Otomatik Kontrol Otomatik Kontrol Problemleri ve Çözümleri YTÜMAKiNE * A305teyim.com 1-) Bir araba 20 km/h hızla sinüsoidal kasisli bir yolda giderken sürücü belirli bir süre zarfında kat ettiği kasis sayısını saymış ve birinci tepeden 201. tepeye gelinceye kadar olan yolu arabanın 3 dakikada aldığını saptamıştır. Arabanın akslarına tespit edilmiş yaylar üzerinde taşıdığı kütle 500 kg’ dır. Aksların yol yüzeyini aynen takip ettiğini ve direngenlik katsayısı 16000 N/m olan ve yay sönüm katsayısı olan 1131 N/m/sn olan amortisöre sahip sistemin tek hareket serbestiyesine sahip olduğunu kabul edersek, tepeler arası mesafesi sabit ve genliği 20 mm olan kasisli yolda araba titreşiminin düzenli rejim genliğini hesaplayınız. Çözüm: S = 1000 3 60 20000 = x m yolu 3 dakikada almıştır. Birinci ve iki yüz birinci tepe arasında 200 tam salınım olduğuna göre dalga boyu L = 5 200 1000 = m dir. Şiekilllllllllllllll k = 16000 N/m c = 1131 N/m/sn m = 500 kg 8 . 5656 5000 16000 2 2 = = = x km ckr N/m/sn 2 , 0 8 . 5656 1131 ? = = ckr c ? 65 , 5 500 16000 = = = m k w rad/sn 55 , 5 3600 20000 = = V m/sn 97 , 6 5 55 , 5 2 2 = = = ? ? L V wm rad/sn 23 . 1 65 , 5 97 , 6 = = ? , 52 . 1 2 = ? Düzenli rejim genliği: ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 4 1 4 1 ) ( + - + = Y X dr 0311 , 0 52 , 1 4 52 , 1 1 52 , 1 4 1 02 , 0 ) 2 , 0 ( ) ( ) 2 , 0 ( 2 2 2 = + - + = X dr m 2-) Dki tekerlekli bir motosiklet 90 km hızla sinüs odial kasisli bir yolda ilerlemektedir. Uzunluğu 13350 m olan yolun başlangıcındaki tepe noktası ile sonundaki tepe noktası arasında 299 adet tepe noktası olduğu bilinmektedir. Kasislerin derinliği 4 cm, motosikletin kütlesi 100 kg, süspansiyon eşdeğer direngenlik katsayısı 12,5 kN/m, amortisör eş değer sönüm katsayısı 2236 N/m/sn dir. a) Motosikletin düzenli rejim genliğini hesaplayınız. b) Motosikletin hangi hızında rezonans olur. Çözüm : V = 90 km/h S = 1350 m m = 100 kg 2Y = 4 cm k = 12,5 kN/m c = 2236 N/m/sn a) Baştaki ve sondaki tepeler dahil edilirse yoldaki tepe sayısı 299 + 2 = 301 olur ve 301 tepe arasında 300 tam salınım olması gerekir. Dki tepe arası mesafe : L = 5 , 4 300 1350 = m kutik sönüm katsayısı 2236 100 12500 2 2 = = = x km ckr N/m/sn ve sönüm oranı 1 2236 2236 = = = ckr c ? dir. ? = 1 olduğuna göre amortisörlerdeki sönüm kritik değerdedir. O halde düzenli rejim genliği ? ? 2 2 1 4 1 + + = Y X dr şeklini alır. L : Dalga boyu T : Periyot V : hızı gösterirse L = T . V T = wm ? 2 den 9 , 34 5 , 4 3600 90000 2 2 = = = x L V wm ? ? rad/sn 125 100 12500 2 = = = m k w 74 , 9 125 9 , 34 ) ( 2 2 2 2 = = = w wm ? bulunur. 2Y = 4 cm olduğuna göre Y = 2 cm olur. genlik ifadesinde yerine konursa 74 , 9 1 74 , 9 4 1 2 + + = x X dr olarak bulunur. b) Rezonans titreşimlerine neden olan motosiklet hızını bulmak için X dr ’ yi maksimum yapan ?’ nın buradan da hızın hesaplanması gerekir. 