Matematik Matematik e-Kitap (3) SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK I Hafta 3 Prof. Dr. Refik KESKİN, Prof. Dr. Halim ÖZDEMİR, Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR, Yrd. Doç. Dr. Murat SARDUVAN Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi’ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu ders içeriğinin bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan ders içeriğinin tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Her hakkı saklıdır © 2008 Sakarya Üniversitesi 2 MAT111 MATEMATDK I 3. HAFTA BÖLÜM 2. LDMDT VE SÜREKLDLDK 2.1) LDMDT Tanım. c?R ve A?R olsun. 0 ? ? > için ( ) , c c A ? ? - + ?Ø ? ise ve en az bir x c ? noktası ( ) , x c c A ? ? ? - + ? olacak biçimde mevcut ise c ye A nın bir yığılma noktası denir. Yani, “c A nın bir yığılma noktasıdır.” ? “ 0 ? ? > için 0 x c ? < - < olan bir x A ? noktası mevcuttur. Örneğin, ( ) ( ) 0,1 1,2 A= ? olmak üzere, 1 bu kümenin bir yığılma noktasıdır. Ayrıca, 0 ve 2 , A kümesinin yığılma noktalarıdır. Bu noktalar A ya ait değildirler. Bunlara ek olarak A kümesinin tüm noktaları da A nın yığılma noktalarıdır. Dolayısı ile A nın yığılma noktaları kümesi B ise [ ] 0,2 B= olur. Tanım. : f A›R ve c?R A nın bir yığılma noktası olsun. 0 ? ? > için ( ) 0 ? ? ? = > sayısı; 0 x c ? < - < olan her x A ? noktası için ( ) f x L ? - < olacak biçimde bulunabiliyorsa L ye x noktası c ye giderken f in limitidir denir ve bu ( ) lim x c f x L › = olarak gösterilir. Örnek. 1 lim 2 1 3 x x › + = olduğunu gösteriniz. Çözüm. 0 ? > sayısı verilsin. 0 1 x ? < - < iken 2 1 3 x ? + - < olacak biçimde bir 0 ? > sayısı bulmalıyız. O halde, 2 1 3 2 2 2 1 x x x + - = - = - olduğundan 2 ? ? = alınırsa; “ 0 1 2 x ? ? < - < = iken 2 1 3 2 1 2 x x ? ? + - = - < = ” bulunmuş olur. 3 Örnek. ( ) 2 0 lim 3 3 x x › + = olduğunu gösteriniz. Çözüm. Yine 0 0 x ? < - < iken 2 3 3 x ? + - < olacak biçimde bir 0 ? > sayısı bulmalıyız. Böylece, 2 2 2 3 3 x x x ? + - = = < olduğundan ? ? = alınırsa; “ 0 0 x x ? ? < - = < = iken 2 2 2 2 3 3 x x x ? ? + - = = < = ” bulunmuş olur. 2.2) SAĞDAN ve SOLDAN LDMDT Tanım. c noktası f T in bir yığılma noktası olsun. Her 0 ? > için bir 0 ? > sayısı c x c ? < < + olan her f x T ? için ( ) f x L ? - < olacak biçimde bulunabiliyorsa L ye x noktası c ye sağdan yaklaşırken f in limitidir denir ve bu durum ( ) lim x c f x L + › = ile gösterilir. Tanım. c noktası f T in bir yığılma noktası olsun. Her 0 ? > için bir 0 ? > sayısı c x c ? - < < olan her f x T ? için ( ) f x L ? - < olacak biçimde bulunabiliyorsa L ye x noktası c ye soldan yaklaşırken f in limitidir denir ve bu durum ( ) lim x c f x L - › = ile gösterilir. Teorem. ( ) ( ) ( ) lim lim lim x c x c x c f x L f x f x L + - › › › = ? = = dir. Dolayısı ile f in bir c noktasında limiti varsa bu noktadaki sağdan ve soldan limitleri var ve bu limit değerine eşittir. Teorem. ( ) 1 lim x c f x L › = ve ( ) 2 lim x c f x L › = ise 1 2 L L = dir. Dolayısı ile f in bir c noktasında limiti varsa bu limit tektir. Özellikler 1) ( ) ( ) ( ) lim lim 0 x c x c f x L f x L › › = ? - = , 4 2) ( ) ( ) ( ) lim lim 0 x c x c f x L f x L + + › › = ? - = , 3) ( ) ( ) ( ) lim lim 0 x c x c f x L f x L - - › › = ? - = , 4) 0 f ? ve ( ) lim