Genel Matematik Türevin Uygulamaları - Kapalı Türev, Değişim Oranları DERS 10 Türevin Uygulamaları: Kapalı Türev , De ği şim Oranları 10.1. Kapalı Türev( İmplicit Differentiation). E ğer y = f (x) , denkleminde oldu ğu gibi kapalı(implicit) olarak verilmi şse, y ' yü bulmak için zincir kuralı kullanılabilir: F(x , y) = 0 düzlemde bir e ğri belirler. Bu e ğri üzerinde bir (x 0 , y 0 ) noktası ( yani, F (x 0 , y 0 ) = 0 olan bir (x 0 , y 0 ) ) için o noktadaki te ğetin e ğimi, y ' nün (x 0 , y 0 ) için de- ğeridir ve te ğetin denklemi, y ' nün (x 0 , y 0 ) için de ğeri m olmak üzere y = m(x - x 0 ) + y 0 dır. y ' nün (x 0 , y 0 ) için de ğeri ile gösterilir. Yukarıdaki örnekte 0 1 ) , ( 2 2 = - + = y x y x F () () 0 ) , ( 0 ) , ( dx d y x F dx d y x F = ? = () () y x y y y x dx d y x dx d y x - = ? = · + ? = - + ? = - + ' 0 ' 2 2 0 1 0 1 2 2 2 2 zincir kuralı () 0 0 , ' y x y m = 4 3 5 4 5 3 ' 5 4 , 5 3 - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ytür ve 0 1 2 2 = - + y x eğrisine ? ? ? ? ? ? 5 4 , 5 3 noktasında te ğet olan do ğrunun denklemi 4 5 4 3 5 4 5 3 4 3 + - = ? + ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - = x y x y tür. Burada ? ? ? ? ? ? 5 4 , 5 3 noktasının 0 1 2 2 = - + y x denklemini sa ğladı ğına dikkat ediniz. Örnek. y - x y 2 + x 2 + 1 = 0 e ğrisinin (1 , -1) noktasındaki te ğetinin denklemini bulalım. Örnek. 1 ln - = t xe x t ifadesiyle verilen x = x(t) için )) ( ( ' t x dt d x = yi bulunuz ve x(0) = 1 oldu ğuna dikkat ederek ) 1 , 0 ( ' x i hesaplayınız. 0 2 ' 2 ' 0 1 2 2 2 = + - - ? = + + - x xyy y y x xy y () 3 1 2 1 2 1 ' 1 , 1 - = + - = ? - y () 3 2 3 1 ) 1 ( 1 3 1 - - = ? - + - ? ? ? ? ? ? - = x y x y 1 ln - = t xe x t t t xe e dt dx dt dx x t x + = · + ? 1 ln t t e x t x xe dt dx - · - = ? 1 ln t t xe t x x e x dt dx x - - = = ? ln ' 2 . 1 1 0 1 ln 1 1 ' 0 0 2 ) 1 , 0 ( - = - - = ? e e x x xe dt dx e x t t t ln ) 1 ( - = - · ? ()() xy x y y x y y xy 2 1 2 ' 0 2 ' 2 1 2 2 - - = ? = - - - ? 10.2. De ği şim Oranları (Rate of Change). Günlük ya şamda en çok kar şıla şılan problemlerden biri, her ikisi de zamana göre de ği şen iki niceli ğin birbirlerine göre de ği şim oranlarını (artı ş veya azalı ş oranlarını) belirlemektir. Örnek olarak, Bir i şletme, giderindeki artı şın kârını ne oranda etkileyece ğini bilmek ister. Bir yatırımcı, borsadaki artı ş oranı ile fert ba şına milli gelir arasındaki ili şkiyi bilmek isteyebilir. Bir otomobil satıcısı, faiz oranları arttıkça sattı ğı otomobil sayısının ne oranda dü şece ğini bilmek ister. Yukarıdaki örneklere benzer soruları içeren problemlere de ği şim oranı problemleri (rate of change problems) denir. De ği şik bir örnekle ba şlayalım. Problem. Yandaki şekilde görüldü ğü gibi, dik bir duvara dayalı 260 cm uzunlu ğunda bir merdi- venin yukarı ucu 20 cm/sn hızla a şa ğıya kayma- ğa ba şlıyor. Merdivenin üst ucu yerden 240 cm yükseklikte iken a şa ğı ucu duvardan hangi hızla uzakla şmaktadır? Bir de ği şim oranı problemini çözmek için şu adımları izleyebilirsiniz: 1. Yardımcı olacaksa bir şekil çiziniz. 