Genel Matematik Matrislerde İşlemler, Ters Matris DERS 3 Matrislerde İşlemler, Ters Matris 3.1. Matrisler. Matrislerle ilgili temel tanımlarımızı anımsayalım. m tane satır ve n tane sütun olu şturacak biçimde dizilmi ş mn tane sayının olu şturdu ğu tabloya bir m × n matris denir. Bir m × n matris A genellikle a şa ğıdaki gibi gösterilir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = mn m m n n a a a a a a a a a A K K K K 2 1 2 22 21 1 12 11 veya A = [a ij ] , 1 ? i ? m ; 1 ? j ? n. A matrisini olu şturan sayılardan her birine A nın bir girdisi denir. A matrisinin mn tane girdisi, m satır ve n sütun olu şturacak biçimde düzenlenmi ştir. A matrisinin i–inci satırında ve j–inci sütununda bulunan a ij girdisine A nın i-j girdisi denir. m × n ifadesine A matrisinin büyüklü ğü, m ve n sayılarına da A matrisinin boyutları denir. Sadece bir satırdan olu şan bir matrise satır matrisi , sadece bir sütundan oluşan bir matrise sütun matrisi denir. Bir matrisin her bir satırı bir satır matrisi, her bir sütunu da bir sütun matrisi olarak düşünülebilir. 3.2. İki Matrisin E şitli ği. Büyüklükleri ve kar şılıklı girdileri e şit olan matrisler birbirine e şittir. Ba şka bir ifade ile A = [a ij ] , 1 ? i ? m ; 1 ? j ? n ve B = [b ij ] , 1 ? i ? r ; 1 ? j ? s matrisleri için A = B ? m = r , n = s ve her i = 1, ... ,m ; j = 1, .. ,n için a ij = b ij . Ders 3 …………………………………………………………………………………….. 34 İki matrisin e şit olabilmesi için bu matrislerin büyüklüklerinin aynı olması gerekir. Büyüklükleri farklı olan matrisler e şit olamaz. Büyüklükleri e şit olan iki matrisin kar şılıklı girdileri birbirine e şit ise o zaman bu iki matris e şittir. Örnek 1. ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? t z y x b a 2 3 0 1 3 1 olması için, soldaki matrisin 1-1 girdisi olan a ile sa ğdaki matrisin 1-1 girdisi olan -1 sayıları e şit olmalı, yani a = -1 olmalıdır. Benzer şekilde kar şılıklı girdiler kar şıla ştırılarak görülür ki 1 , 2 , 3 , 0 = = = = z y x b ve 3 = t olmalıdır. Örnek 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 1 y b x a ve ? ? ? ? ? ? - t z 2 3 0 1 matrisleri, büyüklükleri farklı oldu ğundan, a, b, x, y, z ve t ne olursa olsun asla e şit olamazlar. 3.3. İki Matrisin Toplamı. Büyüklükleri aynı olan iki matrisin kar şılıklı girdileri toplanarak elde edilen aynı büyüklükteki matrise bu iki matrisin toplamı denir. Örnek 1. ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? t z y x d c b a ? ? ? ? ? ? + + + + = t d z c y b x a . Büyüklükleri farklı olan iki matrisin toplamı tanımsızdır. Matris toplamının birle şme ve de ği şme özellikleri vardır: A, B ve C büyüklükleri aynı olan matrisler ise A +(B+C) = (A + B) + C ve A + B = B + A dır. Örnek 2. ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? - - + ? ? ? ? ? ? 8 0 2 1 2 2 5 2 3 3 1 1 x b z y x c b a olsun. Bu takdirde, 1 , 3 = = b a ve 4 = c tür. y x, ve z nin de ğerlerini siz bulunuz. Matrislerde İşlemler , Ters Matris ………………………………………………………. 35 3.4. Bir Matrisle bir Skalerin Çarpımı. Matrislerle birlikte sayılardan söz ederken, sayı sözcü ğü yerine skaler sözcü ğünü kullanmak adettir. Bir matris ile bir skalerin çarpımı, matrisin her girdisinin o skalerle çarpılmasıyla elde edilen matristir. Örnek 1. ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? st sz sy sx t z y x s . Örnek 2. A şa ğıdaki matris i şlemlerini izleyiniz: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 7 3 7 0 1 6 8 8 4 4 0 4 1 5 3 4 1 2 2 2 1 1 0 1 4 1 5 3 4 1 2 . 3.5 Sıfır Matrisi. Her girdisi sıfır olan matrise sıfır matrisi denir. Her büyüklükten sıfır matrisi dü şünülebilir. Örnek 1. ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 0 0 , ve ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 0 0 matrisleri sırasıyla, 2×2 , 2×3 ve 3×2 sıfır matrisleridir. Sıfır matrisi genellikle büyük O harfi ile gösterilir. Büyüklük vurgulanmak istenirse, O m ×n gösterimi kullanılır. Örnek 2. O 3×3 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , O 3×4 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . M bir matris ve O onunla aynı büyüklükte sıfır matrisi ise M + O = O + M = M dir. Her matrisin sıfır skaleri ile çarpımı, o matrisle aynı büyüklükteki sıfır matrisidir. Örnek 3. 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 3 0 1 2 2 1 1 . Ders 3 …………………………………………………………………………………….. 36 3.6. Bir Matrisin Toplamsal Tersi. Bir M matrisinin her girdisinin i şareti de ği ştirilerek elde edilen matrise o matrisin toplamsal tersi denir ve M nin toplamsal tersi -M ile gösterilir. Örnek 1. ? ? ? ? ? ? - = 4 3 2 1 M matrisinin toplamsal tersi, ? ? ? ? ? ? - - - = - 4 3 2 1 M tür. Örnek 2. ? ? ? ? ? ? - = 0 1 2 2 0 1 M matrisinin toplamsal tersi, ? ? ? ? ? ? - - - = - 0 1 2 2 0 1 M dır. Her m×n matris M için M + (-M) = O m×n = (-M) +M oldu ğu açıktır. Ayrıca, (-1)M = -M oldu ğu da a şikârdır. 3.7. İki Matrisin Farkı. A ve B aynı büyüklükte iki matris ise, A ve B nin farkı A - B = A + (-B) olarak tanımlanır. Ba şka bir deyimle, aynı büyüklükte iki matrisin farkı, o iki matrisin kar şılıklı girdilerinin farkı hesaplanarak bulunur. Örnek 1. . 6 1 0 4 1 3 5 1 2 1 3 3 ) 3 ( 1 1 0 ) 1 ( 2 5 2 3 3 1 1 1 1 3 1 0 2 ? ? ? ? ? ? - - - = ? ? ? ? ? ? - - - - - - - - - = ? ? ? ? ? ? - - - ? ? ? ? ? ? - Örnek 2. . 2 2 2 2 4 4 3 0 2 2 3 1 5 2 0 4 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - Büyüklükleri aynı olmayan matrislerin farkı tanımsızdır. Matrislerde İşlemler , Ters Matris ………………………………………………………. 37 3.8. İki Matrisin Çarpımı. Ö n c e b i r s a t ır matrisi ile bir sütun matrisinin çarpımını tanımlayaca ğız. Aynı sayıda girdiye sahip olan bir satır ile bir sütunun çarpımı şöyle tanımlanır: [ ] n a a a K 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n b b b M 2 1 n n b a b a b a + + + = L 2 2 1 1 . Sözle ifade edilirse, aynı sayıda girdiye sahip olan bir satır ile bir sütunun çarpımı, o satır ve sütunun kar şılıklı girdileri çarpılarak elde edilen çarpımların toplamı olan sayıdır. Örnek 1. [] 3 1 2 - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 2 1 3 ) 2 ( 3 1 ) 1 ( 3 2 - · + · - + · = 1 - = . Örnek 2. [] . 3 1 4 ) 2 ( ) 1 ( 1 3 ) 3 ( 2 1 2 1 3 4 1 3 2 = · + - · - + · + - · = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - İki matrisin çarpımını tanımlarken, bir satır ile bir sütunun çarpımı tanımından yararlanaca ğız. A bir m × p matris ve B bir p × n matris (A nın sütun sayısı ile B nin satır sayısı aynı) ise, A ile B nin çarpımı; i-j girdisi A nın i-inci satırı ile B nin j-inci sütununun çarpımı olan m × n matristir. Bu çarpım AB ile gösterilir. A = [a ij ] , 1 ? i ? m ; 1 ? j ? p ve B = [b ij ] , 1 ? i ? p ; 1 ? j ? n ise, AB = [c ij ] , c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + . . . + a ip b pj , 1 ? i ? m ; 1 ? j ? n . Ba şka bir anlatımla ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = mp m m ip i i p a a a a a a a a a A K K K K K 2 1 2 1 1 12 11 ve ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = pn pj p in ij i n j b b b b b b b b b B K K K K K K K K K 1 1 1 1 11 matrisleri için Ders 3 …………………………………………………………………………………….. 