i T.C. ANADOLU ÜN İVERS İTES İ YAYINI NO: 2580 AÇIKÖ ĞRET İM FAKÜLTES İ YAYINI NO: 1550 SA ĞLIK KURUMLARINDA OPERASYON YÖNETİMİ Yazarlar Doç.Dr. Özlem AYDIN (Ünite 1) Prof.Dr. Aydın ULUCAN (Ünite 2, 3) Doç.Dr. Hacer ÖZGEN NARCI (Ünite 4, 5) Prof.Dr. İsmet ŞAH İN (Ünite 6) Doç.Dr. Gülsün ER İGÜÇ (Ünite 7) Prof.Dr. Dilaver TENG İL İMO ĞLU (Ünite 8) Editörler Prof.Dr. İsmet ŞAH İN Doç.Dr. Hacer ÖZGEN NARCI ANADOLU ÜN İVERSİTES İ ii Bu kitabın basım, yayım ve satı ş hakları Anadolu Üniversitesine aittir. “Uzaktan Ö ğretim” tekni ğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır. İlgili kurulu ştan izin almadan kitabın tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya ba şka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Copyright © 2012 by Anadolu University All rights reserved No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic tape or otherwise, without permission in writing from the University. UZAKTAN Ö ĞRET İM TASARIM B İR İM İ Genel Koordinatör Doç.Dr. Müjgan Bozkaya Genel Koordinatör Yardımcısı Doç.Dr. Hasan Çalı şkan Ö ğretim Tasarımcıları Yrd.Doç.Dr. Seçil Banar Ö ğr.Gör.Dr. Mediha Tezcan Grafik Tasarım Yönetmenleri Prof. Tevfik Fikret Uçar Ö ğr.Gör. Cemalettin Yıldız Ö ğr.Gör. Nilgün Salur Kitap Koordinasyon Birimi Uzm. Nermin Özgür Kapak Düzeni Prof. Tevfik Fikret Uçar Ö ğr.Gör. Cemalettin Yıldız Grafiker Gül şah Yılmaz Dizgi Açıkö ğretim Fakültesi Dizgi Ekibi Sa ğlık Kurumlarında Operasyon Yönetimi ISBN 978-975-06-1249-7 1. Baskı Bu kitap ANADOLU ÜN İVERS İTES İ Web-Ofset Tesislerinde 15.800 adet basılmı ştır. ESKİŞEH İR, Haziran 2012 iii İçindekiler Önsöz .... iv 1. Sa ğlık Kurumları Yönetiminde Modelleme Süreci, Sayısal Karar Verme ve Kontrol 2 2. Sa ğlık Yönetiminde Öngörü. 34 3. Sa ğlık Kurumlarında Kaynak Tahsisi, Üretim ve Kapasite Planlamada Do ğrusal Programlama ile Modelleme ...... 58 4. Sa ğlık Yönetiminde Proje Yönetimi 86 5. Sa ğlık Kurumlarında Verimlilik Ölçümü ve Yönetimi 112 6. Sa ğlık Kurumlarında Sıra Bekleme Sistemleri ve Kuyruk Modelleri. 140 7. Sa ğlık Kurumlarında Personel Sa ğlama, İş Tasarımı ve Ölçümü .. 160 8. Hastanelerde Malzeme Yönetimi. 186 iv Önsöz Hızlı de ği şen ve karmaşıklaşan çevresel ko şullar sa ğlık kurumlarının yönetimini de etkilemektedir. Bu durum, birçok açıdan di ğer i şletmelerden farklı özelliklere sahip sa ğlık hizmeti sunan kurum ve kurulu şların yönetimini daha karmaşık ve güç bir hale getirmektedir. Bu da, sa ğlık kurumlarında yürütülen faaliyetlerin ba şarıya ulaşması için etkilili ği ve verimlili ği sa ğlama yönünde çok sayıda kararlar vermesi beklenen sa ğlık kurumları yöneticilerinin geçmi şte olduğundan daha donanımlı olmasını zorunlu kılmaktadır. Yöneticilerin hızlı ve doğru kararlar vermesi için gerekli donanımı kazanabilmelerine yardımcı olacak çok sayıda yöntem mevcuttur. Bunlardan birisi, kantitatif/sayısal yöntemlerdir. Sayısal yöntemlerin kullanımı sa ğlık kurumlarında da her geçen gün artmaktadır. Sa ğlık Kurumlarında Operasyon Yönetimi, sa ğlık kurumları yöneticilerinin ihtiyaç duyaca ğı temel karar verme konularını sayısal bir bakı ş açısıyla ele alan bir kitaptır. Bu kitapta sayısal karar verme yöntemleri, öngörü modelleri, kaynak tahsisi-üretim-kapasite planlamada do ğrusal programlama teknikleri, proje yönetimi, verimlilik ölçümü ve yönetimi, bekleme sistemleri ve kuyruk modelleri, personel sa ğlama-i ş tasarımı-i ş ölçümü ve malzeme tedarik süreci ile stok yönetimi konuları anlatılmı ştır. Kitabın yazım ve basım a şamasındaki de ğerli katkıları nedeniyle Uzaktan Ö ğretim Tasarım Birimi’ne, Açıköğretim Fakültesi Dizgi Ekibi’ne ve Anadolu Üniversitesi Basımevi çalı şanlarına te şekkür eder, ö ğrencilerimize ba şarılar dileriz. Editörler Prof.Dr. İsmet ŞAHİN Doç.Dr. Hacer Özgen NARCI 2 Amaçlarımız Bu üniteyi tamamladıktan sonra; Sayısal karar yöntemlerinde kullanılan modellerin önemini açıklayabilecek, Karar ortamlarına göre karar verebilecek, Maksimizasyon ve minimizasyon problemlerini analiz edebilecek, Rekabet ortamında iki karar vericinin nasıl karar verdi ğini açıklayabilecek, bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Karar Alternatifleri Karar Ortamları Ödemeler Matrisi Belirlilik Ortamında Karar Kriterleri Belirsizlik Ortamında Karar Verme Risk Ortamında Karar Verme Karar A ğacı Oyun Kuramı Denge Noktası Tam ve Karma Strateji İçindekiler Giri ş Karar Analizi Oyun Kuramı 1 3 G İR İŞ Sa ğlık kurumlarında karar verici konumundaki yöneticiler sıklıkla kurumlarına ili şkin yönetsel kararlar vermek durumundadırlar. Bu kararlar genellikle geli şen sorunlara ya da gelece ğe yönelik yapılan planlamalara ili şkin olmaktadır. Geçmi şte tümüyle ki şisel deneyim ya da içgüdülere dayanarak verilmi ş olan söz konusu kararlar için günümüzde sayısal karar verme yöntemlerinden faydalanılmaktadır. Böylece, verilen kararlardan karar vericinin ki şisel görü şü ve kendi tercihleri gibi muhtemel yanlılıklar arındırılmı ş olmaktadır. Buna ek olarak, karar vericinin verdi ği kararı sayısal olarak ortaya koyabilmesi sa ğlanmaktadır. Bu sayede kararın uygunluğu herkes tarafından kabul edilebilecek, hatta uygun olmadı ğına karar verilen alternatiflerin de bu karardan tatmin olması sa ğlanabilecektir. Sayısal karar verme yöntemleri modelleme, analiz ve kontrol süreçlerini içeren bilimsel yakla şımların bütünüdür. Tüm karar süreçlerinde karar verici, alternatifler arasından kendisi için en do ğru kararı vermeyi amaçlamaktadır. Karar sürecinde en az iki karar alternatifinin bulunması gerekmektedir. Aksi halde, karar vericinin seçim yapabilece ği iyi veya kötü (do ğru veya yanlı ş) kararlar bulunmamaktadır. Tek bir alternatifin oldu ğu durumlarda karar verici bir seçim yapamayacak ve do ğrulu ğunu ispat edemese de söz konusu tek alternatifi “en iyi” karar olarak kabul edecektir. “En iyi” karar, sayısal karar verme yöntemlerinde “optimal” karar olarak adlandırılır ve karar vericinin amacına yönelik en faydalı çözümü veren karar alternatifi olarak belirlenir. Karar verici ise i şletmede yönetsel kararlar verme yetkisine sahip ki şi ya da ki şiler grubudur. Bu noktaya kadar bir problemin çözümünde karar vericinin rolü ve en az iki alternatifin varlı ğı üzerinde durulmu ştur. Önemli bir nokta da, karar vericinin alternatifler arasında seçim yaparken uygulayaca ğı kriterin belirlenmesidir. Sayısal karar verme yöntemlerinde karar verici kazanç, fayda, kalite puanı gibi de ğerleri en büyüklemeyi (maksimize etmeyi) ya da maliyet, kayıp, zaman, yol gibi de ğerleri en küçüklemeyi (minimize etmeyi) amaçlar. Optimal karar, bu amaca yönelik en yüksek (ya da düşük) sonucu veren alternatiftir. Optimal çözüm ise optimal kararın amaca yönelik hesaplanmı ş de ğeridir. O halde, sayısal karar yöntemlerinde karar verici, en az iki alternatif ve bir amaç (ya da amaç fonksiyonu) olmak üzere üç temel bileşen bulunmaktadır. Tüm bu bileşenlerin yanı s ıra ortaya atılan problemin doğru ve tam olarak tanımlanmı ş olması gerekmektedir. Bir problemin do ğru tanımlanması, yanlı ş bilgi içermemesi ve herkes tarafından aynı şekilde algılanabilmesini ifade eder. Tam olarak tanımlanması ise problemin çözümü için gerekli tüm bilgileri eksiksiz olarak içermesi anlamına gelir. Aksi takdirde, uygulanan çözüm yöntemi do ğru, ula şılan karar matematiksel olarak optimal olsa da elde edilen sonuç etkili ve geçerli bir sonuç olmayacaktır. KARAR ANALİZ İ Karar analizi, sayısal karar verme yöntemleri arasında hepimizin belki de hemen hemen her gün kullandı ğı, en yaygın sayısal karar verme yöntemidir. Günlük hayatta olduğu gibi sa ğlık kurumları yönetiminde de karar verici konumundaki ki şiler, kendileri için en do ğru kararı vermeyi hedeflerler. Kararın hangi ko şullarda verildi ği önemlidir. Örne ğin, günlük hayatımızda o günkü hava sıcaklı ğını kesin olarak biliyorsak o gün kaban giyip giymemeye kolaylıkla karar verebiliriz. Ancak hava sıcaklı ğı Sağlık Kurumları Yönetiminde Modelleme Süreci, Sayısal Karar Verme ve Kontrol 4 hakkında kesin bilgimiz olmadı ğında verece ğimiz kararın her durumda bizi mutlu edece ğini söylemek zordur. Hava sıcak olabilir ve kabanı tüm gün elimizde ta şımak zorunda kalabiliriz. Bu da, kaban almı ş olmanın aslında doğru karar olmadı ğı anlamına gelir. Bunun yanı sıra, kaban almı ş olmak, hava serin olursa doğru bir karar olacaktır. Burada önemli olan hava sıcaklı ğının önceden bilinemeyece ği, bu nedenle de do ğru karara ula şmanın kolay olmadı ğıdır. Şu da unutulmamalıdır ki, hava sıcaklı ğı karar vericinin kontrolünde de ğildir. Sa ğlık kurumları yönetiminde de bu tip belirsizlikler sıkça kar şımıza çıkmaktadır. Burada önemli olan, kontrol edilemeyen belirsizlikleri dikkate alarak karar verebilmektir. Örne ğin, satın alınacak bir ilacın satın alma adedinin belirlenmesinde belirsizli ği yaratan, ilacın talebinin kesin olarak bilinememesidir. O halde, optimal karara nasıl ula şaca ğız? Karar analizi bu tür durumlarda problemleri çözmek amacıyla birkaç kriter ortaya atar. Bu kriterleri detaylı olarak incelemeden önce, karar ortamları üzerinde durmak faydalı olacaktır. Karar ortamları üç ba şlık altında toplanır: • Belirlilik ortamı, • Belirsizlik ortamı, • Risk ortamı. Karar analizinde alternatiflerden hangisinin seçilece ği karar vericinin inisiyatifindedir. Karar verici, amacına yönelik en doğru kararı seçer. Ancak karar ortamını belirleyen, karar verici tarafından kontrol edilemeyen, hangisinin gerçekle şece ğinden emin olamadı ğımız “doğa durumları”dır. Yukarıdaki örnekte, hava sıcaklı ğı kontrol edilemeyen bile şendir. Hava durumu serin ve sıcak olmak üzere iki kategoride incelenmi ştir. Bu nedenle havanın serin ya da sıcak olması doğa durumlarıdır. Bu durumlar optimal kararı doğrudan etkiler. Do ğa durumlarının neler olabilece ği bilinir, fakat hangisinin gerçekle şece ği her zaman bilinemez. Karar ortamlarını birbirinden ayıran da bu özelliktir. Belirlilik Ortamında Karar Verme Kararın verildi ği ortamda tam belirlilik durumu oldu ğunda karar vermek nispeten kolaydır. Hava sıcaklı ğının kesin olarak bilindi ği durumlar ya da ilacın aylık talebinin bilinmesi, belirlilik ortamlarına örnektir. Belirlilik ortamında optimal karara nasıl ula şıldı ğını a şa ğıdaki örneklerle açıklayalım. Örnek 1.1. Bir hastanede hasta memnuniyetini arttırmak için dört alternatif bulunsun. Bunlar; • A1: Randevu sisteminin iyile ştirilmesi, • A2: Hastanedeki temizlik personelinin sayısının arttırılması, • A3: Hizmet saatlerinin esnetilmesi, • A4: Hastaneye ula şımın kolayla ştırılmasıdır. Alternatiflerin hastaların memnuniyet derecesini kaç puan artıraca ğının belirli oldu ğunu düşünelim. Her alternatif için puan artı şları Tablo 1.1’de gösterilmektedir. Hastane yönetimi puan artı şını en yüksek seviyede tutmayı amaçlayaca ğından, 9 puanlık artı şı sa ğlayan 3. Alternatifi (hizmet saatlerinin esnetilmesini) seçer. Buna göre optimal karar A3 ve optimal çözüm de ğeri 9 olur. Burada amaç, en yüksek puan de ğerinin elde edilmesidir. Amacın minimizasyon oldu ğu durumlarda ise en dü şük de ğeri veren alternatif optimal karar olur. Tablo 1.1: Alternatifler ve hasta memnuniyetindeki puan artı şları. Alternatifler Puan artı şı A1 7 A2 6 A3 9 A4 6 5 Örnek 1.2. Ek hizmet binası yapılması planlanan bir hastanenin yönetimi üç firma ile görü şmü ştür. Firmaların taahhüt ettikleri binayı tamamlama süreleri (ay olarak) a şa ğıda Tablo 1.2’de verilmi ştir. Binanın en kısa sürede tamamlanmasını amaçlayan hastane yönetimi için optimal karar, hangi firmanın seçilmesidir? Tabloda da açıkça görüldü ğü gibi, 2. firmanın seçilmesi durumunda bina 8 ayda tamamlanacaktır. Diğer firmaların taahhüt ettikleri tamamlama süreleri daha uzun oldu ğu için hastane yönetimi 2. firmayı seçmelidir. Bu durumda optimal karar, 2. firma ve optimal çözüm de ğeri 8 olur. Tablo 1.2: Alternatifler ve binaların tamamlanma süresi. Alternatifler Tamamlanma süreleri (ay) 1.Firma 11 2.Firma 8 3.Firma 10 Belirlilik ortamı adını, hangi do ğa durumunun gerçekle şece ğinin bilinmesinden alır. Yukarıdaki örneklerde puan artı şının kaç olaca ğı ya da bina in şaatının kaç ayda tamamlanabilece ği her alternatif için kesin olarak belirlidir. Tek bir doğa durumu vardır ve bu durum gerçekle şecektir. Bu belirliliği yakalamak mümkün değilse ya da alternatiflerin sonuçları de ği şen koşullara göre farklı de ğerler alıyorsa, karar belirsizlik ortamında veriliyor demektir. Belirsizlik Ortamında Karar Verme Problemde tek bir doğa durumu yerine birkaç do ğa durumu varsa ve bunlardan hangisinin gerçekle şece ği bilinmiyorsa ortamda belirsizlik var demektir. Belirsizlik ortamındaki kararlarda, karar vericinin tutumu optimal kararı etkiler. Bu nedenle, bir karar verici için optimal olan karar, di ğeri için yanlı ş karar olabilir. Bu kapsamda, en çok kullanılan be ş kriter incelenecektir. Bu kriterlerin birbirlerine kar şı herhangi bir üstünlükleri bulunmamaktadır. Kriter seçiminde belirleyici olan nokta, karar vericinin probleme yaklaşım biçimidir. Karar analizinde farklı koşullar için, alternatiflerin sonuçları bir tabloda gösterilir. Bu tabloya “ödemeler matrisi” denir. Bu ifade, matrisin (tablo de ğerlerinin) aslında ödeme ya da maliyet olmasını ifade etmez. Amaç, kazancın maksimizasyonu olsa da matris için ödemeler matrisi ifadesi kullanılır. A şa ğıdaki problemler farklı tutumdaki karar vericilerin optimal çözüme ula şma süreçlerini anlamamıza yardımcı olacaktır. Örnek 1.3. Yeni kurulacak bir fizik tedavi merkezi için yer seçimi yapılacaktır. Merkez, şehrin dört farklı bölgesinden birine inşa edilebilecektir. Dört yerle şim yeri alternatifi; • A1: Şehrin merkezi, • A2: Şehir merkezinin 10 km batısı, • A3: Şehir merkezinin 7 km güneyi, • A4: Şehrin 8 km kuzeyidir. Amaç, bu bölgelerden birini seçerek en yüksek kazanca ula şmaktır. Kazancın günlük hasta sayısına göre de ği şece ği dü şünülmekle beraber hasta sayısının kaç olaca ğı da kesin olarak bilinmemektedir. Buna göre fizik tedavi merkezi yönetimi muhtemel hasta sayılarına göre kazançlarını (* 100 olarak) aşa ğıda Tablo 1.3’de verildi ği gibi belirlemi ştir. Hasta sayısının (do ğa durumlarının) belirsiz olması ve karar verici konumundaki merkez yönetiminin hasta sayısını kontrol edememesi nedeniyle karar belirsizlik ortamında verilecektir. Tablo 1.3: Alternatifler ve hasta sayılarına göre kazanç. Alternatifler Hasta sayıları (Do ğa durumları) 75-90 91-120 120 üstü A1 10 14 18 A2 9 11 13 A3 13 14 14 A4 12 13 14 Bu tip problemlerde karar vericinin tutumunun karar üzerinde etkili oldu ğunu daha önce de belirtmi ştik. Burada da karar vericinin uygulayaca ğı kriter, kendi tutumuna göre de ği şebilecektir. Bu örnek üzerinde kriter uygulamalarını aşa ğıda inceleyelim. 6 Eşit Olasılık Kriteri Do ğa durumlarından hangisinin gerçekle şeceği bilinmedi ğinde akla ilk gelen, tümünün gerçekle şme olasılı ğının e şit olabileceğidir. Bu şekilde verilen kararlarda uygulanan kritere e şit olasılık (Laplace) kriteri denir. Yukarıdaki örne ği bu kriterle çözerken, alternatiflerdeki kazançların aritmetik ortalaması hesaplanarak her alternatif için ortalama bir kazanç belirlenir. A1 alternatifi için hesaplama; şeklinde olur. Di ğer alternatifler için de aynı şekilde aritmetik ortalamalar hesaplandı ğında; A2 için › 11 A3 için › 13,67 A4 için › 13 de ğerleri elde edilir. Karar vericinin amacı kazancın en yüksek de ğerini elde etmek oldu ğuna göre, bu kazançlar arasındaki en yüksek de ğer olan 14’ü veren A1 optimal alternatiftir ve problemin optimal çözümü 14’dür. İyimserlik Kriteri Adından da anla şılaca ğı gibi iyimserlik kriteri, iyimser bir karar vericinin tercih edeceği kriterdir. Karar verici her alternatifte, muhtemel kazançların en yükse ğini kazanaca ğını düşünerek alternatifleri de ğerlendirir. Bu tip karar vericiler risk alabilen, hatta en riskli kararları verebilenlerdir. Yukarıdaki örnekte A1 alternatifinde karar vericinin muhtemel kazançları 10, 14 ve 18’dir. İyimser karar verici A1’i seçti ğinde en yüksek kazanç olan 18’e ula şaca ğına inanır. Bu nedenle A1’in de ğerini 18 olarak belirler. Diğer alternatiflerde de en yüksek kazançlar dikkate alınarak, A2 için › 13 A3 için › 14 A4 için › 14 de ğerleri elde edilir. Bu kazançlar arasında karar verici için optimal olan karar A1’i seçmesidir. Burada maksimum kazançlar içinden maksimum olan optimal karar olduğu için bu kriter maksimaks kriteri olarak da adlandırılır. Bu örnekte, e şit olasılık kriteri ile iyimserlik kriterlerinin aynı alternatifi optimal alternatif olarak belirledikleri görülmektedir. Bu sonuç tamamen tesadüf olup bu benzerlik bir ba şka örnek için geçerli olmayabilir. Dikkat edilirse, aynı optimal alternatife kar şılık kriterler farklı optimal çözüm değerleri vermi şlerdir. Bunun nedeni, kriterlerin çözümlerinin farklı anlamlar ta şımalarıdır. E şit olasılık kriterinde alternatiflerin ortalama kazançlarına göre karar verilirken iyimserlik kriterinde alternatiflerin en iyi sonuçları dikkate alınarak, yüksek risk altında karar verilmiştir. Kötümserlik Kriteri Kötümserlik kriteri, kötümser bir tutumdaki karar vericinin izleyece ği kriterdir. Do ğa durumları halâ belirsizli ğini korurken, karar verici kararını kar şısına çıkabilecek en kötü duruma göre planlar. Böylece, çözüm sonunda elde edilebilecek en dü şük kazanç belirlenmi ş olur. Kötümserlik kriteri garanti kazançtır. Risk almak istemeyen karar verici kar şıla şaca ğı en kötü durumu bilece ği için beklentisi dü şük olacaktır. Bu nedenle, kar şısına bekledi ğinden daha iyi bir sonuç çıktı ğında memnuniyeti artacaktır. 