Fizik Newton’un Hareket Yasaları ve Uygulamaları 1 2010 2010 - - 2011 G 2011 G Ü Ü Z YARIYILI Z YARIYILI F F İ İ Z Z İ İ K 1 DERS K 1 DERS İ İ Yrd. Doç. Dr. Hakan YAKUT SAÜ Fen Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü Ofis: 818 Tel.: (295) 60922 B B ö ö l l ü ü m m 4 4 Newton Newton ’ ’ un Hareket Yasalar un Hareket Yasalar ı ı ve ve Uygulamalar Uygulamalar ı ı3 İ İ ç ç erik erik • Kuvvet ve Etkile şimler • Newton’un Birinci Yasası • Newton’un İkinci Yasası •K ü t l e v e A ğırlık • Newton’un Üçüncü Yasası • Serbest Cisim Diyagramları •N e w t o n Y a s a l a r ının Bazı Uygulamaları • Sürtünme Kuvveti • Dönme Hareketinin Dinami ği •D o ğadaki Temel Kuvvetler4 Harekete neden olan esas sebepler nelerdir? Bundan önceki bölümlerde hareketi tarif etmenin dili olan kinemati ği i şledik. Bu bölümde dinamik (hareketin kendisine neden olan kuvvetle olan ili şkisini inceler) ilkelerini incelemek için iki önemli kavram kullanaca ğız: kuvvet ve kütle. Bu ilkeler ilk olarak Sir Isaac Newton (1642-1727) tarafından, 1687’de yayımladı ğı “Do ğal Felsefenin Matematiksel İlkeleri (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)” adlı kitabında dile getirdi ği üç ifadede toplanabilir. Bu üç ifade Newton’un hareket yasaları olarak adlandırılmı ştır. İlk yasaya göre, bir cismin üzerindeki net kuvvet sıfırsa cismin hareketi de ği şmez. İkinci yasa net kuvvet sıfır de ğilken kuvvet ile ivme arasındaki ili şkiyi tanımlar. Üçüncü yasa birbiriyle etkile şen iki cismin birbirine uyguladıkları kuvvetler arasındaki ili şkidir. Newton’un yasaları matematiksel çıkarımların ürünü de ğil, fizikçilerin nesnelerin nasıl hareket etti ğiyle ilgili yaptı ğı çok sayıda deneyden ö ğrene geldiklerinin bir sentezidir. (Newton kendisinden önceki birçok bilim insanının fikir ve gözlemlerinden yararlanmı ştır; bunların içinde Copernicus, Brahe, Kepler ve özellikle Newton’un do ğdu ğu yıl ölmü ş olan Galileo Galilei vardır.) bu yasalar, di ğer fizik ilkelerine dayanarak çıkarılamadıkları ya da ispatlanamadıkları için gerçekten temel ilkelerdir. Newton yasaları klasik mekani ğin (Newtonyen mekanik de denir) temellerini olu şturur; onları kullanarak bildi ğimiz birçok hareket türünü anlayabiliriz. Newton yasalarının sadece çok yüksek hızları (ı şık hızına yakın) veya çok küçük boyutları (atomun içi gibi) içeren durumlarda de ği ştirilmeleri gerekir. 5 4.1. Kuvvet Kavramı ve Etkile şimler Kuvvetlerin bazı özellikleri; •Kuvvet bir itme veya bir çekmedir. • Kuvvet iki cisim arasında veya bir cisim ile çevresi arasındaki etkile şimdir. • Kuvvet büyüklü ğü ve yönü olan bir vektörel niceliktir. Klasik mekani ğin amacı, bir cismin hareketi ile cisim üzerine etki eden kuvvetlerin arasındaki ili şkiyi kurmaktır. Klasik mekani ğin ilgi alanını, büyüklükleri atom boyutlarıyla (~10 -10 m) kar şıla ştırıldı ğında çok büyük ve hızları da ı şık hızından (3.10 8 m/s) çok küçük olan cisimler olu şturur. Kuvvetleri iki sınıfa ayırabiliriz: temas kuvvetleri, alan kuvvetleri. Temas