Statik Statik Kitabı (Hüseyin Bayıroğlu) MÜHEND İSL İK MEKAN İĞİ STAT İK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BAYIRO ĞLU İSTANBUL 2006 2 İçindekiler 1 G İR İŞ 5 1.1 Mekani ğin tanımı 5 1.2 Temel ilkeler ve görü şler 5 2 VEKTÖRLER İN VE İŞLEMLER İN İN TANIMI 6 2.1 Vektörün tanımı 6 2.2 Vektörel işlemlerin tanımı 6 2.2.1 Vektörün bir sayı ile çarpımı 6 2.2.2 Vektörlerin toplamı 7 2.2.3 İki Vektörün birbiri ile skaler çarpımı 7 2.2.4 İki Vektörün birbiri ile vektörel çarpımı 7 2.2.5 Bir vektörün bir eksen üzerindeki izdü şümü 8 3 VEKTÖRLER İN ANAL İTİK İNCELENMES İ 9 3.1 İki boyutlu vektörlerin kartezyen koordinatlarda gösterili şi 9 3.2 Üç boyutlu vektörlerin kartezyen koordinatlarda gösterili şi 11 3.3 Kartezyen koordinatlarda vektörel i şlemler 13 3.3.1 Vektörün bir sayı ile çarpımı 13 3.3.2 Vektörlerin toplamı 14 3.3.3 İki vektörün skaler çarpımı 15 3.3.4 İki vektörün vektörel çarpımı 16 3.3.5 Üç vektörün karı şık çarpımı 17 3.3.6 Bir vektörün bir eksen üzerindeki izdü şümü 18 4 KUVVET S İSTEMLER İ 19 4.1 Kuvvetin tanımı ve vektörle gösterili şi 19 4.2 Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti 20 4.3 Bir kuvvetin bir eksene göre momenti 21 4.4 Bir kuvvet sisteminin bir noktaya göre momenti ve indirgeme elemanları (Bir kuvvet sisteminin statik e şde ğeri ) 22 4.5 Bir kuvvet sisteminin de ği şmezleri 24 4.6 Dejenere kuvvet sistemleri 26 4.6.1 Sıfıra e şde ğer kuvvet sistemi 26 4.6.2 Kuvvet çiftine (Tek bir momente) e şde ğer kuvvet sistemi 26 4.6.3 Bile şkeye e şde ğer kuvvet sistemi 26 3 4.6.4 Bile şkesi olan kuvvet sistemi 27 4.7 Merkezi eksen 27 4.7 Paralel ba ğlı kuvvet sistemi ve merkezi 29 5 KÜTLE MERKEZ İ 31 5.1 Bir sürekli cismin kütle merkezi 31 5.2 Bile şik cismin kütle merkezi 38 6 STAT İK 41 6.1 Giri ş 41 6.2 İç kuvvetler ve kesit zorları 47 6.3 Stati ğin temel ilkelerinin geçerli oldu ğu referans sistemleri 47 6.4 Bir maddesel noktanın kuvvetler etkisinde dengesi 48 6.5 Bir Rijid cismin kuvvetler etkisinde dengesi 48 6.6 Bir Rijid cisim sisteminin kuvvetler etkisinde dengesi 48 6.7 Düzlemsel kuvvetler etkisindeki cisimlerin dengesi 48 6.8 Üç boyutlu kuvvetler etkisindeki bir rijid cismin dengesi ile ilgili uygulamalar 53 7 SÜRTÜNME 60 7.1 Sürtünme ve sürtünme katsayısı 60 7.2 Mesnetlerdeki sürtünmeler 62 7.3 Halat ve kayı ş kasnak sürtünmesi 65 8 YAYILI YÜKLER 68 8.1 Yayılı yüklerin tanımı 68 8.2 Kiri şlerde yayılı yükler 68 9 KABLOLAR 72 9.1 Genel bilgi 72 9.2 Konsantre yükler etkisindeki kablolar 72 9.3 Yayılı yükler etkisindeki kablolar 78 9.3.1 Yatayda düzgün yayılı yük etkisindeki kablolar (Parabolik kablo ) 79 9.3.2 Kendi a ğırlı ğı etkisinde olan homojen yapıdaki kablo veya zincirin dengesi 82 4 10 DÜZLEM KAFES K İR İŞ S İSTEMLER İ 86 10.1 Genel bilgi ve tarifler 86 10.2 Basit kafes sistemi 86 10.3 Dü ğüm noktaları metodu ile kafes sisteminin analizi 88 10.4 Özel dü ğüm noktaları 92 10.3 Kesim metodu ile kafes sisteminin analizi 94 11 ÇERÇEVE VE MAK İNALAR 97 11.1 Giri ş 97 11.2 Çerçeveler 97 11.3 Makineler 101 12 K İR İŞLERDEK İ KES İT ZORLARI KESME KUVVET İ VE E ĞİLME MOMENT İ D İAGRAMLARI 104 12.1 Kiri şlerde kesit zorları 104 12.2 Kesit zorları için kabul edilen pozitif yönler 104 12.3 Yayılı yük , kesme kuvveti ve e ğilme momenti arasındaki ba ğıntılar 105 12.4 Kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramları 106 13 V İRTÜEL İŞLER METODU 115 13.1 Giri ş 115 13.2 Virtüel yer de ği ştirme 115 13.3 Bir kuvvetin virtüel i şi 116 13.4 Bir momentin virtüel i şi 116 13.5 Virtüel i şler ilkesi 116 13.6 Çok serbestlik dereceli sistemlerde virtüel i şler ilkesi 119 EK A Daha önceki senelerde sorulan Vize soruları ve cevapları 122 EK B Daha önceki senelerde sorulan Final soruları ve cevapları 164 5 BÖLÜM 1 G İR İŞ 1.1 Mekani ğin tanımı Cisimlerin Kuvvetler etkisinde dengesini ve hareketlerini inceleyen bilim dalına mekanik denir. Mekanik cisimlere maddesel nokta, rijid cisim, elastik cisim , plastik cisim ve akı şkanlar ( sıvı ve gazlar) olmak üzere yakla şır.Mekanik e ğer sadece Maddesel nokta ve rijid cisim modelini inceliyorsa buna mühendislik mekani ği denir. Bunun dı şında inceledi ği cisim modeline uygun isimler verilir. Örne ğin elastomekanik veya elastisite, plastisite , hidromekanik , aerodinamik, elektromekanik gibi. Mekanik , Statik ve Dinamik olmak üzere iki bilim dalına ayrılır. Statik kuvvetler etkisinde cisimlerin denge ko şullarını, Dinamik ise hareketlerini inceler. 1.2 Temel ilkeler ve görü şler Mekani ğin temel aldı ğı ilkeler Newton yasalarıdır. Bu yasalar cisimlere maddesel nokta modeli ile yakla şıldı ğında kullanı şlıdır. Di ğer cisim modellerine matematiksel modellerle geni şletilmesi gerekir. Benzer şekilde mekanikte kuvvetler maddesel nokta modelinde vektörlerle gösterilebilmesine kar şı rijid cisim modelinde vektör ve etki do ğrusu kavramları beraber kullanılmalıdır. Mühendislik mekani ği vektörler yardımı ile olu şturuldu ğu için vektörleri bize gerekti ği kadar ayrıntılı bir şekilde ele almamız gerekir. 6 BÖLÜM 2 VEKTÖRLER İN VE TEMEL İŞLEMLER İN İN TANIMI 2.1 Vektörlerin tanımı Do ğrultu , yön ve modülü ile tanımlanan büyüklüklere vektörler denir. Bir vektör Koyula ştırılmı ş harfler ile veya üzerine ok i şareti çizilen harflerle belirtilir. Vektörler a şa ğıdaki gibi yönlendirilmi ş do ğru parçası ile gösterilebilir. V Bir referans sistemine göre çizilen bu do ğru parçasının do ğrultusu vektörün do ğrultusunu , yönü vektörün yönünü ve uzunlu ğu vektörün modülünü gösterir. Bir vektörün modülü | V | ile gösterilir. Sıfır vektör : modülü sıfır olup do ğrultu ve yönü belirsiz olan vektörlere sıfır vektörü denir ve 0 ile gösterilir. V - vektörü : V vektörü ile aynı do ğrultu ve modülde fakat ters yöndeki vektöre V - vektörü denir. Birim vektör: Modülünün sayısal de ğeri 1 olan vektöre birim vektör denir. 2.2 Vektörel i şlemlerin tanımı Vektörler üzerine in şa edilen temel i şlemler : Vektörün bir reel sayı ile çarpımı , vektörlerin toplanması , skaler ve vektörel çarpımı gibi i şlemlerdir. 2.2.1 Vektörün bir sayı ile çarpımı Çarpılan vektörle aynı do ğrultuda bir vektördür. E ğer çarpım katsayısı pozitif ise yönde aynıdır. Modül ise çarpım katsayısı ile vektörün modülünün çarpımı kadardır. | V k | = | k | | V | Bir vektörün birim vektörü : Vektörü modülüne bölerek elde edilir. Bir eksenin birim vektörü : Eksen do ğrultusunda ve yönündeki herhangibir vektörü modülüne bölerek bulunur. 7 2.2.2 Vektörlerin toplamı Ba şlangıçları aynı noktaya getirilen iki vektörün toplamı bu vektörler üzerine kurulan paralel kenarın kö şegeni üzerindeki a şa ğıda gösterilen vektöre e şittir. A B A C + = B 2.2.3 İki vektörün birbiri ile skaler çarpımı İki vektör arasındaki açı: Ba şlangıçları aynı noktaya getirilen iki vektör arasındaki 180 0 den büyük olmayan açı iki vektör arasındaki açı olarak alınır . A ? B Skaler Çarpım sonucunda skaler elde edilir . ? Cos B A B A | | | | = • 2.2.4 İki vektörün birbiri ile vektörel çarpımı Vektörel çarpımın sonucu yine bir vektördür. n Sin B A B A C ) | | | | ( ? = ? = Burada Vektörel çarpım sonunda elde edilen vektör her iki vektöre dik do ğrultuda ve ? Sin B A | | | | modülünde bir vektördür. Yönü ise sa ğ el kuralı ile bulunabilir. 8 Sa ğ el kuralı ile elde edilen yön , ba ş parmak dı şındaki sa ğ el parmakları birinci vektörü ikinci vektöre do ğru döndürme yönünde tutulursa ba ş parma ğın gösterdi ği yöndür. B A C ? = B n ? h A ? Sin B A | | | | ifadesinde | A | Sin h ? = oldu ğundan A ve B vektörlerinin birbiri ile vektörel çarpımının modülü bu vektörlerin ba şlangıçları aynı noktaya getirilirse üzerine kurulan paralelkenarın alanına e şit oldu ğu görülür. 2.2.5 Bir vektörün bir eksen üzerindeki izdü şümü V ? ? V ? ? Cos V V | | = ? ? ? • = U V V burada ? U ? ekseninin birim vektörüdür. 9 BÖLÜM 3 VEKTÖRLER İN ANAL İT İK İNCELENMES İ 3.1 İki boyutlu vektörlerin kartezyen koordinatlarda gösterili şi y j V V y ß ? i x V x Düzlemde bir vektör j V i V V y x + = şeklinde x ve y ekseni do ğrultusundaki vektörlerin toplamı cinsinden yazılabilir. Bu vektörün modülü ise a şa ğıdaki gibi pisagor teoremi yardımı ile bulunur. 2 2 y x V V V + = Bir vektörün do ğrultusunda ve yönündeki birim vektör ise vektör modülüne bölünerek elde edilir. V V U V = ) ( , j V V i V V U y x V + = ) ( 10 A şa ğıdaki gibi birim vektörün katsayılarının vektörün eksenlerle yaptı ğı açıların kosinüslerine e şit oldu ğu gösterilebilir. x x U V V Cos = = ? , y y U V V Cos = = ß Problem 3.1.1 Bir düzlemdeki yatay do ğrultu ile 30 0 derecelik açı yapan ve modülü 80 birim olan vektörü ve birim vektörünü kartezyen koordinat sisteminde yazınız. Çözüm: y y V V j ? x i x V j V i V V y x + = 80 Vb i r i m = , 0 30 ? = x VV C o s ? = , y VV S i n ? = 0 80 30 x VC o s = , 69 28 x V,b i r i m = 0 80 30 y VS i n = , 40 y V birim = 69 28 40 V,ij =+ j V V i V V U y x V + = ) ( , 69 28 40 80 80 (V) , Ui j =+ 0 866 0 5 (V) U,i, j =+ 11 3.2 Üç boyutlu vektörlerin kartezyen koordinatlarda gösterili şi y j H F B A y V ß V ? ? x V i E x O z V k C D Z Üç boyutlu uzayda bir vektör kartezyen koordinat sisteminde k V j V i V V z y x + + = şeklinde x ve y ekseni do ğrultusundaki vektörlerin toplamı cinsinden yazılabilir. Bu vektörün modülü ise a şa ğıdaki gibi pisagor teoremi yardımı ile bulunur. 2 2 2 z y x V V V V + + = Bir vektörün do ğrultusunda ve yönündeki birim vektör ise vektör modülüne bölünerek elde edilir. V V U V = ) ( , k V V j V V i V V U z y x V + + = ) ( A şa ğıdaki gibi birim vektörün katsayılarının vektörün eksenlerle yaptı ğı açıların kosinüslerine e şit oldu ğu gösterilebilir. x x U V V Cos = = ? , y y U V V Cos = = ß , z z U V V Cos = = ? Problem 3.2.1 Bir V vektörünün ba şlangıcı kartezyen koordinat sisteminin ba şlangıç noktasına yerle ştirildi ğinde uç noktası A (60,30,20) koordinatlarında ise bu vektörün a) bu koordinat sistemindeki yazılı şını b) modülünü c) birim vektörünü d) koordinat eksenleri ile yaptı ğı açıları bulunuz. 12 Çözüm: y H x V F B A ( 60 ; 30 ; 20 ) V y V ß O ? x ? z z V a) k V j V i V V z y x + + = 60 30 20 Vij k =++ b) 2 2 2 z y x V V V V + + = , 222 60 30 20 V()()() =++ 70 V = c) V V U V = ) ( , 60 30 20 70 (V) i j k U ++ = 632 777 (V) Ui j k =++ d ) x x U V V Cos = = ? , y y U V V Cos = = ß , z z U V V Cos = = ? 6 7 Cos ? = , 3 7 Cos ß = , 2 7 Cos ? = 0 31 ? = , 0 64 62 , ß = , 0 73 4 , ? = 13 3.3 Kartezyen koordinatlarda vektörel i şlemler 3.3.1 Vektörün bir sayı ile çarpımı Kartezyen koordinat sisteminde bir vektör k V j V i V V z y x + + = şeklinde yazılırsa bu vektörün bir ? sayısı ile çarpımı a şa ğıdaki şekilden görüldü ğü gibi dikdörtgenler prizmasının bütün ölçüleri aynı ? sayısı ile çarpılarak elde edildi ğinden k V j V i V V z y x ? + ? + ? = ? şeklinde yazılabilir. y ?V z V ? V ?V y V y V z x V x ?V x z Bir vektörün bir sayı ile çarpımı vektörün do ğrultusunu de ği ştirmez. E ğer çarpım katsayısı pozitif ise yönü de de ği şmez. Problem 3.3.1.1 Problem 3.2.1 de hesaplanan 60 30 20 Vij k =++ vektörünün ?=2,5 ile çarpımından elde edilen V ? vektörünün a) ifadesini b) modülünü c) birim vektörünü hesaplayınız. Çözüm: a) k V j V i V V z y x ? + ? + ? = ? 25 6 0 25 3 0 25 2 0 V,i, j ,k ? =*+*+* 150 75 50 Vi j k ?=++ b) 222 150 75 50 V()()() ?=++ 14 175 V ? = , 2 5 70 175 V, ?*=*= ? VV ?? =* c) y xz (V ) V VV Ui j k VVV ? ? ?? ??? =++ 25 6 0 25 3 0 25 2 0 25 7 0 25 7 0 25 7 0 (V ) ,,, Ui j k ,,, ? *** =++ *** 632 777 (V ) Ui j k ? =++ ? (V ) ( V ) UU ? = 3.3.2 Vektörlerin toplamı Şekilde gösterildi ği gibi İki boyutlu uzayda A ve B vektörünün toplamı olan C vektörünün koordinat eksenleri do ğrultusundaki bile şenleri A ve B vektörlerinin aynı do ğrultudaki bile şenleri toplanarak bulunur. j A i A A y x + = , j B i B B y x + = j B A i B A B A y y x x ) ( ) ( + + + = + y E B y D B C y = A y +B y A B A C + = A y x O A x B x C x =A x +B x Şekildeki ODE üçgeninden OE kenarının uzunlu ğu OD ve DE kenarlarının uzunlukları toplamından büyük olamıyaca ğı bilindi ğinden ABAB +?