7 Fizik tedavi merkezi yöneticisi yer seçiminde kötümserlik kriterini uyguladı ğında, her alternatifte elde edilmesi muhtemel üç kazançtan en dü şü ğünü kazanaca ğı varsayımıyla hareket eder. Örne ğin, A1 alternatifindeki kazançları 10, 14 ve 18 olabilece ği için, kötümser karar verici A1’i seçti ğinde bunlardan en kötüsünü (en dü şü ğünü) seçerek A1’ in de ğerini 10 olarak belirler. Benzer şekilde, A2 için › 9 A3 için › 13 A4 için › 12 de ğerleri seçilir. Bunlar her alternatifin en düşük kazançlarıdır. Karar verici garanti ettiği bu kazançlar arasından en yükse ğini seçerek optimal karar olarak belirler. Bu da A3 alternatifinin seçilmesi ve optimal çözüm de ğerinin 13 olması anlamına gelir. Bu kriterde, alternatiflerin minimum kazançlar içinden maksimum olanına karar verildi ği için kötümserlik kriteri literatürde maksimin kriteri olarak da adlandırılır. Hurwicz Kriteri İyimserlik kriterinde karar vericinin tamamen riskli davrandı ğını, kötümserlik kriterinde ise tam tersi şekilde garantici oldu ğunu belirtmi ştik. Belirsizlik ortamında bir karar vericinin tam risk alan ya da garantici olduğu, riski belirli bir oranda aldı ğı durumlarla da kar şıla şılabilir. Bu tip karar verici 0 ile 1 arasında, alabilece ği risk için bir oran (olasılık) tanımlar. Bu oran ? ile gösterilir. Dolayısıyla, ? oranında iyimser bir karar verici ile karşıla şılmaktadır. Bu durumda karar verici, (1- ?) oranında da kötümserdir. Hurwicz kriterine göre karar verilirken iyimserlik ve kötümserlik kriterleri karar vericinin belirledi ği ? oranına göre birle ştirilir. Yukarıdaki örnekteki iyimserlik ve kötümserlik kriterleri a şa ğıda verilmi ştir. Örnek olarak ? de ğerinin 0,6 (yani %60) olması durumunda (1- ?) değeri 0,4 (yani %40) olur. A1 alternatifi için iyimserlik ve kötümserlik kriterlerinden elde edilen de ğerler sırasıyla 18 ve 10’dur. Bu 0,6 ve 0,4 oranları ile çarpıldı ğında a şa ğıdaki hesaplamaya ula şılır: 0,6*(18) + 0,4*(10) = 14,8 A1 alternatifi için bu şekilde elde edilen de ğer, di ğer alternatifler için de hesaplandı ğında Tablo 1.4’de verilen sonuçlara ulaşılır. Tablo 1.4: Kriterlere göre alternatiflerin de ğeri. Alternatifler İyimserlik kriteri Kötümserlik kriteri HURWICZ ( ? =0,6) A1 18 10 14,8 A2 13 9 11,4 A3 14 13 13,6 A4 14 12 13,2 Hesaplanan Hurwicz de ğerleri incelendi ğinde en yüksek kazanca A1 alternatifi ile ula şıldı ğı, optimal kararın A1 ve optimal çözümün 14,8 oldu ğu görülmektedir. Pişmanlık Kriteri Pi şmanlık kriteri, karar vericinin en az pi şmanlık duyaca ğı alternatifi optimal karar olarak belirledi ği kriterdir. Bu kriterde önce pi şmanlık matrisi elde edilir ve karar bu matris üzerinden verilir. Örne ğimizdeki kazançlara göre pi şmanlık matrisini hesaplayalım. Hangi doğa durumunun gerçekle şece ğini bilemedi ğimiz için e şit olasılık, iyimserlik, kötümserlik ve Hurwicz kriterlerinde verilen optimal kararların bazılarından pi şmanlık duyulabilir. Örne ğin, e şit olasılık, iyimserlik ve Hurwicz kriterlerinde optimal karar A1 olarak belirlenmi şti. Ancak, hasta sayısı 75-90 arasında olduğunda A1 alternatifi en yüksek kazancı vermemektedir. Eğer gerçekte 75-90 arası hasta gelece ği önceden bilinseydi, 8 optimal karar, en yüksek kazanç olan 13 de ğerini veren A3 olurdu. Bu durumda 10 birimlik kazanç sa ğlayan A1 seçildi ğinde kazanılamayan 3 birim için pi şmanlık duyulacaktır. O halde, pi şmanlık matrisinin ilk de ğeri 3 olmaktadır. E ğer 75-90 hasta geldi ğinde A2 seçilmi ş olsaydı, o zaman kazanılamayan 4 birim için pi şmanlık duyulurdu. 75-90 hasta geldi ğinde en yüksek kazanç A3 alternatifinde elde edilece ği için bu alternatif karar vericiye hiç pi şmanlık ya şatmaz. O nedenle, pi şmanlık matrisinde 0 de ğerini alır. A4 seçilmiş ise de aynı şekilde dü şünülerek pi şmanlık 1 birim olarak hesaplanır. Diğer doğa durumları da 75-90 hasta sayısı için yapılan i şlemlerle incelendi ğinde pi şmanlık matrisi Tablo 1.5’deki gibi elde edilir. Tablo 1.5: Pişmanlık matrisi. Alternatifler 75-90 91-120 120 üstü A1 3 0 0 A2 4 3 5 A3 0 0 4 A4 1 1 4 Matriste de görüldü ğü gibi, her do ğa durumunda hiç pi şmanlık ya şanmayacak en az bir alternatif bulunmaktadır. Sütunlardaki di ğer 0 de ğerleri ise en yüksek kazancın birden fazla alternatifte gözlendi ğini belirtmektedir. Karar verici pi şmanlı ğını en dü şük noktada tutmak ister. Bu nedenle, her alternatif için pi şmanlıklarını hesaplar. Bu noktada en yüksek pi şmanlıkları dikkate alır. A1 için en yüksek pi şmanlık ›3 A2 için › 5 A3 için › 4 A4 için › 4 de ğerleri elde edilir. Bunlar ya şanacak en yüksek pi şmanlık de ğerleridir. Karar verici pi şmanlı ğı düşük tutmak isteyeceği için minimum pi şmanlık de ğerini veren A1 alternatifi optimal karar olur. A1 alternatifi seçildi ğinde ya şanacak pi şmanlık en fazla 3 birim olacaktır. Pi şmanlık kriterinde maksimum pi şmanlıklar içinden minimum olan seçildi ği için minimaks kriteri olarak da adlandırılır. Bir hastanede yatak kullanım oranlarının yüksek tutulması amaçlanmaktadır. Bu amaçla, hastane yönetiminin seçebilece ği üç farklı yol (Y1, Y2, Y3) vardır. Ayrıca, yatak kullanım oranlarının hastalara konulacak tanılara göre de ği şeceği de bilinmektedir. Kaç hastanın tanısının yatak kullanımını gerektirece ği kesin olarak bilinmedi ği için, farklı günlük tanı sayılarına göre yatak kullanım oranını artırma alternatiflerinin yatak kullanım oranları a şa ğıdaki tabloda sunulmu ştur. Belirsizlik altında karar verme kriterlerini kullanarak optimal kararları ve optimal çözüm de ğerlerini bulunuz (Hurwicz kriterinde iyimserlik oranını 0,7 olarak alınız). Alternatifler Günlük tanı sayısı 16-20 21-50 50 üstü Y1 25 38 35 Y2 27 42 28 Y3 28 35 29 Belirsizlik altında karar verilirken alternatiflerin özellikleri üzerinde durmak faydalı olacaktır. Maksimizasyonun amaçlandı ğı bir karar matrisinde yukarıdaki klasik alternatiflerin dı şında iki tip karar alternatifi vardır: 9 • Baskın alternatif, • Kabul edilemez alternatif. Baskın alternatif, her doğa durumu altında bir ba şka alternatiften daha iyi sonuç veren ve dolayısıyla di ğer alternatife seçilme şansı vermeyen alternatiftir. Örneğin, üç do ğa durumu altında üç alternatifin kazançlarının Tablo 1.6’da gösterildi ği gibi oldu ğunu varsayalım. Tablo 1.6: Farklı do ğa durumlarında alternatiflerin kazancı. Alternatifler Do ğa durumları A B C 1 36 42 39 2 37 42 44 3 38 44 49 Bu problemde 1 ve 2. alternatifler incelenirse 2. alternatifin A ve C do ğa durumları altında 1. alternatiften daha yüksek kazançlar sa ğladı ğı görülmektedir. O halde, A ya da C do ğa durumları gerçekle ştiğinde 2. alternatif, 1. alternatife tercih edilir. Di ğer doğa durumu olan B gerçekle ştiğinde ise 2. alternatif, 1. alternatif ile eşit kazanç sa ğlamaktadır. Bu doğa durumunda da 1. alternatifin 2. alternatife bir üstünlü ğü bulunmamaktadır. Buna göre 2. alternatif, 1. alternatiften hiçbir zaman daha kötü sonuç vermeyecektir. Karar analizinde buna “baskınlık ili şkisi” denir. Tablo 1.6’daki kazanç matrisinde 2. alternatif 1. alternatife baskın alternatiftir. Baskın alternatif hangi kriter kullanılırsa kullanılsın optimal karar olamayacaktır. Bu nedenle 1. alternatifin problemden çıkartılması problemin optimal kararını etkilemeyecektir. Yukarıdaki soruda 2. alternatif çıkartılıp çözüme ula şılabilir. Böylece, problemin boyutu küçüleceği için çözüm de kolayla şır. Baskın alternatif tarafından bastırılan alternatife “kabul edilemez alternatif” denir. Burada 2. alternatif kabul edilemez alternatiftir. Bir önemli nokta da, problemdeki baskınlık ili şkisi varken, bu ilişkinin belirlenememesi durumunda optimal çözüm de ği şmez. Baskınlık ili şkisi sadece problemin boyutlarını küçültmek ve daha az i şlem yaparak sonuca ula şmak gibi bir avantaj sa ğlar. Baskın alternatif bir ba şka alternatiften daha iyi sonuç verdi ği için baskın olabilece ği gibi her do ğa durumunda di ğer alternatiflerin tümünden daha iyi sonuç veriyor da olabilir. Örne ğin, yukarıdaki problemde 3. alternatif hangi do ğa durumu gerçekle şirse gerçekle şsin 1. ve 2. alternatiften her zaman daha yüksek kazanç sağlamaktadır. Bu ko şulda, hangi kriter uygulanırsa uygulansın yukarıdaki problemin optimal kararı 3. alternatif olacaktır. Bir problemde baskınlık ili şkisini görebilmek optimal çözüme ulaşmayı kolayla ştırabilece ği gibi, yukarıdaki örnekte de oldu ğu gibi, optimal çözüme hiçbir i şlem yapmadan ula şmayı da sa ğlayabilmektedir. Baskın ya da kabul edilemez alternatifler dı şında kalan di ğer alternatifler yalnızca karar alternatifi olarak adlandırılır. Problemin kazanç olması durumunda belirsizlik altında karar verme kriterlerini inceledik. Bir maliyet söz konusu ise ve do ğa durumları belirsiz ise aynı kriterler uygulanabilir. Ancak matrisin minimize edilmesi amaçlanaca ğı için kriterlere bakı ş açımızı koruyarak uygulamada bazı de ği şiklikler yapmamız gerekecektir. Maliyet problemi sadece parasal maliyetleri içermemektedir. Zaman, i ş gücü, bir i şin tamamlanma süresi gibi minimize edilmek istenen problemler de maliyet problemi ba şlı ğı altında toplanmaktadır. Maliyet probleminde kriterlerin uygulanmasını bir örnek üzerinde açıklayalım. Örnek 1.4. Bir hastanede laboratuvar tetkik sonuçlarının hastaya en kısa sürede verilebilmesi amaçlanmı ştır. Buna yönelik üç karar alternatifinden biri seçilerek sonuç verme süresi kısaltılmaya çalı şılacaktır. Alternatifler; • L: Laborant sayısının arttırılması, • G: Laboratuvarın geni şletilmesi, • T: Laboratuvarın farklı bir binaya ta şınmasıdır. Bu alternatiflerin tetkik süresini kısaltaca ğı kesindir, ancak hangisinin daha iyi oldu ğu hekimlerin nasıl bir yo ğunlukta tetkik isteyece ğine göre de ği şecektir. O halde, hekimlerin tetkik talepleri do ğa durumlarını olu şturmaktadır. Talepler gruplanarak “az”, “orta”, “yo ğun” ve “çok yo ğun” olmak üzere dört kategoride toplanmı ştır. Talep düzeylerine göre alternatiflerin sa ğlayaca ğı tetkik sonucu teslim süreleri saat olarak Tablo 1.7’de verilmiştir. 10 Tablo 1.7: Talep düzeylerine göre alternatiflerin sa ğlayaca ğı tetkik sonucu teslim süreleri. Alternatifler Tetkik talepleri (Do ğa durumları) Az Orta Yo ğun Çok yo ğun L 9 12 14 20 G 10 11 11 15 T 10 12 13 16 Karar vericinin amacı yukarıda verilen sürelerin kısaltılmasıdır. Şimdi, belirsizlik altında daha önce kullandı ğımız karar verme kriterlerini kullanarak optimal kararları elde edelim. Eşit Olasılık Kriteri Kazançların maksimize edildi ği problemlerde olduğu gibi, maliyet problemlerinde de karar verici tüm doğa durumlarının gerçekle şme şansını e şit görüyorsa e şit olasılık kriterinden yararlanabilir. Kriterin i şleyi şi kazanç problemlerinde oldu ğu gibidir. Tek fark, son a şamada optimal kararı belirlerken alternatifler arasında en dü şük maliyeti veren alternatifin seçilecek olmasıdır. Her bir alternatifin ortalama tetkik sonucunu açıklama süreleri hesaplanır. L alternatifi için bu ortalama değer; olarak hesaplanır. G ve T alternatiflerinin ortalamaları ise; G için › 11,75 T için › 12,75 olarak hesaplanır. Amaç, sürelerin minimizasyonu oldu ğuna göre en kısa sürede sonuç veren alternatifin 11,75 saat ile G alternatifi oldu ğu görülmektedir. İyimserlik Kriteri İyimserlik kriteri, risk almayı seven karar vericilerin uyguladı ğı kriterdir. Bir maliyet probleminde iyimserlik, en kısa sürenin dikkate alınarak karar verilmesi anlamına gelir. Buna göre karar verici L alternatifini incelerken, 9 saatte tetkik sonuçlarını verece ğini dü şünerek hareket eder. Di ğer alternatiflerde ise; G için › 10 T için › 10 saati dikkate alır. Bu sonuçlar arasında karar vericinin en kısa süreyi seçmesi gerekir. O halde, iyimserlik kriterine göre problem için optimal karar L alternatifi ve optimal çözüm de ğeri 9 olarak belirlenir. Kötümserlik Kriteri Kazanç probleminde oldu ğu gibi maliyet probleminde de bu kriter, karar vericinin kötümser oldu ğu problemlerde uygulanan kriterdir. Hatırlanacak olursa, kötümser karar verici risk almayan karar vericidir. Karar verici, maliyet söz konusu oldu ğunda da en kötü duruma, di ğer bir deyi şle en yüksek maliyete (en uzun süreye) göre karar verecektir. O halde, L alternatifini seçti ğinde tetkik sonuçlarını 20 saatte verece ğini dü şünür. G ve T alternatiflerinde ise; G için › 15 T için › 16 sonuçlarına ula şır. Bunlar arasında en kısa süreyi seçmeyi amaçladı ğı için 15 saati veren G alternatifini optimal karar olarak belirler. Buna göre optimal çözüm de 15 saattir. 11 Hurwicz Kriteri Hurwicz kriteri, karar vericinin 0 ile 1 arasında ? ile gösterilen bir risk katsayısı belirledi ği ve bu katsayı oranında iyimserlik, (1- ?) oranında kötümserlik kriterlerini uyguladı ğı kriterdir. Bu problemde karar vericinin 0,3 oranında (yani %30) risk alabileceğini, 0,7 (yani %70) oranında garantici oldu ğunu düşünelim. Bu durumda iyimserlik ve kötümserlik de ğerleri dikkate alınarak L alternatifi için, 0,3*(9) + 0,7*(20) = 16,7 de ğeri hesaplanır. G ve T alternatiflerinden ise Tablo 1.8’de verilen de ğerlere ula şılır. Tablo 1.8: Kriterlere göre alternatiflerin de ğeri. Alternatifler İyimserlik kriteri Kötümserlik kriteri HURWICZ ( ? =0,3) L 9 20 16,7 G 10 15 13,5 T 10 16 14,2 Tablo incelendi ğinde hesaplanan en dü şük de ğerin 13,5 oldu ğu görülmektedir. Bu değeri veren G alternatifi optimal karar ve 13,5 saat optimal çözümdür. Pişmanlık Kriteri Pi şmanlık kriterinde karar verici gerçekle şecek do ğa durumlarında, verdiği kararın kendisine getirece ği pi şmanlı ğı önemsemektedir. Bu kriterde pi şmanlı ğın en düşük noktada tutulması amaçlanmaktadır. Kazanç probleminde oldu ğu gibi, bir pi şmanlık matrisi belirlenir ve optimal karara bu matris üzerinden ulaşılır. Pi şmanlık matrisi her alternatifin tüm do ğa durumları altında yarataca ğı pi şmanlı ğa göre belirlenir. Örne ğin, tetkik talebi “az” oldu ğunda L alternatifi en kısa süreyi vermektedir. O halde, G ve T alternatiflerinden biri seçilirse karar verici pi şmanlık duyacaktır. Bu pi şmanlıklar G alternatifini seçti ğinde 1 saat ve T alternatifini seçti ğinde de 1 saat olacaktır. Bu pi şmanlıklara göre oluşturulan pi şmanlık matrisi Tablo 1.9’da görüldüğü gibidir. Tablo 1.9: Pişmanlık matrisi. Alternatifler Az Orta Yo ğun Çok yo ğun L 0 1 3 5 G 1 0 0 0 T 1 1 2 1 Pi şmanlık matrisi kazanç problemindekine benzer, fakat küçük bir detay farkıyla kurulmu ştur. Maliyet problemlerinde pi şmanlık en düşük maliyette 0 olacak, di ğer alternatifler de buna göre de ğerlendirilecektir. Pi şmanlık matrisi problemin amacından ba ğımsız olarak, her zaman minimize edilmek istenen bir matristir. Di ğer bir deyi şle, elde edilme yöntemleri farklılık gösterse de pi şmanlık matrisinin sonraki a şamasında yöntem de ği şmeyecektir. Bunun anlamı şudur; pi şmanlık matrisinde her alternatif için en yüksek pi şmanlık belirlendikten sonra bunlar arasından en düşük olan optimal karar olarak seçilir. Yukarıda da belirtildi ği gibi, bu noktada problemin kazanç ya da maliyet problemi olması pi şmanlık matrisinin analizini deği ştirmeyecektir. Her alternatifin en yüksek pi şmanlık de ğerleri sırasıyla, L için › 5 G için › 1 T için › 2 olmaktadır. Buna göre karar vericinin en dü şük pi şmanlı ğı G alternatifinde ya şayaca ğı görülmektedir. O halde, problemin optimal kararı G alternatifidir. G alternatifi seçildi ğinde ya şanacak pi şmanlık en fazla 1 saat olacaktır. 12 Maliyet problemlerinde de kazanç problemlerinde belirlenen “baskın” ve “kabul edilemez” alternatiflerle kar şıla şılabilir. Maliyet problemindeki baskınlık, bir alternatifin tüm do ğa durumları altında di ğer bir alternatiften daha dü şük maliyeti vermesidir. Kabul edilemez alternatif ise bir alternatifin bir veya birkaç di ğer alternatiften tüm do ğa durumları altında yüksek maliyet vermesi anlamına gelir. Hasta taburcu i şlemlerinde geçen süreyi kısaltmak için hastanenin “taburcu i şlemleri birimindeki personele e ğitim vermek (A1), personel sayısını arttırmak (A2), bilgisayar yazılımını geli ştirmek (A3) ve personel sayısını sadece belirli saatlerde arttırmak (A4)” şeklinde dört farklı alternatif vardır. Sürelerin, o günkü hasta sayısı ile ili şkili oldu ğu da bilinmektedir. A şa ğıdaki ödemeler matrisinde alternatiflerin do ğa durumları altındaki taburcu süreleri verilmi ştir. Alternatifler Hasta sayıları (*10) (Do ğa durumları) Az Orta Fazla Çok fazla A1 5 6 7 7 A2 3 6 7 7 A3 3 4 7 7 A4 4 4 5 6 Bu verileri kullanarak, Hurwicz kriterinde iyimserlik oranını 0,6 alınız ve belirsizlik altında karar verme kriterlerini kullanarak optimal kararları ve optimal çözüm de ğerlerini bulunuz. Risk Ortamında Karar Verme Belirsizlik ortamında birden fazla do ğa durumunun olduğunu ve karar vericinin bunlardan hangisinin gerçekle şece ğini bilemedi ğini gördük. Risk ortamında da buna benzer bir durum vardır. Burada da farklı doğa durumları ve alternatiflerin bu do ğa durumları altında farklı sonuçları gerçekle şmektedir. Ancak risk ortamında doğa durumlarının gerçekle şme olasılıkları bilinmektedir. Bu nedenle risk ortamı, belirsizlik ortamına göre daha fazla bilgi içerir. Belirsizlik ortamında olduğu gibi farklı optimal kararlar verilmez, ancak karar belirlilik ortamındaki kadar kesin de değildir. Karar, verilen do ğa durumları olasılıkları altında optimaldir. Risk ortamında “optimal kararın kaç olmasını bekleyebiliriz?” sorusu devreye girer. Bu sorudan yola çıkarak optimal karar için kullanılan kriter “beklenen de ğer kriteri” olarak adlandırılır. Risk ortamında beklenen de ğer kriterinin yanı sıra “karar a ğacı” da kullanılabilmektedir. Karar a ğacı kullanılarak verilen karar, beklenen de ğer kriteri ile aynı sonucu verir. Bu kriterleri örnekler üzerinde inceleyelim. Örnek 1.5. Bir eczanenin kazançlarını artırabilmesi için be ş farklı alternatifi bulunmaktadır. Bunlar; • E1: Yara bandı, lens solüsyonu gibi reçetesiz satılan ürünlerde 2 al 1 öde promosyonu yapmak, • E2: Reçeteli hastaları periyodik olarak telefonla arayarak takibini yapmak, • E3: Ürünleri adrese teslim etmek, • E4: Eczane yakınlarındaki özel şirketler ile anla şmalar yapmak, • E5: Popüler bir kozmetik firması ile anla şarak onların ürünlerini de satmaktır. Bu alternatiflerden birine karar verecek olan eczacı, mü şteri artı şının yakınlardaki bir konut projesinin tamamlanmasına ba ğlı olduğunu da bilmektedir. Bu nedenle, alternatiflerin sa ğlayacağı kazanç artı şlarını (yüzde olarak) konut projesinin tamamlanma süresine göre belirlemi ştir. Projenin 0,60 olasılıkla “6 ay içinde”, 0,30 olasılıkla “6 ay-1 yıl arasında” ve 0,10 olasılıkla “1 yıldan daha geç” sürede tamamlanaca ğını düşünmektedir. Buna göre hazırladı ğı kazanç artı ş yüzdeleri Tablo 1.10’daki ödemeler matrisinde verilmiştir. 