Matematik Matematik e-Kitap (2) MAT111 MATEMATDK I 2. HAFTA Amaçlar Verilen bir fonksiyonun tanım kümesini bulabileceksiniz, Trigonometrik fonksiyon içeren bazı denklemleri çözebileceksiniz, Üstel fonksiyon içeren bazı denklemleri çözebileceksiniz, Logaritmik fonksiyon içeren bazı denklemleri çözebileceksiniz. 1.5) FONKSDYONLAR Tanım. A ? Ø ve B ? Ø olmak üzere ( ) { } , | ve y A B x y x A B × = ? ? kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir. { } 0,1,2,3 A = ve { } 6,7,8 B = ise ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0,6 , 0,7 , 0,8 , 1,6 , 1,7 , 1,8 , 2,6 , 2,7 , 2,8 , 3,6 , 3,7 , 3,8 A B × = dir. Tanım. A B × nin her alt kümesine A dan B ye bir bağıntı denir. Yani R A B ? × ise R ye A dan B ye bir bağıntı denir. Örneğin, ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0,6 , 1,6 , 1,8 , 2,6 R A B = ? × olup R , A dan B ye bir bağıntıdır. Tanım. f A B ? × bir bağıntı olsun. f bağıntısı aşağıdaki şartları sağlıyorsa f ye A dan B ye bir fonksiyon denir i) Her x A ? için bir y B ? ; ( ) , x y f ? olacak biçimde vardır. ii) ( ) , x y f ? ve ( ) , x z f ? ise x z = dir. f A B ? × ve f A dan B ye bir fonksiyon olsun. ( ) , x y f ? ise bu durum ( ) y f x = biçiminde gösterilir ve y ye f in x noktasındaki değeri denir. Ayrıca, bu durum : f A B › ile gösterilir ve A ya f in tanım kümesi B ye f in değer kümesi denir. Örnekler 1) Yukarıdaki A ve B kümeleri için ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 0,6 , 1,6 , 2,7 , 3,8 f = için 1 f A B ? × olup 1 f A dan B ye bir fonksiyondur. Ancak, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 2 0,6 , 0,7 , 1,6 , 2,7 , 3,8 f = için 2 f A B ? × 12 koşulu sağlanmasına rağmen 2 f bir fonksiyon değildir. Çünkü, ( ) ( ) 2 0,6 , 0,7 f ? olduğu halde 6 7 ? dir. Bundan başka, ( ) ( ) ( ) { } 3 0,6 , 1,6 , 3,8 f = için 3 f A B ? × koşulu sağlanmasına rağmen 3 f bir fonksiyon değildir. Çünkü, 2 A ? için ( ) 3 2,y f ? olacak şekilde bir y yoktur. 2) { } 0 * = - R R olmak üzere, f * ? × R R ve ( ) { } , | 1 f x y yx = = bir fonksiyondur. ( ) , x y f ? ise 1 yx = olduğundan 1 y x = dir. Yani, ( ) 1 y f x x = = dir. 3) ( ) { } , | 3 f x y x y = + = için f ? × R R olup f bir fonksiyondur ve ( ) , x y f ? ise ( ) 3 y f x x = = - dir. Tanım. : f A B › bir fonksiyon ve U A ? olsun. ( ) ( ) { } | f U f x x U = ? kümesine U nun f altındaki resmi (görüntüsü) denir. Tanım. 1 2 x x ? iken ( ) ( ) 1 2 f x f x ? oluyorsa ya da ( ) ( ) 1 2 f x f x = den 1 2 x x = elde edilebiliyorsa f ye 1-1 (bire-bir) fonksiyon denir. Tanım. ( ) f A B = ise, yani y B ? ? için bir x A ? ( ) f x y = olacak biçimde mevcut ise f ye örten fonksiyon denir. Örnek. { } 0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10 A = , { } , , , , , B x y z t u v = kümeleri için : f A B › fonksiyonu ( ) 0 f x = , ( ) 1 f x = , ( ) 2 f y = , ( ) 3 f z = , ( ) 4 f u = , ( ) 5 f x = , ( ) 6 f v = , ( ) 7 f t = , ( ) 8 f u = , ( ) 9 f u = , ( ) 10 f v = olarak tanımlanıyor. { } 2,3,5,7,8 U = ise ( ) ? f U = Çözüm. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } { } 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , , , , f U f f f f f y z x t u = = olur. Burada f in örten fakat 1-1 olmadığına dikkate ediniz. Örnek. : f › R R , ( ) 6 f x x = - ise f in 1-1 olduğunu gösteriniz. 13 Çözüm. ( ) ( ) 1 2 f x f x = ise 1 2 6 6 x x - = - olmalı. Buradan 1 2 x x = elde edilir. Dolayısı ile ( ) ( ) 1 2 f x f x = şartına bağlı olarak 1 2 x x = elde edilmiş olur ki bu ise f 1-1 demektir. Bileşke ve Ters Fonksiyon: Tanım. : g A B › ve : f B C › fonksiyonları verilsin. 1) : fog A C › , ( )( ) ( ) ( ) fog x f g x = olarak tanımlanan fonksiyona f ile g nin bileşkesi denir. 2) : f A B › fonksiyonu 1-1 olsun, ( ) ( ) ( ) 1 1 : f f A A f y x y f x - - › = ? = biçiminde tanımlanan fonksiyona f in ters fonksiyonu denir. Açık olarak 1 1 f of I fof - - = = dir. Burada I fonksiyonu ( ) I x x = şeklinde tanımlanan özdeşlik fonksiyonu (birim fonksiyon) dur. Örnek. : f › R R ( ) 2 f x x = ve : g + › R R ( ) g x x = ise fog ve gof fonksiyonlarını bulunuz. Çözüm. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 fog x f g x f x x x = = = = , ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 gof x g f x g x x x = = = = elde edilir. Örnek. ( ) ( ) 3 1 f x x = + ve ( ) 1 g x x = - ise ( )( ) gog x , ( )( ) fog x ve ( )( ) gof x i bulunuz. Çözüm. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 gog x g g x g x x x = = - = - - = , ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 2 fog x f g x f x x x = = - = + - = - , ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 gof x g f x g x x = = + = - + 14 bulunur. Örnek. ( ) 1 , 0 2 , 0 x x f x x x - ? ? = ? - < ? olarak verildiğine göre ( )( ) ? fof x = Çözüm. 1. Durum. 1 x > olsun. 1 0 x - < olup ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 fof x f f x f x x x = = - = - - = + olur. 2. Durum. 1 x ? ise 1 0 x - ? olup 0 1 x ? ? kısıtlamasıyla ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 fof x f f x f x x x = = - = - - = bulunur. 3. Durum. 0 x < ise 0 x - > ve dolayısıyla 2 2 x - > olup ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 fof x f f x f x x x = = - = - - = - + olur. Böylece, ( )( ) 1 , 1 , 0 1 1 , 0 x x fof x x x x x + > ? ? = ? ? ? ? - + < ? elde edilir. Tanım Kümesi Verilmeyen Bir Fonksiyonun En Geniş Tanım Kümesini Bulma Bazen bir f fonksiyonunun tanım kümesi verilmez. Mesela, x ?R olmak üzere ( ) f x x = olarak bir f fonksiyonu tanımlamaya kalkarsak f in tanım kümesi ne olmalıdır? Açık olarak x negatif ise x değerinin mevcut olmadığını biliyoruz (negatif sayıların reel karekökü yoktur). Dolayısıyla, 0 x ? olmalıdır. f in tanım kümesini f T ile gösterirsek { } [ ) | 0 0, f T x x = ? ? = +? R olmalıdır. Bununla birlikte bu küme ( ) f x x = fonksiyonu için alınabilecek en geniş tanım kümesidir. Bu kümenin alt kümesi olan her küme yine ( ) f x x = fonksiyonu için tanım kümesi olarak verilebilir. Bundan sonra kısalık olsun diye bir f fonksiyonunun “tanım kümesini” bulunuz dendiğinde “en geniş tanım kümesini bulunuz” anlaşılacaktır. Örnek. Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz. a) ( ) 2 1 f x x = - b) ( ) 2 1 x f x x = + c) ( ) 2 f x x x = - d) 3 3 1 x x - 15 Çözüm. a) Karekök barındıran bir fonksiyonun tanımlı olabilmesi için karekök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Dolayısı ile 2 1 0 x - ? olmalı. Buradan 2 1 x ? yani 1 x ? elde edilir. Böylece, { } [ ] | 1 1 1,1 f T x x = - ? ? = - elde edilir. b) 2 0 1 x x ? + , yani { } [ ) | 0 0, f T x x = ? = +? bulunur. c) 2 0 x x - ? olmalıdır. 0 x = ise zaten bu koşul sağlanır. 0 x ? olsun. Bu durumda, 2 2 0 x x x x - ? ? ? elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafı x ile sadeleştirilirse 1 x ? bulunur. Dolayısı ile { } { } ( ] { } [ ) | 1 0 , 1 0 1, f T x x = ? ? = -? - ? ? +? bulunur. d) Paydadaki ifadenin sıfır olmaması gerektiği için 3 1 0 x - ? , dolayısı ile 1 x ? olmalıdır. Ayrıca, a ? ?R için 3 a tanımlı olduğundan { } ( ) ( ) { } | 1 ,1 1, 1 f T x x = ? ? = -? ? ? = - R R elde edilir. 1.5.1) Trigonometrik Fonksiyonlar ( ) 0,0 merkezli 1 yarıçaplı çembere birim çember denir. Birim çember üzerindeki bir noktanın birinci koordinatı (apsisi) o noktayı orijin ile birleştiren doğru parçasının pozitif x ekseni ile yaptığı açının kosinüsü diye tanımlanır ve cos? ile gösterilir. Benzer şekilde ikinci koordinat (ordinat) aynı açının sinüsü diye tanımlanır ve sin? ile gösterilir. Birim çemberden görüleceği üzere bu fonksiyonlar [ ] sin,cos : 1,1 › - R şeklinde tanımlıdırlar. Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarının tanımları için elementer bir matematik kitabına bakabilirsiniz. Biz burada adı geçen fonksiyonları sinüs ve kosinüs fonksiyonları ile ilişkilendirip ilerleyeceğiz: sin tan cos x x x = , cos cot sin x x x = , 1 sec cos x x = , 1 cos sin ecx x = . ( ) , P x y x y ?16 Dar Açıların Trigonometrik Oranları Yukarıdaki birim çemberde P noktasından x ekseni üzerine bir dikme indirdiğimizi (buradaki kesişim noktası S olsun) ve sonra kesişim noktasını da orijin ile birleştirdiğimizi kabul edelim. Aşağıdaki dik üçgen ile karşılaşırız. Burada hipotenüs uzunluğu 1 olduğundan Komşu dik kenar cos Hipotenüs x ? = = Karşı dik kenar sin Hipotenüs y ? = = olarak yazılabilir. Buradan, Karşı dik kenar tan Komşu dik kenar ? = , Komşu dik kenar cot Karşı dik kenar ? = , Hipotenüs sec Komşu dik kenar ? = , Hipotenüs cos Karşı dik kenar ec? = yazılabilir. Birim küre trigonometri öğretiminin en kullanışlı aracıdır. Çok kullanılan bazı açılar ( 0 , 6 ? , 4 ? , 3 ? , 2 ? , ? , 2? ) birim kürede işaretleyerek onların apsis ( cos değeri) ve ordinat ( sin değeri) değerlerini yazalım: cos 0 cos 2 1 ? = = , 3 cos 6 2 ? = , 2 cos 4 2 ? = , 1 cos 3 2 ? = , cos 0 2 ? = , cos 1 ? = - , 3 cos 0 2 ? = ; sin 0 sin 2 0 ? = = , 1 sin 6 2 ? = , 2 sin 4 2 ? = , 3 sin 3 2 ? = , sin 1 2 ? = , sin 0 ? = , 3 