Genel Türev II 5.BÖLÜM: TÜREV II Bu bölümde çok değişkenli fonksiyonların türevlerini bulmayı ve yorumlamayı göreceğiz. 5.1. KISMİ TÜREV Tanım 5.2. Kısmi türev (partial derivative) f: D R n R sürekli bir fonksiyon ve x o = (x 1 , x 2 , ..., x k , ..., x n ) içD olsun. f nin x k ye göre kısmi türevi x k 0 olmak üzere 1 2 1 2 0 ( , ,..., ,..., ) ( , ,..., ,..., ) lim k k n k n k k x f x x x x x f x x x x x (eğer bu limit varsa) olarak tanımlanır ve f k (x o ), D k f(x o ) ya da () o k f x x ile gösterilir. Eğer kısmi türev içD üzerinde her noktada varsa kısmi türev fonksiyonu vardır ve f k (x), D k f(x) ya da () k f x x ile gösterilir. Kısmi türev kavramı bize tek değişkenli fonksiyonların türevine ilişkin bildiklerimizi aynen uygulama şansı vermektedir. Çünkü, herhangi bir x k değişkenine göre kısmi türev bulurken, diğer değişkenleri sabit gibi düşünerek tek değişkenli bir fonksiyonun türevini alır gibi haraket ederiz. Aşağıdaki örnekleri dikkatle inceleyiniz. Örnek 5.2. i. f(x, y) = ax 2 y + 2xy olsun. f x kısmi türevini bulmak için y değişkenini bir sabit gibi düşü- nüp, fonksiyon yalnız x in fonksiyonuymuş gibi türevini alıyoruz: f x = a(2x)y + (2)y = 2axy + 2y Benzer şekilde, x değişkenini sabit gibi düşünerek y değişkenine göre türev alarak f y = ax 2 + 2x elde ediyoruz. ii. f(x, y, z) = lnx + xz 2 + x/y fonksiyonunun kısmi türevlerini bulalım. z ve y değişkenlerini sabit gibi düşünerek: f x = 1/x + z 2 + 1/y, z ve x değişkenlerini sabit gibi düşünerek: f y = –x/y 2 , y ve x değişkenlerini sabit gibi düşünerek: f z = 2xz buluruz. iii. f(x, y) = Ax a y b fonksiyonu verildiğinde, y değişkenini sabit gibi düşünerek: f x = Aax a–1 y b , x değişkenini sabit gibi düşünerek: f y = Abx a y b–1 , buluruz. iv. f(x, y) = ( , ) ( , ) g x y h x y ise 22 , yy xx xy g h h g g h h g ff hh olur. Dolayısıyla, f(x, y) = 2 2 1 xy x y verildiğinde, y değişkenini sabit gibi düşünerek: 2 2 1 x yx f y x değişkenini sabit gibi düşünerek: 22 22 ( 1) 2 ( ) ( 1) y x y y xy x f y buluruz. v. f(x, y) = g(x, y)h(x, y) ise f x = g x h + gh x , f y = g y h + gh y olur. Dolayısıyla, y = (lnx + y) 2 (x 3 + lny) verildiğinde f x = 2(lnx + y)(1/x)(x 3 + lny) + 3x 2 (lnx + y) 2 f y = 2(lnx + y)(x 3 + lny) + (1/y)(lnx + y) 2 bulunur. vi. f(x, y) = lnx + lny verildiğinde, f x = 1/x ve f y = 1/y olur. vi. 22 ( , ) ( 1) x f x y x y yx verildiğinde 22 2 2 2 2 ( 1) 22 ( 1) ( 1) x y x yx y f xy xy y x y x 22 2 2 2 ( 1) 22 ( 1) ( 1) y x x x f x y x y y x y x bulunur. viii. q = m/p verildiğinde q m = 1/p q p = –m/p 2 bulunur. vii. (Sabit İkâme Esneklikli Üretim Fonksiyonu/Constant Elasticity of Substitution Production Function) q = (K –? + L –? ) (–1/?) verildiğinde, 11 1 11 1 ( ) ( ) ( ) K q K L K K K L 11 1 11 1 ( ) ( ) ( ) L q K L L L K L bulunur. x. f(x, y, z) = Ax a y b z 1–a–b verildiğinde, f x = aAx a–1 y b z 1–a–b , f y = bAx a y b–1 z 1–a–b , f z = (1 – a – b)Ax a y b z –a–b , bulunur. 5.2. DİFERANSİYEL VE TÜREV Tek değişkenli fonksiyonlarda türevlenebilir fonksiyonların diferansiyeli (dy) olduğunu ve bir x o noktası cıvarında f(x) = f(x o ) + dy(x o ) = f(x o ) + f (x o )dx olan yaklaşık doğrusal değerinin her ? > 0 için içerdiği hatanın y – dy < ?dx koşulunu sağ- layacağını biliyoruz (Teorem 4.). Buradan hareketle türeve değişme kavramı atfettik ve “x dx kadar değiştiğinde f(x) dy kadar değişir” dedik. Aynı şeyi çok değişkenli f(x) = f(x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ) fonksiyonu için de yapabiliriz. Eğer tanım kümesi içinde bir x o noktasında fonksiyonun bütün kısmi türevleri tanımlı ve sürekli ise f(x) = (f 1 (x o ), f 2 (x o ), ..., f n (x o )) vektörüne f(x)’in eğim vektörü diyeceğiz ve dx = (dx 1 , dx 2 , dx 3 , ..., dx n ) R n için df(x) = f(x)dx = f 1 f(x)dx 1 + f 2 f(x)dx 2 + ... + f n f(x)dx n ifadesi fonksiyonun x o noktasındaki diferansiyeli olur. Buna göre, çok değişkenli bir fonksi- yonun diferansiyeli her değişkenin diferansiyelinin (dx k ) o değişkene göre kısmi türevle (D k ya da f k ) ile çarpımından oluşan bir ifadedir ve bu yolla elde edilen değer ile f arasındaki fark her ? > 0 için y – dy < ?dx koşulunu sağlar. O halde, tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi bir x o noktası yakınlarında f(x) f(x) = f(x o ) + df(x o ) = f(x o ) + 1 () n o kk k f x dx “doğrusal yaklaşık değeri” ile tahmin edilebilir. İşte, çok değişkenli bir fonksiyon bu anlamda türevlenebilirdir: f(x) in diferansiyeli varsa “doğrusal yaklaşık değer” fonksiyonu da vardır. Tek değişkenli fonksiyonda diferansiyel katsayısına türev dedik. Burada katsayılar f(x) = (f 1 , f 2 , f 3 , ..., f n ) sayılarından oluşan bir vektördür ve bu vektör fonksiyonun bir x noktasında “eğimidir.” Örnek 5.4. i. f(x, y) = x 2 y + 2xy olsun. f x = 2xy + 2y f y = x 2 + 2x olduğuna göre f(x) = (2xy + 2y, x 2 + 2x) olur. f(x, y) nin diferansiyeli: df(x, y) = f(x)dx = (2xy + 2y, x 2 + 2x)(dx 1 , dx 2 ) = 2(xy + y)dx 1 + (x 2 + 2x)dx 2 olur. Örneğin, (1, 1) noktasında f(1, 1) = 3 ve df(1, 1) = 2(1 + 1)dx 1 + (1 + 2)dx 2 = 4dx 1 + 3dx 2 olacağı için, v = (1.001, 1.01) için f(v) = f(1, 1) + df(1, 1) = 3 + 4(0.001) + 3(0.01) = 3. 034 “yaklaşık doğrusal değerini” elde ederiz ki gerçek değer 3.03404101 dir. ii. f(x, y, z) = lnx + xz 2 + x/y fonksiyonunun eğim vektörü f(x) = (1/x + z 2 + 1/y, –x/y 2 , 2xz) dir. Buradan, f’nin diferansiyeli df(x) = (1/x + z 2 + 1/y)dx – (x/y 2 )dy + 2xzdz olur. Örneğin, (1, 1, 1) noktasında f(1,1,1) = 2 ve f(1,1,1) = (3, –1, 2) olduğuna göre: df(1,1,1) = 3dx – dy + 2dz olmaktadır. O halde, v = (1.001, 1.001, 1.001) noktası için: f(v) = f(1,1,1) + df(1,1,1) = 2 + 3(0.001) – (0.001) + 2(0.001) = 2.004 “yaklaşık doğrusal değerini” buluruz. iii. f(x, y) = ln(x + y) fonksiyonu verildiğinde, f x = 1/(x + y) ve f y = 1/(x + y) olur. O halde, () xy dx dy df x f dx f dy xy olur. (0.5, 0.5) noktasında f(0.5, 0.5) = 0, f x (0.5, 0.5) = 1, f y (0.5, 0.5) = 1 olduğuna göre, df(1, 1) = (1)dx + (1)dy olur. Öyleyse, g “küçük” olmak üzere dx = dy = 0.5g koyarsak ln(1 + 0.5g, 1 + 0.5g) f(0.5, 0.5) + df(0.5, 0.5) = g olarak hesaplanabilir. Bunu y = lnx tek değişkenli fonksiyonu için elde ettiğimiz ln(1 + g) g ile karşılaştırınız. iv. (logaritmik diferansiyel, kısmi esneklik/partial elasticity) Tek değişkenli y = f(x) fonk- siyonu için dlny = ?lnx olduğunu gördük (Örnek 4.). Şimdi, z = f(x 1 , x 2 , ..., x n ) verildiğinde fonksiyonun x k değişkenine göre kısmi esnekliğini de ? k = lnz/ lnx k , olarak tanımlıyoruz. Buna göre ? k bize x k değişkeninde yüzde artışın, z de yol açacağı yüzde artışı gösteririr. Formülü elde etmek için fonksiyonun logaritmik diferansiyeline başvuruyo- ruz. Şimdi, fonksiyonun diferansiyeli, dz = f 1 dx 1 + f 2 dx 2 + ... + f n dx n olduğuna göre, ifadenin her iki tarafını z ile bölerek: 1 1 2 2 1 1 1 ... nn dz f dx f dx f dx z z z z elde ederiz. Sağ taraftaki her terimi x k ile çarpıp, bölersek ifadenin değeri değişmemiş olur: 1 1 2 2 12 12 12 1 1 2 2 ... ln ( ln ) ( ln ) ... ( ln ) nn n n n nn dx x dx x dx x dz f f f z x z x z x z x xx d z f d x f d x f d x z z z Burada her bir değişken için dlny = dy/y (dlnz = dz/z, dlnx k = dx k /x k ) olduğuna dikkat ediniz. Öyleyse, ln ln k kk k x dz f d x z bize tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi x k değişkenine göre esnekliği verir. Örneğin, y = K ? L 1–? fonksiyonu verildiğinde, lny = ?lnK + (1 – ?)lnL olduğuna göre, ? K = ?, ? L = 1 – ? olur. Bu fonksiyon için esneklikler toplamı bir olmaktadır. Bunu uzun yoldan yapsaydık, ör- neğin, f K = ?K ?–1 L 1–? = ?yK –1 olduğuna göre ? K = f K (K/y) = ?yK –1 K/y = ? bulurduk. iv. (kısmi yarı–esneklik/partial semi–elasticity) Tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi z = f(x) için ? k = dlnz/dx k = f k /z ifadesi fonksiyonun x k değişkenine göre kısmi yarı–esnekliğini verir. Buna göre, ? k , x k da bir artışın z de yola çacağı yüzde artışın ifadesidir. Formülün logaritmik diferansiyel ile çıkarıl- masını okuyucuya bırakıyoruz. Örneğin, y = milli gelir, r = faiz olmak üzere, m = y ? e – r para talebi fonksiyonu verildiğinde lnm = ?lny – r olduğuna göre, ? y = ?, ? r = olarak bulunur. Burada, ? = y’ye göre esneklik, = r’ye göre yarı–esneklik olmaktadır. Alıştırmalar 5.2. 