Genel Matematik Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 4.1. Üstel Fonksiyonlar(Exponential Functions). b > 0 , b ? 1 olmak üzere x b x f = ) ( denklemi ile tanımlanan fonksiyona b tabanında üstel fonksiyon (exponential function with base b) denir. Üstel fonksiyonun tanım kümesi R , görüntü kümesi (0 , ?) dur. Üstel fonksiyonun bazı özellikleri: • y-kesi şimi (0 , 1) dir. • x-ekseni yatay asimtottur. • b > 1 ise, x artarken bx de artar; 0 < b < 1 ise, x artarken bx azalır. • b x b y = b x+y , • b x = b y ? x = y ; x ? 0 ise, a x = b x ? a = b. () x x f 2 = x y (0,0) 1 () x x f ? ? ? ? ? ? = 2 1 x y (0,0) 1 () 0 , > = b b x f x x y (0,0) 1 ( ) 1 0 . < < = b b x f x x y (0,0) 1 ) . 0 için ise, 1 0 ; 0 için ise, 1 ( › ? › < < › - ? › > y x b y x b () () x x x x x x xy y x y x y x b a b a b a ab b b b b b = ? ? ? ? ? ? = = = - , , , e sayısı. e tabanında üstel fonksiyona do ğal üstel fonksiyon (natural exponential function) denir. Uygulama : Bile şik Faiz(Compound Interest) . P : Yatırılan para, anapara, sermaye, kapital (Principal). r : faiz oranı (interest rate). Ondalık kesir olarak ifade edilir. m : birle ştirme aralı ğı (compound interval). Yılda kaç kez birle ştirildi ği. t : zaman. A : dönem sonu miktar, birikimli de ğer (final amount). Örnek. 1 000 YTL, %10 faiz oranı ile her ay birle ştirilerek 10 yıl faizde kalırsa, ula ştı ğı de ğer ne olur? Her ay birle ştirildi ğinden, m = 12 . Ayrıca, P = 1000 ve t = 10. Böylece YTL olur. Bile şik faiz formülünde, i m r = : dönemsel faiz oranı (rate per compounding period), mt = n : toplam dönem sayısı (toal number of compounding periods) alınarak bu formül biçiminde ifade edilebilir. . 1 için e x x x x › ? ? ? ? ? ? + ? › ... 718 . 2 ; 3 1 2 için 1 Her = < ? ? ? ? ? ? + < > e x x x x ( ) x e x f = x y (0,0) 1 mt m r P A ? ? ? ? ? ? + = 1 04 . 2707 12 1 . 0 1 1000 10 . 12 = ? ? ? ? ? ? + = A mt m r P A ? ? ? ? ? ? + = 1 () n i P A + = 1Örnek. 1 000 YTL, %10 faiz oranı ile her üç ayda bir birle ştirilerek 10 yıl faizde kalırsa ula ştı ğı de ğer ne olur? Her üç ayda bir birle ştirildi ğinden, m = 4, i = 0.1/4 = 0.025. Ayrıca, n= mt = 4.10 = 40. Böylece, YTL olur. Bile şik faiz formülünde, her an birle ştirme yapıldı ğı düşünülürse, sürekli bile şik faiz dedi ğimiz faiz türü elde edilir. Bu durumda m › ? olacaktır. m › ? için A nın limit de ğerini belirleme ğe çalı şalım. m › ? için ? › r m oldu ğu; böylece ve buradan m › ? için A › Pe rt oldu ğu görülür ve sürekli bile şik faiz formülü elde edilir: A = Pe rt . Sürekli Bile şik Faiz(ContiniousCompound Interest). Faizde bulunan anaparanın faizi ile her an (anlık) birle ştirildi ği faizlerdir. P : Yatırılan para, anapara, sermaye, kapital (Principal). r : faiz oranı (interest rate). Ondalık kesir olarak ifade edilir. t : zaman. A : dönem sonu miktar, birikimli de ğer (final amount). Örnek. 