Genel satatik M Ü H E N D İSLİK MEKAN İ Ğİ ST A TİK DERS NOTLARI Yrd. D oç. Dr. Hü se yin BAYIRO ĞLU İ S T AN B U L 2006 İ çi nd e ki l er 1 GİR İŞ 5 1.1 Mekani ğin tan ım ı 5 1.2 Temel ilkeler ve g ö r ü şler 5 2 VEKTÖRLE RİN VE İŞ LEMLERİN İN TANIMI 6 2.1 V e k t ö r ü n tan ım ı 6 2.2 V e k t ö r el i şlemlerin tan ım ı 6 2.2.1 V e k t ö r ü n bir say ı ile ça r p ım ı 6 2.2.2 V e k t ö r l e r i n t o p l am ı 7 2.2.3 İki V ekt ö r ü n birbiri ile skaler ça r p ım ı 7 2.2.4 İki V ekt ö r ü n birbiri ile v e k t ö r el ça r p ım ı 7 2.2.5 Bir v e k t ö r ü n bir eksen ü z er i n d e k i i z d ü ş ü m ü 8 3 VEKTÖRLE RİN ANALİTİK İNCELENMES İ 9 3.1 İki boyutlu v e k t ö r l erin kartezyen koordinatlarda g ö s t e r i l i şi 9 3.2 Üç boyutlu v e k t ö r l erin kartezyen koordinatlarda g ö s t e r i l i şi 11 3.3 Kartezyen koordinatlarda v e k t ö r el i şlemler 13 3.3.1 V e k t ö r ü n bir say ı ile ça r p ım ı 13 3.3.2 V e k t ö r l e r i n t o p l am ı 14 3.3.3 İki v e k t ö r ü n skaler ça r p ım ı 15 3.3.4 İki v e k t ö r ü n v e k t ö r el ç ar p ım ı 16 3.3.5 Üç v e k t ö r ü n kar ı ş ık ça r p ım ı 17 3.3.6 Bir v e k t ö r ü n bir eksen ü z er i n d e k i i z d ü ş ü m ü 18 4 KUVVET S İSTEMLER İ 19 4.1 Kuvvetin tan ım ı ve v e k t ö r l e g ö st e r i l i şi 19 4.2 Bir kuvvetin bir noktaya g ö r e momenti 20 4.3 Bir kuvvetin bir eksene g ö r e momenti 21 4.4 Bir kuvvet sisteminin bir noktaya g ö r e momenti ve indirgeme e l em a n l a r ı (Bir kuvvet sisteminin statik e ş d e ğeri ) 22 4.5 Bir kuvvet sisteminin d e ği şmezleri 24 4.6 Dejenere kuvvet sistemleri 26 4.6.1 Sıf ıra e ş d eğe r kuvvet sistemi 26 4.6.2 Kuvvet çi f t i n e (Tek bir momente) e ş d e ğ er kuvvet sistemi 26 4.6.3 Bile şkeye e ş d e ğ e r kuvvet sistemi 26 2 4.6.4 Bile şkesi olan kuvvet sistemi 27 4.7 Merkezi eksen 27 4.7 Paralel b a ğ lı kuvvet sistemi ve merkezi 29 5 KÜTLE MERKE Zİ 31 5.1 Bir s ü r e k l i cismin k ü t l e merkezi 31 5.2 Bile şik cismin k ü t l e merkezi 38 6 ST A TİK 41 6.1 Giri ş 41 6.2 İ ç kuvvetler ve kesit zorlar ı 47 6.3 Sta t i ğin temel ilkelerinin g e çe r l i olduğu referans sistemleri 47 6.4 Bir maddesel noktan ın kuvvetler etkisinde dengesi 48 6.5 Bir Rijid cismin kuvvetler etkisinde dengesi 48 6.6 Bir Rijid cisim sisteminin kuvvetler etkisinde dengesi 48 6.7 D ü zl em s el kuvvetler etkisindeki cisimlerin dengesi 48 6.8 Üç boyutlu kuvvetler etkisindeki bir rijid cismin dengesi ile ilgili uygulamalar 53 7 SÜR T ÜN ME 60 7.1 Sürt ü n m e ve s ü r t ü n m e katsay ıs ı 60 7.2 Mesnetlerdeki s ü r t ü n m el er 62 7.3 Halat ve kay ı ş kasnak s ü r t ü n m esi 65 8 YAYILI YÜKLE R 68 8.1 Y a y ı l ı y ü k l e r i n tan ım ı 68 8.2 Kiri şlerde yay ılı y ü k l e r 68 9 KABLOLAR 72 9.1 Genel bilgi 72 9.2 Konsantre y ü k l er etkisindeki kablolar 72 9.3 Y a y ı l ı y ü k l er etkisindeki kablolar 78 9.3.1 Yatayda d ü z g ü n yay ılı yük etkisindeki kablolar (Parabolik kablo ) 79 9.3.2 Kendi a ğ ı r l ı ğ ı etkisinde olan homojen yap ı d a k i kablo veya zincirin dengesi 82 3 10 DÜZLEM KAFES KİR İŞ S İSTEMLER İ 86 10.1 Genel bilgi ve tarifler 86 10.2 Basit kafes sistemi 86 10.3 D ü ğ ü m noktalar ı metodu ile kafes sisteminin analizi 88 10.4 Ö z el d ü ğ ü m noktalar ı 92 10.3 Kesim metodu ile kafes sisteminin analizi 94 11 ÇERÇEVE VE MAK İNALAR 97 11.1 Giri ş 97 11.2 Ç e r ç e v e l e r 97 11.3 Makineler 101 12 KİR İŞ LER DEKİ KESİT ZORLARI KESME KUVVE Tİ VE EĞİLME MOMENT İ D İAGRAMLARI 104 12.1 Kiri şlerde kesit zorlar ı 104 12.2 Kesit zorlar ı i çi n kabul edilen pozitif y ö n l er 104 12.3 Y a y ı l ı yük , kesme kuvveti ve e ğilme momenti aras ı n d a k i ba ğ ınt ı l a r 105 12.4 Kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramlar ı 106 13 VİR TÜEL İŞLER METODU 115 13.1 Giri ş 115 13.2 V i r t ü el yer d e ği ştirme 115 13.3 Bir kuvvetin v i r t ü el i şi 116 13.4 Bir momentin v i r t ü el i şi 116 13.5 V i r t ü el i şler ilkesi 116 13.6 Ç o k serbestlik dereceli sistemlerde v i r t ü el i şler ilkesi 119 EK A Daha ö n ce k i senelerde sorulan Vize sorular ı ve cevaplar ı 122 EK B Daha ö n ce k i senelerde sorulan Final sorular ı ve cevaplar ı 164 4 B Ö L Ü M 1 G İ R İ Ş 1.1 Mek an iğ i n ta n ı m ı Cisimlerin Kuvvetler etkisinde dengesini ve hareketlerini inceleyen bilim d al ına mekanik denir. Mekanik cisimlere maddesel nokta, rijid cisim, elastik cisim , plastik cisim ve ak ı şkanlar ( s ıv ı ve gazlar) olmak ü ze r e yakla ş ır.Mekanik e ğ e r sadece Maddesel nokta ve rijid cisim modelini inceliyorsa buna m ü h e n d i sl i k mekani ği denir. Bunun d ı ş ında inceledi ği cisim modeline uygun isimler verilir. Ö r n e ğin elastomekanik veya elastisite, plastisite , hidromekanik , aerodinamik, elektromekanik gibi. Mekanik , Statik ve Dinamik olmak ü ze r e iki bilim d al ına ayr ılır. Statik kuvvetler etkisinde cisimlerin denge ko ş u l l a r ın ı, Dinamik ise hareketlerini inceler. 1.2 Temel ilkeler ve g ö rü şler Mekani ğin temel al d ı ğ ı ilkeler Newton yasalar ıd ır. Bu yasalar cisimlere maddesel nokta modeli ile yakla ş ı l d ı ğ ında k u l l a n ı ş lıd ır. Di ğ e r cisim modellerine matematiksel modellerle geni şletilmesi gerekir. Benzer şekilde mekanikte kuvvetler maddesel nokta modelinde v e k t ö r l e r l e g ö s t e r i l e b i l m esi n e kar ş ı rijid cisim modelinde v e k t ö r ve etki doğrusu kavramlar ı beraber k u l l a n ı l m al ıd ır. M ü h e n d i sl i k mekani ği v e k t ö r l er yard ım ı ile olu ş t u r u l d u ğ u i çi n v e k t ö r l eri bize g ere k t i ği kadar ayr ınt ı l ı bir şekilde ele a l m am ı z gerekir. 5 B Ö L Ü M 2 V E K T Ö R LE R İN VE TEMEL İŞLEMLER İ N İ N TANIMI 2.1 V ek t ö rl eri n ta n ı m ı D o ğ r u l t u , yön ve m o d ü l ü ile tan ı m l a n a n b ü y ü k l ü k l e r e v e k t ö r l er denir. Bir v e k t ö r Koyula şt ır ı l m ı ş harfler ile veya ü z er i n e ok i şareti çi z i l e n harflerle belirtilir. V e k t ö r l e r a şa ğ ı d a k i gibi y ö n l e n d i r i l m i ş doğru p a r ça s ı ile g ö st e r i l e b i l i r . V Bir referans sistemine g ö r e çi zi l e n bu doğru p arça s ın ın d o ğ r u l t u s u v e k t ö r ü n d o ğ r u l t u s u n u , y ö n ü v ektö r ü n y ö n ü n ü ve uzunlu ğu v ekt ö r ü n m o d ü l ü n ü g ö st eri r . Bir v e k t ö r ü n m o d ü l ü | V | ile g ö st eril i r . Sıf ır v e k t ö r : m o d ü l ü s ıf ır olup d o ğ r u l t u ve y ö n ü belirsiz olan v e k t ö r l ere s ıf ır v e k t ö r ü denir ve 0 ile g ö st eril i r . ? V v e k t ö r ü : V v ekt ö r ü ile ayn ı d o ğ r u l t u ve m o d ü l d e fakat ters y ö n d e k i v e k t ö r e ? V v e k t ö r ü denir. Birim v e k t ö r : M o d ü l ü n ü n say ı sal d eğeri 1 olan v ekt ö r e birim v e k t ö r denir. 2.2 V ek t ö re l i şlem l erin ta n ım ı V e k t ö r l e r ü z e r i n e in şa edilen temel i şlemler : V e k t ö r ü n bir reel say ı ile ça r p ım ı , v e k t ö r l erin toplanmas ı , skaler ve v e k t ö r el ça r p ım ı gibi i şlemlerdir. 2.2.1 V e k t ö r ü n bir say ı ile ça r p ım ı Ç arp ı l a n v ekt ö r l e ayn ı d o ğ r u l t u d a bir v e k t ö r d ü r . E ğ e r ça r p ım katsay ıs ı pozitif ise y ö n d e ayn ıd ır. M o d ü l ise ça r p ım katsay ıs ı ile v ekt ö r ü n m o d ü l ü n ü n ça r p ım ı kadard ır. | kV | = | k | | V | Bir v e k t ö r ü n birim v e k t ö r ü : V e k t ö r ü m o d ü l ü n e b ö l ere k elde edilir. Bir eksenin birim v ekt ö r ü : Eksen d o ğ r u l t u s u n d a ve y ö n ü n d e k i herhangibir v e k t ö r ü m o d ü l ü n e b ö l erek bulunur. 6 2.2.2 V e k t ö r l e r i n t o p l am ı Ba ş l a n g ı ç l a r ı ayn ı noktaya getirilen iki v e k t ö r ü n t o p l am ı bu v e k t ö r l er ü ze r i n e kurulan paralel kenar ın köşegeni ü ze r i n d e k i a şa ğ ıda g ö st eri l en v e k t ö r e e şittir. A C ? A ? B B 2.2.3 İki v ekt ö r ü n birbiri ile skaler ça r p ım ı İki v e k t ö r aras ı n d a k i a çı : Ba ş l a n g ı ç l a r ı ayn ı noktaya getirilen iki v ektö r aras ı n d a k i 180 0 den b ü y ü k olmayan a çı iki v ektö r aras ı n d a k i açı olarak al ın ır . A ? B Skaler Ç a r p ım sonucunda skaler elde edilir . A ? B ? | A | | B | Cos ? 2.2.4 İki v ekt ö r ü n birbiri ile v e k t ö r el ça r p ım ı V e k t ö r el ça r p ım ın sonucu yine bir v e k t ö r d ü r . C ? A ? B ? (| A | | B | Sin ? ) n Burada V e k t ö r el ça r p ım sonunda elde edilen v e k t ö r her iki v e k t ö r e dik d o ğ r u l t u d a ve | A | | B | Sin ? m o d ü l ü n d e bir v ektö r d ü r . Y ö n ü ise sa ğ el k u r al ı ile bulunabilir. 7 S ağ el kural ı ile elde edilen yön , ba ş parmak d ı ş ı nd aki sağ el parmaklar ı birinci vek t örü ikinci v ekt öre do ğru dö nd ürme yönünde tutulursa ba ş parm ağ ın gö st erdiği yö nd ür . C ? A ? B B n ? h A | A | | B | Sin ? ifadesinde | A | Sin ? ? h oldu ğundan A ve B vektörlerinin birbiri ile vek t örel çarp ım ın ın m od ü l ü bu vek törl eri n ba ş l ang ı çl a rı ayn ı noktaya getirilirse üze r i ne kurulan paralelkenar ın al anına e şit oldu ğu gö rül ür . 2.2.5 Bir vek t örün bir eksen üz eri n de ki i zdü ş ü m ü V ? V ? ? V ? ? | V | Cos ? V ? ? V ? U ? burada U ? ? ekseninin birim vek törüdü r . 8 BÖ L Ü M 3 VEKTÖ R L ERİN AN A LİT İK İNCELENMES İ 3.1 İk i boyutlu v ek t ö rl er i n kartezyen koordinatlarda g ös t e ri l i ş i y j V Vy ? ? i x Vx D üzl e m de bir vek t ör V ? Vx i ? Vy j şeklinde x ve y ekseni do ğrult usu nd ak i vek törl eri n toplam ı cinsinden yaz ı l abi l i r . Bu vek t örü n m od ü l ü ise a şa ğ ı dak i gibi pisagor teoremi yard ım ı ile bulunur. V ? Vx 2 ? Vy 2 Bir vek t örün do ğrul t us un da ve yö nü nd eki birim vek t ör ise vek tör m o dü l ün e bö l ün erek elde edilir. U (V) ? V V , U (V) ? Vx V i ? Vy V j 9 i ? A şa ğ ı dak i gibi birim v ekt örün katsay ı l arın ın vek t örün eksenlerle yapt ı ğ ı açı l a rın ko si nü sl eri ne e şit oldu ğu gö st e ri l ebi l i r . Cos ? ? Vx V ? U x , Cos ? ? Vy V ? U y Problem 3.1.1 Bir dü zl em d eki yatay do ğrul t u ile 30 0 derecelik açı yapan ve m od ül ü 80 birim olan vek t örü ve birim vek t örün ü kartezyen koordinat sisteminde yaz ın ız. Ç özü m : y Vy V j ? x i V ? Vx i ? Vy j V ? 80 birim , Vx ? V Cos ? , Vx ? ? 30 0 Vy ? V Sin ? Vx ? 80 Cos 30 0 , Vx ? 69, 28birim Vy ? 80 Sin30 0 , V ? 69, 28 i ? 40 j Vy ? 40 birim U (V) ? Vx V i ? Vy V j , U (V) ? 69, 28 40 80 80 j U (V) ? 0,866 i ? 0, 5 j 10 3.2 Üç boyutlu v ek t ö rl er i n kartezyen koordinatlarda g ös t e ri l i ş i y j H F B A Vy ß V ? ? Vx i E x O Vz k C D Z Üç boyutlu uzayda bir vek t ör kartezyen koordinat sisteminde V ? Vx i ? Vy j ? Vzk şeklinde x ve y ekseni do ğrult usu nd ak i vek törl eri n toplam ı cinsinden yaz ı l abi l i r . Bu vek t örü n m od ü l ü ise a şa ğ ı dak i gibi pisagor teoremi yard ım ı ile bulunur. V ? Vx 2 ? Vy 2 ? Vz 2 Bir vek t örün do ğrul t us un da ve yö nü nd eki birim vek t ör ise vek tör m o dü l ün e bö l ün erek elde edilir. U (V) ? V V , U (V) ? Vx V i ? Vy V j ? Vz V k A şa ğ ı dak i gibi birim v ekt örün katsay ı l arın ın vek t örün eksenlerle yapt ı ğ ı açı l a rın ko si nü sl eri ne e şit oldu ğu gö st e ri l ebi l i r . Cos ? ? Vx V ? U x , Cos ? ? Vy V ? U y , Cos ? ? Vz V ? U z Problem 3.2.1 Bir V vek t örün ün ba ş l ang ıc ı kartezyen koordinat sisteminin ba ş l ang ı ç noktas ına yerle ştirildi ğinde uç noktas ı A (60,30,20) koordinatlar ında ise bu vek t örün a) bu koordinat sistemindeki yaz ılı ş ın ı b) m od ül ün ü c) birim vek t örün ü d) koordinat eksenleri ile yapt ı ğ ı açı l arı bulunuz. 11 i ? j ? k Cos ? ? , Cos ? ? , Ç özü m : y H Vx F B A ( 60 ; 30 ; 20 ) V z Vy ß O ? x ? Vz a) V ? Vx i ? Vy j ? Vzk V ? 60 i ? 30 j ? 20k b) V ? Vx 2 ? Vy 2 ? Vz 2 V ? 70 c) , V ? (60) 2 ? (30) 2 ? (20) 2 U (V) ? V V , U (V) ? 60 i ? 30 j ? 20k 70 U (V) ? 6 3 2 7 7 7 d) Cos ? ? Vx V ? U x , Cos ? ? Vy V ? U y , Cos ? ? Vz V ? U z 6 7 3 7 Cos ? ? 2 7 ? ? 31 0 , ? ? 64, 62 0 , ? ? 73, 4 0 12 3.3 Kartezyen koordinatlarda v ek t ö re l i ş l e m l er 3.3.1 V ekt örün bir say ı ile çarp ım ı Kartezyen koordinat sisteminde bir vek t ör V ?V x i ? Vy j ? Vzk şeklinde yaz ı l ı r sa bu ve kt örün bir ? say ıs ı ile çarp ım ı a şa ğ ı dak i şekilden gö rül dü ğü gibi di kd örtgenl er prizmas ın ın b ütün öl çül e ri ayn ı ? say ıs ı ile çarp ılarak elde edildi ğinden ?V ? ?V x i ? ?Vy j ? ?Vzk şeklinde yaz ı l abi l i r . y ?Vz ?V V ?Vy Vy Vz x Vx z ?Vx Bir vek t örün bir say ı ile çarp ım ı vek t örün do ğ rul t usu nu deği ştirmez. E ğer çarp ım katsay ıs ı pozitif ise yönü de deği şmez. Problem 3.3.1.1 Problem 3.2.1 de hesaplanan V ? 60 i ? 30 j ? 20k vek t örün ün ?=2,5 ile çarp ım ından elde edilen ?V vek t örün ün a) ifadesini b) m od ül ün ü c) birim vek t örün ü hesaplay ın ız. Ç özü m : a) ?V ? ?V x i ? ?Vy j ? ?Vzk ?V ? 2, 5 ? 60 i ? 2, 5 ? 30 j ? 2, 5 ? 20k ?V ? 150 i ? 75 j ? 50k b) ?V ? (150) 2 ? (75) 2 ? (50) 2 13 i ? j ? i ? j ? k U( ?V) (V) ?V ? 175 , ? ? V ? 2, 5 ? 70 ? 175 ? ?V ? ? ? V c) U ( ?V) ? ?Vx ?V i ? ?Vy ?V j ? ?Vz ?V k U ( ?V) ? 