+ e şitsizli ği yazılabilir. Aynı i şlemler üç boyutlu uzaya a şa ğıdaki gibi uygulanabilir. k A j A i A A z y x + + = , k B j B i B B z y x + + = k B A j B A i B A B A z z y y x x ) ( ) ( ) ( + + + + + = + 15 Problem 3.3.2.1 632 Aij k =++ vektörü ile 12 3 4 Bi j k =++ vektörünün a) modüllerini b) bu vektörlerin toplamını c) toplam vektörün modülünü hesaplayınız. Çözüm: a) 222 632 A=++ , 7 A = 222 12 3 4 B()( )( ) =++ , 13 B = b) 6 1 23 324 AB( ) i( ) j() k +=+ ++++ 18 6 6 AB i j k += ++ c) 222 18 6 6 AB () += ++ 19 9 AB , += 3.3.3 İki vektörün skaler çarpımı A şa ğıda gösterildi ği gibi A ve B vektörünün skaler çarpımı bu vektörlerin aynı do ğrultudaki bile şenleri çarpımı toplanarak bulunur ve sonuç skalerdir. k A j A i A A z y x + + = , k B j B i B B z y x + + = z z y y x x B A B A B A B A + + = • Skaler çarpımın tanımından skaler çarpımın mutlak de ğeri vektörlerin modülleri çarpımından büyük olamaz. Problem 3.3.3.1 632 Aij k =++ vektörü ile 12 3 4 Bi j k =++ vektörünün a) skaler çarpımını b) modülleri çarpımını hesaplayınız. c) aralarındaki açıyı hesaplayınız. Çözüm: a) 61 23324 AB •=*+*+* 89 AB •= b) 7 A = , 13 B = 13 7 AB = * , 91 AB = 16 c) skaler çarpımın tanımından ABAB C o s ? •= ? AB Cos AB ? • = 89 91 Cos ? = ? 0 12 04 , ? = 3.3.4 İki vektörün vektörel çarpımı Sa ğ kartezyen koordinat sisteminde koordinat eksenlerinin birim vektörlerinin vektörel çarpımı a şa ğıdaki gibi yazılır. k j i = ? , k i j = ? , i k j = ? , i j k - = ? j i k = ? , j k i - = ? Sa ğ eksen sisteminde ifade edilen A ve B vektörünün vektörel çarpımı olan C vektörü a şa ğıda gösterilen determinantın açılımı yardımı ile hesaplanabilir. k A j A i A A z y x + + = , k B j B i B B z y x + + = ) ( ) ( k B j B i B k A j A i A B A z y x z y x + + ? + + = ? + ? + ? + ? = ? )] ( ) [( )] ( ) [( )] ( ) [( k B i A j B i A i B i A B A z x y x x x + ? + ? + ? + )] ( ) [( )] ( ) [( )] ( ) [( k B j A j B j A i B j A z y y y x y zxzyzz [(A k) (B i )] [(A k) (B j)] [(A k) (B k)] +?+?+? z y x z y x B B B A A A k j i B A = ? Problem 3.3.4.1 632 Aij k =++ vektörü ile 12 3 4 Bi j k =++ vektörünün a) CAB =? vektörel çarpımını b) C vektörel çarpım vektörü ile A vektörü arasındaki açıyı c) C vektörel çarpım vektörü ile B vektörü arasındaki açıyı hesaplayınız. Çözüm: a) x y z x y z i j k CABAAA BBB =?= , 632 12 3 4 i j k CAB =?= 3423 21 264 6331 2 CAB( ) i( ) j() k =?=*-*+*-*+*-* 61 8 CABi k =?=- 17 b) 61 8632 CA (i k )(i j k) •=- •++ 661 820 CA •=*-*= oldu ğundan C vektörü A vektörüne diktir. c) 61 81 234 CB(i k )(i j k) •= - • ++ 61 21 840 CB •=*-*= oldu ğundan C vektörü B vektörüne diktir. 3.3.5 Üç vektörün karı şık çarpımı İki vektörün vektörel çarpımından elde edilen vektörün bir di ğer vektörle skaler çarpımına bu üç vektörün karı şık çarpımı denir. k A j A i A A z y x + + = k B j B i B B z y x + + = k C j C i C C z y x + + = z y x z y x z y x C C C B B B A A A C B A = ? • ) ( Lineer cebirden bilindi ği gibi bir Determinantta iki satırın yeri de ği şirse determinantın i şareti de ği şir , satırların yeri iki veya ikinin katları sayısında de ği şirse determinantın de ğeri de ği şmez . Bu bilinen özellikten faydalanarak a şa ğıdaki e şitlikler yazılabilir. ) ( ) ( ) ( B A C A C B C B A ? • = ? • = ? • 18 3.3.6 Bir vektörün bir eksen üzerindeki izdü şümü V ? ? V ? ? ? • = U V V k V j V i V V z y x + + = k U j U i U U z y x + + = ? z z y y x x U V U V U V V · + · + · = ? Problem 3.3.6.1 12 3 4 Vi j k =++ vektörünün kartezyen koordinat eksenleri ile pozitif bölgede e şit açılar yapan ve pozitif bölgeye do ğru yönelmi ş ? eksenindeki izdü şümünü ve bu eksenle yaptı ğı açıyı hesaplayınız. Çözüm : ? ? • = U V V İzdü şüm alınacak eksenin birim vektörü bu eksen yönündeki bir vektörü modülüne bölerek elde edilir. 222 111 i j k U ? ++ = ++ , 111 333 Ui j k ? =++ 111 1 234 333 V(ij k) ( i j k) ? =++•++ , 111 12 3 4 333 V ? =*+*+* 19 3 V ? = VVUV C o s ? ?? =•= ? V Cos V ? ? = 19 31 3 Cos ? = * ? 0 844 Cos , ? = ? 0 32 45 , ? = 19 BÖLÜM 4 KUVVET S İSTEMLER İ 4.1 Kuvvetin tanımı ve vektörle gösterili şi Bir cismin şeklini veya hızını de ği ştiren ve ba şka cisimler tarafından uygulanan fiziksel etkiye kuvvet denir. Kuvvet do ğrultu yön ve bir şiddet içerdi ğinden vektörle gösterilebilir. Yalnız aynı vektörle gösterilmesine ra ğmen kuvvet cismin farklı yerlerine uygulandı ğında fiziksel etkisi farklı olur. Bundan dolayı kuvvet özellikle rijid cisim mekani ğinde vektör ve etki do ğrusu ile birlikte dü şünülmelidir. Etki do ğrusu F Kuvvet vektörü 20 4.2 Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti O M o F h ? ? A O MF h =· O MO AF =? ? = ? Sin OA F F OA h Sin OA = ? Buradan O MF h = · oldu ğu görülür. O xyz xyz i j k MAAA FFF = O yzzy zxxz xyyx M( AFAF ) i( AFAF ) j (A F A F )k =·-·+·-·+·- Problem 4.2.1 A(3,8,1) ve B(7,–4,4) noktalarından geçen 130 N. şiddetinde olan ve A dan B ye do ğru yönelmi ş F kuvvetinin O(0,0,0) noktasına göre momentini bulunuz. O MO AF =? 38 OA i j k =++ , AB FF U = AB AB U AB = , AB OB OA =- 21 74438 AB ( i j k) ( i j k) =-+-++ , 41 23 AB i j k = -+ 22 2 41 23 41 23 AB i j k U () -+ = +- + , 41 23 13 13 13 ABUi j k =-+ 40 120 30 Fi j k =-+ 3 8 40 120 30 O M( ij k) ( i j k) =++?-+ 381 40 120 30 O i j k M = - , 360 50 680 OMi j k =-- 4.3 Bir kuvvetin bir eksene göre momenti ? A M M ? A F B A MMU ?? =• MU( A BF ) ?? =•? z y x z z y y x x z y x F F F A B A B A B U U U M - - - = ? 22 Problem 4.3.1 A(3,8,1) ve B(7,–4,4) noktalarından geçen ve 130 N. Şiddetinde olan F kuvvetinin O(0,0,0) ve C(2,6,3) noktalarından geçen ? eksenine göre momentini bulunuz.(koordinatlar metre cinsindendir.) O MMU ?? =• Problem 4.2.1 den 360 50 680 OMi j k =-- dır. OC U OC ? = , 222 263 263 i j k U ? ++ = ++ 263 777 Ui j k ? =++ 263 360 50 680 777 M(i j k) ( i j k) ? =--•++ 263 360 50 680 777 M ? =*-*-* , 1620 7 M ? - = 231 43 M, N m . ? =- 4.4 Bir kuvvet sisteminin bir noktaya göre momenti ve indirgeme elemanları ( Bir kuvvet sisteminin statik e şde ğeri) Bir veya birden fazla sayıda kuvvetten olu şan sisteme kuvvet sistemi denir. d 1 d 2 d i d n A 1 A i n F 1 F 2 F i F A n A 2 O M R O Bu n sayıda kuvvetten olu şan kuvvet sisteminin bir uzayın o noktasına göre momentine bile şke moment denir ve bu bile şke moment her bir kuvvetin bu noktaya göre moment vektörlerinin toplamına e şittir. 1 n O i i i MO AF = =? ? Bu n sayıdaki kuvvetin vektörel toplamına geometrik toplam denir. ? = = n i i F R 1 23 Elde edilen bile şke moment ve geometrik toplamın her ikisine birden bu vektör sisteminin indirgeme elemanları denir. Bir kuvvet sisteminde bir noktadaki indirgeme elemanlarından faydalanarak ba şka noktalardaki indirgeme elemanlarının bulunu şu: 1 n Q i i i MQ AF = =? ? i i QA QO OA =+ 1 n Q i i i M( Q O O A ) F = =+? ? QO MMQ OR =+? Problem 4.4.1 Bir kuvvet sistemi A 1 (5,–3,8) noktasından geçen 1 10 8 14 Fi j k =+- , A 2 ( 10,8,9)) noktasından geçen 2 15 22 16 Fi j k =++ , A 3 (2,10,7) noktasından geçen 3 61 89 Fi j k =- + - ve A 4 (0,12,-4) noktasından geçen 4 32 08 Fi j k =-- kuvvetlerinden olu şmu ştur. Bu kuvvet sisteminin a) O(0,0,0) noktasındaki indirgeme elemanlarını b) Q(10,12,–6) noktasındaki indirgeme elemanlarını bulunuz. Çözüm: a) 4 1 i i RF = = ? , 1234 RFFFF =+++ 10 8 14 15 22 16 6 18 9 3 20 8 R(i j k) ( i j k) ( i j k) ( i j k) =+-++++ -+-+-- 10 15 6 3 8 22 18 20 14 16 9 8 R( ) i( ) j() k =+-++++-+ -+-- 22 28 15 Rij k =+- 4 1 O i i i MO AF = =? ? , 1234 1234 O M OA F OA F OA F OA F = ?+ ?+ ?+ ? 1 1 5381 081 4 OA F ( i j k) ( i j k) ?=-+? +- 1 1 5 3 8 22 150 70 10 8 14 ijk OA F i j k ?= - = -+ + - 2 2 10 8 9 70 25 100 15 22 16 ijk OA F i j k ?= = --+ 24 3 3 2 10 7 216 24 96 61 8 9 ijk OA F i j k ?= = - -+ -- 4 4 0 12 4 16 12 36 32 08 ijk OA F - i j k ?= = --- -- 22 150 70 70 25 100 216 24 96 16 12 36 O M(i j k) ( i j k) ( i j k) ( i j k) =- + + +- - + +- - + +- - - 22 70 216 16 150 25 24 12 70 100 96 36 O M( ) i( ) j() k =- - - - + - - - + + + - 324 89 230 OMi j k =- + + b) ? = = n i i F R 1 , 22 28 15 Rij k =+- QO MMQ OR =+? 10 12 6 QO i j k =- - + 10 12 6 22 28 15 QO R ( i j k) ( i j k) ?= --+ ? + - 10 12 6 12 18 16 22 28 15 ijk QO R i j k ?= - - =-- - 324 89 230 12 18 16 Q M(i j k) ( i j k) =- + + + - - 312 71 214 QMi j k =- + + 4.5 Bir kuvvet sisteminin de ği şmezleri a) Bir kuvvet sisteminde kuvvetlerin geometrik toplamı olan R noktadan noktaya de ği şmez. b) Bir kuvvet sisteminde bile şke momentin geometrik toplam üzerindeki izdü şümü noktadan noktaya de ği şmez. İspat: R O R Q U R QO M U M • ? + = • ) ( 0 ) ( = • ? R U R QO ( R ve R U aynı do ğrultuda oldu ğundan ) R O R Q U M U M • = • elde edilir. Yukarıdaki denklemin her iki tarafı R ile çarpılırsa R M R M O Q • = • e şitli ği elde edilir. Bu e şitlikten Bile şke moment ile geometrik toplamın skaler çarpımının noktadan noktaya de ği şmedi ği anla şılır. 25 Problem 4.5.1 Problem 4.4.1 deki kuvvet sistemi için R M R M O Q • = • e şitli ğini gerçekleyiniz. Çözüm: 22 28 15 Rij k =+- 324 89 230 OMi j k =- + + 312 71 214 QMi j k =- + + 312 71 214 22 28 15 Q MR(i j k) ( i j k) •=- + + • + - 312 22 71 28 214 15 Q MR () •= -*+*+ * - 8086 Q MR •= - 324 89 230 22 28 15 O MR(i j k) ( i j k) •=- + + • + - 324 22 89 28 230 15 O MR () •= -*+*+ * - 8086 O MR •= - ? 8086 QO MRMR •= •= - 26 4.6 Dejenere kuvvet sistemleri Bile şke momentle geometrik toplamın birbiri ile skaler çarpımının sıfır oldu ğu kuvvet sistemlerine dejenere kuvvet sistemleri denir. 0 = • R M O Bu e şitlik ile a şa ğıdaki durumlarda kar şıla şılır. 4.6.1 ) 0 = O M , 0 = R (sıfıra e şde ğer kuvvet sistemi) 4.6.2 ) 0 ? O M , 0 = R (kuvvet çiftine e şde ğer kuvvet sitemi) 4.6.3 ) 0 = O M , 0 ? R (bile şkeye e şde ğer kuvvet sistemi) 4.6.4 ) 0 ? O M , 0 ? R (bile şkesi olan vektör sistemi) Düzlemsel , bir noktada kesi şen ve paralel kuvvet sistemleri dejenere kuvvet sistemleridir. 4.6.1 Sıfıra e şde ğer kuvvet sistemi 0 = O M 0 = R Sıfıra e şde ğer kuvvet sisteminde 1) Kuvvet sistemi tek bir kuvvetten olu şmu şsa bu kuvvetin şiddeti sıfır olmalı. 2) Kuvvet sistemi iki kuvvetten olu şmu ş ise bu kuvvetler aynı do ğrultuda ters yönde ve e şit şiddette olmalıdır. 3) Kuvvet sistemi üç kuvvetten olu şmu ş ve birbirine paralel de ğil ise bu kuvvet sisteminin geometrik toplamının sıfır olabilmesi için kuvvetlerin olu şturdu ğu poligon kapalı bir üçgen olmalıdır. Bu kuvvet sisteminde bile şke momentin sıfır olabilmesi için bu üç kuvvetin do ğrultusu aynı yerde kesi şmelidir. 4.6.2 Kuvvet çiftine e şde ğer kuvvet sitemi 0 ? O M , 0 = R Bir kuvvet sisteminde Geometrik toplam sıfır Bile şke moment sıfırdan farklı ise bu kuvvet sistemi tek bir momente e şde ğer olur. Bu moment vektörüne dik düzlemlerde alınan kuvvet çiftleri ile de bu kuvvet sistemi temsil edilebilir. Bir kuvvet sistemi tek bir momente e şde ğer ise bu noktadan noktaya de ği şmez. QO MMQ OR =+? ve 0 = R oldu ğundan QO MM = olur. 4.6.3 Bile şkeye e şde ğer kuvvet sistemi 0 = O M , 0 ? R E ğer bir noktada bile şke moment sıfır ve geometrik toplam sıfırdan farklı ise bu geometrik toplam sanki sistem tek bir kuvvetten olu şmu ş gibi bu sistemi temsil edebilece ğinden bu geometrik toplama bu kuvvet sisteminin bile şkesi denir. 27 4.6.4 Bile şkesi olan kuvvet sistemi 0 ? O M , 0 ? R E ğer dejenere vektör sisteminde Bile şke moment ve geometrik toplamın her ikisi de sıfırdan farklı ise bu iki vektör birbirine dik olmalıdır. Bu vektör sisteminin bile şkesi bulunabilir. 4.7 Merkezi eksen Bile şke momentle geometrik toplamın aynı do ğrultuda oldu ğu eksene merkezi eksen veya vida ekseni denir. R Vida ekseni M ? ?(x,y,z) O M R O(0,0,0) R M Merkezi eksen üzerindeki bir nokta ?(x,y,z) ve O(0,0,0) noktasındaki bile şke moment O xyz MM iM j Mk =++ ise Bile şke momentin geometrik toplam üzerindeki izdü şümü de ği şmiyece ğinden RR MMU ?=· yazılabilir. =• O RR MMU Rz z Ry y Rx x R U M U M U M M + + · = RR x RR y RR z MMUiMU j MUk ?=·+·+· Bundan ba şka geçi ş teoremi uygulanarak M ? a şa ğıdaki gibi de yazılabilir. O MMOR ? ? =+? O MMRO ? ? -=? xyz i j k RO RRR x y z ? ?= yzzxxy RO( RzRy)i (R x R z)j (R y Rx ) k ? ?