0 = ? d d X dr olursa ) ( 2 2 2 2 2 1 4 1 2 4 1 2 ) 1 ( 8 ? ? ? ? ? ? + + - + + Y Y buradan 0 2 1 2 = - ? , 2 1 2 = ? , 2 1 = ? eder. Rezonans frekansına tekabül ettiği için bu değer ? R olarak belirtilir ve rezonans frekansı da ? R ile gösterilir. w wR R = ? , w R R w ? = 9 , 7 125 2 1 = = wR rad/sn bulunur. 65 , 5 2 5 , 4 9 , 7 2 ? = = x L w V R R m/sn 368 , 20 = V R km/h olur. 3-) Süspansiyon direngenlik katsayısı 78 kN/m ve amortisör sönüm oranı ? = 0.25 olan bir motosikletin 120 km/h hızla giderken amortisörünü patlatıp, süspansiyonlarını dağıttığı görülmüştür. Motorun hareket ettiği yolun kasislerinin derinliği 6 cm ve iki tepe arası mesafe 5 metredir. a) amortisörün sönüm katsayısını b) motor hızı 60 km/h iken düzenli rejim genliğini hesaplayınız. Çözüm : L = 5 cm Y = 6/2 = 3 cm k = 78 kN/m a) c = ? ? = 0,25 b) X dr = ? V R = 120 km/h 0 = ? d d X dr bağıntısından elde edilecek ? R ninde rezonans frekansına bağlı olduğu bilindiğine ? ? 2 2 1 1 - = R ve w wR R = ? olmak üzere 069 , 1 25 , 0 2 1 1 ) ( 2 = - = ?R bulunur. 88 , 41 5 3600 120000 2 2 = = = x L V wm ? ? rad/sn ? wR w= dan 17 , 39 069 , 1 88 , 41 = = w rad/sn ve m k w= bağıntısından m k w = 2 ? m 78000 17 , 39 ) ( 2 = m = 50,83 kg bulunur. ckr c = ? bağıntısı yardımı ile km c 2 25 , 0 = 5 , 995 83 , 50 78000 5 , 0 = = x c N/m/sn hesaplanır. b) 285 , 0 17 , 39 5 3600 60000 2 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 = = = x x w wm ? ? değeri ifadesinde yerine konarak ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 4 1 4 1 ) ( + - + = Y X dr 763 , 0 031 , 0 285 , 0 4 285 , 0 1 285 , 0 4 1 3 , 00 ) 25 , 0 ( ) ( ) 25 , 0 ( 2 2 2 = + - + = X dr X dr = 0,0406 m veya X dr = 4,06 cm olarak bulunur. 4-) çalışma hızı 600 d/d ile 3600 d/d arasında değişebilen bir dönel makinede çalışama esnasında meydana gelebilecek dengesizlik durumlarını zamanında belirlemek için bir yer değişimi ölçer tasarlanması isteniyor. Ölçülen yer değişimi genlik hatasının % 5 ‘ in altında olması istendiğine göre kütlesi 2 kg olan dönel makinenin a) söndürücü kullanmadığı halde yataklandığı zamanki % hata miktarı c) sisteme c = 1363 N/m/sn lik bir söndürücü ilave edildiği zamanki % hata miktarı ne olur? Çözüm: N 1 = 600 d/d N n =3600 d/d m = 2 kg Maksimum hata miktarı %5 a) sönüm olmadığına göre c = 0 ve dolayısı ile ? = 0 dır. O halde ? 2 1- = k F X dr haline gelir ? ? ? 20 60 600 2 60 2 1 = = = N w n r rad/sn ? ? ? 120 60 3600 2 60 2 2 = = = N w n r rad/sn dir. a) 5 ) ( ) ( ) ( 1 1 ? - X X X dr dr n dr b) ? 2 1 ) ( - = k F n dr X c) ? 