13 Tablo 1.10: Ödemeler matrisi. Alternatifler Projenin tahmini tamamlanma süreleri ve olasılıkları (Do ğa durumları) 6 ay içinde (0,60) 6 ay- 1 yıl arasında (0,30) 1 yıldan daha geç (0,10) E1 1 2 2 E2 3 3 3 E3 2 3 4 E4 1 3 3 E5 2 3 5 Bu ödemeler matrisine göre beklenen de ğer kriterini tüm alternatifler için hesaplayalım. Ödemeler matrisi incelendi ğinde, E1 alternatifinin ilk do ğa durumunda kazancı %1 artıraca ğı görülmektedir. Ancak bu artı ş “6 ay içinde” do ğa durumu gerçekle şirse elde edilecektir. E ğer doğa bu durumu 0,60 olasılıkla gerçekle şiyorsa, %1’lik kazanç artı şı da 0,60 olasılıkla gerçekleşecektir. İkinci do ğa durumuna baktı ğımızda ise E1 alternatifinin %2’lik kazanç artı şı sa ğlayaca ğını görüyoruz. Ancak bu artı ş da kesin de ğildir, çünkü “6 ay-1 yıl arası” olarak adlandırılan do ğa durumunun gerçekle şece ği kesin de ğildir. Gerçekle şme olasılı ğı 0,30’dur. O halde, %2’lik kazanç artı şının da 0,30 olasılıkla gerçekleşece ği söylenebilir. Üçüncü do ğa durumu için de benzer şekilde dü şünülebilir. E1 alternatifi için tüm bu bilgileri birleştirirsek, E1 alternatifinin beklenen de ğerine ula şmı ş oluruz. Bu beklenen değer BD(E1) ile gösterilirse, BD(E1) = (0,60)*1 + (0,30)*2 + (0,10)*2 = 1,40 şeklinde hesaplanır. Ödemeler matrisindeki de ğerlerin neden olasılıklarla çarpıldı ğı üzerinde durduk. Peki, çarpılan bu de ğerler neden toplanmaktadır? Bunun nedeni çok açıktır. Do ğa durumlarından sadece bir tanesi gerçekle şecektir. Gerçekle şecek doğa durumu ilk durum, ikinci durum hatta 0,10 olasılık verilmi ş olan üçüncü durum da olabilir. Ancak herhangi ikisi aynı anda kesi şemez. Di ğer bir deyi şle, bunlar ayrık durumlardır. Bu nedenle, tüm bu do ğa durumları, gerçekle şme olasılıkları dahilinde çözümde yer almalıdır. Di ğer alternatifler için de beklenen de ğerler hesaplandı ğında; BD(E2) = (0,60)*3 + (0,30)*3 + (0,10)*3 = 3,00 BD(E3) = (0,60)*2 + (0,30)*3 + (0,10)*4 = 2,50 BD(E4) = (0,60)*1 + (0,30)*3 + (0,10)*3 = 1,80 BD(E5) = (0,60)*2 + (0,30)*3 + (0,10)*5 = 2,60 sonuçları elde edilir. Karar vericinin amacı, kazanç yüzdelerinin en yüksek olaca ğı alternatifi seçmek olduğuna göre, E2 alternatifi optimal karar olmaktadır. Optimal çözüm değeri ise 3’dür. Risk ortamında kullanılabilecek di ğer kriterin karar ağacı olduğundan bahsetmi ştik. Karar ağacı da beklenen de ğer kriteri ile aynı hesaplama yöntemini kullanır ve aynı optimal karara ve optimal çözüme ulaşır. Bu nedenle, risk ortamında problemin çözümü için hangi kriterin kullanılaca ğı karar vericiye bırakılmı ştır. Karar a ğacı şekil itibariyle daha görsel bir gösterim biçimi oldu ğu için özellikle sunum ve raporlamanın yapıldı ğı durumlarda tercih edilir. Eczanenin kazanç artı ş yüzdesine ili şkin örne ğin karar a ğacı ile çözümü Şekil 1.1’de verilmiştir. Karar a ğacında optimal karar sa ğdan sola do ğru beklenen de ğerler hesaplanarak ula şılır. Şekle göre, alternatiflerin 0,6, 0,3 ve 0,1 olasılıklı doğa durumları altında gerçekle şecek sonuçları karar a ğacının en sa ğ sütununda verilmi ştir. Bu kazançlardan olasılıklar ile hesaplanan beklenen de ğerleri orta sütunda gösterilmi ştir. Bu beklenen de ğerlere E1, E2, E3, E4 ve E5 alternatifleri ile ula şılmaktadır. En sol sütunda ise ula şılan optimal karar belirtilmektedir. 14 Daha önce de belirtildi ği gibi, karar a ğacı beklenen de ğer kriteri ile aynı optimal çözüme ula şmaktadır. Risk ortamında bir minimizasyon probleminin çözümü de beklenen de ğer kriteri ya da karar a ğacı yöntemi ile elde edilir. Bu tip problemlerin çözümünü de bir örnek üzerinde açıklamak faydalı olacaktır. Şekil 1.1: Örnek 5 için olu şturulan karar a ğacı. Örnek 1.6. Bir ambulans şirketi acil çağrı aldı ğında hastayı bulunduğu noktadan alıp en kısa zamanda yakındaki bir hastaneye ula ştırmak zorundadır. Şirket bu amaçla en uygun güzergâhları belirlemeye çalı şmaktadır. Ancak şehirdeki farklı trafik yoğunluğu nedeniyle, en kısa yol her zaman en hızlı ula şımı sa ğlamamaktadır. Bu nedenle, dört alternatif güzergâh (G1, G2, G3, G4) için hastaneye ulaşım süreleri muhtemel trafik yo ğunluklarına göre incelenmi ştir. Trafi ğin 0,25 olasılıkla “çok akıcı”, 0,50 olasılıkla “akıcı” ve 0,25 olasılıkla “sıkı şık” olacağı tahmin edilmektedir. Tablo 1.11’de verilen ödemeler matrisinde şehir merkezindeki belli bir semtten gelen bir çağrıya en kısa sürede ulaşılabilecek dört güzergâh alternatifi ile bunların trafik yo ğunluğuna göre ula şım süreleri dakika olarak verilmi ştir. Tablo 1.11: Ödemeler matrisi. Alternatifler Trafik yo ğunlukları ve olasılıkları (Do ğa durumları) Çok akıcı (0,25) Akıcı (0,50) Sıkı şık (0,25) G1 7 10 14 G2 9 12 15 G3 11 11 13 G4 10 13 15 15 G1güzergâhının beklenen de ğeri BD(G1) olarak gösterildi ğinde; BD(G1) = (0,25)*7 + (0,50)*10 + (0,25)*14 = 10,25 olarak hesaplanır. Görüldü ğü gibi, beklenen değerin hesaplanmasında izlenen yöntem, kazanç problemindeki ile aynıdır. Benzer şekilde G2, G3 ve G4 alternatiflerinin beklenen de ğerleri aşa ğıdaki gibi hesaplanır: BD(G2) = (0,25)*9 + (0,50)*12 + (0,25)*15 = 12,00 BD(G3) = (0,25)*11 + (0,50)*11 + (0,25)*13 = 11,50 BD(G4) = (0,25)*10 + (0,50)*13 + (0,25)*15 = 12,75 Ambulans şirketinin amacı en kısa sürede ula şımın sağlanması olduğuna göre, hesaplanan bu beklenen de ğerler içerisindeki minimum de ğeri optimal karar olarak belirler. Buna göre G1 alternatifi optimal karardır. G1 güzergâhı seçildiğinde istenen noktaya 10,25 dakikada ula şılabilmektedir. Kazanç problemlerinde oldu ğu gibi maliyet problemlerinde de risk ortamında karar a ğacı kullanılabilir. Aynı problemin karar ağacı ile çözümü Şekil 1.2’de gösterilmi ştir. Şekil 1.2’nin olu şturulması Şekil 1.1 ile aynıdır. Burada da önce en sa ğ sütuna ödemeler matrisinin de ğerleri yazılır. Bu de ğerler do ğa durumlarının gerçekle şme olasılıkları ile çarpılarak ortadaki sütundaki beklenen de ğerlere ulaşılır. Daha sonra bu beklenen de ğerlerin hangi alternatife ait oldu ğu belirtilerek, optimal karar noktasına ba ğlanır. Optimal karar, beklenen de ğeri en dü şük olan alternatif olacaktır. Beklenen de ğer kriterinde oldu ğu gibi, karar a ğacında da optimal karar G1 alternatifi, optimal çözüm 10,25 dakika olmu ştur. Karar vericinin kontrol edemediği do ğa durumları, karar ortamını belirleyen unsurdur. Belirsizlik ortamında do ğa durumlarından hangisinin gerçekle şeceği bilinmez. Bu nedenle, karar vericinin tutumu birincil derecede çözümü etkiler. Birden fazla optimal karar olmasının nedeni budur. Kriterler farklı optimal çözümler getirebilir. Risk ortamında ise doğa durumlarının gerçekle şme olasılıkları belirlidir. Dolayısıyla, tek bir optimal çözüm elde edilir. Belirlilik ortamı da gerçekleşmesi kesin olan tek bir do ğa durumu altında gerçekleşen problemi çözer. Di ğer bir deyi şle, 1 olasılıkla gerçekle şecek doğa durumu söz konusudur. Belirlilik ortamında tek bir optimal çözüm elde edilir. Tüm karar ortamlarında en az bir optimal karara ula şılabildi ğini gördük. E ğer herhangi bir kriterde aynı optimal çözümü veren birden fazla alternatif bulunuyorsa, her iki alternatif de optimaldir. Bu durumda, problemde “seçenek çözüm” oldu ğu söylenir. Karar vericinin amacı kazanç maksimizasyonu ya da maliyet minimizasyonu oldu ğu için, bu amacın hangi karar verici ile sağlandı ğını önemsememektedir. Optimal karar olarak, bu seçenek çözümlerden birini kabul etmekte serbesttir. 16 Şekil 1.2: Örnek 6 için olu şturulan karar a ğacı. OYUN KURAMI Sayısal karar yöntemlerinde genellikle tek bir karar verici, amacına ili şkin optimal karara ula şmayı hedefler. Karar verici, tek bir kişi ya da bir grup olabilir. Ancak önemli olan, birden fazla karar verici olduğunda da tüm karar vericilerin aynı amaç için çalı şıyor olmasıdır. Oyun kuramı bu yönüyle di ğer sayısal yöntemlerden farklıdır. Adından da anla şılaca ğı gibi, burada bir “oyun” söz konusudur. Bu nedenle, karar sürecinde bir yerine birbirine rakip iki karar verici yer alır. Dolayısıyla, karar vericiler aynı amaç için çalı şmamaktadırlar. Rakip karar vericilerin (oyuncuların) her ikisi de oyunu kazanmak ister. Oyuncuların amacı, kendi kazançlarını mümkün oldu ğunca maksimize etmektir. E ğer bir oyuncu kazanamayaca ğını dü şündüğü bir oyunun içindeyse, o zaman kaybını minimize etmeyi amaçlar. En temel oyun probleminde iki oyuncu yer alır. Oyunculardan bir tanesi için kazanç matrisi kurulur ve matrisin sahibi olan oyuncu bu de ğerleri maksimize etmeye çalı şır. Rakip oyuncu ise kazanç matrisini minimize etmeye çalı şarak rakibinin kazancını en düşük seviyede tutmayı amaçlar. Oyunlarda rakipler birbirlerinin oyun stratejilerini ve rakibin herhangi bir stratejisine kar şılık kendi stratejisinin kayıp ya da kazancını bilirler. Rakipler farklı stratejiler kullanabilecekleri gibi, zaman zaman aynı stratejileri de kullanıyor olabilirler. Kazanç matrisi, oyuncunun tecrübelerinden ya da yapılan ara ştırmalardan elde edilebilir. Sa ğlık kurumları yönetiminde oyun modelleri genellikle iki rakip hastanenin belirli bir grup hastayı kazanabilmeleri amacıyla, iki rakip sigorta firmasının birbirlerinden sigortalı transfer edebilmeleri amacıyla, bir semtteki iki poliklini ğin o semtin sakinlerini kendi hastaları yapmaları amacıyla uygulanır. Bu örnekler arttırılabilir. Önemli olan, iki rakip oyuncunun, oyuncuların tanımlanmı ş stratejilerinin ve oyunculardan biri için bu stratejilere göre tanımlanmı ş bir kazanç matrisinin varlı ğıdır. Oyunun herhangi bir a şamasında bir oyuncunun sağladı ğı kazanç, di ğer oyuncunun sa ğlayamadı ğı kazanç, di ğer bir deyi şle kayıptır. Örne ğin, A ve B oyuncuları arasında kurulan bir oyunda A 17 oyuncusunun 50 kazandı ğını düşünelim. Bunun anlamı, B oyuncusunun aynı 50’yi kazanamamı ş olduğudur. O halde, A oyuncusunun elinde +50 varken, B oyuncusu 50 kaybetmi ştir (kazancı - 50 olmu ştur). Bir oyuncunun kazancının di ğer oyuncunun kaybına e şit olduğu oyunlara “Sıfır Toplamlı Oyunlar” denir. Sıfır toplam kavramını a şa ğıdaki gibi açıklayabiliriz: A oyuncusunun kazancı: B oyuncusunun kazancı: + 50 + - 50 = 0 Bu e şitlik oyunun her aşamasında ve optimal çözümde de sağlanmaktadır. Bahsetti ğimiz oyun modelinin bir örne ğini Örnek 7’de inceleyelim. Örnek 1.7. Özel bir X hastanesi bir şehirde sa ğlık hizmeti sunmakta ve hastane piyasasından aldı ğı payı artırmayı amaçlamaktadır. Bunun için en yakın rakibi olan Y hastanesi ile rekabet halindedir. X hastanesinin piyasa payını yükseltmek için üç stratejisi vardır; • X1: İlk muayeneden sonraki ilk ay ücretsiz kontrol, • X2: Muayeneden sonra bir hafta içinde hasta veya hasta yakınının aranıp görü ş alınması, • X3: Hastaneye ulaşım için ücretsiz servis hizmeti olarak sıralanan bu stratejilere kar şılık, Y hastanesinin de kendi belirledi ği üç stratejisi a şa ğıda verildi ği gibidir: • Y1: Hastaneye ulaşım için ücretsiz servis hizmeti, • Y2: Hastalardan çıkı ş sırasında be ş soruluk bir anket cevaplamalarının istenmesi, • Y3: On-line randevu sisteminin kurulması. Bu stratejilerden bir kısmı hem X hem de Y hastaneleri tarafından kullanılmakta, bazıları ise rakiplerden sadece birinin tercih etti ği stratejilerdir. X hastanesinin bu stratejilere göre sa ğlayacağı pay artı şları Tablo 1.12’deki kazanç matrisinde verilmi ştir. Bu matrisi kullanarak oyuncular için optimal stratejileri bulalım. Tablo 1.12: Kazanç matrisi. X HASTANES İN İN STRATEJ İLER İ Y HASTANESİN İN STRATEJ İLER İ Y1 Y2 Y3 X1 2 3 1 X2 3 4 3 X3 1 4 4 Oyunda iki karar verici oldu ğu için ikisinin de e şit söz hakkı bulunmaktadır. Oyuncular birbirlerinden üstün de ğildirler ve sırayla hamle yapacaklardır. Çözüm sürecinde her iki oyuncunun da ilk hamleyi yapması koşulu dikkate alınacaktır. Önce X oyuncusunun ilk hamleyi yaptı ğını varsayalım. X’in ilk hamlede seçebilece ği üç farklı strateji (X1, X2, X3) vardır. Bu stratejilerin de birbirlerine üstünlükleri olmadı ğına göre, X’in X1 stratejisini seçti ği durumu inceleyelim. Kazanç matrisinin ilk satırı incelendi ğinde, X1 stratejisinde Y’nin seçece ği stratejiye ba ğlı olarak X’in pazar payını 2, 3 ya da 1 birim artıraca ğı görülmektedir. X oyuncusu ilk hamleyi yapıp X1’i seçti ğinde hamle yapma sırası Y oyuncusuna geçecektir. Y oyuncusu, X’in X1’i seçmesi durumunda X’in ne kadar kazanacağını bilmekte ve X’in olabildi ğince az kazanmasını istemektedir. O halde, X’in en dü şük kazancı olan 1 de ğerini kazanması için Y3 stratejisini oynayacaktır. Böylece, X’in 2 ya da 3 kazanmasını önlemi ş olacaktır. Unutulmamalıdır ki, X ne kadar az kazanırsa, Y de o kadar çok kazanacaktır. 18 İlk hamleyi yapan X oyuncusunun X1 yerine X2’yi seçme şansı da bulunmaktadır. Bu durumda ikinci hamleyi yapan Y oyuncusu, Y1’i seçti ğinde X hastanesi 3 birim kazanacak, Y2’yi seçtiğinde X 4 birim kazanacak ve Y3’ü seçti ğinde X 3 birim kazanacaktır. Bu koşullarda Y için en do ğru karar, Y1 ya da Y3 stratejilerinden birini seçip X’e daha az kazandırmaktır. X’in seçebilece ği di ğer strateji olan X3 de benzer şekilde incelendi ğinde, Y’nin oynaması gereken do ğru strateji Y1’dir. Y’nin doğru stratejileri a şa ğıda Tablo 1.13’deki matriste kalın ve yatık olarak i şaretlenerek kutu içine alınmı ştır. Tablo 1.13: Y hastanesinin do ğru stratejileri. X HASTANESİN İN STRATEJ İLER İ Y HASTANESİN İN STRATEJ İLER İ Y1 Y2 Y3 X1 2 3 1 X2 3 4 3 X3 2 4 4 Tablo 1.13’deki matriste i şaretlemeler X’in ilk hamleyi yapması durumunda Y’nin yapaca ğı hamleleri göstermektedir. Ancak bir oyunda ilk hamleyi X’in yapması koşulu yoktur. Daha önce de belirtildi ği gibi, ilk hamleyi Y de yapabilir. Y’nin ilk hamleyi yapmak için üç alternatifi vardır (Y1, Y2, Y3). Bunların her birini seçmesi durumlarını ayrı ayrı de ğerlendirelim. Örne ğin, ilk hamleyi Y1’i seçme yönünde yaparsa, X’in üç stratejisinde sırasıyla 2, 3 ya da 2 birim kazanma şansı vardır. Y ilk hamleyi yaptıktan sonra sıra X’in kararını açıklamasına geldi ğinde, X oyuncusu kendi kazanç matrisi üzerinden karar verecektir. O halde, X oyuncusu için en do ğru karar, en yüksek kazancı sa ğlayacağı X2 stratejisini oynamaktır. E ğer Y oyuncusu ilk hamlesini Y1 yerine Y2’yi seçerek yaparsa, bu durumda da X’in hamlelerinin sonucunda 3, 4 ya da 4 kazanma şansı vardır. X oyuncusu için bu şartlarda en do ğru karar 4 kazanaca ğı X2’yi ya da X3’ü seçmektir. Benzer şekilde Y’nin Y3 stratejisine kar şılık X oyuncusu X3’ü seçerek, 1 ya da 3 kazanmak yerine 4 kazanmayı isteyecektir. Y’nin hamlelerine göre X’in do ğru karar stratejileri Tablo 1.14’deki matriste kalın ve yatık olarak i şaretlenerek kutu içine alınmı ştır. Tablo 1.14: X hastanesinin do ğru stratejileri. X HASTANES İN İN STRATEJ İLER İ Y HASTANESİN İN STRATEJ İLER İ Y1 Y2 Y3 X1 2 3 1 X2 3 4 3 X3 2 4 4 Bu matris kutuların i şaretlendi ği bir önceki matris ile birlikte de ğerlendirildi ğinde, iki matriste kesi şen bir değer olup olmadı ğı görülür. Bu problemde X oyuncusunun X2 ve Y oyuncusunun Y1 stratejileri her iki matriste de i şaretlenmi ştir. Bunun anlamı, oyunda bir denge noktası bulunduğudur. Denge noktası (X2, Y1) strateji ikilisidir. Denge noktası, adından da anla şılacağı gibi, oyunun dengeye oturdu ğu strateji ikilisidir ve her iki oyuncu için de optimal stratejileri belirtir. Oyun modellerini daha iyi açıklayabilmek ve denge noktasının önemini kavramak için Örnek 8’i inceleyelim: Örnek 1.8. 