Statik Mukavemet 4 ( Ağırlık merkezi ) STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine paralel yayılı kuvvetlerin toplamı, o alanın merkezinde tek bir tekil kuvvet olarak göz önüne alınabilmektedir. Buna örnek olarak bir cismin ağırlığı verilebilir. Cismin her bir küçük parçasının ağırlığı dünya merkezine doğru yönlenmiş olup, bunlar paralel kuvvetler oluştururlar. Bu yayılı kuvvetlerin toplamı cismin ağırlığıdır. Burada sorun “Bu ağırlık kuvveti cismin hangi noktasında etkimektedir?” Bu ders kapsamı içined bu sorunun cevabı aranacaktır. Bir cisim farklı boyutlarda sonsuz sayıda parçacığın birleşiminden oluşur. Parçacıkların ağırlıklar ir paralel kuvvetler sistemi oluşturacaktır ve belirli bir uygulama noktas ıolan tek bir (eşdeğer) bileşke ile gösterilebilir. Bu noktaya cismin ağırlık merkezi denir. Dünyanın bir cisme uyguladığı yer çekimi kuvvetine o cismin ağırlığı denir. Bu kuvvet, cismin üzerine yayılmış çok sayıda kuvvetin (dW) bir araya gelmesiyle ortaya çıkar ve bunların bileşkesi W ile gösterilir. Ağırlık Merkezi Ağırlık merkezinin koordinatlarını bulmak için her bir eksene göre moment alınır Ağırlık merkezinin koordinatları Her bir parçacığın koordinatı Bütün parçacıkların toplam ağırlığı Kütle Merkezi: Eğer cisim şekilsiz ise Ağırlık Merkezi Bir cismin ivmeli hareketinde veya dinamik tepki hesabında kütle merkezi kullanılmaktadır. dW=g.dm Kütle Merkezi dm=?.dV Geometrik Merkez Hacim Merkezi Geometrik Merkez Alan Merkezi Simetrik cisimlerde simetri eksenlerinin kesiştiği nokta o cismin ağırlık merkezinin yeridir. ? ? ? ? ydx y dA y A y ydx x dA x A x el el ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? dx x a y dA y A y dx x a x a dA x A x el el ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? d r r dA y A y d r r dA x A x el el 2 2 2 1 sin 3 2 2 1 cos 3 2 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? dA y dy dx y dA y A y dA x dy dx x dA x A x el el Ağırlık Merkezinin İntegralle Bulunması Problem Şekilde gösterilen üçgenin alan merkezinin y koordinatını bulunuz. Bu sonuç herhangi bir üçgen için geçerlidir. y ekseninden olan mesafeyi bulmak isteseydik, y eksenine paralel bir dikdörtgen kullanılırdı. Ve alan merkezinin y eksenine mesafesi, alanın y eksenine göre momenti hesaplanarak bulunur ÖRNEK: şeklin ağırlık merkezini bulunuz I. yol II. yol Bir çizgi x-y düzleminde ise ve y=f(x) şeklinde bir fonksiyon ile tanımlanırsa Geometrik Merkez Çizgi Merkezi Veya Örnek Problem Şekildeki homojen çubuğun ağırlık merkezini bulunuz Örnek problem Şekildeki dairesel segmentin ağırlık merkezini bulunuz Örnek: Şekildeki çubuk için geometrik merkezi bulunuz Temel geometrik şekillerin alan merkezleri Temel geometrik şekillerin alan merkezleri Belirli Şekil Alanlarının Ağırlık Merkezi Bileşik Alanların Merkezleri Bileşik cisim, dikdörtgen, üçgen, yarım daire seklinde birbirine bağlı basit şekilli cisimlerden oluşur. Böyle bir cisim genellikle parçalara bölünür, bu parçaların her birinin ağırlığı ve ağırlık merkezinin konumu bilinirse, tüm cismin ağırlık merkezini belirlemek için integral işlemine gerek kalmaz. Basit geometrik alanların oluşturduğu kompozit alanların merkezlerinin bulunması için, kompozit alanı oluşturan bileşenlerin merkezleri kullanılır Bileşik Plakalar ve Alanlar Birleşik alan öncelikle kendisini meydana getiren geometrisi bilinen küçük alanlara ayrılır. Her bir alanın ağırlık kuvveti bu alanın ağırlık merkezinde bulunmasından hareketle tüm cismin ağırlık merkezi bulunabilir. Örnek Problem Şekilde gösterilen plak alanın ağırlık merkezini bulunuz Sekilde gösterilen plak alanın ağırlık merkezini bulunuz. Plak asağıda