1. Aşağıdaki fonksiyonların eğim vektörlerini bulunuz ve diferansiyellerini yazınız: i. f(x, y) = xy + lnx ii. f(x, y, z) = xy 2 + yz 3 + 3xz iii. f(x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 /x 2 + 2x 2 x 3 + x 2 (x 2 2 – 2x 3 ) iv. f(x 1 , x 2 ) = (x 1 + x 2 ) + ln(x 1 – x 2 ) v. f(x 1 , x 2 ) = (2x 1 + x 2 ) 2 (x 1 – x 2 ) 3 2. Aşağıdaki fonksiyonların değişkenlere göre kısmi esnekliklerini bulunuz: i. z = K 0.5 L 0.5 ii. z = ?M/p, ? = sabit iii. z = x ? y z ? , ?, , ? = sabit iv. z = x 2 y + y 2 x v. z = lnx + lny Diferansiyeli olan bir fonksiyon için kısmi türevlerin işaretlerini tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi yorumlayabiliyoruz. y = f(x) y = f(x) x k x k (a) f k = f/ x k > 0 (b) f k = f/ x k < 0 Şekil 5.1. Pozitif ve Negatif Kısmi Türev Şekil 5.1’de y = f(x) fonksiyonunun bir x k değişkenine göre grafiği f k > 0 ((a) paneli) ve f k < 0 ((b) panel) varsayımlarıyla gösterilmiştir. Buna göre, her x k için (diğer değişkenler sabitken) f k > 0 (< 0) ise fonksiyon x k değişkenine göre artan (azalan) bir fonksiyondur. Şekilde her iki halde de ortaya çıkan üç durum arasında ayrımı tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi ikinci türev yardımıyla aşağıda yapacağız. Ama şimdi iktisadın geometrisine temel oluşturan bir soruyu soralım: Şekil 5.2. de y = f(x) ile x k değişkeni arasındaki, diğer değişkenler sabit- ken, elde edilen ilişki, sabit varsayılan değişkenlerden biri değiştiğinde nasıl değişir? z = f(x, y) f x > 0 f(x, y 1 ) f y > 0 f(x, y o ) z 1 dz = f y dy z o x o x Şekil 5.2 Bir z = f(x, y) fonksiyonu için f x > 0 ve f y > 0 durumu Şekil 5.2’de gösterilmiştir. y değişkeni y = y o düzeyinde sabitken fonksiyonun grafiği f(x, y o ) eğrisi üzerinde artan bir fonksiyon ola- rak gösterilmiştir (f x > 0 olduğu için). f(x, y o ) eğrisi üzerinde (x o , y o ) vektörüne karşı gelen fonksiyon değeri z o = f(x o , y o ) olur. Şimdi, x = x o iken y değişkeni y 1 olacak şekilde artarsa dy = y 1 – y o olmak üzere fonksiyonun değeri dz = f y (x o , y o )dy > 0 kadar artar, çünkü varsayım gereği her (x, y) için f y > 0 dır. z 1 = z o + dz > z o olmak üzere z 1 = f(x o , y 1 ) dir. Böylece, x–z düzleminde x o değerine karşı gelen iki z değeri elde ediyoruz. Burada x o değeri keyfidir ve biz aynı işlemi herhangi bir x değeri için yapabilirdik: x–z düzleminde her x için y = y 1 olduğun- da z artar ve biz bunu f(x, y 1 ) eğrisi üzerinde gösteriyoruz. f(x, z 1 ) eğrisi f(x, y o ) eğrisinin üzerinde yer alır, çünkü f y > 0 dir ve her x için dz > 0 dır (Şekil 5.3). Okuyucunun göstermesi gerektiği gibi, f y < 0 varsayılsaydı y = y 1 olduğunda dz < 0 olacak ve f(x, y 1 ) aşağıya (sağa) kayacaktır. Özetle, y = f(x) fonksiyonu ile bir x k değişkeni arasındaki ilişkiyi, x j k değişkenleri sabit iken, x k –y düzleminde gösterdiğimizde: - f(x k , x j k ) fonksiyonun eğimi f k ile belirlenir, - x k dışında bir değişken (x h diyelim) değiştiğinde f(x k , x j k ) fonksiyonu f h > 0 ise yuka- rıya, f h < 0 ise aşağıya kayar (f h = 0 ise kayma olmaz). Örnek 5.5. ii. Tekrar z = f(x, y) = xy fonksiyonunu (x, y) > (0, 0) olmak üzere ele alalım. Bu fonksiyonun artan/azalan olduğunu anlamak için türeve başvurmaya gerek yoktur: dx > 0 ve dy > 0 için f(x + dx, y + dy) = (x + dy)(y + dy) = xy + ydx + xdy + (dx)(dy) > xy = f(x, y) olduğuna göre fonksiyon artan bir fonksiyondur. Dikkat edilirse f x = y, f y = x olduğundan tanım kümesi içinde her noktada f x > 0, f y > 0 dir ve Teorem göre f(x, y) fonksiyonu x ve y değişkenlerinde artandır. Öyleyse, hem x, hem y nin arttığı durumlarda da fonksiyon artan olmalıdır. z z z = x o y z = y o x x y z = f(x, y) = xy fonksiyonunun x–z ve y–z düzleminde grafikleri yukarıdaki şekilde gösteril- miştir. f x = y olduğuna göre y = y o olduğunda f x = y o olmak üzere sabittir, ve türevi sabit olan bir fonksiyonda bir doğrudur. Bu durumda bu da orjinden geçen f x = y o eğimli doğrudur (var- sayım gereği fonksiyon x = 0 noktasında tanımlı değildir). Benzer şekilde, x’i sabit aldığımız- da z ile y arasındaki ilişki de z = x o y doğrusudur (f y (x o ) = x o ). Açık olduğu üzere, y o arttığında z = y o x doğrusu yukarıya (sola) kayacaktır. y o azalırsa, kayma aşağıya (sağa) olacaktır. iii. x = f(p x , p y , m) = (m + p y )/p x talep fonksiyonunu ele alalım: . Burada, p x = x malının fiyatı, p y = y malının fiyatı, m = nominal gelirdir ve fonksiyon pozitif fiyat ve gelir için tanımlıdır. Buna göre, x/ p x = f x = –(m + p y )/(p x ) 2 < 0 x/ p y = f y = 1/p x > 0 x/ m = f m = 1/p x > 0 olmaktadır. Öyleyse, p x –x düzleminde bildiğimiz talep eğrisi azalan bir fonksiyondur. x p y , m x(p x ; p yo , m o ) p x Talep eğrisinin eğimi f x dir ve negatiftir. Şekildeki talep eğrisi diğer malın fiyatı ve gelirin p y = p yo , ve m = m o düzeylerinde sabit olduğu varsayımıyla elde edilmiştir. p y (m) artarsa, f y > 0 (f m > 0) olduğu için, talep eğrisi sağa (yukarıya) kayar. Şekilde kayma yönü, p y ve m nin art- ması ( ) durumunda, ok işareti ile gösterilmiştir. Bu değişkenler de azalma olması durumunda kayma ters yönde aşağıya ( sola) olacaktır. iv. m = L(y, r) para talebi fonksiyonu olsun. Burada, m = reel para talebi, y = milli gelir, r = faiz oranı olmaktadır. Para talebi fonksiyonu genellikle kısmi türevlerinin işareti ile birlikte m = L(y, r); L y > 0, L r < 0 olarak verilir. Buna göre, para talebi gelirde artan, faizde azalan bir fonksiyondur. m m L(y, r o ) dm = L r (r 1 – r o ) < 0 dm L(y o , r) y r y o r o r 1 Para talebi ile gelir (sol tarafta), para talebi ile faiz (sağ tarafta) arasındaki ilişkiler yukarıdaki şekilde gösterilmiştir. L(y, r o ) eğrisi, r = r o sabit iken, gelir arttıkça para talebinin artacağını ifade etmektedir. Şimdi, faiz r 1 düzeyine yükselirse, para talebi y o gelir düzeyinde (aslında her gelir düzeyinde) azalmaktadır (sağdaki şekil). O halde, y–m düzleminde y o gelirine karşı ge- len para talebi daha az olacak ve L(y, r) sağa (aşağıya) kayacaktır (soldaki şekilde kırık çizgili eğri), ve y = y o değerinde kaymanın büyüklüğü dm = L r dr olur. Buna göre L r büyükse, para talebi faize daha duyarlıysa, kayma daha fazla olur. Benzer şekilde, y artarsa, L y > 0 olduğu- na göre, para talebi her faiz düzeyinde artar. Bu da L(y o , r) eğrisinin r–m düzleminde sağa (yukarıya) kayması demektir. v. (Marjinal fayda/Marginal Utility) U(x), x R n fayda fonksiyonun türevlenebilir bir fonksiyon olduğunu varsayarsak, U = U(x 1 , ..., x n ), U 1 > 0, U 2 > 0, ..., U n > 0 olmalıdır. “Daha çok daha iyidir” varsayımının türevlenebilir bir fayda fonksiyonu için anla- mı fonksiyonun bütün kısmi türevlerinin X üzerinde her noktada pozitif olmasıdır. Fayda fonksiyonunun kısmi türevleri ilgili malın “marjinal faydası” olarak bilinir ve marjinal fayda- lar pozitiftir. Buna göre dx 1 > 0 için dU = U 1 dx 1 > 0 olur. Fayda fonksiyonun ordinal bir sıralama olduğu hatırlanırsa marjinal faydanın tüketicinin “tatminindeki artışın” mutlak ölçüsü olmadığı, sadece “daha çok daha iyidir” varsayımının ifadesi olduğu da görülür. vi. (Marjinal üretkenlik/Marginal Productivity) İki girdili türevlenebilir bir üretim fonksi- yonu y = f(K, L) olsun. Buna göre dy = f K dK + f L dL olmalıdır. Şimdi, dK = 0 ve dL > 0 için dy = f L dL olur. Üretim fonksiyonu etkin tekniklerin gösterimi olduğuna göre marjinal bir L–girdisi artışı üretimi arttırmalıdır: dy > 0 ve f L > 0 olmalıdır. Ve f L tek girdili üretim fonksiyonunda olduğu gibi L–girdisinin marjinal üretkenli- ğini gösterir. Benzer şekilde, dL = 0 ve dK > 0 için dy = f K dK > 0 ve f K > 0 olmalıdır. f K da bize K–girdisinin marjinal üretkenliğini, yani marjinal bir K artışının yol açaçağı marjinal üretim artışını, gösterir. O halde, türevlenebilir bir üretim fonksiyonu için y = f(K, L), f K > 0, f L > 0 olmalıdır. Alıştırmalar 5.3. 