Matematik Matematik e-Kitap (5) SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK I Hafta 5 Prof. Dr. Refik KESKİN, Prof. Dr. Halim ÖZDEMİR, Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR, Yrd. Doç. Dr. Murat SARDUVAN Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi’ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu ders içeriğinin bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan ders içeriğinin tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Her hakkı saklıdır © 2008 Sakarya Üniversitesi 2 MAT111 MATEMATDK I 5. HAFTA 3) TÜREV Tanım. : f ?›R ve 0 x ?? noktası ? nın bir yığılma noktası olsun. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim lim x x h x x h f x f x f x h f x x x h = + › › - + - = - limiti mevcut ve sonlu ise (?±? ), bu limite ( ) f x fonksiyonunun 0 x noktasındaki türevi ve f ye 0 x noktasında türevlenebilir fonksiyon denir. Aksi halde f ye 0 x noktasında türevlenemez denir. Bu limit değeri (varsa) ( ) 0 f x ' ile gösterilir. Yani ( ) 0 f x ' a f nin 0 x noktasında ki türevi denir. Tanım. : f ?›R ve ??? olsun. Her x?? için f fonksiyonu x noktasında türevlenebilir ise f ye ? da türevlenebilirdir denir. f fonksiyonu ? kümesinde türevlenebilir ise f ye türevlenebilir bir fonksiyon denir. Örnek. 1 ( ) f x x = ise ( ) 3 ? f' = Çözüm. 0 0 0 0 3 3 1 1 (3 ) (3) 3(3 ) 3 3 (3) lim lim lim lim h h h h h f h f h h h f h h h › › › › - - - + - - + + ' = = = = 3(3 ) h h + 1 9 =- veya 3 3 3 1 1 ( ) (3) 3 3 (3) lim lim lim 3 3 x x x f x f x x f x x › › › - - - ' = = = - - ( ) 3 3 x x - - 3 1 1 lim 3 9 x x › =- =- Örnek. ( ) 3 f x x = ise ( ) 0 ? f' = Çözüm. ( ) ( ) ( ) 3 0 0 0 0 lim lim 0 0 x x f x f x f x x › › - ' = = = - 3 Örnek. ( ) f x x = ve 0 0 x ? ise ( ) 0 ? f x ' = Çözüm. ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 lim lim lim lim x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x › › › › - - - + ' = = = = = = - - + - + Örnek. ( ) f x x = in 0 0 x = noktasında türevlenemediğini gösteriniz. Çözüm. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim 1 1 0 0 lim lim lim 1 1 0 x x x x x x x f x f x x x f x f x x + + + - - + › › › › › › - = = = - - = = - =- - Dolayısıyla ( ) ( ) 0 0 lim 0 x f x f x › - - limiti yoktur. Yani, f fonksiyonu 0 0 x = da türevlenemez. Örnek. 0 x> olmak üzere, ( ) f x x = verilsin. Bu durumda ise ( ) ? f x ' = Çözüm. ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 lim lim lim 2 h h h f x h f x x h x f x h h x h x x › › › + - + - ' = = = = + + olur. 3.1) SAĞDAN SOLDAN TÜREV Tanım. D?R , 0 x D ? ve : f D›R bir olsun. ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x x x + › - - limiti varsa bu limite fonksiyonun 0 x x = noktasındaki sağdan türevi; ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x x x - › - - limiti varsa bu limite de fonksiyonun 0 x x = noktasındaki soldan türevi denir ve bunlar sırasıyla ( ) 0 f x + ' ve ( ) 0 f x - ' ile gösterilir. Tanımlara dikkat edildiğinde bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin mevcut olabilmesi için gerek ve yeter şartın o noktada sağdan ve soldan türevlerinin mevcut ve eşit olmasıdır. 