Mekanik Titreşimler mekanik titreşimler lab föyü 1 MEKANGK TGTREgGMLER DENEYG 1. DENEYGN AMACI Mekanik titreşimler deneyi titreşim teorisi bilgilerinin daha iyi kavranmasına yardımcı olmak ve deneysel beceri kazandırmak amacıyla yapılmaktadır. 2. DENEY DÜZENEĞGNGN TANITILMASI Şekil 1: Titreşim deneyi sistemi Deney düzeneği şekil 1?de görüldüğü gibi bir ucundan taşıyıcı gövde çerçeveye rulmanlı bir yatak yardımıyla mafsallı bulunan ve diğer ucundan ise helisel bir yay yardımıyla gövde çerçeveye asılı bulunan dikdörtgen kesitli bir çubuktan meydana gelmiştir. Çubuk üzerine bir motor ünitesi tespit edilmiş bulunmaktadır. Zorlayıcı kuvveti sağlamak amacıyla motor tarafından kayışla tahrik edilen iki adet dengesizliğe sahip disk sistemi motor ünitesine bağlanmıştır. Ayrıca ünite üzerine ilave kütleler bağlana bilecek şekilde bir bağlama elemanı takılmıştır. Zorlayıcı kuvvetlerin frekansı bir hız kontrol ünitesi yardımıyla ayarlanabilmektedir. Çubuğun ucunun titreşim hareketini kaydetmek amacıyla gövde çerçeveye bir kayıt ünitesi tespit edilmiş bulunmaktadır. Kayıt ünitesi üzerine kayıt kağıdı takılı bulunan ve yavaşça döndürülen silindir ile çubuğun ucuna bağlı bulunan ve kağıt ile temasta tutulan bir yazıcı kalemden oluşmuştur. Silindirin dönme hareketini veren motoru yine hız kontrol ünitesi yardımıyla işletilmektedir. Kayıt kağıdının serbest ucuna küçük bir ağırlık takılarak düşey doğrultuda ilerlemesi gerçekleştirilmiştir. Sisteme ilave sönüm katmak amacıyla ayrıca bir damper ünitesi sağlanmıştır. Damper ünitesi içi yağ dolu bir silindir ve silindir içinde hareket eden bir pistondan meydana gelmiştir. Pistonun üzerindeki yağ geçiş deliklerinin ayarlanabilir alanlı olup böylece sönüm miktarının ayarlanmasına olanak 2 sağlanmıştır. Ayrıca damper ünitesinin çubuk sistemi üzerindeki tespit yerinin konumunun (mafsal noktasından uzaklığının) değiştirilmesiyle efektif sönüm miktarının değiştirilmesinin olanağı da vardır. Sistem elemanlarını açık olarak tanımlayacak olursak: a) A noktasında mafsal boyu l , kütlesi m olan ve rijit kabul edilen çubuk elemanı. b) Çubuğun C noktasından asılı bulunduğu ve yay katsayısı k olan yay elemanı. c) Çubuğa D noktasında tespit edilmiş bulunan ve dengelenmemiş diskler taşıyan ve toplam kütlesi M olan motor elemanı. d) Çubuğa E noktasında bağlı bulunan ve sönüm katsayısı C olan sönüm elemanı (damper). Sonuç olarak sistem, ideal titreşim elemanları cinsinden bir kütle-yay ve sönüm elemanı sistemi olmaktadır. Bu sistemin bir harmonik zorlayıcı kuvvet etkisi altında yapacağı titreşim hareketi sönümlü zorlanmış titreşim hareketi olacaktır. 3. HAREKET DENKLEMG Hareket denklemi Newton?un 2. Hareket Kanunu uygulanarak elde edilebilir. Bunun için küçük genlikli titreşimler (açısal yer değiştirmeler) kabul ederek A mafsal noktasına göre moment alınırsa: A momentler J A ) ( ? ? ? ? ? SinWt L F kL cL J L SinWt F L L c L L k J eq A eq A 2 2 3 2 1 2 1 1 3 3 ) ( ) . . ( ) . . ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Deneyde çubuğun B uç noktasının yer değiştirmesi ölçüleceğinden hareket denklemini de buna göre düzenlemek uygun olacaktır. Bunun için ? . L X ? koordinat dönüşümü yapılırsa: SinWt F X L L kL X L L CL X L L J SinWt L F X L L k X L CL L X J eq A eq A ? ? ? ? ? ? 