1. Aşağıdaki fonksiyonların grafiğini x–z ve y–z düzlemlerinde çiziniz ve grafiğin diğer de- ğişkenlere göre kayma yönlerini bulunuz: i. z = x – y ii. z = K 0.5 L 0.5 iii. z = lnx + lny iv. z = x 2 + y 2 v. z = yx 3 – x vi. z = f(x, y), f x < 0, f y < 0 vii. z = f(x, y), f x > 0, f y < 0 viii. z = f(x, y, v), f x < 0, f y > 0, f v < 0 ix. z = xp 1 –0.4 p 2 –0.6 x. z = f(x, y), f x = 0, f y > 0 5.4. ÖRTÜK FONKSİYON TEOREMİ Bu bölümde çok değişkenli fonksiyonların geometrik özelliklerini düzlemde incelem olanağı veren kavramlar ve bunun için gerekli olan temel bir teoremi vereceğiz. Tanım 5.6. Kontur kümesi f: D R n R reel değerli bir fonksiyon olsun. L(c) = {x R n f(x) = c, c R} kümesine, yani fonksiyon değeri c R olan vektörler kümesine, kontur(c) kümesi diyeceğiz. Örnek 5.8. i. f(x, y) = xy; x > 0, y > 0 için ele alalım. Burada, f(x, y) = xy = c koyarsak xy = c olan her (x, y) vektörü L(c) içindedir. Buna göre, xy = c y = c/x L(c) = {(x, y) R 2 (x, c/x), x > 0} olacaktır. Şimdi, (x, y) L(c) vektörleri y = g(x) = c/x fonksiyonu tanımlamaktadır: y y = g(x) = 1/x v f(v) = c 1/x x x Buna göre, y = c/x fonksiyonun grafiği üzerinde yer alan her v = (x, c/x) için f(v) = c dir. Dikkat edilirse her c > 0 için ayrı bir L(c) eğrisi vardır: y v c = 3 c = 2 c = 1 x Örneğin, (1, 1), (2, ½), (5, 1/5) gibi vektörler c = 1 eğrisi üzerinde yani L(c = 1) içinde; (2, 1), (3, 2/3), (5, 2/5) gibi vektörler c = 2 eğrisi üzerinde yani L(c = 2) içinde; (3, 1), (5, 3/5), (7, 3/7) gibi vektörler c = 3 eğrisi üzerinde yani L(c = 3) içinde yer alır. ii. (x, y) R 2 olmak üzere z = f(x, y) = x + y fonksiyonunu ele alalım. Burada, L(c) = {(x, y) x + y = c} olur. Açıkça görüldüğü gibi L(c) kümesinde yer alan vektörler düzlemde x + y = c ya da y = g(x) = c – x fonksiyonu (doğrusu) üzerinde yer alır ve her c değeri için farklı bir doğru geçerlidir. y L(c 2 ) L(c 1 ) c 2 c 1 v R2 y = c 1 – x x y = c 2 – x Yukarıdaki şekilde L(c) kümeleri iki ayrı c değeri, c = c 1 ve c = c 2 , için gösterilmiştir. L(c 1 ) doğrusu üzerinde yer alan her v = (y, x) R 2 için f(v) = c 1 olmaktadır. L(c 2 ) üzerinde yer alan vektörlerin fonksiyon değeri ise c 2 dir. iv. (Kayıtsızlık eğrisi) U(x, y): R 2 R fayda fonksiyonu olsun. Burada, L(?) = {(x, y) U(x, y) = ?} kontur(?) kümesi fonksiyon değerleri aynı olan (x, y) mal sepetlerini göstermektedir. Bu da v, w L(?) ise tüketici bu iki sepet arasında kayıtsızdır demektir. L(?) mikro iktisatta kayırsız- lık eğrisi olarak bilinir. v. (Eşürün eğrisi) y = f(K, L): R 2 R üretim fonksiyonu olsun. Burada, L(y o ) = {(K, L) f(K, L) = y o } kümesi bize aynı miktarda üretim yapabilen (K, l) girdi bileşimlerini göstermektedir ve bu kümenin düzlemde tanımladığı eğri, K = g(L, y o ), iktisatta eşürün eğrisi olarak bilinir. Yukarıdaki örneklerde açık olarak verilen fonksiyonlar için z = f(x, y) olduğunda, c = z o = f(x,y) ile tanımlı kontur kümesinin zımnen (örtük olarak) y = g(x, z o ) gibi bir fonksiyon ta- nımladığını gördük. Fonksiyonların açık olarak verilmediği (fayda ve üretim fonksiyonu) du- rumlarda da sanki böyle bir fonksiyon tanımlanabilirmiş gibi davrandık. Şimdi, buradaki so- run daha genel bir sorunun özel halidir. Önce bu sorunun en kolay halini ele alalım. f(y, x) = y 2 – x 2 , R 2 R fonksiyonunu ele alırsak, buradan f(y, x) = y 2 – x 2 = 0 olacak şekilde y = g(x) = x, R R bir fonksiyonu açık olarak elde edebiliriz. Bu da şu demektir: f(y, x) = y 2 – x 2 = 0 eşitliğini sağlayan vektörler y = g(y) = x fonksiyonunu örtük ola- rak tanımlamaktadır. Dolayısı ile v = (g(x), x) = (x, x) R 2 için f(v) = 0 olacaktır. Ama, diyelim f(y, x) = lny – x 2 y gibi bir fonksiyon verildiğinde buradan f(y, x) = c olacak şekilde y = g(x) açık fonksiyonunu elde etmek pek kolay değildir. İşte, örtük fonksiyon teo- remi bu gibi durumlarda f: R 2 R, f(y, x) türevlenebilir bir fonksiyon ve f(y o , x o ) = c olan bir (x o , y o ) R 2 nok- tası ise, bu nokta cıvarında y = g(x) açık fonksiyonu var mıdır? Varsa bu fonksiyon türevlenebilir midir ve kısmi türevlerini nasıl buluruz? sorularına açık fonksiyonu bulmak zorunda kalmadan yerel cevap vermektedir. Şimdi, f(y, x 1 , x 2 , x 3 , … x n ) türevlenebilir fonksiyonu için bir (y o , x o ) = (y o , x 1 o , x 2 o , … x n o ) nokta- sında f(y o , x o ) = 0 oluyorsa (y o , x o ) noktasında df = f y dy + f 1 dx 1 + f 2 dx 2 + f 3 dx 3 + … + f n dx n diferansiyeli vardır. Burada f i = , i = 1, …, n olduğuna dikkat ediniz. Eğer (y o , x o ) nokta- sında f y = ? 0 ise o noktanın bir B(x o , ?) komşuluğunda y = g(x) açık fonksiyonu yazılabilir. Bu fonksiyon tektir ve türevlenebilirdir ve , 1,.., . j jj Fx gy jm x x F y olur. Örnek 5.9. i. F: R 3 R, F(y, x, z) = x 2 y – yz fonksiyonunu ele alalım. Teoremin cevap verdiği soru şudur: Bu örtük fonksiyondan, F(y, x, z) = 0 olan bir noktada, y değişkenini çekip açık bir y = g(x, z), g: R 2 R, fonksiyonu çıkarabilir miyiz? Burada bunu yapamayız, çünkü F(y, x, z) = y(x 2 – z) = 0 ilişkisi y değişkeninin değerinden bağımsız olarak her (y, x, x 2 ) R 3 için F(y, x, z) = 0 ol- maktadır. Dolayısı ile bu fonksiyon bize y’yi (x, z) cinsinden bir fonksiyon olarak ifade etme olanağı vermemektedir. Zaten, her (y, x, x 2 ) R 3 için F y = x 2 – z = 0 olduğuna göre teore- min şartı da sağlanmamaktadır. ii. F(y, x, z) = y – ln(xy + z) örtük fonksiyonu verilmiş olsun. Burada, F y = 1 – x/(xy + z) olduğuna göre, F y 0 koşulu 1 x/(xy + z) olan her noktada sağlanır. Örneğin, (y, x, z) = (0.5, 1, 0.5) noktasında F y = 0 olmaktadır ve teoremi uygulayamayız. Öyleyse, x/(xy + z) 1 ve F(x, y, z) = y – ln(xy + z) = 0 olan her (y, x, z) R 3 noktasında y = g(x, z) vardır ve ( 1) 1 x x y y F g y y xy z y x x F xy z x x y z xy z 1 11 ( 1) 1 z z y F g xy z y x z F xy z x x y z xy z olur. iv. F(y, x, z) = y 3 x 2 + zx – z örtük fonksiyonu verilmiş olsun. Burada, F y = 3y 2 x 2 olduğuna göre y 0, x 0 olan her vektör için F y (v) 0 dır. O halde, F y (v) 0 ve F(v) = 0 olan nokta- larda y = g(x, z) vardır ve g x = –F x /F y = –(2xy 3 + z)/( 3y 2 x 2 ) g z = –F z /F y = –(x – 1)/( 3y 2 x 2 ) olur. v. (marjinal ikâme oranı/marginal rate of substitution) Bir z = f(x, y); f x 0, f y 0, fonk- siyonu verilmiş olsun ve z o = f(x, y) kontur kümesi tanımlı olsun. Biz burada bu kümenin bir y = g(x, z o ) fonksiyonu tanımlayıp tanımlamadığını ve türevlerini bulmak istiyoruz. Bunun için F(y, x, z) = f(x, y) – z fonksiyonu tanımlarsak z o = f(x, y) kontur kümesi içinde bu fonksiyon F(y, x, z) = f(x, y) – z o = 0 şartını tanım gereği sağlar. Öte yandan, F y = f y 0, F x = f x 0 ve F z = –1 olmaktadır. O halde, örtük fonksiyon teoremi F(y, x, z) fonksiyonuna uygulanabilir. Buna göre kontur kümesi için- de tek bir y = g(x, z o ) fonksiyonu vardır ve ' x y f dy y dx f olur. İşte bu türeve iktisatta marjinal ikâme oranı denir. Şu nedenle ki, türev bize f(x, y) = z o kalacak şekilde x değiştiğinde y nin nekadar değişmesi gerektiğini, yani fonksiyonun değerini z o da sabit tutmak üzere x in y ile ne oranda ikâme edilmesi gerektiğini, göstermektedir. y A g(x): f(x, g(x)) = z o g = –f x /f y Yukarıdaki şekilde f(x, y) = z o eğrisi y = g(x) fonksiyonudur ve f x > 0, f y > 0 varsayımıyla negatif eğimlidir. Bu eğri üzerinde A noktasında eğim, eğriye o noktada teğet olan doğrunun eğimidir. Buna göre A noktasında (aslında şekildeki eğrinin her noktasında) marjinal ikâme oranı negatiftir: A noktasından başlayarak x de marjinal bir artış (dx) olursa, dy = –(f x /f y )dx kadar azalmalıdır ki f(y, x) = z o olmaya, yani eğri üzerinde kalmaya, devam etsin. Dikkat edi- lirse eğri üzerinde kalmanın şartı eğri boyunca df = f x dx + f y dy = 0 olmasıdır ve bu da dy = –(f x /f y )dx olduğunda sağlanır. Bu nedenle marjinal ikâme oranı he- saplanırken doğrudan f x dx + f y dy = 0 yazılıp buradan dy/dx = –(f x /f y ) bulunur. Elde ettiğimiz y = g(x, z o ) fonksiyonu z = z o kaldığı sürece şekildeki gibi bir eğri üzerinde hareketi göstermektedir. z o değişirse y/ z = –(F z /F y ) = 1/f y olduğuna, ve şekilde f y > 0 varsayıldığına, göre y = g(x) eğrisinin yukarıya kaymasına yol açar. vi. (tüketici marjinal ikâme oranı) U = U(x, y), U x > 0, U y > 0, bir fayda fonksiyonu olsun. Burada, dU = U x dx + U y dy = 0 diferansiyeli U o kayıtsızlık eğrisi (U(x, y) = U o ) üzerinde sıfır olmalıdır. Buna göre, 0 x y U dy MİO dx U kayıtsızlık eğrisinin eğimi, yani tüketici marjinal ikâme oranıdır (MİO) ve U x > 0, U y > 0 varsayımları altında negatiftir: tüketici biri diğerinden daha az x malı içeren iki mal sepeti arasında ancak ilki daha fazla y malı içeriyorsa kayıtsız kalır ve y malının hangi oranda fazla olması gerektiğini de MİO gösterir. vii. (marjinal teknik