Statik Mukavemet 1 ( Giriş ve ana ilkeler, Vektörler ve kuvvetler, Maddesel noktaların statiği ) STATIK –MUKAVEMET 1. Giriş ve ana ilkeler, Vektörler ve kuvvetler, Maddesel noktaların statiği Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ İÇİNDEKİLER (STATİK) 1. Giriş ve ana ilkeler, Vektörler ve kuvvetler 2. Rijit cisimler. Eşdeğer kuvvet sistemleri 3. Rijit cisimlerin dengesi, Denge denklemleri, Serbest cisim diyagramı 4. Ağırlık merkezleri, 5. Atalet momentleri 6. Düzlem ve uzay kafes sistemler 7.Uygulamalar İÇİNDEKİLER (MUKAVEMET) 1. Mukavemetin Konusu Ve Amacı, 2. Mukavemetin Prensipleri, 3. İç kuvvet, iç kuvvet bileşenleri, kesit tesirleri (zorları) 4. Gerilme 5. Şekil değiştirme 6. Gerilme – şekil değiştirme bağıntıları 7. Şekil değiştirme enerjisi 1.GİRİŞ MEKANİK Mekaniğin bir dalı olan statiği daha iyi anlayabilmek için öncelikle mekaniği ve ona bağlı konuları hızlı bir şekilde gözden geçirmekte yarar vardır. MEKANİK: Mekanik, kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin denge ve hareket şartlarını anlatan ve inceleyen bilim dalıdır. Mekanik üç kısma ayrılabilir: 1.Rijit cisimler mekaniği: Şekil değiştirmeyen cisimler mekaniği: a. Statik : Dengede bulunan cisimleri inceleyen bilim dalıdır. b. Dinamik: Hareket halindeki cisimleri inceleyen bilim dalıdır. 2. Şekil değiştiren cisimlerin mekaniği a. Mukavemet 3. Akışkanlar mekaniği a. Sıkışabilen b. Sıkışamayan STATİĞİN KONUSU ? STATİK: Uzayda, kuvvetler etkisi altındaki cisimlerin denge koşullarını inceler. Yukarıdaki tanımdan da açıkça görüldüğü üzere statikte üç ana kavram vardır; 1. Kuvvet, 2. Uzay, 3. Cisim. ÖNEMLİ KAVRAMLAR Uzay: Fiziksel olayların meydana geldiği geometrik bir bölgedir. İncelenen problemin türüne göre uzay bir boyutlu, iki boyutlu ve üç boyutlu olabilir. Kuvvet: Hareketin nedeni olarak düşünülen fiziksel etkenin matematik modelidir. Bir kuvvet uygulama noktası, doğrultusu, yönü ve şiddeti ile bir bütündür. Bu özelliklere sahip büyüklüklerin vektörel büyüklükler olduğu matematikten bilinmektedir. Cisim: Fiziksel olayın etkilerinin ölçüldüğü geometrik bölgeye verilen addır. Statikte cisimler aşağıda verilen iki ana idealleştirmeyle tanımlanırlar: 1. Maddesel Nokta (Parçacık) 2. Rijid Cisim STATİĞİN KONUSU 1. Maddesel nokta (Parçacık): İncelenen statik problemin karakteri nedeniyle boyutları ihmal edilebilecek mertebede küçük olan cisme verilen addır. Maddesel nokta olarak dikkate alınabilen cismin kütlesi bir noktada toplanmış olarak kabul edilir. 2. Rijit cisim: Kuvvetler etkisinde boyutları değişmediği kabul edilen, diğer bir deyimle herhangi iki noktası arasındaki uzaklık daima sabit kalan, çok sayıda maddesel noktanın bileşimi olan ideal bir cisimdir. Çeşitli etkiler altında katı cisimlerin boyutlarındaki değişme küçük olduğunda, boyut değişimiyle ilgilenilmeyen durumlarda yapılan bir kabul olup, bu kabul işlemlerde çok büyük kolaylıklar sağlar. BİRİM SİSTEMLERİ Üç temel birim vardır. Diğer birimler bu üç temel birimden türetilmiştir. Bunlar; Uzunluk (L), Zaman (T), Kütle (M). MEKANİĞİN İDEALLEŞTİRMELERİ (YAPTIĞI KABULLER): 1. Süreklilik: Ele alınan cismin atom ve molekülleri arasında sanki boşluk yokmuş gibi bütün hacmin boşluk kalmayacak şekilde bu malzeme ile dolu olduğunu kabul eder. 2. Rijid Cisim: Kuvvet etkisinde cismin geometrisinde oluşan küçük değişiklikler ihmal edilerek sanki hiç geometride değişiklik yokmuş gibi hesaplar yapılır. 