x c f x L › = ise 0 L? dır ve ( ) ( ) lim n n x c f x L › = , 5) ( ) lim x c f x L › = ve ( ) n f x ile n L tanımlı olsun (n tek olabilir). Bu durumda ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim n n n x c x c f x L f x › › = = , 6) ( ) lim x c f x L + › = ise ( ) ( ) lim n n x c f x L + › = , 7) ( ) lim x c f x L - › = ise ( ) ( ) lim n n x c f x L - › = . Özellikler. ( ) lim x c f x › ve ( ) lim x c g x › mevcut olsun. Bu taktirde ( ) ( ) ( ) lim x c f x g x › ± , ( ) ( ) ( ) lim x c f x g x › , ( ) ( ) lim x c k f x › ve ( ) ( ) ( ) lim , 0 x c f x g x g x › ? ? ? ? ? ? ? ? ? limitleri mevcuttur ve a) ( ) ( ) ( ) lim lim x c x c f x f x › › = , b) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x c x c k f x k f x › › = , c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x c x c x c f x g x f x g x › › › ± = ± , d) ( ) lim 0 x c g x › ? ise ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x c x c x c f x f x g x g x › › › ? ? = ? ? ? ? ? ? dir. Not. Yukarıdaki özelliklerde c yerine c + ve c - yazılırsa hiçbir şey değişmez. Teorem (Sıkıştırma Kuralı). a) 0 x c h < - < olan her f x T ? için ( ) ( ) g x f x ? ve ( ) lim 0 x c f x › = ise ( ) lim 0 x c g x › = dir. b) ( ) 1 lim x c f x L › = , ( ) 2 lim x c g x L › = ve 0 x c h < - < olan her x için ( ) ( ) f x g x ? ise 1 2 L L ? dir. 5 c) 0 x c h < - < olan her x için ( ) ( ) ( ) f x h x g x ? ? ve ( ) ( ) lim lim x c x c f x g x L › › = = ise ( ) lim x c h x L › = dir. Not. Bu teoremde c yerine c + ve c - yazılırsa hiçbir şey değişmez. Bu durumda c + için 0 x c h < - < yerine c x c h < < + ve c - için 0 x c h < - < yerine c h x c - < < yazmamız yeterlidir. Özel Örnekler 1) ( ) , n f x x n = ?N ise ( ) lim lim n n x c x c f x x c › › = = dir. 2) 1 lim n n n x c x c nc x c - › - = - dir. 3) 1 1 lim n n x c x c › = dir. 4) lim m n m n x c x c › = dir (Burada m n x ve m n c nin tanımlı olması gerekir). Çözüm. 1) ( )( ) ( ) tane tane tane lim lim lim lim lim n n x c x c x c x c x c n n n x x x x x x x cc c c › › › › › ? ? = · · · = = = ? ? ? ? … … … dir. 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 lim lim lim lim n n k k n n n n n k k n k k k x c x c x c x c k k n n n k k n n k k x c x c x c x c x c x c x c c c c nc - - - - - - - - - = › › › › = = - - - - - - = = - · - = = · = · - - = · = = ? ? ? ? ? Not. 3) ve 4) ün çözümleri (ispatları denebilir) biraz zor olduğundan verilmeyecektir. Bu verilen dört örnek, özel örneklerdir. Özel örnek diye bahsettiğimiz örnekler bundan sonraki sorularda karşımıza geldiğinde direkt olarak kullanılacak olup tekrar çözümleri yapılmayacaktır. Örnekler. Aşağıdaki tüm sorularda ilk (solda) verilen ifadeyi soru kabul edip hemen akabinde çözümleri verilecektir. 6 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 lim lim lim 1 1 1 1 2 2 1. 1 1 lim 1 lim 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x › › › › › + - - + - - = = + + - + + - = = = + + + - 2) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 lim lim lim 2 3 1 1 x x x x x x x x x x › › › + - - - = = - =- + + . 3) 0 0 0 0 0 0 lim 2 2 2 2 2 0 lim lim lim lim 0 7 0 7 7 7 7 lim 7 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + › › › › › › = = = = = = + + + + + + . 4) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 1 0 lim lim lim 0 1 1 1 lim 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + › › › › › - - - - - = = = = = - + + + - . 5) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 lim 1 lim lim lim 1 lim lim 1 1 1 1. x x x x x x x x x x x x x x x x x - - - - - - › › › › › › ? ? ? ? ? ? + ? ? + = = + = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? =- · =- 6) 2 2 0 0 1 lim 1 lim 1 1. x x x x x x x + + › › ? ? ? ? + = + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7) ( ) 2 2 2 2 lim lim lim 2 x a x a x a x a x a x a a x a x a › › › - - = = + = - - . 8) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 lim lim lim lim 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x › › › › - - - - - = = = = =- + + + + . Tanım. ( ) y f x x = = fonksiyonuna tam değer fonksiyonu denir. Burada, x ile x den küçük veya x e eşit olan en büyük tam sayıyı göstereceğiz. x in Bazı Özellikleri i) 1 x x x ? ? + , ii) x x ? = + olan bir ? vardır ve 0 1 ? ? < dir, iii) 1 m x m ? < + ise x m = dir, iv) a?Z bir tamsayı ise x a a x + = + dir. 7 Teorem. m?Z olmak üzere, lim x m x m + › = , lim 1 x m x m - › = - ve 0 x ?Z ise 0 0 lim x x x x › = dır. Örnek. ( ) ( ) ( ) 2 1 2 f x x x x x = + + - olsun. ( ) ( ) lim lim x m x m f x f x + - › › = olduğunu gösteriniz. Burada m?Z dir. Çözüm. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 lim lim lim 1 2 lim lim 1 2 lim lim lim 1 2 x m x m x m x m x m x m x m x m f x x x x x x x x x m m m m m + + + + + + + + › › › › › › › › = + + · - = + + · - = + + - = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 lim lim lim 1 2 lim lim 1 2 lim lim lim 1 1 2 1 1 1 2 1 x m x m x m x m x m x m x m x m f x x x x x x x x x m m m m m m m - - - - - - - - › › › › › › › › = + + · - = + + · - = - + + - - - = - + - = olduğundan ( ) ( ) lim lim x m x m f x f x + - › › = olur. Sonuç olarak ( ) 2 lim x m f x m › = dir. Örnek. ( ) ( ) ( ) , 0 , 0 x x x f x x x x x ? - ? ? = ? + < ? ? olarak tanımlansın. ( ) 0 lim ? x f x + › = ( ) 0 lim ? x f x - › = Çözüm. ( ) ( ) 0 0 0 0 lim lim lim lim 0 0 0 x x x x f x x x x x + + + + › › › › = - = - = - = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim lim lim lim lim 0 0 1 0 x x x x x f x x x x x x x - - - - - › › › › › = + = + = - = . Özellikler 1) ( ) ( ) 0 lim lim x c h f x f c h › › = + , 2) ( ) ( ) 0 lim lim x c h f x f c h + + › › = + ve ( ) ( ) 0 lim lim x c h f x f c h - - › › = + . 8 Özellik. 0, 0 1 1 , 1 0 x x x x x < < ? ? = - ? - < < ? ? olması kullanılmıştır. Örnekler 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 1 4 1 3 4 3 2 2 1 lim lim lim lim 2 3 4 4 2 1 2 1 3 x h h h h h x x h h h x x h h h h h › › › › + - + + - + - - - = = = = + - + + + + + - . 2) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 0 0 0 0 0 0 4 16 16 4 16 8 lim lim lim lim 16 8 8 4 16 8 8 8 lim lim lim 0 lim 0. 8 8 8 x h h h h h h h h x h h h x h h h h h h h h h h h h h h h + + + + + + + + › › › › › › › › + - - + - + = = = - + + + - ? ? ? ?? ? ? ? + + + = · = = · = ? ? ? ?? ? ? ? + + + ? ? ? ?? ? ? ? Değişkenin Sınırsız Artması veya Azalması Durumunda Limit Tanım. [ ] , f a T ? ? olsun. Her 0 ? > için bir 0 M > sayısı her x M > için ( ) f x L ? - < olacak biçimde bulunabiliyorsa x noktası +? a giderken f in limiti L dir denir ve bu durum ( ) lim x f x L ›+? = ile gösterilir. Tanım. ( ) ( ) lim x f x L ›+? - = ise x noktası -? a giderken f in limiti L dir denir ve bu durum ( ) lim x f x L ›-? = ile gösterilir. Alıştırma. Yukarıda ikinci olarak verilen tanımı ilk verilen tanım gibi açıkça yazınız. Örnek. 