ikâme oranı) y = f(K, L), f K > 0, f L > 0, bir üretim fonksiyonu olsun. Burada, df = f K dK + f L dL = 0 diferansiyeli U o eşürün eğrisi (f(K, L) = y o ) üzerinde sıfır olmalıdır. Buna göre, 0 L K f dK MT İO dL f eşürün eğrisinin eğimi, yani marjinal teknik ikâme oranıdır (MTİO) ve f K > 0, f L > 0 varsa- yımları altında negatiftir: aynı miktarda üretim yapabilmek için bir girdiden (L) daha az kul- lanılırsa, K girdisinden, teknik gereklilik olarak, (MTİO)dL kadar daha fazla kullanmalıdır. viii. (marjinal dönüşüm oranı) İki mal (y ve x) üretilen bir ekonomi ele alalım. Mallar sade- ce emek (L) girdisiyle y = f(L y ), f L > 0, f LL < 0, x = g(L x ), g L > 0, g LL < 0, üretim fonksiyonları uyarınca üretiliyor olsun (fonksiyonların türevleri aslında f , f notasyonlarıyla gösterilmelidir ama iktisatta adet olduğu üzere f = f L , f = f LL notasyonu kul- lanılmıştır). Ekonomideki toplam kaynak (emek girdisinin) L o düzeyinde sabit olmak üzere L o = L x + L y koşulunun sağlandığını varsayalım. Burada L x , x–üretiminde, L y , y–üretiminde kullanılan girdi miktarlarıdır ve koşul toplam kullanımın toplam kaynağa eşit olduğunu ifade etmektedir. Üretim fonksiyonları monton artan fonksiyonlar olduğuna göre, L y = L y (y), L y = 1/f L > 0, L y = –f LL /(f L ) 2 > 0 (L y (y) = f –1 (y) ters fonksiyonudur) L x = L x (x), L x = 1/g L > 0, L x = –g LL /(g L ) 2 > 0 (L x (x) = g –1 (x) ters fonksiyonudur) girdi kullanım fonksiyonlarını yazabiliriz. Bunlar bize her bir malın belli bir düzeyde üretimi için gerekli girdi miktarlarını verir. Fonksiyonların birinci türevleri ters fonksiyon kuralıyla, ikinci türevleri ise bölüm kuralıyla bulunmuştur. Bunları toplam kaynak–kullanım kısıtında yerine koyup düzenlersek: F(y, x, L o ) = L x (x) + L y (y) – L o = 0 örtük fonksiyonunu elde ederiz ki bu fonksiyon bize toplam kaynak–kullanım kısıtını y ve x cinsinden vermektedir. Buna göre, x ve y malları keyfi miktarlarda üretilemez. Öyle x ve y üretim miktarları olmalıdır ki, bunları üretmek için gerekli girdilerin toplamı, toplam girdi miktarına eşit olsun. Öte yandan, F y = L y > 0 F x = L x > 0 olduğuna göre F(y, x, L o ) fonksiyonu y = T(x, L o ) fonksiyonunu örtük olarak tanımlar. İşte bu T(x, L o ) fonksiyonu iktisatta “üretim olanakları eğrisi” ya da “dönüşüm fonksiyonu” olarak bilinen fonksiyondur. Buna göre, L o veri iken bir x o düzeyinde x malı üretiliyorsa, ancak y o = T(y o , L o ) kadar y malı üretilebilir. Çünkü, örtük fonksiyon teoremine göre F(T(y o , L o ), x o , L o ) = L x (x o ) + L y (y o ) – L o 0 dir. Bu da x o ve y o = T(x o , L o ) üretim miktarlarının toplam kaynak gereksiniminin tam olarak var olan kaynak miktarına eşit olduğunu söylemektedir. Dahası, teoremden 1 ' 0 1 ' xxLL x y y L L FLgf dy T MDO dx F L g f türevini elde ederiz ki bu da marjinal dönüşüm oranı (MDO) olarak bilinir. Şöyle ki, bu türev bize dx kadar fazla x malı üretildiğinde, dy = MDOdx kadar daha az y malı üretilmesi gerek- tiğini söylemektedir. Çünkü daha fazla x malı üretiliyorsa x–üretiminde daha fazla girdi ge- reklidir, toplam kaynak sabittir olduğuna göre de y–üretimi için daha az kaynak kalır ve y– üretimi düşmelidir. Başka bir anlatımla MDO, y malının hangi oranda x malına dönüştürüle- bileceğini göstermektedir. Aslında bu sonucu iktisadi–matematiksel mülahazayla daha önsezi- sel olarak da elde edebilirdik. Şimdi, dx = g L dL x , dy = f L dL y diferansiyelleri bize üretim miktarlarının girdi kullanımı değiştiğinde nasıl değiştiğini göste- rir. Öte yandan, dL x + dL y = dL o = 0 dır. Çünkü, toplam kaynak sabittir. O halde, dL y = – dL x olmalıdır. Yani x–üretiminde dL x kadar fazla girdi kullanılırsa, y–üretiminde –dL x kadar az girdi kullanılabilir. dx diferansiyelden dL x = (1/g L )dx dL y = –dL x = –(1/g L )dx elde edip, bunu dy diferansiyelinde yerine koyarsak: dy = f L (–1/g L )dx = –( f L /g L )dx elde ederiz ki bu da örtük fonksiyon teoremini kullanarak elde ettiğimiz sonuçla aynıdır. y A B T(x, L o ) = y x Şekilde T(x, L o ) üretim olanakları eğrisi ve iki noktada (A ve B) marjinal dönüşüm oranı, eğ- riye ilgili noktada teğet olan doğruların eğimi olarak gösterilmiştir. Bu şekilde üretim olanak- ları eğrisi içbükey bir fonksiyon olarak resmedilmiştir. Bunu yaptığımız varsayımlarla göste- rebiliriz. L o sabit olduğu sürece y = T(x, L o ) fonksiyonunu tek değişkenli bir fonksiyon olarak düşünüp ikinci türevini (T xx ) bulabiliriz. Yapmamız gereken T x = –L x (x)/L y (y) in x’e göre türevini bulmaktır. Notasyon kolaylığı açısından A(x) = L x (x), B(y) = L y (y) yazarsak, dB/dx = B (dy/dx) < 0 olduğuna dikkat ederek: 2 22 '' () 0 () xx dy A A B B A d dy dx B T dx dx B elde ederiz. Dolayısı ile T(x, L o ) fonksiyonu (x değişkeninde) içbükeydir. Bunun geometrik anlamı yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi B noktasındaki marjinal dönüşüm oranının, A nok- tasındakinden büyük olmasıdır (B noktasındaki teğet daha dik). Bu da artan marjinal dönüşüm oranı ya da artan marjinal (fırsat) maliyeti prensibidir. MDO x malının y malı cinsinden mar- jinal (fırsat) maliyetidir: dx kadar fazla x malı üretmek için dy = MDOdx kadar y malından feragat etmek gerekmektedir. Ve başlangıçta daha fazla x üretiliyorsa (B noktasında olduğu gibi), biraz daha fazla x’in marjinal (fırsat) maliyeti daha fazla olur. Bunun nedeni azalan marjinal getirilerdir. B noktasında emeğin x–üretimindeki marjinal üretkenliği daha azdır; çünkü g LL < 0 dir ve B noktasında L x daha fazladır. O halde, B noktasından başlayarak dx kadar daha fazla x üretmek için, A noktasında olduğundan daha fazla ek girdiye ihtiyaç olur. B noktasında daha fazla L x–üretimine kaydırılır ve y kaybı daha fazla olur. ix. (eğim ve kayma yönü bulma problemleri) Bu örnekte F(y, x 1 , x 2 , ..., x m ) = 0 gibi bir “model” verildiğinde, F y 0 olmak üzere bu fonksiyonun tanımladığı y = f(x 1 , ..., x m ) fonksiyonunun geometrisini çalışacağız. Örtük fonksiyon teoremine göre, y/ x j = f j = –F j /F y , j = 1, ..., m olmaktadır (f j f(..) fonksiyonun x j ’ye göre kısmi türevini, F j ise F(y, ...) fonksiyonunun x j ’ye göre kısmi türevini göstermektedir). Diyelim ki F 1 > 0 ve F y < 0 dır. O halde, y–x 1 düzlemin- de bu fonksiyon, x 2 , ..., x m sabit olmak üzere pozitif eğimli (–F 1 /F y > 0) bir eğridir. y f(x 1 , (x 2 ) o , (x 3 ) o ..., (x m ) o ) f(x 1 , (x 2 ) 1 , (x 3 ) o ..., (x m ) o ) y/ x 2 < 0 x 1 Şekildeki eğri x 1 dışındaki değişkenlerin x 2 = (x 2 ) o , ..., x n = (x n ) o düzeylerinde sabit kaldıkları varsayımıyla y ile x 1 arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Şimdi diyelim ki x 2 değişkeni arttı [x 2 ) 1 > (x 2 ) o ] ve F 2 < 0 tir. Bunun etkisini şekilde nasıl gösteririz? Örtük fonksiyon teoremine göre f 2 = – F 2 /F y < 0 olmaktadır. Buna göre, x 1 , x 3 , ..., x m sabitken x 2 artarsa y azalmaktadır. Şekilde bu durum y = f(x) eğrisinin aşağıya (sağa) kayması olarak gösterilmiştir ve kaymanın büyüklüğü y/ x 2 türevince belirlenmektedir. Herhangi başka bir x değişkeni değiştiğinde yapmamız gereken y/ x j yi bulup kayma yönünü belirlemektir. Örneğin, F 3 > 0 ise y/ x 3 > 0 olur ve şekilde f(x) eğrisi yukarıya (sola) kayar. ix. (IS eğrisi) Aşağıdaki basit makroiktisadi modeli ele alalım: c = c(y), 0 < c < 1 (tüketim fonksiyonu) i = i(r), i < 0 (yatırım fonksiyonu) y = c + i + g (milli gelir eşitliği). Burada, y = milli gelir, c = tüketim, i = yatırım, r = faiz oranı, g = kamu harcamalarıdır. c = c(y), i = i(r) ilişkilerinde dikkat edilmesi gereken “c” ve “i” birer değişken iken, c(y) ve i(r) birer fonksiyon gösterimidir. Bunları c = f(y), i = h(r) diye de gösterebilirdik, ama iktisadi modellerde bir fonksiyonu tanımladığı değişken ile aynı notasyonla göstermek adettir. Modelde bu haliyle y, c, i, r, g olmak üzere beş değişken, dört denklem vardır. Milli gelir eşit- liğinde c, i, değişkenleri için c(y), i(r) koyarsak: y = c(y) + i(r) + g olmak üzere bir sadece bir denklem ve y, r ve g değişkenleri kalır. Bu da mal piyasası denge koşuludur: denge geliri bu gelir üzerinden yapılan harcamalara eşit olmalıdır. Denge koşulunu F(y, r, g) = c(y) + i(r) + g – y = 0 olmak üzere bir örtük fonksiyon olarak yazabiliriz. F(y, r, g) fonksiyonunun sıfır olduğu