Mekanik mekanik metalurji T.C. Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Makine Mühendisliği Bölümü MEKANİK METALURJİ PROJE: ELASTO-PLASTİK KIRILMA Prof. Dr. Ali BAYRAM Hazırlayan: Makine Müh. İlyaz İDRİZOGLU 500810025 Bursa 2009 1 İÇ İNDEKİL E R 1. ELASTO-PLASTİK KIRILMA 1 1.1. Elasto-Plastik Gerilme Şekil Değiştirme İlişkisi 4 1.2. Elasto-Plastik Problemlerin Nümerik Çözümleri 1.2.1 Bir Boyutlu İdeal Elasto-Plastik Problem 6 1.2.2 Şekil Değiştirme Sertleşmesi Lineer Olmayan İki Boyutlu Elosto-Plastik Problem 9 1.2.3 Elasto-Plastik Problemlerin Matris Formülasyonu 10 1.2.4 Elasto-plastik problemlerin nümerik çözümü 12 2. EĞİLMEYE ÇALIŞAN LEVHA 14 2.1 Sonlu Eleman Formülasyonu 16 3. KIRILMA MEKANIĞI UYGULAMASI 20 3.1. Çatlak Civarında Gerilme Dağılımı 21 3.2. Sonlu Eleman Formülasyonu 23 3.3. Çatlak Civarında Kullanılan Elemanlar 26 1 1. ELASTO-PLASTGK KIRILMA Malzeme davranışı ?=E ? ile verilen Hook yasasına uygun olarak ele alınmıştır. Buna göre uygulanan yük kaldırıldığında eleman başlangıç boyutlarına geri dönmektedir. Bu durum elastik davranış olarak da adlandırılır. Malzeme lineer bir davranış göstermektedir. Oysa özellikle metalik malzemeler belli bir yüklemeden sonra kalıcı bir şekilde (plastik) şekil değiştirmeye başlarlar. Plastik şekil değişimine uğramış olan elemandan yükleme kaldırıldığında yalnızca elastik uzamalar kalkar, plastik uzamalar ise eleman üzerinde kalır. Plastik deformasyonun başlangıcı, bir akma kriteri tarafından belirlenir ve akma sonrası deformasyon malzeme rijitliğinin düşmesi ile ortaya çıkar. Bu bölümde malzemenin elasto-plastik davranışını nümerik olarak modellenmesi üzerinde durulacaktır. Bunun için çeşitli metodlar vardır. Genelde, a) Rijitlik matrisi metodu, b) Başlangıç şekil değişimi metodu, c) Başlangıç gerilmesi metodu olarak adlandırılan üç temel yöntem kullanılmaktadır. Rijitlik matrisi değişimi metodu problem için en doğru yaklaşımı vermekle beraber plastik deformasyon bölgesinde her iterasyon sonunda direngenlik matrisinin yeniden hesaplanmasını gerektirir. Bu da problem çözme süresini uzatacağından düşük hızlı bilgisayarlar için daha az tercih edilen bir yöntemdir. Başlangıç şekil değişimi metodunda elastik olarak hesaplanmış gerilme için malzemenin gerçek davranışına uygun bir elasto-plastik başlangıç şekil değiştirmesi aranır. Metot, akma başladıktan sonra da mukavemet artışı devam eden malzemeler için geliştirildiğinden, ? 0 ’ın tanımlanamadığı ideal elasto-plastik malzeme gibi.durumlarda bu metot kullanışsızdır. Başlangıç gerilmesi metodu Zienkiewicz’in çalışmalarına dayanır ve elasto-plastik problemlerin çözümü için en çok kullanılan metottur. Teori, tek boyutlu bir problemin zorlanmasına dayanılarak anlatılmış, çok eksenli gerilme durumu için genelleştirilmiştir. 2 Elasto-plastik incelemenin yapılabilmesi için şu üç şartın gerçekleşmesi gerekir. 1-Elastik şartlarda malzeme davranışını tarif etmek için gerilme ve şekil değiştirmeler arasında lineer bir ilişki olmalıdır. 2-Plastik akmanın meydana geldiği noktada bir akma kriterinin göz önüne alınması gerekir. 3-Akma başladıktan sonra gerilme ve şekil değiştirmeler arasında bir formülizasyona ihtiyaç vardır. Birinci durum, kitabın daha önceki bölümlerinde geniş olarak izah edilmiştir. Öte yandan, Hooke yasası tensör formunda şöyle ifade edilebilir. ? ? ? ? ? ? kl ijkl ij C ? ? ? (1) Burada { ? ij } ve {? kl } sırasıyla gerilme ve şekil değiştirme bileşenlerini ifade etmektedir. [C ijkl ] ise elastik sabitler tensörüdür. İzotropik bir malzeme için, [C ijkl ] = jk il jk ik kl ij ? ?? ? ?? ? ?? ? ? (2) şeklinde yazılabilir.burada ? ve ? Lame sabitleridir ?, Kroneker delta olarak adlandırılmaktadır ve ? ? ? ? ? ? j i 0 j i 1 j i ? (3) olarak verilir. Lame sabitleri ise, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 1 E E , ) )( ( şeklindedir. Gkinci Gart için, plastik deformasyonun başlangıcı her hangi bir akma kriterlerine göre belirlenebilir. Malzemenin akması için gerekli olan gerilmenin { ? ij } her istikamet ve yükleme şekli için değiştiği kabul ediliyorsa, f( ? ij ) = g(K) (4) bize akma denklemini verecektir. Burada f( ? ij ) bir fonksiyon, g(K) ise deneysel olarak belirlenen malzemenin plastik deformasyon katsayısı (K) nın bir fonksiyonunu ifade 3 etmektedir. Akma kriterleri koordinat sistemine bağlı değildir. Yalnızca gerilme invaryantlarına bağlıdır. Bir malzemede sadece asal gerilmeler mevcutsa f( ? 