kuvvetleri, iki cisim arasındaki fiziksel temas sonucu ortaya çıkan kuvvetlerdir. Bu kuvvetlere örnek, kapalı kaptaki bir gazın çeperlere uyguladı ğı kuvvetler, ayakkabımızın tabana uyguladı ğı kuvvetlerdir. Alan kuvvetleri ise, iki cismin bo ş uzayda etkile şmesinden ortaya çıkan kuvvetlerdir. Buna örnek olarak, iki cismin arasındaki kütle çekim kuvveti, elektrik yüklerinin birbirlerine uyguladıkları kuvvetler verilebilir. Şekil 4.1*. İtme ve çekme kuvveti *Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 6 Normal kuvvet ( Şekil 4.2a) bir cisme üzerinde bulundu ğu yüzey tarafından uygulanan kuvvettir. Normal sıfatı yüzeyin e ğimi ne olursa olsun kuvvetin de ğme yüzeyine dik oldu ğu anlamına gelir. Bunun aksine, bir yüzey tarafından bir nesneye uygulanan sürtünme kuvveti ( Şekil 4.2b) cismin bulundu ğu yüzeye paraleldir ve hareketin tersi yönündedir. Gergin bir ip yada telin ucuna tutturulmu ş bir nesneye uyguladı ğı çekme kuvveti ise gerilim kuvvetidir ( Şekil 4.2c). De ğme kuvvetlerine ek olarak, cisimler aralarında bir bo şlukla ayrıldıklarında bile etkili olan uzun-menzilli kuvvetler vardır. İki mıknatıs arasındaki manyetik kuvvet bu tür kuvvetlere örnektir. Bir ba şka örne ği yerçekimi kuvvetidir. Dünya yüksekten bırakılan bir nesneyi aralarında bir de ğme olmamasına kar şın kendisine do ğru çeker. Dünyanın size uyguladı ğı yerçekimi kuvveti sizin a ğırlı ğınızdır.( Şekil 4.2d). Bir F kuvvet vektörünü tanımlamak için onun büyüklü ğünü ve uygulandı ğı yönü de tanımlamanız gerekir. SI birimi kısaltması N olan newton’dur. Kuvvet büyüklü ğü ölçümleri için kullanılan alete dinamometre (yaylı terazi) denir. Şekil 4.2. Dört yaygın kuvvet çe şidi7 *Tipik kuvvet büyüklükleri • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 8 Kuvvetlerin Toplanması ve Bile şke (Net) Kuvvet Herhangi bir sayıda kuvvetin bir cismin bir noktasına uygulanması, bu kuvvetlerin vektörel toplamına e şit olan tek bir kuvvetin (bile şke kuvvet) uygulanması ile aynı etkiye sahiptir. Bir cisme etkiyen bütün kuvvetlerin vektörel toplamına(bile şke) net kuvvet denir. R ile gösterilir. Şekil 4.3*. Bir F kuvvetinin bile şenlerine ayrılması • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 9 Bile şke kuvvet; R = F 1 + F 2 + F 3 … F n = ?F R x = ?F x ve R y = ?F y R = (R x 2 + R y 2 ) 1/2 Tan ? = R y /R x Örnek*:Üç profesyonel güre şçi aynı şampiyonluk kemerini ele geçirmek için mücadele etmektedir. Yukarıdan bakıldı ğında, üçü de kemere Yandaki şekilde gösterilen yatay kuvvetleri uygulamaktalar.Kuvvetlerin büyüklükleri F 1 =250 N, F 2 =50 N ve F 3 =120 N şeklinde da ğılmı ştır. Kemer üzerindeki net kuvvetin x ve y bile şenlerini ve net kuvvetin büyüklü ğü ve yönünü bulunuz. • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. Şekil 4.5* Şekil 4.4*10 4.2. Newton’un Birinci Yasası Bir cisme etki eden net kuvvet sıfır ise cisim o andaki durumunu korur. Cisim durgun haldeyse durgunlu ğunu devam ettirir, hareket halindeyse sabit hızla do ğrusal