38 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = mp m m ip i i p a a a a a a a a a AB K K K K K 2 1 2 1 1 12 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? pn pj p in ij i n j b b b b b b b b b K K K K K K K K K 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = mn mj m in ij i n j c c c c c c c c c K K K K K K K K K 1 1 1 1 11 c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + . . . + a ip b pj , 1 ? i ? m ; 1 ? j ? n . A ve B matrislerinin çarpımı AB nin tanımlı olması için A nın sütun sayısı ile B nin satır sayısının aynı olması gerekir. Çünkü, AB çarpımının i-j girdisi, A nın i-inci satırı ile B nin j-inci sütununun çarpımı olarak tanımlanmaktadır. A nın i-inci satırında tam A nın sütun sayısı kadar, B nin j-inci sütununda da tam B nin satır sayısı kadar girdi bulunduğundan bu sayılar e şit olmöalıdır ki çarpım mümkün olsun. Örnek 3. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 0 7 1 0 6 3 1 2 3 0 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 2 3 1 4 1 2 2 1 çarpımı bize bir 3 ×2 matris verir. Buçarpımın 1-1 girdisi, soldaki matrisin birinci satırı ile sa ğdaki matrisin birinci sütununun çarpımı, yani 1.1 + (-2).2 + 0.4 + 3.3= 6 dır. Aynı çarpımın 2-1 girdisi, soldaki matrisin ikinci satırı ile sa ğdaki matrisin birinci sütununun çarpımı, yani 2.1 + (-1).2 + 3.4 + 6.3= 30 dur. Çarpımın tüm girdileri hesaplanırsa, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 0 7 1 0 6 3 1 2 3 0 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 2 3 1 4 1 2 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 6 30 12 30 6 6 elde edilir. Örnek 4. A şa ğıdaki çarpımda verilen girdilerin do ğrulu ğunu kontrol ediniz ve yerleri bo ş bırakılan girdileri bulunuz. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 2 3 1 4 1 2 2 1 ? ? ? ? ? ? - 6 5 1 3 2 3 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 21 4 ..... ..... ..... 13 ..... 9 ..... 9 ..... 1 . A B çarpımının tanımlı olması için A matrisinin sütun sayısı ile B matrisinin satır sayısını e şit olması gerekir. Matrislerde İşlemler , Ters Matris ………………………………………………………. 39 Örnek 5. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 2 3 1 4 1 2 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 0 7 1 0 6 3 1 2 3 0 2 1 çarp ımı tanımsızdır. Çünkü, soldaki matrisin 2 sütunu, sa ğdakinin 3 satırı vardır. Matris çarpımının birle şme özelliği vardır: A, B ve C a şa ğıdaki çarpım gerçekle şecek büyüklükte matrisler ise, gösterilen e şitlik geçerlidir. A (B C) = (A B) C . Matris çarpımının de ği şme özelli ği yoktur: AB ? BA olan matrisler vardır. Örnek 6. ? ? ? ? ? ? = 0 1 0 1 A ve ? ? ? ? ? ? = 0 0 1 1 B matrisleri için ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 AB ve ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 0 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 1 BA olup AB ? BA dır. Matris çarpımının toplama üzerinde da ğılma özelli ği vard ır: A, B ve C a şa ğıdaki i şlemler gerçekle şecek büyüklükte matrisler ise, gösterilen e şitlikler geçerlidir. A (B + C) = (A B) + (A C ) , (A + B) C = (A C) + (B C) . 3.9. Bir Matrisin Devri ği. Bir m ×n matris A verildi ğinde, A n ın devri ği ( ya da transpozesi) denilen ve A T ile gösterilen n ×m matris şöyle tanımlanır: her i ve j için A T nin i-j girdisi, A nın j-i girdisidir. Bu tanımdan kolayca görülebilece ği üzere, A T nin i-inci satırı A nın i-nci sütunu ve A T nin j-inci sütunu A nın j-inci satırıdır. Ders 3 …………………………………………………………………………………….. 