Genel Matematik Sayı Kümeleri ve Koordinatlar DERS 1 Sayı Kümeleri ve Koordinatlar 1.1 Kümeler . Matemati ğin temel kavramlarından biri küme kavramıdır. Okuyucunun küme kavramına yabancı olmayıp kümelerle ilgili temel i şlemleri bildi ğini kabul ediyoruz. Bununla beraber kümelerle ilgili temel kavram ve gösterimleri özet olarak sunaca ğız. Küme denince iyi tanımlı bir nesneler toplulu ğu anla şılır. Burada “iyi tanımlı” deyiminin anlamı şudur: Herhangi bir küme söz konusu oldu ğunda herhangi bir nesnenin o kümeye, yani nesneler toplulu ğuna ait olup olmadı ğı kuşkuya yer bırakmayacak biçimde bilinmelidir. Kümeye, yani nesneler toplulu ğuna ait olan nesnelerden her birine kümenin bir elemanı denir. Genellikle kümeler alfabedeki büyük harflerle, elemanlar da küçük harflerle gösterilir. Buradaki alfabe sözcü ğü Türkçe alfabe ile sınırlı de ğildir, kümeleri veya elemanları göstermek için Türkçe alfabeden oldu ğu kadar İngilizce, Yunanca ve ba şka alfabelerden harfler de kullanılır. K bir küme. a ve b nesneler olsun. E ğer a, K nın elemanı ise, a ?K yazılır. E ğer b, K nın elemanı de ğilse, b?K yazılır. Hiç elemanı bulunmayan kümeye bo ş küme denir ve bo ş küme, Ø ile gösterilir. A ve B kümeler, .A nın her elemanı B nin elemanı ise, A kümesi B nin altkümesidir denir. A, B nin altkümesi ise, A ? B yazılır. Elemanları aynı olan iki kümeye e şit kümeler denir ve bu durumda alı şkın olduğumuz üzere, A = B yazılır. A = B ? A ? B ve B ? A oldu ğu açıktır. Kümeler, elemanları { ve } i şaretleri arasına listelenerek veya elemanları tanımlanarak gös- terilir. Örne ğin, • Türkçe alfabedeki ilk üç küçük harften olu şan küme : {a,b,c} ; • 1 den 5 e kadar olan do ğal sayıların kümesi : {1,2,3,4,5} = {x : 1 ? x ? 5}; • 5 ten büyük 1 den küçük olan do ğal sayıların kümesi : Ø. Şimdi, A ve B kümeleri için yukarıdaki küme gösterimini de kullanarak, birle şim, kesi şim ve fark i şlemlerini tanımlayalım. • A ve B nin birle şimi, A ?B ={x : x ?A veya x ?B}; • A ve B nin kesi şimi, A ?B ={x : x ?A ve x ?B} ; • A ve B nin farkı , A \ B ={x : x ?A ve x ? B} olarak tanımlanır. Kümeler üzerindeki tartı şmaları kolayla ştırmak için Venn Çizelgeleri denilen çizelgeler kullanılır. Şöyle ki, bir küme kapalı bir e ğrinin, örne ğin bir dikdörtgenin veya bir çemberin sınırladı ğı alanla gösterilir ve o alan içindeki noktaların da kümenin elemanlarını gösterdi ği düşünülür. Yukarıdaki çizelgeye göre, A ? K , a ?A ve b?A dır. Kümeler için yukarıda tanımladı ğımız üç i şlemin Venn çizelgeleri ile görünümü a şa ğıdaki gibi olacaktır. A B A \ B K A a b B A A ?B B A A ?B 1.2. Sayılar. Matemati ğin temel kavramlarından biri de sayı kavram ıdır. Bu dersi alan öğrencilerin sayı kavramına yabancı olmadıklarını, sayılarla ilgili temel özellikleri bildi ğini kabul ediyoruz. Şimdi, ders içinde kullanaca ğımız gösterimleri tanıtaca ğız ve bu vesileyle sayılarla ilgili temel özelliklerden bazılarını hatırlayaca ğız. • N : do ğal sayılar kümesi. 