Genel Tek Değişkenli Fonksiyonlarda Süreklilik ve Türev Genel olarak matematikte, özel olarak da matematiksel iktisatta, fonksiyonlar üzerine konulan en önemli kısıtlama sürekliliktir. Kabaca, bir fonksiyon tanımlı olduğu bir x o noktasında sü- rekli ise x, x o a yakın değerler aldığında f(x) de f(x o ) a yakın değerler alır demektir. Başka bir anlatımla f(x) x o cıvarında “sıçrama” yapmaz, davranışı “öngörülebilirdir.” Bu bölümde bu kavramı formel hale getirip, sürekli fonksiyonların özelliklerine bakacağız. Sürekliliği tanımlamak için önce “yakınlık” kavramını tanımlamak gerekmektedir. Tanım 3.1. Uzaklık fonksiyonu ve açık komşuluk. i. (uzaklık fonksiyonu) Her x, y R için x ile y arasındaki uzaklık d(x, y) = x – y olmak üzere reel değerli bir fonksiyondur ve a. x, y R için d(x, y) 0 ve d(x, y) = 0 ancak ve ancak x = y, b. x, y R için d(x, y) = d(y, x), c. x, y, z R için d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (üçgen eşitsizliği). özelliklerini sağlar. ii. (açık komşuluk) B(x o , ?) = {x R d(x, x o ) < ?} = (x o – ?, x o + ?) , yani bir x o R sayısı- na ?’dan daha yakın olan noktalar, kümesine x o ’ın ?–açık komşuluğu denir. Uzaklık fonksiyonunun özellikleri mutlak değer fonksiyonunun özelliklerinden kaynaklanır. Bilindiği gibi 0 x x, 0 x 0, 0 x x, x olarak tanımlanır ve x – y 0, x – y = 0 ancak ve ancak x = y, x – y = y – x x – z x – y + y – z özelliklerini sağlar. Dolayısı ile reel sayılar için iki sayı arasındaki uzaklık iki sayının farkının mutlak değeri olarak tanımlanır ama biz d(x, y) notasyonunu kullanacağız. Böylece, d(–3, 3) = –3 – 3 = 6, d(0, 1) = 1, d(0, –1) = 1, d(2, 5) = 3 = d(5, 2) olacaktır. Her x R için d(x, 0) = x olduğuna dikkat ediniz. Öte yandan B(x o , ?) kümesi reel sayılarda x o merkezli, ? çaplı açık aralıktır. Yani B(x o , ?) = (x o – ?, x o + ?) dır, o o x o – ? x o x o + ? ve B(x o , ?), x o – ? sayısından büyük, x o + ? sayısından küçük reel sayılar kümesidir. Örneğin, B(5, 0.5) = (5 – 0.5, 5 + 0.5) = (4.5, 5.5) olur. Dolayısı ile B(5, 0.5), 4.5 den büyük 5.5 den küçük reel sayılar kümesidir ve her x B(5, 0.5) için d(x, 5) < 0.5 olacağı açıktır. Tanım 3.2. Sürekli fonksiyonlar. f: D R R ve x o D olsun. Eğer, her ? > 0 için x B(x o , ?) f(x) B(f(x o ), ?) ya da özdeş olarak d(x o , x) < ? d(f(x o ), f(x)) < ? olacak şekilde bir ? > 0 sayısı varsa f(x) x o noktasında süreklidir denir. Eğer fonksiyon D nin her noktasında sürekli ise D üzerinde süreklidir denir. f(x) x o noktasında sürekli değilse, o noktada süreksizdir denir. o B(y o , ?) y o x o o o o B(x o , ) Şekil 3.1. Sürekli Fonksiyon Tanım Şekil 3.1. yardımıyla açıklanabilir. y = f(x) ve y o = f(x o ) olsun. B(y o , ?) = (y o – ?, y o + ?), y o merkezli herhangi bir açık aralık olsun. Şekilde uygun bir > 0 seçimiyle oluşturulan bir B(x o , ) gösterilmiştir. Her x B(x o , ) için bir y = f(x) B(y o , ?) olur. Şimdi Şekil 3.2’ yi inceleyelim. Buradaki f(x) fonksiyonu x < 1 için y = 3 + x x 1 için y = 2 – x olmak üzere iki parçalıdır ve x o = 1 olduğunda y o = f(x o ) = 2 – 1 = 1 olur. ? = 0.4 olmak üzere y o merkezli açık aralığı, yani B(y o , 0.4) = (0.6, 1.4)’u, ele alalım. y x (1– , 1+ ) o ama f(x) (0.6, 1.4) f(x) 1.4 o y = 3 + x y o 0.6 o o o o x 1– 1 1+ y = 2 – x Şekil 3.2. Bir Noktada Süreksiz Fonksiyon Fonksiyon x o = 1 noktasında sürekli değildir. Çünkü, her > 0 için B(x o , ) = (x o – , x o + ) = (1 – , 1 + ) görüntüsü (0.6, 1.4) aralığında olmayan noktalar içerecektir. Örneğin, = 0.1 için 0.95 B(x o , ) = (0.9, 1.1) olur ve f(0.95) = 3 + 0.95 = 3.95 (0.6, 1.4) dır. Dolayısı ile sürekliliğin tanımı gereği her ? > 0 için x B(x o , ?) f(x) B(f(x o ), ?) olacak şekilde bir > 0 bulamıyoruz. Burada açık olduğu üzere fonksiyon x o = 1 noktasında “sıçrama” yapmaktadır: x o = 1 noktasının hemen solundaki noktalarda fonksiyon değeri y = 3 + x olmak üzere 4 e yaklaşırken, x o noktasında y = 2 – x = 1 olmaktadır. Örnek 3.1. i. f: R R, y = f(x) = a + bx olsun. Bu fonksiyon her x R noktasında süreklidir. Şöyle ki, herhangi bir x o R noktasında y o = f(x o ) = a + bx o olduğuna göre her y B(y o , ?) için d(y, y o ) = a + bx – (a + bx o ) = b x – x o = b d(x, x o ) olduğuna göre her ? > 0 için = ?/ b koyarsak d(x o , x) < ? d(y o , y) < ? olur. ii. 1 x x, 1 x 2x, - 3 y fonksiyonu her noktada süreklidir. Burada sorunlu olan x o = 1 noktası- dır. Diğer noktalarda (i) örneğinden bildiğimiz üzere fonksiyon süreklidir. Fonksiyonun x o = 1 noktasındaki değeri y o = y(1) = 1 dir. Her ? > 0 için B(y o , ?) = (1 – ?, 1 + ?) olur. Bu kümenin ters görüntüsü (1 – ?/2, 1 + ?) aralığıdır (aşağıdaki şekli inceleyiniz). O halde ? = ?/2 koyarsak x B(x o – ?, x o + ?) = (1 – ?/2, 1 + ?/2) f(x) B(y o , ?) olur. Yani fonksiyon x = 1 nokta- sında da süreklidir. y y = 3 – 2x y = x 1 + ? y o = 1 o o x 1–?/2 1 1 + ? İktisadi uygulamalarda karşımıza çıkabilecek fonksiyonların hemen hepsi süreklidir ve biz her seferinde fonksiyonların sürekliliğini göstermek durumunda değiliz. Aşağıdaki tabloda stan- dart bazı sürekli fonksiyonlar gösterilmiştir. Tablo 3.1. Bazı Sürekli Fonksiyonlar Tanım Aralığı y = f(x) x R, a, b R, t –1 R x 0 R, a, b R, t = –1 y = a + bx t x > 0 y = lnx x R, a R (e = 2.718281... irrasyonel sayısı) y = ae x x R, a, b R y = ba x x R y = sinx x R y = cosx Bu tablodaki fonksiyonlar bir sonraki teoremle birlikte ele alındığında birçok fonksiyonun sürekli olduğunu gösterebiliriz. Teorem 3.1. f: D R R sürekli fonksiyonların kümesine C diyelim. Bütün f, g C ve ?, R için: i. ?f süreklidir (?f C dir). ii. (?f + g) C dir. iii. f.g C dir. iv. g(x) 0 olmak üzere f/g C dir. v. (g o f) C dir. Uyarı: (?f + g) C olduğuna göre ? = 1, = –1 koyarsak f – g C, yani sürekli olmalıdır. Buna göre sürekli fonksiyonların skalar katları, toplamları ve farkları, çarpımları, bölümler (tanımlı olmak koşuluyla) ve bileşimleri sürekli fonksiyonlardır. Örnek 3.2. i. y = a + bx t fonksiyonu sürekli olduğuna göre b = 0 koyarsak y = a sabit fonksiyonu da sü- reklidir demektir. y = a fonksiyonunun sürekli olduğunu doğrudan ispat ediniz. ii. y = 2x 3 – 3x 2 – 5x + 2 fonksiyonu süreklidir. Çünkü, 2x 3 , 3x 2 , 5x ve y = 2 sabit fonksiyon- ları sürekli fonksiyonlardır ve y bu sürekli fonksiyonların toplam ve farklarından oluşur. ii. y = (x 2 – 1)(x 3 + x 2 +1) fonksiyonu süreklidir. Çünkü, f(x) = (x 2 – 1) ve g(x) = (x 3 + x 2 +1) fonksiyonları süreklidir ve y = f(x)g(x) iki sürekli fonksiyonun çarpımından oluşmaktadır. iii. y = (x 3 + x 2 +1)/(x 2 – 1) fonksiyonu x o = 1 noktası dışında her noktada süreklidir. Çünkü, x o dışındaki her noktada g(x) = (x 2 – 1) 0 dır ve y = f(x)/g(x) fonksiyonu sürekli fonksiyon- ların bölümü olduğu için süreklidir. iv. y = (x 3 + x 2 +1) 2 fonksiyonu süreklidir. g(x) = (x 3 + x 2 +1), f(x) = x 2 dersek, y = (fog)(x) = ((g(x)) 2 bileşik fonksiyonudur ve süreklidir. v. y = ln((x 3 –2 x 2 +1)) fonksiyonu sürekli fonksiyonların bileşiğidir ve süreklidir. vi. tanx = sinx/cosx fonksiyonu, cosx fonksiyonunun sıfırdan farklı değerler aldığı her nokta- da tanımlı ve süreklidir. vii. y = ln(a x ) fonksiyonu sürekli fonksiyonların bileşiğidir ve süreklidir. viii. y = a x ise lny = xlna ve x = e ln(y/a) olur. Bu ters fonksiyon da x = e u , u = ln(y/a) olmak üzere sürekli fonksiyonların bileşiği olarak süreklidir. Sürekliliğin tam olarak ne