Sayısal Yöntemler Sayısal Yöntemler Ödevi YTÜMAKiNE * A305teyim.com İstenenler: İstenenler: İstenenler: İstenenler: a) Üç sıcaklık değeri için termodinamik özellikler hesaplanacak;istenen her özellik için ileri,geri ve değiştirilmiş merkezi fark tabloları hazırlanacaktır.Sonuçlar için yorumlarınızı belirtiniz. b) Aynı sıcaklık değerleri için Lagrange interpolasyon yöntemini kullanarak çözünüz.Bulduğunuz sonuçları Gregory Newton Dnterpol asyon förmülleri ile çözdüğünüz sonuçlarla karşılaştırınız. c) Mathematica ile verilen sıcaklık değerlerini çözünüz. Çözüm: Çözüm: Çözüm: Çözüm: a) i ? için Gregory-Newton yöntemi ile çözüm: i i T i ? i ? ? i ? 2 ? i ? 3 ? i ? 4 ? 1 400 1.3257 -0.1475 0.0287 -6.8×10 -3 1.9×10 -3 2 450 1.1782 -0.1188 0.0219 -4.9×10 -3 3 500 1.0594 -0.0969 0.017 4 550 0.9625 -0.0799 5 600 0.8826 i i T i ? i ? ? i ? 2 ? i ? 3 ? i ? 4 ? 1 400 1.3257 2 450 1.1782 -0.1475 3 500 1.0594 -0.1188 0.0287 4 550 0.9625 -0.0969 0.0219 -6.8×10 -3 5 600 0.8826 -0.0799 0.017 -4.9×10 -3 1.9×10 -3 i i T i ? i ?? i ? ? 2 i ? ? 3 i ? ? 4 1 400 1.3257 425 1.25195 -0.1475 2 450 1.1782 -0.13315 0.0287 475 1.1188 -0.1188 0.0253 -6.8×10 -3 3 500 1.0594 -0.10785 0.0219 -0.00585 1.9×10 -3 525 1.01095 -0.0969 0.01945 -4.9×10 -3 4 550 0.9625 -0.0884 0.017 575 0.92255 -0.0799 5 600 0.8826 1) T(410 0 c)=? En fazla terim ileri fark tablosunda mevcut olduğu için ileri fark interpolasyon formülü kullanacağız. c x baz 0 400 = ; c x 0 int 410 = ; 50 = h ; 1475 . 0 ; 3257 . 1 0 0 - = ? = ? ? ; 3 0 3 0 2 10 8 . 6 ; 0287 . 0 - × - = ? = ? ? ? ; 3 0 4 10 9 . 1 - × = ? ? 10 400 410 int = - = - = baz öteleme x x x ; 2 . 0 50 10 = = = h x s ? ? - - - + ? - - + ? - + ? + = 0 4 0 3 0 2 0 0 ! 4 ) 3 )( 2 )( 1 ( ! 3 ) 2 )( 1 ( ! 2 ) 1 ( ? ? ? ? ? ? s s s s s s s s s s 29351376 . 1 00006384 . 0 0003264 . 0 002296 . 0 0295 . 0 3257 . 1 ) 0019 . 0 ( ! 4 ) 3 2 . 0 )( 2 2 . 0 )( 1 2 . 0 )( 2 . 0 ( ) 0068 . 0 ( ! 3 ) 2 2 . 0 )( 1 2 . 0 )( 2 . 0 ( ) 0287 . 0 ( ! 2 ) 1 2 . 0 )( 2 . 0 ( ) 1475 . 0 )( 2 . 0 ( ) 3257 . 1 ( ?= =? - - - - = - - - + ? ? - - - + - + - + = ?? 2) T(525 0 c)=? En fazla terim merkezi fark förmülünde mevcuttur.525 0 c bizim tablomuzda mevcuttur.Nitekim baz hattımızı 500 0 c seçiyorum(yorumlarda açıklanmıştır). Stirling Formülü c x baz 0 500 = ; c x 0 int 525 = ; 50 = h ; 0019 . 0 ; 00585 . 0 ; 0219 . 0 ; 10785 . 0 ; 0594 . 1 0 4 0 3 0 2 0 0 = - = = - = = ? ? ? ? ? ? ?? ? 5 . 0 ; 25 500 525 int = = = - = - = h x s x x x baz öteleme ) ( ! 4 ) 1 ( ) ( ! 3 ) 1 ( ) ( ! 2 ) ( ) ( 0 4 2 2 0 3 2 0 2 2 0 0 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? - + - + + + = s s s s s s 008578125 . 1 000365625 . 0 0027375 . 0 053925 . 0 0594 . 1 = + + - = ? 3) T(685 0 c)=? Burada ekstrapolasyon uygulayacağız. 778234641 . 0 5 0063190912 . 0 01386945 . 0 039015 . 0 13583 . 0 8826 . 0 ) 10 9 . 1 ( 24 ) 7 . 4 )( 7 . 3 )( 7 . 2 )( 7 . 1 ( ) 10 9 . 4 ( 6 ) 7 . 3 )( 7 . 2 )( 7 . 1 ( ) 017 . 0 ( 2 ) 7 . 2 )( 7 . 1 ( ) 0799 . 0 )( 7 . 