Sayısal Yöntemler Sayısal Yöntemler Ders Notu (Hüseyin Bayıroğlu). SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Bayıroğlu İSTANBUL 2006 2 İÇİNDEK İLER SAYFA 1-G İRİŞ …………………………………………………….. 4 1.1 SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANAL İZİ ………....4 1.2 HATA TANIMI………………………………………………………….. 4 2 SAYISAL YÖNTEMLER İN SINIFLANDIRILMASI ……….… 5 3 DENKLEMLER İN KÖKLER İN İN BULUNMASI…………………. 7 3.1 GRAF İK METODU……………..……………………………………….. 7 3.2 ORTA NOKTA METODU……………………………………………….. 7 3.3 HATALI KONUM METODU (Lineer interpolasyon yöntemi)…………... 9 3.4 BAS İT TEK NOKTALI ARDI ŞIK METOD…………………………….. 10 3.5 NEWTON-RAPHSON METODU………………….……………………… 12 3.5.1 Newton-Raphson yönteminde hata analizi……….……………………….12 3.5.2 Newton-Raphson yönteminin iki bilinmiyenli lineer olmayan denklem sisteminin çözümüne uygulanması ……………………..……………………….13 3.6 SEKANT METODU……………..………………………………………… 15 3.7 KATLI KÖKLER …………………………………………......................... 16 4 L İNEER DENKLEM S İSTEM İN İN ÇÖZÜMÜ….…………….……. 19 4.1 GRAF İK METODU……………………………………………………….. 20 4.2 DETERM İNANTLAR VE CRAMER KURALI ………………………….. 21 4.3 B İL İNM İYENLER İN EL İM İNASYONU ( yok edilmesi) YÖNTEM İ…… 22 4.4 GAUSS EL İM İNASYONU METODU…………………………………… .. 23 4.5 GAUSS-JOURDAN METODU ……………….………….….……………. ..27 4.6 TERS MATR İS METODU ……………………………………………… . 29 4.6.1 Gauss-Jordan yönteminin matrislerin tersinin bulunmasına uygulanı şı…….29 4.7 ALT ÜST ÜÇGEN MATR İSLERE AYIRMA METODU………………… 35 4.7.1 Gauss eliminasyon yöntemi ile alt üst üçgen matrislere ayırma i şlemi ……35 4.7.2 Crout Bile şenlere ayırma yöntemi (Crout decomposition)………….. …….38 4.8 KAREKÖK METODU (Cholesky yöntemi)………………………………. 42 4.9 İTERASYON YÖNTEM İ (Gauss-Seidel yöntemi)….……………………… 46 5 E ĞRİYE UYDURMA…………………………………………………….. 47 5.1 YAKLA ŞTIRMA (Regresssion ) METODU……….………………………. 47 5.1.1 Do ğruya yakla ştırma metodu........................................................................ 47 5.1.2 Polinoma yakla ştırma metodu.………………………..………………...... . 50 5.1.3 İki de ği şkenli lineer ba ğıntılarda tablo de ğerlerini lineer denkleme çekmek 52 5.1.4 Çok de ği şkenli lineer ba ğıntılarda tablo de ğerlerini lineer denkleme çekmek……………………………………………………………………..53 3 5.2 İNTERPOLASYON……..…………………………………………………. 55 5.2.1. Lineer interpolasyon (ara de ğeri bulma)................................................. .. 55 5.2.2. Kuadratik interpolasyon.………………………..……………….. …..…. 56 5.2.3. Newton interpolasyon polinomunun genel formu:………………..……. ..57 5.2.4. İnterpolasyon polinomlarının katsayılarını bulmak için di ğer bir yöntem. 58 5.2.5. Lagrange interpolasyon polinomu.…………………..……………………59 6 SAYISAL İNTEGRAL…………..………………………………………......62 6.1 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜL..…………………………………. 62 6.2 Trapez (yamuk kuralı)..................................................................................... 62 6.2.1 İntegral bölgesini n e şit parçaya bölerek yamuk kuralının uygulanı şı…….. 63 6.3 Simpson’un 1/3 kuralı..................................................................................... 64 6.4 IMPROPER İNTEGRAL (sınırları sonsuz olan integral)………………..….68 7 SAYISAL TÜREV…………………………………………………………69 7.1 İLER İ DO ĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER…………………. 70 7.2 GER İYE DO ĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER………….... 71 7.3 MERKEZ İ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER……………………. 71 8 AD İ D İFERANS İYEL DENKLEMLER…………………………….. 73 8.1 EULER METODU………………………………………………………….. 73 8.1.1 İyile ştirilmi ş Euler metodu …………………………………………………74 8.2 HEUN METODU……………………………………………………………75 8.3 RUNGE-KUTTA METODU…………........................……………………76 8.3.1 İK İNC İ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU…...........…………76 8.3.2 ÜÇÜNCÜ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU…..........…………76 8.3.3 DÖRDÜNCÜ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU….........……76 8.4 D İFERANS İYEL DENKLEM S İSTEM İ YÖNTEM İ………………………79 8.5 SINIR DE ĞER PROBLEMLER İ……….........................……………………81 8.5.1 ATI Ş YÖNTEM İ…...............…….........................................……………82 8.5.2 SONLU FARKLAR YÖNTEM İ...……....................................……………83 9 KIM İ TÜREVL İ DENKLEMLER....................................................................85 9.1 SONLU FARKLAR YÖNTEM İ.......................................................................86 9.1.1 LAPLACE DENKLEM İ...............................................................................86 9.1.2 ÇÖZÜM TEKN İĞİ.......................................................................................87 EK A Taylor Serisi..………………………………………………... 91 EK B Daha önceki senelere ait sınav soruları ve çözümleri………....94 4 1-G İR İŞ Mühendislikte do ğadaki olayların ve oluşumların bilimsel yöntemlerle anla şılan i şleyi ş kuralları çok önemlidir. Bu kurallar insanlı ğın kullanımına sunulacak alet, cihaz, makine, yapı ve sistemlerinin olu şturulmasında, i şletilmesinde ve geli ştirilmesinde kullanılmaktadır. Do ğadaki olaylar ve olu şumlar bilimsel yöntemlerle incelenirken de ğeri de ği ştikçe olayların seyrini veya olu şumların sonucunu etkileyen büyüklüklere de ği şkenler denir. İnceleme sonucunda de ği şkenler arasındaki ili şkilerden tablo de ğerleri çe şitli grafikler veya cebirsel, diferansiyel ve integral denklemler veya sistemleri elde edilir. İkinci dereceden cebirsel denklemler sayısı fazla olmayan cebirsel denklem sistemleri lineer diferansiyel denklemler ve sistemleri , düzgün geometriye sahip kısmi türevli lineer diferansiyel denklemler ve sistemlerinin analitik yöntemlerle çözüme gidilmesine kar şılık di ğer durumlarda pek kolay olmamaktadır. Hatta ço ğu kere bu imkansızdır. Bundan dolayı büyük denklem sistemleri, lineer olmama durumu ve karma şık geometri durumlarında sayısal yöntemler veya deneysel yöntemler uygulanmaktadır. Son yıllarda bilgisayar teknolojisindeki geli şmeler sayısal yöntemlerin yo ğunlu ğunu ve etkinli ğini artırmı ştır. 1.1 SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANAL İZİ Sayısal yöntemlerde olu şabilecek hataları kesme , yuvarlatma hatası ve seçilen matematik modelden kaynaklanan hatalar olarak sayabiliriz. Kesme hatası, yüksek matematik fonksiyonları hesaplanırken kullanılan serilerde alınan terim sayısına ba ğlıdır. Yuvarlatma hatası, yapılan i şlemlerde ger çel sayılarda virgülden sonra alınan rakam sayısına ba ğlıdı. Matematik modelden kaynaklanan hata Gerçek durum ile matematik model arasındaki farka ba ğlıdır. 1.2 HATA TANIMI Do ğru de ğer = yakla şık de ğer + Hata Hata = Do ğru de ğer - yaklaşık de ğer E t = Do ğru de ğer - yakla şık de ğer Ba ğıl hata = hata / do ğru de ğer Ba ğıl gerçek yüzde hata ? t = (gerçek hata / do ğru de ğer ) 100 % Ba ğıl yakla şık yüzde hata ? a = ( yakla şık hata / yakla şık de ğer) 100 % Ardı şık metotlarda uygulanı şı ? a = (( şimdiki yakla şık de ğer – bir önceki yakla şık de ğer)/ ( şimdiki yakla şık de ğer )) 100 % 5 5 10 15 20 5 10 15 20 1 2 3 4 5 6 7 2.5 3 3.5 4 2 SAYISAL YÖNTEMLER İN SINIFLANDIRIMASI 2.1 Denklemlerin kökleri f (x) = 0 denklemini sa ğlayan x de ğerlerinin f (x) hesabı x kök 2.2 Lineer denklem sistemlerinin çözümü A 11 x 1 + A 12 x 2 = C 1 x 2 A 21 x 1 + A 22 x 2 = C 2 çözüm x 1 2.3 Eğri uydurulması f (x) f (x) Regresyon x Interpolasyon x (yakla ştırma) (ara de ğeri bulma) 2.4 Nümerik integral f (x) dx f I b a ) x ( ? = I = e ğri altındaki alan x 6 2.5 Nümerik türev Türev: f (x) sayısal türev x f f Lim dx df ) x ( ) x x ( 0 x ) x ( ? - = ? + › ? türev ?y Nümerik türev : x f f x y dx df ) x ( ) x x ( ) x ( ? - = ? ? ? ? + ?x x 2.6 Adi diferansiyel denklemler ) y , t ( f t y dt dy = ? ? ? y tg ? = f (ti ,yi ) y nin t ye ba ğlı çözümü: ? t f y y ) y , t ( i 1 i ? + = + t i t i+1 t ?t 2.7 Kısmi türevli diferansiyel denklemler y ) y , x ( 2 2 2 2 f y u x u = ? ? + ? ? x ve y ye ba ğlı olarak u hesaplanır. x 7 5 10 15 20 25 -10 10 20 30 40 50 3 DENKLEMLER İN KÖKLER İN İN BULUNMASI f (x) = 0 denklemini sa ğlayan x de ğerlerine bu denklemin kökleri denir. Örnek olarak 2. dereceden f (x) = a x 2 + b x + c denkleminin kökleri a 2 ac 4 b b x 2 - ± - = eşitli ği ile kolaylıkla bulunur. Herhangi bir f (x) = 0 denkleminin kökleri her zaman bu kadar kolay hesaplanamaz. Bunun için sayısal yöntemler geli ştirilmi ştir. 3.1 GRAF İK METODU Bu yöntemde f(x) denklemi ölçekli bir Şekilde çizilir. E ğrinin x eksenini kesti ği f ( c ) noktalar okunmaya çalı şılır. Örnek olarak para şütün ini şini karakterize eden denklemi ele alalım. [] t ) m / c ( e 1 c m g v - - = c Burada v hızı, g yerçekimi ivmesini , m Kütleyi ve c de havanın direncini gösteriyor. Verilen v = 40 m/s , m=68,1 kg , g=9.8 m/s 2 , t =10 s de ğerleri ile c hava direncini hesaplamak için [] v e 1 c m g ) c ( f t ) m / c ( - - = - şeklinde yukarıdaki denklemi düzenleyip bunu sıfır yapan c de ğerini yukarıdaki grafikten c = 14,7 de ğerini okuyabiliriz. 3.2 ORTA NOKTA METODU f (x l ) * f (x u ) < 0 ise f (x) denkleminin f (x) (x l , x u ) aralı ğında en az bir kökü vardır. x r = (x u +x l )/2 x r = (x l +x u )/2 (+) x l x u x r x (– ) f (x l ) * f (x r ) < 0 ise x u = x r f (x l ) * f (x r ) > 0 ise x l = x r f (x l ) * f (x r ) = 0 ise x r köktür. 8 Örnek 3.2.1 f (x) = x 2 -2x -3 “çözüm x 1 = -1 x 2 = 3 “ ( x l = 2 x u =5 ) f (2)= -3 f(5) =12 f(2) * f(5) = -36 <0 x r =(2+5)/2 x r = 3,5 f(3,5)=2,25 f(2)* f(3,5) < 0 x u =3,5 ( x l = 2 x u =3,5 ) x r =(2+3,5)/2 x r = 2,75 f (2,75)= -0.93 f(2) * f(2,75) >0 x l =2,75 ( x l = 2,75 , x u =3,5 ) x r =3,125 f (3,125) = 0.516 f(2,75) * f( 3,125) < 0 x u =3,125 | ? a | = | (3,125-2,75)/3,125| 100 % | ? a | =12 % ( x l = 2,75 , x u =3,125 ) x r =2,94 f (2,94)= -0,24 f(2,75) * f( 2,94) > 0 x l = 2,94 | ? a | =6,3 % ( x l = 2,94 , x u =3,125 ) x r =3,03 f (x r )= 0.12 f( x l ).f( x r ) < 0 x u = 3,03 | ? a | =2,97 % ( x l = 2,94 , x u =3,03 ) x r =2,985 f (x r )= -0.06 f( x l ).f( x r ) > 0 x l =2,985 | ? a | =1,5 % ( x l = 2,985 , x u =3,03 ) x r =3,0075 f (x r )= -0.03 f( x l ).f( x r )< 0 x u =3,0075 | ? a | =0,75 % ( x l = 2,985 , x u =3,0075 ) x r =2,99 f (x r )= -0.0399 f( x l ).f( x r )> 0 x l =2,99 | ? a | =0,59 % ( x l = 2,99 , x u =3,0075 ) x r =2,999 | ? a | =0,3 % 9 3.3 HATALI KONUM METODU ( Lineer interpolasyon yöntemi ) f (x) u r u l r x x ) x ( f x x ) x ( f - = - l f (x u ) () ) x ( f ) x ( f x x ) x ( f x x u l u l u u r - - - = x l x r x u x f (x l ) Örnek 3.3.1 f (x) = x 2 -2 x – 3 “ ( çözüm x 1 = -1 , x 2 = 3 ) x l =2 x u = 5 için f(x l ) = -3 f(x u ) = 12 f(x l ) f(x u ) < 0 oldu ğundan f(x) denkleminin ( x l , x u ) aralı ğında en az bir kökü vardır. x r = 5 – 12 ( 2-5) / (-3-12) x r = 2,6 | ? a | = | (2,6 – 2 ) / 2,6 | 100 % = 23 % x l =2,6 f(x l ) = -1,44 x r = 5 – 12 ( 2,6 - 5) / (-1,44-12) x r = 2,86 | ? a | = 9,1 % x l =2,86 f(x l ) = -0,54 x r = 5 – 12 ( 2,86 - 5) / (-0,54-12) x r = 2,95 | ? a | = 3,05 % x l =2,95 f(x l ) = -0,1975 x r = 5 – 12 ( 2,95 - 5) / (-0,1975-12) x r = 2,983 | ? a | = 1,1 % x l =2,983 f(x l ) = -0,068 x r = 5 – 12 ( 2,983 - 5) / (-0,068-12) x r = 2,994 | ? a | = 0,37 % x l =2,994 f(x l ) = -0,024 x r = 5 – 12 ( 2,994 - 5) / (-0,024-12) x r = 2,983 | ? a | = 0,13 % | ? a | = | (2,998 – 2 ,994) / 2,998 | 100 % =0,13 % 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 3.4 BAS İT TEK NOKTALI ARDI ŞIK METOD Bu yöntemde f(x) fonksiyonu f 1 (x) = f 2 (x) olacak şekilde iki parçaya ayrılır. Bu ayırım x i+1 = g (x i ) şeklinde olabilir. f (x) y 2 =f 2 (x) x i+1 = g (x i ) y 1 =f 1 (x) | ? a | = | ( x i+1 – x i ) / x i+1 | 100 % | ? t | = | ( x t – x i ) / x t | 100 % x kök Örnek 3.4.1 f(x) = e -x – x f 1 (x) = x f 2 (x) = e -x f(x) = e -x - x kök = 0,56714329 f 2 (x) = e -x f 1 (x) = x kök 11 Yukarıdaki e şitliklerle a şa ğıdaki tablo yazılabilir. x i x i+1 = e -Xi | ? t | % | ? a | % 0 1 100 100 1 0,36789 76,3 171 0,36789 0,6922 35,1 46,9 0,6922 0,500473 22,1 38,3 0,500473 0,60624 11,8 17,4 0,60624 0,545396 6,89 11,2 0,545396 0,57961 3,83 5,9 0,57961 0,560115 2,2 3,48 0,560115 0,571143 1,24 1,93 0,571143 0,564879 0,705 1,102 0,564879 0,568428 0,399 0,624 0,568428 0,566415 0,226 0,355 0,566415 0,567557 0,128 0,2 0,567557 0,56691 0,07 0,11 0,56691 0,56728 0,04 0,065 0,56728 0,567066 0,014 0,038 12 3.5 NEWTON – RAPHSON METODU f (x) e ğim = ) x ( f i ' 1 i i i i x x ) x ( f ) x ( f + - = ' f(x i ) kök f(x i ) ) x ( f ) x ( f x x i i i 1 i ' - = + x i+1 x i x Newton- Raphson yöntemini ayrıca Taylor serisinden çıkarabiliriz ve bu yolla hata analizi de yapılır. Ek 1 deki tek de ği şkenli f(x) fonksiyonun x 0 noktasında Taylor serisine açılımını göz önüne alalım. Buradaki açılımda x 0 yerine x i , x yerine x i+1 yazarsak a şa ğıdaki e şitli ği elde ederiz. 2 i 1 i i 1 i i i 1 i ) x x ( 2 1 ) ? ( f ) x x ( ) x ( f ) x ( f ) x ( f - ' ' + - ' + = + + + Burada ? , x i ile x i+1 arasında bir de ğerdir. 