anlama geldiğini sonraki iki teoremden görüyoruz: Teorem 3.2. f: [a, b] R fonksiyonu sürekli ise görüntü kümesi f([a, b]) de kapalı bir ara- lıktır. Teorem şunu demektedir: a ve b sayılarını birleştiren doğrunun sürekli bir fonksiyon altındaki görüntüsü (başka) iki sayıyı birleştiren bir doğrudur. Sürekli bir fonksiyon arada boşluk bı- rakmaz. Örneğin, y = –x 2 + 2x fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon sürekli fonksiyonların toplamıdır ve süreklidir. Bu fonksiyon altında [0, 2] aralığının görüntüsü [0, 1] aralığıdır (aşa- ğıdaki şekli inceleyiniz). y 1 y = –x 2 + 2x 0 2 x Dolayısı ile teorem [a, b] aralığının görüntüsü [f(a), f(b)] aralığıdır dememektedir. Bu örnekte f(a) = 0 = f(b) dir ama f([a, b]) = [0, 1] dir. y f(b) f(x) y f(a) x a c c b Teorem 3.3. (Ara değer teoremi) f: [a, b] R fonksiyonu sürekli ve f(a) f(b) olsun. O halde, f(a) ile f(b) arasındaki her y için, f(c) = y olacak şekilde bir c [a, b] vardır (yani sü- rekli bir fonksiyon birbirinden farklı iki değer alıyorsa, bunların arasındaki her değeri alır). Buna göre sürekli bir fonksiyon iki farklı değer alıyorsa bu değerler arasında kalan her değeri alır, arada boşluk bırakmaz. Yukarıdaki şekilden görüldüğü gibi bu değeri birden fazla x de- ğeri için alabilir, ama mutlaka bir defa alır. Ara değer teoreminin aşağıdaki özel hali iktisatta çok kullanılır: Teorem 3.4. f: [a, b] R fonksiyonu sürekli ve f(a) < 0, f(b) > 0 olsun. O halde, f(c) = 0 olacak şekilde bir c [a, b] vardır. Buna göre, f(a) < 0, f(b) > 0 olduğunda sürekli bir fonksiyon arada sıfır değeri almadan işaret değiştiremez. Bu bölümde tek değişkenli fonksiyonlarda türev konusunu ele alacağız. İktisatta en çok uygu- lama alanı bulan konu istisnasız türevdir. Türevlenebilir fonksiyonlar sürekli olmaya ek ola- rak “düzgün ya da pürüzsüz” fonksiyonlardır. Bir f(x) fonksiyonunun sürekli olduğu bir x o noktasında “öngörülebilir” olduğunu biliyoruz: x x o a yakın kalarak değiştiğinde f(x) de f(x o ) a yakın kalır. Bir f(x) fonksiyonun x o noktasında türevi varsa ve biz bunu biliyorsak, f(x) fonksiyonunun x o noktasının yakınlarında nasıl değiştiğini de biliyoruz demektir. 3.2.1 BİR DOĞRUNUN EĞİMİ f: R R, y = f(x) = a + mx fonksiyonunun bir doğrunun denklemini tanımladığını ve sürekli olduğunu biliyoruz. Bilindi- ği gibi buradaki “m” sayısı doğrunun eğimidir. Bunun anlamını görmek için önce sıklıkla kullanacağımız fark operatörünü, , tanımlayalım: herhangi bir z R için z = z deki değişme olarak yorumlanır: z > 0 ise z değişkeni artmaktadır, z < 0 ise z değişkeni azalmaktadır. Şimdi, y 1 = f(x 1 ) = a + mx 1 ve y o = f(x 1 ) = a + mx o olduğuna göre: y x y = a + mx a y x Şekil 3.3 Bir doğrunun eğimi y = y 1 – y o = [(a + mx 1 ) – (a + bx o )] = m(x 1 – x o ) = m x ve y/ x = m olur. O halde m = y/ x = (y deki değişme)/(x deki değişme) demektir ve bu anlamda y = f(x) = a + mx fonksiyonunun eğimidir. Bize x değiştiğinde y = f(x)’in ne kadar değişeceğini gösteir. Buna göre y = m x olur ve m > 0 ise x > 0 için y > 0 (y artar); m < 0 ise x > 0 için y < 0 (y azalır). Burada dikkat edileceği gibi x in ne kadar büyük ya da küçük olduğu, ya da hesaplamanın hangi noktada yapıldığı, eğimin hesaplanmasını etkilemeyecektir. Başka bir anlatımla y = a + mx fonksiyonu sabit eğimlidir. Bir doğrunun anlamı da zaten budur: doğrunun geçtiği bir (x, y) noktasını ve eğimini ya da doğrunun geçtiği iki noktayı biliyorsak, doğrunun denklemini bulabiliriz. Şöyle ki, 1. (x o , y o ) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi: y o = a + mx o a = (y o – mx o ) ve y = (y o – mx o ) + mx olur. 2. (x o , y o ) ve (x 1 , y 1 ) noktalarından geçen doğrunun denklemi: m = y/ x = (y 1 – y o )/(x 1 – x o ), a = (y o – mx o ) = (y 1 – mx 1 ) ve y = a + mx olur. Örnek 3.2 i. (1, 3) noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun denklemini bulalım. y = a + mx olacağı- na ve f(1) = 3 şartını sağlaması gerektiğine göre: 3 = a + 2(1) a = 1 ve aradığımız doğrunun denklemi y = 1 + 2x dir. ii. (x o , y o ) = (1, 3) ve (x 1 , y 1 ) = (2, 5) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım. Bu- rada, x = x 1 – x o = 2 – 1 = 1 ve y = y 1 – y o = 5 – 3 = 2 olduğuna göre m = y/ x = 2/1 = 2 olur. Öte yandan, y = a + mx olacaksa y o = 3 = a + mx o = a + m ve y 1 = 5 = a + mx 1 = a + 2m ve a = 3 – mx o = 3 – 2 = 5 – mx 1 = 5 – 2(2) = 1 olur. O halde aradığımız denklem y = 1 + 2x dir. Dolayısı ile a sayısını hangi noktayı gözönüne alarak hesapladığımız fark etmeyecektir. Burada eğim pozitiftir. Buna göre y = 2 x dir ve x > 0 ise (x artarsa), y (2 x kadar) artar. iii. (x o , y o ) = (1, 3) ve (x 1 , y 1 ) = (2, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım. Bu- rada, x = x 1 – x o = 2 – 1 = 1 ve y = y 1 – y o = 1 – 3 = –2 olduğuna göre m = y/ x = –2/1 = –2 olur. Öte yandan, y = a + mx olacaksa y o = 3 = a + mx o = a + m a = 3 – (–2) = 5. O halde ara- dığımız denklem y = 5 – 2x dir. Burada eğim negatiftir: x > 0 ise (x artarsa), y (–2 x kadar) azalır. Aşağıdaki doğruların denklemlerini bulunuz, grafiklerini şekil üzerinde gösteriniz: i. (1, –1) noktasından geçen ve eğimi m = 1 olan, ii. (1, –1) noktasından geçen ve eğimi m = –1 olan, iii. (2, 3) ve (3, 2) noktalarından geçen, iv. (2, 3) ve (3, –2) noktalarından geçen, v. (2, 3) ve (3, 4) noktalarından geçen. 3.2.2 BİR FONKSİYONUN EĞİMİ VE TÜREV Şimdi türev konusunun problemini ortaya koyabiliriz: Bir doğruyu tanımlayan fonksiyonun eğimini bildiğimizde fonksiyonun nasıl değişe- ceğini bildiğimiz gibi, genel bir f(x) için de benzer şekilde yorumlayabileceğimiz bir eğim tanımlayıp bunu hesaplayabilir miyiz? Şekil 3.4’de genel bir y = f(x) fonksiyonu üzerinde (x o , y o ) noktasında ‘eğim’ hesaplamaya çalışalım. Bu noktadan başlayarak x’in değerini x 1 kadar arttırırsak, x 1 = x + x olmak üze- re y 1 = f(x 1 ) = f(x o + x) olur. Burada y = f(x o + x) – f(x o ) olmak üzere, eğimi m 1 = ( ) ( ) oo y f x x f x xx olarak hesaplarsak aslında fonksiyon üzerinde belirtilen iki noktadan geçen doğrunun eğimini bulmuş oluruz (Şekil 3.4’de y = a 1 + m 1 doğrusu). f(x o + x 1 ) y = a 2 + m 2 x y = a 1 + m 1 x y = f(x) y x f(x o + x 2 ) Şekil 3.4 Bir Fonksiyonun “Eğimi” x o x o + x 1 x o + x 2 Öte yandan x = x 2 koyarsak, 2 2 2 22 ( ) ( ) oo f x x f x y m xx olmak üzere Şekil 3.4’de y = a 2 + m 2 x doğrunun eğimini hesaplamış oluruz. O halde, x’i nasıl seçtiğimize bağlı olarak (x o , f(x o )) noktasından geçen farklı doğruların eğimlerini bul- muş olacağız. Şöyle düşünelim: (x o , f(x o )) den geçen hangi doğruyu seçersem, f(x) değerlerini x o noktasının yakınla- rında o doğru üzerinde daha az hatayla hesaplamak mümkün olur? Örneğin, y = f(x) = x 2 fonksiyonunu ele alalım ve x o = 1 noktasında eğimini yukarıdaki yön- temle farklı x değerleri için hesaplayalım. f(x o ) = 1 olduğuna ve her durumda doğru (1, 1) noktasından geçeceğine göre: x y = (x o + x) 2 – 1 m = y/ x y = a + mx 1 3 3 –2 + 3x 0.5 1.25 2.5 –1.5 + 2.5x 0.1 0.21 2.1 –1.1 + 2.1x 0.01 0.0201 2.01 –1.01 + 2.01x 0.001 0.002001 2,001 –1.001 + 2.001x 0 0 2 –1 + 2x olacaktır. Burada x = 0 koyulduğunda y/ x = 0/0 olmaktadır ama biz m = y/ x = 2 aldık. Şu nedenle ki, y/ x değerlerine bakıldığında x küçüldükçe y/ x = 2 değerine limit olarak yaklaşmaktadır. Yani x küçüldükçe kiriş doğru y = –1 + 2x teğet