonlar için iki ayrı durum vardır. 1) 1 > a ise ? ? ? ? ? < < = = > > 0 , 1 0 , 1 0 , 1 x a x a x a x x x ise 2) 1 0 < = = > < 0 , 1 0 , 1 0 , 1 x a x a x a x x x ise 01 a << y 0 a > Yukarıdaki tablolardan görülece ği gibi 1 1 > a ise x ya = fonksiyonu artan, 01 a << ise x ya = fonksiyonu azalan 0 x bir fonksiyondur. y x 2 2 - 2 - 0 92 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Şimdi bu tip fonksiyonların grafiklerini çizelim. Örnek : 2 x y = fonksiyonunun grafi ğini çiziniz. Çözüm: 2 x y = fonksiyonuna ait de ğerler tablosunu olu şturalım. olup fonksiyonun grafi ği a şa ğıdaki şekilde verilmi ştir. Örnek : x y ? ? ? ? ? ? = 2 1 fonksiyonunun grafi ğini çiziniz. Çözüm : x y ? ? ? ? ? ? = 2 1 fonksiyonuna ait de ğerler tablosunu olu şturup fonksiyonun grafi ğini çizelim. x ? + - - ? - 2 1 0 12 x y 2 = ? + 4 2 1 2 1 4 1 0 x x y ? ? ? ? ? ? = 2 1 ? + - - 1 0 1 20 0 2 1 1 2 4 ? + 93 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 3.7.1. ÜSTEL FONKS İYONLARIN ÖZELL İKLER İ 1 , 1 , 0 , ? ? > b a b a ve , xy ? olsun. Bu durumda 1) a) xy xy aa a + = b) () y xx y aa = c) x x x aa bb ?? = ?? ?? d) x xy y a a a - = 2) y x aaxy =?= 3) 0 ? x için b a b a x x = ? = 3.7.2. ÜSTEL DENKLEMLER Tanım: ,1 , aoaa >?? ve b ? ise x ab = ifadesine üstel denklem denir. 94 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva E ğer 0 b < ise x ab = denkleminin çözümü yok. E ğer 0 b > ise x ab = denklemin çözümü var. Bir üstel denklemi çözmek için denklemin, her iki tarafındaki ifadeler aynı tabana göre yazılır. Üslü özellikler kullanılarak sonuca gidilir. Örnek : 16 4 = x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 41 6 x = 2 44 x = 2 = x olup } { .. 2 ÇK = bulunur. Örnek : 1 2 1 2 3 1 9 + - ? ? ? ? ? ? = x x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: () () 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 3 3 1 9 + - - + - = ? ? ? ? ? ? ? = x x x x 1 2 2 4 3 3 - - - = x x 1 2 2 4 - - = - x x 1 6 = x 6 1 = x olup 1 .. 6 ÇK ? ? = ?? ? ? bulunur. Örnek : 24 25 xx - +· =denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 24 25 xx - +· = denkleminde a x = 2 diyelim. (0 ) a > 22 4 54 55 4 0 aaa a a a +=?+=?-+= denkleminden 4 a = ve 1 = a bulunur. 4 = a ise 2 2 24 22 2 x x x a x = = = = 1 = a ise 0 2 21 22 0 x x x a x = = = = } { 2 , 0 . = K Ç bulunur. 95 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Not: x a x f = ) ( üstel fonksiyonunda a yerine e alınırsa x e x f = ) ( fonksiyonu elde edilir. x e x f = ) ( ve x e x f - = ) ( fonksiyonlarının grafikleri a şa ğıdaki gibi olup buradaki e sayısının de ğeri 2,718281 … şeklindedir. 3.7.3. ÜSTEL E ŞİTS İZL İKLER Tanım: 1 ? a ,0 a > ,a ? ve b ? ise ,,, xxxx ab ab ab ab > - < < olup () .. , 3 ÇK=- ? bulunur. Örnek : 2 2 6 216 xx + > e şitsizli ğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 2 2 2 23 2 2 6 216 66 23 230 xx xx xx xx + + > > +> +-> 96 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva olup () () .. ,3 1 , ÇK=- ?- ? + ? bulunur. 3.8. LOGAR İTM İK FONKS İYONLAR Tanım: Herhangi bir 1 ? a , 0 a > ,a ? sayısı verilsin. Bu durumda x ' in a tabanına göre logaritması x a y x y a = ? = log şeklinde tanımlanır. Bu tanıma göre x y a log = fonksiyonu ile x ya = üstel fonksiyonu birbirlerinin tersi olan fonksiyonlardır. Ayrıca x ya = her zaman pozitif olaca ğından e ğer 0 ? x ise x y a log = de ğerini hesaplama imkanı yoktur. Yani :, ( ) x ff x a + ›= üstel fonksiyonun tersi olan logaritma fonksiyonu; :, ( ) l o g a ff xx + ›= şeklindedir. x y a log = ifadesinde 10 = a ise buna baya ğı (adi) logaritma, e a = ise buna da do ğal logaritma denir. Böylece adi logaritmayı x x y log log 10 = = , do ğal logaritmayı da x x y e ln log = = şeklinde gösterece ğiz. Örnek: A şa ğıdaki denklemleri çözünüz: 1) 4 2 2 16 2 16 log 4 2 = ? = ? = ? = x x x x 2) 2 5 5 25 1 5 25 1 log 2 5 - = ? = ? = ? = - x x x x 3) 3 3 3 27 3 27 log 3 3 = ? = ? = ? = x x x x 4) 0 7 7 1 7 1 log 0 7 = ? = ? = ? = x x x x dır. Örnek : A şa ğıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz: a) () 4 2 11 5 1 5 log 1 4 2 1 1 . 16 16 16 xx xÇ K - -? ? += -? =+?=-= ? =- ?? ? ? b) } {42 . 42 2 84 2 3 81 3 2 3 4 ) 3 2 ( log 4 3 = ? = ? = ? = + ? - = ? = - K Ç x x x x x Örnek : A şa ğıdaki de ğerleri hesaplayınız: a) 4 10000 log 4 10 10 10000 10 10000 log 10000 log 4 10 = ? = ? = ? = ? = = x x x x b) 2 ) 01 , 0 log( 2 10 10 10 log ) 01 , 0 log( 2 2 10 - = ? - = ? = ? = = - - x x x c) 8 ln 8 ln ln 8 8 8 8 = ? = ? = ? = = e x e e x e e x e d) 0 1 log = 97 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva e) 1 2 log 2 = Şimdide logaritmik fonksiyonların grafiklerini çizmeye çalı şalım. Örnek : x y 2 log = fonksiyonun grafi ğini çiziniz. Çözüm: Fonksiyonun önce de ği şim tablosunu olu şturup, sonra da grafi ğini çizelim. Örnek : x y 2 1 log = fonksiyonun grafi ğini çiziniz. Çözüm: Fonksiyonun önce de ği şim tablosunu olu şturup, sonra da grafi ğini çizelim. x x y 2 log = ? + 4 2 1 2 1 4 1 ? + - - 2 1 0 12 x ? + 4 2 1 2 1 4 1 21012 -- - ? x y 2 1 log = y 98 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : 2 log yx = ve x y 2 = fonksiyonlarının grafiklerini aynı koordinat sisteminde gösteriniz. Çözüm: x y 2 log = ve x y 2 = fonksiyonları birbirlerinin tersi olan fonksiyonlardır. Bu durumda grafikleri x y = do ğrusuna göre simetriktir. Örnek : 1 2 log yx = ve 1 2 x y ?? = ?? ?? fonksiyonlarının grafiklerini aynı koordinat sisteminde gösteriniz. x y = 99 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm: 1 2 log yx = ve 1 2 x y ?? = ?? ?? fonksiyonları birbirlerinin tersi olan fonksiyonlardır. Bu durumda grafikleri x y = do ğrusuna göre simetriktir. Örnek : ? ? ? ? ? ? = 7 2 log 3 4 x y fonksiyonunun tersini bulunuz. Çözüm: x ve y de ği şkenlerinin yerlerini de ği ştirelim. 33 44 222 3log log 4 2 7 4 73 7 7 xx yx y y xy ?? ?? =? =? = ? = · ?? ?? ?? ?? 1 33 4 727 4( ) 3 l o g ( )4 272 xx x yf xf x - ?? ?=·? = ? =· ?? ?? bulunur. Örnek : () 23 57 4 x y - =· - fonksiyonunun tersini bulunuz. Çözüm: x ve y de ği şkenlerinin yerlerini de ği ştirelim. () () () 23 23 23 57 4 57 4 457 xyy yxx --- =· -?=· -?+=· 23 77 4414 7l o g 23 l o g 3 5525 y xxx yy - ++? + ? ?? ?? =? =- ? = · + ?? ?? ?? ?? ?? ?? () 23 1 7 14 ( ) 5 7 4 ( ) log 3 25 x x fx f x -- ?+? ?? =· -? =· + ?? ?? ?? ?? bulunur. 100 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 3.8.1. LOGAR İTMANIN ÖZELL İKLER İ 1) Yalnız pozitif sayıların logaritmaları alınabilir. 2) 1 log = a a 3) 0 1 log = a 4) log ( ) log log aaa xy x y =+ 5) y x y x a a a log log log - = ? ? ? ? ? ? ? ? 6) log log m n a a n xx m = 7) a x x b b a log log log = dır. 8) 1 log log a b b a = Örnek : ? 8 log 2 1 = Çözüm: 3 11 1 22 2 11 log 8 log 3 log 3 1 3 22 - ?? == - ·= - · = - ?? ?? Örnek : 30103 , 0 2 log = ise ? 8 log = Çözüm: 3 log8 log 2 3log 2 3 (0,30103) 0,90309 === · = Örnek : 7712 , 1 7 log 3 = ve 4650 , 1 5 log 3 = ise ? 35 log 3 = Çözüm: 3333 log 35 log (5 7) log 5 log 7 1, 4650 1,7712 3, 2362 =· =+=+= 101 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 3.8.2. LOGAR İTM İK DENKLEMLER Tanım: 0, 1 , , 0 aav ea bx >? ?> ise log a xb = ifadesine logaritmik denklem denir. Bu denklemlerin çözümünü a şa ğıdaki örneklerle verelim. Örnek : 52 0 x = ise x nedir? Çözüm: 52 0 x = ise logaritmanın tanımından 5 log 20 x = olup {} 5 .. l o g2 0 ÇK = bulunur. Örnek : 17 3 4 5 = - x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Logaritmanın tanımına göre 17 3 4 5 = - x denklemini 3 log 17 5 4 x =- yazabiliriz. 3 5 log 17 4 x=+ () 3 1 log 17 4 5 x=· + olup [] 3 1 . log 17 4 5 ÇK ? ? =· + ?? ? ? bulunur. Örnek : ( ) 9 log 2 - = x y fonksiyonun tanım aralı ğını bulunuz. Çözüm: Logaritma fonksiyonu sadece pozitif reel sayılar kümesinde tanımlı oldu ğundan 0 9 2 > - x e şitsizli ğinin çözüm aralı ğı istenen tanım aralı ğıdır. 3 9 0 9 2 2 ± = ? = ? = - x x x + - + x 33 -? - + ? 0 9 2 > - x 102 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva olup () () +? ? - ? - = , 3 3 , . .K T bulunur. Örnek : 33 log ( 1) log ( 3) 1 xx ++ += denklemini çözünüz. Çözüm : [] 3 log ( 1) ( 3) 1 xx +·+ = (1 ) (3 )3 xx +·+= 2 433 xx ++= 2 40 xx += (4 )0 xx ·+= 1 0 x = ve 2 4 x =- Ancak 10 x+> ve 30 x+> oldu ğundan, 1 x >- ve 3 x >- e şitsizliklerinin ortak çözümü 1 x >- olur. 2 4 x =- çözüm kümesine dahil olmayıp {} .. 0 ÇK = bulunur. 3.8.3.LOGAR İTM İK EŞİTS İZL İKLER Tanım: 0, 1 , , 0 aav ea bx >? ?> ise log , log , log , log aaaa xb xb xb xb ? ifadelerine logaritmik e şitsizlikler denir. Örnek: 1 3 log (5 2 ) 2 x -> - e şitsizli ğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 2 11 33 1 log (5 2 ) log 3 x - ?? -> ?? ?? 2 52 9 2 4 5 52 0 2 5 2 x xx xx x >- ? -< > - ?? ? ?? ??? -> < < ?? ? ? olup 5 .. 2 , 2 ÇK ?? =- ?? ?? bulunur. Örnek: 4 log ( 2) 2 x-< e şitsizli ğinin çözüm kümesini bulunuz. 103 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm: 2 44 log ( 2) log 4 x-< 21 6 1 8 20 2 xx xx -< < ?? ? ?? -> > ?? olup () .. 2 , 1 8 ÇK = bulunur. BÖLÜM ALI ŞTIRMALARI 1) : f › , () f x ax b =+ fonksiyonu veriliyor 2) (-2) 9 f = ve (2) 1 f = ise ? ab += {} {}{ } 1, 0,1, 2,3 , 1, 0, 2, 4,5 4, 3, 2, 1, 0,1, 2,3, 4 ABv e C =- =- =---- kümeleri veriliyor. :, ( )1 fACfxx ›= + ve 2 :, ( )3 gB Cgx x ›= - + fonksiyonları için a şa ğıdakileri bulunuz. a) () fA b) () () fgx + c) () () fgx · d) () ()1 fg ·- 3) : f › , () 2 7 fx x =- ise 1 (4 3) ? fx - += 4) A şa ğıdaki fonksiyonların tersi olup olmadı ğını belirtiniz. Varsa tersini bulunuz. a) : f › , () 7 5 fx x =- b) : f › , 3 () gx x = c) : f › , () hx = 1 x x + 5) A şa ğıda verilen noktalar için, bu noktalar arasındaki uzaklıkları ve bu noktalardan geçen do ğru denklemlerini yazınız. 