Matematik Matematik e-Kitap (4) SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK I Hafta 4 Prof. Dr. Refik KESKİN, Prof. Dr. Halim ÖZDEMİR, Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR, Yrd. Doç. Dr. Murat SARDUVAN Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi’ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu ders içeriğinin bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan ders içeriğinin tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Her hakkı saklıdır © 2008 Sakarya Üniversitesi 2 MAT111 MATEMATDK I 4. HAFTA 2.3) LDMDTTE BELDRSDZ ŞEKDLLER 2.3.1) 0 0 Belirsizliği: Bu belirsizlik türünde sonuca gitmek için pay ve paydada polinom tipli ifade varsa çarpanlara ayırma, eşlenik ile çarpma; trigonometrik, logaritmik, vb. ifadeler varsa verilen fonksiyonun özelliğini kullanarak pay ve paydadan 0 a neden olan çarpanların sadeleştirilmesine çalışılır. Örnek. 2 3 1 1 lim 1 x x x ›- - + limitini hesaplayınız. Çözüm. ( ) 0 belirsizliği 2 0 3 1 1 1 1 lim lim 1 x x x x x ›- ›- + - = + ( ) ( ) 1 1 x x - + ( ) 2 2 3 1 x x - = - + . Örnek. 2 4 2 8 lim 2 1 3 x x x x › - - + - limitini hesaplayınız. Çözüm. ( )( ) ( )( ) ( ) 0 2 belirsizliği 2 0 4 4 4 2 8 2 1 3 4 2 8 lim lim lim 2 1 3 2 1 3 2 1 3 x x x x x x x x x x x x › › › - - + + - - - = = + - + - + + ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 2 4 x x x + + + - 18 = . Örnek. lim x a x a x x a a › - - limitini hesaplayınız. Çözüm. ( ) 0 belirsizliği 0 lim lim x a x a x a x a x x a a › › - - = - ( ) x a - ( ) 1 3a x x a a = + + . 3 Örnek. 0 sin 3 lim 2 x x x › limitini hesaplayınız. Çözüm. 0 belirsizliği 3 0 0 0 0 sin 3 sin 3 3 sin 3 3 lim lim lim 2 3 2 2 2 x t x x t x x t x x t = › › › ? ? ? ? = = = = ? ? ? ? ? ? ? ? . Örnek. 2 0 1 cos lim x x x › - limitini hesaplayınız. Çözüm. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 belirsizliği 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 0 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos lim lim lim 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos sin 1 lim lim lim 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 sin 1 lim 4 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x › › › › › › › - + - + - = = + + + - ? ? = = · ? ? ? ? + + + + ? ? = · = ? ? ? ? . Örnek. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 ln 1 3 lim arctan 2 sin 4 x x e x x x › - + limitini hesaplayınız. Çözüm. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 belirsizliği 0 0 0 0 0 1 1 3 ln 3 1 ln 1 3 3 lim lim arctan 2 sin 4 arctan 2 sin 4 2 4 4 2 1 1 3 lim lim ln 3 3 8 x x x x x x x e x x x e x x x x x x x x x x x e x x x › › › › ? ? - ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? = 0 0 3 0 0 2 4 0 0 arctan 2 sin 4 lim lim 4 2 1 1 lim lim ln 3 3 arctan sin 8 8 lim lim x x p p x r x p r s x t x s t x x x x e r p r s t s t › › = = › › = = › › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 4 2.3.2) ? ? Belirsizliği: Bu belirsizlik türünde sonuca gitmek için pay ve paydada polinom tipli ifade varsa en büyük dereceli terim parantezine alma; trigonometrik, logaritmik, vb. ifadeler varsa verilen fonksiyonun özelliğini kullanarak sonuca gidilmeye çalışılır. Örnek. 