doğrusuna limit olarak yak- laşır. Şimdi, x = 1.015 in için y = x 2 —ki bunun 1.030225 olduğunu biliyoruz—değerini tablo- daki doğrular üzerinde hesaplayalım: y = a + mx f(1.015) a + m(1.015) –2 + 3x 1.045 –1.5 + 2.5x 1.0375 –1.1 + 2.1x 1.0315 –1.01 + 2.01x 1.03015 –1.001 + 2.001x 1.030015 –1 + 2x 1.03 Tahminlerin m = 2 değerine yaklaştıkça iyileştiğine dikkat ediniz. Öte yandan x = 1 noktasına daha yakın olan x = 1.0015 değeri için x 2 = 1.00300225 değerini aynı doğrular üzerinde tah- min etseydik: y = a + mx f(1.015) a + m(1.0015) –2 + 3x 1.0045 –1.5 + 2.5x 1.00375 –1.1 + 2.1x 1.00315 –1.01 + 2.01x 1.003015 –1.001 + 2.001x 1.0030015 –1 + 2x 1.003 olurdu, ve m = 2 değerine yaklaştıkça tahminler daha iyi olmaktadır. Buradan çıkan sonuç x o = 1 noktasının “yakın civarında,” yani yeterince küçük ? > 0ve x B(x o , ?) için, y = x 2 nin değerini y = –1 + 2x teğet oğrusu üzerinde “en iyi” şekilde tahmin edebiliyoruz. y y = f(x) y = a o + m o x y o B(x o , ?) x o x Şekil 3.5 Bir Fonksiyonun Eğimi İşte bir f(x) fonksiyonunun eğiminin anlamı budur: bir fonksiyonun bir x o noktasındaki eğimi, fonksiyona o noktada teğet olan doğrunun eğimidir. x o noktasının bir (yeterince küçük) ?– komşuluğunda (Şekil 3.5’de B(x o , ?)), x B(x o , ?) için f(x) a o + m o x değeri fonksiyonun “en iyi doğrusal yaklaşık değerini” verir. Ve biz f(x)’in x o noktasındaki eğimine fonksiyonun o noktadaki türevi diyoruz. Bu tanımı formel olarak vermeden önce iç nokta kavramını ver- memiz gerekir. Tanım 3.3 İç nokta A R ve x o A olsun. Eğer, B(x o , ?) A olacak şekilde en az bir ? > 0 varsa x o A’nın iç noktasıdır denir. A’nın bütün iç noktalarının kümesine içA = {x A x A’nın iç noktasıdır} diyeceğiz. Örneğin, A = {1, 2, 3} kümesinin iç noktası yoktur: içA = dır. Çünkü her x A ve her ? > 0 için B(x, ?) = (x – ?, x + ?) aralığı A da olmayan reel sayılar içerecektir. A = [a, b] kümesini alırsak, a A bir iç nokta değildir: B(a, ?) o o a b Burada B(a, ?) aralığı her ? > 0 için x < a, yani x A, noktalar içerir. Yani, B(a, ?) [a, b] olacak şekilde bir ? > 0 yoktur. Benzer şekilde b A noktası da A’nın iç noktası değildir (şe- kil üzerinde gösteriniz). Ama, her a < x < b, x A, A’nın bir iç noktasıdır. ? < min(d(x, a), d(x, b)) olan her ? > 0 için B(x, ?) [a, b] dir: B(x, ?) [a, b] o o a x b O halde iç[a, b] = (a, b) olur: her x (a, b) için B(x, ?) [a, b] olacak şekilde bir ? > 0 vardır. Buradan hareketle A = (a, b) için içA = A olduğunu görüyoruz: (a, b) aralığındaki her x için (a, b) aralığında kalacak şekilde x merkezli bir açık aralık bulabiliriz (şekil üzerinde gösteri- niz). Zaten (a, b) aralığına “açık” aralık denmesinin nedeni de budur: A = içA olan kümeler “açık” kümelerdir. Buna göre [a, b] açık küme değildir, çünkü [a, b] iç[a, b] = (a, b) dir. Doğal olarak her x R, R nin bir iç noktasıdır. Tanım 3.4 Türev f: D R R, x o içD, ve f(x) x o noktasında sürekli olsun. Fonksiyonun x o noktasındaki türevi fonksiyona x o noktasında teğet olan doğrunun eğimidir ve x 0 olmak üzere 00 ( ) ( ) lim lim oo xx y f x x f x xx (eğer bu limit varsa) olarak hesaplanır. Buna göre fonksiyonun x o noktasındaki türevi x o nok- tasına tekabül ettirilen bir reel sayıdır ve bu sayı o o o df f'(x ) veya Df(x ) veya (x ) dx şeklinde gösterilir. Eğer fonksiyonun içD üzerinde her noktada türevi varsa f(x) içD üzerinde her noktada türevlenebilir denir. Bu durumda her x içD için bir sayı elde edecek şekilde bir türev fonksiyonu vardır ve bu fonksiyon df f'(x) veya Df veya dx şeklinde gösterilir. Uyarı: 1. Dolayısı ile türev fonksiyonun sürekli olduğu noktalarda tanımlıdır. Çoğunlukla türev sü- reklilik koşulu koymadan tanımlanır ve daha sonra fonksiyonun türevi olan noktalarda sürekli olduğu bir teorem olarak ispatlanır: süreklilik türev için gereklidir. Burada bu gereklilik tanı- ma dahil edilmiştir. Ama her sürekli fonksiyonun türevi olması gerekmez. 2. Türevin x içD olan noktalarda tanımlanmasının nedeni limit alma işlemi için x noktasına hem sağdan hem soldan “yaklaşabilme” gerekliliğidir. Örnek 3.3 i. 1 - x, x < 1 ise () x + 1, x 1 ise fx fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli değildir ve bu noktada türevi yoktur: bu fonksiyona x = 1 noktasında teğet olan doğru yoktur. Fonksiyonun grafiğini çizerek inceleyiniz. ii. f(x) = a sabit fonksiyonu olsun. Bu fonksiyonun türevi her noktada sıfır, yani Df(x) = 0 sabit fonksiyon, olur. Çünkü türev eğimi, dolayısı ile değişimi ölçer ve bu fonksiyon değiş- mediğine göre türevi sıfır olmalıdır. Gerçekten de türevin tanımından: y = f(x + x) – f(x) = a – a = 0 ve x 0 için 0 0 0 0 lim lim lim 0 0 x x x y xx olur. iii. y = f(x) = a + bx fonksiyonunun türevi b olmalıdır: bu doğruya teğet olan doğru kendisidir ve eğimi de b’dir. Türevin tanımından hesaplama yaparsak: y = a + b(x + x) – (a + bx) = b x, ve x 0 için 0 0 0 lim lim lim x x x y b x bb xx olur. iv. 1 - x, x < 1 ise () -1 + x, x 1 ise fx fonksiyonu her noktada süreklidir ama x = 1 noktasında türe- vi yoktur. y y = 1 – x y = –1 + x 1 x Fonksiyonun grafiği incelendiğinde görüleceği gibi x = 1 noktasında fonksiyona teğettir diye- bileceğimiz tek bir doğru yoktur: şekilde kırık çizgiyle gösterilen bütün doğrular fonksiyona x = 1 noktasında teğettir. Dolayısı ile fonksiyonun x = 1 noktasında eğimi tanımlı değildir ve türevi yoktur. Bu örnek bize türevlenebilir fonksiyonların ne anlamda “düzgün” olduğunu göstermektedir. Bu fonksiyon x o = 1 noktasında süreklidir: fonksiyon x = 1 noktasında davra- nış değiştirmekte (y = 1 – x doğrusundan y = 1 + x doğrusuna geçmekte) ve bunu kopma ya- ratmadan yapmaktadır. Ama biz x = 1 noktası civarında fonksiyonun değerlerini bir teğet y = a + mx doğrusu üzerinde tahmin edemeyiz. Türevi olan bir fonksiyon x o noktasında kopma yaratmadığı gibi, birdenbire davranış da değiştirmez. Bu da tam olarak x o noktasında üzerinde x o a yakın x için f(x) değerlerini hesaplayabileceğimiz tek bir teğet doğru olduğu anlamına gelir. Türevin hesabı limit hesabına dayanmaktadır ve bu da her zaman kolay bir iş değildir. Örne- ğin, y = sinx fonksiyonunun türevi lim x 0 [sin(x + x) – sinx]/ x olarak hesaplanmalıdır ve bu limitin var olduğunu gösterip bulmak epeyi çaba gerektirir. Ama türev kavramının en bü- yük meziyeti belirli temel fonksiyonların türevleri bilinince, aşağıdaki teoremle birlikte, bizim karşılaşacağımız (türevi olan) her fonksiyonun türevini bulmanın, her seferinde limit hesap- lamadan, mümkün olmasıdır. Teorem 4.1. X R, f ve g X üzerinde türevlenebilir fonksiyonlar; ?, R olmak üzere i. Türev fonksiyonu doğrusaldır: D(?f + g) = ?Df + Dg dir. (toplam–fark kuralı: türevlenebilir fonksiyonların toplam ve farklarının ( = –1) türevi, tü- revlerin toplam ve farkına eşittir). ii. D(fg) = (Df)g + f(Dg) dir. (çarpım kuralı: türevlenebilir fonksiyonların çarpımının türevi, birincinin türevi çarpı ikinci + ikincinin türevi çarpı birinci olarak hesaplanır). iii. g(x) 0 olmak üzere 2 ( ) ( ) ( / ) () Df g f Dg D f g g dir. (bölüm kuralı: türevlenebilir fonksiyonların bölümünün türevi, (payın türevi çarpı payda – paydanın türevi çarpı pay) bölü paydanın karesi olarak hesaplanır). iv. D(fog) = (Df)(Dg) ya da y = f(z), z = g(x) olmak üzere ( ')( ') df dy dy dz fg dx dx dz dx dür. (zincir kuralı: türevlenebilir fonksiyonların bileşiğinin (fog) türevi, (f nin g ye göre türevi çarpı g nin x e göre türevi olarak hesaplanır). v. f –1 (ters) fonksiyonu varsa 1 11 11 ya da ( ), ( ) olmak üzere df Df y f x x f y df Df dy dx olur. (ters fonksiyon kuralı: türevlenebilir bir fonksiyonun tersinin türevi, fonksiyonun türevinin tersidir). Uyarı: Bu kurallar ikiden fazla fonksiyona da uyarlanabilir. f, g, h aynı küme üzerinde türev- lenebilir fonksiyonlar; a, b, c R olmak üzere: D(af + bg + ch) = aDf + bDg + cDh, D(fgh) = (Df)gh + f(Dgh) = (Df)gh + f(hDg + gDh) = (Df)gh + (Dg)fh + (Dh)fg, D(fo(goh)) = DfDgDh, yani y = f(z), z = g(u), u = h(x) ise ( ')( ')( ') df dy dz du f g u dx dz du dx olur. Teorem 3.5 (Bazı temel fonksiyonların türevleri) y = f(x) Df q Q, y = ax q Df = aqx q–1 ? R, y = ax ? Df = a?x ?