1 ( 8826 . 0 ! 4 ) 3 )( 2 )( 1 ( ! 3 ) 2 )( 1 ( ! 2 ) 1 ( ) ( 7 . 1 50 85 ; 85 600 685 10 9 . 1 ; 10 9 . 4 ; 017 . 0 ; 0799 . 0 ; 8826 . 0 ; 50 ; 685 ; 600 3 3 0 4 0 3 0 2 0 0 0 int 3 0 4 3 0 3 0 2 0 0 0 int 0 = + - + - ?= =? × + × - ? ? + + - + = ? ? ? + + + + ? + + + ? + + ? + = = = = = - = - = × = ? × - = ? = ? - = ? = = = = - - - - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? s s s s s s s s s s h x s c x x x h c x c x baz öteleme baz b) i p C ) ( için Gregory-Newton yöntemi ile çözüm: i i T i p C ) ( i p C ) ( ? i p C ) ( 2 ? i p C ) ( 3 ? i p C ) ( 4 ? 1 400 0.942 0.039 0 -0.009 0.018 2 450 0.981 0.039 -0.009 0.009 3 500 1.020 0.03 0 4 550 1.050 0.03 5 600 1.080 i i T i p C ) ( i p C ) ( ? i p C ) ( 2 ? i p C ) ( 3 ? i p C ) ( 4 ? 1 400 0.942 2 450 0.981 0.039 3 500 1.020 0.039 0 4 550 1.050 0.03 -0.009 -0.009 5 600 1.080 0.03 0 0.009 0.018 i i T i p C ) ( i p C ) ( ? i p C ) ( 2 ? i p C ) ( 3 ? i p C ) ( 4 ? 1 400 0.942 425 0.9615 0.039 2 450 0.981 0.039 0 475 1.0005 0.039 0.0045 -0.009 3 500 1.020 0.0345 -0.009 0 0.018 525 1.035 0.03 -0.0045 0.009 4 550 1.050 0.03 0 575 1.065 0.03 5 600 1.080 1) T(410 0 c)=? En fazla terim ileri fark tablosunda mevcut olduğu için ileri fark interpolasyon formülü kullanacağız. c x baz 0 400 = ; c x 0 int 410 = ; 50 = h ; 039 . 0 ) ( ; 942 . 0 ) ( 0 0 = ? = p p C C ; 009 . 0 ) ( ; 0 ) ( 0 3 0 2 - = ? = ? p p C C ; 018 . 0 ) ( 0 4 = ? p C 10 400 410 int = - = - = baz öteleme x x x ; 2 . 0 50 10 = = = h x s ? ? - - - + ? - - + ? - + ? + = 0 4 0 3 0 2 0 0 ) ( ! 4 ) 3 )( 2 )( 1 ( ) ( ! 3 ) 2 )( 1 ( ) ( ! 2 ) 1 ( ) ) ( ( ) ( p p p p p p C s s s s C s s s C s s C s C C 9487632 . 0 ) 018 . 0 ( ! 4 ) 3 2 . 0 )( 2 2 . 0 )( 1 2 . 0 )( 2 . 0 ( ) 009 . 0 ( ! 3 ) 2 2 . 0 )( 1 2 . 0 )( 2 . 0 ( ) 0 ( ! 2 ) 1 2 . 0 )( 2 . 0 ( ) 039 . 0 )( 2 . 0 ( ) 942 . 0 ( = - - - + ? ? - - - + - + + = ? p C 2) T(525 0 c)=? En fazla terim merkezi fark förmülünde mevcuttur.525 0 c bizim tablomuzda mevcuttur.Nitekim baz hattımızı 500 0 c seçiyorum(yorumlarda açıklanmıştır). Stirling Formülü c x baz 0 500 = ; c x 0 int 525 = ; 50 = h ; 018 . 0 ) ( ; 0 ) ( ; 009 . 0 ) ( ; 0345 . 0 ) ( ; 020 . 1 ) ( 0 4 0 3 0 2 0 0 = = - = = = p p p p p C C C C C ? ? ? ? 5 . 0 ; 25 500 525 int = = = - = - = h x s x x x baz öteleme ) ) ( ( ! 4 ) 1 ( ) ) ( ( ! 3 ) 1 ( ) ) ( ( ! 2 ) ( ) ) ( ( ) ( 0 4 2 2 0 3 2 0 2 2 0 0 p p p p p p C s s C s s C s C s C C ? ? ? ? - + - + + + = 035984375 . 1 000140625 . 0 0 001125 . 0 01725 . 0 020 . 1 = - + - + = p C 3) T(685 0 c)=? Burada ekstrapolasyon uygulayacağız. 216339575 . 1 059865075 . 0 0254745 . 0 051 . 0 080 . 1 ) 018 . 0 ( 24 ) 7 . 4 )( 7 . 3 )( 7 . 2 )( 7 . 1 ( ) 009 . 0 ( 6 ) 7 . 3 )( 7 . 2 )( 7 . 1 ( ) 0 ( 2 ) 7 . 2 )( 7 . 1 ( ) 03 . 0 )( 7 . 1 ( 080 . 1 ) ( ! 4 ) 3 )( 2 )( 1 ( ) ( ! 3 ) 2 )( 1 ( ) ( ! 2 ) 1 ( ) ) ( ( ) ( 7 . 1 50 85 ; 85 600 685 018 . 0 ) ( ; 009 . 0 ) ( ; 0 ) ( ; 03 . 0 ) ( ; 080 . 1 ) ( ; 50 ; 685 ; 600 0 4 0 3 0 2 0 0 0 int 0 4 0 3 0 2 0 0 0 int 0 = + + + ?