1000 ki şinin ya şadı ğı bir semtte, semt sakinlerine hizmet veren iki di ş sa ğlı ğı merkezi (A ve B) birbirleri ile rekabet etmektedir. A merkezi, hasta sayısını artırmak amacıyla, • A1: Semt sakinlerinin evlerine ziyaret, • A2: El ilanları bastırmak, 19 • A3: Ula şım için ücretsiz servis sa ğlamak, • A4: Ödemeleri taksitlendirmek, • A5: Uzman hekim sayısını arttırmak olmak üzere be ş strateji belirlemi ştir. B merkezi ise stratejilerini, • B1: Semt gazetesine reklam vermek, • B2: Ailenin ikinci ferdine %30 indirim yapmak, • B3: El ilanları bastırmak, • B4: Ödemeleri taksitlendirmek olarak belirlemi ştir. A merkezi A1stratejisini ve B merkezi B1stratejisini seçti ğinde, A merkezi 550 ki şinin kendisinden hizmet alaca ğını bilmektedir. Buna göre A1, B1 strateji ikilisinde B merkezi 550 ki şiyi kazanamayacaktır. Benzer şekilde, tüm strateji ikilileri için A’nın kazançları elde edilmi ş ve Tablo 1.15’deki matriste verilmiştir. Tablo 1.15: A’nın kazançları. A MERKEZ İN İN STRATEJ İLER İ B MERKEZ İN İN STRATEJ İLER İ B1 B2 B3 B4 A1 550 450 550 600 A2 0 -200 300 800 A3 250 -100 750 200 A4 650 0 -100 300 A5 350 400 700 200 Matris incelendi ğinde, bazı de ğerlerin negatif oldu ğu görülmektedir. Bunun anlamı, ilgili strateji ikilisinde A’nın eksi bir de ğer kazanç elde etti ğidir. Bu durumda B oyuncusu kazanıyor demektir. Örne ğin, A2, B2 strateji ikilisinde A’nın kazancının -200 oldu ğu görülmektedir. Bir oyuncunun kaybı di ğer oyuncunun kazancına e şit olacağından, A’nın 200 ki şiyi kazanamamı ş olması, B’nin 200 ki şiyi kazanmı ş olduğu anlamına gelir. O halde, bu matriste A oyuncusu A2, B oyuncusu B2 stratejilerini seçti ğinde, B oyuncusu 200 ki şi kazanacaktır. Matriste yer alan sıfır değerleri ise strateji ikilisinde oyuncuların birbirlerine kar şı bir üstünlük sa ğlayamadıkları anlamına gelir. Örne ğin, A2, B1 strateji ikilisinin de ğeri sıfır oldu ğu için, A oyuncusu A2, B oyuncusu B1 stratejilerini oynadı ğında ikisi de kazanç sa ğlayamayacaktır. Matris değerlerini bu şekilde tanıdıktan sonra bu oyunun çözümüne geçelim. İlk hamleyi A oyuncusu yaptı ğında, be ş farklı stratejiden birini seçecektir. Bu stratejilerin de birbirlerine üstünlükleri olmadı ğına göre, A’nın önce A1 stratejisini seçti ğini dü şünelim. Sıra B’ye geçmi ştir ve B, seçece ği stratejiye ba ğlı olarak A’ya 550, 450, 550 ya da 600 kazandıracaktır. A’nın olabildi ğince az kazanmasını isteyen B, en düşük kazanç olan 450 de ğerini kazanması için B2 stratejisini oynayacaktır. Böylece, A’nın 500 ya da 600 kazanmasını önlemi ş olacaktır. İlk hamleyi yapan A oyuncusu A1 yerine A2’yi seçti ğinde, B oyuncusu, B1’i seçerse A hiçbir şey kazanamayacak, B2’yi seçerse A 200 kaybedecek (200’ü B kazanır), B3’ü seçerse A, 300 kazanacak ve B4’ü seçti ğinde A, 800 kazanacaktır. Bu koşullarda B için en do ğru karar, B2 stratejisini oynamaktır. A’nın seçebilece ği di ğer stratejiler de benzer şekilde incelendi ğinde, B’nin oynaması gereken do ğru stratejiler Tablo 1.16’daki matriste i şaretlenmi ştir. Tablo 1.16: B merkezinin do ğru stratejileri. A MERKEZ İN İN STRATEJ İLER İ B MERKEZ İN İN STRATEJ İLER İ B1 B2 B3 B4 A1 550 450 550 600 A2 0 -200 300 800 A3 250 -100 750 200 A4 650 0 -100 300 A5 350 400 700 200 20 B’nin ise ilk hamleyi yapmak için dört alternatifi vardır (B1, B2, B3, B4). B1’i seçti ğinde, A’nın be ş stratejisinde sırasıyla 550, 0, 250, 650 ya da 350 kazanma şansı vardır. A oyuncusu kendi kazanç matrisi üzerinden karar vereceğine göre, kendisi için en do ğru karar, en yüksek kazancı sa ğlayacağı A4 stratejisini oynamaktır. E ğer B oyuncusu ilk hamlesinde B2’yi seçerse, A’nın 450, -200, -100, 0 ya da 400 kazanma şansı vardır. En doğru karar, 450 kazanaca ğı A1’i seçmesidir. B’nin hamlelerine göre A’nın doğru karar stratejileri a şa ğıda Tablo 1.17’deki matriste işaretlenmi ştir. Tablo 1.17: A merkezinin do ğru stratejileri. Bu matris bir önceki i şaretli matris ile birleştirildi ğinde, A’nın A1 ve B’nin B2 stratejilerinin denge noktasını olu şturdu ğu görülmektedir. Denge noktasının yakalandı ğı de ğere, “oyunun de ğeri” denir. Yukarıdaki problemde oyunun de ğeri 450’dir ve her iki oyuncu için de anlamı farklıdır. Pozitif bir de ğer olduğu için oyunu A’nın kazandı ğını söylenebilir. Bu değerin yer aldı ğı satır dikkatle incelendi ğinde, 450’nin, A1 stratejisinin kazançları arasında en dü şük kazancı veren de ğer olduğu görülmektedir. O halde, A oyuncusu A1’i seçti ğinde en az 450 kazanmayı garantilemektedir. Bu nedenle oyunun de ğeri, kazanç matrisinin sahibi olan oyuncu için minimum kazancı ifade etmektedir. Elbette ki, A oyuncusunun daha çok kazanabilece ği alternatif stratejiler de vardır, ancak bunların hepsinde en dü şük kazanç 450’nin altında kalmaktadır. Diğer bir deyi şle, A oyuncusu A1 dı şında bir strateji seçti ğinde B oyuncusu da farklı bir strateji seçip A’nın daha az kazanmasını sa ğlayabilir. Buna göre kazanç matrisi sahibi oyuncu için optimal karar, en kötü ihtimalle kazanaca ğı en dü şük kazancın elde edileceği stratejidir. Matrisin A oyuncusu için düzenlendi ği yukarıdaki gibi bir örnekte, oyunun de ğerinin A’nın en düşük kazancı olduğunu belirtmi ştik. O halde, yukarıdaki örnekte A her durumda minimum 450 kazanacak mıdır? Elbette ki kazanamayacaktır. Denge noktası ile belirlenen A’nın optimal stratejisi A1’dir. Minimum 450’lik kazancı garantilemesi için, öncelikle A1’i oynamalı, daha sonra B’nin hatalı hamle yapmasını beklemelidir. Matris incelendi ğinde açıkça görülmektedir ki, A oyuncusu A1’i seçip minimum 450’lik kazancı garantiledikten sonra B’nin hata yapması durumunda (B’nin hata yapması, B2 dı şında bir stratejiyi oynaması demektir) 450’den fazla kazanacaktır. Oyunun değeri B oyuncusu için farklı bir anlam ta şır. E ğer B kendi optimal stratejisini seçerse (burada B2’dir), en fazla 450 kaybedecektir. Daha az kaybetmesi ise A’nın hata yapmasına ba ğlıdır. B, B2’yi seçmi şken, A oyuncusu A2, A3, A4 ya da A5’i seçerse, B’nin kaybı daha az olacaktır. Ancak B ba şlangıçta hata yapar ve B2 dı şında bir karar verirse, elbette ki kaybı daha fazla olabilecektir. Sonuç olarak, bir oyuncunun hatalı hamle yapması, di ğer oyuncunun avantaj sağlamasına neden olur. Her iki oyuncu da hata yapmayıp optimal stratejilerinde devam etti ği sürece oyun dengede devam eder ve kazanan oyuncu oyunun de ğeri kadar kazanmaya devam eder. Oyunun denge noktası, iki oyuncu için de optimal stratejileri verir. Kazanç matrisi A oyuncusuna göre düzenlenmi şse oyunun de ğeri, A’nın optimal stratejiyi seçmesi durumunda kazanacağı minimum kazancı belirtir. B oyuncusunun ise yine kendi optimal stratejisini seçmesi ko şulu altında maksimum kaybını belirtir. A MERKEZ İN İN STRATEJ İLER İ B MERKEZ İN İN STRATEJ İLER İ B1 B2 B3 B4 A1 550 450 550 600 A2 0 -200 300 800 A3 250 -100 750 200 A4 650 0 -100 300 A5 350 400 700 200 21 Önemli bir ba şka nokta da, oyun matrisinin hangi oyuncunun kazançlarına göre hazırlanmı ş olduğunun sonuna kadar dikkatten kaçmaması gerekti ğidir. Örneğin, Örnek 8’de tanımlanmı ş olan A’nın kazanç matrisi, yanlı şlıkla B’nin kazançlarına göre çözülürse, denge noktası ve oyunun de ğeri aynı kalmayacaktır. Hatta bu durumda denge noktasının bulunmaması bile söz konusu olabilir. Aksi belirtilmedikçe kazanç matrisi, satırlarda stratejileri bulunan oyuncu için tanımlanmı ş demektir. Örnek 8’de iki a ğız ve di ş sa ğlı ğı merkezinin toplam 1000 ki şinin ya şadı ğı bir semtte hizmet verdiklerini belirtmi ştik. Burada ilgilendi ğimiz tek nokta, A’nın mümkün oldu ğunca fazla kazanmasına ve B’nin de mümkün olduğunca az kaybetmesine yönelik stratejilerin belirlenmesiydi. Sonuca göre A’nın oyunu kazandı ğını belirttik. Ancak, dikkat edilmesi gereken nokta, A oyuncusu 1000 ki şinin ya şadı ğı bir semtte 450 ki şiyi kazanmı ştır. Bu durumda 1000 ki şiden 550’si B merkezini seçmektedir. O halde, bir oyunun sonucunu de ğerlendirirken modelin bütünü dikkate almak gerekir. Bu oyunun sonucunda aslında rekabeti 700 birey ile B oyuncusu kazanmaktadır. E ğer kazanç matrisi ikinci oyuncuya göre düzenlenmi şse oyun benzer şekilde çözülecek, fakat kazançların B’ye ili şkin oldu ğu tüm adımlarda dikkate alınacaktır. Bunu bir örnek üzerinde açıklayalım: Örnek 1.9. İki sigorta firması (T ve Y) , aynı şirketin çalı şanlarını sigortalamak istemektedir. Rekabet sürecinde T firmasının be ş stratejisi a şa ğıdaki gibidir: • T1: 3’er aylık dönemlerde mü şteriye mali durum raporu göndermek, • T2: Fon da ğılımlarını yılda en az bir kez güncellemek, • T3: Mü şteriyi 6 ayda bir telefonla aramak, • T4: En çok 18 aylık periyodlarla mü şteriyi ziyaret etmek, • T5: Acil çağrı hattı için özel parola sunmak. Y firmasının stratejileri ise; • Y1: Mü şteriye ek hizmet paketi sunmak, • Y2: Fon da ğılımlarını yılda en az iki kez güncellemek, • Y3: Mü şterinin mali durumunu takip edebilmesi için on-line hizmet sunmak, • Y4: Yılda en az bir kez mali durum raporu göndermek, • Y5: 6 ayda bir mü şteri ziyareti yapmak olarak belirlenmi ştir. Y firması, T firmasının stratejilerini de dikkate alarak a şa ğıda Tablo 1.18’deki kazanç matrisini olu şturmu ştur. Matris de ğerleri, T’nin stratejilerine kar şı Y’nin kazanaca ğı mü şteri sayılarını belirtmektedir. Tablo 1.18: Kazanç matrisi. T F İRMASININ STRATEJ İLER İ Y F İRMASININ STRATEJ İLER İ Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 T1 -50 60 50 60 0 T2 -40 45 -30 40 -10 T3 30 65 30 0 0 T4 50 70 60 30 80 T5 -30 60 40 -20 -20 Yukarıdaki matrisin Y firmasının kazançlarına göre düzenlendi ğini belirtmiştik. Burada da ilk adımı hangi oyuncunun ataca ğı önemli de ğildir. İki oyuncu da ilk hamleyi yapabilecektir. Örne ğin, ilk hamleyi T oyuncusunun yapması durumunda, seçece ği beş alternatif strateji bulunmaktadır. T’nin T1 stratejisini seçti ğini dü şünelim. İkinci adımda Y oyuncusu, T1 stratejisinde kendi Y1, Y2, Y3, Y4, Y5 stratejilerine kar şılık sırasıyla -50, 60, 50, 60 ve 0 kazanacaktır. Burada -50 de ğeri T’nin 50 mü şteri kazandı ğını, 0 de ğeri ise iki oyuncunun da kazanamadı ğını ifade etmektedir. 22 İlk hamlede T1 seçildi ğinde, Y oyuncusu için en do ğru karar, 60 mü şteri kazanaca ğı Y2 ya da Y4 stratejilerinden birini seçmektir. T oyuncusu ilk hamlede T1 yerine T2’yi seçerse, Y için doğru karar 45 mü şteri kazanaca ğı Y2’yi seçmektir. Benzer şekilde T3’e kar şılık Y2, T4’e kar şılık Y5 ve T5’e kar şılık Y2 doğru stratejiler olacaktır. Y’nin doğru kararları matriste i şaretlendi ğinde, Tablo 1.20’de gösterildi ği biçiminde bir matris i şaretlenmi ş olur. Tablo 1.20: Y firmasının doğru stratejileri. T F İRMASININ STRATEJ İLER İ Y F İRMASININ STRATEJ İLER İ Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 T1 -50 60 50 60 0 T2 -40 45 -30 40 -10 T3 30 65 30 0 0 T4 50 70 60 30 80 T5 -30 60 40 -20 -20 Oyuna Y’nin ba şlaması durumunda ise Y1’i seçti ğinde T oyuncusu Y’nin en düşük kazancı sa ğlaması için -50, -40, 30, 50, -30 kazançları arasından -50’yi seçecektir. İlk adımda Y2 seçilirse, T yine Y’nin minimum kazanması için T2 stratejisini oynayarak rakibine 45 mü şteri kazandıracaktır. Y3’e kar şılık T için do ğru karar T2, Y4’e kar şılık T5 ve Y5’e kar şılık T5 olacaktır. Buna göre olu şturulan T’nin kararları Tablo 1.21’de i şaretlenmi ştir. Tablo 1.21: T firmasının doğru stratejileri. T F İRMASININ STRATEJ İLER İ Y F İRMASININ STRATEJ İLER İ Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 T1 -50 60 50 60 0 T2 -40 45 -30 40 -10 T3 30 65 30 0 0 T4 50 70 60 30 80 T5 -30 60 40 -20 - 20 Yukarıdaki iki matriste i şaretli de ğerler incelendi ğinde, T2, Y2 strateji ikilisinin her iki matriste de i şaretlenmi ş olduğu görülebilir. O halde oyunun denge noktası T2, Y2 noktası ve oyunun de ğeri 45’dir. Y’nin kazanç matrisini incelemi ş olduğumuz için oyunun de ğeri Y’nin Y2’yi oynaması durumunda kazancının en az 45 mü şteri olaca ğıdır. T için ise optimal strateji, T2’yi seçmesidir. Bu durumda en kötü ihtimalle 45 müşteri kaybedecektir. Burada yine Y’nin kazancını artırması, kendi optimal stratejisini (Y2’yi) oynadıktan sonra T’nin hatalı karar vermesi (T2 dı şındaki bir alternatifi seçmesi) ile mümkündür. Aynı şekilde T’nin daha az kayıpla oyunu bitirmesi de kendi optimal stratejisini (T2’yi) oynadı ğında Y’nin hata yapması (Y2 dı şındaki bir alternatifi seçmesi) ile mümkün olacaktır. İki sağlıklı beslenme ve diyet merkezi olan A ve B sırasıyla dört ve üç strateji belirleyerek rekabetlerini sürdürmektedirler. Merkezlerin kendilerine danı şanların sayılarını arttırmak amacıyla belirledikleri stratejiler a şa ğıda tanımlanmı ştır: • A1: Aynı binadaki bir bankanın çalı şanları ile anla şma yapmak, • A2: Yakındaki ilkö ğretim okulu ile anla şarak ö ğrencileri merkeze yönlendirmek, • A3: Yakındaki ilkö ğretim okulu ile anla şarak ö ğretmenleri merkeze yönlendirmek, • A4: Danı şanların periyodik takibinin sa ğlanması, • B1: Yakındaki ilkö ğretim okulu ile anla şarak ö ğrencileri merkeze yönlendirmek, • B2: Danı şanlara aylık bülten postalamak, 23 • B3: Aynı semtteki spor merkezinin mü şterilerine özel ko şullar sunarak anla şma yapmak. A oyuncusuna göre belirlenen kazanç matrisi a şa ğıda verilmi ştir: A MERKEZ İN İN STRATEJ İLER İ B MERKEZ İN İN STRATEJ İLER İ B1 B2 B3 A1 6 9 9 A2 3 -2 4 A3 4 -5 6 A4 5 1 -3 Bu rekabette diyet merkezlerinin optimal stratejileri nelerdir, oyunun de ğeri kaçtır ve oyunun de ğerinin iki oyuncu için anlamları nedir? Karar analizinde olduğu gibi, oyun problemlerinde de stratejiler arasında baskınlık ili şkisi olu şabilmektedir. Bu ili şkinin tanımlanabilmesi kabul edilemez stratejileri problemden çıkartaca ğı için problemin boyutunu küçültecek ve çözümü kolayla ştıracaktır. Örne ğin, A için kurulan bir kazanç matrisinde, A1’in A2’ye baskın bir strateji olabilmesi için, rakibin her alternatif stratejisinde A1’in A2’den daha çok (ya da en az A2 kadar) kazanç sağlaması gerekir. B1’in B2’ye baskın olabilmesi için ise A’nın tüm stratejilerinde B1’in B2’den daha az (ya da en çok B2 kadar) kayba neden olması gerekir. Bir örnek olarak, A’nın kazanç matrisini bu açıdan inceleyelim (Tablo 1.22). Tablo 1.22: A oyuncusunun kazanç matrisi. A OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B1 B2 B3 B4 A1 650 500 700 600 A2 0 -200 300 -300 A3 250 -100 350 200 A4 500 0 600 300 A5 700 400 750 200 A1 ile A2 stratejilerini ele alalım. A1, B’nin tüm stratejilerinde A2’nin kazançlarından fazlasını sa ğlayabilmektedir. O halde, A1 problemde yer aldı ğında, A2’nin hiçbir ko şulda seçilemeyece ği açıktır. Bu durumda A2 kabul edilemez strateji, A1 ise baskın stratejidir. Aynı şekilde, bir baskınlık ili şkisinin A3 ile A4 arasında olduğu da görülmektedir. A4, her durumda A3’den daha yüksek kazanç sunmaktadır. A4, A3’e göre baskın alternatiftir. O halde, bu problemde A2 ve A3’ün problemden çıkartılması optimal çözümleri etkilemez. Benzer baskınlık ili şkileri B oyuncusu için de incelenebilir. Ancak bu noktada yukarıdaki matrisin A’nın kazanç matrisi olduğu unutulmamalıdır. B1 ve B2 stratejileri incelendi ğinde, B1’in her koşulda B2’den yüksek kazançlar sa ğladı ğı görülmektedir. Bu nedenle, bu iki strateji arasında bir baskınlık ili şkisinden söz edilebilir. Kazançlar A’ya ili şkin tanımlanmı ş olduğundan, B oyuncusu A’ya az kazandırmaya çalı şacaktır. Bu nedenle de B2 ile kar şıla ştırıldı ğında, B1’i seçmesi beklenmez. B2’nin B1’e baskın oldu ğu ve dolayısıyla B1’in kabul edilemez strateji oldu ğu söylenebilir. Bu noktaya kadar ilgilendi ğimiz oyun problemlerinde denge noktasının bulunabildi ği örneklerle ilgilendik. Bu örneklerde oyuncular için birer optimal strateji bulunabiliyordu. Örnek 8’de A1, B2 ikilisinin oyuncular için optimal stratejiler oldu ğunu hatırlayalım. Di ğer bir deyi şle, A oyuncusuna hasta sayısını artırmak için “semt sakinlerinin evlerini ziyaret” etmesini önermi ştik. Buna biraz daha teorik baktı ğımızda, 1 olasılıkla A1’i seçmesi gerekti ğini söyleyebiliriz. 1 olasılık, tam olasılık anlamına gelmektedir. Bu nedenle, A’nın A1’i seçerek tam strateji oynadı ğı söylenebilir. Aynı yorum, B’nin tam strateji olarak B2’yi seçtiği şeklinde de yapılabilecektir. 