1. mertebeden türevi içeren terimlerden sonrakiler alınmaz ve f(x i+1 ) = 0 alınırsa ) x x ( ) x ( f ) x ( f 0 i 1 i i i - ' + ? + e şitli ği yazılır. Buradan Newton-Raphson yönteminden elde edilen a şa ğıdaki denklemi elde edilir. ) x ( f ) x ( f x x i i i 1 i ' - = + 3.5.1 Newton-Raphson yönteminde hata analizi x r : kökün gerçek de ğeri Taylor serine yerleştirilip bundan yakla şık denklem çıkarılırsa 2 i r i r i i ) x x ( 2 1 ) ? ( f ) x x ( ) x ( f ) x ( f 0 - ' ' + - ' + = _ ) x x ( ) x ( f ) x ( f 0 i 1 i i i - ' + ? + _________________________________________ 2 i r 1 i r i ) x x ( 2 1 ) ? ( f ) x x ( ) x ( f 0 - ' ' + - ' = + i r i , t x x E - = (önceki gerçek hata ) 1 i r 1 i , t x x E + + - = ( gerçek hata ) e şitliklerini yukarıdaki denkleme yerle ştirirsek 2 i , t 1 i , t i E 2 1 ) ? ( f E ) x ( f 0 ' ' + ' = + eşitli ğini elde ederiz. Çözümün yakınsadı ğı dü şünülürse x i ve ? , x r gerçek kök de ğerine yakınsar ve böylece 13 2 i , t r r 1 i , t E ) x ( f 2 ) x ( f E ' ' ' - ? + denkleminden hatanın kabaca önceki hatanın karesiyle orantılı oldu ğu görülür. ( Kuadratik yakınsaklık ) Örnek 3.5.1.1 f(x) = x 2 – 2 x – 3 ( Gerçek çözüm x 1 = -1 , x 2 = 3 ) ) x ( f ) x ( f x x i i i 1 i ' - = + 2 x 2 ) x ( f - = ' | ? a | = | (x i+1 – x i ) / x i+1 | 100 % 2 x 2 3 x 2 x x x i i 2 i i 1 i - - - - = + x i x i+1 | ? a | , % 0 -1,5 100 -1,5 -1,05 43 -1,05 -1,000609756 4,94 -1,000609756 -1,000000093 0,061 -1,000000093 -1 0,000009 3.5.2 Newton – Raphson yönteminin iki bilinmiyenli lineer olmayan denklem sisteminin çözümüne uygulanması Ek 1 deki iki de ği şkenli fonksiyonların Taylor serisinde x 0 yerine x i , y 0 yerine y i , x yerine x i+1 , y yerine y i+1 alıp birinci mertebeden türevli terimlerden sonraki terimleri almazsak a şa ğıdaki denklemi elde ederiz ) y y ( y ) y , x ( f ) x x ( x ) y , x ( f ) y , x ( f ) y , x ( f i 1 i i i i 1 i i i i i 1 i 1 i - ? ? + - ? ? + = + + + + İki bilinmiyenli lineer denklem sistemini 0 ) y , x ( v 0 ) y , x ( u = = şeklinde gösterirsek yukarıdaki Taylor serisinden elde edilen e şitli ği bu her iki denkleme ayrı ayrı uygulamamız gerekir. ) y y ( y ) y , x ( u ) x x ( x ) y , x ( u ) y , x ( u ) y , x ( u i 1 i i i i 1 i i i i i 1 i 1 i - ? ? + - ? ? + = + + + + ) y y ( y ) y , x ( v ) x x ( x ) y , x ( v ) y , x ( v ) y , x ( v i 1 i i i i 1 i i i i i 1 i 1 i - ? ? + - ? ? + = + + + + Sistemin çözümünü aradı ğımız için 14 0.5 1 1.5 2 2.5 3 10 20 30 40 50 0 ) y , x ( u 1 i 1 i = + + 0 ) y , x ( v 1 i 1 i = + + olmalıdır. Ayrıca i i i u ) y , x ( u = i i i v ) y , x ( v = alınırsa denklem sistemini a şa ğıdaki gibi düzenlenebilir. y u y x u x u y y u x x u i i i i i 1 i i 1 i i ? ? + ? ? + - = ? ? + ? ? + + y v y x v x v y y v x x v i i i i i 1 i i 1 i i ? ? + ? ? + - = ? ? + ? ? + + Böylece x i+1 ve y i+1 büyüklüklerini bilinmiyen kabul eden iki bilinmiyenli lineer denklem sistemini elde edilir. Bu sistem Kramer kuralına göre çözülürse a şa ğıdaki e şitlikler bulunur. x v y u y v x u y u v y v u x x i i i i i i i i i 1 i ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - ? ? - = + x v y u y v x u x u v x v u y y i i i i i i i i i 1 i ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - ? ? - = + Örnek 3.5.2.1 u(x,y) = x 2 + x y -10 = 0 y u(x,y) = 0 v(x,y) = y + 3 x y 2 – 57=0 v(x,y) x y x 2 x u + = ? ? , x y u = ? ? , 2 y 3 x v = ? ? , xy 6 1 y v + = ? ? ) y 3 ( x ) y x 6 1 )( y x 2 ( x ) 57 y x 3 y ( ) y x 6 1 )( 10 y x x ( x x 2 i i i i i i i 2 i i i i i i i 2 i i 1 i - + + - + - + - + - = + 15 ) y 3 ( x ) y x 6 1 )( y x 2 ( ) y x 2 )( 57 y x 3 y ( y 3 ) 10 y x x ( y y 2 i i i i i i i i 2 i i i 2 i i i 2 i i 1 i - + + + - + - - + - = + x i y i x i+1 y i+1 1 4 2,176470588 1,941176471 2,176470588 1,941176471 1,900833044 3,215237987 1,900833044 3,215237987 1,999127152 2,997166652 1,999127152 2,997166652 1,999999679 3,000002741 1,999999679 3,000002741 2 3 3.6 SEKANT METODU Newton-Raphson yöntemi için gerekli olan türev alma i şlemi bazı polinom ve fonksiyonlarda zordur. Bu yöntemde türev yerine sonlu farklar türev formülü kullanılır. ) x ( f ) x ( f x x i i i i ' - = ( Newton – Raphson Yöntemi ) buradaki ) x ( f i ' yerine i 1 i i 1 i i x x ) x ( f ) x ( f ) x ( f - - ? ' - - yaklaşık de ğeri alınır. Bu denklemden x i+1 aşa ğıdaki şekilde elde edilir. ) x ( f ) x ( f ) x x ( ) x ( f x x i 1 i i 1 i i i 1 i - - - = - - + iki de ğer x i ve x i-1 ba şlangıçta verilmelidir. Bu ba şlangıçta verilen iki de ğer kökün ayrı taraflarında olmak zorunda de ğildir. f(x) f(x i ) f(x i-1 ) kök x i+1 x i-1 x i x 16 1 2 3 4 -3 -2 -1 1 1 2 3 4 -1 1 2 1 2 3 4 -3 -2 -1 1 2 3 Örnek 3.6.1 f(x) = x 2 - 2 x – 3 ( çözüm x 1 = -1 , x 2 = 3 ) ) 3 x 2 x ( ) 3 x 2 x ( ) x x ( ) 3 x 2 x ( x x i 2 i 1 i 2 1 i i 1 i i 2 i i 1 i - - - - - - - - - = - - - + , | ? a | = % 100 x x x 1 i i 1 i + + - İ x i-1 x i x i+1 | ? a | , % 10 -3 -0,6 400 2-3 -0,6 -0,8571428571 30 3-0.6 -0,8571428571 -1,016528926 15,7 4 -0,8571428571 -1,016528926 -0,9993904297 1,715 5 -1,016528926 -0,9993904297 -0.9999974911 0,061 6 -0,9993904297 -0.9999974911 -1 0,00025 3.7 KATLI KÖKLER f(x) f(x) = (x-3) (x-1) (x-1) iki katlı kök f(x) = x 3 – 5 x 2 + 7 x -3 x Burada x = 1 iki katlı köktür. f(x) f(x) = (x-3) (x-1) (x-1) (x-1) üç katlı kök f(x) = x 4 – 6 x 3 + 12 x 2 – 10 x + 3 x Burada x = 1 3 katlı köktür. f(x) f(x) = (x-3) (x-1) ( x-1) (x-1) (x-1) dört katlı kök f(x) = x 5 - 7 x 4 + 18 x 3 – 22 x 2 + 13 x - 3 x Burada x = 1 4 katlı köktür. 17 ) x ( f ) x ( f ) x ( u ' = fonksiyonu ile ) x ( f fonksiyonunun kökleri aynıdır. Bu durumda f(x) yerine u(x) fonksiyonunun kökleri ara ştırılır. Örnek olarak Newton- Raphson yöntemi uygulanırsa a şa ğıdaki denklem elde edilir. ) x ( u ) x ( u x x i i 1 i ' - = + Bu denklemde ) x ( u ' yerine ) x ( f ) x ( f ) x ( u ' = ifadesinin x ‘e göre türevi alınıp konursa [] 2 ) x ( f ) x ( f ) x ( f ) x ( f ) x ( f ) x ( u ' ' ' - ' ' = ' [] ) x ( f ) x ( f ) x ( f ) x ( f ) x ( f x x i i 2 i i i i 1 i ' ' - ' ' - = + katlı kökler için yeniden düzenlenmi ş Newton –Raphson yönteminin yakla şım denklemi elde edilir. Örnek 3.7.1 f(x) = (x-1) (x-1) f(x) = x 2 - 2 x + 1 ( x = 1 iki katlı köktür. ) Standart Newton-Raphson yöntemi ile çözüm ) x ( f ) x ( f x x i i i 1 i ' - = + , 2 x 2 ) x ( f - = ' 2 x 2 1 x 2 x x x i i 2 i i 1 i - + - - = + x i x i+1 | ? a | % 0 0,5 100 0,5 0,75 33,33 0,75 0,875 14,29 0,875 0,9375 6,67 0,9375 0,96875 3,226 0,96875 0,984375 1,587 0,984375 0,9921875 0,7874 0,9921875 0,99609375 0,3922 0,99609375 0,9980468709 0,1957 0,9980468709 0,9990234353 0,0978 18 Örnek 3.7.2 f(x) = (x-3) (x-1) (x-1) f(x) = x 3 – 5 x 2 + 7 x – 3 Standart Newton-Raphson yöntemi ile çözüm için 7 x 10 x 3 ) x ( f 2 + - = ' , 10 x 6 ) x ( f - = ' ' eşitliklerini [3.1.5. (1) ]denkleminde yerine yazarsak 7 x 10 x 3 3 x 7 x 5 x x x i 2 i i 2 i 3 i i 1 i + - - + - - = + denklemini elde ederiz. Bu denklemi kullanarak a şa ğıdaki tabloyu düzenleyebiliriz. x i x i+1 | ? a | , % 0 0,4285714286 100 0,4285714286 0,6857142857 37,5 0,6857142857 0,8328654005 17,668 0,8328654005 0,9133298932 8,81 0,9133298932 0,9557832929 4,441 0,9557832929 0,9776551012 2,237 0,9776551012 0,9887661674 1,1237 0,9887661674 0,9943674405 0,5633 0,9943674405 0,9971797707 0,282 0,9971797707 0,9985888917 0,1411 0,9985888917 0,9992941948 0,0706 Geli ştirilmi ş Newton-Raphson yöntemi için elde edilen ) 10 x 6 ( ) 3 x 7 x 5 x ( ) 7 x 10 x 3 ( ) 7 x 10 x 3 ( ) 3 x 7 x 5 x ( x x i i 2 i 3 i 2 i 2 i i 2 i i 2 i 3 i i 1 i - - + - + - + - - + - - = + e şitli ğini kullanarak a şa ğıdaki tablo olu şturulur. x i x i+1 | ? a | , % 0 1,105263158100 1,105263158 1,003081664 10,1868 1,003081664 1,000002393 0,308 1,000002393 1,000002393 0 19 4 L İNEER DENKLEM S İSTEM İN İN ÇÖZÜMÜ Önceki bölümde tek bir 0 ) x ( f = denklemini sa ğlayan x de ğerlerinin bulunu şu anlatıldı. Şimdi ise 0 ) x ,..., x , x , x ( f n 3 2 1 i = ) n ,..., 3 , 2 , 1 i ( = şeklinde n adet denklemi aynı anda sa ğlayan n 3 2 1 x ,..., x , x , x de ğerleri ara ştırılacaktır. E ğer bu 0 ) x ,..., x , x , x ( f n 3 2 1 i = denklemleri a şa ğıdaki gibi olursa bu denklem sistemine lineer denklem sistemi denir. a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + · · · , + a 1 n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + · · · , + a 2 n x n = c 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + · · · , + a 3 n x n = c 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n 3 x 3 + · · · , + a nn x n = c n Burada a ij , c i sabitlerdir. Lineer denklem sisteminin matris gösterilimi [ A ] {x } = { C } şeklindedir. Buradan çözüm matrisi { x } = [ A ] -1 {C} şeklinde yazılır. Bu matrisler a şa ğıdaki gibi açık şekilde yazılabilir. [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = . a . . . a a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . a a a a . . . a a a a . . . a a a A nn 3 n 2 n 1 n n 3 33 32 31 n 2 23 22 21 n 1 13 12 11 , [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = n 3 2 1 x . . . x x x x , [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = n 3 2 1 c . . . c c c C 20 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 Lineer denklem sisteminin çözümünde a şağıdaki metodlar uygulanır. 1.Grafik metodu. 2.Determinantlar ve Cramer kuralı. 3. Bilinmiyenlerin eliminasyonu (yok edilmesi) 4. Gauss Eliminasyon metodu 5. Ters matris metodu (Gauss – Jordan yöntemi). 6. İterasyon yöntemi (Gauss – Seidel yöntemi ) 7. Alt üst üçgen matrislere ayırma metodu. 8. Karekök metodu ( Cholesky yöntemi , simetrik bant matrisler için). 4.1 GRAF İK METODU Bu yöntem ikiden fazla bilinmiyen içeren denklem sistemlerine uygulanamaz. Fakat çözümün geometri yardımı ile yorumu yapılabilir. Örnek 4.1.1 X 2 3X 1 + 2 X 2 = 18 3 X 1 + 2 X 2 = 18 - X 1 + 2 X 2 = 2 Çözüm X 1 = 4 , X 2 = 3 -X 1 + 2 X 2 = 2 X 2 X 1 X 2 -(1/2) X 1 +X 2 =1 -(1/2) X 1 +X 2 =1 -X 1 + 2 X 2 = 2 -(1/2) X 1 + X 2 =1/2 X 1 X 1 X 2 -(2,3/5) X 1 + X 2 = 1,1 -(1/2) X 1 + X 2 = 1 X 1 21 4.2 DETERM İNANTLAR VE CRAMER KURALI Bu yöntem 3 den fazla bilinmiyenli denklem sistemleri için kullanı şlı de ğildir. Üç Bilinmiyenli denklem sistemi için bu yöntemi a şa ğıdaki gibi uygulanır. 1 3 13 2 12 1 11 c x a x a x a = + + 2 3 23 2 22 1 21 c x a x a x a = + + 3 3 33 2 32 1 31 c x a x a x a = + + 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a D = D a a c a a c a a c x 33 32 3 23 22 2 13 12 1 1 = , D a c a a c a a c a x 33 3 31 23 2 21 13 1 11 2 = , D c a a c a a c a a x 3 32 31 2 22 21 1 12 11 3 = Örnek 4.2.1 01 , 0 x x 52 , 0 x 3 , 0 3 2 1 = + + 67 , 0 x 9 , 1 x x 5 , 0 3 2 1 = + + 44 , 0 x 5 , 0 x 3 , 0 x 1 , 0 3 2 1 - = + + 0022 , 0 5 , 0 3 , 0 1 , 0 9 , 1 1 5 , 0 1 52 , 0 3 , 0 D - = = 9 , 14 0022 , 0 03278 , 0 D 5 , 0 3 , 0 44 , 0 9 , 1 1 67 , 0 1 52 , 0 01 , 0 x 1 - = - = - - = 5 , 29 0022 , 0 0649 , 0 D 5 , 0 44 , 0 1 , 0 9 , 1 67 , 0 5 , 0 1 01 , 0 3 , 0 x 2 - = - = - - = 8 , 19 0022 , 0 04356 , 0 D 44 , 0 3 , 0 1 , 0 67 , 0 1 5 , 0 01 , 0 52 , 0 3 , 0 x 3 = - - = - - = 22 4.3 B İL İNM İYENLER İN EL İMİNASYONU (yok edilmesi) YÖNTEM İ Bu yöntemi iki bilinmiyenli lineer denklem sistemleri üzerinde gösterelim. 1 2 12 1 11 c x a x a ) 1 ( = + 2 2 22 1 21 c x a x a ) 2 ( = + (1) denklemi 21 a , (2) denklemi 11 a - ile çarpılıp toplanırsa 1 x yok edilmi ş olur. ) 2 ( a ) 1 ( a 11 21 - * ) 1 ( a 21 * = 1 21 2 12 21 1 11 21 c a x a a x a a = + ) 2 ( a 11 * - = 2 11 2 22 11 1 21 11 c a x a a x a a = - - +___________________________ ) 2 ( a ) 1 ( a 11 21 - * = 2 11 1 21 2 22 11 12 21 c a c a x ) a a a a ( - = - 22 11 12 21 2 11 1 21 2 a a a a c a c a x - - = Bu 2 x de ğeri (1) denkleminde yerine yerle ştirilirse 11 21 2 12 21 1 21 1 a a x a a c a x - = Örnek 4.3.1 18 x 2 x 3 2 1 = + 2 x 2 x 2 1 = + - 3 ) 2 ( 3 ) 2 ( 1 ) 2 ( 3 ) 18 ( 1 x 2 = - - - - = , 4 ) 3 ( 1 ) 3 ( 2 ) 1 ( ) 18 ( 1 x 1 = - - - - = 23 4.4 GAUSS EL İM İNASYONU METODU Bilinmiyenlerin eliminasyonu yönteminin sistematik hale getirilmi ş şeklidir.Bu yöntem lineer denklem sistemlerine a şa ğıdaki şekilde uygulanır. () 1 n n 1 3 13 2 12 1 11 c x a x a x a x a 1 = + · · · + + + () 2 n n 2 3 23 2 22 1 21 c x a x a x a x a 2 = + · · · + + + () 3 n n 3 3 33 2 32 1 31 c x a x a x a x a 3 = + · · · + + + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . () n n nn 3 3 n 2 2 n 1 1 n c x a x a x a x a n = + · · · + + + İlk önce (1) denklemi dı şındaki bütün denklemlerde 1 x yok edilir. Bunun için (1) dı şındaki bütün denklemlere a şa ğıdaki i şlem uygulanır. () () n ,..., 3 , 2 i 1 a a i 11 1 i = * - Bu i şlem uygulandıktan sonra denklem sistemi a şa ğıdaki duruma gelir. () 1 n n 1 3 13 2 12 1 11 c x a x a x a x a 1 = + · · · + + + () 2 n n 2 3 23 2 22 c x a x a x a 2 ' = ' + · · · + ' + ' ' () 3 n n 3 3 33 2 32 c x a x a x a 3 ' = ' + · · · + ' + ' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . () n n nn 3 3 n 2 2 n c x a x a x a n ' = ' + · · · + ' + ' ' Benzer şekilde ikinci denklemden itibaren sonraki denklemlerde sıra ile n 3 2 x , . . . , x , x bilinmiyenleride yok edilirse a şa ğıdaki denklem sistemi elde edilir. () 1 n n 1 3 13 2 12 1 11 c x a x a x a x a 1 = + · · · + + + () 2 n n 2 3 23 2 22 c x a x a x a 2 ' = ' + · · · + ' + ' ' () 3 n n 3 3 33 c x a x a 3 ' ' = ' ' + · · · + ' ' ' ' . . . . . . . . . . . . ( ) ) 1 n ( n n ) 1 n ( nn ) 1 n ( c x a n - - - = Bu sistemde n x bilinmiyeninden ba şlayarak geriye do ğru yerine koyma i şlemi ile bütün bilinmiyenler a şa ğıdaki formüller ile hesaplanır . 