1 ,? 2 ,? 3 )=g(K) akma fonksiyonunu verecektir. Deneysel gözlemler plastik deformasyonun hidrostatik basınçtan bağımsız olduğunu göstermiştir. Bu yüzden akma fonksiyonu invaryantlara bağlı olarak, f(I 2 .I 3 ) = g(K) (5) şeklinde tanımlanabilir. I 2 ve I 3 deviatorik gerilmelerin ikinci ve üçüncü invaryantlarıdır (Bkz Bölüm 8). Deviatorik gerilmeler, ?' ij = ? ij – 1/3 ? ij ? kk (6) şeklinde ifade edilebilir. Malzemenin akmasıyla ilgili bir çok kriter ortaya konmuştur. Metaller için en geçerli teoriler, Tresca ve Von-Misses akma teorileridir. Tresca kriteri maksimum kayma gerilmesi belirli bir değere ulaştığında akmanın başladığı kabulu üzerine kurulmuştur. Asal gerilmeler büyükten küçüğe doğru ? 1 , ? 2 , ? 3 şelinde sıralanıyorsa, Tresca ya göre, ? 1 - ? 3 = ?? 0 (7) olduğunda akma başlar. ? 0 tek eksenli çekme deneyinden elde edilen akma sınırıdır. Von Misses ise akmanın başlangıcı için 2 0 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ] ) ( ) ( ) [( (8) eşitliğini vermektedir. Burada denklemin sol tarafı eşdeğer gerilme olarak da adlandırılmaktadır. Akmanın başlamasından sonra plastik şekil değiştirmenin derecesi, plastik deformasyonu meydana getiren gerilmenin şiddetine bağlıdır. Bu, şekil değiştirme sertleşmesi (strain hardening) olarak adlandırılır. Akma yüzeyi, plastik deformasyonun her derecesinde değişeceği için ardarda gelen akma yüzeyleri çeşitli sebeplerden plastik şekil değiştirmeye bağlıdır. Değişik durumlar Şekil 1’de izah edilmiştir. Şekil 1a’da tam plastik malzeme davranışı gösterilmiştir. Plastikleşme derecesi ile akma gerilmesi bağımsızdır. Eğer bir 4 sonraki akma yüzeyleri önceki akma eğrisine göre üniform bir artış gösteriyorsa Şekil.1b’de görüldüğü gibi şekil değiştirme sertleşmesi modeli izotropiktir. Diğer taraftan bir sonraki akma yüzeyleri, şekil ve yönlenmeleri korur fakat gerilme uzayında yer (konum) değiştirirlerse (Şekil 1c) bu mekanizma da kinematik sertleşme mekanizması olarak adlandırılır. Yükleme Yükleme Başlangıç akma yüzeyi ? ? ? ? ? ? (a) Tam plastik malzeme davranışı (b) İzotropik sertleşme davranışı (c) Kinematik sertleşme davranışı Geçerli akma yüzeyi Başlangıç akma yüzeyi Geçerli akma yüzeyi Şekil 1. Akma yüzeyi plastik deformasyon ilişkisi Bazı malzemelerde (toprak vb.) şekil değiştirme sertleşmesi yerine şekil değiştirme yumuşaması meydana gelir. Plastik deformasyon arttıkça akma gerilmesi düşer. Bu yüzden izotropik bir model için sırasıyla ilk akma eğrisi ile daha sonra meydana gelen akma eğrileri birbiriyle çakışır. Akma sebebiyle lokal hasarlar oluşur ve akma yüzeyi hasar kriteri olarak adlandırılır. Akma yüzeyindeki değişmeler akma gerilmesi fonksiyonu g'nin, sertleşme parametresi K ile ifade edilmesi sonucu bulunur. 1.1. Elasto-Plastik Gerilme gekil DeğiGtirme GliGkisi Başlangıç akmasından sonra malzemenin davranışı kısmen elastik kısmen de plastiktir. Malzemenin tamamının plastik deformasyonuna kadar toplam şekil değiştirme elastik ve plastik bileşenlerden meydana gelir. (d ? ij ) t = (d ? ij ) e + (d ? ij ) p (9) 5 elastik şekil değiştirmenin artımı (1) deki gerilme-şekil değiştirme ilişkisinin diferansiyel ifadesiyle verilmiştir. Gerilmeleri deviarotik ve hidrostatik bileşenlere ayırarak plastik şekil değiştirme artışı, (d ? ij ) p = kk ij ij d ? ? E ) 2 (1 2 d ? ? ? ? ? ? (10) şeklinde elde edilir. Gerilme artımıyla plastik şekil değiştirme bileşeni arasında bir ilişki kurmak istenirse malzeme davranışı üzerinde bir kabul daha yapmak gerekir. Plastik potansiyel (Q) olarak adlandırılan gerilme gradyanı ile plastik şekil değiştirme artımı orantılı olmalıdır. (d ? ij ) p = d ? j i Q ?? ? (11) Burada orantı sabiti olan d?' ya plastik çarpan denir. (11) akmadan sonraki plastik şekil değiştirmeyi gösterdiğinden akma şartı olarak adlandırılır. Q; I 2 ve I 3 'ün fonksiyonu olmalıdır. Her ne kadar f ?Q ise de bu durum için özel bir dönüştürme prensibi geliştirilebilir. f ve Q her ikisi de I 2 ve I 3 ' nün fonksiyonu olduğundan birbirine denk kabul edilebilir. Böyle bir kabul, (d ? ij ) p = d? ij ?? ?f (12) verir. Bu eşitliğe Normalite şartı denir. df/ ? ? ij akma yüzeyine dik bir vektör gösterir (Şekil 2). Temas noktası, dikkate alınan gerilme noktasıdır. Plastik şekil değiştirme artımının akma yüzeyine dik bir vektör vermesi için n boyutlu uzay vektörü oluşturması gerekir. f=I 2 durumunda, 6 ? 