sin 1 2 ? = - . Birim çember üzerindeki açılara karşılık gelen trigonometrik değerler 2? periyodu ile tekrarlanır. Yani, örneğin 6 ? açısına karşılık gelen bir trigonometrik fonksiyon değeri ile k ?Z olmak üzere 2 6 k ? ? + açılarına karşılık gelen trigonometrik fonksiyon değeri aynıdır. Burada biraz önce “neden Kartezyen düzlemin I. bölgesindeki özel değerleri sunduk?” sorusu akla gelebilir. Cevabı basittir. Çünkü eğer siz birinci bölgedeki açılara karşılık gelen ? ( ) 0,0 O ( ) , P x y ( ) ,0 S x Hipotenüs Karşı Dik Kenar Komşu Dik Kenar 17 trigonometrik fonksiyon değerlerini biliyorsanız diğer bölgelerdeki değerleri de biraz geometri ve esas ölçü kavramı bilgisi ile söyleyebilirsiniz. Bir açının ölçüsü, i) radyan iken [ ) 0, 2? aralığındaki, ii) derece iken [ ) 0,360 aralığındaki, iii) grad iken [ ) 0,400 aralığındaki değerine o açının esas ölçüsü denir. Biz radyan ile ilgileneceğimizden radyan cinsinden verilen bir açının esas ölçüsü nasıl bulunur örnekler ile anlatalım: Örneğin, 53 5 ? ve 49 9 ? - açılarının esas ölçülerini bulalım. Bunun için 53 5 ? ve 49 9 ? - açılarından 2? nin katlarını atmak gerekir. O halde 53 2 5 ? ? yapılırsa, yani 53 sayısı 10 ile bölünürse bölüm 5 kalan 3 olur. O halde 53 3 5 2 5 5 ? ? ? = + · yazılabilir. Yani 53 5 ? in esas ölçüsü 3 5 ? tir. Benzer şekilde 49 2 9 ? ? - yapılırsa ( ) 49 13 2 2 9 9 ? ? ? - - = + - yazılabilir. Ancak esas ölçü negatif olmamalıdır. Dolayısı ile esas ölçü [ ) 0,2 ? ? ? ile gösterilirse 13 5 2 9 9 ? ? ? ? - = + = elde edilir. Örnek. Aşağıdakileri hesaplayınız. a) 2 sin 3 ? , 2 sin 3 ? - , 2 cos 3 ? , 2 cos 3 ? - b) 7 tan 4 ? , tan 4 ? - c) 25 sec 6 ? Çözüm. a) 2 3 3 ? ? ? = - olduğu için; 2 3 ? açısının karşılığı olan Q noktası, birinci bölgedeki 3 ? ün karşılığı olan P noktasının y eksenine göre ikinci bölgedeki simetriğidir. Haliyle ordinatı P ile aynı, apsisi y x 1 3 , 2 2 P ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 , 2 2 Q ? ? - ? ? ? ? ? ? 1 3 , 2 2 R ? ? - - ? ? ? ? ? ? 18 ise “ -” farkı hariç aynıdır. Yani, 2 3 sin 3 2 ? = , 2 1 cos 3 2 ? - = olur. 2 3 ? - ise yer olarak 3 ? ? + ile aynı noktayı (R noktası) işaret ettiği için (zaten 2 3 ? - ün esas ölçüsü 2 4 2 3 3 ? ? ? - + = tür) o da x eksenine göre Q nun simetriğidir. Dolayısı ile apsisi Q ile aynı ordinatı “ -” farkı hariç aynıdır. Böylece, 2 3 sin 3 2 ? - - = , 2 1 cos 3 2 ? - - = elde edilir. b) 7 2 4 4 ? ? ? = - olduğu için bu açıya karşılık gelen nokta dördüncü bölgede olup birinci bölgede 4 ? açısına karşılık gelen noktanın x eksenine göre simetriğidir. Dolayısı ile 7 2 cos 4 2 ? = , 7 2 sin 4 2 ? - = olacaktır. O halde 7 tan 1 4 ? = - olur. tan 4 ? - de bununla çakışır yani o da 1 - olur. c) ( ) 25 2 2 6 6 ? ? ? = + olarak yazılabileceğinden 25 6 ? nın esas ölçüsü 6 ? dır. Dolayısı ile 25 6 ? nın trigonometrik fonksiyon değerleri ile 6 ? nın trigonometrik fonksiyon değerleri aynıdır. O halde 25 1 1 1 2 3 sec 25 6 3 3 cos cos 6 6 2 ? ? ? = = = = elde edilir. 