24 ) 1 n ( nn ) 1 n ( n n a c x - - = 1 , . . . , 2 n , 1 n i a x a c x ) 1 i ( ii n 1 i j j ) 1 i ( ij ) 1 i ( i i - - = - = - + = - - ? Örnek 4.4.1 85 , 7 x 2 , 0 x 1 , 0 x 3 ) 1 ( 3 2 1 = - - 3 , 19 x 3 , 0 x 7 x 1 , 0 ) 2 ( 3 2 1 - = - + 4 , 71 x 10 x 2 , 0 x 3 , 0 ) 3 ( 3 2 1 = + - Bu denklem sistemine ) 1 ( 3 1 , 0 ) 2 ( * - ve ) 1 ( 3 3 , 0 ) 3 ( * - i şlemleri yapılırsa 85 , 7 x 2 , 0 x 1 , 0 x 3 ) 1 ( 3 2 1 = - - (1) 3 1 x - 0,1 2 x - 0,2 3 x = 7,85 85 , 7 3 1 , 0 3 , 19 x )] 2 , 0 ( 3 1 , 0 3 , 0 [ x )] 1 , 0 ( 3 1 , 0 7 [ x ) 3 3 1 , 0 1 , 0 ( ) 2 ( 3 2 1 * - - = - * - - + - * - + * - ' 85 , 7 3 3 , 0 4 , 71 x )] 2 , 0 ( * 3 3 , 0 10 [ x )] 1 , 0 ( 3 3 , 0 2 , 0 [ x ) 3 3 3 , 0 3 , 0 ( ) 3 ( 3 2 1 * - = - - + - * - - * - ' 85 , 7 x 2 , 0 x 1 , 0 x 3 ) 1 ( 3 2 1 = - - 5617 , 19 x 293333 , 0 x 00333 , 7 ) 2 ( 3 2 - = - ' 6150 , 70 x 02 , 10 x 19 , 0 ) 3 ( 3 2 = + - ' denklem sistemi elde edilir. Bu sistemde son satıra ) 2 ( 0033 , 7 ) 19 , 0 ( ) 3 ( ' * - - ' i şlemi yapılırsa 85 , 7 x 2 , 0 x 1 , 0 x 3 ) 1 ( 3 2 1 = - - 5617 , 19 x 293333 , 0 x 00333 , 7 ) 2 ( 3 2 - = - ' 0843 , 70 x 012 , 10 ) 3 ( 3 = ' ' Bu son elde edilen sistemden bilinmiyenler son denklemden ilk denkleme do ğru yerine koyma ile elde edilir. Son ) 3 ( ' ' denkleminden 00003 , 7 0120 , 10 0843 , 70 x 3 = = bulunur. Bu 3 x d e ğeri ile ) 2 ( ' denklemine gidilip oradan 2 x hesaplanır ( ) 5617 , 19 00003 , 7 293333 , 0 x 00333 , 7 2 - = - 5 , 2 x 2 - = 25 Bulunan bu 2 x ve 3 x d e ğerlerini (1) denkleminde yerine yerle ştirerek 1 x bilinmiyenide çözülür. ()( ) 85 , 7 00003 , 7 2 , 0 5 , 2 1 , 0 x 3 1 = - - - 3 x 1 = Örnek 4.4.2 () 2 x , 5 x , 1 x , 3 x 4 3 2 1 = = - = = 15 x 3 x x 2 x 4 4 3 2 1 = + - - 0 x x 2 x x 3 4 3 2 1 = + - + 26 x x 5 x 3 x 2 4 3 2 1 = - + + 27 x 4 x 3 x x 4 3 2 1 = + + - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 27 26 0 15 x x x x 4 3 1 1 1 5 3 2 1 2 1 3 3 1 2 4 4 3 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 27 4 3 1 1 26 1 5 3 2 0 1 2 1 3 15 3 1 2 4 () () () () () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * - * - - - - * - - * - * - * - - - * - - * - * - * - * - - * - - - * - * - - - 15 4 1 27 3 4 1 4 1 4 1 3 2 4 1 1 4 4 1 1 15 4 2 26 3 4 2 1 1 4 2 5 2 4 2 3 4 4 2 2 15 4 3 0 3 4 3 1 1 4 3 2 2 4 3 1 4 4 3 3 15 3 1 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - - 25 , 23 25 , 3 25 , 3 5 , 0 0 5 , 18 5 , 2 5 , 5 4 0 25 , 11 25 , 1 25 , 1 5 , 2 0 15 3 1 2 4 26 () () () () () () () () () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - * - - - * - - - * - - * - - - - * - - * - - - * - * - - - - - - 25 , 11 5 , 2 5 , 0 25 , 23 25 , 1 5 , 2 5 , 0 25 , 3 25 , 1 5 , 2 5 , 0 25 , 3 5 , 2 5 , 2 5 , 0 5 , 0 0 25 , 11 5 , 2 4 5 , 18 25 , 1 5 , 2 4 5 , 2 25 , 1 5 , 2 4 5 , 5 5 , 2 5 , 2 4 4 0 25 , 11 25 , 1 25 , 1 5 , 2 0 15 3 1 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 21 3 3 0 0 5 , 36 5 , 0 5 , 7 0 0 25 , 11 25 , 1 25 , 1 5 , 2 0 15 3 1 2 4 () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * - - * - * - - - - - - - 5 , 36 5 , 7 3 21 5 , 0 5 , 7 3 3 5 , 7 5 , 7 3 3 0 0 5 , 36 5 , 0 5 , 7 0 0 25 , 11 25 , 1 25 , 1 5 , 2 0 15 3 1 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 4 , 6 2 , 3 0 0 0 5 , 36 5 , 0 5 , 7 0 0 25 , 11 25 , 1 25 , 1 5 , 2 0 15 3 1 2 4 4 , 6 x 2 , 3 4 = , 2 , 3 4 , 6 x 4 = , 2 x 4 = 5 , 36 2 5 , 0 x 5 , 7 3 = * - , 5 , 7 2 5 , 0 5 , 36 x 3 * + = , 5 x 3 = 25 , 11 2 25 , 1 5 25 , 1 x 5 , 2 2 - = * - * - 5 , 2 5 , 2 25 , 6 25 , 11 x 2 + + - = , 1 x 2 - = () 15 2 3 5 1 1 2 x 4 1 = * + * - - - 4 6 5 2 15 x 4 - + - = , 3 x 1 = Elde edilen çözüm de ğerlerinin sa ğlanması ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * + * + - * - + * * - + * + - * + * * + * - + - * + * * + * - + - * - + * = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 27 26 0 15 2 4 5 3 ) 1 ( ) 1 ( 3 1 2 ) 1 ( 5 5 ) 1 ( 3 3 2 2 1 5 ) 2 ( ) 1 ( 1 3 3 2 3 5 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( 3 4 2 5 1 3 4 3 1 1 1 5 3 2 1 2 1 3 3 1 2 4 27 4.5 GAUSS-JOURDAN METODU Bu yöntemde [] {} { } c x A = denklem sistemi her iki tarafı [ ] 1 A - ile soldan çarpılarak [] {} []{} c A x I 1 - = Sistemine dönü ştürülür. Örnek 4.5.1 15 x 3 x x 2 x 4 4 3 2 1 = + - - 0 x x 2 x x 3 4 3 2 1 = + - + 26 x x 5 x 3 x 2 4 3 2 1 = - + + 27 x 4 x 3 x x 4 3 2 1 = + + - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 27 26 0 15 x x x x 4 3 1 1 1 5 3 2 1 2 1 3 3 1 2 4 4 3 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 27 4 3 1 1 26 1 5 3 2 0 1 2 1 3 15 3 1 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 27 4 3 1 1 26 1 5 3 2 0 1 2 1 3 4 / 15 4 / 3 4 / 1 4 / 2 4 / 4 () () () () () () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * - * - - * - - * - - * - * - * - - - * - - * - * - * - * - - * - - - * - * - - - 75 , 3 1 27 75 , 0 1 4 25 , 0 1 3 5 , 0 1 1 1 1 1 75 , 3 2 26 75 , 0 2 1 25 , 0 2 5 5 , 0 2 3 1 2 2 75 , 3 3 0 75 , 0 3 1 25 , 0 3 2 ) 5 , 0 ( 3 1 1 3 3 75 , 3 75 , 0 25 , 0 5 , 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - - 25 , 23 25 , 3 25 , 3 5 , 0 0 5 , 18 5 , 2 5 , 5 4 0 25 , 11 25 , 1 25 , 1 5 , 2 0 75 , 3 75 , 0 25 , 0 5 , 0 1 () ( ) ( ) () () () () () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + - + - * + * + - - * - - * - - - * - * - - - - - * + - + - + - * + - 5 , 4 5 , 0 25 , 23 5 , 0 5 , 0 25 , 3 5 , 0 5 , 0 25 , 3 1 5 , 0 5 , 0 0 5 , 4 4 5 , 18 5 , 0 4 5 , 2 5 , 0 4 5 , 5 1 4 4 0 5 , 4 5 , 0 5 , 0 1 0 5 , 4 5 , 0 75 , 3 5 , 0 5 , 0 75 , 0 5 , 0 5 , 0 25 , 0 1 5 , 0 5 , 0 1 28 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 21 3 3 0 0 5 , 36 5 , 0 5 , 7 0 0 5 , 4 5 , 0 5 , 0 1 0 5 , 1 5 , 0 5 , 0 0 1 () ( ) () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * - - - * - - * + - - * + - * + - + - * + * + - 86667 , 4 3 21 06667 , 0 3 3 1 3 3 0 0 86667 , 4 06667 , 0 1 0 0 86667 , 4 5 , 0 5 , 4 06667 , 0 5 , 0 5 , 0 1 5 , 0 5 , 0 1 0 86667 , 4 5 , 0 5 , 1 06667 , 0 5 , 0 5 , 0 1 5 , 0 5 , 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 4 , 6 2 , 3 0 0 0 86667 , 4 06667 , 0 1 0 0 0666 , 2 5333 , 0 0 1 0 9333 , 3 46665 , 0 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * + * + - * + - * + - * - * - 2 1 0 0 0 2 0667 , 0 86667 , 4 1 0667 , 0 06667 , 0 1 0 0 2 533 , 0 0666 , 2 1 533 , 0 5333 , 0 0 1 0 2 4665 , 0 9333 , 3 1 4665 , 0 46665 , 0 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 1 0 0 1 0 3 0 0 0 1 Bu elde edilen arttırılmı ş matris a şa ğıdaki arttırılmı ş matrise e şit oldu ğundan 1 2 3 4 0003 00 01 00 05 000 2 x x x x ?? ?? - ?? ?? ?? ?? böylece 3 x 1 = , 1 x 2 - = , 3 5 x = , 4 2 x = çözüm de ğerleri bulunmu ş olur. 29 4.6 TERS MATR İS METODU Ters matris yönteminde aynı katsayılar matrisine sahip lineer denklem sistemlerinde farklı İkinci taraf vektörleri için çözümler daha kolay elde edilir. 4.6.1 Gauss-Jordan yönteminin matrislerin tersinin bulunmasına uygulanı şı [] {} {} c x A = denklem sisteminin her iki tarafı [ ] 1 A - ile çarpılırsa {} []{} c A x 1 - = elde edilir. [] A matrisi ile a şağıdaki gibi n tane denklem sistemi elde edilir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 . . 0 1 y . . y y a . . . a a . .. . . . . . .. . . a . . . a a a . . . a a n 1 12 11 nn 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 . . 1 0 y . . y y a . . . a a . .. . . . . . .. . . a . . . a a a . . . a a n 2 22 21 nn 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11 , . . . , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 . . 0 0 y . . y y a . . . a a . .. . . . . . .. . . a . . . a a a . . . a a nn 2 n 1 n nn 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11 Bu n tane sistem ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 . . . 1 0 0 . . . 0 1 y . . . y y . . . . . . . . . . . . y . . . y y y . . . y y a . . . a a . .. . . . . . .. . . a . . . a a a . . . a a nn n 2 n 1 2 n 22 12 1 n 21 11 nn 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11 [ ] [ ] [ ] AY I = › [ ] [ ] 1 YA - = şeklinde gösterilebilir. Buradan yazılacak [ ] I A arttırılmı ş matrisi [ ] K I (yani [ ] [ ] [ ] IYK = › [ ] [ ] YK = ) matrisine dönü ştürülürse [ ] [ ] 1 A K - = elde edilir. Çünkü [] [][ ] I Y A = oldu ğuna göre [] [ ] [ ] K Y I = olur . Ayrıca [ ] [ ] 1 A Y - = ve birim matrisle bir matrisin çarpımı kendisine e şit oldu ğundan [ ] [ ] [ ] Y Y I = dır. buradan [][] K Y = ve sonuç olarak [ ] [ ] 1 A K - = bulunur. 30 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 . . . . . . a . . . a a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . 1 0 0 a . . . a a a 0 . . . 0 1 0 a . . . a a a 0 . . . 0 0 1 a . . . a a a nn 3 n 2 n 1 n n 3 33 32 31 n 2 23 22 21 n 1 13 12 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn 3 n 2 n 1 n n 3 33 32 31 n 2 23 22 21 n 1 13 12 11 k . . . k k k 1 . . . 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k . . . k k k 0 . . . 1 0 0 k . . . k k k 0 . . . 0 1 0 k . . . k k k 0 . . . 0 0 1 Örnek 4.6.1.1 85 , 7 x 2 , 0 x 1 , 0 x 3 3 2 1 = - - 3 , 19 x 3 , 0 x 7 x 1 , 0 3 2 1 - = - + 4 , 71 x 10 x 2 , 0 x 3 , 0 3 2 1 = + - 20 x 2 , 0 x 1 , 0 x 3 3 2 1 = - - 50 x 3 , 0 x 7 x 1 , 0 3 2 1 = - + 15 x 10 x 2 , 0 x 3 , 0 3 2 1 = + - denklem sistemlerini çözünüz. [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = 10 2 , 0 3 , 0 3 , 0 7 1 , 0 2 , 0 1 , 0 3 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 1 0 0 10 2 , 0 3 , 0 0 1 0 3 , 0 7 1 , 0 0 0 1 2 , 0 1 , 0 3 31 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 1 0 0 10 2 , 0 3 , 0 0 1 0 3 , 0 7 1 , 0 0 0 3 / 1 3 / 2 , 0 3 / 1 , 0 3 / 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 1 0 0 10 2 , 0 3 , 0 0 1 0 3 , 0 7 1 , 0 0 0 333333 , 0 0666667 , 0 0333333 , 0 1 () ()() ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - - - - - - - - - - - 1 0 333333 , 0 * 3 , 0 0 0666667 , 0 3 , 0 10 0333333 , 0 * 3 , 0 2 , 0 1 * 3 , 0 3 , 0 0 1 333333 , 0 * 1 , 0 0 0666667 , 0 * 1 , 0 3 , 0 ) 0333333 , 0 ( * 1 , 0 7 1 * 1 , 0 1 , 0 0 0 333333 , 0 0666667 , 0 0333333 , 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 1 0 1 , 0 0200 , 10 190000 , 0 0 0 1 0333333 , 0 293333 , 0 00333 , 7 0 0 0 333333 , 0 0666667 , 0 0333333 , 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 1 0 1 , 0 0200 , 10 190000 , 0 0 0 00333 , 7 / 1 00333 , 7 / 0333333 , 0 00333 , 7 / 293333 , 0 00333 , 7 / 00333 , 7 0 0 0 333333 , 0 0666667 , 0 0333333 , 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 1 0 1 , 0 0200 , 10 190000 , 0 0 0 142180 , 0 00473933 , 0 0417061 , 0 1 0 0 0 333333 , 0 0666667 , 0 0333333 , 0 1 ( ) () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + - - + + - - - + - + - + - 1 142 , 0 * 19 , 0 ) 0047 , 0 ( * 19 , 0 1 , 0 0417 , 0 * 19 , 0 02 , 10 1 * 19 , 0 19 , 0 0 0 142180 , 0 0047393 , 0 041706 , 0 1 0 0 142 , 0 * 033 , 0 033 , 0 333 , 0 0417 , 0 * 033 , 0 067 , 0 1 * 033 , 0 033 , 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 1 0270142 , 0 10090 , 0 0121 , 10 0 0 0 142180 , 0 00473933 , 0 0417061 , 0 1 0 0 004739329 , 0 333175 , 0 068057 , 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 0121 , 10 / 1 0121 , 10 / 0270142 , 0 0121 , 10 / 10090 , 0 0121 , 10 / 0121 , 10 0 0 0 142180 , 0 00473933 , 0 0417061 , 0 1 0 0 004739329 , 0 333175 , 0 068057 , 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 0998791 , 0 0026981 , 0 0100778 , 0 1 0 0 0 142180 , 0 00473933 , 0 0417061 , 0 1 0 0 004739329 , 0 333175 , 0 068057 , 0 0 1 32 () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + - + - + - + - + + - 099879 , 0 0027 , 0 01008 , 0 1 0 0 1 , 0 * 417 , 0 0027 , 0 * 0417 , 0 142 , 0 01 , 0 * 0417 , 0 0047 , 0 0417 , 0 0417 , 0 1 0 1 , 0 * 068 , 0 0027 , 0 * 068 , 0 0047 , 0 ) 01 , 0 ( * 068 , 0 333 , 0 068 , 0 068 , 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 0998801 , 0 00269816 , 0 0100779 , 0 1 0 0 00418346 , 0 142293 , 0 0051644 , 0 0 1 0 00679813 , 0 00492297 , 0 332489 , 0 0 0 1 [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = - 0998801 , 0 00269816 , 0 0100779 , 0 00418346 , 0 142293 , 0 0051644 , 0 00679813 , 0 00492297 , 0 332489 , 0 A 1 Böylece katsayılar matrisi [] A olan Bütün sistemlerin çözümü: {} []{} c A x 1 - = denklemi ile elde edilir. İlk sistemin çözümü: = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 1 x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 0998801 , 0 00269816 , 0 0100779 , 0 00418346 , 0 142293 , 0 0051644 , 0 00679813 , 0 00492297 , 0 332489 , 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 4 , 71 3 , 19 85 , 7 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 0002531 , 7 488016 , 2 0004118 , 3 ikinci sistemin çözümü: = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 1 x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 0998801 , 0 00269816 , 0 0100779 , 0 00418346 , 0 142293 , 0 0051644 , 0 00679813 , 0 00492297 , 0 332489 , 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15 50 20 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 43955 , 1 07411 , 7 9979 , 6 33 Örnek 4.6.1.2 [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - = 4 3 1 1 1 5 3 2 1 2 1 3 3 1 2 4 A {} ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 27 26 0 15 c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 1 0 0 0 4 3 1 1 0 1 0 0 1 5 3 2 0 0 1 0 1 2 1 3 0 0 0 1 3 1 2 4 () ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 0 0 25 , 0 1 0 75 , 0 1 4 25 , 0 1 3 5 , 0 1 1 1 1 1 0 1 0 25 , 0 2 0 75 , 0 2 1 25 , 0 2 5 5 , 0 2 3 1 2 2 0 0 1 25 , 0 3 0 75 , 0 3 1 25 , 0 3 2 5 , 0 3 1 1 3 3 0 0 0 25 , 0 75 , 0 25 , 0 5 , 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - - - - 1 0 0 25 , 0 25 , 3 25 , 3 5 , 0 0 0 1 0 5 , 0 5 , 2 5 , 5 4 0 0 0 1 75 , 0 25 , 1 25 , 1 5 , 2 0 0 0 0 25 , 0 75 , 0 25 , 0 5 , 0 1 () ( ) ( ) ( )( ) ( ) () () () ( ) () () () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + - + - - + - + + - - - - - - - - - - - - - + - + - + - + - + - 1 0 4 , 0 5 , 0 0 3 , 0 5 , 0 25 , 0 5 , 0 5 , 0 25 , 3 5 , 0 5 , 0 25 , 3 1 5 , 0 5 , 0 0 0 1 0 3 , 0 4 5 , 0 5 , 0 4 5 , 2 5 , 0 4 5 , 5 1 4 4 0 0 0 4 , 0 3 , 0 5 , 0 5 , 0 1 0 0 0 4 , 0 5 , 0 0 3 , 0 5 , 0 25 , 0 5 , 0 5 , 0 75 , 0 5 , 0 5 , 0 25 , 0 1 5 , 0 5 , 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - - 1 0 2 , 0 4 , 0 3 3 0 0 0 1 6 , 1 07 5 , 0 5 , 7 0 0 0 0 4 , 0 3 , 0 5 , 0 5 , 0 1 0 0 0 2 , 0 1 , 0 5 , 0 5 , 0 0 1 () ( ) () () () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - - - - - - + + - - + - + - - + + - + + - 1 133 , 0 * 3 0 213 , 0 3 2 , 0 0933 , 0 * 3 4 , 0 0667 , 0 3 3 1 * 3 3 0 0 0 133 , 0 213 , 0 933 , 0 0667 , 0 1 0 0 0 133 , 0 * 5 , 0 213 , 0 5 , 0 4 , 0 933 , 0 * 5 , 0 3 , 0 0667 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 0 0 133 , 0 * 5 , 0 213 , 0 5 , 0 2 , 0 0933 , 0 * 5 , 0 1 , 0 0667 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 0 1 34 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 1 4 , 0 84 , 0 68 , 0 2 , 3 0 0 0 0 1333 , 0 2133 , 0 0933 , 0 0667 , 0 1 0 0 0 0666 , 0 2933 , 0 2533 , 0 533 , 0 0 1 0 0 0666 , 0 0933 , 0 1466 , 0 4667 , 0 0 0 1 ( ) ()( ) () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - + - - - + - - - - - - - 3125 , 0 125 , 0 2625 , 0 2125 , 0 1 0 0 0 31 , 0 * 067 , 0 12 , 0 067 , 0 13 , 0 213 , 0 093 , 0 067 , 0 1 0 0 31 , 0 * 53 , 0 12 , 0 53 , 0 06 , 0 293 , 0 253 , 0 533 , 0 0 1 0 31 , 0 * 47 , 0 12 , 0 47 , 0 06 , 0 26 , 0 47 , 0 093 , 0 21 , 0 47 , 0 146 , 0 47 , 0 47 , 0 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 3125 , 0 125 , 0 2625 , 0 2125 , 0 1 0 0 0 0208 , 0 125 , 0 1958 , 0 0788 , 0 0 1 0 0 1666 , 0 0 43335 , 0 3666 , 0 0 0 1 0 1458 , 0 125 , 0 0292 , 0 2458 , 0 0 0 0 1 [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - = - 3125 , 0 125 , 0 2625 , 0 2125 , 0 0208 , 0 125 , 0 1958 , 0 0788 , 0 1666 , 0 0 43335 , 0 3666 , 0 1458 , 0 125 , 0 0292 , 0 2458 , 0 A 1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 3125 , 0 125 , 0 2625 , 0 2125 , 0 0208 , 0 125 , 0 1958 , 0 0788 , 0 1666 , 0 0 43335 , 0 3666 , 0 1458 , 0 125 , 0 0292 , 0 2458 , 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 27 26 0 15 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + - + + - + + + - - + - 27 * 3125 , 0 * 26 * 125 , 0 0 * 2625 , 0 15 * 2125 , 0 27 * 0208 , 0 26 * 125 , 0 0 * 1958 , 0 15 * 0788 , 0 27 * 1666 , 0 26 * 0 0 * 43335 , 0 15 * 3666 , 0 27 * 1458 , 0 26 * 125 , 0 0 * 0292 , 0 15 * 2458 , 0 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 2 5 1 3 35 4.7 L İNEER DENKLEM S İSTEM İN İN ALT ÜST ÜÇGEN MATR İSLERE AYIRMA METODU İLE ÇÖZÜMÜ: [] {} {} C x A = , [] {} {} { } 0 C x A = - [] {} { } D x U = , [] {} { } { } 0 D x U = - [] [] {} { } {} [ ]{} {} C x A D x U L - = - [] [] [] A U L = (Burada [] L alt üçgen matris , [ ] U ise üst üçgen matristir. [] {} {} C D L = Bu son denklemden { } D çözülüp. [] {} { } D x U = denkleminde yerine konup { } x bilinmeyen vektörü bu denklemden hesaplanır. 