2. Bütün de ği şkenleri, bunlardan de ği şim oranları verilenleri ve de ği şim oranları bulunacak olanları belirleyiniz. 3. Verilen ve bulunacak olan tüm de ği şim oranlarını türev olarak ifade ediniz. 4. İkinci adımda belirledi ğiniz de ği şkenlerin sa ğladı ğı bir denklem yazınız. 5. Dördüncü adımda buldu ğunuz denkleme kapalı türev uygulayınız ve türevde verilen de ğerleri yerle ştiriniz. 6. Bilinmeyen de ği şim oranını, elde etti ğiniz denklemi çözerek bulunuz. Merdiven probleminin çözümü. Merdivenin üst ucunun yerden yüksekli ği x , alt ucunun duvara uzaklı ğı y ile gösterilsin. x in zamana göre de ği şim oranı verilmi ş, x = 240 iken y nin de ği şim oranı bulunmak isteniyor. ? , / 20 = - = dt dy sn cm dt dx Merdivenin uzunlu ğu 260 cm oldu ğundan, şekildeki dik üçgen kullanılarak Kapalı türevle x = 240 olunca, y = 100 ve 20 - = dt dx oldu ğundan elde edlir. Merdivenin a şa ğı ucu duvardan saniyede 48 cm hızla uzakla şmaktadır. Benzer bir örnekle devam edelim. Problem. İki bisikletli, dik olarak kesi şen , kuzey-güney ve do ğu-batı do ğrultusundaki iki caddenin kesdi şme noktasından aynı anda hareket ediyorlar. Bisikletlilerden biri kuzeye do ğru dakikada 30 metre hızla, di ğeri de do ğuya do ğru dakikada 40 metre hızla gittiğine göre, hareketin 5-inci dakikasında bu iki bisikletli arasındaki uzaklık hangi hızla de ği şmektedir? . 100 240 , ) 260 ( 2 2 2 = ? = = + y x y x 20 , 100 , 240 , 0 2 2 - = = = = + dt dx y x dt dy y dt dx x () ()() . cm/sn 48 100 4800 0 100 2 20 240 2 = = ? = + - dt dy dt dy x y z 30 m/dak 40 m/dak 40 = dt dx Çözüm. Ba şlangıçtan t dakika sonra, do ğuya do ğru giden bisikletlinin aldı ğı yol x metre, kuzeye do ğru giden bisikletlinin aldı ğı yol y metre, iki bisikletlinin arasındaki uzaklık z metre olsun( Şekilden izleyiniz.) Bu takdirde, 2 2 2 y x z + = olur. Bu- rada x , y ve z den her biri zamana ba ğlı olarak de ği şmektedir. Ço ğu zaman oldu ğu gibi, zamanı t ile gösterece ğiz. Böylece, 40 = dt dx 30 , = dt dy m/dak 2 2 2 y x z + = ifadesinden kapalı türev ile t = 5 olunca, x = 40. 5 = 200, y = 30.5=150 ve z =250 olaca ğından m/dak. elde edilir. Hareketten 5-inci dakikasında iki bisikletli arasındaki uzaklık dakikada 50 metre artmaktadır. Problem. Bir nokta, y 2 = x 3 e ğrisi üzerinde hareket etmektedir. Nokta (4,-8) konumunda iken x-koordinatı dakikada 2 birim artmaktadır. O halde noktanın y-koordinatı hangi hızla de ği şmektedir? Çözüm. Noktanın herhangi bir andaki koordinatları, x ve y, y 2 = x 3 ba ğıntısını sa ğlamakta ve zamana göre de ği şmektedir. Zamanı t ile göstererek y 2 = x 3 ifadesinde t ye göre (kapalı) türev alınırsa, (4,-8) konumunda , yani x=4 ve y=-8 olunca, 2 = dt dx birim/dak. olur. O halde, olup y koordinatı dakikada 6 birim azalmaktadır. Önceki problemde sözü edilen y 2 = x 3 e ğrisini grafik çizim stratejisini uygulayarak çizebilirsiniz. E ğer bu ifade y için çözülürse, dt dy y dt dx x dt dz z 2 2 2 + = dt dy z y dt dx z x dt dz + = ? 50 30 250 150 40 250 200 = · + · = dt dz 3 2 x y = dt dx x dt dy y 2 3 2 = ? 