1 ? 2 1 ? ? ?f 2 ? ? ?f Akma Yüzeyi, f=g ij f ? ? ? Şekil 2 Akma yüzeyi ve normal vektörü ? ?? f ij = ' ij ij I ? ? ? ? 2 (13) olur. Böylece, (d ? ij ) p = d ? ?' ij (14) olur. Buna Prandtl Reuss denklemi denir. Prandtl Reuss denklemi teorik çalışmalarda çok geniş uygulama alanı bulmuştur. (12, 13, 14) denklemeleri kullanılarak tam artım denklemi, d? ij = ij ij ij ij ?? ?f d ? d ? ? E ) 2 (1 2 ? ?' ? ? ? ? ? (15) şeklinde yazılabilir. 1.2. ELASTO-PLASTGK PROBLEMLERGN NÜMERGK ÇÖZÜMLERG 1.2.1 Bir Boyutlu Gdeal Elasto-Plastik Problem Bir boyutlu durumda gerekli malzeme parametreleri tek eksenli çekme deneyi ile belirlenir. (Şekil 3.) idealize edilmiş gerilme şekil değiştirme eğrisini göstermektedir. Burada malzeme davranışı çekme ve basmada aynı olarak kabul edilmiştir. Malzeme başlangıçta, (akma gerilmesi olarak kabul edilen ? y ’ya ulaşıncaya kadar) Hook yasasına uygun olarak şekil değiştirir. Kuvvetin daha fazla arttırılmasıyla malzemenin teğetsel modülü E T 'ye uygun olarak lineer bir deformasyon sertleşmesi gösterdiği farz edilmiştir. Akmadan sonra bir yük artımı 7 kabul edersek bu artımdan dolayı meydana gelen gerilme artması d? ve buna karşılık gelen şekil değiştirme de d ? olmak üzere, şekil değiştirme elastik ve plastik kısımlara ayrılabilir. d? = d ? e + d ? p (16) Şekil değiştirme sertleşmesi parametresi (H') ise H' = p d d ? ? (17) şeklindedir. (16) ve (17) den, d ? Elasto-plastik davranış, Eğim=E T ? ? d ? d ? p d ? e Elastik davranış, Eğim=E Şekil 3 Bir boyutlu durumda lineer gerilme-şekil değiştirme ilişkisi H' = E E E d d d T T e t ? ? ? 1 ? ? ? (18) elde edilir. L boyunda ve kesit alanı A olan lineer bir bir çubuk eleman düşünelim. Bu elemana gittikçe artan eksenel bir F kuvveti tatbik edelim. Meydana gelen uzama ? ise ve F/A akma gerilmesinden küçükse malzemenin davranışı elastik olur ve direngenliği, 8 [k] e = L EA F ? ? (19) dir. Matris formunda ise, [k]e = ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 L EA (20) şeklinde ifade edebilir. Kuvvet malzemede akma meydana gelinceye kadar arttırıldığında meydana gelen dF artışı, d? lik bir uzamaya sebep olur ve şekil değiştirme, d? = L d d p e ? ? ? (21) olarak ifade edilebilir. Kuvvet artışı ise, dF = d?.A = A.H'.d ? p (22) şeklinde yazılabilir. Malzemenin plastik bölgedeki davranışı için, [k] ep = ) / ( '.d . p p d E d L H A d dF ? ? ? ? ? ? (23) veya [k] ep = ) ' 1 ( H E E L EA ? ? (24) elde edilir. bunu matris formunda şöyle ifade edebiliriz: [k] ep = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 ) ' 1 ( H E E L EA (25) Burada ilk terim elastik rijitliği ikinci terim akma nedeni ile oluşan indirgenmiş rijitliği gösterir. Eleman rijitlik matrisi sonlu elemanlar metodunda şöyle yazılabilir: [k]e = ? [B] T [D] [B]dV = A ? [B] T [D] [B] dx (26) Bir boyutlu uygulamada [D]=E dir. Elastik rijitlik matrisi daha önce verilmiştir. Elesto- plastik malzeme davranışında [D], [D] ep = E( 1- ' H E E ? ) (27) 9 şeklinde ifade edilir. Tam plastik malzeme davranışı için başlangıç akma eşitliği (18)'den H'=0 bulunur. 1.2.2 gekil DeğiGtirme SertleGmesi Lineer Olmayan Gki Boyutlu Elosto-Plastik Problem Gerilme-şekil değiştirme eğrisi Şekil 4'de verilen elosto-plastik bir malzeme düşünelim. Akmaya noktasına kadar malzeme davranışı lineer elastiktir ve bir elastisite modülü (E) ile uygunluk gösterir. Akmadan sonra ise malzeme eğrinin her noktasında değişen elasto-plastik teğetsel modül (E T ) ye uygun davranır. Bu durumda sertleşme-şekil değiştirme hipotezi (K=f(K)) ni sağlayacak şekilde, uygulanan eşdeğer gerilme ifade edilebilir: ) ( ' p ? ? H ? (28) veya türevi alınarak, ) ( ' p H d d ? ? ? ? (29) yazılır. Tek eksenli gerilme durumu için ?= ? 1 = ? 2 = ? 3 olup, dolayısıyla eşdeğer gerilme (I 2 ile orantılıdır.): ? ) ?' ' ( 2 3 1/2 ij ij ? ? ? ? (30) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? s ? ? s2 ? s3 ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? Y d ? e d ? p d ? Eğim=E Eğim=E T (a) (b) Şekil 4. Şekil değiştirme sertleşmesi lineer olmayan malzemede gerilme şekil değiştirme ilişkisi ve Newton-Rapson iterasyonu 10 Eğer yükleme yönünde şekil değiştirme artımı d? p ise (d ? l ) p =d ? p ve plastik şekil sıkıştırılamaz kabul edildiğinde paisson oranı 0.5 alınarak (d ? 