3. Nokta Kuvvet: Cisme etkiyen sonlu bir kuvvet cisimde lokal (yerel) şekil değiştirmeye yol açar. Bu yerel yer değiştirme ihmal edilir. Bir cisim üzerine tesir eden bir kuvvetin tatbik noktası, cisim üzerinde öyle bir noktadır ki kuvvet bu noktada toplanmış farz edilir. 4. Parçacık: Kütlesi olan fakat hacimsel boyutları sıfır olarak kabul edilen cisme parçacık denir. MEKANİĞİN KANUNLARI Ne wton’un Üç Temel Kanunu: (Sir Isaac Newton, 17.yy ) Birinci Kanun: Her cisim üzerine bir kuvvet etki etmedikçe, önceki durağan konumunu yada sabit hızlı düzgün doğrusal hareketini sürdürür. İki nci Kanun: Hızın değişimi, cisme etki eden kuvvetle doğru orantılı ve bu kuvvet yönündedir. Üç üncü Kanun: Her etkiye karşı bir tepki vardır. Bu tepki, etkiye eşit ve zıt yönde, uygulama noktasına diktir. Ne w ton’un Ç ekim Kanunu: İki cisim birbirlerini kütlelerinin çarpımı ile doğru orantılı, uzaklıklarının karesi ile ters orantılı ve bunları birleştiren doğrultuda çekerler. m, M: cisimlerin kütleleri r : iki maddesel nokta (cisim) arasındaki uzaklık G : Evrensel çekim sabiti. 2 r Mm G F ?Newton’un Birinci Kanunu: Her cisim üzerine bir kuvvet etki etmedikçe, önceki durağan konumunu yada sabit hızlı düzgün doğrusal hareketini sürdürür. Baslangıça durağan halde olan veya sabit hızla bir doğru boyunca hareket eden bir parçacık, dengelenmemiş bir kuvvet etki etmedikçe bu durumunu korur Newton’un İkinci Kanunu: Hızın değişimi, cisme etki eden kuvvetle doğru orantılı ve bu kuvvet yönündedir.Üzerine dengelenmemis bir F kuvvetinin etkidiği bir parçacık, kuvvetle aynı doğrultuda ve büyüklüğü kuvvetle doğru orantılı olan bir a ivmesi kazanır. F kuvveti m kütleli bir parçacığa uygulanıyorsa, bu kanun şöyle ifade edilir: F=ma Newton’un 3. Kanunu: Her etkiye karşı bir tepki vardır. Bu tepki, etkiye eşit ve zıt yönde, uygulama noktasına diktir. İki parçacık arasındaki karsılıklı etki ve tepki kuvvetleri esittir, ters isaretlidir ve aynı doğrultudadır (aynı tesir çizgisi üzerindedir). Şekildeki top bir düzlem üzerinde durmaktadır. Düzlemde, yani x,y doğrultularında top harekete karşı serbest olduğu halde düşey doğrultuda (z yönünde) hareket serbestliği yoktur. Bu kanuna göre düzlemin topa gösterdiği tepki kuvveti R=W dir. Newton’un Çekim kanunu: Kütleleri M ve m olan iki maddesel nokta karşılıklı olarak eşit ve zıt yönlü F ve –F kuvvetleri ile şekilde görüldüğü gibi birbirini çeker. Cisimler arasındaki bu çekime Newton’un gravitasyon kanunu denir ve aşağıdaki formülle izah edilir. İki parçacık arasındaki karsılıklı çekim: F= iki parçaık arasındaki çekim kuvveti G= evrensel çekim sabiti G= 66.73(10-12) m3/(kg.s2) M,m = her bir parçacığın kütlesi r = iki parçacığın merkezleri arasındaki uzaklık Gravitasyonal kuvvetler, her cisim çifti arasında mevcuttur. Yeryüzü üzerinde, ölçülebilen tek gravitasyonal kuvvet, yerin çekiminden ileri gelen kuvvettir, g ivmesi, Yeryüzüne göre g’nin değeri, ekvatorda 9.78 m/s2, 450 lik enlemde 9.81 m/s2 ve kutuplarda 9.83 m/s2 olarak bulunmuştur.