4 Teorem. 0 f x ?? ve 0 x noktası f fonksiyonunun bir yığılma noktası olsun. f fonksiyonu 0 x noktasında türevlenebilirse bu durumda f fonksiyonu 0 x noktasında süreklidir. Dspat. : f g ? ›R olmak üzere ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x f x x x x x g x f x x x ? - ? ? - = ? ? ' = ? olarak tanımlansın. Açık olarak g fonksiyonu 0 x noktasında süreklidir (Neden?). Ayrıca 0 x x ? ise ( )( ) ( ) ( ) 0 0 g x x x f x f x - = - yazılabilir. 0 x x = için bu eşitlik yine geçerlidir. Dolayısıyla her f x?? için ( )( ) ( ) ( ) 0 0 g x x x f x f x - = - dır. Böylece, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim lim . lim 0 x x x x x x f x f x g x x x › › › - = - = ? ? ? ? yazılabilir. Dolayısıyla ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x › = bulunur. Yani 0 f x da süreklidir. Örneğin, ( ) f x x = olsun. m?Z ise f fonksiyonu m noktasında türevlenemez. Çünkü f fonksiyonu m noktasında sürekli değildir. Not. Teoremin karşıtı doğru değildir. Yani fonksiyon 0 x x = noktasında sürekli olduğu halde türevlenebilir olmayabilir. Örnek. ( ) f x x = fonksiyonunun 0 x= noktasında süreklilik ve türevlenebilirlik durumunu inceleyiniz. Çözüm. 0 0 lim ( ) lim 0 (0) x x f x x f › › = = = olduğundan ( ) f x x = fonksiyonu 0 x= noktasında süreklidir. Ancak, 0 0 ( ) (0) lim lim 1 0 x x x f x f f x x + + + › › - ' = = = - ve 0 0 ( ) (0) lim lim 1 0 x x x f x f f x x - - - › › - ' = = =- - olduğundan (0) f' yoktur. Yani f fonksiyonunu 0 x= da sürekli olduğu halde türevlenebilir değildir. 5 Tanım. : f D›R ve f , D de türevli bir fonksiyon olsun. x D ? ? için ( ) f x ' tektir. ( ( ) x ? in 0 x x › için limiti tektir.) Bu nedenle f' : D›R ; ( ) x f x ' › şeklinde tanımlı bir fonksiyon olup, ( ) f x ' türev fonksiyonu olarak adlandırılır ve dy dx , df dx sembollerinden biri ile de gösterilir. Tanım. Eğer bir fonksiyon bir aralığın bütün noktalarında türevlenebilir ise, fonksiyon bu aralıkta türevlenebilirdir denir. Özel olarak ( ) f x fonksiyonu a x b ? ? aralığında tanımlanmış ise ( ) f x ancak ve ancak, 0 a x b < < de 0 ( ) f x ' ile birlikte ( ) f a + ' ve ( ) f b - ' mevcut ise [ ] , a b aralığında türevlenebilirdir. Özel Örnekler 1) ( ) f x c = (c?R sabit) ise 0 ( ) ? f x ' = Çözüm. x ? ?R için 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim 0 ( ) 0 x x x x f x f x c c f x f x x x x x › › - - ' ' = = = ? = - - (sabitin türevi sıfırdır). 2) ( ) f x x = (birim fonksiyon) ise 0 ( ) ? f x ' = Çözüm. 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim 1 x x x x f x f x x x f x x x x x › › - - ' = = = - - ( ) 1 f x ' ? = 3) ( ) n f x x = ise (n?R sabit) 0 ( ) ? f x ' = Çözüm. 