Otomatik Kontrol Otomatik Kontrol Ders Notu ( slayt ) LAPLACE TRANSFORMS Definition of the Laplace transform: 0 [ ( )] ( ) ( ) st L f t f t e dt F s ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 a t U t t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 [ ( )] ( ) ( ) st L u t u t e dt U s ? ? ? ? ? 0 0 ( ) st st ae a U s ae dt s s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) 0 0 0 1 [ ] s a t at at st s a e L e e e dt e dt s s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Aşağıdaki rampa (ramp) fonksiyonu analitik yöntemle çözünüz ? ? 0 0 0 bt t f t t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 ( ) ( ) st st F s f t e dt bte dt ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 1 (1) st st st e b te dt bt b e dt s s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0 0 0 ( ) ( ) st st b b e b b e dt s s s s s s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Properties of Laplace transforms: 1) Linearity : a sabit bir sayı veya s ve t den bağımsız ise L[af(t)]=aL[f(t)]=aF(s) 2) Süperpozisyon : her iki fonksiyonunda laplace dönüşümü alınabiliyorsa 1 2 1 2 1 2 [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) L f t f t L f t L f t F s F s ? ? ? ? ? 3)Translation in time: [ ( )] ( ) as L f t a e F s ? ? ? 4)Complex Differention: [ ( )] ( ) d L tf t F s ds ? ? 5)Translation in the s domain: [ ( ) ( ) at L e f t F s a ? ? ? 6)Real differantiation: 2 2 [ ( )] ( ) (0 ) [ ( )] ( ) (0) (0) L Df t sF s f L D f t s F s sf Df ? ? ? ? ? ? 7)Final value Theorem: 0 ( ) ( ) lim lim s s sF s f t ? ? ? ? Example: 3 ( ) ( 2) Y s s s ? ? Solution: 0 0 0 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( 2) 2 2 lim lim lim lim s s s s y t sY s s s s s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8)Initial value Theorem: 0 ( ) ( ) lim lim s s sF s f t ? ? ? ? Laplace Transforms of Most Common Functions of Time Continuous Function Laplace Transform Impulse 1 Step s 1 t 2 1 s 2 t 3 2 s at e ? a s ? 1 at te ? 2 ) ( 1 a s ? Sin(wt) ) ( 2 2 w s w ? Cos(wt) ) ( 2 2 w s s ? Örnek: 2 3 ( ) ( 2 5) f s s s s ? ? ? 1 2 3 2 2 3 ( 2 5) 2 5 K K s K s s s s s s ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 2 2 3 ( ) ( 2 5) 2 5 K K s K s s s s s s s s s ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 5 K ? 2 2 3 3 6 3 ( ) ( ) 3 5 5 K s K s ? ? ? ? ? 1 2 3 2 2 3 ( 2 5) 2 5 K K s K s s s s s s ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 1 1 2 3 3 2 5 K s K s K K s K s ? ? ? ? ? ? 1 3 5 K ? idi. 2 2 3 3 3 3 ( ) 3 (2 ) 5 5 K s x K s ? ? ? ? ? 2 2 3 3 6 3 ( ) 3 ( ) 5 5 K s K s ? ? ? ? ? 2 3 5 K ? ? 3 6 5 K ? ? 2 2 3 3 3 2 5 ( ) ( 2 5) 5 2 5 s f s s s s s s s ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ( ) [ cos ] ( ) at A s a L Ae wt s a w ? ? ? ? ? 2 2 [ sin ] ( ) at Bw L Be wt s a w ? ? ? ? 2 2 ( ) [ cos sin ] ( ) at at A s a Bw L Ae wt Be wt s a w ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 3 ( 1) 3 5 2 ( ) 5 ( 1) 2 s F s s s ? ? ? ? ? ? 3 3 1 ( ) (cos2 sin 2 ) 5 5 2 t f t e t t ? ? ? ? Örnek: 2 2 ( ) ( 1)( 2) f s s s ? ? ? 1 2 3 2 2 2 ( ) ( 1)( 2) ( 1) ( 2) 2 K K K f s s s s s s ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 3 2 ( 2) ( 2) 1 1 K s K s K s s ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 2 2 ( 1)( 2) ( 1 2) s K s s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 K ? 2 s ? ? ? 2 2 K ? ? 1 3 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 1) s s K K s s ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 1)( 2) 1 ( 2) ( 2) K K K s x s s s s s s s s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 2 ( 2) ( 2) ( 1) 1 K s K s K s s ? ? ? ? ? ? ? İşleminin türevi alındığında s = -2’ye yaklaşır. 3 2 K ? ? 1 2 3 2 2 2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 1)( 2) 1 ( 2) ( 2) K K K s s s s s s s s s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 s ? ? için ; 3 0 0 K ? ? ? ? 