Matematik Matematik e-Kitap (1) ÖNSÖZ Karma öğretimin temel amacı; hem uzaktan hem de sınıfta olmak üzere derslerin iki kısımda yürütülmesini sağlamaktır. Haftada 4 (dört) saat olan Matematik I dersinin 2 saatlik kısmı sınıfta örgün olarak işlenecek kalan 2 saatlik kısmı ise internet aracılığı ile hazırlanan portal üzerinden ders notları ve video anlatımı şeklide öğrenciye ulaştırılacaktır. Bu ders notlarında video ve derste anlatılan konular ile ilgili temel tanımlar ve bir miktar örnek yer alacaktır. Ders notu hazırlanırken ayrıntılardan kaçılarak gerekli olan temel bilgiler verilmesi hedeflenmiştir. Dersten daha iyi verim alabilmek için ders notlarının, videonun ve sınıftaki anlatımın düzenli bir şekilde takip edilmesi gerekmektedir. Gözden kaçan hataların hoş görülmesi ve tarafımıza bildirilmesi bizleri mutlu edecektir. Öğrencilerimize yararlı olması dileğiyle… Prof. Dr. Refik KESKDN Prof. Dr. Halim ÖZDEMDR Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR Yrd. Doç. Dr. Murat SARDUVAN MAT111 MATEMATDK I 1. HAFTA Amaçlar Kümelerde, özellikle sayı kümelerinde, işlemler yapabileceksiniz, Mutlak değer içeren denklem ve eşitsizlikleri çözebileceksiniz. Verilen bir çember denklemi ile çemberin merkezini ve yarıçapını bulabileceksiniz. BÖLÜM 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1) KÜMELER Kavram olarak, küme; “iyi tanımlanmış tekrarsız (birbirlerinden farklı) nesneler topluluğu” dur. Örneğin “kütüphanede bulunan kitaplar” iyi tanımlanmadığı (kümeyi oluşturan nesnelerin herkes tarafından aynı şekilde anlaşılmayacağı) için küme olmayıp eğer “Sakarya Üniversitesi kütüphanesindeki kitaplar” denirse bu bir küme olur. Kümelerin üç şekilde gösterimi vardır: 1) Açık Olarak Gösterme (Liste yöntemi): Küme elemanları { } biçimindeki parantezler içine aralarına virgül konarak sıra gözetmeksizin yazılır. Örneğin; “SAKARYA” 2 kelimesindeki harflerden oluşan küme { } S,A,K,R,Y veya { } A,S,R,Y,K biçimlerinden biri ile gösterilebilir. 2) Kapalı Olarak Gösterme (Ortak özelik yöntemi): { ve } parantezleri arasına kümenin bir temsilci (örneğin x ) elamanı yazılarak üst üste iki nokta veya dik çizgi konulduktan sonra kümenin elemanları arasında ortak bir özelik (varsa) bu x elemanını karakterize eden o ortak özelik belirtilir. Örneğin; karesi 9 a eşit olan doğal sayıların oluşturduğu küme (doğal sayılar kümesi aşağıda tanımlanmaktadır): { } 2 | 9, A x x x = = ?N şeklinde ortak özelik yöntemi ile yazılır. Bu yazılışın okunuşu şöyledir: “A kümesi öyle x lerden oluşur ki x lerin kareleri 9 ve x ler doğal sayıdır.” 3) Venn Şeması Dle Gösterme: Kümenin elemanları, kendisini kesmeyen, kapalı bir eğri içinde tek tek yazılır. Örneğin elemanları 1, 2 ve 5 olan küme şöyle gösterilebilir: Tanım. Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve boş küme { } veya Ø simgelerinden biri ile gösterilir. Tanım. Bir A kümesinin her elemanı aynı zamanda bir B kümesinin de elemanı ise; A kümesine B kümesinin alt kümesi veya B kümesi A kümesini kapsar denir ve bu durum A B ? biçiminde ifade edilir. Tanım. A ve B kümelerinin bütün elemanlarından meydana gelen kümeye; A ile B kümelerinin birleşim kümesi denir ve bu A B ? ile ifade edilir. Ortak özelik yöntemi ile { } | A B x x Aveya x B = ? ? ? şeklinde yazılabilir. Tanım. A ve B kümelerinin yalnızca ortak elemanlarından meydana gelen kümeye A ile B kümelerinin kesişim kümesi denir ve bu A B ? ile ifade edilir. Ortak özelik yöntemi ile { } | A B x x Avex B = ? ? ? şeklinde yazılabilir. 