1 , 2 , 3 , . . . • Z : tam sayılar kümesi . . . . , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . • Q : rasyonel sayılar kümesi. 3 ; 33 , 1 ; 7 5 ; 2 1 - - gibi. • R : reel sayılar kümesi . • R\Q : irrasyonel sayılar kümesi. e , 5 , , 2 3 ? gibi. 1.3 Reel Sayılarda Sıralama. Herhangi bir reel sayının ya pozitif, ya negatif ya da sıfır oldu ğunu biliyoruz. İki reel sayı, x ve y verildi ğinde, e ğer (y – x) pozitif ise, x sayısı y den küçüktür denir ve x < y yazılır. x , y , z ? R için • x < y ve y < z ise, x < z dir. • x < y , x = y ve y < x ten bir ve yalnız biri geçerlidir. • x < y ise, x + z < y + z dir. • x < y ve 0 < z ise, x z < y z dir. • (x < y ve 0 > z ise, x z > y z dir. ) Bazen x < y yerine y > x de yazılır ve y sayısı x den büyüktür denir. x < y veya x = y ise, x ? y ( veya y ? x ) yazılır. 1.4. Mutlak De ğer. x ? R nin mutlak de ğeri ? ? ? < - ? = 0 , 0 , x x x x x olarak tanımlanır. Örnek olarak . 4 3 4 3 4 3 , 2 2 , 2 2 = - = = - = Mutlak de ğer ile ilgili bazı özellikleri a şa ğıda listeliyoruz: • Her x ? R için . 0 0 , 0 = ? = ? x x x • Her x, y ? R için . y x xy = • Her x, y ? R için . y x y x + ? + • Her x, y ? R için . y x y x - ? - 1.5. Denklemler ve E şitsizlikler. Yukarıdaki ifadelerde de görüldü ğü gibi, herhangi bir sayıyı veya daha genel olarak bir kümenin herhangi bir elemanını göstermek için x, y, z, ... gibi harfler veya semboller kullanırız. Bir kümenin herhangi bir elemanını göstermek için kullanılan harf veya sembole bir de ği şken denir. Bu dersimizde, aksi belirtilmedikçe, de ği şkenler reel sayılar için kullanılacaktır. Derslerimizde, örneklerinde oldu ğu gibi de ği şkenler içeren denklem veya e şitsizlikler üzerinde çalı şmamız gerekecektir. Bir denklem veya e şitsizli ği sa ğlayan her sayıya o denklem veya e şitsizli ğin bir çözümü denir. Örne ğin, 5 sayısı yukarıda verilen denklemin; 2 sayısı da oradaki e şitsizli ğin bir çözümüdür: Bir denklem veya e şitsizli ğin tüm çözümlerinin olu şturdu ğu kümeye o denklem veya e şit- sizli ğin çözüm kümesi denir. Örne ğin, x 2 -3=2x+12 denkleminin çözüm kümesi {-3, 5} tir. E ğer iki denklem aynı çözüm kümesine sahipse, o iki denkleme denk denklemler denir. Çözüm kümeleri aynı olan e şitsizliklere de denk e şitsizlikler denir. Bir denklemi çözmek için uygulanan standart yöntem şudur: Verilen denklem, kendisine denk olan öyle bir dizi denklemle de ği ştirilir ki, bu dizideki son denklemin çözüm kümesinin ne olduğu kolayca görülebilmektedir. Benzer şekilde, bir e şitsizli ği çözmek için uygulanan standart yöntem şudur: Verilen e şitsizlik, kendisine denk olan öyle bir dizi e şitsizlikle de ği ş- tirilir ki, bu dizideki son e şitsizli ğin çözüm kümesinin ne oldu ğu kolayca görülebilmektedir. Örnek. x 2 -3=2x+12 denkleminin çözümü : x 2 -3=2x+12 ? x 2 -2x-15=0 ? (x+3)(x-5) =0. Yukarıdaki denklemler dizisindeki her denklem diğerine denktir ve son denklemin çözüm kümesinin {-3, 5} oldu ğu açıktır. Lise bilgilerinizden, bu örnekte ele alınan türden denklemlere ikinci dereceden denklemler dendi ğini anımsayınız. İkinci dereceden denklemlerin genel ifadesi, a, b, c ? R olmak üzere ax 2 + bx + c = 0 biçimindedir ve çözümleri a şa ğıdaki formülle elde edilir: 12 2 3 ; 2 1 2 3 2 2 + < - + = - x x x x . 