nok- talarda mal piyasası dengededir. Burada mal piyasasında dengenin olduğunu varsayacağız. Öte yandan, F y = c – 1 < 0 F r = i < 0 F g = 1 dir ve biz buna örtük fonksiyon teoremini uygulayabiliriz ve bu üç değişkenden biri diğer ikisinin fonksiyonu olarak yazılabilir. Makroiktisatta yapılan r = r(y, g) fonksiyonuna bak- maktır. Bu fonksiyon “bir gelir ve kamu harcaması düzeyinde, faiz ne olmalıdır ki mal piya- sası dengede olsun?” sorusunun cevabını verir. Çünkü, teoreme göre r = r(y, g) için F(y, r(y, g), g) 0 olacaktır. Dolayısı ile her (y, g) ikilisi için r(y, g) faizin denge koşulunu sağlayacak şekilde alması gereken değeri gösterir. İşte bu r = r(y, g) fonksiyonu r–y düzle- minde gösterildiğinde IS eğrisi olarak bilinir. Örtük fonksiyon teoreminden: ' 1 1 ' 0 '' 1 0 ' y IS r g IS r F dr c c dy F i i F dr dg F i olacaktır. Türevlerin işaretleri model varsayımlarından kaynaklanır. dr/dy türevi bize IS eğri- sinin r–y düzleminde eğimini verir: y artarsa r azalmalıdır ki mal piyasası denge koşulu sağla- nabilsin. r eğim = 0 IS dr dy IS(g o ) y Şekilde g = g o kamu harcama düzeyi veri iken r = r(y, g o ) ya da IS(g o ) fonksiyonu gösterilmiş- tir. Buna göre, IS(g o ) eğrisi üzerinde her noktada y = c(y) + i(r) + g o mal piyasası denge koşulu sağlanır. dr/dg türevi ise bize IS eğrisinin nasıl kayacağını gösterir. Bu türev pozitif olduğuna göre IS(g 1 ) eğrisi, g 1 > g o , yukarıya (sağa) kayar. r (dr/dg) IS > 0 r o IS(g 1 ) (dy/dg) IS > 0 IS(g o ) y y o Yukarıdaki şekilde kayma ve (dr/dg) IS > 0 türevinin geometrik anlamı gösterilmiştir. Burada anlaşılması gereken matematiksel açıdan F(y, r, g) = c(y) + i(r) + g – y = 0 fonksiyonundan, F y 0 olduğuna göre, y = y(r, g) örtük fonksiyonunu da çıkarabilirdik. Ve bu fonksiyonun türevleri: '' 0 ' 1 1 ' 11 0 ' 1 1 ' r IS y g IS y F dy i i dr F c c F dy dg F c c olurdu. Bekleneceği gibi, (dy/dr) IS = 1/(dr/dy) IS olmaktadır. (dy/dg) IS türevi ise bize r sabitken g artarsa IS eğrisinin nasıl kayacağını gösterir. Yukarıdaki şekilde bu türev de gösterilmiştir. x. (açık ekonomi IS eğrisi) Aşağıdaki basit açık ekonomi makroiktisadi modeli ele alalım: c = c(y), 0 < c < 1 (tüketim fonksiyonu) i = i(r), i < 0 (yatırım fonksiyonu) x = x(q), x > 0 (ihracat fonksiyonu) m = m(q, y), m q < 0, 0 < m y < 1 (ithalat fonksiyonu) y = c + i + g + x – m (milli gelir eşitliği). Burada q = reel kur, x = ihracat, m = ithalat; diğer değişkenler ise bir önceki örnektekilerle aynı anlamdadır. Değişkenleri tanımlayan fonksiyonları milli gelir eşitliğinde yerine koyar- sak: y = c(y) + i(r) + g + x(q) – m(q, y) tek denklemli modeli elde ederiz. Buradan tanımlanan F(y, r, q, g) = c(y) + i(r) + g + x(q) – m(q, y) – y = 0 fonksiyonu bize mal piyasası denge koşulunu verir. Buna göre, F y = c – m y – 1 = –(s + m y ) < 0 ( s = 1 – c = marjinal tasarruf eğilimi) F r = i < 0, F q = x – m q > 0, F g = 1 olmaktadır. Öyleyse, r = r(y, g, q) IS eğrisi tanımlıdır ve ( ) ( ) 0 '' 1 0 ' ' 0 ' y y y IS r g IS r qq IS r F s m s m dr dy F i i F dr dg F i F x m dr dq F i olmaktadır. Buna göre IS eğrisi r–y düzleminde negatif eğimlidir, g veya q arttığında eğri yukarıya (sağa) kayar (y sabitken g veya q artışı r’yi arttırır). Bu sonuçları şekil üzerinde gös- termeyi okuyucuya bırakıyoruz. xi. (LM eğrisi) Aşağıdaki para piyasası modelini ele alalım: m d = L(y, r), L y > 0, L r < 0 (para talebi fonksiyonu) m d = M/P (para piyasası denge koşulu). Burada, y = milli gelir, r = faiz oranı, m d = (reel) para talebi, M = nominal para arzı, p = fiyat- lar genel düzeyi. Böylece M/p = reel para arzıdır ve dengede arz = talep olmaktadır. Para tale- bi fonksiyonunu denge koşulunda yerine koyarsak: L(y, r) = M/p, buradan da F(r, y, M, p) = L(y, r) – M/p = 0 fonksiyonunu elde ederiz. F r = L r < 0, F y = L y > 0, F M = –1/p, F p = M/p 2 > 0 olduğuna göre bu fonksiyon r = r(y, M, p) örtük fonksiyonu tanımlar ve 2 0 1/ 1/ 0 '' / 0 ' yy LM rr M LM r p LM r FL dr dy F L F dr p p dM F i i F dr M p dp F i olur. Buna göre, para arzı (M o /p o ) düzeyinde sabitken r–y düzleminde r(y, M, p) eğrisi pozitif eğimlidir ve bu da LM eğrisi olarak bilinen para piyasası denge koşulunun geometrik karşılı- ğıdır. LM o r/ M < 0 Şekilde (M o /p o ) para arzına karşı gelen LM o eğrisi gösterilmiştir. Eğri üzerinde her noktada para piyasası dengededir: F(r(y, M, p), y, M, p) = L(y, r(y, M, p) – M o /p o 0 olmaktadır. No- minal para arzında (M) bir artış, y sabitken r’yi düşürdüğüne göre, LM eğrisi aşağıya (sağa) kayar. Öte yandan, fiyatlar genel düzeyinde bir artış, r/ p = (dr/dp) LM > 0 olduğuna göre LM eğrisini yukarıya (sola) kaydırır. Bunu şekil üzerinde gösteriniz. 5.5. İKİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL, İÇBÜKEY VE DIŞBÜKEY FONKSİYONLAR f: R n R bir fonksiyonun türevlenebilir olması için kısmi türevlerinin olması ve bunların sü- rekli olması gerektiğini gördük. Buna göre, y = f(x, z) türevlenebilir ise h(x, z) = f x (x, z) ve g(x, z) = f z (x, z) kısmi türev fonksiyonları vardır ve süreklidir. Bu kısmi türev fonksiyonlarının da kısmi türev- leri olabilir ve bunları kısmi türev bulma yöntemimizle hemen bulabiliriz. Örneğin, f(x, z) = x 2 z + z 3 lnx ise h(x, z) = f x (x, z) = 2xz + z 3 /x olduğuna göre h x = f xx = 2 f/ x 2 = 2z – z 3 /x 2 h z = f xz = 2 f/ x z = 2x + 3z 2 /x olur. Öte yandan, g(x, z) = f z (x, z) = x 2 + 3z 2 lnx olduğuna göre, h x = f zx = 2 f/ z x = 2x + 3z 2 /x h z = f zz = 2 f/ z 2 = 3z 2 lnx olur. Dolayısı ile f(x, z) fonksiyonunun dört adet ikinci mertebeden kısmi türevi vardır: 2 f/ x 2 ya da f xx : f x in x e göre kısmi türevi 2 f/ x z ya da f xz : f x in z ye göre kısmi türevi 2 f/ z x ya da f zx : f z nin x e göre kısmi türevi 2 f/ x 2 ya da f zz : f z nin z ye göre kısmi türevi f: R n R fonksiyonu türevlenebilir ise C 1 fonksiyondur diyeceğiz, yani f(x) in kısmi türevleri vardır ve süreklidir. Eğer her bir kısmi türev fonksiyonu [f j (x), j = 1, ..., n] C 1 ise, yani her bir kısmi türev fonksiyonunun kısmi türevleri var ve sürekliyse, f(x) C 2 fonksiyondur diyeceğiz. f(x) fonksiyonu C 1 ise diferansiyeli vardır: df = f 1 (x)dx 1 + f 2 (x)dx 2 + ... + f n (x)dx n . Ama f j (x) fonksiyonları da C 1 , dolayısı ile f(x) C 2 ise, kısmi türev fonksiyonlarının da diferan- siyeli vardır: df 1 = f 11 dx 1 + f 12 dx 2 + ... + f 1n dx n df 2 = f 21 dx 1 + f 22 dx 2 + ... + f 2n dx n ............ df n = f n1 dx 1 + f n2 dx 2 + ... + f nn dx n . Bunları, df ifadesinde yerine koyarsak: d 2 f = (f 11 dx 1 + f 12 dx 2 + ... + f 1n dx n )dx 1 + (f 21 dx 1 + f 22 dx 2 + ... + f 2n dx n ) + ... + (f n1 dx 1 + f n2 dx 2 + ... + f nn dx n )dx n = 11 nn ij i j ij f dxdx elde ederiz. Burada d 2 f = d(df) ifadesine dikkat ediniz. Kısmi türevleri diferansiyelleri cinsin- den yazınca, f(x)’in diferansiyelinin diferansiyelini elde ediyoruz: çünkü dx değişimi oldu- ğunda kısmi türevlerde meydana gelecek değişimleri de hesaba katıyoruz. Aynı işlem tek de- ğişkenli fonksiyonlar için de geçerlidir. x R, y = f(x) ise n = 1 için d 2 y = f (dx) 2 = f dx 2 olur (f yerine f xx ya da f 11 de yazabilirdik). d 2 f f(x)’in ikinci mertebeden diferansiyelidir. Örnek 5.10. i. y = xz fonksiyonu verildiğinde y x = z y xx = 0, y xz = 1, y z = x y zx = 1, y zz = 0 olur (y xz = y zx olduğuna dikkat ediniz). Buna göre, dy x = y xx dx + y xz dz = dz dy z = y zx dx + y zz dz = dx olmaktadır. Öyleyse, d 2 y = (dy x )dx + (dy z )dz = (y xx dx + y xz dz)dx + (y zx dx + y zz dz)dz = 2dxdz olur. Aynı şeyi, d 2 y = 2 2 2 22 1 1 1 () ij i j ix i iz i xx xz zx zz i j i y dxdx y dxdx y dxdz y dx y dxdz y dxdz y dz = 2dxdz yoluyla da elde edebilirdik. ii. y = x 1 2 x 2 – x 2 x 3 + x 1 ise, y 1 = 2x 1 x 2 + 1 y 11 = 2x 2 , y 12 = 2x 1 , y 13 = 0 y 2 = x 1 2 – x 3 y 21 = 2x 1 , y 22 = 0, y 23 = –1 y 3 = –x 2 y 31 = 0, y 32 = –1, y 33 = 0 olur (y 12 = y 21 , y 13 = y 31 , y 23 = y 32 olduğuna dikkat ediniz). Buna göre, d 2 y = 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 () ij i j i i i i i i i j i y dxdx y dxdx y dxdx y dxdx = y 11 dx 1 2 + (y 12 + y 21 )dx 1 dx 2 + (y 13 + y 31 )dx 1 dx 3 + y 22 dx 2 2 + (y 23 + y 32 )dx 2 dx 3 + y 33 dx 3 2 = 2x 2 dx 1 2 + 4x 1 dx 1 dx 2 – 2dx 2 dx 3 olur. iii. z = f(y, x) C 2 fonksiyonu verilmiş olsun. Daha önce