2 2 1 lim 1 x x x ›+? + = olduğunu yukarıdaki tanımdan hareketle görünüz. Çözüm. 0 ? > verilsin. 1 M ? = alınırsa 1 x ? > ise 1 x ? > olup ( ) 2 2 2 1 1 1 1 x f x x x ? + - = - = < bulunur. Özel Örnekler 9 1) 1 lim 0 x x ›+? = ve 1 lim 0 x x ›-? = dır. 2) m pozitif ve a herhangi sabit olmak üzere, lim 0 m x a x ›+? = ve lim 0 m x a x ›-? = dır. 3) 1 a > olmak üzere, lim x x a ›+? =+? ve lim 0 x x a ›-? = dır. 4) 0 1 a < < olmak üzere, lim 0 x x a ›+? = ve lim x x a ›-? =+? dır. Not. 3) ve 4) numaralı özel örnekler için sonuçlar ilk haftadaki üstel fonksiyonlar konusundan görülmektedir. Teorem. ( ) lim x c f x › ve ( ) lim x c g x › limitleri mevcut ve sonlu olsunlar. a) ( ) ( ) lim lim x c x c f x f x › › = , b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x c x c x c f x g x f x g x › › › ± = ± , c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x c x c x c f x g x f x g x › › › · = · , d) ( ) lim 0 x c g x › ? ise ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x c x c x c f x f x g x g x › › › ? ? = ? ? ? ? ? ? dır, e) ( ) lim x c f x L › = ve ( ) ( ) p q f x ve p q L tanımlı ise, ( ) ( ) lim p q p q x c f x L › = dır. Not. Yukarıdaki teorem c yerine c + , c - , -? veya +? alındığında da doğrudur. Teorem. ( ) g x ve ( ) h x polinomları, ( ) ( ) der g x n = ve ( ) ( ) der h x m = olan iki polinom olmak üzere ( ) ( ) ( ) g x f x h x = olsun. Buna göre; ( ) 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n m m m m m m m m m m m m a a a a x a x a x a x a x a x a x a f x b x b x bx b b b b b x b x b x b x - - - - - - - - ? ? + + + + ? ? + + + + ? ? = = + + + + ? ? + + + + ? ? ? ? … … … … olarak yazılabileceğinden 10 i) n m = ise ( ) lim lim n n n m x x m m a x a f x b x b ›+? ›+? = = , ii) n m > ise ( ) lim lim lim n n m n n m x x x m m a x a x f x b x b - ›+? ›+? ›+? = = =+? , iii) n m < ise ( ) lim lim lim 0 n n n m m n x x x m m a x a f x b x b x - ›+? ›+? ›+? = = = olur. Burada ii) şıkkında n m - ve iii) şıkkında m n - sayılarınıon sıfırdan büyük olduklarına dikkate ediniz. ±? Dle Dlgili Dşlemler Limit alma işlemi yapıldıktan sonra çıkan sonuçlar sonsuzluk içerebilir. Bunlarla ilgili olarak a?R olmak üzere aşağıdaki özellikler vardır: 1) ( ) a+ +? =+? 2) ( ) a- +? =-? 3) ( ) ( ) 0 ise a a · +? =+? > 4) ( ) ( ) 0 ise a a · +? =-? < 5) ( ) ( ) 0 ise a a · -? =-? > 6) ( ) ( ) 0 ise a a · -? =+? < 7) ( ) ( ) +? + +? =+? 8) ( ) ( ) -? + -? =-? 9) ( ) ( ) +? · +? =+? 10) ( ) ( ) -? · -? =+? 11) ( ) ( ) ( ) ( ) +? · -? = -? · +? =-? 12) ( ) 0 ise a a +? =+? > 13) ( ) 0 ise a a -? =-? > 14) 0 a a = = +? -? 15) 0 0 , ? ? , 0·? , ( ) ( ) +? - +? , ( ) ( ) -? - -? , 0 0 , 1 ? , 0 , ? … belirsiz hallerdir. Örnekler 1) 2 2 1 1 lim 1 lim 1 1 1 x x x x ›+? ›+? ? ? + = + = = ? ? ? ? . 2) 3 3 3 1 1 lim 4 lim 4 4 x x x x ›+? ›+? ? ? + = + = ? ? ? ? . 11 3) ( ) 1 1 1 1 lim 1 lim lim lim lim 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0. 