2, 5 ? 60 2, 5 ? 30 2, 5 ? 20 2, 5 ? 70 2, 5 ? 70 2, 5 ? 70 k U ( ?V) ? 6 3 2 7 7 7 ? ? U 3.3.2 V ekt örl e ri n toplam ı Ş eki l de gö st eri l d i ği gibi İki boyutlu uzayda A ve B vek t örün ün toplam ı olan C vek t örün ün koordinat eksenleri doğrultusundaki bile şenleri A ve B vek t örl eri n i n ayn ı do ğr ul t u dak i bile şenleri toplanarak bulunur. A ? A x i ? A y j , B ? B x i ? B y j A ? B ? (A x ? B x ) i ? (A y ? B y ) j y E Cy = Ay+By By D B Ay A C ? A ? B x O Ax Bx Cx =Ax+Bx Ş eki l de ki ODE üçg eni nd en OE kenar ın ın uzu nl uğ u OD ve DE kenarlar ın ın uzunluklar ı toplam ından büyük ol am ı yac ağ ı bilindi ğinden A ? B ? A ? B e şitsizli ği yaz ı la bi lir . A yn ı i şlemler üç boyutlu uzaya a şa ğ ı d aki gibi uygulanabilir. A ? A x i ? A y j ? A zk , B ? B x i ? B y j ? B zk A ? B ? (A x ? B x ) i ? (A y ? B y ) j ? (A z ? B z )k 14 Problem 3.3.2.1 A ? 6 i ? 3 j ? 2k vektörü ile B ? 12 i ? 3 j ? 4k v ek t ö r ün ün a) m od ül l e ri ni b) bu vek t örl eri n toplam ın ı c) toplam vek t örün m o dü l ün ü hesaplay ın ız. Ç özü m : a) A ? 6 2 ? 3 2 ? 2 2 , A ? 7 B ? (12) 2 ?(3) 2 ? (4) 2 , B ? 13 b) A ? B ? (6 ? 12)i ? (3 ? 3) j ? (2 ? 4)k A ? B ? 18i ? 6 j ? 6k c) A ? B ? (18) 2 ? 6 2 ? 6 2 A ? B ? 19, 9 3.3.3 İki vek t örün skaler çarp ım ı A şa ğ ıda gö st eri l di ği gibi A ve B vek t örün ün skaler çarp ım ı bu vek t örl eri n ayn ı do ğrul tudak i bile şenleri çarp ım ı toplanarak bulunur ve son uç skalerdir. A ? A x i ? A y j ? A zk , B ? B x i ? B y j ? B zk A ? B ? A xB x ? A y B y ? A z B z Skaler çarp ım ın tan ım ından skaler çarp ım ın mutlak değeri vek t örl e ri n m od ül l e ri çarp ım ından büyük olamaz. Problem 3.3.3.1 A ? 6 i ? 3 j ? 2k vektörü ile B ? 12 i ? 3 j ? 4k v ek t ö r ün ün a) skaler çarp ım ın ı b) m od ül l e ri çarp ım ın ı hesaplay ın ız. c) aralar ı nd a ki a çıy ı hesaplay ın ız. Ç özü m : a) A ? B ? 6 ?12 ? 3 ? 3 ? 2 ? 4 A ? B ? 89 b) A ? 7 , B ? 13 A B ? 13 ? 7 , A B ? 91 15 Cos ? ? ? c) skaler çarp ım ın tan ım ından A ? B ? A B Cos ? ? Cos ? ? A ? B A B 89 91 ? ? 12, 04 0 3.3.4 İki vek t örün vek törel çarp ım ı S ağ kartezyen koordinat sisteminde koordinat eksenlerinin birim vek t örl eri n i n vek t örel çarp ım ı a şa ğ ı dak i gibi yaz ılır. i ? j ? k , , k ? i ? j j ? i ? k , i ? k ? ? j j ? k ? i , k ? j ? ? i S ağ eksen sisteminde ifade edilen A ve B vek t örün ün vek törel çarp ım ı olan C vek t örü a şa ğ ıda gö st eri l en determinant ın açı l ım ı yard ım ı ile hesaplanabilir. A ? A x i ? A y j ? A zk , B ? B x i ? B y j ? B zk A ? B ? (A x i ? A y j ? A zk) ? (B x i ? B y j ? B zk) A ? B ? [(A x i ) ? (B x i )] ? [(A x i ) ? (B y j)] ? [(A x i ) ? (B zk)] ? ? [(A y j) ? (B x i )] ? [(A y j) ? (B y j)] ? [(A y j) ? (B zk)] ? ?[(Azk) ? (Bx i )] ? [(Azk) ? (By j)] ? [(Azk) ? (Bzk)] i A ? B ? A x B x j A y B y k A z B z Problem 3.3.4.1 A ? 6 i ? 3 j ? 2k vektörü ile B ? 12 i ? 3 j ? 4k v ek t ö r ün ün a) C ? A ? B vek t öre l çarp ım ın ı b) C vek t örel çarp ım ve kt örü ile A vek t örü aras ı nd a ki a çıy ı c) C vek t örel çarp ım ve kt örü ile B vek t örü aras ı nd a ki a çıy ı hesaplay ın ız. Ç özü m : a) i j k i j k C ? A ? B ? Ax Bx Ay By Az Bz , C ? A ? B ? 6 3 2 12 3 4 C ? A ? B ? (3 ? 4 ? 2 ? 3)i ? (2 ?12 ? 6 ? 4) j ? (6 ? 3 ? 3 ?12)k C ? A ? B ? 6 i ? 18k 16 b) C ? A ? (6i ? 18k) ? (6 i ? 3 j ? 2k) C ? A ? 6 ? 6 ? 18 ? 2 ? 0 oldu ğundan C vek t örü A vek t örü ne diktir. c) C ? B ? (6 i ? 18k) ? (12i ? 3 j ? 4k) C ? B ? 6 ?12 ? 18 ? 4 ? 0 oldu ğundan C vek t örü B vek t örün e diktir. 3.3.5 Üç vek t örün kar ı ş ık çarp ım ı İki vek t örün vek t örel çarp ım ından elde edilen vek t örün bir di ğer vek t örl e skaler çarp ım ına bu üç vek t örün kar ı ş ık çarp ım ı denir. A ? A x i ? A y j ? A zk B ? B x i ? B y j ? B zk C ? Cx i ? Cy j ? Czk A x A ? (B ? C) ? B x Cx A y B y Cy A z B z Cz Lineer cebirden bilindi ği gibi bir Determinantta iki sat ı rın yeri deği şirse determinant ın i şareti d eği şir , sat ırlar ın yeri iki veya ikinin katlar ı say ıs ında deği şirse determinant ın değeri deği şmez . Bu bilinen ö zel l i kt en faydalanarak a şa ğ ı d aki e şitlikler yaz ı l abi l i r . A ? (B ? C) ? B ? (C ? A) ? C ? (A ? B) 17 1 ? 1 ? 1 i ? j ? V ? ? (12 i ? 3 j ? 4k) ? ( i ? j ? ? 3 ? ? 4 ? 3.3.6 Bir vek t örün bir eksen üz eri n de ki i zdü ş ü m ü V ? ? V ? V ? ? V ? U ? V ?V x i ? Vy j ? Vzk U ? ? U x i ? U y j ? U zk V ? ? Vx ? U x ? Vy ? U y ? Vz ? U z Problem 3.3.6.1 V ? 12 i ? 3 j ? 4k vektörünün kartezyen koordinat eksenleri ile pozitif bö l ged e e şit açı l ar yapan ve pozitif bö l gey e do ğru yö n el m i ş ? eksenindeki i zdü ş üm ün ü ve bu eksenle yapt ı ğ ı açıy ı hesaplay ın ız. Ç özü m : V ? ? V ? U ? İ zdü ş üm al ınacak eksenin birim vek t örü bu eksen yö nü nd eki bir vek t örü m od ü l ün e bö l erek elde edilir. U ? ? i ? j ? k 2 2 2 , U ? ? 1 1 1 3 3 3 k V ? ? 19 3 1 1 1 3 3 3 k) , V ? ? 12 ? 1 1 1 3 3 3 V ? ? V ? U ? ? V Cos ? ? Cos ? ? V ? V Cos ? ? 19 3 ?13 ? Cos ? ? 0,844 ? ? ? 32, 45 0 18 B Ö L Ü M 4 KUVVET SİSTEMLER İ 4.1 Kuvvetin t an ım ı ve v e k t ö rl e g ö s ter ili şi Bir cismin şeklini veya h ı zın ı d e ği ştiren ve ba şka cisimler taraf ından uygulanan fiziksel etkiye kuvvet denir. Kuvvet d o ğ r u l t u y ö n ve bir şiddet i çe r d i ğinden v ekt ö r l e g ö st e r i l e b i l i r . Y al n ı z ayn ı v e k t ö r l e g ö st eril m esi n e r a ğ m e n kuvvet cismin farkl ı yerlerine uyguland ı ğ ında fiziksel etkisi farkl ı olur. Bundan d o l a y ı kuvvet ö z el l i k l e rijid cisim mekani ğinde v e k t ö r ve etki d o ğrusu ile birlikte düş ü n ü l m e l i d i r . Etki doğrusu F Kuvvet v ekt ö r ü 19 UAB ? , AB ? OB ? OA 4.2 Bir kuvvetin bir noktaya g ö re momenti MO o F h ? ? A MO ? F ? h MO ? OA ? F OA ? F ? F OA Sin ? OA Sin ? ? h Buradan MO ? F ? h i j k oldu ğu görülür . MO ? Ax Fx Ay Fy Az Fz MO ? (Ay ? Fz ? Az ? Fy ) i ? (Az ? Fx ? Ax ? Fz ) j ? (Ax ? Fy ? Ay Fx ) k Problem 4.2.1 A(3,8,1) ve B(7, –4,4) noktalar ından geç en 130 N. şiddetinde olan ve A dan B ye do ğru yö n el m i ş F kuvvetinin O(0,0,0) noktas ına gö re momentini bulunuz. MO ? OA ? F OA ? 3i ? 8 j ? k , F ? F UAB AB AB 20 4 ? ( ?12)2 ? 32 i ? j ? AB ? (7 i ? 4 j ? 4k) ? (3i ? 8 j ? k) , AB ? 4 i ? 12 j ? 3k UAB ? 4 i ? 12 j ? 3k 2 , UAB ? 4 12 3 13 13 13 k F ? 40 i ? 120 j ? 30k MO ? (3i ? 8 j ? k) ? (40 i ? 120 j ? 30k) i j k MO ? 3 8 1 , MO ? 360 i ? 50 j ? 680k 40 ?120 30 4.3 Bir kuvvetin bir eksene g ö re momenti ? M A M ? A F B M ? ? ? MA ? U M ? ? U ? ? (AB ? F) U x M ? ? B x ? A x Fx U y B y ? A y Fy U z B z ? A z Fz 21 U ? ? , U ? ? i ? j ? k M ? ? (360 i ? 50 j ? 680k) ? ( i ? j ? k) M ? ? 360 ? ? 50 ? ? 680 ? , M ? ? MO ? ? OAi ? Fi R ? ? Fi Problem 4.3.1 A(3,8,1) ve B(7, –4,4) noktalar ından geç en ve 130 N. Ş i dd et i nd e olan F kuvvetinin O(0,0,0) ve C(2,6,3) noktalar ından geç en ? eksenine gö re momentini bulunuz.(koordinatlar metre cinsindendir.) M ? ? ? MO ? U Problem 4.2.1 den OC OC 2 6 3 U ? ? 7 7 7 MO ? 360 i ? 50 j ? 680k 2 i ? 6 j ? 3k 2 2 ? 6 2 ? 3 2 d ır. 2 6 3 7 7 7 2 6 3 ?1620 7 7 7 7 M ? ? ?231, 43Nm. 4.4 Bir kuvvet sisteminin bir noktaya g ö re momenti ve indirgeme el e m an l ar ı ( Bir kuvvet sisteminin statik e şde ğ er i ) Bir veya birden fazla say ıda kuvvetten olu şan sisteme kuvvet sistemi denir. d1 d2 di dn A1 Ai Fn F1 F2 A2 Fi An MO R O Bu n say ıda kuvvetten olu şan kuvvet sisteminin bir uzay ın o noktas ına gö re momentine bile şke moment denir ve bu bile şke moment her bir kuvvetin bu noktaya gö re moment vek t örl eri n i n toplam ına e şittir. n i ?1 Bu n say ı dak i kuvvetin vek t örel toplam ına geometrik toplam denir. n i ?1 22 MQ ? ? QAi ? Fi MQ ? ? (QO ? OAi ) ? Fi R ? ? Fi MO ? ? OAi ? Fi , Elde edilen bile şke moment ve geometrik toplam ın her ikisine birden bu vek t ör sisteminin indirgeme el em anl a rı denir. Bir kuvvet sisteminde bir noktadaki indirgeme el em anl a rından faydalanarak ba şka noktalardaki indirgeme el em anl arın ın bulunu şu: n i ?1 QAi ? QO ? OAi n i ?1 MQ ? MO ? QO ? R Problem 4.4.1 Bir kuvvet sistemi A1(5, –3,8) noktas ından geç en F 1 ? 10 i ? 8 j ? 14k , A2( 10,8,9)) noktas ından geç en F 2 ? 15i ? 22 j ? 16k , A3(2,10,7) noktas ından geç en F 3 ? ?6 i ? 18 j ? 9k ve A4(0,12,-4) noktas ından geç en F 4 ? 3i ? 20 j ? 8k kuvvetlerinden olu şmu ştur. Bu kuvvet sisteminin a) O(0,0,0) noktas ı nd a ki indirgeme el em anl a r ın ı b) Q(10,12, –6) noktas ındak i indirgeme el em a nl arın ı bulunuz. Ç özü m : a) 4 i ?1 , R ? F 1 ? F 2 ? F 3 ? F 4 R ? (10 i ? 8 j ? 14k) ? (15i ? 22 j ? 16k) ? ( ?6 i ? 18 j ? 9k) ? (3i ? 20 j ? 8k) R ? (10 ? 15 ? 6 ? 3)i ? (8 ? 22 ? 18 ? 20) j ? ( ?14 ? 16 ? 9 ? 8)k R ? 22 i ? 28 j ? 15k 4 i ?1 MO ? OA1 ? F 1 ? OA2 ? F 2 ? OA3 ? F 3 ? OA4 ? F 4 OA1 ? F 1 ? (5i ? 3 j ? 8k) ? (10 i ? 8 j ? 14k) i j k OA1 ? F 1 ? 5 ?3 8 ? ?22 i ? 150 j ? 70k 10 8 ?14 i j k OA2 ? F 2 ? 10 8 9 ? ?70 i ? 25 j ? 100k 15 22 16 23 R ? ? Fi , i j k OA3 ? F 3 ? 2 10 7 ? ?216 i ? 24 j ? 96k ?6 18 ?9 i j k OA4 ? F 4 ? 0 12 -4 ? ?16 i ? 12 j ? 36k 3 ?20 ?8 MO ? ( ?22 i ? 150 j ? 70k) ? ( ?70 i ? 25 j ? 100k) ? ( ?216 i ? 24 j ? 96k) ? ( ?16 i ? 12 j ? 36k) MO ? ( ?22 ? 70 ? 216 ? 16)i ? (150 ? 25 ? 24 ? 12) j ? (70 ? 100 ? 96 ? 36)k MO ?? ?324 i ? 89 j ? 230k b) n i ?1 R ? 22 i ? 28 j ? 15k MQ ? MO ? QO ? R QO ? ?10 i ? 12 j ? 6k QO ? R ? ( ?10 i ? 12 j ? 6k) ? (22 i ? 28 j ? 15k) i j k QO ? R ? ?10 ?12 6 ? 12 i ? 18 j ? 16k 22 28 ?15 MQ ? ( ?324 i ? 89 j ? 230k) ? (12 i ? 18 j ? 16k) MQ ? ??312 i ? 71j ? 214k 4.5 Bir kuvvet sisteminin de ğ i ş m e zl er i a) Bir kuvvet sisteminde kuvvetlerin geometrik toplam ı olan R noktadan noktaya deği şmez. b) Bir kuvvet sisteminde bile şke momentin geometrik toplam üze ri n dek i i zdü ş üm ü noktadan noktaya deği şmez. İspat: M Q ? U R ? (M O ? QO ? R) ? U R (QO ? R) ? U R ? 0 ( R ve U R ayn ı doğrul tuda oldu ğundan ) M Q ? U R ? M O ? U R elde edilir. Yukar ı dak i denklemin her iki taraf ı R ile çarp ı l ı rsa M Q ? R ? M O ? R e şitli ği elde edilir. Bu e şitlikten Bile şke moment ile geometrik toplam ın skaler çarp ım ın ın noktadan noktaya deği şmedi ği anla ş ılır. 24 Problem 4.5.1 Problem 4.4.1 deki kuvvet sistemi i çi n M Q ? R ? M O ? R e şitli ğini ge rç ekl e yi ni z. Ç özü m : R ? 22 i ? 28 j ? 15k MO ? ?324 i ? 89 j ? 230k MQ ? ?312 i ? 71j ? 214k MQ ? R ? ( ?312 i ? 71j ? 214k) ? (22 i ? 28 j ? 15k) MQ ? R ?? ?312 ? 22 ? 71 ? 28 ? 214 ? ( ?15) MQ ? R ?? ?8086 MO ? R ? ( ?324 i ? 89 j ? 230k) ? (22 i ? 28 j ? 15k) MO ? R ?? ?324 ? 22 ? 89 ? 28 ? 230 ? ( ?15) MO ? R ?? ?8086 ? MQ ? R ? MO ? R ???8086 25 4.6 Dejenere kuvvet sistemleri Bile şke momentle geometrik toplam ın birbiri ile skaler çarp ım ın ın s ıf ı r oldu ğu kuvvet sistemlerine dejenere kuvvet sistemleri denir. M O ? R ? 0 Bu e şitlik ile a şa ğ ı da ki durumlarda kar ş ıla ş ılır. 4.6.1 ) M O ? 0 , R ? 0 (s ı fıra e ş değ er kuvvet sistemi) 4.6.2 ) M O ? 0 , R ? 0 (kuvvet çi ft i ne e ş değ er kuvvet sitemi) 4.6.3 ) M O ? 0 , 4.6.4 ) M O ? 0 , R ? 0 (bile şkeye e ş değe r kuvvet sistemi) R ? 0 (bile şkesi olan vektör sistemi) D üzl em s el , bir noktada kesi şen ve paralel kuvvet sistemleri dejenere kuvvet sistemleridir. 4.6.1S ı fıra e ş değ er kuvvet sistemi M O ? 0 R ? 0 S ı fıra e ş değ er kuvvet sisteminde 1) Kuvvet sistemi tek bir kuvvetten olu şmu şsa bu kuvvetin şiddeti s ı fı r ol m al ı. 2) Kuvvet sistemi iki kuvvetten olu şmu ş ise bu kuvvetler ayn ı do ğru lt ud a ters yönde ve e şit şiddette ol m al ıd ır. 3) Kuvvet sistemi üç kuvvetten olu şmu ş ve birbirine paralel değil ise bu kuvvet sisteminin geometrik toplam ın ın s ı fı r olabilmesi i çi n kuvvetlerin olu ş t urdu ğu poligon kap al ı bir üçg en ol m al ıd ır. Bu kuvvet sisteminde bile şke momentin s ı fı r olabilmesi i çi n bu üç kuvvetin d oğ rult usu ayn ı yerde kesi şmelidir. 4.6.2 Kuvvet çi ft i n e e ş değ er kuvvet sitemi M O ? 0 , R ? 0 Bir kuvvet sisteminde Geometrik toplam s ı fı r Bile şke moment s ı fırdan farkl ı ise bu kuvvet sistemi tek bir momente e ş değ e r olur. Bu moment vek törüne dik dü zl eml erde al ınan kuvvet çi ft l eri ile de bu kuvvet sistemi temsil edilebilir. Bir kuvvet sistemi tek bir momente e ş değ er ise bu noktadan noktaya deği şmez. MQ ? MO ? QO ? R ve R ? 0 oldu ğu nd an MQ ? MO olur. 4.6.3 Bile şkeye e ş değ er kuvvet sistemi M O ? 0 , R ? 0 E ğer bir noktada bile şke moment s ı fı r ve geometrik toplam s ı fırdan farkl ı ise bu geometrik toplam sanki sistem tek bir kuvvetten olu şmu ş gibi bu sistemi temsil edebilece ğinden bu geometrik toplama bu kuvvet sisteminin bile şkesi denir. 26 4.6.4 Bile şkesi olan kuvvet sistemi M O ? 0 , R ? 0 E ğer dejenere vek t ör sisteminde Bile şke moment ve geometrik toplam ın her ikisi de s ı fırdan farkl ı ise bu iki vek t ör birbirine dik ol m al ıd ır. Bu vek t ör sisteminin bile şkesi bulunabilir. 