hareketine devam eder. Yani hareket etti ği hızın do ğrultusunda, yönünde ve büyüklü ğünde bir de ği şiklik olmaz. Bir cismin hareket durumunu de ği ştirmeye yönelik etkilere kar şı koyma özelli ğine eylemsizlik adı verilir. Bundan dolayı Newton’un birinci kanununa eylemsizlik kanunu denir. Net kuvvet; ?F= F 1 + F 2 =0 (F 1 =-F 2 ) ?F=0 (Cisim dengede) ?F x =0 , ?F y =0 Newton’un birinci hareket yasası; Üzerine net kuvvet uygulanmayan bir cisim sabit hızla (hız sıfır da olabilir) ve sıfır ivme ile hareket eder. Şekil 4.6* • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 11 4.3. Newton’un İkinci Yasası • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. Şekil 4.7*12 Şekil 4.8*Kuvvet ile ivme arasındaki ili şki Şekil 4.9*Kütle ile ivme arasındaki ili şki •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 1314 4.3. Newton’un Üçüncü Yasası • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. Şekil 4.10.*Etki tepki kuvvetleri15 Newton Kanunlarının Uygulamaları Normal Kuvveti: Bir cisme yüzey tarafından uygulanan kuvvete normal kuvveti denir ve N ile gösterilir. • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. Şekil 4.11.*Normal kuvveti16 Örnek:Bir boyutta denge: Kütlesiz bir halatta gerilme Kütlesi m=50 kg olan bir jimnastikçi kendisini spor salonunun tavanına asılı bir halatın alt ucunda sabitlemi ştir. Jimnastikçinin a ğırlı ğı nedir? Halat jimnastikçiye ne büyüklükte ve hangi yönde bir kuvvet uygulamaktadır? Halatın üst kısmındaki gerilme nedir? Halatın kütlesiz oldu ğunu varsayınız. Tavan Durum Halat Jimnastikçi (b) Jimnastikçi için serbest cisim diyagramı J-H H-J T-H Etki Tepki çifti (c) Halat için serbest cisim diyagramı •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 17 Örnek:Bir boyutta denge: Kütleli bir halatta gerilme Bir önceki örnekteki halatın kütlesinin oldu ğunu ve a ğırlı ğının da 120 N oldu ğunu varsayınız. Halatın alt ve üst noktalarındaki gerilmeleri hesaplayınız. A ğırlık (a) Jimnastikçi için serbest cisim diyagramı T-H J-H Etki Tepki çifti (b) Halat için serbest cisim diyagramı (a) Jimnastikçi için serbest cisim diyagramı A ğırlık W H A ğırlık w G +W H T-H H-J (c) Jimnastikçi ve halatın tek bir cisim gibi dü şünülerek çizilen serbest cisim diyagramı •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 18 Örnek: İki boyutta denge A şa ğıda gösterildi ği gibi a ğırlı ğı G olan bir araba motoru bir zincirle O noktasındaki bir halkadan duvara sabitlenmi ş iki di ğer zincirle dengede durmaktadır. Herbir zincirdeki gerilmeyi G cinsinden hesaplayınız. Zincirleri ve halkayı kütlesiz varsayabilirsiniz. •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 19 Örnek : Sürtünmesiz bir makarada gerilme: Sistemin sabit hızla hareket edebilmesi için w 1 ve w 2 a ğırlıklarının oranı ne olmalıdır? Şekil 4.11.*Serbest cisim diyagramı • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 20 Şekil 4.12.