Genel Matematik Türev DERS 6 Türev 6.1. Türev. y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f nin x = a civarındaki de ği şim oranını olarak tanımladı ğımızı anımsayalım.A şa ğıdaki şekle bakarak bu oranı yorumlama ğa çalı şalım. E ğim: Yukarıdaki oran, f (x) in x = a dan x = a+h ye kadar ortalama de ği şim oranı (average rate of change) dır. Bu oran, aynı zamanda, (a , f(a)) ve (a+h , f(a+h)) noktalarını birle ştiren do ğrunun e ğimidir. Aynı şekil üzerinde gözlemlerimizi sürdürelim. E ğim : h sıfıra yakla şırken, ye şil do ğru de ği şerek te ğet durumuna gelir. ile tanımlanan f ´(a) de ğerine(limit varsa) f fonksiyonunun x = a daki türevi (derivative of f at x = a ) denir. h a f h a f ) ( ) ( - + y x (a , f(a)) a (a+h , f(a+h)) a+h f(a) f(a+h) h a f h a f ) ( ) ( - + y x (a , f(a)) a (a+h , f(a+h)) a+h f(a) f(a+h) h a f h a f ) ( ) ( - + () h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ' 0 - + = ›f ´(a) de ğeri f fonksiyonunun x = a daki anlık de ği şim oranını (instantaneous rate of change) verir. Ba şka bir deyimle, f ´(a) de ğeri y = f (x) in grafi ğinin (a,f (a)) noktasındaki te ğetinin e ğimidir. Böylece, y = f (x) in grafi ğinin (a,f (a)) noktasındaki te ğetinin denklemi dir. Örnek. f (x) = x 2 + 2 , f ´(1) = ? Böylece, y = x 2 + 2 nin grafi ğinin (1,f (1)) = (1,3) noktasındaki te ğetinin denklemi y = 2 (x - 1) + 3 ? y = 2 x + 1 olur. Her hangi bir f fonksiyonu için ile tanımlanan f ´ fonksiyonuna f fonksiyonunun türevi denir. Örne ğimizde Örnek. f (x) = |x + 2| , f ´(1) = ? , f ´(-2) = ? Örnek. f (x) = c , f ´(x) = ? y = f ´(a) (x - a) + f (a) ( ) h h h ) 2 1 ( 2 ) 1 ( lim 2 2 0 + - + + = › h f h f f h ) 1 ( ) 1 ( lim ) 1 ( ' 0 - + = › () 2 2 lim 2 lim 0 2 0 = + = + = › › h h h h h h h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 - + = › () h x h x h x f h x f x f h x ) 2 ( 2 ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ' 2 2 0 0 + - + + = - + = › › () . 2 2 lim 2 lim 0 2 0 x x h h xh h h h = + = + = › › 1 lim 2 1 2 1 lim ) 1 ( ) 1 ( lim ) 1 ( ' 0 0 0 = = + - + + = - + = › › › h h h h h f h f f h h h h h h 2 2 2 2 lim 0 + - - + + - = › h f h f f h ) 2 ( ) 2 ( lim ) 2 ( ' 0 - - + - = - › YOK! lim 0 h h h › = 0 0 lim lim ) ( ) ( lim ) ( ' 0 0 0 = = - = - + = › › › h h c c h x f h x f x f h h h Örnek. ? ) 2 ( ' , ? ) 1 ( ' , ) ( = = = f f x x f Örnek. , 1 ) ( x x f = f ´(1) = ? , f ´(x) = ? Örnek. f (x) = x 3 , f ´(x) = ? Bir f fonksiyonu için f nin x teki türevi varsa f fonksiyonu x te türevlenebilir (differentiable) denir. f fonksiyonunun türevini hesaplama i şlemine türev alma (differentiation) denir. f fonksiyonunun türevini hesaplama eylemine türev almak (to differentiate) denir. h h h f h f f h h 1 1 lim ) 1 ( ) 1 ( lim ) 1 ( ' 0 0 - + = - + = › › . 