4.7 Merkezi eksen Bile şke momentle geometrik toplam ın ayn ı d oğ rul t ud a oldu ğu eksene merkezi eksen veya vida ekseni denir. R Vida ekseni M ? ? (x, y , z ) O(0,0,0) MO MR R Merkezi eksen üz eri nd eki bir nokta ?(x,y,z) ve O(0,0,0) noktas ı nd aki bile şke moment MO ? Mx i ? My j ? Mzk ise Bile şke momentin geometrik toplam üze ri nd e ki i zdü ş üm ü deği ş m i ye ceğinden M ? ? MR ? UR yaz ı l abi l i r . MR ? MO ? UR M R ? M x ? U Rx ? M y U Ry ? M z U Rz M ? ? MR ? URx i ? MR ? URy j ? MR ? URz k Bundan ba şka g eçi ş teoremi uygulanarak M ? a şa ğ ı d aki gibi de yaz ı l a bi l i r . M ? ? MO ? ?O ? R M ? ? MO ? R ? O ? i j k R ? O ? ? Rx Ry Rz x y z R ? O ? ? (Ry ? z ? Rz ? y) i ? (Rz ? x ? Rx ? z) j ? (Rx ? y ? Ry ? x) k R y ? z ? R z ? y ? M R ? U Rx ? M x R z ? x ? R x ? z ? M R ? U Ry ? M y R x ? y ? R y ? x ? M R ? U Rz ? M z 27 (22) ? (28) ? ( ?15) Problem 4.7.1 Problem 4.4.1 verilen kuvvet sisteminin merkezi ekseninin denklemini bulunuz. merkezi eksenin yoz dü zl em i ni kest i ği noktan ın koordinatlar ın ı bulunuz. R ? 22 i ? 28 j ? 15k M ? ? MO ? R ? O ? M ? ? MR ? UR MR ? MO ? UR R UR ? R , MO ? ?324 i ? 89 j ? 230k UR ? 22 i ? 28 j ? 15k 2 2 2 , UR ? 22 i ? 28 j ? 15k 1493 , UR ? 0, 5694 i ? 0, 7247 j ? 0, 3882k MR ? ( ?324 i ? 89 j ? 230k) ? (0, 5694 i ? 0, 7247 j ? 0, 3882k) MR ? ?209, 273 M ? ? ?209, 273 ? (0, 5694 i ? 0, 7247 j ? 0, 3882k) M ? ? ?119,16i ? 151, 66 j ? 81, 24k M ? ? MO ? ( ?119,16 i ? 151, 66 j ? 81, 24k) ? ( ?324i ? 89 j ? 230k) M ? ? MO ? 204,84 i ? 240, 66 j ? 148, 76k R ? O ? ? (22 i ? 28 j ? 15k) ? (x i ? y j ? z k) i j k R ? O ? ? 22 28 ?15 x y z R ? O ? ? (28 z ? 15 y) i ? ( ?15 x ? 22 z) j ? (22 y ? 28 x)k (28 z ? 15 y) i ? ( ?15 x ? 22 z) j ? (22 y ? 28 x)k ? 204,84i ? 240, 66 j ? 148, 76k 28 z ? 15 y ? 204,84 ?15 x ? 22 z ? ?240, 66 22 y ? 28 x ? ?148, 76 Bu Lineer denklem sisteminin katsay ı l ar matrisinin determinant ı 0 15 28 ? ? ?15 0 ?22 ? 15 ? ( ?22) ? ( ?28) ? 28 ? ( ?15) ? 22 ? 0 ?28 22 0 s ı fı r oldu ğu nd an bu denklem sistemi birbirinden bağ ıms ız değildir. Bu denklem sisteminin katsay ıl ar matrisinde s ı fırdan farkl ı 2x2 lik determinant bu l un du ğu nd an bu denklemlerden ikisi birbirinden bağ ıms ızd ır. 28 MO ? ? OAi ? Fi MO ? OG ? ? Fi ( ? mi ? OG ? ? mi ? OAi ) ? U ? 0 Bu denklemlerin herhangi ikisi birbirinden ba ğ ıms ız oldu ğu nd an bunlardan herhangi ikisi verilen kuvvet sisteminin merkezi ekseninin denklemi olarak al ı nab i l i r . 22 y ? 28 x ? ?148, 76 ?15 x ? 22 z ?? ?240, 66 Merkezi eksen üze ri nd e x ? 0 da 22 y ? 28 x ? ?148, 76 ? y ?? ?6, 762 ?15 x ? 22 z ? ?240, 66 ? z ? 10, 94 4.8 Paralel ba ğ l ı kuvvet sistemi ve merkezi y Ai ,mi A1 , m1 A3 ,m3 An , mn A2 , m2 F1 ? m 1U F 3 ? m 3U G Fi ? mi U Fn ? mn U F2 ? m 2U x o R z n i ?1 n i ?1 Fi ? m i ? U n n i ?1 i ?1 29 OG ? ? mi ? OAi ? mi ? m i ? xi ? m i ? mi ? y i i ?1 , ? m i ? m ? m ? ? ? mi ix ? mi ? ? ? mi iy ? mi ? ? ? mi iz ? ? mi n i ?1 n i ?1 OG ? ? i ? ? j ? ? k ? ? n i ?1 n i ?1 , ? ? n n i ?1 ? ? n i ?1 n i ?1 i ? z i i Problem 4.8.1 Paralel bağ lı bir kuvvet sistemi A1(3,7,12) noktas ı nd aki 8kg lık m1 k üt l esi , A2(6,2, –8) noktas ı nd a ki 10kg lık m2 kü tl esi ve A3(10, –4 , –5) noktas ı nd aki 3 kg lık m3 kü tl esi n den olu şmu ştur. Bu kuvvet sisteminin merkezinin koordinatlar ın ı hesaplay ın ız.( koordinatlar cm. cinsinden al ınm ı şt ır.) 3 i ?1 n i ?1 ? , ? ? m 1x 1 ? m 2x 2 ? m 3x 3 m 1 ? m 2 ? m 3 ? ? 8 ? 3 ? 10 ? 6 ? 3 ?10 8 ? 10 ? 3 , ? ?? 5, 43cm. 3 i ?1 n i ?1 ? , ? ? m 1y 1 ? m 2y 2 ? m 3y 3 m 1 ? m 2 ? m 3 ? ? 8 ? 7 ? 10 ? 2 ? 3 ? ( ?4) 8 ? 10 ? 3 , ??? 3, 05cm. 3 i ?1 n i ?1 , ? ? m 1z 1 ? m 2z 2 ? m 3z 3 m 1 ? m 2 ? m 3 ? ? 8 ?12 ? 10 ? ( ?8) ? 3 ? ( ?5) 8 ? 10 ? 3 , ??? 0, 048cm. 30 ? ? ? ? BÖ L Ü M 5 K ÜTL E MERKEZ İ 5.1 Bir s ü re k l i cismin k ü t l e merkezi y A(x,y,z) dm G( ?, ?, ?) V x O z OG ? V OA dm ? dm V OG ? ? i ? ? j ? ? k ?? V x dm ? dm V , ?? V y dm ? dm V , ?? V z dm ? dm V 31 ? ? ?R [Sin ? ? (Sin ?)] ? ? ? 2 ?R Sin ? Problem 5.1.1 R yar ı ça pl ı 2 ? tepe a çı l ı çem ber parças ı şeklindeki homojen cismin kü t l e merkezinin koordinatlar ın ı bulunuz. Ç özü m : y x ? R Cos ? d ? R d ? dm ? ? d dm ? ? R d ? d ? ? ? G O x ? OG x ekseni simetri ekseni oldu ğu i çi n ? ? 0 d ır. ?? ? x dm ? dm , ? ? ? ? ? x dm ? dm ? ? ? ? ? ? ?R Cos ? R d ? ? ? R d ? ? ? , ? ? 2 ?R[ ? ? ( ? ?)] 2 ? ? , 2 ?R ? ? ? OG ? RSin ? ? 32 ? ? ? ? 2 OG ? OG ? , ( ) , Problem 5.1.2 Ş eki l de gö st eri l en dö rt te bir çem ber parças ı şeklindeki homojen cismin kü t l e merkezinin koordinatlar ın ı bulunuz. Ç özü m : y y = x doğrusu G ? 4 ? ? 4 O ? x Ş eki l de ki dö rt t e bir çem ber parças ı i çi n y = x doğrusu simetri ekseni oldu ğu nd an 2 Problem 5.1.1 den OG ? RSin ( ) 4 OG ? ? / 4 RSin ? ? 2 2R ? ?? ? 4 ? ? ? ? 2 2 2R 2 ? ? ? ? ? 2R ? Problem 5.1.3 Ş eki l de gö st eri l en yar ım çem ber şeklindeki homojen cismin kü t l e merkezinin koordinatlar ın ı bulunuz. Ç özü m : y G ? 2 ? 2 O x 33 ? ? ? , ? ? ? , ? ? (h ? y) ? 0 a ? (hy ? y )dy ? a ? ? (h ? y)dy a h h3 ? (h2 ? a h3 ? ? , ? ? a h2 h2 ?a y Ekseni simetri ekseni oldu ğu i çi n ? ? 0 d ır. Problem 5.1.1 den ? ? OG ? RSin ? ? RSin ? / 2 2 2R ? Problem 5.1.4 Y ük s ekl i ği h olan üçg e n şeklindeki homojen levh anın kü t l e merkezinin koordinatlar ın ı bulunuz. h dA ? dy dm ? ?dA h-y dm ? ? dy h dy y O a x ?? A y dm ? dm A h ? y a h , ? h ? ? ? h y ? dy dy 0 a h , ? ? h ? ? y dy 0 h ? ? dy 0 ? ? h h 0 h h 0 2 , ? ? 3 ? ( ? h 2 3 a h 2 h 2 ) ) , ? ? h 6 h 2 ?a 6 h 2 ?? h 3 34 Rd ? R d ? dm ? ? dA ? ? R d ? Problem 5.1.5 Ş eki l de öl ç ül e ri verilen dik üçg en şeklindeki homojen l evh anın kü t l e merkezinin koordinatlar ın ı bulunuz. y 60mm. 30mm. x Problem 5.1.4 den ? ? 30 3 , ?? 60 3 ?? ? 10mm. , ??? 20mm. Problem 5.1.6 R yar ı ça pl ı 2 ? tepe a çı l ı daire dilimi şeklindeki homojen cismin kü t le merkezinin koordinatlar ın ı bulunuz. Ç özü m : y x ? 2 3 R Cos ? dA ? 1 1 2 2 2 d ? R d ? d ? ? ? G O x ? OG x ekseni simetri ekseni oldu ğu i çi n ? ? 0 d ır. 35 1 2 2 ? ? ? 2 1 ? 3 2 R d ?) R Cos ? ( ? 1 ? ? 2 R d ? ?R ? Cos ?d ? 1 ?R ? d ? 2 ?R [Sin ? ? ( ?Sin ?)] ?R [ ? ? ( ? ?)] ?R Sin ? ? ? ? ? 2 OG ? 2 4 ( ) , ?? A x dm ? dm A , ? ? ? ? ? x dm ? dm ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 , ? ? 1 3 3 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 3 1 2 2 3 , ? ? 2 3 3 ?R 2 ? ? ? OG ? 2 R Sin ? 3 ? Problem 5.1.7 Ş eki l de gö st eri l en dö rt te bir daire dilimi şeklindeki homojen cismin k üt l e merkezinin koordinatlar ın ı bulunuz. Ç özü m : y y = x doğrusu G ? 4 ? ? 4 O ? x Ş eki l de ki dö rt t e bir daire dilimi i çi n y = x doğrusu simetri ekseni oldu ğu nd an 2 Problem 5.1.4 den OG ? 2 RSin ? 3 ? ?? ? 4 RSin ( ) OG ? , 3 ? / 4 OG ? 4 2R 3 ? ? ? ? ? 2 4 2R 2 3 ? ? ? ? ? 4R 3? 36 ? ? ? , ? ? dm ? ? ? r dz , ? ? ? z ? ? r dz ? ? ? r dz ? ?? z r dz ? ? ? r dz ? Problem 5.1.8 Şekilde gö st eri l en yar ım daire dilimi şeklindeki homojen cismin kü t le merkezinin koordinatlar ın ı bulunuz. Ç özü m : y G ? 2 ? 2 O x y Ekseni simetri ekseni oldu ğu i çi n ? ? 0 d ır. Problem 5.1.4 den 2RSin 2 3 ? / 2 ? ? OG ? 4R 3 ? 2 RSin ? 3 ? Problem 5.1.9 Ş eki l de gö st eri l en R taban yar ı ça pl ı yar ım kü re şeklindeki homojen cismin kü t l e merkezinin koordinatlar ın ı gö st er i ni z . Ç özü m : z 2 m ? ? V r dz R z o y x yoz dü zl em i simetri dü zl em i oldu ğu i çi n xoz dü zl em i simetri dü zl em i oldu ğu i çi n ? ? 0 d ır. ? ? 0 d ır. ?? V z dm ? dm V R 0 R 0 2 2 , ? ? R 0 R 0 2 2 37 ? ?? (zR2 ? z )dz ? ?? (R2 ? z )dz R R4 ? ?(R3 ? R ? ? , 3 ?? R ? ?( R ) rG ? ? r dL rG ? ? r dA ? ? r dA ? rG A ? dA r 2 ? R 2 ? z 2 , ? ? R 0 R 0 3 2 , ? ? ? ?( ? 4 2 4 R 3 3 ) ) 4 ? ?( ) 4 2 3 8 3 5.2 Pappus ve Guldinus teoremleri D ön el cisimlerin yü zey al anl arın ı ve hacimlerini bulmak i çi n ku l l anı l ır. 1.Teorem E ğer bir e ğri kendi dü z l em i nd eki sabit bir eksen etraf ında dö nerek , dö nel bir yü zey olu şturursa, bu y üze yi n al anı,bu e ğrinin uzu nl uğ u ile e ğrinin k üt l e merkezinin kat etti ği yol çarp ım ına e şittir. İspat Diferansiyel alan = 2? r dL T üm yü zey i n al anı = ? 2 ? r dL l l ? dL l ? ? r dL ? r G L l r r G G T üm yü zey i n al anı = 2 ? r G L 2.Teorem E ğer bir yü zey kendi d üzl em i nd eki sabit bir eksen etraf ında dö nerek , dö nel bir dolu cisim olu şturursa, bu cismin hacmi, bu yü zey i n al anı ile e ğrinin kü t l e merkezinin kat etti ği yol çarp ım ına e şittir. İspat Diferansiyel hacim = 2? r dA T üm cismin hacmi = ? 2 ? r dA A A A A r r G G T üm yü zey i n hacmi = 2 ? r G A 38 K ü r e n i n al a n ı n ı n A ? 4 ? R2 ve hacminin V ? ? R3 o l d u ğ u n u g ö st e r i n i z. 4R ? R2 4 ? R3 3? Problem 5.2.1 4 3 Ç özü m : G K üren i n yü zey alan ı i çi n: Y arım çem beri n kü tl e merkezi = rG ? Y arım çem beri n uzunluğu = L ? ? R 2R ? G K üre ni n yü zey al anı= 2 ? rG L ? 2 ? K üre ni n hacmi i çi n: 2R ? ? R ? 4 ? R 2 Y arım dairenin kü t l e merkezi = rG ? 4R 3 ? Y arım dairenin al anı = A ? ? R 2 2 K üre ni n hacmi = 2 ? r G A ? 2 ? ? 2 3 39 OG ? ? mi ? OAi ? mi ? m i ? xi ? m i ? m i ? y i ? mi ? m ? m ? ? ? Vi ix ? Vi ? ? ? Vi iy ? Vi ? ? ? Vi iz ? ? Vi 5.3 B i l eş i k cismin k ü t l e merkezi Bir bile şik cismin kü t l e merkezi bu cismi olu şturan cisimlerin k üt l e merkezleri bulunduktan sonra daha ön ced en çıkar ı l an paralel bağ lı v ekt ör sisteminin merkezine ait olan form ül l erl e hesaplan ır. n i ?1 n i ?1 OG ? ? i ? ? j ? ? k ? ? n i ?1 n i ?1 , ? ? n i ?1 n i ?1 , ? ? n i ?1 n i ?1 i ? z i i E ğer bile şik cismi olu şturan cisimlerin yoğunlu ğu ayn ı ise yukar ı dak i denklemlerde mi ? ?Vi yaz ı l abi l i r ve ? lar toplam d ı ş ına al ın ıp k ısalt ıl abi l ece ğinden d ol ayı a şa ğ ı da ki e şitlikler elde edilir. n i ?1 n i ?1 ? , n i ?1 n i ?1 ? , n i ?1 n i ?1 40 3? , y3 ? ? 3? ? , ? ? ? mi ix ? mi ? ? ? mi ? yi ? mi ?? , ? ? ? mi iz ? ? mi Problem 5.3.1 Homojen fakat farkl ı kal ı nl ı kl ar da ki levhalardan şekildeki taral ı alan gibi olu şturulmu ş cismin kü t l e merkezinin koordinatlar ın ı hesaplay ın ız. y ¼ daire dilimi kal ı nl ık 1mm. kal ı nl ık 2mm. 2 3 1 4 30 30 x 90 k alı n l ık 3mm. z 90 5 6 (Ö l çül er mm. cinsindendir. ) z 3 ? y 3 ? 4R 4 ? 90 120 A 3 ? ?R 2 4 , A3 = 2 0 2 5 ? 6 i ?1 6 i ?1 ? , ? ? 1149750 35898,45 , ??? 32, 03mm. 6 i ?1 6 i ?1 , 562500 35898,45 ??? 15,67mm. 6 i ?1 6 i ?1 , ? ? 1488375 35898,45 , ? ? ? 41,46mm. 41 x Y z A M= ?A mx my mz 1 30 30 0 4050 4050 121500 121500 0 2 10 10 0 -450 -450 -4500 -4500 0 3 0 12 0/? 12 0/? 2025? 4050? 0 486000 486000 4 0 15 22,5 -1350 -2700 0 -40500 -60750 5 45 0 45 8100 24300 1093500 0 1093500 6 10 0 15 -675 -2025 -20250 0 -30375 ? 16036,7 35898,45 1149750 562500 1488375 z2 ? 42 ? , z2 ? 42 ? ? 47, 093cm. , V2 ? ? ? ? Vi ix ? Vi ?? , ? ? ? Vi iy ? Vi ?? , ? ? ? Vi iz ? ? Vi ?? , Problem 5.3.2 Ş eki l de gö st eri l en i çi dolu homojen cismin kü t l e merkezinin koordinatlar ın ı hesaplay ın ız. 2 1 y z x 3 ( Ö l çül er cm. cinsindendir. ) 4R 3 ? 16 ? ?R 2 2 21 , V 2 ? 756 ? ? 2375, 04cm 3 3 ? i ?1 3 i ?1 3 i ?1 3 i ?1 3 i ?1 3 i ?1 ? , , , 259836, 5 21653, 04 220742 21653, 04 545036 21653, 04 ??? 12cm. ? ? ? 10, 2cm. ? ? ? 25,17cm. 42 x y z V Vx Vy Vz 1 12 10,5 21 21168 254016 222264 444528 2 12 10,5 47,093 2375,04 28500,5 24938 111848 3 12 14 6 -1890 -22680 -26460 -11340 ? 