2 ) p =-0.5d ? p olur. Buna göre eşdeğer eşdeğer plastik şekil değiştirme. p p ij p ij p d d ? ? ? ? ? ? 2 1 ) ' ( ) ' ){( 3 2 ( (31) olarak elde edilir. (30) ve (31) kullanılarak (29) denklemi: d ? d ? d ? d ? 1 d ? d ? d ? d ? d ? ) ? ( H' e t e t p p ? ? ? ? ? (32) elde edilir. Buradan, E E E H T T ? ? 1 ' (33) olur. Sertleşme fonksiyonu (H') tek eksenli çekme deneyi ile bulunur. Nümerik hesaplar için (H')'nün önceden bulunması gerekir. 1.2.3 Elasto-Plastik Problemlerin Matris Formülasyonu İlk olarak akma şartının gerçekleşip gerçekleşmediğine bakılır. Akma fonksiyonu f( ?) = g(K) (34) ile verilmektedir. Burada {?} gerilme vektörü, K sertleşme parametresi olmak üzere dK = { ?} T d{? p } (35) şeklinde diferansiyel olarak tanımlanır. Akma yüzeyi denklemi ise, f( ?,K) = f( ?) – g(K) = 0 (36) şeklinde ifade edilebilir. Kısmî türevler alınırsa, dF = 0 ? ? ? ? ? ? dK K F d F ? ? (37) veya kısa ifadesiyle, {a} T d{?} - Ad ? = 0 (38) 11 dır. Burada, {a} T = ] xy y x F . ? F . ? F [ d ? dF ? ? ? ? ? ? ? ? (39) ve {a}= dK K F ? ? ? ? . ? 1 (40) dır. {a} akma vektörü olarak adlandırılır. Bu durumuda şekil değiştirmedeki değişim d? = [D] -1 d? + d ? ? ? ?F (41) şeklinde elde edilir. Burada [D] elastik sabitler matrisidir. Her iki tarafı {a} T [D]={d D } T alınarak {a} T d? ortadan kaldırılısa plastik çarpan, d? = } { } { } { }] ]{ [ } { [ ? d d a a D a A D T T ? 1 (42) bulunur. Son iki denklemi birleştirirsek elosto-plastik artımlı gerilme değiştirme ilişkisi, d{ ?}= [D] ep d{?} (43) şeklini alır. Burada, [D] ep = [D] } { { } a d} A }{d {d T T D D ? ? , {d D }=[D]{a} (44) Bu formül bir boyut için bulunanın yaklaşık aynısıdır. Tek eksenli durumda akma gerilmesi k Y ? ? 1 3 ? ? olduğundan (39) ifadesi, dK K ? ? 1 dK K F . ? 1 A Y ? ? ? ? ? ? ? ? (45) halini alır. ? Y yalnızca k'nın fonksiyonu olduğundan son terim tam diferansiyel olarak ele alınabilir. Normalite şartı uygulanarak (39) ifadesi, dK ={ ?} T d{? p } ={ ?} T d?{a} = d ?{a} T { ?} (46) olur veya tek eksenli durumda ?= ? = ? Y ve d ? p = d ? p olduğundan, 12 dK = ? Y d{ ? p }=d{ ?}{a} T {?} (47) buradan da, H' ? d d ? ? d ? d p Y p ? ? (48) bulunur. Euler'in homojen fonksiyonlar için tanımı kullanılırsa, Y ? ? ? f ? ? ? (49) yazılabilir veya {a} T {?} = ? Y (50) (42), (44), (46) dan d? = p d ? ve A = H' elde edilir. 1.2.4 Elasto-plastik problemlerin nümerik çözümü Malzeme lineer elastik davranış gösterdiği kabuluyle yapılan elastik gerilme hesabından elde edilen gerilmelerin eşdeğeri her hangi bir akma kriterine göre (Von Mises) hesaplanır. Hesaplanan gerilme malzemenin akma sınırını geçiyorsa malzemede elasto-plastik gerilmeler meydana gelmiş demektir Bu durumda başlangıç gerilmesi yaklaşımı kullanılarak elasto- plastik gerilmeler ile iç gerilmelerin hesabı yapılabilir. Hesaplama yöntemi Şekil 4 de verilmiştir. Bu gerilme şekil değiştirme diyagramı eşdeğer ?- ? t diyagramıdır. Eşdeğer gerilme ( ? e ) elastisite modülü E'ye bölünerek eşdeğer birim şekil değiştirme bulunur. E e e ? ? ? (57) Bu eşdeğer birim şekil değiştirme miktarı ?- ? t diyagramına götürülerek elasto-plastik gerilme miktarı, ? s bulunur. iç gerilme( ? o ) aşağıdaki eşitlikten ? ? ? 0 ? ? e s (58) olarak hesaplanır. Artık gerilmeler tek eksenli değildir. Başlangıç gerilmesini vektörel olarak gösterirsek, 13 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 ? x y xy , , (59) yazabiliriz. Buradan, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 i i i ei ? (60) elde edilir. Burada i indisi ile gösterilen gerilmeler elastik olarak hesaplanan gerilme bileşenleridir. Başlangıç gerilmesi de bu gerilmelerle orantılıdır. Bunun doğruluğu için ? ? ? 0i nin eşdeğerinin ? e ye eşit olması gerekir. Yani ? ? ? ? ? ? 0e e ? olmalıdır. Bu durumda yukarda verilen şekil üzerindeki gerilmeler en genel gerilme durumundaki eş değer gerilmeleri verir. Bundan sonra iterasyona başlanabilir. Lineer elastik hesaplanmış gerilme vektörü ? 1 olsun. Bunun eşdeğeri ? 1e dır. ?- ? t eğrisinden ? 1 e karşılık gelen ? s1 Newton Rapson yöntemiyle bulunur. ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? e E olduğuna göre, 1 01 s e ? ? ? ? ? (61) elde edilir. Şekil 1’den, ? ? ? ? ? ? ? ? 01 1 01 1 ? e (62) ? ? ? ? ? ? ? 