104 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva a) () 5 , 1 - A ve () 5 , 1 B b) () 1 , 1 - A ve () 1 , 2 - B c) () 2 , 0 - A ve () 3 , 1 - - B 6) A şa ğıda verilen do ğruları çiziniz. a) 3 + = x y b) 6 2 3 - = x y c) 21 33 yx =- + d) 2 3 - = x y 7) A şa ğıda verilen parabolleri çiziniz. a) 2 3x y - = b) 9 3 2 - = x y c) () 2 3 3 - - = x y d) () 9 3 3 2 + - = x y e) 4 4 2 - + - = x x y 8) A şa ğıda verilen, › tanımlanmı ş fonksiyonların grafiklerini çiziniz. a) () 2 1, 1 1, 1 xx fx xx ?-+? = ? -> ? b) () 2 4, 0 2, 0 xx fx xx ? -? = ? -+ > ? 105 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva c) () 2 3, 2 ,1 2 2, 1 xx gx x x xx ? ? ? =? < ? ? -< ? d) () 3, 0 25 , 0 1 ,1 xx gx x x xx ? +< ? =+? < ? ? ? ? e) () 3 hx x =- f) () 1 , 1 1 ? - = x x x f 9) A şa ğıda verilen üstel fonksiyonların grafiklerini çiziniz. a) x x f ? ? ? ? ? ? = 4 1 ) ( b) () x x g 3 = c) () x x h 4 = d) () x x k ? ? ? ? ? ? = 3 1 10) A şa ğıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) () 1 2 3 4 0001 , 0 100 - + = x x b) 3 5 27 9 1 - = ? ? ? ? ? ? x c) () 38 13 0 xx - -· = d) () 2420 xx - -· = e) ( ) 3 2 4 2 = - -x x f) () 553 5 2 xx - -·· = 106 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva g) 0 12 3 9 = - + x x h) 0 14 5 25 1 = - - + x x i) 0 6 2 = - - x x e e 11) A şa ğıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz. a) x y 3 log = b) x y 3 log - = c) () 2 log 3 - = x y d) () 2 log 3 + = x y 12) A şa ğıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) () 5 ln 4 3 = - - x e b) () 3 3 2 ln = - x e c) 4 ) 1 , 0 log( 3 2 = - x d) () 9 10 4 3 log = - x e) ()16 9 log 16 log 1 2 = - x f) ( ) 1 3 log 4 log 3 2 3 = - + x x x 13) A şa ğıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) ( ) () 3 log 4 9 log 2 - + = - x x b) () () 3 log 3 1 log 2 2 + - = - x x c) () 5 3 log log 3 3 = - + x x d) () 3 3 log 4 log 2 2 = + - x x 107 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva e) x 2 9 3 log 49 log 21 log = - f) () () 1 log log log 2 3 = x g) ()() 2 3 log 1 log 4 4 = - + + x x 14) A şa ğıdaki fonksiyonların grafiklerini aynı düzlemde gösteriniz. a) x y 4 log = ve x y 4 = b) x y 4 1 log = ve x y ? ? ? ? ? ? = 4 1 15) A şa ğıdaki e şitsizlikleri çözünüz. a) 52 40 , 2 5 x - ? b) 21 0, 4 0,16 x + > c) 2 32 7 x - < d) log(2 3) log( 1) xx -> + e) 2 1 3 log 4 0 x-> 108 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM TEST İ 1) (2 1, ) (5, 2) xxy ++=- oldu ğuna göre x ve y a şa ğıdakilerden hangisidir? A) 4 x =- , y = 2 B) x =1 , y = 0 C) x = 2 , 2 y =- D) x = 0 , 3 y =- E) x = 2 , 4 y =- 2) (, 2 ) ( 3 , 4 ) xyxy ++= e şitli ğini sa ğlayan (,) xy ikilisi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) (1, 1) B) (2, 1) C) (1, 3) D) (1, 2) E) (3, 1) 3) A = {2, 3}, B = {3, 4} oldu ğuna göre, AB × kümesi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) {(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)} B) {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 4)} C) {(3, 2), (3, 4), (2, 4)} D) {(2, 3), (3, 4)} E) {(3, 4)} 109 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4) (){} , , , 2 xy xy x ?=? ? ba ğıntısının grafi ği a şa ğıdaki taralı bölgelerden hangisidir? A) B) C) x y 2 x y 2 -2 x y 2 -2 D) E) x y -2 0 y 2 -2 5) (){} ,1 0 , , xyx v ey xy ß=??? ba ğıntısının grafi ği a şa ğıdaki taralı bölgelerden hangisidir? 6) A şa ğıdaki grafikleri verilen ve [] 1, 1 - aralı ğında tanımlı olan ba ğıntılardan hangisi fonksiyon değildir? 110 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 7) A şa ğıda grafikleri verilen ve [] 2, 2 - aralı ğında tanımlı olan ba ğıntılardan hangisi fonksiyon de ğildir? 8) 9 4 ) ( 2 - = x x f fonksiyonunun en geni ş tanım kümesi hangisidir? [] {} [] {} A) B) 0,9 C) 3,3 D) 3,3 E) 9 -- - - 9) x x f 3 12 ) ( - = fonksiyonunun en geni ş tanım kümesi a şa ğıdaki aralıklardan hangisidir? ( ] ( ] () [] [] A) ,4 B) ,3 C) ,0 D) 3,12 E) 3,4 -? -? -? - - 10) ( ) 5 ve g(x) 1 fx x x =+ =+ oldu ğuna göre () ( ) () hx f gx = bile şke fonksiyonu a şa ğıdakilerden hangisidir? 2 2 1 ) ( E) ) ( D) 5 ) ( C) 6 ) ( B) 6 ) ( A) x x x h x x x h x x x x x h x x x h x x h + + = + = + + + = + + = + = 11) ( ) 3 5 ve g(x) 1 ise fx x x =+ =- (() )? fgx = () () A) 3 5 1 B) 3 2 C) 3 4 D) 3 1 1 E) x x xx xx xx +- + ++ +- + 111 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 12) () 2 3 fx x =+ ve () 5 2 gx x =- fonksiyonları için () ( 3 ) fg de ğeri kaçtır? A) 45 B) 43 C) 41 D) 36 E) 29 13) () 2 1 v e () 1 fx x gx x =- = - ise () ( 2 ) gf nedir? A) 1 B) 0 C) -1 D) -2 E) 2 14) Denklemi () 2 2 2 - = x x f olan fonksiyonun grafi ği a şa ğıdakilerden hangisi olabilir? 15) x x y 3 2 + - = parabolünün grafi ği a şa ğıdakilerden hangisi olabilir? -1 x y A) 1 2 y B) 0 x 2 C) -2 x y 2 -1 y D) 1 x -1 -1 -2 y E) 1 x -1 y A) 3 x -3 y B) 3 x 0 y D) 3 x 0 3 - 3 y E) 3 x 2 0 y C) 3 x 0 112 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 16) Yandaki şekilde görülen parabol a şa ğıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafi ğidir? A) () 2 x x f = B) () 2 1 x x f - = C) () ( ) 2 1 - = x x f D) () x x x f 2 2 - = E) () ( ) 2 1 + = x x f 17) () 4 1 2 - + = x x x f fonksiyonunun tanım kümesi a şa ğıdakilerden hangisidir? A)[] 2 , 2 - B ) {} 2 , 2 - C) D) {} 2, 2 -- E){} 2 , 2 , 1 - - 18) () 2 3 2 3 2 - - = x x x x f ise () 1 - f de ğeri nedir? A) 3 5 - B) 3 2 - C) 4 1 D) 5 4 E) 2 3 19) () 3 3 7 2 + + - = x x x f fonksiyonu için () 2 f de ğeri kaçtır? A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 20) () x x x f 6 2 + - = fonksiyonunun en geni ş tanım aralı ğı a şa ğıdakilerden hangisidir? A)[] 6 , 6 - B) [ ) 0 , 6 - C)() 0 , 6 - D)[] 6 , 0 E)() 6 , 0 21) 1 2 2 - - x x fonksiyonunun tanımlı oldu ğu aralık nedir? A) [ ) +? , 1 B) ( ] 1 , ? - C)() +? , 1 D)() 1 , ? - E)() 2 , 2 - x y 4 -1 1 0 1 113 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 22) () ? ? ? < + ? - = 0 , 1 0 , 5 2 x x x x x f oldu ğuna göre, ()( ) 1 1 f f + - kaçtır? A) -7 B) -5 C) - 4 D) -3 E) 6 23) () ? ? ? ? ? ? < ? + < + = 1 , 1 0 , 5 2 0 , 3 x x x x x x x f oldu ğuna göre a şa ğıdakilerden hangisi yanlı ştır? A) () 5 0 = f B) () 2 4 = f C) () 1 1 = f D) () 2 2 = f E) () 11 3 = - f 24) () ? ? ? ? < - = 0 , 0 , 2 x x x x x f fonksiyonunun grafi ği a şa ğıdakilerden hangisi olabilir? A) B) C ) D ) E ) y x 1 1 4 -1 -2 y x 1 1 4 -1 0 2 y x 1 1 -1 0 2 y x 0 y x 1 1 -1 0 2 -1 114 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 25) () ? ? ? < ? - = 0 , 0 , x x x x x f parçalı fonksiyonunun grafi ği a şa ğıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 26) Yukarıdaki grafi ği verilen fonksiyonun kuralı a şa ğıdakilerden hangisidir? A) () ( ) 2 + = x x x f B) () 1 + = x x f C) () 2 x x f = D) () 2 1, 2, x fx xx + ? = ? - ? 0 0 > ? x x E) () 2 1, , x fx x + ? = ? ? 0 0 ? < x x 1 y x -1 0 y x 1 -1 -1 y x 1 1 -1 y x 1 1 -1 y x 1 0 x 0 1 y 1 -1 2 2 115 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 27) Yukarıdaki grafi ği verilen parçalı fonksiyonun kuralı a şa ğıdakilerden hangisidir? A) () x x f = B ) () 4 1 - + = x x x f C) () 22 , , x fx x + ? = ? ? 0 0 < ? x x D) () 2, 2 2, x fx ? + ? ? = ? ? ? ? 0 0 > ? x x E) () 2 2, , fx x ? = ? ? 0 0 > ? x x x 0 y 2 -4 116 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 28) () x x f + =1 fonksiyonunun grafi ği a şa ğıdakilerden hangisidir? A) B) C ) D ) E ) 29) 13 4 2 = + y mx do ğrusunun e ğiminin 1 - olması için m ne olmalıdır? A) 3 B) 1 C) 0 D) 2 E) -1 30) A şa ğıdakilerin hangisinde verilen iki do ğru paralel de ğildir? A) 0 2 0 2 = + = - y x y x B) 0 4 2 1 2 = + = + y x y x C) 3 2 = + = + y x y x D) 3 1 = = y y E ) 5 2 = = x x 31) 0 4 5 3 = + - y x ve 0 3 6 = - + y ax do ğrularının birbirine dik olması için a sayısı kaç olmalıdır? A) 3 B) -5 C) - 3 D) -10 E) 10 y x 1 -1 1 0 y x 1 -1 1 0 y x 1 -1 2 0 y x 1 -1 1 0 y x 1 1 0 117 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 32) () 2 , 2 - noktasından geçen ve e ğimi -1 olan do ğrunun denklemi nedir? A) 0 = -y x B) 0 = + y x C) 0 2 = - x y D) 0 1 2 = + -y x E) 0 1 2 = - + y x 33) () 2 , 4 ve () 8 . 4 noktalarından geçen do ğrunun denklemi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) 0 4 = - x B) 0 4 2 = + -y x C) 0 4 = -y x D) 0 8 8 4 = - - y x E) 0 = + y x 34) () 3 1 fx x =+ fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir? -1 -1 -1 -1 -1 11 ) ( ) ) ( ) 33 33 ) ( ) ) ( ) 11 ) () 3( 1) xx Af x Bf x Cfx Dfx xx Efx x +- == == +- =- 35) 2 1 ) ( + = x x f fonksiyonunun ters fonksiyonu olan 1 () fx - a şa ğıdakilerden hangisidir? 1 2 1 E) 1 2 1 D) 1 2 C) 1 2 B) 1 2 A) + - + + - x x x x x 118 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 36) Denklemi 5 x y = olan fonksiyonun grafi ği a şa ğıdakilerden hangisi olabilir? A) B) x y 0 -2 5 x y 0 1 -1 5 C) D) E) x y 0 1 5 1 x y 0 -1 1 x y 0 -1 1 5 x y 0 1 2 2 4 1 x x x y x y x y y y ? ? ? ? ? ? = = = = = 2 1 E) 2 D) C) 2 B) 4 A) 2 38) A şa ğıdaki e şitliklerden hangisi yanlı ştır? () () A) log mn log log B) log log log C) log log D) log log log 1 E) log log n mn m mn n mnm mn m n m m =+ ?? =- ?? ?? =· += - ?? =- ?? ?? Yandaki grafi ği verilen fonksiyon a şa ğıdakilerden hangisi olabilir? 119 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 39) A şa ğıdakilerden hangisi yanlı ştır? 25 log 2 50 log E) 6 log 1 60 log D) 4 10 1 log C) 8 log 7 log 56 log B) 5 log 2 25 log A) 4 · = + = - = ? ? ? ? ? ? + = · = 40) 2 () l o g fx x = oldu ğuna göre ? ? ? ? ? ? 