1 000 YTL, sürekli bile şik faiz ve %10 faiz oranı ile 10 yıl faizde kalırsa ula ştı ğı de ğer ne olur? YTL olur. () 06 . 2685 025 . 0 1 1000 40 = + = A mt m r P A ? ? ? ? ? ? + = 1 rt e rt r m r m r m mt m r › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? + 1 1 rt Pe A = 2718 10 ) 1 . 0 ( 1000 = · = e AFaizle ilgili formüllerimizi bir arada görelim: 4.2. Logaritmik Fonksiyonlar (Logarithmic Functions). Üstel fonksiyonların tanımına veya grafiklerine baktı ğımız takdirde, tanım kümesinin tüm reel sayılar kümesi R, görüntü kümesinin de (0 , ?) oldu ğu ve her y ? (0 , ?) reel sayısının da bir ve yalnız bir x ? R nin görüntüsü oldu ğunu görürüz. Ba şka bir deyimle, her y ? (0 , ?) için y = bx olan bir ve yalnız bir x ? R vardır. Verilen bir y ? (0 , ?) için y = bx olan x ? R sayısına y nin b tabanında logaritması (logarithm of y to the base b) denir ve yazılır. Böylece denklemi ile tanımlanan fonksiyonuna b tabanında logaritma fonksiyonu (logarithmic function to the base b) denir. Bu fonksiyonun tanım kümesi (0 , ?) , görüntü kümesi R dir. Bu tanımdan görülür ki, e ğer (u , v) noktası b tabanında logaritma fonksiyonunun grafi ği üzerinde ise, (v , u) noktası da b tabanında üstel fonksiyonun grafi ği üzerindedir; ve kar şıt olarak, e ğer (u , v) noktası b tabanında üstel fonksiyonun grafi ği üzerinde ise, (v , u) noktası da b tabanında logaritma fonksiyonunun grafi ği üzerindedir. () rt P A + = 1 Basit Faiz () n i P mt m r P A + = ? ? ? ? ? ? + = 1 1 Bile şik Faiz rt Pe A = Sürekli Bile şik Faiz y x b log = y b b x x y = ? = log x y b log = b log Di ğer yandan, (u , v) ve (v , u) noktaları y = x doğrusuna göre simetrik oldu ğundan, üstel ve logaritmik fonksiyonun grafikleri y = x doğru- suna göre simetriktir. x y (0,0) (u , v) (v ,u) x y (0,0) 1 1 , > = b b y x 1 1 , log > = b x y b y = x x y (0,0) 1 0 , < < = b b y x 1 1 1 0 , log < < = b x y b y = x tanımı üzerinde birkaç alı ştırma yapalım e tabanında logaritmik fonksiyona do ğal logaritma fonksiyonu (natural logarithmik function) denir ve yazılır. Böylece, Logaritma fonksiyonunun bazı özellikleri: • x-kesi şimi (1 , 0) dır. 0 1 log = b . • 1 log = b b • x b x b = log • M b M b = log • N M MN b b b log log ) ( log + = • N M N M b b b log log log - = ? ? ? ? ? ? • M p M b p b log log = • N M N M b b = ? = log log • Grafik, b >1 için artan ; 0 < b < 1 için azalandır. 4.3. Logaritmik Denklemler. Örnek. 