2 2 3 2 2 1 2 2 2 3 2 1 . . . ? ? ? ? ? ? elde edilir. Bu denklem eşdeğer elemanlar cinsinden aşağıdaki şekilde yazılabilir: SinWt F X k X C X M eq eq eq eq ? ? ? ? ? ? (1) burada: 1 .L L J M A eq ? Çubuk+Motor ünitesi + disk sisteminin kütlesi ( kg ) A J Aynı sistemin kütlesel atalet momenti( kg 2 m ) 2 2 1 .L L CL C eq ? Eşdeğer sönüm katsayısı ( Ns/m ) 2 2 3 .L L kL k eq ? Eşdeğer yay katsayısı ( N/m ) 3 2 1 ew m F L eq ? Eşdeğer kuvvet genişliği ( N ) e m L 1 Disklerin dengesizliği ( kgm ) w Disklerin açısal hızı ( rad/s ) olarak tanımlanmıştır. 4. HAREKET DENKLEMLERGNGN ÇÖZÜMÜ Hareket denkleminin genel „çözücü tamamlayıcı? çözüm ile özel çözüm toplamından elde edilir. Bu çözümler sırasıyla sistemin geçici titreşim ve sürekli titreşim durumlarını verirler. Yapılacak olan deneylerde sistemin sürekli titreşim hareketinin genliği ölçüleceğinden burada sürekli titreşim cevabı verilecektir. Sistemin hareketini tanımlayan diferansiyel denklem (1) göz önüne alınırsa , harmonik zorlama durumunda sistemin sürekli titreşim cevabında harmonik olacağı kabul edilerek aşağıdaki ifadeyle verilir: ) ( . ? ? ? wt Sin X X Bu çözüm hareket denkleminde yerine konarak x genliği için aşağıdaki ifadenin elde edilebileceği gösterilebilir: ? ? ? ? 2 2 2 ) 2 ( ) 1 ( 1 / r r k F X eq eq ? R (2) Burada: n w w r ? Frekans oranı w Zorlayıcı kuvvetin frekansı ( rad/s ) ? n w eq eq m k / Sistemin doğal frekansı ( rad/s ) n eq eq w m C 2 / ? ? Sistemin sönüm faktörü R Dinamik büyütme faktörü olarak tanımlanmıştır. (2) eşitliği, eq F ve eq k nin tanımlanmış olan ifadeleri kullanılarak aşağıdaki şekilde de yazılabilir: R r e m X m u eq 2 . . ? Sonuç olarak: Teorik hesaplamalar için (2) ve/veya (3) eşitlikleri kullanılarak istenilen (R-r) ve/veya ? ? ? ? ? ? ? ? ?r e m X m u eq değişim grafikleri verilen (veya seçilen) bir sönüm faktörü değeri için çizilebilir. 4 5. DENEYLER 5.1.GEOMETRGK BÜYÜKLÜKLER Çubuk elemanının boyu L=0,73m Damper elemanının konumu 1 L =0,3m Motor ünitesinin konumu ? 2 L 0,3m Yay elemanının konumu ? 3 L 0,63m 5.2 KÜTLESEL BÜYÜKLÜKLER Motor disk sisteminin kütlesi m m =5,58kg Çubuğun kütlesi m ç =1,7kg İlave kütle (Bir ağırlık için m i =0,4kg) => m i = 4 x 0,4 = 1,6 kg Buna göre : M=5,58+1,6 = 7,18kg alınır. Kütlesel atalet momenti: 3 . 1 . 2 2 2 L m L M J ç A ? ? 3 73 , 0 . 7 , 1 . 1 3 , 0 . 18 , 7 2 2 ? ? A J ? A J 0,948176 kgm Sistemin eGdeğer kütlesi: 2 .L L J m A eq ? 3 , 0 . 73 , 0 9481 , 0 ? eq m ? eq m 4,3292 kg 5 5.3 DÖNME DENGESGZLGĞG Motor tarafından ve kütle dengesizliğine sahip olan alüminyum diske ait geometrik boyutlar aşağıda verilmiştir. Şekil 2: Diske ait geometrik büyüklükler Buna göre diskten çıkarılmış olan ve dengesizliği doğuran delik kütlesi: ? Al= 3 10 . 7 , 2 ? g/mm³ g h d m d 115 , 14 ) 10 . 7 , 2 .( 5 , 6 . 4 32 . . 4 3 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 adet disk mevcut olduğundan: g m m d u 23 , 28 115 , 14 . 2 2 ? ? ? Buradan dengesizlik: kgm e m u 3 3 3 10 . 637 , 1 ) 10 . 58 )( 10 . 23 , 28 ( . ? ? ? ? ? olarak bulunur. Buna göre ilgili zorlayıcı kuvvet genliği: 2 . . w e m F u eq ? bağıntısından hesaplanabilir. 