2 1 01 ? ? (63) olduğu görülür. Bu ifadeyi genelleştirerek iç gerilme için, ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 i i i ei ? (64) yazılabilir. Bu da E ei t si ei i ? ? ? ? ? ? ? ? , 0 (65) 14 olarak gösterilebilir. Metalik malzemeler için çekme-uzama eğrisi denklemi, K sertleşme katsayısı ve n de sertleşme üsteli olmak üzere, genel olarak ? ? n ti Y si K ? ? ? ? ? (66) şeklindedir. Buradan elasto-plastik gerilme ? si bulunabilir ve buna göre ikinci iterasyon için başlangıç gerilmesi ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ? ? ? 1 1 0 (67) olarak elde edilir. Burada iç gerilmeden dolayı oluşan kuvvet ? ? ? ? ? ? P B dv i v ? ? ? 0 (68) olarak hesaplanır. Rijitlik matrisi bilinmektedir. Bu kuvvet etkisi altında tüm düğümlere ait deplasmanlar hesaplanır. Bir önceki iterasyondaki deplasmanlar bilinmektedir. Bu ikisinin farkı alınarak malzemenin tam plastik olduğu bölgeye ulaşıp ulaşmadığı kontrol edilir. ? n - ? n-1 =0 (69) Bu şart sağlanıyorsa çözüm bitmiştir. Bu şart sağlandığı durumdaki eşdeğer gerilme ile o düğümde hesaplanan elasto-plastik gerilme farkı o düğüme ait iç gerilmeyi verecektir. 2. EĞILMEYE ÇALIgAN LEVHA Plak; kalınlığı diğer boyutlarına göre küçük olan düzgün levha olarak tanımlanır. Bu levhanın düzgün veya eğrisel sınırları bulunabilir. Ankastre, basit ve serbest sınır şartlarına sahip oldukları gibi elastik zeminler ve tekil mesnetler üzerinde de bulunabilirler. Plaklar pratikte hafif ve ekonomik yapı üretimi için bir çok avantaja sahiptir. Eğilme levhaları, membranlar, eğilebilir levhalar ve kalın levhalar gibi çeşitli kategorilerde incelenmektedirler. Plaklar mekanik açıdan çökme miktarına göre iki kategoride incelenmektedir. Küçük çökmeli ve büyük çökmeli plaklar. Ayrıca elastik ve elasto plastik davranışa göre de farklı inceleme 15 alanları bulunmaktadır. Bu bölümde elastik davranış gösteren küçük çökmeli plaklar konusuna giriş yapılacaktır. Küçük çökme yapan plaklar için Kirchhoff tarafından geliştirilen teori aşağıdaki kabulleri yapmaktadır: 1- Plak izotrop malzemeden yapılmış olup elastik ve homojen davranış gösterir. 2- Kalınlığı diğer boyutlarına göre küçüktür. 3- Çökmesi kalınlığının en fazla 1/50 si kadardır. 4- Başlangıçta tarafsız eksene dik olan çizgiler yüklemeden sonra da düz ve tarafsız eksene dik kalırlar. 5- Tarafsız eksene dik yöndeki gerilmeler ihmal edilebilir seviyededir. 6- Tarafsız eksende düzlemde uygulanan kuvvetlerden dolayı meydana gelen şekil değiştirme eğilme şekil değiştirmesi yanında ihmal edilebilir. Plak elemanın dengesi için tarafsız eksen üzerine etki eden iç ve dış kuvvetler Şekil de verilmiştir. Şekilde karışıklığı önlemek için (–) işaretli bileşenler çizilmemiştir. Deplasman bileşenleri u , v ve w dır. Bu şartlar altındaki düşey yüklü levhanın tanım denklemi, eğilme rijitliği, D Et ? ? 3 2 12 1 ( ) ? (70) olmak üzere ? ? D y x P y w y x w x w z , 2 2 4 2 2 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (71) ile verilmektedir. Buna göre oluşan momentler ve gerilmeler ise, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 1 y w x w Ez x ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 1 x w y w Ez y ? ? ? ? ? ? ? , y x w G xy ? ? ? ? 2 ? (72) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 y w x w D M x ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 x w y w D M y ? ? ? ? ? , ? ? y x w D M M yx xy ? ? ? ? 2 1 ? ? ? ? 16 Şekil 5. Tarafsız düzlem üzerindeki iç ve dış kuvvetler olur. Deplasmanlar ise çökme cinsinden, u z z w x ? ? ? ? ? ? v z w y ? ? ? ? (73) şeklindedir. 2.1 Sonlu Eleman Formülasyonu Bu bölümde hem düşey yük (z doğrultusunda) hemde kenarlardan etkiyen düzlem yükleri (x ve y doğrultusunda) etkisindeki plak problemi analizine uygun bir eleman modeli geliştirilecektir. Bu plak elemanında iki boyutlu problemlerde ele alınan deplasman bileşenlerine ilaveten çökme ve iki adet de dönme bileşeni bulunmaktadır. Bu durumda düğüm deplasman vektörü, {u}=[u ,v, w, ? x ? ?? y ] T (74) dür (Şekil ). Görüldüğü gibi problem çerçeve elemandakine benzer şekilde bir düzlem gerilme elemanı ve bir de eğilme elemanı tanımlanmasıyla modellenebilir durumdadır. Düzlem gerilme elemanı daha önce verildiğinden burada yalnızca eğilme elemanı üzerinde durulacaktır. Düzlem gerilme elemanı için rijitlik matrisi, 17 ? ? ds Jdr B D B t k T . det ] ][ [ ] [ 1 1 1 1 ? ? ? ? ? (75) idi. Burada N i x , ve N i y , N i şekil fonksiyonlarının kısmi türevlerini göstermek üzere y N N x N N i y i i x i ? ? ? ? ? ? , , , (76) [B] kısaca, ? ? 