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 tane ( ) ( ) ( )( ... ) ( ) lim lim lim ( ) lim lim lim ... lim .... . n n n n n n x x x x x x n n n n n n n x x x x x x x x n f x f x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x nx - - - - › › › - - - - - - - › › › › - - - + + + + ' = = = - - - = + + + + = + + + = 1 n- 1 ( ) . n f x nx - ' ? = Sonuç. ( ) n f x cx = (c?R sabit) ise 1 0 0 ( ) n f x cnx - ' ? ? = ? ? 6 4) ( ) f x x = ise ( ) ? f x ' = Çözüm. : (0, ) f +? ›R , 0 (0, ) x ? ? +? için 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 ( ) lim lim lim lim ( )( ) 2 x x x x x x x x x x f x f x x x f x x x x x x x x x x x x › › › › - - - ' = = = = = - - - + + 1 ( ) 2 f x x ' ? = Teorem: f ve g :D›R türevlenebilir iki fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler vardır: 1) ( ) ( ) ( ) ( ) f g x f x g x ' ' ' = ± ± 2) ( ) ( ) ( ) cf x cf x ' ' = , (c?R sabit) 3) ( . ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) f g x f x g x f x g x ' ' ' = + 4) 2 ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ( )) f f x g x f x g x x g g x ' ' - ' = , ( ( ) 0) g x ? 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n n f x n f x f x - ' ? ? ' = ? ? 6) ( ) ( ) ( ( )). ( ) ( ( ( ))) f g x f g x g x f g x ' ' ' ' = ? (Zincir kuralı olarak bilinir). ÖRNEKLER 1) 3 2 2 ( ) 4 5 3 ( ) 3 8 5 f x x x x f x x x ' = + - + ? = + - 2) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 n n n n f x a a x a x f x a a x a nx ' = + + + ? = + + + … … 3) 2 3 ( ) ( 4 5) ( ) ? f x x x f x ' = - + ? = Çözüm. 3 1 ( ) f x x = ve 2 2 ( ) 4 5 f x x x = - + olmak üzere 1 2 ( ) ( )( ) f x f f x = fnksiyonunun türevi soruluyor şeklinde düşünülebilir. O zaman, 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( ( )). ( ) 3( 4 5) (2 4) f x f f x f f x f x f f x f x x x x ' ' ' = = ? = = - + - 7 elde edilir. 4) ( ) ( ) ( ) ? f x g x f x ' = ? = Çözüm. 1 ( ) f x x = olmak üzere 1 1 ( ) ( )( ) ( ( )) ( ) f x f g x f g x g x = = = şeklinde düşünülebilir. Bileşke fonksiyonun türevinden 1 1 ( ) ( ) ( ( )). ( ) . ( ) 2 ( ) 2 ( ) g x f x f g x g x g x g x g x ' ' ' ' ' = = = 5) 3 2 ( ) 3 1 ( ) ? f x x x x f x ' = - + + ? = Çözüm. 2 3 2 2 3 2 ( ) 3 2 3 ( ) 3 1 ( ) 3 2 3 ( ) 2 ( ) 3 1 g x x x g x x x x g x x x f x g x x x x ' - + ' ' = - + + ? = - + ? = = - + + Aşağıdaki sorularda bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı) yukarıdaki gibi açıklamalı, olmaksızın yapılacaktır. 6) 3 2 2 4 ( ) ( 1) f x x x x = + - ise ( ) ? f x ' = Çözüm. 3 2 2 4 2/3 2 4 1 2 ( ) ( 1) ( ) .( 1) ( ) ( ) f x x x x f x x x x f x f x = + - ? = + - ? şeklinde düşünülürse, 3 1/3 2 4 2 3 2 2 ( ) ( 1) 4( 1) (2 1) 3 f x x x x x x x x - ' = + - + + - + bulunur. 7) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 f x x x f x x x x ' = + - ? = - - 8) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 3 2 3 3 1 1 1 1 3 5 15 2 5 5 x x x x x x x x x x f x f x x x x x ? ? ? ? ? ? - - - - + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ' = ? = - - 8 9) ( ) ( ) 4 3 3 3 2 2 1 1 1 4 . 3 f x x f x x x x x x ? ? ? ? ? ? ' = + ? = + - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 f x x f x x x x ' = + ? = - 11) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 (2 3)( 5 4) (2 5)( 3 2) 2 12 2 ( ) ( ) 5 4 ( 5 4) ( 5 4) x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x + - + + + - + + - + + ' = ? = = + + + + + + 12) 2 2 2 ( ) ( ) . 1 (1) ? f x x x x f' = + + ? = Çözüm. 2 2 2 2 2 2 ( ) 2( )(2 1) 1 ( ) (1) 14 2 2 1 x f x x x x x x x f x ' ' = + + + + + ? = + 13) 2 2 3 ( ) 2 ax f x x x + = - + ve 3 (2) 4 f' = ise ? a= Çözüm. 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) (2 1)(2 3) 2 6 4 3 ( ) ( 2) ( 2) a x x x ax ax x a f x x x x x - + - - + - - + + ' = = - + - + olur. O halde 2 4 9 3 (2) 4 4 a f - - ' = = , yani 21 4 a=- dir. Türevin Geometrik (Grafikle) Yorumu 9 ( ) y f x = fonksiyonunun grafiği yukarıdaki PQ eğrisi olsun. 0 0 ( , ( )) P x f x ve Q 0 0 ( , ) x x y y +? +? olmak üzere QPR dik üçgeninde 0 0 ( ) ( ) tan tan PQ QR f x x f x m PR x ? ? +? - = = ? = ? olup 0 x ? › için bu kiriş eğrinin P noktasındaki teğeti ile çakışır o halde, bu teğetin x ekseni ile yaptığı açı ß olmak üzere 0 0 0 ( ) ( ) lim tan T x f x x f x m x ß ? › +? - = = ? (P noktasından geçen teğetin eğimi) olup, ( ) f x fonksiyonunun 0 x noktasındaki türevi, ( ) f x fonksiyonunun grafiğinin 0 x x = apsisli noktasındaki teğetinin eğimi olur. Böylece, ( ) y f x = eğrisinin 0 x x = apsisli noktasındaki teğet doğrusunun denklemi 0 0 0 ( ) ( )( ) y f x f x x x ' - = - olur. Örnek: 2 ( ) 2 3 f x x x = + - fonksiyonunun eğrisine, 2 x=- apsisli noktasında teğet olan doğrunun denklemini bulunuz. Çözüm. ( ) 2 2 f x x ' = + ve dolayısı ile ( 2) 2 f' - =- olduğundan bu noktadaki teğetin eğimi 2 - dir. Böylece teğet doğrusu denklemi 3 2( 2) y x + =- + yani 2 7 y x =- - olarak elde edilir. Örnek. 3 y x = eğrisinin ( ) ( ) 1,1 , 1, 1 - - noktasındaki teğetlerinin paralel olduğunu gösteriniz. Çözüm. ( ) 2 3 f x x ' = ve böylece ( ) ( ) 1 3 1 f f ' ' = = - olup bu iki nokta için eğimler aynıdır. Örnek. 2 y x = eğrisine ( ) 2 , a a ?= noktasında teğet olan doğrunun 1 ,0 2 a ? ? ? ? ? ? noktasından geçtiğini gösteriniz. Çözüm. ( ) 2 f x x ' = olup teğetin eğimi 2a dır. Teğetin denklemi ( ) 2 2 y a a x a - = - olur. 0 y= ise ( ) 2 2a x a a - =- den 1 1 2 2 x a a x a - =- ? = olur. Dolayısıyla doğru 1 ,0 2 a ? ? ? ? ? ? dan geçer. Not. ( ) y f x = eğrisinin 0 0 ( , ) x y noktasındaki teğet doğrusunun denkleminin 0 0 0 ( )( ) y y f x x x ' - = - olduğunu biliyoruz. O halde bu 0 0 ( , ) x y noktasındaki normalin (yani teğet doğrusuna dik olan doğrunun) denklemi ise 0 0 0 1 ( ) ( ) y y x x f x - =- - ' olur. 10 Örnek. 