=· -·+· -·+· -· x Rx R z y M U M y R z R - · = · - · y Ry R x z M U M z R x R - · = · - · z Rz R y x M U M x R y R - · = · - · 28 Problem 4.7.1 Problem 4.4.1 verilen kuvvet sisteminin merkezi ekseninin denklemini bulunuz. merkezi eksenin yoz düzlemini kesti ği noktanın koordinatlarını bulunuz. 22 28 15 Rij k =+- , 324 89 230 OMi j k =- + + O MMRO ? ? -=? RR MMU ?=· O RR MMU =• R R U R = 222 22 28 15 22 28 15 R ijk U ()()() +- = ++ - , 22 28 15 1493 R i j k U +- = , 0 5694 0 7247 0 3882 R U,i,j ,k =+- 324 89 230 0 5694 0 7247 0 3882 R M(i j k) ( , i , j ,k ) =- + + • + - 209 273 R M, =- 209 273 0 5694 0 7247 0 3882 M,( ,i , j ,k ) ? =- · + - 119 16 151 66 81 24 M, i, j ,k ? =- - + 119 16 151 66 81 24 324 89 230 O MM(,i, j ,k )( i j k) ?-= - - + - -++ 204 84 240 66 148 76 O MM ,i , j ,k ?-= - - 22 28 15 RO(i j k) (xi yj zk) ? ?=+-?++ 22 28 15 i j k RO x y z ? ?= - 28 15 15 22 22 28 RO(z y)i ( x z)j ( y x)k ? ?=+ + -- +- 28 15 15 22 22 28 204 84 240 66 148 76 (z y)i ( x z)j ( y x)k , i , j ,k ++ --+-=-- 28 15 204 84 z y , += 15 22 240 66 xz, --= - 22 28 148 76 y x, -= - Bu Lineer denklem sisteminin katsayılar matrisinin determinantı 01 52 8 15 0 22 15 22 28 28 15 22 0 28 22 0 ()() () ?= - - = * - * - + * - * = - sıfır oldu ğundan bu denklem sistemi birbirinden ba ğımsız de ğildir. Bu denklem sisteminin katsayılar matrisinde sıfırdan farklı 2x2 lik determinant bulundu ğundan bu denklemlerden ikisi birbirinden ba ğımsızdır. 29 Bu denklemlerin herhangi ikisi birbirinden ba ğımsız oldu ğundan bunlardan herhangi ikisi verilen kuvvet sisteminin merkezi ekseninin denklemi olarak alınabilir. 22 28 148 76 15 22 240 66 y x, xz, -= - --= - Merkezi eksen üzerinde 0 x = da 22 28 148 76 y x, -= - ? 67 6 2 y, = - 15 22 240 66 xz, --= - ? 10 94 z, = 4.8 Paralel ba ğlı kuvvet sistemi ve merkezi y A i ,m i A 1 , m 1 A 3 ,m 3 A n , m n A 2 , m 2 G U m F i i = U m F n n = U m F 1 1 = U m F 3 3 = U m F 2 2 = x o R z 1 n O i i i MO AF = =? ? 1 n O i i MO GF = =? ? U m F i i · = 11 0 nn i ii ii (mO G mO A )U == ·-·?= ?? 30 1 1 n i i i n i i mO A OG m = = · = ? ? OG i j k ??? =++ ? ? = = · = ? n i i n i i i m x m 1 1 , ? ? = = · = ? n i i n i i i m y m 1 1 , ? ? = = · = ? n i i n i i i m z m 1 1 Problem 4.8.1 Paralel ba ğlı bir kuvvet sistemi A 1 (3,7,12) noktasındaki 8kg lık m 1 kütlesi , A 2 (6,2,–8) noktasındaki 10kg lık m 2 kütlesi ve A 3 (10,–4 ,–5) noktasındaki 3 kg lık m 3 kütlesinden olu şmu ştur. Bu kuvvet sisteminin merkezinin koordinatlarını hesaplayınız.( koordinatlar cm. cinsinden alınmı ştır.) 3 1 1 ii i n i i mx m ? = = · = ? ? , 11 22 33 123 mx mx mx mmm ? ++ = ++ 8 3 10 6 3 10 81 03 ? *+ *+* = ++ , 54 3 ,c m . ? = 3 1 1 ii i n i i m y m ? = = · = ? ? , 11 22 33 123 m y m y m y mmm ? ++ = ++ 871 023 4 81 03 () ? *+*+*- = ++ , 30 5 ,c m . ? = 3 1 1 ii i n i i mz m ? = = · = ? ? , 11 22 33 123 mz mz mz mmm ? ++ = ++ 81 21 0 8 3 5 81 03 () () ? *+* -+* - = ++ , 0 048 ,c m . ? = 31 BÖLÜM 5 KÜTLE MERKEZ İ 5.1 Bir sürekli cismin kütle merkezi y A(x,y,z) dm G( ?, ?, ?) V x O z V V OA dm OG dm = ? ? OG i j k ??? =++ V V xdm dm ? = ? ? , V V y dm dm ? = ? ? , V V zd m dm ? = ? ? 32 Problem 5.1.1 R yarıçaplı 2 ? tepe açılı çember parçası şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm: y xR C o s ? = dR d ? = dm d ? = dm Rd ?? = d ? ? ? G O x ? OG x ekseni simetri ekseni oldu ğu için 0 ? = dır. xdm dm ? = ? ? , xdm dm ? ? ? ? ? - - = ? ? RCos Rd Rd ? ? ? ? ??? ? ?? - - = ? ? , 2 R [Sin (Sin )] R[ ( )] ? ?? ? ?? ? - = -- 2 2 2 RS i n R ?? ? ?? = , RSin OG ? ? ? == 33 Problem 5.1.2 Şekilde gösterilen dörtte bir çember parçası şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm : y y = x do ğrusu G 4 ? ? 4 ? O ? x Şekildeki dörtte bir çember parçası için y = x do ğrusu simetri ekseni oldu ğundan 2 2 OG ?? == Problem 5.1.1 den RSin OG ? ? = 4 ? ? = 4 4 RSin( ) OG / ? ? = , 22 R OG ? = 222 2 R () ?? ? == , 2R ?? ? == Problem 5.1.3 Şekilde gösterilen yarım çember şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm : y G 2 ? 2 ? O x 34 y Ekseni simetri ekseni oldu ğu için 0 ? = dır. Problem 5.1.1 den RSin OG ? ? ? == 2 2 RSin / ? ? ? = , 2R ? ? = Problem 5.1.4 Yüksekli ği h olan üçgen şeklindeki homojen levhanın kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. h dA dy = dm dA ? = h-y dm dy ? = h dy y O a x A A y dm dm ? = ? ? , 0 0 h h y dy dy ? ? ? = ? ? , 0 0 h h y dy dy ? ? ? = ? ? h y ah - = , a (h y) h =- 2 0 0 h h a (hyy )dy h a (h y)dy h ? ? ? - = - ? ? , 33 2 2 23 2 ah h () h ah (h ) h ? ? ? - = - , 3 2 6 2 ah h ah h ? ? ? = , 2 6 2 h a h a ? ? ? = 3 h ? = 35 Problem 5.1.5 Şekilde ölçüleri verilen dik üçgen şeklindeki homojen levhanın kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. y 60mm. 30mm. x Problem 5.1.4 den 30 3 ? = , 60 3 ? = 10mm. ? = , 20mm. ? = Problem 5.1.6 R yarıçaplı 2 ? tepe açılı daire dilimi şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm: y 2 3 xR C o s ? = 2 11 22 dA Rd R d ? == dR d ? = dm dA ? = 2 1 2 Rd ?? = d ? ? ? G O x ? OG x ekseni simetri ekseni oldu ğu için 0 ? = dır. 36 A A xdm dm ? = ? ? , xdm dm ? ? ? ? ? - - = ? ? 2 2 21 32 1 2 RCos ( R d ) Rd ? ? ? ? ?? ? ? ?? - - = ? ? , 3 2 1 3 1 2 RC o sd Rd ? ? ? ? ? ?? ? ? ? - - = ? ? 3 2 1 3 1 2 R [Sin ( Sin )] R[ ( ) ] ??? ? ??? -- = -- , 3 2 2 3 RS i n R ? ? ? ?? = 2 3 RSin OG ? ? ? == Problem 5.1.7 Şekilde gösterilen dörtte bir daire dilimi şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm : y y = x do ğrusu G 4 ? ? 4 ? O ? x Şekildeki dörtte bir daire dilimi için y = x do ğrusu simetri ekseni oldu ğundan 2 2 OG ?? == Problem 5.1.4 den 2 3 RSin OG ? ? = 4 ? ? = 2 4 34 RSin( ) OG / ? ? = , 42 3 R OG ? = 242 23 R () ?? ? == , 4 3 R ?? ? == 37 Problem 5.1.8 Şekilde gösterilen yarım daire dilimi şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm : y G 2 ? 2 ? O x y Ekseni simetri ekseni oldu ğu için 0 ? = dır. Problem 5.1.4 den 2 3 RSin OG ? ? ? == 2 2 32 RSin / ? ? ? = , 4 3 R ? ? = Problem 5.1.9 Şekilde gösterilen R taban yarıçaplı yarım küre şeklindeki homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını gösteriniz. Çözüm: z 2 dm r dz ?? = mV ? = r dz R z o y x yoz düzlemi simetri düzlemi oldu ğu için 0 ? = dır. xoz düzlemi simetri düzlemi oldu ğu için 0 ? = dır. V V zdm dm ? = ? ? , 2 0 2 0 R R zr d z rd z ?? ? ?? = ? ? , 2 0 2 0 R R zr dz rd z ?? ? ?? = ? ? 38 222 rRz =- , 23 0 22 0 R R (zR z )dz (R z )dz ?? ? ?? - = - ? ? , 44 3 3 24 3 RR () R (R ) ?? ? ?? - = - 4 3 4 2 3 R () (R) ?? ? ?? = , 3 8 R ? = 5.2 Pappus ve Guldinus teoremleri Dönel cisimlerin yüzey alanlarını ve hacimlerini bulmak için kullanılır. 1.Teorem E ğer bir e ğri kendi düzlemindeki sabit bir eksen etrafında dönerek, dönel bir yüzey olu şturursa, bu yüzeyin alanı,bu e ğrinin uzunlu ğu ile e ğrinin kütle merkezinin kat etti ği yol çarpımına e şittir. İspat Diferansiyel alan = 2 ? r dL Tüm yüzeyin alanı = 2 l rdL ? ? l G l rdL r dL = ? ? › G l rdL r L = ? Tüm yüzeyin alanı = 2 G rL ? 2.Teorem E ğer bir yüzey kendi düzlemindeki sabit bir eksen etrafında dönerek, dönel bir dolu cisim olu şturursa, bu cismin hacmi, bu yüzeyin alanı ile e ğrinin kütle merkezinin kat etti ği yol çarpımına e şittir. İspat Diferansiyel hacim = 2 ? r dA Tüm cismin hacmi = 2 A rdA ? ? A G A rdA r dA = ? ? › G A rdA r A = ? Tüm yüzeyin hacmi = 2 G rA ? G r r G G r r G 39 Problem 5.2.1 Kürenin alanının 2 4 A R ? = ve hacminin 3 4 3 VR ? = oldu ğunu gösteriniz. Çözüm: Kürenin yüzey alanı için: Yarım çemberin kütle merkezi = 2 G R r ? = Yarım çemberin uzunlu ğu = LR ? = Kürenin yüzey alanı= 2 2 224 G R rL R R ? ??? ? == Kürenin hacmi için: Yarım dairenin kütle merkezi = 4 3 G R r ? = Yarım dairenin alanı = 2 2 R A ? = Kürenin hacmi = 23 44 22 32 3 G RRR rA ?? ?? ? == G G 40 5.3 Bile şik cismin kütle merkezi Bir bile şik cismin kütle merkezi bu cismi olu şturan cisimlerin kütle merkezleri bulunduktan sonra daha önceden çıkarılan paralel ba ğlı vektör sisteminin merkezine ait olan formüllerle hesaplanır. 1 1 n i i i n i i mO A OG m = = · = ? ? OG i j k ?? ? =++ ? ? = = · = ? n i i n i i i m x m 1 1 , ? ? = = · = ? n i i n i i i m y m 1 1 , ? ? = = · = ? n i i n i i i m z m 1 1 E ğer bile şik cismi olu şturan cisimlerin yo ğunlu ğu aynı ise yukarıdaki denklemlerde ii mV ? = yazılabilir ve ? lar toplam dı şına alınıp kısaltılabilece ğinden dolayı a şa ğıdaki e şitlikler elde edilir. 1 1 n ii i n i i Vx V ? = = · = ? ? , 1 1 n ii i n i i V y V ? = = · = ? ? , 1 1 n ii i n i i Vz V ? = = · = ? ? 41 3 2 4 1 6 5 Problem 5.3.1 Homojen fakat farklı kalınlıklardaki levhalardan şekildeki taralı alan gibi olu şturulmu ş cismin kütle merkezinin koordinatlarını hesaplayınız. y ¼ daire dilimi kalınlık 1mm. kalınlık 2mm. 30 30 x 90 kalınlık 3mm. 90 z (Ölçüler mm. cinsindendir. ) 33 4 3 == R zy ? , 3 4 90 120 3 * == y ?? , 2 3 4 R A ? = , A 3 =2025 ? x Y z A M= ?A mx my mz 1 30 30 0 4050 4050 121500 121500 0 2 10 10 0 -450 -450 -4500 -4500 0 3 0 120/ ? 120/ ? 2025 ? 4050 ? 0 486000 486000 4 0 15 22,5 -1350 -2700 0 -40500 -60750 5 45 0 45 8100 24300 1093500 0 1093500 6 10 0 15 -675 -2025 -20250 0 -30375 ? 16036,7 35898,45 1149750 562500 1488375 6 1 6 1 ii i i i mx m ? = = · = ? ? , = 1149750 35898,45 ? , 32 03 = ,m m . ? 6 1 6 1 ii i i i m y m ? = = · = ? ? , 562500 35898,45 ? = , 15,67mm. ? = 6 1 6 1 ii i i i mz m ? = = · = ? ? , = 1488375 35898,45 ? , = 41,46mm. ? 42 Problem 5.3.2 Şekilde gösterilen içi dolu homojen cismin kütle merkezinin koordinatlarını hesaplayınız. y z x ( Ölçüler cm. cinsindendir. ) 2 4 42 3 R z ? =+ , 2 16 42 47 093 z, c m . ? =+= , 2 2 21 2 = R V ? , 3 2 756 2375 04 V, c m ? == 3 1 3 1 ii i i i Vx V ? = = · = ? ? , 259836 5 21653 04 , , ? = , 12cm. ? = 3 1 3 1 ii i i i V y V ? = = · = ? ? , 220742 21653 04 , ? = , 10 2 ,c m . ? = 3 1 3 1 ii i i i Vz V ? = = · = ? ? , 545036 21653 04 , ? = , 25 17 ,c m . ? = x y z V Vx Vy Vz 1 12 10,5 21 21168 254016 222264 444528 2 12 10,5 47,093 2375,04 28500,5 24938 111848 3 12 14 6 -1890 -22680 -26460 -11340 ? 21653,04 259836,5 220742 545036 3 1 2 43 BÖLÜM 6 STAT İK 6.1 Giri ş Statik kuvvetler etkisinde cisimlerin denge ko şullarını inceleyen bilim dalıdır. Bu tanımlamada adı geçen kuvvet , cisim ve denge terimlerini açıklayalım. Kuvvet: Ele alınan Cisme ba şka cisimler tarafından uygulanan ve cismin hareket veya denge durumları ile şeklini de ği ştiren etkiye kuvvet denir. Kuvvetler etkinin cinsine göre : Temas etkisi (yüzey kuvvetleri) ve uzaktan etki ( hacim kuvvetleri) olmak üzere ikiye ayrılır. Dengesi incelenen cisimle temasta olan mafsal,mesnet,kablo,çubuk gibi di ğer cisimlerden gelen kuvvetler yüzey kuvvetleridir. Uzaktan etki kuvvetlerine örnek, a ğırlık kuvvetleri, manyetik ve elektriksel alanlardan gelen kuvvetler verilebilir. Kuvvetler cisme etki bölgesine göre: İç kuvvet dı ş kuvvet şeklinde ikiye ayrılır. 1 F 2 F 3 F 4 F 1 F F 2 F M - 3 F M 4 F F - Şekilde gösterilen 1 F , 2 F , 3 F , 4 F kuvvetleri dı ş kuvvetler, F ve F - kuvvetleri ise iç kuvvetlerdir. İç kuvvetler şekilde gösterildi ği gibi cismin içinde varoldu ğu dü şünülen bir kesitte olu şur.Bu hayali kesitle cisim iki parçaya ayrılır. Olu şan bu iki ayrı kesitteki iç kuvvetlerin etki tepki ilkesine göre şiddet ve do ğrultuları aynı yönleri zıttır. 