1.2) SAYI KÜMELERD { } 1, 2,3,... = N , { } ..., 2, 1,0,1,2,... = - - Z , | , 0, , a x x b a b b ? ? = = ? ? ? ? ? ? Q Z kümeleri sırası ile doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar kümelerini tanımlarlar. ? ? N Z Q olduğuna dikkat ediniz. Bu arada 2, , e ? gibi sayılar iki tam sayının birbirine oranı şeklinde ifade edilemezler. Dolayısı ile rasyonel sayı tanımına uymazlar. Böyle sayılara irrasyonel sayılar denir ve onların kümesi Q simgesi ile gösterilir. .1 .2 .5 3 Örnek. 2 sayısının rasyonel olmadığını gösteriniz. Çözüm. 2 nin rasyonel olduğunu kabul edelim. Buna göre 2 a b = şeklinde yazılabilecektir. Bu durumda 2 2 2 a b = ve 2 2 2 a b = olacaktır. Böylece 2 a çift bir sayı olacağından a da çifttir ve 2 a n = biçiminde yazılabilir. 2 a n = ifadesi 2 2 2 a b = de yerine yazılırsa 2 2 2 b n = olacağından b nin de çift sayı olacağı görülür. Buradan hem a hem de b çift olduğundan 2 a b = bir rasyonel sayı olamaz. Tanım. Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi ile oluşan kümeye reel sayılar kümesi denir ve R ile gösterilir. Reel Sayılarda Aralıklar: , a b?R ve a b ? olmak üzere; Kapalı aralık: [ ] { } , , , a b x a x b a b = ? ? ?R Açık aralık: ( ) { } , , , a b x a x b a b = < < ?R Yarı Açık Aralıklar: ( ] { } , , , a b x a x b a b = < ? ?R , [ ) { } , , , a b x a x b a b = ? < ?R Sonsuz Aralıklar: ( ) { } , , a x a x a ? = < yazılır. 2) a b = , a b < ve a b > ifadelerinden yalnız biri doğrudur. 3) a b a c b c < ? + < + dir. 4) 0 c> olsun. a b ac bc < ? < dir. 5) 0 c< olsun. a b ac bc < ? > dir. 6) a bvec d a c b d < < ? + < + dir. 7) a b < ve b c < ise 0 b a - > ve c a c b - > - dir. 8) 2 0 a ? dır. Ayrıca, 2 0 0 a a = ? = dır. 4 9) 0 a b < < ise 1 1 b a < dır. Sonuçlar: 1) 1 n> ve n?N olmak üzere, 0 a b < < ise n n a b < dir. 2) 0 1 x < < ise n x x < ve 1 n x < dir. 3) 1 x> ise n x x > ve 1 n x > dir. Örnek. 3 4 12 x x + < + eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm. 3 4 12 4 12 3 3 9 3 x x x x x x + < + ? - < - ? < ? < bulunur. Ancak şu anda çözüm tamamlanmamıştır. Çünkü, yukarıda bulunan cevap küme olarak verilmemiştir. Oysa soruda çözüm kümesi istenmektedir. O halde aranan ( ) . . , 3 ÇK = -? - kümesidir. Örnek. 3 2 7 5 x < + ? eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm. 3 2 7 5 5 1 x x - < + ? ?- < ?- bulunur. Dolayısıyla, ( ] . . 5, 1 Ç K = - - dir. 1.3) MUTLAK DEĞER x?R olmak üzere; , 0 , 0 , 0 , 0 x x x x x x x x x ? > ? ? = = ? ? - < - ? ? ? olarak tanımlanan x değerine x in mutlak değeri denir. Açık olarak x değeri x noktasının orijine olan uzaklığıdır. 5 Özellikler: , , , , a b r x ? ? ?R için , 0 r ? > olmak üzere; 1) 0 x ? dır ve 0 0 x x = ? = dır. 2) x x = - , 3) ab a b = , 4) a a b b = , 5) 2 x x = , 6) x x x - ? ? , 7) 2 2 a b a b < ? < , 8) a b a b ± ? + , 9) x r r x r ? ?- ? ? 10) x r r x r < ?- < < , 11) veya x r x r x r ? ? ? ?- , 12) veya x r x r x r > ? > <- , 13) x a a x a ? ? ? - < ? - < < + , 14) x a a x a ? ? ? - ? ? - ? ? + 15) 2 2 a b a b < ? < 16) 2 2 a b a b ? ? ? Örnek. 2 1 3 x- = denkleminin çözümünü bulunuz. Çözüm. 