görüldüğü sekilde üç parçaya bölünür. (3) numaralı parçanın alanı negatiftir, çünkü (2) numaralı parçadan çıkarılmıstır. Eğer bir alan simetri çizgisi içeriyorsa, alanın ağırlık merkezi bu eksen üzerindedir. • Eğer bir alan iki simetri çizgisi içeriyorsa, alanın ağırlık merkezi bu çizgilerin kesişme noktasındadır. • Bir alanın ağırlık merkezi ile simetri merkezi aynıdır. Alan içinde seçilen (x,y) koordinatındaki dA elemanı için (-x,-y) koordinatında eş alanlı dA' elemanı varsa bu alan eksen merkezine göre simetriktir denir. Çözüm: • Alanı üçgen, dikdörtgen, yarım daire ve dairesel boşluk olmak üzere parçalara ayırın. • Birinci momentleri toplam alana bölerek sentroidin koordinatlarını hesaplayınız. • Toplam alanı ve üçgen, dikdörtgen ve yarım daire elemanların birinci momentlerini bulun. Dairesel boşluğun alanını toplam alandan ve momentini toplam momentten çıkarın. • Belirlenen eksenlere göre alanların birinci momentlerini hesaplayın Şekilde gösterilen düzlemsel alanın x ve y eksenlerine göre birinci momentlerini hesaplayınız. Sentroidinin yerini bulunuz Asağıda verilen duzlem alanların geometrik merkezini bulunuz. Pappus-Guldinus Teoremleri I-Düzlemsel bir eğrinin sabit bir eksen etrafında döndürülmesi ile dönel yüzey elde edilir Dönel yüzeyin alanı, eğrinin uzunluğu ile döndürülme sırasında eğrinin ağırlık merkezinin kat ettiği mesafenin çarpımına eşittir A = 2?yL II-Düzlemsel bir alanın sabit bir eksen etrafında döndürülmesi ile dönel hacim elde edilir Dönel yüzeyin hacmi, düzlemsel alan ile döndürülme sırasında alanın ağırlık merkezinin kat ettiği mesafenin çarpımına eşittir V = 2? y A R değeri 30 cm olan kasenin kapasitesini Pappus-Guldinus teoremini kullanarak belirleyiniz. yL= R / 2, L2 = h2 + R2 A = 2?yL V = 2? y A Pappus-Guldinus teoremini uygulayarak kesit alanından hacim bulunur Yoğunluk ve yerçekimi ivmesi ile çarparak kütle ve ağırlık bulunur çelik ? = 7.85×103 kg m3 çelik ? m = ?V W = mg Pappus-Guldinus teoremini uygulayarak kesit alanından hacim bulunur. • Yoğunluk ve yerçekimi ivmesi ile çarparak kütle ve ağırlık bulunur. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 9 3 6 3 3 mm m 10 mm 10 65 . 7 m kg 10 85 . 7 V m ? ? ? ? ? 2 s m 81 . 9 kg 0 . 60 ? ?mg W kg 0 . 60 ? m N 589 ? WYayılı bir yuk birim uzunluğa etki eden bir yuk, w (N/m), cizilerek gosterilir. Toplam yuk (bileske) yuk eğrisinin altındaki alana esittir Yayılı bir yuk yuk eğrisinin altında kalan alana esit buyuklukte bir noktasal yuk ile değistirilebilir. Noktasal yukun etki cizgisi ise alanın geometrik merkezinden gecer Kirisler Üzerindeki Yayılı Yukler ? ? ? ? A x dA x A OP dW x W OP L ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? A dA dx w W L 0Bir kiriş şekildeki gibi bir yayılı yükün etkisi altındadır. Eşdeğer bileşke kuvveti ve mesnet noktalarındaki tepki kuvvetlerini bulunuz. Çözüm: • Bileşke kuvvetin şiddeti, yük eğrisinin altında kalan alana eşittir. • Bileşke kuvvetin tesir çizgisi yük eğrisi altında kalan alanın Ağırlık merkezinden geçer. • Tepki kuvvetleri kenarlara göre moment dengesinden hesaplanır. Bileşke kuvvetin şiddeti, yük eğrisinin altında kalan alana eşittir F =?A X?A =?x A F = 18.0 kN Bileşke kuvvetin tesir çizgisi yük eğrisi altında kalan alanın sentroidinden geçer. X = 3.5 m Tepki kuvvetleri kenarlara göre moment dengesinden hesaplanır ? ? ? ? ? ? 0 m .5 3 kN 18 m 6 : 0 ? ? ? ? y A B M kN 5 . 10 ? y B ? ? ? ? ? ? 0 m .5 3 m 6 kN 18 m 6 : 0 ? ? ? ? ? ? y B A M kN 5 . 7 ? y ABir kiriş şekildeki gibi bir yayılı yükün etkisi altındadır. Eşdeğer bileşke kuvveti ve mesnet noktalarındaki tepki kuvvetlerini bulunuz ?Fx = 0 AX=0 ?Fy=0 Ay+By-600=0 ?MB =0 ?MA=0