Statik Mukavemet 6 ( Düzlem ve Uzay kafes sistemler ) STATIK VE MUKAVEMET 6.Düzlem ve Uzay kafes Sistemler Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ Birbirlerine bağlı birden fazla parçadan yapılmış sistemlerin dengesi için dıs kuvvetlere ilaveten iç kuvvetler de düşünülmelidir. Birbiriyle bağlı parçalar arasındaki etkileşim için “temas halindeki cisimler arasındaki etki ve tepki kuvvetlerinin aynı şiddet ve aynı etki çizgisine sahip fakat zıt yönlü olduklarını” ifade eden Newton’un 3. kanunu düşünülmelidir. Kafesler: Yükleri desteklemek üzere tasarlanmış, yalnızca uçlarındaki mafsallarla birleştirilmiş düz çift kuvvet elemanlarından oluşan, durağan ve tamamen sınırlanmış yapılardır. . Bir kafes sistemi, uçlarından birleştirilmiş düz elemanlardan oluşur. Hiçbir elemanı bağlantı noktasından öteye geçecek şekilde uzatılamaz. Cıvata veya kaynaklı bağlantılar pim bağlantılı olarak kabul edilirler. Eleman uçlarındaki kuvvetler momentsiz tek kuvvete indirgenebilirler. Sadece iki kuvvet elemanları düşünülür. Çoğu yapılar uzay kafes sistemi oluşturacak şekilde bir araya getirilen birden fazla kafes sisteminden meydana gelirler. Her bir kafes sistemi, kendi düzleminde etkiyen yükleri taşır ve iki boyutlu yapı olarak işlem görebilir. Kuvvetler elemanı ayırmaya çalıştığı zaman çekme etkisindedir denir. Kuvvetler elemanı sıkıştırmaya çalışıyorsa basma etkisindedir denir. Bir Kafesin Tanımı Kafes sistemleri, mühendislikte kullanılan taşıyıcı sistemlerinin tiplerinden biridir. Birçok mühendislik probleminde, özellikle vinç, köprü ve bina projelerinde pratik ve ekonomik bir çözüm sağlar. Bir kafes sistemi, düğüm noktalarında birleşen doğru eksenli çubuklardan meydana gelir. Kafes sistemin çubukları yalnız uç noktalarında birbirlerine bağlanmıştır. Gerçek taşıyıcı sistemler birçok düzlem kafes sistemin bir uzaysal sistem oluşturacak şekilde birleştirilmesinden yapılmıştır. çekme ve basınç kuvvetleri ? Bütün kuvvetler bağlantı noktalarına uygulanmaktadır. ? Bağlantı noktalarında pim vardır. ? Tasarımda üçgenler kullanılır. ? Bütün pimlerdeki kuvvetleri bulmak için düğüm yöntemi kullanılır. Bir kafesin elemanları narindir ve sadece çok küçük yanal yükler taşıyabilirler. Bu nedenle tüm yükler elemanların kendilerine değil bağlantı noktalarına uygulanmalıdır. Bir Kafes sistemin Tanımı Kafes Kiriş Yapılar Kafes Kiriş Yapılar Kafes KirişTipleri Bağlantılar genellikle cıvata, perçin veya kaynakla oluşturulurlar. Gusset levhaları çoğu zaman elemanları bir arada bağlamak için kullanılırlar. Buna rağmen bağlantıların pim bağlantıları olarak kabul edilebilmeleri için elemanlar eksenel yükleri taşımaları için tasarlanmışlardır. Kafes KirişTipleri Kafes KirişTipleri Düğüm noktası Çubuk elemanı Yapısal Sistemlerde Eğilme, Çekme ve Basınç Gerilmeleri Şekildeki çatı kafesi birbirlerine aşıklarla bağlı iki düzlemsel kafesten oluşmaktadır Kafes KirişTipleri Kafes KirişTipleri i Kafes KirişTipleri Kafes KirişTipleri Kafes KirişTipleri Rijit bir kafes yük uygulanması ile çökmeyecektir. Basit bir kafes sistemi basit üçgen kafese bir düğüm ve iki eleman eklenerek oluşturulur. Basit bir kafes sisteminde m = 2n – 3 eşitliği sağlanmalıdır. Bu eşitlikte m toplam eleman sayısını, n ise toplam düğüm sayısını göstermektedir. Basit Kafesler Kirişler Taşıyıcı sistemlerin açıklıkları büyüdükçe kiriş yüksekliği de artmaktadır. Dolayısıyla dolu gövdeli