4.7.1 Gauss eliminasyon yöntemi ile alt üst üçgen matrislere ayırma i şlemi [] A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn 3 n 2 n 1 n n 3 33 32 31 n 2 23 22 21 n 1 13 12 11 a . . . a a a . . . . . . . . . . . . . . a . . . a a a a . . . a a a a . . . a a a [] = L ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 . . . f f f . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . 1 f f 0 . . . 0 1 f 0 . . . 0 0 1 . 3 n 2 n 1 n 32 31 21 , [ ] = U ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ' ' ' ' ' ' ' - ) 1 n ( nn n 3 33 n 2 23 22 n 1 13 12 11 a . . . 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . a . . . a 0 0 a . . . a a 0 a . . . a a a [][] [] U L A = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + + ' ' + ' + ' ' + ' + ' + ' ' + ' + ' ' + ' + ' + ' + ' + ' + - - - - ) 1 n ( nn ) 2 n ( n ) 1 n ( ) 1 n ( n n 3 3 n n 2 2 n n 1 1 n 33 3 n 23 2 n 13 1 n 22 2 n 12 1 n 11 1 n n 3 n 2 32 n 1 31 33 23 32 13 31 22 32 12 31 11 31 n 2 n 1 21 23 13 21 12 12 21 11 21 n 1 13 12 11 a a f a f a f a f a f a f a f a f a f a f . . . . a a f a f a a f a f a f a f a f a a f a a f a a f a f a a a a L L L L L L L 36 11 21 21 21 11 21 a a f a a f = ? = 11 31 31 31 11 31 a a f a a f = ? = Bu durumu di ğer bütün 1 i f ler için genelle ştirirsek 11 1 i 1 i 1 i 11 1 i a a f a a f = ? = Burada n ,..., 3 , 2 i = dir. elde ederiz. () 22 12 11 31 32 32 22 12 31 32 32 32 22 32 12 31 a / ) a a a a ( f a / a f a f a a f a f ' - = ? ' - = ? = ' + () 22 12 11 41 42 42 22 12 41 42 42 42 22 42 12 41 a / ) a a a a ( f a / a f a f a a f a f ' - = ? ' - = ? = ' + Bu i şlemler 2 i f için genelle ştirilebilir. () 22 12 11 1 i 2 i 2 i 22 12 1 i 2 i 2 i 2 i 22 2 i 12 1 i a / ) a a a a ( f a / a f a f a a f a f ' - = ? ' - = ? = ' + Burada n ,..., 4 , 3 i = dır. 33 23 42 13 41 43 43 43 33 43 23 42 13 41 a / ) a f a f a ( f a a f a f a f ' ' ' - - = ? = ' ' + ' + Bu e şitlik genelle ştirilirse 33 23 2 i 13 1 i 3 i 3 i 3 i 33 3 i 23 2 i 13 1 i a / ) a f a f a ( f a a f a f a f ' ' ' - - = ? = ' ' + ' + Burada n ,..., 5 , 4 i = dır. Benzer şekilde devam edilirse sonunda ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + + ' ' + ' + ' ' + ' + ' + ' ' + ' + ' ' + ' + ' + ' + ' + ' + - - - - ) 1 n ( nn ) 2 n ( n ) 1 n ( ) 1 n ( n n 3 3 n n 2 2 n n 1 1 n 33 3 n 23 2 n 13 1 n 22 2 n 12 1 n 11 1 n n 3 n 2 32 n 1 31 33 23 32 13 31 22 32 12 31 11 31 n 2 n 1 21 23 13 21 12 12 21 11 21 n 1 13 12 11 a a f a f a f a f a f a f a f a f a f a f . . . . a a f a f a a f a f a f a f a f a a f a a f a a f a f a a a a L L L L L L L matrisi elde edilir. 37 Örnek 4.7.1.1 [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - = 4 3 1 1 1 5 3 2 1 2 1 3 3 1 2 4 A {} ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 27 26 0 15 C [][] [] U L A = [] = L ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 f f f 0 1 f f 0 0 1 f 0 0 0 1 43 42 41 32 31 21 [] = U ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 2 , 3 0 0 0 5 , 0 5 , 7 0 0 25 , 1 25 , 1 5 , 2 0 3 1 2 4 75 , 0 4 3 f a 4 f 21 21 21 = = ? = 5 , 0 4 2 f a 4 f 31 31 31 = = ? = 25 , 0 4 1 f a 4 f 41 41 41 = = ? = 6 , 1 f 5 , 2 / )] 2 ( 5 , 0 3 [ f a 5 , 2 f ) 2 ( f 32 32 32 32 31 = ? - - = ? = + - 2 , 0 f 5 , 2 / )] 2 ( 25 , 0 1 [ f a 5 , 2 f ) 2 ( f 42 42 42 42 41 - = ? - - - = ? = + - () ( ) 4 , 0 f 5 , 7 / ) 25 , 1 * 2 , 0 25 , 0 3 ( f a 5 , 7 f 25 , 1 f 1 f 43 43 43 43 42 41 = ? - + = ? = + - + - [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = 1 4 , 0 2 , 0 25 , 0 0 1 6 , 1 5 , 0 0 0 1 75 , 0 0 0 0 1 L [] {} {} C D L = , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 27 26 0 15 d d d d 1 4 , 0 2 , 0 25 , 0 0 1 6 , 1 5 , 0 0 0 1 75 , 0 0 0 0 1 4 3 2 1 15 d 1 = 0 d d 75 , 0 2 1 = + ? 25 , 11 d 15 * 75 , 0 d 2 2 - = ? - = 38 5 , 36 d ) 25 , 11 ( * 6 , 1 15 * 5 , 0 26 d 26 d d 6 , 1 d 5 , 0 3 3 3 2 1 = ? - - - = ? = + + 4 , 6 d 27 5 , 36 * 4 , 0 25 , 11 * 2 , 0 15 * 25 , 0 d 27 d d 4 , 0 d 2 , 0 d 25 , 0 4 4 4 3 2 1 = ? + - - - = ? = + + - [] {} { } D x U = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 2 , 3 0 0 0 5 , 0 5 , 7 0 0 25 , 1 25 , 1 5 , 2 0 3 1 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 x x x x = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 4 , 6 5 , 36 25 , 11 15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = 2 5 1 3 4.7.2 Crout Bile şenlere ayırma yöntemi : (Crout decomposition) n=4 üzerinde gösterili şi : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 44 43 42 41 33 32 31 22 21 11 l l l l l l l l l l 0 0 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 u 1 0 0 u u 1 0 u u u 1 34 24 23 14 13 12 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a 11 a = 11 l , 21 a = 21 l , 31 a = 31 l , 41 a = 41 l n , . . . , 2 , 1 i , a 1 i = = i1 l 12 12 a u = 11 l 13 13 a u = 11 l 14 14 a u = 11 l 11 l 12 12 a u = 11 l 13 13 a u = 11 l 14 14 a u = n , . . . , 3 , 2 j , a u j 1 j 1 = = 11 l 22 12 a u = + 22 21 l l , 32 12 a u = + 32 31 l l , 42 12 a u = + 42 41 l l 2 i 12 a u = + i2 i1 l l ? n , , 3 , 2 i , u a 12 2 i L = - = i1 i2 l l 22 21 22 21 l l l l / ) u a ( u a u u 13 23 23 23 23 13 - = ? = + 22 21 22 21 l l l l / ) u a ( u a u u 14 24 24 24 24 14 - = ? = + n , , 4 , 3 j , / ) u a ( u a u u j 1 j 2 j 2 j 2 j 2 j 1 L = - = ? = + 22 21 22 21 l l l l 39 n , , 4 , 3 i , u u a 23 13 3 i L = - - = i2 i1 l l i3 l n , , 5 , 4 j , / ) u u a ( u j 2 3 j 1 3 j 3 j 3 L = - - = 33 2 1 l l l n , , 5 , 4 i , u u u a 34 24 14 4 i L = - - - = i3 i2 i1 l l l i4 l Crout alt üst üçgen matrislere ayırma yönteminin herhangi bir n sayısı için formülleri: n , . . . , 2 , 1 i , a 1 i = = i1 l n , . . . , 3 , 2 j , a u j 1 j 1 = = 11 l 1 n , , 3 , 2 j - = L için n , . . . , 2 j , 1 j , j i , u a 1 j 1 k kj ij + + = - = ? - = kj l ij l n , , 2 j , 1 j k , u a u 1 j 1 i ik jk kj L + + = - = ? - = jj ji l l ? - = - = 1 n 1 k kn n nn u a k l nn l Örnek 4.7.2.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 44 43 42 41 33 32 31 22 21 11 l l l l l l l l l l 0 0 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 u 1 0 0 u u 1 0 u u u 1 34 24 23 14 13 12 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 4 3 1 1 1 5 3 2 1 2 1 3 3 1 2 4 4 , 3 , 2 , 1 i , a 1 i = = i1 l 4 a 11 = = 11 l , 3 a 21 = = 21 l , 2 a 31 = = 31 l , 1 a 41 = = 41 l 4 , 3 , 2 j , a u j 1 j 1 = = 11 l 5 , 0 u 4 2 a u 12 12 12 - = ? - = = 11 l 25 , 0 u 4 1 a u 13 13 13 - = ? - = = 11 l 75 , 0 u 4 3 a u 14 14 14 = ? = = 11 l 40 3 , 2 j = için 4 , 1 j , j i , u a 1 j 1 k kj ij + = - = ? - = kj l ij l 4 , 1 j k , u a u 1 j 1 i ik jk kj + = - = ? - = jj ji l l ? = - = 3 1 k 4 k 4 44 u a k l 44 l için 3 i ve 2 j = = ( ) 5 , 2 5 , 0 3 1 u a 12 22 = ? - - = - = 22 21 22 l l l için 3 i ve 2 j = = ( ) 4 5 , 0 2 3 u a 3 12 3 32 3 = ? - - = - = 2 1 2 l l l için 4 i ve 2 j = = ( ) 5 , 0 5 , 0 1 1 u a 4 12 4 42 4 - = ? - - - = - = 2 1 2 l l l için 3 i ve 3 j = = ( ) ( ) 5 , 7 5 , 0 4 25 , 0 2 5 u u a 33 23 13 3 33 33 = ? - - - - = - - = l l l l 32 1 için 4 i ve 3 j = = ( ) ( )( ) 3 5 , 0 5 , 0 25 , 0 1 3 u u a 43 23 4 13 4 43 43 = ? - - - - - = - - = l l l l 2 1 için 3 k ve 2 j = = 5 , 0 u 5 , 2 / )] 25 , 0 ( 3 2 [( / ) u a ( u 23 2 13 2 23 23 - = ? - - - = - = 2 1 l l için 4 k ve 2 j = = 5 , 0 u 5 , 2 / )] 75 , 0 ( 3 1 [ / ) u a ( u 24 2 14 2 24 24 - = ? - = - = 2 1 l l için 4 k ve 3 j = = son olarak ( ) ( ) ( ) 2 , 3 ) 06667 , 0 ( 3 5 , 0 5 , 0 75 , 0 1 3 u u u a 44 34 24 4 14 4 44 44 = ? - - - - - = - - - = l l l l l 43 2 1 bulunur. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 4 3 1 1 1 5 3 2 1 2 1 3 3 1 2 4 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 2 , 3 3 5 , 0 1 0 5 , 7 4 2 0 0 5 , 2 3 0 0 0 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 1 0 0 0 6667 , 0 1 0 0 5 , 0 5 , 0 1 0 75 , 0 25 , 0 5 , 0 1 Bu elde edilen alt ve üst üçgen matrislerin denklem sisteminin çözümüne uygulanı şı ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 4 3 1 1 1 5 3 2 1 2 1 3 3 1 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 x x x x = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 27 26 0 15 06667 , 0 u 5 , 7 / )] 5 , 0 ( 4 ) 75 , 0 ( 2 1 [ / ) u u a ( u 34 33 24 14 3 34 34 - = ? - - - - = - - = l l l 32 1 41 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 2 , 3 3 5 , 0 1 0 5 , 7 4 2 0 0 5 , 2 3 0 0 0 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 d d d d = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 27 26 0 15 75 , 3 d 4 / 15 d 15 d 4 1 1 1 = ? = = 0 d 5 , 2 d 3 2 1 = + 5 , 4 d 5 , 2 / 75 , 3 * 3 d 2 2 - = ? - = 26 d 5 , 7 d 4 d 2 3 2 1 = + + 86667 , 4 d 5 , 7 / )] 5 , 4 ( * 4 75 , 3 * 2 26 [ d 3 3 = ? - - - = 27 d 2 , 3 d 3 d 5 , 0 d 4 3 2 1 = + + - 2 d 2 , 3 / ) 86667 , 4 * 3 5 , 4 * 5 , 0 75 , 3 27 ( d 4 4 = ? - - - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 1 0 0 0 6667 , 0 1 0 0 5 , 0 5 , 0 1 0 75 , 0 25 , 0 5 , 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 x x x x = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 2 86667 , 4 5 , 4 75 , 3 2 x 4 = 86667 , 4 x * 06667 , 0 x 4 3 = - 5 x 2 * 06667 , 0 86667 , 4 x 3 3 = ? + = 5 , 4 x 5 , 0 x 5 , 0 x 4 3 2 - = - - 1 x 2 * 5 , 0 5 * 5 , 0 5 , 4 x 2 2 - = ? + + - = 75 , 3 x 75 , 0 x 25 , 0 x 5 , 0 x 4 3 2 1 = + - - 3 x 2 * 75 , 0 5 * 25 , 0 ) 1 ( * 5 , 0 75 , 3 x 1 1 = ? - + - + = 42 4.8 KAREKÖK METODU ( Cholesky yöntemi) : Bu yöntem simetrik ve pozitif tanumlı katsayılar matrisi için uygulanır. Özellikle bu durumdaki bant matrislerde uygulanır. [] A pozitif tanımlı olmalıdır. Yani bütün ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 . . 0 0 x . . x x n 2 1 vektörleri için {}[] {} 0 Q x A x Q T > = olmalıdır veya 11 1 a A = , 22 21 12 11 2 a a a a A = , 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 a a a a a a a a a A = , . . . , [] A det A n = hepsinin pozitif olması gerekir. [][] [] U L A = [] [][] T T T L U A = Simetrik matrislerde [ ][] T A A = oldu ğundan [][] [] T L L A = olur. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn n n n l l l l l l l l l l . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0 0 3 2 1 33 32 31 22 21 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn n n n l l l l l l l l l l . . . 0 0 0 . . . . 0 0 0 . . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . 3 33 2 32 22 1 31 21 11 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 1 3 33 32 31 2 22 21 1 31 21 11 11 11 11 11 11 a l a l l = ? = 11 21 21 21 21 11 l a l a l l = ? = 43 n i l a l a l l i i i i , , 3 , 2 , 11 1 1 1 1 11 L = = ? = 2 21 22 22 22 2 22 2 21 l a l a l l - = ? = + 22 31 21 32 32 32 32 22 31 21 / ) ( l l l a l a l l l l - = ? = + 22 1 21 2 2 2 2 22 1 21 / ) ( l l l a l a l l l l i i i i i i - = ? = + , n i , , 4 , 3 L = 2 32 2 31 33 33 33 2 33 2 32 2 31 l l a l a l l l - - = ? = + + 33 42 32 41 31 43 43 43 43 33 42 32 41 31 / ) ( l l l l l a l a l l l l l l - - = ? = + + 33 2 32 1 31 3 3 3 3 33 2 32 1 31 / ) ( l l l l l a l a l l l l l l i i i i i i i i - - = ? = + + n i , , 4 L = n k , , 2 , 1 L = için genel formül: ? - = - = 1 1 2 k j kj kk kk l a l ? - = - = - = 1 1 1 , , 2 , 1 , / ) ( i j ii kj ij ki ki k i l l l a l L Bu i şlemlerin sonucunda elde edilen [ ] L matrisi denklem sisteminin çözümünde a şa ğıdaki e şitlikler yardımıyla kullanılır. [] {}{} C D L = denkleminden elde edilen { } D sütun matrisi []{} {} D x L T = denkleminde yerine konup { } x istenen çözüm matrisi bulunur. 11 1 1 l c d = ? - = = - = 1 1 , , 3 , 2 , / ) ( i j ii j ij i i n i l d l c d L nn n n lx d = › n n nn d x l = 1 [] / ,1 , 2 , , 1 n iij i ji i ji xd l xl inn =+ =- =-- ? L 44 Örnek 4.8.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 1 2 1 1 5 4 2 2 4 6 3 1 2 3 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 x x x x = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 29 27 21 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 44 43 42 41 33 32 31 22 21 11 0 0 0 0 0 0 l l l l l l l l l l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 44 43 33 42 32 22 41 31 21 11 0 0 0 0 0 0 l l l l l l l l l l = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 1 2 1 1 5 4 2 2 4 6 3 1 2 3 4 2 4 11 2 11 = ? = l l 5 , 1 3 21 21 11 = ? = l l l , 1 2 31 31 11 = ? = l l l , 5 , 0 1 41 41 11 = ? = l l l 2 22 2 22 2 21 ) 5 , 1 ( 6 6 - = ? = + l l l ? 