İleri Malzeme Mekaniği Stress and Strain 1 Theories Theories Of Of Stress Stress And And Strain Strain Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK nm nm- -2011 2011 İleri Malzeme Mekaniği Dr. Nusret MEYDANLIK Ders Ders 2 2 İ İ LER LER İ İ MALZEME MEKAN MALZEME MEKAN İĞİ İĞİ M M K K 64 64 5 5 Kaynak Kaynakç ça: a: -Advanced Mechanics of Materials , ARTHUR P. BORESI & RICHARD J. SCHMIDT THEORIES OF STRESS AND STRAIN THEORIES OF STRESS AND STRAIN3 Birbirinden farklı 3 normal bileşen 3 de kayma bileşeni vardır. 45 6 Ranking Ranking of of Tensors Tensors7 Transformation Transformation of of First First Rank Rank Tensors Tensors 89 10 Transformation Transformation of of Second Second Rank Rank Tensors Tensors11 12 Gerilme Gerilme notasyonu notasyonu13 ) z , y , x j i ( ) z , y , x i ( ij ii = ? = ? ? ) z , y , x j i ( ) z , y , x i ( ij i = ? = ? ? Normal Gerilme Kayma Gerilmesi Normal Gerilme Kayma Gerilmesi bizim daha çok kullandığımız notasyon 1. 2. Gerilme Gerilme notasyonu notasyonu 14 Herhangi Bir D Herhangi Bir Dü üzleme Etkiyen Gerilme Bile zleme Etkiyen Gerilme Bileş şenleri enleri The stress vectors ? ? ? ? x , ? ? ? ? y and ? ? ? ? z on planes that are perpendicular, respectively, to the x, y, and z axes are Eğer bir noktadan geçen herhangi bir düzlem için gerilme vektörü hesaplanabilirse bu nokta için gerilme durumu bilinir. arkada düzleminin normali N olan bir O noktası için ? P hesabı yapılmıştır. Eğer O noktasından geçen karşılıklı birbirlerine dik üç düzlemin gerilme vektörleri biliniyorsa O noktasından geçen diğer herhangi bir düzlemin gerilme vektörü hesaplanabilir. Fig. 2.5 Stress vector and its components acting on a plane perpendicular to the x axis.15 Now consider the stress vector ? P on an arbitrary oblique plane P that cuts the volume element into a tetrahedron (Figure 2.6). The unit normal vector to plane P is = l i + m j + n k (2.7) where (l,m,n) are the direction cosines of unit vector . Therefore, vectorial summation of forces acting on the tetrahedral element QABC yields the following (note that the ratios of areas OBC, OAC, QBA to area ABC are equal to l,m, and n, respectively): (2.9) FIGURE 2.6 Stress vector on arbitrary plane having a normal N. , , 16 Yukardaki (2.8), (2.9) ve (2.6) ifadelerinden ; eğik düzlemdeki ? ? P P gerilme vektörünün koordinat yüzlerindeki gerilme bileşenleri Equations 2.10 allow the computation of the components of stress on any oblique plane defined by unit normal :(l, m, n), provided that the six components of stress, at point 0 are known. When point 0 lies on the surface of the member where the surface forces are represented by distributions of normal and shear stresses, Eqs. 2.10) represent the stress boundary conditions at point 0. represent the stress boundary conditions at point 0.17 Her Hangi Bir D Her Hangi Bir Dü üzlemdeki Normal ve Kayma Gerilmeleri : zlemdeki Normal ve Kayma Gerilmeleri : P düzlemi üzerindeki normal gerilme (veya ? P ) ; ? P gerilme vektörünün N birim normal vektörü yönündeki izdüşümüdür. Böylece ? P normal gerilmesi ; matris formunda şeklinde yazılır ve veya (iki vektörün skaler çarpımı) 18 Her Hangi Bir D Her Hangi Bir Dü üzlemdeki Normal ve Kayma Gerilmesi : zlemdeki Normal ve Kayma Gerilmesi : veya şeklinde elde edilir. P düzlemindeki kayma gerilmesinin şiddeti (veya ? PS ) yandaki şekilden ; ile elde edilir ve gerilme vektörü ? P PS P p ? ? ? r r r + = P ? P ? PS ? (2.12)19 PS P p ? ? ? r r r + = : P ? v : P ? v : PS ? v Herhangi bir O noktasından geçen sonsuz sayıda düzlem vardır. Karşılıklı olarak üç dik düzlem vardır ki bu düzlemlerden en büyük normal gerilmeye (? P ) e sahip olan düzleme ASAL DÜZLEM, bu gerilmeye de EN BÜYÜK ASAL GERDLME adı ve rilir. Bu düzlemlerde kayma gerilmeleri sıfırdır. Bu dik düzlemlerin eksenlerine de ASAL EKSENLER denir (dA OAB ) (dA ABC ) (dA OBC ) (dA OAC ) (? dA ABC ) z ? v - y ? v - x ? v - p ? v v P düzlemine etki eden eğik gerilme vektörü ? P nin N normali doğrultusundaki vektörel bileşeni ? P nin P düzlemine teğet doğrultudaki vektörel bileşeni, 20 Fig. 2.8 (2.13) ve (2.14) eşitlikleri21 ? ? xx xx ( (2.11 2.11) ) nolu nolu ifade yard ifade yardı ım mı ıyla , yla , ? ? xy xy , , ? ? x x gerilme vekt gerilme vektö ör rü ün nü ün y ekseni y n y ekseni yö ön nü ündeki bile ndeki bileş şenidir dolay enidir dolayı ıs sı ıyla yla ? ? x x in y ekseni y in y ekseni yö ön nü ündeki birim vekt ndeki birim vektö ör ile r ile skaler skaler ç çarp arpı ım m ile elde edilir. ile elde edilir. 3D Gerilme D 3D Gerilme Dö ön nü üş şü üm m DD fadeleri : fadeleri : 22 Benzer prosedürle? xz ve ? yz elde edilebilir23 Asal Normal Gerilmeler ve y Asal Normal Gerilmeler ve yö önleri : nleri : 24 • I 3 =0 yada asal gerilmelerden biri sıfırsa Düzlem Gerilme Hali, • I 2 =I 3 =0 yada asal gerilmelerden ikisi sıfırsa Tek Eksenli Gerilme Hali söz konusudur25 Seçilen koordinat sistemi ne olursa olsun bu kübik denklemin üç kökü vardır ? 1 , ? 2 ve ? 3 ki bunlara asal gerilme denir. Bu kökler yukarıdaki ifadelerde yerlerine konup (l 2 +m 2 +n 2 =1) olduğu da hatırlanarak doğrultman kosinüsleri de elde edilebilir. Her doğrultman kosinüsü bir asal gerilme doğrultusu ile ilgili olduğundan bu doğrultulara da ASAL EKSELER adı verilir Asal gerilmelerin şiddeti ve yönü sadece yükleme haline bağlıdır. Ve herhangi bir düzlemde normal gerilme ? 1 ? 2 > ? 3 şeklinde olduğundan ; den mutlak değerce en büyüğü tür. Doğrultusu gerilme elemanının koordinat eksenlerinin seçimine bağlıdır.29 Aynı zamanda; asal kayma düzlemlerinden her birine iki ortagonal yönde aynı şiddette normal gerilmeler de etki eder. düzleminde ; düzleminde ; düzleminde ; 30 Figure 11: The maximum shear stress at a point in terms of the principal stresses. The maximum shear stress acts on a plane that makes an angle of 45 o degrees with the planes in which the principal stresses ? 1 and ? 3 act (see Fig. 11).31 Figure 12: The plane stress state ? xx = -? yy = ? and ? zz =0 that leads to pure shear in the 45o planes with respect to the x and y axes. Let us consider a simple example of plane stress where ? xx = -? yy = ? > 0 and ? xy = 0 (see Fig. 12). Using (18), we can write: i.e. the maximum shear stress is equal to ? and is applied in the planes 45 o from the x and y axes. The above biaxial stress state is often used to simulate a shear state and as such it has both analytical and experimental use. 3 2 0 xy ? ?? - = 1 2 3 0 xy xy ? ? ? ? ? = = = - Kübik ifade : 32 ASAL D ASAL DÜ ÜZLEMLER ZLEMLER İ İÇ Çİ İN MOHR DA N MOHR DAİ İRES RESİ İ: : Kayma gerilmesi bileşenlerinden iki tanesinin ( )sıfır olduğu gerilme halini gözönüne alırsak; ? xy kayma gerilmesinin sıfır olmadığı düzleme dik doğrultudaki düzleme etki eden ? z normal gerilmesi asal gerilmedir (? z =? 