–1 y = lnx Df = 1/x y = ae x Df = ae x y = ca x Df = (clna)a x y = sinx Df = cosx y = cosx Df = –sinx. Bu iki teorem birlikte bizim karşılaşabileceğimiz bütün fonksiyonların türevini almamızı sağ- lar. Aşağıdaki örnekleri dikkatle inceleyiniz. Örnek 3.4 i. y = 2x 4 + x 3 – 3x 2 – 2x + 5 türevini hesaplayalım. Burada, g(x) = 2x 4 , h(x) = x 3 , u(x) = –3x 2 , z(x) = –2x, v(x) = 5 koyarsak y = g(x) + h(x) + u(x) + z(x) + v(x) olur. O halde, Teorem 4.1. uyarınca Dy = Dg + Dh + Du + Dz + Dv olur. Teorem 4.2. ye göre de f(x) = ax q olduğunda Df(x) = aqx q–1 olduğuna göre: Dg = 2.4.x 4–1 = 8x 3 , Dh = 3x 3–1 = 3x 2 , Du = –3.2.x 2–1 = –6x, Dz = –2x 1–1 = –2, Dv = 0. O halde, y = 2x 4 + x 3 – 3x 2 – 2x + 5 için Dy = 8x 3 + 3x 2 – 6x – 2 olur. Doğal olarak bu tür fonksiyonların türevini bulurken her seferinde g(x) vb. fonksiyonlar yazıp uzun yoldan gitmeye gerek yoktur. y = 2x 4 + x 3 – 3x 2 – 2x + 5 verilince her bir ifadenin türe- vini alıp (işaretlere dikkat ederek) toplamını yazarız. Örneğin, y = 3x 5 – 4x 3 + 5x 2 – 5x + 7 ise Dy = 15x 4 – 12x 2 + 10x – 5, y = 3x 2 + x 0.5 – 2x 0.3 ise Dy = 6x + 0.5x –0.5 – 0.6x –0.7 olur. ii. y = 1/x olsun. Bunun türevini iki yoldan bulabiliriz: 1. yol: y = 1/x = x –1 olduğuna göre Dy = –1x –1–1 = –x –2 = –1/x 2 , 2. yol: bölüm kuralından y = 1/x ise Dy = [(D1)x – 1Dx]/(x) 2 = [0.x – 1.1]/ x 2 = –1/x 2 . Burada birinci yolu daha verimli olduğu açıktır. Örneğin, y = 1/x 2 ise y = x –2 ve Dy = –2x –2–1 = –2x –3 , y = 1/x 2/3 ise y = x –2/3 ve Dy = (–2/3)x –2/3–1 = –(2/3)x –5/3 olur. iii. y = 1/(1 – x) ise Dy yi iki yoldan bulabiliriz: -1 -1 -2 -2 2 2 1. yol: y = (1 - x) = u , u = 1 - x dersek, zincir kuralından dy du Dy = = (-1u )(-1) = u = 1/(1 - x) olur. du dx f(x) 1 2. yol: y = olduğundan, bölüm kuralını uygulayarak g(x) 1 - x gDf - fDg Dy = g 2 1 = elde ederiz. (1 - x) Çünkü, f = 1 sabit fonksiyonu olduğundan Df = 0, g = 1 – x olduğundan Dg = –1 olmaktadır. iv. 2 32 x - 5x + 2 y = x - 3x + 2x + 3 fonksiyonunun türevi en kolay bölüm kuralından hesaplanır. f(x) = x 2 – 5x + 2 ve g(x) = x 3 – 3x 2 + 2x + 3 olmak üzere y = f(x)/g(x) dir. Burada, Df = 2x – 5 ve Dg = 3x 2 – 6x + 2 olduğuna göre (g(x) 0 olduğu noktalarda): 3 2 2 2 2 3 2 2 4 3 2 3 2 2 ( 3 2 3)(2 5) ( 5 2)(3 6 2) ( 3 2 3) 10 19 38 19 ( 3 2 3) gDf fDg x x x x x x x x Dy g x x x x x x x Dy x x x olur. v. y = (x 2 + 2x –1) 2 olsun. Bu fonksiyonun türevi zincir kuralından kolaylıkla hesaplanır. u(x) = x 2 + 2x –1 dersek Du = 2x + 2 olur. O halde y = u 2 ve Dy = (2u)Du = 2(x 2 + 2x –1)(2x + 2) olur. Bu tür ifadelerin türevleri hesaplanırken parantez içindeki ifadeyi bir değişken gibi düşünüp “y nin paranteze göre türevi = 2(x 2 + 2x –1) çarpı içinin türevi = 2x + 2” biçiminde daha hızlı hesaplama yapılır. Örneğin, y = (x 3 – 5x 2 + 2x) 2/3 ise Dy = [2/3(x 3 – 5x 2 + 2x) 2/3–1 ](3x 2 – 10x + 2) yani “paranteze göre türev” “içininin türevi” Dolayısı ile, Dy = 2/3(x 3 – 5x 2 + 2x) –1/3 (3x 2 – 10x + 2) olur. vi. y = ln(1 + x 2 ) olsun. Burada u(x) = 1 + x 2 koyarsak Du = 2x, y = lnu ve zincir kuralından Dy = (1/u)Du = (2x)/(1 + x 2 ) olur. vii. tanx = sinx/cosx olduğuna göre bölüm kuralından D(tanx) = D(f/g) = [gDf – fDg]/g 2 = [cosx(cosx) – sinx(–sinx)]/(cosx) 2 = [(cosx) 2 + (sinx) 2 ]/ (cosx) 2 = 1/(cosx) 2 olur ((sinx) 2 + (cosx) 2 = 1 olduğunu hatırlayınız). viii. z = lny ise z = dz dy = 1/y dir. Ama z = lny ise y = e z dir ve y = dy dz = e z = y olmaktadır. Buradan sık kullanılan faydalı bir sonuç çıkar: . ln dy dy y dz d y Bu aslında ters fonksiyon kuralının sonucudur. z = f(y) ve y = f –1 (z) olduğundan 11 1 dy y dz dz dy y olmaktadır. ix. y = ca x fonksiyonunun türevi Teorem 4.2. de Dy = (clna)a x olarak verilmektedir. D(lnx) = 1/x olduğunu kabul edersek bunu ispatlayabiliriz. y = ca x olduğuna göre lny = lnc + xlna dır. O halde, (ln ) ln dy a dx olur (c sabit olduğundan Dlnc = 0 dir) ve zincir kuralından, (ln ) ln ln ( ln ) (ln ) xx dy dy d y y a ca a c a a dx d y dx olur (Örnek (viii) deki sonucun kullanıl- dığına dikkat ediniz x. y = a u(x) , u(x) = x 2 + x verildiğinde zincir kuralı ile y = (lna)a u u = (lna)a u (2x + 1) olarak bulunur. Burada da logaritmik türev yoluna gidebilirdik: lny = ulna olduğuna göre ln dy dx (lna)u = (lna)(2x + 1) ve Örnek (viii) deki sonucu kullanarak: ln (ln )(2 1) ln dy dy d y yax dx d y dx bulunur. xi. 2 ( 1) () x y x x ise y bulmanın en kolay yolu logaritmik türev yoluna gitmektir. Burada, lny = (x + 1)ln(x 2 + x) ve 2 2 ln 2 1 ln( ) ( 1) d y x x x x dx x x olur. Bir önceki örnekte olduğu gibi, ln ln ln dy dy d y d y y dx d y dx dx = 2 2 21 ln( ) ( 1) x y x x y x xx olarak bulunur. xii. 2 ( 1) x ye fonksiyonu verildiğinde u = x 2 + 1 koyarsak y = e u , ve zincir kuralından Dy = D(e u )Du = e u (2x) = 2xe u olur. Başka bir yol logaritmik türev yoludur. Burada, lny = x 2 + 1 olduğuna göre ln dy dx 2x olmaktadır. Örnek (viii) deki sonucu kullanarak: ln ln dy dy d y dx d y dx y2x = 2xy bulunur. xiii. 2 32 2 ln - 2 2 xx y x x x fonksiyonu verildiğinde y = ln(x 2 + 2x) – ln(x 3 – 2x 2 + 2x) yazarsak, Dy = Dln(x 2 + 2x) – Dln(x 3 – 2x 2 + 2x) = 2 2 3 2 2 2 3 4 2 2 - 2 2 x x x x x x x x elde edilir. Burada her te- rim için yukarıdaki (vi) örneğindeki yol izlenmiştir. xiv. q = 10/p olmak üzere bir talep fonksiyonu ise Dq = –10/p 2 olur. Çünkü, q = 10p –1 oldu- ğundan Dq = –1(10p –1–1 ) = –10p –2 = –10/p 2 dir. xv. y = (x + 1)(x 2 – 2)(x 3 + 3x 2 ) ise Dy = (x 2 – 2)(x 3 + 3x 2 )D(x + 1) + (x + 1) (x 3 + 3x 2 )D(x 2 – 2) + (x + 1)(x 2 – 2)D(x 3 + 3x 2 ) = (x 2 – 2)(x 3 + 3x 2 ) + (x + 1) (x 3 + 3x 2 )[2x] +(x + 1)(x 2 – 2)[3x 2 + 6x] olur. xvi. y = [(x 2 – 2)(x 3 + 3x 2 )] 0.5 ise Dy = 0.5[(x 2 – 2)(x 3 + 3x 2 )] –0.5 {(x 3 + 3x 2 )D(x 2 – 2) + (x 2 – 2)D(x 3 + 3x 2 )} = 0.5[(x 2 – 2)(x 3 + 3x 2 )] –0.5 {(x 3 + 3x 2 )2x + (x 2 – 2)(3x 2 + 6x)} olur. xvii. c = c(y d ): tüketim harcanabilir gelirin fonksiyonudur, y d = y – t: harcanabilir gelir = gelir – vergilerdir, t = t(y): vergiler gelirin fonksiyonudur, ilişkileri verilsin ve bu fonksiyonların türevlenebilir olduğunu varsayalım. Buna göre c = d dc dy tüketim fonksiyonunun y d değişkenine göre türevidir. Buradan dc dy yi, yani tüketimin gelire göre türevini hesaplayalım. Burada iki yol izleyebiliriz: a. Önce y d = y – t(y) koyarsak 1 1 ' d dy dt t dy dy elde ederiz. Öyleyse, zincir kuralından '(1 ') d d dc dc dy ct dy dy dy olur. b. c = c(y d ) = c(y – t(y)) yazarsak “c nin paranteze göre türevi çarpı parantezin y ye göre türe- vi” kuralıyla (ki bu aslında zincir kuralının ifadesidir) doğrudan