sistemlerin, ağırlıkları da artmakta ve ekonomik olmamaktadır. b h b h Dolu gövdeli bir çubuğun herhangi bir kesitinde basit eğilme halinde gerilme yayılışı görülmektedir. Burada orta kısımdaki liflerin üst ve alt kenarlardaki liflere nazaran kesit taşıyıcılığına daha az iştirak ettikleri görülmektedir. Çubuğun kendi ağırlığını azaltmak için orta bölgenin bir kısmı sistemden çıkartılarak I kesitli dolu sistemler elde edilir. daha büyük açıklıklarda ise orta kısım tamamıyla kaldırılıp bunun yerine kesme kuvvetini karşılamak üzere Şekil'deki gibi çubuklar konarak çerçeve veya kafes sistemler elde edilir I profilin gövdesi boyunca zig-zaglı olarak kesilmesiyle elde edilen iki parçanın kaydırılıp uç bölgelerinden istenildiğinde ek parça kullanılarak kaynakla yeniden birleştirilmesi sonucu oluşturulan Petek Kesitler daha çok düzgün yayılı yüklerin taşınmasında kiriş olarak kullanılmaktadır. İki profilden elde edilen dört parçanın birleştirilmesi sonucu ortaya çıkan her iki yöndeki eylemsizlik momentleri eşit kesitlerin de kolon olarak geniş kullanım alanı bulunmaktadır. Kafese teşkil eden çubukların boyutları, her çubuğa gelen kuvvet ve zorlamaya göre hesaplanır. Bu hesaplamalarda iki esas kabul edilmektedir. 1.Çubukların birbirleriyle olan bağlanışı, sürtünmesiz mafsallı farz edilir. İki veya daha fazla çubuğun bir arada bağlandığı bu mafsala düğüm noktası denir. Mafsalların sürtünmesiz olduğunu kabul etmek, düğüm noktalarının moment taşımayacakları peşinen kabul edilir. 2. Kirişe gelen bütün dış kuvvetlerin düğüm noktalarında tesir ettiği yani çubuğun iki düğüm noktası arasındaki kısmına hiçbir dış kuvvetin tesir etmediği farz edilir. Kafes sistemler, yalnız normal kuvvetleri taşıyan doğru eksenli çubukların birleştirilmesinden meydana gelirler. Çubuklar sürtünmesiz bir mafsal ile birbirlerine bağlıdırlar. Buralara "düğüm noktaları« denir. Mafsallarla yapılmış sistemler ancak düğüm noktalarında yük taşırlar. Aksi halde tatbik edilen yüklerin momenti doğar ki, bunu da sürtünmesiz mafsallar taşıyamaz. Gerçekte hiçbir düğüm noktası sürtünmesiz değildir, rijit düğüm noktasıdır. Çelik kafes sistemlerde çubuklar düğüm noktalarına perçin veya kaynak ile birleşir. Bunlarda rijit düğüm noktalarıdır. Bu nedenle çubuklar moment tesirine maruz kalır. Bu momentlerden meydana gelen gerilmeler ikincil gerilmelerdir. Hesaplarda kolaylık sağlaması bakımından çubukların sürtünmesiz mafsal ile birbirine bağlı oldukları kabul edilir. Kafes kirişlerde ikinci dereceden gerilmelerin meydana gelmemesi için; 1. Çubukların enkesitleri ve dış kuvvetler aynı düzlem içinde bulunmalıdır. 2. Çubukların eksenleri doğru olmalı ve düğümdeki çubukların eksenleri bir noktada birleşmelidir. 3. Yükler ve mesnet tepkileri düğüm noktalarına etki ettirilmelidir. 4. Çubukların arasındaki açılar çok küçük olmamalıdır. kafes kiriş düğüm noktaları mafsallı kabul edildiği ve kuvvetlerde düğüm noktalarına etkidiği için kafes kiriş çubuklarında kesme kuvveti ve eğilme momenti sıfır olacak sadece eksenel normal kuvvet meydana gelecektir. Kafes sisteminin çubuklarında eğilme momentleri ve kesme kuvvetleri sıfırdır. Yalnız normal kuvvetler vardır. Bunlara "çubuk kuvvetleri’ denir. Kafes sistemde; d = Düğüm noktası sayısını(mesnetler dahil) r=Mesnet reaksiyonları sayısını ç= Çubuk sayısını göstersin. Her çubukta, bilinmeyen olarak bir çubuk kuvveti vardır. O halde