fonksiyonun kısmi türevlerinin pozitif ya da negatif olmasının ne anlama geldiğini görmüştük. Buna göre, f x > 0 ise f(x, y) x değiş- keninde artan fonksiyondur. Benzer şekilde, f xx > 0 ise f x x değişkeninde artan bir fonksiyon- dur. f x f(x) f(x, y o ) f x (x, y o ) f xx > 0 x x Dolayısı ile tek değişkenli fonksiyonların ikinci türevini yorumladığımız gibi, burada da (y = y o sabit kalmak şartıyla) f xx > 0 f(x, y) nin x değişkenine göre dışbükey bir fonksiyon olduğu anlamına gelir. Bu durum yukarıdaki şekilde gösterilmiştir (f xx < 0 olsaydı f(x, y) nin x de- ğişkenine göre içbükey bir fonksiyon olduğu anlamına gelirdi) . y değişkeni değişirse, f xy ve f y nin işaretine bağlı olarak f x (x, y) ve f(x, y) fonksiyonlarının z–x düzlemindeki grafikleri sağa veya sola kayacaktır. Dikkat etmek gerektiği gibi tek bir değişkene göre kısmi türevlerin işaretlerine bakarak f(x, y) fonksiyonu dışbükeydir (içbükeydir) demiyoruz. Bir f(x, y) fonksiyonunun dışbükeyliğini (içbükeyliğini) aşağıda ele alacağız. Burada anlatmak istediğimizi bir örnekle göstermek için z = x 2 – y 2 fonksiyonunu ele alırsak: z x = 2x z xx = 2, z xy = 0 z y = –2y z yx = 0, z yy = –2 olmaktadır. Buna göre, y sabitken, fonksiyon sadece x in fonksiyonu olarak dışbükeydir; x sabitken, sadece y nin fonksiyonu olarak içbükeydir. z z x = 1 x 2 – 1 y y = 1 x 1 – y 2 –1 y = 1 için z = x 2 –1 ve x = 1 için 1 – y 2 fonksiyonları yukarıda gösterilmiştir. Bunlara bakarak bu fonksiyonun genel hareketi ile ilgili yorum yapamayız. iv. (azalan marjinal fayda/diminishing marginal utility) U = U(x, y) U x > 0, U y > 0 fayda fonksiyonu verilmiş olsun. Şimdi U(x, y) nin C 2 olduğunu varsayarsak U xx ve U yy türevlerinin işareti ne olmalıdır? U xx > 0 olursa, U x (x, y), x malının marjinal faydası, x malında artan bir fonksiyon olur. Hatırlanacağı gibi U x > 0 olmasının “daha çok daha iyidir” prensibine dayan- dırmıştık. Eğer U xx > 0 olursa, U x (x, y) x değişkeninde dışbükey olacağına göre, bu “daha çok, artan oranlarda daha iyidir” anlamına gelir. İktisatta tam tersine U = U(x, y); U x > 0, U y > 0, U xx < 0, U yy < 0 varsayılır. Bu da “azalan marjinal fayda” prensibidir. U x > 0 tir, x arttığında fayda artar, ama U xx < 0 varsayımıyla “azalarak artar.” v. y = f(K, L) C 2 bir üretim fonksiyonu ise “azalan marjinal üretkenlik” prensibi f K > 0, f KK < 0 f L > 0, f LL < 0 varsayımına tekabül eder. Buna göre, tek girdili üretim fonksiyonunda olduğu gibi, her girdi- nin marjinal üretkenliği (diğer girdi sabitken) girdinin kullanımı arttıkça azalır. İkinci mertebeden diferansiyelin tanımını yakından incelersek: d 2 f = 11 nn ij i j ij f dxdx = (f 11 dx 1 + f 12 dx 2 + ... + f 1n dx n )dx 1 + (f 21 dx 1 + f 22 dx 2 + ... + f 2n dx n ) + ... + (f n1 dx 1 + f n2 dx 2 + ... + f nn dx n )dx n parantez içindeki her terimin i = 1, 2, ..., n için (f i1 , f i2 , ..., f in ) 1 2 .... n dx dx dx = f i1 dx 1 + f i2 dx 2 + ... + f in dx n gibi iki vektörün iç çarpımı olduğunu görüyoruz. Dolayısı ile, satırları f i lerin kısmi türevleri olan bir Hf(x) = 11 12 1 21 22 1 12 .. .. .. .. .. .. .. n n n n nn f f f f f f f f f matrisi yazarsak, dx = (dx 1 , dx 2 , ..., dx n ), ve (dx) t = 1 2 .. n dx dx dx olmak üzere 1 11 12 1 21 22 1 2 12 12 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 12 1 1 2 2 .. .. ( ) .. .. .. .. .. .. .. .. .. ( ) .. ..... .. n n t n n n nn n nn nn t n nn dx f f f f f f dx dxH dx dx dx dx f f f dx f dx f dx f dx f dx f dx f dx dxH dx dx dx dx f dx f dx 2 nn n df f dx elde ederiz. f(x, y) fonksiyonu için bunu görmek daha kolaydır: 2 2 () ( ) ( ) xx xy t yx yy xx xy xx xy yx yy yx yy ffdx d f dxH dx dx dy ffdy f dx f dy d f dx dy dx f dx f dy dy f dx f dy f dx f dy Dolayısı ile H(dx) t bize satırları, sırasıyla, df x ve df y olan (2 x 1) bir matris vermektedir. Bu matris soldan [dx dy] [= (1 x 2) matris ya da vektör] ile çarpılınca d 2 f bir sayı olarak elde edilmektedir. Tanım 5.9. (Hessgil Matris/Hessian Matrix) 1 f: R n R C 2 bir fonksiyon ise satırları f ı = (f i1 , f i2 , ..., f in ); i = 1, 2, ..., n, olan Hf(x) = 11 12 1 21 22 1 12 .. .. .. .. .. .. .. n n n n nn f f f f f f f f f matrisine f(x) fonksiyonunun Hessgil matrisi denir. dx R n (satır vektör), (dx) t (dx in devri- ği) olmak üzere ikinci mertebeden diferansiyel d 2 f(x) = dxHf(x)(dx) t olarak bulunur. Örnek 5.11. i. f(x, z) = xz fonksiyonun ikinci mertebeden diferansiyelini yukarıda görmüştük. Fonksiyo- nun Hessgil matrisi H = 01 10 xx xz zx zz ff ff 1 Alman matematikçi Ludwig Otto Hesse (1811-1874)’ye atfen. olmaktadır. Matrisin simetrik olduğuna dikkat ediniz. Bu matrisi soldan [dx dz] matrisi (vek- törü), sağdan dx dz matrisi ile çarparak daha önce olduğu gibi 2 01 2 10 dx dz d y dx dz dx dz dxdz dz dx elde ederiz. ii. Daha önce ele aldığımız y = f(x) = x 1 2 x 2 – x 2 x 3 + x 1 fonksiyonunun Hessgil matrisi Hf(x) = 11 12 13 2 1 21 22 23 1 31 32 33 2 2 0 2 0 1 0 1 0 f f f x x f f f x f f f dir. Matrisin simetrik bir matris ve elemanlarının değerinin hangi noktada hesaplama yapıldı- ğına bağlı olduğuna dikkat ediniz. Bu nedenle Hf(x) yazıyoruz. Böylece, [dx 1 dx 2 dx 3 ] satır ve [dx 1 dx 2 dx 3 ] t sütün matrisler için 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 1 3 32 2 2 0 2 2 2 0 1 2 0 1 0 x x dx x dx xdx d f dx dx dx x dx dx dx dx xdx dx dx dx d 2 f = dx 1 (2x 2 dx 1 + 2x 1 dx 2 ) + dx 2 (2x 1 dx 1 – dx 3 ) – dx 3 dx 2 elde edilir. iii. f(x) = lnx + lny ise f x = 1/x f xx = –1/x 2 , f xy = 0 f y = 1/y f yx = 0, f yy = –1/x 2 , olduğuna göre Hf(x) = 2 2 1/ 0 0 1/ xx xy yx yy ff x ff y olmaktadır. Matrisin simetrik olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, 2 2 2 2 2 2 2 1/ 0 ( ) ( ) / ( ) / 0 1/ dx x d f x dx dy dx x dy y dy y elde ederiz. iv. y = f(K, L) = K a L b ise f K = aK a–1 L b f KK = a(a – 1)K a–2 L b , f KL = abK a–1 L b–1 f L = bK a L b–1 f LK = abK a–1 L b–1 , f LL = b(b – 1)K a L b–2 , dHf(K, L) = -2 -1 -1 -1 -1 -2 ( - 1) ( - 1) a b a b KK KL a b a b LK LL ff a a K L abK L ff abK L b b K L olur. Matrisin simetrik olduğuna dikkat ediniz. İkinci mertebeden diferansiyelin yazılmasını alıştırma olarak bırakıyoruz. v. f(p, w, x, y) = pz(x, y) + wx + wy ise, z(x, y) C 2 olmak üzere, f p = z(x, y) f pp = 0, f pw = 0, f px = z x , f py = z y , f w = x + y f wp = 0, f ww = 0, f wx = 1, f wy = 1, f x = pz x + w f xp = z x , f xw = 1, f xx = pz xx , f xy = pz xy , f y = pz y + w f xp = z y , f xw = 1, f yx = pz yx , f yy = pz yy , ve Hf(x) = 00 0 0 1 1 1 1 pp pw px py x y wp ww wx wy xp xw xx xy x xx xy yp yw yx yy y yx yy f f f f z z f f f f f f f f z pz pz f f f f z pz pz olur. Matrisin z yx = z xy ise simetrik olduğuna dikkat ediniz. Yukarıdaki örneklerde Hessgil matrisi simetrik çıkmıştır. Bu tesadüf değildir. Teorem 5.6. (Young Teoremi) f: R n R C 2 bir fonksiyon ise (ikinci mertebeden kısmi türevleri var ve sürekli ise) ikinci mer- tebeden çarpraz kısmi türevleri biribirine eşittir, yani (her i j = 1, ..., n için) ij ji i j j i ff ff x x x x dir ve Hessgil matrisi Hf(x) simetrik bir matristir. Şimdi asıl konumuza dönersek, f(x): D R R fonksiyonlar için içbükeylik (dışbükeylik) tanımını tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi ikinci mertebeden diferansiyel üzerinden yapacağız. Tanım 5.10 İçbükey ve dışbükey fonksiyonlar/concave/convex functions f: D: R n R C 2 bir fonksiyon ve her x 1 , x 2 D için [x 1 , x 2 ] D olsun. Eğer, i. (içbükey fonksiyon) her x D için d 2 f(x) 0 oluyorsa f(x) D üzerinde içbükey bir fonksi- yondur. Eğer her x D için d 2 f(x) < 0 ise f(x) D üzerinde kesin içbükeydir denir. ii. (dışbükey fonksiyon) her x D için d 2 f(x) 0 oluyorsa f(x) D üzerinde dışbükey bir fonksiyondur. Eğer her x D için d 2 f(x) > 0 ise f(x) D üzerinde kesin içbükeydir denir. Tek değişkenli fonksiyonlarda d 2 f(x) < 0 (> 0) için f (x) < 0 ( > 0) gerek ve yeter şart olur. Hatırlanacağı gibi her noktada f (x) = 0 ise fonksiyon y = a + mx gibi bir doğrudur ve biz bunu hem içbükey hem dışbükey olarak addediyoruz. Burada, benzer bir işlevi Hessgil matrisi üstlenmektedir. Açıklığa kavuşturmamız gereken husus her 0 dx R n için hangi şartlarda dxHf(?)(dx) t (<) 0 ya da dxHf(?)