4 , 3 , 2 , 1 0 0 ] [ , , , , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i N N N N B x i y i y i x i (77) şeklinde yazılabilir. Elastisite matrisi ise, Şekil 6 Düzlem gerilme ve eğilme elemanları 18 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ) 1 ( 0 0 0 1 0 1 1 2 ? ? ? ? Et D (78) dir. Şekil fonksiyonları daha önce verildiği şekilde, ? ? ? ? i i i ss rr N ? ? ? 1 1 4 1 i=1,2,3,4 (79) dür. Eğilme elemanı için düğüm deplasman vektörü ? ? ? ? ? ? 4 , 3 , 2 , 1 , , 3 , 2 , 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i x i w y i w i w i q i q i q i q T T ? ? ? ? (80) şeklindedir. Deplasman elemanlarının indisleri i i 1 3 2 ? ? , 1 3 2 ? ? i i , ve i i 3 3 ? şeklinde hesaplanır. x i w i q ? ? ? ? 3 deki (-) işareti düğüm reaksiyonundaki işaret uygunluğu nedeniyle konmuştur. Deplasman fonksiyonu Lagranj polinomlarından kübik satırın tamamı ve 4. Satırdan iki terim alınacak şekilde 3 12 3 11 3 10 2 9 2 8 3 7 2 6 5 2 4 3 2 1 rs c s r c s c rs c s r c r c s c rs c r c s c r c c w ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (81) seçilir. Buradan şekil fonksiyonları, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? s i s s r i r r r s r i r i N i s s r i s i N s r s r s r i N ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 2 0 1 0 1 0 1 8 1 3 4 , 3 , 2 , 1 2 0 1 0 1 0 1 8 1 2 2 2 0 0 2 0 1 0 1 8 1 1 (82) olur. İndisli ifadelerin yerine koordinat değerleri konulacaktır (s i = ?1, r i = ?1). Şekil fonksiyonları matrisi ise kısaca, ? ? ? ? 3 2 1 N i N i N i N i ? (83) olarak yazılır. 19 Genelleştirilmiş şekil değiştirme tanımları vasıtasıyla lineer türev operatörünü, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y x y x q ? ? ? ? ? ? ? 2 2 , 2 2 , 2 2 (84) yazabiliriz. Buradan genelleştirilmiş şekil değiştirme-yer değiştirme matrisi ? ? 4 , 3 , 2 , 1 2 2 2 ] N }[ { ] [ , 3 , 3 , 3 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i N N N N N N N N N q B xy i yy i xx i xy i xy i yy i yy i xx i xx i i b (85) olarak yazılabilir. Buradan gerilmeler, ? ? ? ? } { ] [ ] D [ , , d B b e xy y x ? ? ? ? ? ? (86) olur. Eğilme için elastisite matrisi ise, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ) 1 ( 0 0 0 1 0 1 ) 1 ( 12 2 3 ? ? ? ? Et D e (87) şeklindedir. Buradan eleman için eğilme rijitlik matrisi ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 e b det ] [ ] D [ ] [ Jdrds B B k T b (88) olarak elde edilir. Eleman rijitlik matrisi ise bu iki matris yardımıyla ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b e k k k 0 0 (89) olarak bulunur. Eleman rijitlik matrisi her düğümde 5 serbestlik derecesi olduğundan 20x20 boyutlarındadır. Burada hem düşey yüke hem de düzlemsel yüke maruz levha için eleman rijitlik matrisinin elde edilişi kısaca anlatılmıştır. Bu tip elemanlar genellikle burkulma yüküne maruz levhalar için kullanılmaktadır. Fakat burkulma yükünün elde edilmesi için ilaveten gerilme rijitlik matrisi hesabı da gerekmektedir. İlgilenenler ayrıntılı bilgiyi referans kitaplardan alabilirler. 20 3. KIRILMA MEKANGĞG UYGULAMASI Kırılma mekaniği, lineer elastik ve elastik-plastik kırılma mekaniği olarak temelde iki grupta incelenir. Lineer eleastik kırılma mekaniğinin teorisi günümüze kadar oldukça iyi bir şekilde ortaya konmuş ve elastik-plastik kırılma mekaniğinin de temellerini oluşturmuştur. Çatlak veya çatlağa benzeyen süreksizlikler civarındaki gerilme durumu ile elemana uygulanan ortalama gerilme, çatlak büyüklüğü, çatlağın geometrik durumu ve malzeme özellikleri arasında analitik bir ilişki kurulması lineer elastik kırılma mekaniğinin temel amacıdır. Elastik cisimlerdeki gerilme analizi için kırılma mekaniği çatlak tiplerini üç kısma ayırmıştır (Şekil 7). Mod I de deplasmanlar x-y ve x-z düzlemlerine göre simetrik olup x y z Mod I x y z Mod II x y z Mod III Şekil 7 Çatlak yüzey hareketinin üç temel şekli açılma modu olarak adlandırılır. Çatlağın karşılıklı yüzeyleri birbirine ters yönde hareket ederler. Kayma modu olarak adlandırılan Mode II de ise deplasmanlar z-y düzlemine göre simetrik x-z düzlemine göre ise vida simetrisine sahiptir. Yüzeyler ters yönde yanlara doğru birbiri üzerinde kayarak hareket ederler. Mode III yırtılma modu olup her iki düzleme göre vida simetrisine sahiptir. Yüzeyler çatlak ucu çizgisine paralel olarak hareket ederler. Her çatlak modu farklı bir gerilme alanına karşılık gelmektedir. Eleman üzerinde çatlak modları tek tek yada bu modların bir kombinasyonu olarak bulunurlar (Şekil 8). 