2 2 3 7 lim 5 1 x x x x ›? + - + limitini hesaplayınız. Çözüm. belirsizliği 2 2 2 2 3 7 3 7 3 7 2 2 lim 2 2 3 7 2 lim lim lim 1 1 1 5 1 5 5 5 lim 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ? ? ›+? ›+? ›+? ›+? ›+? + - + - + - + - = = = = + ? ? ? ? ? ? + + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . Örnek. 2 1 lim 1 x x x x x ›+? + + + + limitini hesaplayınız. Çözüm. belirsizliği 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 0 0 1 1 lim 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ? ? ›+? ›+? ›+? ›+? ›+? ? ? ? ? + + + + ? ? ? ? + + ? ? ? ? = = ? ? + + + + + + ? ? ? ? ? ? + + ? ? ? ? = = = ? ? + + ? ? ? ? . Örnek. 2 2 2 2 3 2 5 1 lim 3 5 x x x x x ›-? + + - + + + limitini hesaplayınız. Çözüm. 5 belirsizliği 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 5 3 5 3 2 5 1 lim lim lim 3 5 3 5 3 5 1 1 1 1 2 1 lim 3 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ? ? ›-? ›-? ›-? ›-? ? ? ? ? + + - - + + - ? ? ? ? + + - ? ? ? ? = = ? ? ? ? + + + + + + - + + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + - ? ? ? = 2 2 3 5 2 3 5 lim 1 1 x x x ›-? ? + = ? ? + + + ? ? ? ? . Örnek. 2 tan3 lim tan 5 x x x ? › limitini hesaplayınız. Çözüm. ( ) 0 belirsizliği belirsizliği 0 2 2 2 0 belirsizliği 0 2 tan 3 sin 3 cos5 sin 3 cos3 cos 2 sin 3 sin 2 lim lim lim tan 5 cos3 sin 5 sin 5 cos3 cos 2 cos sin 2 sin cos 2 sin 3 lim sin 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? › › › › - ? ? = = ? ? ? ? - = ( ) 0 belirsizliği 0 2 sin 3 2sin cos cos 2 cos sin 2 sin cos 2 cos sin 3 lim sin 5 x x x x x x x x x x x x x ? › ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? = 2sin cos x x - ( ) ( ) sin cos 2 sin 3 2sin cos x x x x x - ( ) cos 2 cos x x 2sin cos x x - ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 sin cos 2 2sin sin cos 2 sin 3 2sin sin 3 lim sin 5 cos 2 2sin sin x x x x x x x x x x x x x ? › › ›- ›- ›- ›- › › ›- › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 . 3 = 2.3.3) 0·? Belirsizliği: Bu belirsizlik önce 0 0 veya ? ? belirsizliklerinden birine dönüştürülür sonra çözüme gidilir. Örnek. 0 1 lim x x x x + › ? ? - ? ? ? ? ? ? limitini hesaplayınız. Çözüm. 6 ( ) ( ) 0 belirsizliği 2 0 belirsizliği 0 2 0 0 0 1 1 lim lim lim 0 x x x x x x x x x x x + + + ·? › › › ? ? ? ? - - ? ? = = - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . Örnek. ( ) 1 lim 1 tan 2 x x x ? › ? ? - ? ? ? ? limitini hesaplayınız. Çözüm. ( ) 0 0 belirsizliği belirsizliği 0 belirsizliği 0 0 1 1 1 0 0 0 belirsizliği 0 0 1 lim 1 tan lim lim lim 1 1 1 2 tan tan cot 2 2 2 2 lim tan x x u x u u u x x u u x x u u u u ? ? ? ? ? ? ·? › › = - › › › - ? ? - = = = ? ? ? ? ? ? ? ? + - ? ? ? ? ? ? ? ? = - 0 belirsizliği 0 2 0 2 2 . tan lim 2 u t t t t ? ? ? = › = - =- ? ? ? ? ? ? 