24 Denge noktasının elde edilebildi ği oyunlarda “tam strateji” uygulanmaktadır. Gerçekten de oyun kuramında inceledi ğimiz tüm problemlerde denge noktası ve bu noktayı veren tam strateji ikilileri bulabilmi ştik. Ancak oyun problemlerinde her zaman denge noktası bulunamayabilir. Bu durumda oyuncuların tam olarak seçebilece ği (ya da tüm yatırımlarını yapabilecekleri) birer tam stratejileri bulunamaz. Tam stratejinin elde edilemedi ği oyun modellerinde “karma strateji” ara ştırılır. Karma strateji, oyuncunun önerdi ği stratejilerden iki ya da daha fazlasından karma olarak çözüm geli ştirmesi anlamına gelir. Örnek 10 yardımıyla karma strateji kullanılan oyun modellerini biraz daha açıklayalım. Örnek 1.10. İki hastane (A ve B), rekabet sürecinde kendi stratejilerini belirlemi şlerdir. A’nın kazanç matrisi Tablo 1.23’deki gibi olu şturulmu ştur. Tablo 1.23: A oyuncusunun kazanç matrisi. A OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B1 B2 B3 B4 A1 10 -10 30 20 A2 0 20 10 -10 Oyun matrisini inceleyerek denge noktasını bulmaya çalı şalım. A oyuncusu ilk hamleyi yaptı ğında B’nin kararları Tablo 1.24’de verildi ği gibidir. Tablo 1.24: B oyuncusunun stratejileri. A OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B1 B2 B3 B4 A1 10 -10 30 20 A2 0 20 10 -10 İlk hamleyi B yaptı ğında ise A’nın kararları Tablo 1.25’deki matriste i şaretlenmi ştir. Tablo 1.25: A oyuncusunun stratejileri. A OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B1 B2 B3 B4 A1 10 -10 30 20 A2 0 20 10 -10 İki matris birlikte incelendi ğinde, ortak i şaretleme olmadı ğı, bu nedenle de denge noktasının bulunamadı ğı görülmektedir. O halde, oyuncuların birer optimal stratejileri bulunmamaktadır. Şimdi, optimal çözüme ula şmak için oyuncuların karma stratejilerini bulalım. Çözüme geçmeden önce izlenecek yöntemi genel hatlarıyla inceleyelim. Karma strateji oyuncuların iki ya da daha fazla stratejisini birlikte oynamaları anlamına gelir. Burada önemli olan, oyuncuların hangi stratejiyi hangi oranda oynayacağını belirlemesidir. A oyuncusunun iki stratejisi oldu ğu için P A1 ve P A2 oranlarıyla bunları seçebilecektir. Bunun anlamı, tek bir optimal strateji bulunamadı ğı için, oyunu kazanmak için elindeki kaynakları (para, i şgücü, vb.) A1 ve A2 arasında payla ştıraca ğıdır. Bu paylaşım oranları sırasıyla P A1 ve P A2 olarak tanımlanmı ştır. Bu durumda A, B1’e kar şılık A1 stratejisinden 10 birim kazanması beklenen kazancın tümünü kazanamayacaktır. Bu stratejiye ne kadar yatırmı şsa (bu orana P A1 demi ştik) 10 birimlik kazancı da aynı oranda kazanacaktır. O halde, bu stratejide kazancı 10 birim yerine 10P A1 kadar olacaktır. Benzer şekilde, A2 stratejisi de incelendi ğinde burada da kazancının 0P A2 olaca ğı açıkça görülebilmektedir. A’nın bu oyun sonundaki kazancını k ile gösterelim. Buna göre A karar verirken k birimlik kazancını maksimize etmek isteyecektir. Bu nedenle, stratejilerine karar verirken kazancını k birimin altına düşürmemeyi hedefler. B1’e ilişkin, 25 10P A1 + 0P A2 ? k e şitsizli ği yazılabilir. Benzer şekilde B2, B3 ve B4 için e şitsizlikler, -10P A1 + 20P A2 ? k 30P A1 + 10P A2 ? k 20P A1 - 10P A2 ? k şeklinde kurulabilir. P A1 ve P A2 için ise, P A1 + P A2 = 1 e şitliği kurularak A’nın iki stratejisi oldu ğu ve bunlar arasında bir karma strateji geli ştireceği tanımlanmı ş olur. P A1 ve P A2 oranlarını belirlemenin en kolay yolu, çözümü bir grafik yardımıyla elde etmektir. A için grafik Şekil 1.3’deki gibi çizilir: Şekil 1.3: A oyuncusunun kazanç matrisine göre çizilen A’nın stratejileri için oyun grafi ği. Şekil 1.3’ün nasıl çizildi ğini inceleyelim. Şekildeki grafikte sütunlardaki de ğerler A’nın kazançlarını göstermektedir. Kazançlar grafi ğin sol sütununda yazılmı ştır. Bu kazançların üzerine, B1, B2, B3 ve B4 için A1 ve A2 stratejilerinin kazançları doğrular ile çizilmi ştir. İlk do ğru B1 için çizilmi ştir. B1 hamlesinde A’nın A1’i oynaması durumunda 10 kazanaca ğı, A2’yi oynaması durumunda ise 0 kazanaca ğı bilinmektedir. Bu nedenle grafi ğin sa ğ tarafında B1 ile gösterilen do ğru, A1 sütununda 10, A2 sütununda 0 de ğeri i şaretlenip bu iki noktanın birle ştirilmesi ile elde edilmi ştir. İkinci adımda B2 için A’nın kazanç doğrusu çizilmi ştir. B2 hamlesine kar şılık A1’i oynadı ğında -10 kazanacak (10 kaybedecek), A2’yi oynadı ğında ise 20 kazanacaktır. A1 sütununda -10, A2 sütununda 20 de ğerleri i şaretlenip bu noktalar birle ştirilerek B2 doğrusu çizilir. B3 ve B4 doğruları da benzer şekilde çizilir. B3 doğrusunda A1 sütununda 30, A2 sütununda 10 de ğerleri i şaretlenmiş, B4 doğrusunda A1 sütununda 20, A2 sütununda -10 de ğerleri i şaretlenmi ştir. 26 Sonraki adımda B’nin hamlesi beklenmektedir. B ise A’nın kazançlarını minimum düzeyde tutmak için oyunu grafikte boyanmı ş bölgeye ta şıyacaktır. Sonraki adımda A oyuncusu hamle yapacaktır. A oyuncusu, optimal stratejisini B’nin oyunu ta şıdı ğı bölge üzerinde belirlemek durumundadır. Bu nedenle, boyalı alanda maksimum kazancı elde edebilmek amacıyla boyalı bölgedeki en yüksek noktayı optimal karar olarak belirler. Bu nokta, Şekil 1.3’de B1 ve B2 doğrularının kesi ştiği noktadır. Kesi şim noktasının de ğeri, A’nın minimum kazanç bölgesinde ula şabildi ği kazanç de ğeridir. Böylece, bu noktanın elde edilmesiyle oyunun de ğeri belirlenmi ş olacaktır. Bulunacak kesi şim noktasının hem B1 hem de B2 do ğrularını sa ğlayan bir nokta olması nedeniyle, B1 ve B2 doğrularının kesi ştiği bu noktayı bulabilmek için bu iki do ğruyu birlikte çözmemiz gerekmektedir. O halde, bu doğruları bir kez daha hatırlayalım: 10P A1 + 0P A2 = k -10P A1 + 20P A2 = k Yukarıda eşitsizlik ( ? ) olarak verilen bu P A1 , P A2 ve k ili şkisi, burada e şitlik (=) olarak verilmi ştir. Bunun nedeni, A’nın kazancını her zaman yüksek tutmak istemesi nedeniyle ili şkiyi eşitsizlik ile ifade etmi ş olmasıdır. Ancak bu a şamada iki do ğrunun kesi ştiği noktadan bahsettiğimiz için do ğrusal ili şkileri incelememiz gerekmektedir. B1 ve B2 doğrularını yazdı ğımızda, do ğrularda P A1 , P A2 ve k olmak üzere üç tane bilinmeyen oldu ğunu görmekteyiz. Oysa ki, üç bilinmeyenin çözülebilmesi için en az üç denkleme ihtiyaç duyulmaktadır. İşte bu noktada P A1 ve P A2 oranları arasındaki, P A1 + P A2 = 1 e şitli ği bir kez daha önem kazanmaktadır. Burada, P A1 = 1- P A2 yazabiliriz. Bu ili şkiyi B1 ve B2 do ğrularının e şitliklerinde yerine koydu ğumuzda, 10 (1- P A2 ) + 0P A2 = k -10 (1- P A2 ) + 20P A2 = k e şitlikleri elde edilir. Buradan, 10 - 10P A2 + 0P A2 = k - 10P A2 = k-10 -10 + 10P A2 + 20P A2 = k 30P A2 = k+10 e şitlikleri elde edilir ve bunların birlikte çözülmesi gerekir. Bunun için a şa ğıdaki çözüm yöntemi uygulanır: - 10P A2 = k-10 (bu e şitliği -1 ile çarpalım) 30P A2 = k+10 (bu e şitliği de ği ştirmeden yazalım) buradan; 10P A2 = - k+10 30P A2 = k+10 Bu iki ifade toplandı ğında k de ğerlerinde –k ile k’nın toplamı sıfır olacaktır; 40P A2 = 20 buradan P A2 =0,5 ve P A1 =0,5 olarak hesaplanır. Buna göre de oyunun de ğeri, k=5 olarak bulunur. Denge noktası bulunamadı ğında oyunun de ğeri bu şekilde bir karma strateji ile elde edilir. Burada A oyuncusu için optimal strateji, 0,5 oranında A1 (P A1 =0,5) ve 0,5 oranında A2 ( P A2 =0,5) stratejisini oynamaktır. Bu durumda minimum kazancı 5 olacaktır. 27 B oyuncusu için karma stratejinin hesaplanması A oyuncusu kadar kolay değildir. A’nın iki stratejisi olduğu için optimal kararını grafik kullanarak çözebilmi ştik. Ancak B’nin dört stratejisi olduğu için grafik ile çözüm yapılamaz. Bu durumda B’nin maksimum kaybının 5 oldu ğunu söylemekle yetinece ğiz. B’nin optimal karma stratejisi “do ğrusal programlama” ile modellenip çözülebilir. Biz bu bölümde sadece iki stratejiye sahip oyuncuların optimal kararları ile ilgilenip oyunun de ğerini hesaplayacağız. E ğer A’nın kazanç matrisinin tanımlandı ğı bir problemde B’nin iki stratejisi bulunuyorsa, bu durumda B için grafik çizilerek, oyunun de ğeri B’nin stratejilerinden hesaplanır. Bu şekilde kurulmu ş bir oyun problemini Örnek 11’de inceleyelim. Örnek 1.11. A ve B oyuncuları arasındaki bir oyunda A’nın kazançlarına göre kurulan a şa ğıda Tablo 1.26’daki kazanç matrisinden yola çıkarak oyunun de ğerini hesaplayalım. Tablo 1.26: A oyuncusunun kazanç matrisi. A OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B1 B2 A1 -5 5 A2 10 15 A3 15 -10 A4 5 -10 A5 10 5 Bu soruda da önce denge noktasına ulaşılıp ula şılamadı ğını araştıralım. İlk hamleyi A oyuncusu yaptı ğında, A’nın stratejilerine göre B’nin aşa ğıda Tablo 1.27’de verilen matristeki gibi karar verdi ğini görebiliriz. Tablo 1.27: B oyuncusunun stratejileri. A OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B1 B2 A1 -5 5 A2 10 15 A3 15 -10 A4 5 -10 A5 10 5 Daha sonra ilk hamleyi B’nin yapması durumunda, A’nın kararlarını inceleyelim (Tablo 1.28): Tablo 1.28: A oyuncusunun stratejileri. A OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B1 B2 A1 -5 5 A2 10 15 A3 15 -10 A4 5 -10 A5 10 5 Matrislerden görüldüğü gibi, oyunda bir denge noktası bulunmamaktadır. A’nın kazanç matrisi söz konusu oldu ğu için, A’nın kazancını yine k ile gösterdi ğimizde, iki stratejisi olan B’nin amacı, k’yı minimize etmektir. Bu amaca yönelik olarak, P B1 ve P B2 oranlarını kullanarak kendisi için optimal karma bir strateji olu şturacaktır. O halde A1,B1 strateji ikilisinin seçilmesi durumunda A’nın kazancı -5 olmayacaktır. Bu kazanç, B’nin B1’e yaptı ğı yatırım oranında gerçekle şecektir. Aynı şekilde A1,B2 ikilisindeki 5 birimlik kazanç da B’nin B2’ye yaptı ğı yatırım oranında elde edilir. 28 B’nin yukarıdaki kazanç matrisini minimize edece ğini bildiğimize göre, P B1 ve P B2 oranlarını belirlerken, A’nın k birimlik kazancının üstüne çıkmamayı hedefler. Buna göre A’nın A1’i seçmesi durumunda, -5P B1 + 5P B2 ? k e şitsizli ği yazılabilir. A2, A3, A4 ve A5 için de benzer şekilde, 10P B1 + 15P B2 ? k 15P B1 - 10 P B2 ? k 5P B1 - 10P B2 ? k 10P B1 + 5P B2 ? k P B1 + P B2 =1 olmaktadır. Buna göre P B1 ve P B2 ’nin bulunmasında grafik ile çözüm yapılabilecektir. Bu grafik, Şekil 1.4’de gösterilmi ştir. Şekil 1.4: A oyuncusunun kazanç matrisine göre çizilen B’nin stratejileri için oyun grafi ği. Şekil 1.4’ün çizimi, Şekil 1.3’e benzemektedir. Grafikteki kazançlar A oyuncusunun kazançlarıdır. Sa ğdaki ve soldaki sütunlar ise sırasıyla B1 ve B2 stratejileri ile ili şkilendirilmi ştir. Kazanç doğruları ise A’nın stratejileri dikkate alınarak çizilmi ş, böylece grafik üzerine be ş adet do ğru yerleştirilmi ştir. Burada A1 doğrusu, B1 için -5, B2 için +5 kazanç sağlanacak şekilde çizilmi ştir. A2, A3, A4 ve A5 doğruları da benzer şekilde çizilmi ştir. B’nin bu do ğrularına kar şılık ikinci hamleyi yapan A oyuncusu, oyundaki kazancı grafi ğin üst bölgesine ta şır. Şekil 1.4’deki boyalı alan bunu ifade eder. Sonrasında ise sıra B oyuncusuna geçmi ştir ve B, bir sonraki hamlesinde oyunun de ğerini A’nın taradı ğı bölgedeki minimum kazançta tutar. Bu nokta grafikte işaretlenmi ş olan A2 ve A3 doğrularının kesi ştiği noktadır. A2 ve A3 doğruları ile P B1 +P B2 =1 e şitliği birlikte çözüldü ğünde; 10P B1 +15P B2 = k 15P B1 -10 P B2 = k P B1 +P B2 =1 29 burada Örnek 10’da oldu ğu gibi, P B1 = 1- P B2 yazıldı ğında A2 ve A3 do ğruları sırasıyla, 10(1- P B2 ) + 15P B2 = k 15(1- P B2 ) - 10P B2 = k olarak düzenlenmektedir. 10 -10P B2 + 15P B2 = k 5P B2 = k -10 15-15P B2 - 10 P B2 = k -25P B2 = k -15 e şitlikleri elde edilir ve bunların birlikte çözülmesi gerekir. Bunun için; 5P B2 = k -10 (bu e şitliği -1 ile çarpalım) -25P B2 = k -15 (bu e şitliği de ği ştirmeden yazalım) buradan; -5P B2 = -k +10 -25P B2 = k -15 Bu iki ifade toplandı ğında k de ğerlerinde –k ile k’nın toplamı sıfır olacaktır; -30P B2 = -5 buradan P B2 =0,83 ve P A1 =0,17 olarak hesaplanır. Buna göre de oyunun de ğeri, k=10,83 olarak hesaplanır. Buna göre B’nin optimal kararı, 0,17 oranında B1 ve 0,83 oranında B2’yi seçmesidir. Bu koşulda kaybedece ği maksimum de ğer 10,83 olacaktır. A’nın minimum kazancı ise 10,83’dür. Bu problemde A’nın optimal karma stratejisinin bulunmasında yine do ğrusal programlama yöntemi uygulanmalıdır. Ancak burada A1 ve A2 stratejileri incelendi ğinde, A2’nin A1’e baskın oldu ğu görülmektedir. Bu nedenle, A1 problemden çıkartılabilir. Aynı şekilde, A2 stratejisi A4 ve A5’e de baskındır. O halde, problemden kabul edilemez A1, A4 ve A5 çıkartıldı ğında, A’nın seçebilece ği A2 ve A3 stratejileri kalmı ştır. Bu nedenle, A için de grafik çizilerek optimal karma strateji belirlenebilir. Grafik çözümünde, A için 0,83 oranında A2 ve 0,17 oranında A3’ü seçmesi kendisi için optimaldir. Elbette ki, A’nın daha fazla kazanması, kendi optimal karma stratejisini oynadıktan sonra B’nin hatalı karar vermesi ile mümkündür. B’nin hatalı kararı ise, B1’i seçme oranını 0,17 ve dolayısıyla da B2’yi seçme oranını 0,83 dı şında bir oran olarak belirlemesidir. B’nin daha az kayıpla oyunu tamamlaması ise A’nın 0,83 oranı dı şında A2 ve 0,17 oranı dı şında A3’ü seçmesi ya da farklı alternatiflerde karar vermesi anlamına gelmektedir. A ve B hastaneleri arasındaki bir rekabette oyuncuların iki şer stratejileri bulunmaktadır. A için tanımlamı ş olan kazanç matrisi a şa ğıda verilmiştir. Buna göre her iki oyuncu için de optimal stratejileri bularak oyunun de ğerini hesaplayınız. A OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B OYUNCUSUNUN STRATEJ İLER İ B1 B2 A1 5 -10 A2 -10 10 30 Özet Sa ğlık kurumlarında karar verici konumundaki yöneticiler, özellikle yönetsel kararlarını verirken sayısal karar yöntemlerini kullanmaktadırlar. Bu yöntemlerin kullanılmadı ğı kararlarda, karar vericilerin ki şisel görü şleri ve tecrübeleri önem kazanmaktadır. Ancak bu görüş ve tecrübeler subjektif kararlar verdirebilece ği için, kararlar herkes için tatmin edici olmamaktadır. Modelleme, analiz ve kontrol süreçlerinden olu şan bilimsel yöntemlerin yönetim süreçlerinde öneminin anla şılmasıyla birlikte, sayısal karar yöntemleri sağlık kurumları yönetiminde de sıklıkla kullanılmaya ba şlamı ştır. Tüm sayısal karar verme yöntemlerinde en az bir karar verici, karar vericilerin ula şmayı hedefledikleri bir amaç, bu amaca yönelik seçilebilecek en az iki alternatif bulunmaktadır. Karar verici, problemi sayısal yöntemler kullanarak çözebilecek ve çözülen problem üzerinde verilen kararı uygulayabilecek ki şi ya da gruptur. Amaç, ya en yüksek de ğerin arandı ğı kazanç maksimizasyonu ya da en dü şük de ğerin arandı ğı maliyet minimizasyonudur. Alternatifler, problem için olası çözümlerdir. Amaç için en doğru karar (en uygun alternatif) “optimal karar” olarak adlandırılır. Optimal kararın verdi ği çözüm de ğeri ise “optimal çözüm”dür. Sayısal karar yöntemlerinden biri olan karar analizi, karar ortamlarını üçe ayırır. İlk ortam olan belirlilik ortamı, çözüm süreci boyunca ortaya çıkacak ko şulun tek oldu ğu anlamına gelir. Bu ortamda karar vermek çok da zor değildir. Belirsizlik ortamında ise karar üzerinde etkisi olaca ğı düşünülen ve karar verici tarafından kontrol edilemeyen doğa durumları bulunmaktadır. Karar alternatifleri bu do ğa durumları altında farklı sonuçlar ortaya çıkarabilecektir. Ancak hangi do ğa durumunun gerçekle şece ğinin bilinmemesi ortamı belirsiz yapmaktadır. Bu noktada, karar vericinin tutumu optimal kararı etkileyen önemli faktördür. Karar verici do ğa durumlarının her birinin e şit olasılıkla gerçekle şece ğini düşünüyorsa e şit olasılık kriterini kullanır. E ğer karar verici problemde risk alabiliyorsa ve çok kazanmaya kar şılık kaybetmeyi göze alabiliyorsa iyimser karar vericidir. Tam tersi şekilde, karar verici hiç risk almayan, garantici bir karar verici de olabilir. Bu durumda kötümserlik kriterini uygular ve optimal çözümde, elde edebilece ği minimum kazancı ya da maksimum maliyeti belirler. Bir ba şka karar verici ise bu ikisinin arasında olan ve belirli bir oranda risk olabilen karar vericidir. Bu karar verici de Hurwicz kriterini uygular. Bu karar kriterlerinin tümü belirsizlik ortamı kriterleri olmasına ra ğmen, optimal çözümleri birbirinden farklı olabilir. Karar analizinde risk ortamı, do ğa durumlarının gerçekle şme olasılıklarının bilindi ği ortamlardır. Burada beklenen de ğer ve karar a ğacı olmak üzere iki kriter vardır. Bunların ikisi de aynı optimal kararı verir. Karar ortamını, do ğa durumları belirler. İfade edildi ği gibi, belirlilik ortamı tek bir do ğa durumu içerirken, belirsizlik ortamında hangisinin gerçekle şece ği hakkında bilgimizin olmadı ğı doğa durumları bulunmaktadır. Risk ortamı ise belirsizlik ortamından farklı olarak doğa durumlarının gerçekle şme olasılıklarının bilindi ği ortamlardır. Karar alternatiflerinden bir kısmı “baskın” ya da “kabul edilemez” alternatif olabilir. Eğer bir alternatif her do ğa durumunda bir ba şka alternatiften daha iyi sonuç veriyorsa baskın alternatiftir. Di ğer alternatif ise kabul edilemez alternatiftir ve problemden çıkartılması optimal çözümü de ği ştirmeyecektir. Sayısal karar verme yöntemlerinde birbirine rakip iki karar vericinin oldu ğu durumlarda oyun modelleri kullanılır. Oyun modelinde oyuncuların her biri kendisi için oyun stratejileri tanımlar. Bu stratejilerin oyunculara sa ğlayaca ğı kazanç ya da kayıplar bellidir. Oyunda oyunculardan birinin kazançlarına göre oluşturulan “kazanç matrisi”nin çözülmesi ile oyuncular için optimal stratejiler elde edilir. E ğer oyunda bir denge noktası varsa bu noktayı veren de ğer “oyunun de ğeri”dir. Bu durumda oyuncular tam strateji uygularlar. Birer optimal stratejileri vardır. Denge noktasının bulunmadı ğı oyunlarda ise oyuncular için karma stratejiler olu şturulur. Her iki durumda da oyunun de ğerinin anlamı de ği şmez. Oyunun de ğeri, kazanç matrisinin sahibi olan oyuncu için en dü şük kazancı, di ğeri için en yüksek kaybı ifade eder. Oyunda oyuncular optimal stratejilerini belirledikten sonra, rakibin yapaca ğı hatalarda daha çok kazanacak ya da daha az kaybedeceklerdir. 31 Kendimizi Sınayalım 1. D1, D2, D3, D4 doğa durumları altında, üç alternatifin sağlayaca ğı kazançlar verilmi ştir. E şit olasılık kriterine göre optimal çözüm hangisidir? Alternatifler D1 D2 D3 D4 A1 5 0 15 18 A2 10 10 -5 5 A3 0 -5 20 15 a. 20 de ğeri ile A3 b. 9,5 de ğeri ile A1 c. 10 de ğeri ile A1 d. 9 de ğeri ile A2 e. 20 de ğeri ile A3 2. 1. soruda 0,5 iyimserlik oranında optimal çözüm nedir? a. 9 de ğeri ile A2 b. 20 de ğeri ile A3 c. 9 de ğeri ile A1 d. 9,5 de ğeri ile A1 e. 10 de ğeri ile A2 3. 1. sorudaki iyimserlik kriterine göre optimal çözüm nedir? a. 9,5 de ğeri ile A1 b. 10 de ğeri ile A1 c. 9 de ğeri ile A2 d. 10 de ğeri ile A3 e. 20 de ğeri ile A3 4. 1. sorudaki pi şmanlık kriterine göre optimal çözüm nedir? a. 10 de ğeri ile A1 b. 9,5 de ğeri ile A1 c. 20 de ğeri ile A3 d. 9 de ğeri ile A2 e. 20 de ğeri ile A3 5. 1. sorudaki -5 de ğerinin anlamı nedir? a. Alternatifin 5 birim kazandırdı ğı b. Do ğa durumunun 5 birim kazandırdı ğı c. Alternatifin 5 birim kaybettirdi ği d. Do ğa durumunun 5 birim kaybettirdi ği e. Kazanç ya da kaybın olmadı ğı 6. 1. soruda doğa durumlarının olasılıkları 0,2, 0,2, 0,3, 0,3 ise optimal çözüm nedir? a. 9,5 de ğeri ile A1 b. 10 de ğeri ile A1 c. 10 de ğeri ile A2 d. 10,90 de ğeri ile A1 e. 20 de ğeri ile A1 7. A oyuncusunun kazanç matrisi a şa ğıdaki gibi ise oyuncuların optimal stratejileri ne olmalıdır? B1 B2 B3 B4 A1 65 70 85 100 A2 90 75 90 86 a. A1, B1 b. A1, B2 c. A2, B1 d. A2, B2 e. Tam strateji yoktur 8. 7. soruda oyunun de ğeri kaçtır? a. 65 b. 70 c. 75 d. 90 e. 100 9. 