44 Kuvvetler cisme mesnetler ve di ğer cisimlerden uygulanma durumuna göre : Bilinen kuvvetler (aktif kuvvetler) ve mesnet veya ba ğlardan gelece ği dü şünülen tepki kuvvetleri (reaktif kuvvetler) olmak üzere ikiye ayrılır. Aktif kuvvetler: A ğırlık kuvvetleri veya cismin zorlanma ko şullarına göre bilinen dı ş kuvvetlerdir. Tepki kuvvetleri : mesnet,mafsal, kablo, çubuk gibi di ğer cisimlerin uyguladıkları kuvvetlerdir. Bu tepki kuvvetlerinin tam zıttı dengesi incelenen cisim tarafından di ğer cisimlere aynı şekilde etkir. Sürtünmesiz temaslarda tepki kuvveti temas yüzeyine diktir. İki boyutlu mesnet ve ba ğlar ile bunlardan cisme gelen tepki kuvvetleri: Yuvarlanan elemanlar kavisli yüzey sürtünmesiz kayma yüzeyine yüzey dik tepki kuvveti Çubuk do ğrultusunda hareket edebilen tepki kuvveti hareket bilezik ve buna mafsallı di ğer çubuk do ğrultusuna dik Kanal do ğrultusunda hareket kanal do ğrultusuna dik tepki kuvveti 45 y R y R x x Sabit silindirik mafsallı Tepki kuvvetinin do ğrultusu bilinmiyor. y R x x R y Pürüzlü yüzey Yüzey tepkisinin do ğrultusu bilinmiyor y R x x M O R y Ankastre mesnet Bilinmeyen kuvvet ve şiddeti bilinmeyen moment 46 Üç boyutlu mesnet ve ba ğlar ile bunlardan cisme gelen tepki kuvvetleri: y x R y z tek noktadan küreye temas temas yüzeyine dik tepki kuvveti y x R y z Sürtünmesiz temas temas yüzeyine dik tepki kuvveti y x R z R y z Pürüzlü yüzeyde ray üzerinde iki do ğrultuda bilinmiyen Yuvarlanan tekerlek yuvarlanan tekerlek tepki kuvveti 47 y R x x R z R y z Pürüzlü yüzey küresel mafsal üç do ğrultuda bilinmiyen tepki kuvvetleri Küresel mafsalın ayrıntılı şekli y M y R y x R z R x M x M z z ankastre mesnet üç do ğrultuda bilinmiyen tepki kuvveti ve üç do ğrultuda bilinmiyen tepki momenti 48 y R y R x M x x R z Z Üniversal kavrama üç do ğrultuda bilinmiyen kuvvet ve bir do ğrultuda bilinmiyen moment y M y R y R z M z x z İki do ğrultuda bilinmiyen kuvvet ve . iki do ğrultuda bilinmiyen moment Eksenel do ğrultuda hareket edebilen silindirik mafsal 49 y M y R y R z R x x M z z Üç do ğrultuda bilinmiyen kuvvet ve İki do ğrultuda bilinmiyen moment Eksenel do ğrultuda hareket yetene ği olmayan silindirik mafsal Bunlardan ba şka ip kuvveti ip do ğrultusundadır. Birde a ğırlıksız olup uç noktalarından sürtünmesiz mafsallı ve uç noktaları dı şında yük ta şımıyan çubuklardan gelen tepki kuvvetleride çubuk do ğrultusunda kabul edilir. 6.2 İç kuvvetler ve kesit zorları İç kuvvetlerin cismin bir kesiti içindeki bile şenlerine kesit zorları denir. Kesite etki eden kuvvetin kesite dik bile şenine Normal kuvvet denir. Kesite etki eden kuvvetin kesit içindeki bile şenine Kesme kuvveti denir. Kesite etki eden momentin kesite dik bile şenine Burulma momenti denir. Kesite etki eden momentin kesit içindeki bile şenine E ğilme momenti denir. 6.3 Stati ğin temel ilkelerinin geçerli oldu ğu referans sistemleri Orijininde güne ş bulunan ve yıldızlara do ğru yönelmi ş koordinat sistemlerine Newton veya Galileo eksen sistemleri denir. Stati ğin temel ilkeleri bu eksen sitemlerine göre geçerlidir. Bir Newton eksen sistemine göre sabit hızda öteleme hareketi yapan di ğer eksen sistemleri de Newton eksen sistemidir. Herhangi bir cisim Newton eksen sistemine göre hareketsiz veya sabit hızda öteleme hareketi yapıyorsa bu cisim dengededir denir. 50 6.4 Bir maddesel noktanın kuvvetler etkisinde dengesi Bir maddesel noktaya etki eden bütün kuvvetler aynı noktada kesi şece ğinden dolayı bu kuvvetlerin geometrik toplamının sıfır olması denge için gerek ve yeter ko şuldur. 0 = R ??? + + = k F j F i F R z y x ? = 0 x F , ? = 0 y F , ? = 0 z F 6.5 Bir rijid cismin kuvvetler etkisinde dengesi Bir rijid cisme etki eden kuvvvet sisteminin sıfıra e şde ğer olması bu cismin dengesi için gerek ve yeter ko şuldur. 0 = R , ? = 0 O M ? = 0 x F , ? = 0 y F , ? = 0 z F ? = 0 x M , ? = 0 y M , ? = 0 z M Böylece en genel durumda üç boyutlu kuvvetler etkisindeki bir cismin dengesinde denklem sayısı altı olur. Bu denklemlerden altı bilinmiyen çözülebilir. Üç boyutlu kuvvetler etkisinde dengesi incelenen cisimde bilinmiyen sayısı altıdan fazla ise böyle sistemlere hiperstatik sistemler denir. 6.6 Rijid cisim sisteminin kuvvetler etkisinde dengesi Bir rijid cisim sistemine etki eden kuvvet sisteminin sıfıra e şde ğer olması denge için gerekli fakat yeterli ko şul de ğildir. Bundan dolayı rijid cisim siteminin elemanlarına ayrılarak incelenmesi gerekir.Her bir eleman için sıfıra e şde ğerlik ko şulu ve birle şme noktalarında etki tepki ilkesi gözönüne alınarak çözüme gidilir. 6.7 Düzlemsel kuvvetler etkisinde cisimlerin dengesi E ğer cisme etki eden dı ş kuvvetler ve mesnetlerden gelen tepkiler aynı düzlem içinde ise incelenen problem düzlem statik problemidir. Aynı düzlemde bulunan kuvvetlerin momenti bu düzleme dik olaca ğından dolayı bu durumda 0 = R , ? = 0 O M sıfıra e şde ğerlik ko şulu a şa ğıdaki gibi yazılabilir. ? = 0 x F , ? = 0 y F , ? = 0 z M Böylece düzlemsel kuvvetler etkisindeki bir cismin dengesinde denklem sayısı üçe inmi ş olur. Bu denklemlerden üç bilinmiyen çözülebilir. Düzlemsel kuvvetler etkisinde dengesi incelenen cisimde bilinmiyen sayısı üçten fazla ise böyle sistemlere hiperstatik sistemler denir. 51 Problem 6.7.1 1000 kg kütleli bir sabit vinç 2400 kg kütleli bir cismi kaldırmakta kullanılıyor. Vinç A da sabit B de kayıcı mafsal ile mesnetlenmi ştir. Vincin kütle merkezi G dir. A ve B mesnetlerindeki tepkileri bulunuz. A G 2400kg 1,5m B 2m 4m Çözüm: y A y R 2400g A x R A 1000g 1,5m B x R B x 2m 4m B deki mesnet kayıcı mafsal oldu ğu için y ekseni do ğrultusunda kuvvet ta şıyamaz. Bundan dolayı B mesneti sadece x ekseni do ğrultusunda tepki kuvveti uygulayabilir. 0 B y R = 0 x F ?= ? 0 AB xx RR += 0 y F ?= ? 1000 2400 0 A y Rgg --= 0 A M ?= ? 1,5 1000 2 2400 6 0 B x Rgg *- *- *= 52 Bu e şitliklerden 107,256 B x R kN = 107,256 AB xx RRk N =- =- 33,354 A y R kN = () () 22 107,256 33,354 A R =- + 112,32 A R kN = Problem 6.7.2 Hareketli bir kol C ye ba ğlanmı ş bir kablo ve A ile B deki sürtünmesiz tekerlekler yardımıyla dengede tutuluyor. Şekildeki yükleme halinde kablodaki kuvveti ve A ile B deki tepkileri hesaplayınız. 475mm 75mm 50mm 600N B C 90mm A Çözüm: 475mm 75mm 50mm 600N C S B R B C 90mm A A R A ve B mesnetlerinde sürtünme olmadı ğı için buradaki tepkiler yatay do ğrultudadır. 53 0 x F ?= ? 0 BA RR -= 0 y F ?= ? 600 0 C S-= 0 C M ?= ? 90 600 600 0 A R*-*= Bu üç denklemden 4000 A R Newton = , 4000 BA RRN e w t o n == 600 C SN = bulunur. Problem 6.7.3 Yay katsayısı k olan AC iç yayı ? = 60 0 iken do ğal uzunlu ğundadır. a) Sistemin denge durumunda ?, W , a ve k arasındaki ba ğıntıyı bulunuz. b) Denge durumunda W=80N , a =300 mm ve ? =25 0 oldu ğu bilindi ğine göre yay katsayısı k yı hesaplayınız. W B C A ? a Çözüm: W B N C F A ? a 54 a) 0 x F ?= ? cos 0 FN ?-= 0 y F ?= ? sin 0 FW ?-= Bu iki denklemden sin W F ? = e şitli ği bulunur. Ayrıca F yay kuvveti F ks = *? denklemi ile hesaplanır. Yaydaki kısalma 0 cos 60 cos aa s ? ?= - , 1 (2 ) cos sa ? ?= - 1 (2 ) cos Fk a ? =- 1 (2 ) cos sin W ka ? ? -= , 2sin tan W ka ?? -= b) () 2sin tan W k a ? ? = - , () 00 80 300 2sin 25 tan 25 k = - 0,704 / kN m m = 704 / kN m = Problem 6.7.4 A şa ğıda gösterilen çerçeve küçük bir yapının çatısını desteklemektedir. Kablodaki gerilme kuvvetinin 150 kN oldu ğu bilindi ğine göre E ankastre mesnetindeki tepkileri bulunuz. D 2,25m A B C 20kN 20kN 20kN 20kN 3,75m 1,8m 1,8m 1,8m 1,8m E I 4,5m 55 Çözüm: y D A B C 6m 20kN 20kN 20kN 20kN 1,8m 1,8m 1,8m 1,8m E x R E ? I x E M ? E y R 4,5m 150kN 0 x F ?= ? 150cos 0 E x R+? = 0 y F ?= ? 20 4 150sin 0 E y R -*- ? = 0 E M ?= ? 20 (1 ,8 2 1 ,8 3 1 ,8 4 1 ,8) 4,5 150 sin 0 E M +*+*+*+*-**? = cos EI DI ? = , sin DE DI ? = , 22 4,5 6 DI = + , 7,5 DI m = 4,5 cos 7,5 ? = , cos 0,6 ? = 6 sin 7,5 ? = , sin 0,8 ? = 150 0,6 E x R =- * , 90 E x R kN =- 20 4 150 0,8 E y R =*+* , 200 E y R kN = ()() 22 90 200 E R =- + 219, 4 E R kN = 20 (1,8 2 1,8 3 1,8 4 1,8) 4,5 150 0,8 0 E M = -*+*+*+*+**= 180 . E M kNm = 6.8 Üç boyutlu kuvvetler etkisindeki bir rijid cismin dengesi ile ilgili uygulamalar E ğer cisme etki eden dı ş kuvvetler ve mesnetlerden gelen tepkiler aynı düzlem içinde de ğil ise incelenen problem uzay statik problemidir. 0 = R , ? = 0 O M sıfıra e şde ğerlik ko şulu a şa ğıdaki gibi yazılabilir. 56 0 F = ? ? = 0 x F , ? = 0 y F , ? = 0 z F ? = 0 x M , ? = 0 y M , ? = 0 z M Problem 6.8.1 120kg kütleli ve 1.5m x 2.4m boyutlarındaki dikdörtgen şeklindeki bir reklam panosu A da küresel mafsal E ile B de birer kablo yardımı ile şekildeki gibi tesbit edilmi ştir. Kablolardaki kuvvetleri ve A mafsalındaki tepki kuvvetini bulunuz. y 2,4m 0,6m D 1,2m C 0,9m A z E 1,8m B 0,6m x 1,5m Çözüm: y 2,4m 0,6m D 1,2m C A y R 0,9m A y R A BD S A z R EC S E z 1,8m B G x 1,2m W=120g 1,2m 57 sıfıra e şde ğerlik ko şulu 0 F = ? ? 0 EC BD A SSRW +++= 0 A M = ? ? 0 EC BD AE S AB S AG W ?+?+?= EC EC EC SS U = , EC EC U EC = , () 2 22 (0 1,8) (0,9 0) (0,6 0) 1, 8 0, 9 0, 6 EC ijk U -+-+- = -++ 1, 8 0 , 9 0 , 6 2,1 EC ijk U -++ = , 632 777 EC Uijk =- + + , 632 777 EC EC EC EC SS iS jS k =- + + BD BD BD SS U = , BD BD U BD = , () 2 22 (0 2, 4) (1, 2 0) ( 2, 4 0) 2, 4 1, 2 2, 4 BD ijk U -+-+ -- = -++ 2, 4 1, 2 2, 4 3, 6 BD ijk U -+- = , 212 333 BD Uijk =- + - 212 333 BD BD BD BD SS iS jS k =- + - , Axyz R Ri Rj Rk =++ , 120 Wg j =- 1, 8 AE i = , 2, 4 AB i = , 1, 2 0, 7 5 AG i j =- 0 A M = ? ? 0 EC BD AE S AB S AG W ?+?+?= 632 212 1, 8 ( ) 2, 4 ( ) 777 333 (1, 2 0,75 ) ( 120 ) 0 EC EC EC BD BD BD iS iS jS kiS iS jS k ijg j ?- + + + ?- + - + +-? -= 3212 1,8 1,8 2, 4 2, 4 1, 2 120 0 7733 EC EC BD BD Sk Sj Sk Sj g k *- *+*+*- *= 4,8 3, 6 2, 4 5, 4 ( ) ( 144 ) 0 3737 AB DE CB DE C MSSjSSg k =-++-= ? 4,8 3, 6 0 37 2, 4 5, 4 144 0 37 BD EC BD EC SS SSg -= +-= ? 4,8 3, 6 0 37 4,8 10,8 288 37 BD EC BD EC SS SSg -= += ? 14, 4 288 7 EC Sg = 140 EC Sg = , 45 BD Sg = , 1373, 4 EC SN = , 441, 45 BD SN = 632212 () () 777333 ( ) ( 120 ) 0 EC EC EC BD BD BD xyz FS iS jS kS iS jS k Ri Rj Rk gj =- + + +- + - + ++++ - = ? 62 31 22 ( ) ( 120 ) ( ) 0 73 73 73 EC BD x EC BD y EC BD z FSSR iSSRg jSSR k =- - + + + + - + - + = ? 62 0 73 EC BD x SSR --+= ? 62 140 45 0 73 x gg R - -+= ? 150 x R g = 31 120 0 73 EC BD y SSRg ++-= ? 31 140 45 120 0 73 y gg Rg + +- = ? 45 y R g = 22 0 73 EC BD z SSR -+= ? 22 140 45 0 73 z gg R - += ? 10 z R g =- 1471,5 x R N = 441, 45 y R N = 98,1 z R N =- 58 Problem 6.8.2 450 N luk bir yük şekildeki gibi bükülmü ş bir rijid borunun C kö şesine uygulanmı ştır. Boru A da zemine ve D de dü şey duvara küresel mafsal ile E de ise EG kablosu yardımı ile tesbit edilmi ştir. a) EG kablosundaki gerilme kuvvetinin minumum olması için kablonun kar şı duvara ba ğlandı ğı G noktası nerde olmalıdır. b) Bu durumdaki minumum kablo kuvvetinin şiddetini bulunuz. y G D E C 2m 2m 4m P x 2m A 4m z Çözüm: y G ( x,y) D z R EG S D x R D B E C D y R 2m 2m 4m P 0 x 2m A x R A A 4m A z R A y R z 59 EG S kablo kuvvetinin minumum olması için kablonun do ğrultusu aynı kuvvetle AD eksenine göre en büyük momenti verecek şekilde olmalı yani AD ekseni ile E noktasının olu şturdu ğu düzleme dik olmalıdır. ED AD EG ? ?= olmalı (2 )(4 )2 EG x i y j k =-+-- , 2 2 ED i k =- , 4 4 2 AD i j k =+- 202 442 ijk ED AD ?= - - , 848 EDA Di jk ?=-+ 848(2 )(4 )2 ijkxiyjk ? ?? -+=-+-- (2 )8 (4 )4 28 x y ? ? ? -= -= - -= ? 4 488 41 64 x y ? =- -+= -+= - ? 0 5 x y = = 0 AD M ?= ? ()()0 EG AD AD DE S U DC P U ?•+?•= 2 2 DE i k =- + , 2 DC k = , 450 Pj =- , EG EG EG SS U = EG EG U EG = , 22 2 22 (2 ) 1 (2 ) EG ijk U -+- = -++ - , 212 333 EG Uijk =- + - 212 333 EG EG EG EG SS iS jS k =- + - AD AD U AD = , 22 2 442 44( 2 ) AD ijk U +- = ++ - , 221 333 AD Uijk =+- 212 (2 2) ( ) 333 EG EG EG EG DE S i k S i S j S k ?= -+? - + - 202 212 333 EG EG EG EG ijk DE S SSS ?=- -- , 282 333 EG EG EG EG DE S S i S j S k ?= - - - 2 450 DC P k j ?=? - , 900 DC P i ?= 2822 2 1 ( ) ( ) [( 900) )] ( ) 0 3333 3 3 EG AD AD EG EG EG DE S U DC P U S i S j S k i j k ?•+?•= -+-- •+-= 41 62 600 0 999 EG EG EG SSS -+-+= 26 0 0 0 EG S -+= ? 300 EG SN = 60 Problem 6.8.3 A da ankastre mesnetli ABCDE cismi şekildeki gibi yüklenmi ştir. a) A ankastre mesnetindeki tepkileri hesaplayınız. b) A ya çok yakın x eksenine dik kesitteki kesit zorlarını bulunuz. E F 2 = 200N 20cm y F 1 = 200N D A B x 20cm 40cm C F 3 = 350N z F 4 = 250N Çözüm: E F 2 = 200N 20cm y F 1 =200N D A R A M A B x 20cm 40cm C F 3 =350N z F 4 =250N a) sıfıra e şde ğerlik ko şulu 0 F = ? ? 1234 0 A RFFFF ++++= 0 A M = ? ? 1234 0 A M AD F AE F AC F AC F +?+?+?+?= 1 F ve 2 F kuvvet çifti oldu ğundan geometrik toplamı sıfır bile şke momenti ise 200 20 j * dır. 3 350 Fi = , 4 250 Fj =- , 40 20 AC i k =+ 350 250 0 A FR i j =+ - = ? ? 350 250 A R ij =- + 4000 (40 20 ) (350 250 ) 0 AA MM jik i j =+ ++?