9365 , 1 22 = l 9365 , 1 / ) 1 * 5 , 1 4 ( 4 32 32 22 31 21 - = ? = + l l l l l 291 , 1 32 = ? l 9365 , 1 / ) 5 , 0 * 5 , 1 2 ( 2 42 42 22 41 21 - = ? = + l l l l l ? 6455 , 0 42 = l 2 2 33 2 33 2 32 2 31 ) 291 , 1 ( 1 5 5 - - = ? = + + l l l l ? 5275 , 1 33 = l 5275 , 1 / ) 6455 , 0 * 291 , 1 5 , 0 * 1 1 ( 1 * 43 43 33 42 32 41 31 - - = ? = + + l l l l l l l ? 2182 , 0 43 - = l 2 2 2 44 2 44 2 43 2 42 2 41 ) 2182 , 0 ( 6455 , 0 5 , 0 3 3 - - - - = ? = + + + l l l l l ? 5119 , 1 44 = l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 5119 , 1 2182 , 0 6455 , 0 5 , 0 0 5275 , 1 291 , 1 1 0 0 9365 , 1 5 , 1 0 0 0 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 d d d d = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 29 27 21 5 , 10 21 2 1 1 = ? = d d 9365 , 1 / ) 5 , 10 * 5 , 1 27 ( 27 9365 , 1 5 , 1 2 2 1 - = ? = + d d d ? 81 , 5 2 = d 29 5275 , 1 291 , 1 3 2 1 = + + d d d ? 5275 , 1 / ) 81 , 5 * 291 , 1 5 , 10 29 ( 3 - - = d ? 2 , 7 3 = d 45 12 5119 , 1 2182 , 0 6455 , 0 5 , 0 4 3 2 1 = + - + d d d d 02 , 3 4 = d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 5119 , 1 0 0 0 2182 , 0 5275 , 1 0 0 6455 , 0 291 , 1 9365 , 1 0 5 , 0 1 5 , 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 x x x x = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 02 , 3 2 , 7 81 , 5 5 , 10 2 02 , 3 5119 , 1 4 4 = ? = x x 5275 , 1 / ) 2 * 2182 , 0 2 , 7 ( 2 , 7 2182 , 0 5275 , 1 3 4 3 + = ? = - x x x ? 5 3 = x 9365 , 1 / ) 2 * 6455 , 0 5 * 291 , 1 81 , 5 ( 81 , 5 6455 , 0 291 , 1 9365 , 1 2 4 3 2 - - = ? = + + x x x x 1 2 - = x 2 / ) 2 * 5 , 0 5 ) 1 ( 5 , 1 5 , 10 ( 5 , 10 5 , 0 5 , 1 2 1 4 3 2 1 - - - - = ? = + + + x x x x x ? 3 1 = x 46 4.9 İTERASYON YÖNTEM İ (Gauss – Seidel yöntemi ) : 1 1 3 13 2 12 1 11 c x a x a x a x a n n = + · · · + + + 2 2 3 23 2 22 1 21 c x a x a x a x a n n = + · · · + + + 3 3 3 33 2 32 1 31 c x a x a x a x a n n = + · · · + + + . . . . . . . . . . . . . . . . n n nn n n n c x a x a x a x a = + · · · + + + 3 3 2 2 1 1 Denklem sisteminde her i . denklemden x i leri çözüp a şağıdaki e şitlikler elde edilir. 11 1 3 13 2 12 1 1 / ) ( a x a x a x a c x n n - · · · - - - = 22 2 3 23 1 21 2 2 / ) ( a x a x a x a c x n n - · · · - - - = 33 3 2 32 1 31 3 3 / ) ( a x a x a x a c x n n - · · · - - - = . . . . . . . . . . . . . . . . . . nn n n n n n n n a x a x a x a c x / ) ( 1 ) 1 ( 2 2 1 1 - - - · · · - - - = % 100 ? 1 , j i j i j i i a x x x - - = Örnek 4.9.1 85 , 7 2 , 0 1 , 0 3 3 2 1 = - - x x x 3 , 19 3 , 0 7 1 , 0 3 2 1 - = - + x x x 4 , 71 10 2 , 0 3 , 0 3 2 1 = + - x x x Denklem sisteminin iterasyon yöntemi ile çözümü için a şağıdaki denklemler kullanılır. 3 / ) 2 , 0 1 , 0 85 , 7 ( 3 2 1 x x x + + = 7 / ) 3 , 0 1 , 0 3 , 19 ( 3 1 2 x x x + - - = 10 / ) 2 , 0 3 , 0 4 , 71 ( 2 1 3 x x x + - = Bu denklemler yardımı ile a şa ğıdaki tablo olu şturulur. 1 x 2 x 3 x | ? a,1 | , % | ? a,2 |, % | ? a,3 |, % 12,616666660 0 12,61666666-2,79452380 1 2,61666666 -2,7945238 7,005609524 2 2,99055650 -2,7945238 7,00560952412,5 2 2,99055650 -2,4996246 7,005609524 11,8 2 2,99055650 -2,4996246 7,000290811 11,8 47 5 10 15 20 5 10 15 20 1 2 3 4 5 6 7 2.5 3 3.5 4 1 2 3 4 5 6 7 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 5 E ĞR İYE UYDURMA f(x) f(x) x x Do ğruya yakla ştırma lineer regression Lineer interpolasyon f(x) x E ğrisel interpolasyon 5.1 YAKLA ŞTIRMA (Regression) METODU 5.1.1 Do ğruya yakla ştırma (Lineer regression) yöntemi: Bu yöntemde do ğruya yakla şımdaki hataların karelerinin toplamını minumum yapacak do ğru denklemi ara ştırılır. Hatayı içerecek şekilde do ğru denklemi: E x a a y 1 0 + + = seklindedir. Burada E hatayı gösterir. x a a y E 1 0 - - = Hataların karelerinin toplamı: ?? == - - = = n 1 i n 1 i 2 i 1 0 i 2 i r ) x a a y ( E S 48 şeklinde yazılır. Bu elde edilen hataların karelerinin toplamını minumum yapacak 0 a ve 1 a de ğeri bunlara göre alınacak türevleri sıfıra e şitliyerek bulunur. 0 ) x a a y ( 2 a S n 1 i i 1 0 i 0 r = - - - = ? ? ? = 0 x ) x a a y ( 2 a S i n 1 i i 1 0 i 1 r = - - - = ? ? ? = ??? === = - - n 1 i n 1 i n 1 i i 1 0 i 0 x a a y ??? === = - - n 1 i n 1 i n 1 i 2 i 1 i 0 i i 0 x a x a x y ?? == = + n 1 i n 1 i i 1 i 0 y a x na ?? ? == = = + n 1 i n 1 i i i 1 2 i 0 n 1 i i y x a x a x ?? ?? ? == == = - - = n 1 i n 1 i 2 i 2 i n 1 i n 1 i n 1 i i i i i 1 ) x ( x n y x y x n a n x a n y a n 1 i i 1 n 1 i i 0 ? ? = = - = n x x n 1 i i ? = = n y y n 1 i i ? = = 2 n S S r x / y - = Tahmini standart sapma : 1 n S S t y - = Toplam standart sapma : Burada 2 n 1 i i t ) y y ( S - = ? = t r t 2 S S S r - = tanım katsayısı : r correlation katsayısı: Örnek 5.1.1.1 A şa ğıdaki tablo de ğerlerini bir do ğruya yakla ştırın. i i y 2 i ) y y ( - 1 0 i x a a y - - 1 0,5 8,5765 0,1687 2 2,5 0,8622 0,5625 3 2,0 2,0408 0,3473 4 4,0 0,3265 0,3265 5 3,5 0,0051 0,5896 6 6,0 6,6122 0,7972 7 5,5 4,2908 0,1993 ? 24 22,7143 2,9911 49 2 4 6 8 1 2 3 4 5 6 Bu tablodaki verilerden ve a şağıdaki e şitliklerden 7 n = , 5 , 119 y x 7 1 i i i = ? = , 140 x 7 1 i 2 i = ? = , 28 x 7 1 i i = ? = , 4 7 28 x = = ? = = 7 1 i i 24 y , 428571429 , 3 7 24 y = = elde edilen bu de ğerleri kullanarak do ğru denklemi için gerekli katsayılar hesaplanır. 839285714 , 0 a ) 28 ( 140 * 7 24 * 28 5 , 119 * 7 a 1 2 1 = ? - - = 4 * 839285714 , 0 428571429 , 3 a 0 - = ? 07142857 , 0 a 0 = ve do ğru denklemi a şa ğıdaki gibi yazılır. x 839285714 , 0 07142857 , 0 y + = Bu do ğrunun grafi ği ve tablo de ğerleri a şa ğıdaki şekilden izlenebilir. y x 9457 , 1 1 7 7143 , 22 S y = - = ( Toplam standart sapma) 7735 , 0 2 7 9911 , 2 S x / y = - = ( Standart tahmini hata) y x / y S S < oldu ğundan bu örnek için do ğruya yakla ştırma uygun bir seçimdir. 50 5.1.2 Polinoma yakla ştırma metodu E x a x a x a a y m m 2 2 1 0 + + + + + = L Burada E hata veya resüdü m m 2 2 1 0 x a x a x a a y E - - - - - = L 2 m m 2 2 1 0 n 1 i r ) x a x a x a a y ( S - - - - - = ? = L Bu hataların karelerinin toplamı m 2 1 0 a , , a , a , a L katsayılarına göre ayrı ayrı türevleri alınırsa a şa ğıdaki denklemler elde edilir. 2 012 1 0 2( )0 n m r iiim i i S yaa xa x ax a = ? =- - - - - - = ? ? L 2 012 1 1 2( )0 n m r ii i i m i i S xyaa xax ax a = ? =- - - - - - = ? ? L 22 012 1 2 2( )0 n m r ii i i m i i S xyaa xa x ax a = ? =- - - - - - = ? ? L · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 012 1 2( )0 n mm r ii ii m i i m S xyaa xa x ax a = ? =- - - - - - = ? ? L Türev i şlemi sonunda bulunan bu denklemler sıfıra e şitlenip tekrar düzenlenirse a şağıdaki denklem sistemi elde edilir. ?? ?? == == = + + + + n 1 i n 1 i n 1 i n 1 i i m i m 2 i 2 i 1 0 y x a x a x a n a L ?? ?? ? == == + = = + + + + n 1 i n 1 i n 1 i n 1 i i i 1 m i m n 1 i 3 i 2 2 i 1 i 0 y x x a x a x a x a L ?? ?? ? == == + = = + + + + n 1 i n 1 i n 1 i n 1 i i 2 i 2 m i m n 1 i 4 i 2 3 i 1 2 i 0 y x x a x a x a x a L · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ?? ?? ? == == = + + = + + + + n 1 i n 1 i n 1 i n 1 i i m i m 2 i m n 1 i 2 m i 2 1 m i 1 m i 0 y x x a x a x a x a L Bu denklem sisteminden n 2 1 0 a , , a , a , a L çözülür. 51 ) 1 m ( n S S r x / y + - = Standart tahmini hata. t r t 2 S S S r - = korelasyon (ili şki ,ba ğlantı) katsayısı ? = - = n 1 i 2 i t ) y y ( S Örnek 5.1.2.1 A şa ğıdaki tabloda bulunan i i y , x de ğerlerini 2.dereceden polinoma yakla ştırın. i x i y 2 i ) y y ( - 2 i 2 i 1 0 i ) x a x a a y ( - - - 0 2,1 544,44 0,14332 1 7,7 314,47 1,00286 2 13,6 140,03 1,08158 3 27,2 3,12 0,80491 4 40,09 239,22 0,61951 5 61,1 1272,11 0,09439 ? 152,6 2513,39 3,74657 m = 2 , n = 6 , 5 , 2 x = , 433 , 25 y = , ? = = 5 1 i i 15 x , ? = = 5 1 i i 6 , 152 y ? = = 5 1 i 2 i 55 x , ? = = 5 1 i 3 i 225 x , ? = = 5 1 i 4 i 979 x , ? = = 5 1 i i i 6 , 585 y x , ? = = 5 1 i i 2 i 8 , 2488 y x ??? === = + + n 1 i n 1 i n 1 i i 2 i 2 i 1 0 y x a x a n a ?? ? ? == = = = + + n 1 i n 1 i n 1 i i i n 1 i 3 i 2 2 i 1 i 0 y x x a x a x a ?? ? ? == = = = + + n 1 i n 1 i n 1 i i 2 i n 1 i 4 i 2 3 i 1 2 i 0 y x x a x a x a Yukarıda buldu ğumuz i a bilinmiyenlerinin katsayılarını bu denklem sisteminde yerine konursa a şa ğıdaki denklem sistemi elde edilir. 6 , 152 a 55 a 15 a 6 2 1 0 = + + 6 , 585 a 225 a 55 a 15 2 1 0 = + + 8 , 2488 a 979 a 225 a 55 2 1 0 = + + Bu denklem sisteminin çözümünden bulunan 47857 , 2 a 0 = , 35929 , 2 a 1 = , 86071 , 1 a 2 = de ğerleri ile a şa ğıda çizilen 2. derecen polinom yazılır. 52 1 2 3 4 5 6 20 40 60 80 2 x 86071 , 1 x 35929 , 2 47857 , 2 y + + = y x 12 , 1 3 6 74657 , 3 S x / y = - = (Standart tahmini hata) 39 , 2513 74657 , 3 39 , 2513 r 2 - = (kararlılık katsayısı) 99925 , 0 r = (Bu sonuç uyumun çok iyi oldu ğunu gösterir. ) 5.1.3 İki de ği şkenli lineer ba ğıntılarda tablo de ğerlerini lineer denkleme çekmek Burada do ğru denklemi düzlem denklemi haline dönü şür. E x a x a a y 2 2 1 1 0 + + + = 2 2 1 1 0 x a x a a y E - - - = hatasının karelerinin toplamı ? = - - - = n 1 i 2 i 2 2 i 1 1 0 i r ) x a x a a y ( S şeklinde yazılır. Bu denklemin aynı şekilde 2 1 0 a , a , a bilinmiyen katsayılarına göre türevleri alınıp sıfıra e şitlenirse 01 12 2 1 0 2( )0 n r iii i S yaa xa x a = ? =- - - - = ? ? 101 12 2 1 1 2( )0 n r ii i i i S xyaa xax a = ? =- - - - = ? ? 201 12 2 1 2 2( )0 n r ii i i i S xyaa xa x a = ? =- - - - = ? ? 53 denklemleri elde edilir. Bu denklemler sıfıra e şitlenip a katsayılarına göre düzenlenirse 3 bilinmiyenli 3 tane lineer denklem yazılır. ??? === = + + n 1 i n 1 i n 1 i i i 2 2 i 1 1 0 y x a x a n a ?? ? ? == = = = + + n 1 i n 1 i n 1 i i i 1 n 1 i i 2 i 1 2 2 i 1 1 i 1 0 y x x x a x a x a ?? ? ? == = = = + + n 1 i n 1 i n 1 i i i 2 n 1 i 2 i 2 2 i 2 i 1 1 i 2 0 y x x a x x a x a Bu denklem sistemi a şa ğıdaki gibi matris formunda yazılabilir. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 i 2 i 2 i 1 i 2 i 2 i 1 2 i 1 i 1 i 2 i 1 x x x x x x x x x x n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 0 a a a = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i i 2 i i 1 i y x y x y 5.1.4 Çok de ği şkenli lineer ba ğıntılarda tablo de ğerlerini lineer denkleme çekmek E x a x a x a x a a y m m 3 3 2 2 1 1 0 + + + + + + = L denklemindeki E hatasının karelerinin toplamı ve türevleri yukarıdaki gibi düzenlenirse a şa ğıdaki matris formundaki denklem sistemini elde ederiz. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 mi i 2 mi i 1 mi mi mi i 2 2 i 2 i 1 i 2 i 2 mi i 1 i 2 i 1 2 i 1 i 1 mi i 2 i 1 x . . . x x x x x . . . . . . . . . . . . . . x x . . . x x x x x x . . . x x x x x . . . x x n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m 2 1 0 a . . a a a = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i mi i i 2 i i 1 i y x . . y x y x y ) 1 m ( n S S r x / y + - = ( standart tahmini hata) 54 0 2 4 6 8 0 2 4 6 0 20 0 2 4 6 8 Örnek 5.1.4.1 A şa ğıdaki iki de ği şkenli tablo de ğerlerini iki de ği şkenli lineer denkleme uydurun. 1 x 2 x y 2 1 x 2 2 x 2 1 x x y x 1 y x 2 0 0 5 0 0 0 0 0 2 1 10 4 1 2 20 10 2, 2 9 6,25 4 5 22,5 18 1 3 0 1 9 3 0 0 4 6 3 16 36 24 12 18 7 2 27 49 4 14 189 54 ? 5 , 16 14 54 76,25 54 48 243,5 100 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 i 2 i 2 i 1 i 2 i 2 i 1 2 i 1 i 1 i 2 i 1 x x x x x x x x x x n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 0 a a a = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i i 2 i i 1 i y x y x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 54 48 14 48 25 , 76 5 , 16 14 5 , 16 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 0 a a a = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 5 , 243 54 Bu denklem sisteminin çözümünden 5 a 0 = , 4 a 1 = , 3 a 2 - = elde edilen de ğerleri ile a şa ğıdaki denklem yazılır. 2 1 x 3 x 4 5 y - + = Verilen tablo de ğerleri ile Bulunan düzlem denkleminin uyumu a şa ğıdaki grafik üzerinden izlenebilir. y 2 x 1 x 55 5.2 İNTERPOLASYON 5.2.1 Lineer interpolasyon (ara de ğeri bulma ) ) x ( f ) x ( f 1 ) x ( f 1 ) x ( f 0 x 0 x x 1 x 0 1 0 1 0 0 1 x x ) x ( f ) x ( f x x ) x ( f ) x ( f - - = - - , ) x x ( x x ) x ( f ) x ( f ) x ( f ) x ( f 0 0 1 0 1 0 1 - - - + = Örnek 5.2.1.1 0 1 ln = 7917595 , 1 6 ln = 3862944 , 1 4 ln = = 2 ln ? ( 69314718 , 0 2 ln = ) 1. Çözüm: 1 x 0 = , 6 x 1 = 35835190 , 0 ) 2 ( f ) 1 2 ( 1 6 0 7917595 , 1 0 ) 2 ( f 1 1 = ? - - - + = , | ? t | = 48,3 % 2. Çözüm: 1 x 0 = , 4 x 1 = 46209813 , 0 ) 2 ( f ) 1 2 ( 1 4 0 3862944 , 1 0 ) 2 ( f 1 1 = ? - - - + = , | ? t | = 33,3 % ) x ( f ln 2 0,46209813 0,3583519 1 2 x 56 5.2.2 Kuadratik interpolasyon ) x x )( x x ( b ) x x ( b b ) x ( f 1 0 2 0 1 0 2 - - + - + = (3.3.2.2.-1) 1 2 0 2 1 0 2 2 2 0 1 1 0 2 x x b x x b x x b x b x b x b b ) x ( f - - + + - + = (3.3.2.2.-2) 2 2 1 0 2 x a x a a ) x ( f + + = (3.3.2.2.-3) 1 0 2 0 1 0 0 x x b x b b a + - = (3.3.2.2.-4) 1 2 0 2 1 1 x b x b b a - - = (3.3.2.2.-5) 2 2 b a = (3.3.2.2.-6) (3.3.2.2.-1) denkleminde x yerine 0 x yazılırsa ) x ( f b 0 0 = (3.3.2.2.-7) elde edilir. Bu bulunan (3.3.2.2.-7) e şitli ği ve x yerine 1 x de ği şkeni (3.3.2.2.-1) denkleminde yerine yazılırsa 0 1 0 1 1 x x ) x ( f ) x ( f b - - = (3.3.2.2.-8) denklemi bulunur. Bu (3.3.2.2.-8) ve (3.3.2.2.-7) denklemi (3.3.2.2.-1) de yerine konur ve ayrıca x yerine 2 x yazılırsa a şa ğıdaki denklem elde edilir. 0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 2 x x x x ) x ( f ) x ( f x x ) x ( f ) x ( f b - - - - - - = (3.3.2.2.-9) Örnek 5.2.2.1 1 x 0 = 0 ) x ( f 0 = , 4 x 1 = 3862944 , 1 ) x ( f 1 = , 6 x 2 = 7917595 , 1 ) x ( f 2 = = ) 2 ( f ? 