2 4 3 ) 8 ( 2 2 · · = - · dt dy 6 16 2 4 3 2 - = - · · = ? dt dy elde edilir. Doyısıyla, grafik 2 3 x y = ve 2 3 x y - = nin grafiklerinin birle şimidir. Biliyoruz ki bu grafiklerden her biri di ğerinin x-ekseni etrafında yansıtılmasıyla elde edilir. 2 3 x y = nin grafi ğini çizip x-eksenine göre yansıtalım. Denklem, x ? 0 için tanımlıdır. Ayrıca, x > 0 için oldu ğu da göz önüne alınırsa, grafik a şa ğıdaki gibi elde edilir. 2 3 x y = 2 3 x y - = 2 3 3 x x y ± = ± = 0 4 3 ' ' , 0 2 3 ' 2 1 2 1 > = > = - x y x y x yProblem. Haftada x radyo üreten bir firmanın toplam gideri C(x) = 5000 + 2x ve toplam geliri R (x) = 10x – (0.001) x 2 YTL olarak veriliyor. Bu firma 2000 radyo üretmekte iken, üretimini her hafta 500 radyo artırma ğa karar veriyor. Bu durumda firmanın gider, gelir ve kârında meydana gelecek de ği şiklikleri bulunuz. Çözüm. Haftalık üretim sayısı olan x, zamana (t ye) göre de ği şiyor. x = 2000 iken olacaktır. Dolayısıyla, giderin haftalık de ği şim oranı dir. x = 2000 iken 1000 500 2 = · = dt dC olur ve gider haftada 1 000 YTL artar. Gelirdeki de ği şim olup x = 2000 iken den haftada 3000 YTL (artı ş) olarak elde edilir. Kârdaki de ği şime gelince, P(x) = R(x) – C(x) = -5000 + 8x –(0.001)x 2 olduğundan 500 = dt dx dt dx dt dC 2 = () dt dx x dt dx dt dR 002 . 0 10 - = () dt dx x dt dx dt dP 002 . 0 8 - = () 3000 500 2000 002 . 0 500 10 = · · - · = dt dR dir ve böylece, x = 2000 iken kâr haftada YTL artar. Problem. Bir ürün üzeride yeni üretime ba şlayan bir firma ilk dört ay için, t-inci haftada x = x(t) = t 2 + 400t + 175 adet ürün üretmeyi planlıyor. Üretilen ürün sayısıyla ba ğlantılı olarak, bir ürünün satı ş fiyatı da p = 10 – (0.001)x(t) YTL olarak belirlenecektir. Bu firmanın haftalık sabit gideri 5 000 YTL ve bir ürün için gideri 2 YTL oldu ğuna göre, 5-inci hafta itibariyle, gider, gelir ve kârdaki haftalık de ği şim oranlarını bulunuz. Çözüm. t-inci haftada x = x(t) = t 2 + 400t + 175 ürün üretilece ğine göre, t-inci hafta itibariyle haftalık toplam gider : C = 5 000 + 2x(t) YTL; bir ürünün satı ş fiyatı p = 10 – (0.001)x(t) YTL oldu ğundan haftalık gelir: R =(10- (0.001)x(t) )x(t) = =10 x(t) - (0.001)x(t) 2 ve böylece haftalık kâr : P = R - C = 10x(t) – (0.001)x(t) 2 -(5 000 + 2x(t)), P= 8x(t) – (0.001)x(t) 2 - 5 000 YTL dir. De ği şim oranlarına gelince x(t) = t 2 + 400t + 175 C = 5 000 + 2x(t) () 2000 500 2000 002 . 0 500 8 = · · - · = dt dP ) ( ' 2 t x dt dC · = ? 400 2 ) ( ' + = ? t t x R = 10 x(t) - (0.001)x(t) 2 P= 8x(t) – (0.001)x(t) 2 - 5 000 5-inci hafta itibariyle, 410 400 5 2 ) 5 ( ' = + · = x ürün/haf. 820 410 2 = · = dt dC YTL/haf. 2296 410 200 2 002 . 0 410 10 = · · - · = dt dR YTL/haf. 1476 410 200 2 002 . 0 410 8 = · · - · = dt dP YTL/haf. 5-inci hafta itibariyla, gider, haftada 820 YTL artar; gelir, haftada 2296 YTL ve kâr, haftada 1476 YTL artar. ) ( ' ) ( 002 . 0 ) ( ' 10 t x t x t x dt dR · · - · = ? ) ( ' ) ( 002 . 