2 3 x- ün mutlak değeri 1 olduğuna göre ya 2 3 1 x- = ya da 2 3 1 x- =- dir. Buna göre 1 x= veya 2 x= dir. Örnek: 1 2 x x - = denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 3 2 1 0 x x x x x x x x x x x - = ? - = ? - = ? - + = ? + - = olur. Böylece 1 1 x =- , 2 1 3 x = elde edilir. O halde 1 . . 1, 3 Ç K ? ? = - ? ? ? ? bulunur. Örnek. 3 2 x - < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm. 6 3 2 2 3 2 "1 " ve " 5" " 1 veya 1" ve " 5 5" x x x x x x x - < ?- < - < ? < < ? > <- - < < bulunur. Tırnak içinde ifade edilen bu iki eşitsizliğin oluşturduğu kümeler kesiştirilirse (aralarında ve bağlacı olduğu için bu iki kümenin kesişimi alınmalıdır) ( ) ( ) . . 5, 1 1,5 Ç K = - - ? olarak elde edilir. Örnek. 1 1 x x + - - ifadesini mutlak değerden kurtarınız. Çözüm. Bu iki mutlak değerli ifade 1 x=- ve 1 x= değerleri için 0 olur. Dolayısı ile bu ifadeler mutlak değerden çıkarılırken 1 - ve 1 civarında değişkenlik gösterirler. O halde üç durumda inceleme yapalım. i) 1 x?- ise: Birinci ifade “negatif veya sıfır” ve ikinci ifade “pozitif veya sıfır” olacağı için; ( ) ( ) 1 1 1 1 2 x x x x + - - =- + - - =- elde edilir. ii) 1 1 x - < < ise: Her iki ifade de “pozitif” olacağı için; ( ) 1 1 1 1 2 x x x x x + - - = + - - = elde edilir. iii) 1 x? ise: Birinci ifade “pozitif” ve ikinci ifade “negatif veya sıfır” olacağı için; ( ) ( ) 1 1 1 1 2 x x x x + - - = + - - - = elde edilir. Dolayısı ile 2, 1ise 1 1 2 , 1 1ise 2, 1ise x x x x x x - ? ? ? + - - = - < < ? ? ? ? biçiminde olur. 1.4) DOĞRUNUN VE ÇEMBERDN ANALDTDK DNCELENMESD Kartezyen Koordinat Sistemi: R reel sayılar kümesi olmak üzere; ( ) { } 2 , | ve x y x y = × = ? ? R R R R R olarak tanımlanır. ( ) , x y ve ( ) 2 , u v ?R için ( ) ( ) , , ve x y u v x u y v = ? = = dir. ( , ) P a b = ve ( , ) Q c d = olmak üzere xy- düzleminde bu noktalar arasındaki uzaklık 7 ( ) ( ) 2 2 PQ c a d b = - + - ile verilir. Bu durum yukarıdaki şekil incelendiğinde Pisagor teoreminden görülmektedir. Şöyle ki, PS c a = - ve SQ d b = - olduğundan Pisagor teoreminden 2 2 2 PS SQ PQ + = dir. Böylece, ( ) ( ) 2 2 2 2 PQ c a d b c a d b = - + - = - + - elde edilir. Burada Reel eksende x ve y noktaları arasındaki uzaklığın x y - olduğuna dikkat edelim. Örnek. 1 (1, 2) P = ve 2 (3,5) P = noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayınız. Çözüm. Tanıma göre ( ) ( ) 2 2 1 2 1 3 2 5 4 9 13 PP = - + - = + = br. dir. Dki Noktadan Geçen Doğrunun Denklemi: ( ) 0 0 , x y ve ( ) 1 1 , x y noktasından geçen doğrunun eğimi 1 0 1 0 y y m x x - = - ve bu iki noktadan geçen doğrunun denklemi ( ) 0 0 y y m x x - = - 8 ile verilir. Dki doğrunun eğimleri aynıysa bu iki d oğruya paralel doğrular, iki doğrunun eğimleri çarpımı 1 - ise dik doğrular denir. y mx n = + ve y ax b = + biçimindeki iki doğrunun ortak kesim noktası varsa (doğrular paralel değilse ortak kesim noktası vardır) bu ortak nokta y mx n y ax b = + ? ? = + ? denklemlerinin çözülmesi ile elde edilir. Örnek. Eğimi 2 m= olan ve (1, 2) P= noktasından geçen doğrunun denklemini elde ediniz. Çözüm. Tanıma göre ( ) 2 2 1 y x - = - veya 2 y x = . ( , ) P a b = ve ( , ) Q c d = noktalarını birleştiren doru parçasının orta noktasının koordinatları ( ) 0 0 , x y ise 0 2 a c x + = , 0 2 b d y + = ile verilir. Örnek. 