21653,04 259836,5 220742 545036 BÖ L Ü M 6 STAT İK 6.1 G i ri ş Statik kuvvetler etkisinde cisimlerin denge ko ş ul l arın ı inceleyen bilim dal ıd ır. Bu tan ımlamada ad ı geç en kuvvet , cisim ve denge terimlerini açı kl aya l ı m . Kuvvet: Ele al ınan Cisme ba şka cisimler taraf ından uygulanan ve cismin hareket veya denge durumlar ı ile şeklini deği ştiren etkiye kuvvet denir. Kuvvetler etkinin cinsine gö re : Temas etkisi ( yü zey kuvvetleri) ve uzaktan etki ( hacim kuvvetleri) olmak üze re ikiye ayrılır. Dengesi incelenen cisimle temasta olan m afs al , m esne t, kab l o , çub uk gibi di ğer cisimlerden gelen kuvvetler yü zey kuvvetleridir. Uzaktan etki kuvvetlerine örne k, a ğ ı rl ık kuvvetleri, manyetik ve elektriksel alanlardan gelen kuvvetler verilebilir. Kuvvetler cisme etki b öl gesi ne gö re: İç kuvvet d ı ş kuvvet şeklinde ikiye ayrılır. F 1 F 2 F 3 F 4 F 3 F 1 F M ?M F 4 F 2 ?F Ş eki l de gö st eri l en F 1 , F 2 , F 3 , F 4 kuvvetleri d ı ş kuvvetler, F ve ? F kuvvetleri ise iç kuvvetlerdir. İç kuvvetler şekilde gö st eri l di ği gibi cismin i çi nd e va rol du ğu dü ş ün ül en bir kesitte olu şur.Bu hayali kesitle cisim iki parçay a ayrılır. Olu şan bu iki ayr ı kesitteki iç kuvvetlerin etki tepki ilkesine gö re şiddet ve do ğru l t u l ar ı ayn ı yö nl e ri zıtt ır. 43 Kuvvetler cisme mesnetler ve di ğ e r cisimlerden uygulanma durumuna g ö r e : Bilinen kuvvetler (aktif kuvvetler) ve mesnet veya b ağlardan g el ec e ği dü ş ü n ü l e n tepki kuvvetleri (reaktif kuvvetler) olmak ü ze r e ikiye ayr ılır. Aktif kuvvetler: A ğ ı r l ık kuvvetleri veya cismin zorlanma ko ş u l l a r ına g ö r e bilinen d ı ş kuvvetlerdir. Tepki kuvvetleri : mesnet,mafsal, kablo, çu b u k gibi di ğ e r cisimlerin u y g u l a d ı k l a r ı kuvvetlerdir. Bu tepki kuvvetlerinin tam zıtt ı dengesi incelenen cisim taraf ından di ğ er cisimlere ayn ı şekilde etkir. Sürt ü n m esi z temaslarda tepki kuvveti temas y ü z e y i n e diktir. İki boyutlu mesnet ve b a ğlar ile bunlardan cisme gelen tepki kuvvetleri: Yuvarlanan elemanlar kavisli y ü ze y sü r t ü n m esi z kayma y ü z e y i n e y ü ze y dik tepki kuvveti Ç u b u k d o ğ r u l t u s u n d a hareket edebilen tepki kuvveti hareket bilezik ve buna m af sal l ı di ğ e r ç u b u k d o ğ r u l t u s u n a dik Kanal d o ğ r u l t u s u n d a hareket kanal d o ğ r u l t u s u n a dik tepki kuvveti 44 y Ry Rx x Sabit silindirik m af sal l ı Tepki kuvvetinin d o ğ r u l t u s u bilinmiyor. y Rx x Ry Pürü zl ü y ü ze y Y ü ze y tepkisinin d o ğ r u l t u s u bilinmiyor y Rx x MO Ry Ankastre mesnet Bilinmeyen kuvvet ve şiddeti bilinmeyen moment 45 Üç boyutlu mesnet ve bağlar ile bunlardan cisme gelen tepki kuvvetleri: y x z Ry tek noktadan kü reye temas temas yü zey i ne dik tepki kuvveti y x z Ry S ürt ün m esi z temas temas yü zey i ne dik tepki kuvveti y x z Rz Ry P ürüz l ü yü zey de ray üze ri nd e iki do ğrul t ud a bilinmiyen Yuvarlanan tekerlek yuvarlanan tekerlek tepki kuvveti 46 y Rx x z Rz Ry P ürüz l ü yü zey kü resel mafsal üç do ğrul t ud a bilinmiyen tepki kuvvetleri K üre s el mafsal ın ayr ınt ılı şekli y My Ry Rz Rx Mx x z Mz ankastre mesnet üç do ğrul t ud a bilinmiyen tepki kuvveti ve üç do ğrul t ud a bilinmiyen tepki momenti 47 y Ry Rx Mx x Z Rz Ü ni versal kavrama üç do ğrul t ud a bilinmiyen kuvvet ve bir do ğrul t ud a bilinmiyen moment y My Ry Rz Mz x z İki do ğrul t ud a bilinmiyen kuvvet ve . iki do ğrul t ud a bilinmiyen moment Eksenel do ğrult ud a hareket edebilen silindirik mafsal 48 y My Ry Mz Rz Rx x z Üç do ğrult ud a bilinmiyen kuvvet ve İki do ğrul t ud a bilinmiyen moment Eksenel do ğrult ud a hareket yet ene ği olmayan silindirik mafsal Bunlardan ba şka ip kuvveti ip do ğru l t usu nd a d ır. Birde a ğ ı rl ı ksı z olup uç noktalar ından sürtünmesi z mafsall ı ve uç noktalar ı d ı ş ında yük ta ş ım ıyan çub uk l ardan gelen tepki kuvvetleride çub uk do ğrul t usu nd a kabul edilir. 6.2 İ ç kuvvetler ve kesit zo rl ar ı İç kuvvetlerin cismin bir kesiti i çi n dek i bile şenlerine kesit zorlar ı denir. Kesite etki eden kuvvetin kesite dik bile şenine Normal kuvvet denir. Kesite etki eden kuvvetin kesit i çi nd eki bile şenine Kesme kuvveti denir. Kesite etki eden momentin kesite dik bile şenine Burulma momenti denir. Kesite etki eden momentin kesit i çi nd eki bile şenine E ğilme momenti denir. 6.3 S t at i ğ i n temel ilkelerinin g eçe rl i o l d u ğ u referans sistemleri Orijininde güne ş bulunan ve y ı l dı zl ar a do ğru yö n el m i ş koordinat sistemlerine Newton veya Galileo eksen sistemleri denir. S t ati ğin temel ilkeleri bu eksen sitemlerine gö re geç erl i di r . Bir Newton eksen sistemine gö re sabit h ızda ö t el e m e hareketi yapan di ğer eksen sistemleri de Newton eksen sistemidir. Herhangi bir cisim Newton eksen sistemine g öre hareketsiz veya sabit h ızda öt el e m e hareketi yap ıyorsa bu cisim dengededir denir. 49 6.4 Bir maddesel n o k t an ı n kuvvetler etkisinde dengesi Bir maddesel noktaya etki eden bü t ün kuvvetler ayn ı noktada kesi ş e ceğinden do l ayı bu kuvvetlerin geometrik toplam ın ın s ı fı r olmas ı denge i çi n gerek ve yeter ko şuldur. R ? 0 R ? ? F x i ? ? F y j ? ? F z k ? F x ? 0 , ? F y ? 0 , ? F z ? 0 6.5 Bir rijid cismin kuvvetler etkisinde dengesi Bir rijid cisme etki eden kuvvvet sisteminin s ıfıra e ş değ er olmas ı bu cismin dengesi i çi n gerek ve yeter ko şuldur. R ? 0 , ? M O ? 0 ? F x ? 0 , ? F y ? 0 , ? F z ? 0 ? M x ? 0 , ? M y ? 0 , ? M z ? 0 B öy l ec e en genel durumda üç boyutlu kuvvetler etkisindeki bir cismin dengesinde denklem say ıs ı al t ı olur. Bu denklemlerden al t ı bilinmiyen çöz ül ebi l i r . Üç boyutlu kuvvetler etkisinde dengesi incelenen cisimde bilinmiyen say ıs ı al t ıdan fazla ise b öy l e sistemlere hiperstatik sistemler denir. 6.6 Rijid cisim sisteminin kuvvetler etkisinde dengesi Bir rijid cisim sistemine etki eden kuvvet sisteminin s ı fıra e ş değ er olmas ı denge i çi n gerekli fakat yeterli ko şul değildir. Bundan do l ayı rijid cisim siteminin el em anl arına ayr ı l ar ak incelenmesi gerekir.Her bir eleman i çi n s ı fıra e ş değerlik ko şulu ve birle şme noktalar ında etki tepki ilkesi gö zön ün e al ınarak çöz üm e gidilir. 6.7 D ü zl e m s el kuvvetler etkisinde cisimlerin dengesi E ğer cisme etki eden d ı ş kuvvetler ve mesnetlerden gelen tepkiler ayn ı dü zl em i çi nd e ise incelenen problem dü zl em statik problemidir. A yn ı dü zl em de bulunan kuvvetlerin momenti bu dü zl em e dik ol acağ ından do l ayı bu durumda R ? 0 , ? M O ? 0 s ı fıra e ş değerlik ko şulu a şa ğ ı d aki gibi yaz ı l abi l i r . ? F x ? 0 , ? F y ? 0 , ? M z ? 0 B öy l ec e dü zl em sel kuvvetler etkisindeki bir cismin dengesinde denklem say ıs ı üçe inmi ş olur. Bu denklemlerden üç bilinmiyen ç öz ül ebi l i r . D üzl em s el kuvvetler etkisinde dengesi incelenen cisimde bilinmiyen say ıs ı üçt en fazla ise bö yl e sistemlere hiperstatik sistemler denir. 50 Problem 6.7.1 1000 kg kü t l el i bir sabit vi nç 2400 kg kü t l el i bir cismi kal dırmakta ku l l anı l ı yo r . V i nç A da sabit B de kay ıc ı mafsal ile mesnetlenmi ştir. Vincin kü t l e merkezi G dir. A ve B mesnetlerindeki tepkileri bulunuz. A G 2400kg 1,5m B 2m 4m Ç özü m : y R Ay 2400g R Ax A 1000g 1,5m R Bx B x 2m 4m B deki mesnet kay ıc ı mafsal oldu ğu i çi n y ekseni do ğrult usu nd a kuvvet ta ş ıyamaz. Bundan do l ayı B mesneti sadece x ekseni do ğrul t usu n da tepki kuvveti uygulayabilir. R B y ? 0 ?F x ? 0 ?F y ? 0 ? ? R Ax ? R Bx ? 0 R Ay ?1000g ? 2400g ? 0 ?M A ? 0 ? R Bx ?1,5 ?1000g ? 2 ? 2400g ? 6 ? 0 51 ? ?107, 256? ? ?33,354? Bu e şitliklerden R Bx ? 107, 256kN R Ax x ? ?107, 256kN ? ?R B R Ay ? 33,354kN RA ? 2 2 RA ? 112,32kN Problem 6.7.2 Hareketli bir kol C ye bağ l anm ı ş bir kablo ve A ile B deki sü rt ün m esi z tekerlekler yard ım ı yl a dengede tutuluyor. Ş eki l de ki yü kl em e halinde kablodaki kuvveti ve A ile B deki tepkileri hesaplay ın ız. 475mm 75mm 50mm 600N B C 90mm A Ç özü m : 475mm 75mm 50mm 600N S C R B B C 90mm A R A A ve B mesnetlerinde sürt ün m e ol m adı ğ ı i çi n buradaki tepkiler yatay do ğrul t u dad ır. 52 ?F x ? 0 ?F y ? 0 ? ? R B ? R A ? 0 S C ? 600 ? 0 ?M C ? 0 ? R A ? 90 ? 600 ? 600 ? 0 Bu üç denklemden RA ? 4000 Newton , RB A ? 4000 Newton ? R S C ? 600N bulunur. Problem 6.7.3 Yay katsay ıs ı k olan AC iç yay ı ? = 60 0 iken d oğal uzu nl uğ un dad ır. a) Sistemin denge durumunda ?, W , a ve k aras ı nd aki bağ ınt ıy ı bulunuz. b) Denge durumunda W=80N , a =300 mm ve ? =25 0 oldu ğu bilindi ğine gö re yay katsay ıs ı k y ı hesaplay ın ız. W B C A ? a Ç özü m : W B N C F A ? a 53 ? , cos 60 cos ? a) ?F x ? 0 ?F y ? 0 ? ? F cos ? ? N ? 0 F sin ? ?W ? 0 Bu iki denklemden F ? W sin ? e şitli ği bulunur. A yrı ca F yay kuvveti F ? k ? ?s denklemi ile hesaplan ır. Yaydaki k ısalma ?s ? 1 F ? k a(2 ? ) cos ? a a 0 ?s ? a(2 ? 1 cos ? ) k a(2 ? 1 cos ? ) ? W sin ? , 2sin ? ? tan ? ? W ka b) k ? W a ? 2sin ? ? tan ? ? , k ? 80 300 ? 2sin 25 0 ? tan 25 0 ? k ? 0, 704N / mm k ? 704N / m Problem 6.7.4 A şa ğ ıda gö st eri l en çer çev e kü çük bir yap ın ın çat ıs ın ı desteklemektedir. Kablodaki gerilme kuvvetinin 150 kN oldu ğu bilindi ğine gö re E ankastre mesnetindeki tepkileri bulunuz. D 2,25m A B C 20kN 20kN 20kN 20kN 3,75m 1,8m 1,8m 1,8m 1,8m E I 4,5m 54 cos ? ? , cos ? ? 0, 6 sin ? ? , sin ? ? 0,8 Ç özü m : y D A B C 6m 20kN 20kN 20kN 20kN 1,8m 1,8m 1,8m 1,8m R Ex E ? I x R Ey M E 4,5m ? 150kN ?F x ? 0 ?F y ? 0 ? ? R E x ?150 cos ? ? 0 R Ey ? 20 ? 4 ?150sin ? ? 0 ?M E ? 0 ? M E ? 20 ? (1,8 ? 2 ?1,8 ? 3 ?1,8 ? 4 ?1,8) ? 4,5 ?150 ? sin ? ? 0 cos ? ? EI DI , sin ? ? DE DI , DI ? 4,5 2 ? 6 2 , DI ? 7,5m 4,5 7,5 6 7,5 R E x ? ?150 ? 0, 6 , R E x ? ?90kN R Ey ? 20 ? 4 ? 150 ? 0,8 , R Ey ? 200kN RE ? ? ?90 ? 2 ? ? 200 ? 2 RE ? 219, 4kN M E ? ?20 ? (1,8 ? 2 ?1,8 ? 3 ?1,8 ? 4 ?1,8) ? 4,5 ?150 ? 0,8 ? 0 M E ? 180kNm. 6.8 Üç boyutlu kuvvetler etkisindeki bir rijid cismin dengesi ile ilgili uygulamalar E ğer cisme etki eden d ı ş kuvvetler ve mesnetlerden gelen tepkiler ayn ı dü zl em i çi nd e değil ise incelenen problem uzay statik problemidir. R ? 0 , ? M O ? 0 s ı fıra e ş değerlik ko şulu a şa ğ ı d aki gibi yaz ı l abi l i r . 55 ? F ? 0 ? F x ? 0 , ? F y ? 0 , ? F z ? 0 ? M x ? 0 , ? M y ? 0 , ? M z ? 0 Problem 6.8.1 120kg kü t l el i ve 1.5m x 2.4m boyutlar ı nd aki di kd ört gen şeklindeki bir reklam panosu A da kü resel mafsal E ile B de birer kablo yard ım ı ile şekildeki gibi tesbit edilmi ştir. Kablolardaki kuvvetleri ve A mafsal ı nd aki tepki kuvvetini bulunuz. y 2,4m 0,6m D 1,2m C 0,9m A z E 1,8m B 0,6m x 1,5m Ç özü m : y 2,4m 0,6m D 1,2m C R Ay 0,9m R Ay R Az A S EC E S BD z 1,8m B G x 1,2m W=120g 1,2m 56 U EC ? , U EC ? ? ?1,8? ? 0,92 ? 0, 62 , U EC ? ? i ? j ? k , SEC EC EC EC k ?? S i ? S j ? S U BD ? , U BD ? ? ?2, 4? ? 1, 22 ? 2, 42 U BD ? ? SBD BD BD BD k , RA x y z k ? Ri ? R j ? R ?? S i ? S j ? S 1,8 i ? ( ? SEC EC EC BD BD BD k ) ? i ? S j ? S k ) ? 2, 4 i ? ( ? S i ? S j ? S 1,8 ? SEC EC BD BD j ? 1, 2 ?120gk ? 0 k ? 1,8 ? S j ? 2, 4 ? S k ? 2, 4 ? S ? M A BD EC BD EC ? 144g) k ? 0 ? ( ? S ) j ? ( ? S S S SBD EC ? 0 ? S SBD EC ? 144g ? 0 ? S SBD EC ? 0 ? S SBD EC ? 288g ? S ? F ? ( ? 7 S i ? SEC EC BD BD BD k ) ? j ? S k ) ? ( ? S i ? S j ? 6 3 2 2 1 2 ? F ? ( ? 7 S ? SBD ? Rx )i ? ( SEC ? SBD ? Ry ? 120g ) j ? ( SEC ? 3 7 3 7 3 ? SEC BD x ? 0 ? S ? R ? ? 140g ? 45g ? Rx ? 0 SEC BD y ? 120g ? 0 ? 3 1140g ? 45g ? Ry ? 120g ? 0 ? ? S ? R SEC BD z ? 0 ? ? R S ? 2 2140g ? 45g ? Rz ? 0 s ı fıra e ş değerlik ko şulu ? F ? 0 ? S EC ? S BD ? R A ? W ? 0 ? M A ? 0 ? AE ? S EC ? AB ? S BD ? AG ? W ? 0 S EC ? S ECU EC , EC EC (0 ? 1,8)i ? (0,9 ? 0) j ? (0, 6 ? 0)k 2 U EC ? ?1,8i ? 0,9 j ? 0, 6k 2,1 6 3 2 6 3 2 7 7 7 7 7 7 S BD ? S BDU BD , BD BD (0 ? 2, 4)i ? (1, 2 ? 0) j ? ( ?2, 4 ? 0)k 2 U BD ? ?2, 4i ? 1, 2 j ? 2, 4k 3, 6 , 2 i ? 1 j ? 2 k 3 3 3 2 1 2 3 3 3 , W ? ?120g j AE ? 1,8 i , AB ? 2, 4 i , AG ? 1, 2 i ? 0, 75 j ? M A ? 0 ? AE ? S EC ? AB ? S BD ? AG ? W ? 0 6 3 2 2 1 2 7 7 7 3 3 3 ?(1, 2 i ? 0, 75 j ) ? ( ?120g j ) ? 0 3 2 1 2 7 7 3 3 4,8 3, 6 2, 4 5, 4 3 7 3 7 4,8 3, 6 3 7 2, 4 5, 4 3 7 ? 4,8 3, 6 3 7 4,8 10,8 3 7 ? 14, 4 7 SEC ? 288g S EC ? 140g , S BD ? 45g , SEC ? 1373, 4N , SBD ? 441, 45N EC S 7 7 3 3 3 ? (Rxi ? Ry j ? Rz k ) ? ( ?120g j ) ? 0 6 2 3 1 2 2 EC SBD ? Rz )k ? 0 6 2 7 3 6 2 7 3 ? R x ? 150g 3 1 7 3 7 3 R y ? 45g 2 2 7 3 7 3 ? R z ? ?10g R x ? 1471,5N R y ? 441, 45N R z ? ?98,1N 57 Problem 6.8.2 450 N luk bir yük şekildeki gibi bü kü l m ü ş bir rijid borunun C kö şesine uygulanm ı şt ır. Boru A da zemine ve D de dü şey duvara kü resel mafsal ile E de ise EG kablosu yard ım ı ile tesbit edilmi ştir. a) EG kablosundaki gerilme kuvvetinin minumum olmas ı i çi n kablonun kar ş ı duvara bağ l and ı ğ ı G noktas ı nerde ol m al ıd ır. b) Bu durumdaki minumum kablo kuvvetinin şiddetini bulunuz. y G D E C 2m 2m 4m P x 2m A 4m z Ç özü m : y G ( x,y) S EG R Dx R Dz D B E C R Dy 2m 2m 4m P 0 x 2m R Ax R Az A A 4m R Ay z 58 U EG ? , U EG ? ? SEG EG EG EG k ?? S i ? S j ? S U AD ? , i ? j ? k DE ? SEG EG EG EG k ) ? ( ?2 i ? 2k ) ? ( ? S i ? S j ? S ? SEG ? SEG SEG DE ? SEG ? ? (DE ? SEG AD AD EG EG EG k )] ? ( i ? ) ? U ? (DC ? P) ? U ? [( ? S ? 900) i ? S j ? S j ? k ) ? 0 ? SEG EG EG ? 0 ? 600 ? ? S S S EG kablo kuvvetinin minumum olmas ı i çi n kablonun do ğru l t usu ayn ı kuvvetle AD eksenine gö re en büyük momenti verecek şekilde ol m al ı yani AD ekseni ile E noktas ın ın olu ş t urdu ğu dü zl e m e dik ol m al ıd ır. ED ? AD ? ? EG olm al ı EG ? (x ? 2) i ? ( y ? 4) j ? 2k , ED ? 2 i ? 2k , AD ? 4i ? 4 j ? 2k i j k ED ? AD ? 2 0 ?2 , ED ? AD ? 8 i ? 4 j ? 8 k 4 4 ?2 8 i ? 4 j ? 8 k ? ?(x ? 2) i ? ?( y ? 4) j ? 2 ?k ?(x ? 2) ? 8 ?( y ? 4) ? ?4 ?2 ? ? 8 ? ? ? ?4 ?4x ? 8 ? 8 ?4 y ? 16 ? ?4 ? x ? 0 y ? 5 ?M AD ? 0 ? (DE ? S EG ) ? U AD ? (DC ? P) ? U AD ? 0 DE ? ?2 i ? 2k , DC ? 2k , P ? ?450 j , S EG ? S EGU EG EG EG U EG ? ?2 i ? j ? 2k ( ?2) 2 ? 1 2 ? ( ?2) 2 , 2 i ? 1 j ? 2 k 3 3 3 2 1 2 3 3 3 AD AD U AD ? 4i ? 4 j ? 2k 4 2 ? 4 2 ? ( ?2) 2 , U AD ? 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 3 3 DE ? S EG i j k ? ?2 0 2 2 1 2 3 3 3 , 2 SEG i ? 8 SEG j ? 2 SEG k 3 3 3 DC ? P ? 2k ? ?450 j , DC ? P ? 900 i 2 8 2 2 2 1 3 3 3 3 3 3 4 16 2 9 9 9 ?2SEG ? 600 ? 0 ? SEG ? 300 N 59 ? M Problem 6.8.3 A da ankastre mesnetli ABCDE cismi şekildeki gibi yü kl enm i ştir. a) A ankastre mesnetindeki tepkileri hesaplay ın ız. b) A ya çok yak ın x eksenine dik kesitteki kesit zorlar ın ı bulunuz. 20cm E F2 = 200N y F1 = 200N D A B x 20cm z 40cm C F3 = 350N F4 = 250N Ç özü m : R A y 20cm F1 =200N D E F2 = 200N M A A B 20cm x z 40cm C F3 =350N F4 =250N a) s ı fıra e ş değerlik ko şulu ? F ? 