16 1 f de ğeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) - 2 D) - 4 E) 4 41) log 5 125 – log 5 25 de ğeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 42) 2 log log 2 2 x x - de ğeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 43) 10 10 log log 2 1 x+= e şitli ğini sa ğlayan x de ğeri nedir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 44) log2 = 0,3 ve log3 = 0,48 oldu ğuna göre, log18 in de ğeri kaçtır? A) 1,26 B) 0,51 C) 0,99 D) 0,288 E) 1,28 120 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva TR İGONOMETRİ 4.1. TR İGONOMETR İK BA ĞINTILA 4.1.1. B İR İM ÇEMBER Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi 22 1 xy + = dir.Yani birim çember üzerindeki tüm (,) x y noktaları bir Ç kümesi olu şturuyorsa 22 {( , ) , ve 1 } Çx yx y xy =?+ = ¡ 4.1.2. YÖNLÜ AÇILAR Saat yelkovanının dönme yönünün tersini pozitif yön, saat yelkovanının dönme yönüne de negatif yön olarak adlandıraca ğız. Örnek : 30 o ve –45 o açılarını trigonometrik çemberde gösteriniz. B(0,1) D(0,-1) A(1,0) C(1,0) y x 0 BÖLÜM 4 121 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4.1.3. AÇI ÖLÇME B İR İMLER İ Genellikle üç birim kullanılır. Bunlar, derece, radyan ve gradtır. Derece Bir çemberin 360 e şit parçasından her birine bir derecelik yay denir. Bir derecelik yayı gören merkez açıya bir derecelik açı denir. Derecenin 60 da birine dakika, dakikanın 60 da birine saniye, daha küçük açılar da saniyenin ondalık kesri olarak yazılır. 0 6 1 0 ' = (bir derece 60 dakika) 16 0 '' ' = (bir dakika 60 saniye) 0 360 1 0 ' ' = (bir derece 3600 saniye Radyan Bir çemberde kendi yarıçapına e şit uzunluktaki bir yaya bir radyanlık yay denir. Bir radyanlık yayı gören merkez açıya da bir radyanlık açı denir. Grad Bir çemberin 400 e şit parçasından her birine bir gradlık yay denir. Bir gradlık yayı gören merkez açıya da bir gradlık açı denir. Bir açının derece cinsinden de ğeri D, radyan cinsinden de ğeri R ve grad cinsinden de ğeri G ise 200 180 G R D = = ? ba ğıntısı vardır. 122 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : 75 o kaç radyandır? Çözüm: 180 DR ? = 12 5 180 75 180 ? ? ? = = = D R Örnek : 6 ? radyan kaç derecedir? Çözüm: ? R D = 180 0 180 180 180 6 30 6 R D ? ? ??? · ==== Örnek : 4 . 3 ? kaç gradtır? 200 G R = ? 3 200 200 200 3 4 150 4 R G ? ? ??? · · ==== 4.1.4. ESAS ÖLÇÜ 1) k ?¢ , 0 360 > ? ve 0 0 360 0 < ? ß şartıyla ß ? + · = 0 360 k ise ß açısına ? açısının esas ölçüsü denir. Örnek : 0 1256 ‘nin esas ölçüsü nedir? Çözüm: 0000 1256 3 360 176 176 =· + = 0 1256 ‘nin esas ölçüsü 0 176 dir. Örnek : 0 520 ‘nin esas ölçüsü nedir? 123 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm: 0000 -520 2 360 200 200 =- · + = 0 520 ‘nin esas ölçüsü 0 200 dir. 2) k ?¢ , ? >2 ? ve 0 ? ß <2 ? şartıyla ? =k ·2 ? + ß ise ß açısına ? açısının esas ölçüsü denir. Örnek : 5 29 ? radyanın esas ölçüsü nedir? Çözüm: 29 9 9 9 42 2 555 5 ? ?? ? ?? =+=·+= 5 29 ? radyanın esas ölçüsü 5 9 ? tir. Örnek : 7 3 ? -= ? Çözüm: 755 5 42 2 333 3 ? ?? ? ?? -= -+= - ·+= 3 7 ? - radyanın esas ölçüsü 3 5 ? ‘tür 4.1.5. D İK ÜÇGENDE TR İGONOMETR İK ORANLAR Dik üçgende ? dar açı ise a şa ğıdaki trigonometrik ba ğıntılar vardır. AB AC = ? sin sec AB BC ? = cos BC AB ? = AC AB ec = ? cos tan AC BC ? = ? ? ? cos sin tan = cot BC AC ? = ? ? cot 1 tan = ? B A C Hipotenüs 124 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4.1.6. 30 O VE 60 O N İN TR İGONOMETR İK ORANLARI B ABC - bir e şkenar üçgen olsun a 30 o | | | | | | AB BC AC a = == AC kenarına ait yüksekli ği çizelim. 60 o A 2 a D C Pisagor teoremine göre 4 3 4 2 2 2 2 2 2 a a a AD AB BD = - = - = Yani 2 3 a BD = Tanıma göre, 2 1 2 30 sin 0 = = = a a AB AD 2 3 2 3 30 cos 0 = = = a a AB BD 3 1 2 3 2 30 tan 0 = = = a a BD AD 3 2 2 3 30 cot 0 = = = a a AD BD 2 3 2 3 60 sin 0 = = = a a AB BD 2 3 a 125 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 2 1 2 60 cos 0 = = = a a AB AD 3 2 2 3 60 tan 0 = = = a a AD BD 3 1 2 3 2 60 cot 0 = = = a a BD AD 4.1.7. 45 O N İN TR İGONOMETR İK ORANLARI V ABC ikizkenar dik üçgen olsun. Pisagor teoremine göre 2222 ||||||2 AB AC CB a =+= 2 a AB = 2 1 2 45 sin 0 = = = a a AB AC 2 1 2 45 cos 0 = = = a a AB CB 1 45 tan 0 = = = a a CB AC 1 45 cot 0 = = = a a AC CB 126 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4.1.8. B İR İM ÇEMBERDE TR İGONOMETR İK ORANLAR Tanıma göre 1 1 sin 1 y PD y OP ?=== 1 1 1 cos x x OP OD = = = ? 1 1 tan x y OD PD = = ? 1 1 cot y x PD OD = = ? Di ğer taraftan Pisagor teoremine göre ; 222 |||||| OP OD PD =+ 22 11 1 x y =+ veya 22 sin cos 1 ?? += trigonometrinin esas formülü bulunur. Şimdi de bazı özel açıların trigonometrik oranlarını bir tablo ile gösterelim. 127 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4.1.9. NEGAT İF AÇILARIN TR İGONOMETR İK DE ĞERLERİ Çember üzerindeki 11 (,) Bxy ve 1 cos x ? = , 1 sin y ? = oldu ğundan Tanıma göre 1 1 sin 1 BK y y OB ?=== 1 1 sin( ) 1 KC y y OC ? - -= = = - 1 1 cos 1 OK x x OB ?=== 1 1 1 ) cos( x x OC OK = = = - ? 128 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Yani sin( ) sin ? ? -= - cos( ) cos ? ? - = sin( ) sin tan( ) tan cos( ) cos ? ? ? ? ?? -- -= = = - - cos( ) cos cot( ) cot sin( ) sin ? ? ? ? ?? - -= = = - -- Örnek: A şa ğıdakileri hesaplayınız. 1) 00 1 sin( 30 ) sin 30 2 -= - = - 2) 2 1 60 cos ) 60 cos( 0 0 = = - 3) 00 tan( 45 ) tan 45 1 -= - = - 4) 3 1 60 cot ) 60 cot( 0 0 - = - = - 4.1.10. TR İGONOMETR İK FONKS İYONLARIN BÖLGEDEK İ İŞARETLER İ Örnekler : 1) 0 tan 283 0 < 2) 0 sin190 0 < 3) 0 cos300 0 > 4) 0 cot( 110 ) 0 -> 129 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4.2. TR İGONOMETR İK ÖZDE ŞL İKLER 22 sin ?+cos ?=1 İfadesinin önce iki tarafını 2 sin ? , sonra ise 2 cos ? ya bölelim. Böylece a şa ğıdaki özde şlikleri elde ederiz. 2 2 22 2 2 22 1 1+cot ?= sin ? 11 1+ = tan ? sin ? 1 tan ?+1= cos ? 11 +1= cot ? cos ? Örnek : A şa ğıdaki ifadeleri sadele ştiriniz. 1) 22 1c o s s i n ? ? -= 2) 22 sin 1 cos ? ? -= - 3) 222 cos (1 sin ) 2cos ? ?? +- = 4) 222 sin 2cos 1 cos ? ?? +- = 5) 2 (1 s i n )(1 s i n ) cos ? ?? -+= 6) ? ? ? 2 sin ) cos 1 )( 1 (cos - = + - 7) 22 1s i n c o s 0 ?? --= Örnekler: 1) 40 sin 41 ? = ve ise 2 ? ?? << cos , tan ve cot ? ? ?? = 130 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm: 222 41 40 81 9 9 cos 41 40 tan 9 9 cot 40 a a ? ? ? = -= = =- =- =- 2) 3 tan 1 ve 2 ? ?? ? =< < ise ? cot ve cos , sin = ? ? ? Çözüm: 2 112 2 1 sin 2 1 cos 2 cot 1 a a ? ? ? = += = =- =- = 3) cot 2, 2 ve 0 2 ? ?? =< < ise sin , cos ve tan ? ? ?? = Çözüm: 2 22 11 cot 2, 2 10 5 25 121 146 5 sin 146 11 cos 146 5 tan 11 a ? ? ? ? = == =+= = = = 131 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4.2.1. 90 0 DEN BÜYÜK AÇILARIN TR İGONOMETR İK DE ĞERLERİ a) Birim çember üzerinde ˆ AOD ? = pozitif yönlü açıyı dü şünelim. D noktasını çember üzerinde pozitif yönde hareket ettirelim. Birim çember üzerinde tam bir devir yapalım. Bu durumda 360 ° lik ya da 2 ? radyanlık bir açı elde edilmi ş olur. Elde etti ğimiz açının ölçüsü ? + ° 360 veya 2 ? ? + radyandır. Tam bir devir sonunda aynı noktaya geldi ğimizde elde edilen açı ile ? açısının trigonometrik oranları aynıdır. Yani : sin(2 ) sin cos(2 ) cos tan(2 ) tan cot(2 ) cot ??? ??? ??? ??? + = += += += Birim çember üzerinde dönme i şlemi k ?¢ kere yapılırsa sonuç de ği şmez. b) ˆ AOC ? = ve 1 ˆ 180 DOC ? =° - ise 11 ˆ DOC ? = OCD ? ve 11 ODC ? dik üçgen oldu ğu için: 1 1 11 2 2 1 sin 1 sin(180 ) 1 y CD y OC CD y y OC ? ? === °- = = = Ama 12 yy = oldu ğundan; 132 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 1 1 12 2 1 sin(180 ) sin cos 1 cos(180 ) 1 x OD x OC OD x x OC ? ? ? ? °- = === °- = = = Ama 12 x x =- oldu ğundan cos(180 ) cos ? ? °- = - Böylece sin(180 ) sin tan(180 ) tan cos(180 ) cos ? ? ? ? ?? °- °- = = =- °- - cos(180 ) cos cot(180 ) cot sin(180 ) sin ? ? ? ? ?? °- - °- = = =- °- c) Şimdi de birim çember üzerinde B noktasını pozitif yönde 90 ° hareket ettirelim. B noktası C oktasına dönü şür ve OABK dikdörtgeni iseOPCD dikdörtgenine dönü şür ve OA OP = ve olur. DO DO OC DO OA OA OB OA OP OP OC CD OK OK OB BA = = = + ° = = = = = = + ° = = = 1 ) 90 cos( 1 cos 1 ) 90 sin( 1 sin ? ? ? ? Di ğer taraftan OK DO = ve DO OK = - Yani cos(90 ) sin ? ? °+ =- OP OA = ve OP OA = 133 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva sin(90 ) cos sin(90 ) cos tan(90 ) cot cos(90 ) sin cos(90 ) sin cot(90 ) tan sin(90 ) cos ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? °+ = °+ °+ = = =- °+ - °+ - °+ = = =- °+ Böylece her bir açı 2 ? ? + , ? ? m , 3 2 ? ? m , 2 ? ? m şeklinde yazılabilir. 0 2 ? ? ?? << ?? ?? ve açının trigonometrik oranları bir dar açı cinsinden ifade edilebilir. Kural: Bir geni ş açının trigonometrik oranı ile ana trigonometrik oranı e şit olarak alınan açının olu şturdu ğu e şitlikte, a) E şitli ğin sol tarafında ? ’nin katları varsa trigonometrik oranının ismi sa ğ tarafa de ği şmeden geçer. E ğer sol tarafta 2 ? , 3 2 ? gibi de ğerler varsa trigonometrik oranın ismi de ği şir: (sin cos ? ? - ve tan cot ) ? ? - b) Sol tarafta bulunan açının dü ştü ğü bölge tespit edilir. Sol tarafta bulunan trigonometrik oranın bu bölgedeki i şareti sa ğ taraftaki trigonometrik oranın i şareti olarak alınır. ? ? ? ? ? ? + ? ? 