40 Örnek 1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - = 7 2 1 5 6 4 0 3 4 3 2 1 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - = 7 6 4 2 4 3 1 0 2 5 3 1 T A Örnek 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 5 2 3 0 4 1 B ? ? ? ? ? ? ? = 5 3 4 2 0 1 T B . En genel biçimiyle, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = mn m m n n a a a a a a a a a A K K K K 2 1 2 22 21 1 12 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = mn n n m m T a a a a a a a a a A K K K K 2 1 2 22 12 1 21 11 . Devrik matrisle ilgili olarak a şa ğıdaki özellikler kolayca kanıtlanabilir. 1. (A T ) T =A 2. (sA) T = s (A T ) 3. (A+B) T = A T + B T 4. (AB) T = B T A T . 3.10. Kare Matrisler. Satır sayısı sütun sayısına e şit olan bir matrise kare matris adı verilir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = nn n n n n a a a a a a a a a A K K K K 2 1 2 22 21 1 12 11 bir n × n kare matristir. Bu matrisin a 11 , a 22 , . . . , a nn girdilerine matrisin kö şegen girdileri denir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = nn n n n n a a a a a a a a a A K K K K 2 1 2 22 21 1 12 11 köşegen Matrislerde İşlemler , Ters Matris ………………………………………………………. 41 Kö şegen girdilerinin her biri 1 , geri kalan tüm girdileri 0 olan bir matrise birim matris adı verilir. Büyüklü ğü n × n olan birim matris I n ile, büyüklü ğün ne oldu ğu biliniyorsa veya büyüklü ğe gönderme yapılması gerekmiyorsa, birim matris I ile gösterilir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 K K K K n I Birim matrisin önemli bir özelli ğini kaydedelim: Her m × n matris M için M I n = M = I m M . Kare matrislerle ilgili önemli bir özellik de şudur. Bir kare matrisin indirgenmi ş biçiminin sıfır satırı yoksa, o indirgenmi ş biçim bi birim matristir. A şa ğıda, bir kare matrisin indirgenmi ş biçimlerini buluyoruz. Örnek 1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 0 1 1 0 2 0 1 2 1 1 3 1 2 2 0 1 2 1 1 2 0 1 3 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - › 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 2 0 1 . 3.13. Bir Kare Matrisin Tersi. A bir n × n matris ve I n , n × n birim matris olmak üzere A (A -1 ) = (A -1 ) A = I n olacak biçimde bir A -1 matrisi varsa, bu matrise A matrisinin çarpımsal tersi veya kısaca tersi denir. Bir matrisin çarpımsal tersi bulunmayabilir; ancak, varsa tektir. köşegen Ders 3 …………………………………………………………………………………….. 42 Örnek 1. ? ? ? ? ? ? = 1 1 1 1 A matrisinin tersi var mıdır? Ba şka bir deyimle ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t z y x t z y x olacak biçimde bir ? ? ? ? ? ? t z y x var mıdır? A şa ğıda görülüyor ki, böye bir matris yoktur. ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 1 1 1 1 1 t z y x ? ? ? ? ? ? ? = + = + = + = + ? 1 0 0 1 t y z x t y z x Örnek 2. ? ? ? ? ? ? = 1 0 1 1 A matrisinin tersi var mıdır? Ba şka bir deyimle ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 t z y x t z y x olacak biçimde bir ? ? ? ? ? ? t z y x var mıdır? Önceki örnekteki gibi ilerleyelim ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 1 1 0 1 1 t z y x ? ? ? ? ? ? ? = = = + = + ? 1 0 0 1 t z t y z x ? ? ? ? ? ? ? = = - = = ? 1 0 1 1 t z y x ? ? ? ? ? ? - = - 1 0 1 1 1 A . Bir matrisin çarpımsal tersini bulurken yukarıda oldu ğu gibi daima bir denklem sistemi çözmemiz gerekmez. İleride bir matrisin tersini bulmak için daha elveri şli yöntemler görece ğiz. Yukarıda, A matrisinin tersini bulurken sadece A (A -1 ) = I n e şitli ğini sa ğlayan bir A -1 matrisi buldu ğumuza dikkât etmi şsinizdir. Bunun yeterli oldu ğu, yani A ( A -1 ) = I n e şitli ği sa ğlanıyorsa, (A -1 ) A = I n e şitli ğinin de sa ğlanaca ğını görmek zor de ğildir. Matrislerde İşlemler , Ters Matris ………………………………………………………. 