0 ? R A ? F 1 ? F 2 ? F 3 ? F 4 ? 0 ? M A ? 0 ? M A ? AD ? F 1 ? AE ? F 2 ? AC ? F 3 ? AC ? F 4 ? 0 F 1 ve F 2 kuvvet çi ft i oldu ğu nd an geometrik toplam ı s ı fı r bile şke momenti ise 200 ? 20 j d ır. F 3 ? 350 i , F 4 ? ?250 j , AC ? 40 i ? 20 k ? F ? R A ? 350 i ? 250 j ? 0 ? R A ? ?350 i ? 250 j ? M A A ? 4000 j ? (40 i ? 20 k ) ? (350 i ? 250 j ) ? 0 , M A ? ?5000 i ? 11000 j ? 10000k 60 b) A da ki x eksenine dik kesitteki normal kuvvet R A kuvvetinin kesite dik bile şenidir. normal kuvvet = ?350N ( Bu kuvvet cismi ç ekm eye ç al ı şt ı ğ ından pozitif al ı n m a l ıd ır.) A da ki x eksenine dik kesitteki kesme kuvveti R A kuvvetinin kesit i çi n d e k i bile şenidir. kesme kuvveti = 250N. 250N A da ki x eksenine dik kesitteki burulma momenti M A momentinin kesite dik bile şenidir. burulma momenti = ?5000Ncm A da ki x eksenine dik kesitteki e ğilme momenti M A momentinin kesite i çi n d e k i bile şenidir. e ğilme momenti = ?11000 j ? 10000k e ğilme momenti = 11000 2 ? 10000 2 ? 14866 Ncm 61 BÖ L Ü M 7 SÜR TÜ N M E 7.1 S ü rt ün m e ve s ü rt ü n m e k at s ay ı s ı W f ? R ? N W P f R ? N Yukardaki şekillerde g öst eri l d i ği gibi e ğim açıs ı ? olan bir e ğik dü zl e m üze ri ne b ırak ı l an bir cismin ? n ın belli değerlerine kadar dengede k al dı ğ ı bilinir. A yn ı şekilde yatay dü zl em üze ri ne b ırak ı l an bir cisme yatay do ğrul t u da bir P kuvveti uygulan ı rsa P nin belli değerlerine kadar cismin dengede kal dı ğ ı bilinir. B üt ün bunlar ın nedeni temas eden yü zey l er do ğrul t usu n da tepki kuvvetlerinin olu şmas ıd ır. Bu kuvvetlere sürt ün m e kuvvetleri denir. f ? N tan ? S ürt ün m e kuvvetinin maksimum değeri birbirlerine temasta olan cisimlerin cinslerine ve temas yü zey l e ri ni n öz el l i kl eri ne bağ lıd ır. dengede kalmak şart ı yl a ? n ın en büyük değerinin tanjant ına sürt ün me katsay ıs ı denir ve ? ile gö st eri li r . ?=tan ?maks. , fmaks. ? ?N 62 Çe şitli malzemeler i çi n sürt ün m e katsay ıl arı tablosu Problem 7.1.1 ? = 60 0 e ğim açı l ı e ğik dü zl em ile üz eri nd e ki W = 100 N. a ğ ı rl ı ğ ı nd a ki cismin sü rt ün m e katsay ıs ı ? ? 0.4 d ır. P kuvvetinin hangi değerleri aras ında cisim e ğik dü zl em üze ri nd e hareketsiz kal ır. Bu s ın ırlardaki sürt ün m e kuvvetinin değerlerini bulunuz. W P ? 63 metal üst ün de metal a0.15-0.60 metal tahta üst ün de 0.20-0.60 metal ta ş üst ün de 0.30-0.70 metal deri üst ün de 0.30-0.60 tahta tahta üstün de 0.25-0.50 tahta deri üs t ün de 0.25-0.50 ta ş ta ş üs t ün de 0.40-0.70 toprak toprak üst ü nd e 0.20-1.00 lastik beton üst ün de 0.60-0.90 Ç özü m : Cismin a şa ğ ı doğru kaymamas ı i çi n gerekli olan en kü çük P kuvveti P min. d ır.Bu durumda sürt ün m e kuvvetinin yönü yukar ı do ğrud ur . x W ? y P min. f N ? x ekseni e ğik dü zl em doğrultusunda ve y ekseni buna dik do ğrul t ud a al ın ıp bu dü zl em de denge denklemleri a şa ğ ı da ki gibi yaz ı l abi l i r . ? F x ? 0 ? P min ? f ? W sin ? ? 0 (1) ? F y ? 0 ? N ? W cos ? ? 0 ? N ? 100 cos 6 ? ? , N ? 50 Newton f ? ? N ? f ? 0, 4 ? 50 , f ? 20 Newton P min ? ? f ? W sin ? , P min ? 50 3 ? 20 , P min ? 66, 6 Newton Cisim yukar ı do ğru çıkma meyilinde ve hareketsiz durumda en büyük P kuvveti P m aks. d ır. Bu durumda sürt ün m e kuvveti a şa ğ ı do ğrud ur . x W ? y P m aks. f N ? Bu durumda sürt ün m e kuvvetinin yö n ü deği şti ğinden sadece birinci denklem deği şir. ? F x ? 0 ? P m aks. ? f ? W sin ? ? 0 ? P m aks. ? f ? W sin ? P m aks. ? 50 3 ? 20 , Pm aks. ? 106, 6 Newton , 66, 6 Newton ? P ? 106, 6 Newton 64 7.2 mesnetlerdeki s ü rt ü n m el er Mesnetlerde temas yü z eyi belli ise sürt ün m e kuvveti bu y üze ye t eğe tt i r . E ğer mesnet mafsal şeklinde ve temas yü z eyi bilinmiyorsa ise sürt ün m e momenti göz önüne al ınarak i şlem yap ı l abi l i r . Problem 7.2.1 Ş eki l de gö rül en hareketli konsol 10 cm. çap ı nd aki bir borunun üze ri nd e istenilen bir yü ksek l i ğe konulabilmektedir. Konsolla boru aras ı nd aki sürt ün m e katsay ıs ı ? ? 0, 25 oldu ğuna gö re , konsolun a ğ ı rl ı ğ ın ı ihmal ederek W yü kü n ün ta ş ı nab il eceği en k üçü k x uza kl ı ğ ın ı bulunuz. x W 20 cm. 10 cm. Ç özü m y x W f A x A N A 20 cm. f B N B 10 cm. B f A ? ? N A , ? F x ? 0 ? N B ? N A ? 0 ? N B ? N A f B ? ? N B , f A ? 0, 25 N A , f B ? 0, 25N B 65 x ? , x ? 40 cm. ? F y ? 0 ? f A ? f B ? W ? 0 ? f A ? f B ? W ? N B A ? 2W ? N ? M B ? 0 ? 20 N A ? 10 f A ? (x ? 5)W ? 0 20 N A ? 10 f A ? W x ? 5W ? 0 ? x ? 20 N A ? 10 f A ? 5W W f A ? fB ? W 2 x ? 20 ? 2W ? 10 ? W W 2 ? 5W , 40W ? 5W ? 5W W Problem 7.2.2 Ş eki l de ki mekanizmada Bilezik ve çub uk aras ı nd aki s ürt ün m e katsay ıs ı ? ? 0, 4 , ? = 60 0 ve P = 200 N. olduğu bilindi ğine gö re mekanizma kranka uygulanan M momentinin hangi değ erl eri nd e dengededir. P C A M 100 mm. ? B 100 mm. 66 SC sin ? ? 0, 4 cos ? , SC ? sin 60 ? 0, 4 cos ??? sin ? ? 0, 4 cos ? , SC ? sin 60 ? 0, 4 cos ??? Ç özü m : y f P N C R Ay A R A x S C M x 100 mm. S C ? B 100 mm. C Bilezi ğinin yukar ı d oğ ru kayma ba ş l ang ıc ında dengesi i çi n : f ? ? N , f ? 0, 4 ? N ? F x ? 0 ? S C cos ? ? N ? 0 ? N ? S C cos ? , f ? 0, 4 S C cos ? ? F y ? 0 ? S C sin ? ? f ? P ? 0 ? sin ? ? 0, 4 S C cos ? ? P ? 0 S C (sin ? ? 0, 4 cos ?? ? P ? SC ? P 0 200 S C ? 300, 289 N. AB çub uğ un un dengesi i çi n : ? M A ? 0 ? M maks. ? 100 S C cos ? ? ? ? M maks. ? 100 S C cos ? M maks ? 100 ? 300, 289 cos ?? ? , M maks. ? 15014,5Nmm. C Bilezi ğinin a şa ğ ı do ğru kayma ba ş l ang ıc ında dengesi i çi n : Bu durumun yukar ı dak i şekilden fark ı sürt ün m e kuvvetinin yönü yukar ı do ğrud ur . ? F y ? 0 ? S C sin ? ? f ? P ? 0 , S C sin ? ? 0, 4 S C cos ? ? P ? 0 S C (sin ? ? 0, 4 cos ?? ? P ? SC ? P 0 200 S C ? 187, 613 N. M min. M min. ? 9380, 6 Nmm. ? 100 S C cos ? , M min. ? 100 ?187, 613cos ?? ? , 9,38 Nm. ? M ? 15, 01 Nm . 67 ds S2 0 7.3 Halat veya k ay ı ş kasnak s ü rt ün m es i y ? x d ?/2 d ?/2 s df s + ds ? d ? d ?/2 dN d ?/2 s 1 s 2 Silindirik yü zey üze ri n e sa rı l ı halattan al ınan diferansiyel elemanda ? F x ? 0 ? (s ? ds) Cos (d ? / 2) ? s Cos (d ? / 2) ? df ? 0 ? F y ? 0 ? dN ? (2s ? ds) Sin (d ? / 2) ? 0 denklemleri yaz ı l ab i l i r . Cos (d ?/2) =1 , Sin (d ?/2) = (d ?/2) ve df = ? dN oldu ğu bilindi ğine gö re ds = df , dN = s d ? , ds = ? s d ? yaz ı l abi l i r . ds s ? ?d ? , S1 ? ? s ? ? ? d ? , ln s1 s 2 ? ?? , s1 s2 ? e ? ? elde edilir. Bu çağda kay ı ş kasnak sistemlerinde düz kay ı ş yerine daha çok a şa ğ ıda gö st eri l en kesiti V şeklinde olan V kay ı ş l a rı k ul l anı l ır. y y d ? ß ß 2df x d ?/2 d ?/2 z s s + ds ß /2 ß /2 2 dN sin ( ß /2) dN dN s sin d ? 2 , (s ? ds) sin d ? 2 V kay ı ş lı kay ı ş kasnak sistemlerinde kay ı ş ın her iki yan yü zey i nd e temas oldu ğu nd an diferansiyel elemanda sürt ün m e kuvvetinin iki kat ı al ın ır.Normal kuvvet yerine 2dNsin ß/ 2 al ınarak düz kay ı ş i çi n yap ı l an i şlemler tekrar edilirse s 1 s 2 ? e ? ? / sin( ? / 2) fo rm ülü bulunur. 68 8? , Problem 7.3.1 Bir gemiyi rıht ımda durdurmak i ç i n kullan ılan halat ın halka ş e k l i n d e o l u ş t u ru l m u ş k ı s m ı iskele babas ı n a tak ıl ır.Halatın diğer ucuna gemideki b a b a n ı n etraf ı n a 4 kere sar ıld ıktan sonra kuvvet uygulan ı r . Halata geminin uygulad ı ğ ı kuvvet 20kN d ı r . g ö r e v l i n i n uygulad ı ğ ı kuvvet 40N oldu ğ u n a g ö r e halat ile baba denilen silindirik cismin yanal y ü z e y i aras ındaki s ü rt ü n m e katsay ıs ı n ı bulunuz. 40 N. 20kN. Çözüm : S 2 ? 40N. S 1 ? 20000N S 1 S 2 ? e ? ? , S 1 ? 20kN. ? 20000N. , ? ? 4 ? 2 ? , ? ? 8 ? 20000 40 ? e 8 ? ? , 500 ? e 8 ? ? ? ln 500 ? ln e 8 ? ? ? ln 500 ? 8 ? ? ? ? ln 500 ? ? 0, 247 69 S1 ? S2 ? , S1 ? S2 ? Problem 7.3.2 Bir elektrik motoru ile üret i l e n 60 Nm. lik bir momenti iletmek i çi n bir ya ssı kay ı ş k ul l anılmaktad ır. K ayı ş şekilde gö rül dü ğü gibi 12 cm. çap l ı motordaki kasnaktan al dı ğ ı momenti iletmektedir. K ayı şla kasnak aras ı nd aki statik sürt ün m e katsay ıs ı 0.3 dü r . K ayı ş ın her iki k ı sm ı nd a ki çek m eni n , kayma olmas ın ı engelleyecek en k üçü k değerlerini bulunuz. 60 0 40 0 M Ç özü m : S 1 60 0 S 2 M 40 0 30 0 A 50 0 ? K ayı ştaki büyük kuvvet momentin tersi yö nü n de olur. S 1 S 2 ? e ? ? , ? ? 0,3 , ? ? 180 ? 30 ? 50 , ? ? 160 0 , ? ? 160 ? ??? rad. ? ? 2, 793rad. S 1 S 2 ? e 0,838 , S 1 S 2 ? 2,311 , S 1 ? 2,311S 2 ? M A ? 0 , M ? S 2 R ? S 1 R ? 0 ? M R 60 0,12 / 2 S 1 ? S 2 ? 1000N , S 1 ? 2,311S 2 , 2,311S 2 ? S 2 ? 1000N ? S 2 ? 762,8 N. S 1 ? 1762,8 N. 70 B Ö L Ü M 8 YAYILI Y Ü K L E R 8.1 Y ay ı l ı y ü kl er i n t an ı m ı Kuvvetler bir yü zey e veya bir hacme etki ederler. Ç oğ u durumda bu kuvvetler yerine bunlar ın bile şkesi tek bir kuvvetmi ş gibi gö zön ün e al ın ır. Burada yay ılı y ük l e ri n tekil yü kl ere dönü ş t ürü l m e yö n t e m l eri n den bahsedilecek. 8.2 K i ri ş l er d e Y ay ı l ı y ü k l er q Q dq x a x dx ? b Y ayı l ı yükün bile şkesinin şiddeti yay ılı yük e ğrisi al t ı nd aki alana e şittir. b Q ? ? dq a dq ? q ? dx b Q ? ? q (X)dx a Y ayı l ı yükün bile şkesi yay ılı yük e ğrisi al t ı nd aki al anın merkezinden geç er . ? ? b ? x q (X)dx a b ? q (X)dx a 71 ? M A ? 0 ? RB D 2 3 ? 0 ? RB D 2 3 L ? Q ? Q Ü ? Q ? Q Ü , RB ? 8700 N. RB ? 9000 ? 6300 Problem 8.2.1 Basit mesnetli bir kiri ş şekildeki gibi yay ılı yük ta ş ımaktad ır. mesnet tepkilerini hesaplay ın ız. q B ? 3600N / m q A ? 1500N / m A B L = 6m. Ç özü m : y Q D Q Ü E q B ? 3600N / m q A ? 1500N / m D C A B x L/2 R A R B 2L/3 Q D ? ABCD D ikd ö r tg enin in alan ı , Q D ? L ?1500 , Q D ? 9000N. Q Ü ? CDE Ü çge nin in alan ı , Q Ü ? L ? (3600 ? 1500) / 2 , Q Ü ? 6300 N. Q D ? ABCD D ikd ö r tg enin in merkezinden geç er . Q Ü ? CDE Ü çge nin in merkezinden geç er . L 2L 1 2 1 2 2 3 ? F y ? 0 ? R A ? R B ? Q D ? Q Ü ? 0 ? R A ? ?R B ? Q D ? Q Ü R A ? ?8700 ? 9000 ? 6300 , R A ? 6600 N. 72 Problem 8.2.2 Su dolu tank ın al t ında bulunan 0,5m. X 0,8m. boyutlar ı nd a ki bir kapak A noktas ından mafsall ıd ır. B deki bir çık ınt ı yard ım ı ile a şa ğ ı do ğru dö nm esi engellenmektedir. Kapak B den bağlanan ipe kuvvet uygulanarak açı l abi l m ekt edi r . Kapa ğ ın açı l a b i l m esi i çi n ipe uygulanan en kü çük kuvveti bulunuz. C P 0,27m. 0,45m. A 0,48m. B 0,64m. Ç özü m : C 0,27 m L1 P Q D Q Ü q B L2 q A A 0,45 m 0,48 m B D 0,64 m q A ? 0, 45 ? 0,5 *1000 * 9,81 , q A ? 2207,3 N / m , q B ? (0, 45 ? 0, 48) ? 0,5 *1000 * 9,81 q B ? 4561, 7 N / m Q Ü ? Kapa ğa etki eden yay ılı yü kte gö ste r ile n üçgenin alan ı Q Ü ? (q B ? q A ) ? AB / 2 , Q Ü ? (4561, 7 ? 2207,3) ? 0,8 / 2 , Q Ü ? 941, 76 N. Q D ? Kapa ğa etki eden yay ılı yü kte gö ste r ile n dik dö r tgenin alan ı Q D ? q A ? AB , Q D ? 2207,3 ?0,8 , Q D ? 1765,84 N L 1 ? 2 3 AB , L 2 ? 1 2 AB 73 AD ? P BD ? Q Ü AB ? QD BC ? BD ? CD , BC ? ? ? ? , BC ? 1,36 m 0, 64 1, 2 0, 48 ? P 0, 64 ? 941, 76 0,8 ? 1765,84 0,8 ? 0 P( 0, 48 ? 0, 64) ? 941, 76 0,8 ? 1765,84 0,8 ? 0 ? M A ? 0 , P BD CD BC BC 2 1 3 2 AB ? 0 2 2 CD ? 0, 27 ? 0, 45 ? 0, 48 , CD ? 1, 2 m 2 2 P 0, 64 1, 2 2 1 1,36 1,36 3 2 0, 64 1, 2 2 1 1,36 1,36 3 2 P( ?0,33882) ? 1208, 608 ? 0 ? P ? 3567,1 N 74 BÖ L Ü M 9 KABLOLAR 9.1 Genel bilgi K abl ol a rın asma kö prül er , yü ksek gerilim hatlar ı , teleferikler ve yü ksek kulelerin bağ l ant ı l a rı gibi bir çok uygulamalar ı vard ı r . K a bl ol a r yü kl em e durumuna gö re iki guruba ayrılır. a) Konsantre yü kl er etkisindeki kablolar b) Y ayı l ı yü kl er etkisindeki kablolar K abl ol a rın e ğilmeye kar ş ı direnci s ı fı r kabul edilir. Bundan do l a yı kablodaki kuvvetin kablo do ğrul t usu nd a olmas ı gerekir. 9.2 Konsantre y ü k l er etkisindeki kablolar A ve B sabit noktalar ından bağ lı P1 , P2 , . . . , Pn yü kl eri etkisindeki kablo göz önüne al ın ır. L A y1 y2 y3 d C1 B x1 P1 C2 x2 P2 x3 75 P3 C3 A yn ı kablonun serbest cisim diagram ı a şa ğ ıdaki gibi çi zi l ebi l i r . L RAx A RAy y1 y2 y3 d C1 B RBx · D x1 P1 C2 RBy C3 x2 P2 P3 x3 Burada A ve B deki tepki kuvvetlerini bulmak i çi n yaz ılacak olan ? F x ? 0 , ? F y ? 0 , ? M z ? 0 denklemler yeterli değildir. Bundan do l ayı Bir kablo parças ı i çi n denklem yazmak gerekir. Buda ancak kablo ü ze ri nd ek i bir noktan ın koordinatlar ın ı bilmeyi gerektirir. B öy l ec e kablonun AD parças ı i çi n a şa ğ ı d aki denklem yaz ı l abi l i r . ? M D ? 0 RAx A RAy y1 y C1 D· x1 P1 S x 76 A yn ı şekilde dü şey yü k l eri n etki etti ği di ğer noktalarda da moment denklemleri yaz ı l abi l i r . RAx A RAy y1 y2 C1 x1 P1 · D C2 ? P2 S x2 Mesnetten itibaren herhangi bir kablo i çi n yaz ı l an ? F x ? 