21 ? x y z 2a ? ? Şekil 8. İki modun birlikte olma hali ( a cos sin K , a sin K II I ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ) 3.1. Çatlak Civarında Gerilme Dağılımı Şekil 9 da verilen notasyona göre çatlak civarında meydana gelen gerilmeler, değeğiştir ş e k i l Düzlem ) ( gerilme Düzlem cos cos sin r K sin sin cos r K sin sin cos r K y x z z xy y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 2 3 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 (90) şeklindedir. Görüldüğü gibi çatlak ucuna doğru yaklaştıkça gerilmeler çok büyük değer almaktadır. r=0 için gerilme değeri sonsuz olur. Bu durum çatlak ucunda plastik deformasyon bölgesi oluşması şeklinde yorumlanır. Kalın lavhalarda düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme dışında da ? z gerilmeleri meydana gelirek üç boyutlu gerilme hali oluşmasına neden olur. 22 ? y ? x ? x ? y ? xy ? z x y z ? r Şekil 9 Çatlak civarında gerilmeler Çatlak bulunan bir elemandaki kırılma ile ilgili temeller Griffith tarafından ortaya konmuştur. Griffith’in ortaya koyduğu bu sisteme göre, elastik bir malzemede bir çatlak oluşması veya büyümesi için dış kuvvetlerin yaptığı iş ve depolanan elastik enerjinin toplamından oluşan cismin potansiyel enerjisindeki azalma ile cismin yüzey enerjisindeki artma arasında bir denge kurulması gerekmektedir. Yüzey enerjisi ifadesi Griffith tarafından E a s s ?? ? ? 2 (91) ile verilmektedir. Bu ifade plastik deformasyonu göz önüne almadığından daha sonra Orowan tarafından plastik deformasyon enerjisini de dikkate alacak şekilde E a ) ( s p s ?? ? ? ? ? 2 (92) olarak düzeltilmiştir. Daha sonra Irwin tarafından enerjinin çatlak boyu ile değişimini ifade eden Enerji Salıverme Oranı (G= a / U ? ? U=potansiyel enerji) tanımlanmış ve bunun yukardaki eşitliğin sol tarafına eşit olduğu ispatlanmıştır. Buna göre keskin uçlu çatlak bulunan numuneler için G değeri bir malzeme parametresi olarak kullanılabilir ve kritik bir değerden sonra çatlak kontrolsüz olarak büyümeye başlar. Daha sonra Rice tarafından elasto-plastik bölge için J integral adında bir parametre tanımlanmıştır. Bu tanımlamaya göre bütün özellikleri aynı fakat çatlak boylarında küçük bir farklılık bulunan iki elemanın enerjileri arasındaki fark çatlak büyüesi için bir karşılaştırma parametresi olarak kullanılabilir. J integral 23 a ) B / U ( J ? ? ? (93) olarak tanımlanmaktadır. B eleman kalınlığı olup, J integral değerinin elastik bölgede G değeriyle aynı sonucu verdiği gösterilmiştir. 3.2. Sonlu Eleman Formülasyonu J integrali diğer taraftan elastik plastik bir malzeme için iki boyutlu bir şekil değişimi alanında ? ? ? ? ? ? ds dx u n Wdy J i ij i (94) şelinde bir çizgisel integral olarak tanımlanmaktadır. Burada ? çatlağın alt yüzeyinden başlayıp üst yüzeyinde tamamlanan herhangi bir eğriyi göstermektedir. Şekil 10’da görüldüğü gibi, n bu eğrinin normalinin birim vektörünü, ij ij d W ? ? ? ? ? 0 şekil değiştirme enerjisini, u deplasmanları, ds de eğri üzerindeki diferansiyel elemanı göstermektedir. İntegral, düz, yüzey gerilmesi olmayan ve malzeme arayüzeylerinin çatlağa paralel olduğu durumlarda yoldan bağımsızdır. J integrali aynı sınır şartlarına ve yüklemeye sahip eş yapıların artımlı çatlak boyuna sahip olmaları durumu için potansiyel enerji farkı olarak hesaplanmaktadır. Bu yaklaşım x y n ? Şekil 10 J integral hesabı için kullanılan tipik eğri nümerik hesaplamalar ve sonlu eleman analizleri için uygun bir araç oluşturmaktadır. Ayrıca nonlineer malzeme davranışı ve elasto-plastik kırılma mekaniği uygulamaları için de uygundur. 24 Daha önce de verildiği gibi herhangi bir cisimdeki toplam potansiyel enerji ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F q q K q T T ? ? 