2 için: ? ? ? cos 2 sin = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? sin 2 cos - = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? cot 2 tan - = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? tan 2 cot - = ? ? ? ? ? ? + ) ( ? ? - için: ? ? ? sin ) sin( = - ? ? ? cos ) cos( - = - ? ? ? cot ) cot( - = - ? ? ? tan ) tan( - = - ) ( ? ? + için: ? ? ? sin ) sin( - = + ? ? ? cos ) cos( - = + 134 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva ? ? ? tan ) tan( = + ? ? ? cot ) cot( = + ? ? ? ? ? ? - ? ? 2 3 için: ? ? ? cos 2 3 sin - = ? ? ? ? ? ? - ? ? ? sin 2 3 cos - = ? ? ? ? ? ? - ? ? ? cot 2 3 tan = ? ? ? ? ? ? - ? ? ? tan 2 3 cot = ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? + ? ? 2 3 için: ? ? ? cos 2 3 sin - = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? sin 2 3 cos = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? cot 2 3 tan - = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? tan 2 3 cot - = ? ? ? ? ? ? + () ? ? - 2 için: ? ? ? sin ) 2 sin( - = - ? ? ? cos ) 2 cos( = - ? ? ? tan ) 2 tan( - = - ? ? ? cot ) 2 cot( - = - () ? ? + 2 için: ? ? ? sin ) 2 sin( = + ? ? ? cos ) 2 cos( = + ? ? ? tan ) 2 tan( = + ? ? ? cot ) 2 cot( = + Örnek: A şa ğıdaki de ğerleri bulunuz. 1) ? 3 8 cos = ? Çözüm: 822 1 cos cos 2 cos cos cos 33333 2 ????? ?? ?? ?? =+==- = -= - ?? ?? ?? ?? 2) ? ) 585 sin( = ° - Çözüm: sin( 585 ) sin 585 sin(360 225 ) sin 225 sin(180 45 ) - ° =- °=- °+ ° =- °=- °+ ° = 135 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 2 ( sin 45 ) sin 45 2 =-- ° = °= 3) 2 tan ? 2 ? ? ?? += ?? ?? Çözüm: 22 2 tan ( cot ) cot 2 ? ? ?? ?? += - = ?? ?? 4) ? ) 570 cot( = ° - Çözüm: cot( 570 ) cot 570 cot(360 210 ) cot 210 cot(180 30 ) cot 30 3 ° - ° =- °=- °+ ° =- °= =- °+ ° =- =- 4.2.2. TOPLAM VE FARK FORMÜLLER İ ABC ? ve APB ? dik üçgenler olsun. ˆ () m BAC ? = ve ˆ () m PAB ß = ˆ ()9 0 mPMB = ° ˆ ()9 0 mAKD ? = °- ? ˆ ()9 0 mPKB ? =° - Yani ˆ () mKPB ? = ACB ? den sin sin BC BC AB AB ? ? =?=· APB ? den sin sin PB PB AP AP ß ß =?=· ve cos cos AB AB AP AP ß ß =?=· Di ğer taraftan PD PM MD =+ MDB C = ve PMB ? den cos PM PB ? = ve cos PM PB ? =· APD ? den cos sin cos sin sin( ) PD PM MD PB BC AP AB AP AP AP AP ? ß? ? ?ß +·+··+ · +== = = = 136 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva sin cos cos sin sin cos sin cos AP AP AP ß?ß ? ? ßß? ··+·· == · + · Yani sin( ) sin cos sin cos ?ß?ßß? += · + · ß yerine ß - alınırsa sin( ) sin cos( ) sin( ) cos sin cos sin cos ?ß?ßß??ßß? -= ·-+-· = · - · Di ğer taraftan cos( ) sin ( ) 2 sin sin cos cos sin 222 cos cos sin sin ? ?ß ?ß ??? ?ß?ß? ß ?ß?ß ?? += -+ ?? ?? ?? ?? ?? ?? =- - =- ·-- · ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? =·-· Şimdi de ß yerine ß - alalım: cos( ) cos cos( ) sin sin( ) cos cos sin sin ?ß?ß?ß?ß?ß -= ·-- ·-= · + · sin( ) sin cos cos sin tan( ) cos( ) cos cos sin sin ?ß?ß?ß ?ß ?ß?ß?ß +·+· += = +·- · Farz edelim ki cos 0 ? ? ve cos 0 ß ? Şimdi kesrin pay ve paydasını cos cos ? ß · çarpımına bölelim: sin cos cos sin tan tan c o sc o sc o sc o s tan( ) cos cos sin sin 1t a nt a n cos cos cos cos ? ß?ß ? ß ?ß?ß ?ß ?ß?ß ? ß ?ß?ß ·· + + ·· += = ·· -· - ·· ß yerine ß - alalım: tan tan( ) tan tan tan( ) 1 tan tan( ) 1 tan tan ? ß?ß ?ß ? ß? ß +- - -= = -·-+· cos( ) cos cos sin sin cot( ) sin( ) sin cos cos sin ?ß?ß?ß ?ß ?ß?ß?ß +·- · += = +·+· 137 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Farz edelim ki sin 0 ? ? ve sin 0 ß ? Şimdi kesirin pay ve paydasını sin sin ? ß · çarpımına bölelim: ? ß ß ? ß ? ß ? ß ? ß ? ß ? ß ? ß ? ß ? ß ? cot cot 1 cot cot sin sin sin cos sin sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos cos ) cot( + - · = · · + · · · · - · · = + Şimdi de ß yerine ß - alalım: cot cot( ) 1 cot cot 1 cot( ) cot( ) cot cot cot ? ß? ß ?ß ß ?ß? ·-- ·+ -= = -+ - Yani sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin ?ß?ß?ß ?ß?ß?ß ?ß?ß?ß ?ß?ß?ß += · + · -= · - · += · -· -= · + · tan tan tan( ) 1t a nt a n tan tan tan( ) 1t a nt a n cot cot 1 cot( ) cot cot cot cot 1 cot( ) cot cot ? ß ?ß ? ß ? ß ?ß ? ß ?ß ?ß ? ß ?ß ?ß ß ? + += -· - -= +· ·- += + ·+ -= - Örnek: A şa ğıdaki de ğerleri bulunuz. 1) sin 75 ? °= Çözüm: sin 75 sin(45 30 ) sin 45 cos30 sin 30 cos 45 °= °+ ° = °· °+ °· °= 231262 2222 4 + =·+·= 138 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 2) cos105 ? °= Çözüm: cos105 cos(60 45 ) cos 60 cos 45 sin 60 sin 45 ° = °+ ° = °· °- °· ° = 123226 22 22 4 - =· - · = 3) A şa ğıda verilen ifadelerin de ğerini bulunuz. a) cos18 cos 63 sin18 sin 63 ? °· °+ °· ° = Çözüm: 2 cos18 cos 63 sin18 sin 63 cos(18 63 ) cos( 45 ) cos 45 2 °· °+ °· °= °- ° = - ° = °= b) cos32 cos58 sin 32 sin 58 ? °· °- °· ° = Çözüm: cos32 cos58 sin 32 sin 58 cos(32 58 ) cos90 0 °· °- °· °= °+ ° = °= 4.2.3. YARIM AÇI FORMÜLLER İ sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin tan tan tan( ) 1t a nt a n cot cot 1 cot( ) cot cot ?ß?ß?ß ?ß?ß?ß ?ß ?ß ?ß ?ß ?ß ?ß += · + · += · -· + += -· ·- += + oldu ğundan, ? ß = alınırsa yukarıdaki ba ğıntılar yerine Yani sin( ) sin cos cos sin ?????? += · + · sin 2 2 sin cos aaa =· · 139 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva ve 22 sin cos 1 ?? += e şitli ğinden ba ğıntılar elde edilir. Aynı yöntemle tan tan tan( ) 1t a nt a n ? ? ?? ? ? + += -· cot cot 1 cot( ) cot cot ? ? ?? ? ? ·- += + ba ğıntılar elde edilir. Örnekler : 1) cos 0,8 ? =- ve III ? ? bölgeye ait ise sin 2 ? ? = Çözüm: Önce sin ? yı bulalım: 6 sin 0,6 10 ? =- =- ve sin 2 2 sin cos 2 ( 0, 6) ( 0,8) 0,96 ? ?? =··= · -· -= cos( ) cos cos sin sin ?????? += · - · 140 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 2) A şa ğıdaki ifadeleri hesaplayınız: a) 2sin15 cos15 ? °· ° = 1 2sin15 cos15 sin 30 2 °· °= °= b) 8sin cos ? 88 ? ? ·= 2 8sin cos 4 2sin cos 4sin 4 2 2 88 8842 ?? ??? ·= ··== ·= c) sin105 cos105 ? °· ° = 11 sin105 cos105 2sin105 cos105 sin 210 22 °· ° = · °· ° = ° 111 1 1 sin(180 30 ) ( sin 30 ) 222 2 4 ?? =° + ° = -° = · - = - ?? ?? d) 22 cos 15 sin 15 ? °- °= 22 3 cos 15 sin 15 cos30 2 °- °= °= 22 4cos 4sin ? 88 ? ? -= 2222 2 4cos 4sin 4 cos sin 4cos 4 2 2 888842 ????? ?? -=-== ·= ?? ?? e) 22 77 cos sin ? 12 12 ? ? -= 22 777 3 cos sin cos cos cos 12 12 6 6 6 2 ????? ? ?? -==+ = -= - ?? ?? 141 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4.2.4. DÖNÜ ŞÜM VE TERS DÖNÜ ŞÜM FORMÜLLER İ E ğer y x + = ? ve y x - = ß alınırsa 2 x ? ß + = ve 2 y ? ß - = olup ()() sin sin sin sin xyx y ?ß +=++- sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos x yxyxyxy xy =++- =· 2 cos 2 sin 2 sin sin ß ? ß ? ß ? - · + = + E ğer ß yerine ß - alınırsa 2 cos 2 sin 2 sin sin ß ? ß ? ß ? + · - = - Benzer şekilde cos cos cos( ) cos( ) xyx y ? ß +=+ +- cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos cos x yxyxyxy xy =·-·+·+· =· 2 cos 2 cos 2 cos cos ß ? ß ? ß ? - · + = + 2 sin 2 sin 2 cos cos ß ? ß ? ß ? - · + - = - Örnekler: A şa ğıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) ° · = + ° ° ° 4 cos 16 sin 2 20 sin 12 sin b) ° ° ° ° · = - 42 cos 10 sin 2 32 sin 52 sin c) 40 sin 40 3 sin 2 20 cos 10 cos ? ? ? ? · - = - 142 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva d) ? ? ? ? ? ? ? cos 2 cos 4 cos 2 4 cos 4 cos = · = ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? + e) ( ) ° ° ° ° ° ° ° ° ° · = + = - + = + 5 cos 20 sin 2 25 sin 15 sin 25 90 cos 15 sin 65 cos 15 sin Şimdi de ters dönü şüm formüllerini elde edelim. ß ? ß ? ß ? sin sin 2 cos 2 sin 2 + = ? ? ? ? ? ? - · ? ? ? ? ? ? + ve , 22 x y ?ß? ß +- == ise y x + = ? ve y x - = ß ()() ()() [] 2 sin sin cos sin sin sin cos sin 2 y x y x y x y x y x y x - + + = · - + + = · ()() [] 2 cos cos cos cos y x y x y x - + + = · ()() [] 2 cos cos sin sin y x y x y x + - - = · ba ğıntıları elde edilir. 4.3. TR İGONOMETR İK FONKS İYONLARIN GRAF İKLER İ 4.3.1. PER İYOD İK FONKS İYONLAR VE PER İYOT Tanım : B A f › : fonksiyonunda her bir A x ? için ( )( ) x f T x f = + olacak şekilde sıfırdan farklı bir T reel sayısı varsa f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T reel sayısına da periyot denir Örneğin her bir k ?¢ için () () () () ecx k x ec x k x x k x x k x cos 2 cos sec 2 sec cos 2 cos sin 2 sin = + = + = + = + ? ? ? ? oldu ğu için bu fonksiyonlar periyodiktir ve periyot ise ? 2 dir: Ayrıca, her bir k ?¢ için 143 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva () ()x k x x k x cot cot tan tan = + = + ? ? oldu ğu için bu fonksiyonlar da periyodiktir ve periyotları ? dir. Şimdi de trigonometrik fonksiyonların periyotlarını nasıl bulaca ğımızı ortaya koyalım. a) () ( ) b ax x f + = sin () ( ) () ( ) () ( ) b ax ec x f b ax x f b ax x f + = + = + = cos sec cos fonksiyonlarının periyodu a T ? 2 = dır. b) () ( ) b ax x f + = tan () ( ) b ax x f + = cot fonksiyonlarının periyodu a T ? = dır. c) m tek do ğal sayı için () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) b ax ec x f b ax x f b ax x f b ax x f m m m m + = + = + = + = cos sec cos sin fonksiyonlarının periyodu a T ? 2 = dır. d) m çift do ğal sayı için () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) b ax ec x f b ax x f b ax x f b ax x f m m m m + = + = + = + = cos sec cos sin fonksiyonlarının periyodu a T ? = dır. 144 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva e) m ? ¥ sayı için () ( ) () ( ) b ax x f b ax x f m m + = + = cot tan fonksiyonlarının periyodu a T ? = dır. Örnekler : 1) ? ? ? ? ? ? + = 3 4 sin 8 ? x y fonksiyonunun periyodu nedir ? 2 4 2 ? ? = = T 2) ? ? ? ? ? ? - = 12 3 cot 6 ? x y fonksiyonunun periyodu nedir ? 3 ? = T tür. 3) 3sec tan 83 x yx ? ? - ???? =+ + ???? ???? fonksiyonunun periyodu nedir ? ? ? ? ? ? ? + 8 sec 3 ? x periyodu ? ? 