0 b 0 = 46209813 , 0 b 1 4 0 3862944 , 1 b 1 1 = ? - - = 051873116 , 0 b 1 6 046209813 4 6 3862944 , 1 7917595 , 1 b 2 2 - = ? - - - - = 57 ) 4 x )( 1 x ( 051873116 , 0 ) 1 x ( 46209813 , 0 0 ) x ( f 2 - - - - + = 56584436 , 0 ) 2 ( f 2 = ? t = 18,4 % 5.3 Newton interpolasyon polinomunun genel formu n. mertebeden polinom n + 1 adet veri noktaları gerektirir. ) x x ( ) x x )( x x ( b ) x x ( b b ) x ( f 1 n 1 0 n 0 1 0 n - - - - + + - + = L L ) x ( f b 0 0 = ] x , x [ f b 0 1 1 = ] x , x , x [ f b 0 1 2 2 = · · · ] x , x , , x , x [ f b 0 1 1 n n n L - = Burada j i j i j i x x ) x ( f ) x ( f ] x , x [ f - - = k i k j j i k j i x x ] x , x [ f ] x , x [ f ] x , x , x [ f - - = 0 n 0 2 n 1 n 1 1 n n 0 1 1 n n x x ] x , , x , x [ f ] x , , x , x [ f ] x , x , , x , x [ f - - = - - - - L L L ] x , , x , x [ f ) x x ( ) x x )( x x ( ] x , x , x [ f ) x x )( x x ( ] x , x [ f ) x x ( ) x ( f ) x ( f 0 1 n n 1 n 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 n L L L - - - - - + + - - + - + = Örnek 5.3.1 1 x 0 = 4 x 1 = 6 x 2 = 5 x 3 = 0 1 ln ) x ( f 0 = = 3862944 , 1 4 ln ) x ( f 1 = = 7917595 , 1 6 ln ) x ( f 2 = = 6094379 , 1 5 ln ) x ( f 3 = = 3. dereceden polinom n = 3 ) x x )( x x )( x x ( b ) x x )( x x ( b ) x x ( b b ) x ( f 2 1 0 3 1 0 2 0 1 0 3 - - - + - - + - + = 58 0 b 1 ln ) x ( f b 0 0 0 = ? = = 46209813 , 0 b 1 4 0 3862944 , 1 ] x , x [ f b 1 0 1 1 = ? - - = = 20273255 , 0 4 6 3862944 , 1 7917595 , 1 ] x , x [ f 1 2 = - - = 18232160 , 0 6 5 7917595 , 1 6094379 , 1 ] x , x [ f 2 3 = - - = 051873116 , 0 b 1 6 46209813 , 0 20273255 , 0 ] x , x , x [ f b 2 0 1 2 2 - = ? - - = = 020410950 , 0 4 5 20273255 , 0 18232160 , 0 ] x , x , x [ f 1 2 3 - = - - = 0078655415 , 0 b 1 5 ) 051873116 , 0 ( 020410950 , 0 ] x , x , x , x [ f b 3 0 1 2 3 3 = ? - - - - = = ) 6 x )( 4 x )( 1 x ( 0078655415 , 0 ) 4 x )( 1 x ( 051873116 , 0 ) 1 x ( 46209813 , 0 0 ) x ( f 3 - - - + - - - - + = 62876869 , 0 ) 2 ( f 3 = % 3 , 9 t = ? 5.4 İnterpolasyon polinomlarının katsayılarını bulmak için di ğer bir yöntem n n 2 2 1 0 x a x a x a a ) x ( f + + + + = L Bu polinomdaki n 2 1 0 a , , a , a , a L 1 n + tane katsayıyı bulmak için 1 n + tane veri noktası gerekir. Örnek olarak 2 n = için 3 bilinmiyenli denklem elde edilir. Bu gereken veri noktaları [] ) x ( f , x 0 0 , [] ) x ( f , x 1 1 , [] ) x ( f , x 2 2 şeklindedir.Bunlar 2 2 1 0 x a x a a ) x ( f + + = denkleminde yerine ayrı ayrı konursa a şa ğıdaki denklem sistemi elde edilir. 2 0 2 0 1 0 0 x a x a a ) x ( f + + = 2 1 2 1 1 0 1 x a x a a ) x ( f + + = 2 2 2 2 1 0 2 x a x a a ) x ( f + + = Bu denklem sisteminden bilinmiyen 2 1 0 a , a , a katsayıları bulunur. 59 2 4 6 8 10 0.5 1 1.5 2 Örnek 5.4.1 x ln 1 x 0 = 0 ) x ( f 0 = , 4 x 1 = 38629 , 1 ) x ( f 1 = , 6 x 2 = 79176 , 1 ) x ( f 2 = 2 1 0 a a a 0 + + = 2 1 0 a 16 a 4 a 38629 , 1 + + = 2 1 0 a 36 a 6 a 79176 , 1 + + = Bu denklem sisteminin çözümünden 669586 , 0 a 0 - = , 721458 , 0 a 1 = , 0518723 , 0 a 2 - = 2 x 0518723 , 0 x 72146 , 0 6696 , 0 ) x ( f - + - = 2 x = 5658 , 0 ) x ( f = ) 69315 , 0 2 ln ( = f(x) ln (x) f(x) x 5.5 Lagrange interpolasyon formülü Newton interpolasyon formülünün daha kullanı şli hale getirilmi ş şeklidir. Burada bölünmü ş farkların hesabına gerek kalmaz. ? = = n 1 i i i n ) x ( f ) x ( L ) x ( f Burada ? ? = - - = n i j 0 j j i j i x x x x ) x ( L Birinci dereceden ( n = 1 için ) Lagrange interpolasyon polinomu : 60 ) x ( f ) x ( L ) x ( f ) x ( L ) x ( f 1 1 0 0 1 + = ? ? = - - = 1 0 j 0 j j 0 j 0 x x x x ) x ( L ? 1 0 1 0 x x x x ) x ( L - - = ? ? = - - = 1 1 j 0 j j 1 j 1 x x x x ) x ( L ? 0 1 0 1 x x x x ) x ( L - - = ) x ( f x x x x ) x ( f x x x x ) x ( f 1 0 1 0 0 1 0 1 1 - - + - - = İkinci dereceden n = 2 için Lagrange interpolasyon polinomu : ) x ( f ) x ( L ) x ( f ) x ( L ) x ( f ) x ( L ) x ( f 2 2 1 1 0 0 2 + + = ? ? = - - = 2 0 j 0 j j 0 j 0 x x x x ) x ( L ? 2 0 2 1 0 1 0 x x x x x x x x ) x ( L - - - - = ? ? = - - = 2 1 j 0 j j 1 j 1 x x x x ) x ( L ? 2 1 2 0 1 0 1 x x x x x x x x ) x ( L - - - - = ? ? = - - = 2 2 j 0 j j 2 j 2 x x x x ) x ( L ? 1 2 1 0 2 0 2 x x x x x x x x ) x ( L - - - - = ) x ( f x x x x x x x x ) x ( f x x x x x x x x ) x ( f x x x x x x x x ) x ( f 2 1 2 1 0 2 0 1 2 1 2 0 1 0 0 2 0 2 1 0 1 2 - - - - + - - - - + - - - - = Üçüncü dereceden n = 3 için Lagrange interpolasyon polinomu : ) x ( f ) x ( L ) x ( f ) x ( L ) x ( f ) x ( L ) x ( f ) x ( L ) x ( f 3 3 2 2 1 1 0 0 3 + + + = ? ? = - - = 3 0 j 0 j j 0 j 0 x x x x ) x ( L ? 3 0 3 2 0 2 1 0 1 0 x x x x x x x x x x x x ) x ( L - - - - - - = ? ? = - - = 3 1 j 0 j j 1 j 1 x x x x ) x ( L ? 3 1 3 2 1 2 0 1 0 1 x x x x x x x x x x x x ) x ( L - - - - - - = ? ? = - - = 3 2 j 0 j j 2 j 2 x x x x ) x ( L ? 3 2 3 1 2 1 0 2 0 2 x x x x x x x x x x x x ) x ( L - - - - - - = ? ? = - - = 3 3 j 0 j j 3 j 3 x x x x ) x ( L ? 2 3 2 1 3 1 0 3 0 3 x x x x x x x x x x x x ) x ( L - - - - - - = 61 ) x ( f x x x x x x x x x x x x ) x ( f x x x x x x x x x x x x ) x ( f x x x x x x x x x x x x ) x ( f x x x x x x x x x x x x ) x ( f 3 2 3 2 1 3 1 0 3 0 2 3 2 3 1 2 1 0 2 0 1 3 1 3 2 1 2 0 1 0 0 3 0 3 2 0 2 1 0 1 3 - - - - - - + - - - - - - + - - - - - - + - - - - - - = Lagrange interpolasyon polinomunun Newton interpolasyon polinomundan çıkarılı şı. ] x , x [ f ) x x ( ) x ( f ) x ( f 0 1 0 0 1 - + = 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 x x ) x ( f x x ) x ( f x x ) x ( f ) x ( f ] x , x [ f - + - = - - = ) x ( f x x x x ) x ( f x x x x ) x ( f ) x ( f 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 - - + - - + = ) x ( f x x x x ) x ( f x x x x ) x ( f 1 0 1 0 0 1 0 1 1 - - + - - = Örnek 5.5.1 x ln 1 x 0 = 0 ) x ( f 0 = , 4 x 1 = 38629 , 1 ) x ( f 1 = , 6 x 2 = 79176 , 1 ) x ( f 2 = Birinci dereceden Lagrange polinomu için çözüm: ) x ( f x x x x ) x ( f x x x x ) x ( f 1 0 1 0 0 1 0 1 1 - - + - - = 1 41 ( ) *0 *1,3862944 14 41 xx fx -- =+ -- 3862944 , 1 * 1 4 1 2 0 * 4 1 4 2 ) 2 ( f 1 - - + - - = ? 4620981 , 0 ) 2 ( f 1 = İkinci dereceden Lagrange polinomu için çözüm: ) x ( f x x x x x x x x ) x ( f x x x x x x x x ) x ( f x x x x x x x x ) x ( f 2 1 2 1 0 2 0 1 2 1 2 0 1 0 0 2 0 2 1 0 1 2 - - - - + - - - - + - - - - = 2 46 16 14 ( ) *0 *1,3862944 *1,7917595 1416 4146 6164 xx xx xx fx -- -- -- =+ + -- -- -- 565844 , 0 ) x ( f 7917595 , 1 * 4 6 4 2 1 6 1 2 3862944 , 1 * 6 4 6 2 1 4 1 2 0 * 6 1 6 2 4 1 4 2 ) x ( f 2 2 = ? - - - - + - - - - + - - - - = 62 6 SAYISAL İNTEGRAL f(x) ? = b a dx ) x ( f I a b x 6.1 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜLÜ ? ? ? = b a n b a dx ) x ( f dx ) x ( f I n n 1 n 1 n 1 0 n x a x a x a a ) x ( f + + + + = - - L 6.2 Trapez (yamuk ) kuralı f(x) f(b) f(a) a b x ? ? ? = b a 1 b a dx ) x ( f dx ) x ( f I ) a x ( a b ) a ( f ) b ( f ) a ( f ) x ( f 1 - - - + = 63 dx )] a x ( a b ) a ( f ) b ( f ) a ( f [ I b a - - - + ? ? ] b a 2 2 x a b ) a ( f ) b ( f x a a b ) a ( f ) b ( f x ) a ( f [ I - - + - - - ? 2 b a b ) a ( f ) b ( f b a a b ) a ( f ) b ( f b ) a ( f I 2 - - + - - - ? 2 a a b ) a ( f ) b ( f a a a b ) a ( f ) b ( f a ) a ( f 2 - - - - - + - a b ] 2 / ) b a ( ab )[ b ( f ] 2 / ) b a ( ab )[ a ( f a ) a ( f b ) a ( f I 2 2 2 2 - - - + - - - + + - ? ) a b ( 2 )] a ( f ) b ( f [ ) a b ( ) a b ( ) a ( f I 2 - - - + - ? 2 )] a ( f ) b ( f )[ a b ( ) a b )( a ( f I - - + - ? 2 )] a ( f ) b ( f )[ a b ( ) a b )( a ( f 2 I - - + - ? 2 ) b ( f ) a ( f ) a b ( I + - ? 6.2.1 İntegral bölgesinin n e şit parçaya bölünerek yamuk kuralının uygulanı şı: ? ?? - + + + = n 1 n 1 0 2 1 x x x x x x dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f I L Burada ) x , , x , x , x ( n 2 1 0 L 1 n + adet noktadır. n a b h - = Parçaların geni şli ğidir. 2 ) x ( f ) x ( f h 2 ) x ( f ) x ( f h 2 ) x ( f ) x ( f h I n 1 n 2 1 1 0 + + + + + + ? - L )] x ( f ) x ( f 2 ) x ( f [ 2 h I n 1 n 1 i i 0 + + ? ? - = n 2 ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f ) a b ( I n 1 n 1 i i 0 + + - = ? - = 64 ? = ' ' - - = n 1 i i 3 3 t ) ? ( f n 12 ) a b ( E n ) ? ( f f n 1 i i ? = ' ' ? ' ' Burada f ' ' ikinci türevin bütün bölge içinde ortalama de ğeridir. Böylece yakla şık hata a şa ğıdaki gibi yazılabilir. f n 12 ) a b ( E 2 3 a ' ' - - = Örnek 6.2.1.1 5 4 3 2 x 400 x 900 x 675 x 200 x 25 2 , 0 ) x ( f + - + - + = ? = 8 , 0 0 dx ) x ( f I Bu integral analitik olarak çözülürse I=1,64053334 bulunur. Burada a = 0 , b = 0,8 dır. n = 8 için 1 , 0 8 0 8 , 0 h = - = ve 0 x 0 = 1 , 0 x 1 = 2 , 0 x 2 = 3 , 0 x 3 = 4 , 0 x 4 = 5 , 0 x 5 = 6 , 0 x 6 = 7 , 0 x 7 = 8 , 0 x 8 = de ğerleri a şa ğıdaki formülde yerine konursa n 2 ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f ) a b ( I n 1 n 1 i i 0 + + - ? ? - = 8 * 2 ) 8 , 0 ( f ] ) 7 , 0 ( f ) 6 , 0 ( f ) 5 , 0 ( f ) 4 , 0 ( f ) 3 , 0 ( f ) 2 , 0 ( f ) 1 , 0 ( f [ 2 ) 0 ( f ) 0 8 , 0 ( I + + + + + + + + - ? 2 , 0 ) 0 ( f = 289 , 1 ) 1 , 0 ( f = 288 , 1 ) 2 , 0 ( f = 607 , 1 ) 3 , 0 ( f = 456 , 2 ) 4 , 0 ( f = 325 , 3 ) 5 , 0 ( f = 464 , 3 ) 6 , 0 ( f = 363 , 2 ) 7 , 0 ( f = 232 , 0 ) 8 , 0 ( f = 16 232 , 0 ] 363 , 2 464 , 3 325 , 3 456 , 2 607 , 1 288 , 1 289 , 1 [ 2 2 , 0 8 , 0 I + + + + + + + + ? 6008 , 1 I ? 03973334 , 0 E 6008 , 1 64053334 , 1 E t t = ? - = 65 % 42 , 2 ? 100 * 64053334 , 1 6008 , 1 64053334 , 1 ? t t = ? - = f n 12 ) a b ( E 2 3 a ' ' - - = a b dx ) x ( f f b a - ' ' = ' ' ? 4 3 2 x 2000 x 3600 x 2025 x 400 25 ) x ( f + - + - = ' 3 2 x 8000 x 10800 x 4050 400 ) x ( f + - + - = ' ' dx ) x 8000 x 10800 x 4050 400 ( dx ) x ( f 3 2 8 , 0 0 8 , 0 0 + - + - = ' ' ? ? 4 / ) 8 , 0 ( * 8000 3 / ) 8 , 0 ( * 10800 2 / ) 8 , 0 ( * 4050 8 , 0 * 400 dx ) x ( f 4 3 2 8 , 0 0 + - + - = ' ' ? 48 dx ) x ( f 8 , 0 0 - = ' ' ? 60 f - = ' ' f n 12 ) a b ( E 2 3 a ' ' - - = 04 , 0 E ) 60 ( 8 * 12 ) 8 , 0 ( E a 2 3 a = ? - - = % 499 , 2 ? 100 * 6008 , 1 E ? a a a = ? = 66 6.3 Simpson’un 1/3 kuralı Buradaki 1/3 , h üçe bölündü ğü içindir. ? ? ? = b a 2 b a dx ) x ( f dx ) x ( f I E ğer a x 0 = b x 2 = 2 a b x 1 + = ve ) x ( f 2 yerine ikinci dereceden Lagrange polinomu alınırsa integral a şa ğıdaki şekle gelir. dx ] ) x ( f ) x x )( x x ( ) x x )( x x ( ) x ( f ) x x )( x x ( ) x x )( x x ( ) x ( f ) x x )( x x ( ) x x )( x x ( [ I 2 1 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 0 x x 2 0 1 0 2 1 1 0 - - - - + - - - - + - - - - ? ? Bu ıntegral i şlemi sonucunda elde edilen ifadede gereken kısaltmalar yapıldıktan sonra integral formülü a şa ğıdaki şekli alır. )] x ( f ) x ( f 4 ) x ( f [ 3 h I 2 1 0 + + ? E ğer (a , b ) aralı ğı n e şit parçaya bölünürse ? ?? - + + + = n 2 n 2 0 4 2 x x x x x x dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f I L n 3 ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f 4 ) x ( f ) a b ( I 1 n 5 , 3 , 1 i 2 n 6 , 4 , 2 j n j i 0 ?? - = - = + + + - ? formülü bulunur. 67 Örnek 6.3.1 5 4 3 2 x 400 x 900 x 675 x 200 x 25 2 , 0 ) x ( f + - + - + = ? = 8 , 0 0 dx ) x ( f I Bu integral analitik olarak çözülürse I=1,64053334 bulunur. Burada a = 0 , b = 0,8 dır. n = 8 için 1 , 0 8 0 8 , 0 h = - = ve 0 x 0 = 1 , 0 x 1 = 2 , 0 x 2 = 3 , 0 x 3 = 4 , 0 x 4 = 5 , 0 x 5 = 6 , 0 x 6 = 7 , 0 x 7 = 8 , 0 x 8 = de ğerleri a şa ğıdaki formülde yerine konursa n 3 ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f 4 ) x ( f ) a b ( I 1 n 5 , 3 , 1 i 2 n 6 , 4 , 2 j n j i 0 ?? - = - = + + + - ? 8 * 3 ) 8 , 0 ( f ] ) 6 , 0 ( f ) 4 , 0 ( f ) 2 , 0 ( f [ 2 )] 7 , 0 ( f ) 5 , 0 ( f ) 3 , 0 ( f ) 1 , 0 ( f [ 4 ) 0 ( f ) 0 8 , 0 ( I + + + + + + + + - ? 2 , 0 ) 0 ( f = 289 , 1 ) 1 , 0 ( f = 288 , 1 ) 2 , 0 ( f = 607 , 1 ) 3 , 0 ( f = 456 , 2 ) 4 , 0 ( f = 325 , 3 ) 5 , 0 ( f = 464 , 3 ) 6 , 0 ( f = 363 , 2 ) 7 , 0 ( f = 232 , 0 ) 8 , 0 ( f = 24 232 , 0 ] 464 , 3 456 , 2 288 , 1 [ 2 ] 363 , 2 325 , 3 607 , 1 289 , 1 [ 4 2 , 0 8 , 0 I + + + + + + + + ? 6428 , 1 I ? 00226666 , 0 E 6428 , 1 64053334 , 1 E t t - = ? - = % 138 , 0 | ? | 100 * 64053334 , 1 6428 , 1 64053334 , 1 ? t t = ? - = 68 6.4 IMPROPER İNTEGRAL (Sınırları sonsuz olan integral) dt ) t / 1 ( f t 1 dx ) x ( f a / 1 b / 1 2 b a ? ? = ??? ? - - ?-- + = bAb A dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f t 1 x = ? dt t 1 dx 2 - = , A x - = ? A 1 t - = , - ? = x ? 0 1 t = ? - = ??? ?--- + = b0 A / 1 b A dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f ? ??? ? ? ? - - ?-- + + = B AB A dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f t 1 x = ? dt t 1 dx 2 - = , A x - = ? A 1 t - = , - ? = x ? 0 1 t = ? - = ? ??? + + = ? ?-- - B / 1 0 2 0 A / 1 B A 2 dt ) t / 1 ( f t 1 dx ) x ( f dt ) t / 1 ( f t 1 dx ) x ( f Örnek 6.4.1 ? ? - - = x 2 / x dx e ? 2 1 ) x ( N 2 ? ) 1 ( N = ?? - ?-- - - + = 21 2 2 / x 2 / x ) dx e dx e ( ? 2 1 ) 1 ( N 2 2 t 1 x = ? dt t 1 dx 2 - = , A x - = ? A 1 t - = , - ? = x ? 0 1 t = ? - = 69 0556 , 0 dt e t 1 dx e 20 2 / 1 t 2 / 1 2 2 / x 2 2 ? = ?? - ?-- - - 0523 , 2 dx e 1 2 2 / x 2 ? ? - - 8409 , 0 ) 1 ( N ) 0523 , 2 0556 , 0 ( ? 