2.3.4) ? -? Belirsizliği: Bu belirsizlik türünde sonuca gitmek için pay ve paydada polinom tipli ifade varsa eşlenik ile çarpma; trigonometrik, logaritmik, vb. ifadeler varsa verilen fonksiyonun özelliğini kullanmak suretiyle belirsizlik önce 0 0 veya ? ? belirsizliklerinden birine dönüştürülür sonra çözüme gidilir. Örnek. ( ) 2 2 lim 3 4 7 6 x x x x x ›+? + + - - + limitini hesaplayınız. Çözüm. ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 belirsizliği 2 2 belirsizliği belirs 2 2 2 2 lim 3 4 7 6 3 4 7 6 3 4 7 6 lim 3 4 7 6 3 4 7 6 lim 3 4 7 6 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ›+? ?-? ›+? ? ? ? ? ›+? + + - - + + + - - + + + + - + = + + + - + + + - + - = = ? ? + + + - + ? ? ? ? izliği lim x x ›+? 2 10 x x ? ? - ? ? ? ? 2 2 3 4 7 6 1 1 10 5. 2 x x x x ? ? + + + - + ? ? ? ? = = 7 Örnek. ( ) 2 lim 2 5 x x x x ›-? - + + limitini hesaplayınız. Çözüm. ( ) ( )( ) 2 2 belirsizliği 2 2 belirsizliği belirsizliği 2 2 2 2 5 2 5 lim 2 5 lim 2 5 2 5 lim lim 2 5 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?-? ›-? ›-? ? ? ? ? ›-? ›-? - + + - + - - + + = - + - - - + - = = - + - 5 2 x x ? ? - ? ? ? ? - 2 2 1. 2 · = = Örnek. ( ) ( ) ( ) lim log 2 5 log 2 x x x ›+? + - + limitini hesaplayınız. Çözüm. ( ) ( ) ( ) belirsizliği 2 5 lim log 2 5 log 2 lim log lim log 2 x x x x x x x x ?-? ›+? ›+? ›+? ? + ? ? ? + - + = = ? ? ? ? + ? ? ? ? 5 2 x x ? ? + ? ? ? ? 2 1 5 lim 2 log log 2 2 lim 1 x x x x x ›+? ›+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = = ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? 2.3.5) 1 ? Belirsizliği: Bu belirsizlik türünde sonuca gitmek için aşağıdaki teoremden yararlanılır. Teorem. x , sonsuza yaklaşırken; ( ) g x in limiti 0 , ( ) h x in limiti sonsuz ve ( ) ( ) g x h x limiti t ise ( ) ( ) lim 1 h x t x g x e ›? + = ? ? ? ? dir. Not: Daha önceden özel örnek olarak bildiğimiz 1 lim 1 x x e x ›±? ? ? + = ? ? ? ? ifadesi bu teoremin bir sonucu olarak görülür. Yine buradan daha önce özel örnek olarak gördüğümüz ( ) 1 0 lim 1 x x x e › + = sonucu da görülür. 8 Örnek. 3 2 3 5 lim 1 7 n n n n + ›±? ? ? + ? ? + ? ? limitini hesaplayınız. Çözüm. 3 2 3 5 lim 1 7 n n n n + ›±? ? ? + ? ? + ? ? limiti 1 ? belirsizliği verir. O halde belirsizliği 2 2 3 5 lim lim 7 n n n n n ? ? ›±? ›±? = + 2 5 n 2 0 7 n n = ? ? + ? ? ? ? ve ( ) lim 3 n n ›±? + = ±? iken ( ) 2 3 2 3 3 5 5 15 3 7 7 n n n n n n ? ? + + = ? ? + + ? ? olup böylece 3 2 5 3 5 lim 1 7 n n n e n + ›±? ? ? + = ? ? + ? ? dir. Örnek. 4 3 lim 5 x x x x + ›+? - ? ? ? ? + ? ? limitini hesaplayınız. Çözüm. 4 4 3 8 lim lim 1 5 5 x x x x x x x + + ›+? ›+? - - ? ? ? ? = + ? ? ? ? + + ? ? ? ? olup burada 1 ? belirsizliğinin varlığı görülür. 