2 1 2 = ve ? ? ? ? ? ? - 3 tan ? x periyodu 3 1 3 ? ? = olup y fonksiyonu bu iki fonksiyonun toplamından olu ştu ğu için periyodu okek () ? ? ? 6 3 , 2 = dir. Uyarı : () x f , birden fazla fonksiyonun toplamından olu şuyorsa, toplamı olu şturan fonksiyonların periyotları ayrı ayrı bulunur. Bunların okek’ i fonksiyonun periyodunu olu şturur. 4.3.2. TR İGONOMETR İK FONKS İYONLARIN GRAF İKLER İ Trigonometrik çemberi göz önüne alalım. Çember üzerinde aldı ğımız her bir noktanın () cos ,sin P ? ? ? oldu ğunu biliyoruz. 145 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva P ? noktası trigonometri çember üzerinde hareket ederse, sonsuz tane ? açısı ve ona kar şılık gelen () cos ,sin P ? ? ? noktaları ortaya çıkıyor. Böylece x y sin = ve x y cos = fonksiyonlarını elde etmi ş oluyoruz. Her bir P ? noktası birim çember üzerinde, oldu ğundan 1 sin 1 ? ? - x ve 1 cos 1 ? ? - x olur. Tanım : [ ] :1 , 1 f ›- ¡ olan x y sin = ve x y cos = fonksiyonlarına sinüs ve cosinüs fonksiyonları denir Şimdi trigonometrik fonksiyonları sırasıyla inceleyelim. 4.3.3. y = sinx FONKS İYONU Bu fonksiyonun periyodu ? 2 dir. O halde [ ] ? 2 , 0 aralı ğında inceleme yapmak yeterli olur. Fonksiyon için de ğerler tablosu olu şturup, bu tablodan yararlanarak fonksiyonun grafi ğini çizelim. 146 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Grafikten de görülece ği gibi, x y sin = fonksiyonunun grafi ği orijine göre simetrik olup tek fonksiyondur. E ğer daha geni ş bir aralıkta x y sin = fonksiyonunun grafi ğini görmek istersek, mesela [ ] ? ? 4 , 4 - aralı ğında grafik a şa ğıdaki gibidir. 147 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4.3.4. y = cosx FONKS İYONU Bu fonksiyon için de periyot ? 2 dir. Fonksiyona ait de ğerler tablosu ve grafi ği a şa ğıdaki gibidir. x y cos = için [] ? ? 4 , 4 - aralı ğında grafik a şa ğıda verilmi ştir. Benzer şekilde daha geni ş aralıklar için de grafik çizilebilir. x y cos = fonksiyonu, Oy eksenine göre simetriktir ve çift fonksiyondur. 4.3.5. y = tanx FONKS İYONU Bu fonksiyonun periyodu ? dir. O halde ? uzunlu ğunda bir aralıkta tanjant fonksiyonunun bütün özelliklerini gözleme imkanı vardır. Genel olarak tanjant fonksiyonu Z k k x ? + = , 2 ? ? noktalarında tanımlı olmadı ğı için bu de ğerler dü şey 148 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva asimptottur. Özel olarak 2 x ? =± do ğruları dü şey asimptotlardır. x y tan = fonksiyonu ile ilgili de ğerler tablosu ve grafik a şa ğıda verilmi ştir. x y tan = fonksiyonu tek fonksiyondur ve orijine göre simetriktir. 4.3.6. y=arcsinx FONKS İYONU x y sin = fonksiyonu ? ? ? ? ? ? - 2 , 2 ? ? aralı ğında birebir ve örtendir. O halde bu aralıkta ters fonksiyondan bahsedilebilir. Bu da x y arcsin = fonksiyonudur ve arksinüsx şeklinde okunur. Böylece ( ) x x f y arcsin = = fonksiyonu [] ? ? ? ? ? ? - › - 2 , 2 1 , 1 : ? ? f şeklinde tanımlı olup grafi ği yan taraftadır. 149 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : A şa ğıda verilen de ğerleri bulunuz. a) 0 0 arcsin = b) 2 1 arcsin ? = c) 3 2 3 arcsin 2 3 arcsin ? - = - = ? ? ? ? ? ? ? ? - d) 4 2 2 arcsin 2 2 arcsin ? - = - = ? ? ? ? ? ? ? ? 4.3.7. y=arccosx FONKS İYONU Örnek : A şa ğıda verilen de ğerleri bulunuz. a) 4 2 2 arccos ? = b) 3 2 3 2 1 arccos 2 1 arccos ? ? ? ? = - = - = ? ? ? ? ? ? - x y cos = fonksiyonu [] ? , 0 aralı ğında bire bir ve örtendir. Böylece ( ) x x f y arccos = = ters fonksiyonu [ ] [ ] ? , 0 1 , 1 : › - f şeklinde tanımlı olup grafi ği yan tarafta verilmi ştir. 150 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva c) 6 5 6 2 3 arccos ? ? ? = - = ? ? ? ? ? ? ? ? - d) 0 1 arccos = 4.3.8. y=arctanx FONKS İYONU x y tan = fonksiyonu ? ? ? ? ? ? - ? 2 , 2 ? ? x aralı ğında bire bir ve örten bir fonksiyondur. O halde x y tan = fonksiyonunun ? ? ? ? ? ? - ? 2 , 2 ? ? x ters fonksiyonu var ve bu da x y arctan = fonksiyonudur. Böylece ( ) x x f y arctan = = fonksiyonu :, 22 f ? ? ?? ›- ?? ?? ¡ şeklinde tanımlı bir fonksiyon olup grafi ği a şa ğıdaki gibidir. Örnek: A şa ğıda verilen de ğerleri bulunuz. a) 6 3 1 arctan 3 1 arctan ? - = - = ? ? ? ? ? ? ? ? - b) 0 0 arctan = x y 2 ? - 2 ? 0 x y arctan = 151 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4.4.TR İGONOMETR İK DENKLEMLER 4.4.1.sinx=a DENKLEM İ E ğer [] 1 , 1 - ? a sinx a = denkleminin kökü yoktur. E ğer [] 1 , 1 - ? a sinx a = denkleminin, ? ? ? ? ? ? - 2 , 2 ? ? aralı ğındaki kökü a x arcsin 1 = , ? ? ? ? ? ? 2 3 , 2 ? ? aralı ğındaki kökü de 2 arcsin x a ? =- dır. Bu iki çözüm bir formül halinde yazılırsa a şa ğıdaki elde edilir. Örnek : A şa ğıdaki denklemleri çözünüz. () () 1 2 sin 2 2 1 arcsin , 2 1 4 k k x xk k xk ? ? ? + =- ?? =- · - + ? ?? ?? ?? =- · + ¢ () () 2 sin 2 2 1a r c s i n , 2 1 4 k k x xk k xk ? ? ? = =- · + ? =- · + ¢ 1) 2) 152 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4.4.2. cos x=a DENKLEM İ E ğer [] 1 , 1 - ? a cosx a = denkleminin kökü yoktur. E ğer [] 1 , 1 - ? a cosx a = denkleminin [ ] 0 , ? - aralı ğındaki kökü a x arccos 1 = ve [] ? , 0 aralı ğındaki kökü a x arccos 2 = olur. Bu iki çözümü bir formül şeklinde yazarsak Örnek : A şa ğıdaki denklemleri çözünüz. 1 cos 2 1 arccos 2 , 2 2 3 x xk k xk ? ? ? = =+? =+ m¢ m 1) 1 cos 2 1 arccos 2 , 2 1 arccos 2 2 2 3 2 2 3 x xk k xk xk xk ? ?? ? ?? ? ? =- ?? =- +? ?? ?? ?? =- + ?? ?? ?? =-+ ?? ?? =+ m¢ m m m 2) 1) 2) 153 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 1 cos 3 1 arccos 2 , 3 x xk k ? = =+? m¢ 3) 1 cos 3 1 arccos 2 , 3 1 arccos 2 3 x xk k xk ? ?? =- ?? =- +? ?? ?? ?? =- + ?? ?? m¢ m 4) 4.4.3. tan x=a DENKLEM İ Her bir a ? ¡ için ? ? ? ? ? ? - 2 , 2 ? ? aralı ğında tanx a = denkleminin yalnız bir kökü olup Örnek :A şa ğıdaki denklemleri çözünüz. tan 3 arctan 3 ; 3 x xk k xk ? ? ? = =+? =+ ¢ 1) () tan 3 arctan 3 , arctan 3 3 x xk k xk xk ? ? ? ? =- =-+? =- + =- + ¢ 2) 1 tan 2 1 arctan , 2 x xk k ? = =+? ¢ 3) 3) 4) 1) 2) 3) 154 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 1 tan 7 1 arctan , 7 1 arctan 7 x xk k xk ? ? =- ?? =- +? ?? ?? =- + ¢ 4) 4.4.4. cot x=a DENKLEM İ cotx a = denklemi e ğer 1 0 ise tan ax a ?= şeklinde yazılabilir. Yalnız 0 a = ise , cot 0 x = olup 4.4.5. BAZI TR İGONOMETR İK DENKLEMLER İN ÇÖZÜMÜ Örnek : A şa ğıdaki denklemleri çözünüz. 1) 2 2 1 2 2sin sin 1 0 sin , 1 21 0 1 1 2 x xaa aa a a +- = =? +-= =- = () () 1 2 2 sin 1 2, 2 1 1a r c s i n , 2 1 6 k k x xk kv e xk k xk ? ? ? ? ? =- =- + ? =- · + ? =- · + ¢ ¢ 4) 155 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 2) () 2 2 2 5sin 6cos 6 0 51c o s 6 c o s 60 55 c o s 6 c o s 60 cos , 1 xx xx xx x a dersek a +- = ·- + -= -+- = =? 2 1 2 1 2 5610 1 1 5 cos 1 2, v e 1 cos 5 1 arccos 2 , 5 aa a a x xk k x xk k ? ? -+= = = = =? = =+? ¢ m¢ 3) 0 1 cot 2 tan = + - x x Denkleminin iki tarafını da x tan ile çarpalım () 2 2 2 1 1 2 2 tan 2cot tan tan 0 tan tan 2 0 tan 20 1 2 tan 1 arctan1 , ve 4 tan 2 arctan 2 , arctan 2 xxxx xx xa aa a a x xk k xk x xk k xk ? ? ? ? ? -+ = +- = = +-= = =- = =+? =+ =- =- +? =- + ¢ ¢ 156 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 4) x x x x 2 2 cos 2 cos sin sin 3 = + Farz edelim ki 0 cos ? x ve denklemin iki tarafını da x 2 cos ’e bölelim. 22 222 2 2 1 2 3sin sin cos 2cos cos cos cos 3tan tan 2 0 tan 32 0 1 2 3 x xx x x xx xx xa aa a a += +- = = +-= =- = () 1 1 2 tan 1 arctan 1 , 4 2 tan 3 2 arctan , 3 x xk k xk v e x xk k ? ? ? ? =- =- +? =- + = =+? ¢ ¢ BÖLÜM ALI ŞTIRMALARI 1) A şa ğıdaki açıları derece cinsinden ifade ediniz. ? ? ? ? ? ? 12 , 2 9 , 9 5 , 4 3 , 9 , 5 - - 2) A şa ğıdaki açıları radyan cinsinden ifade ediniz. 135 , 210 ,36 ,150 , 240 ,300 , 120 , 225 -- oooooooo 3) A şa ğıda verilen ifadelerin de ğerlerini bulunuz. a) 00 2 cos 60 3 cos30 ·+ · b) 00 5s i n3 0 c o t4 5 ·- c) 000 2 sin 30 6 cos 60 4 tan 45 ·+ ·- · 157 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva d) 00 3t a n4 5 t a n6 0 ·· e) 00 4t a n6 0s i n6 0 ·· f) 00 12 sin 60 cot 60 ·· g) 00 2s i n6 0 c o t6 0 ·· 4) A şa ğıdaki ifadeleri sadele ştiriniz. a) sin cos tan ? ?? ·· b) sin cos cot 1 ? ?? ··- c) 2 sin tan cot ? ?? -· d) 2 2 1s i n cos ? ? - e) 2 2 cos cos 1 ? ? - f) 222 sin cos tan ? ?? ++ g) 2 tan cot cot ? ?? ·+ h) sin cot ? ? · i) tan cot ? ? · j) 2 2 1c o s 1s i n ? ? - - 5) A şa ğıdaki ifadeleri sadele ştiriniz. a) cos 1 cot sin ? ? ? - - b) 11 sin 1 1 sin ? ? - -+ c) 1c o t tan 1 ? ? - - 158 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva d) 2 2 sin 1 tan cot cos 1 ? ? ? ? - +· - e) 22 tan (sin 1) ?? ·- f) 222 cos (cot 1) sin ? ?? -+ · g) tan( ) cos sin ? ?? -· + h) 22 cos tan ( ) 1 ?? ·-- 6) sin ,cos ,tan ve cot ? ?? ? ’nın i şaretlerini bulunuz. a) ? =48 o b) ? =200 o c) ? =137 o d) ?=306 o 7) A şa ğıdakileri hesaplayınız. a) 0 sin( 30 ) - b) 0 cos( 60 ) - c) 0 tan( 45 ) - d) 0 cot( 30 ) - e) 0 cos( 90 ) - f) 0 sin( 45 ) - 159 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 8) A şa ğıda verilenlere göre trigonometrik oranları hesaplayınız. a) cos 0,6 ? =- ve 2 ? ? ? << ise sin , tan ve cot ? ? ?? = b) 1 sin 3 ? = ve 0 2 ? ? << ise cos , tan ve cot ? ? ?? = 9) A şa ğıda verilenlere göre trigonometrik oranları hesaplayınız. a) 3 sin 5 ? = ve 2 ? ? ? << b) 8 cos 17 ? = ve 0 2 ? ? << c) 3 tan 3 ? =- ve 3 2 2 ? ? ? << 10) A şa ğıdakileri hesaplayınız. a) sin 240 ° b) cos( 210 ) -° c) tan( 300 ) -° d) sin 330 ° e) cot( 225 ) -° f) sin 315 ° g) cos120 ° h) sin( 150 ) -° i) tan( 225 ) -° j) cos( 225 ) -° 160 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 11) A şa ğıdakileri hesaplayınız. a) 7 cos 6 ? b) 4 sin 3 ? c) 5 cos 3 ? ?? - ?? ?? d) 11 sin 3 ? ?? - ?? ?? 