0 denkleminden S cos ? ? ?R Ax e şitli ği bulunur. Bu e şitlikten ? büyüdükçe kablodaki kuvvetin şiddetinin büyüdüğü anla ş ılır. Problem 9.2.1 AE kablosu gö st eri l en noktalarda üç dü şey yük ta ş ı yo r . C noktas ı sol mesnedin 1 m al t ında oldu ğuna gö re a) B ve D noktalar ın ın dü z eyl e ri ni b) Kablodaki maksimum e ğim ve maksimum çek m e kuvvetini bulunuz. E 4m D 2 kN A C 1m B 3 kN 6 kN 4m 2m 3m 3m 77 Ç özü m : a) B ve D noktalar ın ın dü z eyl e ri ni bulmak i çi n ön ce A mesnedindeki tepkileri bulmak gerekir . A mesnedindeki tepkileri bulmak i çi n de t üm kablo ve kablonun ABC k ı sm ın ın dengesi ayr ı ayr ı göz önüne al ın ır. T üm kablonun serbest cisim diyagram ı: REy y E REx RAy 4m D 2 kN A RAx x C 1m B 3kN 6kN 4m 2m 3m 3m ? M E ? 0 4R Ax ? 12R Ay ? 8 ? 3 ? 6 ? 6 ? 3 ? 2 ? 0 , 4R Ax ? 12R Ay ? ?66 (1) Kablonun ABC k ı sm ın ın serbest cisim diagram ı y RAy A RAx x C 1m B 3kN 6kN 4m 2m ? M C ? 0 R Ax ? 6R Ay ? 3 ? 2 ? 0 , R Ax ? 6R Ay ? 6 (2) Bu (1) ve (2) nolu denklemden A daki mesnet tepkileri bulunur. 4R Ax ? 12R Ay ? ?66 ? 2 ? (R Ax ? 6R Ay ) ? 2 ? 6 R Ax ? ?9 kN , R Ay ? 2,5 kN 6R Ax ? ?54 78 B Noktas ın ın dü zey i i ç i n kablonun AB k ı sm ın ın dengesi göz önüne al ın ır. y RAy A RAx x 4m 3kN B y B ? M B ? 0 y B ? R Ax ? 4R Ay ? 0 , y B ? ? ?9 ? ? 4 ? 2,5 ? 0 ? y B ? 1,111 m D Noktas ın ın dü zey i i ç i n kablonun ABCD k ı s m ın ın dengesi göz ön ü ne al ın ır. y RAy S DE D ?DE RAx 2 kN A C 1m B 3kN 6kN 4m 2m 3m y D x ? M D ? 0 y D R Ax ? 9R Ay ? 5 ? 3 ? 3 ? 6 ? 0 , y D ( ?9) ? ?10,5 y D ? 1,167 m 79 , ? , b) Maksimum e ğim ve maksimum çek m e : Maksimum e ğimin oldu ğu kablodaki ç ekm e kuvveti Maksimum kuvvettir. Kablodaki kuvvetin yatay bile şeni mesnetlerdeki kuvvetin yatay bile şenine e şittir. ? AB ? arctan 1,111 4 , ? AB ? 15,522 0 ?BC ? arctan 0,111 2 , ?BC ? 3,18 0 ?CD ?DE ? arctan ? arctan 2,167 3 (4 ? 1,167) 3 ?CD ? 35,842 , ?DE ? 43,36 S DE 9 cos 43,36 0 S DE ? 12,38 kN 80 9.3 Y ay ı l ı y ü kl er etkisindeki kablolar. B D A C Yukar ı dak i Ş e ki l de gö s t eri l en yay ılı yük etkisindeki kablonun CD k ı sm ın ın serbest cisim diagram ı a şa ğ ı dak i gibidir. S ? So Q Burada Q kablonun CD k ı sm ı boyunca etki eden yay ılı yükün bile şkesidir. CD k ı sm ına etki eden t üm kuvvetlerin toplam ı denge şart ından do layı s ı fı r ol m al ıd ır. B öy l ece S So ve W kuvvetleri uç uca eklendi ğinde k ap al ı bir üçg en olu şturur. S Q ? S cos ? ? S O S sin ? ? Q So S ? S O 2 ? Q 2 , tan ? ? Q S O 81 S ? SO2 ? q x2 ? q x ? SO y ? 0 9.3.1 Yatayda dü zgü n yay ılı yük etkisindeki kablolar (parabolik kablo) K üt l esi uzu nl uğ u boyunca sabit olan ve birim uzu nl uğ un un kü t l esi q olan yatay bir t abl a yı ta ş ıyan asma kö prün ün kablosunu göz önüne al al ı m . y B A C(x,y) · O x Burada kablonun OC k ı sm ın ın serbest cisim diagram ı a şa ğ ı dak i gibi gö st eri l e bi l i r . y S ? S C qx So O y x ? x/2 qx So x Kablonun OC k ı sm ına etki eden S , So ve qx kuvvetlerinin toplam ın ın s ı fı r olmas ı gerek t i ğinden bunlar uç uca eklendi ğinde bir dik üçg en olu ştururlar. Bu dik üç gen den faydalanarak a şa ğ ıdaki e şitlikler yaz ı l abi l i r . 2 tan ? ? qx S O A yrı c a kablonun OC k ı sm ına etki eden kuvvetlerin C noktas ına gö re momenti al ın ı rsa a şa ğ ı dak i denklem yaz ı l abi l i r . ? M C ? 0 x 2 y ? q x 2 2 S O Bu bir parabol denklemidir. 82 y ? denkleminden kablodaki en k ü ç ü k S ? SO2 ? q x2 E ğer kablonun iki ucuda ayn ı yü ksek l i k t e ise ve kablonun en alt noktas ın ın derinli ği ile iki uc aras ı nd aki uz akl ık biliniyorsa yatayda yay ılı yükün şiddeti verildi ğinde kuvvet So bulunur. q x 2 2 S O Bu So değeriyle 2 denklemine gidildi ğinde kablonun herhangi bir x koordinat ına sahip noktas ı nd aki S değeri hesaplanabilir. Problem 9.3.1.1 Ab kablosu şekilde gö r ül dü ğü gibi yatayda dü zgü n yay ılı bir yükü ta ş ımaktad ır. Kablonun en alt noktas ı A mesnedinin 3 m al t ındad ır. Kablodaki maksimum ve minimum çek m e kuvveti değerlerini bulunuz. B 6m A 3m q = 5 kN /m 40 m Ç özü m : Y ük yatayda dü zgü n yay ılı oldu ğu nd an kablo paraboliktir. Koorninat ba ş l ang ıc ın ı C en alt noktas ında seçi l i r se Kablo denklemi y ? q 2 S 0 x 2 formunda yaz ı l abi l i r . y B 9m y A ? 3 m A C y B ? 9 m x x A 40 m 83 x B k (xA ? 40) 9 ? 2 ? , xA ? 80 xA ? 1600 ? 3 xA ?2xA ? 80 xA ? 1600 ? 0 , xA ? ? ?14, 641m ? , ? ?14, 641m ? , n o k t ası n d a olur. B n o k t ası n ı n x k o o r d i n at ı ve S0 d e ğ e r i S ? SO2 ? q x2 tan ?max ? , y B ? k x B 2 , y A ? k x A 2 , x B ? x A ? 40 ? x B ? x A ? 40 y B ? k (x A ? 40) 2 , y B y A 2 ?80 ? 6400 ? 12800 ?4 , x A ? ?80 ? 19200 ?4 x A ? ?80 ? 19200 ?4 , x A ? 54, 64 m veya x A ? ?14, 641m ilk kök 40 m den büyük oldu ğu i çi n göz önüne al ınmaz x A ? ?14, 641m kabul edilir. x B ? 25,359 m Kablodaki minimum ç e k m e kablonun an alt seviyesi olan C noktas ında olur. A noktas ın ın hesaplanan koordinatlar ı y ? q 2 S 0 x 2 denkleminde yerine konursa S 0 bulunur. 3 ? 5 2 S 0 2 S 0 ? 5 6 2 S 0 ? 178, 63 kN Kablodaki maksimum ç e k m e kablonun e ğiminin en fazla oldu ğu B 2 denkleminde yerine konursa S maks. ? 178, 63 2 ? 5 2 ? 25,359 2 , S maks. ? 219, 06 kN 5 ? 25,359 178, 63 ?max ? 35,37 0 84 c ? g ö z ö n ü n e al ı n ı r . dx ? d cos ? , cos ? ? SO ? c ? c ? S x ? ? , 1 ? c x ? c ? ? ? c sinh ?1 sinh ?1 9.3.2 Kendi a ğ ı rl ı ğ ı etkisinde olan homojen yap ı dak i kablo veya zincirin dengesi y B A l D(x,y) C c x S d l ? D dy S l q l dx ? So So C q l S ? S O 2 ? q 2 2 , Q ? q İşlemleri sadele ştirmek i çi n S O q S O ? q c , S ? q c 2 ? 2 dx ? d , dx ? S O S 2 2 d , dx ? d 1 ? 2 c 2 O d 2 2 ? ? ? c ?O c ? ? c sinh x c dy ? dx tan ? , dy ? W S O dx , dy ? dx , c dy ? sinh x c dx Bu son denklem C(0,c) den D(x,y) ye integre edilirse 85 ? x ? x dx ? c ? ? ? c (cosh y2 ? ? c2 x y ? c ? ? sinh O x cosh c ? c ?O x c ? 1) y ? c cosh x c , 2 e ş i t l i ğ i bulunur. S O ? q c , Q ? q , S ? q y e ğer A ve B mesnetlerinin yü ksek li ği ayn ı ise derinlik h ? y A ? c olur. Problem 9.3.2.1 60 N/m a ğ ı rl ı ğ ı nd aki bir ün i form kablo , şekilde gö rül dü ğü gibi iki A ve noktas ı aras ına as ı l m ı şt ır. a) Kablodaki maksimum ve minimum çek m e değerlerini b) kablonun uzu nl u ğu nu bulunuz. A B 20 m 100 m Ç özü m : a) S min ? S O ? q c S maks ? q y maks , S maks ? q y B E ğer koordinat ba ş l ang ıc ı kablonun alt noktas ından c kadar al t ında al ın ı rs a kablo denklemi y ? c cosh x c şeklinde yaz ı l ab i l i r . y A B c x B y B B noktas ın ın koordinatlar ı x B ? 50 m , yerine konursa y B ? 20 ? c kablo denkleminde 20 ? c ? c cosh 50 c ? 20 ? c ? c cosh 50 c ? 0 denklemi elde edilir. 86 f (c) ? 20 ? c ? c cosh 50 c denklemini s ı fı r yapan c d e ğeri orta nokta metodu ile bulunur. c ? 65,586 y B ? 20 ? c ? y B ? 20 ? 65,586 , y B ? 85,586 m S min ? S O ? q c ? S min ? 60 ? 65,586 , S min ? 3935,16 N S maks ? q y B ? S maks ? 60 ? 85,586 , S maks ? 5135,16 N b) l kablo uzunlu ğu y 2 ? 2 ? c 2 denkleminden bulunur. 2 ? y 2 ? c 2 , ? y 2 ? c 2 , ? 2 ? y B 2 ? c 2 , ? 2 ? 85,586 2 ? 65,586 2 ? 109,972 m 87 cl c u c r ? c l ? c 2 f (cl ) f (c u ) c r yeni ? c r eski 0 ? a ? ?100 0 c r yeni 1 100 50,5 ?2,59 ?10 21 7,2374 50,5 100 75,25 -6,4841 7,2374 33 50,5 75,25 62,875 -6,4841 2,7685 19,7 62,875 75,25 69,0625 -0,95075 2,7685 62,875 69,0625 65,9688 -0,95075 1,09594 62,875 65,9688 64,422 -0,95075 1,26988 64,422 65,9688 65,1954 -0,39713 1,26988 65,195 65,9688 65,5819 -0,1315 1,26988 65,5819 65,9688 65,7754 -0,0014567 1,26988 65,5819 65,7754 65,6787 -0,0014567 0,062988 65,5819 65,6787 65,6303 -0,0014567 0,030828 65,5819 65,6303 65,6061 -0,0014567 0,014707 65,5819 65,6061 65,594 -0,0014567 0,006629 65,5819 65,594 65,58795 -0,0014567 0,002587 65,5819 65,58795 65,58493 -0,0014567 0,000565 65,58493 65,58795 65,58644 -0,0004457 0,000565 65,58493 65,58644 65,5857 -0,0004457 0,000061 0,00113 B Ö L Ü M 10 D Ü ZL E M KAFES K İ R İ Ş SİSTEMLER İ 10.1 Genel bilgi ve tarifler A y n ı d ü z l em i çi n d e birbirlerine uç noktalar ından b a ğlanarak bir rijid yap ı olu şturan ç u b u k l ar toplulu ğ u n a d ü zl em kafes sistemi denir. Uç noktalar ından b a ğlanma şekli pratik u y g u l am al a r ında k a y n a k l ı birle ştirme şeklinde olmas ına kar ş ı hesaplamalarda s ü r t ü n m esi z silindirik m af sa l l ı kabul edilir. A y r ı ca çu b u k l ar uç noktalar ı d ı ş ında y ü k l e n m em i ş kabul edilir. B ö y l e ce ç u b u k l ar d a olu şacak iç kuvvetler ç u b u k d o ğ r u l t u su n d a al ı n a b i l i r . Kafes kiri ş sistemlerinin yap ım k o l a y l ı ğ ı u c u zl u ğ u ve hafifli ği d o l a y ıs ı y l a bir ço k yerde uygulama al a n ı vard ır. Tren k ö p r ü l eri, v i n ç k o l l a r ı ve kuleleri , gezer k ö p r ü l ü v i n çl e r , y ü k s ek gerilim hatt ı direkleri , radyo verici antenleri ,Depo ve çi f t l i k çat ı kiri şleri gibi alanlarda u y g u l am al a r ına rastlan ır. Kafes sisteminde uç noktalar ın ın birle şme yerlerine d ü ğ ü m noktalar ı denir. 10.2 Basit kafes sistemi Üç ç u b u k t a n olu şan kafes sistemi bir basit kafes sistemidir. Bu sistem üç ç u b u k ve üç d ü ğ ü m noktas ı i çe r i r . Bu sisteme eklenecek iki çu b u k d ü ğ ü m noktas ı say ıs ın ı bir art ır ır. B ö y l ec e olu şturulacak m say ı d a k i ç u b u k ve n say ı d a k i d ü ğ ü m noktas ından olu şan kafes sistemi de bir basit kafes sistemidir. m=3 n=3 m=5 n=4 m=7 n=5 88 Bir basit kafes sisteminde m = ç u b u k say ıs ı n = d ü ğ ü m noktas ı say ıs ı olmak ü ze r e 2n = m + 3 olur. Pratt Howe Şe k i l 10.1 Çe şitli çat ı kafes sistemi ö r n e k l e r i Pratt Howe Warren Şe k i l 10.2 Çe şitli k ö p r ü kafes sistemi ö r n e k l e r i 89 10.3 D ü ğ ü m n o k t al ar ı metodu ile kafes sisteminin analizi Kafes sisteminin her bir düğüm noktas ı i çi n 2 denklem yaz ıl ır. n tane düğüm noktal ı bir kafes sisteminde 2n denklem yaz ı l a cağ ından 2n say ıda bilinmiyen çöz ül ebi l i r . Toplam çu bu k say ıs ı 2n-3 ve mesnetlerden de 3 bilinmiyen gel eceğine gö re denklem say ıs ı yeterli olur. A yrı c a sistem bü t ün bir rijid cisim gibi al ın ıp dengesi dü ş ün ül dü ğü n de 3 denklem daha yaz ı l abi l i r . Bundan do l a yı düğüm noktalar ı metodu ile fazladan elde edilen 3 denklem son uçl ar ın kontrolu i çi n ku l l a nı l abi l i r . B i r kafes sisteminde çub uk kuvvetlerini bulmadan ön ce sistem bü t ün bir rijid cisim olarak göz önüne al ın ıp mesnet tepkileri bulunabilir. Daha sonra düğüm noktalar ın ın dengesi dü ş ün ü l erek en fazla iki bilinmiyen i çerecek şekilde düğüm noktas ı seçi p i şleme ba ş l anır. Ç ub uk l ardan dü ğü m noktalar ına gelen kuvvetler çub uk do ğrul t u l ar ında al ın ı r . D üğ ü m noktalar ı nd aki kuvvetlerle çub uk l ardak i kuvvetler etki tepki ilkesine gö re birbirinin tam zıtt ıd ır. Bir düğüm noktas ı nd aki bilinmiyenler çöz ül dü ğü nd e bu düğüm noktas ına çub u kl arl a direk bağ lı di ğer düğüm noktalar ında da birer tane bilinmiyen azal acağ ından en fazla iki bilinmiyen i ç e ren d üğ üm noktalar ın ı bulmak kolayla ş ır. C A D B P C A D B RAx RAy P C RB A B D 90 Problem 10.3.1 Verilen kafes sistemindeki çu bu k kuvvetlerini düğüm noktalar ı metodunu kullanarak bulunuz. 6m 6m 20kN 10kN A B C 4m D E 3m 6m 3m Ç özü m : T üm kafes sistemi i çi n serbest cisim diagram ı 6m 6m y 20kN 10kN R C y A B C R C x x 4m D E R E 3m 6m 3m T üm kafes sisteminin dengesi ? M C ? 0 ? F x ? 0 ? F y ? 0 ? 3R E ? 12 ? 20 ? 6 ?10 ? 0 ? R E ? 100kN ? R C x ? 0 ? R C y ? R E ? 20 ? 10 ? 0 ? R C y ? ?70kN 91 SAB SAD 20 SDB SDE 25 ? 0 ? SBC BE ? 15 ? 25 ? 0 ? S ? Fy ? 0 ? ? 5 5 SBE ? 10 ? 0 25 ? A düğüm noktası: S AD 20kN 3 5 4 A S AB 20kN 4 5 S AD S AB 3 A düğüm noktas ına etki eden kuvvetlerin geometrik toplam ı kap al ı bir üçg en olu şturur . Bu kuvvetlerin şiddetleri ile bu üçg eni n veya benzer üçg e nl eri n kenar uzunluklar ı orant ılı olur. ? ? ? 3 5 4 D dü ğü m noktası: S AB ? 15kN , S DB 5m S AD ? 25kN S DB S DA ? 25kN S DA ? 25kN 6m S DE S DE D ? ? ? 5 6 5 S DB ? 25kN , S DE ? 30kN B düğüm noktası: 10kN S BA ? 15kN B S BC 3 5 4 4 5 3 S BE S BD ? 25kN B düğüm noktas ı i çi n denge denklemleri ? F x 3 3 5 5 S BE ? ?37,5kN ( S BE bas ı yö n ün d e ) 4 4 92 S BC ? 52,5kN ( ?87,5) ? 100 ? 37,5 ? 0 (kontrol i çi n ) ? 0 ? RC x CE CB ? 0 ? S ? S 0 ? 87,5 ? 52,5 ? 0 ? Fy ? 0 ? 5 SCE ? 70 ? 0 E düğüm noktası: S EB ? 37,5kN S EC 4 5 5 4 3 3 E S ED ? 30kN R E ? 100kN E düğüm noktas ı i çi n denge denklemleri ? F x ? 0 ? 3 S EC ? 30 ? 3 37,5 ? 0 5 5 S EC ? ?87,5kN ( S BE bas ı yö n ün d e) ? F y ? 0 ? 4 S EC ? 100 ? 4 37,5 ? 0 5 5 4 4 5 5 C düğüm noktası: Bu düğüm noktas ı ku l l anı l ar ak C deki mesnet tepkileri bulunabilir. Bu mesnet tepkileri t üm kafes sistemi bir rijid cisim gibi dü ş ün ül erek daha ön ce bu l un du ğu na gö re burada kontrol yap ı lır. R C y ? 70kN S CB ? 52.5kN R C x ? 0 C 5 4 S CE ? 87.5kN 3 C düğüm noktas ı i çi n denge denklemleri ( Kontrol i çi n ) ? F x 3 5 3 5 4 93 4 5 87,5 ? 70 ? 