2 R de ( ) 1, 2 ve ( ) 1,4 - noktalarına aynı uzaklıkta olan noktaların sağladığı denklemi bulunuz. Çözüm. ( ) , x y böyle bir noktaysa ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 4 x y x y - + - = + + - olmalıdır. Dolayısı ile ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 4 x y x y - + - = + + - olmalıdır. Buradan 3 y x = + doğrusu bulunur. Bu doğru ( ) 1, 2 ve ( ) 1,4 - noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasından geçen doğrudur. Çember Denklemi xy- düzleminde verilen bir ( ) , a b noktasına eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik yerine bir çember denir. Bu çemberin denklemi açık olarak ( ) ( ) 2 2 2 x a y b r - + - = 9 ile verilir. Burada r ye çemberin yarıçapı, ( ) , a b ye çemberin merkezi denir. Örnek. ( ) 1,1 - merkezli 1 yarıçaplı çemberin denklemini yazınız. Çözüm. Tanıma göre çemberin denklemi ( ) ( ) 2 2 1 1 1 x y + + - = dir. Örnek. Çapının uç noktaları ( ) 3, 2 P - ve ( ) 1,6 Q - olan çemberin denklemini bulunuz. Çözüm. P ve Q nun orta noktası çemberin merkezi olup bu nokta ( ) , a b ise 1 3 1 2 a - + = = ve 6 2 2 2 b - = = dir. Çemberin yarıçapı ise ( ) ( ) 2 2 6 2 1 3 20 2 2 PQ + + - - = = dir. Dolayısı ile çember denklemi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 20 20 x y - + - = = olarak elde edilir. Örnek. 2 2 2 4 4 0 x y x y + - + + = denklemi bir çember denklemidir. Bu çemberin merkezini ve yarıçapını bulunuz. Çözüm. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 0 1 2 1 4 4 0 1 2 1 x y x y x y x y + - + + = ? - + + - - + = ? - + + = olur. Dolayısıyla, çemberin merkezi ( ) 1, 2 - ve yarıçapı 1 dir. Problemler. 1) 1 2 x x + - = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 2) 5 7 x - = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 3) Çift bir sayının karesinin çift, tek bir sayının karesinin tek olduğunu gösteriniz. 4) . 0 ab= ise a veya b den en az birinin sıfır olduğunu gösteriniz. 10 5) 1 1 2 x x + > - eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 6) Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a) 2 2 7 x - ? b) 1 1 x - < c) 1 1 x - > d) 2 1 1 x x - < + e) 1 4 x- ? f) 3 1 2 6 x x + < - g) 3 2 9 0 x x + - - > h) 3 2 8 x x - < - 7) ( ) 1,1 , ( ) 2, 2 ve ( ) 3,1 noktalarından geçen çemberin denklemini yazınız. 8) Köşeleri ( ) 1,2 - , ( ) 3, 2 ve ( ) 4,6 - noktaları olan üçgenin alanını bulunuz. 9) x- eksenine, y- eksenine ve ( ) 3,6 noktasına aynı uzaklıkta olan noktaları bulunuz. 10) ( ) 4,0 noktasına ve y- eksenine aynı uzaklıkta olan noktaların sağladığı denklemi bulunuz. 11) 3 5 0 x y + + = ve 2 7 x y + - doğrularının ortak kesim noktasını bulunuz. 12) ( ) 2, 2 - , ( ) 5,1 , ( ) 3,6 ve ( ) 0,3 noktalarını köşeleri kabul eden dörtgenin paralelkenar olduğunu gösteriniz. 13) Aşağıdaki denklemlerle verilen çemberlerin merkezlerini ve yarıçaplarını bulunuz. a) 2 2 0 x y x + + = b) 2 2 0 x y y + + = c) 2 2 6 4 12 0 x y x y + + - + = 14) 2 5 20 0 x y + - = denklemiyle verilen doğrunun x- ekseni ve y- ekseni ile oluşturduğu üçgenin alanını bulunuz. 15) x- eksenine ve y- eksenine aynı uzaklıkta bulunan noktaları bulunuz. 16) 2 2 1 x y + = çemberinde bulunan ve ( ) 1,3 ile ( ) 2,2 - noktalarına aynı uzaklıkta olan noktaları bulunuz. 17) x- eksenini a da y- eksenini b de kesen ( 0 a? , 0 b? ) doğrunun denkleminin 1 x y a b + = olduğunu gösteriniz.