1.5.2) Üstel Fonksiyonlar 0 b > , 1 b ? kabulleri ile başlarsak üstel bir fonksiyonu ( ) x f x b = biçiminde tanımlayacağız. Burada 1 b = ve 0 b = değerlerinden kaçınma sebebimiz ( ) sabit f x = elde edilmesindendir. Bu zaten basit durumdur. Ayrıca, b nin negatif değerlerinden de kaçınıyoruz. Örneğin, ( ) ( ) 4 x g x = - alınırsa ( ) 2 16 g = iken 1 4 2 2 g i ? ? = - = ? ? ? ? olur. Yani, b nin negatif değerleri için bazı durumlarda reel sayılar kümesinden dışarı taşarız. Dolayısı ile 0 b > için problem kalmayacaktır ve biz de öyle kabul edeceğiz. 19 Örnek. ( ) 2 x f x = ve ( ) 1 2 x g x ? ? = ? ? ? ? fonksiyonlarının iskelet grafiklerini (x e değer verip karşılığında y ler bularak basit yöntemle) çiziniz. Çözüm. Yukarıdaki tabloda yapıldığı gibi x e artan değerler verildiğinde ( ) f x değerlerinin artan, ( ) g x değerlerinin azalan olduğu görülür. Daha sonra verilen değerler daha da sık hale getirilir ve karşılık gelen ikililer koordinat düzleminde işaretlenirse sağ üstte olduğu gibi ( ) f x (turuncu eğri) ve ( ) g x (mavi eğri) fonksiyonlarının grafikleri elde edilir. ( ) x f x b = in özellikleri: 1) ( ) 0 1 f = dir. 2) ( ) 0 f x ? dır yani, üstel bir fonksiyon asla 0 olamaz (grafiği x eksenine değmez). 3) ( ) 0 f x > dır yani, üstel bir fonksiyon daima pozitiftir (grafiği x ekseninin üstündedir). 4) Önceki iki özellikten üstel bir fonksiyonun görüntü kümesinin ( ) 0,? olacağı söylenebilir. 5) Üstel bir fonksiyonun tanım kümesi ( ) , -? ? dir. 6) Eğer 0 1 b < < ise bu durumda • x › ? iken ( ) 0 f x › , • x › -? iken ( ) f x › ? . 7) Eğer 1 b < ise bu durumda • x › ? iken ( ) f x › ? , • x › -? iken ( ) 0 f x › . x ( ) f x ( ) g x 2 - 1 4 4 1 - 1 2 2 0 1 1 1 2 1 2 2 4 1 4 ( ) f x ( ) g x x y 20 Doğal Üstel Fonksiyon: ( ) x f x e = fonksiyonuna doğal üstel fonksiyon denir. Burada 2,71828182845905... e = dır.. Dolayısı ile 1 e > olduğu için ( ) x f x e = fonksiyonu yukarıdaki 7) nolu özelliği sağlar. 1.5.3) Logaritmik Fonksiyonlar Önceki kısımdaki gibi yine 0 b > , 1 b ? kabulleri ile başlayalım ve log b y x = (ki bu ifade y x b = ifadesine denktir) olsun. Bu ifadeye logaritmik biçim denir. Burada b ye ise taban denir. Örnek. Aşağıdaki logaritmik ifadelerin değerlerini hesap makinası kullanmadan söyleyiniz. a) 2 log 16 y = b) 5 log 625 y = c) 1 6 log 36 y = d) 3 2 log 27 y = Çözüm. a) 2 16 y = dolayısı ile 4 y = olur. b) 5 625 y = dolayısı ile 4 y = olur. c) ( ) 1 6 36 y = dolayısı ile 2 y = - olur. d) ( ) 3 2 27 8 y = dolayısı ile 3 y = olur. Doğal logaritma fonksiyonu diye log e x e denir ve lnx diye belirtilir. Ayrıca 10 log x e bayağı (sıradan) logaritma fonksiyonu denir ve logx ile belirtilir. Bu iki logaritma fonksiyonun grafikleri yandaki şekildeki gibi olur. Görüldüğü üzere her iki grafik için de • x › ? iken ( ) f x › ? , • 0 x › iken ( ) f x › -? . dır. 21 Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri 1) Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi ( ) 0,? dur. Yani ancak pozitif sayıların logaritması alınır. 