2 1 2 3 2 ( 2) ( 2) 1 ( 1) K s K s K s s ? ? ? ? ? ? ? 3 1 2 2 (0)( 1) (1)(2) [0( 1) 1] 0 (2 4) ( 1) ( 1) s s K K s s s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ( 2) 2( 2)( 1) 1( 2) ( 1) ( 1) s s s s s s ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 2 2 2( 2 2) ( 2) ( 1) s s s s s ? ? ? ? ? ? = 2 2 2 2 2 2 4 4 ( 1) s s s s s s ? ? ? ? ? ? ? 2 ( 2) ( 1) s s ? ? = 2 2 2 ( 1) s s s ? ? ? Bir Fonksiyonun Tekil Noktaları ve Kutupları S düzleminde tekil noktalar, fonksiyonun yada türevinin bulunmadığı noktalardır.Kutup, tekil noktadır. G(s) s civarında analitik ve tek değerlidir. [( ) ( )] lim i r i s s s s G s ? ? 2 10( 2) ( ) ( 1)( 2) s G s s s s ? ? ? ? fonksiyonunun sıfırları s=-2 de bir sonlu ve sonsuzda 3 sıfırı vardır. s=-3 de katlı, s=0 da ve s=-1 de katsız kutbu vardır.G(s) fonksiyonu bu noktalar dışında analitiktir denir. 3 10 ( ) 0 lim lim s s G s s ? ? ? ? ? ? Adi Doğrusal Diferansiyel Denklemler: Seri RLC devresini ele alalım; ( ) 1 ( ) ( ) ( ) di t Ri t L id t e t dt C ? ? ? ? ……….( ?) İkinci mertebeden bir diferansiyel denklem: 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) n n n n n n d y t a d y t dy t a a y t f t dt dt dt ? ? ? ? ? ? ? ? ………( ? ?) Katsayılar y(t)’nin bir fonksiyonu olmadığı sürece doğrusal adi diferansiyel denklemdir. ( ?)’da 1 ( ) ( ) x t i t dt ? ? ve 1 2 ( ) ( ) ( ) dx t x t i t dt ? ? 2 1 2 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) dx t R x t x t e t dt LC L L ? ? ? ? 1. mertebeden durum değişkenleri; 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x t y t dy t x t y dt ? ? ? ? ( ? ? ?) . . . 1 1 1 ( ) ( ) n n n n d y t x t y dt ? ? ? ? ? 1 2 2 3 x x x x ? ? ? ? . . . 1 n n x x ? ? ? 1 1 .... n n n x a x a x u ? ? ? ? ? ? Dinamik Sistemlerin Matematiksel Modeli Lineer Sistemler: Bir sisteme süperpozisyon teoremi uygulanıyorsa sistem lineerdir. 1 1 ( ) ( ) x t y t ? İse 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x t x t y t y t ? ? ? 2 2 ( ) ( ) x t y t ? Lineer zamanla değişmeyen ve lineer zamanla değişen sistemler: Bir diferansiyel denklemin katsayıları sabit ise veya fonksiyonları bağımsız değişkenlerden oluşuyorsa lineerdir.( Zamanla değişen sistemlere örnek:Uzay aracı kontrol sistemidir.Yakıt tüketiminden dolayı uzay aracının kütlesi değişir.) Doğrusal olmayan sistemler:Bir sisteme süperpozisyon teoremi uygulanamıyorsa sistem nonlineerdir. 2 2 2 sin d x dx x A wt dt dt ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ( 1) 0 d x dx x x dt dt ? ? ? ? 2 3 2 0 d x dx x x dt dt ? ? ? ? Dinamik Sistemlerin Durum Uzayı Gösterimi 1 ( ) x t ve 2 ( ) x t durum değişkenleri olsun; u(t); Giriş, 11 12 21 22 11 21 , , , , , a a a a b b ise sabit katsayılar: 1 11 1 12 2 11 ( ) ( ) ( ) ( ) dx t a x t a x t b u t dt ? ? ? 2 21 1 22 2 21 ( ) ( ) ( ) ( ) dx t a x t a x t b u t dt ? ? ? 1 2 ( ) ( ) ( ) x t x t x t ? ? ? ? ? ? ? Durum denklemleri; ( ) ( ) ( ) ( ) dx t x t Ax t Bu t dt ? ? ? ? ile ifade edilir. 1 2 n x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , A = 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n n n n x a a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B = 0 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? çıkış ( y= Cx) Y = ? ? 1 2 1 0 0 n x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Filename: kon_sis_tem_2.doc Directory: C:\Documents and Settings\Administrator\Desktop\FUNDAMENTALS OF CONTROL SYSTEMS\kontrol_temelleri Template: C:\Documents and Settings\Administrator\Application Data\Microsoft\Templates\Normal.dotm Title: LAPLACE TRANSFORMS Subject: Author: hp Keywords: Comments: Creation Date: 09.10.2009 11:01:00 Change Number: 39 Last Saved On: 08.07.2010 15:34:00 Last Saved By: PERFECT Total Editing Time: 541 Minutes Last Printed On: 08.07.2010 15:40:00 As of Last Complete Printing Number of Pages: 26 Number of Words: 752 (approx.) Number of Characters: 4.293 (approx.)