2 , 4 16 ; ? , 16 log 4 = = = = y y y y y b b x x y = ? = log 8 1 , 2 ; ? , 3 log 3 2 = = = - = - x x x x 10 , 100 ; ? , 2 100 log 2 = = = = b b b b x x e ln log = y e x x y = ? = ln ? , log 2 log 8 log 3 2 4 log 2 3 = = + - x x b b b b x b b b b log 2 log 2 log 3 2 2 log 2 3 3 2 = + - ? x b b b b log 2 log 2 log 2 2 log 3 = + - ? x b b log 2 log 2 = ? x b b log 2 log 2 = ? . 4 = ? xÖrnek. Burada -3, logaritma fonksiyonunun tanım kümesi içinde bulunmadı ğından, verilen denklemin çözüm kümesi {2} dir. 4.4. Üstel Denklemler. Örnek. 2 log 10 yerine 2 log de yazılır. Örnek. 4.5. Faiz Hesabında Şimdiki De ğer Kavramı. Belli bir faiz oranı ile belli bir zaman sonunda ula şaca ğı de ğer, yani gelecekteki de ğeri bilinen paranın bu günkü de ğeri. Örnek. Basit faizle, yıllık faiz oranı %6 ise, bir y ıl sonunda hesabınızda 100 YTL olabilmesi için bu gün bankaya yatırmanız gereken miktar ne kadardır? Çözüm. Verilen de ğerler (A = 100, t = 1 , r =0.06) basit faiz formülünde yerine konursa elde edilir. Örnek. Yıllık birle ştirilen bile şik faizle, faiz oranı %6 ise 10 yıl sonunda hesabınızda 100 YTL olabilmesi için bu gün bankaya yatırmanız gereken miktar ne kadardır? Çözüm. A = 100, t =10, m = 1, r = 0.06 de ğerleri formüle yerle ştirilirse () ? , 6 log 1 log log 10 10 10 = = + + x x x () () 6 log 1 log 10 10 = + ? x x ( ) 0 6 6 1 2 = - + ? = + ? x x x x ( ) ( ) { } . 3 , 2 0 2 3 - ? ? = - + ? x x x ? , 2 10 = = x x 2 log 10 = ? x () ? , 7 1 2 = = · + x e e e x x 7 1 2 e e x x = ? + + 0 6 7 1 2 2 = - + ? = + + ? x x x x ( ) ( ) { } . 3 , 2 0 2 3 - ? ? = - + ? x x x () ( ) () . YTL 34 . 94 06 . 1 100 06 . 1 06 . 0 1 100 1 ? = ? = + = ? + = P P P rt P A () () YTL. 84 . 55 06 . 1 100 06 . 1 1 06 . 0 1 100 1 10 10 10 ? = ? = ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? ? + = P P P m r P A mt Örnek. Faiz oranı %6 ise, sürekli bile şik faizle bir yıl sonunda hesabınızda 100 YTL olabilmesi için bu gün bankaya yatırmanız gereken miktar ne kadardır? Çözüm. Verilen de ğerler (A = 100 , t = 1 , r =0.06) formülde yerine konursa Örnek( İkiye Katlanma Zamanı). Faiz oranı %2 olan bir yatırım sürekli bile şik faizle ne kadar zaman sonra iki katına ula şır? Çözüm. Sürekli bile şik faiz formülünde A = 2P , r =0.02 alınırsa yıl. Örnek. Faiz oranı %2 olan bir yatırım yıllık birle ştirilerek bile şik faizle ne kadar zaman sonra iki katına ula şır? Çözüm. Bile şik faiz formülünde A = 2P , m = 1, r =0.02 alınırsa yıl. Örnek. 10 000 YTL parası bulunan bir ki şi 8 yıl sonunda, 20 000 YTL lik bir ev satın alabilmek amacıyla bu parayı sürekli bile şik faizle bankaya yatırmak istiyor. Faiz oranı ne olursa bu ki şinin iste ği gerçekle şir? Çözüm. Sürekli bile şik faiz formülü ile . YTL 18 . 94 100 100 100 06 . 0 06 . 0 06 . 0 ? = = ? = ? = - e e P Pe Pe A rt () () 65 . 34 02 . 0 2 ln ln ) 02 . 0 ( 2 ln 2 2 02 . 0 02 . 0 ? = ? = ? = ? = ? = t e t e Pe P Pe A t t t r () () () () 00 . 