reaksiyonlar ile birlikte bilinmeyenlerin toplam sayısı (r+ç) olur. Düzlem kafes kirişlerde kiriş yüksekliğinin açıklığa oranı ve geçebileceği en büyük açıklık, malzeme türüne göre değişmektedir. Bu oran çelik için H/L = 1/12 ~ 1/16 ve ön gerilmeli çelik için H/L = 1/16 ~ 1/25 alınmaktadır. Bu sistem ve çelik malzeme ile geçilebilecek en büyük açıklıklar ise 50–60 metredir. Makas aralıkları, çatı örtüsü ve aşık sistemine bağlıdır. Genellikle 3 - 6 m. arasında seçilmektedir. Büyük açıklıklı sanayi yapılarında, aşık olarak paralel başlıklı kafes kirişler kullanılarak 15 – 20 m.’ye kadar çıkabilmektedir. Düzlem kafes kirişler (makaslar), yapı kısa kenarına paralel olarak yerleştirilmektedirler. Ayrıca kafes düzlemine dik etkiyen yatay yükleri karşılamak ve yapıyı rijit hale getirmek için bu yüklerin etkidiği doğrultuda aşıklar ile aynı düzlemde stabilite bağlantıları (çaprazlamalar) düzenlenmektedir. Bu stabilite bağlantılarının, yapı iki ucunda ve iki ya da üç açıklıkta bir yapılması gerekmektedir. Basit Kafesler Kafes Sistemlerin Çözüm Yöntemleri: Kafes sistemlerde analitik ve grafik olmak üzere iki çözüm yöntemi vardır. Bilgisayarların yaygınlaşmasıyla birlikte grafik yöntemlerin kullanımı giderek azaldığından burada bu çözüm yöntemi anlatılmayacaktır. Analitik Çözüm Yöntemleri: 1. Düğüm noktası yöntemi 2. Ritter (Kesim) Yöntemi 3. Çubuk değiştirme (Henneberg) Yöntemi DÜĞÜM NOKTALARI DENGE METODU Bu metotla bir kafes sistemindeki çubuklara etkileyen kuvvetleri bulmak için, her bir düğüm noktasına etkiyen kuvvetler denge denklemleri uygulanır. Dolayısıyla bu metotta bir noktada kesişen kuvvetlerin dengesi incelenir. Bunun içinde bağımsız iki denge denklemi gerekir. Çözüme en az bir bilinen ve en fazla iki bilinmeyen kuvvetin etkidiği herhangi bir düğümden başlanır Kafeslerin Düğüm Denge Metodu ile Hesabı Kafesi elemanlarına ayırınız ve her bir elemanın bağlı olduğu pimin serbest cisim diyagramını çiziniz. Her bir elemana etki eden iki kuvvet esit, aynı etki çizgisi üzerinde ve ters yönlüdür. Bir eleman tarafından uçları vasıtasıyla pimlere veya düğümlere etki eden kuvvetler eleman doğrultusunda, esit büyüklükte ve ters yönlüdürler. Pimlerdeki denge sartından dolayı 2n kadar bilinmeyen için 2n kadar denklem bulunmalıdır. Basit bir kafes sistemi için 2n = m + 3 olmalıdır. Mesnetlerdeki toplam 3 tepkisel kuvvet ve m kadar eleman kuvveti için çözülebilir. Bütün kafes için denge sartları pim denklemlerinden bağımsız olmayan üç ilave denklem daha sağlar. Denklem sayısından fazla bilinmeyen Denklem sayısından daha az bilinmeyen yetersiz mesnetlenmis Esit sayıda denklem ve bilinmeyen ama uygunsuz mesnetlenmis Statik Olarak Belirsiz Tepkiler Bir düğümde kesişen iki düz çizgi üzerinde bulunan zıt elemanlardaki kuvvetler eşittir. • Yük üçüncü elemanla aynı doğrultuda ise iki zıt elemandaki kuvvetler eşittir. Üçüncü elemandaki kuvvet uygulanan yüke eşittir. • Eğer bir düğümde birlesen iki eleman aynı doğrultuda ise bu elemanlardaki kuvvetler eşittir. Aksi takdirde sıfırdır. • Özel yüklemelerin düğüm noktalarına etki ettirilmesi kafes sisteminin analizini basitleştirir. Özel Yükleme Durumundaki Düğümler Birden Fazla Basit Kafeslerden Oluşan Kafesler Bilesik kafesler statik olarak belirlenebilir, rijit ve tam olarak sınırlanmıstır. m= 2n-3 Kafes fazladan elemana sahiptir ve statik olarak belirsizdir. m > 2n - 3 Rijit kafes için ilave