*Gerilme Kuvveti; T2122 • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 23 • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. Uygulanan kuvvet yok, kutu dura ğan halde. Sürtünme yok: f s =0 Uygulanan kuvvet zayıf, kutu dura ğan halde. Statik sürtünme: f s <µ s .n Uygulanan kuvvet daha güçlü, kutu harekete geçmek üzere. Statik sürtünme: f s =µ s .n Kutu sabit hızla kaymaktadır. Kinetik sürtünme: f k =µ k .n Kutu dura ğan halde, statik sürtünme kuvveti uygulanan kuvvete e şit Kutu hareket ediyor, kinetik sürtünme ortalama olarak sabit Şekil 4.13.*Statik ve kinetik sürtünme kuvveti24252627 •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 2829303132 Örnek : İvmeli hareket eden bir asansörde hissedilen a ğırlık Asansörün içinde kütlesi 50 kg olan bir kadın bir tartı üzerinde durmaktadır. Tartının gösterdi ği a ğırlık nedir? Örnek : Asansör halatındaki gerilme: Bir asansörün kütlesi yüküyle birlikte 800 kg’dır. Asansör ba şlangıçta a şa ğıya do ğru 10 m/s sabit hızla inmektedir ancak 25 m’lik mesafede sabit ivmeyle yava şlayıp durmaktadır. Asansör durana kadar asansörü tutan halatta olu şan gerilme hesaplayınız. ) a g ( m ma G T ma G T F y y y + = + = = - = ? N 590 ) 2 8 , 9 .( 50 n ) a g ( m ma G n ma G n F kullanarak yasasıas ikinci nun ' Newton y y y = + = + = + = = - = ? E ğer asansör a şa ğıya do ğru ivmeleniyor olsaydı kadın ne hissedecekti?33 Dikey kuvvet n için hesapladı ğımız sonuç gösteriyor ki, asansör yava şlayıp dururken tartı kadının ayaklarını 590 N ile itmektedir. Newton’un üçüncü yassına göre kadında tartıyı aynı kuvvetle itmektedir; böylece tartı 590 N göstermektedir ve bu da kadının gerçek a ğırlı ğından 100 N fazladır. Tartının gösterdi ği de ğere yolcunun hissedilen (görünen) a ğırlı ğı denir. Kadın ise asansörün tabanını kendisini asansörün durdu ğu halden ya da sabit hızla hareket etti ği durumdan daha fazla ittirdi ğini hisseder. Örnek : Sürtünmeli durumda kar kıza ğı ile kayma I Yamacın e ğimi kıza ğın tam olarak sabit hızda kaymasına yeterli derecededir. Böyle bir e ğimin yerle olan açısı için G ve µ k cinsinden bir ba ğıntı yazınız. k k y k s x arctan yani tan cos sin 0 cos G N F 0 N sin G f sin G F şöyledir ko şoşulla Denge µ = ? ? = ? ? = µ = ? - = = µ - ? = - ? = ? ? •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 34 Örnek : Sürtünmeli durumda kar kıza ğı ile kayma II Bir önceki örnekte kullanılan kızak aynı sürtünme katsayısıyla daha dik bir tepeden a şa ğıya do ğru ivmelenmektedir. Kıza ğın ivmesi için g, ?, µ k ve G cinsinden bir ifade bulunuz. ) cos (sin g a 0 cos mg N F ma f sin mg F göre yasasıas . 2 un ' Newton k x y x k x ? µ - ? = = ? - = = - ? = ? ? •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 35 Örnek : Birbirine ba ğlı iki cismin ivmesi Farklı kütleli iki cisim, hafif bir iple birbirine ba ğlandıktan sonra Şekil’deki gibi sürtünmesiz bir makaradan geçirilerek, e ğik düzlem üzerinde hareketi sa ğlanmı ştır. Cisim, ? açılı e ğik düzlem üzerinden kaymaktadır. Her iki cismin ivmesini ve ipteki gerilmeyi bulunuz. m 1 kütlesine Newton’un 2. yasasını uygularsak a