12 2 . 2 3 2 ; 2 1 5 . 2 3 5 2 2 + < - + = - . 2 4 2 a ac b b x - - = m Bundan önceki örnekte verilen denklem bu formülle de çözülebilir: E şitsizliklerin çözümünü daha sonra ele alaca ğız. 1.6. Sayı Ekseni. Reel sayılar sistemi R , esas itibariyle ölçüm yapmak için kullanılır. Ba şka bir deyi şle, reel sayılar sistemini, bir do ğru üzerinde her noktaya bir reel sayı kar şılık getirerek koordinatlar tanımlamak için kullanırız. Şöyle ki, verilen bir do ğru üzerinde bir nokta(orijin , merkez) ve bir birim uzunluk i şaretlendi ği takdirde, do ğru üzerindeki noktalar ile reel sayılar sistemi arasında bire-bir bir e şleme elde edilir. Orijin olarak i şaretlenen nokta 0 (sıfır) sayısına, orijinin sa ğına doğru bir birim uzaklıktaki nokta 1 (bir) sayısı ile e şlenir. Üzerinde orijin ve birim uzunluk i şaretlenmi ş do ğruya sayı ekseni denir. Sayı ekseni üzerinde bir a pozitif reel sayısı ile e şlenen nokta, orijinin sa ğına do ğru orijinden a birim uzaklıktaki nokta; bir b negatif reel sayısı ile e şlenen nokta da orijinin soluna do ğru orijinden -b birim uzaklıktaki noktadır. Sayı ekseni üzerinde bir noktanın e şlendi ği sayıya o noktanın koordinatı denir. Böylece, orijinin koordinatı 0; orijinin sa ğ tarafında ve orijinden bir birim uzaklıktaki noktanın koordinatı 1 dir. Yukarıda, sayı ekseni üzerinde, koordinatları -3, -1, -1/2, 1/2, 5/2 ve 3 olan noktalar i şaretnmi ştir. Sasyı ekseni üzerinde koordinatı x olan noktaya bazen “x noktası” da denir. Örnek olarak, sayı ekseni üzerinde 3 8 noktası denince a şa ğıdaki şekilde görülen nokta anla şılır. 3 8 0 2 3 -3 1 . 5 veya 3 2 64 2 1 . 2 ) 15 .( 1 . 4 ) 2 ( ) 2 ( 2 = - = ? = - - - - - = x x x m m 0 1 3 -1 -3 2 1 - 2 1 2 5 sayı ekseni 1.7. Aralıklar. Sayı ekseni kullanılarak her reel sayı kümesi sayı ekseni üzerinde noktalar kümesi olarak gösterilebilir. Bunlardan en çok kar şıla şaca ğımız küme türleri aralıklardır. A şa ğıda, aralıkların tanımlarını ve sayı ekseni üzerinde gösterili şlerini veriyoruz: a ve b reel sayılar, a < b olmak üzere Böylece tanımlanan aralıklardan ilkine açık aralık, sonuncusuna kapalı aralık, di ğer ikisine de yarıaçık aralıklar denir. Örnek. Sayı ekseni üzerinde () ( ] ? ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ? ? - 4 , 2 7 , 2 , 3 , 3 , 2 3 , 1 , 1 aralıklarını i şaretleyelim: Reel sayılar sistemi R ye her reel sayıdan büyük oldu ğu kabul edilen ? (sonsuz) sembolü ve her reel sayıdan küçük oldu ğu kabul edilen - ? (eksi sonsuz) sembolü katılarak sonsuz aralıklar tanımlanır: (){ } b x a x b a < < = : , [ ){ } b x a x b a < ? = : , a b ( ]{} b x a x b a ? < = : , a b []{} b x a x b a ? ? = : , () { } ? < < - ? = ? ? - x x : , a b (){ } a x x a > = ? : , [ ){ } a x x a ? = ? : , () {} a x x a < = ? - : , ( ]{} a x x a ? = ? - : , 0 1 2 3 4 -1 -2 2 3 2 7 a b a a a a Reel sayılar ile ilgili olarak verilen e şitsizliklerin çözüm kümesini belirlemenin standart yöntemini daha önce belirtmi ştik. Şimdi e şitsizlik çözümü için bazı örnekler verece ğiz ve bir e şitsizli ğin çözüm kümesinin aralıklar cinsinden ifade edilebildi ğini görece ğiz Örnek. 