7. soruya göre, aşa ğıdaki hamlelerden hangisinde A, oyunun de ğerinden daha fazla kazanır? a. A1, B1 b. A1, B2 c. A2, B1 d. A2, B2 e. 0,50 oranında A2, 0,50 oranında B2 10. A şa ğıdaki ifadelerden hangisi do ğrudur? a. Denge noktası bulunmayan oyunlarda oyunun de ğeri de bulunamaz b. Karma strateji sadece bir oyuncu için belirlenebilir c. Denge noktası varsa oyunun de ğeri denge noktasının de ğeridir d. Karma strateji, stratejileri 0,5 oranında oynar e. Tam strateji, karma stratejiden üstündür 32 Kendimizi Sınayalım Yanıt Anahtarı 1. b Yanıtınız yanlı ş ise “Belirsizlik ortamında karar verme” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 2. c Yanıtınız yanlı ş ise “Belirsizlik ortamında karar verme” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 3. e Yanıtınız yanlı ş ise “Belirsizlik ortamında karar verme” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 4. a Yanıtınız yanlı ş ise “Belirsizlik ortamında karar verme” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 5. c Yanıtınız yanlı ş ise “Belirsizlik ortamında karar verme” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 6. d Yanıtınız yanlı ş ise “Risk ortamında karar verme” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 7. d Yanıtınız yanlı ş ise “Oyun kuramı” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 8. c Yanıtınız yanlı ş ise “Oyun kuramı” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 9. c Yanıtınız yanlı ş ise “Oyun kuramı” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 10. c Yanıtınız yanlı ş ise “Oyun kuramı” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. Sıra Sizde Yanıt Anahtarı Sıra Sizde 1 E şit olasılık: Y1 (32,67), iyimserlik: Y2 (42), kötümserlik: Y3 (28), Hurwicz: Y2 (37,50), pi şmanlık: Y1 (4). Sıra Sizde 2 E şit olasılık: A4 (4,75), iyimserlik: A2 (3), kötümserlik: A4 (6), Hurwicz: A2 (4,60), pi şmanlık: A4 (1). Sıra Sizde 3 A1, B1, oyunun de ğeri:6 A için min kazanç, B için maks kayıp. Sıra Sizde 4 P A1 =0,57 ve P A2 =0,43’dür. P B1 =0,57 ve P B2 =0,43 ve oyunun de ğeri=0. 33 Yararlanılan Kaynaklar Baray, Ş.A. ve Esnaf, Ş. (2012). Yöneylem Ara ştırması (Taha, H.A.) - 6. Basımdan Çeviri. Literatür Yayıncılık. Altaylı, B. (1996). Yönetim Kararlarında Kantitatif Yöntemler Yöneylem Ara ştırması. UYTES. Winston, W.L. (2004). Operations Research Applications and Algorithms. Belmont: Duxbury Press. Warner, D.M., Holloway, D.C., Grazier, K.L. (1984). Decision Making and Control For Health Administration. Health Administration Press. Austin, C.J. ve Boxerman, S.B. (1995). Quantitative Analysis For Health Services Administration. AUPHA Health Administration Press. 34 Amaçlarımız Bu üniteyi tamamladıktan sonra; Sa ğlık sektörünün öngörü ile ilgili problemlerini ifade edebilecek, Dura ğan zaman serilerinde öngörü modellerini açıklayabilecek, Mevsimsel yapıda zaman serilerinde öngörü modellerini açıklayabilecek, Dura ğan olmayan trendli zaman serilerinde öngörü modellerini açıklayabilecek, Zaman serisi modellerinin performanslarını ölçebilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Zaman Serisi Öngörü Hareketli Ortalama Üstel Düzleme Dura ğan Veri Mevsimsellik Trend Regresyon Holt Metodu Holt-Winter Metodu İçindekiler Giri ş Zaman Serileri ile Öngörü Dura ğan Modeller Mevsimsellik Trend Modelleri 2 35 G İR İŞ Sa ğlık hizmetlerinde gelece ği öngörmek tüm sağlık kurumları için karar verme sürecinin önemli bir a şamasını olu şturmaktadır. Tüm sağlık yöneticileri, bulundukları faaliyet alanı ve kademelerinden ba ğımsız olarak, stratejik düzeyden operasyonel düzeye kadar çeşitlenen geni ş bir yelpazede kısa, orta, uzun dönemli kararlar verirler. Ancak iyi karar verebilmek kolay bir i ş de ğildir. Karar sürecinde gerçekle şen geçmi ş verilerden yararlanarak gelecek hakkında öngörüde bulunmak, do ğru teknikler kullanıldı ğında belirsizli ği azaltacaktır. Ancak belirsizlik nedeniyle öngörü modellerinde mutlaka hata payı da bulunacaktır. Amaç, bu hatayı minimize eden modelleri olu şturmaktır. Hata payını azaltmanın bir di ğer yöntemi de öngörü yaparken çok uzak dönemler hakkında öngörüde bulunmaktan ziyade daha yakın gelecek hakkında tahminlerde bulunmaktır. Sa ğlık hizmetlerinin her alanında gelece ğe yönelik öngörüler yapılırken öngörü tekniklerinden yararlanılmaktadır. Bu uygulama alanlarına örnek olarak a şa ğıdaki problem alanları verilebilir: • Hasta talebi öngörüsü, • Gelir-gider öngörüleri, • Sa ğlık personeli gereksinimi öngörüleri, • Kullanılacak malzeme öngörüleri, • Ameliyathane gereksinimi öngörüleri, • Yatak gereksinimi öngörüleri, • Pazar payı öngörüleri. Bu problemlerin çözümünde ba şvurulabilecek birçok sayısal öngörü metodu vardır. Bu bölümde a şa ğıda listelenen öngörü teknikleri anlatılacak ve Excel üzerinde modellemeleri yapılacaktır: • Hareketli ortalama, • A ğırlıklı hareketli ortalama, üstel düzleme, • Toplamsal mevsimlik yapıda dura ğan model, • Çarpımsal mevsimlik yapıda dura ğan model, • Do ğrusal regresyon modeli, • Kuadratik regresyon modeli, • Holt metodu, • Holt-Winter metodu. Sağlık Yönetiminde Öngörü 36 ZAMAN SER İLERİ İLE ÖNGÖRÜ Zaman serisi, bir deği şkenin zaman içerisinde aldı ğı de ğerlerin kümesi olarak tanımlanabilir. Bir sa ğlık i şletmesinin geçmi ş dönemdeki hasta sayıları, gelirleri, tıbbi personel sayıları zaman serilerine örnek olarak verilebilir. Sa ğlık i şletmeleri zaman serilerini kullanarak gelecek ile ilgili öngörülerde bulunurlar. Zaman serisi analizinde, gelecek de ğeri öngörmek için deği şkenin geçmi şte aldı ğı de ğerlerden yararlanılır. () … , Y , Y , Y Y ˆ 2 1 1 - - + = t t t t f Zaman serisi incelenirken öncelikle verinin a şa ğıda tanımlanan özellikleri gözden geçirilmelidir. • Dura ğan veri: Zaman serisini oluşturan de ği şkenin zaman içinde belli bir yönde anlamlı bir hareketi yoktur. • Dura ğan olmayan veri: Zaman serisini oluşturan de ği şkenin zaman içinde yukarı yada a şa ğı yönde anlamlı bir hareketi bulunmaktadır. • Mevsimsel veri: Zaman serisini olu şturan de ği şken zaman içinde belirli aralıklarda tekrarlayan bir kalıp izlemektedir. Yukarıda gösterilen üç farklı durumu açıklayan çok sayıda zaman serisi analizi tekni ği geliştirilmi ştir. Ancak hangi tekni ğin seriyi en iyi açıklayan teknik oldu ğunu belirlemek oldukça zordur. Genellikle birden fazla sayıda teknik zaman serisi üzerinde uygulanır ve performansı en iyi olan teknikle öngörü gerçekle ştirilir. Farklı teknikleri kar şıla ştırmak için çe şitli performans ölçütleri geli ştirilmi ştir. Bunlar; • Ortalama mutlak sapma (OMS) ? = - = n 1 i i i n Y ˆ Y OMS • Ortalama mutlak yüzde hata (OMYH) ? = - = n 1 i i i i Y Y ˆ Y n 100 OMYH • Ortalama hata karesi (OHK) () ? = - = n 1 i 2 i i n Y ˆ Y OHK • Ortalama hata karesi kökü (OHKK) OHK OHKK = Bundan sonraki kısımlarda sırasıyla, durağan modeller, mevsimsellik, trend modelleri, zaman serileri trend bileşeninin regresyon ile modellenmesi ve mevsimselli ği içeren regresyon modelleri açıklanacaktır. http://tr.wikipedia.org/wiki/Zaman_serisi DURA ĞAN MODELLER Zaman serisini olu şturan de ği şkenin zaman içinde belli bir yönde anlamlı bir hareketi yok ise, seri durağan bir yapıdadır ve dura ğan yapıyı açıklayan modeller ile analiz edilir. Hareketli ortalama, a ğırlıklı hareketli ortalama ve üstel düzleme (ÜD) teknikleri dura ğan veri için kullanılabilecek tekniklerdendir. Hareketli Ortalama Hareketli ortalamalar, zaman serisinin genel kalıbını bozan kısa süreli tesadüfi dalgalanmaları yumu şatmak için geli ştirilmi ştir. Bu teknik, basitliği nedeniyle yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu teknikle t+1 döneminin öngörülen zaman serisi de ğeri ( 1 t Y ˆ + ), önceki k dönemin ortalamasıdır. 37 k Y Y Y k t t t 1 1 1 t ... Y ˆ + - - + + + + = k çok küçük alındı ğında, elde edilen hareketli ortalama serisi orjinal zaman serisini çok yakından takip eder, ancak halen ana kalıbı bozan tesadüfi dalgalanmalar içerir. k çok büyük alındı ğında ise, tesadüfi dalgalanmalar büyük ölçüde elimine edilmesine kar şın elde edilen hareketli ortalama serisi orjinal zaman serisini yakından takip etmez. k de ğerinin kaç alınaca ğı ile ilgili genel bir kural bulunmamaktadır. Genellikle farklı k de ğerleri denenip en iyi performansı olan k de ğeri hareketli ortalama periyodu olarak alınır. Şimdi bir örnek üzerinde hareketli ortalamaları uygulayalım. Örnek 2.1. Medimedi hastanesi pediatri klini ği yöneticisi aylık hasta talebini öngörmek üzere hareketli ortalama yakla şımını kullanmak istemektedir. Geçmi ş 20 aya ili şkin hasta sayıları (bir ba şka ifadeyle, satı ş sayısı) ve grafiği Şekil 2.1’de görülmektedir. Dönem Hasta Dönem Hasta 1 1082 11 1394 2 1301 12 1209 3 1140 13 1263 4 1220 14 1283 5 1026 15 1043 6 1109 16 1164 7 1070 17 1130 8 1323 18 1307 9 1253 19 1176 10 1240 20 1095 Şekil 2.1: Medimedi hastanesi pediatri klini ği geçmi ş 20 aylık hasta sayıları. Şekilde de görüldü ğü gibi, hasta talebi dura ğan bir yapı izlemekte, yukarı ya da a şa ğı yönlü bir hareket görülmemektedir. Klinik yöneticisi önümüzdeki ay için hasta sayısını öngörmek istemektedir. Ancak kaç dönemlik hareketli ortalama kullanaca ğına karar veremeyen uzman, 2-3-4-5 aylık hareketli ortalamalara göre öngörüde bulunup, Ortalama Hata Kare de ğeri en dü şük olan dönem sayısını öngörüde kullanmak istemektedir. 2 dönemlik hareketli ortalamaya göre 3. dönemin öngörüsü a şa ğıdaki gibi hesaplanır. 2 Y ˆ 1 2 3 Y Y + = 2 1082 1301 Y ˆ 3 + = 50 . 1191 Y ˆ 3 = Böylece, 3. haftadan 20. haftaya hem gerçek veri hem de öngörü de ğerleri elde edilmi ştir. Bu değerler kullanılarak OHK değeri hesaplanarak öngörünün performansı ölçülecektir. 2-3-4-5 aylık hareketli ortalamalar için hazırlanan Excel modeli Şekil 2.2’de görülmektedir. 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Hasta Dönem 38 Şekil 2.2: Medimedi hastanesi pediatri klini ği 2-3-4-5 aylık hareketli ortalamaları. Modelin C ve D sütunlarında dönemler ve bu dönemlerdeki geçmi ş hasta sayıları görülmektedir. E sütununda 2 aylık hareketli ortalamalar hesaplanmı ştır. Dikkat edilirse, 3. haftadan itibaren öngörü de ğerleri hesaplanmaya ba şlanmı ştır. Bu de ğerler kullanılarak, OHK de ğeri hesaplanacak ve öngörünün performansı ölçülecektir. Bu hesaplama E29 hücresinde yapılmı ştır. F,G,H sütunlarında da sırasıyla 3-4-5 haftalık hareketli ortalamalar hesaplanmı ştır. Şekil 2.3’de modelde kullanılan formüller ve hasta talebi ile ilgili öngörülerin grafiği görülmektedir. Şekil 2.3: Modelde kullanılan formüller ve satı ş verisi ile öngörülerin grafi ği. OHK’yi hesaplamak için E29 hücresinde kullanılan TOPXEY2 ( İngilizce Excel’de; SUMXMY2) fonksiyonu iki farklı aralıktaki karşılıklı de ğerlerin farklarının kareleri toplamını hesaplar. SAY ( İngilizce Excel’de; COUNT) fonksiyonu ise bir aralıktaki değerlerin sayısını verir. OHK de ğerine göre en dü şük de ğere sahip 2 aylık hareketli ortalama çalı şması geçmi ş veriyi en iyi temsil eden ay parametresi olmu ştur. 21. ay hasta öngörüsü ise 2 aylık hareketli ortalama için, 2 Y Y Y ˆ 19 20 21 + = C D E F G H 3 HAREKETL İ ORTALAMA 4 HO-2 HO-3 HO-4 HO-5 5 Dönem Hasta Öngörü Öngörü Öngörü Öngörü 6 1 1082 7 2 1301 8 3 1140 1191,50 9 4 1220 1220,50 1174,33 10 5 1026 1180,00 1220,33 1185,75 11 6 1109 1123,00 1128,67 1171,75 1153,80 12 7 1070 1067,50 1118,33 1123,75 1159,20 13 8 1323 1089,50 1068,33 1106,25 1113,00 14 9 1253 1196,50 1167,33 1132,00 1149,60 15 10 1240 1288,00 1215,33 1188,75 1156,20 16 11 1394 1246,50 1272,00 1221,50 1199,00 17 12 1209 1317,00 1295,67 1302,50 1256,00 18 13 1263 1301,50 1281,00 1274,00 1283,80 19 14 1283 1236,00 1288,67 1276,50 1271,80 20 15 1043 1273,00 1251,67 1287,25 1277,80 21 16 1164 1163,00 1196,33 1199,50 1238,40 22 17 1130 1103,50 1163,33 1188,25 1192,40 23 18 1307 1147,00 1112,33 1155,00 1176,60 24 19 1176 1218,50 1200,33 1161,00 1185,40 25 20 1095 1241,50 1204,33 1194,25 1164,00 26 21 1135,50 1192,67 1177,00 1174,40 27 28 OHK OHK OHK OHK 29 12565,1 13780,3 14546,7 13265,5 Formüller: E8: =AVERAGE(D6:D7) E8:E26 aralı ğına kopyalanacak E27: =E26 E29: =SUMXMY2(D8:D25;E8:E25)/COUNT(E8:E25) HO-2 için yukarıda gösterilen 3 formül, HO-3, HO-4 ve HO-5 için de benzer şekilde ilgili hücrelerde hazırlanmı ştır. 39 2 1095 1176 Y ˆ 21 + = 50 . 1135 Y ˆ 21 = olarak bulunmuştur. Benzer şekilde, 3-4-5 haftalık hareketli ortalama çalı şmaları sonucu 21. hafta öngörüsü sırasıyla, 1192.67, 1177, 1174.40 olarak hesaplanmı ştır. Dura ğan zaman serileri için genellikle ilk dönemden sonraki öngörüler ilk döneme e şit alınır. Diğer bir ifadeyle, 22. dönem öngörüsü 21. dönem ile aynı alınmalıdır. A şa ğıdaki veri için 2 dönemlik hareketli ortalama kullanarak 3-7 dönemler için hasta sayılarını öngörünüz, OHK değerini hesaplayınız. Dönem Hasta Tahmin 1 108 - 2 130 - 3 114 4 122 5 102 6 110 7 - OHK A ğırlıklı Hareketli Ortalama Hareketli ortalamalar ile öngörü yapılırken, hesaplamaya katılan k dönemin de öngörüde a ğırlı ğı aynı alınır. Ancak karar verici dönemlerin a ğırlıklarını farklı almak isteyebilir. Özellikle öngörü yapılacak dönemlere yakın dönemlerin a ğırlıklarının, uzak dönemlere göre daha fazla olması genellikle istenilen bir durumdur. Bu teknikle t+1 döneminin öngörülen zaman serisi de ğeri ( 1 t Y ˆ + ), önceki k dönemin a ğırlıklı ortalamasıdır. 1 1 2 1 1 t ... Y ˆ + - - + + + + = k t k t t Y a Y a Y a Bu ifadede a i ile gösterilen a ğırlıklar için şu kısıtlar geçerlidir: A ğırlıklar 0 ile 1 arasında olmalıdır ( 1 0 ? ? i a ) ve a ğırlıklar toplamı 1’e e şit olmalıdır ( ? = = k 1 1 i i a ). Örnek 2.2. Şekil 3.4’de bir önceki kısımdaki Medimedi hastanesi problemi için 3 dönemlik a ğırlıklı hareketli ortalama modeli kurulmu ştur. Modeldeki G20:I20 aralı ğında ağırlıklar gösterilmi ştir (0.42, 0.48, 0.10). Karar verici bu a ğırlıkları yukarıdaki şartlar dahilinde istedi ği gibi seçebilir. Bu a ğırlıklar doğrultusunda 21. dönem hasta talebi öngörüsü; 18 3 19 2 20 1 1 2 Y ˆ Y a Y a Y a + + = 1095 10 . 0 1176 48 . 0 1307 42 . 0 Y ˆ 1 2 · + · + · = 67 . 1155 Y ˆ 1 2 = olarak hesaplanmı ştır. 40 B C D E G H I J 4 AHO-3 5 Dönem Hasta Öngörü 6 1 1082 7 2 1301 8 3 1140 9 4 1220 1211,27 10 5 1026 1189,96 11 6 1109 1130,79 12 7 1070 1080,60 13 8 1323 1084,18 14 9 1253 1179,62 15 10 1240 1267,75 16 11 1394 1254,77 17 12 1209 1305,62 18 13 1263 1300,94 A ğırlıklar 19 14 1283 1250,57 a1 a2 a3 Toplam 20 15 1043 1265,79 0,42 0,48 0,10 1,00 21 16 1164 1180,77 22 17 1130 1118,20 23 18 1307 1137,36 24 19 1176 1207,38 25 20 1095 1234,11 26 21 1155,67 28 OHK 29 13006,76 30 Şekil 2.4: Medimedi hastanesi pediatri klini ği a ğırlıklı hareketli ortalamalar modeli. AHO modelindeki a ğırlıkların de ğerleri karar verici tarafından belirlenebilece ği gibi Çözücü kullanılarak da hesaplanabilir. Excel’in Çözücü eklentisi ile ilgili daha detaylı bilgiye kitabınızın 3. bölümünde yer verilmi ştir. OHK de ğerini minimize edecek a ğırlıkları bulan modelin parametreleri Şekil 2.5’de gösterilmi ştir. OHK do ğrusal olmayan bir ifade olduğu için, burada kurulan model bir do ğrusal olmayan programlama modelidir. Modelde en yüksek a ğırlı ğın en yakın veriye atanması istenilirse ( 3 2 1 a a a ? ? ), 20 20 H G ? ve 20 20 I H ? kısıtlarının eklenmesi yeterli olacaktır. 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Hasta Dönem Gerçek Veri Öngörü (AHO-3) Formüller: D9: =$G$20*C8+$H$20*C7+$I$20*C6 D9:D26 aralı ğına kopyalanacak J20: =SUM(G20:I20) D29: =SUMXMY2(C9:C25;D9:D25)/COUNT(D9:D25) 41 Şekil 2.5: A ğırlıklı Hareketli Ortalama a ğırlıklarını belirleyen çözücü parametreleri. Üstel Düzleme ÜD tekni ği ile t+1 döneminin öngörülen zaman serisi değeri ( 1 t Y ˆ + ), a şa ğıdaki ifade ile hesaplanır. () t 1 t Y ˆ 1 Y ˆ ? ? - + = + t Y Bu ifadeye göre t+1. dönemin öngörülen de ğeri, bir önceki dönemin gerçekle şen ( t Y ) ve öngörülen ( t Y ˆ ) değerlerinin ? ile a ğırlıklandırılmı ş toplamlarına e şittir. Düzleme sabiti olarak adlandırılan ? , 0 ile 1 arasında bir de ğer alır. ? ’ya 1’e yakın bir de ğer atanması son veriye a ğırlık verirken, 0’a yakın bir de ğer atanması daha eski veriye daha çok a ğırlık verilmesi anlamına gelmektedir. Dikkat edilirse 1 t Y ˆ + hesaplanırken t Y ˆ de ğeri kullanılmaktadır. Bu döngüsel yapı nedeniyle, 1 t Y ˆ + hesaplanırken aslında tüm geçmi ş veri giderek azalan a ğırlıklarla öngörüye dahil edilmektedir. ()() () n t n t t t Y Y Y Y - - - + - + + - + - + = ? ? ? ? ? ? ? 1 ... 1 1 Y ˆ 2 2 1 1 t Örnek 2.3. Şekil 2.6’da önceki kısımdaki Medimedi hastanesi problemi için ÜD modeli kurulmu ştur. Modeldeki D29 hücresinde ? gösterilmi ştir. ÜD modeli do ğrultusunda 21. dönem hasta talebi öngörüsü; () 20 20 21 Y ˆ 1 Y ˆ ? ? - + = Y () 00.80 2 1 25 . 0 1 1095 25 . 0 Y ˆ 21 · - + · = 64 . 1174 Y ˆ 21 = olarak hesaplanmı ştır. 42 C D E G H I J K L 4 ÜD 5 Dönem Hasta Öngörü 6 1 1082 1082,00 7 2 1301 1082,00 8 3 1140 1136,15 9 4 1220 1137,10 10 5 1026 1157,59 11 6 1109 1125,06 12 7 1070 1121,09 13 8 1323 1108,46 14 9 1253 1161,50 15 10 1240 1184,12 16 11 1394 1197,94 17 12 1209 1246,41 18 13 1263 1237,16 19 14 1283 1243,55 20 15 1043 1253,30 21 16 1164 1201,31 22 17 1130 1192,08 23 18 1307 1176,73 24 19 1176 1208,94 25 20 1095 1200,80 26 21 1174,64 27 28 OHK 29 ? 0,25 12667,08 30 31 Şekil 2.6: Medimedi hastanesi pediatri klini ği ÜD modeli. ÜD modelindeki ? de ğeri karar verici tarafından belirlenebilece ği gibi Çözücü kullanılarak da hesaplanabilir. OHK de ğerini minimize edecek a ğırlıkları bulan modelin parametreleri Şekil 2.7’de gösterilm şitir. OHK do ğrusal olmayan bir ifade olduğu için, burada kurulan model bir do ğrusal olmayan programlama modelidir. Şekil 2.7: ÜD katsayısını belirleyen çözücü parametreleri. 