c'(1 - t') elde edilir. Her iki yolla da elde edilen türev şunu ifade eder: gelir değiştiğinde vergiler t kadar, harca- nabilir gelir (1 – t ) kadar ve tüketim c (çarpı) harcanabilirdeki değişme kadar değişir, çünkü harcanabilir gelirdeki değişmeler tüketimde c' kadar değişim yaratmaktadır. xviii. T = X(q) – qM(q) olsun. Burada ( ( )) ' ' dT dX dX dM D qM q M q X M qM dq dq dq dq olacaktır. qM(q) ifadesine çarpım kuralının uygulandığına dikkat ediniz. Türevin tanımına giden açıklamalarda “bir doğru tanımlayan fonksiyonun eğimini bildiğimiz- de fonksiyonun nasıl değişeceğini bildiğimiz gibi, genel bir f(x) içinde benzer şekilde yorum- layabileceğimiz bir eğim tanımlayıp bunu hesaplayabilir miyiz?” demiştik. Diferansiyel kav- ramını kullanarak burada “benzer şekilde” ifadesine anlam vereceğiz. Tanım 3.5 Diferansiyel f: D R R içD üzerinde türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Herhangi bir dx R için dy = df = D(x)dx = f (x)dx ifadesine f ’nin diferansiyeli denir. Uyarı: Burada dx herhangi bir sayıdır ama x’in diferansiyeli olarak adlandırılır. Buna göre bir fonksiyonun türevini biliyorsak diferansiyelini de hemen yazabiliriz. Diferansi- yel türevle aynı kurallara uyar. Buna göre, f(x), g(x) ve u(x) diferansiyeli olan fonksiyonlar olmak üzere: d(?f(x) + g(x)) = ?df(x) + dg(x) = ?f dx + g dx (?, R) d(f(x)g(x)) = d(f)g + f(dg) = f gdx + fg dx (çarpım kuralı) d(f(x)/g(x)) = [(df)g – f(dg)]/g 2 (g(x) 0) (bölüm kuralı) df(u(x)) = (df)(du) = f du = f u dx (zincir kuralı) Örnek 3.5 i. y = x 2 fonksiyonunun türevi y = 2x olduğuna göre dy = y dx = 2xdx olur. ii. y = (x 2 – 2x) 3 ise y = 3(x 2 – 2x) 2 (2x –2) olduğuna göre dy = 3(x 2 – 2x) 2 (2x –2)dx olur. iii. y = lnx ise y = 1/x dy = dx/x dir. iv. 3 2 3 2 3 3 2 3 2 1 ( ) ( 1)(3 1) 2 3 1 ise ( ) ( ) x x x x x x x y Dy x x x x x x ve dy = 32 32 2 3 1 () xx xx dx olur. v. y = (x 2 – 2x) 1/3 ise u = (x 2 – 2x) için du = 2(x – 1)dx olur. Öte yandan, dy = (1/3)u –2/3 du olduğuna göre, dy = (2/3)u –2/3 (x – 1)dx dir. Şimdi, f: D R R türevlenebilir bir fonksiyon ve x o içD ise, fonksiyona x o noktasındaki teğetin denklemi, (x o , y o = f(x o )) noktasından geçen ve eğimi f (x o ) olan doğrunun denklemidir ve y = (y o – f (x o )x o ) + f (x o )x olarak bulunur. Bunu düzenlersek: y – y o = f (x o )(x – x o ) (3.1) elde ederiz. Dolayısı ile, dx = (x – x o ) koyarsak dy = f (x o )dx = y – y o olur. Başka bir ifade ile bir fonksiyonun diferansiyeli, fonksiyonun “en iyi doğrusal yaklaşık değerini”, yani teğet doğ- ru üzerinde tahmininin, ifadesidir. Öyleyse, diferansiyeli (dy) fonksiyonun değerinde teğet doğru üzerindeki değişme olarak yorumlayabiliriz. Keyfi olarak konulan bir dx değeri için fonksiyonun değerindeki gerçek değişmeye nispetle yapılan hata büyük olur. y y = f(x) f(x o + dx) y = y o + f (x o )(x – x o ) hata f(x o + dx) – f(x o ) dy = f (x o )dx f(x o ) dx x x o x = x o + dx Şekil 3.6 Diferansiyel Şekil 3.6’da görüldüğü gibi x o noktasından dx kadar bir artışla x = x o + dx noktasına geldiği- mizde fonksiyonun değeri gerçekte f(x o + dx) – f(x o ) kadar artarken, teğet doğru üzerinde he- saplanan diferansiyel (bu durumda) daha düşük bir değer tahmin etmektedir. Açık olduğu üzere dx değerleri azaldıkça (x o noktasına yaklaştıkça) hata miktarları da azalacaktır ve f(x o + dx) – f(x o ) değeri dy değerine yaklaşacaktır. Bu önemli tespiti aşağıdaki teoremle ifade edilir. Teorem 3.6 f: D R R bir x o içD noktasında türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O hal- de, her ? > 0 ve x o x B(x o , ) için dx = d(x, x o ) ve y = f(x o + dx) – f(x o ) olmak üzere d( y, dy) < ?d(x, x o ) olacak şekilde bir > 0 vardır. Bu teorem şunu demektedir: herhangi bir ? > 0 verildiğinde x o noktasına ?’na bağlı bir ’dan daha yakın x değerleri için y = f(x o + dx) – f(x o ) ile dy arasındaki fark, yani d( y, dy) ola- rak ölçülen hata, ?d(x, x o ) değerinden daha küçük olur. Dolayısı ile en fazla ?d(x, x o ) kadar hata yapmış oluruz ve çok küçük d(x o , x) değerleri seçerek (yani x o noktasına çok yakın kala- rak) hatayı istediğimiz kadar küçültebiliriz. Bu da bize, dx diferansiyelini “çok küçük” bir sayı olarak düşünmek üzere, f(x o + dx) f(x o ) + dy = f(x o ) + f (x o )dx (3.2) ifadesini verir. Buna göre, türeve eğim ve değişme kavramlarını atfedebiliriz: “x değişkeni dx kadar arttığında y değişkeni dy = f (x)dx kadar artar.” İşte bu yorumla türevin bir fonksiyonun eğimi olduğu fikri daha kesinlik kazanır ve diferansiyel iktisatta çok kullanılır. Örnek 3.6 i. 4.0001 sayısının karekökünü diferansiyel yardımıyla hesaplayalım. y = f(x) = x 0.5 fonksiyo- nunun diferansiyeli dy = 0.5x –0.5 dx olduğuna göre x o = 4 noktasında dy = 0.25dx olur. O hal- de, f(x o + dx) f(x o ) + dy = f(4) + 0.25dx ifadesi dx = 0.0001 için f(4.0001) = f(4) + dy = 2 + 0.25(0.0001) olur. Buradan da (4.0001) 0.5 = 2 + 0.000025 = 2.000025 olarak hesaplanır ki hesap makineleri (4.0001) 0.5 için 2.0000249998 vermektedir. ii. ln(1.03) sayısını hesaplamak için dlnx = dx/x diferansiyelini x o = 1 noktasında kullanırsak ln1 = 0 olduğuna göre dln(1 + dx) = ln1 + dx/1 = dx elde ederiz. Burada, dx = 0.03 olduğuna göre ln(1.03) = 0.03 olur ki hesap makinesi bu sayı için 0.02955 vermektedir. Dolayısı ile ln(1 + g) g küçük g değerleri için kabul edilebilir bir yaklaşık değerdir. iii. (Marjinal kavramı) İktisatta çok sık karşılaşılan “marjinal” kavramı aslında türev ve dife- ransiyele iktisatçıların verdiği isimdir. Tüketim fonksiyonu: Tüketim harcamalarını milli gelirin c = c(y) gibi türevlenebilir bir fonksiyonu olarak kabul edersek, tüketimin diferansiyeli dc = c dy olur. Bu da (“küçük değişimler” için) “gelir dy kadar değiştiğinde tüketim c dy kadar değişir” demektir. Burada gelir artışının yarattığı tüketim artışı c kadardır ve c = MPC = milli gelire göre marjinal tüketim eğilimi olarak bilinir. Burada “marjinal” “küçük değişimler için” anlamına gelmektedir. Çünkü, ancak marjinal değişiklikler için diferansiyel bize tüketimi teğet doğru üzerinde iyi tahmin etme olanağı verir. Dolayısı ile c > 0 ise dy > 0 dc > 0, yani gelirde marjinal bir artış tüketim de c kadar marjinal artış yaratır. Dolayısı ile iktisaden anlamlı varsayım c > 0 varsaymaktır. Buna ek olarak tüketim artışının (dc) gelir artışından fazla olamayacağı da varsayılır. Bu da c < 1 olması demektir: 0 < c < 1 ise dy > 0 için dc = c dy dy > dc > 0 olur: gelir arttığında tüketim artar ama gelirden az artar. Dolayısı ile, tüketim fonksiyonu genellikle, (milli gelirin fonksiyonu olarak) c = c(y), 0 < c < 1 biçiminde verilir. Vergi Fonksiyonu: Kamunun vergi gelirleri t = t(y), 0 < t < 1 biçiminde bir fonksiyon olarak verildiğinde, biz t = MVO = marjinal vergi oranı diyerek, dt = t dy diferansiyelinden, milli gelirde marjinal bir artış olduğunda (dy > 0 ise), vergilerde dy > dt > 0 olacak şekilde marjinal bir artış olacağı sonucuna varırız. Dolayısı ile gelir arttığında vergiler artar ama gelirden az artar ve doğal olan da budur. Gelir artışının ta- mamı vergilendirilmez, ama gelir artarsa vergiler artar. Tekrar tüketim fonksiyonuna döner- sek, daha iyi bir modelleme tüketimin harcanabilir gelirin fonksiyonu olduğunu varsaymaktır: c = c(y d ), 0 < c < 1. Bu durumda c = harcanabilir gelire göre marjinal tüketim eğilimi, yani harcanabilir gelirde