2x + 1 < 0 e şitsizli ğini dü şünelim. 2x + 1 < 0 ? 2x < -1 ? x < -1/2. Yukarıdaki e şitsizlikler dizisindeki her e şitsizlik di ğerine denktir. Son e şitsizli ğin çözüm kümesinin (- ? , -1/2) aralı ğı oldu ğu açıktır ve sayı ekseni üzerinde a şa ğıdaki gibi gösterilebilir. Örnek. x 2 -3 < 2x+12 e şitsizli ğinin çözümü : x 2 -3 < 2x+12 ? x 2 -2x-15<0 ? (x+3)(x-5) <0 Yukarıdaki e şitsizlikler dizisindeki her e şitsizlik di ğerine denktir. Son e şitsizli ğin çözüm kümesinin (-3 , 5) aralı ğı oldu ğu açıktır ve sayı ekseni üzerinde a şa ğıdaki gibi gösterilebilir. Son e şitsizli ğin çözüm kümesi belirlenirken a şa ğıdaki tablodan yararlanılabilir: x -3 0 5 x + 3 - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + x - 5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + ( x + 3)( x -5) + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + -3 0 5 0 1 2 1 - Bazı e şitsizliklerin çözüm kümesi do ğrudan do ğruya tablodan yararlanılarak bulunabilir. Örnek. 0 1 1 ? + - x x e şitsizli ğini dü şünelim. Tablodan, çözüm kümesinin (-1 , 1] aralı ğı oldu ğu görülür ve sayı ekseni üzerinde a şa ğıdaki gibi gösterilebilir: Mutlak de ğer e şitsizlikleriyle verilen kümeler ço ğu zaman aralıklara kar şılık gelir. Örne ğin x -1 0 1 x - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + x + 1 - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 1 + - x x + + + ? - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + c x c c x < < - ? < 0 - c c c a x c a c a x + < < - ? < - a a- c a+c -1 0 11.8. Kartezyen Koordinatlar. Sayı ekseni tanımını geni şleterek düzlemde ve uzayda noktalar için de koordinatlar tanımlayabiliriz. Düzlemde noktaların koordinatlarını tanımlamak için, düzlemde birbirini orijinlerinde dik olarak kesen iki sayı ekseni almak yeterlidir. Genellikle bu eksenlerden biri yatay di ğeri de dü şey olarak seçilir; yatay olanına x-ekseni , dü şey olanına y-ekseni denir. Düzlemde bu şekilde seçilmi ş eksenlerin olu şturdu ğu şekle Kartezyen Koordinat Sistemi , eksenlerin kesim noktasına da bu sistemin orijini denir ve genellikle O harfi ile gösterilir.. x- ve y- eksenleri düzlemi dört bölgeye ayırır. Bu bölgelerden her birine bir çeyrek düzlem ya da kadran denir. Çeyrek düzlemler şekilde görüldü ğü gibi numaralanırlar. Kartezyen koordinat sistemi kullanılarak düzlemdeki noktalar ile sıralı reel sayı ikilileri arasında bire-bir bir e şleme oldu ğu; yani, düzlemde her noktaya bir ve yalnız bir sıralı reel sayı ikilisi, her sıralı reel sayı ikilisine de düzlemde bir ve yalnız bir nokta kar şılık geldi ği gösterilebilir. Sıralı reel sayı ikilileri kümesinin elemanlarıdır. ( ) { } R , : , R R R 2 ? = × = b a b a x O 1 1 