3 ). ? z düzlem gerilme dönüşümünü etkilemez, böylece asal gerilme düzlemleri ikişer ikişer kullanılarak mohr dairesi elde edilir. z z ekseni asal eksen ise diğer iki asal eksen xy xy düzlemindedir. Ancak ? zy yada ? zx varsa z z ekseni asal eksen olamaz ki bu durumda da asal gerilmeleri Mohr Dairesinden belirlemek imkansızdır. Bu durumda kübik denklem çözülerek üç kök bulunmalıdır. Mohr dairesi bir çok durumda bilinmeyen iki asal gerilmeyi bulmak için kullanılır.33 ASAL D ASAL DÜ ÜZLEMLER ZLEMLER İ İÇ Çİ İN MOHR DA N MOHR DAİ İRES RESİ İ: : ? 3 e parelel yüzler ? 2 e parelel yüzler ? 1 e parelel yüzler 34 ? 2 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 = = ? ? ? ? ? ? ? ? max max. . (2 (2- -3) 3) Planes of Maximum Shear Stress Planes of Maximum Shear Stress35 ? 2 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 = = ? ? ? ? ? ? ? ? max max. . (1 (1- -3) 3) Planes of Maximum Shear Stress Planes of Maximum Shear Stress 36 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 = = ? ? ? ? ? ? ? ? max max. . (1 (1- -2) 2) Planes of Maximum Shear Stress Planes of Maximum Shear Stress37 3D için Mohr’s Circle? • There is no Mohr’s circle solution for problems of triaxial stress state • Solution for maximum principal stresses and maximum shear stress is analytical • Either closed form solution or numerical solution (or computer program) are used to solve the eigenvalue problem. 38 Maximum Shear Stresses 2 3 max,1 2 ? ? ? - = ± 1 3 max,2 2 ? ? ? - = ± 1 2 max,3 2 ? ? ? - = ± Absolute max shear stress is the numerically larger of: Normal Stress, ? ? 3 ? 1 ? y’z’, ? abs max ? 2 ? x’y’ ? y’z’39 3D Mohr’s Circle – Plane Stress A Case Study – The two principal stresses are of the same sign -? ? 3 ? 1 ? 2 ? 40 3D Mohr’s Circle – Plane Stress A Case Study – The two principal stresses are of opposite sign ? ? 3 ? 1 ? 2 ?For the following state of stress, find the principal and critical values. ? ij = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 120 50 0 50 80 0 0 0 0 MPa Tensor shows that: ? z = 0 and ? xz = ? yz = 0 80 MPa 120 MPa 50 MPa y x Example: 120 MPa 0 MPa 0 MPa 80 MPa 0 MPa 0 MPa y z x z The other 2 faces:Shear Stress, MPa -25 0 25 50 75 100 125 150 175 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 Normal Stress (MPa) V H ? max = 77 MPa 3-D Mohr’s Circles 80 MPa 120 MPa 50 MPa 44 Ö ÖRNEK RNEK: : 3D gerilme hali, (düzlem gerilme değil) • Determine the maximum principal stresses and the maximum shear stress for the following triaxial stress state. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 10 25 30 25 30 40 30 40 20 ?= MPa (+ve yönler)45 Solution ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z yz zx zy y xy zx xy x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 10 25 30 25 30 40 30 40 20 = MPa 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 x y z x y x z y z xy xz yz x y z xy xz yz x yz y xz z xy I I I ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = + + = + + - - - = + - - - = 20 + 30 –10 = 40 MPa = -3025 MPa = 89500 MPa Solve 3 2 1 2 3 0 I I I ? ? ? - + - = 46 Solution to Example -800000 -600000 -400000 -200000 0 200000 400000 600000 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 Stress (MPa) Sigma (MPa) -51.8 MPa 65.3 MPa 26.5 MPa Open the Exel Spreadsheet “triaxial stress.xls” for a template to solve the cubic eqn. Results MPa MPa MPa MPa 5 . 58 ) 8 . 51 3 . 65 ( 2 / 1 8 . 51 5 . 