2 1 ? (95) şeklinde hesaplanmaktadır. Burada {q}deplasman vektörünü, {F} yükleri, ?K ? da rijitlik matrisini göstermektedir. Düğüm deplasman değerleri potansiyel enerjinin minimizasyonu ile, ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? F q K q ? ? ? (96) şeklinde hesaplanır. a boyunda bir çatlak için enerji salıverme oranı potansiyel enerji ifadesinin çatlak boyuna göre türevinden ibarettir. Bu da, a G ? ? ? ? ? (97) şeklinde gösterilebilir. Lineer elastik durumiçin G=J olduğundan potansiyel enerji teriminim türevi alındığında ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F q K a q a F q q a K q a J T T T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 (98) elde edilir. Minimizasyondan elde edilen eşitlikle birleştirildiğinde ise, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a F q q a K q J T T ? ? ? ? ? ? ? 2 1 (99) olur. Türevler sonlu farklar yöntemiyle ifade edildiğinde, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a a a a a F F a a F K K a a K ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 (100) elde edilir. Burada ?a çatlak boyunda meydana gelen küçük bir artışı, ?K ? a ve ?K ? a+ ?a ise sırasıyla a ve a+ ?a boyutlarında çatlağa sahip olan çözüm bölgesi için genel rijitlik matrisini göstermektedir. 25 Genel olarak Virtüel Çatlak İlerlemesi olarak adlandırılan bu yöntem sonlu elemanlarla J integrali hesabı için oldukça basit bir yol ortaya koymaktadır. Metod şu şekilde uygulanmaktadır. Öncelikle çatlaklı yapı deplasmanları {q} elde edecek şekilde klasik yoldan çözülmekte, daha sonra çatlak boyuna küçük bir artım verilerek yeni bir çözüm elde edilmektedir. İkinci çözüm için iki yöntem önerilmektedir. Bunlardan birinde çatlak ilerlemesi çatlak ucu civarındaki bir halkayı oluşturan elemanların rijit bir şekilde hareket ettirilmesi şeklinde yapılmaktadır. Buna göre yalnızca halkayı oluşturan elemanlar şekil değiştirmektedir. Örnek bir eleman halkası Şekil 11 deki taralı elemanlar olarak verilmiştir. Bu durumda şekil değiştiren halka dışındaki bütün elemanlar aynı kalmakta ve ikinci hesap yalnızca bu halkayı oluşturan elemanlar için yapılmaktadır. Dışardaki elemanlar için ? ? 0 ? a K ? ? olmaktadır. Denklemlerde verilen çarpma işlemleri de küçük matris ve vektörlerle halledilmiş olmaktadır. Diğer yöntemde ise, çatlak ucuna karşılık gelen düğümün koordinatları çatlak boyunda küçük artışa sebeb olacak şekilde ilerletilmektedir. Bu durumda rijitliği değişen elemanlar yalnızca bu düğüme sahip olan elemanlar olmaktadır. Bu ikinci yöntem daha kolay olmakla beraber çatlak ucunda plastik deformasyon oluşan yükleme durumlarında uygulanamaz. a Şekil 11 J integral hesabında kullanılan eleman halkası 3.3. Çatlak Civarında Kullanılan Elemanlar 26 (90) denkleminde görüldüğü gibi çatlak civarındaki gerilmelerde r 1 ? ? şeklinde bir dağılım bulunmaktadır. Bu durum özellikle çatlak ucuyla temas eden elemanlarda bazı düzenlemeler yapılmasını zorunlu hale getirmiştir. Bu amaçla 8 düğümlü dörtgen elemanın ara düğümü şekil 12 de verildiği gibi yer değiştirerek kullanılmaktadır. Bu durum verilen gerilme dağılımına daha uygun şekil fonksiyonu elde edilmesini sağlamaktadır. Bu elemana çeyrek nokta düğümlü eleman denir. Bu eleman için örneğin 1-2 doğrusu boyunca x-r koordinat dönüşümü şekil fonksiyonları yardımıyla, x= 1/2r(1-r)x 1 +1/2r(1+r)x 2 +(1-r 2 )x 5 (101) şeklindedir. Buradan koordinat değerleri (0, a/4, a) yerlerine konduğunda a x r 2 1 ? ? ? (102) elde edilir. Türev ise, ax r x ? ? ? (103) s r 4 5 2 6 3 7 1 8 a 0.75a 0.25a a 0.75b 0.25b x y Şekil 12 Orta düğümü değişmiş 8 düğümlü dörtgen eleman olur. Bu durumda deplasman ifadesi 27 5 2 1 4 2 1 1 1 2 0 u a x a x u a x a x u a x a x ) , x ( u ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (104) olur. Şekil değişimi ise, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 2 1 2 1 2 4 1 2 1 4 3 2 1 1 0 u a x u a x u a x ax x ) , x ( u (105) olarak elde edilir. Görüldüğü gibi x sıfıra yaklaşırken şekil değişimi koordinatın karekökü ile ters orantılı olarak artmaktadır. Bu da tekillik için aranan modelin bulunduğu anlamına gelir. Benzer yolla s için ve iki boyutlu durum için de eşitlikler elde edilebilir. Dört düğümlü elemanlarla kullanılmak üzere geliştirilen bir üçgen eleman ise şekil 13 te verilmiştir. Bu eleman için şekil fonksiyonları N 1 =1/2 (1-r ??????N 2 =1/4 (1+r ??s 2 -s ?????? ? (106) N 3 =1/4 (1+r??s 2 +s ??????N 4 =1/2 (1+r ? ???s 2 ? Şeklindedir. 4 numaralı düğümün koordinatı değiştirildiğinde tekilğin bu elemanla da modellenebilir olduğu görülecektir. x y 2 3 1 4 1 2 3 4 (-1,-1) (1,-1) (1,1) (a) (b) r s Şekil 13 Dört düğümlü üçgen eleman ?