12) A şa ğıdaki ifadeleri sadele ştiriniz. a) cos( ) cos(180 ) sin( ) sin(90 ) ? ? ? ? -· ° + -· ° + b) sin( ) cos(2 ) tan( ) cos( ) ??? ? ??? ? +· - -· - c) sin( ) cot( ) cos(360 ) tan(180 ) ? ? ? ? -·- °- · °+ d) sin( ) sin( 2 ) 3 tan( ) cos 2 ???? ? ??? +· + ?? +· + ?? ?? 13) A şa ğıdakileri hesaplayınız. a) cos 75 ° b) tan 75 ° c) sin15 ° d) cos105 ° e) cos15 ° f) sin 255 ° g) cos 255 ° 161 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva h) sin105 ° 14) A şa ğıdaki ifadelerin de ğerlerini bulunuz. a) cos107 cos17 sin107 sin17 °· °+ °· ° b) cos107 cos17 sin107 sin17 °· °+ °· ° c) cos36 cos 24 sin 36 sin 24 °· °- °· ° d) sin 63 cos 27 cos 63 sin 27 °· °+ °· ° e) sin 51 cos 21 cos51 sin 21 °· °- °· ° 15) 4 tan 3 ? = ve 1 tan 4 ß = ise tan( ) ? ? ß + = 16) IIb ? ? ve IIIb ß ? , 4 sin 5 ? = ve 15 cos 17 ß = - ise; a) sin( ) ? ? ß += b) sin( ) ? ? ß -= c) cos( ) ? ? ß -= d) cos( ) ? ? ß += 17) 3 tan 4 ? = ve 3 2 ? ?? << ise a) sin 2 ? =? b) cos 2 ? =? c) tan 2 ? =? d) cot 2 ? =? 162 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 18) A şa ğıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) sin 40 sin16 °° + b) ° ° - 40 sin 20 sin c) sin sin 66 ?? ? ? ???? +- - ???? ???? d) cos cos 3 ? ? ? ?? -+ ?? ?? e) ° ° - 74 cos 46 cos f) 9 sin 6 sin ? ? - g) ° ° + 45 cos 15 cos h) 5 sin 5 2 sin ? ? + i) ° ° + 80 sin 50 cos 19) () x f fonksiyonunun periyodunu bulunuz. a) () sin 27 x fx ? ?? =- ?? ?? b) () ? ? ? ? ? ? - = 7 4 cos 3 ? x x f c) () x x f 3 tan 2 = d) () 3 cot x x f = e) () x x f cos 2 - = f) () x x x f cos sin + = g) () x x f 2 sin 3 + = 163 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva h) () ? ? ? ? ? ? - = 6 4 sin 2 1 ? x x f i) () x x f 5 , 1 tan 3 = j) () ? ? ? ? ? ? - = 3 2 cos 4 ? x x f 20) A şa ğıda verilen denklemleri çözünüz. a) 2 cos 2 x = b) 3 cos 2 x = c) 1 sin 2 x = d) 1 sin 2 x =- e) 3 sin 2 x =- f) 1 tan 3 x =- g) cot 3 x = h) tan 1 x = i) sin 0,6 x =- j) cot 2,5 x = k) cos 0,3 x = 164 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva l) 2 sin 32 x ?? ?? ?? -= m) tan 3,5 x =- n) () 3 cos 2 2 x -= - o) 2cos 3 26 x ? - = ?? ?? ?? p) 3tan 3 23 x ? += ?? ?? ?? q) tan 1 42 x ? - =- ?? ?? ?? r) 2sin 3 34 x ? - = ?? ?? ?? s) 3 sin 3 cos - cos 3 sin 2 xxxx = t) 1 sin 2 cos 2 4 xx = - u) 22 sin cos 1 44 xx - = v) 2 2sin sin 1 0 xx -- = w) 2 4sin 11sin 3 0 xx +- = x) 2 2sin 3cos 0 xx += y) 2 cos 3sin 3 xx += 165 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM TEST İ 1) 1 12 5 sin 12 cos 2 2 - + ? ? i şleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 2 1 C) 2 2 D) 2 3 E) 1 2) 2 4 ? ? < için 0 ij a = ise bu matrise üst üçgensel matris denir. b) Alt üçgensel matris Elemanları < ij için 0 ij a = olan matrise alt üçgensel matris denir. 174 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 5) Simetrik Matris Bir kare matrisin elemanları esas kö şegene göre simetrik ise bu tür matrislere simetrik matris denir. Yani ij ji aa = dir. Örnek: 215 173 539 A - ?? ?? =- ?? ?? ?? 6) Devrik Matris Boyutu mn × olan bir A matrisinin satır ve sütunlarının yer de ği ştirilmesi ile elde edilen ve boyutu nm × olan matrise A matrisinin devri ği (transpozesi) denir ve T A ile gösterilir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = mn m n n a a a a a a a A . . . . . . . . . 1 2 21 1 12 11 ise 11 21 1 12 22 2 1 . . .... .. m m T nm n aa a aa a A aa ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? Örnek: 138 752 243 A ?? ?? = ?? ?? -- ?? ise ? T A = Çözüm: 17 2 354 823 T A - ?? ?? = ?? ?? - ?? 175 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 5.2. MATR İSLERDE İŞLEMLER 5.2.1.MATR İSLER İN EŞİTLİĞİ Tanım: Aynı tipteki iki matrisin kar şılıklı tüm elemanları birbirine e şit ise bu iki matris e şittir denir. ij Aa ?? = ?? , ij B b ?? = ?? ve ij ij ab = AB ?= dir. Örnek: 313 23 111 3 x y -- - ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? ise ? xy + = Çözüm: 3- 12 3 3 1 x xx =? =?= 13 2 yy +=?= olup 123 xy +=+= bulunur. 5.2.2. MATR İSLERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA Tanım: Aynı tipteki iki matrisin kar şılıklı elemanları toplanarak bulunan yeni matrise toplam matrisi denir. ij mn Aa × ?? = ?? , ij mn Bb × ?? = ?? olmak üzere ij ij mn ABab C × ?? + =+ = ?? dir. İki matrisin çıkarma i şlemi de aynı yöntemle yapılır. Yani, ij ij mn ABab × ?? -= - ?? şeklindedir. 176 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek: 102 148 A ?? = ?? -- ?? ve 230 054 B ? ? = ? ? ? ? ise ? AB - = ve ? AB + = Çözüm: 102 230 12 0320 132 148054 104584 194 AB ---- - ?? ?? ? ? ?? -= - = = ?? ?? ? ? ?? -- - -- - - -- ?? ?? ? ? ?? 102230120320332 148054 104584 111 2 AB +++ ?? ?? ? ? ?? += + = = ?? ?? ? ? ?? -- - +- + + - ?? ?? ? ? ?? 5.2.3. MATR İS İN REEL SAYI İLE ÇARPIMI Bir matrisin tüm elemanları k ? ¡ ile çarpılırsa matris de k ile çarpılmı ş olur. Yani, kA ·= ij mn ka × ?? · ?? dir. Özellikler , ABveC aynı boyutlarda matrisler ve 12 ,, kkk ? ¡ olsun . 12 1 2 12 12 21 1) ( ) 2)( ) 3)( ) ( ) ( ) 4)1 1 5) 0 0 0 0 kABkAkB kkAkAkA kkAkkAkkA AAv e AA kv eA ·+=·+· +·=·+· ··=··=·· ·= -·= - ·= ·= Örnek: 21 34 A - ?? = ?? ?? ise 5 A -· matrisini bulunuz. Çözüm: 21 1 05 55 3 4 15 20 A -- ?? ? ? -· = -· = ?? ? ? -- ?? ? ? 177 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek: 26 84 A - ?? = ?? - ?? ise 2 3? 2 A - +· ?= Çözüm: 2 26 10 133023 11 33 84 01 4203 45 22 A -- ???? ?? ?? ?? - ·+· ?= -· +· = + = ???? ?? ?? ?? --- ???? ?? ?? ?? 5.2.4. İK İ MATR İS İN ÇARPIMI İki matrisin çarpılabilmesi için birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına e şit olması gerekir.Çarpma i şleminde birinci matrisin tüm satır elemanları ikinci matrisin tüm sütun elemanları ile kar şılıklı olarak çarpılıp toplanır. Çözüm: 33 12 162244 748 124 31 33611 22 671 4 312 42 46821 64 1 01 02 0 AB × +++ ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ·= · =+ + += ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? +++ ?? ? ?? ? 22 12 1 2 4 1 6 16 2 2 8 23 12 31 312 338614 1 41 1 42 BA × ?? ++ ++ ??? ? ?? ?? ·= · = = ??? ? ?? ?? ++ ++ ??? ? ?? ?? ?? Örnek: 33 354 212 311 A × ?? ?? =- ?? ?? -- ?? ve 32 15 21 43 B × ? ? ? ? =- ? ? ? ? - ? ? ise ? AB · = ve ? BA ·= Çözüm: 32 3 5 4 1 5 3 10 16 15 5 12 29 2 21221 2281 016 41 5 3 11 4 3 324 1 513 1 1 7 AB × ++ -- - ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ·= -· -= +- -+ =- ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? -- - - -+-+ - -- ?? ?? ? ? ?? B A · i şlemi yapılamaz, çünkü B matrisinin sütun sayısıA matrisinin satır sayısına e şit de ğildir. 178 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 5.2.5. KARE MATR İSLER İN KUVVETLER İ A karesel bir matris olmak üzere, her kare matris kendisi ile çarpılabilir. 0 1 2 32 1 n nn A AA AAA AAA AAA - =? = =· =· =· Örnek: 10 13 A -?? = ?? ?? matrisi ve 32 () 2 1 fx x x = -- fonksiyonu veriliyor. () f A matrisini bulunuz. Çözüm: 32 2 () 2 fA A A =-- ? olup sırası ile 2 A ve 3 A matrislerini bulup () f A da yerine yazalım. 2 10 10 10 1313 29 A -- ?? ?? ?? =·= ?? ?? ?? ?? ?? ?? 3 1010 10 1329 72 7 A -- ?? ?? ?? =·= ?? ?? ?? ?? ?? ?? 10 1010 10 20 10 40 () 2 72 7 2901 72 741 801 38 fA --- ? ??? ??? ? ?? ???? =- ·-=--= ? ??? ??? ? ?? ???? ? ??? ??? ? ?? ???? bulunur. 5.3. DETERM İNANT Tanım: Determinant karesel bir matrisi reel sayıya dönü ştüren bir fonksiyondur. nn × boyutlu bir A kare matrisinin determinantı det( )AA = ile gösterilir. 179 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva . . . . . . . . . ) det( 1 2 22 21 1 12 11 nn n n n a a a a a a a a A A = = dır. 5.3.1. DETERM İNANTIN ÖZELL İKLER İ 1) Bir determinantın bir satırdaki veya bir sütundaki elemanları 0 ise, o determinantın de ğeri 0 dır. 2) Bir determinantta aynı numaralı satırlar ve sütunlar yer de ği ştirirse, determinantın de ğeri de ği şmez. 3) Bir determinantın iki satırı veya sütunu yer de ği ştirirse, determinantın i şareti de ği şir. 4) Bir determinantın bir sayı ile çarpılması demek, her hangi bir satırın veya sütunun o sayı ile çarpılması demektir. 5) Bir determinantın iki satır veya sütunu aynı elemanlardan olu şuyorsa veya orantılı ise, o determinantın de ğeri 0 dır. 6) Bir determinantta bir satırın veya sütunun elemanlarını bir sayı ile çarpıp bir ba şka satırın ya da sütunun kar şılıklı elemanlarına eklemek determinantın de ğerini de ği ştirmez. 5.3.2. İK İNC İ MERTEBEDEN DETERM İNANT ACILIMI yedek kö şegen esas kö şegen Örnek : 12 (1 )425 1 4 54 - =-·-·= - Örnek : 24 2214 0 12 =·-·= Örnek : 21 0 3 x x - = ise ? x = 180 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm : (2 )30 xx -- = olup 2 230 xx --= ise (3 ) (1 )0 xx - += buradan 3 x = ve 1 x =- bulunur. 5.3.3. ÜÇÜNCÜ MERTEBEDEN DETERM İNANT AÇILIMI a) SARRUS kuralı Bu kurala göre ilk iki satır alt tarafa veya ilk iki sütun sa ğ tarafa yazılıp esas kö şegen çarpımlarından yedek kö şegen çarpımları çıkarılır. 122 014 331 423 111 230 1 2 A =··+··+··-··-··-··= - bulunur. b)LAPRACE kuralı Bu kuralla herhangi bir satır veya sütuna göre açılım yapılır. Ancak sıfır elemanının yo ğun oldu ğu satır veya sütunlar kolaylık sa ğlar. Bu açılım her boyuttaki determinant için geçerlidir. 11 12 13 21 22 23 31 32 33 aaa Aaaa aaa ?? ?? = ?? ?? ?? matrisinin determinantını 1. satıra göre açalım. 