26 3 . 65 max 1 2 3 = + = - = = = ? ? ? ?s = [ 20 40 -30;40 30 25; -30 25 -10] s = 20 40 -30 40 30 25 -30 25 -10 >> [Vectors,Principal] = eig(s) Vectors = -0.5520 -0.4980 -0.6688 0.4787 0.4675 -0.7432 -0.6827 0.7304 0.0197 Principal = -51.7862 0 0 0 26.4530 0 0 0 65.3332 >> alfa1=acos(Vectors(1,3))/pi*180 , beta1=acos(Vectors(2,3))/pi*180 , gama1=acos(Vectors(3,3))/pi*180 alfa1 = 131.9740 beta1 = 138.0037 gama1 = 88.8712 >> taumax = (Principal(3,3) - Principal(1,1))/2 taumax = 58.5597 MATLAB komut ve sonu MATLAB komut ve sonuç çlar ları ı Benzer şekilde ; alfa2 = 119.86 beta2 = 62.13 gama2 = 43.08 alfa3= 123.5 beta3 = 61.4 gama3 = 133.06 48 Asal normal gerilmelerin do Asal normal gerilmelerin doğ ğrultman kosin rultman kosinü üslerinin bulunmas slerinin bulunması ı; ; 1. Bulunan üç kökten birini kübik denklemde yerine koyarak elde edilir, 2. Üç denklemden ikisi l 2 +m 2 +n 2 =1 olduğu hatırlanarak çözülür Örneğin: ? 1 in doğrultman kosinüslerini (l 1 , m 1 ve n 1 ) bulmak istiyorsak önce; 1) 2) 3) için l 2 +m 2 +n 2 =1 olduğu hatırlanarak n 1 için çözülür,49 TEK EKSENL TEK EKSENLİ İ ? ? basma çekme . ? 2 =? 3 =0 ? 1 • • 2 1 . max ? ? = İ İK Kİ İ EKSENL EKSENLİ İ ? 1 ? 3 =0 ? 2 • • • ? max. =? 12 • • • ? max. =? 23 ? max.(gerçek) =? 13 ? max =[((? x -? y )/2) 2 + (? xy ) 2 ] ½ 50 Ö ÖRNEK RNEK- -1 1: gerilme durumu 5 1 3 1 6 2 3 2 4 ij = ? şeklinde verilmiş. Birimler MPa ve tüm gerilmeler pozitif. İSTENEN : Asal gerilmeleri ve doğrultman kosinüslerini bulunuz. ÇÖZÜM : I 1 =4+6+5= 15 MPa I 2 = 4.6+6.5+5.4 - (4+1+9)= 60 MPa I 3 =(4.6.5) +(2.2.1.3)- (4.1 2 +6.3 2 +5.2 2 )=54 MPa 0 54 60 15 0 I I I 2 3 3 2 2 1 3 = - + - = - + - ? ? ? ? ? ? Matlab çözümü ? 1 =9 MPa , ? 2 =4.73 MPa ? 3 =1.27 MPa bulunur. 625 . 5 W ...... 5 . 1 . . 14 W ...... 2 9 W ...... 1 54 W ...... 0 = = = = - = = - = = ? ? ? ? 1.Yol 1.Yol El çözümü kök bu arada , kaba bir yaklaşımla ; ~? =1.4 tahmin edilir ve kübik ifade çarpanlardan biri olan (? -1.4) e bölünerek 2. derece den bir ifade elde edilir ve 2 kök bulunur. ( 9.08 ve 4.51 olarak) 2.Yol 2.Yol Excel de 3.Yol 3.Yol MatLab51 OKTAEDRAL D OKTAEDRAL DÜ ÜZLEMLER VE OKTAEDRAL ZLEMLER VE OKTAEDRAL GER GERİ İLMELER: LMELER: Fig.2.9 52 ? oct ve ? oct , bileşik gerilme halinde malzemenin hasarını tahmin etme için kullanılan önemli büyüklüklerdir.53 ORTALAMA GER ORTALAMA GERİ İLME VE DEV LME VE DEVİ İATOR GER ATOR GERİ İLME : LME : Plastisite teorisinde ve deneylerinde görülmüştür ki; bir çok malzemenin akması ve deformasyonu yani plastik davranışı uygulanan normal gerilmeden (? m ) bağımsızdır. Bu gerilme değeri de bir invaryanttır ve seçilen eksen takımından bağımsızdır. T m : ortalama gerilme tensörü, T d : deviatör gerilme tensörü denir. (hidrostatik gerilme halinden sapmanın bir ölçütüdür.) (2.26a) (2.26b) 54 or sprerical stress Hacımsal değişime neden olur şekil (plastik) değişimine neden olur55 5657 58 D Dü üzlem Gerilme Hali zlem Gerilme Hali59 veya şeklinde elde edilir. 60 D Dü üzlem Gerilme Hali zlem Gerilme Hali INVARYANTLAR INVARYANTLAR61 • • B B B B B B B B I I I I I I I I T T T T T T T T T T T T T T T T I I I I I I I I ! ! ! ! ! ! ! ! • • • • Haftaya Haftaya Haftaya Haftaya Haftaya Haftaya Haftaya Haftaya g g g g g g g g ö ö ö ö ö ö ö ö r r r r r r r r ü ü ü ü ü ü ü ü smek smek smek smek smek smek smek smek ü ü ü ü ü ü ü ü zere zere zere zere zere zere zere zere … … … … … … … … . . . . . . . .