mesnet kuvvetlerine ihtiyaç olabilir. Bir bilesik kafes sisteminin statik olarak belirlenebilir, rijit ve tam olarak sınırlanmıs olması için gerekli fakat yeterli olmayan sart , m+ r = 2n Rijit değil m < 2n - 3 Rijit m < 2n - 4 Örnek problem Her bir çubuğa gelen kuvvetleri düğüm yöntemiyle bulunuz. Çubukların Basmaya mı yoksa çekmeye mi maruz kaldıklarını belirtiniz Örnek problem Herbir çubuğa gelen kuvvetleri bulunuz. Çubukların basınca mı yoksa çekmeye mi maruz kaldıklarını belirtiniz. Not: Serbest Cisim Diyagramını çizerek çözüme başlayınız. ÇÖZÜM Örnek problem Düğüm yöntemini kullanarak kuvvet taşımayan kirişleri bulunuz G düğümü için: D düğümü için: B düğümü için: F düğümü için: Sekilde gösterilen kafes sisteminin her bir elemanında meydana gelen kuvvetleri Düğüm Metodunu kullanarak bulunuz. Elemanların basmaya mı yoksa çekmeye mi maruz olduklarını belirtiniz RİTTER KESİM METODU Düğüm metodu ve grafik metodun da, sadece üç denge denkleminden ikisinin avantajından istifa edilmiştir. Zira düğüm noktasında kesişen kuvvetler söz konusudur. Üçüncü denge denkleminin avantajını kullanmak için, kesilmiş bir kafesin bütünü serbest cisim olarak alınabilir. Bu durumda bir noktada kesişmeyen kuvvetlerin dengesi söz konusudur. Üçüncü denge denkleminin avantajı, hesabı istenen çubuğu içine alan bir kesim yaparak sistemi çözüp doğrudan doğruya istenen çubuğun hesabının yapılabilmesidir. Bu durumda hesabı istenen çubuğa gelmek için düğümden düğüme hesap yapmak gereksizdi. Bu durumda sadece üç tane bağımsız denge denklemi vardır. O halde sistemi keserken üç çubuktan fazla çubuk kesilmemelidir. Kesme metodunda anlaşılması gereken esas nokta kesmeden sonra elde edilen bölümün tek bir cisim gibi dengesinin inceleneceğidir. İç kısımdaki çubuklara ait çubuk kuvvetleri çözümde kullanılamaz. Serbest cisim ve dış kuvvetleri açık olarak belirtmek için, kesme işlemi düğümden değil de, çubuklardan yapılmalıdır. Kesme metodunda, moment denklemlerinin avantajından istifade edilir ve moment merkezi seçilirken, mümkün olduğu kadar fazla bilinmeyen kuvvetin bu noktadan geçmesine dikkat edilmelidir. Genellikle önce mesnet reaksiyonları bulunur. Bazı durumlarda mesnet reaksiyonlarının bulunmasına gerek kalmaz. Hangi çubuk kuvvetinin bulunması isteniyorsa bu çubuğu da kesecek şekilde sistem bir a-a kesimiyle en fazla üç çubuk kesilecek şekilde ikiye ayrılır. • Ortaya çıkan kesilmiş iki parçadan en az işlem gerektiren ve üzerinde denge denklemleri en kolay uygulanabilen bir tanesi alınır ve bu parçaya üç adet denge denklemi uygulanır. • Kesim yapıldığında çubuklarla ilgili oldukları düğüm noktalarına çekme kuvvetleri olarak etki ettirilirler. Hesap sonucunda bazı çubuk kuvvetlerinin işaretleri negatif çıkarsa bu çubukların basınç çubukları oldukları anlaşılır. • Eğer bir kafes sistem ikiye ayrılırken üçten fazla kesim yapılması zorunlu ise bu durumda üç adet denge denklemi bilinmeyenleri bulmak için yeterli olmayıp üçten fazla kesilmiş her çubuk sayısı kadar ilave denkleme ihtiyaç vardır. Kafeslerin Kesme Metodu ile Analizi Sadece bir elemandaki veya birkaç elemandaki kuvvetler isteniyorsa kesit metodu tercih edilir. BD elemanındaki kuvveti bulmak için şekilde gösterildiği gibi kafes boyunca bir kesit alınız ve sol tarafının serbest cisim diyagramını çiziniz. Kesit ile sadece üç eleman kesildiği için BD elemanındaki kuvvet de dahil olmak üzere