(dx) t (>) 0 olduğudur. İlgimizi iki değişkenli C 2 bir f(x, y) fonksiyonuna yoğunlaştırırsak: 2 22 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) t xx xy yx yy xx xy yy d f dxH dx dx f dx f dy dy f dx f dy f dx f dxdy f dy olduğunu biliyoruz. İfadenin ikinci satırını yazarken Young teoremini kullanarak (f xy + f yx )dxdy = 2f xy dxdy yazdığımıza dikkat ediniz. Şimdi, burada problem t = dx, v = dy koyarsak z = at 2 + 2ctv + bv 2 gibi bir ifadenin hangi a, c, b değerleri için sıfırdan farklı her (t, v) değeri için (kesin) pozitif ya da negatif olacağının belirlenmesidir. Bunu tam kareye tamamlama yoluyla buluyoruz: z = a(t 2 + (2c/a)tv + (b/a)v 2 ) = a(t 2 + (2c/a)tv + (c 2 /a 2 )v 2 – (c 2 /a 2 )v 2 + (b/a)v 2 ) ifadesi doğrudur: önce “a” parantezine alıp, sonra parantez içine (c 2 /a 2 )v 2 ifadesini ekleyip çıkardığımıza göre ifadenin değeri değişmez. O halde, z = a[(t + (c/a)v) 2 + {(b/a) – (c 2 /a 2 )}v 2 ] olur ki köşeli parantez içindeki ilk terim (t + (c/a)v) 2 sıfırdan farklı her (t, v) için ya sıfırdır ya pozitiftir. Dolayısı ile iş {(b/a) – (c 2 /a 2 )} terimine kalmaktadır. Açıktır ki 22 22 0 b c ab c a a a ancak ve ancak ab – c 2 > 0 dır. Öyleyse, sıfırdan farklı her (t, v) için a < 0, ab – c 2 0 ise z 0, ab – c 2 > 0 ise z < 0 a > 0, ab – c 2 0 ise z 0, ab – c 2 > 0 ise z < 0 olur. Burada, a = f xx , c = f xy = f yx , b = f yy olduğuna göre: f xx < 0 ve f xx f yy – f xy f yx > 0 ise d 2 f(x) < 0 f xx > 0 ve f xx f yy – f xy f yx > 0 ise d 2 f(x) > 0 olacaktır. Öte yandan, f xx f yy – f xy f yx = 0 ise f xx 0 için d 2 f 0; f xx 0 için d 2 f 0 olacaktır. Dikkat edillirse f xx f yy – f xy f yx ifadesi Hessgil matrisin determinantıdır: 2 det ( ) xx xz xx yy xy yx xx yy xy zx zz ff f f f f f f f ff . Göstermiş olduk ki Teorem 5.8. f: D: R 2 R C 2 bir fonksiyon ve her x 1 , x 2 D için [x 1 , x 2 ] D olsun. Fonksiyonun Hessgil matrisi Hf(x) = xx xz zx zz ff ff olmak üzere, i. f(x, y) ancak ve ancak her x D için f xx 0, f yy 0 ve detH = 0 ise içbükeydir (d 2 f 0), ii. eğer her x D için f xx < 0, f yy < 0 ve detH > 0 ise f(x) D üzerinde kesin içbükeydir, iii. f(x, y) ancak ve ancak her x D için f xx 0, f yy 0 ve detH = 0 ise dışbükeydir (d 2 f 0), iv. eğer her x D için f xx > 0, f yy > 0 ve ve detH > 0 ise f(x) D üzerinde kesin dışbükeydir. Uyarı: Teoremin ifadesinde (i) ile (ii) (ya da (iii) ile (iv)) arasındaki asimetriye dikkat ediniz. (ii) ye göre eğer her x D için f xx < 0 ve detH > 0 oluyorsa fonksiyon kesin dışbükeydir. Ama bunun tersi doğru değildir. Yani, her x D için f xx < 0 ve detH > 0 değilse bile fonksi- yon kesin içbükey olabilir. Bunun standart örneği tek değişkenli y = –x 4 fonksiyonudur. Bu fonksiyon R üzerinde kesin içbükeydir, ama f (0) = 0 olmaktadır. Öte yandan, (i) ye göre bir fonksiyonun içbükey olduğunu biliyorsak detH = 0 ve f xx 0 olduğunu biliyoruz (yani içbü-keylik bilgisinden her durumda detH > 0 dır diyemeyiz), ve tersine detH = 0 ve f xx 0 oldu- ğunu biliyorsak, fonksiyonun içbükey olduğunu biliyoruz. Örnek 5.12. i. f(x, y) = x + y ise 00 () 00 xx xy yx yy ff Hf x ff olur. Buna göre bu fonksiyon içbükey ve aynı zamanda dışbükeydir. Burada dikkat edilirse f x = 1 = f y dir ve ortalama değer teoreminden her c [x, x o ] için f x (c) = 1 = f y (c) olduğuna göre f(x) = f(x o ) + (x – x o ) + (y – y o ) olmaktadır. Yani fonksiyon her noktada tamamen teğet düzlem üzerindedir ve teğet düzlem de (tek değişkenli fonksiyonlarda y = a + mx durumunda olduğu gibi) fonksiyonun kendisidir. ii. f(x, y) = lny ise 2 00 () 0 1/ xx xy yx yy ff Hf x ff y olur. Buna göre f xx = 0, f yy < 0 ve detH = 0 dır ve fonksiyon içbükeydir. iii. f(x, y) = xy ise 01 () 10 xx xy yx yy ff Hf x ff olduğunu biliyoruz. Burada detH = –1 < 0 dır ve bu fonksiyon içbükey ya da dışbükey değil- dir. Öte yandan, xy = c kontur kümesinin y = c/x örtük fonksiyonu tanımladığını ve y = –c/x 2 < 0, y = 2c/x 3 > 0 olduğuna göre bu fonksiyonun kontur eğrisi y–x düzleminde daha önce de gördüğümüz gibi dışbükeydir. iv. f(x, y) = lnx + lny ise 2 2 1/ 0 () 0 1/ xx xy yx yy ff x Hf x ff y olduğunu biliyoruz. Burada, D = {(x, y) x > 1, y > 1} olmak üzere her (x, y) D R 2 için f xx = –1//x 2 < 0, f yy = –1//y 2 < 0 detH = 1/(x 2 y 2 ) > 0 olduğuna göre bu fonksiyon D kümesi üzerinde (kesin) içbükeydir. Fonksiyonun kontur eğri- sinin eğimi, F(y, x, c) = lnx + lny – c = 0 için örtük fonksiyon teoremi uygulayarak: dy/dx = –F x /F y = –(1/x)/(1/y) = –y/x < 0, d 2 y/dx 2 = –(y x – y)/x 2 = 2y/x 2 > 0 olduğuna göre bu fonksiyonun kontur eğrisi de y–x düzleminde dışbükeydir: y lny + lnx = c x Dolayısıyla, bir önceki örneğin sonucu ile birleşince, bir fonksiyonun kontur eğrisinin dışbükey olması, fonksiyonun içbükey olmasını ge- rektirmez, ama fonksiyon içbükeyse, kontur eğrisi y–x düzleminde dışbükey olmaktadır sonucuna ulaşıyoruz. v. f(x, y) = 1/x + 1/y, D = {(x, y) x > 0, y > 0} kümesi üzerinde incelenirse, 3 3 2 / 0 () 0 2 / xx xy yx yy ff x Hf x ff y olduğuna göre, f xx = 2/x 3 > 0 detH = 4/( x 3 y 3 ) > 0 dir ve fonksiyon D üzerinde kesin dışbükeydir. F(x, y, c) = 1/x + 1/y – c = 0 için örtük fonksi- yon teoreminden: y = g(x, c) için g x = –F x /F y = –(–1/x 2 )/(–1/y 2 ) = –y 2 /x 2 < 0 g xx = –(2yy x 2 – 2xy)/x 4 > 0 olduğuna göre bu fonksiyonun kontur eğrisi de y–x düzleminde dışbükeydir. y c 1 > c o g c < 0 1/x + 1/y = c o 1/x + 1/y = c 1 x Ama bir önceki duruma göre önemli bir fark vardır: (y = g(x, c) kontur fonksiyonu için) g c = –F c /F y = –(–1/(–1/y 2 )) = –y 2 < 0 olduğuna göre c arttığında kontur kümesi aşağıya (sola) kayar. Yukarıdaki şekilde c 1 > c o için bu durum gösterilmiştir (kayma yönü okla işaretlenmiştir). Buna karşılık, f(x, y) = lnx + lny fonksiyonunun kontur eğrisi c artınca yukarıya (sağa) kayar. Bunu ispatlayıp bir öncek örnek- teki şekil üzerinde göstermeyi okuyucuya bırakıyoruz. vi. f(x, y) = x 2 – y 2 , D = {(x, y) x > 0, y > 0} kümesi üzerinde incelenirse, 20 () 02 xx xy yx yy ff Hf x ff olduğuna göre, detH = –4 < 0 dir ve bu fonksiyon içbükey ya da dışbükey değildir. f xx > 0 iken, f yy < 0 olduğuna dikkat ediniz. vii. f(K, L) = K a L b , a > 0, b > 0 olmak üzere D = {(K, L) K > 0, L > 0} kümesi üzerinde ince- lenirse, -2 -1 -1 -1 -1 -2 ( 1) ( , ) ( 1) a b a b KK KL a b a b LK LL ff a a K L abK L Hf K L ff abK L b b K L olduğuna göre, f KK = a(a – 1)K a–2 L b detH = a(a – 1)K a–2 L b (b(b – 1)K a L b–2 ) – a 2 b 2 K 2a–2 L 2b–2 = ab[(a – 1)(b – 1) – ab]K 2a–2 L 2b–2 = ab[1 – (a + b)]K 2a–2 L 2b–2 olmaktadır. O halde, Cobb–Douglas fonksiyonunun içbükey olup olmayacağı a ve b değerle- rine bağlıdır: a + b < 1 ise f KK < 0 ve detH > 0 tir : fonksiyon kesin içbükeydir, a + b = 1 ise f KK < 0 ve detH = 0 dır : fonksiyon içbükeydir, a + b > 1 ise detH < 0 dır : fonksiyon içbükey ya da dışbükey değildir. Aşağıdaki örneklerde içbükey/dışbükey fonksiyonların kontur kümesince tanımlanan örtük fonksiyonların geometrik özellikleri gösterilmiştir. Örnek 5.13. i. f(x, y) = lnx + lny, D = {(x, y) x > 1, y > 1} üzerinde kesin içbükeydir. Fonksiyonun kon- tur kümeleri F(y, x, c) = f(x, y) – c = 0 fonksiyonu ile tanımlıdır. Örnek 5.12 (iv)’teki sonuca göre bu örtük fonksiyondan elde edilen y = g(x, c) fonksiyonu y–x düzleminde dışbükeydir. ii. f(x, y) = x 2 + y 2 , D = {(x, y) x > 0, y > 0} üzerinde incelenirse 20 () 02 xx xy yx yy ff Hf x ff olmaktadır ve kesin dışbükeydir. F(y, x, c) = f(x, y) – c = 0 örtük fonksiyonundan y = g(y, c) için g c = 1/2y, g x = –x/y dir. Buna göre, D üzerinde g c > 0, g x < 0 olmaktadır ve g(x, c) fonk- siyonu x–değişkeninde içbükey olmalıdır: y g c > 0 y = g(x, c) x Şekilde g(x, c) fonksiyonun c arttığında kayma yönü okla gösterilmiştir. g(x, c) nin içbükey olduğunu bu örnekte doğrudan da görebiliriz: (y = g x = –x/y < 0 olmak üzere) g xx = –(y – y x)/y 2 < 0 olur. iii. Örnek 5.12. (v) te f(x, y) = 1/x + 1/y fonksiyonun D = {(x, y) x > 0, y > 0} kümesi üzerin- de kesin dışbükey, kontur fonksionunun y–x düzleminde g c < 0 olmak üzere dışbükey oldu- ğunu gördük. Örneği yeniden inceleyiniz. iv. q = f(K, L) = K a L b , a + b 1 olmak üzere D = {(K, L) K > 0, L > 0} kümesi üzerinde iç- bükey olduğunu gördük. F(K, L, q) = f(K, L) – q = 0 fonksiyonunun tanımladığı K = g(L, q) için g c = 1/f K > 0 olduğuna göre teoremimizden g(L, q) K–L düzleminde