43 3.14. Matrisler ve Do ğrusal Denklem Sstemleri. Şu ana kadar matrislerle ilgili tüm i şlemleri tanımlamı ş bulunuyoruz. Daha önce, do ğrusal denklem sistemlerinin çözümünde matrisleri kullanmı ştık(ilaveli matris). Şimdi do ğrusal denklem sistemleri ile matrisler arasında daha yakın bir ili şki oldu ğunu görece ğiz: ? ? ? ? ? ? ? = + + + = + + + = + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a . . . . . . . . . . . . 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 denklem sisteminin katsayıları bir m × n matris, de ği şkenleri bir n × 1 sütun matrisi ve sa ğ taraf sabitleri de bir m × 1 sütun matrisi olu ştururlar: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = mn m m n n a a a a a a a a a A K K K K 2 1 2 22 21 1 12 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = n x x x X M 2 1 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = m b b b B M 2 1 , . Kolayca görülebilece ği üzere, (x 1 , x 2 , . . . , x n ) sıralı n-lisinin yukarıdaki sistemin bir çözümü olması için gerek ve yeter ko şul, bu sayıların olu şturdu ğu X matrisinin B AX = matris denklemini sa ğlamasıdır. A matrisine sistemin katsayılar matrisi denir. Sistemin ilaveli matrisinin katsayılar matrisi ile sa ğ taraf sabitleri matrisinin yan yana getirilmesiyle elde edildi ğine dikkât ediniz. Denklem sayısı de ği şken sayısına e şit olan bir do ğrusal denklem sisteminin katsayılar matrisi bir kare matristir. Böyle bir sistemin bir ve yalnız bir çözümü olması için gerek ve yeter koşul, sistemin ilaveli matrisinin indirgenmi ş biçimindeki sütun sayısının sıfırdan farklı satır sayısından bir fazla olması, yani hiç sıfır satırı bulunmamasıdır ki, bu, sistemin katsayılar matrisinin indirgenmi ş biçiminin birim matris olmasına denktir. Bu durum katsayılar matrisinin tersinin var olmasına da denktir ve çözümün bulunmasında ters matristen yaralanılabilir. Denklem sayısı de ği şken sayısına e şit olan bir do ğrusal denklem sistemi dü şünelim. ? ? ? ? ? ? ? = + + + = + + + = + + + n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a . . . . . . . . . . . . 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = nn n n n n a a a a a a a a a A K K K K 2 1 2 22 21 1 12 11 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = n x x x X M 2 1 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = n b b b B M 2 1 , . Bu sisteme denk olan matris denklemi B AX = dir. E ğer A matrisinin tersi A -1 varsa, sistemin çözümü şöyle bulunur: ? = ? = - - B A AX A B AX 1 1 ) ( B A X A A 1 1 ) ( - - = B A X I n 1 - = ? B A X 1 - = ? . Ders 3 …………………………………………………………………………………….. 44 Buraya kadar yaptı ğımız gözlemleri bir teoremde özetleyelim: Teorem. A bir n × n kare matris ise, a şa ğıdakiler birbirine denktir. a) A nın tersi, A -1 , vardır. b) AX=B denkleminin bir tek çözümü vardır. c) A nın indirgenmi ş biçimi n × n birim matris, I n , dir. Denklem sayısı de ği şken sayısına e şit olan do ğrusal denklem sistemlerinin çözümünde ters matris kullanılabilece ğini gördük. Bir kare matrisin tersi nasıl bulunur? Tersinir bir matrisin tersini bulmak için yukarıdaki teoremin ikinci şıkkından hareketle elde edilen pratik bir yol vardır. A terinir bir n × n kare matris ise, AX = B denkleminin bir tek çözümü vardır. Bu çözümü Gauss-Jordan yoketme yöntemi ile bulursak, [ A | B ] ilaveli matrisinin indirgenmi ş biçimini bulmalıyız. A n ın indirgenmi ş biçimi A i l e a y n ı büyüklükteki birim matris, I , oldu ğundan, [ A | B ] nin indirgenmi ş biçimi [ I | X ] tir ve burada sa ğ taraftaki X süyunu AX = B denkleminin tek çözümüdür. [] [ ] X I B A | | L L ? ? ? ?