-= ? , 5000 11000 10000 A M ijk =- - + 61 b) A da ki x eksenine dik kesitteki normal kuvvet A R kuvvetinin kesite dik bile şenidir. normal kuvvet = 350N - ( Bu kuvvet cismi çekmeye çalı ştı ğından pozitif alınmalıdır.) A da ki x eksenine dik kesitteki kesme kuvveti A R kuvvetinin kesit içindeki bile şenidir. kesme kuvveti = 250N. 250N A da ki x eksenine dik kesitteki burulma momenti A M momentinin kesite dik bile şenidir. burulma momenti = 5000Ncm - A da ki x eksenine dik kesitteki e ğilme momenti A M momentinin kesite içindeki bile şenidir. e ğilme momenti = 11000 10000 j k -+ e ğilme momenti = 22 11000 10000 14866 Ncm += 62 BÖLÜM 7 SÜRTÜNME 7.1 Sürtünme ve sürtünme katsayısı W f ? R ? N W P f R ? N Yukardaki şekillerde gösterildi ği gibi e ğim açısı ? olan bir e ğik düzlem üzerine bırakılan bir cismin ? nın belli de ğerlerine kadar dengede kaldı ğı bilinir. Aynı şekilde yatay düzlem üzerine bırakılan bir cisme yatay do ğrultuda bir P kuvveti uygulanırsa P nin belli de ğerlerine kadar cismin dengede kaldı ğı bilinir. Bütün bunların nedeni temas eden yüzeyler do ğrultusunda tepki kuvvetlerinin olu şmasıdır. Bu kuvvetlere sürtünme kuvvetleri denir. ? = tan N f Sürtünme kuvvetinin maksimum de ğeri birbirlerine temasta olan cisimlerin cinslerine ve temas yüzeylerinin özelliklerine ba ğlıdır. dengede kalmak şartıyla ? nın en büyük de ğerinin tanjantına sürtünme katsayısı denir ve µ ile gösterilir. µ=tan ? maks. , N f maks µ = . 63 Çe şitli malzemeler için sürtünme katsayıları tablosu Problem 7.1.1 ? = 60 0 e ğim açılı e ğik düzlem ile üzerindeki W = 100 N. a ğırlı ğındaki cismin sürtünme katsayısı 0.4 µ = dır. P kuvvetinin hangi de ğerleri arasında cisim e ğik düzlem üzerinde hareketsiz kalır. Bu sınırlardaki sürtünme kuvvetinin de ğerlerini bulunuz. W P ? metal üstünde metal a0.15-0.60 metal tahta üstünde 0.20-0.60 metal ta ş üstünde 0.30-0.70 metal deri üstünde 0.30-0.60 tahta tahta üstünde 0.25-0.50 tahta deri üstünde 0.25-0.50 ta ş ta ş üstünde 0.40-0.70 toprak toprak üstünde 0.20-1.00 lastik beton üstünde 0.60-0.90 64 Çözüm: Cismin aşa ğı do ğru kaymaması için gerekli olan en küçük P kuvveti min . P dır.Bu durumda sürtünme kuvvetinin yönü yukarı do ğrudur. x W ? y min . P f N ? x ekseni e ğik düzlem do ğrultusunda ve y ekseni buna dik do ğrultuda alınıp bu düzlemde denge denklemleri a şa ğıdaki gibi yazılabilir. 0 x F = ? ? min sin 0 PfW +- ? = (1) 0 y F = ? ? cos 0 NW -? = ? 100cos 6 N 0 = 0 , 50 NN e w t o n = f N µ = ? 0, 4 50 f = * , 20 f Newton = min sin Pf W =- + ? , min 50 3 20 P=- , min 66,6 PN e w t o n = Cisim yukarı do ğru çıkma meyilinde ve hareketsiz durumda en büyük P kuvveti m. aks P dır. Bu durumda sürtünme kuvveti a şa ğı do ğrudur. x W ? y m. aks P f N ? Bu durumda sürtünme kuvvetinin yönü de ği şti ğinden sadece birinci denklem de ği şir. 0 x F = ? ? m. sin 0 aks Pf W -- ? = ? m. sin aks Pf W =+? m. 50 3 20 aks P =+ , m. 106,6 aks PN e w t o n = , 66,6 106,6 Newton P Newton ?? 65 7.2 mesnetlerdeki sürtünmeler Mesnetlerde temas yüzeyi belli ise sürtünme kuvveti bu yüzeye te ğettir. E ğer mesnet mafsal şeklinde ve temas yüzeyi bilinmiyorsa ise sürtünme momenti göz önüne alınarak i şlem yapılabilir. Problem 7.2.1 Şekilde görülen hareketli konsol 10 cm. çapındaki bir borunun üzerinde istenilen bir yüksekli ğe konulabilmektedir. Konsolla boru arasındaki sürtünme katsayısı 0, 25 µ = oldu ğuna göre , konsolun a ğırlı ğını ihmal ederek W yükünün ta şınabilece ği en küçük x uzaklı ğını bulunuz. x W 20 cm. 10 cm. Çözüm y x W A f x A A N 20 cm. B f B N 10 cm. B AA f N µ = , BB f N µ = , 0, 25 AA f N = , 0, 25 BB f N = 0 x F = ? ? 0 BA NN -= ? BA NN = 66 0 y F = ? ? 0 AB ffW +-= ? AB f fW + = ? 2 AB W ff == 2 BA NNW == 0 B M = ? ? 20 10 ( 5) 0 AA NfxW ---= 20 10 5 0 AA NfW xW --+= ? 20 10 5 AA NfW x W - + = 20 2 10 5 2 W WW x W *-*+ = , 40 5 5 WWW x W - + = , 40 . x cm = Problem 7.2.2 Şekildeki mekanizmada Bilezik ve çubuk arasındaki sürtünme katsayısı 0, 4 µ = , ? = 60 0 ve P = 200 N. oldu ğu bilindi ğine göre mekanizma kranka uygulanan M momentinin hangi de ğerlerinde dengededir. P C A M 100 mm. ? B 100 mm. 67 Çözüm: y f P N C y A R A x A R C S x M 100 mm. C S ? B 100 mm. C Bilezi ğinin yukarı do ğru kayma ba şlangıcında dengesi için : f N µ = , 0, 4 f N =* 0 x F = ? ? cos 0 C SN ?- = ? cos C NS = ? , 0, 4 cos C fS = ? 0 y F = ? ? sin 0 C Sf P ?- - = ? sin 0, 4 cos 0 CC SSP ?-? - = (sin 0,4cos C SP ?- ? )= ? sin 0,4cos C P S = ?-? , 0 200 sin 60 0,4cos C S 0 = -6 0 300, 289 . C SN = AB çubu ğunun dengesi için : 0 A M = ? ? . 100 cos maks C MS -? = 0 ? . 100 cos maks C MS = ? 100 300, 289cos maks M 0 =* 6 0 , . 15014,5 . maks M Nmm = C Bilezi ğinin a şa ğı do ğru kayma ba şlangıcında dengesi için : Bu durumun yukarıdaki şekilden farkı sürtünme kuvvetinin yönü yukarı do ğrudur. 0 y F = ? ? sin 0 C Sf P ?+ - = , sin 0,4 cos 0 CC SSP ?+? - = (sin 0,4cos C SP ?+ ? )= ? sin 0,4cos C P S = ?+? , 0 200 sin 60 0,4cos C S 0 = +6 0 187,613 . C SN = min . 100 cos C MS =? , min . 100 187,613cos M 0 =*6 0 , min . 9380,6 . M Nmm = 9,38 . 15,01 . Nm M Nm ?? 68 7.3 Halat veya kayı ş kasnak sürtünmesi y ? x d ?/2 d ?/2 s df s + ds ? d ? d ?/2 dN d ?/2 1 s 2 s Silindirik yüzey üzerine sarılı halattan alınan diferansiyel elemanda ? = 0 x F ? 0 ) 2 / ( ) 2 / ( ) ( = - ? - ? + df d Cos s d Cos ds s ? = 0 y F ? 0 ) 2 / ( ) 2 ( = ? + - d Sin ds s dN denklemleri yazılabilir. Cos (d ?/2) =1 , Sin (d ?/2) = (d ?/2) ve df = µ dN oldu ğu bilindi ğine göre ds = df , dN = s d ? , ds = µ s d? yazılabilir. ? µ = d s ds , ? ? ? ? µ = 0 1 2 d s ds S S , µ? = 2 1 ln s s , ? µ = e s s 2 1 elde edilir. Bu ça ğda kayı ş kasnak sistemlerinde düz kayı ş yerine daha çok a şa ğıda gösterilen kesiti V şeklinde olan V kayı şları kullanılır. y y d ? ß ß 2df x d ?/2 d ?/2 z s s + ds ß/2 ß/2 2 dN sin( ß/2) dN dN sin 2 d s ? , () s i n 2 d sd s ? + V kayı şlı kayı ş kasnak sistemlerinde kayı şın her iki yan yüzeyinde temas oldu ğundan diferansiyel elemanda sürtünme kuvvetinin iki katı alınır.Normal kuvvet yerine 2dNsin ß/2 alınarak düz kayı ş için yapılan i şlemler tekrar edilirse /sin( /2) 1 2 s e s µ? ß = formülü bulunur. 69 Problem 7.3.1 Bir gemiyi rıhtımda durdurmak için kullanılan halatın halka şeklinde olu şturulmu ş kısmı iskele babasına takılır.Halatın di ğer ucuna gemideki babanın etrafına 4 kere sarıldıktan sonra kuvvet uygulanır. Halata geminin uyguladı ğı kuvvet 20kN dır. görevlinin uyguladı ğı kuvvet 40N oldu ğuna göre halat ile baba denilen silindirik cismin yanal yüzeyi arasındaki sürtünme katsayısını bulunuz. 40 N. 20kN. Çözüm: 2 40 . S N = 1 20000N S = 1 2 S S e µ ? = , 1 20 . 20000 . Sk N N == , 42 ?=*? , 8 ?=? 8 20000 40 e µ ? = , 8 500 e µ ? = ? 8 ln 500 ln e µ ? = ? ln 500 8 µ =? ln 500 8 µ = ? , 0, 247 µ = 70 Problem 7.3.2 Bir elektrik motoru ile üretilen 60 Nm. lik bir momenti iletmek için bir yassı kayı ş kullanılmaktadır. Kayı ş şekilde görüldü ğü gibi 12 cm. çaplı motordaki kasnaktan aldı ğı momenti iletmektedir. Kayı şla kasnak arasındaki statik sürtünme katsayısı 0.3 dür. Kayı şın her iki kısmındaki çekmenin , kayma olmasını engelleyecek en küçük de ğerlerini bulunuz. 60 0 40 0 M Çözüm: 1 S 60 0 2 S M 40 0 30 0 A 50 0 ? Kayı ştaki büyük kuvvet momentin tersi yönünde olur. 1 2 S S e µ ? = , 0,3 µ = , 180 30 50 ?= + - , 0 160 ?= , 160 . rad ? ?= 180 2,793 . rad ?= 0,838 1 2 S S e = , 1 2 2,311 S S = , 12 2,311 SS = 0 A M = ? , 21 0 MSRSR +-= ? 12 M SS R -= , 12 60 0,12 / 2 SS -= 12 1000 SS N -= , 12 2,311 SS = , 22 2,311 1000 SS N - = ? 2 762,8 . SN = 1 1762,8 . SN = 71 BÖLÜM 8 YAYILI YÜKLER 8.1 Yayılı yüklerin tanımı Kuvvetler bir yüzeye veya bir hacme etki ederler. Ço ğu durumda bu kuvvetler yerine bunların bile şkesi tek bir kuvvetmi ş gibi gözönüne alınır. Burada yayılı yüklerin tekil yüklere dönüştürülme yöntemlerinden bahsedilecek. 8.2 Kiri şlerde Yayılı yükler q Q dq x a x dx ? b Yayılı yükün bile şkesinin şiddeti yayılı yük e ğrisi altındaki alana e şittir. ? = b a dq Q dx q dq · = ? = b a X dx q Q ) ( Yayılı yükün bile şkesi yayılı yük e ğrisi altındaki alanın merkezinden geçer. ? ? = ? b a X b a X dx q dx q x ) ( ) ( 72 Problem 8.2.1 Basit mesnetli bir kiri ş şekildeki gibi yayılı yük ta şımaktadır. mesnet tepkilerini hesaplayınız. 3600 / B qN m = 1500 / A qN m = A B L = 6m. Çözüm: y Ü Q D Q E 3600 / B qN m = 1500 / A qN m = D C A B x L/2 A R B R 2L/3 Dikdörtgeninin alanı D QA B C D = , 1500 D QL = * , 9000 . D QN = E Üçgeninin alanı Ü QC D = , (3600 1500) / 2 Ü QL =*- , 6300 . Ü QN = Dikdörtgeninin merkezinden geçer. D Q ABCD = E Üçgeninin merkezinden geçer. Ü QC D = 0 A M = ? ? 2 0 23 BD Ü LL RL Q Q --= ? 12 23 BD Ü RQQ =+ 12 9000 6300 23 B R=+ , 8700 . B R N = 0 y F = ? ? 0 ABDÜ RRQQ +--= ? ABD Ü R RQQ =-++ 8700 9000 6300 A R =- + + , 6600 . A R N = 73 Problem 8.2.2 Su dolu tankın altında bulunan 0,5m. X 0,8m. boyutlarındaki bir kapak A noktasından mafsallıdır. B deki bir çıkıntı yardımı ile a şa ğı do ğru dönmesi engellenmektedir. Kapak B den ba ğlanan ipe kuvvet uygulanarak açılabilmektedir. Kapa ğın açılabilmesi için ipe uygulanan en küçük kuvveti bulunuz. C P 0,27m. 0,45m. A 0,48m. B 0,64m. Çözüm: C 0,27 m P L 1 L 2 A q 0,45 m D Q A Ü Q B q 0,48 m B D 0,64 m 0, 45 0,5*1000 *9,81 A q=* , 2207,3 / A qN m = , (0, 45 0, 48) 0,5*1000 *9,81 B q = +* 4561,7 / B qN m = Kapa ğa etki eden yayılı yükte gösterilen üçgenin alanı Ü Q = ()/ 2 BA Ü QqqA B =-* , (4561,7 2207,3) 0,8 / 2 Ü Q = -* , 941,76 . Ü QN = Kapa ğa etki eden yayılı yükte gösterilen dikdörtgenin alanı D Q = DA QqA B =* , 2207,3 0,8 D Q=* , 1765,84 D QN = 1 2 3 LA B = , 2 1 2 LA B = 74 0 A M = ? , 21 0 32 D Ü BD CD P AD P BD Q AB Q AB BCB C -++= 22 BCB DC D =+ , 0, 27 0, 45 0, 48 CD=++ , 1, 2 CD m = ()() 22 0, 64 1, 2 BC=+ , 1,36 BCm = 0, 64 1, 2 2 1 0, 48 0,64 941,76 0,8 1765,84 0,8 0 1, 3 6 1, 3 6 3 2 PP -++= 0, 64 1, 2 2 1 ( 0, 48 0,64) 941,76 0,8 1765,84 0,8 0 1,36 1,36 3 2 P -++= ( 0,33882) 1208,608 0 P-+= ? 3567,1 PN = 75 BÖLÜM 9 KABLOLAR 9.1 Genel bilgi Kabloların asma köprüler , yüksek gerilim hatları , teleferikler ve yüksek kulelerin ba ğlantıları gibi bir çok uygulamaları vardır.Kablolar yükleme durumuna göre iki guruba ayrılır. a) Konsantre yükler etkisindeki kablolar b) Yayılı yükler etkisindeki kablolar Kabloların e ğilmeye kar şı direnci sıfır kabul edilir. Bundan dolayı kablodaki kuvvetin kablo do ğrultusunda olması gerekir. 9.2 Konsantre yükler etkisindeki kablolar A ve B sabit noktalarından ba ğlı P 1 , P 2 , . . . , P n yükleri etkisindeki kablo göz önüne alınır. L A y 1 y 2 y 3 d C 1 B x 1 P 1 C 2 C 3 x 2 P 2 P 3 x 3 76 Aynı kablonun serbest cisim diagramı a şa ğıdaki gibi çizilebilir. L R Ax A R Ay y 1 y 2 y 3 d C 1 B R Bx • D x 1 P 1 C 2 R By C 3 x 2 P 2 P 3 x 3 Burada A ve B deki tepki kuvvetlerini bulmak için yazılacak olan 0 x F = ? , 0 y F = ? , 0 z M = ? denklemler yeterli de ğildir. Bundan dolayı Bir kablo parçası için denklem yazmak gerekir. Buda ancak kablo üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bilmeyi gerektirir. Böylece kablonun AD parçası için a şa ğıdaki denklem yazılabilir. 0 D M = ? R Ax A R Ay y 1 y C 1 D • x 1 P 1 S x 77 Aynı şekilde dü şey yüklerin etki etti ği di ğer noktalarda da moment denklemleri yazılabilir. R Ax A R Ay y 1 y 2 C 1 • D x 1 P 1 C 2 ? P 2 S x 2 Mesnetten itibaren herhangi bir kablo için yazılan 0 x F = ? denkleminden cos Ax SR ? =- e şitli ği bulunur. Bu e şitlikten ? büyüdükçe kablodaki kuvvetin şiddetinin büyüdü ğü anla şılır. Problem 9.2.1 AE kablosu gösterilen noktalarda üç dü şey yük ta şıyor. C noktası sol mesnedin 1 m altında oldu ğuna göre a) B ve D noktalarının düzeylerini b) Kablodaki maksimum e ğim ve maksimum çekme kuvvetini bulunuz. E 4 m D 2 kN A C 1m B 3 kN 6 kN 4 m 2 m 3 m 3 m 78 Çözüm: a) B ve D noktalarının düzeylerini bulmak için önce A mesnedindeki tepkileri bulmak gerekir . A mesnedindeki tepkileri bulmak için de tüm kablo ve kablonun ABC kısmının dengesi ayrı ayrı göz önüne alınır. Tüm kablonun serbest cisim diyagramı: R Ey y E R Ex R Ay 4 m D 2 kN A R Ax x C 1m B 3kN 6kN 4 m 2 m 3 m 3 m 0 E M = ? 