marjinal bir artışın yol açacağı tüketim artışı olarak yorumlanır. Eğer, buna ek olarak y d = y – t(y) bilgisi de verilmişse, dy d = dy – t dy = (1 – t )dy olur (gelir artınca harcanabilir gelir (1 – t )dy kadar artar, çünkü t dy kadarı vergi artışı olmak- tadır). Bunu tüketimin diferansiyelinde yerine koyarsak: dc = c dy d = c (1 – t )dy elde ederiz ve burada c (1 – t ) = milli gelire göre marjinal tüketim eğilimi olur: milli gelirde marjinal bir artış dy d = (1 – t )dy kadar harcanabilir gelir artışı, oradan da c (1 – t )dy kadar tüketim artışı yaratır. İthalat Fonksiyonu: Bir ekonominin yaptığı toplam ithalat m = t(y), 0 < m < 1 biçiminde bir fonksiyon olarak verildiğinde, biz m = MİE = marjinal ithalat eğilimi diyerek, bunu tüketim ile benzer şekilde yorumluyoruz. dm = m dy diferansiyelinden, milli gelirde marjinal bir artışın (dy > 0 ise), ithalatta dy > dm > 0 olacak şekilde marjinal bir artışa yol açacağı sonucuna varırız. Dolayısı ile gelir arttığında ithalat artar ama gelirden az artar: ekonomideki birimler gelir artışının tamamını ithal mallara harcamazlar, ama bir kısmını ithal mallara harcarlar. Marjinal Üretkenlik: Etkin tekniklerin bir fonksiyon olarak ifadesine y = f(L) üretim fonksiyonu demiştik. Şimdi bu fonksiyonun türevlenebilir olduğunu varsayalım. O halde, dy = f (L)dL diferansiyeli bize girdi kullanımında marjinal bir artışın (dL) ne kadar üretim artışı (dy) yara- tacağını gösterir. İşte bu nedenle, f (L) = L girdisinin marjinal üretkenliği olarak bilinir. Şimdi, f (L) nin işaretinin ne olması gerektiğini araştıralım. f (L) < 0 ise, L gir- disinde (marjinal) bir artış üretimde (marjinal) bir düşüşe yol açacak, yani daha fazla girdi ile daha az üretim yapılıyor olacaktır. Bu da üretim fonksiyonunun etkin tekniklerin ifadesi oldu- ğu kurgusuyla çelişir. O halde, türevlenebilir bir üretim fonksiyonu, y = f(L), f (L) > 0 şartını sağlamalıdır ve L girdisinin marjinal üretkenliği pozitif olmalıdır. v. (logarimik diferansiyel, büyüme oranları ve esneklik) Bir X değişkeni X o , X 1 değerleri alıyor olsun. 1 o oo XX X XX oranı bize X değişkeninin başlangıç değerine nispetle değişmesinin (kesir) olarak ifadesidir ve genellikle 100 ile çarpılarak yüzde değişme olarak değerlendirilir. Örneğin, X milli gelir (fiyat endeksi) ise oran milli gelirin büyüme (enflasyon) oranı olur. Şimdi, bu oranda dX = X ko- yarsak, küçük dX değerleri için, (kesir olarak ifade edilmek üzere) dX X elde ederiz. Ama bu ifade lnX fonksiyonunun diferansiyelidir. O halde, X sürekli bir değişken olmak üzere dlnX = f (X)dX = 1 dX X bize X in değişme (büyüme) oranını verir. Örneğin, X = X o (1 + g) t uyarınca belirlenen bir değişken ise lnX = lnX o + tln(1+g), dlnX = gdt ya da ln dX g dt olur ki bu da bize X in t (= zaman) içinde büyüme oranını verir (ln(1 + g) = g yaklaşık değerini kullandığımıza dikkat ediniz). Şimdi, bir y = f(x) fonksiyonu üzerinde iki nokta (x o , y o ve x 1 , y 1 ) biliyorsak, 1 1 ( ) / / ( ) / / o o o o o o o o y y y y y x y x x x x x x y oranı bize “y deki yüzde değişme” nin “x deki yüzde değişme” ye oranını verir. Dolayısı ile oran, diyelim –0.7 ise, “x de %1 lik bir artış,” “y de %0.7 lik bir azalışa yol açar” biçiminde yorumlanır ve iktisatta esneklik olarak bilinen şeydir. Tahmin edileceği gibi seçilen iki nokta biri birine uzaksa bu yolla elde edilen esneklik daha fazla hata içerecektir. (y o /x o ) bir sayı ol- duğuna göre, yukarıdaki ifadenin x 0 için limiti 00 lim lim '( ) xx y y y y x fx x x x x y olur ve bu da bize seçilen bir noktada fonksiyonun nokta–esnekliğini (?) verir. Dolayısı ile, x küçük olmak üzere önceki formül nokta esnekliğinin yaklaşık değerini vermektedir. Es- neklik için daha faydalı bir formül bulmak mümkündür. Şimdi, y = dy, x = dx koyarsak, dy/y = dlny, dx/x = dlnx olduğuna göre: / ln / ln dy y d y dx x d x elde edilir ve bu ? = f (x)y/x ifadesine özdeştir. Bunu görmek için zincir kuralıyla ln ln 1 ( ') '( ) ln ln d y d y dy dx x f x f x d x dy dx d x y y buluruz. Bu da esnekliğin hesaplanmasında kolaylık sağlar. Örneğin, q(p) = 10/p talep fonksi- yonu ise lnq = ln10 – lnp ve ? = d(lnq)/d(lnp) = –1 olarak hemen bulunur. Aynı hesaplamayı uzun yoldan yapsaydık: 2 10 '1 10 / pp q q p p bulunurdu. Teorem 3.7 (Ortalama Değer Teoremi) f: [a, b] R üzerinde sürekli ve (a, b) üzerinde türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O halde, ( ) ( ) '( ) f b f a fc ba ya da f(b) = f(a) + f (c)(b – a) olacak şekilde bir c (a, b) vardır. f(x) y eğim = y/(b–a) f(b) – f(a) = y eğim = f (c) a c b x Şekil 4.4. Ortalama Değer Teoremi Ortalama değer teoreminin geometrik anlamı gayet basittir. Şekil 4.4. de görüldüğü gibi [f(b) – f(a)]/(b – a) fonksiyonun grafiği üzerinde (a, f(a)), (b, f(b)) noktalarını birleştiren kirişin eğimidir. Teoreme göre bir c (a, b) için fonksiyonun eğimi, yani f (c), bu kirişin eğimine eşit olmalıdır. Teoremin şartları sağlandığında f(b) = f(a) + f (c)(b – a) olur. Yani f(b) değerini f(a)’dan başlayarak x = (b – a) için eğimin bilmediğimiz bir “c” nok- tasındaki değerini kullanarak tam olarak bulabiliriz. Genel olarak x o [a, b] için x x o [a, b] olduğunda teoremi [x, x o ] aralığına uygularsak, bir c [x, x o ] için f(x) = f(x o ) + f (c)(x – x o ) olmalıdır. Dikkat edilirse bu eğimi f (c) olan ve (x o , f(x o )) noktasından geçen doğru üzerinde yapılan hesaplamadır. Bildiğimiz gibi x o a yakın x değerleri için eğimi f (x o ) olan ve (x o , f(x o )) noktasından geçen doğru üzerinde f(x) f(x o ) + f (x o )(x – x o ) olmaktadır. Ortalama değer teo- remi şunu demektedir: bir x o noktasından başlayarak herhangi bir x için f(x) in değerini x o ile x arasında bir c noktasındaki türevi kullanarak tam olarak ifade edebiliriz Tanım 3.6 Yüksek Mertebeden Türev i. (C 1 fonksiyonlar) f: (a, b) R türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Eğer, f (x) C ise (C ile sürekli fonksiyonlar kümesini gösterdiğimizi hatırlayınız) f C 1 dir diyeceğiz. Dolayısı ile C 1 fonksiyonlar türevi sürekli olan fonksiyonlardır. ii. (İkinci türev ve C 2 fonksiyonlar) f: (a, b) R C 1 bir fonksiyon olsun. Eğer, f : (a, b) R fonksiyonu türevlenebilir bir fonksiyon ise (f ) = f , D(Df) = D 2 f ya da 2 2 () d df d f dx dx dx olarak gösterilir ve f(x) fonksiyonun ikinci türevidir denir. Eğer, f C ise, f C 2 yazacağız: C 2 fonksiyonlar iki türevinin ikisi de sürekli olan fonksiyonlardır. iii. (n.ci mertebeden türev ve C n fonksiyonlar) f: (a, b) R C n bir fonksiyon ise n.ci türe- vi f (n) , D n f ya da n n df dx olarak gösterilir. C n ilk n türevi sürekli olan fonksiyonlardır. Buna göre f(x) = x 2 C 2 dir. f(x) = e x C dur. f(x) = x 3 – x 2 ise f = 3x 2 – 2x, f = 6x – 2, f = 6 olur ve f(x) C 3 tür. Öte yandan, Aşağıdaki fonksiyonların ilk üç türevini bulunuz: i. y = lnx ii. y = x 2 + 2x + 3 iii. y = x 4 – x 3 + 2x 2 iv. y = 1/(1 – x 2 ) Şimdi, f(x) C 2 bir fonksiyon olsun. Bir a noktasından başlayarak f(x) f(a) + dy = f(a) + f (a)(x – a) doğrusal yaklaşık değer hesaplamasının hata içereceğini biliyoruz. Öte yandan, ortalama de- ğer teoreminden f(x) = f(a) + f (c)(x – a) olacak şekilde bir a < c < x olduğunu biliyoruz, ama c’nin değerini bilmiyoruz. Varsayım ge- reği f sürekli türevi haiz olduğuna göre, ortalama değer teoremini f (x) fonksiyonuna [a, c] aralığında uygularsak f (c) = f (a) + f (?)