şa ğıdaki denklemler elde edilir: m 2 kütlesine Newton’un 2. yasasını uygularsak a şa ğıdaki denklemler elde edilir: (2) ve (3) e şitlikleri birlikte çözülerek a ve T de ğerleri bulunur;36 Hava Direnci ve Limit Hız ) Dv f direnci akıkı şkan , hıız it (lim D mg v mg Dv 2 2 = = =37 Dönme Hareketinin Dinami ği (Newton’un ikinci Yasasının Düzgün Dairesel Harekete Uygulanması) İpe ba ğlı bir top sürtünmesiz bir masada dairesel bir yörüngede dönmektedir. Topa etki eden net bir kuvvet yoktur ve top Newton’un birinci yasasına uyar; düzgün doğrusal bir yörüngede sabit hızla hareket eder. İp aniden kopar Şekil 4.14.*Düzgün dairesel hareket yapan bir cisme etkiyen merkezcil kuvvet bir anda ortadan kalkarsa ne olur? • Sabit hızla dairesel bir yörüngede hareket eden cisim düzgün dairesel hareket eder •H ızın büyüklügü sabit olmasına ra ğmen sürekli yön de ği ştirdi ği için hareketin ivmesi vardır • Düzgün dairesel harekette, ivme dairenin merkezine do ğru yönelir ve büyüklü ğüv 2 /r dir. • Newton’nun ikinci kanuna göre ivmelenen her cisim üzerine net bir kuvvet uygulanır. •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 38 •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 39 Örnek : Konik sarkaç: Küçük bir cisim L uzunluklu iple tavana asılmı ştır. Bu cisim Şekilde görüldü ğüg i b i r yarıçaplı yatay dairesel bir yörünge üzerinde sabit v hızıyla dönmektedir. Cismin v hızını bulunuz. Örnek : Arabanın Maksimum hızı nedir? 1500 kg kütleli bir araba düz bir yolda, şekilde görüldü ğü gibi 35 m yarıçaplı bir virajda hareket etmektedir. Yol ile tekerlekler arasındaki statik sürtünme katsayısı kuru zemin için 0.50 ise, arabanın emniyetli olarak dönebilece ği maksimum hızı bulunuz. Alı ştırma: Ya ğı şlı bir günde yukarıdaki problemde verilen araba, aynı yolda 8 m/s lik hızla giderken kaymaya ba şlıyor. Bu durumda statik sürtünme katsayısı nedir?40 Örnek: E ğimli viraj: Bir mühendis, arabaların, sürtünmeye güvenmeksizin savrulmadan dönebilecekleri e ğimli bir otoyol virajı yapmak istiyor. Ba şka bir deyi şle, yol buzlu olsa bile araba belirlenen hızla kaymadan virajı dönebilmektedir. Bir arabanın böyle bir virajı 30 mil/saat (13.4 m/s) lik hızla dönebilece ğini varsayınız. Virajın yarıçapı da 50 m olsun. Yolun e ğimi kaç derece olmalıdır? Örnek: Çember etrafında dönen uçak: m kütleli bir plot, şekil de görüldü ğü gibi uçakla bir çember etrafında dönmektedir. Bu uçu ş düzeninde uçak, 2.7 km yarıçaplı dü şey düzlemdeki dairesel yörüngede 225 m/s lik bir hızla hareket ediyor. Koltu ğun pilota uyguladı ğı kuvveti (a) dairesel yörüngenin en alt kısmında (b) en üstünde hesaplayınız. Sonucu pilotun mg a ğırlı ğı cinsinden bulunuz. Alı ştırma: Uçak şekilde gösterilen A noktasında iken merkezcil kuvveti mg cinsinden hesaplayınız.41 Örnek : Düzgün dairesel harekette kuvvet 25 kg kütleli bir kızak yatay ve sürtünmesiz bir buz tabakasının üzerinde durmaktadır. Kızak 5m lik bir iple buzun içerisine dikilmi ş bir dire ğe ba ğlıdır. Kıza ğa ilk itme verildikten