4 12 8 3 6 6 3 2 0 Ax Ay RR -+ * + * + * = , 4 12 66 Ax Ay RR - =- (1) Kablonun ABC kısmının serbest cisim diagramı y R Ay A R Ax x C 1m B 3kN 6kN 4 m 2 m 0 C M = ? 6 3 2 0 Ax Ay RR +- * = , 6 6 Ax Ay RR + = (2) Bu (1) ve (2) nolu denklemden A daki mesnet tepkileri bulunur. 4 12 66 Ax Ay RR -= - 2( 6 )26 Ax Ay RR +*+ =* 9 Ax R kN = - , 2,5 Ay R kN = 65 4 Ax R =- 79 B Noktasının düzeyi için kablonun AB kısmının dengesi göz önüne alınır. y R Ay A R Ax x B B y 3kN 4 m 0 B M = ? 40 BA xA y yR R *+= , ( ) 942 , 50 B y * -+* = ? 1,111 B ym = D Noktasının düzeyi için kablonun ABCD kısmının dengesi göz önüne alınır. y R Ay DE S D ? DE R Ax 2 kN D y x A C 1m B 3kN 6kN 4 m 2 m 3 m 0 D M = ? 95 3 3 6 0 DA x A y yR R -+ * + * = , ( 9) 10,5 D y - =- 1, 1 6 7 D y m = 80 b) Maksimum e ğim ve maksimum çekme : Maksimum e ğimin oldu ğu kablodaki çekme kuvveti Maksimum kuvvettir. Kablodaki kuvvetin yatay bile şeni mesnetlerdeki kuvvetin yatay bile şenine e şittir. 1,111 arctan 4 AB ? = , 0 15,522 AB ? = 0,111 arctan 2 BC ? = , 0 3,18 BC ? = 2,167 arctan 3 CD ? = , 35,842 CD ? = (4 1,167) arctan 3 DE ? - = , 43,36 DE ? = 0 9 cos 43,36 DE S = , 12,38 DE Sk N = 81 9.3 Yayılı yükler etkisindeki kablolar. B D A C Yukarıdaki Şekilde gösterilen yayılı yük etkisindeki kablonun CD kısmının serbest cisim diagramı a şa ğıdaki gibidir. S ? S o Q Burada Q kablonun CD kısmı boyunca etki eden yayılı yükün bile şkesidir. CD kısmına etki eden tüm kuvvetlerin toplamı denge şartından dolayı sıfır olmalıdır. Böylece S S o ve W kuvvetleri uç uca eklendi ğinde kapalı bir üçgen olu şturur. S Q ? S o cos O SS ? = sin SQ ? = 22 O SSQ =+ , tan O Q S ? = 82 9.3.1 Yatayda düzgün yayılı yük etkisindeki kablolar (parabolik kablo) Kütlesi uzunlu ğu boyunca sabit olan ve birim uzunlu ğunun kütlesi q olan yatay bir tablayı ta şıyan asma köprünün kablosunu göz önüne alalım. y B A C(x,y) • O x Burada kablonun OC kısmının serbest cisim diagramı a şa ğıdaki gibi gösterilebilir. y S ? S C qx S o O y x ? qx S o x/2 x Kablonun OC kısmına etki eden S , S o ve qx kuvvetlerinin toplamının sıfır olması gerekti ğinden bunlar uç uca eklendi ğinde bir dik üçgen olu ştururlar. Bu dik üçgenden faydalanarak a şa ğıdaki e şitlikler yazılabilir. 22 2 O SSq x =+ tan O qx S ? = Ayrıca kablonun OC kısmına etki eden kuvvetlerin C noktasına göre momenti alınırsa a şa ğıdaki denklem yazılabilir. 0 C M = ? ? 0 2 O x qx S y -= 2 2 O qx y S = Bu bir parabol denklemidir. 83 E ğer kablonun iki ucuda aynı yükseklikte ise ve kablonun en alt noktasının derinli ği ile iki uc arasındaki uzaklık biliniyorsa yatayda yayılı yükün şiddeti verildi ğinde 2 2 O qx y S = denkleminden kablodaki en küçük kuvvet S o bulunur. Bu S o de ğeriyle 22 2 O SSq x =+ denklemine gidildi ğinde kablonun herhangi bir x koordinatına sahip noktasındaki S de ğeri hesaplanabilir. Problem 9.3.1.1 Ab kablosu şekilde görüldü ğü gibi yatayda düzgün yayılı bir yükü ta şımaktadır. Kablonun en alt noktası A mesnedinin 3 m altındadır. Kablodaki maksimum ve minimum çekme kuvveti de ğerlerini bulunuz. B 6 m A 3 m q = 5 kN /m 40 m Çözüm: Yük yatayda düzgün yayılı oldu ğundan kablo paraboliktir. Koorninat ba şlangıcını C en alt noktasında seçilirse Kablo denklemi 2 0 2 q y x S = formunda yazılabilir. y B 9 m 9 B y m = A 3 A y m = C x A x B x 40 m 84 2 B B y kx = , 2 A A y kx = , 40 BA xx - = ? 40 BA xx = + 2 ( 40) BA yk x =+ , 2 2 ( 40) 9 3 BA A A yk x y kx + == , 22 80 1600 3 A AA xxx ++= 2 2 80 1600 0 AA xx -++= , 80 6400 12800 4 A x -+ = - ± , 80 19200 4 A x - = - ± 80 19200 4 A x - = - ± , 54,64 A x m = veya 14,641 A x m = - ilk kök 40 m den büyük oldu ğu için göz önüne alınmaz 14,641 A x m = - kabul edilir. 25,359 B x m = Kablodaki minimum çekme kablonun an alt seviyesi olan C noktasında olur. A noktasının hesaplanan koordinatları 2 0 2 q y x S = denkleminde yerine konursa 0 S bulunur. () 2 0 5 3 14,641 2 m S =- , () 2 0 5 14,641 6 Sm =- , 0 178,63 Sk N = Kablodaki maksimum çekme kablonun e ğiminin en fazla oldu ğu B noktasında olur. B noktasının x koordinatı ve 0 S de ğeri 22 2 O SSq x =+ denkleminde yerine konursa 22 2 . 178,63 5 25,359 maks S=+ * , . 219,06 maks Sk N = max 5 25,359 tan 178,63 ? * = , 0 max 35,37 ? = 85 9.3.2 Kendi a ğırlı ğı etkisinde olan homojen yapıdaki kablo veya zincirin dengesi y B A l D(x,y) C c x S d l ? D dy S l q l dx ? S o S o C q l 22 2 O SSq =+ , Qq = İşlemleri sadele ştirmek için O S c q = göz önüne alınır. O Sq c = , 22 Sqc =+ cos dx d ? = , cos O S S ? = O S dx d S = , 22 c dx d c ? ? = + , 2 2 1 d dx c = + 22 1 O d x c = + ? , 11 sinh sinh O xc c cc -- ?? == ?? ?? › sinh x c c = tan dy dx ? = , O W dy dx S = , dy dx c = , sinh x dy dx c = Bu son denklem C(0,c) den D(x,y) ye integre edilirse 86 sinh cosh (cosh 1) x x O O xxx yc d xc c ccc ?? -= = = - ?? ?? ? cosh x yc c = , 222 y c -= e şitli ği bulunur. O Sq c = , Qq = , Sq y = e ğer A ve B mesnetlerinin yüksekli ği aynı ise derinlik A hyc =- olur. Problem 9.3.2.1 60 N/m a ğırlı ğındaki bir üniform kablo , şekilde görüldü ğü gibi iki A ve noktası arasına asılmı ştır. a) Kablodaki maksimum ve minimum çekme de ğerlerini b) kablonun uzunlu ğunu bulunuz. A B 20 m 100 m Çözüm : a) min O SSq c == maks maks Sq y = , maks B Sq y = E ğer koordinat ba şlangıcı kablonun alt noktasından c kadar altında alınırsa kablo denklemi cosh x yc c = şeklinde yazılabilir. y A B B y c B x B noktasının koordinatları 50 B x m = , 20 B y c = + kablo denkleminde yerine konursa 50 20 cosh cc c += ? 50 20 cosh 0 cc c +-= denklemi elde edilir. 87 50 () 2 0 c o s h fc cc c =+- denklemini sıfır yapan c de ğeri orta nokta metodu ile bulunur. c l u c 2 l r c c c + = ( ) f c l ( ) u f c 0 0 100 r yeni r eski a r yeni cc c ? - =* 1 100 50,5 21 2,59 10 -* 7,2374 50,5 100 75,25 -6,4841 7,2374 33 50,5 75,25 62,875 -6,4841 2,7685 19,7 62,875 75,25 69,0625 -0,95075 2,7685 62,875 69,0625 65,9688 -0,95075 1,09594 62,875 65,9688 64,422 -0,95075 1,26988 64,422 65,9688 65,1954 -0,39713 1,26988 65,195 65,9688 65,5819 -0,1315 1,26988 65,5819 65,9688 65,7754 -0,0014567 1,26988 65,5819 65,7754 65,6787 -0,0014567 0,062988 65,5819 65,6787 65,6303 -0,0014567 0,030828 65,5819 65,6303 65,6061 -0,0014567 0,014707 65,5819 65,6061 65,594 -0,0014567 0,006629 65,5819 65,594 65,58795 -0,0014567 0,002587 65,5819 65,58795 65,58493 -0,0014567 0,000565 65,58493 65,58795 65,58644 -0,0004457 0,000565 65,58493 65,58644 65,5857 -0,0004457 0,000061 0,00113 65,586 c = 20 B y c =+ ? 20 65,586 B y =+ , 85,586 B y m = min O SSq c == ? min 60 65,586 S =* , min 3935,16 SN = maks B Sq y = ? 60 85,586 maks S =* , 5135,16 maks SN = b) l kablo uzunlu ğu 2 2 2 c y = - denkleminden bulunur. 222 yc =- , 22 y c =- , 22 2 B y c =*- , 22 2 85,586 65,586 =* - 109,972 m = 88 BÖLÜM 10 DÜZLEM KAFES K İR İŞ S İSTEMLER İ 10.1 Genel bilgi ve tarifler Aynı düzlem içinde birbirlerine uç noktalarından ba ğlanarak bir rijid yapı olu şturan çubuklar toplulu ğuna düzlem kafes sistemi denir. Uç noktalarından ba ğlanma şekli pratik uygulamalarında kaynaklı birle ştirme şeklinde olmasına kar şı hesaplamalarda sürtünmesiz silindirik mafsallı kabul edilir. Ayrıca çubuklar uç noktaları dı şında yüklenmemi ş kabul edilir. Böylece çubuklarda olu şacak iç kuvvetler çubuk do ğrultusunda alınabilir. Kafes kiri ş sistemlerinin yapım kolaylı ğı ucuzlu ğu ve hafifli ği dolayısıyla bir çok yerde uygulama alanı vardır. Tren köprüleri, vinç kolları ve kuleleri , gezer köprülü vinçler , yüksek gerilim hattı direkleri , radyo verici antenleri ,Depo ve çiftlik çatı kiri şleri gibi alanlarda uygulamalarına rastlanır. Kafes sisteminde uç noktalarının birle şme yerlerine dü ğüm noktaları denir. 10.2 Basit kafes sistemi Üç çubuktan olu şan kafes sistemi bir basit kafes sistemidir. Bu sistem üç çubuk ve üç dü ğüm noktası içerir. Bu sisteme eklenecek iki çubuk dü ğüm noktası sayısını bir artırır. Böylece olu şturulacak m sayıdaki çubuk ve n sayıdaki düğüm noktasından olu şan kafes sistemi de bir basit kafes sistemidir. m = 3 n = 3 m = 5 n = 4 m = 7 n = 5 89 Bir basit kafes sisteminde m = çubuk sayısı n = dü ğüm noktası sayısı olmak üzere 2n = m + 3 olur. Pratt Howe Şekil 10.1 Çe şitli çatı kafes sistemi örnekleri Pratt Howe Warren Şekil 10.2 Çe şitli köprü kafes sistemi örnekleri 90 10.3 Dü ğüm noktaları metodu ile kafes sisteminin analizi Kafes sisteminin her bir dü ğüm noktası için 2 denklem yazılır. n tane dü ğüm noktalı bir kafes sisteminde 2n denklem yazılaca ğından 2n sayıda bilinmiyen çözülebilir. Toplam çubuk sayısı 2n-3 ve mesnetlerden de 3 bilinmiyen gelece ğine göre denklem sayısı yeterli olur. Ayrıca sistem bütün bir rijid cisim gibi alınıp dengesi dü şünüldü ğünde 3 denklem daha yazılabilir. Bundan dolayı dü ğüm noktaları metodu ile fazladan elde edilen 3 denklem sonuçların kontrolu için kullanılabilir.Bir kafes sisteminde çubuk kuvvetlerini bulmadan önce sistem bütün bir rijid cisim olarak göz önüne alınıp mesnet tepkileri bulunabilir. Daha sonra dü ğüm noktalarının dengesi dü şünülerek en fazla iki bilinmiyen içerecek şekilde dü ğüm noktası seçip i şleme ba şlanır. Çubuklardan dü ğüm noktalarına gelen kuvvetler çubuk do ğrultularında alınır.Dü ğüm noktalarındaki kuvvetlerle çubuklardaki kuvvetler etki tepki ilkesine göre birbirinin tam zıttıdır. Bir dü ğüm noktasındaki bilinmiyenler çözüldü ğünde bu dü ğüm noktasına çubuklarla direk ba ğlı di ğer dü ğüm noktalarında da birer tane bilinmiyen azalaca ğından en fazla iki bilinmiyen içeren dü ğüm noktalarını bulmak kolayla şır. C A D B P C A D B R Ax R Ay P C R B A B D 91 Problem 10.3.1 Verilen kafes sistemindeki çubuk kuvvetlerini dü ğüm noktaları metodunu kullanarak bulunuz. 6 m 6 m 20kN 10kN A B C 4 m D E 3 m 6 m 3 m Çözüm: Tüm kafes sistemi için serbest cisim diagramı 6 m 6 m y 20kN 10kN Cy R A B C Cx R x 4 m D E E R 3 m 6 m 3 m Tüm kafes sisteminin dengesi 0 C M = ? ? 31 2 2 06 1 00 E R -*-*= ? 100 E R kN = 0 x F = ? ? 0 Cx R = 0 y F = ? ? 20 10 0 Cy E RR +--= ? 70 Cy R kN = - 92 A dü ğüm noktası: AD S 20kN 3 5 4 A AB S 20kN 5 AB S 4 AD S 3 A dü ğüm noktasına etki eden kuvvetlerin geometrik toplamı kapalı bir üçgen olu şturur . Bu kuvvetlerin şiddetleri ile bu üçgenin veya benzer üçgenlerin kenar uzunlukları orantılı olur. 20 354 AB AD SS == ? 15 AB Sk N = , 25 AD Sk N = D dü ğüm noktası: DB S DB S 5m 25 DA Sk N = 25 DA Sk N = 6 m DE S DE S D 25 565 DB DE SS == ? 25 DB Sk N = , 30 DE Sk N = B dü ğüm noktası: 10kN 15 BA Sk N = B BC S 3 5 4 4 5 3 BE S 25 BD Sk N = B dü ğüm noktası için denge denklemleri 0 x F = ? ? 33 15 25 0 55 BC BE SS + -- = 37,5 BE Sk N =- ( BE S bası yönünde ) 0 y F = ? ? 44 25 10 0 55 BE S ---= 52,5 BC Sk N = 93 E dü ğüm noktası: 37,5 EB Sk N = EC S 4 5 5 4 3 3 E 30 ED Sk N = 100 E R kN = E dü ğüm noktası için denge denklemleri 0 x F = ? ? 33 30 37,5 0 55 EC S ++ = 87,5 EC Sk N =- ( BE S bası yönünde) 0 y F = ? ? 44 100 37,5 0 55 EC S +- = 44 ( 87,5) 100 37,5 0 55 - +- = (kontrol için) C dü ğüm noktası: Bu dü ğüm noktası kullanılarak C deki mesnet tepkileri bulunabilir. Bu mesnet tepkileri tüm kafes sistemi bir rijid cisim gibi dü şünülerek daha önce bulundu ğuna göre burada kontrol yapılır. 70 Cy R kN = 52.5 CB Sk N = 0 Cx R = C 5 4 87.5 CE Sk N = 3 C dü ğüm noktası için denge denklemleri ( Kontrol için ) 0 x F = ? ? 3 0 5 C x CE CB RSS +-= 3 0 87,5 52,5 0 5 + -= 0 y F = ? ? 