Çoğu mühendislik problemlerinde, g’nin değeri 9.81 m/s2 olarak almak uygundur. Bir cismin kütlesini, genel çekim kanunuyla hesaplamak mümkündür. Cismin ağırlığının değeri, W ise ve cisim g ivmesi ile düştüğüne göre STATİĞİN İLKELERİ Statik dört temel ilkeye dayanır:Bunlar, 1. Kuvvetlerin toplanmasında paralelkenar ilkesi, 2. Denge ilkesi, 3. Süperpozisyon ilkesi, 4. Etki-tepki ilkesi. STATİĞİN TEMEL İLKELERİ Paralelkenar Kanunu: Bir maddesel noktaya etkiyen iki kuvvetin yerine bir tek kuvvet koymak mümkündür; bil eşke adı verilen bu kuvvet, kenarları verilen kuvvetlere eşit bir paralelkenarın köşegenini çizerek elde edilir. Bileşke kuvvet göz önüne alınan iki kuvvetin vektörel toplamıdır, Bunun tersi de doğrudur: bir kuvvet yerine doğrultuları belli iki kuvvet alınabilir. Bu kuvvetlere “bilesenler” adı verilir. R = F 1 + F 2 Tersine olarak paralelkenar ilkesi, verilen bir kuvveti verilen iki doğrultuda belli iki kuvvete (bileşenlerine) ayırmak için de kullanılabilir. STATİĞİN İLKELERİ Denge ilkesi: Bir rijit cisme etkiyen iki kuvvetin dengede olabilmeleri için tesir çizgilerinin aynı, şiddetlerinin eşit ve yönlerinin zıt olması gerekir. Örneğin F 1 = - F 2 ise şekildeki kuvvetler dengede olurlar, STATİĞİN İLKELERİ Süperpozisyon ilkesi: Bir rijit cisim,bir takım kuvvetlerin etkisi altında dengede ise, aralarında dengede olan diğer birtakım kuvvetlerin eklenmesi veya ıkarılması ile cismin dengesi bozulmaz. İkinci ve üçüncü ilke birleştirilerek, rijit cisim statiğinde kuvvetin bir kayan vektör olduğu, yani aynı tesir çizgisi üzerinde, aynı şiddet, doğrultu ve yönde başka bir noktaya etkiyen bir kuvvet olarak göz önüne alınabileceği görülebilir. STATİĞİN İLKELERİ Etki tepki ilkesi: Birbirlerine değen iki cismin değme noktalarında etki ve tepki kuvvetleri aynı şiddette, aynı tesir çizgisi üzerinde ve zıt yöndedirler. STATİĞİN İLKELERİ Statiğin dayandığı temel ilkelerden şu sonuçlar çıkartılabilir ? Üç kuvvet etkisindeki bir cismin dengede olabilmesi için bu üç kuvvetin aynı noktada kesişmesi gerekir. ? Kuvvet kayan bir vektördür. Yani doğrultu ve ya değismemek sartıyla kuvvet kaydırılabilir Üç vektörün etki ettiği bir cismin dengede olabilmesi için bu üç vektörün “kapalı kuvvetler üçgeni” oluşturması gerekir. Maddesel nokta üçten fazla kuvvetin etkisinde dengede ise problem grafik yoldan bir kuvvetler çokgeni çizerek çözülebilir. STATİĞİN İLKELERİ Statiğin Problemleri ve Yöntemi Statik problemlerinde aşağıdaki gibi üç durumla karşılaşılabilir: 1. Bileşke aranması: Kuvvetler sisteminde kuvvetlerin sayısını azaltmak hesaplarda önemli kolaylıklar sağlar. Eğer kuvvetler sistemi bir tek kuvvete indirgenebilirse bu kuvvet aranan bileşke olur. 2. Bileşenlere ayırma: Bazı durumlarda bir kuvvetin kendisi yerine belirli doğrultulardaki bileşenlerinin kullanılması daha elverişli olabilir. Bu durumda bileşenlere ayırma problemi ile karşılaşılabilir. 