0 10.4 Ö z el d üğ ü m n o k t al ar ı Bir düğüm noktas ında 4 tane çub uk şekildeki gibi iki şer iki şer ayn ı do ğrul t u da ise burada olu şturulacak kuvvet poligonu paralel kenar olur. Bundan do l ayı ayn ı do ğrul t ud ak i çub uk l ara etki eden kuvvetlerin şiddeti birbirine e şit yönü birbirinin zıtt ı olur. E B SAE SAB SAB SAC A A SAE SAD D SAC C SAD Üç çub uk t an olu şan bir düğüm noktas ında çub uk l ardan ikisi ayn ı do ğrul t u da di ğeri farkl ı do ğrul t u da yerle ştirilmi ştir.Ayr ı ca bir P kuvveti bu düğüm noktas ına farkl ı do ğrul t ud ak i çub uğ un do ğrul t usu nd a uyguland ı ğ ında yine bu 4 kuvvet üze ri ne kurulan poligon paralel kenar şeklinde olur. Paralel kenar ın kar ş ı l ı kl ı kenarlar ın ın uzunluklar ı birbirine e şit ol acağ ından farkl ı do ğrul t u dak i çub uk kuvvetinin şiddeti P kuvvetine e şit olur. E ğer bu P kuvveti kal dı rı l ı rs a farkl ı do ğrul tud aki çub uğ un kuvveti s ıf ı r olur. P B B A A D D C C 94 İki ç u b u k t a n olu şan d ü ğ ü m noktalar ında iki çu b u k ayn ı d o ğ r u l t u d a ise bunlara etki eden kuvvetlerin şiddetleri birbirine e şit y ö n l e r i birbirine zıtt ır. B ö y l e bir d ü ğ ü m noktas ına ba şka bir P kuvveti etki ediyorsa bunun şiddeti s ıf ır o l m al ıd ır. İki ç u b u k t a n olu şan d ü ğ ü m noktas ı n d a k i çu b u k l a r farkl ı d o ğ r u l t u l a r d a ise bu ç u b u k l a r d a k i kuvvetler s ıf ı r d ır. B A A C B C A şa ğ ıda g ö st eril en kafes sisteminde BM ve FI çu b u k kuvvetleri s ıf ı r d ır. FI ç u b u k kuvveti s ıf ır olduğu i ç i n FJ ç u b u k kuvveti de s ıf ı r d ır. D P3 P2 P1 C E B F RAX A H M L K J I RAy P4 RB 95 P1 ? P2 ? SBE ? ? 0 10.5 Kesim metodu ile kafes sisteminin analizi T üm sistemin analizi yerine çub uk l ardan baz ıl arına gelen kuvvetler hesa pl ana cağ ı zaman kesim metodu daha pratiktir. Bu metotta kafes sistemi hesab ı istenen çub u kt an geç en ve bilinmiyen üç çub uk t an fazla çub uk i çerm i yec ek şekilde bir çi zgi ile ikiye ayrılır. A yrı l a n taraflardan birinde yaz ılacak olan ? F x ? 0 , ? F y ? 0 , ? M ? 0 denklemleri ile üç bilinmiyen ç özü l ebi l i r . P1 P2 P3 A B C D F E P1 P2 A B SBC SBE F E SFE ? F x ? 0 dan SBC ? SBE FE BE ? SFE ? 0 ? F y ? 0 dan BF BE SBE ? ?(P 1 ? P 2 ) BE BF ? M E ? 0 dan SBC BF ? P 1 (AB ? FE) ? 0 ? SBC ? P 1 AB ? FE BF Bu elde edilen SBE ve SBC kuvvetleri 1. denklemde yerine konursa SFE ? ?P 1 AB ? FE BF ? (P 1 ? P 2 ) FE BF elde edilir. 96 , FL ? GL ? FG , FL ? 152 ? 82 , FL ? 17 m sin ? ? , cos ? ? Problem 10.5.1 Ş eki l de gö st eri l en kafes sistemindeki FH , GH ve GI çub uk l ar ı nd aki kuvvetleri bulunuz. 1kN 1kN F 1kN 1kN D H 1kN 8m B J A L C E G I K 5kN 5kN 5kN 5m 5m 5m 5m 5m 5m Ç özü m : T üm cismin serbest cisim diagram ı 1kN y n 1kN F 1kN 1kN D H 1kN 8m B J A ? L x C E G I K R A 5kN 5kN 5kN n R L 5m 5m 5m 5m 5m 5m T üm cisim i çi n yaz ılacak denge denklemlerinden R A ve R L mesnet tepkileri bulunur. ? F y ? 0 ? R A ? R L ? 5 ?1 ? 3 ? 5 ? 0 ? R A ? R L ? 20kN ? M A ? 0 ? 30R L ? (5 ? 10 ? 15 ? 20 ? 25) ?1 ? (5 ? 10 ? 15) ? 5 ? 0 ? R L ? 7,5kN R A ? R L ? 20kN ? R A ? 7,5 ? 20kN ? R A ? 12,5kN sin ? ? FG FL , cos ? ? GL FL 2 2 8 17 15 17 97 tan ? ? ? , GH ? GI ? HI , ? ? GH ? 52 ? ( )2 , GH ? sin ? ? , ?SHF SHF ? 5 S SHF HF ? SHG ? ( ? ? SIG ? 0 ) tan ? ? FG GL , 8 15 ? ? 28, 0725 0 kafes sistemi nn d oğ rusun dan geç ecek şekilde bir kesitle kesildikten sonra geri kalan parça i çi n yaz ılacak denge denklemlerinden istenen çub uk kuvvetleri bulunur. Ç ün kü kesit bu çub uk l ar ı i çi ne alacak şekilde se çi l m i ştir. F 1kN S HF H 1kN 8m S HG S IG ß J ? L x G I K R L 5m 5m 5m sin ? ? GI GH , cos ? ? HI GH 2 2 HI 10 8 15 HI ? 16 3 m 16 3 481 3 , 15 481 cos ? ? 16 481 Kesildikten sonra geri kalan parça i çi n denge denklemleri: ? F x ? 0 ? cos ? ? S HG sin ? ? S IG ? 0 ? F y ? 0 ? sin ? ? S HG cos ? ? 1 ? 1 ? R L ? 0 ? M G ? 0 ? HI S HF cos ? ? GI S HF sin ? ? GI ?1 ? GK ?1 ? GL R L ? 0 , 16 15 8 3 17 17 ? 5 ? 10 ? 15 ? 7,5 ? 0 ? 120 17 S HF ? ?97,5 ? S HF ? ?13,8125 kN ? F y ? 0 ? ?13,8125 8 16 17 481 ? 1 ? 1 ? 7,5 ? 0 ? S HG ? ? 481 16 kN S HG ? ?1,371kN ? F x ? 0 ? ?( ?13,8125) 15 481 15 17 16 481 ? S IG ? 13,125 kN 98 B Ö L Ü M 11 Ç E R Ç EV E VE M A K İNELER 11.1 Giri ş Birden fazla say ı d a k i p arçal a r ın mafsallar yard ım ı y l a birle şiminden ortaya çıkan yap ı l a r d a baz ı durumlarda kafes sisteminde farkl ı olarak elemanlara kendi d o ğ r u l t u l ar ı d ı ş ındada ihmal edilemeyen b ü y ü k l ü k t e kuvvetler gelebilir. Bu durumdaki sistemlere çe r çe v e veya makine denir. Ç er çe v el e r Genellikle sabittir ve y ü k l e r i ta ş ımak i ç i n olu şturulur. Makineler ise sabit veya hareketli olup kuvvetleri iletmek veya d eği ştirmek i çi n imal edilir. makineler daima hareketli p arçal a r ı i çe r i r l e r . 11.2 Çerç ev eler Çe şitli kuvvetler etkisindeki n say ıda p a r ça d a n olu şmu ş bir çe r çe v e y e ait problemi klasik denge denklemleri ile ç ö zm e k i çi n p arçal a r ına ay ırmak gerekir. Ç erçev e p arç al ar ına ayr ı l d ıktan sonra her bir p a r ça ayr ı bir rijid cisim gibi düş ü n ü l ere k denge denklemleri yaz ı l ır.Ayr ı c a birle şme yerlerinde etki –tepki ilkesi g ö z ö n ü n d e bulundurulur. D E F C B W A H 99 D C E S F W B RAx A RAy D C E RCy -RCx F RCx C -RCy SBE -SBE W B -SBE E B SBE RAx A RAy 100 150 ? 80 150 ? 80 Problem 11.2.1 Ş eki l d e gö st eri l en çerçeved eki ACE ve BCD el em anl arı C de bir pim ve DE bağ l a nt ı çub uğ u ile birbirine ba ğ l anm ı şt ır. G öst eri l en yü kl em e durumunda DE bağ l ant ı çub uğ un dak i kuvveti ve C den BCD el em anına gelen kuvvetin bile şenlerini bulunuz. A 160 mm 480 N B 150 mm 60 mm C D 80 mm E 60mm 100mm 150 mm Ç özü m : T ü m cisim i çi n serbest cisim d i y ag ra m ı y R A y A R Ax 160 mm 480 N R B B 150 mm 60 mm C D 80 mm ? x E 60mm 100mm 150 mm T üm cisim i çi n denge denklemleri: ? F x ? 0 ? R Ax ? R B ? 0 ? R Ax ? ?R B ? F y ? 0 ? R Ay ? 480 ? 0 ? R Ay ? 480 N ? M A ? 0 ? 160 R B ? 100 ? 480 ? 0 ? R B ? 300 N , R Ax ?? ?300 N sin ? ? 80 2 2 , sin ? ? 8 17 , cos ? ? 150 2 2 , cos ? ? 15 17 101 SDE ? ?561 N SDE ? ? 17(100 ? 480 ? 60 ? 300) ? Fx ? 0 ? RC x ? ( ?561) 17 ? 300 ? 0 , RC x ? ? 17 561 ? 300 , RC x ? ?795 N ? Fy ? 0 ? RC y ? ( ?561) 17 ? 480 ? 0 , RC y ? 216 N RAx ? RC x ? SDE cos ? ? 0 , ( ?300) ? ? ?795 ? ? ? ?561 ? 15 ? 100 ? ?561? BCD cismi i çi n serbest cisim diyagram ı : 60mm 100 mm 150 mm R B ? 300 N B 60 mm R C y 480 N C R C x ? S DE BCD cismi i çi n denge denklemleri : ? F x ? 0 ? R C x ? S DE cos ? ? 300 ? 0 ? F y ? 0 ? R C y ? S DE sin ? ? 480 ? 0 ? M C ? 0 ? (100 ? 150) S DE sin ? ? 60 ? 300 ? 100 ? 480 ? 0 , 8 ? 250 15 15 8 ACE cismi i çi n serbest cisim diyagram ı : R A y 220 mm R C x A C R Ax S DE 80 mm R C y E ? 100 mm ACE cismi i çi n denge denklemleri (kontrol i çi n) ? F x ? 0 ? 17 ? 0 ? F y ? 0 ? M A ? 0 ? R A y ? R C y ? S DE sin ? ? 0 , 480 ? 216 ? ? ?561 ? ? ?220 R C x ? 300 S DE cos ? ? 100S DE sin ? ? 0 8 17 ? 0 ?220 ? ?795 ? ? 300 ? ?561 ? 15 8 17 17 ? 0 102 11.3 Makineler Makineler kuvvetleri iletmek veya d eği ştirmek i çi n k u l l a n ı l a n yap ı l a r d ır. İster tek bir alet ve komple bir mekanizma olsun t ü m ü n d e iletilen giri ş kuvvet veya momentleri ile çık ı şta olu şturulan kuvvet veya momentler göz ö n ü n e al ın ır. Bu t ü r yap ı l a r ın çöz ü m ü n d e çe r çe v el er d e k i ayn ı y ö n t em izlenir. Yani t ü m yap ı el em a n l a r ına ayr ı l ıp her bir eleman i çi n temel denklemler y a zı l ır. A y r ı ca birle şme veya temas noktalar ında etki tepki ilkesi k u l l a n ı l ır. A şa ğ ı d a k i şekilde g ö st eril en el makas ında AB kolunun A ucuna uygulanan P Kuvveti bu makas ın mekanizmas ı taraf ından Q kuvvetine d ö n ü ş t ü r ü l ü r . A P B Q Problem 11.3.1 A şa ğ ıda g ö st e r i l en mekanizmay ı dengede tutmak i çi n CD krank ına uygulanmas ı gereken M C momentinin şiddetini bulunuz. D bloğu CD krank ına bir pimle b a ğ l a n m ı şt ır ve AB el em a n ında aç ı l m ı ş bir yar ık i çi n d e ser b est çe kayabilir. 10 cm D B A 1500 N 60 0 C MC 45 cm 30 cm 103 AC ? CD ? 2 AC ? CD cos ACD , AD ? 452 ? 102 ? 2 ? 45 ?10 cos1200 Ç özü m : T üm cisim i çi n serbest cisim diyagram ı: 10 cm D B R C x C M C R Ax A 60 0 ? 1500 N R A y R C y 45 cm 30 cm T üm cisim i çi n denge denklemleri: ? F x ? 0 ? R Ax ? R C x ? 0 ? R Ax ? ?R C x ? F y ? 0 ? R Ay ? R C y ? 1500 ? 0 ? ? M A ? 0 ? M C ? 45 R C y ? 75 ?1500 ? 0 AD ? 2 2 AD ? 50, 74446 cm sin ? ? CD sin 60 0 AD , sin ? ? 10sin 60 0 50, 74446 ? ? ? 9,826 0 AB el em anı i çi n serbest cisim diyagram ı : D B 1500 N R Ax A R D R A y 75 cm AB el em anı i çi n moment denklemi : ? M A ? 0 ? AD R D ? 75 ?1500 ? 0 ? R D ? 2216,991 N CD Krank ı i çi n serbest cisim diyagramı: 10 cm R D 90- ? D MC 60 0 R C x C R C y 104 CD K ran kı i çi n denge denklemleri : ? F x ? 0 ? R C x ? R D cos ? 90 ? ? ? ? 0 ? R C x ? ?R D cos ? 90 ? ? ? R C x ? ?2216,991 ? cos ?90 ? 9,826 ? , R C x ?? ?378,344 N ? F y ? 0 ? R C y ? R D sin ?90 ? ? ? ? 0 ? R C y ? 2216,991 ? sin ?90 ? 9,826 ? R C y ? 2184, 47 N ? M C ? 0 ? M C k ? CD ? R D ? 0 M C k ? (10 cos 60 0 i ? 10sin 60 0 j ) ? [R D cos(90 ? ? ) i ? R D sin(90 ? ? ) j ] ? 0 M C k ? [ ?10 cos 60 0 R D sin(90 ? ? ) ? 10sin 60 0 R D cos(90 ? ? )] k ? 0 M C ? ?10 cos 60 0 R D sin(90 ? ? ) ? 10sin 60 0 R D cos(90 ? ? ) M C ? ?10 cos 60 0 ? 2216,991 ? sin 80,1736 ? 10sin 60 0 ? 2216,991 ? cos80,1736 M C ? 14199 Ncm T üm cisim i çi n denge denklemleri: ? F x ? 0 ? R Ax ? R C x ? 0 ? R Ax ? ?R C x ? R Ax ? 378,344 N ? F y ? 0 ? R Ay ? R C y ? 1500 ? 0 ? R Ay ?? ?684, 47 T üm cisim i çi n moment denklemi: ( kontrol i çi n ) ? M A ? 0 ? M C ? 45 R C y ? 75 ?1500 ? 0 ? 14199 ? 45 ? 2184, 47 ? 75 ?1500 ? 0 ? 0,15 ? 0 alınabilir.( yuvarlatma hatalar ından kaynaklan ır.) 105 B Ö L Ü M 12 K İ R İ ŞLERDEK İ KES İT ZORLARI KESME KUVVET İ VE E ĞİLME MOMENT İ D İ Y A G R A M L A R I 12.1 Kiri şl erde kesit z o rlar ı Bir kiri şin enine kesitindeki iç kuvvetlerin ve momentlerin kesit d ü zl em i n d e ve kesite dik olmak ü ze r e al ınan bile şenlerine kesit zorlar ı denir. Kiri şlerin boyutland ır ılmas ında kesit zorlar ın ın bilinmesi hesaplar ı kolayla şt ır ır. Kesit zorlar ın ın bile şenleri etki şekline g ö r e a şa ğ ı d a k i gibi isimlendirilir. Normal kuvvet : Kesite etki eden iç kuvvetin kesite dik bile şeni. Kesme kuvveti : Kesite etki eden iç kuvvetin kesit d ü z l em i n d e k i bile şeni. Burulma momenti: Kesite etki eden momentin kesite dik bile şeni. E ğilme momenti : Kesite etki eden momentin kesit d ü z l em i n d e k i bile şeni. 12.2 Kesit z o rl arı i çin kabul edilen pozitif y ö n ler Normal kuvvet ve burulma momenti kesitten d ı şar ı doğru ise pozitif kabul edilir. Kesme kuvveti kesit d ü zl em i n i n ay ı r d ı ğ ı p ar ça l ard a n sa ğdakini a şa ğ ı doğru harekete zorluyorsa pozitif al ın ır. E ğilme momenti kiri şi a şa ğ ıya d o ğru bel verecek şekilde e ğ er se pozitif al ın ır. V M V M Kesitteki iç kuvvetler ( pozitif kesme kuvveti V ve Pozitif E ğilme momenti M ) Pozitif kesme kuvvetinde d ı ş kuvvetlerin etkisi Pozitif e ğilme momentinde d ı ş kuvvetlerin etkisi 106 12.3 Y ay ı l ı yük , kesme kuvveti ve e ğ i l m e momenti ar as ı n d ak i ba ğ ı n t ı l ar q q(x) B A x C D E xC dx xD Ş eki l de yay ılı yük etkisindeki basit mesnetli bir kiri ş gö st eri l m ek t edi r . Bu kiri şden al ınan bir diferansiyel eleman üze ri nd e etkiyen kuvvetler ve bu el em anın dengesi dü ş ün ül erek a şa ğ ı da ki denklemler yaz ı l abi l i r . dx/2 q dx V M M+dM C dx D V+dV ? F y ? 0 ? V ? (V ? dV) ? q dx ? 0 dV= ? q dx dV = ? q dx B öy l ec e kesme kuvvetinin kesit uzu nluğ u boyunca t ürev i o noktadaki yayılı yüke şiddeti e şit yönü ise zıt olur. 107 dM ? V dx ? (dx)2 XE VE ? VC ? ? ? q dx XC Buradan E ve C noktalar ı aras ı nd aki kesme kuvveti fark ın ın bu noktalar aras ında yay ılı yük diagram ı al t ındak i alana e şit oldu ğu anla ş ılır. ? M D ? 0 ? (M ? dM) ? M ? V dx ? q dx dx 2 ? 0 1 2 dM dx ? V Bu son ifadeden e ğilme momentinin kiri ş uzu nl uğ u boyunca t ürev i n in kesme kuvvetine e şit oldu ğu anla ş ılır. dM ? V dx M E ? M C ? XE ? V dx XC Buradan E ve C noktalar ı aras ı nd aki e ğilme momenti fark ın ın bu noktalar aras ında kesme kuvveti diagram ı al t ı nd aki alana e şit oldu ğu anla ş ılır. 12.4 Kesme kuvveti ve e ğ i l m e momenti d i y ag ra m l ar ı Kiri ş kesiti boyunca kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramlar ın ın çi zi l m esi bu b üy ü kl ük l eri n izlenmesi ve buna gö re kiri şin öl çül e nd i ri l m esi m üh end i sli k açıs ından ön em li d i r . Bu diyagramlar ın çi zi m i nd e en ço k ku l l anı l a n yö nt em kesit yö nt e mi di r . Kesit yö nt em i n de kiri ş uzu nl uğ u boyunca baz ı öze l noktalar ından ( tekil yük etki noktalar ı yay ı lı yük ba ş l ang ı ç ve biti ş noktaları) bö l gel e r e ayrılır. Bu her bö l ge ba ş l a ng ıc ı ve az evveli olmak üze re kesitler al ın ıp kesitin sol taraf ın ın dengesi i çi n yaz ı l an denklemlerden kesme kuvveti ve e ğilme momenti değerleri hesaplan ır.Elde edilen değ erl er yard ım ı yl a kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramlar ı çi zi l i r . 