8 lim 0 5 x x ›+? - = + , ( ) lim 4 x x ›+? + =+? ve ( ) belirsizliği 8 8 32 lim 4 lim 8 5 5 x x x x x x ? ? ›+? ›+? ? - ? - - ? ? + = = - ? ? ? ? + + ? ? ? ? olduğu için 4 8 3 lim 5 x x x e x + - ›+? - ? ? = ? ? + ? ? dir. 2.4) FONKSDYONLARDA SÜREKLDLDK Tanım. 0 f x T ? ve 0 x noktası f T in bir yığılma noktası olsun. ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x › = ise f ye 0 x noktasında süreklidir denir. Eğer, ( ) 0 lim x x f x › limiti mevcut değil veya limit mevcut ancak ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x › ? ise f ye 0 x noktasında süreksizdir denir. Örnek. ( ) 2 1 , 1 1 2, 1 x x f x x x ? - ? ? = - ? ? = ? fonksiyonunun 1 x = de sürekli olduğunu gösteriniz. Çözüm. ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 lim lim lim 1 2 1 1 x x x x f x x f x › › › - = = + = = - olduğundan f fonksiyonu 1 x = de süreklidir. 9 Örnek. ( ) 2 4 , 2 2 0, 2 x x f x x x ? - ? - ? = + ? ? =- ? fonksiyonunun 2 x =- de sürekli olmadığını gösteriniz. Çözüm. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 lim lim lim 2 4 2 2 x x x x f x x f x ›- ›- ›- - = = - = ? - + olduğundan f fonksiyonu 2 x =- de sürekli değildir. Tanım. ( ) 1, 0 , 0 0, 0 1, 0 0, 0 x x x x f x x x x > ? ? ? ? ? = = = ? ? ? ? - < = ? ? biçiminde tanımlanan fonksiyona işaret fonksiyonu denir ve ( ) sgn f x x = biçiminde gösterilir. Tanım. f I T ? olsun. Her x I ? için f fonksiyonu x noktasında sürekli ise f ye I da süreklidir denir. Eğer f fonksiyonu f T de sürekliyse f ye sürekli bir fonksiyon denir. Örneğin, { } { } | 0 0 I x x = ? ? = - R R olsun. ( ) sgn f x x = fonksiyonu I kümesinde süreklidir. Örnek. ( ) 2 , 0 , 0 x x f x x x ? ? = ? < ? fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz. Çözüm. Bu fonksiyonun tanım kümesi R dir. O halde sürekli olduğunu göstermek için 0 x ? ?R için sürekli olduğu gösterilmelidir. i) ( ) 0 ,0 x ? -? için ( ) ( ) 0 0 0 0 lim lim x x x x f x x x f x › › = = = olduğu için fonksiyon ( ) ,0 -? aralığında süreklidir. ii) ( ) 0 0, x ? ? için ( ) ( ) 0 0 2 2 0 0 lim lim x x x x f x x x f x › › = = = olduğu için fonksiyon ( ) 0,? aralığında süreklidir. iii) ( ) 2 0 0 lim lim 0 x x f x x + + › › = = ve ( ) 0 0 lim lim 0 x x f x x - - › › = = dolayısı ile ( ) ( ) 0 lim 0 0 x f x f › = = olduğu için fonksiyon 0 x= da süreklidir. O halde fonksiyon süreklidir. 10 Örnek. ( ) 2 , 1 3, 1 x x f x ax x ? < = ? - ? ? fonksiyonunun x=1 de sürekli olması için a ne olmalıdır? Çözüm. ( ) ( ) 1 lim 1 x f x f › = olmalı yani ( ) 1 3 f a = - olduğundan ( ) ( ) 1 1 lim lim 3 x x f x f x a + - › › = = - olmalıdır. O halde ( ) ( ) 1 1 lim lim 3 3 x x f x ax a + + › › = - = - ve ( ) 2 1 1 lim lim 1 x x f x x - - › › = = ifadelerinden 3 1 a- = yani 4 a= elde edilir. Teorem. f ve g fonksiyonları bir f g c T T ? ? noktasında sürekli olsun. Bu durumda i) ( )( ) ( ) ( ), f g f g x f x g x x T T ± = ± ? ? , ii) ( )( ) ( ) ( ), f g f g x f x g x x T T · = · ? ? , iii) ( )( ) ( ) ( ) ( ) , 0, f g f g x f x g x g x x T T = ? ? ? iv) ( )( ) ( ), kf x k f x k = · ?R olarak tanımlanan fonksiyonlar c de süreklidir. Özellik. f ve g sürekli ise f g ± , f g · , / f g ve kf fonksiyonları da süreklidir. Özellikler 1) c sabit olmak üzere, : f › R R , ( ) f x c = fonksiyonu süreklidir. 