35 02 . 1 ln 2 ln 02 . 1 ln 2 ln 02 . 1 2 1 02 . 0 1 2 1 ? = ? = ? = ? ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? ? + = t t P P m r P A t t t m . 087 . 0 8 2 ln ln 8 2 ln 2 10000 20000 8 8 ? = ? = ? = ? = ? = · r e r e e Pe A r r t r Problemler 4 1. Verilen fonksiyonun gösterilen aralık üzerinde grafi ğini çiziniz. a) [] 2 2 5 , , y x - = b) [] 2 , 2 , ) 5 1 ( - = x y c) [] 2 , 2 , 5 - - = x y d) [ ] 3 1 1 5 1 , , y x - + = - 2. A şa ğıdaki ifadeleri sadele ştiriniz. a) () y x 3 2 4 b) 4 3 - - x x e e c) ( ) 2 4 . 1 ) 3 ( x e - 3. Verilen fonksiyonun grafi ğini çiziniz. a) 2 2 + = x y b) 2 2 + = - x e y c) 2 2 - - = x e y d) x e y = 4. A şa ğıdaki denklemleri çözünüz. a) 6 5 3 2 10 10 - - = x x b) 6 5 4 4 2 - - = x x c) 0 3 2 = + - - x x e x xe d) 5 5 ) 1 2 ( ) 1 ( - = - x x 5. 5 250 YTL, %12 den her ay birle ştirilerek faizde kalırsa, 10 yıl sonunda kaç YTL ye ula şır? 6. 5 250 YTL, %11.38 sürekli bile şik faizle bankaya yatırılırsa, 17 yıl sonunda kaç YTL olarak geri döner? 7. Dünya nüfusu ba şlangıçtan itibaren 1830 yılında 1 milyara; 100 yıl sonra, yani 1930 yılında 2 milyara ve 60 yıl sonra da 3 milyara ula şmı ştı. 1995 yılında dünya nüfusu 5.7 milyar olarak tahmin ediliyordu. Dünya Bankası, 1994 yılında, 1995 ten 2030 yılına kadar, dünya nüfusunun sürekli birle ştirilmek üzere, %1.14 oranında artaca ğı tahmininde bulundu. Buna göre, a) 1995 yılını ba şlangıç yılı, yani 0, alarak, 1995 ten 2030 a kadar olan sürede dünya nüfus artı şını ifade eden bir denklem yazınız. b) Yazdı ğınız denklemi kullanarak dünya nüfusunun 2010 yılında ve 2030 yılında yakla şık olarak (örne ğin, yüz binler mertebesinde) ne olaca ğını tahmin ediniz. 8. Hesap makinesi kullanmadan x , y , veya b de ğerlerini bulunuz: a) 2 log 3 = x b) 4 10 log 4 = b c) 2 1 log 4 = x d) y = 9 log 3 1 9. Logaritma fonksiyonunun özelliklerini kullanarak, a şa ğıdaki ifadeleri mümkün oldu ğu kadar daha basit logaritmalar cinsinden yazınız. a) 3 5 log y x b b ) ) ( log 3 2 y x b · c) ) 10 67 ( log 12 . 0 10 x - · 10. x i bulunuz. a) 6 log 9 log 2 1 8 log 3 2 log b b b b x - + = b) 21 log ) 4 ( log log b b b x x = - + c) 1 ) 1 ( log ) 1 ( log 10 10 = - - + x x d) ) 2 ( ln ) 1 ( ln ) 1 ( ln x x x = + + - 11. A şa ğıdaki denklemlerin her birinin grafi ğini çiziniz. a) ) 2 ( ln - = x y b) ) 2 ( ln 2 - + = x y c) x y ln - = d) | ln | x y = 12. Yeni evli bir çift gelecekte bir ev sahibi olmak için gerekli ödemeleri yapmak üzere 8 yıl sonunda 20 000 YTL sahibi olmak istiyorlar. Bu amaçla, aile yakınlarının dü ğün hediyesi olarak verdi ği 10 000 YTL parayı sürekli bile şik faizle bankaya yatırma ğa karar veriyorlar. Faiz oranı ne olmalı ki, 8 yıl sonunda istekleri gerçekle şsin? ( 6931 . 0 2 ln ? alınız)