sonra kızak dire ğin etrafında bir düzgün dairesel yörüngede döner. E ğer kızak dakikada be ş tam dönü ş yapabiliyorsa, ipin kıza ğa uyguladı ğı F kuvvetini bulunuz. Örnek : Konik Sarkaç: Bir mucit ucundaki a ğırlı ğının kütlesi m ve uzunlu ğu L olan bir sarkaçtan saat yapmayı dü şünüyor. Ancak bu sarkaç ileri ve geri sallanmak yerine, a ğırlık yatay bir düzlemdeki çembersel bir yörüngede sabit v hızıyla dönmekte ve sarkacın ipi dikeyle ß açısı yapmaktadır. Bu sistemin adı konik sarkaçtır zira sarkacın ipi bir koni yüzeyini tarar. Bu sarkacın ipindeki gerilme kuvveti F’yi ve sarkacın periyodu T’yi (a ğırlı ğının tam bir tur dönü ş süresi) ß cinsinden bulunuz. g cos L 2 T gT sin L 4 gT R 4 g a tan 0 mg cos F F ma sin F F 2 2 2 2 rad y rad x ß ? = ß ? = ? = = ß = - ß = = ß = ? ? N 3 . 34 ma F s / m 37 , 1 T R 4 a ma F F rad 2 2 2 rad rad x = = = ? = = = ?42 Örnek*: E ğimsiz bir virajda dönü ş: Bir spor araba yarıçapı R olan e ğimsiz bir virajda dönmektedir. Tekerlekler ile yol arasındaki statik sürtünme katsayısı k s ise, arabanın dönebilece ği en yüksek hız v maks nedir? Örnek*: E ğimli bir virajda dönü ş: Belirli bir hızla ilerlemekte olan bir araba içeriye do ğru e ğimli bir virajı dönüyorsa, çembersel yörüngesinin yarıçapını sürtünme kuvvetine ihtiyacı olmadan koruyabilir ve kaymadan dönü şünü tamamlayabilir. Bu durumda araba buzlu zemin üzerinde bile güvenli olarak dönü şünü tamamlar. Çalı ştı ğınız in şaat firması yukarıdaki örnekteki virajı, v hızıyla giden bir aracın yolda sürtünme olmasa bile kaymadan güvenli bir şekilde dönebilece ği biçimde yeniden yapmak istiyor. Virajın içeriye do ğru e ğimi olan ß açısı ne olmalıdır? (a) Düz bir virajı dönen araba (b) Arabanın serbest cisim diyagramı (a) E ğimli bir virajı dönen araba (b) Arabanın serbest cisim diyagramı *Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 434445 Düzgün Olmayan Dairesel Hareket Örnek: Dönen Top : m kütleli küçük bir küre Şekilde görüldü ğü gibi, R uzunlu ğunda bir ipin ucuna ba ğlanarak dü şey düzlemde bir O noktası etrafında dairesel yörüngede döndürülüyor. Cismin hızının v oldu ğu ve ipin dü şeyle ? açısı yaptı ğı bir anda, ipteki gerilmeyi hesaplayınız. Özel durumlar: Yörüngenin en üst noktasında ?=180 o dir. Cos 180=-1 oldu ğundan üst nokta için T üst elde edilir: Alı ştırma: Ortalama hızı artırırsanız, ip hangi noktada kopmaya daha yatkındır? Cevap: Yörüngenin en alt noktasında kopmaya daha yatkındır çünkü bu noktada T gerilmesi maksimum de ğere sahiptir. Bu de ğer T gerilmesinin minimum de ğeridir. Tam bu noktada a t te ğetsel ivme mevcut olmaz, a t =0 olur. Sadece a r yarıçap doğrultusundaki ivme mevcut olur. Bu ivmenin yönü a şa ğı doğrudur. Yörüngenin en alt noktasında ?