2) : f › R R , ( ) 2 0 1 2 n n f x a a x a x a x = + + +… fonksiyonu süreklidir. 3) ( ) n m f x x = süreklidir. Özel olarak ( ) f x x = süreklidir. 4) ( ) p x ve ( ) q x polinomlar olmak üzere ( ) ( ) ( ) p x f x q x = süreklidir. 5) f sürekli ise f süreklidir. 6) ( ) f x sürekliyse ( ) ( ) m n f x süreklidir. 7) ( ) f x x = fonksiyonu 0 x ?Z için 0 x da sürekli olup 1 x ? ?Z için 1 x de sürekli değildir. 11 2.5) SÜREKSDZLDK ÇEŞDTLERD Tanım. Eğer f fonksiyonunun bir a noktasında limiti var ve süreksiz (bu durumda fonksiyon ya a noktasında tanımlı değildir ya da ( ) lim x a f x › limit değeri ( ) f a değerine eşit değildir) ise bu fonksiyona x a = noktasında kaldırılabilir süreksizdir denir. x a ? olduğu durumda fonksiyon aynen tanımlı olduğu şekli ile alınır ve x a = noktasında ( ) ( ) lim x a f a f x › = olarak yeniden tanımlanırsa bu süreksizlik ortadan kaldırılmış olur. Tanım. Eğer f fonksiyonunun bir a noktasında limiti yok ve dolayısı ile süreksiz ise bu fonksiyona x a = noktasında kaldırılamaz süreksizdir denir. Kaldırılamaz süreksizliğe neden olan a noktasında limitin olmaması durumu eğer sağ ve sol limitlerin mevcut ancak birbirinden farklı olmasından kaynaklanıyorsa bu durumda özel olarak fonksiyona a noktasında sıçramalı süreksizdir de denir ve sıçrama miktarı ( ) ( ) lim lim x a x a f x f x + - › › - kadardır. Not. Bundan sonra “ f fonksiyonun bir x a = noktadaki süreklilik durumunu inceleyiniz” şeklinde soru sorulduğunda bundan anlaşılacak olan: x a = da fonksiyon sürekli ise sürekliliğin gösterilmesi; değilse neden süreksiz olduğunun açıklanması ve süreksizlik çeşidinin belirlenmesi olacaktır. Bunun için izlenecek yol şöyledir: i) Fonksiyonun x a = da tanımlı olup olmadığına bakılır, ii) Fonksiyonun x a › iken limitinin var olup olmadığına bakılır, iii) Limit varsa bunun ( ) f a ya eşit olup olmadığına bakılır. Örnek. ( ) 2 , 1 3 2 , 1 x x f x x x ? < = ? - > ? fonksiyonun 1 x = de süreklilik durumunu inceleyiniz. Çözüm. i) 1 x = de fonksiyon tanımlı değildir. Dolayısı ile sürekli değildir. Şimdi süreksizlik çeşidini araştıralım. Bunun için 1 x = de limitin varlığı araştırılmalıdır. ii) ( ) ( ) 1 1 lim lim 3 2 1 x x f x x + + › › = - = ve ( ) 2 1 1 lim lim 1 x x f x x - - › › = = olduğu için ( ) 1 lim 1 x f x › = dir. 12 iii) O halde fonksiyonun 1 x = de limiti var ancak süreksiz yani kaldırılabilir süreksizdir. Eğer fonksiyon ( ) 2 , 1 1, 1 3 2 , 1 x x f x x x x ? < ? = = ? ? - > ? biçiminde yeniden tanımlanırsa sürekli olur. Örnek. ( ) 2 3 1, 1 3, 1 1, 1 x x f x x x x ? - < ? = = ? ? + > ? fonksiyonun 1 x = de süreklilik durumunu inceleyiniz. Çözüm. i) 1 x = de fonksiyon tanımlıdır ( ) ( ) 1 3 f = . Şimdi 1 x = de limitin varlığı araştırılmalıdır. ii) ( ) ( ) 2 1 1 lim lim 1 2 x x f x x + + › › = + = ve ( ) ( ) 1 1 lim lim 3 1 2 x x f x x - - › › = - = olduğu için ( ) 1 lim 2 x f x › = dir. iii) Ancak ( ) ( ) 1 lim 1 x f x f › ? olduğundan fonksiyon 1 x = de limiti var ancak süreksiz yani kaldırılabilir süreksizdir. Eğer fonksiyon ( ) 2 3 1, 1 2, 1 1, 1 x x f x x x x ? - < ? = = ? ? + > ? biçiminde yeniden tanımlanırsa sürekli olur. Örnek. ( ) sinx f x x = fonksiyonun 0 x= da süreklilik durumunu inceleyiniz. Çözüm. i) 0 x= da fonksiyon tanımlı olmadığı için sürekli değildir. Bununla birlikte ii) 0 sin lim 1 x x x › = olduğundan 0 x= da limiti var ancak süreksiz yani kaldırılabilir süreksizdir. Eğer fonksiyon ( ) sin , 0 1, 0 x x f x x x ? ? ? = ? ? = ? biçiminde yeniden tanımlanırsa sürekli olur. Örnek. ( ) 2 , 2 5, 2 2 1, 2 x x x f x x x x ? - > ? = = ? ? + < ? fonksiyonun 2 x= de süreklilik durumunu inceleyiniz. Çözüm. 13 i) 2 x= de fonksiyon tanımlıdır ( ) ( ) 2 5 f = . Şimdi 2 x= de limitin varlığı araştırılmalıdır. ii) ( ) ( ) 2 2 2 lim lim 2 x x f x x x + + › › = - = ve ( ) ( ) 2 2 lim lim 2 1 5 x x f x x - - › › = + = olup fonksiyonun limiti olmadığından 2 x= de kaldırılamaz süreksiz olduğu hem de bu sağ ve sol limitlerin var ancak birbirinden farklı olmasından kaynaklandığından fonksiyonun sıçramalı süreksiz olduğu anlaşılır. Sıçrama miktarı ( ) ( ) 2 2 lim lim 2 5 3 x x f x f x + - › › - = - =- birimdir. Teorem. [ ] , I a b = ve f I T ? olsun. Eğer f fonksiyonu I da sürekliyse her x I ? için ( ) ( ) ( ) 0 0 f x f x f X ? ? olacak şekilde 0 0 , x X I ? noktaları vardır ve ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 0 0 , , f I f a b f x f X = = ? ? ? ? dır. Teorem. [ ] , I a b = ve f I T ? ve f fonksiyonu I da sürekli olsun. Eğer ( ) ( ) 0 f a f b < ise (yani ( ) ( ) 0 f a f b < < veya ( ) ( ) 0 f b f a < < ise) ( ) 0 f c = olacak biçimde bir [ ] , c a b ? noktası mevcuttur. Teorem (Ara Değer Teoremi). [ ] , I a b = ve f I T ? ve f fonksiyonu I da sürekli olsun. Eğer ( ) ( ) f a f b ? < < veya ( ) ( ) f b f a ? < < ise ( ) f c ? = olacak biçimde bir [ ] , c a b ? noktası mevcuttur. 2.6) ARTAN AZALAN FONKSDYONLAR Tanım. f I T ? olsun. , x y I ? ve x y < iken ( ) ( ) f x f y < oluyorsa f ye I da artan bir fonksiyon ( ) ( ) f x f y > oluyorsa f ye I da azalan bir fonksiyondur denir. Bazen artan azalan yerine sırasıyla monoton artan ve monoton azalan terimleri kullanılır. Eğer f tanım kümesinde azalan ise f ye azalan, tanım kümesinde artan ise f ye artan fonksiyon denir. Örneğin, ( ) 2 5 f x x = + artan bir fonksiyon iken ( ) 3 f x x =- + azalan bir fonksiyondur. Bununla birlikte tanım kümesinin bazı kısımlarında artan bazı kısımlarında azalan olan fonksiyonlar da vardır. Örneğin, ( ) 2 f x x = [ ) 0,+? da artan, ( ] ,0 -? da azalandır. 