2 1 ) 1 1 ( lim 1 1 1 1 1 1 lim 0 0 = + + = + + + + · - + = › › h h h h h h h h h h h h f h f f h h 1 1 1 lim ) 1 ( ) 1 ( lim ) 1 ( ' 0 0 - + = - + = › › ( ) () . 1 1 1 lim 1 ) 1 1 lim 0 0 - = + - = + + - = › › h h h h h h h x h x h x f h x f x f h h 1 1 lim ) ( ) ( lim ) ( ' 0 0 - + = - + = › › ( ) () () . 1 1 lim ) lim 2 0 0 x h x x h x x h h x x h h - = + - = + + - = › › ( ) h x h x h x f h x f x f h h 3 3 0 0 lim ) ( ) ( lim ) ( ' - + = - + = › › () ( ) ( ) ( ) h x x h x h x x h x h 2 2 0 lim + + + + - + = › ( ) ( ) ( ) . 3 lim 2 2 2 0 x h x x h x h x h h = + + + + = › h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 - + = › 6.2. Türev Hesabı. Her hangi bir f fonksiyonunun x teki türevinin oldu ğunu anımsayalım. f´(x) yerine a şa ğıdaki gösterimler de kullanılır: Sabit Fonksiyonun Türevi. f(x) = c , c sabit ? f´(x) = 0. Di ğer gösterimle yazılırsa şu formül elde edilir: Örnek. f(x) = 5 ? f´(x) = 0 . Di ğer gösterimle, Kuvvet Fonksiyonunun Türevi. f(x) = x n , n ? R ? f´(x) = nx n-1 . Di ğer gösterimle yazılırsa şu formül elde edilir: Örnek. f(x) = x5 ? f´(x) = 5 x4 ; Örnek. Örnek. Bir Sabit ile bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi. y = k . f(x) ? y´ = k . f´(x). Di ğer gösterimle yazılırsa şu formül elde edilir: Örnek. f(x) = 3x5 ? f´(x) = 3.5 x4 = 15 x4 , f(x) = 3x-2 ? f´(x) = 3.(-2 )x-3 = -6x-3. Örnek. h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 - + = › () () ) ( , ) ( , ) ( , , ' x f D x f dx d dx x df dx dy y x . 0 ) ( = c dx d . 0 ) 5 ( = dx d . ) ( 1 - = n n nx x dx d . 2 2 ) ( 3 1 2 2 - - - - - = - = x x x dx d () . 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x dx d x dx d = = = = - ( ) 2 2 2 1 1 1 ) 1 ( x x x x dx d x dx d - = - = - = = - - - ). ( ' )) ( ( x f k x f k dx d = . 2 3 2 1 3 ) ( 3 ) 3 ( x x x dx d x dx d = = = Toplam ve Farkın Türevi. y = u(x) ± v(x) ? y´ = u´(x) ± v´(x) . Di ğer gösterimle yazılırsa şu formüller elde edilir: Örnek. f(x) = x 5 + x -2 ? f´(x) = 5 x 4 + (-2 )x -3 . Örnek. f(x) = x 5 - x -2 ? f´(x) = 5 x 4 - (-2 )x -3 = 5 x4 +2x -3 Elde edilen kuralları özetleyelim: Örnek. 6.3. Türev ve Hız. y - ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anındaki yeri y = f(x) denklemi ile verilmi şse, bu nesnenin x = a anından x = a +h anına kadar ortalama hızı ve x = a anındaki anlık hızı dır. ). ( ' ) ( ' )) ( ) ( ( x v x u x v x u dx d + = + ). ( ' ) ( ' )) ( ) ( ( x v x u x v x u dx d - = - () 0 = c dx d () 0 x ise 0 , 1 ? < = - n nx x dx d n n () ) ( ' ) ( x f k x f k dx d · = · () ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( x v x u x v x u dx d + = + () ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( x v x u x v x u dx d - = - () . 