3. Denge problemi: Kuvvetler sisteminin dengede olması için sağlaması gereken koşulların incelenmesidir. Statik problemleri incelenirken, problemdeki cisimlerin hepsi için, her birine etkiyen kuvvetleri açıkça gösteren ayrı ayrı diyagramlar çizilmelidir. Dengesi incelenecek olan sistemin ya da cismin üzerine etkiyen bütün kuvvetlerin gösterildiği diyagramlara serbest cisim diyagramları (SCD) denir. Bu diyagramların elde edilebilmesi için, a) incelenecek olan cisim bağlarından ve diğer cisimlerden ayrılır, b) bağlardan ve diğer cisimlerden ayrılan cismin serbest cismi üzerine uygulanan kuvvetler gösterilir, c) serbest cisim birkaç parçadan oluşuyorsa, tüm cismin SCD da, bu parçaların birbirlerine uyguladığı kuvvetler göz önüne alınmamalıdır, d) bilinen dış kuvvetler şiddet ve doğrultularıyla SCD da çizilir, e) bağ kuvvetleri (mesnet tepkileri veya mesnet reaksiyonları) de, bağın özelliğine göre SCD da cisim üzerine etkitilir. BAĞ (MESNET) Cismin herhangi bir doğrultudaki serbest hareketine mani olan şeye bağ denir. Örneğin, yatay bir düzlem üzerinde duran top, düzlem boyunca harekete karşı serbest olduğu halde, düşey olarak aşağıya doğru hareket edemez. MESNET (BAĞ) TEPKİLERİ Bir takım dış kuvvetlerin etkisine maruz olan ve harekete karşı tamamıyla serbest olmayan bir cisim mesnet noktalarında bir takım basınçlar meydana getirir. Bir mesnet üzerindeki herhangi bir basınç, mesnetten eşit fakat zıt yönlü bir basıncın doğmasına sebep olur, öyle ki tesir ve zıt tesir (reaksiyon) eşit fakat zıt yönlü iki kuvvettirler. Bağlı cisme etkiyen iki cins kuvvet: Aktif kuvvetler (verilen kuvvetler): Yerçekimi kuvveti ( W, Q) vb. Mesnetler yerine konulan z ıt tesir kuvvetleri (veya reaksiyon kuvvetleri) gelir ki yukarıdaki şekilde gösterilen R a , R b kuvvetleri bu çeşit kuvvetlerdir. SERBEST CİSİM DİYAGRAMI (SCD) Cisimlerin mesnetlerinden izole edilip kendilerine etkiyen aktif kuvvetlerle, reaksiyon kuvvetlerinin bir arada gösterildiği krokilere serbest cisim diyagramı adı verilir. Bir cismin dengede olduğunu söyleyebilmek için yalnız aktif kuvvetlerin dengede olması kafi gelmez. Aktif ve reaksiyon kuvvetlerinin hep birlikte denge koşullarını sağlaması gerekir. KUVVETLER Kuvvetleri düzlemde ve uzayda olmak üzere, 1. Düzlemde kuvvetler, ? Düzlemde bir noktada kesişen kuvvetler, ? Düzlemde paralel kuvvetler, ? Düzlemde genel kuvvetler hali, 2. Uzayda kuvvetler, ? Uzayda bir noktada kesişen kuvvetler, ? Uzayda paralel kuvvetler, ? Uzayda genel kuvvetler hali. Kuvvet Kuvvet: Genel olarak, bir cismin diğerine uyguladığı “itme”veya çekme olarak düşünülebilinir. Bu etkilesim, cisimler birbirine temas ederken veya cisimler fiziksel olarak ayrı iken belirli bir mesafe üzerinden gerçeklesebilir. Kuvvet, uygulama noktası (etki noktası), siddeti, doğrultusu ve yönü ile karakterize edilir. Bu özellikleri ile kuvvet vektörel bir büyüklüktür. •Kuvveti; doğrudan ve dolaylı kuvvetler, iç ve dıs kuvvetler, yüzeye ya da hacme yayılı kuvvetler olarak sınıflandırabiliriz. KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET SİSTEMLERİ Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler Skaler büyüklük: Sadece bir sayısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif veya negatif olabilir. Kütle, hacim ve uzunluk statikte sıkça kullanılan skalerlerdir. Vektörel büyüklük: Siddet, doğrultu ve yön ile belirtilen fiziksel bir büyüklüktür. Kuvvet, moment, konum vektörel birer büyüklüktür. Vektör, yönlenmis bir doğru parçasıyla temsil edilir. VEKTÖRLER VEKTÖRLER Vektörel büyüklükler: Hız, ivme ve kuvvet gibi hem yönü, hem doğrultusu, hem de şiddeti olan büyüklüklere vektör adı verilir Örneğin kuvvet bir vektörel büyüklüktür. Bir F vektörünün şiddeti F ya da F ile simgelenir. Vektör doğrultusunu bir doğru, yönünü de bir ok belirler, Şekil 2.1. Şekil 2.1 deki vektör doğrultusu üzerindeki iki A(X A, Y A ) B (X B, Y B ) iki nokta olup, bu noktalar koordinatlarıyla verilmişlerdir; dolayısıyla vektörün doğrultusu belirlidir. Vektörler harfin üzerine kısa bir ok çizilerek gösterilir VEKTÖRLER Vektörleri aşağıdaki şekilde gruplayabiliriz: Sabit vektör, Serbest vektör, Kayan vektör, Birim vektör Eşit vektörler, Negatif vektör, Sabit vektör: Uygulama noktası sabit olan vektör. Mukavemette sabit vektörler kullanılır . Serbest vektör: Yönü ve şiddeti korunmak şartı ile uzayda serbestçe hareket ettirilebilen vektörler. Kayan vektör: Aynı doğrultu üzerinde olmak koşulu ile istenilen noktaya uygulanabilir. Statikteki kuvvetler kayan vektörlerdir. Statikte kuvvetlerin kayan vektörler olduğu süperpozisyon ve denge ilkeleri yardımıyla gösterilebilir. Eşit vektörler:aynı yön ve büyüklükte olan vektörlerdir. Negatif vektör:verilen bir vektörle aynı büyüklükte ama ters yönde olan vektördür Şekil 2.2a da, A noktasına etkiyen F kuvveti ele alınsın. Denge ilkesinden cisim içerisindeki bir B noktasına F kuvveti ile aynı tesir çizgisi üzerinde olan, yönleri ters, şiddetleri F olan iki kuvvet yerleştirilebilir, Şekil 2.2b. Süperpozisyon ilkesi kullanılarak A noktasındaki F kuvveti ile B noktasındaki - F kuvveti kaldırılabilir. Sonuç olarak A noktasına etkiyen F kuvveti cisim üzerindeki B noktasına taşınmış olur, Şekil 2.2c. VEKTÖRLER Sabit vektör: Uygulama noktası sabit olan vektör. Mukavemette sabit vektörler kullanılır. Birim vektör: Şiddeti 1 birim olan vektördür. Bu vektörler burada ? simgesi ile gösterilecek olup, boyları, yani şiddetleri birim olan vektörlerdir, 1 ? ?VEKTÖRLER Vektörler, şiddeti, doğrultusu ve yönü bulunan, paralelkenar kanununa göre toplanan matematik ifadeler olarak tanımlanır. Bazı ifadelerin şiddeti ve doğrultusu vardır ve okla gösterilebildiği halde vektör sayılamazlar. Böyle ifadelerden bir kısmı rijid cismin sonlu dönmeleridir. VEKTÖRLER Kütle, uzunluk, zaman, bir cismin yoğunluğu ve herhangi bir sayı gibi sadece büyüklüğü olan ifadelere skaler denmekte olup, mekanikte en sade ifadeler skalerlerdir. Mekanik problemlerin incelenmesinde skaler tanımı yeterli olmayıp, buna ek olarak vektör tanımına ihtiyaç vardır. VEKTÖREL İŞLEMLER Vektörleri bir sabit ile çarpma: A noktasına uygulanmış bir F vektörü örneğin a>1 gibi bir sabit ile çarpılırsa, VEKTÖREL İŞLEMLER: vektörlerin toplanması Paralelkenar ilkesi: Vektörler bu ilke ile toplanırlar. Şekil 2.5. Bu ilkenin matematik gösterimi Vektörlerin Toplanması ? Vektörleri toplamak için paralelkenar kuralı ? Vektörleri toplamak için üçgen kuralı ? Kosinüs kuralı, R 2 =P 2 +Q 2 -2PQ CosB ? Sinüs kuralı, SinA/Q=SinB/R=SinC/A Üçgen ilkesi: F 1 ve F 2 vektörlerini birbirinin ucuna ekleyerek bileşkeyi bulmak mümkündür. F1 ve F2 vektörlerini paralelkenar ilkesinin özel bir uygulaması olan “üçgen ilkesi”ne göre de toplayabiliriz. F1 vektörünün ucuna ve F2 vektörü eklenir, ve F1’in başlangıcı ile ve F2 ’nin ucu birleştirilir ve R bileşke vektör elde edilir. Not: Vektör toplamı komutatif’tir, vektörler herhangi bir sırada toplanabilir. vektörlerin toplanması ? Vektör toplanması değiştirilebilir özelliktedir, ? P +Q=Q+P ? Vektörleri çıkarmak Vektörlerin Toplanması ? Üç veya daha fazla vektörün toplanması üçgen kuralının tekrar uygulanmasından ibarettir. ? Üç veya daha fazla vektörün toplanması için poligon kuralı Vektörlerin Toplanması ? Vektör toplama işlemi birleşme özelliğine sahiptir. P +Q +S=(P+Q) +S= P +(Q +S ) ? Bir vektörün bir skaler ile çarpılması Vektörlerin Toplanması Birden Fazla Eşzamanlı Kuvvetin Bileşkesi Eşzamanlı kuvvetler: Hepsi aynı noktaya etki eden kuvvetlerin tamamı. Bir parçacığa etki eden eşzamanlı kuvvetlerin tamamı, bu kuvvetleri vektörel toplamı olan tek bir bileşke kuvvet ile değiştirilebilir. Birden Fazla Eşzamanlı Kuvvetin Bileşkesi Vektör kuvvet bileşenleri: toplamları tek bir kuvvet gibi aynı etkiyi yapan iki veya daha fazla kuvvet. Vektörlerin Toplamı A ve B vektörü aynı etki çizgisine sahipse paralelkenar kuralı cebirsel (skaler) toplama indirgenir. (şiddetlerin toplamı) Vektör Çıkarması A ve B vektörlerinin çıkarılması için paralelkenar veya üçgen kuralı kullanılabilir. A ve B vektörleri arasındaki fark bileske vektörü: Bir Kuvvetin Dikdörtgensel Bileşenleri: Birim Vektörler Verilen bir kuvvet birbirine dik iki bileşene ayrılabilir. Bu durumda elde edilecek paralelkenar bir dikdörtgen olacaktır. Bileşenler ise dikdörtgensel vektör bileşenleri olarak adlandırılır ve F x , F y ile gösterilir. F= F x +F y Bir Kuvvetin Dikdörtgensel Bileşenleri: Birim Vektörler Burada pozitif x ve y eksenleri üzerinde ve birim büyüklükte iki vektör tanımlanacaktır. Bu vektörlere birim vektörler denir ve sırasıyla ve olarak gösterilir Vektör bileşenleri skaler büyüklükleriyle birim vektörlerinin çarpımı şeklinde ifade edilebilirler. Fx ve Fy , ‘ in skaler bileşenleri F olarak adlandırılır. Bir Kuvvetin Dikdörtgensel Bileşenleri: Birim Vektörler Birim vektörlerden oluşturulması mümkün olan çiftlerin vektörel çarpımları şöyledir: Kuvvetlerin x ve y Bileşenleri İle Toplanması 3 veya daha fazla eşzamanlı kuvvetin bileşkesi bulunmak istenirse, R =P+ Q+ S (Her bir kuvveti dikdörtensel bileşenlerine ayırınız. R x i+ R y j= P x i +P y j + Q x i +Q y j + S x i +S y j R x i+ R y j= (P x + Q x +S x )i+ (P y + Q y +S y )i ? Kuvvetlerin x ve y Bileşenleri İle Toplanması Bir Parçacığın Dengesi Bir parçacığa etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfıra eşit ise bu parçacık dengededir. Newton’un Birinci Kanunu: Eğer bir parçacığa etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfır ise parçacık hareketsiz kalır veya sabit bir hızla doğrusal hareketine devam eder. İki kuvvetin etkisindeki parçacık: - aynı skaler büyüklük - Aynı etki doğrultusu - Ters yön Bir Parçacığın Dengesi Bir Parçacığın Dengesi Üç veya daha fazla kuvvetin etkisindeki parçacık: - Grafik çözümü kapalı bir poligon oluşturur. - Cebirsel çözüm R= ? F =0 ? F x =0 , ? F y =0 Uzaydaki Bir Kuvvetin Dikdörtgensel Bileşenleri F vektörü OBAC düzleminde bulunmaktadır. F vektörünü yatay ve dikey bileşenlerine Ayırınız. Fy = F cos? y Fh = F sin? y Uzaydaki Bir Kuvvetin Dikdörtgensel Bileşenleri Uzaydaki Bir Kuvvetin Dikdörtgensel Bileşenleri Fh vektörünü dikdörtgensel Bileşenlerine ayırınız. Uzaydaki Bir Kuvvetin Dikdörtgensel Bileşenleri F=F (cos?xİ+ cos?yj+ cos?zk) F=F ? ?= cos?xİ+ cos?yj+ cos?zk ? ,F vektörünün etki çizgisi üzerinde yer alan bir birim vektördür ve cos?x, cos?y, cos?z ise vektörünün yön kosinüsleridir. Uzaydaki Bir Kuvvetin Dikdörtgensel Bileşenleri Bir kuvvetin yönü iki uç noktasının pozisyonlarıyla tanımlanır d ,M ve N noktalarını birleştiren vektör d=dxi+ dy j +dx k dx=X2-X1 dy=y2-y1 dx=X2-X1 dz=z2-z1 Uzayda Bileşke Kuvvetleri Tanımlamak x, y, ve z dikdörtgensel bileşenlerini kullanarak bileşkeleri belirlemek İşlem adımları: 1. Her bir kuvvet vektörünü birim vektörleri kullanarak yazınız. 2. Bileşke kuvvet vektörünün x bileşenini bulmak için bütün x bileşenlerini toplayınız. örneğin, Rx = ?Fx 3. Bileşke kuvvet vektörünün y bileşenini bulmak için bütün y bileşenlerini toplayınız. örneğin, Ry = ?Fy 4. Bileşke kuvvet vektörünün z bileşenini bulmak için bütün z bileşenlerini toplayınız. örneğin, Rz = ?Fz 5. Sonucu şu şekilde ifade ediniz:R= Rx i+ Ry j +Rz k Uzaydaki Bir Parçacığın Dengesi Parçacığın uzaydaki dengesi Eğer bir cisim dengede ise ve eğer problem üç boyutlu uzayda ifade ediliyorsa o zaman ?F= 0 ilişkisi şu şekilde ifade edilebilir: ?Fx = 0 ?Fy = 0 ?Fz = 0 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Kuvvetler, belli bir büyüklük, doğrultu ve yöne sahiptir ve vektörel bir büyüklük olduğu için paralelkenar kuralına göre toplanır. Statikteki iki genel problem: – Bileşenlerden bileşke kuvvet bulmak – Bilinen bir kuvveti bileşenlerine ayırmak Bir kuvvetin bileşenlerine ayrılması Bir noktaya etkiyen bir tek vektör yerine aynı etkiyi yapacak iki veya daha fazla vektör koymak mümkündür.Bunlara vektörün bilesenleri denir. Bu bilesenleri bulabilmek için: – İki bilesenden düzlemde biri, uzayda ise üç bilesenden ikisi bilinmelidir. – Bilesenlerin tesir çizgileri bilinmelidir. Analizde izlenecek yol ? Paralelkenar kuralı ? Trigonometri Bileşke vektörün bulunması: Grafik çözüm:(Paralelkenar kuralı) Bileşke vektörün bulunması:Trigonometri: Sinus Kuralı: Cosinus Kuralı: Örnek Problem: Şekildeki kanca F1 ve F2 kuvvetlerine maruzdur. Bileşke kuvvetin büyüklük ve doğrultusu belirleyiniz. Çözüm: Grafik Yöntem Paralelkenar Yöntemi Açı COA = 90 -15-10 = 65o Açı OAB = 180 -65= 115o Açılar; Çözüm:Trigonometrik yöntemi; cosinus kuralı ile Ödev: Şekildeki kuvvetlerin bileşkesini ve doğrultusunu bulunuz. Ödev: Eğer şekildeki sistemde bileşke kuvvet dikey ve aşağı yönde 1000N ise (a) ?=30 derece iken (b) F2 minimum iken F1 ve F2 nin uzunluklarını bulunuz. Düzlemsel kuvvetlerin toplanması (Kartezyen Koordinatlar) Eğer bir kuvvet x ve y eksenlerindeki bilesenlerine ayrılırsa, bu bilesenlere “kartezyen bilesenler” denir.x ve y eksenleri pozitif ve negatif yönler belirttiklerinden, bir kuvvetin dik bilesenlerinin büyüklüğü ve yönü cebirsel skalerlerle ifade edilebilir. Skaler gösterim Fx=F Cos ? Fy=F Sin ? Vektörlerin Kartezyen Koordinatlarına Ayrılması (x, y, z) Bir kuvvetin bilesenleri, kartezyen birim vektörler cinsinden ifade edilebilir. x ve y eksenlerinin doğrultularını belirtmek için sırasıyla i ve j kartezyen birim vektörleri kullanılır. Bu vektörler, boyutsuz birim uzunluktadır ve yönleri (ok ucu), pozitif veya negatif x ve y eksenini isaret etmesine bağlı olarak, artı veya eksi isareti ile gösterilir. Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileskeleri Bir kuvvetin bilesenlerini göstermede kullanılan iki yöntem de çok sayıda düzlemsel kuvvetin bileskesini belirlemek için de kullanılabilir. Bunun için, her bir kuvvet önce x ve y bilesenlerine ayrılır ve sonra karsılıklı bilesenler aynı doğru üzerinde bulunduklarından skaler cebir kullanılarak toplanır. Vektörlerin Kartezyen Koordinatlarına Ayrılması (x, y, z) İkiden fazla kuvvetin toplanması Herhangi bir sayıda düzlemsel kuvvetin bileskesinin x ve y bilesenleri, bütün kuvvetlerin x ve y bilesenlerinin cebirsel toplamıyla bulunabilir. Bileskenin bilesenleri belirlendikten sonra, sekildeki gibi, x ve y eksenleri boyunca çizilebilir. Bileske kuvvet vektör toplamından belirlenebilir. Bileskenin büyüklüğü ve yönü ise su sekilde bulunabilir. Örnek Problem: Şekilde verilen kuvvetlerin vektör olarak x ve y bileşenlerini gösteriniz ve yazınız Vektörel olarak: Ödev: Bir reklam levhası aşağıya doğru indirilirken sallanmasını önlemek için A noktasından iki kablo ile desteklenmektedir. Eğer P değeri 300N ise trigonometriyi kullanarak aşağıda sorulanları bulunuz: a) Eğer A noktasına etki eden iki kuvvetin bileşkesinin (R) dik olması gerekiyorsa gerekli olan ? açısını hesaplayınız. b) Bileşke kuvvetin değerini (R) hesaplayınız Problem: A ve B yapı elemanları şekilde görüldüğü gibi bir konsola civatalanmıştır. Her iki elemanın da baskı altında olduğu ve A elemanındaki kuvvetin 15 kN, B elemanındaki kuvvetin de 10 kN olduğu düşünülürse A ve B elemanlarına uygulanan kuvvetlerin bileşkesinin büyüklüğünü ve doğrultusunu trigonometrik yöntem ile bulunuz Problem: 200 N’ luk kuvvet a-a’ ve b-b’ doğruları üzerindeki bileşenlerine ayrılacaktır. a) b-b’ doğrusu üzerindeki bileşen 120 N ise ? açısını trigonometrik olarak hesaplayınız. b) a-a’ doğrusu üzerindeki bileşenin değeri nedir? Problem:üç kuvvetin bileşkesinin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz. Problem:üç kuvvetin bileşkesinin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz. Problem ? = 55° ise AC çubuğunda ve BC halatında meydana gelen kuvvetleri hesaplayınız. Problem: P ve Q kuvvetleri bir uçak parça bağlantısına etki etmektedirler.Bağlantının dengede olduğunu, P = 2.5 kN ve Q = 3.5 kN olduğunu biliyorsak A ve B çubuklarında etkili olan kuvvetlerin büyüklüklerini bulunuz. Problem:Eğer P = 400 N ve Q = 300 N ise her iki kuvvetin bileşkesinin skaler büyüklüğünü ve yönünü bulunuz. Problem:Balonu yerinde tutmak için üç adet kablo kullanılmaktadır. Eğer AB kablosunda oluşan kuvvet çekme şeklinde ise ve büyüklüğü 259 N ise balon tarafından A noktasına etki eden dikey P kuvvetini bulunuz