1 1 x x x x x x x x x x x x x ›+? ›+? ›+? ›+? ›+? + - = = = · ? ? ? ? + + + + + + ? ? ? ? ? ? ? ? = · = + 4) 1 1 lim 2 lim 2 2 0 2 x x x x ›-? ›-? ? ? ? ? + = + = + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 5) 1 1 1 lim 1 1 1 1 x x x ›+? ? ? + ? ? = = ? ? ? ? - ? ? ? ? . Yöntem. ( ) 0 1 lim lim x x f f x x + ›+? › ? ? = ? ? ? ? ve ( ) 0 1 lim lim x x f f x x - ›-? › ? ? = ? ? ? ? geçişleri bazı limit alırken kolaylık sağlar. 6) ( ) 2 2 0 0 2 2 1 2 1 2 0 lim lim lim 0 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x + + ›+? › › + + + ? ? = = = = ? ? + + + ? ? . 7) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 lim 1 lim 1 lim lim 0 lim lim 0. 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + ›+? › › › › › ? ? ? ? + + - + - = + - = - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = = ? ? ? ? ? ? + + + + ? ? ? ? 8) 0 1 lim lim 0 x x x x + ›+? › = = . Tanım (Hiperbolik Fonksiyonlar). : 2 x x e e shx - - = , 2 : 2 x x e e chx - = biçiminde tanımlanan fonksiyonlar sırası ile sinüs hiperbolik ve kosinüs hiperbolik fonksiyonlar adını alır. Trigonometrik Fonksiyonların Limiti Özel Örnekler 1) ( ) 0 lim sin 0 x x › = , 2) ( ) 0 lim cos 1 x x › = , 3) 0 sin lim 1 x x x › = ; 12 Not. Birim çember üzerinde biraz trigonometri bilgisi ve sıkıştırma teoremi kullanıldığında yukarıda yazılan üç limitin karşılarında yazılan değerlere eşit olduğu kolaylıkla bulunabilir. Biz bu konuya girmeyeceğiz. Bu iki limiti kullanarak özel örneklerimize devam edeceğiz. Unutulmamalıdır ki özel örnek diye tabir ettiğimiz örnekler sonra yapacağımız örneklerde çözümsüz (veya ispatsız) olarak kullanılabilecektir. 4) 0 0 0 0 tan sin sin 1 lim lim lim lim 1 1 1 cos cos x x x x x x x x x x x x › › › › = = · = · = , 5) arcsin 0 sin 0 0 arcsin 1 1 lim lim 1 sin sin 1 lim t x x x t t t x t t x t t = › = › › = = = = , 6) arctan 0 tan 0 0 arctan 1 1 lim lim 1 tan tan 1 lim t x x x t t t x t t x t t = › = › › = = = = , 7) 1 lim 1 x x e x ›±? ? ? + = ? ? ? ? olarak kabul edilecektir. Bu özel örnekten yararlanarak aşağıdaki özel örneklere bakalım. 8) ( ) 1 1 0 1 lim 1 lim 1 x t t x x x x e t = › ›±? ? ? + = + = ? ? ? ? , 9) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 ln 1 1 lim lim ln 1 lim ln 1 ln lim 1 ln 1 x x x x x x x x x x e x x › › › › + ? ? ? ? ? ? = + = + = + = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 10) ( ) ( ) 1 0 ln 1 0 0 1 1 1 lim lim 1 ln 1 1 ln 1 lim x x t e x x t t t e t x t t t = - › = - › › ? ? - = = = = ? ? ? ? + + ? ? ? ? ? ? ? ? , 11) 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 lim lim lim lim lim lim lim 1 2 2 2 2 1 1 1 x x x x x t x t x x x x x x x x x t e shx e e e e e e x x x xe x e t - = › › › › › › › - - - - - = = = = · = · = · = , Problemler. 1) 0 1 1 lim ? x x x › - + = 2) 2 0 1 lim 1 ? x x x - › ? ? - = ? ? ? ? ? ? 3) 2 0 lim ? x x x x + › + = 4) 1 lim ? 1 x x x + › ? ? = ? ? + ? ? 5) 2 1 1 2 lim ? 1 x x x › + - = - 6) 2 5 5 30 lim ? 5 x x x › + - = - 13 7) 2 1 1 2 lim ? x x x x x › + - = - 8) 2 2 3 9 lim ? 9 x x x › ? ? - ? ?= ? ? - ? ? 9) 2 lim 3 ? x x - › - = 10) ( ) 0 lim 1 1 ? x x x + › - + - = 11) 1 1 lim ? x x x x x x ›-? ? ? + - - = ? ? ? ? ? ? 12) 2 2 2 2 1 9 lim ? 1 9 x x x x x ›+? - = -