(c – a) olacak şekilde bir ? (a, c) olduğu sonucuna varırız. O halde, [a, x] aralığında f(x) = f(a) + f (a)(x – a) + f (?)(x – a)(c – a) olacak şekilde a < c < x, ve a < ? < c vardır. Böylece birinci türevin “a” noktasındaki değerini kullanabiliriz, ama burada bilmediğimiz iki sayı oluşmaktadır: c ve ?. Bu bilmediğimiz sayılar yerine bildiğimiz sayılar koyarsak, hatayı ikinci türevi içeren terime kaydırmış oluruz. Burada dikkat edilirse ? sayısı a sayısına c’den daha yakındır. Eğer, ? = a, c = (a + x)/2 koyarsak, c – a = a/2 + x/2 – a = (x – a)/2 olacağı için: f(x) f(a) + f (a)(x – a) + 1 2 f (a)(x – a) 2 elde ederiz. Bu da bize “ikinci dereceden yaklaşık değer” verir ve f(x) f(a) + f (a)(x – a), doğrusal yaklaşık değerine nispetle daha iyidir. Örneğin, f(x) = x 3 , a = 1 olsun ve x = 1.1 için f(x) in değerini iki yaklaşımla hesaplayalım. Burada, f(1) = 1, f (1) = 3, f (1) = 6, (x – a) = 0.1 olduğuna göre doğrusal yaklaşık değer: f(1.1) = 1 + 3(0.1) = 1.3 ikinci dereceden yaklaşık değer: f(1.1) = 1.3 + (1/2)6(0.1) 2 = 1.33 elde edilir ve 1.331 gerçek değerine göre, ilkinde hata = 0.031, ikincide hata = 0.001 olmakta- dır. Burada x 3 fonksiyonunun üçüncü türevi (y = 6) sıfırdan farklı olduğu için, ikinci dere- ceden yaklaşık değer de hata içermektedir, ama “daha yaklaşık” bir değer vermektedir. Eğer n > 2 için f (n) = 0, yani f C 2 ise, f(x) = f(a) + f (a)(x – a) + 1 2 f (a)(x – a) 2 olur, yani “ikinci dereceden yaklaşık değer” tam değeri verir. Buradan anlaşılacağı üzere bir f(x) fonksiyonunun yüksek mertebeden türevleri varsa bunları kullanarak yapılan hatayı daha yüksek mertebeden türevi içeren terimlere aktararak giderek daha iyi yaklaşık değerler bulabiliriz. Bu fikir genel olarak Taylor teoreminde ifade edilir. Bir noktada türevi pozitif (negatif) olan bir fonksiyonun o noktada diferansiyeli dy = f (x o )dx de pozitif (negatif) olur yorumuyla dx > 0 ise dy > 0 (< 0) olur sonucuna ulaştık. Şimdi, bir aralık üzerinde türevi pozitif, negatif ya da sıfır olan fonksiyonlarla ilgili genel bir sınıflan- dırma yapmak istiyoruz. Tanım 3.7 Monoton fonksiyonlar f: D R R bir fonksiyon olmak üzere: i. (monoton artan fonksiyon) Her x 1 , x 2 D için x 1 > x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) oluyorsa f D üze- rinde monoton artan (ya da sadece artan) bir fonksiyondur denir. ii. (monoton azalan fonksiyon) Her x 1 , x 2 D için x 1 > x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) oluyorsa f D üze- rinde monoton azalan (ya da sadece azalan) bir fonksiyondur denir. Uyarı: Doğal olarak her x 1 , x 2 D için f(x 1 ) = f(x 2 ) oluyorsa f D üzerinde sabit bir fonksi- yondur denir. Ortalama değer teoremi kullanılarak aşağıdaki önemli sonuç ispatlanabilir: Teorem 4.8. f: [a, b] R üzerinde sürekli iç[a, b] = (a, b) üzerinde türevlenebilir bir fonksi- yon olsun. O halde, i. Her x (a, b) için f (x) = 0 oluyorsa f(x) [a, b] üzerinde sabit bir fonksiyondur. ii. Her x (a, b) için f (x) > 0 oluyorsa f(x) [a, b] üzerinde artan bir fonksiyondur. iii. Her x (a, b) için f (x) < 0 oluyorsa f(x) [a, b] üzerinde azalan bir fonksiyondur. iv. g: [a, b] R üzerinde sürekli iç[a, b] = (a, b) üzerinde türevlenebilir başka bir fonksiyon ise ve her x (a, b) için f (x) = g (x) oluyorsa f(x) – g(x) sabit bir fonksiyondur (yani bir ara- lık üzerinde türevleri eşit olan iki fonksiyon bir sabit farkıyla eşittir). Buna göre Şekil 4.5. (a) panelindeki her üç fonksiyon da artandır ve türevleri (eğimleri) pozi- tiftir. Şekil 4.5. (b) panelindeki her üç fonksiyon da azalandır ve türevleri (eğimleri) negatiftir. Dikkat edileceği gibi türevin işareti bize fonksiyonun artan ya da azalan olacağını söylemekte ama şekildeki üç durum arasında ayrım yapmamıza olanak vermemektedir. Örnek 4.8. i. y = e x fonksiyonu R üzerinde artan bir fonksiyondur, çünkü her x R için y = e x > 0 dir. ii. x R için f (x) = 2x ve g (x) = 2x olsun. Bildiğimiz gibi türevi 2x olan fonksiyon x 2 fonk- siyonudur. O halde, f(x) = x 2 ise g(x) = c + x 2 = c + f(x) olmalıdır (c R herhangi bir sabit olmak üzere). iii. İktisadi modellerde bir fonksiyon tanımlandığında genellikle türevinin işareti ile birlikte verilir. Örneğin, X = X(q), X > 0 (a) (b) x x y y Şekil 4.5. Artan ve Azalan Fonksiyonlar denklemi verildiğinde, biz X değişkeninin bir “q” değişkeninin artan bir fonksiyonu olduğunu biliyoruz. Daha bildik bir örnek ise basit piyasa modelidir: q d = f(p), f < 0, (talep fonksiyonu) q s = g(p), g > 0, (arz fonksiyonu) q d = q s (denge koşulu) modelinde, talep “p = fiyat” değişkeninin azalan, arz “p”nin artan fonksiyonlarıdır. Buradan. talep fazlası fonksiyonu tanımlarsak: h(p) = f(p) – g(p) (talep fazlası fonksiyonu) yukarıdaki varsayımlar altında h (p) = f (p) – g (p) < 0 olması gerektiğini buluruz. Buna göre, talep fazlası fonksiyonu fiyatın azalan bir fonksiyonu- dur: fiyat arttıkça talep fazlası azalır. iv. Basit bir makroekonomik model: c = c(y d ), 0 < c < 1 (tüketim fonksiyonu) y d = y – t (harcanabilir gelir tanımı, y = milli gelir) t = t(y), 0 < c < 1 (vergi fonksiyonu) verilmiş olsun. Burada, MPC = harcanabilir gelire göre marjinal tüketim eğilimi = c , varsa- yım gereği pozitif olduğuna göre tüketim harcanabilir gelirin artan bir fonksiyonudur. Ama MPC < 1 olduğundan, tüketim fonksiyonunun eğimi her noktada eğimi bir olan doğrudan daha azdır (aşağıdaki şekli inceleyiniz). c eğim = 1 eğim = c < 1 c(y d ) y d Dolayısı ile gibi tüketim artışı harcanabilir gelir artışından azdır. Aynı sonuç vergi fonksiyonu için de geçerlidir. t(y) fonksiyonunu y d tanımında yerine koyunca y d = y – t(y), buradan da c = c(y – t(y)) elde edilir ve zincir kuralıyla ( ( )) ' '(1 ') dc d y t y c c t dy dy elde edileceğini daha önce de görüştük. Modelin varsayımlardan 0 < c < 1 ve 0 < (1 – t ) < 1 olduğuna göre 0 < dc/dy < 1 olmalıdır: milli gelire göre marjinal tüketim eğilimi de (0, 1) aralığındadır. 1. Aşağıdaki fonksiyonların artan/azalan oldukları aralıkları bulunuz: i. y = x 2 – 2x ii. y = x 3 – x 2 iii. y = x 3 + x 2 – x iv. y = x 0.5 – x 2. q d = 1/p (talep fonksiyonu) q s = p/2 (arz fonksiyonu) modelinde talep fazlası fonksiyonunu bulunuz ve artan/azalan olduğunu belirleyiniz. Birinci türevin işaretine bakarak bir fonksiyonun artan/azalan ya da sabit olduğunu anlıyoruz. Benzer şekilde ikinci türeve bakarak f (x) türev fonksiyonunun artan/azalan ya da sabit oldu- ğunu anlarız. Öyleyse, f > 0 ise, f (x) artan bir fonksiyondur, f = 0 ise f (x) sabit bir fonksiyondur, f < 0 ise f (x) azalan bir fonksiyondur. Burada yapmak istediğimiz f (x) türev fonksiyonunun artan/azalan ya da sabit olmasının f(x) için ne anlama geldiğini araştırmaktır. 