108 Problem 12.4.1 Ş eki l de gö rül en kiri şte , verilen yü kl em e durumu i çin , kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramlar ın ı çi zi ni z. 20 kN 10 kN B A D C 1,25 m 1,5 m 1m Ç özü m : 20 kN 10 kN B A D 1 2 3 4C5 6 1,25 m R B 1,5 m 1m R D T üm kiri ş i çi n denge denklemleri: ? F y ? 0 ? R B ? R D ? 10 ? 20 ? 0 ? R B ? R D ? 30 kN ? M B ? 0 ? 2,5 R D ? 1, 25 ?10 ? 1,5 ? 20 ? 0 ? R D ? 7 kN , R B ? 23 kN 1 kesitinin solundaki kiri ş parças ı i çi n serbest cisim diyagram ı ve denge denklemleri : 10 kN ? F y ? M 1 ? 0 ? 0 ? ? ?10 ? V 1 ? 0 ? V 1 ? ? ?10 kN M 1 ? 0 ?10 ? 0 ? M 1 ? 0 M 1 V 1 2 kesitinin solundaki kiri ş parças ı i çi n serbest cisim diyagram ı ve denge denklemleri : 10 kN ? F y ? 0 ? M 2 ? 0 ? ? ?10 ? V 2 ? 0 ? V 2 ???10 kN M 2 ? 10 x ? 0 ? M 2 ???10 x M 2 x V 2 109 3 kesitinin solundaki kiri ş parças ı i çi n serbest cisim diyagram ı ve denge denklemleri : 10 kN 1,25 M 3 V 3 ? F y ? 0 ? ?10 ? 23 ? V 3 ? 0 ? ? M 3 ? 0 ? M 3 ? 10 ?1, 25 ? 0 ? V 3 ? 13 kN M 3 ???12,5 kNm R B ? 23kN 4 kesitinin solundaki kiri ş parças ı i çi n serbest cisim diyagram ı ve denge denklemleri : 10 kN M 4 V 4 1,25 m ? F y ? 0 ? ? M 4 ? 0 ? R B ? 23kN x ?10 ? 23 ? V 4 ? 0 ? V 4 ? 13 kN M 4 ? 10 x ? 23(x ? 1, 25) ? 0 ? M 4 ? 13 x ? 28, 75 5 kesitinin solundaki kiri ş parças ı i çi n serbest cisim diyagram ı ve denge denklemleri : 20 kN 10 kN B A R B ? 23 kN 1,25 m 1,5 m V 5 M 5 ? F y ? 0 ? ? M 5 ? 0 ? ?10 ? 23 ? 20 ? V 5 ? 0 ? V 5 ?? ?7 kN M 5 ? 10 ? 2, 75 ? 23 ?1,5 ? 0 ? M 5 ? 7 kNm 6 kesitinin solundaki kiri ş parças ı i çi n serbest cisim diyagram ı ve denge denklemleri : 20 kN 10 kN B A C M 6 1,25 m R B ? 23 kN 1,5 m x 110 V 6 ? F y ? M 6 ? 0 ? ?10 ? 23 ? 20 ? V 6 ? 0 ? V 6 ?? ?7 kN ? 0 ? M 6 ? 10 x ? 23(x ? 1.25) ? 20 (x ? 2, 75) ? 0 , M 6 ?? ?7 x ? 26, 25 D noktas ı nd aki yü zey in solundaki kiri ş parças ı i çi n serbest cisim diyagram ı ve denge denklemleri : 20 kN 10 kN B D A C V D M D 1,25 m R B ? 23 kN 1,5 m 1m R D ? 7 kN ? F y ? 0 ? ?10 ? 23 ? 20 ? 7 ? V D ? 0 ? V D ? 0 ? M D ? 0 ? M D ? 10 ? 3, 75 ? 23 ? 2,5 ? 20 ?1 ? 0 , M D ? 0 20 kN 10 kN B A D 1 2 3 4C5 6 1,25 m R B 1,5 m 1m R D 13 kN x -7 kN -10 kN 7 kNm x -12,5 kNm 111 RC y ? ? 0 ? RC y ? 0 ? M C ? 0 ? M C ? (L ? ) 0 ? ? q ? q0 a q a ? 0 ? M C ? ? 0 L , Problem 12.4.2 Ş eki l de gö rül en C de ankastre mesnetli kiri şin , verilen yü kl em e durumu i çi n , kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramlar ın ı çi zi ni z. q 0 A a B C L Ç özü m : T üm kiri ş i çi n serbest cisim diyagram ı ve denge denklemleri : y a 3 q 0 a 2 q q 0 M C A x x B C a L R C y R C x ? F x ? 0 ? R C x ? 0 ? F y ? 0 ? q 0 a 2 q a 2 q a ? x a ? x q 0 a a a q a 3 2 q 0 2 6 2 M C ? ? q 0 a 6 (3L ? a) 112 (q0 ? q) x (q0 ? q0 ) x V ?? , V ?? (2q0 ? x ? q0 x (q0 ? q)x 2 1 (q0 ? q)x2 qx2 x ? qx x ? 0 ? M D ? ? ? M D ? ? , (3q0 ? q0 )x2 M D ? ? , q0 3 q a ? q0 a , VB ? ? 0 a a ? 0 a2 , q0 2 kiri şin A ile B aras ı nd a ki bir kesiti i çi n serbest cisim diyagram ı ve denge denklemleri: (q 0 ? q) x 2 y qx q q 0 ? q q M D A D x /2 x V ? F y ? 0 ? ?V ? ? qx ? 0 2 ? V ?? (q 0 ? q) x 2 a ? x a 2 q 0 a 2 x) x , V ? q 0 2 2a ? M D ? 0 ? M D ? 2 3 2 3 2 (2q 0 ? q)x 2 6 x a 6 M D ? 6a 2 x ? 0 x 2 B noktas ında x = a d ır. V B ? q 0 2 q 2a 2 M B ? q 0 3 q 6a 2 M B ? ? 3 a 113 ?VE ? ? 0 M E ? 0 (x ? ) ? 0 q0 a q0 a2 q0 a q0 a2 x ? q0 x q0 q0 2 q0 2 q0 a q0 a2 kiri şin B ile C aras ı nd a ki kesitlerinde serbest cisim diyagram ı y a 3 q 0 a 2 q 0 M C A B E a x V E ? F y ? 0 ? q 0 a 2 ? V E ? ? q 0 a 2 ? M E ? 0 ? q a a 2 3 ? M E ? ? x ? 2 6 C noktas ın da x = L dir. M C ? ? L ? , 2 6 M C ? ? q 0 a 6 (3L ? a) T üm kiri ş i çi n kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagram ı : y a /3 q 0 a 2 q q 0 M C A x x B C a R C y R C x L x V ? q 0 2 2a V B ? V C ? ? q 0 2 a x M ? 6a 2 x 3 ? x M B ? ? 3 a M ?? x ? 2 6 M C ? ? q 0 a 6 (3L ? a) 114 RA ? , RC ? ? Problem 12.4.3 Basit mesnetli AC kiri şine B noktas ından M B şiddetinde bir kuvvet çi ft i uygulanm ı şt ır. Bu kiri ş i çi n kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramlar ın ı çi zi ni z. M B A B C a L Ç özü m : T üm cisim i çi n serbest cisim diyagram ı ve denge denklemleri: M B A B C R A a L R C ? F y ? 0 ? R A ? R C ? 0 ? R C ? ?R A ? M C ? 0 ? M B ? R A L ? 0 ? M B L M B L kiri şin A ile B aras ı nd a ki bir kesiti i çi n serbest cisim diyagram ı ve denge denklemleri: A D M D R A x V D ? F y ? 0 ? R A ? V D ? 0 ? V D ? R A , V D ? M B L ? M D ? 0 ? M D ? R A x ? 0 ? M D ? R A x , M D ? M B L x kiri şin A ile C aras ı nd a ki bir kesiti i çi n serbest cisim diyagram ı ve denge denklemleri: M B A B M E R A a x V E ? F y ? 0 ? ? V E ? R A , V E ? V D ? M B L 115 M E ? ?M B (1 ? ) ?M B (1 ? ) ?M B (1 ? ) ? M E ? 0 ? M E ? M B ? R A x ? 0 ? M E ? R A x ? M B M E ? M B L x ? M B , x L AC kiri şi i çi n kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramlar ı : M B A B C R A a R C L M B L x M B L x M B a L x x L a L 116 B Ö L Ü M 13 Vİ R T Ü EL İŞLER İLKES İ 13.1 Giri ş Buraya kadar incelenen konular i çi n d e bir cisme maddesel nokta modeli ile yakla ş ı l d ı ğ ında bu cisme etki eden kuvvetlerin geometrik t o p l am ın ın s ıf ır olmas ın ın denge şart ı i çi n gerek ve yeter şart olduğu s ö y l e n d i . A y n ı şekilde bir rijid cisme etki eden kuvvet sisteminin s ıf ıra e ş d e ğ e r olmas ı denge i çi n yeter ve gerek ko şul olmas ı problemlerin ç ö z ü m ü n d e k u l l a n ı l d ı. Bunlardan farkl ı olarak çe şitli b a ğlarla birbirine b a ğlanarak olu şturulan rijid cisim sistemi olarak kabul edilen yap ı l ar i çi n etki eden kuvvet sisteminin s ıf ıra e ş d e ğ er olmas ı yeterli ko şul d e ğildir. Bundan d o l a y ı bu t ü r problemlerde sistem el em a n l a r ına ayr ı l a r a k s ıf ıra e ş d e ğerlik k u r al ı etki tepki ilkesi ile birlikte her bir elemana ayr ı ayr ı u y g u l a n ıp çöz ü m e gidilir. A F -F Şe k i l d e g ö st eril en A da s ü r t ü n m esi z mafsal ile b a ğ l a n m ı ş rijid cisim sisteminde sisteme etki eden d ı ş aktif kuvvetler s ıf ıra e ş d e ğ er olmas ına r a ğ m en sistem bu kuvvetler etkisinde dengede d eğildir. V i r t ü el i şler ilkesi ise rijid cisim sistemine p a r ça l ar ına ay ırmadan u y g u l a n ır. Bundan d o l a y ı ö ze l l i k l e rijid cisim sistemlerinde b a ğ kuvvetlerinin gerekli o l m a d ı ğ ı durumlarda v i r t ü el i şler ilkesi tercih edilir. 13.2 V irt ü e l yer de ğ i ştirm e a) Sistemin b ağ l a r ına uygun yer d e ği ştirme b) Diferansiyel karakterde ( sonsuz k ü çü k ) c) G e r çe k olmas ı gerekmeyen , sadece tasarlanan bir y er d e ği ştirme d) Dondurulmu ş zaman i çi n d e olu şan bir y er d e ği ştirmedir. e) Bu ö ze l l i k l e r i sa ğlamak ko şulu ile keyfi bir y e r d eği ştirmedir. Bir kuvvetin etki etti ği bir A noktas ın ın yer v ektö r ü rA ise bu noktan ın v i r t ü el yer d eği ştirmesi ? rA ile g ö st e r i l i r . 117 13.3 Bir kuvvetin v i rt ü el i ş i y F A ? r A r A o x z Bir F kuvvetinin A uygulama noktas ın ın vi rt üel yer deği ştirmesinde bu kuvvetin yapt ı ğ ı i ş ? ? ? F ? ?rA 13.4 Bir Momentin v i rt ü el işi Rijid cisim veya sistemlerinin konumu bazen uzunluk yerine açı ile belirlenebilir. Bu durumda açı dak i vi rt ü el deği şimde momentin yapt ı ğ ı i ş ? ? ? M ? ?? d ır. 13.5 V i rt ü el i ş l er ilkesi Bir maddesel nokta ,maddesel noktalar sistemi ,rijid cisim veya rijid cisim sisteminin dengede olmas ı i çi n sisteme etki eden d ı ş Aktif kuvvetlerin sistemin bağlara uygun vi rt ü el yer deği ştirmesinde yapt ı ğ ı i şler toplam ın ın s ı fıra e şit olmas ı gerek ve yeter ko şuldur. Bir sisteme etki eden d ı ş aktif kuvvetler A1 noktas ında F 1 , A2 noktas ında F 2 , . . . ve An noktas ında Fn olsun. Bu noktalar ın virt üel yer deği ştirmesinde bu kuvvetlerin yapt ı ğ ı vi rt ü el i şler toplam ın ın s ı fı r olmas ı bu sistemin dengesi i çi n gerek ve yeter ko şuldur . ?? ? F 1 ? ?rA1 ? F2 ? ?rA2 ? ? Fn ? ?rAn 118 Problem 13.5.1 Bir hidrolik kal dırma platformu 1000kg kü t l el i yü kl eri kal dırmakta ku l l anı l ı yo r . Platformun a şa ğ ı yukar ı hareketi her iki taraf ında ayn ı uzunluklu bağ l ant ı çub uk l ar ı yard ım ı ile e şit kuvvet uygulayan hidrolik silindirler taraf ından gerçek l e ştirilmektedir. A şa ğ ı dak i şekilde tek bir bağ l ant ı ve tek bir silindir gö st eri lm ekt ed i r . ? = 60 0 , a = 0,7 m. L = 3,2 m. i çi n hidrolik silindirlerin uygulad ı ğ ı kuvveti bulunuz. ( ED ? BD ? a ) d ½ W A B C 2a D ? E G H ½ L ½ L Ç özü m : y d ½ W I A B C 2a D ? S HD x R E x E G H R E y ½ L R G ½ L V i rt üel i ş ilkesi: ?? ? 0 ? 0,5W ? ? r I ? S HD ? ? r D ? 0 W ? ?mg j , S HD ? S HDU HD , r I ? d ? i ? 2a sin ? j , r D ? a cos ? i ? a sin ? j 119 U HD ? , L ? a ? 2aL cos ? L ? a2 ? 2aL cos ? SHD (L ? a cos ? ) a sin ? ?? (SHD a sin ? )a cos ? ?? L ? a ? 2aL cos ? L2 ? a2 ? 2aL cos ? SHD L a sin ? mga cos ? L a sin ? L ? a ? 2aL cos ? 3, 2 ? tan 60 HD HD HD ? ?(L ? a cos ? ) i ? a sin ? j , HD ? (L ? a cos ? ) 2 ? (a sin ? ) 2 HD ? L 2 ? a 2 ? 2aL cos ? , S HD ? ?S HD (L ? a cos ? ) L 2 ? a 2 ? 2aL cos ? i ? S HD a sin ? L 2 ? a 2 ? 2aL cos ? j ? r I ? 2a cos ? ?? j , ? r D ? ?a sin ? ?? i ? a cos ? ?? j ?? ? 0 ? ?0, 5mg j ? (2a cos ? ?? j ) ? ( ?SHD (L ? a cos ? ) 2 2 i ? 2 SHD a sin ? j ) ? ( ?a sin ? ?? i ? a cos ? ?? j) ? 0 ?mga cos ? ?? ? ? ? 0 2 2 ?mga cos ? ? ? 0 ? S HD ? L 2 ? a 2 ? 2aL cos ? 2 2 S HD ? mg L tan ? L 2 ? a 2 ? 2aL cos ? S HD ? 1000 ? 9,81 0 3, 2 2 ? 0, 7 2 ? 2 ? 0, 7 ? 3, 2 cos 60 0 , S HD ? 5157, 2N Problem 13.5.2 Ş eki l de gö st eri l en mekanizmay ı dengede tutmak i çin CD krank ına uygulanmas ı gereken M C kuvvet çi ft i ni ? ? 60 0 i çi n bulunuz. Blok D de CD krank ına bir pimle bağ lıdır ve AB kolunda açı l m ı ş bir yar ık i çi nd e serbest çe kayabilmektedir. D B M C ? P ? 150N A C 10cm 45 cm 30 cm Ç özü m : y D B R Ax A ? M C ? P ? 150N R A y R C x C 10cm x 45 cm 120 R C y 30 cm ? ? 9,8260 ? ? arcsin( sin 60 ) , AD ? 50, 7445cm , ? ? arcsin( sin ? ) , AB ? cos ? , AB ? 76,117cm , yB ? 761,17 (2125 ? 900 ? cos ? ) sin ? ? yB ? ( ? 761,17 (2125 ? 900 ? cos ? ) ( ?900sin ? ) sin ? ? 761,17 (2125 ? 900 ? cos ? ) cos ? ) ?? ?? ? 0 ? M C ?? ? P ? ? r B ? 0 ? M C ?? ? P ? ? y B ? 0 y B ? AB sin ? AD sin ? ? CD sin ? , sin ? ? CD AD sin ? , AD ? 45 2 ? 10 2 ? 2 ? 45 ?10 ? cos(180 ? ? ) AD ? 2125 ? 900 ? cos ? , ? ? 60 0 i ç i n 10 0 50, 7445 45 ? 30 CD AD sin ? ? 10 2125 ? 900 ? cos ? sin ? , y B ? 761,17 2125 ? 900 ? cos ? sin ? ?1/ 2 1 ?3/ 2 ?1/ 2 2 ? y B ? 9, 466 ?? ?? ? 0 ? M C ?? ? 150 ? 9, 466 ?? ? 0 ? M C ? 150 ? 9, 466 ? 0 ? M C ? 150 ? 9, 466 M C ? 1419,9 Ncm 13.6 Ç o k serbestlik dereceli sistemlerde v i rt ü el i ş l er ilkesi: Bir sistemin hareketi esnas ında her an i çi n konumunu belirleyen a çı uzunluk gibi deği şkenlere genelle ştirilmi ş koordinatlar denir. Genelle ştirilmi ş koordinatlar ın birbirinden bağ ıms ız olan say ıs ına serbestlik derecesi denir. Ç ok serbestlik dereceli sistemlerde vi rt üel i şler ilkesi uygulan ırken serbestlik derecesini belirleyen genelle ştirilmi ş koordinatlar ın her seferinde bir tanesinin deği şimine izin verilip serbestlik derecesi kadar denklem elde edilir. 121 yGAB ? l cos ? AB , yGBC ? l cos ? AB BC , yGCD ? l cos ? AB BC CD ? cos ? ? l cos ? ? cos ? ? yGAB ? ? sin ? AB AB ?? , ? yGBC ? ?l sin ? AB AB BC BC ?? ? sin ? ?? ? yGCD ? ?l sin ? AB AB BC BC CD CD ?? ? l sin ? ?? ? sin ? ?? ?W ( sin ? AB AB AB AB BC BC AB AB BC BC CD CD ) ? ?? ? l sin ? ?? ? sin ? ?? ? l sin ? ?? ? l sin ? ?? ? sin ? ?? ?W ( sin ?AB AB AB AB BC BC AB AB BC BC CD CD ) ? ?? ? sin ? ?? ? sin ? ?? ? sin ? ?? ? sin ? ?? ? sin ? ?? ?? ? 0 ? ?W ( sin ?AB AB AB AB AB AB AB AB ? 0 ?? ? sin ? ?? ? sin ? ?? ) ? P cos ? ?? ?W ( sin ?AB ) ? P cos ?AB ? 0 Problem 13.6.1 Her birinin uzu nl uğ u l a ğ ı rl ı ğ ı W olan üç çub uk birbirlerine mafsall ıdır .Birinci çub uk ayr ı ca sabit mesnede mafsall ıdır ve son çub uğ un ucuna P kuvveti uygulanm ı şt ır. Sistem dü şey dü zl em de oldu ğuna gö re denge durumunda çub uk l ar ın dü şey do ğrul tu ile yapt ıklar ı açı l arı P kuvveti ve W a ğ ı rl ı ğ ına bağ lı olarak bulunuz. A x W G AB ? AB B W ?BC G BC C W Ç özü m : y ?CD G CD D P ?? ? 0 ? ? W ? ? r GAB ? W ? ? r GBC ? W ? ? r GCD ? P ? ? r D ? 0 W ? y GAB ? W ? y GBC ? W ? y GCD ? P ? ? x D ? 0 l l 2 2 2 x D ? l sin ? AB ? l sin ?BC ? l sin ?CD l 2 l 2 l 2 ? x D ? l (cos ? AB ?? AB ? cos ?BC ??BC ? cos ?CD ??CD ) ?? ? 0 ? l l l 2 2 2 ? Pl (cos ? AB ?? AB ? cos ?BC ??BC ? cos ?CD ??CD ) ? 0 1 1 1 2 2 2 ? P(cos ?AB ??AB ? cos ?BC ??BC ? cos ?CD ??CD ) ? 0 Her bir denklem i çi n bir açıya deği şim verilir. ?? AB ? 0 , ??BC ? 0 , ??CD ? 0 i çi n 1 2 5 2 ? tan ?AB ? 2P 5W 122 ?? ? 0 ? ?W ( sin ?BC BC BC BC BC BC ) ? 0 ?? ? sin ? ?? ) ? P(cos ? ?? ?? ? 0 ? ?W ( sin ?CD CD CD CD ) ? 0 ?? ) ? P(cos ? ?? ?? AB ? 0 , ??BC ? 0 , ??CD ? 0 i çi n 1 2 ?W 3 2 sin ?BC ? P cos ?BC ? 0 ? tan ?BC ? 2P 3W ?? AB ? 0 , ??BC ? 0 , ??CD ? 0 i çi n 1 2 ?W 1 2 sin ?CD ? P cos ?CD ? 0 ? tan ?CD ? 2P W 123