181 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 22 23 21 23 21 22 11 12 13 11 12 13 32 33 31 33 31 32 (1 ) (1 ) (1 ) aa aa aa Aa a a aa aa aa +++ =- · · +- · · +- · · dir. Örnek: 230 512 430 A ?? ?? = ?? ?? ?? ise ? A = Çözüm: Bu matrisin determinantını üçüncü sütuna göre açmakta kolaylık vardır. Çünkü bu sütundaki sıfır elemanları yo ğunluktadır. 23 23 0 ( 1) 2 0 2 (6 12) 2 ( 6) 12 43 A + =+- ·· += -·- = -·-= bulunur. Örnek: 1234 2153 0300 0702 A ?? ?? ?? = ?? ?? ?? ise ? A = Çözüm: Bu matrisin determinantını üçüncü satıra göre açmakta kolaylık vardır. 32 33 134 13 0(1 ) 325300 300(1 ) 2 25 002 A ++ ? ? =+- ·· ++= -·++- ·· ? ? ? ? ? ? 3 2 (5 6) 6 ( 1) 6 =- · · - =- · - = bulunur. 5.4. B İR DETERM İNANTIN M İNÖRLER İ VE KOFAKTÖRLER İ Tanım: , ij nxn ij v eA a + ?? ?= ?? ¢ kare matrisinin i nci satır ve j nci sütunu silindikten sonra elde edilen yeni matrisin determinantına ij a elemanının alt determinantı veya minörü denir ve ij M ile gösterilir. () 1 ij ij ij AM + =- · ifadesine de ij a elemanın kofaktörü denir: 182 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 3 2 4 1 3 3 2 1 A matrisinin 1.satır elemanlarının minör ve kofaktörünü bulunuz. Çözüm : 11 a in minörü 11 14 11 2 1 1 31 M== - = - ve kofaktörü ise 11 11 11 11 ( 1) 11. AM M + =- · = = - 12 a in minörü 12 34 38 5 21 M = =-= - ve kofaktörü ise 12 12 12 12 (1 ) 5 AMM + =- · = - = 13 a ün minörü 13 31 927 23 M== - = ve kofaktörü ise 31 13 13 13 (1 ) 7 AM M + =- · = = . 5.5. EK MATR İS Tanım: A karesel matris olmak üzere ij a elemanının yerine o elemanın kofaktörleri konularak bulunan matrisin transpozuna A nın ek matrisi denir ve () Ek A ile gösterilir. Örnek: 22 21 34 A × ?? = ?? ?? ise ()? Ek A = Çözüm: 11 11 12 12 21 21 22 22 (1 ) 4 4 (1 ) 3 3 (1 ) 1 1 (1 ) 2 2 A A A A + + + + =- ·= =- ·= - =- ·= - =- ·= 4341 () 12 32 T Ek A - - ? ?? ? == ? ?? ? -- ? ?? ? dir. 183 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 22 × boyuttaki bir matrisin ek matrisini bulmak için, esas kö şegen üzerindeki elemanlar yer, yedek kö şegen üzerindeki elemanlarda i şaret de ği ştirir. Örnek : 33 110 321 221 A × - ?? ?? = ?? ?? - ?? ise ()? Ek A = Çözüm: 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 21 (1 ) 22 4 21 31 (1 ) 1( 32 ) 1 21 32 (1 ) 64 1 0 22 10 (1 ) 1(1 )1 21 10 (1 ) 1 21 11 (1 ) (22 ) 0 22 10 (1 ) 1 21 10 (1 ) 11 1 31 ( A A A A A A A A A + + + + + + + + =- · = + = - =- · = -· - = - =- · = -- = - - - =- · = -·- = - =- · = - =- · = --+ = - - =- · = - =- · = -·= - = 33 11 1) 2 3 5 32 + - -· = + = 411 0 411 () 1 1 0 11 1 115 1 005 T Ek A -- - ?? ?? ?? ?? == - - ?? ?? ?? ?? -- - ?? ?? bulunur. 184 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 5.6. B İR MATR İS İN TERS İ ( İNVERS İ) Tanım: A nn × tipinde bir matris olmak üzere, nn AB BA I × · =·= e şitli ğini sa ğlayan B matrisi varsa, B matrisine A matrisinin tersi( İnversi) denir ve 1 B A - = ile gösterilir. Buna göre 11 nn AAAAI -- × ·=· = dir. Tanım: A nn × tipinde bir matris olmak üzere, A matrisinin tersi 1 A - şeklinde gösterilir ve 1 1 () AE k A A - =· formülünden bulunur. Not: Bir matrisin tersinin olabilmesi için matrisin karesel ve determinantı sıfırdan farklı olmalıdır. Örnek : ? ? ? ? ? ? = 3 5 2 1 A ise 1 ? A - = Çözüm: 1.yol : 1 22 AA - × ·= ? oldu ğundan, ? ? ? ? ? ? = - d c b a A 1 olsun 12 10 53 01 ab cd ?? ???? ·= ?? ???? ?? ???? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? + + + + 1 0 0 1 3 5 3 5 2 2 d b c a d b c a 21 20 530 531 ac bd ac bd += += += += denklem sistemini çözersek, 3 , 7 a =- 251 ,, 777 bcd === - bulunur o halde 185 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 1 32 77 51 77 ab A cd - ?? - ?? ?? == ?? ?? ???? - ?? ?? dir. 2.yol : 1 1 () AE k A A - =· oldu ğundan, önce A bulalım. 12 31 0 7 53 A== - = - ve 32 () 51 Ek A - ? ? = ? ? - ? ? 1 32 32 11 77 () 51 5 1 77 77 AE k A - ? ? - ? ? - ?? =- · =- · = ? ? ?? - ?? ? ? - ? ? ? ? dir. Örnek: 24 1 1 2 A ?? ?? = ?? ?? ise 1 ? A - = Çözüm: 0 A = oldu ğundan A matrisinin tersi yoktur. Örnek: 121 374 213 A ?? ?? = ?? ?? - ?? ise 1 ? A - = Çözüm: 121 3 7 4 (21 3 16) (14 4 18) 34 28 6 213 121 374 A== - + - - + = - = - Şimdide tüm kofaktörleri bulalım. 186 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 74 (1 ) 2 14 2 5 13 34 (1 ) ( 98 ) 1 23 37 (1 ) 31 4 1 7 21 21 (1 ) ( 61 ) 7 13 11 (1 ) 321 23 12 (1 ) (14 )5 21 21 (1 ) 871 74 11 (1 ) ( 43 ) 34 A A A A A A A A + + + + + + + + =- · = + = - =- · = - - = - =- · = -- = - - =- · = - + = - - =- · =- = =- · = --- = - =- · =- = =- · = - - = 33 33 1 12 (1 ) 761 37 A + - =- · = - = 25 1 17 25 7 1 () 71 5 1 1 1 111 1 751 T Ek A -- - ? ?? ? ? ?? ? =- =- - ? ?? ? ? ?? ? -- ? ?? ? 1 25 7 1 666 25 7 1 11 1 1 111 66 6 6 17 5 1 17 5 1 666 A - ? ? - ? ? - ?? ? ? ?? ? ? =·- -=- - ?? ? ? ?? - ? ? ?? ? ? - ? ? ? ? bulunur. 187 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 5.7. B İR MATR İS İN RANKI Tanım: Bir 0 ij mn Aa × ?? =? ?? matrisinin karesel alt matrisleri arasında, determinantı sıfırdan farklı olanların mertebesi en büyük olana A matrisinin rankı denir ve rank(A) ile gösterilir. Örnek : 120 31 2 510 A ?? ?? =- ?? ?? ?? ise rank()? A = Çözüm: 23 120 12 3 1 2 0 ( 1) ( 2) 0 2 (1 10) 2 ( 9) 18 0 51 510 A + = -=+- ·-· +=·- =·-= -? oldu ğundan rank()3 A = dir. Örnek : 231 150 462 A ?? ?? =- ?? ?? ?? ise rank()? A = Çözüm: 13 33 231 15 23 150(1 )1 0(1 ) 2 46 15 462 A ++ - =- =- ·· + +- · · = - 6202(103)26260 =- - + · + =- + = oldu ğundan rank() < 3 A oldu ğundan 1 23 15 A ?? = ?? - ?? alalım. 1 23 1 031 30 15 A== + = ? - . Yani rank()2 A = dir. 188 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 5.8. L İNEER DENKLEM S İSTEMLER İ Tanım: 11 1 12 2 1 1 ...... nn axax ax b +++= denklemine 1. dereceden n bilinmeyenli lineer denklem denir. Bu tip lineer denklemlerden olu şan sistemine lineer denklem sistemi(takımı) denir. 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 22 ...... ...... . . ...... nn nn mm m n nm ax ax ax b axax ax b axax ax b +++= ? ? +++= ? ? ? ? ? + ++= ? ? Sisteminin katsayılar matrisi: mxn mn m m n n a a a a a a a a a A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2 22 21 1 12 11 olup sabit vektörü 1 2 1 . . . m mx b b B b ?? ?? ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ?? ?? ve bilinmeyenler vektörü 1 2 . . . n x x X x ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dir. O halde lineer denklem sistemi 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 12 ... ... ... . .... ... . .... ... . .... ... n n mm m nnm aa axb aa axb aa axb ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ·= ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? AX B ·= şeklinde yazılabilir. 189 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva Örneğin, 2 3 1 2 1 2 3 0 xyz xz xyz -+= ? ? += - ? ? -+= ? denklem sistemini 231 1 102 1 123 0 x y z - ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ·= - ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? - ?? ? ? ? ? şeklinde yazabiliriz. 5.8.1. L İNEER DENKLEM S İSTEM İN İN CRAMER METODU İLE ÇÖZÜMÜ Katsayılar matrisi kare matris olan bir lineer denklem sisteminin çözümü bu kurala göre yapılır. Örne ğin 3 n = için uygulanırsa ; 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 ax ax ax b axax ax b ax ax ax b + += ? ? + += ? ? + += ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 2 1 b b b B , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 2 1 x x x X olmak üzere lineer denklem sistemini AX B · = şeklinde ifade edebiliriz. Burada 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A = ? = 33 32 3 23 22 2 13 12 1 1 a a b a a b a a b = ? 33 3 31 23 2 21 13 1 11 2 a b a a b a a b a = ? 190 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 3 32 31 2 22 21 1 12 11 3 b a a b a a b a a = ? dir. E ğer, 1) 0 ? = ? A ise lineer denklem sisteminin bir tek çözümü olup 1 1 x ? = ? , 2 2 x ? = ? , 3 3 x ? = ? dir. 2) 0 A = = ? ise ; a) 3 2 1 , , ? ? ? sayılarından en az biri sıfırdan farklı ise sistemin çözümü yoktur. b) 0 3 2 1 = ? = ? = ? sistemin sonsuz çözümü vardır. Örnek : 625 23 4 34 2 xyz xyz xyz -+= ? ? -+= ? ? +-= - ? denklem sistemini Cramer kuralı ile çözünüz. Çözüm: Verilen lineer denklem sistemini 162 5 231 4 341 2 x y z - ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? -·= ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? -- ?? ? ? ? ? yazarız. 3 1 4 3 1 3 2 2 6 1 = - - - = ? 562 4313 241 x - ?= - = -- 9 1 2 3 1 4 2 2 5 1 - = - - = ? y 191 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 21 2 4 3 4 3 2 5 6 1 - = - - - = ? z 3 1 3 x x ? === ? , 3 3 9 y y - = - = ? ? = , 7 3 21 z z - = - = ? ? = olup ( ) { } .. 1 ,3 ,7 ÇK=- - bulunur. Örnek : 238 59 xy xy -= ? ? += - ? denklem sistemini Cramer kuralı ile çözünüz. Çözüm: 13 3 10 5 1 3 2 = + = - = ? 13 27 40 5 9 3 8 = - = - - = ? x 28 18 8 26 19 y ?= = - -= - - 13 1 13 26 2 13 x y x y ? === ? ? == -= - ? { } .. ( 1 ,2 ) ÇK=- bulunur. Örnek : 23 369 xy xy -= - ? ? -= - ? denklem sistemini Cramer kuralı ile çözünüz. Çözüm: 0 6 3 2 1 = - - = ? 0 6 9 2 3 = - - - - = ? x 192 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 0 9 3 3 1 = - - = ? y olup, sisteminin sonsuz çözümü vardır. 2323 xyxy -= - ?=- yt = dersek 23 x t = - () } { t t K Ç , 3 2 . - = bulunur. Örnek : 23 369 xy xy -= - ? ? -= ? denklem sistemini Cramer kuralı ile çözünüz. Çözüm 0 6 3 2 1 = - - = ? 