12 3 0 6 2 3 9 6 2 2 2 3 x x x x x x dx d - = + · · - · = + - h a f h a f ) ( ) ( - + h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 - + = ›Örnek. y - ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anındaki yeri y = x 3 - 6x 2 + 9 olarak veriliyor. A şa ğıdakileri bulunuz a) x = 2 den x = 5 e kadar ortalama hız b) Anlık hız fonksiyonu c) x = 2 ve x = 5 te hız d) hızın sıfır oldu ğu zamanlar. Çözüm. a) 3 3 ) 7 ( 16 2 5 ) 2 ( ) 5 ( - = - - - = - - f f b) x x x f 12 3 ) ( ' 2 - = c) . 15 ) 5 ( ' , 12 ) 2 ( ' = - = f f d) . 4 veya 0 0 12 3 0 ) ( ' 2 = = ? = - ? = x x x x x f Çarpımın Türevi. F ve S fonksiyonlar olmak üzere y = f(x) = F(x) · S(x) denklemi ile tanımlanan fonksiyonun türevi formülü ile bulunur. Bu formülün de ği şik yazılı şları: Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( ' x S x F x S x F x f · + · = () ? ? ? ? ? ? · + ? ? ? ? ? ? · = · · + · = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ' ' ' x F dx d x S x S dx d x F x S x F dx d S F S F y ()() () ()() 64 6 6 ) ( ' 5 6 2 6 2 9 2 ) ( ' 5 6 9 2 ) ( 2 2 2 - + = ? - + · + + · - = ? - + · - = x x x f x x x x x f x x x x f () ( ) () () ( ) ( ) 5 12 15 5 3 1 12 1 5 3 1 3 4 4 3 4 - + = - · + · - = - · - x x x x x x x dx d () ( ) ? ) ( ' , 7 4 2 4 5 ) ( 2 = + + · + = x f x x x x f () () ( ) 7 4 2 5 4 4 4 5 ) ( ' 2 + + · + + · + = x x x x x f 51 56 30 ) ( ' 2 + + = x x x f () ( ) ? ) ( ' , 7 4 4 5 ) ( 3 21 = + + · + = x f x x x x x f () ( ) ( ) x x x x x x x f 7 4 5 7 12 21 4 5 ) ( ' 3 21 2 20 + + · + + + · + = 28 70 48 80 84 110 ) ( ' 2 3 20 21 + + + + + = x x x x x x fÖrnek. Bölümün Türevi. T ve B fonksiyonlar olmak üzere ) ( ) ( ) ( x B x T x f = denklemi ile tanımlanan fonksiyonun türevi formülü ile bulunur. Bu formülün de ği şik yazılı şları şöyledir: Örnek. Örnek. Örnek. Bile şke Fonksiyonları(Composite Functions). f , g ve m fonksiyonları için m(x) = f(g(x)) ise, m fonksiyonuna f ve g nin bile şke fonksiyonu denir. () () () = - · - 2 4 1 5 2 x x dx d ( ) ( ) ( ) 2 4 2 20 1 5 4 2 - · + · - x x xxx x x 4 20 28 4 6 - - = () 2 ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' x B x B x T x B x T x f · - · = 2 2 ) ( ) ( , ' ' ' B dx dB T dx dT B x B x T dx d B B T B T y - = ? ? ? ? ? ? ? ? · - · = 1 ) ( 3 2 + - = x x x x f ( ) ( ) ( ) () 2 3 2 2 3 1 3 1 1 2 ) ( ' + · - - + · - = ? x x x x x x x f () 2 3 3 4 1 1 2 2 + - + + - = x x x x ? ) ( ' , 1 ) ( 2 2 3 = + - + = x f x x x x x f () ( ) ( ) () () 2 2 2 4 2 2 2 3 2 2 1 1 2 4 1 2 1 1 2 3 ) ( ' + - + + = + · - + - + · - + = x x x x x x x x x x x x x f ? ) ( ' , 3 1 ) ( 2 5 = + - + = x f x x x x f ( )() () 2 2 5 4 2 5 3 ) 2 5 ( 1 3 1 ) ( ' + - - · + - + - · = x x x x x x x x f 2 2 5 2 4 5 ) 3 ( 3 2 5 4 + - + + + - - = x x x x x xf ve g nin bile şkesi olan m nin tanım kümesi, g nin tanım kümesinde olan ve g(x) de ğeri de f nin tanım kümesinde olan tüm x sayılarıdır: {x ? R : g(x) ve f(g(x)) tanımlı}. Örnek. f (x) = x 10 , g(x) = (2x + 1 ) için m(x) = (2x + 1 ) 10 . m fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılar kümesi R dir. Örnek. f (x) = ln x , g(x) = 3x + 2 için m(x) = ln (3x+2) dir. m fonksiyonunun tanım kümesi 3x+2 > 0 olan tüm x sayılarının kümesi, yani (-2/3 , ? ) dur. Örnek. İçin Zincir Kuralı(Chain Rule). y = f (u) ve u = g(x) ise, y = m(x) = f(g(x)) bile şke fonksiyonunun türevi ( f ´(g(x)) ve g´(x) var olmak ko şuluyla) y ´ = m´(x) = f ´(g(x)) · g´(x) dir. Di ğer gösterimle Örnek. m(x) = (2x + 1 ) 10 . m´ (x) = ? Burada f(u) = u 10 , g(x) = (2x + 1 ) . m(x) = f(g(x)) = (2x + 1 ) 10 . Böylece, m´ (x) = f ´(g(x)) · g´(x) = 10·(2x+1) 9 ·2 = 20·(2x+1) 9 . Örnek. Burada, Böylece, Örnek. v v h x x g e u f u = + = = ) ( , 1 3 ) ( , ) ( 2 () () . 1 3 ) ( )) ( ( . 1 3 1 3 1 ) ( 3 )) ( ( . )) ( ( 2 2 2 2 1 3 ) ( 2 + = = + = + = + = = = + x x g x g h e e u f u f g e e x g f u u x x g . dx du du dy dx dy · = ( ) ? 5 4 3 2 = + - x x dx d . 5 4 3 , 2 + - = = x x u u y ( ) () ( ) . 5 4 3 2 4 6 4 6 2 1 5 4 3 2 2 + - - = - = · = = + - x x x x u dx du du dy dx dy x x dx d () () ? 5 4 3 12 2 = + - x x dx d . 5 4 3 , 2 12 + - = = x x u u y Örnek. Türev hesabına birkaç örnek daha verelim: () () dx du du dy dx dy x x dx d · = = + - 12 2 5 4 3 ) 4 6 ( 12 11 - · = x u () ) 4 6 ( 5 4 3 12 11 2 - · + - = x x x ( ) ? 5 4 3 32 = + - x x dx d . 5 4 3 , 2 3 1 + - = = x x u u y () 3 1 2 3 2 5 4 3 5 4 3 + - = + - x x x x () dx du du dy dx dy x x dx d · = = ? ? ? ? ? ? + - 3 1 2 5 4 3 ) 4 6 ( 3 1 3 2 - · = - x u () ) 4 6 ( 5 4 3 3 1 3 2 2 - · + - = - x x x () 3 2 2 5 4 3 3 4 6 + - - = x x x () 3 2 2 5 4 3 3 4 6 + - - = x x x ()() () . 2 2 4 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = + + + + = + + ? ? ? ? ? ? · + = + + + = + x x x x x x x x x x x x x x x dx d x x x dx d () () ( ) () () () () . 2 3 6 3 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 4 3 2 2 2 3 - - = - · · - - · = - · - · - - · = ? ? ? ? ? ? ? ? - x x x x x x x x x x x x x x dx d () () () () () . 2 24 2 2 12 2 4 2 4 4 2 4 2 3 2 3 2 - - - - - = · - - = - = ? ? ? ? ? ? ? ? - x x x x x dx d x dx d6.4. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevleri. Do ğal Logaritma fonksiyonunun türevi ile ba şlayalım. Şimdi, üstel fonksiyonun türevini zincir kuralı yardımıyla bulabiliriz: oldu ğunu kullanalım. x e u u y = = , ln alınırsa, Zincir kuralı ile birle ştirilirse , ln ) ( x x f = h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 - + = › h x h x x h x x h x x x h x h x x x h x h h x h x h x h x h x f h x f ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? + = - + = - + 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln ln ) ( ln ) ( ) ( ? › ? › = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = › t h t h x x h x x f h x h 0 , , 1 ln 1 lim ) ( ' 0 . 