6 5.4. YAY KATSAYISININ TAYGNG Deneyde kullanılacak olan helisel yay elemanının yay katsayısını belirlemek amacıyla yay elemanı düzenek çerçevesindeki tespit yerine bağlanır. Yayın diğer serbest ucu ise üzerine kütlenin bağlanabileceği bir çubuğa bağlanır. Çubuk çerçevenin alt kısmı içerisinde kayar şekilde yataklanmış bulunmaktadır. Bu düzenleme yayın uzama doğrultusunun koruması ve hassas uzama ölçümü yapılabilmesi için bir verniyer ölçeği mevcuttur. Yay katsayısını belirlemek için mevcut kütleler kullanılarak yay yüklenir ve her bir yükleme durumunda karşılık gelen uzama miktarı ölçülerek kaydedilir. Bu sonuçlar kullanılarak yay için kuvvet-zaman grafiği çizilir. Bu değişim grafiği elastik sınır içerisinde kaldığından bir doğru olacaktır. Bu doğrunun eğiminden ilgili yay katsayısı elde edilir. Tablo 1: Yay için örnek ölçümler Kütle m(kg) Kuvvet F=mg(N) Uzama X(mm) 0 0 0 0,8 7,848 2 1,6 15,696 4 2,4 23,544 6 3,2 31,392 8 4,0 39,240 10 Grafik 1: Yay için kuvvet uzama grafiği 0 10 20 30 40 50 0 2 4 6 8 10 12 X (mm) F (N) Kuvvet-uzama grafiğinden yay katsayısı: X F k ? ? ? 10 240 , 39 m N mm N / 3924 / 924 , 3 ? 7 olarak bulunur. Eşdeğer yay katsayısı için : m N L L L k k eq / 6 , 7111 ) 3 , 0 )( 73 , 0 ( ) 63 , 0 .( 3924 . . 2 2 2 3 ? ? ? elde edilir. 5.5. DOĞAL FREKANS TAYGNG Deney düzeneğinde damper ünitesinin bağlı olmaması durumunda diğer sönüm etkileri olan mafsal sürtünmesi ve hava sürtünmesi de ihmal edilirse sistemin yapacağı titreşim hareketi “sönümsüz” kabul edilebilir. Bu durumda sistem kendi “doğal frekans”?ında titreşim yapacağından doğal frekans tayin edilebilir. Sistem çubuğun ucundan 10-15 mm lik bir başlangıç yer değiştirmesi verilerek , yani çubuk çekilerek veya darbeyle serbest titreşime bırakılır. Sistem hareketine devam ederken belirli sayıda tam salınım için geçen zamanı kronometre ile ölçeriz. Buradan bu hareketin periyodu: sayisi salinim tam zaman ölçülen ? ? ifadesiyle bulunur ve doğal frekans ; W = Wn = 2?/? (rad/s) Bağıntılarından hesaplanabilir. Şekil 3: Sönümsüz serbest titreşim hareketi t = 7,89 sn Tam salınım sayısı=47 Doğal frekansı üç şekilde tayin edebiliriz. Bunlar: 8 s rad m k w sn rad w sn eq eq n n / 245 , 38 3292 , 4 6 , 7111 / 6047 , 37 167 , 0 2 2 167 , 0 47 89 , 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? yada rezonans olayının görüldüğü devir sayısına bağlı olarak n=1125d/dk. s rad n w n / 979 , 35 72 22 . 30 1125 . 72 22 30 ? ? ? ? ? 5.6.SÖNÜM FAKTÖRÜNÜN TAYGNG ( ? ) Şekil 4: Sönümlü serbest titreşim hareketi Sistem eğer sönümlü ise şekildeki gibi bir durum söz konusu olur. Bu titreşim hareketinden logaritmik azalmayı hesaplarız ve sönüm faktörünün hesabını yapabiliriz. 0 X Başlangıç yer değiştirmesi n X n. salınım sonundaki titreşim genişliği (mm) ? Logaritmik azalma Buna göre sönüm faktörü değeri “logaritmik azalma” bağıntısı kullanılarak hesaplanır. Sönüm faktörü: ?? ? ?? ? 2 1 2 ln 1 2 0 ? ? ? ? n X X n bağıntısından logaritmik azalma bulunduktan sonra çekilerek hesaplanır. 9 0318 , 0 1997 , 0 2 1997 , 0 2 . 8 2 , 33 ln 7 1 ? ? ? ? ? ?? ? Tablo-1. Teorik Hesaplamalar Tablosu Frekans Oranı (r) 0318 , 0 ? ? 0 ? ? 