2 1 ) 1 ( N = ? + = 7 SAYISAL TÜREV Türevin tanımı: f(x) ) x ( f 2 ) x ( f 1 1 x 2 x x 1 2 1 2 0 ) x x ( x x ) x ( f ) x ( f Lim dx ) x ( df ) x ( f 1 2 - - = = ' › - Bir fonksiyonun Taylor serisine açılımından faydalanılarak a şa ğıdaki ba ğıntı yazılabilir. L + ' ' + ' + = + 2 i i i 1 i h 2 ) x ( f h ) x ( f ) x ( f ) x ( f i 1 i x x h - = + Buradan ) x ( f i ' çözülebilir. ) h ( O h 2 ) x ( f h ) x ( f ) x ( f ) x ( f 2 i i 1 i i + ' ' - - = ' + ) h ( O h ) x ( f ) x ( f ) x ( f i 1 i i + - = ' + Şeklinde yazılabilir. Veya 70 ) h ( O h ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f ) x ( f 2 i 1 i 2 i i + + - = ' ' + + bu ikinci türev formülü ile birlikte a şa ğıdaki gibi olu şturulabilir. ) h ( O h h 2 ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f h ) x ( f ) x ( f ) x ( f 2 2 i 1 i 2 i i 1 i i + + - - - = ' + + + ) h ( O h 2 ) x ( f 3 ) x ( f 4 ) x ( f ) x ( f 2 i 1 i 2 i i + - + - = ' + + 7.1 İLER İ DO ĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Birinci mertebeden türev: h ) x ( f ) x ( f ) x ( f i 1 i i - = ' + h 2 ) x ( f 3 ) x ( f 4 ) x ( f ) x ( f i 1 i 2 i i - + - = ' + + İkinci mertebeden türev: 2 i 1 i 2 i i h ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f ) x ( f + - = ' ' + + 2 i 1 i 2 i 3 i i h ) x ( f 2 ) x ( f 5 ) x ( f 4 ) x ( f ) x ( f + - + - = ' ' + + + Üçüncü mertebeden türev: 3 i 1 i 2 i 3 i i h ) x ( f ) x ( f 3 ) x ( f 3 ) x ( f ) x ( f - + - = ' ' ' + + + 3 i 1 i 2 i 3 i 4 i i h 2 ) x ( f 5 ) x ( f 18 ) x ( f 24 ) x ( f 14 ) x ( f 3 ) x ( f - + - + - = ' ' ' + + + + Dördüncü mertebeden türev: 4 i 1 i 2 i 3 i 4 i i ) 4 ( h ) x ( f ) x ( f 4 ) x ( f 6 ) x ( f 4 ) x ( f ) x ( f + - + - = + + + + 4 i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 i i ) 4 ( h ) x ( f 3 ) x ( f 14 ) x ( f 26 ) x ( f 24 ) x ( f 11 ) x ( f 2 ) x ( f + - + - + - = + + + + + 71 7.2 GER İYE DO ĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Birinci mertebeden türev: h ) x ( f ) x ( f ) x ( f 1 i i i - - = ' h 2 ) x ( f ) x ( f 4 ) x ( f 3 ) x ( f 2 i 1 i i i - - + - = ' İkinci mertebeden türev: 2 2 i 1 i i i h ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f ) x ( f - - + - = ' ' 2 3 i 2 i 1 i i i h ) x ( f ) x ( f 4 ) x ( f 5 ) x ( f 2 ) x ( f - - - - + - = ' ' Üçüncü mertebeden türev: 3 3 i 2 i 1 i i i h ) x ( f ) x ( f 3 ) x ( f 3 ) x ( f ) x ( f - - - - + - = ' ' ' 3 4 i 3 i 2 i 1 i i i h 2 ) x ( f 3 ) x ( f 14 ) x ( f 24 ) x ( f 18 ) x ( f 5 ) x ( f - - - - + - + - = ' ' ' Dördüncü mertebeden türev: 4 4 i 3 i 2 i 1 i i i ) 4 ( h ) x ( f ) x ( f 4 ) x ( f 6 ) x ( f 4 ) x ( f ) x ( f - - - - + - + - = 4 5 i 4 i 3 i 2 i 1 i i i ) 4 ( h ) x ( f 2 ) x ( f 11 ) x ( f 24 ) x ( f 26 ) x ( f 14 ) x ( f 3 ) x ( f - - - - - - + - + - = 7.3 MERKEZ İ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Birinci mertebeden türev: h 2 ) x ( f ) x ( f ) x ( f 1 i 1 i i - + - = ' h 12 ) x ( f ) x ( f 8 ) x ( f 8 ) x ( f ) x ( f 2 i 1 i 1 i 2 i i - - + + + - + - = ' İkinci mertebeden türev: 2 1 i i 1 i i h ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f ) x ( f - + + - = ' ' 2 2 i 1 i i 1 i 2 i i h 12 ) x ( f ) x ( f 16 ) x ( f 30 ) x ( f 16 ) x ( f ) x ( f - - + + - + - + - = ' ' Üçüncü mertebeden türev: 3 2 i 1 i 1 i 2 i i h 2 ) x ( f ) x ( f 2 ) x ( f 2 ) x ( f ) x ( f - - + + - + - = ' ' ' 3 3 i 2 i 1 i 1 i 2 i 3 i i h 8 ) x ( f ) x ( f 8 ) x ( f 13 ) x ( f 13 ) x ( f 8 ) x ( f ) x ( f - - - + + + + - + - + - = ' ' ' 72 Dördüncü mertebeden türev: 4 2 i 1 i i 1 i 2 i i ) 4 ( h ) x ( f ) x ( f 4 ) x ( f 6 ) x ( f 4 ) x ( f ) x ( f - - + + + - + - = 4 3 i 2 i 1 i i 1 i 2 i 3 i i ) 4 ( h 6 ) x ( f ) x ( f 12 ) x ( f 39 ) x ( f 56 ) x ( f 39 ) x ( f 12 ) x ( f ) x ( f - - - + + + - + - + - + - = Örnek 7.3.1 x ln ) x ( f = ? ) 5 ( f = ' ? ) 5 ( f = ' ' Analitik çözüm: x 1 ) x ( f = ' 2 x 1 ) x ( f - = ' ' 2 , 0 ) 5 ( f = ' 04 , 0 ) 5 ( f - = ' ' Sayısal çözüm: 01 , 0 609437912 , 1 6114435915 , 1 5 01 , 5 ) 5 ln( ) 01 , 0 5 ln( ) 5 ( f - = - - + = ' ? 199800266 , 0 ) 5 ( f = ' 0001 , 0 609437912 , 1 611435915 , 1 * 2 613429934 , 1 ) 01 , 0 ( ) 5 ln( ) 01 , 5 ln( 2 ) 02 , 5 ln( ) 5 ( f 2 + - = + - = ' ' (5) 0,0398405 f '' =- 73 1 2 3 4 -2 2 4 6 8 AD İ D İFERANS İYEL DENKLEMLER 1 x 5 , 8 x 10 x 4 x 5 , 0 y 2 3 4 + + - + - = Şeklinde verilen denklem a şa ğıdaki diferansiyel denklemin gösterdi ği e ğrilerden sadece birisidir. 5 , 8 x 20 x 12 x 2 dx dy 2 3 + - + - = ? + - + - = dx ] 5 , 8 x 20 x 12 x 2 [ y 2 3 integralinin sonucu a şa ğıda gibi bir e ğri ailesini gösterir. C x 5 , 8 x 10 x 4 x 5 , 0 y 2 3 4 + + - + - = y c = 3 c = 2 c = 1 c= 0 c=-1 c = -2 x Bu durumda tek bir e ğrinin belirli olması için C integral sabitinin hesaplanabilece ği ko şulların verilmesi gerekir. Diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünde geli ştirilen yöntemlerden bazıları a şa ğıda verilmi ştir. 8.1 EULER METODU y ) y , x ( f dx dy = y i+1 h ) y , x ( f y y i i 1 i + = + hata yeni de ğer = eski de ğer + e ğim * adım y i h x x i x i+1 74 Örnek 8.1.1 x y dx dy - = y (4) = 0,75 y (7) = ? Analitik çözüm: ? ? - = x C x dx y dy ? ) c ln x (ln y ln - - = ? x c ln y ln = ? x c y = y (4) = 0,75 ko şulunu kullanırsak 4 c 75 , 0 = ? c = 3 ve böylece x 3 y = bulunur. Buradan y (7) = 7 3 = 0,4285714 Sayısal çözüm: h ) y , x ( f y y i i 1 i + = + i i i i x y ) y , x ( f - = ve h = 1 alınırsa y (5) = y (4) + (- y (4) / 4 ) *1 = 0,75 –(0,75/4) ? y (5) = 0,5625 y (6) = y (5) + (- y (5) / 5 ) *1 = 0,5625 –(0,5625/5) ? y (6) = 0,45 y (7) = y (6) + (- y (6) /64 ) *1 = 0,45 –(0,45/6) ? y (7) = 0,375 % 5 , 12 % 100 42857 , 0 375 , 0 42857 , 0 t = - = ? 8.1.1 İyile ştirilmi ş Euler metodu 2 h ) y , x ( f y y i i i 2 / 1 i + = + 11 / 2 1 / 2 (,) iiii y yfxyh ++ + =+ Örnek 8.1.1.1 Yukarıdaki örnek iyile ştirilmi ş Euler yöntemi ile çözülürse Yine aynı şekilde h = 1 alınırsa y (4,5) = y (4) + (- y (4) / 4 ) *0,5 = 0,75 –(0,75/4) * 0,5 ? y (4,5) = 0,65625 y (5) = y (4) + (- y (4,5) / 4,5 ) *1 = 0,75 –(0,65625/4,5)*1 ? y (5) = 0,6041666667 y (5,5) = y (5) + (- y (5) / 5 ) *0,5 = 0,6041667 –(0,6041667/5) * 0,5 ? y (5,5) = 0,54375 y (6) = y (5) + (- y (5,5) / 5,5 ) *1 = 0,6041667 –(0,54375/5,5) *1 ? y (6) = 0,505303 75 y (6,5) = y (6) + (- y (6) / 6 ) *0,5 = 0,505303 –(0,505303/6) * 0,5 ? y (6,5) = 0,4631944 y (7) = y (6) + (- y (6,5) / 6,5 ) *1 = 0,505303 –(0,4631944/6,5) *1 ? y (7) = 0,434042 % 100 4285714 , 0 434142 , 0 4285714 , 0 t - = ? % 28 , 1 t = ? 8.2 HEUN METODU Bu metotta Euler metodundaki i inci noktadaki türev yerine i ve (i+1 ) inci noktadaki türevlerin aritmetik ortalaması alınır. 2 ) y , x ( f ) y , x ( f 2 y y y 0 1 i 1 i i i 1 i i + + + + = ' + ' = ' h ) y , x ( f y y i i i 0 1 i + = + h 2 ) y , x ( f ) y , x ( f y y 0 1 i 1 i i i i 1 i + + + + + = Örnek 8.2.1 x y dx dy - = y (4) = 0,75 y (7) = ? ( analitik çözümde y (7) = 7 3 = 0,4285714 ) h = 1 alınırsa 5625 , 0 1 * ) 4 y ( y y 4 4 0 5 = - + = 6 , 0 y h * 2 ) 5 y ( ) 4 y ( y y 5 0 5 4 4 5 = ? - + - + = 48 , 0 1 * ) 5 y ( y y 5 5 0 6 = - + = 5 , 0 y h * 2 ) 6 y ( ) 5 y ( y y 6 0 6 5 5 6 = ? - + - + = 4166667 , 0 1 * ) 6 y ( y y 6 6 0 7 = - + = 4285714286 , 0 y h * 2 ) 7 y ( ) 6 y ( y y 7 0 7 6 6 7 = ? - + - + = % 0 t = ? 76 8.3 RUNGE-KUTTA METODU Runge-Kutta metodu, Taylor serileri ile yakla şımdaki hassasiyeti, yüksek mertebeden türevlere ihtiyaç duymadan yakalayabildi ğinden, yüksek hassasiyetin arandı ğı durumlarda tercih edilir. Runge-Kutta metodu a şa ğıdaki formda yazılabilir. 1 (,,) iii i y yx y h h ? + =+ Burada (,,) ii x yh ? fonksiyonuna artım fonksiyonu denir.Bu söz konusu aralıktaki e ğimi gösterir. Artım fonksiyonu genel formda a şa ğıdaki gibi yazılabilir. 11 22 nn ak ak ak ?=++ · · · + Burada a lar sabit k lar ise a şa ğıdaki gibidir. 1 (,) ii kfxy = 211 1 1 (,) ii kf xp h yq k h =++ 322 1 1 2 2 2 (, ) ii kf xp h yq k hq k h =+++ . . . 11 , 1 11 , 2 21 , 1 1 (, ) nininn n n n kf xph yqk hqk h qkh ---- - - =+ + + + · · · + Burada p ve q lar sabitlerdir. 8.3.1. İkinci dereceden Runge-Kutta metodu 11 1 2 2 () ii y ya ka kh + =+ + 1 (,) ii kfxy = 211 1 1 (,) ii kf xp h yq k h =++ 1 i y + için i y ve ( , ) ii f xy terimleri ile ikinci mertebeden Taylor serisi yazılırsa 2 1 (,) (,) 2! ii iii i fxy y yfxyh h + ' =+ + Burada ( , ) ii f xy ' zincir kuralı ile belirlenmelidir. (,) (,) (,) ii f xy fxyd y fxy x yd x ?? ' =+ ?? Bu ikinci türev Taylor formülünde yerine yazılırsa 2 1 (,) 2! iii i f fd yh yyf x y h xy d x + ?? ?? =+ + + ?? ?? ?? (2) İki de ği şkenli fonksiyonlarda Taylor serisi (,)( , ) gg gx ry s gxy r s xy ?? ++= +++ · · · ?? Bu formül yukarıdaki iki de ği şkenli fonksiyon içeren 2 k e şitli ği için uygulanırsa 2 2 1 11 1 1 11 1 (,)( , ) ( ) ii i i ff k fx phy qkh fxy ph qkh Oh xy ? ? =++= ++ + ?? Bu 2 k e şitli ği 1 (,) ii kfxy = e şitli ği ile birlikte ilk 1 i y + de yerine yazılırsa 77 22 3 11 2 2 12 1 1 (,) (,) (,) () i i ii ii ii ff y y ahf x y ahf x y aph aqhf x y Oh xy + ? ? =+ + + + + ?? ve terimler bir araya toplanırsa 23 112 2 12 1 1 [(,) (,) ][ (,)] () i i ii ii ii ff y y afxy afxyh ap aqfxy h Oh xy + ? ? =+ + + + + ?? Bu denklem 2 denklemiyle (,) dy f xy dx = oldu ğu göz önüne alınarak kar şıla ştırılırsa 12 1 aa += 21 1 2 ap = 21 1 1 2 aq = bulunur. Burada 3 denklem 4 bilinmeyen oldu ğundan çok sayıda çözüm elde edilebilir. Tek düzeltme katsayılı Heun yöntemi ( 2 1/2 a = ) 2 1/2 a = , 1 1/2 a = , 11 1 1 pq == Bu parametreler yerine konursa 112 11 () 22 ii yykk h + =+ + 1 (,) ii kfxy = 21 (,) ii kf xh yk h =++ Orta nokta metodu ( 2 1 a = ) 2 1 a = , 1 0 a = , 11 1 1 2 pq == 12 ii y yk h + =+ 1 (,) ii kfxy = 21 11 (,) 22 ii kf xh yk h =++ Ralston yöntemi ( 2 2/3 a = ) 2 2 3 a = , 1 1 3 a = , 11 1 3 4 pq == 112 12 () 33 ii y ykk h + =+ + 1 (,) ii kfxy = 21 33 (,) 44 ii kf xh yk h =++ 8.3.2. Üçüncü dereceden Runge-Kutta metodu 11 2 3 1 (4) 6 ii y ykkk h + =+ ++ 1 (,) ii kfxy = 21 11 (,) 22 ii kf xh yk h =++ 31 2 (, ) ii kf xh yk hk h =+-+ 78 8.3.3. Dördüncü dereceden Runge-Kutta metodu 11 2 3 4 1 (22) 6 ii yykkkk h + =+ +++ 1 (,) ii kfxy = 21 11 (,) 22 ii kf xh yk h =++ 32 11 (,) 22 ii kf xh yk h =++ 43 (,) ii kf xh yk h =++ Örnek 8.3.3.1 0.8 40 . 5 x dy ey dx =- , 0 2 y = , 0 x = dan 0.5 x = , 0.25 h = 0.8 (,) 4 0 . 5 x f xy e y =- 0.8*0.25 1 (0.25, ) 4 0.5 ii kf ye y ==- 0.8 0 0.25 0 (0, 2)0.25 2 (4 0.5 2)0.25 2.75 yyf e * =+ =+ -* = 0.8*0.25 1 (0.25, 2.75) 4 0.5 2.75 3.510611 kf e ==- * = 2 0.25 1 (0.25 , 2.75 3.510611 0.25) 22 kf =++* 0.8 0.375 2 (0.375,3.188826) 4 0.5 3.188826 3.80502 kf e * == - * = 3 0.25 1 (0.25 ,2.75 3.80502 0.25) 22 kf =++* 0.8 0.375 3 (0.375,3.22563) 4 0.5 3.22563 3.78662 kf e * == - * = 4 (0.25 0.25, 2.75 3.78662 0.25) kf =++* 0.8 0.5 4 (0.5,3.69665) 4 0.5 3.69665 4.11897 kf e * == - *= 0.25 1 2 (3.510611 2 3.80502 2 3.78662 4.11897)0.25 2.95054 6 y =+ +* +* + = 0.8 0.25 0.5 0.25 (0.25,2.95054)0.25 2.95054 (4 0.5 2.95054)0.25 3.8031 yyf e * =+ = + -* = 0.8*0.5 1 (0.5,3.8031) 4 0.5 3.8031 4.06575 kf e ==- * = 2 0.25 1 (0.5 ,3.8031 4.06575*0.25) 22 kf =+ + 0.8 0.625 2 (0.625,4.31132) 4 0.5 4.31132 4.43922 kf e * == - * = 3 11 (0.5 0.25,3.8031 4.43922 0.25) 22 kf =+ + * 0.8 0.625 3 (0.625,4.358) 4 0.5 4.358 4.4159 kf e * ==- * = 4 (0.5 0.25,3.8031 4.4159 0.25) kf =+ +* 0.8 0.75 4 (0.75,4.9071) 4 0.5 4.9071 4.83492 kf e * ==- * = 0.5 1 2.95054 (4.06575 2 4.43922 2 4.4159 4.83492)0.25 4.0593 6 y = + +* +* + = 79 8.4 D İFERANS İYEL DENKLEM S İSTEM İ METODU n inci mertebeden bir diferansiyel denklem n tane birinci mertebeden diferansiyel denklemden olu şan bir sisteme dönü ştürülebilir. ) y , , y , y , x ( f dx dy n 2 1 1 1 L = ) y , , y , y , x ( f dx dy n 2 1 2 2 L = · · ) y , , y , y , x ( f dx dy n 2 1 n n L = Bu sistemin çözümü için x in bir noktasındaki n 2 1 y , , y , y L de ğerlerinin (ko şullarının ) verilmesi gerekir. Örnek 8.4.1 s a ? - = 0 s dt s d 2 2 = + ? t = 0 da 0 s s = 0 v v = Analitik çözüm : t BSin t ACos s ? ? + = t Cos B t Sin A v ? ? ? ? + - = 0 s A = ? 0 v B = t Sin v t Cos s s 0 0 ? ? ? + = Örnek 8.4.2 0 s 36 ? dt s d 2 2 2 = + t = 0 da 8 s 0 = 12 v 0 = t = 1 de ? s 1 = ? v 1 = Analitik çözüm : 38735913 , 18 s t 6 ? Sin ? 72 t 6 ? Cos 8 s 1 = ? + = 297909743 , 8 v t 6 ? Cos 12 t 6 ? Sin 6 ? 8 v 1 = ? + - = Euler yöntemi ile nümerik çözüm: Bu yöntemde 0 s 36 ? dt s d 2 2 2 = + ikinci mertebeden diferansiyel denklemi a şa ğıdaki gibi iki tane diferansiyel denklemden olu şan bir diferansiyel denklem sistemine dönü ştürülür. 80 v dt ds = , s 36 ? dt dv 2 - = h ) dt ds ( s s i i 1 i + = + , h ) dt dv ( v v i i 1 i + = + h v s s i i 1 i + = + , h s 36 ? v v i 2 i 1 i - = + h = 0 ,1 alınırsa a şa ğıdaki tablo de ğerleri bulunur. t i s i v 1 i s + 1 i v + 0,18 12 9,2 11,78067546 0,29,2 11,78067546 10,37806755 11,52845223 0,3 10,37806755 11,52845223 11,53091277 11,24393162 0,4 11,53091277 11,24393162 12,65530593 10,9278051 0,5 12,65530593 10,9278051 13,74808644 10,5808527 0,6 13,74808644 10,5808527 14,80617171 10,20394111 0,7 14,80617171 10,20394111 15,82656582 9,798021503 0,8 15,82656582 9,798021503 16,80636797 9,364127215 0,9 16,80636797 9,364127215 17,74278069 8,903371094 1 17,74278069 8,903371094 18,6331178 8,416942688 81 1 y 2 y 1,0 y 2,0 y Ba şlangıç ko şulları y 0 y L y y t 0 0 L x Sınır ko şulları Sınır ko şulları Dif. denk. 1 112 (, , ) dy f tyy dt = , 2 212 (, , ) dy f tyy dt = Ba şlangıç ko şulları: 0 t = da 11 , 0 y y = , 22 , 0 y y = Dif. denk : 2 2 (,) dy f xy dx = Sınır ko şulları: 0 x = da 0 y y = x L = de L y y = (a) (b) 8.5 SINIR DE ĞER PROBLEMLER İ 82 8.5.1 Atı ş Yöntemi Bu yöntemde sınır de ğer problemi ba şlangıç de ğer problemine dönü ştürülür. Bu yöntem örnek üzerinde gösterilecektir. Örnek 8.5.1.1 Uzunlu ğu boyunca izole edilmemi ş ve sürekli rejimdeki ince ve uzun bir çubuktaki sıcaklık da ğılımı a şa ğıdaki denklemle verilir. 2 2 () 0 a dT hT T dx ' +-= Burada h ' ısı transferi katsayısıdır( 2 cm - ) . Bu çevreye giden ısı oranını karakterize eder. a T etraftaki havanın sıcaklı ğı ( 0 C ) 1 (0) TT = 2 () TL T = Eğer, çubu ğun boyu 10 Lm = , 0.01 h ' = , 20 a T = , (0) 40 T = , (10) 200 T = Analitik çözüm: 0.1 0.1 ( ) 73.4523 53.4523 20 xx Tx e e - =-+ Sayısal Çözüm: dT z dx = () a dz hT T dx ' =- Sayısal çözüme ba şlayabilmek için (0) z ’ın bilinmesi gerekir. Atı ş metodu için (0) 10 z = diyelim. 1iii TTz h + =+ 1 () iiia zzh TT h + ' =+ - 2 hm = alalım 1 2 iii TTz + =+ 1 0.02( 20) ii i zz T + =+ - 2 40 2 10 60 T=+*= 2 10 0.02(40 20) 10.4 z=+ -= 4 60 2 10.4 80.8 T=+*= 4 10.4 0.02(60 20) 11.2 z=+ -= 6 80.8 2 11.2 103.2 T=+ *= 6 11.2 0.02(80.8 20) 12.416 z=+ -= 8 103.2 2 12.416 128.032 T=+ *= 8 12.416 0.02(103.2 20) 14.08 z=+ -= 10 128.032 2 14.08 156.192 T=+ *= 83 (0) 14 z = alalım 2 40 2 14 68 T=+*= 2 14 0.02(40 20) 14.4 z=+ -= 4 68 2 14.4 96.8 T=+*= 4 14.4 0.02(68 20) 15.36 z=+ -= 6 96.8 2 15.36 127.52 T=+ *= 6 15.36 0.02(96.8 20) 16.896 z=+ -= 8 127.52 2 16.896 161.312 T=+ *= 8 16.896 0.02(127.52 20) 19.0464 z=+ -= 10 161.312 2 19.0464 199.4048 T=+ *= 10 19.0464 0.02(161.312 20) 21.87264 z=+ - = 8.5.2 Sonlu Farklar Yöntemi Bu yöntemde Türevler yerine sonlu fark ifadeleri konur. Bu yöntem a şa ğıdaki örnek üzerinde açıklanabilir. 