=0 o dir. Cos 0=1 dir. Buradan T alt blunur: ? ? ? ? ? ? ? ? + = g R v m T 2 alt alt46 Örnek: Do ğrusal harekette hayali kuvvetler : m kütleli küçük bir top, ivme ölçme kutusunun tavanından Şekilde görüldü ğü gibi asılmı ştır. Eylemsiz koordinat sisteminde, durgun olan bir gözlemciye göre ( Şekil a) topa etki eden kuvvetler T gerilmesi ve mg çekim kuvvetidir. Eylemsiz sistemdeki gözlemciye göre, m kütleli küre ile kutunun ivmesi aynıdır ve bu ivme ipteki T gerilmesinin yatay bile şeni tarafından meydana getirilir. T gerilmesinin dü şey bile şeni de mg a ğırlı ğını dengeler. Böylece eylemsiz sistemdeki (ivmesiz sistemdeki) gözlemci(inertial observer), Newton’un ikinci yasası m kütlesine ?F=T+mg=ma şeklinde uygulanır. Bu ifadeninbile şenler halinde yazılı şı a şa ğıdaki gibidir: Böylece (1) ve (2) e şitliklerini birlikte çözülerek, eylemsiz gözlemci arabanın ivmesi belirlenebilir: a=gtan ? O halde ipin dü şey do ğrultudan olan sapma açısı, arabanın ivmesini ölçmede kullanılabilir. Yani, bir basit sarkaç ivme ölçer olarak kullanılabilir. Şekil b’de görüldü ğü gibi arabanın içerisinde bulunun eylemsiz gözlemciye göre ip halen dü şeyle ? açısı yapar, bununla birlikte ayakta duran ivmeli gözlemciye göre top durgun olup ivmesi sıfırdır. Çünkü küre dengededir. Bundan böyle ivmeli gözlemci –ma de ğerinde bir yalancı kuvvetin varlı ğını tesbit eder. Bu gözlemciye göre –ma yalancı kuvveti T gerilmesinin yatay bile şenini dengeler. Bu eylemli sistemdeki durgun olan gözlemci, topa etki eden net kuvvetin sıfır oldu ğunu iddia eder. Bu ivmeli referans sisteminde, Newton’un ikinci yasası a şa ğıdaki şekilde yazılır: (Eylemli gözlemci) Hayali kuvvetin F fictitious =ma hayali =ma şeklinde oldu ğunu görürsek o zaman bu ifadeler (1) ve (2) e şitlikleri ile tamamen aynıdır. 47 Örnek: Dönen Sistemde Yalancı Kuvvetler Şekil: Bir iple döner masanın merkezine ba ğlanmı ş m kütleli bir blok. (a) eylemsiz gözlemci, merkezcil kuvveti ipteki T gerilmesinin olu şturdu ğunu söyler. (b) Eylemli gözlemci blo ğun ivmesiz oldu ğunu söyle, blo ğa mv 2 /r de ğerinde yalancı bir kuvvet uygulandı ğını düşünür. Yine, bu kuvvetin ipteki T gerilmesini dengelemek için dı şarı doğru yöneldi ğini söyleyecektir.48 PROBLEMLER 1) Bir blok, Şekilde görüldü ğü gibi e ğim açısı ? =15 o olan sürtünmesiz bir e ğik düzlem üzerinde kaymaktadır. Blok harekete, 2 m uzunlu ğundaki e ğik düzlemin tepesinden ilk hızsız ba şlamı ş ise (a) ivmesini (b) E ğik düzlemin alt ucunda hızını bulunuz.49 2) Şekilde görüldü ğü gibi, sürtünmesiz yatay masa üzerindeki bir m 1 kütlesi oldukça hafif P 1 makarasından geçen hafif bir iple ba ğlanmı ş, sonra da P 1 makarası, P 2 makarasından geçirilen hafif bir iple m 2 kütlesine ba ğlanmı ştır. (a) m 1 kütlesinin ivmesi a 1 , m 2 kütlesinin ivmesi a 2 ise, bu ivmeler arasında nasıl bir ili şki vardır? (b) İplerdeki gerilmeler nedir? (c) m 1 , m 2 ve g cinsinden a 1 ve a 2 ivmelerini ifade ediniz.50 3)3 kg kütleli bir blok şekilde görüldü ğü gibi 50 o lik açı altında bir P kuvveti ile duvara kar şı itiliyor. Duvar ile blok arasındaki statik sürtünme katsayısı 0.250 dir. Blo ğun dü şmemesi için uygulanması gereken P kuvvetinin büyüklü ğünedir ?51 4) Üç blok şekilde görüldü ğü gibi, sürtünmesiz yatay düzlem üzerinde birbiriyle de ğme halindedir. m 1 kütlesine yatay olarak F kuvveti uygulanıyor. m 1 =2 kg , m 2 =3 kg, m 3 =4 kg ve F=18 N ise; (a) blokların ivmelerini bulunuz. (b) her blok üzerine etki eden bile şke kuvvetleri bulunuz (c) Bloklar arası temas kuvvetlerini bulunuz. 