dışbükey olmalıdır. K g c > 0 L Bunu, açık olarak da gösterebiliriz: g L = –f L /f K = – (bK a L b–1 )/( aK a–1 L b ) = –(b/a)K/L < 0 olduğuna göre g LL = –(b/a)(g L L – K)/L 2 > 0 olur. Buna göre, Cobb–Douglas üretim fonksiyonu içbükey ise (a + b 1) “azalan marjinal teknik ikâme oranı” prensibine uymaktadır. Bu örneklerden elde ettiğimiz sonuca göre içbükey fonksiyonların U(c) = {x R n f(x) ? c, c R} ile tanımlı üst–kontur kümeleri konveks kümelerdir. Bir küme konveks ise kümenin herhan- gi iki noktasını birleştiren doğru tamamen kümenin içinde kalır. Ama gene gördüğümüz gibi üst–kontur kümeleri konveks olduğu halde içbükey olmayan fonksiyonlar da vardır. Benzer şekilde dışbükey fonksiyonların A(c) = {x R n f(x) ? c, c R} ile tanımlı alt–kontur kümeleri konveks kümelerdir. Ama bunun da tersi doğru değildir. Şimdi f(x, y) = xy fonksiyonunda olduğu gibi bazı fonksiyonlar içbükey (ya da dışbükey) olmadığı halde kontur fonksiyonları dışbükeydir (içbükeydir). Bu özelliği kullanarak genel bir fonksiyon grubu tanımlanır ki bunlar özellikle tüketici teorisinde çok kullanılır. Tanım 5.11. (içbükeyimsi/dışbükeyimsi fonksiyonlar/quasi–concave /quasi–convex functions) i. Üst–kontur kümeleri konveks olan fonksiyonlara içbükeyimsi fonksiyonlar denir. ii. Alt–kontur kümeleri konveks olan fonksiyonlara dışbükeyimsi fonksiyonlar denir. Şimdi, f(x, y), ve f x 0, f y 0 olsun. Buna göre, F(y, x, c) = 0 ile tanımlı y = g(x, c) fonksi- yonunun eğimim g x = –f x /f y dır. Biz burada 22 3 ( ) 2 ( ) () xx y xy x y yy x x y f f f f f f f dg dx f diferansiyelinin f(x, y) içbükey varsaymadan pozitif olduğu durumları bulmak istiyoruz. Dik- kat edilirse yukarıdaki kesrin payı işaretiyle birlikte 0 det det xy x xx xy y yx yy ff H f f f f f f = –(f xx f y 2 – 2f xy f x f y + f yy f x 2 ) olarak yazılabilir. Buradaki H matrisine f(x, y) nin kısıtlanmış Hessgil matrisi denir ve sağ alt köşesinde Hessgil matrisi vardır; ilk satırı ve sütunu ise (0, f x , f y ) vektörüdür. O halde, Ü(c) f(x, y) = c y x y x f(x, y) = c konveks konveks değil dg x = detH /(f y ) 3 yazabiliriz ve bu determinant pozitif ise f y > 0 (< 0) varsayıldığında dg x > 0 (< 0 ) olur. Dolayısıyla, Teorem 5.10. f: D: R 2 R C 2 bir fonksiyon, f x 0, f y 0 ve her x 1 , x 2 D için [x 1 , x 2 ] D olsun. Fonksiyonun kısıtlanmış Hessgil matrisi 0 xy x xx xy y yx yy ff H f f f f f f olsun. y = g(x, c) fonksiyonun kontur fonksiyonu ise g xx = detH /(f y ) 3 olur ve detH > 0 ise f(x, y) içbükeyimsidir: f y > 0 ise g xx > 0, f y < 0 ise g xx < 0 olur. detH < 0 ise f(x, y) dışbükeyimsidir: f y > 0 ise g xx < 0, f y < 0 ise g xx > 0 olur. Uyarı: 1. Tanım gereği içbükey/dışbükey fonksiyonlar içbükeyimsi/dışbükeyimsidir. 2. İçbükeyimsilik (dışbükeyimsilik) belirlenmesinde detH = 0 durumu yoktur. detH = 0 ise fonksiyon içbükeyimsi ya da dışbükeyimsi olmayabilir. Örnek 5.14. i. f(x, y) = lnx + lny içbükeydir, dolayısıyla da içbükeyimsidir. ii. f(x, y) = xy fonksiyonu D = {(x, y) x > 0, y > 0} üzerinde incelenirse, 00 01 10 xy x xx xy y yx yy f f y x H f f f y f f f x ve detH = –y(–x) + x(y) = 2xy > 0 dır. Bu fonksiyon içbükeyimsidir (ama içbükey değildir). Örnek 5.8 (i) yi yeniden inceleyiniz. iii. f(x, y) = y – x 2 fonksiyonu D = {(x, y) x > 0, y > 0} üzerinde incelenirse 0 0 2 1 2 2 0 1 0 0 xy x xx xy y yx yy f f x H f f f x f f f ve detH = 2 > 0 olduğundan fonksiyon içbükeyimsidir (ama içbükey değildir). Burada f y = 1 > 0 dır ve g x = –f x /f y 0 2x > 0, g c = 1/f y > 0 dır. y y = g(x, c) = c + x 2 c x Fonksiyonun kontur fonksiyonu ve kayma yönü (ok ile gösterilen) yukarıdaki gibidir. Burada taralı alan üst-kontur kümesidir. iv. f(x, y) = x 2 – y fonksiyonu D = {(x, y) x > 0, y > 0} üzerinde incelenirse, 0 0 2 1 2 2 0 1 0 0 xy x xx xy y yx yy f f x H f f f x f f f ve detH = –2 < 0 olduğundan fonksiyon dışbükeyimsidir (ama dışbükey değildir). Burada f y = –1 < 0, g x = 2x > 0, g c = –1 < 0 olmaktadır. y y = g(x, c) = x 2 – c x –c Fonksiyonun kontur fonksiyonu ve kayma yönü (ok ile gösterilen) yukarıdaki gibidir. Burada taralı alan alt-kontur kümesidir. Bir önceki örnekle karşılaştırılınca, her iki durum da da g x = 2x, g xx = 2 olduğu halde g c farklı işaretli olduğundan (ki bu da f y farklı işaretli olduğu içindir) farklı sonuçlara ulaşılmaktadır. Buradaki fonksiyonun bir önceki örnekteki fonksiyonun eksi- lisi olduğuna dikkat ediniz. v. f(x, y) = y 2 – x fonksiyonu D = {(x, y) x > 0, y > 0} üzerinde incelenirse 0 0 1 2 1 0 0 2 0 2 xy x xx xy y yx yy f f y H f f f f f f y ve detH = –2 < 0 olduğundan fonksiyon dışbükeyimsidir (ama dışbükey değildir). Burada f y = 2y > 0, g x = 1/2y > 0, g c = 1/2y > 0 dır. y g(x, c) c x Fonksiyonun alt-kontur kümesi (taralı alan) konvekstir. vi. f(x, y) = (x – 1) 2 (y – 1) 2 fonksiyonu D = {(x, y) x > 0, y > 0} üzerinde inceleyelim. 22 22 22 0 0 2( 1)( 1) 2( 1) ( 1) 2( 1)( 1) 2( 1) 4( 1)( 1) 2( 1) ( 1) 4( 1)( 1) 2( 1) xy x xx xy y yx yy f f x y x y H f f f x y y x y f f f x y x y x ve detH = 16(x – 1) 4 (y – 1) 4 olmaktadır. Buna göre ve x = 1 = y için detH = 0, onun dışında detH > 0 dir. Dolayısı ile D {(x, y) x > 0, y > 0} üzerinde her noktada detH > 0 şartı sağlanmamaktadır ve bu fonksiyon D üzerinde içbükeyimsi değildir: detH 0 içbükeyimsilik için yeterli değildir. İçbükeyimsilik ile ilgimizin diğer bir nedeni de içbükeyimsiliğin monoton dönüşümler altında muhafaza edilmesidir. Tanım 5.12. (Monoton dönüşüm) z = f(x): R n R bir fonksiyon ve h(z): R R monoton artan bir fonksiyon olsun (z 1 > z 2 h(z 1 ) > h(z 2 )). (hof)(x) bileşik fonksiyonuna f(x) in monoton (artan) dönüşümü denir. Örneğin, z = f(x, y) = xy ve h(z) = lnz ise (hof)(x) = ln(xy) = lnx + lny, f(x, y) = xy fonksiyo- nunun monoton artan bir dönüşümüdür. Burada, monoton artan her fonksiyon bu işi görür. h(z) = x 2 koyarsak, (hof)(x) = x 2 y 2 de monoton artan bir dönüşümdür. Şimdi, z = x a y b Cobb–Douglas fonksiyonunun a + b 1 için içbükey olduğunu biliyoruz. h(z) = lnx için g(x, y) =(hof)(x) = alnx + blny olur ve bu fonksiyon da içbükeydir. Ama h(z) = x 2 için g(x, y) = (hof)(x) = x 2a y 2a olur ve a + b 1 olsa bile 2a + 2b > 1 olabileceği için (a + b = 1 ise kesinlikle olur) içbükey bir fonksiyonun (her) monoton artan dönüşümü içbükey değildir. İçbükeylik monoton dönü- şüm altında bozulan bir özelliktir. Öte yandan, g(x, y) = x 2a y 2a her a, b için içbükeyimsidir: içbükey bir fonksiyonun monoton artan dönüşümü, içbükey olmasa bile, en azından içbüke- yimsidir. Teorem 5.11. i. f(x): R n R içbükeyimsi (dışbükeyimsi) bir fonksiyon olsun. f(x)’in her monoton artan dö- nüşümü gene içbükeyimsi (dışbükeyimsi) bir fonksiyondur. ii. f(x): R n R içbükey (dışbükey) bir fonksiyon ise f(x)’in monoton artan dönüşümü içbüke- yimsi (dışbükeyimsi) bir fonksiyondur. Örnek 5.15. i. f(x, y) = xz ise lnf(x, y) = lnx + lny dir ve içbükey, dolayısı ile de, içbükeyimsidir. Buna göre içbükeyimsi bir fonksiyonun monoton artan dönüşümleri içbükey bile olabilmektedir. ii. f(x, y) = x 0.5 y 0.4 kesin içbükeydir ve dolayısı ile içbükeyimsidir. Karesini alırsak (f(x, y)) 2 = xy 0.8 fonksiyonu içbükey değildir ama içbükeyimsidir. Alıştırmalar 5. 7. 1. f(x) ve g(x) R 2 R içbükey (dışbükey) fonksiyonlar ve a, b > 0 reel sayılar olmak üzere af(x) + bg(x) fonksiyonunun içbükey (dışbükey) olduğunu (yani içbükey fonksiyonların top- lamı içbükeydir) ispatlayınız. Bunu tümevarım yoluyla f i (x) içbükey (dışbükey), a i > 0 olmak üzere 1 () n i i i a f x fonksiyonuna genelleyiniz. 2. f(x) ancak ve ancak –f(x) dışbükeyse, içbükeydir. İspatlayınız. 3. f(x, y) ve g(x, y) içbükeyimsi iki fonksiyon ise, f + g nin içbükeyimsi olmayabileceğini bir örnekle gösteriniz. 4. f(x) ancak ve ancak –f(x) dışbükeyimsi ise, içbükeyimsidir. İspatlayınız. 5. Aşağıdaki fonksiyonların D = {(x, y) x > 0, y > 0} üzerinde içbükey/dışbükey, içbükeyim- si/dışbükeyimsi olup olmadıklarını belirleyiniz. Kontur eğrilerinin grafiğini düzlemde çiziniz ve kayma yönlerini belirleyiniz: i. f(x, y) = ax 2 + 2xy + by 2 ii. f(x, y) = sinxy iii. f(x, y) = xy – 1/x iv. f(x, y) = 1/x + 1/y 2 v. f(K, L) = K 0.5 L 0.5 vi. f(x, y) = ax + by 2 vi. f(x, y) = lnx + xy vii. f(x, y) = x a y b + x 2a y 2b ix. f(K, L) = (K –? + L –? ) (–1/?) x. f(x, y) = –(1/?)ln(K –? + L –? )