1. f = 0 durumu: Önce, daha kolay olan f = 0 durumunu ele alalım. Bu durumda f = c gibi sabit bir fonksiyon olmalıdır. Burada üç durum söz konusu olabilir: i. Eğer, f (x) = c = 0 ise f(x) = c gibi sabit bir fonksiyondur. y y f(x) = c f (x) = 0 = f (x) x x ii. Eğer, f (x) = m > 0 ise, f(x) sabit eğimli artan bir fonksiyondur, yani pozitif eğimli bir doğ- rudur: f(x) = a + mx dir. y y f(x) = a + mx f (x) = m > 0 f(x) = a + ?x f (x) = 0 x x f (x) = ? < 0 iii. Eğer, f (x) = ? < 0 ise f(x) sabit eğimli azalan bir fonksiyondur: f(x) = a + ?x dir. Örneğin, f(x) = 2 + 3x ise, f (x) = 3, f (x) = 0 dır. f(x) = 2 – x ise, f (x) = –1, f = 0 dır. 2. f 0 durumu: Şimdi, f(x): D R R fonksiyonun bir x o içD noktası etrafında ikinci mertebeden Taylor açılımını yaparsak x o ve x arasında kalan bir c için f(x) = f(x o ) + f (x o ) (x – x o ) + 1 2 f (c)(x – x o ) 2 = A + 1 2 f (c)(x – x o ) 2 elde ederiz. Burada A = f(x o ) + f (x o ) (x – x o ) x o noktasında fonksiyona teğet olan doğru üzerindeki değerdir. Buna göre, (x – x o ) 2 > 0 olduğu için, f(x) değeri f (c) > 0 ise x o daki teğet doğrusunun üstünde [f(x) > A] f (c) < 0 ise x o daki teğet doğrusunun altında [f(x) < A] kalır. Dolayısı ile bir ? > 0 için x B(x o , ?), yani x o ve yakın cıvarında, f (x) > 0 oluyorsa fonksiyon değerleri o cıvarda teğet doğrunun üstünde; f (x) < 0 oluyorsa fonksiyon değerleri o cıvarda teğet doğrunun altında kalır. Dikkat edilirse f (x) in işaretinden bağımsız olarak, yani fonksiyon artan da, azalan da olsa, bu sonuç geçerlidir. Aşağıdaki şekilleri inceleyiniz. y f(x) f (x) > 0 f (x) > 0 y = A f(x) “f(x) artan oranlarda artıyor” x x o x y y = A f(x) f(x) “f(x) azalan oranlarda artıyor” f (x) > 0 f (x) < 0 x x o x Yukarıdaki şekiller her x için f (x) > 0 ve f (x) in aynı işaretli (pozitif ya da negatif) olduğu varsayımıyla çizilmiştir. Dolayısı ile artan bir fonksiyon için pozitif ikinci türev fonksiyon değerlerinin artan oranlarda arttığı anlamına gelir. Çünkü, artışlar teğet doğru üzerinde olsaydı sabit olurdu, ama hep teğet doğru üstünde kalındığına göre, x arttığında f(x) in değeri daha fazla artmaktadır. Benzer şekilde, artan bir fonksiyon için negatif ikinci türev fonksiyon de- ğerlerinin azalan oranlarda arttığı anlamına gelir. Çünkü, hep teğet doğrunun altında kalınarak sabit artışa göre daha az artış olur. y “f(x) azalan oranlarda azalıyor” f (x) > 0 f (x) > 0 y = A f(x) f(x) x o x x y y = A f(x) “f(x) artan oranlarda azalıyor” f (x) > 0 f (x) < 0 f(x) x o x x Yukarıdaki şekiller her x için f (x) < 0 ve f (x) in aynı işaretli (pozitif ya da negatif) olduğu varsayımıyla çizilmiştir. Dolayısı ile azalan bir fonksiyon için pozitif ikinci türev fonksiyon değerlerinin azalan oranlarda azaldığı anlamına gelir. Çünkü, azalmalar teğet doğru üzerinde olsaydı sabit olurdu, ama hep teğet doğru üstünde kalındığına göre, x arttığında f(x) in değeri daha az azalmaktadır. Benzer şekilde, azalan bir fonksiyon için negatif ikinci türev fonksiyon değerlerinin artan oranlarda azaldığı anlamına gelir. Çünkü, hep teğet doğrunun altında kalı- narak sabit artışa göre daha fazla azalış olur. Dolayısı ile ikinci türev bize Şekil 4.5’te gösterilen fonksiyonları ayırt etme olanağı vermek- tedir. Tanım 4.6. İçbükey ve Dışbükey Fonksiyonlar i. (İçbükey (concave) fonksiyonlar) f(x): [a, b] R, f C 2 ve her x [a, b] için f (x) < 0 ise f(x) içbükey bir fonksiyondur denir. y g(x), g < 0 f(x), f < 0 x Şekil 4.6. İçbükey Fonksiyonlar: g(x) ve f(x) içbükeydir. i. (Dışbükey (convex) fonksiyonlar) f(x): [a, b] R, f C 2 ve her x [a, b] için f (x) > 0 ise f(x) dışbükey bir fonksiyondur denir. y g(x), g > 0 f(x), f (x) > 0 x Şekil 4.7. Dışbükey Fonksiyonlar: g(x) ve f(x) dışbükeydir. Uyarı: Görüldüğü gibi içbükey ve dışbükeylik tamamen ikinci türevle nitelenen özelliklerdir. Birinci türevinin işareti ne olursa olsun bir fonksiyonun ikinci türevi negatifse fonksiyon iç- bükey, pozitifse fonksiyon dışbükeydir. İkinci türevin sıfır olduğu durumda fonksiyonun y = a + mx biçiminde olduğunu biliyoruz ve fonksiyon hem dışbükey hem de içbükey olarak ad- dedilir. Örnek 4.9. i. f(x) = x 2 fonksiyonu dışbükeydir, çünkü f = 2x ve f = 2 > 0 dır. ii. x > 0 için y = 1/x = x –1 fonksiyonu dışbükeydir, çünkü y = –x –2 , y = 2x –3 > 0 dır. Fonksi- yonun grafiği Şekil 4.7. deki f(x) in grafiği gibidir. iii. x > 0 için tanımlanan y = lnx içbükey bir fonksiyondur, çünkü y = 1/x ve y = –1/x 2 < 0 dır. iv. x 0 için y = x içbükeydir, çünkü y = 0.5x –0.5 ve y = –0.25x –1.5 < 0 dır. v. y = x 3 ise y = 3x 2 ve y = 6x olur. Dolayısı ile x < 0 için y < 0 (fonksiyon içbükey), x > 0 için y > 0 (fonksiyon dışbükey) olur. Fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir: y x 3 x İkinci türevin sıfır olduğu noktada fonksiyonun içbükeylikten dışbükeyliğe geçtiğine dikkat ediniz. v. (Azalan Getiriler) Daha önce türevlenebilir bir üretim fonksiyonu için y = f(L), f (L) > 0 olması gerektiğini gördük. Ama, üretim fonksiyonu tanımlanırken genellikle y = f(L), f (L) > 0, f (L) < 0 bilgisi verilir. Buna göre üretim fonksiyonu içbükey olmalıdır. Bunun anlamı da girdinin (emeğin) marjinal üretkenliği pozitiftir, L arttığında üretim artar, ama f < 0 olduğundan aza- lan oranlarda artar. Bu da iktisatta “azalan getiriler” olarak bilinen durumun ifadesidir. Üretim teorisinde içbükeylik “azalan getiriler” demektir. Bunu şöyle ifade edebiliriz: marjinal ürün pozitiftir (üretim fonksiyonu artan bir fonksiyondur), ve azalan oranlarda artar (marjinal ürün (MP) azalan bir fonksiyondur). y MP f(L) f < 0 f > 0 f (L) L L vi. y = f(L), f > 0 içbükey bir üretim fonksiyonu olsun. Fonksiyon monoton artan olduğu için ters fonksiyonu vardır: L = f –1 (y) yazabiliriz. f(L) bize her L için ne kadar üretim yapılabile- ceğini, f –1 (y) ise bir üretim miktarını yapabilmek için gereken girdi miktarını gösterir. Şimdi, w = bir birim girdinin fiyatı (ücret) olmak üzere C(y) = wL = wf –1 (y) bize maliyet fonksiyonunu verir: bir y üretim düzeyi için C(y) kadar ücret ödenmelidir ki y yi üretmek için gerekli girdi sağlanabilsin. Ters fonksiyon kuralından (w > 0 bir sabittir): 1 1 ' ' df w C w w df dy f dL elde edilir. dC = C dy yazarsak, buradan C nün bize üretim miktarında küçük bir artışın ne kadar maliyet artışı yaratacağını gösterdiğini görürüz ve bu nedenle C marjinal maliyet olarak bilinir. Varsayım gereği f > 0 olduğuna göre, C > 0 dır, yani, üretim artarsa maliyet artar. Şimdi, bölüm kuralından (w = sabit olduğunu unutmadan) 2 '' '' ( ') wf C f elde edilir. Üretim fonksiyonu içbükey varsayıldığına göre f < 0, dolayısı ile C > 0 olmalı- dır. Üretim fonksiyonun (girdide) içbükey olmasının maliyet fonksiyonu üzerinden ifadesi maliyet fonksiyonun (çıktıda) dışbükey olmasıdır. Buna göre marjinal maliyet pozitiftir (ma- liyet artan bir fonksiyondur), ve artan oranlarda artar (marjinal maliyet (MC) artan bir fonksi- yondur). C MC C(y) C (y) C > 0 C > 0 y y Bu şekilleri bir önceki örnekteki şekillerle karşılaştırınız. Örneğin, y = f(L) = L, f > 0, f < 0 şartlarını sağlayan (içbükey) bir üretim fonksiyonudur. Burada, girdi gereksinim fonksiyonu L = f –1 (y) = y 2 ters fonksiyonudur. O halde, (w = ücret olmak üzere) C = wL = wy 2 fonksiyonu f(L) = L üretim fonksiyonuna karşı gelen maliyet fonksiyonudur ve dışbükeydir. Çünkü, C = 2wy (marjinal maliyet fonksiyonu) C = 2w > 0 olmak üzere marjinal maliyet üretimde artan bir fonksiyondur. Bu örnekteki fonksiyonları çizerek inceleyiniz. 1. Aşağıdaki fonksiyonların içbükey/dışbükey oldukları aralıkları bulunuz: i. y = –x 2 + x 0.5 ii. y = x 2 + 1/x iii. y = –x 3 + x 2 iv. y = (x – 1) 4 v. y = (1 – x) 4 vi. y = L 2/3 , L 0 vii. y = 25L – L 2 , 0 L < 5 3. “f(x) fonksiyonu ancak ve ancak –f(x) fonksiyonu içbükeyse, dışbükeydir.” İspatlayınız. 4. f(x) ve g(x) aynı aralık üzerinde içbükey (dışbükey) fonksiyonlar ise her ? > 0 ve > 0 sayısı için h(x) = ?f(x) + f(x) fonksiyonunun da içbükey (dışbükey) olduğunu ispatlayınız.