› ? Şimdi, A nın tersi A -1 ve A -1 in j-inci sütunu X j , birim matrisin j-inci sütunu B j olsun. Bu takdirde, AX j = B j olaca ğından, [ A | B j ] ilaveli matrisinin indirgenmi ş biçimi [ I | X j ] olur. Bu gözlemdaen hareketle, A ve I yan yana yazılarak elde edilen n × 2n büyük- lü ğündeki [ A | I ] matrisinin indirgenmi ş biçiminin [ I | A -1 ] oldu ğu görülür. Dolayısıyla, A nın tersini bulmak için A ve onunla aynı büyüklükteki birim matris I yan yana yazılarak elde edilen [ A |I ] matrisin indirgenmi ş biçimi bulunur. [ A | I ] nın indirgenmi ş biçimi [ I | A -1 ] dir. [] [ ] 1 | | - ? ? ? ?› ? A I I A L L . Örnek 1. ? ? ? ? ? ? = 1 0 1 1 A matrisinin tersini yukarıda açıklanan yöntemle bulalım: [] ? ? ? ? ? ? = 1 0 0 1 1 0 1 1 | I A ? ? ? ?› ? › + - 1 1 2 R R R ? ? ? - ? ? ? 1 0 1 1 1 0 0 1 4 3 42 1 1 - A 4 3 42 1 IMatrislerde İşlemler , Ters Matris ………………………………………………………. 45 Örnek 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - = 2 5 4 1 2 2 1 3 3 A matrisinin tersini bulalım: [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 5 4 1 2 2 1 3 3 | I A ? ? ? ?› ? › + 1 1 2 R R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 1 0 0 0 1 0 0 1 1 2 5 4 1 2 2 0 1 1 ? ? ? ?› ? › + › + 3 3 1 2 2 1 4 2 R R R R R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 1 4 4 0 3 2 0 1 1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 ? ? ?› ? - 3 2 R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 0 3 2 1 4 4 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 1 1 ? ? ? ?› ? › - › + 2 2 2 1 2 1 R R R R R ? ? ? ? ? - - - ? ? ? ? ? - 0 3 2 1 4 4 1 5 5 1 0 0 2 1 0 2 0 1 ? ? ? ?› ? › + - › + 1 1 3 2 2 3 2 2 R R R R R R ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ? 0 3 2 1 2 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = - 0 3 2 1 2 0 1 1 1 1 A . Hata yapıp yapmadı ğımızı görmek için A A -1 çarpımını hesaplayabiliriz. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - = - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 2 1 2 0 1 1 1 2 5 4 1 2 2 1 3 3 1 AA . Örnek 3. ? ? ? ? ? = + - - = + - - = - + 1 2 5 4 1 2 2 1 3 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x denklem sistemini ters matris yöntemi ile çözelim. Bu denklem sisteminin katsayılar matrisi önceki örnekte tersini buldu ğumuz A matrisidir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - = 2 5 4 1 2 2 1 3 3 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 2 1 , x x x X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 1 1 , B , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = - 0 3 2 1 2 0 1 1 1 1 A . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = = ? = - 5 1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 0 1 1 1 1 B A X B AX ; Ç = { (1 , 1 , 5) } . 4 3 42 1 I 4 3 42 1 1 - ADers 3 …………………………………………………………………………………….. 46 Örnek 4. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - = 1 0 1 1 1 1 0 1 0 2 1 0 1 3 1 1 A matrisinin tersini bulalım: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 2 1 0 1 3 1 1 ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? ? - - - - - › 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 3 2 0 0 4 1 0 0 2 1 0 1 3 1 1 ? ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ? ? ? - - - - - › 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 3 2 0 0 4 1 0 0 2 1 0 1 3 1 1 ? ? ? ? ? ? - - - - ? ? ? ? ? ? ? - - › 1 0 2 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 2 0 0 0 2 1 0 1 1 0 1 ? ? ? ? ? ? - - - - ? ? ? ? ? ? ? - - › 0 1 1 1 1 0 2 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 2 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 1 1 0 1 ? ? ? ? ? ? - - - - - - ? ? ? ? ? ? ? - - › 2 1 5 3 1 0 2 1 2 0 3 2 1 0 3 2 4 0 0 0 2 1 0 0 4 0 1 0 3 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - ? ? ? ? ? ? ? - - › 2 1 4 1 4 5 4 3 1 0 2 1 2 0 3 2 1 0 3 2 1 0 0 0 2 1 0 0 4 0 1 0 3 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - › 2 1 4 1 4 5 4 3 1 0 0 0 0 2 1 2 1 2 1 0 1 0 0 0 1 2 1 0 0 1 0 2 1 4 3 4 3 4 1 0 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - = - 2 1 4 1 4 5 4 3 0 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 1 4 3 4 3 4 1 1 A . 