= =? + + + + = ? ? ? + + + + ? + + + ? + + ? + = = = = = - = - = = ? = ? = ? = ? = = = = p p p p p p p baz öteleme p p p p p baz C C s s s s C s s s C s s C s C C h x s c x x x C C C C C h c x c x i T i ? i p C ) ( 410 1.29351376 0.9487632 525 1.008578125 1.035984375 685 0.778234641 1.216339575 LAGRANGE DNTERPOLASYON YÖNTEMD i ? için Lagrance Dnterpolasyon çözümleri: i i T i ? 0 400 1.3257 1 450 1.1782 2 500 1.0594 3 550 0.9625 = n 4 600 0.8826 ? ) 685 ( ?; ) 525 ( ?; ) 410 ( = = = ? ? ? 778234642 . 0 842170478 . 9 03166813 . 27 56757159 . 32 00890207 . 19 409062774 . 4 ) 685 ( 008563281 . 1 034476562 . 0 451171875 . 0 744890625 . 0 18409375 . 0 031071093 . 0 ) 525 ( 29351376 . 1 02965536 . 0 17556 . 0 45088064 . 0 75216288 . 0 84632688 . 0 ) 410 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 550 600 )( 500 600 )( 450 600 )( 400 600 ( ) 550 )( 500 )( 450 )( 400 ( ) )( )( )( ( ) )( )( )( ( ) ( ) 600 550 )( 500 550 )( 450 550 )( 400 550 ( ) 600 )( 500 )( 450 )( 400 ( ) )( )( )( ( ) )( )( )( ( ) ( ) 600 500 )( 550 500 )( 450 500 )( 400 500 ( ) 600 )( 550 )( 450 )( 400 ( ) )( )( )( ( )( )( )( ( ) ( ) 600 450 )( 550 450 )( 500 450 )( 400 450 ( ) 600 )( 550 )( 500 )( 400 ( ) )( )( )( ( ) )( )( )( ( ) ( ) 600 400 )( 550 400 )( 500 400 )( 450 400 ( ) 600 )( 550 )( 500 )( 450 ( ) )( )( )( ( ) )( )( )( ( ) ( 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 3 4 2 4 1 4 0 4 3 2 1 0 4 4 3 2 3 1 3 0 3 4 2 1 0 3 4 2 3 2 1 2 0 2 ) 4 3 1 0 2 4 1 3 1 2 1 0 1 4 3 2 0 1 4 0 3 0 2 0 1 0 4 3 2 1 0 = + - + - = = - + + - = = - + - + = = + + + + = = - - - - - - - - = - - - - - - - - = = - - - - - - - - = - - - - - - - - = = - - - - - - - - = - - - - - - - - = = - - - - - - - - = - - - - - - - - = = - - - - - - - - = - - - - - - - - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? T L T L T L T L T L T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T L T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T L T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T L T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T L T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T L i p C ) ( için lagrance interpolasyon çözümleri: i i T i p C ) ( 0 400 0.942 1 450 0.981 2 500 1.020 3 550 1.050 = n 4 600 1.080 216339575 . 1 0434445 . 12 4890925 . 29 3563555 . 31 82730685 . 15 132938925 . 3 ) 685 )( ( 035984375 . 1 0421875 . 0 4921875 . 0 7171875 . 0 15328125 . 0 022078125 . 0 ) 525 )( ( 9487632 . 0 036288 . 0 19152 . 0 434112 . 0 6262704 . 0 6013728 . 0 ) 410 )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) 550 600 )( 500 600 )( 450 600 )( 400 600 ( ) 550 )( 500 )( 450 )( 400 ( ) )( )( )( ( ) )( )( )( ( ) ( ) 600 550 )( 500 550 )( 450 550 )( 400 550 ( ) 600 )( 500 )( 450 )( 400 ( ) )( )( )( ( ) )( )( )( ( ) ( ) 600 500 )( 550 500 )( 450 500 )( 400 500 ( ) 600 )( 550 )( 450 )( 400 ( ) )( )( )( ( )( )( )( ( ) ( ) 600 450 )( 550 450 )( 500 450 )( 400 450 ( ) 600 )( 550 )( 500 )( 400 ( ) )( )( )( ( ) )( )( )( ( ) ( ) 600 400 )( 550 400 )( 500 400 )( 450 400 ( ) 600 )( 550 )( 500 )( 450 ( ) )( )( )( ( ) )( )( )( ( ) ( 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 3 4 2 4 1 4 0 4 3 2 1 0 4 4 3 2 3 1 3 0 3 4 2 1 0 3 4 2 3 2 1 2 0 2 ) 4 3 1 0 2 4 1 3 1 2 1 0 1 4 3 2 0 1 4 0 3 0 2 0 1 0 4 3 2 1 0 = + - + - = = - + + - = = - + - + = = + + + + = = - - - - - - - - = - - - - - - - - = = - - - - - - - - = - - - - - - - - = = - - - - - - - - = - - - - - - - - = = - - - - - - - - = - - - - - - - - = = - - - - - - - - = - - - - - - - - = p p p p p p p p p C C C T L C T L C T L C T L C T L C T C T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T L T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T L T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T L T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T L T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T L Yorum: Yorum: Yorum: Yorum: Grup 15’de verılen verilere göre (T=410 0 c;T=525 0 c;T=685 0 c) bulduğumuz termodinamik özelliklerin baz hatlarına göre doğruluğu tartışılmaktadır.Gregory Newton yöntemine göre hesapladığımız bazı sıcaklık değerlerine göre termodinamik özelllikler’de; 525 0 c olan sıcaklığımız baz hattımızda bir sorun ile karşılaşmamıza neden oldu.Bu sorun merkezi fark tablosunda ortalama hatlar için verilen Bessel Formülü’nü kullanacağıma Stirling Formülü’nü tercih etmişimdir.Tercihin sebebi ise Bessel Formülünde bazı değerleri kaybetmemize sebeb olmaktadır.Bessel förmülünde verilen ? değeri için 4 değerimiz mevcuttur. Stirling Formülün’de ise verilen ? değeri için 5 değerimiz mevcuttur. Mathematica ile yaptığımız sonuçlarda;karşılaştırdığımız hata sonuçları arasında sadecebasamak farkları mevcuttur.Bunun sebebi ise basamaklarda Mathematica sayıları belli bir basamaktan sonra yuvarlamaya başlamasıdır. Lagrance ile Gregory Newton arasındaki fark ise;Lagrance’ın bazı değerler için sayıları yuvarlamasıdır.Nitekim genellikle Lagrance ile Gregory Newton çözüm yollarıyla çıkan değerler arasında pek bir fark olmadığını göz önüne alıyorum. Hatalarımızın fazla veya az olması;Gregory Newton’da seçtiğimiz baz hattına bağlıdır.Eğer baz hattımızı verilen değere en yakın vede en fazla terim veren değeri seçersek yaptığımız hatayı enaza indirmiş oluruz.Lagrance’da ise hataları azaltıp veya artıran bir sonuç bulamayız.Nedeniher bir bir sabite göre hareket etmemizdir.Burada sabitimiz sıcaklık değerleridir.Fakat şöle bir hata hesabımız olabilir.Bize verilen 400 0 c-600 0 c arasındaki sıcaklık değerleri için;sadece bu sıcaklıklar arasındaki ölçümler için sağlıklı bir ölçüm yapabiliriz.Eğer 600 0 c’den yukarı artmaya bailayan değerleriçin ne kadar fazla artarsa okadar hata artmaktadır.Sadece Lagrance’de dikkat edilecek husus; verilen değerler arası sağlıklı bir ölçüm vede verilen değerin en fazla 4 basamak yukarı kadar sağlıklı bir çözüm elde edebiliriz. 525 1.035 0.03 -0.0045 0.009 500 1.0594 -0.10785 0.0219 -0.00585 1.9×10 -3