1 ln 1 1 1 lim ln 1 1 1 ln 1 lim ) ( ' x e x t x t x x f t t t t = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = ? › ? › () x x dx d 1 ln = x x e = ln () () ? = = ? = · ? = · ? = ? = = = x x x x e u e dx d e dx d u dx du du dy dx dy x e u y 1 1 1 1 ln ln ( ) x x e e dx d = () dx du u u dx d · = 1 ln ( ) dx du e e dx d u u · =Örnek. Örnek. in türevi: in türevi : Örnekler. () () () () 4 2 3 4 1 3 4 ln 2 2 - · + - = + - x x x x x dx d u dx du () () 5 6 2 5 2 5 2 3 3 + · = + + x e e dx d x x x x u dx du x b y = () () . ln ln ln ln ln ln ln ln ln b b b e e dx d b dx d e y b x y b y b y x b x b x x b x x x = · = = ? = ? = ? = ? = () b b b dx d x x ln = x y b log = () () () () b x x dx d x dx d b x x dx d b b b dx d x b b b b x x x b b b ln 1 log 1 log ln 1 log ln 1 log log log · = ? = · · ? = · · ? = ? = () b x x dx d b ln 1 log · = () () () () 4 2 3 ln 3 4 1 3 4 log 2 2 3 - · · + - = + - x x x x x dx d () ( ) 5 3 3 ln 3 3 2 5 5 3 3 + · · = + + x dx d x x x x () () ()() ( ) x x x dx d x x dx d 2 2 3 ln 3 ln ln 3 ln = · = () 2 ln 2 2 2 2 x x x x dx d + = + Problemler 6 1. A şa ğıdaki türevleri hesaplayınız. a) f(x) = 12 için f´(x) b) y = ? için y´ c) y = x 5 için dx dy ç) ) 5 ( 6 x dx d d ) ) 1 2 ( 7 3 x x dx d + e) ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 10 x dx d f) ? ? ? ? ? ? - 3 1 3 2 5 3 x x dx d g) ? ? ? ? ? ? ? ? 15 5 x dx d h) ? ? ? ? ? ? ? ? + - - 7 6 2 3 2 3 x x dx d 2. A şa ğıdaki türevleri hesaplayınız. a) f(x) = (x 2 – 3x + 4 x )(x-2) için f´(x) b) ? ? ? ? ? ? ? ? + - 2 3 5 2 4 x x x x dx d c) f(x) = 2x 3 (x 2 –2) için f´(x) ç) 3 2 ) ( 2 - + = x x x f için f´(x) 3. y=f(x) in grafi ğine x = 2 de te ğet olan do ğrunun denklemini yazınız. a) ) 2 5 )( 3 1 ( ) ( x x x f - + = b) 4 3 8 ) ( - - = x x x f c) 3 2 ) ( 2 - + = x x x f 4. A şa ğıda verilen fonksiyonların grafikleri üzerindeki hangi noktalarda te ğet do ğruları yataydır? a) 3 ) 1 2 ( ) ( - = x x f b) ) 45 )( 3 ( ) ( 2 - + = x x x f c) 3 2 ) 15 2 ( ) ( - = x x x f 5. Y-ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anında (zaman saniye ile ve uzaklık santimetre ile ölçülsün) bulundu ğu noktanın ordinatı 7 8 2 3 4 + - = x x ) x ( f olarak veriliyor. a) Anlık hız fonksiyonunu bulunuz. b) x=2 ve x = 5 anında hızı bulunuz. c) Hızın sıfır oldu ğu an(lar)ı bulunuz. 6. Zincir Kuralı kullanarak f´(x) i hesaplayınız. a) 3 ) 5 2 ( ) ( + = x x f b) 5 2 ) 5 3 ( ) ( + = x x f c) 3 ) 5 2 ( ) ( - + = x x f ç) 3 4 3 ) ( + = x x f 7. A şa ğıdaki türevleri hesaplayınız a) ) ) 3 2 ( ) 1 (( 21 12 2 + - x x dx d b) ) 7 2 ) 2 ( ( 4 3 + + x x dx d 8. 7 3 ) 3 2 ( ) ( - + = x x x f oldu ğuna göre f fonksiyonunun grafi ğine (1,0) noktasında te ğet olan doğrunun denklemini yazınız.