2 1 1 ) ( - = k F X dr o halde denklemler (b) ve (c) yi (a) da yerine koyarsak 05 , 0 1 1 1 2 1 2 1 2 ? - - - - ? ? ? k F k F k F n 05 , 0 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ? - ? ? ? ? - - - ? ? ? ? ? ? ? k F k F n 05 , 0 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ? - ? ? ? ? - - - ? ? ? ? ? ? ? k F k F n ) ( 05 , 0 1 1 1 1 1 2 2 1 2 ? - - - - ? ? ?n 05 , 0 1 1 1 2 2 ? - - - ? ? n 05 , 1 1 1 2 2 ? - - ? ? n ifadesi elde edilir. Burada 2 20 20 1 1 k m k w r w ? ? ? = = = 2 120 120 2 k m k w r w n ? ? ? = = = ise 05 , 1 1 1 120 20 2 2 ? - - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m k m k ? ? olur. ifadeyi açarsak 05 , 1 14400 400 2 2 ? - - ? ? m k m k elde edilir. 05 , 1 14400 2 400 2 2 2 ? - - ? ? k k 223 , 5811 ? k kN/m bulunur. b) Denklemleri kullanarak 3 , 6818 2 5811223 2 2 = = = x km ckr N/m/sn ve 20 , 0 3 , 6818 1363 = = ? elde edilir. Her iki devir için yer değiştirme genlikleri. a) ( ) ( ) ? ? ? 2 1 2 2 1 4 2 1 + = - k F dr X b) ( ) ( ) ? ? ? 2 2 2 4 2 1 n n n k F dr X + = - dir. Yüzde hata miktarı c) ( ) ( ) ( ) X X X dr dr dr hata n 1 1 % - = ise 037 , 0 2 5811223 120 = = = ? ? w r w n n bulunur. ? n ve ? 1 degerlerini a – b ifadelerinde, bulunan değerleri de yerine koyarak yüzde hata miktarını hesaplarız. % Hata = 0,045 veya %45 bulunur. 5-) Kütlesi 2 kg olan dengesiz dönel bir kasnak tek serbestlik dereceli hareket yapacak şekilde esnek yataklar üzerine oturtulmuştur. Kasnak belirli devirlerde döndürülerek teste tabi tutulmuş ve kasnağın 16000 d/d hız ile dönerken sistemin rezonansa gelip yatakları parçaladığı görülmüştür. Kasnağın 600 d/d ile 3600 d/d arasında değişen bir hızda çalıştırılacağı bilindiğine göre; çalışma esnasında meydana gelebilecek dengesizlik durumlarını zamanında belirlemek için makinenin yataklarına bağlanan vibrometrenin (ölçümetre), a) makine sadece esnek yataklara sahip iken ( sönüm söz konusu olmadığı zaman) b) sisteme sönüm katsayısı c = 1360 N/m/sn olan bir söndürücü ilave edildiği anda göstereceği % hata miktarını hesaplayınız. Çözüm : Sistemin ilk anda sönüm ihtiva etmediğinden ? r = ? halinde rezonans vukua gelecektir. 5 , 1675 60 2 16000 60 2 = = = ? ? x n wr rad/sn m k w wr = = olduğundan ( ) 2 5 , 1675 2 k = k = 5614600,5 N/m dir. ( ) ? ? ? 2 2 2 4 2 1 + = - k F X dr ifadede, ? ? ? 20 60 600 2 60 2 1 = = = w r rad/sn ? ? ? 120 60 3600 2 60 2 2 2 = = = n w r rad/sn 037 , 0 5 , 1675 20 1 1 = = = ? ? w r w 00137 , 0 2 1 = ? ve 022 , 0 5 , 1675 120 2 2 = = = ? ? w r w 0484 , 0 2 1 = ? dür. ( ) ( ) ( ) X X X dr dr dr hata 1 1 2 % - = ( ) 99863 , 0 00137 , 0 1 1 k F k F dr X = - = ( ) 9516 , 0 0484 , 1 1 1 k F k F dr X = - = Buradan da değerler % Hata Formülünde yerine konursa; %hata = % 4,9 bulunur. c) Sisteme söndürücü ilave edildiği vakit. 6702 2 5 , 5614600 2 2 = = = x km ckr N/m/sn 20 , 0 6702 1360 = = = ckr c ? ( ) ( ) ( ) 998 , 0 00137 , 0 4 2 , 0 00137 , 0 1 2 2 1 k F x x k F dr X = + = - ( ) ( ) ( ) 95 , 0 0484 , 0 4 2 , 0 0484 , 0 1 2 2 2 k F x x k F dr X = + = - Dfadelerinden % Hata = 055 , 0 002 , 1 002 , 1 052 , 1 95 , 0 998 , 0 1 95 , 0 1 ? - = ? ? ? ? ? ? - k F k F veya % 5 hata bulunur.