2) log 1 b b = dir. 3) log 1 0 b = dir. 4) log x b b x = dir. 5) log b x b x = dir. 6) log log log b b b xy x y = + 7) ( ) log log log b b b x y x y = - 8) ( ) log log r b b x r x = 1.5.4) Trigonometrik, Üstel ve Logaritmik Denklemler Örnek. Aşağıdaki trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) 2cos 3 x = b) ( ) 2sin 5 3 x = - Çözüm. a) 2cos 3 cos 3 2 x x = ? = bulunur. I. bölge düşünüldüğünde 6 x ? = için istenen sağlanır. Ancak birim çemberden görülür ki IV. bölgedeki 6 x ? - = için de istenen sağlanır ( cos fonksiyonunun pozitif değer aldığı I. ve IV. bölgeler düşünüldü). O halde çözüm kümesi . . | 2 2 , 6 6 Ç K x x k x k k ? ? ? ? ? ? = ? = + ? = - + ? ? ? ? ? R Z şeklindedir. b) ( ) ( ) 2sin 5 3 sin 5 3 2 x x = - ? = - bulunur. sin fonksiyonunun negatif değer aldığı III. ve IV. bölgeler düşünüldüğünde; III. bölgede 5 3 x ? ? = + ve IV. bölgedeki 5 3 x ? - = için istenen sağlanır. O halde çözüm kümesi 4 2 2 . . | , 15 5 15 5 k k Ç K x x x k ? ? ? ? ? ? = ? = + ? = - + ? ? ? ? ? R Z şeklindedir. 1 x y ln y x = log y x =22 Örnek. Aşağıdaki üstel denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) 2 10 100 x x - = b) 5 2 0 x x xe + - = Çözüm. a) Her tarafın bayağı logaritması alınırsa 2 2 2 10 10 log 10 log 10 2 1 veya 2 x x x x x x - = ? - = ? = - = elde edilir. { } . . 1, 2 Ç K = - dir. b) ( ) 5 2 5 2 1 0 0 veya 1 0 x x x e x e + + - = ? = - = elde edilir (burada soldaki x in sadeleştirilmediğine dikkat ediniz, çünkü x in sıfırdan farklı olup olmadığı bilinmiyor). Böylece, ilk denklemden 0 x = olabileceği bulunur, ikinci denklemde her tarafa ln fonksiyonu uygulanırsa 5 2 5 2 1 0 ln ln1 5 2 0 2 5 x x e e x x + + - = ? = ? + = ? = - olur. Böylece, { } . . 2 5,0 Ç K = - dır. Örnek. Aşağıdaki logaritmik denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) ( ) ( ) 2ln ln 1 2 x x - - = b) ( ) log log 3 1 x x + - = Çözüm. a) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2ln ln 1 2 ln 2 1 x x x x - - = ? = - olur. Her tarafın eksponansiyeli alınırsa (her iki ifade e sayısının üzerine yazılırsa) 2 2 2 2 2 1 1 x e e x e xe x x e = ? = - ? = - + bulunur. O halde 2 2 . . 1 e Ç K e ? ? = ? ? + ? ? dir. b) Dfade ( ) ( ) log 3 1 x x - = biçiminde yazılabilir. Burada her iki taraf 10 sayısının üzerine yazılırsa ( ) 1 2 3 10 3 10 0 2 veya 5 x x x x x x - = ? - - = ? = - = elde edilir. Ancak 2 x = - ilk denklemi sağlamaz dolayısı ile { } . . 5 Ç K = dir. 23 Problemler 1) Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz. a) ( ) 2 4 2 15 x f x x x - = - - b) ( ) 2 6 f x x x = + - c) ( ) 2 9 x f x x = - 2) Hesap makinesi olmaksızın aşağıdakileri hesaplayınız. a) 3 ln e b) log1000 c) 16 log 16 d) 23 log 1 e) 7 2 log 32 3) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) 2cos 1 x = - b) ( ) cos 3 2 x = c) 1 3 15 3 x e - = d) ( ) ( ) 2 2 7 5 4 4 x x x e - - = - e) 1 3 5 2 4 9 0 x x e e + - - = f) 3 2ln 3 4 7 x ? ? + + = - ? ? ? ?