II III IV I Kartezyen Koordinat Sistemi O x y Orijin Düzlemde bir noktaya kar şılık gelen sıralı reel sayı ikilisi şöyle belirlenir: ( Şekilden izleyiniz) Verilen noktadan her iki eksene birer dikme indirilir. x-eksenine indirilen dikmenin aya ğı bir a sayısına, y-eksenine indirilen dikmenin aya ğı bir b sayısına kar şılık gelir. Verilen noktaya kar şılık gelen reel sayı ikilisi (a,b) dir. a sayısına o noktanın x-koordinatı veya apsisi; b sayısına da y-koordinatı veya ordinatı denir. Verilen bir (a,b) sıralı reel sayı ikilisine kar şılık gelen noktayı bulmak için yukarıdaki i şlem tersine i şletilir. Daha açık bir ifadeyle, önce x-ekseni üzerinde a noktası ve y-ekseni üzerinde b noktası bulunur ve sonra her iki noktadan ait oldukları eksene birer dikme çıkılır; bu dikmelerin kesim noktası, apsisi a ve ordinatı b olan noktadır. Bundan böyle Kartezyen koordinat sistemi seçilmi ş bir düzlemde bir noktayı o noktaya kar şılık gelen sıralı reel sayı ikilisi ile özde şleyece ğiz; yani (a,b) noktası denince, apsisi a ve ordinatı b olan noktayı anlayaca- ğız Üzerinde bir Kartez- yen koordinat sistemi se- çilmi ş bir düzleme Kartezyen düzlem denir. Bazı noktaların Kartezyen Düzlemde yerle şti- rili şleri yandaki şekilde görülmektedir. Düzlemde Kartezyen koordinat sistemi seçmek ne i şe yarar? Bu seçim, düzlemde noktaları veya nokta kümelerini sayısal ifadelerle belirlememize, pek çok geometri problemini cebirsel yöntemlerle çözmemize ve kar şıt olarak, pek çok cebirsel problemi geometrik olarak yorumlamamıza yardımcı olur. (2,3) (-2,3) (-2,-3) (2,-3) (3,0) (0,-1) x y (0,0) (1,0) (0,1) (1,1) x y a b (a,b) (0,0) (1,0) (0,1 (1,1) Örne ğin, düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık , koordinatlar yardımıyla kolayca hesaplanabilir: Örnek. (1,-2) ve (5,1) noktaları arasındaki uzaklık: İki de ği şkenli bir denklem; örne ğin x 2 + y 2 = 1 , verildi ğinde, bu denklemi sa ğlayan reel sayı ikililerinden her birine o denklemin bir çözümü, denklemi sa ğlayan tüm (x , y) sayı ikililerinin kümesine de o denklemin çözüm kümesi denir. Örne ğin, (1,0) , (0,1) , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 , 2 1 , 5 4 , 5 3 her biri x 2 + y 2 = 1 denkleminin bir çözümüdür . Bir denklemin çözüm kümesi Kartezyen düzlemde bir nokta kümesi olarak dü şünülünce elde edilen şekle o denklemin grafi ği(grafik) denir. Örnek. x 2 + y 2 = 1 denkleminin grafi ği, orijinden 1 birim uzaklıktaki noktaların olu şturdu ğu şekildir ki buna Kartezyen düzlemde birim çember denir. Her hangi bir denklem veya ba ğıntı verildi ğinde, o denklem veya ba ğıntının grafi ğini çizmek için izlenebilecek yollardan biri, denklemi veya ba ğıntıyı sa ğlayan –mümkün oldu ğunca çok- 2 2 2 ) ( ) ( b y a x d - + - = 2 2 ) ( ) ( b y a x d - + - = . 