bilinmeyen eleman kuvvetlerini bulmak için statik denge denklemleri kullanılabilir. Kesim metodunun uygulanması: a) Statikçe belirli olup olmadığı kontrol edilir. b) Reaksiyon kuvvetleri bulunur. c) En fazla üç çubuğu kapsayacak kesim yapılır. d) Kesilen parçalardan biri seçilir. Çubuk kuvveti çekme şeklinde yerleştirilir. e) Denge denklemleri uygulanarak bilinmeyen çubuk kuvvetleri hesaplanır Kesit Alma Yöntemi GE, GC ve BC çubuklarına gelen kuvvetleri bulunuz. Serbest Cisim Diyagramı CREMONA METODU (GRAFİK ÇÖZÜM) Kafes sistemlerde herhangi bir düğüm noktasının dengede bulunması için bu noktadaki çubuk kuvvetleri ile varsa dış kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olması gerekir. Bir başka deyimle, geometrik olarak bu kuvvetlere ait kuvvetler poligonu kapalı olmalıdır. Böylece herhangi bir düğüm noktasına ait kuvvetler poligonu kapalı olmalıdır. Böylece herhangi bir düğüm noktasına ait kuvvetler poligonu kapanacak şekilde çizilecek olursa, bu düğüm noktasında birleşen çubuklardan bilinmeyen ikisinin kuvvetleri bulunur. Burada bazı kaidelere uymak gerekir. Öncelikle mesnet reaksiyonları dahil bütün dış kuvvetlere ait kuvvet poligonunun kapanması gerekir. Poligonda kuvvetler gelişi güzel sıralanmayıp belli bir dönme yönü alınır. Bu yönde sistem üzerinde kuvvetlere rastlanış sırası poligondaki çiziliş sırasıdır. Çizilme önce, bilinmeyen sayısı en fazla iki olan bir düğümden başlanmalıdır. Ayrıca her izostatik kafes sisteminde Cremona planının çizilmesi mümkün değildir. Warren kafes tipindeki bir kiriş sekilde gösterildiği gibi yüklenmektedir. EG, FG, ve FH elemanlarındaki kuvvetleri kesit metodunu kullanarak hesaplayınız. Temel bir uzay kafesi tetrahedron olusturmak için 4 düğümde birbirine bağlanan altı adet elemandan olusmaktadır. Basit bir uzay kafesi aynı anda bir adet düğüm ve üç eleman eklenerek genisletilebilir. Basit kafes için denge düğüm denklemlerine bağlı olmayan 6 adet ilave denklem sağlar. Basit bir uzay kafesinde, m = 3n - 6 esitliği sağlanmalıdır. m eleman sayısı ve n düğüm sayısıdır. • Düğümler için denge sartları 3n kadar denklem meydana getirir. Basit bir uzay kafesi için, 3n = m+ 6 esitliği ve denge denklemleri 6 mesnet kuvveti ve m adet eleman kuvveti için çözülebilir. Bütü kafes için denge düğüm denklemlerine bağlı olmayan 6 adet ilave denklem sağlar Uzay Kafes Sistemleri Vericiler, enerji nakil hatları, çatı kafesleri veya uzay mekiği uygulamalarında kullanılan 3-B kafes sistemleri. Uzay Kafes Sistemleri Kablolar, asma köprüler, enerji iletim hatları, teleferikler, yüksek kulelerin gergileri, v.s. gibi birçok mühendislik uygulamalarında kullanılırlar. Esnek olduklarından eğilme mukavemetleri ihmal edilebilir: Bu sebeple kablolar sonsuz sayıda mafsalın yanyana gelmesiyle oluşmuş taşıyıcı sistemler olarak göz önüne alınabilirler. Bu kabul kablo kuvvetinin kablonun her noktasında o noktadaki kablo teğeti doğrultusunda ve çekme olduğu anlamına gelmektedir. Kablolar yükleme durumlarına göre izleyen sınıflara ayrılabilirler 1)Tekil yükler etkisindeki kablolar 2) Yayılı yükler etkisindeki kablolar Sözü edilen kablo çeşitlerini incelemeye geçmeden önce kablolarla ilgili izleyen tanımlar verilecektir: Kablo Oku (Sarkması): A ve B mesnetlerinin aynı düzeyde olması durumunda mesnetlerden kablonun alt noktasına olan düşey h mesafesidir. Kablo Açıklığı: Mesnetler arası L uzaklığına verilen addır,