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Hasta Dönem Gerçek Veri Öngörü (ÜD) Formüller: E6: =D6 E7: =$D$29*D6+(1-$D$29)*E6 E7:E26 aralı ğına kopyalanacak E29: =SUMXMY2(D6:D25;E6:E25)/COUNT(E6:E25) 43 A şa ğıdaki veri için ÜD kullanarak 1-7 dönemler için hasta sayılarını öngörünüz, OHK değerini hesaplayınız. Bir önceki “sıra sizde” sorusunda buldu ğunuz OHK de ğeri ile karşıla ştırınız. Dönem Hasta Tahmin 1 108 2 130 3 114 4 122 5 102 6 110 7 - OHK MEVSİMSELL İK Dura ğan bir zaman serisi verisinde düzenli olarak tekrarlayan bir dalgalanma kalıbı varsa, mevsimsel yapıda bir seri olduğu söylenebilir. Mevsimsel etki toplamsal ya da çarpımsal yapıda olabilir. Bu yapılar Şekil 2.8’de grafiksel olarak gösterilmi ştir. Şekil 2.8: Dura ğan serilerde toplamsal ve çarpımsal yapıda mevsimsellik grafikleri. Toplamsal Mevsimlik Yapıda Durağan Model Toplamsal mevsimlik yapıya sahip dura ğan zaman serilerinde a şa ğıda gösterilen model kullanılır: p-nt nt Y ˆ + + += SE t Bu modelde; () 1-t )1 ( E SYE p tt t ? ? - + - = - () p-t )1 ( S EYS tt t ß ß - + - = Görüldüğü gibi, t+1. dönemin öngörüsünü bulan ifade Et ve St terimlerinden olu şmaktadır. Et, zaman serisinin t dönemindeki düzeyini, St de, t dönemindeki mevsimsel faktörü göstermektedir. ? ve ß , 0 ile 1 arasında de ğer alan sabitlerdir. p ise bulunulan mevsimsel dönemi gösteren sabittir. p de ğeri haftalık veri için 7, aylık veri için 12, üç aylık veri için de 4 olarak alınır. A şa ğıda verilen örnek ile toplamsal mevsimlik yapıya sahip dura ğan zaman serileri uygulaması yapılmı ştır. Örnek 2.4. Medimedi hastanesinin finans müdürü 2009-2012 arası üçer aylık gelir verisini kullanarak 2013 yılı için üçer aylık gelir öngörüsünde bulunmak istemektedir. Geçmi ş verinin grafi ğini inceledi ğinde mevsimsel bir dalgalanma farkederek toplamsal mevsimsel yapıda dura ğan modeli kullanmaya karar vermi ştir. Geçmi ş gelir verisi ve kurulan model Şekil 2.9’da görülmektedir. 44 B C D E F G H 2 Mevsimlik 3 N Yıl Mevsim Gelir Düzey Etki Öngörü 4 1 2009 İlkbahar 3102 3431 -329 5 2 Yaz 3690 3431 259 6 3 Sonbahar 3084 3431 -347 7 4 Kı ş 3848 3431 417 8 5 2010 İlkbahar 3461 3474 -74 3102 9 6 Yaz 4176 3526 573 3733 10 7 Sonbahar 3371 3549 -211 3179 11 8 Kı ş 3546 3499 119 3966 12 9 2011 İlkbahar 3254 3479 -195 3425 13 10 Yaz 4137 3489 633 4052 14 11 Sonbahar 3053 3462 -370 3278 15 12 Kı ş 3522 3455 77 3582 16 13 2012 İlkbahar 3244 3453 -207 3260 17 14 Yaz 4101 3455 644 4087 18 15 Sonbahar 3017 3447 -418 3085 19 16 Kı ş 3499 3444 59 3524 20 17 2013 İlkbahar 3237 21 18 Yaz 4088 22 19 Sonbahar 3026 23 20 Kı ş 3503 24 a 0,12 52893 25 b 0,80 OHK Şekil 2.9: Medimedi hastanesi gelir tahmini (Toplamsal Mevsimlik Yapıda Dura ğan Model). Modelin C, D ve E sütunlarında dönemler ve bu dönemlerdeki geçmi ş gelirler görülmektedir. F sütununda düzey, G sütununda mevsimlik etki hesaplanmı ştır. Bu iki sütun kullanılarak H sütununda öngörüler elde edilmiştir. Şekil 2.10’da formüller ve hasta talebi ile öngörülerin grafi ği görülmektedir. Şekil 2.10: Modelde kullanılan formüller ve hasta talebi ile ilgili öngörülerin grafi ği. Formüller: F4: =AVERAGE($E$4:$E$7) F4:F7 aralı ğına kopyalanacak F8: =$C$24*(E8-G4)+(1-$C$24)*F7 F8:F19 aralı ğına kopyalanacak G4: =E4-F4 G4:G7 aralı ğına kopyalanacak G8: =$C$25*(E8-F8)+(1-$C$25)*G4 G8:G19 aralı ğına kopyalanacak H8: =F7+G4 H8:H19 aralı ğına kopyalanacak H20: =$F$19+G16 H20:H23 aralı ğına kopyalanacak H24: =SUMXMY2(H8:H19;E8:E19)/COUNT(H8:H19) 45 Modeldeki ? ve ß de ğerleri karar verici tarafından belirlenebilece ği gibi Çözücü kullanılarak da hesaplanabilir. OHK de ğerini minimize edecek a ğırlıkları bulan modelin parametreleri Şekil 2.11’de gösterilmiştir. Bu değerler sırasıyla 0.12 ve 0.80 olarak OHK’yı minimize edecek şekilde hesaplanmı ştır. OHK do ğrusal olmayan bir ifade oldu ğu için, burada kurulan model bir do ğrusal olmayan programlama modelidir. Şekil 2.11: Toplamsal mevsimlik yapıda durağan model için çözücü parametreleri. Toplamsal mevsimlik yapıda durağan model do ğrultusunda 2013 yılı üçer aylık hasta talebi öngörüleri a şa ğıdaki gibi hesaplanmı ştır: 3237 ) 207 ( 3444 Y ˆ 16 19 20 = - + = + = S E 4088 644 3444 Y ˆ 17 19 21 = + = + = S E 3026 ) 418 ( 3444 Y ˆ 18 19 22 = - + = + = S E 3503 59 3444 Y ˆ 19 19 23 = + = + = S E Çarpımsal Mevsimlik Yapıda Durağan Model Çarpımsal mevsimlik yapıya sahip dura ğan zaman serilerinde ise a şa ğıda gösterilen model kullanılır: p - n t n t Y ˆ + + × = S E t Bu modelde; () 1 - t ) 1 ( / E S Y E p t t t ? ? - + = - () p - t ) 1 ( / S E Y S t t t ß ß - + = Bu modelde de t+1. dönemin öngörüsünü bulan ifade Et ve St terimlerinden olu şmaktadır. Et, zaman serisinin t dönemindeki düzeyini, St de, t dönemindeki mevsimsel faktörü göstermektedir. ? ve ß , 0 ile 1 arasında de ğer alan sabitlerdir. p ise bulunulan mevsimsel dönemi gösteren sabittir. 46 TREND MODELLERİ Zaman serisi verisi içinde belli bir dönem boyunca artan ya da azalan bir yön gözlemleniyorsa, seri durağan de ğildir ve bir trende sahiptir. Bu kısımda durağan olmayan zaman serileri çin uygun öngörü teknikleri açıklanacaktır. Doğrusal Regresyon Modeli Do ğrusal trende sahip bir zaman serisinin regresyon modeli şu şekildedir: t t ? ß ß + · + = 1 0 t Y ˆ Bu regresyon e şitli ğinde ba ğımlı de ği şken olan t Y ˆ , t ba ğımsız de ği şkeninin do ğrusal bir fonksiyonudur. Fonksiyondaki t · + 1 0 ß ß ifadesi, zaman serisinin sistematik hareketini, t ? ise sistematik olmayan hareketini göstermektedir. İdeal durumda t ? ’nin ortalama de ğerinin 0 olması beklenir. A şa ğıda bir örnek üzerinde do ğrusal regresyon modeli uygulanmı ştır. Örnek 2.5. Medimedi hastanesinin finans müdürü 2009-2012 arası üçer aylık gelir verisini kullanarak 2013 yılı için üçer aylık gelir tahmini yapmak istemektedir. Geçmi ş verinin grafi ğini inceledi ğinde yükselen trendi farkederek do ğrusal regresyon modeli kullanmaya karar vermi ştir. Geçmi ş gelir verisi ve kurulan model Şekil 2.13’de görülmektedir. Modeldeki do ğrunun denklemi, Excel’in Regresyon komutu kullanılarak elde edilebilir. Şekil 2.12’de regresyon penceresi ve Excel tablosu üzerinde regresyon sonuçları görülmektedir. Şekil 2.12: Excel’de regresyon analizi. Bu sonuçlara göre regresyon denklemi: t · + = 165 . 5954 73 . 32167 Y ˆ t olarak bulunmu ştur. 47 B C D E F G H I J K 2 n Yıl Mevsim Gelir Trend 3 1 2009 İlkbahar 40307 38121,89 4 2 Yaz 52186 44076,05 5 3 Sonbahar 60597 50030,22 6 4 Kı ş 60061 55984,38 7 5 2010 İlkbahar 46159 61938,55 8 6 Yaz 68129 67892,71 9 7 Sonbahar 75879 73846,88 10 8 Kı ş 78617 79801,04 11 9 2011 İlkbahar 67055 85755,21 12 10 Yaz 88044 91709,37 13 11 Sonbahar 103515 97663,54 14 12 Kı ş 106996 103617,7 15 13 2012 İlkbahar 84587 109571,9 16 14 Yaz 115980 115526 17 15 Sonbahar 135442 121480,2 18 16 Kı ş 140896 127434,4 19 17 2013 İlkbahar 133388,5 20 18 Yaz 139342,7 21 19 Sonbahar 145296,9 22 20 Kı ş 151251 Şekil 2.13: Medimedi hastanesi gelir tahmini modeli (Do ğrusal Regresyon Modeli). Bu modeldeki öngörüler Excel’in E ğilim ( İngilizce Excel’de Trend) fonksiyonu ile elde edilmi ştir. Öngörüler regresyon denkleminde ise şu şekilde elde edilebilir: 50 . 133388 17 165 . 5954 73 . 32167 Y ˆ 17 = · + = 70 . 139342 18 165 . 5954 73 . 32167 Y ˆ 18 = · + = 90 . 145296 19 165 . 5954 73 . 32167 Y ˆ 19 = · + = 151251 20 165 . 5954 73 . 32167 Y ˆ 20 = · + = Kuadratik Regresyon Modeli Kuadratik trende sahip bir zaman serisinin regresyon modeli şu şekildedir: t t t ? ß ß ß + · + · + = 2 2 1 0 t Y ˆ Bu regresyon e şitli ğinde ba ğımlı de ği şken olan t Y ˆ , t ba ğımsız de ği şkeninin kuadratik bir fonksiyonudur. Fonksiyondaki 2 2 1 0 t t · + · + ß ß ß ifadesi, zaman serisinin sistematik harketini, t ? ise sistematik olmayan hareketini göstermektedir. Örnek 2.6. Medimedi hastanesinin finans müdürü 2009-2012 arası üçer aylık gelir verisini kullanarak 2013 yılı için üçer aylık gelir öngörüsünde bulunmak istemektedir. Geçmi ş verinin grafi ğini inceledi ğinde yükselen trendi farkederek kuadratik regresyon modeli kullanmaya karar vermi ştir. Geçmi ş gelir verisi ve kurulan model Şekil 2.15’de görülmektedir. Modeldeki do ğrunun denklemi, Excel’in Regresyon komutu kullanılarak elde edilebilir. Şekil 2.14’de regresyon penceresi ve Excel tablosu üzerinde regresyon sonuçları görülmektedir. 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Gelir Dönem Gerçek Veri Formüller: F3: =EĞİL İM($E$3:$E$18;$B$3:$B$18;B3) F3 :F22 aralı ğına kopyalanacak 48 Şekil 2.14: Excel’de kuadratik regresyon analizi. Excel’in Regression komutu kullanılarak elde edilen kuadratik regresyon denklemi a şa ğıdadır: 2 t 13 . 280 86 . 1191 64 . 46454 Y ˆ t t+ · + = olarak bulunmu ştur. Bu denklem kullanılarak 17,18,19, ve 20. dönem öngörüleri t yerine dönem numarası konularak bulunur. Şekil 2.15’de kurulan model ile yapılan tahminler sonucu 2013 yılı hasta talebi tahminleri G19:G22 aralı ğında görülmektedir. B C D E F G H 2 n n 2 Yıl Mevsim Hasta Trend 3 1 1 2009 İlkbahar 40307 47926,63 4 2 4 Yaz 52186 49958,9 5 3 9 Sonbahar 60597 52551,44 6 4 16 Kı ş 60061 55704,25 7 5 25 2010 İlkbahar 46159 59417,33 8 6 36 Yaz 68129 63690,68 9 7 49 Sonbahar 75879 68524,3 10 8 64 Kı ş 78617 73918,2 11 9 81 2011 İlkbahar 67055 79872,36 12 10 100 Yaz 88044 86386,8 13 11 121 Sonbahar 103515 93461,5 14 12 144 Kı ş 106996 101096,5 15 13 169 2012 İlkbahar 84587 109291,7 16 14 196 Yaz 115980 118047,3 17 15 225 Sonbahar 135442 127363 18 16 256 Kı ş 140896 137239,1 19 17 289 2013 İlkbahar 147675,4 20 18 324 Yaz 158672 21 19 361 Sonbahar 170228,9 22 20 400 Kı ş 182346,1 49 Şekil 2.15: Medimedi hastanesi gelir tahmini modeli (Kuadratik Regresyon Modeli). Holt Metodu Holt metodu doğrusal trend izleyen zaman serilerinde kullanılan tekniklerden biridir. Teknik, çift ÜD tekni ği olarak da adlandırılmaktadır. Holt metodu ile öngörüde a şa ğıdaki model kullanılır: t n t Y ˆ nT E t + = + Bu modelde; ) )( 1 ( 1 1 - t - + - + = t t t T E Y E ? ? () 1 - t 1 ) 1 ( T E E T t t t ß ß - + - = - Görüldü ğü gibi t+1. dönemin öngörüsünü bulan ifade Et ve Tt terimlerinden olu şmaktadır. Et, zaman serisinin t dönemindeki beklenen düzeyini, Tt de, t dönemindeki beklenen trendi göstermektedir. ? ve ß , 0 ile 1 arasında de ğer alan sabitlerdir. Örnek 2.7. Medimedi hastanesinin finans müdürü 2009-2012 arası üçer aylık gelir verisini kullanarak 2013 yılı için Holt metodunu kullanarak üçer aylık gelir öngörüsünde bulunmak istemektedir. Hastanenin geçmi ş gelir verisi ve kurulan model Şekil 2.16’da görülmektedir. B C D E F G H 2 n Yıl Mevsim Gelir Düzey Trend Öngörü 3 1 2009 1 40307 40307 0 4 2 2 52186 41753 1446 40307 5 3 3 60597 45317 3564 43199 6 4 4 60061 50242 4925 48881 7 5 2010 1 46159 54071 3828 55167 8 6 2 68129 59145 5074 57899 9 7 3 75879 65638 6493 64218 10 8 4 78617 72921 7283 72131 11 9 2011 1 67055 78603 5682 80204 12 10 2 88044 84743 6140 84285 13 11 3 103515 92420 7678 90883 14 12 4 106996 100938 8517 100098 15 13 2012 1 84587 106428 5490 109455 16 14 2 115980 112412 5984 111918 17 15 3 135442 120472 8060 118397 18 16 4 140896 130037 9565 128531 19 17 2013 1 139601 20 18 2 149166 21 19 3 158731 22 20 4 168296 23 a 0,12174 160342797 24 b 1 OHK 25 Şekil 2.16: Medimedi hastanesi gelir öngörüsü modeli (Holt Metodu). Formüller: G3: =EĞİL İM($F$3:$F$18;$B$3:$C$18;B3:C3) G3 :G22 aralı ğına kopyalanacak 50 Modelin C, D ve E sütunlarında dönemler ve bu dönemlerdeki geçmi ş gelirler görülmektedir. F sütununda düzey, G sütununda da trend etkisi hesaplanmı ştır. Bu iki sütun kullanılarak H sütununda öngörüler elde edilmi ştir. Şekil 2.17’da modelde kullanılan formüller ve gelir verisi ile öngörülerin grafi ği görülmektedir. Şekil 2.17: Modelde kullanılan formüller ve satı ş verisi ile öngörülerin grafi ği. Modeldeki ? ve ß de ğerleri karar verici tarafından belirlenebilece ği gibi Çözücü kullanılarak da hesaplanabilir. OHK de ğerini minimize edecek a ğırlıkları bulan modelin parametreleri Şekil 2.18’de gösterilmi ştir. Bu değerler sırasıyla 0.1217 ve 1 olarak OHK’yı minimize edecek şekilde hesaplanmı ştır. OHK do ğrusal olmayan bir ifade olduğu için, burada kurulan model bir do ğrusal olmayan programlama modelidir. Şekil 2.18: Holt Metodu için çözücü parametreleri. 17-20. dönemler için öngörüler şu şekilde hesaplanmı ştır: 139601 9565 1 130037 1 Y ˆ 16 16 17 = · + = · + = T E 149166 9565 2 130037 2 Y ˆ 16 16 18 = · + = · + = T E 0 50000 100000 150000 200000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Gelir Dönem Gerçek Veri Öngörü Formüller: F3: =E3 F4: =$D$23*E4+(1-$D$23)*(F3+G3) F4:F18 aralı ğına kopyalanacak G3: =E3-F3 G4: =$D$24*(F4-F3)+(1-$D$24)*G3 G4:G18 aralı ğına kopyalanacak H4: =F3+G3 H4:H18 aralı ğına kopyalanacak H19: =$F$18+D19*$G$18 H19:H22 aralı ğına kopyalanacak H23: =SUMXMY2(H4:H18;E4:E18)/COUNT(H4:H18) 51 158731 9565 3 130037 3 Y ˆ 16 16 19 = · + = · + = T E 168296 9565 4 130037 4 Y ˆ 16 16 20 = · + = · + = T E Holt-Winter Metodu (Toplamsal Mevsimlik Yapıda) Dura ğan olmayan zaman serileri, trend bile şeninin yanısıra mevsimsel faktörleri de içeriyorsa Holt- Winter metodu ile öngörü yapılabilir. Önceki kısımlardan hatırlanaca ğı gibi, mevsimsel etki toplamsal ya da çarpımsal yapıda olabilir. Toplamsal mevsimlik yapıda Holt-Winter metodu ile öngörüde aşa ğıdaki model kullanılır: p n t t S nT E ˆ - + + + + = Bu modelde; ) T E )( 1 ( ) S Y ( E 1 t p t t t - - + ? - + - ? = () T ) 1 ( E E T 1 t t t ß - + - ß = - () S ) 1 ( E Y S t t t ? - + - ? = Görüldü ğü gibi, t+1. dönemin öngörüsünü bulan ifade Et, Tt ve St terimlerinden olu şmaktadır. Et, zaman serisinin t dönemindeki beklenen düzeyini, Tt, t dönemindeki beklenen trendi, St de, mevsimlik etkiyi göstermektedir. ? , ß ve ? , 0 ile 1 arasında de ğer alan sabitlerdir. Örnek 2.8. Medimedi hastanesinin finans müdürü 2009-2012 arası üçer aylık gelir verisini kullanarak 2013 yılı için Holt-Winter metodunu kullanarak üçer aylık gelir tahmini yapmak istemektedir. Geçmi ş gelir verisi ve kurulan model Şekil 2.19’da görülmektedir. B C D E F G H I J 2 n Yıl Mevsim Hasta Düzey Trend Etki Öngörü 3 1 2009 1 40307 -12981 4 2 2 52186 -1102 5 3 3 60597 7309 6 4 4 60061 53288 0 6773 7 5 2010 1 46159 54774 1486 -8615 40307 8 6 2 68129 59555 4781 8574 55159 9 7 3 75879 65411 5856 10468 71645 10 8 4 78617 71414 6003 7203 78041 11 9 2011 1 67055 76973 5559 -9918 68801 12 10 2 88044 81754 4781 6290 91106 13 11 3 103515 88190 6435 15325 97003 14 12 4 106996 95938 7748 11058 101828 15 13 2012 1 84587 101353,6 5416,1 -16766,6 93767,6 16 14 2 115980 107511,6 6157,9 8468,4 113059,5 17 15 3 135442 115307,0 7795,5 20135,0 128994,9 18 16 4 140896 124813,2 9506,2 16082,8 134161,0 19 17 2013 1 117552,8 20 18 2 152294,0 21 19 3 173466,7 22 20 4 178920,7 23 40166907 24 a 0,254 OHK 25 b 1 26 g 1 27 Şekil 2.19: Medimedi hastanesi gelir öngörüsü modeli (Holt Metodu). 52 Modelin C, D ve E sütunlarında dönemler ve bu dönemlerdeki geçmi ş gelirler görülmektedir. F sütununda düzey, G sütununda trend, H sütununda da mevsimsel etki hesaplanmı ştır. Bu üç sütun kullanılarak I sütununda öngörüler elde edilmi ştir. Şekil 2.20’de modelde kullanılan formüller ve gelir verisi ile öngörülerin grafi ği görülmektedir. Şekil 2.20: Modelde kullanılan formüller ve satı ş verisi ile öngörülerin grafi ği. Modeldeki ? , ß ve ? de ğerleri karar verici tarafından belirlenebilece ği gibi Çözücü kullanılarak da hesaplanabilir. OHK de ğerini minimize edecek a ğırlıkları bulan modelin parametreleri Şekil 2.21’de gösterilmiştir. Bu değerler sırasıyla 0.254, 1 ve 1 olarak OHK’yı minimize edecek şekilde hesaplanmı ştır. OHK do ğrusal olmayan bir ifade oldu ğu için, burada kurulan model bir do ğrusal olmayan programlama modelidir. Şekil 2.21: Holt Metodu için çözücü parametreleri. Formüller: F6: =E6-H6 F7: =$E$24*(E7-H3)+(1-$E$24)*(F6+G6) F7:F18 aralı ğına kopyalanacak G7: =$E$25*(F7-F6)+(1-$E$25)*G6 G7:G18 aralı ğına kopyalanacak H3: =E3-AVERAGEA($E$3:$E$6) H3:H6 aralı ğına kopyalanacak H7: =$E$26*(E7-F7)+(1-$E$26)*H3 H7:H18 aralı ğına kopyalanacak I7: =F6+G6+H3 I7:I18 aralı ğına kopyalanacak I19: =$F$18+D19*$G$18+H15 I19:I22 aralı ğına kopyalanacak I23: =SUMXMY2(I7:I18;E7:E18)/COUNT(I7:I18) 53 17-20. dönemler için öngörüler şu şekilde hesaplanmı ştır: 8 . 117552 ) 6 . 16766 ( 2 . 9506 1 2 . 124813 1 Y ˆ 13 16 16 17 = - + · + = + · + = S T E 152294 ) 4 . 8468 2 . 9506 2 2 . 124813 2 Y ˆ 14 16 16 18 = + · + = + · + = S T E 7 . 173466 20135 2 . 9506 3 2 . 124813 3 Y ˆ 15 16 16 19 = + · + = + · + = S T E 7 . 178920 82 . 16082 2 . 9506 4 2 . 124813 4 Y ˆ 13 16 16 20 = + · + = + · + = S T E Holt-Winter Metodu (Çarpımsal Mevsimlik Yapıda) Dura ğan olmayan zaman serilerinde, trend bile şeninin yanısıra çarpımsal mevsimsel faktörleri de içeren Holt-Winter metodu ile öngörüde a şa ğıdaki model kullanılır: p n t t S nT E - + + + = ) ( Y ˆ t n t Bu modelde; ) )( 1 ( ) / ( 1 1 - t - - + - + = t p t t t T E S Y E ? ? () 1 - t 1 ) 1 ( T E E T t t t ß ß - + - = - () p - t ) 1 ( / S E Y S t t t ? ? - + = Görüldü ğü gibi, t+1. dönemin öngörüsünü bulan ifade Et, Tt ve St terimlerinden olu şmaktadır. Et, zaman serisinin t dönemindeki beklenen düzeyini, Tt, t dönemindeki beklenen trendi, St de, mevsimlik etkiyi göstermektedir. ? , ß ve ? , 0 ile 1 arasında de ğer alan sabitlerdir. 