2 2 2 ) 2 ( ) 1 ( 1 r r R ? ? ? ? r².R 2 2 2 ) 2 ( ) 1 ( 1 r r R ? ? ? ? r².R 0 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,1 1,0101 0,0101 1,0101 0,0101 0,2 1,0416 0,0417 1,0417 0,0417 0,3 1,0987 0,0989 1,0989 0,0989 0,4 1,1899 0,1904 1,1905 0,1905 0,5 1,3321 0,3330 1,3333 0,3333 0,6 1,5597 0,5615 1,5625 0,5625 0,7 1,9534 0,9571 1,9608 0,9608 0,8 2,7504 1,7603 2,7778 1,7778 0,9 5,0394 4,0819 5,2632 4,2632 1 15,7233 15,7233 --- --- 1,1 4,5178 5,4665 4,7619 5,7619 1,2 2,2393 3,2246 2,2727 3,2727 1,3 1,4390 2,4319 1,4493 2,4493 1,4 1,0372 2,0329 1,0417 2,0417 1,5 0,7977 1,7948 0,8000 1,8000 Tablo-2. Deneysel Hesaplamalar Tablosu Motor hızı Disk hızı W(rad/s) Frekans oranı Titreşim Genliği Eşdeğer kuvvet genliği Statik yerdeğiştirme Xst(mm) Dinamik büyütme faktörü Frekans oranı karesi ? ? ? ? ? ? ? ? e m X m u eq n w r x F=m.e.w2 X st R r2 r2.R 1000 31,9977 0,89 1,40 1676,0445 0,2357 5,9403 0,79 4,6984 1050 33,5976 0,93 2,10 1847,8391 0,2598 8,0821 0,87 7,0476 1100 35,1974 0,98 4,40 2028,0139 0,2852 15,4294 0,96 14,7663 1125 35,9974 1,00 6,50 2121,2438 0,2983 21,7916 1,00 21,8139 1150 36,7973 1,02 5,00 2216,5689 0,3117 16,0419 1,05 16,7799 10 1175 37,5973 1,04 3,50 2313,9890 0,3254 10,7566 1,09 11,7460 1200 38,3972 1,07 2,45 2413,5041 0,3394 7,2191 1,14 8,2222 1250 39,9971 1,11 1,90 2618,8196 0,3682 5,1596 1,24 6,3764 1300 41,5970 1,16 1,45 2832,5152 0,3983 3,6405 1,34 4,8662 5.7. SÜREKLG TGTREgGM GENLGĞGNGN ÖLÇÜMÜ Sistemin sönümlü zorlanmış titreşim durumu için motor ünitesi çalıştırılarak dengesizliğe sahip diskler yardımıyla sistem harmonik olarak harekete geçer. Devir sayısının n=1000 d/dk ile n=1300 d/dk arasında değiştirerek değişik genlikler kaydedildi. Şekil 5: Sürekli titreşim genliği (2 kat büyütülmüş) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bu kaydedilen genlik değerlerinin yarısı genliğe karşılık gelen değer olarak alınır. Buna göre; x1 = 1,4 mm, x2 = 2,1 mm, x3 = 4,4 mm, x4 = 6,5 mm, x5 = 5 mm, x6 = 3,5 mm, x7=2,45mm, x8 = 1,9 mm, x9 = 1,45 mm şeklinde okundu. 6. GRAFGKLER Grafik 2: R – r değişimi 11 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 r R teorik teorik deneysel Grafik 3: r 2 R – r değişimi 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 r r2R teorik teorik deneysel 7. GRDELEME Titreşim, sistemin denge konumu etrafında yaptığı hareket olarak tanımlayabiliriz. 12 Deneyde ? n w 35,979 rad/s bulundu. Bu frekans gerçek doğal frekanstır. Teorik doğal frekansı ise; ? n w 37,6047 rad/s olarak bulduk. Görüldüğü gibi teorik doğal frekans daha büyüktür. Bunun nedeni deney sırasında sisteme etki eden hava sürtünmesi ve mafsalların etkisidir. Devir sayısı n=1125 d/dk da sistem rezonans durumuna (darbeli titreşim) geçmektedir. Buradaki frekans, rezonans frekansıdır. Ayrıca teorik olarak hesaplanan sönüm faktörü de deneysel olarak hesaplanan sönüm faktöründen büyüktür. Bunun nedeni de yine hava sürtünmesi ve mafsalların etkisidir. Makinanın emniyetli bir şekilde çalışabilmesi için rezonans devir sayısından daha küçük veya gerektiği zaman daha büyük değerlerde çalıştırılmalıdır. Büyük değerler için rezonans bölgesinden geçiş ne kadar hızlı olursa etkilenme o kadar az olur. Başka bir yöntem ise sönüm elemanı kullanarak rezonans olayının olmasını engelleyebiliriz.