0 36 18 18 6 9 2 3 ? = + = - - - = ? x 0 18 9 9 9 3 3 1 ? = + = - = ? y sistemin çözüm kümesi bo ş kümedir. BÖLÜM ALI ŞTIRMALARI 1) ? ? ? ? ? ? = 3 0 1 2 A ise ? T AA += 2) ? ? ? ? ? ? + = 5 4 1 3 y x A ? ? ? ? ? ? - = y x B 3 2 4 1 2 matrisleri veriliyor. AB = ise ? xy += 3) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = a a a A 1 1 1 1 1 1 matrisine göre 6 = A ise ? a = 4) ? ? ? ? ? ? - = 1 1 0 2 A ve () x x x f 3 2 2 - = ise ()? fA = 5) ? ? ? ? ? ? = 3 3 2 2 A ve ? ? ? ? ? ? = 2 2 3 3 B ise ( ) ( ) ? = + · - B A B A 193 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 6) ? ? ? ? ? ? + - = 2 4 2 a a A matrisi için 4 A = ise ? a = 7) 0 3 2 1 3 0 0 5 = x x denklemini çözünüz. 8) 6 4 0 xyz xyz xyz ++= ? ? --= - ? ? --+= ? sistemini çözünüz. 9) 123 123 123 8 29 23 xxx xxx xxx ++= ? ? -+-= - ? ? -+ += ? sistemini çözünüz. 10) 3 22 23 yz xz xyz -= ? ? -= - ? ? -+= - ? sistemini çözünüz. 11) 240 360 480 xy xy xy -= ? ? -= ? ? -= ? denklem sistemini çözünüz. 12) 2- 4 5 0 3- 640 xyz xyz += ? ? += ? denklem sistemini çözünüz. 13) 21 2321 236 xyz xyz xyz -+ += - ? ? --= ? ? --+= ? denklem sistemini çözünüz. 14) 3 1 4 4 1 3 3 2 1 - determinantının 3.satırının minör ve kofaktörlerini bulunuz. 15) ? ? ? ? ? ? - = x x x x A cos sin sin cos ise ? = A 194 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 16) ? ? ? ? ? ? = 5 2 3 1 A matrisinin tersi ? ? ? ? ? ? t z y x ise ? = + + + t z y x 17) 1 22 xy xy += ? ? -= ? lineer denklem sistemini çözünüz. 18) ? ? ? ? ? ? - 3 1 2 4 ? ? ? ? ? ? y x = ? ? ? ? ? ? 4 0 ise ? xy ·= 19) ? ? ? ? ? ? - 1 2 3 1 ? ? ? ? ? ? y x = ? ? ? ? ? ? 4 5 sisteminin çözümü olan ( ) y x, bulunuz. 20) ? ? ? ? ? ? b a 2 1 = ? ? ? ? ? ? 4 3 y x oldu ğuna göre, y x b a + + + toplamı kaçtır. 21) ? ? ? ? ? ? = 4 3 2 1 A ve ? ? ? ? ? ? = 5 2 3 7 B oldu ğuna göre, B A + matrisini bulunuz. 22) ? ? ? ? ? ? - = 2 1 8 0 M ise M 3 matrisi nedir? 23) ? ? ? ? ? ? - = 1 0 1 0 A , ? ? ? ? ? ? = 1 2 1 1 B matrisleri verildi ğine göre ( ) B A 2 + toplamı nedir? 24) ? ? ? ? ? ? = 3 4 1 2 C ve ? ? ? ? ? ? - = 2 5 0 4 D ise D C - fark matrisi nedir? 25) ? ? ? ? ? ? = 4 3 2 1 A ve ? ? ? ? ? ? = 5 6 B oldu ğuna göre, B A · matrisini bulunuz. 26) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = 0 2 1 1 3 1 1 0 2 A ve ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 1 0 B ise B A · çarpım matrisi nedir ? 27) ? ? ? ? ? ? = 4 2 3 1 A ve ? ? ? ? ? ? = 6 5 B oldu ğuna göre, B A · matrisi nedir ? 195 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 28) ? ? ? ? ? ? - - = 3 1 0 2 4 2 A ve ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 2 4 0 1 2 B matrisleri verildi ğine göre, A B ·= ? 29) ? ? ? ? ? ? = 4 2 3 1 A , ? ? ? ? ? ? = 3 1 1 0 B ve ? ? ? ? ? ? = 5 4 1 3 C oldu ğuna göre, C B A + · =? 30) ? ? ? ? ? ? - - 1 3 2 7 matrisinin tersi nedir? 31) ? ? ? ? ? ? = 20 10 7 4 A matrisinin determinantı kaçtır? 32) 12 8 5 4 = k oldu ğuna göre k kaçtır? 33) 3 0 2 5 1 0 1 2 4 determinantının de ğeri kaçtır? 34) 143 202 343 A -- ?? ?? = ?? ?? ?? ise ()? Ek A = 35) 140 252 30 1 ?? ?? - ?? ?? - ?? matrisinin rankı nedir? 36) 111 231 342 A - ?? ?? = ?? ?? ?? ise 1 ? A - = 196 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM TEST İ 1) 1 22 xy xy += ? ? -= ? lineer denklem sistemi, a şa ğıdaki matris gösterimlerinden hangisi ile ifade edilir? A) ? ? ? ? ? ? -1 2 1 1 ? ? ? ? ? ? y x = ? ? ? ? ? ? 2 1 B) ? ? ? ? ? ? -1 1 2 1 ? ? ? ? ? ? y x = ? ? ? ? ? ? 2 1 C) ? ? ? ? ? ? -1 2 1 1 [] xy =[] 21 D) ? ? ? ? ? ? y x ? ? ? ? ? ? -1 2 1 1 = ? ? ? ? ? ? 2 1 E) [] xy ? ? ? ? ? ? -1 2 1 1 = ? ? ? ? ? ? 2 1 2) ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 ? ? ? ? ? ? y x = ? ? ? ? ? ? 6 5 ifadesi a şa ğıdaki denklem sistemlerinden hangisinin matrislerle yazılmı ş biçimidir? A) 425 36 xy xy += ? ? += ? B) 453 26 xy xy - = ? ? - = ? C) 245 36 xy xy += ? ? += ? D) 26 346 xy xy -= ? ? + = ? E) 435 26 xy xy += ? ? += ? 3) ? ? ? ? ? ? - 1 2 3 1 ? ? ? ? ? ? y x = ? ? ? ? ? ? 4 5 sisteminin çözümü olan ( ) y x, a şa ğıdakilerden hangisidir? A) (1, 1) B) (0,1) C) (1, 2) D) (1 , 1 ) - E) (1 ,2 ) - - 4) ? ? ? ? ? ? 1 3 2 1 ? ? ? ? ? ? y x = ? ? ? ? ? ? 4 3 sisteminin çözümü olan (,) x y a şa ğıdakilerden hangisidir? A) (0,3) B) (0,1) C) (1, 1) D) (1, 2) E) (2,2) 197 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 5) ? ? ? ? ? ? z y x 3 2 1 = ? ? ? ? ? ? 5 3 2 1 1 1 oldu ğuna göre, z y x + + toplamı kaçtır? A) 13 B) 12 C) 10 D) 9 E) 7 6) ? ? ? ? ? ? = 4 2 3 1 A ve ? ? ? ? ? ? = 1 3 2 4 B oldu ğuna göre B A + matrisi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) [] 20 B) [] 5 C) ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 D) ? ? ? ? ? ? 8 20 5 13 E) ? ? ? ? ? ? 1 0 0 1 7) ? ? ? ? ? ? = 4 3 2 1 A , ? ? ? ? ? ? = 5 2 3 7 B oldu ğuna göre, B A + matrisi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) ? ? ? ? ? ? 9 5 5 8 B) ? ? ? ? ? ? 5 2 2 1 C) ? ? ? ? ? ? 4 3 5 8 D) ? ? ? ? ? ? 1 1 1 6 E) ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 8) ? ? ? ? ? ? = 4 3 2 1 A , ? ? ? ? ? ? - - = 1 3 2 4 B oldu ğuna göre B A 2 - matrisi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) ? ? ? ? ? ? - 5 0 4 3 B) ? ? ? ? ? ? 3 6 0 5 C) ? ? ? ? ? ? - 2 9 2 9 D) ? ? ? ? ? ? 1 0 0 1 E) ? ? ? ? ? ? 2 9 9) ? ? ? ? ? ? = 5 0 1 2 A ve ? ? ? ? ? ? = 0 4 3 1 B oldu ğuna göre B A · çarpım matrisi nedir? A) ? ? ? ? ? ? 6 6 20 0 B) ? ? ? ? ? ? 4 6 3 5 6 0 C) ? ? ? ? ? ? 4 5 6 20 D) ? ? ? ? ? ? 0 20 6 6 E) ? ? ? ? ? ? 0 4 5 2 1 3 198 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 10) [] 2 1 = A ve ? ? ? ? ? ? = 2 4 0 5 B oldu ğuna göre B A · matrisi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) ? ? ? ? ? ? 0 0 1 1 B) ? ? ? ? ? ? 5 2 4 0 C) ? ? ? ? ? ? 4 8 0 10 D) [ ] 4 13 E) ? ? ? ? ? ? 8 5 11) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 4 0 1 1 2 A ve ? ? ? ? ? ? = 5 3 2 0 4 1 B oldu ğuna göre, B A · çarpımı nedir? A) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15 25 10 0 4 1 5 11 4 B) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 0 5 25 4 11 15 1 4 C) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 3 6 5 7 12 5 4 D) ? ? ? ? ? ? 15 10 5 4 E) ? ? ? ? ? ? 2 4 1 5 11 4 12) [] ? ? ? ? ? ? · 3 0 2 1 4 3 çarpımı a şa ğıdakilerden hangisine e şittir? A) ? ? ? ? ? ? 12 6 0 3 B) ? ? ? ? ? ? 12 0 6 3 C) ? ? ? ? ? ? 12 0 8 3 D) ? ? ? ? ? ? 18 3 E) [ ] 18 3 13) ? ? ? ? ? ? - = 3 0 1 1 A ve ? ? ? ? ? ? = 0 2 4 3 B oldu ğuna göre B A · matrisi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) [] 0 6 4 1 B) [] 0 6 C) ? ? ? ? ? ? - 2 6 4 3 D) ? ? ? ? ? ? 4 1 E) ? ? ? ? ? ? 0 6 4 1 199 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 14) ? ? ? ? ? ? = 2 1 0 1 A ve ? ? ? ? ? ? = 0 1 2 3 B matrisleri verildi ğine göre, CAB = · e şitli ğini sa ğlayan C matrisi nedir? A) ? ? ? ? ? ? 2 2 5 3 B) ? ? ? ? ? ? 2 5 2 3 C) ? ? ? ? ? ? 2 3 2 5 D) ? ? ? ? ? ? - - 2 3 2 5 E) ? ? ? ? ? ? - 2 3 2 5 15) ? ? ? ? ? ? = 2 3 0 1 A ve ? ? ? ? ? ? = 2 1 0 3 B matrisleri için a şa ğıdaki ifadelerden hangisi do ğrudur? A) ? ? ? ? ? ? - = - 4 2 0 2 B A B) ? ? ? ? ? ? = + 4 4 4 4 B A C) ? ? ? ? ? ? = 2 9 0 3 3A D) ? ? ? ? ? ? = - 4 8 0 0 3 B A E) ? ? ? ? ? ? = 8 4 4 12 4B 16) ? ? ? ? ? ? = 4 2 3 1 T A ise A matrisi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) [] 2 - B) [] 10 C) ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 D) ? ? ? ? ? ? 6 4 E) ? ? ? ? ? ? 2 2 17) A şa ğıdaki matrislerden hangisinin ters matrisi yoktur? A) ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 B) ? ? ? ? ? ? 9 7 5 3 C) ? ? ? ? ? ? 1 0 0 1 D) ? ? ? ? ? ? 4 2 2 1 E) ? ? ? ? ? ? 0 4 1 0 18) A şa ğıdaki matrislerden hangisinin tersi vardır? A) ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 B) ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 C) ? ? ? ? ? ? 2 0 5 0 D) ? ? ? ? ? ? 2 1 11 10 E) ? ? ? ? ? ? 12 3 4 1 200 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 19) ? ? ? ? ? ? 4 5 3 4 matrisinin tersi a şa ğıdakilerden hangisidir? A) ? ? ? ? ? ? - - 4 5 3 4 B) ? ? ? ? ? ? - - 4 5 3 4 C) ? ? ? ? ? ? - - 4 5 3 4 D) ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 E) ? ? ? ? ? ? 0 1 2 5 20) 6 4 5 3 0 2 2 1 1 - determinantının de ğeri kaçtır? A) –1 B) 0 C)1 D) 10 E) 21 21) 4 1 1 0 3 1 2 0 1 = - k oldu ğuna göre, k kaçtır? A) –4 B) –3 C) –2 D) –1 E) 0 22) 70 10 xy xy -+= ? ? +-= ? denklem sisteminin ( ) y x, çözüm kümesi nedir? A) () {} 4 , 3 B) () {} 4 , 3 - C) () {} 4 , 3 - - D) ( ) { } 1 , 2 E) ( ) { } 2 , 1 23) 32 231 xy xy += ? ? += - ? lineer denklem sisteminin çözümü olan ( ) y x, a şa ğıdakilerden hangisidir? A) ( ) 1, 1 - B) () 3 , 1 - C) () 0 , 2 D) ( ) 4 , 0 E) ( ) 2 , 1 24) 2 1 1 xyz xyz xyz ++= ? ? ++= ? ? +-= ? lineer denklem sisteminin çözümü ( ) ,, xyz a şa ğıdakilerden hangisidir? A) () 0 , 0 , 1 B) () 1 , 0 , 0 C) ? ? ? ? ? ? 1 , 2 1 , 2 1 D) ? ? ? ? ? ? 2 1 , 2 1 , 1 E) ? ? ? ? ? ? 2 1 , 0 , 1 201 MATEMAT İK Ta şkın, Çetin, Abdullayeva 25) 5 20 220 xyz xyz xyz ++= ? ? ++= ? ? +-= ? lineer denklem sisteminin çözümü ( ) ,, xyz a şa ğıdakilerden hangisidir? A) () 2 , 1 , 2 B)() 3 , 1 , 1 C)() 3 , 4 , 2 - D) ( ) 1 , 3 , 1 E) ( ) 1 , 2 , 4 - 26) 225 1 23 4 xyz xyz xyz ++= ? ? -+= ? ? +-= ? lineer denklem sisteminin çözümü olan ( ) ,, xyz a şa ğıdakilerden hangisidir? A) () 2 , 1 , 1 - - B)() 3 , 2 , 1 C)() 3 , 0 , 2 D) ( ) 1 , 5 , 2 E) ( ) 1 , 1 , 1 27) 231 2 4 9 xy zx yz += ? ? -= ? ? += ? denklem sisteminin çözümü olan ( ) ,, xyz a şa ğıdakilerden hangisidir? A) () 7 , 2 , 3 B)() 7 , 2 , 3 - - C)() 5 , 2 , 4 D) ( ) 5 , 2 , 4 - - E) ( ) 5 , 3 , 1 - 28) 3 1 1 xyz xyz xyz ++= ? ? +-= ? ? -+= ? lineer denklem sisteminin çözümü ( ) z y x , , a şa ğıdakilerden hangisidir? A) () 0 , 2 , 1 B) () 2 , 1 , 1 C) () 1 , 1 , 1 D) ( ) 0 , 1 , 2 E) ( ) 3 , 2 , 1