54 Özet Zaman serisi, bir deği şkenin zaman içerisinde aldı ğı de ğerlerin kümesi olarak tanımlanabilir. Bir sağlık i şletmesinin geçmi ş dönemlerdeki hasta sayıları, gelirleri, tıbbi personel sayıları zaman serilerine örnek olarak verilebilir. Sa ğlık i şletmeleri zaman serilerini kullanarak gelecek ile ilgili öngörülerde bulunurlar. Zaman serisi analizinde, gelecek de ğeri tahmin etmek için de ği şkenin geçmi şte aldı ğı de ğerlerden yararlanılır. Sa ğlık hizmetlerinin her alanında gelece ğe yönelik tahminler yapılırken öngörü tekniklerinden yararlanılmaktadır. Bu uygulama alanlarına örnek olarak a şa ğıdaki problem alanları verilebilir: • Hasta talebi öngörüsü, • Gelir-gider öngörüleri, • Sa ğlık personeli gereksinimi öngörüleri, • Kullanılacak malzeme öngörüleri, • Ameliyathane gereksinimi öngörüleri, • Yatak gereksinimi öngörüleri, • Pazar payı öngörüleri. Zaman serisi incelenirken öncelikle verinin a şa ğıda tanımlanan özellikleri gözden geçirilmelidir. • Dura ğan veri: Zaman serisini olu şturan de ği şkenin zaman içinde bir yönde anlamlı bir hareketi yoktur. • Dura ğan olmayan veri: Zaman serisini olu şturan de ği şkenin zaman içinde yukarı yada a şa ğı yönde anlamlı bir hareketi bulunmaktadır. • Mevsimsel veri: Zaman serisini olu şturan de ği şken zaman içinde belirli aralıklarda tekrarlayan bir kalıp izlemektedir. Farklı teknikleri karşıla ştırmak için çeşitli performans ölçütleri geli ştirilmi ştir. Bunlar; • Ortalama mutlak sapma (OMS) • Ortalama mutlak yüzde hata (OMYH) • Ortalama hata karesi (OHK) • Ortalama hata karesi kökü (OHKK) Zaman serisini olu şturan de ği şkenin zaman içinde belli bir yönde anlamlı bir hareketi yoksa, seri durağan bir yapıdadır ve dura ğan yapıyı açıklayan modeller ile analiz edilir. Hareketli ortalama, a ğırlıklı hareketli ortalama ve üstel düzleme teknikleri dura ğan veri için kullanılabilecek tekniklerdendir. Dura ğan bir zaman serisi verisinde düzenli olarak tekrarlayan bir dalgalanma kalıbı varsa, mevsimsel yapıda bir seri olduğu söylenebilir. Mevsimsel etki toplamsal ya da çarpımsal yapıda olabilir. Toplamsal mevsimlik yapıda durağan model ve çarpımsal mevsimlik yapıda dura ğan model dura ğan mevsimsel veri için kullanılabilecek tekniklerdendir. Zaman serisi verisi içinde belli bir dönem boyunca artan ya da azalan bir yön gözlemleniyorsa, seri dura ğan de ğildir ve bir trende sahiptir. Do ğrusal regresyon modeli, kuadratik regresyon modeli, Holt metodu ve Holt-Winter metodu trendli veri için kullanılabilecek tekniklerdendir. Holt metodu do ğrusal trend izleyen zaman serilerinde kullanılan tekniklerdendir. Teknik, çift ÜD tekni ği olarak da adlandırılmaktadır. Dura ğan olmayan zaman serileri, trend bile şeninin yanısıra mevsimsel faktörleri de içeriyorsa Holt-Winter metodu ile öngörü yapılabilir. 55 Kendimizi Sınayalım 1-10. soruları bu metni kullanarak cevaplayacaksınız. Bir klini ğin altı dönem boyunca üçer aylık hasta sayıları a şa ğıda verilmi ştir. Dönem Mevsim Hasta Sayısı (bin) Öngörü 1 İkbahar 109 2 Yaz 110 3 Sonbahar 103 4 Kı ş 170 5 İkbahar 81 6 Yaz 130 7 Sonbahar 110 8 Kı ş 95 9 İkbahar OHK 1. 3 günlük hareketli ortalamalar kullanılarak yapılan tahmine göre 9. dönem hasta sayısı ne kadardır? a. 127,67 b. 111,67 c. 118,00 d. 127,00 e. 107,00 2. 3 günlük hareketli ortalamalar kullanılarak yapılan öngörüye göre OHK kaçtır? a. 770.25 b. 1036.78 c. 1336.38 d. 1500.25 e. 507.20 3. Üstel düzleme yöntemi kullanılarak yapılan öngörüye göre 9. dönem hasta sayısı ne kadardır? ( ? de ğerini 0.5 alınız) a. 104.95 b. 125.68 c. 74.37 d. 126.10 e. 90.05 4. Üstel düzleme yöntemi kullanılarak yapılan öngörüye göre göre OHK kaçtır? ( ? de ğerini 0.5 alınız) a. 890.75 b. 1034.95 c. 775.68 d. 1210.45 e. 550.60 5. Holt metodu kullanılarak yapılan öngörüye göre 9. dönem hasta sayısı ne kadardır? (? ve ß de ğerlerini 0.5 alınız) a. 108 b. 98 c. 88 d. 78 e. 68 6. Holt metodu kullanılarak yapılan öngörüye göre OHK kaçtır? ( ? ve ß de ğerlerini 0.5 alınız) a. 1453 b. 1253 c. 1053 d. 853 e. 653 7. Do ğrusal regresyon modeline göre 9. dönem hasta sayısı ne kadardır? a. 127.8 b. 117.8 c. 107.8 d. 97.8 e. 87.8 8. Kuadratik regresyon modeline göre 9. dönem hasta sayısı ne kadardır? a. 40.5 b. 50.5 c. 60.5 d. 70.5 e. 80.5 56 9. Toplamsal mevsimlik yapıda durağan modele göre 9. dönem hasta sayısı ne kadardır? ( ? ve ß de ğerlerini 0.5 alınız) a. 107 b. 97 c. 87 d. 77 e. 67 10. Holt-Winter metoduna göre 9. dönem hasta sayısı ne kadardır? ( ?, ß ve ? de ğerlerini 0.5 alınız) a. 42.4 b. 52.4 c. 62.4 d. 72.4 e. 82.4 Kendimizi Sınayalım Yanıt Anahtarı 1. b Yanıtınız yanlı ş ise “Hareketli Ortalama” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 2. c Yanıtınız yanlı ş ise “Hareketli Ortalama” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 3. a Yanıtınız yanlı ş ise “Üstel Düzleme” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 4. b Yanıtınız yanlı ş ise “Üstel Düzleme” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 5. b Yanıtınız yanlı ş ise “Holt Metodu” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 6. a Yanıtınız yanlı ş ise “Holt Metodu” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 7. c Yanıtınız yanlı ş ise “Do ğrusal Regresyon” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 8. e Yanıtınız yanlı ş ise “Kuadratik Regresyon” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 9. e Yanıtınız yanlı ş ise “Toplamsal Mevsimlik Yapıda Dura ğan Model” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 10. b Yanıtınız yanlı ş ise “Holt-Winter Metodu” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. Sıra Sizde Yanıt Anahtarı Sıra Sizde 1 Dönem Hasta Tahmin 1 108 - 2 130 - 3 114 119,00 4 122 122,00 5 102 118,00 6 110 112,00 7 - 106,00 OHK 71.25 Sıra Sizde 2 Dönem Hasta Tahmin 1 108 108,00 2 130 108,00 3 114 119,00 4 122 116,50 5 102 119,25 6 110 110,63 7 - 110,31 OHK 139.53 Yararlanılan Kaynaklar Abdur, R. ve Ana, V. (2010). Operations Research in Healthcare: A Survey. International Trans. in Operations Research, 18: 1–31. Ulucan, A. (2007). Yöneylem Araştırması. Ankara: Siyasal Kitabevi. 58 Amaçlarımız Bu üniteyi tamamladıktan sonra; Sa ğlık sektöründe planlama ile ilgili problemleri açıklayabilecek, Maksimizasyon ve minimizasyon tipindeki do ğrusal programlama modellerini formüle edebi- lecek, Grafik çözüm metodunu kullanabilecek, Hesap tablosu üzerinde model kurulumu ve çözümlerini gösterebilecek, Duyarlılık analizini yapabilecek, Tamsayılı do ğrusal programlama modellerinin olu şturulması ve çözümünü açıklayabilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Do ğrusal Programlama Karar De ği şkenleri Amaç Fonksiyonu K ısıtlar İndirgenmi ş Maliyet Gölge Fiyat Temel Çözüm Ba ğlayıcı Kısıt Duyarlılık Analizi Tamsayılı Programlama İçindekiler Giri ş Do ğrusal Programlama Modellerinin Formülasyonu Do ğrusal Programlama Modellerinin Grafik Çözüm Yöntemi ile Çözülmesi Do ğrusal Programlama Modellerinin Hesap Tablosu Üzerinde Modellenmesi ve Çözülmesi Duyarlılık Analizi Tamsayılı Do ğrusal Programlama 3 59 G İR İŞ Bir toplumda azami düzeyde sa ğlık hizmeti sunacak şekilde, sa ğlık kurumlarının yerleri nasıl belirlenmelidir? Hastanın bulundu ğu yerden hastaneye gidilecek mesafeyi belirli bir düzeyin altında tutacak şekilde kaç tane ambulans merkezi belirlenmelidir? Bir kanser hastasının tedavi süresini asgariye çekecek şekilde radyasyon tedavisi nasıl planlanmalıdır? Bir acil serviste, en kötü durumda dahi yeterli hizmet düzeyini sa ğlayacak şekilde hem şire planlaması nasıl yapılmalıdır? Bir diyetisyen hastaların gerekli vitamin ve mineralleri alması için hangi besinlerden ne kadar tüketmesi gerekti ğini nasıl planlamalıdır? Bu ve benzeri sorular, kıt kaynakları gözönünde bulundurarak, sa ğlık sektörüne aktarılan kararlarda maliyet minimizasyonu ya da fayda maksimizasyonu elde etmenin ne kadar hayati oldu ğunu göstermektedir. Kıt kaynakların ilgilenilen amacı optimize edecek şekilde da ğıtılması olarak da tanımlanan doğrusal programlama, yukarıdaki problemlerin çözümünde destek sa ğlayacak güçlü bir planlama aracıdır. Do ğrusal programlama yakla şımının sağlık sektöründe, planlama sürecinden gündelik faaliyetlere kadar her alanda geli ştirilen çok sayıda uygulama alanı vardır. Bunlar şu şekilde listelenebilir: • Hedef kitleyi kapsayacak hastane yer seçimi, • Hastalara etkili hizmet edecek şekilde acil servis hizmetlerinin tasarımı, • Sa ğlık hizmetleri kapasite planlaması, • Poliklinik hizmetleri randevu planlaması, • Ameliyathane ve yatakların hastalara/kliniklere da ğıtılması, • Sa ğlık personeli vardiya planlaması, • Tedarik kararları optimizasyonu, • Te şhis ve tedavi süreçlerinde karar destek sistemleri kurulumu, • Koruyucu sa ğlık hizmetleri ile ilgili kararların optimizasyonu. Sa ğlık sektörü planlama problemlerinin büyük bir kısmı elde yeterli veri varsa doğrusal programlama formunda modellenebilir ya da varsayımlarla basitleştirilerek do ğrusal programlama formunda modellenecek hale getirilebilir. Son yirmi yıl içinde bilişim teknolojisindeki geli şmelere paralel olarak doğrusal programlama da çok yaygın kullanılmaya ba şlanmı ştır. Birçok sağlık kuruluşu stratejik kararlarından günlük faaliyetlerle ilgili kararlarına kadar geni ş bir yelpazede doğrusal programlamayı kullanmaktadır. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELLER İN İN FORMÜLASYONU Do ğrusal programlama yakla şımı, do ğrusal bir yapıdaki kısıtları ihlal etmeden, doğrusal formdaki amaç fonksiyonunu en iyilemeyi (maksimize yada minimize etmeyi) sa ğlayan, bu en iyileme sonucunda karar de ği şkenlerinin aldıkları de ğerleri bulan bir yaklaşımdır. Her do ğrusal programlama modelinin üç temel bile şeni vardır: karar de ği şkenleri, amaç fonksiyonu ve kısıtlar. Kısıtlar, < , > yada = i şareti alabilirler. Sağlık Kurumlarında Kaynak Tahsisi, Üretim ve Kapasite Planlamada Doğrusal Programlama ile Modelleme 60 Do ğrusal programlama modelinin standart formu şu şekilde gösterilebilir: Maks./Min. C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 +……+ C n X n Kısıtlar A 11 X 1 + A 12 X 2 + A 13 X 3 +……+ A 1n X n ( ? / ? / =) B 1 A 21 X 1 + A 22 X 2 + A 23 X 3 +...…+ A 2n X n ( ? / ? / =) B 2 ... ( ? / ? / =) ... ( ? / ? / =) ... ( ? / ? / =) A m1 X 1 + A m2 X 2 + A m3 X 3 +..…+ A mn X n ( ? / ? / =) B m X 1 , X 2 , …X n ? 0 Bu gösterimde; X 1 , X 2 , …X n : Karar de ği şkenlerini, C 1 , C 2 ,…C n : Amaç fonksiyonu katsayılarını, A 11 , A 12 ,…A 1n : Teknoloji katsayılarını, B 1 , B 2 ,…B m : Sa ğ taraf parametrelerini (gereksinimler, kapasiteler) ifade etmek için kullanılmı ştır. Sa ğlık sektörü planlama problemlerinin do ğrusal programlama formunda modellenme süreci, bu kısımda iki örnek üzerinde sunulacaktır. Maksimizasyon Uygulaması Hematom şirketi kan transfüzyonlarında kullanılan üç farklı modelde transfüzyon kitleri üretmektedir; Standart, Plazma ve Trombo. Her bir kitin üretimi için sırasıyla iki ayrı üretim sürecinde i şlem gerekmektedir. İlk süreçte parçaların montajı yapılmakta, ikinci süreçte ise kalite kontrol ve ambalajlama tamamlanmaktadır. İlk süreç haftada 12.000 dakika, ikinci süreç de haftada 14.000 dakika kapasiteye sahiptir. Kitlerin üretimi için süreçlerde harcanan süre (dakika) Tablo 3.1’de verilmi ştir. Tablo 3.1: Transfüzyon kitleri için süreçlerde harcanan süreler (dakika). Ürün Modelleri Standart Plazma Trombo Süreç 1 16 8 10 2 2 10 8 Di ğer yandan depolama alanı kısıtı nedeniyle haftada 2.000’den fazla kit üretilememektedir. Şirket yaptı ğı bir anla şma nedeniyle her hafta en az 250 adet Standart kit üretmek zorundadır. Hematom üretti ği tüm transfüzyon kitlerini satabilmekte herbir kitten a şa ğıdaki miktarda kâr elde etmektedir. Tablo 3.2: Transfüzyon kitlerinin birim kârları. Ürün Modelleri Standart Plazma Trombo Kâr 60 45 30 Hematom şu anda Standart’dan haftada 750 tane üretmekte, Plazma ve Trombo’dan ise üretmemektedir. Şirket yönetimi şu anki üretim politikalarının iyileştirilme olasılı ğını araştırmaktadır. Hematom haftalık kârını maksimize etmek için herbir üründen kaçar adet üretmelidir? Bu örnekte şirket yönetimi optimal üretim planını elde etmek istemektedir. Bu kararı vermek için ilk olarak, karar de ği şkenleri şu şekilde tanımlanmalıdır: 61 x 1 : Standart modelden her hafta üretilecek miktar x 2 : Plazma modelinden her hafta üretilecek miktar x 3 : Trombo modelinden her hafta üretilecek miktar İkinci a şamada, amaç fonksiyonu olu şturulmalıdır. Bizim örne ğimizde şirketin amacı, haftalık kârını maksimize etmek olarak ifade edilmi ştir. Haftalık kâr her üç ürünün üretilip satılmasından elde edilmektedir. Dolayısıyla, haftalık kâra her bir ürünün katkısı şu şekilde gösterilebilir: 60x 1 : Standart modelden her hafta üretilecek miktarın kâra katkısı ( ) 45x 2 : Plazma modelinden her hafta üretilecek miktarın kâra katkısı ( ) 30x 3 : Trombo modelinden her hafta üretilecek miktarın kâra katkısı ( ) Amaç fonksiyonu ise ürünlerin kâr katkılarının toplamının maksimize edilmesi ile oluşturulur ve şu şekilde gösterilir: Maks. 60x 1 + 45x 2 + 30x 3 Amaç fonksiyonunda, yukarıdaki örnekte de oldu ğu gibi, kâr maksimize edilebilir. Maliyet, süre ya da i şgücü gibi kavramlar için ise minimizasyon şeklinde amaç fonksiyonları da olu şturulabilir. Üçüncü aşamada ise amaca ula şmada engel teşkil edebilecek kısıtlar, matematiksel eşit(siz)likler ifade edilmelidir. Yukarıdaki örnekte, ürünlerin üretilmesi sürecinde kullanılan kaynaklar haftalık kapasiteleri sırasıyla 12.000 ve 14.000 dakika olarak verilmi ştir. Diğer yandan süreç 1’de bir adet Standart model üretmek için on altı dakika, bir adet Plazma modeli üretmek için sekiz dakika ve bir adet Trombo modeli üretmek için on dakika harcamak gerekmektedir. Bu noktada süreç 1’in haftalık kapasitesi bir kısıttır ve matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir: 16x 1 + 8x 2 + 10x 3 < 12.000 Bu ifadenin, de ği şkenlerin alaca ğı de ğere ba ğlı olan sol tarafı , kısıt fonksiyonu olarak adlandırılır. < sembolü kısıtı bir e şitsizlik kısıtı yapar. Süreç kapasitesini gösteren 6.000 sabiti ise sa ğ taraf olarak adlandırılır. Do ğrusal programlama modeli kısıtlarında de ği şkenler eşit(siz)li ğin sol tarafında, sabitler ise sa ğ tarafında gösterilir. Benzer şekilde, süreç 2’de bir adet Standart model üretmek için 2 dakika, bir adet Plazma modeli üretmek için 10 dakika ve bir adet Trombo modeli üretmek için de 8 dakika harcamak gerekmektedir. Süreç 2’nin haftalık kapasite kısıtı da şu şekilde ifade edilir: 2x 1 + 10x 2 + 8x 3 < 14.000 Depolama alanı sınırlaması nedeniyle haftada en fazla 2.000 adet transfüzyon kiti üretilebilece ği de bir kısıttır ve şu şekilde gösterilir. x 1 + x 2 + x 3 < 2.000 Her hafta en az 250 adet Standart transfüzyon kiti üretme kısıtı ise > şeklinde bir e şitsizliktir. x 1 > 250 Herhangi bir modelden negatif sayıda üretim yapılması fiziksel olarak imkansız oldu ğu için, bu durum negatif olamama şartı şeklinde ifade edilmelidir. x 1 > 0, x 2 > 0, x 3 > 0 Yukarıdaki kısıtları ihlal etmeden üretim planını olu şturabilecek sonsuz sayıda çözüm vardır. Bu çözümler uygun çözüm olarak adlandırılır. Örnekte, Hematom’un şu anda Standart’dan haftada 750 tane üretmekte, Plazma ve Trombo’dan ise üretmemekte oldu ğu ifade edilmi ştir. Bu üretim planının uygun bir çözüm olup olmadı ğını görmek için üretim de ğerlerini kısıtlara yerleştirilip, kısıtları ihlal edip etmedi ği kontrol edilmelidir. 62 16x750 + 8x0 + 10x0 < 12.000 › 12.000 < 12.000 2x750 + 10x0 + 8x0 < 14.000 › 1.500 < 14.000 750 + 0 + 0 < 2.000 › 750 < 2.000 750 > 250 › 750 > 250 Yukarıdaki hesaplamalardan da görülece ği gibi, Hematom’un şu anki üretim planı uygun bir çözüm olup hiçbir kısıt ihlal edilmemektedir. Şirketin haftalık kârı ise; 60x750 + 45x0 + 30x0 = 45.000’dir. Ancak şu anki üretim planının uygun bir çözüm olması, optimal çözüm olmasını da gerektirmemektedir. Varsayalım Hematom’un üretim müdürü Standart ve Plazma’dan haftada 500’er adet üretmeyi, Trombo’dan ise hala üretmemeyi önermi ş olsun. Bu öneri de, a şa ğıda görüldü ğü gibi uygun bir çözümdür. 16x500 + 8x500 + 10x0 < 12.000 › 12.000 < 12.000 2x500 + 10x500 + 8x0 < 14.000 › 6.000 < 14.000 500 + 500 + 0 < 2.000 › 1.000 < 2.000 500 > 250 › 500 > 250 Bu senaryoda, şirketin haftalık kârı ise; 60x500 + 45x500 + 30x0 = 52.500’ye yükselecektir. Bu senaryo, Hematom’un şu anki üretim planından daha iyi en az bir üretim planı olduğunu göstermi ştir. Ancak hala optimal çözümün ne oldu ğu bilinmemektedir. Yeni bir üretim planı alternatifi olarak, Standart’tan haftada 600 adet ve Plazma’dan haftada 400 adet üretilmesi dü şünüldüğünde haftalık kâr daha da artarak; 60x600 + 45x400 + 30x0 = 54.000’ye yükselecektir. Ancak bu üretim planı daha yüksek kar getirmesine kar şın uygun bir çözüm de ğildir. Kar şılanamayan kısıt vardır. 16x600 + 8x400 + 10x0 < 12.000 › 12.800 < 12.000 X 2x600 + 10x400 + 8x0 < 14.000 › 5.200 < 14.000 600 + 400 + 0 < 2.000 › 1.000 < 2.000 600 > 250 › 600 > 250 Karar de ği şkenleri, amaç fonksiyonu ve kısıtların bir arada gösterimi bir do ğrusal programlama modelinin sembolik gösterimini olu şturmaktadır. Maks. 60x 1 + 45x 2 + 30x 3 (amaç fonksiyonu) Kısıtlar 16x 1 + 8x 2 + 10x 3 < 12.000 (süreç 1 kapasitesi) 2x 1 + 10x 2 + 8x 3 < 14.000 (süreç 2 kapasitesi) x 1 + x 2 + x 3 < 2.000 (depolama kısıtı) x 1 > 250 (minimum üretim kısıtı) x 1 , x 2 , x 3 > 0 (negatif olamama ko şulu) Bu model çözülerek elde edilecek x 1 , x 2 , x 3 karar deği şkenlerinin de ğeri optimal çözüm olarak adlandırılır. Bu modelin optimal çözümü ilerideki kısımlarda elde edilecektir. 63 tr.wikipedia.org/wiki/Do ğrusal_programlama Minimizasyon Uygulaması Temiz Kimya şirketi tahlillerde kullanılan bir kimyasaldan aldı ğı sipari ş üzerine 12 litre üretecektir. Bu sıvının içinde A ve B etkin maddelerinden en az %40 olacaktır. Temiz Kimya bu ürünü üretmek için üç ayrı hammaddeyi karı ştırarak kullanabilir. Bu hammaddelerin içerikleri aşa ğıdaki tabloda verilmi ştir. Tablo 3.3: Temiz Kimya örne ği hammadde içerikleri. Hammadde A maddesi B maddesi I %70 %30 II %40 %60 III %20 %80 Hammadde I, II ve III’ün kilogram maliyetleri sırasıyla, 30, 35 ve 40 liradır. Temiz Kimya, en az maliyetle talebi kar şılayacak kimyasalın üretimi için hangi hammaddeden ne kad |