3 2 ( ) 2 3 4 f x x x x = - + - fonksiyonunun 0 1 x = noktasındaki teğet ve normal doğrularının denklemlerini bulunuz. Çözüm. Öncelikle 1 x= için ( ) 1 2 y f = =- elde edilir. Dolayısıyla sorulan ( ) ( ) , 1, 2 x y = - noktasındaki teğet ve normal denklemidir. Ayrıca, 2 ( ) 3 4 3 f x x x ' = - + olduğundan (1) 3.1 4 3 2 f' = - + = eğimi elde edilir. Böylece, Teğet doğrusu: ( 2) 2( 1) 2 4 y x y x - - = - ? = - ; Normal doğrusu: 1 ( 2) ( 1) 2 3 0 2 y x y x - - =- - ? + + = olarak elde edilir. Örnek. 3 12 4 y x x = - + fonksiyonunun hangi noktasındaki teğetin eğimi 15 tir? Çözüm. 2 2 3 12 3 12 15 3 3 y x x x x '= - ? - = ? = ? = ± için 5 y=- , 3 x=- için 13 y= , yani (3, 5) - ve ( 3,13) - noktalarındaki teğetlerin eğimleri 15 tir. Örnek. 2 ( ) 2 3 x ax f x x + = - ün 2 x= noktasındaki teğetinin 2 3 4 0 y x - + = na dik olması için ? a= Çözüm. 3 2 : 2 3 4 0 2 . 1 (2) 2 3 T d d y x y x m m f' - + = ? = - ? =- ? =- 2 2 2 2 (2 )(2 3) 2( ) (2.2 )(2.2 3) 2(2 2 ) 2 10 ( ) (2) (2 3) (2.2 3) 3 9 x a x x ax a a f x f a x + - - + + - - + ' ' ? = ? = =- ? =- - - Özellik. ( ) y f x = eğrisi verilsin. c noktası için ( ) ( ) 0 lim h f c h f c h › + - = ? ± ise f nin ( ) ( ) , c f c noktasındaki teğet doğrusu y eksenine paraleldir ve bu teğet doğrusu x c = doğrusudur. Tanım. Eğer f' fonksiyonu bir f a ' ?? noktasında türevlenebiliyorsa değeri ( ) f a '' ile gösterilir. ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 lim h f x h f x f x f x h › ' + - '' '' = = olarak tanımlanır. ( ) f x '' yerine y'' veya 2 2 d y dx yazılır. Benzer biçimde ( ) ( ) ( ) 3 3 , n n n d y d y f x f x dx dx ''' = = tanımlanır. 11 Problemler 1) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , , x y x y ? ? noktası 2 y x x C =? +? + parabolü üzerinde iki nokta olsun. y eğrisinin ( ) 3 3 3 , x y ? noktasındaki teğet doğrusu 1 ? ve 2 ? yi birleştiren kirişe paralelse 1 2 3 2 x x x + = olduğunu gösteriniz. 2) 2 2 y r x = + eğrisinin herhangi bir noktasındaki normal doğrusunun orijinden geçtiğini gösteriniz. 3) 1 x? olmak üzere ( ) 2 2 1 y f x x x = = + + ise ( ) ( ) 1 9 ? f - ' = 4) ( ) f x x x = ise ( ) ? f x ' = 5) m ve a nın hangi değerleri için ( ) 2 1 mx x a f x x x a + < ? = ? ? ? fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir? 6) ( ) 2 1 3 2 1 x x f x x x ? ? = ? - > ? ise f nin 1 x= de türevlenemediğini gösteriniz. 7) f fonksiyonu a noktasında türevlenebilen bir fonksiyon ise ( ) ( ) ( ) ( ) lim x a xf a af x f a af a x a › - ' = - - olduğunu gösteriniz. 8) ( ) 2 0 0 1 sin 0 x f x x x x = ? ? = ? ? ? ? ise ( ) 0 ? f' = 9) ( ) 3 2 , 1 , 1 x x f x ax bx c x ? ? = ? + + > ? ( ) f x ' fonksiyonunun 1 de tanımlı olması ve ( ) f x ' in 1 de türevinin olması için , , a b c ne olmalıdır? 10) ( ) 0,3 ve ( ) 5, 2 - noktalarından geçen doğrunun 1 c y x = + eğrisine teğet olması için c ne olmalıdır.