8.5.2.1Örnek Örnek 8.4.1.1 deki ince uzun çubuktaki ısı yayılması problemi ele alınırsa 2 2 () 0 a dT hT T dx ' +-= Burada ikinci türev ifadesi yerine 2 11 22 2 iii dT T T T dx x +- -+ = ? sonlu farklar ifadesi konursa 11 2 2 () 0 iii a TTT hT T x +- -+ ' +-= ? Gerekli i şlemler yapılırsa 22 11 (2 ) ii ia Th x T Th x T -+ '' -++?-=? e şitli ği elde edilir. 0 x = 0 (0) 40 TC = 10 x m = 0 (10 ) 20 0 TC = 2 x m = 4 x m = 6 x m = 8 x m = 84 22 01 2 (2 ) a Th x T T h x T '' -++? -=? 22 12 3 (2 ) a Th x T T h x T '' -++? -=? 22 23 4 (2 ) a Th x T T h x T '' -++? -=? 22 34 5 (2 ) a Th x T T h x T '' -++? -=? 22 0.01* 2 0.04 hx '?= = 12 2.04 0.04 20 40 40,8 TT -= *+= 12 3 2.04 0.8 TT T -+ -= 23 4 2.04 0.8 TT T -+ -= 34 2.04 200.8 TT -+ = Bu denklemleri a şa ğıdaki gibi düzenliyebiliriz. 1 2 3 4 2.04 1 0 0 40.8 1 2.04 1 0 0.8 0 1 2.04 1 0.8 0 0 1 2.04 200.8 T T T T - ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? -- ??? ? ?? = ??? ? ?? -- ??? ? ?? ??? ? - ?? ? ? ?? Bu denklem sisteminin çözümünden 1 2 3 4 65.9698 93.7785 124.5382 159.4795 T T T T ???? ???? ??? ? = ??? ? ??? ? ??? ? ?? ?? elde edilir. 85 9 KISM İ TÜREVL İ DENKLEMLER Verilen bir u fonksiyonunun keyfi bir (x,y) noktasında x ve y ye göre kısmi türevleri a şa ğıdaki gibi tanımlanabilir. 0 (, )( , ) lim x uu xx y u x y x x ?› ?+ ? - = ?? 0 (, ) (,) lim y u uxy y uxy yy ?› ?+ ? - = ?? E ğer bir denklem iki veya daha fazla ba ğımsız de ği şkene göre kısmi türevleri içeriyorsa, bu denkleme kısmi türevli denklem denir. A şa ğıdaki denklemler kısmi türevli denklemlerdir. 22 22 21 uu xy u xy ?? ++ = ?? 32 22 85 uu x uy xy y ?? ++= ?? ? 3 23 22 6 uu x xx y ?? ?? += ?? ?? ? ?? 2 2 uu xux xy ?? += ?? Kısmi türevli denklemin derecesi denklemdeki en yüksek mertebeden türeve e şittir. Yukarıdaki birinci ve sonuncu denklem ikinci dereceden diğer ikisi ise üçüncü derecedendir. Kısmi türevli denklem bilinmiyen fonksiyon u ve bunun türevlerine göre lineer ise bu denkleme kısmi türevli lineer denklem denir. Buna göre yukarıdaki ilk iki denklem lineer son iki denklem ise lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemdir. Mühendislikte ikinci dereceden kısmi türevli lineer diferansiyel denklemlerin geni ş bir uygulama alanı vardır. İki ba ğımsız de ği şkene göre bu denklemlerin genel formu a şağıdaki gibi yazılabilir. 222 22 0 uuu ABCD xx yy ??? +++ = ?? ?? Burada A,B,C x ve y nin fonksiyonlarıdır. D ise x, y, u, u x ? ? ve u y ? ? nin fonksiyonudur. Bu denklemler A,B,C nin de ğerlerine ba ğlı olarak a şağıdaki gibi sınıflandırılır. 2 4 B AC - Kategori Örnek 0 < Eliptik 22 22 0 TT xy ?? += ?? Laplace denklemi ( iki boyutlu kararlı durum) 0 = Parabolik 2 2 TT k tx ?? ' = ?? Isı iletimi denklemi(tek boyutta zaman de ği şkenli) 0 > Hiperbolik 22 222 1 y y x ct ?? = ?? Dalga denklemi(tek boyutta zaman de ği şkenli) 86 () qx () qx x + ? y x z ? y ? x ? () qy () qy y +? 9.2. Sonlu Farklar : Eliptik denklemler 9.2.1. Laplace denklemi Kalınlı ğı z ? olan ince bir plaka ve içinde ısı dengesinin gösterildi ği bir eleman Kenarları haricinde izole edilen bir plakada ısı transferi x ve y do ğrultularında olabilir. Kararlı rejimde bir elemanda t ? zamanında olabilecek ısı akı şı a şağıdaki denklemle ifade edilebilir. () () ( ) ( ) qxyztqyxzt qx xyztqy yxzt ? ? ? + ? ? ? = +? ? ? ? + +? ? ? ? Burada ( ) qx ve ( ) qy, x ve y do ğrultusundaki ısı akısını 2 /( . ) cal cm s ? ? ? ? göstermektedir. E şitlik zt ?? ye bölünüp terimler bir tarafta toplanırsa [() ( ) ] [() ( ) ] 0 qx qx x y qy qy y x -+ ?? +-+ ?? = Bu denklemin birinci terimi x x ? ? , ikinci terimi y y ? ? ile çarpılırsa [() ( ) ] [() ( ) ] 0 qx qx x qy qy y xy xy xy -+ ? -+ ? ??+ ?? = ?? Denklemi elde edilir. Bu denklem x y ?? ile bölünüp limiti alınırsa a şa ğıdaki denklem elde edilir. 0 qq xy ?? --= ?? Bu ısı enerjisinin korunumu denklemidir. Plakanın kenarları boyunca genellikle ısı akısı yerine sıcaklık ko şulları belli oldu ğundan bu denklemin sıcaklık cinsinden yazılması gerekir. Isı akısı sıcaklıklara Fourier’ in ısı iletimi yasası ile ba ğlanabilir. i T qk C i ? ? =- ? 87 Buırada i q = i do ğrultusundaki ısı akı şıdır.[cal/(cm 2 .s)] , k = Isı yayınım katsayısı (cm 2 /s) , ? = Malzemenin yo ğunlu ğu (g/cm 3 ) C = Malzemenin ısı kapasitesi (özgül ısısı)[cal/(g . 0 C)] T = Sıcaklık ( 0 C) Fourier’in ısı iletimi ba ğıntısı ısı enerjisinin korunumu denkleminde yerine yazılırsa a şa ğıdaki Laplace denklemi elde edilir. 22 22 0 TT xy ?? += ?? E ğer Plaka içinde ısı kayna ğı veya kuyusu varsa sıcaklıklar arasındaki ba ğıntı 22 22 (,) TT f xy xy ?? += ?? Bu denklem Poisson denklemi olarak bilinir. 9.2.2. Çözüm tekni ği Sayısal çözümde plaka ayrık noktaların kö şelere yerle şti ği bir ızgara şeklinde dü şünülür ve kısmi türevli denklem yerine fark denklemleri yazılıp her bir noktaya uygulanarak lineer cebirsel denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümünden ayrık noktalardaki sıcaklıklar bulunur. , ij 1, ij + 1, ij - ,1 ij + ,1 ij - 0,0 1, 0 m + 0, 1 n + 1, 1 mn + + x y 88 Merkezi farklar uygulanırsa Laplace denklemi a şa ğıdaki gibi fark denklemine dönü ştürülür. 2 1, , 1, 22 2 ij i j ij TTT T x x +- -+ ? = ?? , 2 ,1 , ,1 22 2 ij ij ij TTT T yy + - - + ? = ?? 1, , 1, , 1 , , 1 22 22 0 i j ij i j ij ij ij TTTTTT xy +-+- -+ -+ += ?? E ğer ızgara birimleri kare şeklinde olursa x y ? =? olaca ğından sonlu farklar denklemi 1, 1, , 1 , 1 , 40 i j i j ij ij ij TTTTT +-+- +++-= şeklinde yazılabilir.Bu denklem Laplace fark denklemi olarak bilinir. Çözüme ula şmak için plakanın bütün iç noktalarında bu denklemi uygulamak gerekir. Örnek 9.2.2.1: 1, 1, , 1 , 1 , 40 i j i j ij ij ij TTTTT +-+- +++-= Sonlu farklar denklemi (1,1) noduna uygulanırsa 2,1 0,1 1,2 1,0 1,1 40 TTTTT +++-= elde edilir . ve 0 0,1 75 TC = , 0 1,0 0 TC = yerine yazılırsa 2,1 1,2 1,1 47 5 TTT +-= - ? 1,1 1, 2 2,1 47 5 TTT --= denklemi bulunur. Sonlu farklar denklemi (2,1) noduna uygulanırsa 3,1 1,1 2,2 2,0 2,1 40 TTTTT +++-= elde edilir. 2,0 0 T = yerine yazılırsa 1,1 2,1 2, 2 3,1 40 TTTT - +--= denklemi bulunur. Sonlu farklar denklemi (3,1) noduna uygulanırsa 4,1 2,1 3,2 3,0 3,1 40 TTTTT + ++-= elde edilir. 0 4,1 50 TC = , 3,0 0 T = yerine yazılırsa 2,1 3,1 3,2 45 0 TTT -+-= elde edilir. Sonlu farklar denklemi (1,2) noduna uygulanırsa 2,2 0,2 1,3 1,1 1,2 40 TTTTT + ++-= elde edilir. 0 0,2 75 TC = yerine yazılırsa 1,1 1,2 1,3 2,2 47 5 TTTT -+ --= elde edilir. 100 0 C 0 0 C 50 0 C 75 0 C (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) 89 Sonlu farklar denklemi (2,2) noduna uygulanırsa 1 , 22 , 12 , 22 , 33 , 2 40 TTTTT + -++= elde edilir. Sonlu farklar denklemi (3,2) noduna uygulanırsa 4,2 2,2 3,3 3,1 3,2 40 TTTTT + ++-= 0 4,2 50 TC = yerine yazılırsa 2,2 3,1 3,2 3,3 45 0 TTTT --+-= elde edilir. Sonlu farklar denklemi (1,3) noduna uygulanırsa 2,3 0,3 1, 4 1, 2 1,3 40 TTTTT + ++-= 0 0,3 75 TC = ve 0 1, 4 100 TC = yerine yazılırsa 1, 2 1,3 2,3 4 175 TTT -+-= elde edilir. Sonlu farklar denklemi (2,3) noduna uygulanırsa 3,3 1,3 2,4 2,2 2,3 40 TTTTT + ++-= 0 2,4 100 TC = yerine yazılırsa 2,2 1,3 2,3 3,3 4 100 TTTT --+-= elde edilir. Son olaral sonlu farklar denklemi (3,3) noduna uygulanırsa 4 , 32 , 33 , 43 , 23 , 3 40 TTTTT + ++-= elde edilir. 0 4,3 50 TC = ve 0 3,4 100 TC = yerine yazılırsa 3,2 2,3 3,3 4 150 TTT --+= elde edilir. Bu denklemler toplu olarak a şa ğıdaki gibi yazılabilir. 1,1 2,1 1, 2 1,1 2,1 3,1 2, 2 2,1 3,1 3,2 1,1 1, 2 2, 2 1,3 2,1 1,2 2,2 3,2 2,3 3,1 2,2 3,2 3,3 1, 2 1,3 2,3 2,2 1,3 2,3 3,3 3,2 2,3 3,3 47 5 40 45 0 47 5 40 45 0 4 175 4 100 4 150 TTT TTTT TTT TTTT TTTTT TTTT TTT TTTT TTT --= -+ --= -+-= -+ --= +-++= --+ -= -+-= --+-= --+= 1,1 2,1 3,1 1, 2 2,2 3,2 1,3 2,3 3,3 410100000 7 5 141010000 0 014001000 100410100 010141010 001014001 000100410 000010141 000001014 T T T T T T T T T -- ?? ?? ?? ?? --- ?? ?? ?? ?? -- ?? ?? -- - ?? ?? ?? ?? = - ?? ?? ?? -- - ?? ?? ?? -- ?? ?? ?? --- ?? ?? ?? ?? -- ?? ?? 50 75 0 50 175 100 150 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? Mathematica programı ile bu denklem sistemi a şa ğıdaki gibi kolaylıkla çözülebilir. A={{4,-1,0,-1,0,0,0,0,0},{-1,4,-1,0,-1,0,0,0,0},{0,-1,4,0,0,- 1,0,0,0},{-1,0,0,4,-1,0,-1,0,0},{0,1,0,1,-4,1,0,1,0},{0,0,-1,0,- 1,4,0,0,-1},{0,0,0,-1,0,0,4,-1,0},{0,0,0,0,-1,0,-1,4,- 1},{0,0,0,0,0,-1,0,-1,4}}; b={75,0,50,75,0,50,175,100,150}; x=LinearSolve[A,b]; 90 Print["T=",MatrixForm[x]]; Print["T=",MatrixForm[N[x]]]; T = i k j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j 300 7 3725 112 475 14 7075 112 225 4 5875 112 550 7 8525 112 975 14 y { z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z T = i k j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j 42.8571 33.2589 33.9286 63.1696 56.25 52.4554 78.5714 76.1161 69.6429 y { z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 91 EK A TAYLOR SER İS İ EK A.1 TAYLOR FORMÜLÜ () f x : Aradı ğımız fonksiyon () Px : Yakla şık fonksiyon 2345 012 3 4 5 () n n Px C Cx Cx Cx Cx Cx Cx =+++++++ L 0 x = da bu iki fonksiyonun de ğerleri ve türevleri birbirine e şitlenerek 1 n + ko şul olu şturulur. (0) (0) Pf = , (0) (0) Pf '' = , (0) (0) Pf '' '' = , . . . , () () (0) (0) nn Pf = olu şturulan bu ko şullar yardımı ile i C , (0 ,,) in = L katsayıları bulunur. 0 x = da 0 (0) PC = › 0 (0) Cf = 234 1 12345 () 2 3 4 5 n n Px C Cx Cx Cx Cx n Cx - ' =+ + + + ++ L 0 x = da 1 (0) PC ' = › 1 (0) Cf ' = 23 2 2345 ( ) 2 2*3 3*4 4*5 ( 1 ) n n Px C Cx Cx Cx n n Cx - '' =+ + + ++- L 0 x = da 2 (0) 2 PC '' = › 2 1 (0) 2 Cf '' = 23 345 ( ) 2*3 2*3*4 3*4*5 ( 2)( 1 ) n n Px C Cx Cx n n n Cx - '''=+ + + + -- L 0 x = da 3 (0) 2*3 PC ''' = › 3 1 (0) 2*3 Cf ' '' = 4 45 () 2 * 3 * 4 2 * 3 * 4 * 5 ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ıv n n Px C Cx n n nn Cx - =++ + - - - L 0 x = da 4 (0) 2*3* 4 ıv PC = › 4 1 (0) 2*3*4 ıv Cf = Bu i şlemler devam edilirse () 1 (0) ! k k Cf k = bulunur. Bu katsayılar () Px polinomunda yerine konursa () 0 (0) () ! k n k k f Px x k = = ? Taylor polinomu elde edilir. Sıfırdan farklı noktalarda da benzer formüller bulunabilir.Bunun için için Polinomu 0 () x x - ın kuvvetlerine göre yazılır. 2345 01020304050 0 ( ) ()()()()() () n n P xCC xxC xxC xxC xxC xx C xx =+-+-+-+-+-++- L Bu polinomun x de ği şkenine göre türevleri alınıp gerekli düzenlemeler yapılırsa a şa ğıdaki gibi bir ( ) f x fonksiyonunun 0 x civarında Taylor polinomuna açılım formülü elde edilir. () 0 0 0 () () ( ) ! k n k k fx Px x x k = =- ? () f x fonksiyonu ile ( ) Px fonksiyonu arasındaki farka n inci kalan denir. () () () n Rxf xP x =- › () () () n fxP xRx =+ () 0 0 0 () () ( ) () ! k n k n k fx fxx x R x k = =- + ? Bu e şitli ğe kalanlı Taylor formülü denir. E ğer 0 0 x = ise ço ğu kere bu formüle Maclaurin formülü denir. 92 E ğim 0 0 () () () fxfx xx - - 0 0 () () () fxfx f xx ? - ' = - Kalan formülünü yazmak için ortalama de ğer teoremi uygulanır. ( ) f x () f x E ğim ( ) f ? ' 0 () f x ' x 0 x ? x Lineer yakla şım için 00 () () Px fx = ve fark 00 () () () () fxPxfxfx - =- olur. 0 0 () () () fxfx f xx ? - ' = - › 00 () () () ( ) fxfxfxx ? ' -=- Analizin temel teoreminden 0 0 () () () x x fxfx ft d t ' -= ? e şitli ği yazılabilir. 0 00 () () () x x fxPx ft d t ' -= ? bu e şitli ğe entegral formundaki kalan denir. Yukarıdaki integrale kısmi integrasyon i şlemi uygulanırsa () uft ' = , dv dt = burada vtx =- olmalıdır. 0 0 0 00 0 () ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) xx x x xx f x fx fttx fttxd t fxx x ftxtd t '' ''' ' -=---= -- +- ?? 0 00 0 ( ) [ ( ) ( )( )] ( )( ) x x fxf xfxxxftxt d t '' ' -+-=- ? Bu e şitli ğin sol tarafı 1 () () fxPx - farkına e şittir. Aynı şekilde kısmı integrasyon uygulanırsa () uft '' = , ( ) dv x t dt =- burada 2 () 2 tx v - = olur. 0 0 22 00 0 () () () [ ( ) ( ) ( ) ] () () 22 x x x x xt xt fxf xfxxxft ft d t -- ' '' ''' -+-= - + ? 0 22 00 0 () () ()[() () ( ) () ] () 22 x x xt xt fxf xfxxxft ft d t -- ' '' ''' -+- + = ? aynı şekilde devam edilirse integral formundaki kala formülü elde edilir. 0 (1 ) () () () ! x n n n x xt Rxft d t n + - = ? Entegral formundaki kalan, a şa ğıdaki gibi, Lagrange formunda yazılabilir. 0 x x > kabul edilirse i şlemler basitle şir. (1 ) () n f t + nin 0 x tx ?? aralı ğında minimum değeri m , maksimum de ğeri M ile gösterilsin. 93 (1 ) () ()() () !!! nnn n xtx tx t mf tM nnn + --- ?? 000 (1 ) () () () () !!! xxx nnn n xxx xt xt xt md tftd tMd t nnn + --- ?? ??? sınır de ğerlere ait entegraller kolayca alınabilir. 11 () () () () ( 1)! ( 1)! nn n xtx t mf x P x M nn ++ -- ?-? ++ Bütün terimler 1 0 (1 ) ! () n n xx + + - ile çarpılırsa 1 0 (1 ) ! [() () ] () n n n mf x P x M xx + + ?- ? - elde edilir. (1 ) () n f t + m ile M arasında bir de ğer oldu ğuna göre, ? de 0 x ile x arasında öyle bir de ğer olur ki (1 ) 1 0 (1 ) ! () [() () ] () n n n n f fx Px xx ? + + + =- - yazılabilir. Böylece Lagrange formundaki kalan elde edilir. 1 1 0 () () ( ) (1 ) ! n n n f Rx xx n ? + + =- + E ğer fonksiyonun [a,b] aralı ğındaki ( 1) n + inci türevi sınırlı ise yani atb ?? nin her yerinde (1 ) () n f tM + ? ise 1 0 () (1 ) ! n M Rx x x n + =- + elde edilir. TAYLOR SER İS İN İ KULLANARAK ELDE ED İLEN ÖZEL AÇILIMLAR 23 1 2! 3! ! n x n xx x ex R n =++ + + + + L 357 1 2 1 (1 ) sin 3! 5! 7! (2 1)! nn n xxx x xxR n -- - =- + - + + - L 246 1 2 2 (1 ) cos 1 2! 4! 6! (2 2)! nn n xxx x x R n -- - =- + - + + - L 234 1 (1 ) ln(1 ) 234 nn n xxx x xxR n - - +=-+-++ + L 357 1 2 1 1 (1 ) tan 357 21 nn n xxx x xxR n -- - - =- + - ++ + - L İK İ DE ĞİŞKENL İ FONKS İYONLAR İÇ İN TAYLOR SER İS İ () 00 00 00 (,) 1 (,) ( )( ) !! kl kl kl kl fxy f xy x x y y kl xy + ?? == ? =- - ?? ?? 2 00 00 0 00 0 00 0 2 00 0 0 00 0 1 (,) (,) (,) ( ) (,) ( ) [(,) ( ) 2! 2(,) ( ) ( ) (,) ( ) ] xy xy yy fxy fxy fxyxx fxyyy fxyxx fxyxxyyfxyyy =+- +- + -+ --+ -+ L