5 9 16 )) 2 ( 1 ( ) 1 5 ( 2 2 = + = - - + - = d x y (0,0) (a,b) (x ,y) d x - a y - b a b x y y (1,0) xnoktalar bulup o noktaları Kartezyen düzlemde i şaretlemektir. İşaretlenen noktalar yardımıyla, grafik tahmin edilme ğe çalı şılır. Örnek. y = 9 - x 2 denkleminin grafi ğini çizmek için bazı çözümler bulalım ve Kartezyen düzlemde i şaretleyelim. Örnek. x 2 + y 2 < 1 in grafi ği (0,9) (1,8) (2,5) (3,0) (-3,0) (-2,5) (-1,8) y = 9 - x 2 x y (0,0) x y (0,0) (1,0) x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 < 1 Problemler 1 1. A = {-1, 0, 1, 2} ve B = {-2, -1, 0, 1} kümeleri veriliyor. A şa ğıda ....... ile gösterilen yerlere ? , ?, ? veya ? i şaretlerinden uygun olanını yerle ştiriniz: -1 ....... A , -1 ....... B , -2 ....... A , -2 ....... B , 2 ....... A , 2 ....... B {0, 1} ....... A , {0, 1, 2} ....... A , {0, 1, 2} ....... B , {-2, 2} ....... A 2. Önceki problemde verilen A ve B kümeleri için a şa ğıdakileri belirleyiniz: a) A ? B b) A ? B c) A \ B d) B \ A 3. A şa ğıda ....... ile gösterilen yerlere < , > veya = i şaretlerinden uygun olanını yerle ştiriniz: -2 ....... –5 , -2 ....... 5 , 2 ....... –5 , 2 ....... 5 , 6-1 ....... 3+2 , 2/3 ....... 0,66 -3 ....... 0 , 3 ....... 0 , 4 ....... 2 , 4 ....... -2 , 7-2 ....... 3+2 , 3/2 ....... 1,5 110 462 ....... 4,2 , 3 2 4 3 - ....... 15 1 , 2 ....... 1,4 , 16 25 - ....... 9 , ? ....... 7 22 4. A şa ğıdaki ifadelerin e şitini mutlak de ğer gösterimi kullanmadan yazınız: |3-7|=? , |-3|+|-7|=? , ||3|-|7||=? , ? | | = - - 1 1 , |(-3) 2 |=? , ? | . | = - 5 0 2 1 ? | | = - 4 2 , -|-3|=? , |-3,5|=? , ? | | = - 2 2 3 , |-2 ?|=? , |4-1|=? 5. A şa ğıdaki denklemleri çözünüz: a) 3x – 5 = 2x + 1 b) x 2 – 3 = 2x – 4 c) 2x 2 – 9 x +7 = 0 d) 5 + x = 9 6. A şa ğıdaki sayılardan her birini sayı ekseni üzerinde gösteriniz: a) 7 b) -7 c) 3 1 d) 3 2 - e) 3 4 f) 2 3 1 g) –3 5 1 h ) 1,35 ı) –1,45 i) 2 7. A şa ğıdaki reel sayı kümelerinden her birini sayı ekseni üzerinde gösteriniz: a) {x : |x - 1| = |x - 2| } b) {x : |x - 1| = |2x - 1| } c) {x : |x 2 – 3 | = 1 } 8. A şa ğıdaki e şitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 3x – 4 > 5 b) 3x – 4 < 1 c) 3x + 2 < 5x – 8 d) 5x - 4 ?2x + 5 e) x 2 – 3 ? 2x - 4 f) 2x 2 – 9 x +7 < 0 g) 0 5 3 ? + - x x h) 0 5 3 > + - x x ı) |x – 2 | < 1 i) 0 1 3 2 > + x j) 1 2 3 2 ? + x x k) 0 2 1 3 > - x 9. A şa ğıdaki reel sayı kümelerinden her birini sayı ekseni üzerinde gösteriniz: a) {x : |x| < 7} b) {x : |x - 2| < 7} c) {x : |3x - 2| < 5 } d) {x : |3 – 2x| < 1 } e) {x : 1 < x - 2 < 3 } f) {x : x(x – 1) ? 0} 10. A şa ğıdaki noktalardan her birini Kartezyen düzlemde yerle ştiriniz: a) (1 , 2 3 ) b) (0 , 2) c) (-1 , 2 3 ) d) (0 , -1 2 1 ) e) (-1 ,-1) f) (1 , 2 ) g) (1,25 , 2,5) h) (-3 , 2 1 ) 11. A şa ğıdaki nokta çiftleri arasındaki uzaklıkları bulunuz: a) (1 , 2 3 ) , (-3 , - 2 3 ) b) (0 , 2) , (1 , 2 3 ) c) (0 , 2) , (-1 , 2 ) d) (1 , - 2 3 ) , (-3 , - 2 3 ) e) (0 , 2 1 ) , (1 , 2 3 ) f) (0 , 2) , (- 2 , 2 ) 12. A şa ğıdaki denklemlerin grafiklerini çiziniz: a) x = 1 b) y = -4 c) y = x d) y = -x e) x + y = 1 f) x 2 + y 2 = 9 g) y = x 2 – 9 h) (x-1) 2 + (y-3) 2 = 9 13. A şa ğıdaki e şitsizliklerin grafiklerini çiziniz: a) x > 1 b) y < 0 c) xy < 0 d) x > y e) x 2 + y 2 > 1