52 5) Şekilde görülen birbirine ba ğlı üç kütleden olu şan bir sistem veriliyor. Sürtünme yoksa ve sistem dengede ise, m,g ve ? cinsinden (a) M kütlesini (b) T 1 ve T 2 gerilmelerini bulunuz. E ğer M kütlesi iki katına çıkarsa (c) Her cismin ivmesini bulunuz. (d) T 1 ve T 2 gerilmelerini bulunuz. m ve 2m kütleleri ile e ğik düzlem arasındaki statik sürtünme katsayısı µ s ise ve sistem de dengede ise (e) M nin minimum de ğerini bulun. (f) M nin maksimum de ğerini bulun. (g) M maksimum ve minimum de ğerlerinde iken T 2 gerilmelerini bulunuz.53 6) m=2 kg kütleli bir blok şekilde görülen masa üzerindeki ?=30 o e ğimli e ğik düzlemin tepesinden h= 0,5 m yükseklikten serbest bırakılıyor. E ğik düzlem sürtünmesizdir ve H=2 m yüksekli ğindeki masaya tutturulmu ştur. (a) Blo ğun ivmesini bulunuz. (b) Blok e ğik düzlemi terkeder etmez hızı nedir? (c) Blok zemine, masadan ne kadar uzakta çarpar? (d) Blok zemine çarpıncaya kadar geçen toplam süre nedir? (e) Blo ğun kütlesi yukarıdaki hesaplamaları etkiler mi?54 7)* • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 55 8)* • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 6.00 kg 4.00 kg 5.00 kg 15.0 kg. m = ++= (b) yy F ma = ? F mg ma - = Fm g a m - = 2 200 N (15.0 kg)(9.80 m/s ) 3.53 m/s 15.0 kg a 2 - == (c) ( 6.00 kg), m = (d) tm TTm gm a --= 22 mt ( ) 120 N 2.00 kg(9.80 m/s 3.53 m/s ) 93.3 N TTm ga =- += - + =56 9)* • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 57 10)* 11)* • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 0 y F = ? cos 0 Tw ? - = 2 (45.0 kg)(9.80 m/s ) 470 N cos cos20.35 w T ? == = ° 0 x F = ? sin 0 Tn ? - = (470 N)sin 20.35 163 N n== °58 12)* • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 2.50 m tan 4.75 m ? = 27.76 ? = ° , so . tot 32.0 kg 48.0 kg 80.0 kg m=+= . (a) yy F ma = ? tot tot cos nmg ? = kk t o t cos fm g µ? = x x F ma = ? kt o t sin 0 fTmg ? +-= 2 kt o t (sin cos ) (sin 27.76 [0.444]cos27.76 )(80.0 kg)(9.80 m/s ) 57.1 N Tm g ?µ ? =- = - = °° (b) x x F ma = ? 2 s sin (32.0 kg)(9.80 m/s )sin 27.76 146 N fm g ? == = °59 13)* • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 60 14)* • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 61 15)* • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. cos40.0 0 A Tm g - = ° 255 N 825 N 1410 N cos40.0 cos40.0 A mg T + == = °° rad sin 40.0 AB TT m a += ° x x Fm a = ? 22 22 44 ( 7 . 5 0 m ) sin 40.0 (110.2 kg) (1410 N)sin 40.0 8370 N (1.875 s) BA R Tm T T ?? =-= - = °° yy F ma = ?62 16)* • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 63 17)* • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 64 17) •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fizi ği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık.