Statik Mukavemet 2 ( Rijit cisimler, Moment, Kuvvet çifti, Eşdeğer kuvvet sistemleri ) STATİK - MUKAVEMET 2. Rijit cisimler, Moment, Kuvvet Çifti, Eşdeğer Kuvvet Sistemleri Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ . i Noktasal Cismin Dengesi Bu bölümde;Kuvvetleri bieşenlerine ayırma ve kartezyen vektör şeklinde ifade etme yöntemleri noktasal cismin dengesini içeren problemlerin çözmede kullanılacaktır Noktasal Cismin Dengesi Denge Koşulu: Bir maddesel noktaya etkiyen bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfırsa maddesel nokta dengededir. Bir parçacık, başlangıçta hareketsizken halen durağan halde bulunuyorsa veya başlangıçta hareketli iken halen sabit hıza sahipse dengededir. “denge” veya “statik denge” ifadesi çoğu zaman durmakta olan bir nesneyi tanımlamak için kullanılır. Denge durumunu korumak için Newton’un birinci hareket kanununu sağlamak gereklidir: bir parçacık üzerine etkiyen bileşke kuvvet sıfır ise, parçacık dengededir. ?F=0 Bu formül denge için gerekli koşul olmakla kalmayıp, aynı zamanda yeterli koşuldur. Bu durum Newton’un ikinci hareket kanunu ile ortaya konur. F=ma ma=0 ise a=0 Parçacık sabit hızla hareket etmekte veya durmaktadır. Serbest Cisim Diyagramı Denge denklemini doğru uygulayabilmek için, parçacık üzerine etkiyen tüm bilinen ve bilinmeyen kuvvetleri hesaba katmak gerekir. Bunun için parçacığı çevresinden soyutlanmış ve serbest olarak gösteren bir şema çizilir. Parçacık üzerine etkiyen tüm kuvvetleri gösteren bu çizime “serbest cisim diyagramı” denir. Serbest cisim diyagramını çizerken kullanılan iki bağlantı tipi : ? Yaylar ? İpler ve makaralar Mesnet olarak lineer elastik bir yay kullanılıyorsa, yayın uzunluğu, üzerine etkiyen kuvvet ile doğru orantılı olarak değişir. Yayların elastikliğini tanımlayan : yay sabiti (k) F=ks s=l-lo Yaylar İpler (Kablolar) ve Makaralar Tüm kabloların ihmal edilebilir bir ağırlığa sahip ve uzayamaz olduğu kabul edilecektir. Kablolar sadece çekme kuvveti taşırlar ve bu kuvvet daima kablo doğrultusunda etki eder. Şekilde herhangi bir ? açısında, kablo uzunluğu boyunca sabit T gerilmesi oluşmaktadır Serbest Cisim Diyagramı Çizme Yöntemi Öncelikle yapılması gereken; Uygun bir parçacık belirlendikten sonra buna etkiyen kuvvetleri gösterebileceğimiz serbest cisim diyagramını basit bir şekilde çizmektir. Bir rijit cismin statik denge analizindeki ilk adım cisim üzerinde etkili olan bütün kuvvetlerin serbest cisim diyagramı kullanılarak gösterilmesidir. ? Cismi mesnetlendiği zeminden ve diğer bütün cisimlerden ayırınız. ? Rijit cismin ağırlığı da dahil olmak üzere dıs kuvvetlerin yönünü,büyüklüğünü ve uygulama noktalarını gösteriniz ? Cisim üzerinde etkili olan büyüklüğü ve yönü bilinmeyen kuvvetlerin tahmini yönlerini ve uygulama noktalarını gösteriniz. Bu kuvvetler genellikle zemin-rijit cisim ve diğer cisim-rijit cisim arasında oluşan tepkisel kuvvetleri içerir. ? Kuvvetlerin olusturduğu momentleri hesaplamak için gerekli olan ölçüleri ekleyiniz. Serbest Cisim Diyagramı Serbest Cisim Diyagramı Serbest-Cisim Diyagramı: Seçilen parçacık üzerinde sadece kuvvetleri gösteren çizim. C noktasının serbest cisim diyagramını çiziniz Düzlemsel Kuvvet Sistemleri kuvvetlerin dengede olması için vektörel toplamın “sıfır” olması gerekir. • Bu vektörel denklemin sıfıra eşit olması için x ve y bileşenleri sıfıra eşit olmalıdır. • Bu iki denklem en çok iki bilinmeyen kuvvetin bulunması için kulanılır. • Denklemlerde kuvvetlerin yönleri de dikkate alınmalıdır. ?F=0 ?Fx=0 ?Fy=0 Skaler gösterim Bileşenlerin gösteriminde skaler notasyon kullanılacaktır. Her bir bileşenin yönü serbest cisim diyagramında bileşenin ok yönüne karşı gelen bir cebirsel işaret ile ifade edilir. Bir kuvvet bileşeninin işareti bilinmiyorsa, alınan yön pozitif olur, çözüm negatif çıkarsa kuvvet yönünün ters olduğu anlaşılır. ?Fx=0 F+10=0 F=-10 N Örnek Problem D silindiri 60 kg’dır. BA ve BC kablolarında oluşan çekme kuvvetlerini bulunuz. Çözüm Örnek Problem 8 kg’lık lambanın şekildeki gibi taşınabilmesi için AC kablosunun uzunluğu ne olmalıdır? ’AB=0.4 m (deforme olmamış boy)l Çözüm Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Parçacık dengesinin sağlanması için: Parçacık üzerine etkiyen kuvvetler i, j, k bileşenlerine ayrılırsa: Bu denklemler, parçacığa etkiyen x, y, z kuvvet bileşenlerinin cebirsel toplamlarını göstermektedir, “0”dır. Bu denklemler ile en fazla 3 bilinmeyen kuvvet bulunabilir. Örnek Problem 40 N’luk sandığı taşımak için kullanılan kablolarda oluşan kuvvetleri bulunuz. Çözüm Çözüm (devam) Elemanter mekanikte birçok cisim rijit kabul edilir. Gerçekte ise her cisim kuvvet etkisi altında az yada çok şekil değiştirir.Eğer cismin denge şartları etkilenmiyorsa ve şekil değiştirmeler çok küçükse cisim rijit kabul edilebilir. Bu bölümde; rijit cismin üzerine etki eden kuvvetlerin etkisi ve birden fazla kuvvetin yerine eşdeğer bir kuvvet sistemi tanımlanacaktır. ? Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti ? Bir kuvvetin bir eksene göre momenti ? Kuvvet çifti nedeniyle moment tanımlanacaktır. Bir rijit cisme etki eden kuvvetler sistemi yerine belli bir noktada etki eden bir kuvvet ve kuvvet çifti sisteminden oluşan bir eşdeğer kuvvet sistemi uygulanabilir. İç ve Dış Kuvvetler Rijit cisimler üzerinde etkili olan kuvvetler genelde iki guruba ayrılabilir : - Dıs kuvvetler -İç kuvvetler (rijit cismi olusturan parçacıkları bir arada tutan kuvvetlerdir) • Dıs kuvvetler bir serbest cisim diyagramında gösterilir. R1 ve R2 kuvvetleri, W kamyon ağırlığına tepki olarak yol zemininin tekerlere uyguladığı kuvvetlerdir. • Eğer bir tepkisi oluşmuyorsa her bir dıs kuvvet doğrusal harekete, dönme hareketine veya her ikisine yol açabilir. Tasınabilirlik Kuralı Hareket veya denge sartları bir kuvveti etki çizgisi boyunca tasımaktan etkilenmez. DİKKAT: F ve F’ esdeğer kuvvetlerdir. F kuvvetinin etki noktasını kamyonun arka tamponuna tasımak hareketi veya kamyona etki eden diğer kuvvetleri etkilemez. Tasınabilirlik kuralı özellikle deformasyonların ve iç kuvvetlerin belirlenmesinde her zaman uygulanamaz. Tasınabilirlik Kuralı : Esdeğer Kuvvetler Kuvvet Sistemleri ? Bir kuvvetin bir nokta veya eksene göre momentinin bulunması ? Bir noktadan geçmeyen kuvvet sistemlerinin bileşkelerinin bulunması ? Kuvvet çiftinin oluşturduğu momentin bulunması ? İki ve üç boyutlu kuvvetler için moment hesaplanması Moment bir cismi döndürmeye çalışır, denge ise cismin dönmemesini gerektirir. Bir cisme bir kuvvet uygulandığında, cismi etki çizgisinin dışında bir nokta etrafında döndürmeye çalışır. Bu döndürme eğilimine “tork” veya daha sık kullanıldığı şekliyle “moment” denir. Bir kuvvetin momenti Bir kuvvetin bir noktaya veya bir eksene göre momenti (M), kuvvetin cismi o nokta veya eksen etrafında döndürme eğiliminin bir ölçüsünü gösterir. Momentin şiddeti, F kuvvetinin şiddeti ile orantılıdır ve F kuvvetine dik olan moment kolu d ile orantılıdır. (b)’de moment kolu daha kısa ! d’=dsin ? (d’