4 70 0 5 CE S -= 4 87,5 70 0 5 - = 94 10.4 Özel düğüm noktaları Bir dü ğüm noktasında 4 tane çubuk şekildeki gibi iki şer iki şer aynı do ğrultuda ise burada olu şturulacak kuvvet poligonu paralel kenar olur. Bundan dolayı aynı do ğrultudaki çubuklara etki eden kuvvetlerin şiddeti birbirine e şit yönü birbirinin zıttı olur. E B S AE S AB S AB S AC A A S AE S AD S AD D S AC C Üç çubuktan olu şan bir dü ğüm noktasında çubuklardan ikisi aynı do ğrultuda di ğeri farklı do ğrultuda yerle ştirilmi ştir.Ayrıca bir P kuvveti bu dü ğüm noktasına farklı do ğrultudaki çubu ğun do ğrultusunda uygulandı ğında yine bu 4 kuvvet üzerine kurulan poligon paralel kenar şeklinde olur. Paralel kenarın kar şılıklı kenarlarının uzunlukları birbirine e şit olaca ğından farklı do ğrultudaki çubuk kuvvetinin şiddeti P kuvvetine e şit olur. E ğer bu P kuvveti kaldırılırsa farklı do ğrultudaki çubu ğun kuvveti sıfır olur. P B B A A D D C C 95 İki çubuktan olu şan dü ğüm noktalarında iki çubuk aynı do ğrultuda ise bunlara etki eden kuvvetlerin şiddetleri birbirine e şit yönleri birbirine zıttır. Böyle bir dü ğüm noktasına ba şka bir P kuvveti etki ediyorsa bunun şiddeti sıfır olmalıdır. İki çubuktan olu şan dü ğüm noktasındaki çubuklar farklı do ğrultularda ise bu çubuklardaki kuvvetler sıfırdır. B A A C B C A şa ğıda gösterilen kafes sisteminde BM ve FI çubuk kuvvetleri sıfırdır. FI çubuk kuvveti sıfır oldu ğu için FJ çubuk kuvveti de sıfırdır. D P 3 P 2 P 1 C E B F R AX A H M L K J I R Ay P 4 R B 96 10.5 Kesim metodu ile kafes sisteminin analizi Tüm sistemin analizi yerine çubuklardan bazılarına gelen kuvvetler hesaplanaca ğı zaman kesim metodu daha pratiktir. Bu metotta kafes sistemi hesabı istenen çubuktan geçen ve bilinmiyen üç çubuktan fazla çubuk içermiyecek şekilde bir çizgi ile ikiye ayrılır. Ayrılan taraflardan birinde yazılacak olan ? = 0 x F , ? = 0 y F , ? = 0 M denklemleri ile üç bilinmiyen çözülebilir. P 1 P 2 P 3 A B C D F E P 1 P 2 A B S BC S BE F E S FE ? = 0 x F dan 0 = + + FE BE BC S BE FE S S ? = 0 y F dan 0 2 1 = + + BE BF S P P BE ? BF BE P P S BE ) ( 2 1 + - = ? = 0 E M dan 0 ) ( 1 = + - FE AB P BF S BC ? BF FE AB P S BC + = 1 Bu elde edilen S BE ve S BC kuvvetleri 1. denklemde yerine konursa BF FE P P BF FE AB P S FE ) ( 2 1 1 + + + - = elde edilir. 97 Problem 10.5.1 Şekilde gösterilen kafes sistemindeki FH , GH ve GI çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz. 1kN 1kN F 1kN 1kN D H 1kN 8 m B J A L C E G I K 5kN 5kN 5kN 5 m 5 m 5 m 5 m 5 m 5 m Çözüm: Tüm cismin serbest cisim diagramı 1kN y n 1kN F 1kN 1kN D H 1kN 8 m B J A ? L x C E G I K A R 5kN 5kN 5kN n L R 5 m 5 m 5 m 5 m 5 m 5 m Tüm cisim için yazılacak denge denklemlerinden A R ve L R mesnet tepkileri bulunur. 0 y F = ? ? 51350 AL RR +-* -*= ? 20 AL R Rk N + = 0 A M = ? ? 30 (5 10 15 20 25) 1 (5 10 15) 5 0 L R -++++*-++*= ? 7,5 L R kN = 20 AL R Rk N += ? 7,5 20 A R kN += ? 12,5 A R kN = sin FG FL ? = , cos GL FL ? = , 22 FL GL FG =+ , 22 15 8 FL = + , 17 FL m = 8 sin 17 ? = , 15 cos 17 ? = 98 tan FG GL ? = , 8 tan 15 ? = ? 0 28,0725 ? = kafes sistemi nn do ğrusundan geçecek şekilde bir kesitle kesildikten sonra geri kalan parça için yazılacak denge denklemlerinden istenen çubuk kuvvetleri bulunur. Çünkü kesit bu çubukları içine alacak şekilde seçilmi ştir. F 1kN HF S H 1kN 8 m HG S J ß IG S ? L x G I K L R 5 m 5 m 5 m sin GI GH ß = , cos HI GH ß = , 22 GH GI HI =+ , 10 81 5 HI = ? 16 3 HI m = 22 16 5() 3 GH=+ , 481 3 GH = , 15 sin 481 ß = , 16 cos 481 ß = Kesildikten sonra geri kalan parça için denge denklemleri: 0 x F = ? ? cos sin 0 HF HG IG SSS ? ß --- = 0 y F = ? ? sin cos 1 1 0 HF HG L SS R ? ß- - -+ = 0 G M = ? ? cos sin 1 1 0 HF HF L HI S GI S GI GK GL R ?+ ? - *- *+ = , 16 15 8 5 5 10 15 7,5 0 31 7 1 7 HF HF SS +- - + * = ? 120 97,5 17 HF S =- ? 13,8125 HF Sk N =- 0 y F = ? ? 81 6 13,8125 1 1 7,5 0 17 481 HG S -- -- + = ? 481 16 HG Sk N =- 1,371 HG Sk N =- 0 x F = ? ? 15 481 15 ( 13,8125) ( ) 0 17 16 481 IG S -- -- - = ? 13,125 IG Sk N = 99 BÖLÜM 11 ÇERÇEVE VE MAK İNELER 11.1 Giri ş Birden fazla sayıdaki parçaların mafsallar yardımıyla birle şiminden ortaya çıkan yapılarda bazı durumlarda kafes sisteminde farklı olarak elemanlara kendi do ğrultuları dı şındada ihmal edilemeyen büyüklükte kuvvetler gelebilir. Bu durumdaki sistemlere çerçeve veya makine denir. Çerçeveler Genellikle sabittir ve yükleri ta şımak için olu şturulur. Makineler ise sabit veya hareketli olup kuvvetleri iletmek veya de ği ştirmek için imal edilir. makineler daima hareketli parçaları içerirler. 11.2 Çerçeveler Çe şitli kuvvetler etkisindeki n sayıda parçadan olu şmu ş bir çerçeveye ait problemi klasik denge denklemleri ile çözmek için parçalarına ayırmak gerekir. Çerçeve parçalarına ayrıldıktan sonra her bir parça ayrı bir rijid cisim gibi dü şünülerek denge denklemleri yazılır.Ayrıca birle şme yerlerinde etki –tepki ilkesi göz önünde bulundurulur. D E F C B W A H 100 D C E S F W B R Ax A R Ay D C E R Cy -R Cx F R Cx C -R Cy S BE -S BE W B -S BE E B S BE R Ax A R Ay 101 Problem 11.2.1 Şekilde gösterilen çerçevedeki ACE ve BCD elemanları C de bir pim ve DE ba ğlantı çubu ğu ile birbirine ba ğlanmı ştır. Gösterilen yükleme durumunda DE ba ğlantı çubu ğundaki kuvveti ve C den BCD elemanına gelen kuvvetin bile şenlerini bulunuz. A 160 mm 480 N B 150 mm 60 mm C D 80 mm E 60mm 100mm 150 mm Çözüm: Tüm cisim için serbest cisim diyagramı y A y R A Ax R 160 mm 480 N B R B 150 mm 60 mm C D 80 mm ? x E 60mm 100mm 150 mm Tüm cisim için denge denklemleri: 0 x F = ? ? 0 Ax B RR += ? AxB R R = - 0 y F = ? ? 480 0 Ay R - = ? 480 Ay R N = 0 A M = ? ? 160 100 480 0 B R-*= ? 300 B R N = , 300 Ax R N = - 22 80 sin 150 80 ? = + , 8 sin 17 ? = , 22 150 cos 150 80 ? = + , 15 cos 17 ? = 102 BCD cismi için serbest cisim diyagramı : 60mm 100 mm 150 mm 300 B R N = B Cy R 480 N 60 mm C Cx R ? DE S BCD cismi için denge denklemleri : 0 x F = ? ? cos 300 0 Cx DE RS ? -+ = 0 y F = ? ? sin 480 0 Cy DE RS ? -- = 0 C M = ? ? (100 150) sin 60 300 100 480 0 DE S ? ++ * + * = 17(100 480 60 300) 8 250 DE S *+* =- * , 561 DE SN =- 0 x F = ? ? 15 ( 561) 300 0 17 Cx R -- + = , 15 561 300 17 Cx R =- - , 795 Cx R N =- 0 y F = ? ? 8 ( 561) 480 0 17 Cy R -- - = , 216 Cy R N = ACE cismi için serbest cisim diyagramı : A y R A Ax R 220 mm Cx R C DE S 80 mm Cy R E ? 100 mm ACE cismi için denge denklemleri (kontrol için) 0 x F = ? ? cos 0 Ax Cx DE RRS ? -+= , () () 15 ( 300) 795 561 0 17 - -- +- = 0 y F = ? ? sin 0 Ay Cy DE RRS ? -+= , () 8 480 216 561 0 17 - +- = 0 A M = ? ? 220 300 cos 100 sin 0 C x DE DE RS S ? ? -+ + = ()() () 15 8 220 795 300 561 100 561 0 17 17 --+- +- = 103 11.3 Makineler Makineler kuvvetleri iletmek veya de ği ştirmek için kullanılan yapılardır. İster tek bir alet ve komple bir mekanizma olsun tümünde iletilen giri ş kuvvet veya momentleri ile çıkı şta olu şturulan kuvvet veya momentler göz önüne alınır. Bu tür yapıların çözümünde çerçevelerdeki aynı yöntem izlenir. Yani tüm yapı elemanlarına ayrılıp her bir eleman için temel denklemler yazılır. Ayrıca birle şme veya temas noktalarında etki tepki ilkesi kullanılır. A şa ğıdaki şekilde gösterilen el makasında AB kolunun A ucuna uygulanan P Kuvveti bu makasın mekanizması tarafından Q kuvvetine dönü ştürülür. A P B Q Problem 11.3.1 A şa ğıda gösterilen mekanizmayı dengede tutmak için CD krankına uygulanması gereken C M momentinin şiddetini bulunuz. D blo ğu CD krankına bir pimle ba ğlanmı ştır ve AB elemanında açılmı ş bir yarık içinde serbestçe kayabilir. 10 cm D B A 1500 N 60 0 C M C 45 cm 30 cm 104 Çözüm : Tüm cisim için serbest cisim diyagramı: 10 cm D B 1500 N Ax R A 60 0 ? Cx R C M C A y R Cy R 45 cm 30 cm Tüm cisim için denge denklemleri: 0 x F = ? ? 0 Ax C x RR += ? AxC x R R = - 0 y F = ? ? 1500 0 Ay C y RR + -= ? 0 A M = ? ? 45 75 1500 0 CC y MR + -* = 22 2c o s AD AC CD AC CD ACD =+-* , 22 0 45 10 2 45 10cos120 AD=+- * * 50,74446 AD cm = 0 sin 60 sin CD AD ? = , 0 10sin 60 sin 50,74446 ? = ? 0 9,826 ? = AB elemanı için serbest cisim diyagramı : D B 1500 N Ax R A D R A y R 75 cm AB elemanı için moment denklemi : 0 A M = ? ? 75 1500 0 D AD R -* = ? 2216,991 D R N = CD Krankı için serbest cisim diyagramı: 10 cm D R 90- ? D M C 60 0 Cx R C Cy R 105 CD Krankı için denge denklemleri : 0 x F = ? ? () cos 90 0 Cx D RR ? +- = ? ( ) cos 90 Cx D RR ? =-- () 2216,991 cos 90 9,826 Cx R =- * - , 378,344 Cx R N = - 0 y F = ? ? () sin 90 0 Cy D RR ? -- = ? () 2216,991 sin 90 9,826 Cy R=*- 2184, 47 Cy R N = 0 C M = ? ? 0 CD MkC DR +?= 00 (10cos 60 10sin 60 ) [ cos(90 ) sin(90 ) ] 0 CD D Mk i j R iR j ?? ++?- -- = 00 [ 10cos 60 sin(90 ) 10sin 60 cos(90 )] 0 CDD Mk R R k ?? +- - - - = 00 10cos 60 sin(90 ) 10sin 60 cos(90 ) CD D MR R ? ? =+ - + - 00 10cos 60 2216,991 sin80,1736 10sin 60 2216,991 cos80,1736 C M =+ * * + * * 14199 C M Ncm = Tüm cisim için denge denklemleri: 0 x F = ? ? 0 Ax C x RR += ? AxC x R R = - ? 378,344 Ax R N = 0 y F = ? ? 1500 0 Ay C y RR + -= ? 684, 47 Ay R = - Tüm cisim için moment denklemi: ( kontrol için ) 0 A M = ? ? 45 75 1500 0 CC y MR +- *= ? 14199 45 2184, 47 75 1500 0 +*- *= ? 0,15 0 ? alınabilir.( yuvarlatma hatalarından kaynaklanır.) 106 BÖLÜM 12 K İR İŞLERDEK İ KES İT ZORLARI KESME KUVVETİ VE EĞİLME MOMENT İ D İYAGRAMLARI 12.1 Kiri şlerde kesit zorları Bir kiri şin enine kesitindeki iç kuvvetlerin ve momentlerin kesit düzleminde ve kesite dik olmak üzere alınan bile şenlerine kesit zorları denir. Kiri şlerin boyutlandırılmasında kesit zorlarının bilinmesi hesapları kolayla ştırır. Kesit zorlarının bile şenleri etki şekline göre a şa ğıdaki gibi isimlendirilir. Normal kuvvet : Kesite etki eden iç kuvvetin kesite dik bile şeni. Kesme kuvveti : Kesite etki eden iç kuvvetin kesit düzlemindeki bile şeni. Burulma momenti: Kesite etki eden momentin kesite dik bile şeni. E ğilme momenti : Kesite etki eden momentin kesit düzlemindeki bile şeni. 12.2 Kesit zorları için kabul edilen pozitif yönler Normal kuvvet ve burulma momenti kesitten dı şarı do ğru ise pozitif kabul edilir. Kesme kuvveti kesit düzleminin ayırdı ğı parçalardan sa ğdakini a şa ğı do ğru harekete zorluyorsa pozitif alınır. E ğilme momenti kiri şi a şa ğıya do ğru bel verecek şekilde e ğerse pozitif alınır. V M V M Kesitteki iç kuvvetler ( pozitif kesme kuvveti V ve Pozitif E ğilme momenti M ) Pozitif kesme kuvvetinde dı ş kuvvetlerin etkisi Pozitif e ğilme momentinde dı ş kuvvetlerin etkisi 107 12.3 Yayılı yük , kesme kuvveti ve e ğilme momenti arasındaki ba ğıntılar q q(x) B A x C D E x C dx x D Şekilde yayılı yük etkisindeki basit mesnetli bir kiri ş gösterilmektedir. Bu kiri şden alınan bir diferansiyel eleman üzerinde etkiyen kuvvetler ve bu elemanın dengesi dü şünülerek a şa ğıdaki denklemler yazılabilir. dx/2 q dx V M M+dM C dx D V+dV ? = 0 y F ? 0 ) ( = - + - dx q dV V V - dV= q dx - dV =q dx Böylece kesme kuvvetinin kesit uzunlu ğu boyunca türevi o noktadaki yayılı yüke şiddeti e şit yönü ise zıt olur. 108 ? - = - E C X X C E dx q V V Buradan E ve C noktaları arasındaki kesme kuvveti farkının bu noktalar arasında yayılı yük diagramı altındaki alana e şit oldu ğu anla şılır. ? = 0 D M ? 0 2 ) ( = + - - + dx dx q dx V M dM M 2 ) ( 2 1 dx dx V dM - = V dx dM = Bu son ifadeden e ğilme momentinin kiri ş uzunlu ğu boyunca türevinin kesme kuvvetine e şit oldu ğu anla şılır. dx V dM = ? = - E C X X C E dx V M M Buradan E ve C noktaları arasındaki e ğilme momenti farkının bu noktalar arasında kesme kuvveti diagramı altındaki alana e şit oldu ğu anla şılır. 12.4 Kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramları Kiri ş kesiti boyunca kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramlarının çizilmesi bu büyüklüklerin izlenmesi ve buna göre kiri şin ölçülendirilmesi mühendislik açısından önemlidir. Bu diyagramların çiziminde en çok kullanılan yöntem kesit yöntemidir. Kesit yönteminde kiri ş uzunlu ğu boyunca bazı özel noktalarından ( tekil yük etki noktaları yayılı yük ba şlangıç ve biti ş noktaları) bölgelere ayrılır. Bu her bölge ba şlangıcı ve az evveli olmak üzere kesitler alınıp kesitin sol tarafının dengesi için yazılan denklemlerden kesme kuvveti ve e ğilme momenti de ğerleri hesaplanır.Elde edilen de ğerler yardımıyla kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramları çizilir. 109 Problem 12.4.1 Şekilde görülen kiri şte , verilen yükleme durumu için , kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramlarını çiziniz. 20 kN 10 kN B A D C 1,25 m 1,5 m 1 m Çözüm: 20 kN 10 kN B A D 1 2 3 4 C 5 6 1,25 m B R 1,5 m 1 m D R Tüm kiri ş için denge denklemleri: 0 y F = ? ? 10 20 0 BD RR +--= ? 30 BD R Rk N + = 0 B M = ? ? 2,5 1, 25 10 1,5 20 0 D R+*-*= ? 