43 42 1 A 4 3 42 1 I 4 3 42 1 I 43 42 1 1 - AMatrislerde İşlemler , Ters Matris ………………………………………………………. 47 Örnek 5. ? ? ? ? ? ? ? = - + = - + - = + - = + + - 1 1 1 2 1 3 4 2 1 4 3 1 3 2 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x denklem sistemini ters matris yöntemi ile çözelim. Bu denklem sisteminin katsayılar matrisinin tersini önceki örnekte bulmu ştuk. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - = 1 0 1 1 1 1 0 1 0 2 1 0 1 3 1 1 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 4 3 2 1 , x x x x X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 1 1 1 , B , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - = - 2 1 4 1 4 5 4 3 0 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 1 4 3 4 3 4 1 1 A . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - = = ? = - 4 3 2 1 0 4 1 1 1 1 1 2 1 4 1 4 5 4 3 0 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 1 4 3 4 3 4 1 1 B A X B AX ; Ç = { (1/4 , 0 , 1/2 , -3/4) } . Örnek 6. ? ? ? ? ? = + - = + = + - 3 2 4 4 2 1 3 3 2 1 3 1 3 2 1 x x x x x x x x denklem sisteminin katsayılar matrisi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 2 1 4 1 0 2 1 1 3 A nın tersini bulalım. [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 4 1 0 2 1 1 3 | I A › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - 1 0 0 0 1 0 0 1 1 2 1 4 1 0 2 0 1 1 › ? ? ? ? ? - - - ? ? ? ? ? - 1 4 4 0 3 2 0 1 1 2 3 0 1 2 0 0 1 1 › ? ? ? ? ? - - - ? ? ? ? ? - 0 3 2 1 4 4 0 1 1 1 2 0 2 3 0 0 1 1 › ? ? ? ? ? - - - ? ? ? ? ? - 0 3 2 1 1 2 0 1 1 1 2 0 1 1 0 0 1 1 › ? ? ? ? ? - - - ? ? ? ? ? - 2 1 2 1 1 2 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 › ? ? ? ? ? - - - - ? ? ? ? ? 2 1 2 1 2 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Ders 3 …………………………………………………………………………………….. 48 Böylece, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = - 2 1 2 1 2 0 1 1 1 1 A elde edilir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 4 1 B oldu ğundan, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = - 0 5 2 1 B A X ve sonuç olarak çözüm kümesi olan Ç = { (2 , 5 , 0) } elde edilir. Ters matrisle ilgili birkaç özelli ği listeleyelim: 1. I n tersinir matristir ve (I n ) -1 = I n dir. 2. Bir kare matrisin satırlarından birinin tüm girdileri sıfır ise, o matrisin tersi yoktur. 3. Bir kare matrisiin satırlarından ikisi aynı ise, o matrisin tersi yoktur. 4. A ve B tersinir n × n matrisler ise, A B de tersinir ve (A B) -1 =B -1 A -1 dir. 5. A tersinir kare matris ise, A T de tersinir ve (A T ) -1 = (A -1 ) T dir. Örnek 7. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = - 10 1 2 1 6 2 1 2 1 1 A oldu ğuna göre A yı bulalım. 1 - A in tersi A oldu ğundan verilen matrisin tersini bulmamız yeterlidir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = - 1 0 2 8 5 0 0 1 2 3 2 0 0 0 1 1 2 1 1 0 0 10 1 2 0 1 0 1 6 2 0 0 1 1 2 1 ] | [ 1 A A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - › 1 0 2 8 5 0 0 2 / 1 1 2 / 3 1 0 0 0 1 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - › 1 2 / 5 7 2 / 1 0 0 0 2 / 1 1 2 / 3 1 0 0 1 3 4 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - › 2 5 14 1 0 0 3 8 22 0 1 0 8 21 59 0 0 1 . Böylece görüyoruz ki ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = 2 5 14 3 8 22 8 21 59 A dir. Matrislerde İşlemler , Ters Matris ………………………………………………………. 