14 Teorem. f sürekli ve [ ] , f a b T ? olsun. Eğer f fonksiyonu [ ] , a b de artan ise [ ] ( ) ( ) ( ) , , f a b f a f b = ? ? ? ? ; azalan ise [ ] ( ) ( ) ( ) , , f a b f b f a = ? ? ? ? dır. Teorem. I bir aralık ve : f I ›R sürekli ve 1-1 olsun. Bu durumda f artan veya azalan bir fonksiyondur ve ( ) f I J = ise J de bir aralıktır. Ayrıca, 1 : f J I - › sürekli bir fonksiyondur. Örnek. ( ) 2 4 f x x x = - ise [ ] ( ) 0,1 ? f = Çözüm. ( ) ( ) 2 4 2 2 1 f x x x x x = - = - olduğuna göre 0 1 x ? ? ise ( ) 2 2 1 0 x x - ? dır. Ayrıca, ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 1 1 1 1 0 0 1 4 2 4 2 f x x x x x f ? ? ? ? = ? - = - = - - ? = ? ? ? ? ? ? ? ? yazılabilir. Dolayısıyla, [ ] ( ) ( ) 1 1 0,1 0 , 0, 4 2 f f f ? ? ? ? ? ? = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? olur. Teorem. f ve g fonksiyonları sürekli ve fog tanımlı olsun. Bu durumda fog da süreklidir. Genel Problemler 1) Aşağıdaki eşitsizlik / denklemlerin çözüm kümesini bulunuz. a) 2 2cos 3cos 2 0 x x - + = b) 3 2 9 0 x x + + + > c) 2 1 6 2 1 x x - + + = 2) Aşağıdaki denklemlerle verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz. a) 2 4 10 0 y x x + - + = b) 2 2 5 2 0 y x x - + - = c) 2 2 4 13 0 y y x + + - = 3) Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım aralıklarını bulunuz. a) ( ) ( ) 2 2 5 6 ln 5 f x x x x = - + + - b) ( ) ( ) ( ) 2 2 ln 5 4 1 sgn 3 x x f x x x - + = + + 15 c) ( ) 3 arcsin cos 3 x f x x - ? ? = + ? ? ? ? d) ( ) 2 100 15 arccos log 10 x f x x x ? ? ? ? = - - + ? ? ? ? ? ? ? ? 4) ( ) 2 lim 2 4 x x › = olduğunu tanımı kullanarak gösteriniz. 5) 2 1 1 lim 1 x x x › - - limitini inceleyiniz. 6) Aşağıdaki sorularda eşitliğin sol yanındaki limiti alınız ve sağ yanındaki ifade çıktığını görünüz. a) ( ) 2 lim 2 1 x x x x ›+? + - = b) 2 1 lim 1 1 x x x ›-? + =- + c) 0 1 1 lim x x x + › ? ? - =+? ? ? ? ? d) 0 7 lim x x x x + › + =+? e) 1 lim 2 1 2 x x x x ›+? + = + f) 2 3 5 lim 9 x x x - › + =-? - 7) Aşağıdaki limitleri hesaplayınız a) 2 2 0 sin 3 lim x x x › b) 0 sin 2 lim sin 3 x x x x x › - + c) 3 1 1 1 lim 1 1 x x x › ? ? - ? ? - - ? ? d) 2 lim 4 x x x x ›+? - ? ? ? ? - ? ? e) ( ) [ ] 1 0 1 arctan 2 lim sh5 sin 2 x x x x x x › ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? f) ( ) ( ) 3 3 0 1 cos sh lim arctan 2 ln 1 4 x x x x x › ? ? ? ?? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8) ( ) 2 2 1, 2 1, 2 4 3 1, 4 x x f x x x x x + ? ? ? = + < < ? ? - ? ? olduğuna göre ( ) 2 lim ? x f x › = ve ( ) 4 lim ? x f x › = 9) ( ) 2 2 4 , 1 1, 1 0 1 , 0 x x f x x x x x ? - ?- ? = + - < < ? ? + ? ? olduğuna göre ( ) 1 lim ? x f x ›- = ve ( ) 0 lim ? x f x › = 16 10) Aşağıdaki sorularda fonksiyonların 1 x = de sürekli oldukları bilindiğine göre a ve b ne olmalıdır? ( ) 2 2 3, 1 2 , 1 bx x f x x x a x + < ? = ? + - ? ? ( ) 2 1, 1 , 1 , 1 x x f x a b x x a x + > ? ? = + = ? ? + < ? 11) Aşağıdaki fonksiyonların süreklilik durumlarını inceleyiniz. ( ) 2 , 2 1, 2 6 , 2 x x f x x x x ? < ? = = ? ? - > ? ( ) ( ) cos , 2 2 0, 2 x x x f x x ? ? ? ? - ? ? ? ? - = ? ? = ? ?