0 ) ( ' 8 t x t x t x dt dP · · - · = ? Problemler 10 1. A şa ğıdaki her bir denklem için verilen (a,b) nin denklemi sa ğladı ğını kontrol ediniz ve y = f(x) oldu ğunu dü şünerek ) , ( ' b a y yi bulunuz. a) x 3 - 3xy + 4y 2 = 21 , (a,b) = (-1,2) b) x – y 2 = e y , (a,b) = (1,0) c) y = x 2 – y 2 , (a,b) = (0,-1) d) 2y 2 – 3x 3 =5 , (a,b) = (-1,1) 2. Her bir denklemden y´ yü ve verilen noktadaki te ğetin e ğimini bulunuz, sonra da te ğet denklemini yazınız. a) x 3 - 3xy + 4y 2 = 21 , (-1,2) b) x – y 2 = e y , (1,0) c) y = x 2 – y 2 , (0,-1) d) 2y 2 – 3x 3 =5 , (-1,1) 3. A şa ğıda, x ve y nin t ye ba ğlı olarak de ği ştiklerini, yani x = x(t) , y = y(t) oldu ğunu kabul ediniz ve verilen bilgiyi kullanarak istenilen oranı bulunuz. a) y = 3x 2 -2 , x = 2 için . 2 = dt dx x = 2 için dt dy yi bulunuz. b) x x y ln 2 = , x = 1 için . 1 = dt dx x = 1 için dt dy yi bulunuz. c) 25 2 2 = + y x , y = 4 için . 2 = dt dy y = 4 için dt dx yi bulunuz. d) 3 3 2 - = - + y xy x , x = 0 için . 2 - = dt dx x = 0 için dt dy yi bulunuz. 4. İki tane motorlu kayık, biri kuzey di ğeri de do ğu yönünde olmak üzere aynı yerden, aynı anda hareket ediyorlar. Kuzeye gidenin hızı, saatte 15 mil, do ğuya gidenin hızı ise saatte 20 mil oldu ğuna göre, hareketlerinden 2 saat sonra kayıklar arasındaki uzaklı ğın (zamana göre) de ği şim oranını bulunuz. 5. Bir nokta 25 2 2 = + y x e ğrisinin üzerinde hareket ediyor. Nokta, (3 , 4) te iken y- koordinatı (ordinatı) saniyede 0.3 birim artıyor. Noktanın x-koordinatı (apsisi) hangi hızla de ği şiir? 6. Bir nokta, y 2 – 4x 2 = 12 e ğrisinin üzerinde hareket ediyor. Nokta (1 , 4) de iken x- koordinatı (apsisi) saniyede 2 birim azalıyor. y-koordinatının (ordinatının) de ği şim oranını bulunuz. 7. Durgun bir havuza atılan bir ta ş dairesel dalgacıklar meydana getiriyor. Bu şekilde olu şan bir dalgacı ğın yarıçapı saniyede 0.5 metre arttı ğına göre, dalgacı ğın yarıçapı 10 metre iken içine aldı ğı alanın hangi hızla de ği şti ğini bulunuz. 8. Dik bir duvara dayanmı ş olan 10 ft. uzunluğundaki bir merdivenin alt ucu kayarak duvardan saniyede 3 ft. hızla uzakla şma ğa ba şlıyor. Kayma devam ederken, merdivenin alt ucu duvar dibine 6 ft. uzaklıkta oldu ğu anda, üst ucunun (a şa ğıya do ğru) hangi hızla kaydı ğını bulunuz. 9. 20 m. lik bir dire ğin tepesinde bulunan bir sokak lambası ile aydınlanan bir sokakta, 180 cm boyunda bir ö ğrenci saniyede 5 m. hızla lambanın bulundu ğu direkten uzakla şmaktadır. Ö ğrenci direkten 20 m. uzaktayken, gölgesinin ucunun dire ğe olan uzaklı ğı hangi hızla de ği şmektedir? 10. Bir su ısıtıcısından yer halısına su sızma ğa ba şlıyor ve halı üzerinde dairesel bir alan ıslanıyor. Islanan alan saniyede 50 cm 2 artt ı ğına göre, ıslanan alanın yarıçapı 10 cm. oldu ğu anda bu yarıçapın hangi oranda de ği şti ğini bulunuz. 11. Haftada x adet ürün üreten bir firmanın gider ve gelir fonksiyonları 30 300 ) ( , 30 000 90 ) ( 2 x x x R x x C - = + = YTL olarak veriliyor. Üç ay için üretim yapmayı planlayan firma, ilk hafta 3 000 ürün üreterek ba şlıyor ve bundan sonraki her hafta üretimini 500 artırmaya karar veriyor. Bu durumda a) Haftalık üretilen ürün sayısını zamanın(t nin) fonksiyonu olarak ifade ediniz. b) Dördüncü hafta itibariyle, gider, gelir ve kârdaki haftalık de ği şim oranını belirleyiniz.