49 Problemler 3 1. A şa ğıdaki i şlemleri yapınız. a) ? ? ? ? ? ? - - + ? ? ? ? ? ? - 3 2 1 3 0 3 1 2 b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 7 2 2 1 6 1 3 0 5 1 1 4 c) ? ? ? ? ? ? - 1 3 2 5 ? ? ? ? ? ? - - 4 3 ç) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 1 2 4 1 3 2 ? ? ? ? ? ? - 1 3 2 5 d) ? ? ? ? ? ? - 2 1 3 2 ? ? ? ? ? ? - - 2 0 1 1 e) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 3 2 1 [] 4 2 3 - - 2. A şa ğıdaki i şlemleri, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - = ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? - - = 5 3 2 1 3 4 2 0 1 5 2 1 3 2 3 4 0 1 2 C B A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = 2 1 3 1 0 2 D matrisleri için, e ğer yapılabiliyor ise, gerçekle ştiriniz. a) AC b) C + DA c) D T - AC ç) (3)BA + (4)AC d) C 2 =CC e) ACD f) CDA g) DBA ğ) BAD h) A(C 2 ) ı) A T i) CA T j) CD T k) D T C l) DB T 3. A şa ğıdaki matris denklemlerinden c b a , , v e d ’yi bulunuz. a) ? ? ? ? ? ? - - = ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 1 0 3 2 d c b a b) ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 2 3 0 1 3 2 2 1 d c b a 4. A şa ğıda verilen matris ikililerinin çarpımının birim matris oldu ğunu gözlemleyerek bu matrislerin birbirinin tersi oldu ğunu gösteriniz. a) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 2 3 1 2 2 3 1 2 , b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 5 2 4 3 1 3 2 1 2 1 0 2 0 2 3 1 1 1 , 5. A ve B n n × matrisler; C , D ve X 1 × n sütun matrisleri ise, a şa ğıdaki matris denklemlerinden X i bulunuz. (Gerekli olan tüm ters matrislerin varlı ğı kabul ediliyor.) a) C BX AX = - b) C X AX = - c) D BX C AX + = + Ders 3 …………………………………………………………………………………….. 50 6. A şa ğıdaki denklemleri, matrislerin tersini kullanarak çözünüz a) ? ? ? = + = + 3 5 4 1 4 3 2 1 2 1 x x x x b) ? ? ? ? ? = - - = + + = + 1 5 2 3 2 0 3 2 3 2 3 2 1 2 1 x x x x x x x 7. A şa ğıdaki denklem sistemlerini ters matris yöntemi ile çözünüz. a) ? ? ? ? ? = - + = + = - + 25 9 3 30 8 5 5 2 5 3 3 2 1 2 1 3 2 1 x x x x x x x x b) ? ? ? ? ? = + + = + + = + + 105 6 3 4 155 8 6 6 153 7 8 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x 8. Verilen matrisin , varsa, tersini bulunuz. a) A= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 0 1 1 2 0 1 1 3 2 b) A= ? ? ? ? ? ? 3 2 8 5 c) A= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 2 2 3 0 2 2 1 0 1 ç) A= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 0 0 1 1 1 1 1 1 2 d) A= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 4 0 4 0 3 4 2 2 1 e) A= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 2 2 3 1 4 9 8 4 6 9. A şağıdaki denklem sistemlerini ters matris yöntemi ile çözünüz. , 25 2 2 3 30 4 9 5 8 4 6 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ? ? ? ? ? = + - = + - = - + - x x x x x x x x x , 16 2 2 3 20 4 9 8 8 4 6 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ? ? ? ? ? = + - = + - - = - + - x x x x x x x x x ? ? ? ? ? = + - = + - = - + - 32 2 2 3 40 4 9 12 8 4 6 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x 10. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - = - 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 A oldu ğuna göre A yı bulunuz. 11. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - = - 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 A ve ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = - 2 3 1 1 1 1 1 0 1 1 B oldu ğuna göre BA çarpımını bulunuz.