7 D R kN = , 23 B R kN = 1 kesitinin solundaki kiri ş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri : 10 kN 0 y F = ? ? 1 10 0 V - -= ? 1 10 Vk N = - 1 0 M = ? ? 1 01 00 M + *= ? 1 0 M = 1 M 1 V 2 kesitinin solundaki kiri ş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri : 10 kN 0 y F = ? ? 2 10 0 V - -= ? 2 10 Vk N =- 2 0 M = ? ? 2 10 0 Mx + = ? 2 10 M x =- 2 M x 2 V 110 3 kesitinin solundaki kiri ş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri : 10 kN 0 y F = ? ? 3 10 23 0 V - +-= ? 3 13 Vk N = 3 M 3 0 M = ? ? 3 10 1, 25 0 M + *= ? 3 12,5 M kNm =- 1,25 3 V 23 B R kN = 4 kesitinin solundaki kiri ş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri : 10 kN 4 M 4 V 1,25 m 23 B R kN = x 0 y F = ? ? 4 10 23 0 V -+-= ? 4 13 Vk N = 4 0 M = ? ? 4 10 23( 1, 25) 0 Mxx +--= ? 4 13 28,75 Mx = - 5 kesitinin solundaki kiri ş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri : 20 kN 10 kN B A 5 M 23 B R kN = 5 V 1,25 m 1,5 m 0 y F = ? ? 5 10 23 20 0 V -+--= ? 5 7 Vk N = - 5 0 M = ? ? 5 10 2,75 23 1,5 0 M +* -*= ? 5 7 M kNm = 6 kesitinin solundaki kiri ş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri : 20 kN 10 kN B A 6 M C 1,25 m 23 B R kN = 1,5 m 6 V x 111 0 y F = ? ? 6 10 23 20 0 V -+--= ? 6 7 Vk N = - 6 0 M = ? ? 6 10 23( 1.25) 20( 2,75) 0 Mxx x +--+-= , 6 72 6 , 2 5 Mx =-+ D noktasındaki yüzeyin solundaki kiri ş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri : 20 kN 10 kN B D A D M C D V 1,25 m 23 B R kN = 1,5 m 1 m 7 D R kN = 0 y F = ? ? 10 23 20 7 0 D V -+-+-= ? 0 D V = 0 D M = ? ? 10 3,75 23 2,5 20 1 0 D M +* -*+*= , 0 D M = 20 kN 10 kN B A D 1 2 3 4 C 5 6 1,25 m B R 1,5 m 1 m D R 13 kN x -7 kN -10 kN 7 kNm x -12,5 kNm 112 Problem 12.4.2 Şekilde görülen C de ankastre mesnetli kiri şin , verilen yükleme durumu için , kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramlarını çiziniz. 0 q A a B C L Çözüm: Tüm kiri ş için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri : y 3 a 0 2 qa q 0 q C M A x x B C Cx R a Cy R L 0 x F = ? ? 0 Cx R = 0 y F = ? ? 0 0 2 Cy qa R - = ? 0 2 Cy qa R = 0 C M = ? ? 0 ()0 32 C qa a ML +-= ? 2 00 62 C qa qa M L =- , 0 (3 ) 6 C qa M La =- - 0 qax qa - = ? 0 ax qq a - = 113 kiri şin A ile B arasındaki bir kesiti için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri: 0 () 2 qq x - y qx q 0 qq - q D M A D /2 x V x 0 y F = ? ? 0 () 0 2 qq x Vq x - --- = ? 0 () 2 qq x V + =- 00 () 2 ax qq x a V - + =- , 0 0 (2 ) 2 q qx x a V - =- , 2 0 0 2 q Vxq x a =- 0 D M = ? ? 0 () 21 0 232 D qq x Mx q x x - ++= ? 2 2 0 () 32 D qq x qx M - =- - 2 0 (2 ) 6 D qq x M + =- , 2 00 (3 ) 6 D x qq x a M - =- , 32 00 62 D qq M xx a =- B noktasında x = a dır. 2 0 0 2 B q Vaq a a =- , 0 2 B q Va =- 32 00 62 B qq M aa a =- , 2 0 3 B q M a =- 114 kiri şin B ile C arasındaki kesitlerinde serbest cisim diyagramı y 3 a 0 2 qa 0 q C M A B E a E V x 0 y F = ? ? 0 0 2 E qa V -- = ? 0 2 E qa V =- 0 E M = ? ? 0 ()0 23 E qa a Mx + -= ? 2 00 26 E qa qa Mx =- + C noktasın da x = L dir. 2 00 26 C qa qa ML =- + , 0 (3 ) 6 C qa M La =- - Tüm kiri ş için kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramı : y /3 a 0 2 qa q 0 q C M A x x B C Cx R a Cy R L x 2 0 0 2 q Vxq x a =- 0 2 BC q VV a == - x 32 00 62 qq M xx a =- 2 0 3 B q M a =- 2 00 26 qa qa Mx =- + 0 (3 ) 6 C qa M La =-- 115 Problem 12.4.3 Basit mesnetli AC kiri şine B noktasından B M şiddetinde bir kuvvet çifti uygulanmı ştır. Bu kiri ş için kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramlarını çiziniz. B M A B C a L Çözüm: Tüm cisim için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri: B M A B C A R a C R L 0 y F = ? ? 0 AC RR += ? CA R R = - 0 C M = ? ? 0 BA MR L -= ? B A M R L = , B C M R L =- kiri şin A ile B arasındaki bir kesiti için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri: A D D M A R x D V 0 y F = ? ? 0 AD RV -= ? DA VR = , B D M V L = 0 D M = ? ? 0 DA MR x - = ? DA M Rx = , B D M M x L = kiri şin A ile C arasındaki bir kesiti için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri: B M A B E M A R a E V x 0 y F = ? ? ? E A VR = , B ED M VV L == 116 0 E M = ? ? 0 EBA MMR x +-= ? E AB M RxM = - B E B M M xM L =- , (1 ) EB x MM L =- - AC kiri şi için kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramları : B M A B C A R a C R L B M L x B M x L B a M L x (1 ) B x M L -- (1 ) B a M L -- 117 BÖLÜM 13 V İRTÜEL İŞLER İLKES İ 13.1 Giri ş Buraya kadar incelenen konular içinde bir cisme maddesel nokta modeli ile yakla şıldı ğında bu cisme etki eden kuvvetlerin geometrik toplamının sıfır olmasının denge şartı için gerek ve yeter şart oldu ğu söylendi. Aynı şekilde bir rijid cisme etki eden kuvvet sisteminin sıfıra e şde ğer olması denge için yeter ve gerek ko şul olması problemlerin çözümünde kullanıldı. Bunlardan farklı olarak çe şitli ba ğlarla birbirine ba ğlanarak olu şturulan rijid cisim sistemi olarak kabul edilen yapılar için etki eden kuvvet sisteminin sıfıra e şde ğer olması yeterli ko şul de ğildir. Bundan dolayı bu tür problemlerde sistem elemanlarına ayrılarak sıfıra e şde ğerlik kuralı etki tepki ilkesi ile birlikte her bir elemana ayrı ayrı uygulanıp çözüme gidilir. A F - F Şekilde gösterilen A da sürtünmesiz mafsal ile ba ğlanmı ş rijid cisim sisteminde sisteme etki eden dı ş aktif kuvvetler sıfıra e şde ğer olmasına ra ğmen sistem bu kuvvetler etkisinde dengede de ğildir. Virtüel i şler ilkesi ise rijid cisim sistemine parçalarına ayırmadan uygulanır. Bundan dolayı özellikle rijid cisim sistemlerinde ba ğ kuvvetlerinin gerekli olmadı ğı durumlarda virtüel i şler ilkesi tercih edilir. 13.2 Virtüel yer de ği ştirme a) Sistemin ba ğlarına uygun yer de ği ştirme b) Diferansiyel karakterde ( sonsuz küçük) c) Gerçek olması gerekmeyen , sadece tasarlanan bir yerde ği ştirme d) Dondurulmu ş zaman içinde olu şan bir yerde ği ştirmedir. e) Bu özellikleri sa ğlamak ko şulu ile keyfi bir yerde ği ştirmedir. Bir kuvvetin etki etti ği bir A noktasının yer vektörü A r ise bu noktanın virtüel yer de ği ştirmesi A r ? ile gösterilir. 118 13.3 Bir kuvvetin virtüel i şi y F A A r ? A r o x z Bir F kuvvetinin A uygulama noktasının virtüel yer de ği ştirmesinde bu kuvvetin yaptı ğı i ş = ? ? A r F ? • 13.4 Bir Momentin virtüel i şi Rijid cisim veya sistemlerinin konumu bazen uzunluk yerine açı ile belirlenebilir. Bu durumda açıdaki virtüel de ği şimde momentin yaptı ğı i ş = ? ? ?? · M dır. 13.5 Virtüel i şler ilkesi Bir maddesel nokta ,maddesel noktalar sistemi ,rijid cisim veya rijid cisim sisteminin dengede olması için sisteme etki eden dı ş Aktif kuvvetlerin sistemin ba ğlara uygun virtüel yer de ği ştirmesinde yaptı ğı i şler toplamının sıfıra e şit olması gerek ve yeter ko şuldur. Bir sisteme etki eden dı ş aktif kuvvetler A 1 noktasında 1 F , A 2 noktasında 2 F , . . . ve A n noktasında n F olsun. Bu noktaların virtüel yer de ği ştirmesinde bu kuvvetlerin yaptı ğı virtüel i şler toplamının sıfır olması bu sistemin dengesi için gerek ve yeter ko şuldur . An n A A r F r F r F ? • + + ? • + ? • = ?? 2 2 1 1 119 Problem 13.5.1 Bir hidrolik kaldırma platformu 1000kg kütleli yükleri kaldırmakta kullanılıyor. Platformun a şa ğı yukarı hareketi her iki tarafında aynı uzunluklu ba ğlantı çubukları yardımı ile e şit kuvvet uygulayan hidrolik silindirler tarafından gerçekle ştirilmektedir. A şa ğıdaki şekilde tek bir ba ğlantı ve tek bir silindir gösterilmektedir. ? = 60 0 , a = 0,7 m. L = 3,2 m. için hidrolik silindirlerin uyguladı ğı kuvveti bulunuz. ( EDB Da = = ) d ½ W A B C 2a D ? E G H ½ L ½ L Çözüm: y d ½ W I A B C 2a D HD S ? x E x R E G H E y R ½ L G R ½ L Virtüel i ş ilkesi: 0 ? ? = ? 0,5 0 IH DD WrS r ?? •+•= Wm g j =- , HD HD HD SS U = , 2s i n I rdia j ? =*+ , cos sin D raiaj ? ? =+ 120 HD HD U HD = , ( cos ) sin HD L a i a j ? ? =- - + , 22 (c o s )( s i n ) HD L a a ? ? =- + 22 2c o s HD L a aL ? =+- , 22 22 (c o s ) s i n 2 cos 2 cos HD HD HD SLa Sa Sij Laa L Laa L ? ? ? ? - - =+ +- +- 2c o s I ra j ? ?? ? = , sin cos D ra ia j ? ?? ? ?? ? =- + 0 ? ? = ? 22 22 (c o s ) s i n 0, 5 (2 cos ) ( ) ( sin cos ) 0 2c o s 2c o s HD HD SLa Sa mg j a j i j a i a j Laa L Laa L ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? -- -• + + • -+ = +- +- 22 22 ( cos ) sin ( sin ) cos cos 0 2c o s 2c o s HD HD SLa a Sa a mga Laa L Laa L ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? - -+ + = +- +- 22 sin cos 0 2c o s HD SL a mga Laa L ? ? ? -+ = +- ? 22 cos 2c o s sin HD mga SL a a L La ? ? ? =+ - 22 2c o s tan HD mg SL a a L L ? ? =+ - 22 0 0 1000 9,81 3, 2 0, 7 2 0, 7 3, 2 cos 60 3, 2 tan 60 HD S * =+ - * * * , 5157,2 HD SN = Problem 13.5.2 Şekilde gösterilen mekanizmayı dengede tutmak için CD krankına uygulanması gereken C M kuvvet çiftini 0 60 ? = için bulunuz. Blok D de CD krankına bir pimle ba ğlıdır ve AB kolunda açılmı ş bir yarık içinde serbestçe kayabilmektedir. D B C M ? 150 PN = A C 10cm 45 cm 30 cm Çözüm : y D B Ax R A ? C M ? 150 PN = A y R Cx R C 10cm x 45 cm Cy R 30 cm 121 0 ? ? = ? 0 CB MPr ?? ? + •= ? 0 CB MPy ??- ? • = sin B yA B = ? sin sin AD CD ? ?= , sin sin CD AD ? ?= , 22 45 10 2 45 10 cos(180 ) AD ? = +- *** - 2125 900 cos AD ? =+* , 0 60 ? = için 50,7445 AD cm = , arcsin( sin ) CD AD =? ? 0 10 arcsin( sin 60 ) 50,7445 = ? , 0 9,826 = ? , 45 30 cos AB + = ? , 76,117 ABc m = , 10 sin sin 2125 900 cos ? ? ?= +* , 761,17 sin 2125 900 cos B y ? ? = +* 1/2 761,17(2125 900 cos ) sin B y ? ? - =+ * 3/2 1/2 1 ( 761,17 (2125 900 cos ) ( 900sin )sin 761,17 (2125 900 cos ) cos ) 2 B y ? ?? ? ?? ? ? -- =- + * - + + * 9, 466 B y ? ?? = 0 ? ? = ? 150 9, 466 0 C M ??? ? -* = ? 150 9, 466 0 C M - *= ? 150 9, 466 C M =* 1419,9 C M Ncm = 13.6 Çok serbestlik dereceli sistemlerde virtüel i şler ilkesi: Bir sistemin hareketi esnasında her an için konumunu belirleyen açı uzunluk gibi de ği şkenlere genelle ştirilmi ş koordinatlar denir. Genelle ştirilmi ş koordinatların birbirinden ba ğımsız olan sayısına serbestlik derecesi denir. Çok serbestlik dereceli sistemlerde virtüel i şler ilkesi uygulanırken serbestlik derecesini belirleyen genelle ştirilmi ş koordinatların her seferinde bir tanesinin de ği şimine izin verilip serbestlik derecesi kadar denklem elde edilir. 122 Problem 13.6.1 Her birinin uzunlu ğu l a ğırlı ğı W olan üç çubuk birbirlerine mafsallıdır .Birinci çubuk ayrıca sabit mesnede mafsallıdır ve son çubu ğun ucuna P kuvveti uygulanmı ştır. Sistem dü şey düzlemde oldu ğuna göre denge durumunda çubukların dü şey do ğrultu ile yaptıkları açıları P kuvveti ve W a ğırlı ğına ba ğlı olarak bulunuz. A x W AB G AB ? B W BC G W BC ? C D P CD ? CD G y Çözüm: 0 ? ? = ? 0 AB BC CD GGGD WrWrWrPr ???? • +• +• +• = ? 0 AB BC CD GGGD Wy Wy Wy P x ? ??? +++ •= cos 2 AB GA B y ? = l , cos cos 2 BC GA BB C y ? ? =+ l l , cos cos cos 2 CD GA BB CC D y ? ?? =++ l ll sin sin sin DA BB CC D x ? ?? =++ lll sin 2 AB GA B A B y ? ?? ? =- l , sin sin 2 BC GA B A BB C B C y ? ?? ? ?? ? =- - l l sin sin sin 2 CD GA B A BB C B CC D C D y ? ?? ? ?? ? ?? ? =- - - l ll (cos cos cos ) DA B A BB C B CC D C D x ? ?? ? ?? ? ?? ? =++ l 0 ? ? = ? ( sin sin sin sin sin sin ) 22 2 (cos cos cos ) 0 AB AB AB AB BC BC AB AB BC BC CD CD AB AB BC BC CD CD W P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? -++++++ +++= lll ll l l 111 ( sin sin sin sin sin sin ) 222 (cos cos cos ) 0 AB AB AB AB BC BC AB AB BC BC CD CD AB AB BC BC CD CD W P ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? -++++++ +++= Her bir denklem için bir açıya de ği şim verilir. 0, 0, 0 AB BC CD ??? ?? ? ?== için 0 ? ? = ? 1 (s i n s i n s i n ) c o s 0 2 AB AB AB AB AB AB AB AB WP ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? -+++= 5 (s i n ) c o s 0 2 AB AB WP ?? -+= ? 2 tan 5 AB P W ? = 123 0, 0, 0 AB BC CD ??? ?? ? =?= için 0 ? ? = ? 1 (s i n s i n ) ( c o s )0 2 BC BC BC BC BC BC WP ?? ? ?? ? ?? ? -++= 3 sin cos 0 2 BC BC WP ?? -+= ? 2 tan 3 BC P W ? = 0, 0, 0 AB BC CD ??? ?? ? ==? için 0 ? ? = ? 1 (s i n ) ( c o s )0 2 CD CD CD CD WP ?? ? ?? ? -+= 1 sin cos 0 2 CD CD WP ?? -+= ? 2 tan CD P W ? =